Dirección Universitaria de Educación a Distancia EP Administración y Negocios Internacionales 3501-35203 ANALISIS MATEMATICO
2015-II
Ciclo:
Datos del alumno: Apellidos y nombres: POMA GAMBOA DAVID Código de matrícula: 2012221526 Uded de matrícula: DUED LIMA
Nota:
SEGUNDO GARCIA FLORES
Docente:
III
Sección:
01
Módulo I
FORMA DE PUBLICACIÓN: Publicar su archivo(s) en la opción TRABAJO ACADÉMICO que figura en el menú contextual de su curso
Panel de control
Fecha de publicación en campus virtual DUED LEARN:
HASTA EL DOM. 25 DE OCTUBRE 2015 A las 23.59 PM (Hora peruana) Recomendaciones:
1. Recuerde verificar la correcta publicación de su Trabajo Académico en el Campus Virtual antes de confirmar al sistema el envío definitivo al Docente. Revisar la previsualización de su trabajo para asegurar archivo correcto.
2.
Las fechas de publicación de trabajos académicos a través del campus virtual DUED LEARN están definidas en la plataforma educativa, de acuerdo al cronograma académico 2015-II por lo que no se aceptarán trabajos extemporáneos.
3.
Las actividades de aprendizaje que se encuentran en los textos que recibe al matricularse, servirán para su autoaprendizaje mas no para la calificación, por lo que no deberán ser consideradas como trabajos académicos obligatorios.
Guía del Trabajo Académico: 4.
Recuerde: NO DEBE COPIAR DEL INTERNET, el Internet es únicamente una fuente de consulta. Los trabajos copias de internet serán verificados con el SISTEMA ANTIPLAGIO UAP y serán calificados con “00” (cero).
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5. Estimado alumno: El presente trabajo académico tiene por finalidad medir los logros alcanzados en el desarrollo del curso. Para el examen parcial Ud. debe haber logrado desarrollar hasta II y para el examen final debe haber desarrollado el trabajo completo.
Criterios de evaluación del trabajo académico: Este trabajo académico será calificado considerando criterios de evaluación según naturaleza del curso:
1 2
Presentación adecuada del trabajo
Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato.
Investigación bibliográfica:
Considera la revisión de diferentes fuentes bibliográficas y electrónicas confiables y pertinentes a los temas tratados, citando según la normativa APA. Se sugiere ingresar al siguiente enlace de video de orientación:
https://youtu.be/8PGmbYwZfAs
3
Situación problemática o caso práctico:
Considera el análisis contextualizado de casos o la solución de situaciones problematizadoras de acuerdo a la naturaleza del curso.
4
Otros contenidos
Considera la aplicación de juicios valorativos ante situaciones y escenarios diversos, valorando el componente actitudinal y ético.
TRABAJO ACADÉMICO Estimado(a) alumno(a): Reciba usted, la más cordial bienvenida al presente ciclo académico de la Escuela profesional de Administración y Negocios Internacionales en la Universidad Alas Peruanas. En la guía de trabajo académico
que presentamos a continuación se le plantea
actividades de aprendizaje que deberá desarrollar en los plazos establecidos y considerando la normativa e indicaciones del Docente Tutor.
PREGUNTAS: Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. (2 Puntos) I.
MINICASO: RENTAR UN AUTOMOVIL
(4,0 puntos)
A continuación se analiza el problema que tiene una compañía que debe asignar un automóvil a sus representantes de ventas para uso oficial. Con la finalidad de simplificar el problema, suponga que sólo se tiene un representante de ventas. Entonces, la compañía tiene que decidir entre comprar o rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, la compañía considera que la elección debe hacerse entre las dos siguientes opciones. a) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de $60,600, más 24 pagos mensuales fijos de $4,700 cada uno; éste incluye el pago de un seguro para automóvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, a éste se le conoce como valor de rescate. 2TA20152DUED
b) Rentar un automóvil, por $3,000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un pago único de $5,000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años.
La empresa considera que, en promedio, su representante viaja 2,000 kilómetros al mes, y esto no cambiará en los próximos dos años. En tal situación, la empresa debe calcular el costo en ambos planes y decidirse por aquel que le arroje un costo menor a lo largo de los dos años. Con base en lo anterior, al hacer el cálculo al final de los tres años, 36 meses, el plan A implica un gasto de $103,400; mientras que en el plan B el gasto asciende a $105,800. Por lo que debería elegir el plan A. No obstante, si el precio por kilómetro aún se puede negociar, ¿a partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? SUGERENCIA: revise los métodos de resolución de inecuaciones. II.
Determinar si la función es continua o discontinua. En tal caso, los valores de x para los cuales la función es discontinua:
(2,0 puntos)
Una tienda por departamentos establece para sus empleados de ventas un incentivo (en cientos de soles) en relación con el valor x (en cientos de soles) de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la función:
0,02 x, si 0 x 100 I x 50 x , si x 100 3x 3400 Se requiere: a) Establecer si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10 000 soles. b) Graficar la función I.
