Stjepan Marić Fizika

(2.3.)

gdje je cp kut između vektora a i b . Smjer rezultante možemo odrediti kutom 0. cosO =

b2 +c2 - a 2 2bc

(2.4.)

Oduzimanje vektora Oduzimanje vektora svodi se na zbrajanje. Razlika a - b dvaju vektora 5 i b je vektor č , koji nastaje zbrajanjem vektora a i vektora - b (crt. 2.5). Negativni vektor - b po iznosu je jednak vektoru b , kolinearan je s njim, ali je suprotnog smjera.

Crtež 2.5.

Dakle: č = a - b = 5 + {-b).

(2.5.)

Da bismo vektor b oduzeli od vektora a , početak oba vektora dovodimo u istu točku: razlika a - b je vektor koji ide od kraja vektora b do kraja vektora a.

25

Množenje vektora Vektor a množi se pozitivnim skalarom a tako da mu se iznos pomnoži, a smjer ostaje isti. Pri množenju negativnim skalarom (a<0), smjer vektora suprotan je smjeru vektora a . č - a a.

(2.6.)

Vektorski produkt Vektorski produkt č dvaju vektora a i b označava se č = « x j . To je vektor okomit na oba vektora. Njegov smjer određuje se pravilom desne ruke. Prstima ruke idemo kraćim putem od prvog do drugog vektora i palac nam određuje smjer vektorskog produkta č . Iznos vektorskog produkta jednak je produktu iznosa jednog i drugog vektora i sinusa ktrta među njima (odnosno površini paralelograma čije su stranice a i b ): c = a b sina.

Crtež 2.7. 20

(2.7.)

Za vektorski produkt ne vrijedi zakon komutacije, tj. a x b =-b x a .

(2.8.)

Da bismo izračunali vektorski produkt možemo množiti komponente vektora tj. a x b = { a xi + ayj + azi č ) x ( b xi + byj +bzk ) a x b = axby( I * j ) + axbz (7 x k ) + ay bx ( j x i ) + + aybt ( j x k ) + azbx ( k x l ) + azby ( k x j ) , gdje smo uzeli u obzir da je i x i = ] x j = k x k = 0 . Sad prihvatimo dogovor da ćemo upotrebljavati desni koordinatni sustav tj. I x ] = k , i x k = —j , j x k = i , pa dobivamo da je vektorski prođukt jednak a x b =(ay b: - a zb ) i +(azbx- a xb])j + (axby - aybj)k .

(2.9.)

Vektorski produkt također možemo izračunati koristeći Sarrusovo1 pravilo: i

j

a x b =

2 10.)

( .

bx

bv

Skalarni produkt Produkt dvaju vektora čiji je rezultat skalama veličina zove se skalami produkt. Skalami produkt vektora a i b označava se simbolom a b , a jednak je umnošku iznosa obaju vektora i kosinusa kuta među njima: ? * a ■b = a b cosG.

(2.11.)

1 Viđi Matematički priruČnik, I. N. BronStejn - K. A. Semendjajev.

27

ili a ■b =at b = a b a , gdje su ab = a cos0, ba = b cos0, projekcije vektora na zadanu osu, crtež 2.8. Znači za skalami produkt vrijedi zakon komutacije a ■b = b • a .

(2.12.)

2.5. KOORDINATNI SUSTAV Svaki vektor možemo prikazati kao zfaroj dvaju ili više vektora koje nazivamo njegovim vektorskim komponentama. To je obratan postupak od zbrajanja vektora. Da bi rastavljanje u komponente bilo jednoznačno određeno, potrebno je poznavati pravce nosioce komponenata (crt. 2.9), a, pored toga, broj komponenata mora biti jednak dimenziji prostora u kojem se vektori nalaze.

Smjer u prostoru najčešće definiramo jediničnim vektorom čiji je iznos jednak jedinici. Tako je jedinični vektor a0 u smjeru vektora a definiran relacijom: ao=~.

(2.13.)

Izborom triju smjerova određenih jediničnim vektorima k^, k3 definiramo koordinatni sustav u trodimenzionalnom prostoru. Izborom koordinatnog sustava možemo svaki vektor 5 jednoznačno rastaviti u tri komponente

5j, 2, a

a3. a = a, + a2 + a3= «,*, +

28

+ a3k3,

(2.14.)

gdje su a„ at, a3 skalame komponente (projekcije) vektora 5 . Najčešće se upotrebljava sustav s tri međusobno okomita jedinična vektora 7, j , k (crt. 2.10), tzv. Cartesijev kooidinatni sustav. U Cartesijevom sustavu vektor v rastavlja se u komponente ovako: v =vx7 + vyj + v.k ,

(2.14.)

gdje su vx, vy, vx skalame komponente vektora v (crt. 2.10). Kako su osi x, y, z međusobno okomite, veza između iznosavektora v i njegovih skalamih komponenti je: v = VvM + v , 2 .

(2.15.)

U fizikalnim razmatranjima često se pojavljuje vektor položaja (radijus vektor) r koji opisuje položaj tijela (točke) u prostoru r = x i + y j +z k . (2.16.) Skalame komponente radijus vektora su x, y i z (crt. 2.11), dok mu je iznos: r - f]x2 + y L +z2 .

(2.17.)

2.6. MATERIJALNA TOČKA I KRUTO TIJELO Fizičke pojave su kompleksne tj. ne javljaju se izolirano jedna od drage, nego uvijek skupno. Pođ određenim uvjetima neke od tih pojava intenzitetom se izdvajaju od dragih koje se mogu smatrati sekundamim. Kad će se jedna fizikalna pojava javiti kao primama ili sekundama zavisi od uvjeta pod kojima se odvija. Proučavanje fizikalnih pojava se pojednostavljuje ukoliko se pod unaprijed danim uvjetima analizira jedna od njih kao primama, a ostale kao sekundame, potpuno zanemare. Proučavanje se pojednostavljuje uvođenjem 29

idealiziranih modela fizikalnih procesa. Naprimjer, pri razmatranju kretanja materijalnog tijela sekundami su unutamji procesi koji se odigravaju u njemu kao kompleksnom sustavu pa se mogu i izostaviti, a promatrati model tijela koji je oslobođen tih sekundamih procesa. Iz tih razloga se u mehanici uvode modeli materijainog tijela pod pojmovima: materijalne točke, apsolutno krutog tijela, apsolutno elastičnog tijela itd. M aterijalna točka je model tijela čiji se oblik i dimenzije u danom razmatranju mogu zanemariti. Naprimjer, pri proučavanju gibanja planeta oko Sunca one se mogu smatrati kao materijalne točke, čije su mase jednake masama planeta a čije se dimenzije mogu zanemariti u odnosu na veličine rastojanja između Sunca i odgovarajućih planeta. Apsolutno kruto tijelo je model tijela, koje ni pod kakvim uvjetima ne mijenja svoj oblik i dimenzije. Mehanički sustav je model od više materijalnih točaka ili tijela koja u općem slučaju interagiraju kako međusobno tako i sa tijelima iz drugih mehaničkih sustava. Ukoliko postoje samo međusobne interakcije onda kažemo da je mehanički sustav izoliran.i

i

30

3. MEHANIKA MATERIJALNE ČESTICE

3.1. KINEMATIKA MATERIJALNE ČESTICE Mehanika je dio fizike koja proučava zakone gibanja tijela, tj. vremensku promjenu položaja tijela u prostoru. Mehanika se dijeli na kinematiku, dinamiku i statiku kao specijalni slučaj dinamike. Kinematika (od grčke riječi kinein - gibati) proučava gibanje, bez obzira na uzroke gibanja i na svojstva tijela koja se gibaju, tj. ne uzimajući u obzir .njihovu masu i sile koje na njih djeluju. Dinamika (dynamis - sila) proučava uzroke gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje; dinamika za razliku od kinematike, daje fizikalnu suštinu gibanja. Statika proučava uvjete ravnoteže tijela. Gibanje je jedan od temeljnih pojmova fizike. Prve zakone gibanja našli su Galilei' i Newton12. Tijelo se giba ako mijenja položaj prema nekom drugom tijelu. Da bismo tu promjenu položaja izmjerili, za okolinu vežemo određeni referentni sustav te kažemo: tijelo se giba ako mijenja položaj prema tom referentnom sustavu. Tako npr. putnik koji sjedi u vlaku miruje s obzirom na referentni sustav vezan za vlak, ali se giblje s obzirom na sustav vezan za Zemlju. Svako gibanje je relativno gibanje prema određenom referentnom sustavu. Ponekad se pri proučavanju gibanja mogu zanemariti dimenzije tijela i tako čitavo tijelo predočiti jednom točkom mase m. To je tzv. materijalna točka koju često nazivamo i česticom, odnosno sitnim tijelom. Tako npr. vlak, automobil, raketu itd. pri proučavanju njihovog gibanja često aproksimiramo materijalnom točkom. Ponekad i vrlo velika tijela predočujemo kao materijalne točke (npr. Zemlju pri gibanju oko Sunca i sl.). Naravno nije uvijek moguće činiti takvu aproksimaciju; npr. pri rotaciji oko vlastite osi moramo uzeti u obzir dimenzije tijela ma kako one bile male. U takvim problemima tijelo zamišljamo kao skup materijalnih točaka čiji međusobni 1 Galileo Galilei (1564.-1642.), talijanski fizičar i astronom, jedan od osnivača eksperimentalne mctode. Izmcđu ostalog pronašao je zakone slobodnog pada, princip inercijc i zakon slaganja bndna. 2 Isaac Nevvton (1643.-1727.), engleski znanstvenik, jedan od najvećih fizičara svih vremena, postavio temelje fizike. Istovremeno s Leibnizom pronašao infinitezimalni račun.

31

razmsci ostaju uvijek stalni, tj. uvodimo aproksimaciju krutog tijela. Kruto tijelo se dakle ne deformira kad na njega djeluju sile. Za razliku od kiutih, realna čvista tijela deformiraju se pod utjecajem vanjskih sila, ali u većini slučajeva, te se deformacije rpogu zanemariti i pri proučavanju gibanja upotrijebiti model krutog tijela. Položaj materijalne točke najčešće određujemo pomoću njenih koordinata u pravokutnom Cartesijevom koordinatnom sustavu. Tako na crt 3.1. položaj materijalne točke određen je sa tri broja tj. udaljenostima x, y i z o d koordinatnih ravnina. Umjesto sa x, y i z položaj materijalne točke možemo odrediti i radijus vektorom r koji spaja ishodište koordinatnog sustava s materijalnom točkom. Vektor r zove se vektor položaja materijalne točke. Ako se materijalna točka giba, njene se koordinate mijenjaju u vremenu, tako da ona u prostoru opisuje neku krivulju, čija je jednađžba: r ( t ) = x ( t ) l + y(t)] + z(t)k .

(3.1.)

Putanja je dakle skup svih točaka kroz koje prolazi materijalna točka koja se giba, to je geometrijsko mjesto krajeva vektora r (t). Dio putanje koji materijalna točka pređe za određeno vrijeme zove se put. U trenutku f, točka je bila u položaju A, koji je ođređen vektorom položaja i j , a u trenutku t, + At u položaju B koji je određen vektorom položaja r2 . Pri tome je put s jednak dijelu luka putanje AB. Vektor A r = r2 — žj, koji spaja točku A i B, zove se vektor pomaka materijalne točke. Pomak je dakle promjena vektora položaja. Pojmove pomaka i puta ne treba miješati. Pomak A r je vektor, put ks je skalar. Očigledno As £ |r |. Jedino ako se točka giba po pravcu stalno u istom smjeru, pređeni put jednak je iznosu vektora pomaka.

3.2. BRZINA MATERIJALNE TOČKE Količnik promjene vektora položaja A r i intervala vremena At u kojem je ta promjena nastala, zove se vektor srednje brzine: Ar v^ = - , (3.2.) Vektor je, dakle, vektor paralelan sa pomjeranjem A r . Da bismo odredili trenutnu brzinu u momentu t kada se materijalna točka nalazi u po-

32

ložaju A, pustimo da vremenski interval A/ teži nuli, što se matematički može izraziti u obliku: ,_ _ .. dr v = ltm — = — = ? . (3.3.) /*-*> At dt Pa kažemo, trenutna brzina v jednaka je prvom izvodu vektora položaja pokreme točke po vremenu. Pošto je At > 0 onda prema (3.2) vektor u procesu limesa prelazi u položaj tangente u danoj točki. Prema tome, vektor trenutne brzine v ima pravac tangente u danoj točki putanje uperen u smjeru kretanja točke. U pravokutnom sustavu brzina v kao vektor ima tri komponente duž osa: x, y i z. Da bismo odredili te komponente razložimo vektor položaja r duž spomenutih osa i diferencirajmo ga po vremenu, prema (3.1) dobivamo: d x - dy - dz — i + — j + — k. dt d t J dt

(3.4.)

S druge strane, vektor brzine v može se kao i svaki vektor rastaviti na komponente duž koordinatnih osa i pročitati u obliku: v =vxi +vf j +vxk . Uspoređivanjem dobivamo: dx dt

(3.5.) dz — =z . dt

(3.6.)

3.3. UBRZANJE MATERIJALNE TOČKE Pri proizvoljnom kretanju točke po putanji njen vektor bnrine se mijenja. Promatrajmo gibanje točke A po krivolinijskoj putanji crt. 3.2. Neka je brzina točke u trenutku t, v , a u trenutku, t + At, v,. Vektor promjene brzine A v koji se desio u intervalu vremena At jednak je razlici vektora brzina u promatranim trenucima / i <+ A/, tj. Av = v, - v .

(3.7.)

Odnos vektora promjene brzine A v i vremenskog intervala At u kome je ta promjena nastala zove se vektor srednjeg ubrzanja točke A: Av

(3.8.)

At

33

S obzirom da je At skalama veličina i veća od nule, vektor ima isti pravac i smjer kao i vektor A v . Granična vrijednost tzraza (3.8) zove se vektor trenutnog ubrzanja točke A u trenutku vremena, tj. _ .. Av dv j. a = lun — = — = v . *-+o At dt

(3.9.)

đ? Pošto je vektor brzine v = — , uvrštavanjem ove vrijednosti u jednadžbu dt (3.9) dobivamo: (3.10.) U pravokutnom koordinatnom sustavu ubrzanje d kao vektor ima tri komponente duž osa x, y i z. Kako se vektor položaja može razložiti na komponente F = x i + y j + z k i njihovim diferenciranjem po vremenu dobivamo: „ ^ £ 7. d 2y - ~d 2z .r (3.11.) a = -T T t +— - j + - r r k . dt2 ~ d š‘ dt S druge strane, vektor a kao svaki vektor može se predočiti kao 5 = axi + ayj + axk .

(3.12.)

Uspoređivanjem koeficijenata ispred istih jediničnih vektora dobivamo: a=-

dt2 ’ Iznos vektora ubrzanja je:

d 2y .. '*= T ? = y '

d 2z „ a’ = T Š = z -

(3.13.)

