UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL PROFESOR: Ing. Horacio Urteaga Becerra CURSO: An!i"i" Mate#tico I ALUMNA: Mac$%ca Ronca! Si!&ia Cata!ina R%'a" C$&e( Dann) Sta!) Snc$e( Ca"ano&a Cri"t$ian Ro!an'o CICLO: Seg%n'o
CA*AMARCA + AGOS,O DEL -+/
3. Determinar el punto de la gráfica de la función f (x)= Lnx , donde la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1).
1. !allamos !allamos la pendiente pendiente de la cuerda con los puntos puntos dados"
m=
y − y 1 x − x 1
m=
0−1 1− e
m=
1
e −1
#. (1)
$. La recta tangente tangente es paralela a la cuerda por lo que tienen tienen la misma pendiente, pendiente, por lo tanto %allamos la deri&ada de la función f(x) que es equi&alente a la pendiente 'm de la recta tangente" '
1
f ( x x )= .. … ( 2) x . *gualamos *gualamos los &alores &alores de (1) y ($), m= f+ (x) para poder poder encontrar encontrar el punto de la recta tangente (x , y) 1
=
1
x =e −1
e −1 x
ara %allar el &alor de 'y solo se reempla-a el &alor de 'x en la función f(x)
y = ln ( e −1 ) . !allamos !allamos la ecuación de la recta tangente tangente para poder graficarla" graficarla" ( e/1 , ln(e/1) ) ' ' y = y ' −f ' ( x )( x − x )
y = ln ( e− 1 )+
x e −1
−1
1. !allamos !allamos la pendiente pendiente de la cuerda con los puntos puntos dados"
m=
y − y 1 x − x 1
m=
0−1 1− e
m=
1
e −1
#. (1)
$. La recta tangente tangente es paralela a la cuerda por lo que tienen tienen la misma pendiente, pendiente, por lo tanto %allamos la deri&ada de la función f(x) que es equi&alente a la pendiente 'm de la recta tangente" '
1
f ( x x )= .. … ( 2) x . *gualamos *gualamos los &alores &alores de (1) y ($), m= f+ (x) para poder poder encontrar encontrar el punto de la recta tangente (x , y) 1
=
1
x =e −1
e −1 x
ara %allar el &alor de 'y solo se reempla-a el &alor de 'x en la función f(x)
y = ln ( e −1 ) . !allamos !allamos la ecuación de la recta tangente tangente para poder graficarla" graficarla" ( e/1 , ln(e/1) ) ' ' y = y ' −f ' ( x )( x − x )
y = ln ( e− 1 )+
x e −1
−1
6. Dada la función
f ( ( x )=
2 x
2
l ongitudes de los segmentos tangente, x 2+ 1 , %alle las longitudes
sutangente, normal y sunormal, a la gráfica de f de f , en el punto (1,1). alcule la deri&ada por definición. *nterprete *nterprete geom2tricamente, determinando determinando pre&iamente la as3ntota %ori-ontal y &alores extremos relati&os.
2 f ( x )= 22 x ( x + 1
a. !allamos !allamos la pendiente pendiente de la recta recta tangente tangente en el el punto punto (1,1) (1,1) que es igual igual a la deri&ada de función f(x)"
f ( ( x )=
2 x
x
2
( ¿ ¿ 2 + 1 )2 =m
2 x + 1
'
Para x=1
4 x
f ( x ) = ¿
m=1 b. hallamos las longitudes de los segmentos tangente, subtangente, normal y subnormal:
4egmento sutangente"
4t 4e sae que"
tgθ = m
Λ
=
yo = 1 4t = 1
4egmento tangente"
t =√ St St 2− yo 2
4e sae que" 4 t = 1
yo = 1
Λ
√2
t=
4egmento sunormal"
Sn = yo .
