Análisis Matemático I – CBC
Lic. Figueroa, María Virginia
FUNCIONES
Ejemplo:
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FUNCIÓN INVERSA
FUNCIÓN LINEAL
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
3
Clasificación de los sistemas lineales:
4
FUNCIÓN CUADRÁTICA
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SISTEMAS MIXTOS
EJEMPLO:
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POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI
8
FACTOREO DE POLINOMIOS
9
TEOREMA DE GAUSS
Una vez que se tienen las posibles raíces se procede a reemplazar en el polinomio original por dichos valores. Aquel valor que anule el polinomio será raíz. Con ese valor se hace Ruffini.
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Ejemplo de casos combinados:
FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR A DOS Una función polinómica es de la forma
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n en donde a0 , a1 , a2 , . . ., an son constantes llamadas coeficientes, y n que es el exponente más alto se llama el grado del polinomio. Observe que las funciones constantes, lineales y cuadráticas son funciones polinómicas de grado cero, uno y dos, respectivamente. El grado n de una función polinómica indica la forma general de su gráfica y determina el número de raíces. Un polinomio de grado n tiene hasta n raíces reales y distintas.
Si queremos determinar, por ejemplo, de cada uno de los siguientes polinomios cuál es el número máximo de raíces reales, nos queda:
f x 4 x 8
f x 5 x 4 3 x 2 2 f x 2 x 3 x 16 7
puede presentar hasta 1 raíz real n = 4 puede presentar hasta 4 raíces reales n=1
n = 16
puede presentar hasta 16 raíces reales
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Ejemplo:
12
De las funciones polinómicas se puede decir que:
El grado representa el número total de raíces que puede tener. Hay diferentes tipos de raíces: imaginarias y reales. Las raíces pueden presentar multiplicidad (se pueden repetir). El grado indica el número máximo de raíces reales que puede tener un polinomio. El término independiente indica la ordenada al origen. La forma general de la gráfica está dada por el grado (par o impar), la multiplicidad de sus raíces y el coeficiente principal.
FUNCIÓN MÓDULO
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Ejemplo:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA Recordemos antes algunas cosas sobre logaritmos… 14
Función logarítimica
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Viene bien recordar algo sobre ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
16
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FUNCIÓN RACIONAL
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Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
FUNCIONES HOMOGRÁFICAS
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Ejemplo:
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
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23
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒄𝒐𝒏ó𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔: Función costo: 𝐶 (𝑥 ) = 𝐶𝑣 ∙ 𝑥 + 𝐶𝑓 , donde 𝐶𝑣 es el costo variable por unidad y 𝐶𝑓 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑔𝑎𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 (𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑙𝑒𝑟𝑒𝑠, 𝑠𝑢𝑒𝑙𝑑𝑜𝑠, 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠, 𝑒𝑡𝑐) 𝐶 (𝑥 ) ̅̅̅̅̅̅ (𝑥 ) = Función costo medio: C 𝑥 Función ingreso: 𝐼 (𝑥 ) = 𝑝 ∙ 𝑥 , donde p es el precio. 𝐼 (𝑥 ) (𝑥 ) = Función ingreso medio: I̅̅̅̅̅ 𝑥 Función beneficio o ganancia: 𝐵(𝑥 ) = 𝐼(𝑥 ) − 𝐶 (𝑥 ) 𝐵(𝑥) Función beneficio medio: ̅̅̅̅̅̅ B (𝑥 ) = 𝑥
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FUNCIÓN LINEAL: Aplicaciones económicas OFERTA Y DEMANDA
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LÍMITES Ejemplo 1. Con la gráfica y una tabla de valores. ¿Qué le sucede a f(x) = x2 + 3 cuando x se acerca a 3? Solución: La figura 1.1 corresponde a la gráfica de esta función. En ella podemos ver que entre más cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f(x) se encuentran más cercanos a 12. La tabla 1.1 de valores refuerza esa percepción gráfica. Tabla 1.1 Hacia 3 por la izquierda
3
Hacia 3 por la derecha
x
2,5
2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
3,5
f(x)
9,5
11,41
11,9401
11,994001
12,006001
12,0601
12,61
15,25
Hacia 12 por la izquierda
12
Hacia 12 por la derecha
Podemos ver que a medida que tomamos valores de x más próximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f(x) se aproximan a 12. Ejemplo 2. Con la gráfica y una tabla de valores Si f(x) =
𝑥 2 −4 𝑥−2
, ¿a qué valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?
