ESCUELA DE MATEMÁTICAS Cálculo III REPASO II PARCIAL (1ra parte) parte) Profesora: Deicy Villalba Rey Bucaramanga, Julio de 2014 1. Halle los extremos relativos e identifique identifique cuales son máximos locales, mínimos locales o puntos de silla, para cada una de las funciones, a. f x, y x 4 b. f ( x, y )
8 x
f x, y xy e
c.
y 4
x
y x
2
y
2 x
2
4 xy 2 y
h. f ( x, y) ( x 1) 2
2
y 2
i.
f ( x, y)
j.
f x, y
3 xy x 2 y
x 2
4 x
y 2
d. f ( x, y) x 3 y 2 (6 x y)
k. f ( x; y) x 3
e. f ( x, y) x 2
l.
f. f ( x, y)
xy y 2
e x y ( x 2
g. f ( x, y, z ) e 2 x
2
2 x y
z f ( x, y) en el punto
xz 5 z 2
2
2y2
xy 2
1
4 xy 2 y 2
y2
( x 2
1
4 y 2 )
x2
n. f ( x; y) y xseny xseny
P
f ( x, y) e1 x
m. f ( x; y) ln 1 y 2
2 y 2 )
2. Considere la función f ( x, y) 3 x 2 y 2
xy 18 . Para que el plano tangente a la superficie
(a, 3, 6a) pase por el origen, ¿cuál debe ser el valor de la constante a?
3. En una prueba de TV a tres concursantes se les proporciona una función f que determina el dinero que tienen en la posición en la que se encuentran: f ( x, y) 10000.e y cos x dólares. a. ¿Cuánto dinero tienen en la posición inicial P 0
(0, 0) ?
b. ¿Cuál es el dinero y el sentido que deben escoger para obtener la máxima ganancia? c. ¿Cuál es el dinero y el sentido que han escogido si: i. El 1er concursante se lleva 10000dólares. ii. El 2do concursante escoge una dirección y sentido que presenta pérdida de 10000dólares? iii. El 3er concursante escoge una dirección que presenta una ganancia de 5000dólares? 4. La expansión del olor del queso de cabra en el aire viene dada por la siguiente función: f ( x, y)
( x y) xy
a. ¿Qué dirección debería tomar un ratón en la oscuridad situado en el punto P x, y 2,
1
si
2
quisiera llegar al queso de cabra lo más rápidamente posible? b. ¿Es f ¿Es f diferenciable diferenciable en P? c. ¿Cuál es la variación del olor en la dirección de la recta de este resultado?
x
41
y
? ¿Qué se puede deducir
4
4
5. La ecuación 2 x + 3 y = 32 representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico 1 viene dado por la función f ( x; y ) , hallar los valores máximo y mínimo de éste sobre el 2 2 x y borde de la pantalla. 6. Para las siguientes funciones encuentre: i. El gradiente en el punto indicado.
ii. Una ecuación del plano tangente al gráfico en el punto dado.
iii. Una ecuación de la recta tangente a la curva de nivel que pasa por el punto dado. a. f ( x; y )
x y
2,1
en
x y
b. f ( x; y )
cos
x
en
y
, 4
7. Muestre que en términos de las coordenadas polares (r ; ) el gradiente de una función f (r ; ) está dado por
f
f
r
1 f
ˆ
r
ˆ
r
8. La temperatura T ( x, y ) en los puntos ( x, y ) del plano está dada por T ( x, y)
x
2
2y2
a. Dibuje algunas curvas de nivel (isotermas) b. ¿En qué dirección debería moverse una hormiga situada en el punto (2, 1) si desea refrescarse tan rápido como sea posible? c. Si la hormiga se mueve en la dirección anterior con velocidad v ¿a qué tasa experimentará el descenso de temperatura? d. ¿A qué tasa experimentaría la hormiga el descenso de temperatura si se moviera a partir del punto (2, 1) con velocidad v en la dirección del vector i 2 j ? ˆ
ˆ
9. La temperatura en el espacio de una habitación está dada por T ( x, y, z ) x 2
y
2
2
z
2
x z En el
tiempo t=0 una mosca pasa por el punto (1, 1, 2), volando a lo largo de la curva de intersección de las superficies
z
3 x
2
y
2
y
2 x
2
2 y
2
2
z
0
Si la velocidad de la mosca es 7cm/s, ¿qué tasa de
cambio de temperatura experimenta en t=0? 10. Un insecto se halla en un ambiente tóxico. El nivel de toxicidad viene dado por T ( x, y, z ) 2 x
2
4 y 2
1
. Si este insecto está en (-1, 2, 1), averigüar en qué dirección debe 1 z 2 moverse para que la toxicidad disminuya lo más rápido posible.