4aemos que" y0 = 1
Λ
tgθ = m 4n = 1
4egmento normal" n= 4aemos que" yo = 1
Λ
4n = 1
2
2
n=
√2 2
2 x c. alculamos la deri&ada por definición" f ( x )= x + 1 2
d. calculando &alores extremos relati&os, para lo cual se %alla la deri&ada de la función y se lo iguala a cero"
'
f ( x )=lim h0
f ( x 0 + h )− f ( x0 ) h x 0+ h
¿ ¿ ¿ 2+1 ¿ ¿ 2 2 ( x 0 + h ) ¿ ¿ ' f ( x )=lim ¿ h0
x0 + h
¿
¿ ( x 02+ 1 ) ¿ ¿
x < 0 ; f ' ( x ) < 0 e.
x > 0 ;f ' ( x )> 0
!allamos la as3ntota %ori-ontal, para esto %allamos el l3mite de x cuando tiende al infinito tanto por la derec%a como por la i-quierda.
or lo tanto $ es la as3ntota %ori-ontal.
f. *nterpretación geom2trica"
2 x
2
f ( x )= 2 x + 1
9. 5res ciudades están situadas en los &2rtices de un triángulo isósceles. Las ciudades 6 y , que distan entre si 17 millas, están situadas en la ase8 en tanto que 9 es el tercer &2rtice y a una distancia de 10 millas de la ase. :9 qu2 distancia de 9 sore la altura del triángulo se dee uicar una instalación de omeo, de manera que se emplee la menor longitud de tuer3as, para aastecer de agua a las tres ciudades;
d = √ x 2+ 64
Longitud total de tuer3as" l ( x )=10 − x + 2 √ x 2+ 64
Deri&amos la función e igualamos a cero, de modo que %allamos los extremos relati&os y encontramos posiles &alores para x" 2 x
√ x 2 + 64 1 ' l ( x )=−1+ 2 ( )¿
)
2
'
l ( x )=
2 x − √ x
2
+ 64
√ x +64 2
=0
4 x
2
= x 2 + 64
3 x
2
=7
x =±
8 √ 3 =4,6 3
x =
ara x <
−8 √ 3 3
−8 √ 3
3
< x <
ara
x =
x >
→
3
−8 √ 3
+8 √ 3 3
+8√3
3
→
3
< x <
l' ( x )< 0
→
l' ( x )< 0
podemos anali-ar"
3
+8 √ 3
−8 √ 3
podemos anali-ar "
+8 √ 3 3
l' ( x )> 0
→
l' ( x )< 0
¿A qué distancia de A sobre la altura del triángulo se debe ubicar una instalacin de bombeo, de manera que se em!lee la menor longitud de tuber"as, !ara abastecer de agua a las tres ciudades# Respuesta: la distancia a la que la instalacin de bombeo debe
de estar ubicada es de 1$%x = &.'
12.
Dada la función ()x* = senx + mx, haciendo uso del !rograma derie, calculamos el !olinomio de -aylor: de grado , en el entorno o !unto x = /, y !ara la ariable x.
Luego reempla-amos el &alor de y en el &alor otenido"
ara lo cual senx = mx, %allamos el &alor de x"
4e pudo demostrar lo que se planteó en el prolema.
or >ltimo grafiquemos la funciones" grafiquemos y = senx, y = mx y la recta x=π. 1
1
y =mx , para &alores de m que son positi&os y cercanos a cero" m= , 10 100
15. ?l costo de pedido y transporte, de componentes utili-adas para un proceso de 1 x = ( + ) C x 10 ( ) faricación, es aproximadamente" x x + 3 , donde se mide en miles de
dólares y x es el tama@o del pedido en cientos. 4eg>n el teorema de Aolle, el ritmo de camio de C dee ser 0 para alg>n tama@o del pedido, en el inter&alo B,7C. !allar ese tama@o.
iden %allar el tama@o de pedido en cientos, para lo cual %allamos la deri&ada de la función costo, que ser3a %allar los &alores extremos relati&os"
C ( x )=
10
x
+
10 x x + 3
C ' ( x )=
'
C ( x ) =
−10 x 2
−10 x
2
+
+
10 ( x + 3 )−10 x ( 1)
( x + 3 )2 30
( x + 3)2
−10 ( x + 3 )2+ 30 x 2 C ( x ) = ( x2 )( x + 3 )2 '
2
−10 x −60 x −90 + 30 x C ( x ) = ( x )( x + 3 )
2
'
2
'
C ( x ) =
10 ( 2 x
2
2
−6 x − 9) =0 ( x )( x + 3 ) 2
2
( 2 x2 −6 x −9 ) =0 Se a!lica la (rmula general debido a que no se !uede (actori4ar: 0es!uesta: el tamao medido en cientos es ',$2 debido que luego de haber resuelto la ecuacin este es 3nico alor !ositio.
