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TRIGONOM TRIGONOMETRÍ ETRÍA A – TEMA 5

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

En este capítulo empezamos con el estudio de la ecuación de circunferencia de radio 1; luego definimos los arcos en posición normal y los relacionamos con el ángulo central que se genera. Posteriormente, ubicamos a los números reales en esta circunferencia, y las coordenadas del extremo del arco servirán de base. Para definir las razones trigonométricas de los números reales. Estas definiciones cumplen un papel importante en la matemática superior y cálculo en ingeniería.

I. CIRCU CIRCUNF NFE ERENCIA NCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que equidistan con respecto a un punto fijo llamado centro. La distancia constante se denomina radio. De la figura: Centro c(h, K)

CIRCUNFERENCIA NCIA TRIGONOMÉTRIC TRIGONOMÉTRICA A II. CIRCUNFERE Es aquel conjunto de infinitos puntos que pertenecen al plano cartesiano cuya distancia al origen de coordenadas es igual a la unidad de dicho sistema. Donde:

• O (0;0 (0;0): ): orig origen en de coordenadas • A (1; (1;0) 0):: ori orige genn de de arc arcos os • B (0;1 (0;1): ): orig origen en de complementos • A' (–1; (–1;0) 0):: or origen igen de suplementos • LT: eje de tangentes

Ecuación ordinaria 2

2

2 ( x – h) + ( y – k ) = r

A. Caso particular (I)

0 , 0) Sea: h = 0 y K = 0 → C ( 0, Reemplazando en la ecuación ordinaria 2

2

IDEAS FUERZA 2

2

2

(x – 0 ) + (y – 0 ) = r → x + y = r

2

m

La ecuación anterior de la circunferencia, se denomina "forma canónica". B. Caso particu particular lar (II)

En la ecuación: x2 + y2 = r2

En toda cir cunfe cunf er encia tr igonomé tr ica el arco (expresado en unidades de longitud) es numé nu mé r icamente cament e igual al á ngulo ngul o que que subt subtiiende dicho dicho arco, ar co, expresado expresado en en radian r adianes es.. y x2+y2=1

mAM = θ m S AOM = θrad

M

»

Si: r = 1 → x2 + y 2 = 1 Esta es la ecuación de la circunferencia trigonométrica. UNCP REGULAR 2009 - II

1

qrad

0

q

A

x

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CIRCUNFE RENCIA TRIGONO MÉTRICA

III. ARCOS DIRIGIDOS EN POSICIÓN NORMAL

y (+)

A . Definición:

Son aquellos arcos formados en la C.T. que se generan a partir del origen de arcos (posición inicial: A) y cuyo extremo (P) será la posición final de dicho arco. Diremos que un arco pertenece a un determinado cuadrante, si su extremo pertenece a dicho cuadrante.

(+)

x

x’ (+)

Por ejemplo a y b son arcos dirigidos en posición normal.

y’

VI.DEFINICIONES A. Seno El seno de

un arco en la C.T. se representa mediante la ordenada del extremo del arco:

– P: extremo del

arco “ α ”, α ∈ II ; α es un arco positivo (sentido antihorario) – Q: extremo del arco “ β ”, β ∈ IVC ; β es un arco negativo (sentido horario)

y P ( x1 ; y1 )

y

A O

y

π 2 πrad 2

α senα

IV. ARCO CUADRANTAL Denominaremos de esta manera a aquellos arcos dirigidos en posición normal, cuyo extremo coincida con alguno de los puntos de intersección de los ejes con la C.T. (A, B, A', B'). Por ejemplo

(+)

A x

θ

senθ

C.T.

Q(x2; y2)

Entonces: Sen α = y 1 Sen θ = y 2 B. Coseno El coseno de un arco en la C.T. es la abscisa del extremo del arco:

C.T.

y

A −πrad x

C.T.

R(x 1; y1) Cosβ

−π

C.T.