11. Halle el plano tangente y la recta normal a la superficie en el punto dado: a. z 2 xy 2
c. z 2
2 x
e. z 2
2 x 2
2
2 y
P 1,1,1
2
x y
2y2
2
12
P 1,1, 4
b. z x 3 d . xy 2
12 0 en el punto (1, −1, 4)
y 3
2
3 x y 3 xy
3 x z 2
4
2
P 1,1, 2
P 2, 1, 2
12. Probar que la derivada direccional de f ( x, y) x 2 x
2
y
2
1
y 2 en cada punto de la circunferencia
y en la dirección normal a está es constantemente igual a -2.
13. Utilice los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos condicionados de las siguientes funciones con sus respectivas restricciones a. f ( x, y) 4 x 2 b. f ( x, y)
c. f ( x, y)
2y2
5 con la restricción x 2 y 2 24
x 2 y con la restricción 4 xy , con la restricción
x
2
x
8y 2
y
2
2
24
4
d. f ( x, y) x 2 y con la restricción x 2 y 2 5 e. f ( x, y, z ) x 2 y 2 z , con la restricción f. f ( x, y, z ) x y z , con la restricción 2
g. f ( x, y) cos x h. f ( x, y) i.
cos y 2 ,
2
x
2
y
2
y
2
z 5 y
con la restricción
e xy , con la restricción
f ( x, y) x 2
y
x
x
2
z
x y
9
y z z x
8
y
x
4
8
y 2 , con la restricción 2x + 4y = 15
14. Hallar el punto del paraboloide z x 2
2
0.25 y 3
2
5 más próximo al plano x + y + z = 0.
15. Se desea fabricar una caja de un cartón especial donde el material de los lados y la tapa es de a 2
2
1 dólar / m , y el costo del material del fondo es de 3 dolares / m . Determine las dimensiones que
debe tener la caja para que su volumen sea de 2 m 3 , y su costo sea mínimo. 16. Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas).
máximo si el área de su
17. Determine cuál es la distancia más corta entre el plano cuya ecuación es x 2 y 3z 12 y el 3
punto origen del sistema .
18. Se desea construir una pecera de sección rectangular, el fondo de esquisto y las paredes de vidrio, si el esquisto cuesta 4 veces el costo del vidrio por metro cuadrado. ¿Cuáles serán las dimensiones de la pecera si el volumen es 0.8 m³ si se desea que el costo sea mínimo? 19. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado: y a) f ( x; y) = x , ( x0; y0) = (e; e), u = 5i + 12 j xy b) f ( x; y) = e + yz , ( x0; y0; z 0) = (1; 1; 1), u = (1; -1; 1)
20. Suponga que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z
4 16 x 2
2
y , donde x y y
son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar ( x, y y z están medidas en metros). En el punto (1, 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1, 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar? 21. El capitán Rex tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición ( x, y, z ), viene dada por T ( x; y; z )
e
x 2 2 y 2 3 z 2
, donde x, y y z
vienen dados en metros. Actualmente está en el punto (1, 1, 1). a. ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura? 8 b. Si la nave viaja a e m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? c. Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que 14e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa. 22. La presión en el interior de un fluido viene descrita por la función P x y z xy xz yz . ,
,
Calcula la presión máxima en los puntos de la superficie 2x + 3y + z = 4 sumergida en dicho fluido. 23. Si un astronauta está sobre la superficie de la luna en el punto (1, 1), y la temperatura sobre la superficie viene dada por T x, y
1 4 x
2
y
2
1
¿Hacia dónde debe dirigirse para que su traje
espacial se enfríe más rápidamente? 24. Una ecuación de una superficie es
z
1200
3 x
2
2y
2
, donde la distancia se mide en metros, el
eje X apunta al este y el eje Y apunta al norte. Daniel está en el punto correspondiente a (-10, 5, 850) a. ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? b. Si Daniel se mueve en la dirección del este, ¿está descendiendo o ascendiendo? ¿Cuál es su rapidez? c. Si Daniel se mueve en la dirección suroeste ¿está ascendiendo descendiendo? ¿Cuál es su rapidez?