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III.
APLICACIONES DE LA DERIVADA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (2,0 puntos)
1. Administración de playas. Una comunidad, situada en una zona vacacional del sur de Lima, está tratando de escoger una tarifa de estacionamiento que fijara la playa del distrito. En la zona hay otras playas, y todas ellas compiten por atraer a los bañistas.
El municipio ha optado por la siguiente función que expresa el número promedio de automóviles por día q en términos de la tarifa de estacionamiento p expresada en centavos. q 6000 12 p . Se requiere: a) Determinar la tarifa que debería cargarse para maximizar los ingresos diarios de la playa. b) ¿Cuál se espera que sea el máximo ingreso diario de la playa? c) ¿Cuántos automóviles se esperan en un día promedio? 2. MINICASO: SUSTITUCIÓN DE EQUIPO
(5,0 puntos)
Una decisión que afrontan muchas organizaciones es determinar el momento óptimo para reemplazar equipo importante. Los equipos principales se caracterizan a menudo por dos componentes de costos, costo de capital y costo de operación. El costo de capital es el costo de compra menos su valor de salvamento. Si una máquina cuesta $10000 y luego se vende en $2000, el costo de capital es de $8000. El costo de operación comprende los gastos de poseer y mantener un equipo. La gasolina, el aceite, los seguros y la reparación son costos asociados a la posesión y operación de un vehículo y pueden considerarse como costos de operación.
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Algunas organizaciones se concentran en el costo promedio de capital y en el costo promedio de operación cuando determinan el momento de sustituir un equipo. Esos costos tienden a compensarse mutuamente. Esto es, cuando uno aumenta el otro disminuye. El costo promedio de capital de un equipo tiende a disminuir con el tiempo. En el caso de un automóvil nuevo cuyo valor decrece de $12000 a $9000 en el primer año, el costo promedio de capital por año es de $3000. Si el valor del automóvil disminuye en $2000 al cabo de cinco años, el costo promedio de capital será
$12000 $2000 $10000 $2000 por año 5 5 El costo promedio de operación tiende a incrementarse con el tiempo, a medida que el equipo pierde eficiencia y se requiere más mantenimiento. Por ejemplo, el costo promedio anual de operación de un automóvil tiende a elevarse a medida que el automóvil envejece. Una compañía de taxis de una gran ciudad quiere determinar cuánto tiempo debería conservar sus taxis. Cada taxi viene totalmente equipado a un precio de $18000. La compañía estima que el costo promedio de capital y el costo promedio de operación son una función de x, o sea el número de kilómetros que recorre cada unidad. El valor de recuperación (salvamento) del automóvil, en dólares, se expresa mediante la función
S x 16000 0 ,10 x
Ello significa que el automóvil disminuye su valor en $2000 tan pronto empieza a ser conducido y que luego su valor decae a una tasa de $0,10 por kilómetro. El costo promedio de operación, expresado en dólares por kilómetro, se estima mediante la función
O x 0,0000003x 0,15
Determinar el número de kilómetros que el automóvil debería recorrer antes de ser reemplazado, si el objetivo es minimizar la suma de los costos promedios de capital y de operación. SUGERENCIA: con la información dada formule la función de costos y luego aplique la derivada.
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IV.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (5,0 puntos)
La siguiente noticia sobre algunas medidas que tomó el gobierno peruano ante la caída del precio del petróleo apareció en el diario el Comercio del día Jueves 08 de enero del 2015.
Suponga que las curvas de demanda y oferta del mercado de gasolina vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expresiones: QXD 250 40PX y QXS 10PX . Se requiere: a) Calcule el excedente del consumidor y del productor en el equilibrio de este mercado y refléjelos gráficamente. b) El Gobierno, con el propósito de reducir el consumo de gasolina, establece un impuesto de S/. 7,00 por unidad vendida. Calcule el nuevo equilibrio del mercado y represéntelo gráficamente.
SUGERENCIA: grafique las curvas de demanda y oferta en un mismo plano. Halle el punto de equilibrio y calcule los excedentes usando la integral definida.
SOLUCION:
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1. MINICASO: RENTAR UN AUTOMOVIL
(4,0 puntos)
A continuación se analiza el problema que tiene una compañía que debe asignar un automóvil a sus representantes de ventas para uso oficial. Con la finalidad de simplificar el problema, suponga que sólo se tiene un representante de ventas. Entonces, la compañía tiene que decidir entre comprar o rentar un automóvil. Después de analizar diferentes propuestas de empresas automotrices, la compañía considera que la elección debe hacerse entre las dos siguientes opciones. c) Comprar un automóvil con un desembolso inicial de $60,600, más 24 pagos mensuales fijos de $4,700 cada uno; éste incluye el pago de un seguro para automóvil. Al término de los 24 meses, el automóvil se puede vender en $70,000, a éste se le conoce como valor de rescate. d) Rentar un automóvil, por $3,000 mensuales, más $0.60 por kilómetro recorrido y un pago único de $5,000 por concepto de seguro para automóvil con vigencia de dos años.