β

V. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LASRAZONESTRIGONOMÉTRICASEN LA C.T. Las razones trigonométricas serán representadas a partir de segmentos dirigidos los cuales brindarán la siguiente información:

O

–

x

φ

Entonces: Cosβ = x 1 ; Cosφ = x 2

Variación Analítica

I.

Cuadrante Sen0 = 0 Sen

Los segmentos rectilíneos horizontales hacia la derecha de YY' son positivos y hacia la izquierda de YY' son negativos. Los segmentos rectilíneos verticales hacia arriba de XX' son positivos y hacia abajo de XX' son negativos.


A

Cosφ S ( x2 ; y2 )

1. La longitud del segmento, indicará la magnitud de la razón. 2. El sentido del segmento, indicará el signo de la razón. Los signos de dichos segmentos se regirán bajo el siguiente convenio de signos: –

x

p

2

creciente

=1

SUGERENCIAS m

2

Es importante tener presente que en f orma práctica la lí nea seno es una vertical en la C.T . y la línea coseno es una horizontal.

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CIRCUN FEREN CIA TRIGON OMÉTRICA

II.

Cuadrante Sen

p

D. Cotangente

La cotangente de un arco es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco:

=1

2

decreciente

Sen p = 0

III. Cuadrante Sen p = 0 Sen

IV.

decreciente

3p =–1 2

Cuadrante 3p = –1 2 Sen2p = 0 Sen

creciente

Análogamente I.

Cuadrante Cos 0 = 1 Cos

II.

p

2

Entonces: Ctg α = x1

decreciente

Variación Analítica

=0

I. Cuadrante

p

creciente

2

decreciente Tanx

¥

p

III. Cuadrante p

p

x

=0

2 C osp = –1

Cos

II. Cuadrante

Tan0 = 0

Cuadrante Cos

Ctg β = x 2

;

x

= –1

Tanx

creciente

3p Cos =0 2

2 –¥

Tan p = 0

creciente

III. Cuadrante

IV. Cuadrante 3p =0 2 Cos2p = 1

Tan p = 0 3p creciente x 2

Cos

creciente

Tanx

C. Tangente La tangente

x

de un arco en la C.T. es la ordenada del punto de intersección, entre el eje de tangente y la prolongación del radio que contiene al extremo del arco:

–¥

Tan2p = 0

creciente

E. Secante

La secante de un arco es la abcisa del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x.

N(1; y1)

α Tanα O

+¥

3p 2

Tanx

y

β

IV. Cuadrante

A

x

C.T.

IDEAS FUERZA

Es importante tener presente: M(1; y2)

− 1 ≤ Sen θImpar ≤ 1 − 1 ≤ Cos θImpar ≤ 1

Entonces: Tan α = y 1

Si nosindican el cuadrante, el intervalo seráA BI ERT O

Tan β = y 2 UNCP REGULAR 2009 - II

≤ Senθ Par ≤ 1 Par 0 ≤ Cos θ ≤1

0

3


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y

P y Q: puntos de tangencia P

Entonces: Csc α = y 1 Csc β = y2

α N(x2, 0)

M(x, 1 0) x

Secβ O

Q

Secα

β

Variación Analítica •

C.T.

 π  1 ≤ Secx ∨ Secx ≤ − 1, ∀ x ∈ R −  (2k + 1) , k ∈ Z 2   Secx

P y Q: puntos de tangencia Entonces: Secα = x 1 Sec β = x 2

-1

•

1

1 ≤ Cscx ∨ Cscx ≤ −1, ∀ x ∈ R − {k π, k ∈ Z}

F. Cosecante La cosecante de

Cscx

un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y.

-1

1

y M(0, y 1)

P

α

SUGERENCIAS

Si el producto de 2 f actor es es constant e, entonces afir maremos que son inversamente proporcionales; es decir si su factor es creciente el otro factor es decreciente y viceversa. En el cur so de trigonometrí a lo podemos observar en l as razones recíprocas.

α

c s C

A O β

c s C

x

β Q

C.T.