(3.14.) V 'č +al + a 2 • Ubrzanje je vektor koji ima isti pravac kao trenutna promjena brzine. Pošto se pravac brzine mijenja u smjem savijanja putanje, ubrzanje je uvijek usmjereno u pravcu uđubljenosti krivulje i u općem slučaju pravac ubrzanja nije ni tangenta niti normala na krivulju, c rt 3.3. Ubrzanje možemo rastaviti na dvije međusobno normalne komponente: na tangencijalno ubrzanje a, u pravcu tangente i normalno u pravcu ubrzanja a„ u pravcu normale. Tada je

34

5 = 3, + a„.

(3.15.)

Svaka od ovih komponenti ubrzanja ima jasno definirano značenje: kada se materijalna točka giba, može da se mijenja iznos njene brzine i ova promjena brzine po iznosu karakterizira tangencijalno ubrzanje; kod krivolinijskog kretanja mijenja se i pravac vektora brzine, pa promjena brzine po pravcu karakterizira normalno ubrzanje. Promatrajmo materijalnu točku koja se kreće po krivoj liniji, c rt 3.4. U trenutku / neka je materijalna točka u A s brzinom v , a u trenutku /, = / + A/, materijalna točka je na mjestu B s brzinom v,. Pri čemu je A v = v, - v = = Av„ + Av, Vektor ukupnog ubrzanja je po definiciji Av Av .. Av, a = lim — = lim — - + lrra — Čt-+Q A f

A/

At-*Q &

(3.16.)

Uzimajući u obzir da za A/ —> 0, A0' —» A0, R x -+ R, dobivamo Av„ = A.y

vA0 i A 0 = — . Tada su komponente ubrzanja: _ Av, dv _ a, = lim —“ ■= — *-+o A/ dt a = lim = — lim — " &-*o A/ Ro>-*oAt

= — n0. R

Ukupno ubrzanje (3.17.)

3.4. VRSTE KtNEMATIČKIH GIBANJA Pojmovi vektora položaja, brzine i ubrzanja i njihovi odnosi omogućuju potpuno određivanje gibanja materijalne točke bez poznavanja uzroka toga gibanja. Dakle, za poznavanje gibanja točke potrebno je znati slijedeće funkcionalne ovisnosti od vremena: r = r (/), v = v(/), a = a(t).

(3.18.)

35

Sr— obzirom da ■postoje određeni odnosi između funkcija (3.18), naprimjer, * ■' v = — , a = — , itd., za poznavanje gibanja točke dovoljno je znati bar jednu od funkcija navedenih u jednadžbi (3.18). Ostale se funkcije mogu dobiti matematičkim postupcima koji ovise od relacija koje vezuju spomenute funkcije. Prema obliku fiinkcije u jednadžbi (3.18) gibanja materijalne točke dijele se na: • Prema obliku putanje na gibanja duž pravca i gibanja duž krive linije, specijalan slučaj kružno gibanje. • Prema brzini gibanja na jednoliko i promjenljivo gibanje. • Prema ubrzanju gibanja na jednako ubrzana gibanja (odnosno usporena) i nejednako ubrzana (odnosno usporena) gibanja.

3.4.1. Jednoliko gibanje duž pravca Najjednostavnije gibanje je jednoliko gibanje po pravcu. Za poznavanje ovog gibanja potrebno je definirati položaj tog pravca u prostoru u odnosu na koordinatni sustav i odrediti zakon puta. Položaj pravca u odnosu na dati koordinatni sustav određen je vektorom položaja jedne točke tog pravca i jediničnim vektorom kao što je pokazano na c rt 3.5. Obilježimo rastojanja A^A = j . U tom slučaju vektor pomjeranja točke A u odnosu na A^ bit će: A»A = » t 0 .

(3.1St)

Položaj pokretne točke A u svakom trenutku bit će određen jednadžbom: r = r0 +s(t)x0.

(3.20.)

Ovo je vektorska jednadžba pravocrtnog gibanja. Brzina ovog gibanja određuje se diferenciranjem jednadžbe (3.20) po vremenu tj. vr„

(3.21.)

jer su r0 i r 0 konstanmi vektori u odnosu na koordinatni sustav. Prema gomjoj jednadžbi vektor brzine vt0 je stalan vektor po pravcu i smjeru, njegov iznos zavisi od promjene puta u toku vremena tj.

36

ds (3.22.) dt Integriranjem jcđnadžbe (3.22) dobivamo pređeni put u toku vremena s = vt+ C ,

(3.23.)

gdje je C konstanta integracije i određuje se iz početnih uvjeta. Naprimjer, za / = 0 neka je s = s0 tada je i C = a0 pa će jednadžba imati oblik (3.23.)

Crtež 3.6.

N a c rt 3.6 dati su s-t i v-t dijagrami za jednoliko pravocrtno gibanje. Put je lineama funkcija vremena; koeiicijent smjera tog pravca (tga) ovisan je o brzini tijela. Budući da je brzina konstantna, v-t dijagram je pravac paralelan s osi t, površina ispod tog pravca (iscrtkani pravokutnik) predstavlja pređeni put u vremenu t^ - tv

3.4.2. Pravocrtno jednako ubrzano gibanje Mnoga ubrzana ili usporena gibanja (ubrzanje ili kočenje automobila, slobodni pad itd.) možemo dobro aproksimirati ovim gibanjem. Kod ovog gibanja vektori pomjeranja, brzine i tangencijalnog ubrzanja su istog smjera i pravca. Pošto je a = — = const.

dt

(3.24.)

Integriranjem gomje jednadžbe dobivamo v = af + C,.

(3.25.)

Neka je za t = 0, v = vc tada je C, = v0 pa jednadžba (3.25) dobiva oblik v = a/ + v0

(3.26.)

.

37

koja predstavlja zakon promjene bizine u toku gibanja točke. Pošto je brzina prvi izvod puta po vremenu gomju jednadžbu možemo napisati u obliku:

ili

Jds = Jatdt + Jv0dt odakle, integriranjem dobivamo: s = —ar2 + v0/ + C , .

2

(3.27.)

Neka je za to t = 0, s = s0 tada je C2 = s0 pa prethodnu jednadžbu možemo napisati u obliku: s = ^ a f J + v0f + s0 .

(3.28.)

Na crt. 3.7 grafički su predočene funkcije puta, brzine i ubrzanja pravocrtnog jednako ubrzanog gibanja.

Crtež 3.7.

Eliminirajući vrijeme iz relacije (3.26) i (3.28), dobivamo vezu izm^tu puta i brzine: ____________ v = i j 2 a ( s - s 0) + v Z . (3.29.)

3 .4 3 . K ružno gibanje Kada ubrzanje materijalne točke nema isti pravac kao brzina, već s brzinom zatvara kut različit od nule, materijalna točka uvijek će se gibati po zakrivljenoj liniji. Kosi hitac je jedan primjer takvog gibanja. Drugi primjer je kružno gibanje. Gibanje materijalne točke po kružnici je gibanje u ravni. Neka kružnica leži u (x.y) ravnini Cartesijevog koordinatnog sustava (crt. 3.8). Položaj materijalne točke možemo opisati Cartesijevim koordinatama x i y ili polamim 38

koordinatama r i .

y

X

(3.30.)

Kut q> se obično izražava u radijanima i jednak je omjeru luka s i polumjera r

Crtež 3.8.

q> = - ( r a d ) . (3.31.) r Puni kut (360°) ima 2rt radijana, tako da je: (3.32.) Iz relacije (3.31) slijedi izraz za prevaljeni put: s =
3C..5

• 39

— = © = const. <3.35.) dt Integriranjem izraza (3.35) dobiva se lineama ovisnost kuta o vremenu: cp = cp0 + ti)t,

(3.36.)

gdje je cp0 kut u vremenu t = 0. Za opisivanje jednolikog kružnog gibanja korisno je definirati frekvenciju i vrijeme potrebno za jedan puni krug-period. Očito je za jednoliko kružno gibanje:
T =y .

(3.37.)

Jednoliko kružno gibanje je zapravo ubrzano gibanje, jer se pri njemu stalno mijenja smjer obodne brzine, crt. 3.10, iako joj iznos ostaje konstantan. Iznos promjene brzine |Av| jednak je Av = vAq>. Podijelimo li obje strane ove relacije sa At uz granični prijelaz At —> 0, dobivamo iznos vektora ubrzanja koji mijenja smjer brzine: Av vAcp ar = lun — = lim — —= vco. (3.38.) &>-*oAt a/-*o A/ Ova akceleracija ima smjer prema središtu kružnice i, zbog toga, zovemo je radijalna (normalna) ili centripetalna akceleracija. Ako sa -F0 označimo jedinični radijus vektor usmjeren prema središtu kružnice, izraz (3.38) za radijalnu akceleraciju možemo pisati vektorski:

ar = -rxo2F0 = - — r0 = 5 x v ,

(3.39.)

gdje smo različite oblike za radijalnu akceleraciju dobili kombiniranjem izraza (3.33) i (3.38).

40

3.4.4. Nejednoliko kružno gibanje Pri nejednolikom kruženju iznos obodne brzine nije više konstantan već se mijenja s vremenom. Zbog toga je ukupna akceleracija sastavljena od radijalne akceleracije ar i tangencijalne akceleracije a ,. Radijalna je komponenta ukupna akceleracije u smjeru - r , dok je tangencijalna akceleracija komponenta akceleracije u smjeru tangente. Tangencijalna akceleracija nastaje zbog promjene iznosa obodne brzine: dv da = — = —1— - = r — = m , dt dt dt

(3.40.)

gdje je d 2ip (3.41.) ~dtr kutna akceleracija (ubtzanje). Jedinica kutne akceleracije je rad s'2. Ako kutnu akceleraciju definiramo kao vektor čiji je iznos ođređen formulom (3.41), dok joj je smjer okomit na ravan kruženja, tada relaciju (3.40) možemo napisati i u vektorskom obliku:

a,=axr

(3.42.)

Pri jednolikom gibanju po kružnici <5 = const, odnosno a = 0 te je i tangencijalna akceleracija nula. To je i jasno: jer se pri takvom gibanju brzina čestice mijenja samo po smjeru, dok je iznos konstantan. Pri nejednolikom kružnom gibanju postoji i radijalna i tangencijalna akceleracija. Prva od njih ima sm jer-ž^, dalde prema središtu kružnice, dok je đruga u smjeru tangente: one su dakle okomite jedna na drugu. Ukupnu akceleraciju 3 dobivamo ako vektorski zbrojimo ove dvije akceleracije: 5 = 3, + ar .

(3.43.)

Poseban slučaj nejednolikog kružnog gjbanja je gibanje s konstantom kutnom akceleracijom ( a = const.). Zakone takvog gibanja možemo dobiti iz formule (3.41) uzimajući u obzir da je a = cpnst. i da je u trenutku t = 0, kut cp = 0, a oo = 0J0. Integrirajući izraz zfo = ad t dobivamo: • t dco = a d t, odnosno

j

J

»o

0

© = a t + ©0.

(3.44.)

Daljnjim integriranjem izraza (3.44) napisanog u obliku 3

9

r

t

t

Jd(p =J(a/+
q) = ic u 2+
(3.35.)

Ovi izrazi analogni su izrazima za pravocrtno gibanjc. Tablica pokazuje formalnu analogiju među formulama pravocrtnog i kružnog gibanja. Ako u formule pravocitnog gibanja umjesto s, v i a uvrstimo
Pravocrtno gibanje

Knižno gibanje

ds v~Tt d*s a = — 5d i1 s = \t+ s0

d

s =
1 , s = - a r +v0t + s0

1 2 s = - a r +
v2 = 2 as + v^

v2 =2a
■»

42

4. DINAMIKA ČESTICE

4.1. UVOD U kinematici smo proučavali zakone gibanja bez obzira na uzroke koji su to gibanje proizveli. Sada ćemo proučiti dinamiku koja razmatra fizikalne uzroke gibanja. Osnova dinamike su tri Nevvtonova aksioma1, koje je još 1686. formulirao engleski fizičar Isaac Newton. Iz tih aksioma može se izgraditi tzv. klasična i]i Newtonova mehanika. Newtonova mehanika izvrsno opisuje makroskopske pojave, dakle tijela dimenzija većih od atoma i molekula, te brzine mnogo manje od brzine svjetlosti. Za opisivanje mikrosvijeta (atoma i molekula) moraju se primijeniti zakoni kvantne mehanike, a za velike brzine upotrebljavaju se zakoni relativističke mehanike (Einsteinova teorija relativnosti). Osnovne fizikalne veličine dinamike su sila i masa. Iz svakodnevnog života znamo što je sila: kad guramo ili vučemo neki predmet, kad istežemo elastičnu oprugu, kažemo da djelujemo silom. U fizici silu opisujemo pomoću nj'enog djelovanje. Ako jedno tijelo dovodi u kretanje drugo tijelo, onda se ovo prvo ponaša kao uzrok za kretanja drugog tijela, odnosno ova đva tijela međudjeluju (interagiraju). Fizička veličina kojom se mjere interakcije između tijela naziva se sila. Djelovanje sile može biti dvojako: • sila može ubrzati ili usporiti neko tijelo; tj. promijeniti mu stanje gibanja, • sila može promijeniti oblik tijela (deformacija). U dinamici se proučava samo prvo djelovanje sila, tj. sila kao uzrok promjene stanja gibanja nekog tijela. Drugo djelovanje sile, deformaciju tijela, možemo upotrijebiti za mjerenje sile. Jedan od najjednostavnijih načina mjerenja sile je pomoću dinamometra. To je elastična opruga jednim krajem učvršćena na vrhu pod djelovanjem sile. Što je veća sila koja djeluje na dinamometar to će se opruga više produljiti; mjereći produljenje, može se 1 Aksiom je osnovni zakon koji se ne đokazuje.

43

mjeriti sila. Produljenje opruge pod utjecajem vanjske sile lineamo je u granicama elastičnosti opruge i može se prikazati izrazom: F = k A/,

(4.1.)

gdje je F sila koja djeluje na oprugu, A/ produljenje opruge, a k tzv. konstanta opruge. Danas je poznato da postoje četiri osnovna tipa međudjelovanja među česticama (molekulama, atomima, te elementamim česticama). To su gravitacijska sila, elektromagnetska sila, sila slabe interakcije i sila jake interakcije. G ravitacijska sila djeluje između tijela po Newtonovom zakonu gravitacije: F =-y

r

2 r0>

(4.2.)

gdje su m, i m2 mase tijela koje međudjeluju a r, rastojanje između centara masa tih tijela, y = 6,67-10- ' 1 Nm^kg’2 gravitacijska konstanta, r0 jedinični vektor. Intenzitet gravitacijskih sila razmjeran je masama tijela a opada sa kvadratom rastojanja između njih. Uslijed toga, ove sile dolaze do izražaja kod tijela velikih masa, kao što su nebeska tijela, i djeluju na velikim rastojanjima. Elektrom agnetske sile potiču uslijed međudjelovanja naelektrisanih (nabijenih) tijela. Ukoliko su naelektrisanja u relativnom mirovanju, interakcija je izražena tzv. Coulombovom1 silom: F =±

1 4ne0

(4.3.)

gdje s u q x i q2 naelektrisanjaar-rastojanje između centara tih naelektrisanja, = 8,85-lCT12 Fm"1 dielektrična konstanta vakuuma. Ukoliko se naelektrisanje kreće u magnetskom polju B , na njega djeluje magnetska sila: F = q{v x B) (4.4.) gdje je v brzina naelektrisanja, q naboj a B magnetska indukcija. Ako osim magnetskog, na naboj djeluje i električno polje, ukupna elektromagnetska (Lorentzova) sila je vektorski zbroj električne i magnetske sile: F = qE + q{yxB ).