( ) −1
+¿
2
18. Demostrar que"
e x =0 para cualquier n x
lim x→ 0
−1 ¿
n ∈ Z . 4i"
f ( x )=e x
2
,
utilice el l3mite anterior para demostrar que los l3mites de f y de todas sus deri&adas, cuando x tiende a cero, son cero.
( ) −1
+¿
2
a. Demostrando que
lim x→ 0
e x =0 para cualquier n x
n ∈ Z ¿
( )( ) −1
−1
2
2
x
e e0 0 = n = = Indeterminado lim n 0 x→ 0 x 0 9plicamos L+!opital,
( ) −1 2
or %ipótesis"
lim x→ 0
e x x n
( ) −1
d x e dx =lim d n x → 0 x dx
2
( ) −1
d x e dx 9nali-ando lim d x→ 0 x n dx
2
( ) ( ) −1
−1
2
x 2∗e −1 −1 d x e 3 x 2∗e 2 dx x e x = lim =lim = lim n+ 2 lim d n x →0 n x n− 1 x→ 0 n x n+ 2 n x →0 x x→ 0 x dx 2
( ) ( ) 2
2
+¿ +¿ → (n + 2 ) ∈ Z ¿ n ∈ Z ¿ or %ipótesis tenemos"
( ) −1 2
e x lim n x→ 0 x
( ) ( ) −1
−1
−1 d x d x e e dx dx 2 e x =lim = lim n +2 y lim d n x → 0 d n n x→ 0 x x → 0 x x dx dx 2
2
( ) 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −1
−1
x2
2
e 2 e x = lim n +2 ?ntonces podemos igualar lim n n x→ 0 x x→ 0 x −1 2
e x = L 9demás, saemos por teor3a que lim n x→ 0 x −1
−1
x2
2
e 2 e x = lim n +2 lim n n x→ 0 x x→ 0 x 2
L= L n De la premisa anterior se puede deducir que
n =2 , pero la premisa nos indica
que puede ser cualquier n>mero entero positi&o entonces se descarta esta posiilidad. tra posiilidad de que esta igualdad se cumpla es que" ?ntonces podemos concluir que L=0 .
( ) −1 2
e x = 0 L = L , se concluye que" 4i y lim n x→ 0 x
( ) −1 2
lim x→ 0
e x =0 n x −1
. !allamos la 1 y $ deri&ada de −1
f ( x )=e x
2
−1
f ' ( x )=
2∗ e
2
x
x 3 −1 2
' '
f ( x )=
2
−2∗ e x ( 3 x −2 ) x
6
f ( x )=e x
2
L=0
!allamos"
lim f ( x ) , lim f ' ( x ) , lim f ' ' ( x ) x→ 0
x→ 0
x→ 0
, ayudándonos del l3mite dado en la
premisa.
−1
lim x→ 0
f ( x ) =lim e
x
2
x→ 0
−1 x
−1
2
2
e e x = lim ∗ x =lim ∗lim x =0∗0 =0 x → 0 x x→ 0 x x → 0 −1
lim
f ' ( x ) =lim
x→ 0
x→ 0
−1 x
lim f ' ' ( x )=lim
x→ 0
x→ 0
2∗ e
x
3
−1
2
x
2
=2lim x → 0
e x x
3
=2∗0= 0
−1
2
2
−2∗e ( 3 x − 2) 6
x
omproamos as3, que
2
e x =−2lim 6 ∗ lim ( 3 x2− 2 )=(−2 )∗( 0 )∗(−2 )=0 x → 0 x x → 0
f ( x ) y todas sus deri&adas son 0.
21. La altura de un oEeto, t segundos despu2s de deEarlo caer desde una altura de F00 m 2 es S ( t )=−4.9 t + 500
a) alcular la &elocidad media, del oEeto, durante los primeros segundos. ) Gerificar, gracias al teorema del &alor medio, que en alg>n momento de esos primeros segundos, está cayendo a una &elocidad igual a la &elocidad media antes calculada. :?n qu2 instante ocurre eso;
arte a" &elocidad media, durante los primeros segundos (0,). m=
S −S t f ( t )− f ( t 1) = t −t 1 t −t 1 0
¿ ¿
3
¿ −4,9 (¿¿ 2 + 500 ) ¿ −4,9 ¿ m=¿ m =−14,7
m !