x 1 . Se pide: y 2
25. Sea la función f x, y ln
a. Representa el dominio de la función
b. Determina las curvas de nivel y represéntalas
c. Calcule la forma aproximada de f 5.1; 8.2 utilizando la diferencial. d. ¿Es diferenciable la función f en el punto (5, 8)? e. Calcula la derivada direccional de la función en el punto (5, 8) en cualquier dirección u f. Demuestra que el vector gradiente de la función en un punto (a, b) de su dominio es ortogonal a la curva de nivel que pasa por (a,b). g. Calcula la recta tangente a la curva intersección de la superficie definida por la función y el plano que es perpendicular a z = 0 y contiene a la recta que pasa por (5, 8, 0) y tiene por vector director (1, 1). Justifica la respuesta.
h) Calcula un vector normal al plano tangente a la superficie definida por f en el punto (5, 8, 0). 26. Hallar la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por la intersección del elipsoide
x
2
4 y
2
2
2 z
27 y
el hiperboloide x 2
y 2
2 z 2
27. Calcular la matriz Jacobiana de la función f ( x, y, z ) x 2
11 en el punto P (3, −2, 1)
yz 2 , sen x 2
y 2 en el punto
P 1,1,1
28. La altitud z del terreno en una región, en unidades adecuadas, está determinada por la función
z x, y 1 x 2
3 y 2 e1 x
2
y2
, donde (x, y) son las coordenadas de un punto en un plano de
referencia horizontal. Supóngase que una pelota de baloncesto se suelta en el punto de coordenadas
1 , 2 , 1 En qué dirección comenzará a moverse la pelota? 2 29. Determine la derivada direccional de f en el origen en la dirección del vector unitario (a, b)
x 3 y 3 si x, y 0,0 a. f x, y x 2 y 2 0 si x, y 0,0
x 3 y 2 xy 3 si x, y 0,0 b. f x, y x 2 y 2 si x, y 0,0 0
y 2 x 2 si x, y 0,0 xy c. f x, y x 2 y 2 si x, y 0,0 0
xy x y si x, y 0,0 d . f x, y x 2 y 2 si x, y 0,0 0
30. Suponga que se desea diseñar una lata cilíndrica para empacar sopa, de una lámina de metal que cuesta centavos por unidad de área, que contenga un volumen V determinado, de tal manera que se desea minimizar el costo del material. Si x es el radio y y la altura de la lata, muestre que este problema se reduce a minimizar la función de costos, f x, y 2b x x y sujeta a la restricción x 2 y V . A continuación, resuelva el problema mediante eliminación y mediante multiplicadores
de Lagrange y establezca que la altura de la lata es igual a su diámetro. Verifique que la solución del problema efectivamente da un mínimo. b. Si bien el mínimo costo plantea que la altura de la lata es igual a su diámetro, en realidad las latas tienen una altura mayor que su diámetro. Por tal razón, la manufactura de lata se hace no solo minimizando el costo sino también la razón de la altura al diámetro de la lata de tal manera que haga que la lata luzca un poco más alta que ancha. Suponiendo que la proporción que hace que la lata luzca un poco más alta está definida mediante la relación y = kx, donde k es una constante empírica a ser determinada, entonces el problema de optimización anterior se replantea como el problema de minimizar la función de costo, f x, y 2a b x x y 1 a y kx sujeto a la misma 2
restricción, y donde a es tal que 0 a 1 . Explique el sentido de a en este problema, por ejemplo, cuando a toma los valores de 0, 1 y 0,5. Explique porque es necesario elevar al cuadrado el segundo término de la función de costo.