(4.5.)

Međudjelovanje između molekula, atoma kao i sile unutar atoma su elektromagnetske prirode, koje dolaze do izražaja na relativno malim rasto1 Charles Augustin Coulomb (1736-1806), trancuski inženjer.

44

janjima. Intenzitet elektromagnetskih interakcija je mnogo puta veći od intenziteta gravitacijskih. Nuklearne sile djeluju između čestica atomskog jezgra bez obzira na njihovo naelektrisanje. Nukleame sile djeluju na malim rastojanjima, oko 10*15 m i velikog su intenziteta, većeg i od elektromagnetskog. Masa je svojstvo svakog tijela koje određuje njegovo ponašanje pri djelovanju sile: što je masa tijela veća ono je tromije (inertnije), to ga je teže ubrzati ili usporiti, tj. promijeniti mu stanje gibanja. Masa je mjera tromosti (inercije) tijela. Kvantitativna mjera za inerciju predstavlja fizikalnu veličinu koja se zove masa. Ova fizikalna veličina određuje inertna i gravitacijska svojstva tijela. Na osnovu gomjeg zaključka, masa se ne može definirati kao količina tvari (materije), jer je materija općenitiji pojam od mase. Masa se ne može smatrati ni kao količina tvari, jer svaka tvar posjeduje veliki broj različitih svojstava, a inercija je samo jedna od njih. Prema tome pod pojmom mase treba podrazumijevati mjem tromosti tijela.

4.2. PRVI NEWTONOV AKSIOM Još je Galilei uočio da tijelo na koje ne djeluju vanjske sile ostaje na mim ili se giba jednoliko po pravcu. Da pokrenemo tijelo koje mimje potrebna je određena sila; također, tijelo koje se giba jednoliko po pravcu ostat će u tom stanju gibanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila. Kuglica na horizontalnoj ravni bez trenja gibat će se (beskonačno dugo) jednoliko čim je jednom stavimo u pokre t Svojstvo tijela da održava svoje stanje gibanja ili mirovanja zovemo ustrajnost, tromost ili inercija. Proučavajući Galileieva razmatranja, doIsaac Newton šao je Newton do svojeg prvog aksioma1. Svako će tijelo ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih sila to stanje ne promijenL 1 Osnovne zakone (aksiome) o gibanju tijela Newton je postavio je 1687. godine u djelu “Philosophiae naturalis principia mathematica” (Matematički zakoni prirodne znanosti).

45

Prvi Nevvtonov aksiom se često zove i princip ustrajnosti (tromosti ili inercije). Položaj tijela određujemo s obzirom na neko drugo tijelo (okolinu) izborom referentnog sustava. Prvi Newtonov aksiom ne važi u svakom referentnom sustavu. Tako npr. kuglica koja miruje na stolu U vlaku koji se giba jednoliko po pravcu pomaknut će se čim taj vlak zakoči ili ubrza iako na nju okolina pri tom ne djeluje. Sustavi u kojima važi prvi Nevvtonov aksiom su inercijalni sustavi; prihvaćanjem ovog aksioma ograničili smo se na opisivanje pojava u inercijalnim sustavima. Postojanje inercijalnih sustava potvrđuje se eksperimentalno (sa određenom točnošću), tako naprimjer, iz astronomskih opažanja i izračunavanja ubrzanja nebeskih tijela, ustanovljena je inercijalnost heliocentričnog sustava. Odnosno, Sunčev sustav se kreće po inerciji ka centru naše Galaksije. Svaki sustav koji miruje ili se giba jednoliko po pravcu s obzirom na neki inercijalni sustav opet je inercijalni sustav. M irovanje i jednoliko gibanje po pravcu ravnopravni su. Tijelo koje u jednom inercijalnom sustavu miruje u drugom inercijalnom sustavu može mirovati ili se gibati jednoliko po pravcu.

4 3 . DRUGI NEWTONOV AKSIOM Prvi aksiom opisuje ponašanje točkastog tijela kad na njega ne djeluju druga tijela ili kad je rezultanta sila nula. Drugi aksiom opisuje kako se ponaša tijelo kad na njega djeluje određena vanjska sila F. Iz iskustva je poznato, a i brojni pokusi mogu potvrditi, da je akceleracija tijela proporcionalna sili i ima smjer sile. Konstanta proporcionalnosti između sile i akceleracije je masa tijela m : , F = m a. (4.6.) Masa je mjera za inerciju (tromost) tijelar što je masa tijela veća, to je za isto ubrzanje potrebna veća sila. Masa koja se pojavljuje u relaciji (4.6.) naziva se, upravo zbog tog svojstva, tromom masom tijela. Ovu vezu između sile, mase i akceleracije zovemo drugi Nevvtonov aksiom u nerelativističkom obliku ili jednadžba gibanja. Napisan u ovom obliku 2. Newtonov aksiom vrijedi u granicama valjanosti Newtonove mehanike, tj. za brzine mnogo manje od brzine svjetlosti i zato se i zove nerelativistički. Pomoću jednadžbe (4.5.) možemo izvesti jedinicu za silu [^] = [m] [a] = lkg • Im s'2= lkg • ms'2= 1N. Jedinica za silu je dakle 1 njutn (N). 1N je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od 1 m/s2.

46

Da bismo općenito foimulirali 2. Newtonov aksiom, potrebno je definirati kollčinu gibanja tijela1 (Impuls). To je vektorska veličina jednaka produktu mase i brzine: p —m v. (4.7.) Newtonova formulacija drugog aksioma, prevedena na današnji jezik fizike, glasi: Brzina promjene količine gibanja proporcionalna je sili i zbiva se u pravcu te sile: F =4 (* .v )» f. (4.8.) dt ' dt Ovako napisan 2. Newtonov aksiom vrijedi i za velike brzine (usporedive s brzinom svjetlosti); zato se formula (4.8.) često zove relativistički oblik drugog Newtonovog aksioma. Formula (4.8.) prelazi u (4.6.) u slučaju kad su brzine tijela malene u usporedbi s brzinom svjetlosti (v « c ) . U tom slučaju masa tijela je konstanma, tc je: F=

d(mv) •• —

dt

dv 171--------

dt

= ma

(4.9.)

Ova jednadžba predstavlja diferencijalnu jednadžbu gibanja tijela, u kojoj je F rezultanta svih interakcija tijela mase m sa svim drugim tijelima, a 5 ubrzanje tijela u odnosu na neki inercijalni sustav. Prvi i drugi Newtonov aksiom su neovisni jer prvi konstatira svojstva tijela,adrugikarakteriziragibanjetj£elapoddjelovanjemsile.Zaslučaj F = 0 na osnovu jednadžbe (4.9.) je i — = 0 odakle slijedi v = koiist. uz pretpostavku da je fimkcija v određena u intervalu u kojem je F = 0. Odnosno, ova činjenica daje suglasnost spomenutih aksioma a ne njihovu zavisnost. Jednadžba (4.9.) predstavlja drugi Newtonov aksiom u vektorskom obliku. Odgovarajuće skalame jednadžbe dobivaju se množenjem jednadžbi (4.9.) sa jediničnim vektorima koordinatnih osa, i , j i k . _ dvr d 2x - m

dr

dvv

da.y = m ---ir dt2

(4.10.)

Fz 1 Teoretski fizičari često količinu gibanja nazivaju impulsom, pa je potrebno obratiti pažnju pri čitanju literature, na impuls i impuls sile.

47

M asa i težina. Težina tijela G je sila kojom tijelo djeluje na horizontalnu podlogu ili na objesište u slučaju da je obješeno. Težina tijela uzrokovana silom teže, usmjerena je vertikalno prema dolje i iznosi: G = mg

(4.11.)

gdje je g * 9,81 m/s2, akceleracija sile teže.

4.4. T R E Ć I N E W T O N O V A K S IO M U prvom i drugom Newtonovom aksiomu govori se o sili ili silama koje djeluju na određeno tijelo, ne vodeći računa o izvorima tih sila. Pošto sila u krajnjem slučaju karakterizira interakciju dva tijela, njihova uloga pri interakciji se definira trećim Newtonovim aksiomom koji glasi: Svakom djelovanju (akclji) uvijek je suprotno i jednako protudjeiovanje (reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednog na drngo uvijek su jednaka i protivnog sm jera. Treći Newtonov aksiom kao i prva dva potiče iz uopćavanja eksperimentalnih činjenica. Naprimjer, ako tijelo A (Zemlja) mase mA djeluje na tijelo B (kamen) mase m^, silom F AB crt. 4.1., onda će i tijelo B djelovati na tijelo A silom F AB. Ove sile su jednake po iznosu i pravcu a suprotnog su smjera, pa se može napisati: =

(4.12.)

Jedna od ovih sila F BAt recimo^ zove sc a k d ja i njena napadna točka je u tijelu B (kamenu), odnosno sila F BA napada tijelo B. Druga sila tj. F AB zove se reakcija, njena napadna točka je u tijelu A (Zemlji) koje napada. Koju, od spomenutih sila, ćemo nazvati akcijom a koju reakcijom s fizičkog stanovišta je sasvim svejedno, jcr su obje bile iste prirode. Pod djelovanjem sila F ba i F ab, tijelo B i tijelo A mogu promijeniti stanje gibanja (dinamičko djelovanje sile) ili pak izvršiti kakvu deformaciju svog oblika (statičko djelovanje sila). Karakteristike gibanja tijela pod djelovanjem sile određene su drugim Newtonovim aksiomom po kojem, u našem primjeru, tijela dobivaju ubrzanja:

48

- =-&±^BA aB

1 5a = ^ mA dakle prema jednadžbi (4.12.) dobivamo: m. . m*aB = ~mKaK ili aB = - —Am* odnosno (4.13.) mk Dakle, oba tijela mijenjaju stanje gibanja (dobivaju ubrzanja) zbog uzajamnog djelovanja, samo je ta promjena, prema jednadžbi (4.13.) obmuto proporcionalna masi tijela. U našem primjeru, masa kamena je zanemarivo mala u odnosu na masu Zemlje, pa je uslijed toga njegovo ubizanje aB vrlo uočljivo svakom promatraču. S druge strane, promjena gibanja Zemlje uvjetovana međudjelovanjem sa kamenom zanemarivo je malena zbog mB/mA pa se ne može konstatiratj nikakvim instrumentom, mada u stvamosti postoji. Treći Newtonov aksiom može se ilustrirati i 5 direktnim ili statičkim međudjelovanjem tijela. Na primjer, ako na stol stavimo teg, c rt 4.2., teg će djelovati na stol silom Q čiji je pravac vertikalan a smjer na niže (ka centru Zemlje). Napadna točka sile Q će se nalaziti na stolu. S dmge strane, stol će djelovati na uteg silom R čiji je pravac i iznos 5 isti kao kod sile Q samo suprotnog smjera. NaCitež 42. padna točka sile R nalazit će se u utegu.' Na osnovu trećeg Nevvtonovog aksioma za ovaj primjer možemo napisati: Q + R = 0.

(4.14)

Jednadžba (4.14.) ne predstavlja uvjet djelovanja dvije jednake sile na jedno tijelo, jer ove sile djeluju na različita tijela (stol i uteg), pa se sila po tijelu pojedinačno razlikuje od nule. Prema tome, treći Newtonov aksiom izražava jednakost sila koje djeluju na različita i usamljena tijela, pa se svako od njih nalazi pod djelovanjem samo jedne sile, koja mu saopćava ubrzanje prema relaciji (4.13.). Znak minus, ujednadfti (4.13.) označava da su ubrzanja tijela istog pravca ali suprotnih smjerova. Na osnovu razmatranja sva tri Newtonova aksioma kao jedinstvene cjeline, za inercijalne sustave može se zaključiti slijedeće: svako ubrzanje tijela uvjetovano je nekom silom. Svaka sila je mjera djelovanja nekih drugih tijela na uočeno tijelo i na kraju, sile imaju karakter uzajamnog djelovanja.

49

Aksiomi koje je formulirao Newton predstavljaju uopćavanje iskustvenih činjenica koje su bile poznate i prije njega. Newtonova zasluga je u tome što je on pokazao da se sva mehanička gibanja mogu opisati pomoću spomenuta tri aksioma, uzetih kao osnova mehanike, pa se često ta mehanika zove i Newtonova mehanika.

4.5. D IFEREN CIJA LN A JEDNADŽBA GIBANJA Prvi i drugi Newtonov aksiom određuju odnose između kinematičke veličine ubizanja i dinamičkih veličina, mase tijela i rezultujuće sile koja djeluje na njega, tj. d 2r F (4.15.) d t2 m Ovoj vektorskoj jednadžbi odgovaraju tri skalarne jednad&e u pravokutnom koordinatnom sustavu: d 2x d t2

Fx _ d 2y m ' dt2

Fy d 2z m ' dt2

Fx m

(4.16.)

Iz eksperimentalnih proučavanja djelovanja neke sile na određeno tijelo, mase m, relativnog vektora položaja r i brzine v , ustanovljeno je da u općem slučaju sile interakcije dva tijela zavise od relativnog položaja i brzine oba tijela, po nekom određenom zakonu, koji se može izraziti matematičkom funkcijom u obliku: F = F ( r ,v ,/) -

(^17.)

S obzirom na jednadžbu (4.17) drugi Newtonov aksiom možemo izraziti u obliku: d 2r _ , (4.18.) m ~dŠ = F (r >v’t > ili F = m\

' d 2x , dt1

d 2y d tl J

d 2Z j-\ dt2 J

(4.19.)

Ako su poznati: rezultantna sila F = F ( r , v , t) koja djeluje na tijelo i njegov početni položaj i brzina (početni uvjeti), onda se zadaća dinamike sastoji u ođređivanju gibanja tijela pod djelovanjem spomenute sile.