Solución: La figura 1.2 muestra la gráfica de la función. Podemos ver que aún cuando la gráfica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2, 4), las imágenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. También una tabla de valores utilizando valores de x próximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situación , ver la Tabla 1.2 Tabla 1.2 Hacia 2 por la izquierda
2
Hacia 2 por la derecha
x
1,5
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,5
f(x)
3,5
3,9
3,99
3,999
4,001
4,01
4,1
4,5
Hacia 4 por la izquierda
4
Hacia 4 por la derecha
Así, de la tabla 1.2 deducimos que los valores de f(x) se aproximan a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2. 27
Ejemplo 3. Por la derecha y por la izquierda Consideremos ahora la función g(x) =
|𝑥| 𝑥
.
En su gráfica vemos que por la derecha de 0 las imágenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 las imágenes son -1, la gráfica presenta un "salto" y entonces las imágenes no se acercan a un mismo valor. Podemos ver que el límite no existe. Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera, ver Tabla 1.3 Tabla 1.3 Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g(x)
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
∄
Hacia -1 por la izquierda
Hacia 1 por la derecha
Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0 entonces g(x) se hace -1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g(x) se hace 1. Esto es: la tendencia difiere según el lado en que tomemos los valores. Ejemplo 4. Crecimiento ilimitado 1
Ahora hagamos lo mismo para f(x) = 𝑥, para valores de x cercanos a 0. En la figura 1.4 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gráfica de la función "sube ilimitadamente" sin aproximarse a ningún valor en particular. Si vamos por la izquierda de 0, la gráfica de la función "baja ilimitadamente'' y tampoco se aproxima a ningún valor en particular. La tabla 1.4 también indica esa tendencia. Tabla 1.4 Hacia 0 por la izquierda
0
Hacia 0 por la derecha
X
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g(x)
-2
-10
-100
-1000
1000
100
10
2
Hacia −∞ por la izquierda
∄
Hacia +∞ por la derecha
Viendo la tabla 1.4 y pensando en valores de x aún más próximos a 0 es fácil convencerse que si vamos por el lado derecho los valores de f(x) crecen ilimitadamente (se dice que crecen sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin cota). 28
Comentario sobre los ejemplos anteriores
Estos cuatro ejemplos tienen cosas en común y cosas en las cuales difieren:
En primer lugar, tienen en común el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez más próximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). En el ejemplo 1, x tiende a 3; en el ejemplo 2, x tiende a 2; en los ejemplos 3 y 4, x tiende a 0.
En segundo lugar, en los ejemplos 1 y 2, a medida que nos aproximamos al valor dado de x, no importa si lo hacemos por la izquierda o por la derecha, los valores de f(x) se van aproximando a un valor fijo L. La situación completa se expresa así:
"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L" Simbólicamente se escribe lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐
Se tiene entonces que lim x 2 3 12 x 3
𝑥2 − 4 lim =4 𝑥→2 𝑥 − 2
En el ejemplo 3 tenemos una situación diferente. En este caso, cuando x tiende a 0 por la derecha entonces g(x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g(x) tiende a -1. En estas circunstancias se dice que el límite de g(x) cuando x tiende a 0 no existe. Es decir
lim+
𝑥→0
|𝑥 | =1 𝑦 𝑥
lim−
𝑥→0
|𝑥 | |𝑥 | = −1 entonces lim =∄ 𝑥→0 𝑥 𝑥
Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco existe el límite de f(x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ningún valor fijo sino que las imágenes crecen o decrecen sin límite a medida que aproximamos x a 0. Esto es:
lim+
𝑥→0
1 𝑥
= +∞ 𝑦
lim−
𝑥→0
1 𝑥
= −∞ entonces lim 𝑥→0
1 𝑥
=∄
De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definición intuitiva de límite: Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f(x) se aproximan a L.
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Álgebra de límites
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Límites indeterminados
Hay 7 casos de indeterminación:
A continuación mostraremos cómo salvar indeterminaciones.
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L a s a sí n t o ta s o bli cu a s so n r e ct a s d e e cu a ció n :
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
donde
𝑓(𝑥) 𝑥→∞ 𝑥
𝑚 = lim
y 𝑏 = lim [𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] 𝑥→∞
Só l o h all ar e mo s l a s a sí n to t a s o bli cuas cu a n d o no h a ya a sí n t o t a s h o ri zo n t al e s.