La empresa considera que, en promedio, su representante viaja 2,000 kilómetros al mes, y esto no cambiará en los próximos dos años. En tal situación, la empresa debe calcular el costo en ambos planes y decidirse por aquel que le arroje un costo menor a lo largo de los dos años. Con base en lo anterior, al hacer el cálculo al final de los tres años, 36 meses, el plan A implica un gasto de $103,400; mientras que en el plan B el gasto asciende a $105,800. Por lo que debería elegir el plan A. No obstante, si el precio por kilómetro aún se puede negociar, ¿a partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? SUGERENCIA: revise los métodos de resolución de inecuaciones. Analizando en caso de una compra: Cuota inicial: 60600 Pagos mensuales: 24 * 4700 Valor de rescate: 70000 60600 + 24*4700 -70000 =103400 Analizando en caso de renta: Cuota por los 24 meses: 3000 *24
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Recorrido durante 24 meses: 0,60 *2000 *24 Pago de seguro: 5000 3000 *24 +0,6 *2000 *24 +5000 Se quiere saber cuánto es lo que debe bajar el precio por galón para que sea una mejor opción que la compra: 60600 + 24*4700 -70000 > 3000 *24 +X *2000 *24 +5000 (Se ha reemplazado el valor por galón por una incógnita) Resolviendo: 103400 - 72000 -5000 > +X *2000 *24 (103400 - 72000 -5000)/ (2000*24) > +X 0,55 > X Respuesta: ¿A partir de qué precio por kilómetro es mejor el plan B que el plan A? Si el precio por kilómetro baja a menos de 0,55, entonces el plan B es mejor que le plan A. 2. Determinar si la función es continua o discontinua. En tal caso, los valores de x para los cuales la función es discontinua:
(2,0 puntos)
Una tienda por departamentos establece para sus empleados de ventas un incentivo (en cientos de soles) en relación con el valor x (en cientos de soles) de lo vendido por cada uno. Dicho incentivo sigue la función:
0,02 x, si 0 x 100 I x 50 x , si x 100 3x 3400 Se requiere: c) Establecer si el incentivo recibido por un empleado es sensiblemente distinto si el valor de las ventas es ligeramente superior o inferior a 10 000 soles.
Para eso veamos los valores que obtiene X cuando se acerca a 100 Lim(x-100) I(x)= 0,02X Lim(x-100) I(x)= 0,02(100) Lim(x-100) I(x)= 2
Lim(x+100) I(x)= {(50x)/(3x+3400)} Lim(x+100) I(x)= {(50(100))/(3(100)+3400)} Lim(x+100) I(x)= {(5000)/(300+3400)} Lim(x+100) I(x)= {(5000)/(3700)} Lim(x+100) I(x)= 1,35
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Si el valor es ligeramente inferior a 10´000 el empleado llegara a recibir un incentivo de S/ 200 Si el valor es ligeramente superior a 10´000 el empleado llegara a recibir un incentivo de S/ 135
d) Graficar la función I.
0,02 x, si 0 x 100 I x 50 x , si x 100 3x 3400 + 4
3 2,5 2 1,35 1
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 +
Determinar si la función es continua o discontinua. En tal caso, los valores de x para los cuales la función es discontinua: La función es discontinua en X= 100
3. APLICACIONES DE LA DERIVADA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (2,0 puntos) 4. Administración de playas.
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Una comunidad, situada en una zona vacacional del sur de Lima, está tratando de escoger una tarifa de estacionamiento que fijara la playa del distrito. En la zona hay otras playas, y todas ellas compiten por atraer a los bañistas.
El municipio ha optado por la siguiente función que expresa el número promedio de automóviles por día q en términos de la tarifa de estacionamiento p expresada en centavos. q 6000 12 p . Se requiere: d) Determinar la tarifa que debería cargarse para maximizar los ingresos diarios de la playa. Para esto entonces la función objetivo es: F(x)= p*q F(x)= p*(6000 -12p) F(x)= 6000p -12p^2 Derivando F(x) e igualando F(x) a cero 0 = 6000 -24p p = 250 Entonces la tarifa que debería establecerse para maximizar lo ingresos diarios es 250 centavos e) ¿Cuál se espera que sea el máximo ingreso diario de la playa? Reemplazando en F(x)= p*q F(x)= p *(6000 -12p) F(x)= 250 *(6000 -12 *250) F(x)= 250 *(3000) F(x)= 750´000 Entonces el máximo ingreso de la playa 750´000 centavos f)
¿Cuántos automóviles se esperan en un día promedio?