50

4.5.1. Pravocrtno gibanje materijalne točke pod djelovanjem konstantne siie Ako se materijalna točka giba duž jeđnog pravca, kaže se da je gibanje pravocrtno. To može da bude i jedna od osa pravokutnog koordinatnog sustava, naprimjer Jt-osa. Diferencijalna jednadžba pravocrtnog gibanja materijalne točke po jc-osi, na osnovu jednadžbi (4.18.) bit će: d 2x J m —r r = F\ dt {

dx \ — ,t . dt J

Kod ovog gibanja, sila F i početni parametri jc0 i moraju imati stalan pravac, i to x-ose. Kao primjer ovakvog gibanja uzima se slobodni pad materijalne točke ili vertikalni hitac u vakuumu pod djelovanjem sile teže, koja se može smatrati da je konstantna na malim rastojanjima u odnosu na poluprečnik Zemlje. Komponente sile teže prema crt. 4.3. su: Fz = mg, Fy = F. = 0.

(4.20.)

Crtež 4.3.

Diferencijalna jednadžba gibanja u ovom slučaju prema (4.20.) je: d 2x m — 5- = mg = const. dr

(4.21.)

odakle,

Integriranjem dobivamo ^ = g* + Ct , (4.22.) đt gdje je C, integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta gibanja. Ponovnim integriranjem dobivamo, x = i g r 2 +C ,/ + CJ ,

(4.23.)

gdje je C2 nova integraciona konstanta. Jeđnadžba (4.23.) je opće iješenje diferencijalne jednadžbe gibanja materijalne točke pod djelovanjem sile teže. Prema veličini početne brzine razlikuju se tri slučaja ovog pravocrtnog gibanja: slobodni pad, hitac uvis i hitac nadolje.

51

Slobodni pad. Pri slobodnom padu materijalna točka počinje gibanje bez početne brzine, tj. za t = 0, v/O) = 0 i x(0) =Xo. Za ove početne uvjete dobivamo da je C, = 0 (4.22), a iz (4.23) C2 = x „, pa imamo: v = ~~ = gt i x = ]-g t2 + x0, y = 0, z = 0, dt 2

(4.24.)

vT= ^ 2 g ( x - x 0) = f i g š .

(4.25.)

odnosno

Hitac uvis se dobiva iz jednadžbe (4.23.) pri početnim uvjetima: za t = 0, v(0 ) = —v0 i x(0 ) = 0 , što znači da se materijalna točka kreće suprotnom brzinom v0 u odnosu na x-osu. Za ove početne uvjete iz jednadžbe (4.22.) dobivamo C, = -v 0 a iz jednadžbe (4.23.) C2 = 0 pa jednadžba brzine i puta hica uvis imaju oblik: dx i x = ^ g t 2- v 0t, y = z = 0 .

(4.26.)

Hitac nadolje. Kod hica nadolje materijaina točka polazi iz točke A početnom brzinom v0, usmjerenom nadolje, u smjeiu ose-x. Za ove početne uvjete, t = 0, v /0 ) = v0 i x(0) = *0, dobivamo da je C, = v0 i C2 = x0. Brzina i pređeni put kod hica nadolje može se izraziti kao: v .= f =^ v , i x = ^ g t 2 +V0t + x0 .

(4^7.)

4.5.2. Gibanje materijalne točke pod djelovanjem sile oblika F = F ( v ) Kao primjer za ovo gibanje, promatrajmo gibanje materijalne točke kroz neku otpomu sredinu. Prema eksperimentalnim podacima svaka sredina pruža otpor izražen kao sila otpora pri gibanju nekog tijela kroz nju. Sila otpora zavisi od fizičkih svojstava sredine, brzine gibanja i dimenzija čestice. Ako su dimenzije i brzina čestice male, tada je sila otpora sredine proporcionalna brzini kretanja čestice, tj. F = -k ,v .

52

(4.28.)

Znak minus označava da je sila suprotnog smjera, prema brzini čestice, a broj k, > 0, zavisi od svojstava sređine i dimenzija čestice. Naprimjer, za kuglicu poluprečnika r, sila otpora po Stokesu, F = - 6 n t|r v , gdje je t| - koeficijent viskozne sredine. Razmotrimo gibanje materijalne točke početne brzine v0 u pravcu i smjeru jc-ose u otpornoj sredini koeficijenta crt. 4.4.

ili

Jednadžba gibanja materijalne točke za ovaj slučaj je: d 2x m S f — l'v-

(4.29.)

dv^ - f e - a v ., (4.30.) dt m gdje je a = — . Razdvajanjem promjenljivih i integriranjem, dobivamo ftt dv **r.T = - a j d t odnosno

J

lnvx = - a / + C , .

(4.31.)

Pošto je iz početnih uvjeta za / = 0, vx(0) = v0, onda iz (4.31.) dobivamo da je C, = ln v^, pa slijedi v, = v0e-"“,

(4.32.)

Kako je a > 0, onda je e~txt < 1, a to znači da je vx < v,,, tj. brzina čestice se smanjuje sa vremenom, njeno gibanje je usporeno. Integriranjem jednadžbe (4.32.) dobivamo zakon puta u obliku:

f

* = v0 e~a'd t = - — e~at + C ,. (4.33.) 1 a Stavljajući za / = 0, x(0) = 0, iz jednadžbe (4.33) dobivamo: C2 = — , a konačna jednadžba puta čestice je: a x = ^ - ( l - e — ).

(4.34.)

Kad vrijeme raste, član e~°* teži nuli, pa ukupni pređeni put čestice u otpomoj sredini dobiva graničnu vrijednost: x D = limx = — . '-*• a

(4.35.)

53

4.53. Pravocrtno gibanje materijalne točke pođ djelovanjem sile F = F ( t ) Kao primjer ovom gibanju razmotrimo gibanje naelektrisane čestice u promjenljivom električnom polju. Neka čestica mase m i naelektrisanja e* ulijeće u pravcu električnog polja koje se mijenja po zakonu: E = E0 coscof.

(4.36.)

gdje su E0 i ra konstantne veličine. Ako su početni uvjeti gibanja čestice slijedeći: za t = 0, čestica se nalazi na rastojanju x0 i ima početnu brzinu v^, u odnosu na koordinami sustav vezan za ploče kondenzatora, crt. 4.5. Treba odrediti brzinu i položaj naelektrisane čestice u proizvoljnom trenutku vremena t> 0. Na česticu djeluje elektrostatska sila čija je ovisnost od vremena t izražena jednadžbom: F = F (t) = e E0 cosat.

(4.37.)

Pošto je pravac sile F uvijek isti kao i vektora E0, a to je pravac z-ose, onda sila F ima samo komponentu duž z-ose, pa jednađžba kretanja čestice bit će: (4.38.) odnosno (4.39.) Integriranjem dobivamo: -

coso>fcfr=— -sincof + C ,.

(4.40.)

Ponovnim integriranjem dobivamo izraz za put: (4.41.)

Crtež 4.5.

54

Koristeći početne uvjete dobit ćemo jednadžbe brzine i puta, gibanja naelektrisane čestice u obliku: v = — -sin

(4.42.)

x = - ^ t (1 - cosat) + x0xt + x0

(4.43.)

ma>

4 .6 . G E B A N JE Č E S T IC E U H O M O G E N O M G R A V IT A C IJS K O M P O L J U Ograničimo naža razmatranja na područje laboratorija, koje je maleno u usporedbi s veličinom Zemlje, pa možemo s dobrom točnošću uzeti da je gravitacijska sila na česticu svugdje ista po iznosu i ima isti smjer na dolje. Ubrzanje naniže zbog te sile dano je lokalnom vrijednošću ubrzanja (obično se uzima g « 9,81111/s2) pa sila na česticu iznosi mg. Tu silu pišemo vektorski F = -m g • j , gdje su x, y i z osi odabrane kao na crt. 4.6. Ako možemo ispustiti drage sile kao što je trenje, onđa iz dragog Newtonovog aksioma dobivamo jednadžbu gibanja: dry - d 2z -i + (4.44.) j + J J k ~ ~mS •J d tl d tl ' d t2 Odgovarajuće skalame jednađžbe po komponentama dobivamo ispuštanjem jediničnih vektora: m

m

d 2x d 2y = 0, r n - r - m g . d t2

(4.45.)

55

Integracijom (4.45.) dobivamo: f

= v , = C„ £

. V . - * + C1. f = v , . C s.

(4.46.,

Iz početnih uvjeta gibanja, stavljanjem l = O u jednadžbama (4.46) dobivamo: Cj = vfc = v0cosa, C2 = v^, = v0sina, C3 = vte = 0. Ponovnom integracijom (4.46.) dobivamo: — = vncosa, odavde slijedi x = v0cosa / + C4 đt 2 — = v0 sina - gt, odavde slijedi, y = v0 sin a-1 + Cs (4.47.) dt dz — = 0 , odavde slijedi, z = C6. dt Iz početnih uvjeta gibanja, stavljanjem t = 0 ujednadžbe (4.47.) dobivamo: C4 = x0, C3 = Po, C6 = z<). Zamjenom vrijednosti integracionih konstanti u jednadžbe (4.46.) i (4.47.) dobivamo jednadžbe brzina i puta u ovisnosti od vremena kod promatranog gibanja: vx = v0 cosa vy = v0 sina - gt

(4.48.)

v_=0 l x = v0 cosa • / + x„ e t1 y = v0 sina • / +y0

(4.49.)

z = 0. Eliminiranjem vremena t iz jednadžbi (4.49.) dobivamo jednadžbu putanje kosog hica: y = y 0 + tg a ( x - x 0)~

. 8 2 - ( x - x 0)2. (4.50.) cos, ct Ako su Vo, g i a - zadane konstante, jednadfta (4.50.) predstavlja parabolu, crt. 4.6. Njeno tjeme određeno je maksimumom funkcije, pa dobivamo: ^ = tg a g ( x - x 0) = 0 dx vj cos a

56

(4.51.)

pa će koordinate tjemena biti: v? V2 Jrr = x t sin 2 a + *0’ >y = ;^-sinJ a + ;>v

(4.52.)

Rastojanje D — Xj —x0 nazrva se domet kosog hica i dobiva se iz uvjeta y = y 0, prema jednadžbi (4.50.) imamo, D=

2 Vq cos2q

tgq

vg sin 2a

8

4.7.

(4.53.)

g

G IB A N JE N A E L E K T R IS A N E Č E S T IC E U H O M O G E N O M E L E K T R IČ N O M P O L J U

Jednadžba gibanja za naboj q i masu m u električnom polju E , koje je homogeno u prostoru i stalno u vremenu glasi

F=ma=qE,

(4.54.) gdje je q naboj čestice, E vektor električnog polja. Iz (4.54.) dobivamo: - d 2r a (4.55.) d t2 Integriranjem po vremenu i koristeći početne uvjete, za t = 0, v = v0 ' r = r0 , dobivamo qE , _ , = + v + r.. (4.56.) Kao primjer za gibanje nelektrisane čestice uzmimo, gibanje protona u smjeru polja, crt. 4.7. Naboj protona je +e (1,610'1^C). Brzinu protona možemo dobiti iz relacije (4.55.) integriranjem df_ dt

— Et + v0, m

57

odnosno Vx(') = - £ , ' + v0* m vr = v ,= 0 . Drugi primjcr za gibanje naclcktnsane čestice uzmimo, gibanje elektrona brzinom v0 okomito na električno polje E , c rt 4.8.

Sila koja djeluje na elektron F = - e E , odnosnoFy = - e E . Prema jednadžbi (4.56) možemo napisati skalame jednadžbe gibanja elektrona u jednolikom električnom polju: * = V

+

Xq

at2 y = -— + v<)yt + yQ. Na osnovu drugog Newtonovog aksioma dobivamo ubrzanje elektrona m a = —e E . U Za pločasti kondenzator jačina polja E = — , gdje je U napon na pločama d kondenzatora, a d. razmak između ploča, pa dobivamo vrijednost ubrzanja eU a, = ------ . * md Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo: *=V

58

Konačno jednadžba gibanja elektrona je dio parabole: eU

2

(4.57.)

U slučaju protona mijenja se smjer ubrzanja, a time i oblik parabole.

4.8.

G IB A N JE N A E L E K T R IS A N E Č E S T IC E U H O M O G E N O M M A G N E T SK O M P O L JU

Jednadžba gibanja naelektrisane čestice mase m i naboja q u stalnom magnetskom polju, prema jednadžbi (4.4.) glasi d 2r

dv

=

/_

=

<4-58)

Neka je magnetsko polje usmjereno duž osi z, (crt. 4.9). Na osnovu pravila za vektorski umnožak

Crtež 4.9. i

j

Vx

vy

Bi odnosno

By

k (4.59.)

Vx

B,

v * B = (vyB, - v,By)J - (v,B, - v ,B ,)j - (v,By - vyB ,)k . Koristeći početne uvjete B , = By = 0, dobivamo: vyB ,l - v ,B ,j = mv,i + mvyj + mv,k pa jednadžba (4.58.) prelazi u sustav jednadžbi vV , = — vY y UB, ,, vV y = — vV X °B1 > vV 3 = 0U jn m

'

(4.60.) 59

Potražimo iješenja jednadžbi gibanja (4.60.) u obliku: vx(t) = v, sincof, vy(t) = v, coscol, v. = const.

(4.61.)

To je kružno gibanje gledano u ravni xy. Budući da je vx = cav, coso3t, vy = -
m

a polumjer kružnice r

Slika 4.1. 60

—1 q*,

(4.63.)

Kao primjer kretanja naelektnsane čestice u magnetskom polju, može poslužiti, putanja elektrona u magnetskom polju snimljena u laboratoriju (vodikova mjehurasta komora). Elektron jc ušao u donjem desnom kutu, slika 4.1. On se usporava gubljenjem energije na ionizaciju vodikovih molekula. Stoga polumjer zakrivljenosti njegove staze u magnetskom polju opada, pa nastaje ovakva spirala.