arte " en alg>n momento de esos primeros segundos, está cayendo a una &elocidad igual a la &elocidad media. :?n qu2 instante ocurre eso;
2
S ( t )=−4.9 t + 500 ?cuación equi&alente a la altura, que deri&ándola es igual a la &elocidad" 1 ' S ( t )=−9.8 t = m
−9,8 t =−14,7
t =1,5 !eg
24. Hn puente de ferrocarril está uicado a 8 m por encima de un r3o. Hna persona a ordo de un tren, que &iaEa a una &elocidad de 100 Km/h, pasa por el centro del puente en el momento en que otra persona pasa por deaEo del centro del puente, en una lanc%a de motor que &a a 30 Km/h. :9 qu2 &elocidad se aleEan las dos personas 10 segundos despu2s;
omo nos dan el tiempo en segundos, necesito que las &elocidades tami2n est2n en las mismas unidades. Gelocidad del tren,
"m 250 m = t =100 h 9 !
Gelocidad del ote,
b =30
"m 50 m = 6 ! h
Llamando el punto (0,0) el punto en el que el ote y el tren se encuentran, %allemos las coordenadas para amos &e%3culos" 50 t =( bote ,0) t ara el ote en un tiempo t" 6
ara el tren en un tiempo t"
trent =(
−250 t 9
,8)
La distancia entre amos &e%3culos, aplicando la distancia entre dos puntos, es"
(
50 t − 6
)
−250 t 9
¿ ¿ (¿ 2 ¿)+(0− 8)2 [ d ( t ) ]2=¿ 325 t 9
¿ ¿ ¿ d ( t )= √ ¿
La deri&ada de la posición, en este caso de la distancia entre amos &e%3culos es igual a la &elocidad" 325 t 9
¿ ¿ (¿ 2 + 64 ¿¿) √ ¿
2
( t )( ) 325 9
325 9
¿ 1 ' d ( t )= ( t )= ¿ 2
Ios piden :9 qu2 &elocidad se aleEan las dos personas 10 segundos despu2s;
=
m
(
)
t =− ln tg + co!t , y =a ( !ent ) x a 27. Jostrar que la e&oluta de la tractri-" es una 2 catenaria.
tg
t
¿ ¿
1.
2
ln (+ co!t ¿ )
x =−a ¿ y = a ( !ent ) 2
( x ' ) + ( y ' )
2
'
]( y ) x # = x −[ ' '' ' ' ' − x y y x
y # = x +[
'
x =−a
(
( x' )2 +( y ' )2 '
' '
x y − y x $ t
1 2
' ' '
2
( !ec ) 2
tg
t
]( x' )
)
−!ent =−a
2
'
y = a ( co!t )
(
1
)
− !ent =−a ( c!ct −!ent )
!ent
y '' =− a ( !ent )
x =−a ( (−c!ct ) ( co!t )−co!t ) =a ( co!t )( c!c t + 1 ) ''
9%ora el &alor J será" 2 2 2 2 2 a ( c!c t −2 + !en t ) + a cos t $ = 2 2 2 2 2 a ( 1− !en t ) + a cos t ( 1 + c!c t ) a2 ( c!c2 t −1) =−1 $ = 2 2 a cot t
2
Luego"
( )
x # = x + y' =− aln tan
1 2
−a ( co!t ) + a ( co!t )=−aln
( ) tan
1 2
'
y # = y − x = a ( !ent ) + a ( c!ct )− a ( !ent )=a ( c!ct ) 9%ora" ln ( cot
x
t
e =e
2
)
= cot
() t 2
− x
e
a
t
=tan ( ) 2
?s decir"
a 2
(e + e )= a ( x a
− x a
2
Luego"
y =
tan
a 2
() () t 2
+ cot t )= a = a ( c!ct )= y 2
!ent
( e + e ) …%C&#(&)I& x a
− x a
30. 4e deEa caer una pelota desde lo alto de un edificio de h metros de altura. 9l mismo tiempo se arroEa %acia arria una segunda, desde el ni&el del suelo, en un punto que está directamente deaEo de la primera. :Ku2 &elocidad dee darse a la segunda pelota, para que se encuentren en el punto medio, a una altura de h/2;
ara la pelota 1"
*=−mg
1) La >nica fuer-a que act>a sore esta es el peso" $) or la segunda ley de Ieton se tiene que"
+ =ma or análisis se tiene
que la deri&ada de la posición respeto al tiempo es la &elocidad, y la deri&ada de &elocidad es la aceleración, a lo cual se puede saer que la aceleración es la segunda deri&ada de la posición. ∗
!i t =0 y (0 )=h … ,
∗
!i t =0 y ' (0 )= 10= 0 … 2
d y + =ma + = m … ( I ) 2 d t
d 2 y + = *−mg =m 2 d t 2
d y −g = 2 d t
) Aesol&emos la ecuación (**).
