91
BÖLÜM 7 SÜREKLİ SÜREKLİ HAL HATALARI Kontrol sistemlerinin analizinde ve dizaynında üç özelliğ özelliğe odaklanılır, bunlar ; 1) İstenilen bir geçici hal cevabı üretmek. ( T s, %OS, ζ , ωn,…) 2) Kararlı olması. K ısaca kutuplar ın dikey eksenin solunda yada en az ından eksenin üzerinde olması istenmektedir. istenmektedir. 3) Sürekli hal hatasının küçük olması. 4) Sürekli hal hatasını k ısaca tanımlarsak belirli bir test giriş girişi için t → ∞ giriş giriş ve çık ış arasındaki farktır.
7.1 7.1 Giriş Giriş Sürekli hal hatalar ının değ değerlendirilmesinde kullanılan test dalga şekilleri: Dalga Şekli
Giri
Fiziksel karşılığı
Basamak
Sabit Konum
Rampa
Sabit hız
Parabol
Zaman fonksiyonu
Laplace Formu
Sabit İvme
Tablo 7.1 Basamak fonksiyonu sabit konum kontrolü için kullanılır, yörüngesinde bulunan bir uydu bu fonksiyon için iyi bir örnektir. Rampa fonksiyonu sabit h ızlı giriş girişlerin pozisyon kontrolünde kullanılır. Parabol fonksiyonu sabit ivmeli uygulamalarda kullan ılır, bu fonksiyonun uygulamalar ı için füzeler f üzeler önemli örneklerdendir. örneklerdendir.
91
92
Sürekli Hal Hatasının Belirlenmesi Giri
Çık ış 1
ı
k ı 2
Zaman
(a)
Çık ış 2 Giri Çık ış 1
Çık ış 3
Zaman
(b)
Şekil 7.1 Şekil 7.1 incelendiğinde eğriler yardımıyla sürekli hal hatası ile ilgili yorumlar yapılabilir. Şekil 7.1 (a) da giriş ile Çık ış1 arasında ess=0’dır; Çık ış2 de ise t → ∞ iken giriş ile arasındaki farktan dolayı bir ess oluşur. 7.1 (b)’ de giriş ile çık ış1 arasında e ss oluşmaz; çık ış2 de girişle olan farktan dolayı bir ess oluşur ve bu ess t → ∞’a giderken sabit bir sayıdır; Çık ış3 için grafiği incelediğimizde yine bir ess’in oluştuğunu görürüz ve t → ∞ olurken ess → ∞ olur. Son de ğ er teoremi: ∞
[ ( )] f &(t ).e 0
L
s →
f &t =
.dt = sF ( s ) − F (0 )
− st
0
(7.1)
∞
f &(t )dt = f (∞ ) − f (0 ) = slim0 sF ( s ) − f (0 )
0
→
(7.2) 92
93
f (∞ ) = lim sF ( s ) s →0
f (∞ ) = lim f (t ) t →∞
e ss
=
(7.3)
(7.4)
lim e(t ) = lim sE (s)
t →∞
(7.5)
s →0
Şekil 7.2 Sistemde hata, giriş ve çık ış arasındaki fark olduğundan kapalı çevrimli bir sistem çık ışı e(t ) olarak şekil 7.2 (a) daki gibi gösterilebilir. Burada üstünde duracağımız sürekli hal veya son durumdaki e(t ) değeridir. Bu sürekli hal hatasını öncelikle Şekil 7.2 (b)’deki gibi bir birim geri beslemeli sistem için inceleyeceğiz. Daha sonra birim geri beslemesiz, H ( s) ≠ 1, sistemleri ele alacağız.