4.9. SPEKTROGRAF MASA Spektograf masa jeste mstniment koji služi za odredivanje izotopskog sastava neke tvari. Poznato je naime, da se mnogi kemijski elementi javljaju u nekoliko varijanti koje se međusobno razlikuju u atomskoj masi, ali imaju isti redni broj. Te varijante se zovu izotopi. Dva izotopa istog kemijskog elementa ne mogu se razdvojiti uobičajenim analitičkim metodama, pošto su njihova kemijska svojstva identična. U spektografii masa izotopi se mogu razdvojiti zbog toga što imaju različite mase. Princip rada spektrografa masa prikazan je na crtežu, crt. 4.10. Akcelerator služi za ubrzavanje molekula date supstance (tvar). Tvar se grijanjem na visokoj temperaturi isparava i njeni ionizirani molekuli ulaze u homogeno električno polje pločastog kondenzatora. Ako se uzme da je početna brzina molekula zanemariva, dobit će se da polje daje molekulama kinetičku energiju: Ek

izvormolekula

IT A J akcelerator

filter brzina

spektrografska komora

■ 61

gdje je q naelektrisanje molekula, a U razlika potencijala (napon) između ploča kondenzatora. Brzina molekula pri iziasku iz kondenzatora iznosi:

Filter brzina ima zadatak da propusti samo one molekule koje imaju točno određenu brzinu. Brzina molekula koje izlaze iz akceleratora nije ista za sve molekule a potrebno je da u spektrografšku komoru uđu samo one molekule čija je brzina određena i poznata. Filtriranje se vrši pomoću homogenog magnetskog i homogenog elektnčnog polja, čije su liruje sila međusobno okomite. Ionizirani molekuli, koji dolaze iz akceleratora, ulaze normalno na električno i magnetsko polje. U svakom trenutku na jednu molekulu djeluju dvije suprotne sile: elektnčna sila F , i magnetska sila F m (Ft = q Ep, E„ = q y B F). , . . .. .. Kroz filter prolaze samo one molekule za koje su ove dvije sue u ravnoteži, F , = Fm, tj. oni koji se gibaju brzinom v= Sve ostale molekule će biti skrenute i past će na ploče kondenzatora. Spektrografska komora je glavni dio spektrografa. Sastoji se iz polucilindrične komore koja se nalazi između polova magneta, magnetske indukcije Bs . Naelektrisane čestice sa točno određenim bndnama v ulaze u komoru kroz mali otvor. Pod djelovanjem magnetskog polja putanje čestica se savijaju u oblik kružnice i nakon pređene jedne polovine kruga padaju na filmsku emulziju. Sve molekule koje imaju istu masu m gibat će se po istoj kru^noj putanji, prema (4.63.) radijus putanje mv

mEe

qBs

qBsBP

i pogodit će emulziju u istoj točki, ostavljajući trag u vidu mrlje. Ako postoje dvije vrste molekula čije su mase m, i m2, na emulziji će se pojaviti dvije mrlje koje su međusobno razmaknute za:

62

4.10. EVfPULS SELE I KOLIČINA GIBANJA (IMPULS) Pretpostavimo da na tijelo djeluje stalna sila F u određenom vremenskom intervalu At; kažemo da je pritom tijelo dobilo impuls sile F At (crt. 4.11.). Impuls sile je, dakle produkt sile i vremenskog intervala u kojem ta sila djeluje. Impuls sile 7 je vektorska veličina i ima smjer sile: I = F At.

(4.64.)

Ako sila nije stalna, nego se mijenja u vremenu, tada impuls nađemo tako da vremenski interval podijelimo na mnogo malenih intervala. U svakom intervalu impuls je približno jednak produktu sile i vremenskog intervala, jer se sila za tako maleni vremenski period bitno ne promijeni. Ukupni impuls jednak je zbroju svih tih impulsa. Točnu vrijednost impulsa sile dobivamo uzimanjem granične vrijeđnosti tog izraza: (4 -6 5 > ' 'i . Impuls sile jednak je integralu sile po vremenu u kojem ta sila djeluje, odnosno, grafički, povržini ispod krivulje F(t). Impuls sile mijenja količinu gibanja tijela na koje sila djeluje. Primjenom 2. Newtonovog aksioma izvest ćemo vezu između impulsa sile i količine gibanja na koje sila djeluje. Prema Newtonovom aksiomu sila je jednaka brzini promjene količine gibanja:

B dp d F=^

,

= j S mv^

(4-66-)

63

Za kratko vrijeme dt tijelo će dobiti impuls sile. Fdt = d p dok će u vremenskom intervalu At između t, i t2 primljeni impuls sile biti jednak: (4.67.) Relacija (4.67) daje vezu između impulsa sile i količine gibanja: impuls sile jednak je promjeni količine gibanja tijela na koje ta sila djeluje. Ako je tijelo u početku (prije djelovanja sile) mirovalo, tada je impuls sile jednak dobivenoj količini gibanja. . . . . Impuls siie i količina gibanja nisu identični pojmovi. Količina gibanja je osobina tijela koje se giba, to je produkt njegove mase i brzine, dok je impuls sile utjecaj sile, tj. okoline na promatrano tijelo.

64

5. ZAKONI OČUVANJA U PRIRODI

5.1. UVOD Iz dosadašnjeg izlaganja viđjeli smo kako se određuju jednadžbe gibanja primjenom Newtonovih aksioma. Sile međudjelovanja su vrlo složene fiinkcije: položaja, brzine i vremena pa je mogućnost iješavanja jednadžbi gibanja ograničena, čak i za one slučajeve gibanja kad su njihove analitičke funkcije poznate. S đruge strane, za prirodne pojave, za koje su nepoznate funkcije sila, na osnovu Newtonovih aksioma, ne mogu se dobiti bilo kakve informacije. Postavlja se pitanje: da li se gibanje čestica može određivati na osnovu drugih prirodnih zakonitosti? Jednu od takvih mogućnosti daju zakoni o očuvanju energije i impulsa. U prirodi postoji nekoliko zakona održanja, neki su od njih točni, a neki približni. Zakoni očuvanja su obično posljedica određene temeljne simetrije svemira. Postoje zakoni očuvanja koji se odnose na energiju, impuls, moment impulsa, naboj, broj bariona (protona, neutrona i težih elementamih čestica), stranost (engl. strangeness, novi kvantni broj) i različite druge veličine. Zakoni očuvanja imaju niz prednosti u odnosu na Newtonove aksiome, koji imaju ograničenu važnost. Spomenimo neke od tih prednosti: • Zakoni očuvanja ne ovise od oblika putanje, niti od karakteristika sila koje djeluju u nekom prirodnom procesu, pa je zbog toga, iz njih moguće dobiti općenitiji i precizniji zaključak o tom procesu, nego iz diferencijalnih jednadžbi gibanja. Naprimjer, na osnovu zakona o održanju energije saznajemo da je nemoguće napraviti “perpetuum mobile”. . Pošto zakoni očuvanja ne ovise ođ karakteristika sila, oni se mogu prim ijeniti i na one prirodne pojave čije sile nisu poznate. Naprimjer u fizici elementamih čestica. Dalde, zakon očuvanja ustanovljava da neka fizička veličina u jednom momentu i jednom položaju mora biti jednaka vrijednosti te veličine u dmgom momentu i položaju. Što se odigrava između tih trenutaka? Kako je tekao proces? Sto se odigrava između tih trenutaka? Kako je tekao proces? Na osnovu zakona očuvanja ne može se dobiti odgovor. Ukoliko je taj odgovor neophodan moramo se uputiti na jednadžbe gibanja.

65

• Zakoni očuvanja su invarijantni na transform acije koordinata pa se najčešće primjenjuju za objašnjenje novootkrivenih prirodnih pojava. I kad su sile potpuno poznate, zakoni očuvanja mogu nam uveliko pomoći pri iješavanju gibanja čestica. Najprije upotrijebimo odgovarajuće zakone očuvanja, jedan po jedan, a tek nakon toga, ako je ostalo nešto neriješeno, prilazimo iješavanju diferencijalnih jednadžbi, varijacionih postupaka, kompjutera itd. Na osnovu izloženog može se zaključiti da se mehanika može postaviti i drugačije nego što je to učinio Newton. Postoji analitička mehanika u kojoj osnovnu ulogu igraju fizikalne veličine energija i impuls. Takva je naprimjer m ehanika Ham iltona i Lagrangea. Poslije saznanja o ograničenosti Newtonove mehanike i prednostima analitičke mehanike, koja počiva na zakonima održanja eneigije i impulsa, pitanje je zašto se ne koristimo ovom dmgom koja je općenitija. Postoji više razloga. Pojmovi energije i impulsa su složeniji od pojmova sile i ubrzanja, a također i matematički aparat je složeniji od aparata u Newtonovoj vektorskoj mehanici.

5.2. RAD I ENERGIJA 5.2.1. Rad sile Pomjeranje materijalne točke po nekom pravocrtnom putu S pod djelovanjem sile F u mehanici se naziva radom. Rad sile se određuje skalamim produktom sile i rastojanja po kome se pomjerala materijalna točka, tj. W= F ■š = F s c o s ( F ,š ) = F s cosa.

(5-1.)

Rad je pozitivan ako sila F i rastojanje 1 zaklapaju oštar kut, a < —. Sila ne vrši rad kada sa pomjeranjem zaklapa prav kut a ~ ~

ili ako se

čestica ne pomjera š = 0. Sila vrši negativan rad ako sa pravcem vektora š zaklapa tup kut a > ^ , crt- 5.1. Ukoliko je sila promjenljiva i zavisi od rastojanja F = F ( š ), a pomjeranje se vrši duž proizvoljne krivulje, onda se ukupni rad sile u prvoj aproksimaciji može izraziti kao zbroj elementamih radova učinjenih na konačnom broju pravocrtnih dijelova As,, na koje je podijeljeno pomjeranje S : W ^^A W , = £ /- i

/- i

= £ FtAš, cos[Fit AJ() ,

(5.2.)

(-i

gdje je F, srednja konstantna vrijednost sile na i-tom podioku pomjeranja As„ a n - broj tih podioka.

66

F,

slucaf d As,siucaj kaV Kaa

d0biVa Se i2->'ednadžbe (5-2) kao granični 0 a iZT n ->en0g oo, parađa lmamo:

w

;

n n ^ ^ !d j l i ednak '*!egralU

sile F>= ^ e o s a i pomaka ds. Ako je početna i krajnja točka putanje zadana vektorima položaja r. i R rad se dennira tzrazom: 2’ W =^F d r. n gdje je d r = d s elementami pomak.

(5.3.)

iBcoJCdm,Cf ^ ^ Je je^3" džuI (“ «ast engleskog fizičara P. Joule, 18181889), oznaka J. Prema. definiciji đefiniciji 1J = rNm = Ikgm V 2.

5.2.2. Energija Energija je sposobnost vršenja rada: što tijelo ima veću energiju to ie moguće od njega dobiti veći rad. Kad tijelo vrši rad, energija mu se smmuuje t obmuto: ako okolma vrši rad na tijelu, energija mu se povećava Rad lako prelazt u energiju i obratno. Jedinica rada i energije je identična. Postoji više oblika energije: mehanička, elektromagnetska, kemijska, termtčka, nukleama ttd. Energija može prelaziti iz jednog oblika u dmgi Mehantčka energtja pojavljuje se u dvaoblika: kinetička i potencijalna energija Kmetička energtja uzrokovana je gibanjem, a potencijalna položajem tijela '

-67

Kinetička energija. Neka sila F ubrzava tijelo na nekom putu. Izračunajmo rad potreban za ubrzanje tijela od početne brzine v, do konačne brzine v,: W - 1 Fdš = | ^ d š = mJ ^ v d t =

m

mjvdv,

»i »i odnosno nakon integriranja: W = —mVj ——mv*. 2 2 Veličinu (5.4.)

—mv2 = Ek

2

‘

nazivamo kinetička energija tijela mase m i brzine v. Tijelu, koje je na početku imalo kinetičku energiju Ek] = ^ - , obavljemm radom povećali smo kinetičku energiju na konačnu vrijednost Etl =

• Promjena kinetičke energije

jednaka je, dakle, izvršenom radu: W = Ek l- E t l =AEk .

(5.5.)

Ako tijeloizvrši rzd{W < 0), kinetičkaenergijamuse smanjuje (AEk < 0), kad se nad tijelom vrši rad (W> 0), kinetička energija mu se povećava (AEk > 0). Kad je rad jednak nuli, Irinetička energija tijela ostaje konstantna. Relacija (5.5) koja povezuje rad i promjenu kinetičke energije naziva se teorema o radu i kinetičkoj energiji. Potencijalna energija. Potencijalna eneigija je sposobnost vršenja rada zbog toga što tijelo ima osobiti položaj. Tako npr. tijelo mase m podignuto na visinu h iznad Zemljine površine ima određenu potencijalnu energiju i sposobno je, spuštajući se s te visine, izvršiti određeni rad. Slično, i nategnuta opruga ima potencijalnu energiju i, vraćajući se u položaj ravnoteže, izvrši rad. G ravitacijska potencijalna energija. Zamislimo česticu mase m koja se giba pod djelovanjem sile teže (crt 5.2) Rad sile teže na putu od A do B jednak je: r

J

W = Fdr = >nf(rB- rA).

(5.6.)

rA

B udućidaje F = mg = -m g j i j rB = y B, j - r A = y A, dobit ćemo da je rad u polju sile teže jednak razlici dviju funkcija položaja W = -(m g yB- m g y A). 68

(5.7.)

Veličinu Ep = mgy

(5.8.)

zovemo gravitacijska potencijalna energija tijela na visini y iznad površine Zemlje. Pri tome smo pretpostavili da je na površini Zemlje (y= 0), potencijalna energija jednaka nuli, te da je sila konstantna F = m g , što je ispunjeno za visine koje su malene u usporedbi s polumjerom Zemlje.

Rad sile teže (5.7) ne ovisi o putu već samo o početnom i konačnom položaju tijela. Isti rezultat bi dobili kad bi se tijelo iz točke A do točke B gibalo bilo kom putanjom. Tako npr. giba li se tijelo od točke A prekO C do B (crt. 5.2) rad je: _Q W=

j F -d r = j F d r + JF d r = j F d r = -m g (y B - y K) ACB

AC

BC

(5.9.)

AC

Dakle, dobili smo rezultat isti kao pri integriranju po krivocrtnoj putanji AB. Sila koja ima osobinu da joj rad ne ovisi o putu već samo o početnoj i konačnoj točki zove se konzervatfvna sila. Rad konzervativne sile po zatvorenom putu jednak je nuli: =

(5.10.)

Kružić preko integrala označava da je put po kojem vršimo integriranje zatvoren. Rad sile trenja, naprotiv, ovisi o putu: što je put duži, rad je veći. Rad sile trenja po zatvorenom putu različit je od nule, rad je veći što je put duži. Nekonzervativne sile, kao što je sila trenja, zovemo i disipativne sile. Rad svake konzervativne sile možemo izraziti razlikom potencijalnih energija: , j F t .d r = -[ E p(rB) - E p(rA)]. 'A

69

5.2.3. Zakon očuvanja mehaničke energije U zatvorenom (izoliranom) sustavu u kojem nema disipativnih sila (trenja) mehanička energija je konstantna. To je zakon o očuvanju mehaničke energije, tj. E = E k + Ep . E, = 0;

= mgH

Crtež 5.3.

(5 .1 1 .)

Razmotrimo ukupnu mehaničku energiju pri slobodnom padu. Tijelo mase m u početku je na visini H i miruje (crt. 5.3), te je potencijalna energija Ep=mgH, a kinetička Ek = 0 i ukupna mehanička energija E = mgH. Kad tijelo slobodno padajući prevali put s, potencijalna energija mu je Ep = mg (H - s) a kinetička Ek = ^ m (J Ž & )2

te je ukupna energija E = Et + Ep = ^m 2 g s + m g ( H - s )

(5.12.)

odnosno E = m g H. Ukupna je mehanička energija pri slobodnom padu očuvana: zbroj kinetičke i potencijalne energije jednak je u svakoj točki. E = Ek + Ep = konst

»

Ako sustav nije zatvoren, promjena ukupne mehaničke energije jednaka je radu vanjskih sila koje djeluju na sustav: E-i —E t = (Ep2 —Ep |) + (Ea —E kj) = W.