N(0, y2)

* Del gráfico se observa que: Sen 100° 〉 Sen 160°

Problema 1

Indicar verdadero (V) o falso (F) I) Sen 100° < Sen 160° II) Cos 290° > Ccos 340° III) Sen 200° < Cos 200° A) FVF B) FFV C) VVF D) VFV E) FFF

* Por lo tanto:

* Por lo tanto: Cos 290° 〉 Cos 340° es «FALSA» III)

Sen 100° < Sen 160° es (-)

«FALSA»

Sen200º x

II)

200º

Resolución

Cos200º

(-)

x2 + y2=1

I)

* Del gráfico se observa que: Sen 200° 〉 Cos 200° * Por lo tanto: Sen 200° 〉 Cos 200° es «VERDADERA»

* Del gráfico se observa que: Cos 340° 〉 Cos 290° TEMA 5 / TRIGONOMETRÍA

4

R e s p u e s t a : B) FFV




Problema 2

Analizando el gráfico:

Determine el área de la región sombreada

Base: A´A = 2 Altura: PM = Sen θ

y

x 2 + y2 =1

Resolución

1 Sabemos: S = 2 bh ( I) x

Sabemos: a = − a ; a < 0 Para la altura θ ∈ IVC ,

q

PM = Senθ = –Sen θ

A) tan θ D) sen θ

B) sen α E) sen α

C) –sen θ

- 1
R e s p u e s t a : C) –sen θ

Resolución

y

C.T.

A`

De la C.T

Reemplazando en (I) 1 S = (2 ) ( –Senθ) → S = –Sen θ 2

1

Problema 3

1 M

2a − 1 Si Senθ = 3 ; θ ∈ IIIC Indicar la variación analít ico de (a)

A x

q

1 A) 1; 2

P

D)

−1; 1 2

B)

2; 1 2

R e s p u e s t a : D)

3; 1 2

3. Si: 3a + aSen2θ = b b Indicar la extensión a A) [1, 2] B) [2, 3] C) [3, 4] D) [4, 5]

I. Sen 5 > sen3 Tan2 4 + Tan4 = 0

III. Cos2 + Cos2 = 0 A) FFF C) VFF E) FFV

3; 1 2

E) FFF

1. Afrimar si es (V) ó (F) II.

C)

2a − 1 - 1< 3 <0 Despejando (a) - 3 < 2a-1 < 0 Sumando (1) M.A.M − 2 < 2a < 1 2 2 2 −1 < a < 1→ a∈ − 1; 1 2 2

E) [6, 5]

B) VVV D) FVV

4. Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: I) Cos20º > cos70º

2. Ordenar de mayor a menor: A) sen200º, sen100º, sen10º, se300º B) sen300º, sen200º, sen100º, sen10º C) sen100º, sen10º, sen200º, sen300º D) sen100º, sen10º, sen300º, sen200º E) sen300º, sen100º, sen10º, sen200º UNCP REGULAR 2009 - II

II) Cos110º > cos160º III) Cos210º > cos280º A) VVV B) FFV C) FVF E) FVV 5

D) VVF


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5. Calcular el área de la región sombreada:

10.Señale la variación de: C = 4 –3sen22x π π Si: x ∈ 12 ; 3

1–Cos θ 2 C) 1 + Cosθ E) 2 (1 + Cosθ)

1 + Cos θ 2 D) 1 – C o s θ

A)

13 B) 1; 4 

 13 C) 1; 4

 13 D) 2; 4

E)

B)

2; 13  4

11 .Señale la variación de:

6. En qué cuadrante el seno decrece y es positivo: A) I B) II C) III D) IV E) I y II

 – 1 ;2   4  1 C)  – 2 ; 2 

A)

K = sen2x + senx 1 B)  – 2 ; 1 1 2 D)  – 4 ; 5 

1 E)  – 2 ; 3 

7. Calcular: A =

12.En la C.T. mostrada, halle el área de la región sombreada.

