Universidad Nacional de Colombia C´ alculo en Varias Variables alculo Jos´e Jorge Sierra Molina-Javier Molina -Javier Mauricio Mau ricio Sierra ◦ TALLER N 2.1 (Parcial 2) 1. Calcule Calcule las siguiente siguientess integrale integraless dobles dobles usando usando sumas de Riemann, Riemann, compruebe su respuesta respuesta evaluando evaluando la integral integral de forma directa directa (a)
2 1 0 0
(2 + 3 ) x
2 3 1 1
(
(b)
y dxdy
x2
− 3y) dxdy
2. Calcular Calcular las siguiente siguientess integrale integraless iteradas iteradas 1 1 x+3y e +3y dxdy 0 0 1 1 s t dsdt dsdt 0 0
√ + (b) (a)
1 2 0 1 2 π 0 0
x3
x2 y 2 ) dydx
(4 − 9 cos (d) (c)
x
2
y dxdy
3. Calcule Calcule la integral doble doble
(b) (a)
R
R
xy2 x2 +1 dA,
R = (x, y ) 0
{ | ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3} R = {(x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
1+x 1+x2 1+y 1+y 2 dA,
4. Eval´ ue ue la integral integral iterada: √ √y 4 (a) 0 0 xy 2 dxdy 1 x 0 x2
2 2y 0 y
(d)
(1 + 2 ) (b)
(c)
cos cos θ sin θ e 0
π
y dydx
xy dxdy
2
0
drdθ
5. Calcular Calcular las siguiente siguientess integrales integrales dobles sobre la regi´ on on indicada indicada y 2 exy dA
, (b) cos (c) (d) (a)
R = (x, y) 0
| ≤ y ≤ 4,
{
R
0
≤ x ≤ y}
on on triangular triangu lar v´ertices ertices (0, 2), (1, 1), (3, 2). y 3 dA D es la regi´
D
x
a acotada por y = 0, y = x 2 , x = 1. y dA D est´
D
x3 dA
R = (x, y ) 1
{
D
6. Plantear Plantear la integral integral
(
| ≤ x ≤ e,
0
≤ y ≤ ln x}
on R encerrada por las curvas: f x, y ) dA de la forma dxdy , dydx sobre la regi´on
R
(a) y = x , y = 2x , x = 6 (b) y = x , y = 4 , x = 0
√
−
(c) y = x 2 , y = 1
7. Bosqueje Bosqueje la regi´ region ´on de integraci´on on y cambie el orden de integraci´on: on: √ √x √ √ − 4 3 9 y (a) 0 0 f (x, y) dydx (c) 0 0 f (x, y ) dxdy
(b)
2 ln ln x f (x, y) dydx 1 0
8. Eval´ ue ue la integral.
(d)
1 4 f (x, y) dydx 0 4x
Page 2 of 3 π 0
π sin y y dydx x
√ √ (b) (c) (a)
4 0
2
1 dydx x y 3 +1
√ (e) √ (f)
(d)
1 1 x y 0 x e dydx 4 8 2 ex dxdy 3 0 y
2 ln 3 2 ln 3 x2 e dxdy y/2 0 1 3 x2 e dxdy 0 3y
9. Eval´ ue la integral
2
tan−1 (πx)
0
2 4 x2 xe2y 4−y dydx 0 0
− √ (h) (g)
8 0
2 3
1 dydx x 1+y4
− tan−1(x) dx
10. Calcule el volumen del s´olido dado (a) Encerrado por el paraboloide z = x 2 + 3y 2 y los planos x = 0 , y = 1, y = x , z = 0. (b) Acotado por los cilindros x 2 + y 2 = r 2 y y 2 + z 2 = r 2 . (c) Acotado por los planos z = x , y = x , x + y = 2 y z = 0. (d) El s´olido en el primer octante acotado por los planos coordenados , el cilindro x2 + y 2 = 4 y el plano z + y = 3. (e) Encerrado por los cilindros parabolicos y = 1 2x + 2y z + 10 = 0
−
− x2, y = x2 − 1 y los planos x + y + z
= 2,
11. Exprese D como la uni´on de regiones de tipo I o II y evalue la integral. (a)
x2 dA
(b)
D
y dA
D
y 1.0
D
x −1.0
1.0
0
−1.0
12. Eval´ ue la integral dada cambiando a coordenadas polares
donde es el disco con centro en el origen y radio 3. ( + ) donde que yace a la izquierda del eje y entre los c´ırculos + (b) 4 − − donde = {( ) | + ≤ 4 ≥ 0} (c) − − , donde es la regi´on acotada por el semic´ırculo = 4 − (d) (a)
D xy dA R
x
y dA x2
R
e
D
2
x
y
2
x 2
y
y 2 dA
dA
R
x, y
x2
y 2
y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4.