(5.13.)

Potencijalna i kinetička energija mogu se transformirati jedna u drugu, crt. 5.4. Uzmimo za primjer vodopad. Ovdje je očit primjer pretvorbe energije iz jednog oblika u drugi. Voda na vrhu vodopada ima potencijalnu energiju sile teže, koja se pri padu pretvarau kinetičku energiju, Masa vode m, padajući s visine h, gubi potencijalnu energiju mgh, a dobiva kinetičku energiju ^ m v 2 =mgh + ^ m v jj,

70

potencijaina energija vodopad

tok i toplinska energija (toplina)

kinetička energija (tok)

H

H

podničje pada vodc

Crtež 5.4.

gdje je v0 početna brzina (toka) a v konačna bizina. Kinetička energija vode koja pada može se u hidrocentrali pretvoriti u kinetičku energiju vrtnje turbina. Inače se ona u podnožju vodopada pretvara u toplinu. Toplinska energija, je energija kaotičnog gibanja molekula. Interesantan primjer pretvorbe energije različitih vrsta jedne u drugu, dešava se pri skoku s motkom, crt. 5.5.

U položaju A (trčanje), ukupna energija skakača potječe od trčanja, to je kinetička energija. U položaju B skakač stavlja prednji kraj motke na podlogu i savijanjem “nabija” potencijalnu energiju u njoj, to je elastična energija. U položaju C podiže se uvis, koristeći ukupnu energiju, koja mora biti veća od potencijalne energije na visini postavljene letvice. Kod D skakač prelazi preko prečke, njegova kinetička energija je mala, jer se lagano giba, a njegova potencijalna energija je velika. Pri skoku s motkom ukupna energija nije stalna zbog trenja (vanjsko ili mišićno), a i zbog toga što skakač vrši rad dok savija motku. 71

5.2.4. Potencijalno polje sila. Konzervativne sile Ako je tijelo postavljeno u takve uvjete da je u svakoj točki prostora podvrgnuto djelovanju drugih tijela sa silom koja se zakonomjemo mijenja od jedne točke do druge, kaže se da se to tijelo nalazi u polju sila. Tako se, naprimjer, tijelo u blizini površine Zemlje nalazi u polju sila gravitacije, tj. u svakoj točki prostorana njegadjeluje sila G = m g , usmjerenapremadolje. Za sile koje ovise samo od položaja tijela može se desiti da rad, koji vrše nad tijelom, ne zavisi od puta, već se određuje samo početnim i konačnim položajem tijela u prostoru. U tom slučaju polje sila se naziva potencijalnim poijem, a same sile konzervativnim. Sile čiji rad zavisi od puta, po kojem tijelo prelazi iz jednog položaja u drugi, nazivaju se nekonzervativnim silama. Polje centralnih sila, F = F (r) je polje kod kojeg pravac djelovanja sile u proizvoljnoj točki prostora, prolazi b o z neki centar, a veličina sile zavisi samo od rastojanja od tog centra. Polje sila gravitacije, elektrostatskih sila: su primjeri centralnog polja sila. R ad konzervativnih sila na bilo kojem zatvorenom putu jednak je nuli. Razložimo, zatvoren put po kojem se giba tijelo, koje se nalazi u potencijalnom polju sile, na dva dijela: put A po kojem tijek) prelazi iz točke 1 u točku 2, i put B po kojem tijelo prelazi iz točke 2 u točku 1, pri čemu su točke 1 i 2 izabrane potpuno proizvoljno, crt. 5.6. Rad na čitavom zatvorenom putu bit će jednak sumi radova koji se vrše na svakom od dijelova. + b(5-M.) Jednostavno je pokazad da je rad, koji se vrši na bilo kojem putu, naprimjer na putu B, pri prelaženju tijela po njemu iz točke 1 u točku 2 jednak radu, sa obmutim predznakom, koji se vrši na istom tom putu pri obratnom prelaženju iz točke 2 u točku 1. Promatrajmo dio putanje A J . Pošto u potencijalnom polju sila F ovisi samo od položaja tijcla u prostom i ne zavisi od stanja gibanja tijela (posebno od smjera gibanja), elementami rad na putu A š pri gibanju u jednom pravcu jednak je AW = F A š , a pri gibanju u dmgom pravcu on je jednak AW ‘ = F A s '. S obzirom da je As' = - A š , tada je i AW ' = -A W. To je ispravno za svaki elementami dio puta, a prema tome i za rad na čitavom putu, te je (^ 2 .) b = - ( ^ J b.

72

(5.15.)

Koristeći se dobivenim rezultatom, jednadžba (5.14) može se napisati u slijedećem obliku: ^ T O a - T O b(5.16.) Međutim, u potencijalnom polju sila, rad ne ovisi od puta, tj. ( w \i >a = ( ^ i 2)B- Prema tome izraz (5.16) jednak je nuli, što je i trebalo dokazati. Prema tome, potencijalno polje sila može se definirati kao polje onakvih sila čiji je rad na svakom zatvorenom putu jednak nuli. Tada na jednim dijelovima zatvorenog puta sile vrše pozitivan rad, a na drugim dijelovima negativan. Dokazat ćemo da je i polje gravitacionih sila potencijalno, crtež 5.7. W = y ^ -A? = F ^ A j 'c o s a = F ' J ' &h. Pošto je F = G = mg, i

g(A, - h , )

dobivamo W = mg(hx - h j .

(5.17.)

Izraz (5.17) očito ne ovisi od puta, slijedi da je gravitacijsko polje potencijalno.

5.2.5. Rad sila u gravitacijskom polju. Centralno polje sUa Gravitaciono polje sila je centralno polje. To je polje karakteristično po tome da pravac sile, koja djeluje u bilo kojoj točki prostora, prolazi kroz neki centar, a veličina sile ovisi samo od rastojanja do tog centra F = F{r). Gravitaciona sila ima oblik F = - y » F 0. r Elementami rad dW, koji izvrši gravitacijska sila pri pomjeranju tijela mase m2 za rastojanje d s jednaka je (crt. 5.8): dW = F d š = - y ^ ^ d r , gdje f„ d š =dr. Integriranjem od r, do r2 dobivamo:

Iz jeđnadžbe (5.18) vidimo da je za r2 > r,, rad negativan. Promjena potencijalne energijc sistema jednaka je negativnoj vrijednosti rada kojeg vrši gravitacijska sila pri premještanju tijela

V r h V r )i r, r2 h Obično se uzima da je r2 -*■», tada Ep(x>) = 0, pa potencijalna energija tijela mase m2 je: (5.19.) *„ = - y « p r Razmotrimo tri specijalna slučaja, crt. 5.8, zatri različite ukupne energije £ _ £ + E . Ovi slučajevi su interesantni kod izbacivanja vještačkog satelita sa Zemlje. Nakon što dostigne maksimalnu visinu h satelit dobiva početnu brzinu v0. Ukupna energija satelita je tada mM E= R^+h '

74

U slučaju E< 0, putanja po kojoj će se kretati satelit, je elipsa u čijem sejednom fokusu nalazi Zemlja. Satelit u ovom slučaju pada na Zemlju. Uvjet da bi se satelit kretao po paraboli je E = 0, odnosno kinetička energija satelita mora biti jednaka potencijalnoj energiji. Da bi se satelit kretao po hiperboli, tj. oslobodio Zemljine teže, potreban uvjet je, da kinetička energija satelita bude veća od potencijalne energije, odnosno E> 0.

5.2.6. Rad elektrostatske sile Elektrostatska sila je također centralna sila. To znači da rad ne ovisi o putu, nego o krajnjem i početnom položaju tijela. Sila međudjelovanja između dva istoimena (pozitivna naboja), crt. 5.10 je:

?2

Elementami rad dW, kojeg vrši elektroCrtež 5.10. statska sila pri pomjeranju naboja qt za rastojanje d r dW = F - d f = k ^ - d r , r jer su F i r0 kolineami. Integracijom ođ r, do r 2 dobivamo

W = ] k ^ - d r = - k ^ r i, J

r

r r,

odnosno W = -k q & i . l l , AE, A r. J gdje je E potencijalna energija elektrostatskog međudjelovanja naboja qx i q2 E „ = -k

(5.20.)

5.2.7. Veza između potencijalne energije i sile Svakoj točki potencijalnog polja odgovara, s jedne strane, neka vrijednost vektora sile F koja djeluje na tijelo, a s druge strane, neka vrijednost potencijalne energije tijela E ^ Prema tome, između sile i potencijalne energije mora postojati neka veza. Za utvrđivanje te veze izračunat ćemo elementami rad AW koji sila polja pri malom pomjeranju tijela As, vrši duž proizvoljno iza-

. 75

branog pravca u prostoru, crt. 5.11. Taj rad je jednak AW = F, As, gdje je F, projekcija sile F na pravac s. Pošto se u danom slučaju rad vrši na račun smanjenja potencijalne energije -AE^, na djelu ose s, imamo: Crtež 5.11.

Kako je AW = F,As, dobivamo: AE . (5.21.) F= — As lzraz (5.21.) daje srednju vrijednost F, na odsječku As. Da bismo dobili vrijednost F, u danoj točki, potrebno je izvesti granični prijelaz tj. = (5.22.) Ar-*0 As 8s Izraz (5.22) točan je za svaki pravac u prostoru, posebno za pravac Descartesovih koordinata x, y i z, pa je. 8E d F* ~ ~ dx F y

(5.23.) dy 8E d

F ;~ ~ dz ‘ Izrazi (5.23) određuju projekcije vektora sile na koordinatne ose. ^ko su poznate te projekcije, može se odrediti i sam vektor sile. _

[8 E d -

8E d -

8EdT

(5.24.)

U matematici se vektor , 8 a - d a - da grnda= — i + — 7 + — « . clr dy dz gdje je a skalama funkcija od x, y, z, naziva gradijent tog skalara i označava se simbolom grad a ili Va (nabla). Prema tome, sila je jednaka gradijentu potencijalne energjje, sa suprotnim znakom: F = - grad Er

76

(5.25.)

Kao primjer uzmimo gravitaciono polje sile. Osu z usmjerimo prema gore. Pri takvom izboru osa potencijalna energija će imati oblik. Ep = mgz + const. Projekcije sile na zadane ose su: Fx = Fy = 0, F. = —mg. Prema (5.24) dobivamo da je sila F = -m g k .

5.3. ZAKON OČUVANJA IMPULSA Produkt mase čestice i njene brzine naziva se impuls ili količina gibanja čestice p =m v.

(5.26.)

Ako se impuls čestice mijenja u toku vremena, to znači da postoji djelovanje neke sile, koja prema drugom Newtonovom aksiomu glasi: d p d(mv) -

i

=V = F -

(5-27)

Gomja jeđnadžba izražava najopćenitiji slučaj drugog Nevvtonovog aksioma i u tom obliku važi ne samo za klasičnu nego i za relativističku mehaniku, i zove se zakon prom jene bnpuisa. Prvi Nevvtonov aksiom izražava svojstvo svih tijela da u odsustvu sila zadižavaju konstantnu vrijednost brzine, odnosno, impulsa, jer je m = const. (u kiasičnoj fizici), tj. p = mv =const.

(5.28.)

Ovo svojstvo predstavlja specijalan slučaj jednog općeg fizikalnog zakona o održanju količine gibanja. Za to nam može poslužiti slijedeći pokus: neka međudjeluju đvije kuglice masa m x i m2 preko sabijene opruge koju u tom stanju održava konac, crt. 5.13. Ukoliko u jednom trenutku prekinemo — njouotn— konac, kuglice će se razletjeti. Uzajamno m2 m, djelovanje kuglica karakterizirano j e trećim Citcž 5.13. Newtonovim aksiomom: Fx= -F 2 ili

1dt

dv, +M2- ^ = ° .

(5.29.)

77

S obzirom da su /n, i m2 konstantne veličine, jednadžba se može napisati u obliku i V ^ ) =0 (5.30.) dt Dakle, promjena impulsa ili količine gibanja u toku vremena za sistem m x i m2 jednaka je nuli, pa se može pisati: m,v, + mjVj = P \+ P i~ const.

(5.31.)

Odnosno, impuls sistema m, i m2 ne može se promijeniti pod djelovanjem siianiihovoguzajamnog djelovanja. Ovaj zaključakm ožeseprošmh naizolirani sistem od proizvoljnog broja čestica. Ukupna količma gibanja zatvorenog sistema je konstantna bez obzira kakvi se procesi i međudjelovanje događaju u sistemu. To je zakon o očuvanju količine gibanja, jedan od najvažmjih zakona u fizici. Možemo ga napisati i u matematičkom obliku: = p x + P i+ ...+ p „

= m,V| +m2v2+...+m„v„

A ^ “ Z " W sscoB8L i

(l3 2 )

Ovaj je zakon direkma posljedica Newtonovih aksioma. Drugi Newtonov aksiom za sistem čestica glasi: “ d t'l gdje je F„ rezultanta svih sila koje djeluji na sistem, a p u ukupna količina gibanja sistema. Ako je sistem izoliran, nema vanjskih sila, budući da se unutrašnje sile prema trećem Newtonovom aksiomu poništavaju, to za izolyam sistem F„ = 0.

5.4. SUDARI TIJELA Na osnovu zakona očuvanja energije i impulsa mogu se proučavati fizikalne pojave kod kojih su nepoznate bilo priroda i intenzitet sila bilo samo intenzitet sila koje djeluju u ovim pojavama. Takve pojave su sudari tijela. Sudar dvaju tijela može biti elastičan, djelomično elastičan i neelastičan. Sudar je savršeno elastičan kada nema gubitka energije, već je ukupna kinetička energija očuvana. Da bi sudar dvaju tijela bio savršeno elastičan, ta tijela moraju biti savršeno kruta (da ne dožive nikakvu deformaciju) ili idealno elastična, tako da nema rada unutamjih sila. Dvije čelične kuglice ili kuglice

78

od slonove kosti sudaraju se približno elastično. Pravi savršeno elastični sudari događaju se samo među atomima i nukleamim česticama, dakle u mikrosvijetu. Pn savršeno neelastičnom sudaru tijela se nakon sudara deformiraju, spoje zajedno i nastave gibanje kao jedno tijelo; tu se jedan dio kinetičke energije izgubi i pretvori u dntge oblike energije. Većina makroskopskih sudara su lzmeđu ova dva ekstremna shičaja, dakle djelomično elastični.