5e la ecuacin obtenida en
( ) sabemos:
!i y (0 )=h t =0 ∴ C 2
=h y reem.a/andoen ( 0 ) obtenemo! :
−g =
d dt
4e integra con respecto al tiempo
−g ∫ dt =∫ d −¿+ C = … ( III ) 1
De la relación ∴ C 1
( - ) saemos que
=0 y .odemo! obtener dy = 4aemos que dt
−¿=
!i t =0 y ' (0 ) = 10=0
−¿= … ( I0 ) , reempla-amos en (IV)
dy dt
−¿ ( dt )= dy *ntegramos respecto al tiempo"
−g t ( dt )= dy
ara la pelota $ tenemos" 1. La fuer-a que act>a sore esta será el peso" *=−mg $. or la segunda ley de Ieton tenemos"
+ =ma
or análisis se tiene
que la deri&ada de la posición respeto al tiempo es la &elocidad, y la deri&ada de &elocidad es la aceleración, a lo cual se puede saer que la aceleración es la segunda deri&ada de la posición. ∗
La posición de la pelota en el eEe y estará en función a y(t), de a%3 otenemos"
!i t =0 y (0 )=0 … 1 !i t =0 y ' (0 )= 20= " … 2 2
d y + =ma + =m … ( 1) 2 d t
d 2 y + = *−mg =m 2 d t 2
−g =
d y 2
d t
. Aesol&emos la parte (1)"
−g =
d dt
4e integra con respecto al tiempo
−g ∫ dt =∫ d −¿+ C 3 = … (0II )
5e
(2)
se tiene:
!i t =0 y ' (0 )= 20= "
−¿+ C 3 = ∴ C 3="
0eem!la4amos en
( 0II ) :
−¿+ " = … ( 0III ) !abemo! 34e = 0eem!la4amos en
dy dt
( 0III ) y tenemos:
−¿+ " =
dy dt
(−¿+ " ) dt =dy 6ntegramos con res!ecto al tiem!o:
(−¿+ " ) dt =¿ ∫ dy ∫¿ t 2
−g + "t + C 4= y … ( I5 ) 2
5e la ecuacin
!i t =0 y (0 )=0
( 1 ) !e tiene :
4 =¿ 0 reem.la/ando en ( I5 ) tenemo! : ∴ C ¿
t 2
−g + "t = y … ( 5 ) 2
5e acuerdo a lo que se !ide en el e7ercicio, que es que ambas bolas se encuentren a la altura de h8, la !osicin res!ecto a y=h8. Se iguala las ecuaciones (VI) y (X): 2
2
t
t
2
2
−g + h=− g + "t h h ="t " = … ( 5I ) t
33. 9plicando la definición de integral de Aiemann calcular" 2
a ¿∫ x e dx x
0
1) *nterpretación
c
¿ c ¿ i∗e (¿¿¿) 6i x…% (1 ) ¿ i
n
¿ ∑ =
$) or definición"
i 1
x
x∗e dx = lim ¿ n→7 2
∫¿ 0
) !agamos una partición regular sore B08$C8 luego"
6 x=
2−0
n
=
2
n
x 0=0, x1 =1 6 x , x2 =2 6 x , … … , xi =i 6 x , … % , x n= n 6 x ) !agamos un refinamiento 5 de definido por"
={c i = x i / i =1,2,3, … , n }
F)
ci
f ( c i)= f ( x i )=c i∗e
7) Aempla-ando en (1)"
c
¿ c ¿ i∗e (¿¿ ¿) 6i x ¿ i
n
¿ ∑ = i 1
x
x∗e dx = lim ¿ n→ 7 2
∫¿ 0
2i
n
∗e 2i / n
¿ (¿¿ ) 2 n
n
¿ ∑ = i 1
x
x∗e dx = lim ¿ n→ 7 2
∫¿ 0
i∗e 2
i/n
(¿ ¿)
4 2