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𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝟏 ∙ ] 𝒙→∞ 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒙(𝒙 + 𝟐) 𝟏 𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 [ ∙ ] 𝒙→∞ 𝒙−𝟐 𝒙 𝒙+𝟐 𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ 𝒙 − 𝟐 𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 [
𝒎=𝟏 ∴ 𝒚= 𝒙+𝟒
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒃 = 𝒍𝒊𝒎 [ − 𝟏𝒙] 𝒙→∞ 𝒙 − 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒙(𝒙 − 𝟐) 𝒃 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ 𝒙−𝟐 𝟐 𝒙 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 𝒃 = 𝒍𝒊𝒎 𝒙→∞ 𝒙−𝟐 𝟒𝒙 𝒃 = 𝒍𝒊𝒎 =𝟒 𝒙→∞ 𝒙 − 𝟐
CONTINUIDAD Supongamos que f es una función que está definida en algún intervalo abierto que contenga a c. Decimos que la función f es continua en x=c si se tienen las siguientes condiciones: 1. Existe f(c), esto es: c está en el dominio de f y tiene imagen. 2. También existe
.
3. Además
.
Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c. Clasificación de los puntos de discontinuidad: 1) Primer grado, o evitable. Se suele dar cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo:
x 1 si x 5 f ( x ) 6 si x 5 13 x si x 5 ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y no –6 como figura.
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2)
Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar cuando la función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo:
x 1 si x 5 f ( x ) 6 si 5 x 7 13 x si x 7 se ve que por la izquierda de 5 toma el valor 6 y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7.
3)
Segundo grado, segunda especie, o inevitable de salto infinito. Se suele dar en funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la función tiende a infinito, por ejemplo:
x 1 f ( x ) 6 13 x x 7
si x 5 si 5 x 7 si x 7
en este caso al acercarnos a 7 por la derecha la función tiende a .
x 1 f ( x ) 6 13 x x 12
si x 5 si 5 x 7 si x 7
en este caso en los límites de zona no hay problemas, pero en el tercer tramo, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función tiende a infinito. Ejemplos:
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DERIVADA
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Interpretación geométrica de la derivada en un punto
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Reglas de derivación
Método de la derivada logarítmica Este método se puede usar para calcular cualquier derivada, pero fundamentalmente se utiliza en las derivadas de: Funciones potencio-exponenciales. Ejemplo1: Calculo de la derivada de: f ( x) (3x) x
2
1
1º Tomamos logaritmo neperiano del primer y segundo miembro y desarrollamos al máximo utilizando las propiedades de los logaritmos:
Ln f ( x) Ln (3x) x
2
1
por lo tanto Ln f ( x) ( x 2 1) Ln (3x) 49
2º derivamos el primer y segundo miembro de la expresión resultante:
f ´(x) 3 2 x Ln (3x) ( x 2 1). f ( x) 3x 3º Se despeja f´(x) y se sustituye f(x) por su valor inicial:
( x 2 1) x 2 1 f ´(x) 2 x Ln (3x) (3x) x Ejemplo2: Calculo de la derivada de: f ( x) ( Ln x) sen 2 x 1º Tomamos logaritmo neperiano del primer y segundo miembro y desarrollamos al máximo utilizando las propiedades de los logaritmos:
Ln f ( x) Ln ( Ln x) sen 2 x
por lo tanto Ln f ( x) (sen 2 x) Ln ( Ln x)
2º derivamos el primer y segundo miembro de la expresión resultante:
1 f ´(x) 2 cos 2 x Ln ( Ln x) ( sen2 x). x f ( x) Ln x 3º Se despeja f´(x) y se sustituye f(x) por su valor inicial:
sen 2 x f ´(x) 2 cos 2 x Ln ( Ln x) ( Ln x) sen 2 x x Ln x
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𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒆𝒄𝒐𝒏ó𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂: Función costo marginal: Es el cambio en el costo total que se produce cuando la cantidad producida se incrementa en en un unidad 𝐶𝑀𝑎𝑟𝑔 (𝑥 ) = 𝐶´(𝑥) Función ingreso marginal: Es el cambio en el ingreso total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa en en un unidad 𝐼𝑀𝑎𝑟𝑔(𝑥 ) = 𝐼´(𝑥) Función beneficio marginal: Es el cambio en la ganancia total que se produce cuando la cantidad vendida se incrementa en en un unidad 𝐵𝑀𝑎𝑟𝑔(𝑥 ) = 𝐵´(𝑥) Elasticidad de la demanda
Para calcular la elasticidad de la demanda utilizaremos la siguiente fórmula: 𝐸 𝑓(𝑥) 𝑥 = |𝑓´(𝑥) ∙ | 𝐸𝑥 𝑓(𝑥) 52
Clasificación de los bienes según su elasticidad:
Una elasticidad demanda inferior a cero significa que el bien es inferior o típico.
Una elasticidad demanda entre cero y uno significa que el bien es normal de primera necesidad.
Una elasticidad demanda mayor que uno significa que el bien es normal de lujo.
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