Sürekli Hatasının Oluşma Nedenleri Kontrol sistemlerinde sürekli hal hatalar ının bir çoğu dişliler arasındaki boşluklar, ampli doyması veya motorlar ın ölü bölgesi gibi lineer olmayan kaynaklardan dolay ı oluşur. Bizim üstünde çalışacağımız sürekli hal hatalar ı ise sistemin kendi konfigürasyonu ve uygulanan girişin tipine bağlı olarak oluşan hatalardır. Örneğin şekil 7.3’de ki sistemi inceleyelim, R(s) giriş C(s) ise ç ık ıştır ve bu durumda E(s) = R(s) – C(s) hata işaretidir .Girişin basamak fonksiyonu olduğunu kabul edelim. Sürekli halde eğer c(t), r(t)’ye eşit olursa e(t) sıf ır olacaktır. Ancak saf kazançla, K, eğer c(t) sıf ır değilse ve sonlu bir değerse hata, e(t), s ıf ır olamaz. Bundan dolayı bu (a)’daki konfigürasyon için sistem sıf ır sürekli hal hatası veremez. Sisteme bir integratör eklenirse sıf ır sürekli hal hatası elde edilebilir.
Şekil 7.3 Eğer css sistemin çık ışının sürekli hal değeri ve ess sistemin sürekli hal hatası ise bu durumda; 93
94
css = Kess
(7.6)
veya e ss
=
1 K
c ss
(7.7)
olur. Belirtildiği gibi sistemden bir ç ık ış alınmak isteniyorsa ess sıf ır olamaz. Kazanç büyüdükçe hata küçülür.
7.2 Birim Geri Beslemeli Sistemlerde Sürekli Hal Hatas ı Birim geri beslemeli sistemlerde sürekli hal hatas ı sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu olan T(s), veya aç ık çevrim transfer fonksiyonu G(s) yard ımıyla hesaplanabilir.
T(s)’e Bağlı Olarak ess İfadesinin Belirlenmesi Şekil 7.2 (a)’da ki gibi bir sistemi düşünelim, E(s)’i bulmak için ; E(s) = R(s) – C(s)
(7.8)
C(s) = R(s)T(s)
(7.9)
Denklemleri düzenlediğimizde ve buradan E(s)’ i çektiğimizde: E(s) = R(s)[1-T(s)]
(7.10)
Elde edilen denkleme son değer teoremini uygularsak; e(∞) = e ss
=
lim sE ( s ) = sR ( s)[1 − T ( s )] s → 0
(7.11)
elde edilir.
Örnek: Şekil 7.2 (a)’da T(s)=
5 olsun giriş birim basamak olduğuna göre 2 + + 7 s 10 s
ess=?
Çözüm: 2 1 5 s + 7 s + 5 = lim lim s 1 − 2 2 s 0 s s + 7 s + 10 s 0 s + 7 s + 10 →
=
→
1 2
(7.12)
G(s)’ ye Bağlı Olarak ess İfadesinin Belirlenmesi Şekil 7.2 (b)’da ki gibi birim geri beslemeli bir sistemi düşünelim, E(s)’i bulmak için ; 94
95
E(s) = R(s) – C(s)
(7.13)
C(s) = E(s)G(s) Denklemleri düzenlediğimizde ve buradan E(s)’ i çektiğimizde:
(7.14)
E(s) = R(s) – E(s)G(s)
(7.15)
E(s)[1 + G(s)] = R(s)
(7.16)
E(s) =
R ( s )
1 + G ( s )
(7.17)
Elde edilen denkleme son değer teoremini uygularsak; e(∞) = e ss = lim sE ( s ) = lim s s → 0
s → 0
R( s)
1 + G ( s )
(7.18)
Farklı Test Sinyalleri İçin Sürekli Hal Hataları Basamak Fonksiyonu İ çin e ss Hesabı 1 R( s ) R(s) = alındığında ve lim s ’te yerine konulduğunda s →0 1 + G ( s ) s e ss
=
1 1 + lim G ( s )
=
ebasamak (∞)
(7.19)
( s + Z 1)( s + Z 2)... =∞ n s ( s + P 1)( s + P 2)...
(7.20)
s →0
e basamak (∞)→ 0 için lim G( s ) → ∞ s → 0
olmalıdır G.(s) =
lim G ( s ) → ∞ için n ≥1 olmalı ki sürekli hal hatası “0” olsun.
s →0
... n = 0 için ise G ( s ) = Z 1 Z 2 , buradan görüleceği gibi ess sonlu bir değer oluyor. P 1 P 2 ...