n
n
¿ ∑ = i 1
¿ lim ¿ n→ 7
¿ lim n →7
4
n
2
[S ]
2 /n
4 /n
6/ n
2n
8/ n
S = e + 2 e + 3 e + 4 e + … + n e n … (1 ) 2
4
6
8
2 n+ 2
10
S∗ e = e + 2 e + 3 e + 4 e + … + n e n
n
n
n
n
n
…(2 )
MAestamos" 2
2
4
6
8
2n
S∗e − S =−e − e − e − e −…− e n + n e n
n
n
n
n
( 2 n+ 2 )/ n
S ( e n −1 )=n e
n
2n
2
( 2 n+ 2 )
2
e ( e n −1 ) e2 /n −1 n
−
e e (¿ ¿ 2 / n−1 )2 2
2n
e ( e n − 1) n
(¿ ¿ 2 / n −1)−
¿
( 2 n+2 )
S=
L= lim n→7
L= lim n→7
¿
n2
[ [
n→ 7
n
n
4e
n
2
2
2
n
n
∗ e −1 −e
+2
2
+e n
2
2
n
4 n∗e
n2
( ) ( e −1 )
2
2+
4 n∗e
2
L= lim
n
ne
2
2+
n
−n e
2+
2
2
n
n
−e
+ 2
2
+ en
(e −1 )
2
2
n
[
n∗e
2+
2
n
2
−( n + 1 ) e + 1
(e − )
2
2
n
1
]
… ( 1)
( n ) →e =( + n )
Comon ⟶ 7 : e = lim 1 + n→ 7
]
]
1
2
n
n
1
1
2
90eem!la4ando en ) 1 ¿
( n)
4∗ 1+
L= lim n→7
2
n
1
2
[
2
( n) (( + n ) − )
n∗e ∗ 1 + 1
1
2
1
−( n +1 ) e2 + 1 2
2
1
]
( )
4∗ 1+
L= lim
1
2
n
2
n
n→ 7
L= lim n→7
[
2
(
2
1
)
2 2
2
n∗e ∗ 1 + + 2 −n e −e + 1 n n
4∗( n + 1 )
( ) 2
n
2
( 2 n + 1 )2
e2 2
(¿+1 + e )= 1∗( e2 +1 )= e2 + 1 n 2 n+1 = lim ¿ L= lim 4∗ 2 n+1 n→7 n→ 7
[ ( )]
[
+
1
2
2
n
]
e2 n ¿ e + 2 e + − n ¿ e2 + 1 n 2
2
]
7. Aesol&er" 1
dx √ e 2 x + 4 e x − 4
a ¿∫ 0
1) or sustitución de &ariales tenemos" x
4= e
ara x=0 Nu=1
x
d4 =e dx
dx =
d4 x e 1
dx = d4 4 ln 4= x
e
∫ 1
ara x=1 N u=e
dx 4 √ 4 + 4 4 −4 2
$) 9%ora tenemos" 1
4
=t
dt =
−1 42
ara u=1 N t=1
d4 2
d4 =−4 dt -
ara u=e N t= e
−1
−1
e
−dt
∫ 1
√
1
2
1
t ( ) + 4 − 4 t t
−1
e
dt √ 1+ 4 t − 4 t 2
−∫ 1
−1
e
dt
−∫
√ 2−( 2 t −1 )
2
1
arc!en
−1 2
e
−1
∫ 1
2 t −1
√ 2 2 dt
−1
¿1e
= 2 √ 2−( 2 t − 1 ) −1
1
¿− [ arc!en
2 e
−1
√ 2
2
2
2
−arc!en
1
2− e
2
e √ 2
−arc!en
−1
√ 2
2 4
2
¿+ 8 8
2 2
2
2
]
+ ( )
√ 2−√ 2 )
+
8 8
e √ 2 2
√ 2
√ 2 1 8
−1
¿
√ 2
2
−arc!en ( e−1 √ 2− √ )
arc!en ( e −2 )
1
1
−1
(2 e 1 ¿− arc!en 2
2 ( 1 )−1
1
+ arc!en
( 2 −e ) e 1 ¿− arc!en 2 2
¿
¿
−1
1 e ¿− [ arc!en 2 √ 2
¿− arc!en
−1
+ 8 8
]
2
x −4 ¿ 2 ∨¿ x −25 3
b¿
∫¿ −3
1) !allamos los puntos cr3ticos para saer el signo dentro de las arras"
( x +2)( x −2) =0 ( x + 5)( x −5)
%
%&
%
%
Luego tenemos" B/8C = B/8 /$C H B/$8$C H B$8C 3
2
2
3
x 2− 4 x 2− 4 x2− 4 x 2− 4 ∫ ¿ x2−25 ∨ dx =∫ ¿ x 2−25 ∨ dx +∫ ¿ x 2−25 ∨dx +∫ ¿ x2 −25 ∨dx 2 −3 −3 −2
2
2
2
3
2
2
x −4 x −4 x − 4 ¿− 2 dx + dx − dx #.(1) 2 2 2 x − 25 −3 x −25 −2 x −25
∫
∫
∫
$) Aesol&iendo la integral" 2