Senx + 3 + Cosx–1 Cosx + 8

A) 3

B)

3

C) 3 3

D)

3 3

E)

13  A) 1; 4 

3 2

8. Si θ ∈ IIIC, determine el intervalo de "k", si: Cosθ = 4K − 3 5 1 1 3 A) – 2 ; 2 B) –1; 4 1 3 C) – 2 ; 4

1 A) – 2 senθ C) –senθ

1 B) – 2 cos θ D) –cos θ

E) –senθ . cos θ

D) –1; 0

13. En la C.T. mostrada halle el área de la región mostrada:

1 E) – 2 ; 0

9 . De la figura: PQ = QR = RA 1 A) 4 Senθ 1 B) – 4 Senθ 1 C) 8 Senθ

A) cos θ

B) 2senθ

1 D) – 8 Sen θ

1 C) 2 senθ

D) 2cos θ

1 E) – 16 Senθ

E) sen θ


6




14.Señale la variación de:

18. De la figura, calcule el área de la región sombreada:

K = senx + 3 senx + 2 4 A)  3 ; 2  1 C)  –1; 3 

1 B)  3 ; 2  1 D)  – 3 ; 2 

E) [2 , 3] 1 1 A) 2 ( 1 + senθ + cos θ ) B) 2 (1 –s enθ –cos θ )

15. Si el triángulo sombreado es equilátero determine su área.

1 1 C) 2 (1 + senθ –cos θ ) D) 2 (1–se nθ + cos θ ) 1 E) 2

19.En la figura, calcule el área de la región sombreada:

A) cos θ (1 + sen θ )

B) cos θ (1–sen θ )

C) senθ (1 + cos θ ) E) cos θ (2 + sen θ )

D) senθ (1–cos θ )

16.Determine el área sombreada: 3 8 C) 2 73 E) 32

B) 2 32 D) 2 32

A)

3 A) 4 (1 + sen θ ) 3 C) 4 (1 + cos θ ) 3 E) 4 ( senθ – cos θ)

COMPARACIÓN CUANTITATIVA

3 B) 4 (1–senθ ) 3 D) 4 (1–cos θ )

20.(x), (y), (z) son diferentes entre sí:

A

17.Si se cumple la siguiente igualdad:

MáximoValorde 3Sen2x–5Cos4 y–2CosY

B Máximovalorde: 4Cosx +7Sen2y +3Sen3z

2 + senx–1 = 8 + 5cos θ

A) B) C) D) E)

Donde θ ∈ IIIC, calcule el valor de la siguiente expresión: 3cot θ + 2 c s c x

A) –2 C) 2 E) 6

B) 0 D) 4


7

La cantidad en A es mayor que en B. La cantidad en B es mayor que en A. Ambas cantidades son iguales. Falta información para poder determinarlo. ¡No debe utilizar esta opción! TEMA 5 / TRIGONOMETRÍA

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7.

1. Conpletar: (>), (<) , (=) sen110º ( ) sen170º cos200º ( ) cos160º

S: Área Completar S = .....................

2. Completar, (>) (<) (=) sen 6 ( ) sen2 sec 5 ( ) sec4

8. Indicar si es (V) o (F) θ ∈ IC cos θ ∈] 0,1 [ ( ) θ ∈ IIIC senθ ∈] –1;0 [ ( )

3. Indicar si es (V) o falso (F) senθ ∈] –1;1 [ ( ) cos 2 θ ∈ [–1;1] ( )

9. Completar la variación de

4. |cot5| + cot5 = 0 ( ) |sec6| + sec6 = 0 ( )

2senθ – 1 ∈ ____________

5. Indicar si es (V) o falso (F); en la C.T. θ ∈ IIIC; el seno es creciente ( el coseno es creciente ( θ ∈ IVC;

3cos α + 5 ∈ ____________

) )

10.Completar ( 3senx – 4 cos2 y )max = __________

6. S: Área Completar: S = ............ TEMA 5 / TRIGONOMETRÍA

(5sen2α – 2 c o s3 β)min = __________

8


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