Rampa Fonksiyonu İçin ess Hesabı R(s) =
1 s 2
alındığında ve lim s s → 0
R( s)
1 + G ( s )
’te yerine konulduğunda
95
96
s
1 1
2
s s → 0 1 + G ( s )
erampa (∞) = lim
=
lim sG ( s )
(7.21) elde ediliyor.erampa → ∞ için lim sG ( s ) → ∞ olmalı bundan dolayı n ≥ 2 olmalıdır. s →0
s →0
Parabolik Fonksiyonu İçin ess Hesabı R(s) =
1 s 3
alındığında ve lim s s → 0
s
1 + G ( s )
’te yerine konulduğunda
1 1
3
s s →0 1 + G ( s )
e parabol (∞) = lim
R( s)
=
lim s 2 G ( s)
s →0
(7.22)
elde ediliyor. e parabol → ∞ için lim s 2 G ( s) → ∞ olmalı bundan dolayı n ≥ 3 olmalıdır. s → 0
İntegratörü Olmayan Sistemin Sürekli Hal Hatas ı İntegratörü olmayan sistemin sürek hal hatas ını aşağıdaki örneklerde inceleyelim.
Örnek: 5u(t), 5tu(t) ve 5t 2u(t) değerindeki girişler için şekil 7.4’de ki sistemin sürekli hal hatlar ını bulunuz. u(t) birim basamak fonksiyonudur.
Şekil 7.4(Nise,2000)
Çözüm: İlk olarak sistemin kararlı olup olmadığını tespit etmek gerekir ancak bu örnek için bu detaylara bu soruda yer vermeyeceğiz. 5 Girişe R(s) = basamak fonksiyonu uygulandığında; s
e ss
=
5 1 + lim G ( s ) s →0
Girişe R(s) =
5 s
2
=
5 1 + 20
=
5 21
(7.23)
rampa fonksiyonu uyguland ığında;
96
97
erampa (∞) =
5 lim sG ( s)
=
s → 0
5 0
=∞
(7.24)
Girişe R(s) = 10/s3 parabol fonksiyonu uyguland ığında; e parabol = ∞ olur.
(7.25)
Aynı giriş fonksiyonlar ını şekil 7.5’ ya uygulayarak sürekli hal hatalar ını bulalım;
Şekil 7.5 Girişe R(s) =
e ss
=
5
basamak fonksiyonu uyguland ığında;
s
5 1 + lim G ( s ) s →0
Girişe R(s) =
erampa (∞) =
5 s
2
=
5 1+ ∞
lim sG ( s)
Girişe R(s) =
5 s
3
0
(7.26)
rampa fonksiyonu uyguland ığında;
5 s → 0
=
=
5 100
=
0.05
(7.27)
parabol fonksiyonu uygulandığında;
e parabol = ∞ olur.
(7.28)
7.3 Statik Hata Sabitleri Ve Sistem Tipi 7.3.1 Statik Hata Sabitleri Sürekli hal hatası performans özelliklerine “statik hata sabitleri” olarak adland ır ılır. Bu sabitlerin nasıl belirlendiğini, nasıl hesaplandığını inceleyeceğiz.
97
98
Girişe u(t) basamak fonksiyonu uygulandığında; 1 e(∞) = ebasamak = 1 + lim G ( s ) s 0 →
(7.29)
Girişe tu(t) rampa fonksiyonu uygulandığında; 1
e(∞) = erampa (∞) =
lim sG ( s )
s →0
Girişe
(7.30)
1 2 t u(t) parabol fonksiyonu uygulandığında; 2
e(∞) = e parabol (∞) =
1 lim s 2 G ( s)
s → 0
(7.31)
Paydada bulunan limitli terimler sürekli hal hatas ını belirler. Bu limitlere statik hata sabitleri denir. Pozisyon sabit, Kp, K p
=
lim G ( s )
s →0
(7.32)
Hız sabiti, Kv, K v
=
lim sG ( s )
s →0
(7.33)
İvme sabiti, Ka, K a
=
lim s 2 G ( s )
s →0
(7.34)
98
99
Örnek: Şekil 7.6 deki her bir sistem için statik hata sabitlerini ve beklenen hatalar ı standart basamak, rampa ve parabolik giriş fonksiyonlar ı için bulunuz.