x 2−4 ∫ x2−25 dx −3
=
x
2
∫ x −25 dx− 4 ∫ x dx −25 2
2
!acemos camio de &ariale para la primera parte de la integral"
x =5 4 dx =5 d4 !acemos camio de &ariale para la segunda parte de la integral" x =5
dx =5 d Aempla-amos los &alores en sus respecti&as integrales" 2
( 5 4 ) ∗5 d4 5 d − 4∫ ∫ = ( 5 4) −25 ( 5 ) −25 2
∫
=
5
=
5
2
4 d4 4 − 2 4 −1 5
2
∫ d−1 2
∫ ( 4 1−1 + 1) d4 − 45 ( 12 ln ( −+11 )) 2
d4
=
∫ 4 1−1 +∫ ¿
=
1 4 −1 5 ( ln 2 4+ 1
2
¿ 5¿
( )
( )
− + 4 )− 4 ( 1 ln 1 ) 5 2 +1
( ) x
=
−1
−1 4 1 5 + )− ( ln 5 5 2 x +1 5
1 5 5 ( ln 2 x +1 5
( )
=
1 x−5 5 ( ln 2 x + 5
=
5 x −5 ln 2 x + 5
( ) x
x
)
( ))
4 1 x−5 ln 5 2 x + 5
+ x )− ( 5
( )+ x− ( x x−+ ) 2 ln 5
5 5
( )
+5 5 2 ( − ) ln x = 2 5 x −5 + x
( )
( 21 ) ln x + 5 + x = 10 x −5
) Aempla-amos en la integral principal" −2
[( ) ( )+ ] +[( ) ( ) ]
= −
21 x + 5 ln 10 x −5
21 x + 5 ln 10 x −5
x
−3
2
( )+ x ]
3
21 x + 5 + x −[( ) ln 10 x −5 −2
2
=
−[
( )(
−[
( ) (− ) ( ) (− )
−[
( ) (− ) (− )
21 ln 10
) ( ) (
−2 + 5 −2−( −2−5
21 ln 10
)
−3 + 5 −3 )]+[ −3 −5
( )( ) ( )( 21 2 + 5 ln 10 2 −5
+ 2−(
21 ln 10
)
(
−2 + 5 + −2 )]−[( 21 ) ln 3 −2−5 10 3−
= 21 10
ln
3
7
−2−(
21
ln
10
2
8
−3 )]+[
( ) (− ) ( ) (− ) 21 10
ln
7
+ 2 −(
3
21
10
ln
3
7
−2 )]−[( 21 ) ln 10
(− ) 8
2
= 21 10
( ln
3
7
− ln
2
8
)+ 1 ]+[
( ) (− ) (− ) 21 10
( ln
7
3
−ln
3
7
)+ 4 ]−[
( ) ( − ) (− ))+ ] 21 10
( ln
8
2
− ln
7
3
1
+ 3−(( 21 10
( ) ( ) ( ) ( ) 21 12 ln 10 7
= −[
+ 1 ]+[
21 49 ln 10 9
+ 4 ]−[
( ) ( )+ ] 21 12 ln 10 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−
= −
21 12 ln 10 7
−1 +
21 49 ln 10 9
+ 4−
= ( )[− ( )+ ( )− ( )]+ 21
ln
10
− 42ln =
5
12 7
( )+ 7 6
2
ln
49 9
ln
12 7
2
21 12 ln 10 7
1
1
39. Desde un gloo, suspendido a una altura de O00 pies, se deEa caer una oma. Directamente, aaEo del gloo, se dispara un proyectil %acia la oma $ segundos despu2s que es deEada caer la oma. :on qu2 &elocidad inicial dee dispararse el proyectil, para que golpee a la oma a una altura de 00 pies; Solución: t" 5iempo total t1" 5iempo cuando se suelta el proyectil a) Para la bomba: 1) Puer-a que act>a sore el oEeto"
*=−mg #.(1) $) 4eg>n la segunda ley de neton"
+ =ma 2
d y + =m 2 #.($) d t ) *gualamos (1) y ($)"
d 2 y −mg=m 2 d t
d 2 y −g = 2 d t
d =−g dt ) *ntegramos"
∫ d =−g ∫ dt
