Nacional Nacion al de Colombia C olombia-- Sede Se de Medell´ M edell´ın ın Escuela de Matem´ aticas aticas C´alculo alculo en varias Variables. Semestre 02 de 2015
Taller 14: Integrales de flujo y teoremas de Green, Stokes y Gauss
1. Sea S la S la porci´on on del primer octante del plano x + x + y y + + z z = = 1 y sea C la C la frontera de S S orientada de modo antihorario . (x,y,z) dr. vista desde el punto (10, (10 , 10 10,, 10). Si F ( F x,y,z) = (x3 + ex , z 2 + y 3 , z3 ), halle F dr
−
2 R
2. Sea D = (x, y)
{
calcule
∈ | 1 ≤ x
2
+ y
2
C
· ·
(x, y) = 0 y sea C = ∂ D orientada positivamente. Para F ( F
≤ 2, 2 , y ≥ }
−
y 3 x 3 , , 3 3
F · · dr. . dr C
(x, y) = (y, 2x + tan(tan( 3. Considere Considere el campo vectori vectorial al F ( F tan(tan(yy ))). Sea C Sea C la la frontera de la regi´on on G = (x, y)
{
∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 2, 2 , 0 ≤ y ≤ 2, 2 , (x ( x − 2)2 + (y (y − 2)2 ≥ 1 },
orientada al contrario de las manecillas del reloj. Calcule la integral de l´ınea
F dr .
C
· ·
4. Sea E = (x,y,z) x,y,z) x2 + y 2 z 4 x2 y 2 y sea S = ∂ E con E con el normal apuntando hacia afuera. Para el campo (x,y,z) vectorial F ( F x,y,z ) = (z 2 , x2 , z x2 + y 2 ), calcule
{
|
≤ ≤ − − }
F dS.
· ·
S
5. Sea S Sea S = = (x,y,z) x,y,z) z = x 2 + y 2 , z 16 orientada con el normal con tercera componente negativa (es decir, el vector (x,y,z) normal apunta hacia abajo). Si F ( F x,y,z ) = (x(z 4), 4), y z , x2 ), calcule
{
|
≤ }
−
F n dS.
S
· ·
6. Sea S = (x,y,z) x,y,z) y 2 + z 2 = 1, z (x,y,z) F ( F x,y,z ) = (xy,x( xy,x(x 1)z 1)z 2 , x(z 2 (x
{
|
≥ 0, 0 ≤ x ≤ 1} orientada con normal con la tercera componente positiva. Para − 1) + 1)), halle
−
(
S
) · n dS. ∇ × F ) F
7. Sea S = (x,y,z) x,y,z) z = 1 x2 y2 , z 0 orientada con normal con la tercera componente positiva. Para el campo (x,y,z) vectorial F ( F x,y,z ) = (y3 + x3 , z 3 , x5 + y 6 ), halle
{
|
− −
≥ }
S
(
) · dS. ∇ × F ) F
8. Calcule la integral de l´ınea del campo vectorial y) = (0, x + esin(e ) ) F (x, y
2
2
a lo largo de la frontera de un hex´agono regular con v´ertices (2, 0),
2
√ √ √ √ (1, 3), (−1, 3), (−2, 0), (−1, − 3) y (1, − 3), la cual est´a orientada positivamente.
Ayuda: El hex´ agono en consideraci´o n es la uni´o n de seis tri´angulos
equil´ ateros de lados de longitud igual a dos. 9. Evaluar la integral
Rot( y + ecos(z) , esin(z) , zee ) x
S donde S es la parte de el paraboloide z = 16 − x2 − y 2 por encima del plano-xy con la orientaci´on tal que el vector normal apunta hacia afuera.
10. Encuentre la integral de flujo
· dS , donde ∇ × F )
(
S
F (x,y,z) = 2cos(πy)e2x + z 2 , x2 cos(zπ/2)
− π sen(πy)e2x, 2xz
y S es la superficie p´ua parametrizada por
r(s, t) = (1 con 0
− s1/3)cos(t) − 4s2, (1 − s1/3)sin(t), 5s
,
≤ t ≤ 2π, 0 ≤ s ≤ 1, y orientada de tal forma que los
vectores normales apuntan hacia afuera de la superficie.
11. Calcule la integral de flujo vectorial
→−F ·d→−S , donde −→F es el campo S
−→ F (x,y,z) = y2 − xz + ey , −yz + z 3x+6z , tan(x4 + y 2 ) + z 2 2
y donde S es la superficie cerrada dada impl´ıcitamente por (x2 + y 2 )2
− (x2 − y2) − z2 + 15 + x
6
+ y 6 + z 6 = 0, 10
con orientaci´on positiva.
12. Sea C la circunferencia de radio 3 situada sobre el plano x+y+2z = 4 y cuyo centro es el punto (1 , 1, 1), con orientaci´on antihoraria cuando se mira desde el origen. Calcule
−zdx + xdy + ydz. C
2
13. Sea S la porci´on del cono z = 4 x2 + y 2 correspondiente a z 2, orientada con el vector normal apuntando hacia 3 (el rotacional de F ) a trav´es de S , donde F (x,y,z) arriba. Calcule el flujo de F = xyz i yz 2 j + z cos(xy) k.
∇ ×
14. Sea Ω = (x,y,z) 2
z dV .
−
≥
∈ R3 : x2 + y2 + z 2 ≤ 1. Use el teorema de la divergencia de Gauss para calcular la integral triple
Ω
15. Sea S la superficie dada por la parametrizaci´on r(u, v) = (cos u cos v, cos u sen v, sen(2u)) , con (u, v)
−
∈ − π2 , π2 × [0, 2π] (ver gr´afica). Use el teorema
de la divergencia de Gauss para calcular el volumen del s´ olido Ω encerrado por la superficie S .
3