5.4.1. Savršeno elastičan sudar Promatrajmo centralni savršeno elastičan sudar dvije kugiice tj sudar pn kojem brzine jedne i druge kuglice leže na istom pravcu nošiocu koii proiazi središtem obiju kugli. Dvije kugle (ili dvije čestice), imaju brzine v, i v2 sudaraju se elastično l, nakon sudara, imaju brzine «, i 5, (crt. 5.14.). Ovaj sistem je izoliran za vrijeme čitavog procesa, na kuglice ne djeluju vanjske sile (odnosno zbroj vanjskih sila je nula) i, žbog toga, vrijedi zakon očuvanja kohčine gibanja: m,v, + m2Vj = m, 5, + m25 j .

- * 0tn | prije sudara

(5.33.) m-i

poslije sudara Crtež 5.14.

i Budući da je sudar savršeno elastičan, ukupna je kinetička energija prije i poslije sudara ista:

M 2

+^

= 2

+^ 2

f53. 2

‘

1

}

Napišimo jednadžbu (5.34) na drugi način, dobivamo: '"i (V|2 ~ “j2) = -m^ (v2 - ilj2),

odnosno

m\ - “i )(v,+5,) = -m 2 (v2- u2)(v2 + u2).

(5.35.)

Napišimo jednadžbu (5.33) u obliku m ,(v |-« ,) = -m 2 (v2 - « 2)

(5.36.)

te desnu stranu jednadžbe (5.36) uvrstimo u (5.35) dobivamo: ( v, - 5 ,X v,+ 5 i - v2 - ^ ) = 0 .

(5.37.)

79 P

I

Budući da su pri centralnom sudaru brzine kolineami vektori, uvjet (5.37.) je ispunjen samo ako je jedan od faktora jednak nuli. Ako je prvi faktor u (5.37.) jednak nuli, brzine se nisu mijenjale te se ni sudar nije dogodio; zato taj slučaj ne uzimamo u obzir. Dakle drugi faktor mora iščeznuti, što daje; (5.38.)

v ,- v j

Relativna brzina primicanja kugli prije sudara jednaka je po iznosu, a suprotna po smjeru relativnoj brzini odmicanja kugli poslije sudara. Relativne brzine promijenile su samo smjer, a ne iznos. Iz jednadžbi (5.37.) i (5.38.) možemo izračunati brzine poslije sudara 5, i :

(539) m, +/nj

(m ^-m ,)v2 +2m,v, U j--------------------------m, +m j

(5.40.)

Posebni slučajevi: 1. m, = m2 = m. U slučaju jednakih masa 5, = v2 i j^ = v ,, q". čestice jednostavno izmijene bizine. Ako dniga kugla miruje (v2 = 0), tada je u, = 0, a £j = v,; poslije sudara prva kugla sc zaustavi, dok druga odleti brzinom koju je imala prva kugla prije sudara. 2. m, < m2; v2 = 0. Savršeno elastična kugla mase m, i brzine v, udara u vrlo veliku kuglu ili savršeno elastičan zid. Iz (5.39.) dobivamo u, = - v ,, tj. kugla se odbija jednakom btzinom kojom je došla. Zid pri tome dobiva impuls sile 2m, v ,; naprotiv zid ne dobiva nikakvu energiju jer kugla prilikom sudara ne mijenja energiju. 3. m, » m2 i v2 = 0. Iz (5.39.) i (5.40.) slijedi u, » v, i * 2 v,. Kada vrlo velika kugla udari kuglicu koja miruje, bizina joj se virlo malo promijeni dok lagana kuglica odleti bizinom koja je dva puta veća od bizine upldne kugle. Predana energija p ri centralnom elastičnom sudaru dva tijela (v2 = 0). Na osnovu jednadžbi (5.39.) i (5.40.), za slučaj da je v2 = 0, može se izračunati energija koju tijelo m, preda tijelu m2 pri udaru. Predana energija iznosi:

A£ = £,-£,',

(5.41.)

gdje je E, prije sudara i EJ energija tijela mase m, poslije sudara. Da bismo izračunali energiju E[ obra2aijemo

K 3 80

(5.42.)

Koristeći se jeđnadžbom (5.39.), gomju jednadžbu možemo dobiti u obliku:

(5-4 3 ) Zamjenom (5.43.) u (5.41.) dobivamo: AE = _ 4W|W2 ,.e (m, +OTj)2

(5.44.)

Predana energija pri sudaru dva tijela imat će maksimalnu vrijednost kadaje m, = m ,, iznost prema (5.44.) A£ = £ ,. pri gomjim uvjetima sudara, tijelo koje se kreće brzinom v, predaje cjelokupnu energiju tijelu koje ima jednaku masu a pnje sudara nalazilo se u miru.

5.4.2. Savršeno neelastičan sudar ... neelastičnom sudaru kugle se nakon sudara deformiraiu sltjepe i gibaju zajedno brzinom «, = £4 = £7. Pri ovom sudam kinetička energija mje održana, jedan dio se utroši na deformaciju kugla, odnosno zagnjavanje (promjena unutrašnje energije). Pomoću zakona o očuvanju količine gibanja odredit ćemo brzinu nakon sudara: W|V, + m^ v2 = (m, + m ^ u

m, -t-ffij

(5.45.)

Kinetička energija se smanjuje prilikom neelastičnog sudara. Ukupna kmetička eneigija poslije sudara: (5.46.) 2 Kinetička energija prije sudara

2(ml +nh )

(5.47.) Razltka kinetičldh energija daje gubitak mehaničke energije: Ek

2

v ,- v 2)2. m, -v/Mj ' 1 21

81

Posebni slučajevi: j 1. m, = m2 = m, slijeđi da je u = ^-(v, + v2) . Ako je dniga kugla prije sudara na miru, tada, nakon sudara, obje kugle nastave gibanje brzinom u = ^i-. Ako je, v, = - v 2 tada nakon sudara, obje kugle stanu, u, = u2 = 0. 2. m {•* m2, v2 = 0, slijedi d a je i u = 0. Kad kugla od blata padne na tlo, tu i ostane.

5.5. ZAKON OČUVANJA MOMENTA KOLIČINE GIBANJA 5.5.1. Kruto tijelo Ako promatramo djelovanje sile na neko čvrsto tijelo, možemo uočiti dva učinka: promjenu oblika tijela (deformaciju) i gibanje tijela. Ako je deformacija nekog tijela izazvana vanjskom silom tako malena prema dimenzijama tijela da je možemo zanemariti, tj. ako tijelo pod utjecajem sile ne m ijenja oblik, kažemo da je tijelo kruto. Možemo zamisliti da se kruto tijelo sastoji od mnogo pojedinačnih materijalnih točaka čiji međusobni razmaci ostaju uvijek isti. Naravno, kiuto tijelo je idealizirani model; u prirodi imamo čvrsta tijela koja se, više ili manje, približavaju modelu krutog tijela. Može se pokazati da se općenito gibanje krutog tijela može sastaviti od translacije tog tijela brzinom kojom se giba neka njegova točka O (npr. centar mase) i rotacije oko osi koja prolazi kroz tu točku. Pri tom brzina translacije zavisi o izboru točke O, dok kutna brzina rotacije ne zavisi o izabranoj točki.

5.5.2. Moment sile Pokusi pokazuju da kruto tijelo pod utjecajem sila može pored translacijskog gibanja izvoditi i rotaciju oko neke točke. Utjecaj sile na rotaciju opisuje se njenim momentom. Kad tijelo rotira, svaka njegova točka opisuje kružno gibanje. Defmirajmo stoga moment sile. Neka materijalna točka kruži oko točke O po kružnici polumjera r. Ako je kruženje ubrzano, na točku djeluje sila koja ima radijainu komponentu Fr =ma>2r i tangencijalnu komponentu F, - ma, = m ra (crt. 5.13.). Pomnožimo jednadžbu F, = Fsm = m ra

82

r

s r, dobivamo: rFsintp = mr 2a

(5.48.)

što se može napisati pomoću vektorskog produkta: r x F = mr2a .

(5.49.) a

Cj Crtež 5.15.

Lijevu stranu jednadžbe (5.49.) definiramo kao moment sile M : M = r x F

(5.50.)

a veličinu mr2 kao moment tromosti (inercije) materijalne točke: I ^ m r 2. Tako jednadžba (5.49.) prelazi u

(5.51.)

M = Ia .

(5.52.)

Ova jednadžba ima sličnu ulogu pri kruženju kao drugi Nevvtonov aksiom F = m a pri translaciji: pritom je sila analogna momentu sile, masa momentu inercije, a akceleracija kutnoj akceleraciji. Ova razmatranja možemo proširiti na kruto tijelo, gdje se moment inercije krutog tijela definira izrazom:

J

/ = r 2d m .

(5.53.)

Ako na neko tijelo djeluje više sila u različitim točkama, onda tijelo može da vrši samo translaciju ili samo rotaciju ili bilo kakvo drugo gibanje koje može da se predoči kao translacija i rotacija. Kod materijalne točke nismo uztmali u obzir mogućnost rotacije zbog zanemarivih dimenzija točke. Uvjet ravnoteže materijalne točke je da zbroj svih sila koje na nju djeiuju bude jednak nuli

=

(5.54.) • 83

>

Kad sila Ft djeluje na kruto tijelo, neophodno je razmotriti ravnotežno stanje i u odnosu na rotaciju. Naime, ovdje pored uvjeta (5.54.) koji predstavlja uvjet za ravnotežu za translaciju, postoji i dodatni uvjet ravnoteže za rotaciju (5.55.) Relacije (5.54.) i (5.55.) su osnovi predmeta statika, kojeg studenti tehničkih fakulteta izučavaju detaljno u toku studija pa su ovdje samo spomenuti.

5.5.3. Moment količine gibanja Ono što sila predstavlja za translaciju, to moment sile znači za rotaciju. Često smo se do sada uvjerili da postoji anaiogija među veličinama i zakonima u translaciji i rotaciji. Veličina analogna količini gibanja je moment količine gibanja. Najprije ćemo definirati moment količine gibanja materijalne točke (čestice) koja se giba po kružnici polumjera r (npr. elektron oko jezgre). Takav

Crtež 5.16.

moment količine gibanja često se zove orbitalni, jer se odnosi na orbitalno gibanje čestice. Moment količine gibanja L materijalne točke mase m i količine gibanja p = mv s obzirom na referentnu točku 0 (npr. središte kružnice na crt. 5.16.) definira se kao vektorski produkt radijus vektora r i količine gibanja: L =r x p =r x m v .

(5.56.)

Smjer momenta količine gibanja određujemo kao i smjer svakog vektorskog produkta pomoću pravila desne ruke. Smjer L je isti kao smjer čd . Jedinica momenta količine gibanja je kgm V 1. Iz jednadžbe M = la možemo

84

izvesti još jedan izraz za moment količine gibanja materijalne točke koja se giba po kružnici. Uvržtavanjem u (5.52.) poznatih relacija a = — , I = m r2 i c o = — , dobivamo: r M = Ia = I — = dt Iz gomjeg izraza dobivamo: L =I&

(5.57.)

dL dt

(5.58.)

dok je jednadžba gibanja

Ova razmatranja za materijalnu točku mogu se proširiti i na kmto tijelo koje rotira oko nepomične ose. Ovaj zakon izveden za materijalnu točku, vrijedi za svaku točku sistema materijalnih točaka ili krutog tijela,

5.5.4. Zakon o očuvanju momenta količine gibanja Ako je vektorski zbroj momenata svih vanjskih sila s obzirom na neku točku jednak nuli, tada je ukupni moment količine gibanja sistema (krutog tijela) za tu istu točku konstantan i po smjeru i iznosu. Iz relacije (5.59) uz uvjet da je M = 0 slijedi: M =

dt

= 0 => L = const.

(5.60.)

Unutrašnje sile u sistemu ne mogu promijeniti moment količine gibanja. Možemo, također, reći: u zatvorenom sistemu moment količine gibanja je sačuvan. Vrti li se mehanički sistem oko čvrste osi z, tada je moment količine gibanja u smjeru osi z: Lz = I: (o.

(5.61.)

Ako je sistem izoliran tako da je komponenta ukupnog momenta vanjskih sila u smjeru osi z jednaka nuli, tada je: Lz = Iz (o = const.

85

Ako je /2 = const. (kruto tijelo), iz (5.61.) slijedi da je i © = const., tj. da kruto tijelo rotira oko čvrste osi stalnom kutnom bizinom. Naprotiv, ako se / mijenja za vrijeme vrtnje (npr. udaljavanjem pojedinih točaka sistema od osi rotacije), tada se i co mijenja tako da bi Tto bilo konstantno. UnutraSnje sile mogu dakle mijenjati kutnu brzinu rotirajućeg sistema premda, pri tom, Lz ostaje konstantan. Pokusima na Prandtlovom stoliću možemo lijepo ilustrirati ovaj zakon. To je stolić koji se može zavrtjeti na kugličnim ležajevima oko vertikalne ose. Čovjek koji sjedi na stoliću može se zavrtjeti oko vertikalne osi ako rakom rotira kotač od bicikla, kao što je prikazano na crt. 5.17. Pritom se nastali moment količine gibanja kotača poništi s momentom količine gibanja sistema, te je stalno ukupni moment količine gibanja nula.

a)

b)

c)

Crtež 5.17.

N a crt. 5.17 b. i c. prikazan je na stoliću čovjek koji ima utege u rukama da bi povećao masu raku. Ako se vrti s rakama priljubljenim uz tijelo pa ruke naglo ispruži, kutna brzina mu se mijenja, u ovom slučaju smanji. Ako je /, moment inercije čovjeka s utezima priljubljenim uz tijelo, a I2 moment inercije čovjeka s utezima kad su rake ispružene, tada možemo na osnovu (5.61.) pisati: /,co, = /2co2

(5.62.)

tadaje zbog/, , > cd2. Akrobati, plesači, klizači na ledu i sl. često koriste ovaj zakon o očuvanju ukupnog momenta količine gibanja. Tako, npr. klizač na ledu skupljajući rake smanjuje svoj moment inercije i time povećava brzinu vrtnje (piraeta). Kad se želi zaustaviti, širenjem ruka povećava I i tako smanjuje CD. Zakon očuvanja momenta količine gibanja naročito ima važnu ulogu u proučavanju atoma i molekula, te ćemo ga koristiti u proučavanju strakture atoma. 86

5.6. SNAGA Snaga je brzina vršenja rada ili brzina prijenosa energije: P

dW

dt Budući da je dW = F ■d s , to izraz za snagu možemo pisati:

(5.63.)