=−¿+ c 1 #..() F) uando &=0 y t=t1Q$=0, entonces" 1=0#..() 7) Aempla-ando () en () tenemos"
=−¿
R) omo la deri&ada de la posición respecto al tiempo es la &elocidad, tenemos"
dy =−¿ #.(F) dt
∫ dy =−g ∫ tdt y =
−g t 2 2
+ c2 #..(7)
O) uando y=O00 y t=0, entonces" $=O00#..(R) Aempla-ando (R) en (7), tenemos"
y =
−g t 2 2
+ 800 #..(O)
b) Para el proyectil: S) Puer-a que act>a sore el oEeto"
=!mg ##(S)
10) 4eg>n la segunda ley de Ieton, tenemos"
+ =ma 2
d y + =m 2 #.(10) d t 11) *gualamos (S) y (10)"
d 2 y −mg =m 2 d t 1
d 2 y −g = 2 d t 1
1$) *ntegramos"
d =− g d t 1
∫ d =−g ∫ d t
1
=−g t 1+ c 1 #..(11) 1) uando &=&0 y
t 1 =0, entonces"
C 1=&0#..(1$) 1) Aempla-ando (1$) en (11) tenemos"
dy =− g t 1+ 0 #.(1) d t 1 1F) *ntegramos"
∫ dy =∫ d t (−g t + ) 1
1
0
y =∫ − gtdt 1 +∫ 0 d t 1 y =
−g t t 12 2
+ 0 t 1 + c 2 t 1 =0
17) uando y=0 y $=0
y =
−g t 12 2
+ 0 t 1 #.(1)
1R) alculamos el tiempo total" 2
400 =
−32 t 2
+ 800
t =5 t =t 1 + 2
1O) Aempla-ando
400 =
−32 (3 )2 2
t 1 = en la ecuación (1), tenemos"
+ 03
0 =181.33 .ie! / !
42. 4ea f dos &eces deri&ale e inyecti&a en un inter&alo aierto *. roar que su in&ersa g
−f ' ' [ g ( x )] ' ' = ( ) g x satisface la relación" {f ' [ g ( x )] }3 . 4i f es creciente y cónca&a %acia aaEo, :Ku2 conca&idad tiene g; Solución: 1) 4i f es creciente en el inter&alo *, entonces" '
f > 0 $) 4i f es cónca&a %acia aaEo en *, entonces" ' ' f < 0
) g(x) es in&ersa de f(n), si"
g o f ( n )=n g [ f ( n )]=n g [ f ( n )]=n
) Deri&amos
g 9 [ f ( n )]∗f 9 ( n)= 1 g 9 [ f ( n ) ] =
1
f 9 ( n) 1
g 9 [ f ( n ) ]= F) Deri&amos f 9 ( n) g 9 9 [ f ( n ) ] =
g 99 [ f ( n ) ]∗ f 9 ( n )=
−f 9 9 ( n ) [ f 9 ( n ) ]2
−f 9 9 ( n ) … … % ( 1) f 9 n ( ) [ ] 3
7) !acemos camio de &ariale" 4i P(n)=x, entonces" gBf(n)C=g(x)=n R) Aempla-amos en (1)"
g 9 9 ( x )=
−f 9 9 ( g ( x ))
[ f 9 ( g ( x )) ]
3
… … (2 )
O) 9nali-amos la conca&idad de g"
−¿ ¿ +¿=+¿ −¿ ¿ −f 99 ( g ( x ) ) =¿ g 9 9 ( x )= 3 [ f 9 ( g ( x ) ) ] ?ntonces g es cónca&a %acia arria"
g 9 9 ( x ) > 0
45. ?l rey y la reina de 5ransil&ania piden caf2. ?l rey le pone inmediatamente una cuc%arada de crema fr3a al caf2, pero no lo toma en ese momento. La reina espera 10 minutos y entonces le pone crema (que está toda&3a a la misma temperatura). ?nseguida amos se toman el caf2.
