2DO EXAMEN DE CÁLCULO C ÁLCULO DE VARIABLE VARIABLE COMPLEJA Definición: Una función f definida en un entorno de z es continua en ese 0
punto si satisface: i ¿ f ( z 0) ii ¿ lim f ( ( z ) ∃ ❑❑ z → z0
iii ¿ lim f ( ( z )= f ( z 0) z → z0
Observación:
|
|
lim f ( ( z ) = f ( ( z0 ) ⟺ ∀ ε >0, ∃ δ >0 :0 <| z − z0|<δ ⟹ f ( ( z )− f ( z0 ) < ε
z → z 0
Teorem orema: a: Si
z 0 y w 0
son punt punto os de los los plano anos
entonces
1
2
3
lim f ( ( z ) =∞ z → z 0
lim f ( ( z ) =w 0
z → ∞
lim f ( ( z ) =∞ z → ∞
si y solo si
si y solo si
lim z → z 0
f ( z )
lim f z → 0
lim
si y solo si
1
z → 0
=0
( )= 1
z
1 1
f ( ( ) z
w0
=0
z y w , respectivamente, respectivamente,
Deria!a: f
Sea
una función definida en un entorno de
denotada por
f ´ ( z 0 )= lim
z 0
. La derivada de
f ( z )− f ( z 0 )
z → z0
z − z 0
, si el límite eiste. Sea
f
en
z 0
Δ z = z − z 0
f ( z 0 + Δ z )− f ( z 0)
f ´ ( z 0 )= lim
Δ z
Δ z → 0
f ( z )=u ( x , y ) + iv ( x , y ) 2
f : R → R
2
Δ z =( Δ x , Δ y )
Teorema: Si f es derivable en z = z 0 , entonces f es continua en z = z 0 . f ( z ) f es continua en z 0 ⟺ zlim ⟶ z . 0
Teorema "Re#$a !e $a ca!ena%: Sea f una función derivable en z una función tambi!n derivable en z 0
derivable en
f ( z 0 ) ,
y se cumple:
h ( z 0 )= gof ( z ) =g [ f ( z 0 ) ] 0
h ´ ( z 0 )= g ´ [ f ( z 0) ] . f ´ ( z 0)
La& Ec'acione& !e Ca'c()*Riemann: u x =v y
entonces la función
0
y
h =gof
g
es
u y =−v x
Teorema: Sea
f ( z )=u ( x , y ) + iv ( x , y )
entonces las derivadas parciales de
con
f ( z )
derivable en
z 0=( x 0 , y 0)
f deben eistir cumpliendo:
u x =v y u y =−v x
Las ecuaciones de "auc#y$%iemann, m&s a'n: f ´ ( z )=u x ( x , y )+ i v x ( x , y )
O+&eración: Las ecuaciones de "auc#y$%iemann, nos ayudan a ubicar los puntos donde la función no es diferenciable. (Los puntos )ue no la satisfacen*.
O+&eración: Las ecuaciones de "auc#y$%iemann son una condición necesaria para la eistencia de f ´ ( z ) . Teorema: Sea z 0
f ( z )=u ( x , y ) + iv ( x , y )
una función definida en un entorno de
. Si las derivadas parciales de primer orden con respecto a
( x , y ) ∃ y son
continuas en todos, los puntos de ese entorno, y adem&s cumplen con las ecuaciones de "auc#y$ %iemann. u x =v y u y =−v x
, entonces
f ´ ( z 0 ) ∃
.
+e iualmente se cumple: f ´ ( z 0 )= u x ( x 0 , y 0 ) + i v x ( x 0 , y 0)
,'ncione& ana$-.ica&: Definición: Una función f de variable es analítica en un con-unto abierto, si es derivable en todo punto de ese con-unto.
O+&eracione&: i*
"uando la función es analítica en un con-unto
s )ue no es abierto, se
da por entendido )ue la función es analítica en un con-unto n particular un entorno de
ii*
Si
f es analítica en un punto z 0
z 0
, si
k , s ⊆ k
.
f es analítica en
.
f es analítica en todo el punto del plano comple-o, se dice )ue
f es entera.
iii*
Si
f
no es analítica en un punto
punto de todo entorno de una sinularidad de
f
z 0
z 0
se dice )ue
, pero es analítica en al'n z 0
es un punto sinular, o
.
,'ncione& armónica&: Una función real de dos variables
h se dice )ue es armónica en un dominio del
plano si sus derivadas parciales de primer y seundo orden son continuas y adem&s cumple: h xx ( x , y )+ h yy ( x , y )=0
sta ecuación recibe el nombre de cuación de Laplace.
Teorema: Si una función coneo en
C
f ( z )= u ( x , y ) + iv ( x , y )
es analítica en un dominio + (abierto y
, sus funciones componentes
u,v
son armónicas en +.
Definición: Si
u y v son funciones armónicas en un dominio + y sus derivadas parciales de
primer y seundo orden satisfacen las ecuaciones de "auc#y$%iemann u x =v y u y =−v x
Se dice )ue
v
es la armónica con-uada de
u .
Teorema: Una función
f ( z )=u ( x , y ) + iv ( x , y ) es analíticas en un dominio + si y solo si
es armónica con-uada de
u.
v