Şekil 7.6
Çözüm: Sistemlerin kararl ı olduğu kabul ediliyor. Öncelikle şekil 7.6 (a) için statik hata sabitlerini belirleyelim. K p
=
K v
=
K a
=
lim G ( s ) =
s →0
500 × 2 × 5 = 5.208 8 × 10 × 12
lim sG ( s ) = 0
s →0
lim s 2 G ( s ) = 0
s → 0
(7.35) (7.36)
(7.37)
Böylece basamak girişi için; e(∞) =
1 1 + K p
=
0.161
(7.38)
Rampa giriş için; e( ∞) =
1
(7.39)
=∞
K v
99
100
Parabolik giriş için; 1 =∞ e ( ∞) =
(7.40)
K a
Şekil 7.6 (b) için statik hata sabitlerini belirleyelim. K p
=
K v
=
K a
=
lim G ( s ) = ∞
s → 0
lim sG ( s ) =
s →0
(7.41)
500 × 2 × 5 × 6 8 × 10 × 12
lim s 2 G ( s ) = 0
s →0
=
31.25
(7.42)
(7.43)
Böylece basamak girişi için; e(∞) =
1 1 + K p
=
0
(7.44)
Rampa giriş için; e( ∞ ) =
1 K a
=
1 31.25
=
0.032
(7.45)
Parabolik giriş için; e( ∞ ) =
1
=∞
(7.46)
K a
Şekil 7.6 (c) için statik hata sabitlerini belirleyelim. K p
=
K v
=
K a
=
lim G ( s ) = ∞
s → 0
lim sG( s) = ∞
s →0
lim s 2 G ( s ) =
s → 0
(7.47)
500 × 2 × 4 × 5 × 6 × 7 8 × 10 × 12
(7.48) =
875
Böylece basamak girişi için;
100
(7.49)
101
e(∞) =
1 1 + K p
=
0
(7.50)
Rampa giriş için; e( ∞ ) =
1
=
K a
0 (7.51)
Parabolik giriş için; e( ∞ ) =
1 K a
=
1 875
(7.52)
7.3.2 Sistem Tipi Statik hata sabitlerinin değerlerinin G(s), özelliklede saf integratör say ısına bağlı oldugunu gördük. Şekil 7.8’de verilen sistemde görülen fonksiyondaki n bize sistemin tipini veriyor.
Şekil 7.7(Nise,2000) Tablo 7.2’de sürekli hal hatası, statik hata sabiti ve sistem tipi bir arada gösterilmiştir. Tip 0 Giriş
Sürekli-hal hatası formülleri
Statik hata
Tip 2
Tip 1
Hata
Statik hata
Hata
Statik hata
Basamak Sabit Rampa Sabit Parabol Sabit
Tablo 7.2
101
Hata
102
7.4 Sürekli Hal Hatası Özellikleri Bir örnek üzerinde aç ıklayacak olursak; Kv=1000 olarak verildiğinde, sabitin ait olduğu sisteme dair bazı özellikler hakk ında hemen yorum yapabiliriz. Kontrol sistemini kararl ıdır. Kontrol sisteminin tipi “1” dir. Kontrol sisteminin giriş sinyali rampa fonksiyonudur. 1 Kontrol sisteminin sürekli hal hatas ı birim eğim başına =10-3 ‘dür K v
Örnek: Kp=1000 olarak statik hata sabiti verilen sistem ile ilgili hangi sonuçlara ulaşabiliriz. Çözüm: Sistem kararlıdır. Sistemin tipi “1”dir. Sistemin girişine uygulanan test sinyali “basamak”tır. 1 Sistemin sürekli hal hatası olarak bulunur. 1001
Sürekli Hal Hatasına göre Kazanç Sağlayacak Sistem Dizaynı Örnek: Şekil 7.8 için %10 sürekli hal hatası verecek kazancı bulunuz.
Şekil 7.8
Çözüm: Sistemin tipi 1 dolay ısıyla hataya uygu olarak giriş rampa fonksiyonu olmal ı, çünkü sadece rampa fonksiyonu tip 1 de (s ıf ır dışında) sonlu bir hata verebilir. e(∞) =
K v
1
=
K v
= 10 =
0.1
lim sG ( s) =
s →0
(7.53) K
6× 7×8
=
672
(7.54)
102