x
D
x
y 2 y el eje y .
13. Use coordenadas polares para hallar el volumen del s´olido (a) Arriba del cono z =
x2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.
(b) Dentro del cilindro x 2 + y 2 = 4 y el elipsoide 4x2 + 4y 2 + z 2 = 64 14. Eval´ ue la integral iterada convirtiendo a coordenadas polares
Cont.
Page 3 of 3 √ − (a) −
9 x2
3
3 0
2
√ − (b) 2 2x x2 0 0
2
sin(x + y ) dy dx
2
I =
∞ − ∞ − e
x2
dx
0
e
y2
0
x2
∞ − ∞ ∞ −
15. La forma usual de evaluar la integral impropia I =
0
e
dy =
e
0
x2 + y 2 dy dx
dx consiste en calcular primero su cuadrado:
(x2 +y 2 )
dxdy
0
Eval´ u e la u ´ ltima integral usando coordenadas polares y despeje I de la ecuaci´on resultante. 16. Eval´ ue la integral triple iterada
√ − (d)
1 z x+z xz dy dx dz 0 0 0 1 2x y 0 x 0 xyz dz dy dx
6 2 (b) (a)
3 1 1 z2 ze y dx dz 0 0 0 e e e 1 1 1 1 xyz dy dx dz
(c)
dy
17. Bosqueje el s´ olido cuyo volumen est´a dado por la integral (a)
1 1 x 2 2z 0 0 0
− −
dy dz dx
(b)
2 2 y 4 y2 0 0 0
− −
dx dz dy
18. Eval´ ue la integral triple. Grafique la regi´on de integraci´on
donde es el tetraedro s´olido con v´ertices (0 0 0), (1 0 0), (0 2 0) y (0 0 3) donde est´a acotado por el cilindro + = 9 y los planos = 0, = 3 y = 0 en (b) el primer octante. donde est´a comprendida por = 1 − , = 1 − en el primer octante. (c) (a)
xy dV
E
E z dV
E
dV
E
, ,
E
y
E
z
2
z
, ,
2
, ,
x
x2 y
, ,
y
x z
x
19. Use una integral triple para hallar el volumen del s´olido dado
(a) El tetraedro encerrado por los planos coordenados y el plano 2x + 3 y + 6 z = 12. (b) El s´olido encerrado por el cilindro x 2 + y 2 = 9 y los planos y + z = 5 y z = 1. (c) El s´olido acotado por el cilindro y = x 2 y los planos z = 0, z = 4 y y = 9. (d) La regi´on com´ un a los interiores de los cilindros x 2 + y 2 = 1 y x 2 + z 2 = 1 20. Escriba las 6 formas de integraci´on z = 1 y , z = 0 y x = 0.
−
olido acotado por y = E f (x , y , z) dV donde E es el s´
21. Escriba las otras 5 integrales iteradas que son iguales a
1 1 y 0 y 0
√ x,
f (x , y , z) dz dx dy
22. Eval´ ue las integrales cambiando el orden de integraci´on de manera adecuada. (a)
2 4 1 2 4cos(x ) √ dxdydz 0 0 2y 2 z
(b)
2 4 x2 0 0
x sin 2z 0 4−z dydzdx
−
The End.