q 6000 12 p q = 6000 -12(250) q = 6000 -3000 q = 3000 Entonces la cantidad de automóviles que se esperan en un día promedio es 3000 unidades 10TA20152DUED
5. MINICASO: SUSTITUCIÓN DE EQUIPO
(5,0 puntos)
Una decisión que afrontan muchas organizaciones es determinar el momento óptimo para reemplazar equipo importante. Los equipos principales se caracterizan a menudo por dos componentes de costos, costo de capital y costo de operación. El costo de capital es el costo de compra menos su valor de salvamento. Si una máquina cuesta $10000 y luego se vende en $2000, el costo de capital es de $8000. El costo de operación comprende los gastos de poseer y mantener un equipo. La gasolina, el aceite, los seguros y la reparación son costos asociados a la posesión y operación de un vehículo y pueden considerarse como costos de operación. Algunas organizaciones se concentran en el costo promedio de capital y en el costo promedio de operación cuando determinan el momento de sustituir un equipo. Esos costos tienden a compensarse mutuamente. Esto es, cuando uno aumenta el otro disminuye. El costo promedio de capital de un equipo tiende a disminuir con el tiempo. En el caso de un automóvil nuevo cuyo valor decrece de $12000 a $9000 en el primer año, el costo promedio de capital por año es de $3000. Si el valor del automóvil disminuye en $2000 al cabo de cinco años, el costo promedio de capital será
$12000 $2000 $10000 $2000 por año 5 5 El costo promedio de operación tiende a incrementarse con el tiempo, a medida que el equipo pierde eficiencia y se requiere más mantenimiento. Por ejemplo, el costo promedio anual de operación de un automóvil tiende a elevarse a medida que el automóvil envejece. Una compañía de taxis de una gran ciudad quiere determinar cuánto tiempo debería conservar sus taxis. Cada taxi viene totalmente equipado a un precio de $18000. La compañía estima que el costo promedio de capital y el costo promedio de operación son una función de x, o sea el número de kilómetros que recorre cada unidad. El valor de recuperación (salvamento) del automóvil, en dólares, se expresa mediante la función
S x 16000 0 ,10 x
Ello significa que el automóvil disminuye su valor en $2000 tan pronto empieza a ser conducido y que luego su valor decae a una tasa de $0,10 por kilómetro.
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El costo promedio de operación, expresado en dólares por kilómetro, se estima mediante la función
O x 0,0000003x 0,15
Determinar el número de kilómetros que el automóvil debería recorrer antes de ser reemplazado, si el objetivo es minimizar la suma de los costos promedios de capital y de operación. SUGERENCIA: con la información dada formule la función de costos y luego aplique la derivada.
Costo de capital = costo de compra – salvamento Precio de compra = 18000 Salvamento = 16000 - 0,10x Costo de operación = 0,0000003x + 0,15 Determinar el valor de x Objetivo MIN: costo capital + costo de operación Costo de capital = 18000 – (16000 – 0,10x) Entonces: MIN: 18000 – (16000 -0,10x) + (0,0000003x + 0,15) MIN: 2000 +0,1x + 0,0000003x +0,15 MIN: 2000,15 + 0,1000003x Igualando a 0 = 2000,15 + 0,1000003x (- 2000,15 )/ 0,1000003 = x X= 20´001.44 km
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6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA (5,0 puntos) La siguiente noticia sobre algunas medidas que tomó el gobierno peruano ante la caída del precio del petróleo apareció en el diario el Comercio del día Jueves 08 de enero del 2015.
Suponga que las curvas de demanda y oferta del mercado de gasolina vienen dadas, respectivamente, por las siguientes expresiones: QXD 250 40PX y QXS 10PX . Se requiere: c) Calcule el excedente del consumidor y del productor en el equilibrio de este mercado y refléjelos gráficamente. d) El Gobierno, con el propósito de reducir el consumo de gasolina, establece un impuesto de S/. 7,00 por unidad vendida. Calcule el nuevo equilibrio del mercado y represéntelo gráficamente.
SUGERENCIA: grafique las curvas de demanda y oferta en un mismo plano. Halle el punto de equilibrio y calcule los excedentes usando la integral definida.
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El excedente del consumidor es el área de color verde El excedente del productor es el área de color naranja
q 250 240 230 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
p
Calculando el punto de equilibrio Qd = 250 - 40p Qs = 10p Entonces igualando 250 -40p = 10p 250 = 50p P= 5 ∫ 05 = 10p ∫ 05 = 5p^2 ∫ 05 = (5(5)^2) - (5(0)^2) ∫ 05 = (5(5)^2) ∫ 05 = 625
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