Fdš - ds - _ . . . . ,___ , dt dt Snaga je skalami produkt sile i trenutne brzine. To je skalama veličina. Jedinica za snagu je 1W = 1 Js'1. P

87

6. TITRANJE (OSCILACIJE)

Titranje (osciliranje) predstavlja vrstu gibanja ili promjenu fizičkog procesa koji se odlikuje određenim stupnjem ponavljanja. U zavisnosti od prirode fizičkog procesa koji se ponavlja, titranja dijelimo na: mehanička (njihalo, treperenje žice kod muzičkog instrumenta itd.), elektromagnetska (naizmjenična strnja, clektromagnetski valovi i dr.) i elektromehanička (osciltranje atoma čvistog tijela oko ravnotežnog položaja u kristalnoj rešetki i dr.). U zavisnosti od karaktera djelovanja, koje se vrši na oscilatomi sistem, razlikujemo: slobodno titranje, prigušeno titran je i prisilno dtranje. Slobodno titranje nastaje u sistemu koji je, nakon početnog vanjskog djelovanja, prepušten samom sebi (npr. elastična opruga ili klatno izvedeno iz ravnotežnog položaja). Pri ovome svaki oscilator ima svoju vlastitu frekvenciju. T itran ja kod kojih se veličina koja oscilira mijenja po zakonu sinusa ili kosinusa u fu n k d ji vremena nazivaju se harm onična titranja (oscilacije). Titranja u prirodi su veoma bliska harmoničnim titranjima, ili mogu biti predstavljena superpozicijom harmoničnih titranja.

6.1. HARMONIČNO TITRANJE Promatrajmo sistem koji se sastoji od kuglice mase m koja je obješena na elastičnu oprugu. U stanju ravnoteže sila, silu težine mg uravnotežuje elastična sila kAl0 (Hookeov zakon): m g-kčdo,

(6.1.)

gdje je k pozitivna konstanta, a AI0 izđuženje. Pomjerimo kuglicu iz položaja ravnoteže na rastojanje x, tada će produženje opruge biti jednako Al0 + x, pa rezultirajuća sila projicirana na osu x ima vrijednost: F = m g - k(Al0 + x).

(6.2.)

Uzimajući u obzir uvjet ravnoteže (6.1) dobit ćemo da je: F = -k x . 88

(6.3.)

O X

X Citež 6.1.

Predznak (-) u fonnuli (6.3.) izražava činjenicu da pomjeranje i sila imaju suprotne smjerove. Sila F ima osobine: • proporcionalna je pomjeranju kuglice iz položaja ravnoteže i • uvijek je usmjerena prema položaju ravnoteže. U ovom slučaju sila je po prirodi elastična, međutim za sile koje se ponašaju po istoj zakonitosti kažemo da su kvazielastične. Da bismo pomjerili kuglicu za vrijednost x moramo izvršiti rad protiv kvazielastične sile:

Ovaj rad se manifestira u viđu potencijalne energije sistema. Prema tome, sistem u kojem djeluje kvazielastična sila, pri pomjeranju iz ravnotežnog položaja na rastojanje x dobiva potencijalnu energiju:

Izvršimo pomjeranje kuglice za x = A i pustimo sistem da oscilira. Pod djelovanjem sile F = ~kx, kuglica će se kretati prema položaju ravnoteže brzinom: dx (6.5.) dt Pri ovome će se smanjivati potencijalna energija sistema a javljat će se kinetička energija (masu opruge zanemarujemo). Došavši u položaj ravnoteže kuglica nastavlja kretanje po inerciji. Ovo kretanje će biti usporeno i prestat će onda kad se kinetička energija u potpunosti pretvori u potencijalnu, tj. kad pomjeranje bude jednako -A . Ako u

89

sistemu nema trenja, energija sistema mora biti očuvana, i kuglica će se kretati neograničeno dugo u granicama od A do —A. Jednadžba gibanja za kuglicu, prema II Newtonovom aksiomu' ima oblik: =-fcx. ( 6 .6 .) dt 21 Napižimo ovu jednadžbu u drugom obliku: d 2x k (6.7.) r- + — x=0. dt2 m Koeficijent uz x je pozitivan broj pa ga možemo napisati u obliku: —

* ( 6.8.) m gdje je (o realan broj čije ćemo fizikalno značenje vidjeti kasnije. Jednadžba (6.7.) može se napisati u obliku: 2

d 2x + e>2x = 0 . (6.9.) d t2 Znači, gibanje kuglice pod djelovanjem sile oblika -fcc izražava se linearnom homogenom diferencijalnom jednadžbom drugog reda. Može se vidjeti da tješenje jednadžbe (6.9.) ima oblik2: ( 6. 10.)

x = y4cos(o>t +
n 2’

gdje su A i

90

r

™

P?št° J* kosmus periodična funkcija s periodom 2 jc, različita stania siste harmom$no t,trar,j e>Ponavljaju se za interval vremena T a koii

ir J S s s ^ * 2n■o*

‘“^ ™ 1

™ 2iv' - ■—

[£»(/ + 7) + cp] = [cor +
f-L

j

~ t:

(6 . 12 .)

” “ ™ ciju j ' 1 H l « - * * “

■»

2n

(0 » — . T k m ^ r J T 6- ? pređstav,j a br°j osctlacija za 2 jc sekundi, i naziva se kružna frekvencija. Veza između frekvencije i kružne frekvencije je: (6.13.) Diferencirajmopo vremenu jednadžbu (6 . 10 .) dobit ćemo izraz zabrzinu: dx V~~ČH = ~ ^® sin(mr+
d0bit ćemo ^ j o S jedanput p

91

a - LL?L = -A a J cos(cor + q>). (6.15.) dt Znači da se ubrzanje i pomjeranje nalaze u protiv fazi. Svako oscilatomo kretanje može se karakterizirati određenim vrijednostima amplitude A i početne faze q>. Ove vrijednosti mogu se odrediti iz početnih uvjeta. U momentu t = 0 jednadžbe (6.10.) i (6.14.) glase: x 0 = A coscp; v0 = -^co sintp. Iz ovih relacija možemo izračunati amplitudu A i početnu fazu

(6.16.)

©xn Grafički prikaz pomjeranja x, brzine v i ubrzanja a, kod harmoničnog

92

6.2. ENERGIJA HARMONIČNOG TITRANJA Kvazielastična sila je konzervativna', pa je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna. U procesu titranja đolazi do pretvorbe kinetičke energije u potencijalnu i obratno. Maksimalna potencijalna energija se dobije kada se sistem nalazi na najvećem otklonu od ravnotežnog položaja: kA2 ( 6 .I 7.) U momentu prolaska kroz ravnotežni položaj sistem ima maksimalnu brzinu, tj. maksimalnu kinetičku energiju, E = (Et ) = ' *'mx

mv_ - mA2io2 ^

(6.18.)

Može se pokazati da su izrazi (6.17.) i (6.18.) jednaki jedan drugom, prema (6.8). Promatrajmo kako se mijenjaju kinetička i potencijalna enereiia s vremenom: 2 „2 mv mA2i d

.

■ sin2(co/ + cp)

(6 .19 .)

„ kx2 kA2 2, . Ep = ~ = ~ c o s > / +
Zbrajanjem ova dva izraza, dobivamo da je ukupna energija harmoničnog titranja konstantna: kA2 mA2m2 E = Ep + Et = ^ = p

‘

2

(6.20.)

2

Koristeći poznate trigonometrijske formule možemo izraze za Et i E napisati na slijedeći način: P E p = E cos2(cor + cp) = e \^~+ |

c o s 2 ( co/

+
( 6.21.)

Et = £ s i n 2(co/ +
93

63. HARMONIČNI OSCILATOR Sistem opisan jednadžbom: ^

dr

W

= 0,

gdje je (D2 konstantna pozitivna veličina, naziva se h a r m Kao što je poznato, rješenje jednadžbe (6.22.) ima oblik: x - A cos(cat + (p).

(6.22.) o n ič n i

osciiator. (6.23.)

Prema tome, harmonični oscilatorpredstavlja sistem koji vrši haimonična titranja oko položaja ravnoteže. Obično u teorijskoj fizici količinu kretanja nazivamo im puls i označit ćemo ga sa p. Izračunajmo impuls harmoničnog oscilatora: A. p = m • v = - A (0 C0S(©/ + (p).-m (6.24.) 94

U svakom slučaju oscilator pored otklona x, ima još jednu karakterističnu vrijednost, p. NapiŠimo gomje jednadžbe (6.23.) i (6.24.) na drugi način: — = cos(co/ + cp) (6.25.) = -sin(co/ + (p). mAco ' Kvadriranjem i zbrajanjem dobivamo: -2 2 — + — £ ___ = 1 A 2 m2A W Grafički predstavljen impuls harmoničnog oscilatora u funkciji otklona x, daje elipsu. Koordinatna ravan (p, x) naziva se fazna ravan a odgovarajuća kriva fazna putanja, crtež 6.6. Površina elipse1jednaka je:

(6.26.)

_ . . 2n mA1co2 6 = nAmAoo --------------© 2 odnosno, S =j E .

(6.27.)

Znači, ukupna energija harmoničnog oscilatora je proporcionalna površini elipse, pri čemu je koeficijent proporcionalnosti vlasdta frekvencija oscilatora: E = f- S . Površina elipse može biti izračunata i kao integral (6.28.) može napisati i u obliku:

(6.28.) pa se formula

E = f ^ pdx.

(6.29.)

Ova posljednja relacija, odigrala je veliku ulogu u izgradnji osnova kvantne mehanike o čemu će biti govora kasnije.

6.4. SLAGANJE HARMONIČNIH TITRANJA Pri istovremenom djelovanju više različitih elastičnih sila na oscilator on će vršiti složeno gibanje, koje će biti jednako geometrijskom zbiru pojedinih oscilacija. Rješavanje ovih problema, posebno slaganje oscilacija istog I 5 = nab, gdje su a i b poluose elipse.

• 95 P

smjera, znatno se olakšava ako se oscilacije predstave pomoću, tzv. vektora amplitude. Uzmimo jednu osu koju ćemo označiti 0)^ sa x, crtež 6.7. Iz taćke O, koja je uzeta na osi, povucimo vektor dužine A, koji sa osom A / obrazuje kut cp. Ako taj vektor rotiramo sa kutnom brzinom co projekcija vektora će se X pomjerati po osi x u granicama od -A do +A, 0 / pri ćemu će se koordinata te projekcije miCrtež 6.7. jenjati s vremenom po zakonu: (6.30.)

x - A cos(
Prema tome, projekcija kraja vektora na o s u j c vršit će haimonično titranje s amplitudom koja je jednaka dužini vektora, kružnom frekvencijom koja je jednaka kutnoj brzini rotiranja vektora i početnom fazom koja je jednaka kutu koji obrazuje vektor s osom u početnom momentu vremena. Promatrajmo slaganje dva harmonična titranja istog smjera i iste frekvencije. x ,= A , cos(co/ +
+ cp^).

(6.31.)

Rezultirajuće pomjeranje tijela vršit će se po istoj pravoj tako da je jednako algebarskom zbiru oba pomjeranja: x

= x , + x2=

A, cos(cd/ + cpj) + A 2 c o s (
(6.32.)

Predstavimoobaosciliranjapomoću vektora amplitude A, i A2, crtež 6.8. Može se uočiti da je projekcija rezultirajućeg vektora A , na osu x jednaka sumi projekcija vektora koji se slažu: * x = x ,+ x 2 . (6.33.) Prema tome, vektor A predstavlja rezultirajuće titranje. Taj vektor rotira s istom kutnom brzinom co kao i vektori A, i A2, tako da će rezultifajuće gibanje biti harmonično titranje sa frekvencijom oo, amplitudom A i početnom fazom
(6.34.)

Na crtežu 6.8. vidimo, za trenutak / = 0, na osnovu kosinusne teoreme imamo: A2 = A? + A% -2/^^jCOs[n-(92 -2 —cp,)

96

(6.35.)

odnosno, OC

Af cos2 '

Jednadžbe (6.35.) i (6.36.) mogu se dobiti i zbrajanjem jednadžbi (6.31.) koristeći odgovarajuće trigonometrijske transformacije. Analizirajmo izraz za amplituđu (6.35.). Ako je razlika faza između dva titranja konstantna, tj.: cP2 _(Pi = const.

(6.37.) takva titranja nazivaju se koherentna. Ako je pak razlika u fazi jednaka nuli tli cijelom pamom broju n, imamo da je: «P2 ~
i

A - A , + A 2.

(6.38.)

Ako je razlika faza oba titranja jednaka nepamom broju n, imamo da je: , gdjeje n = 0,1, 2 ,3 ,.... tada je, cosC^Pz —
i

a

=\4 j - a 2\.

(6.39.)

6.5. MATEMATIČKO NJIHALO (KLATNO) Matematičko njihalo sastoji se od točkaste mase m obješene na nerastee Ij^vu vrio laganu mt duljine /, crt 6.9. Kada njihalo miruje u ^oložaju r a m S e ' napetost mti N uravnotežuje sila G (sila teže). Izvan položaja ravnoteže’ angencijalna sila (komponenta sile teže) vraća tijelo u položaj ravnoteže dok je radijalna komponenta sile teže uravnotežena napetošću niti / *

97 *

Zbroj svih sila na materijalnu točku jednak je tangencijalnoj komponenti sile teže F = -mgsinO, gdje predznak minus kaže da sila djeluje u smjeru porasta pomaka 0. Sila mje proporcionalna kutnom pomaku 0, nego sm0, prema tome gibanje nije harmomčno. Međutinv za male amplitude sin0 * 0, te sila F = -mg0 harmonična. Matematičko njihalo titra harmonično samo za male amplitude, dokje, za veće amplitude, period njihala fonkcija amplitude. Jednadžba gibanja matematičkog njihala glasi. F = ma, = -m gsin0, odnosno prema (3.40.) , .d 'B ai ~ la = dobivamo, d 2Q = -m gsm • O o. U slučaju malih pomjaranj.

(6.40.)

L> - 6, te jeduadiba gibmja m.iemaMkug

njihala poprima oblik: ^ £ + £ 0 = 0. dt 1 l

(6 .5 0 .)

Ovo je jednadžba harmoničnog titranja, pa analogno prema (6.7.) ima iješenje:

f r~~ > 0 = 0Osin(co/-np) = 0Os i n U y ^ +

(6.51.)

odavde period T = ^ , odnosno period matematičkog njihala za male amplitude' je: r= 2 * E .

<ć '“ )

Period njlhala ne ovisi ni o masi ni o amplitudi već samo od duljme 11 gravitacionog ubrzanja g. , Kada su am pliu.de veće, tj. kada jc sm 6 * m aiem atiikoR n jih a la

98

8. period njihala o v isi o am pliU Kli 8o. tada jc

period

6.6. PRIGUŠENO TITRANJE ^ Do sada smo promatrali idealiziran slučaj titranja materijalne točke u kojemu je mehanička energija očuvana. Iz iskustva znamo da su uvijek gubici energije prisutni i da će elastična opruga poslije određenog vremena prestati titrati. Za takva titranja kažemo da su prigušena. Prigušeno titranje možemo uočiti ako elastičnu opnigu uronimo u viskoznu tekućinu. Sila trenja koja se protivi gibanju elastične opmge proporcionalna je brzini gibanja: F, = -b v = - b ^ . (6.53.) at gdje je b konstanta prigušenja, a predznak minus pokazuje da su sila trenja i brzina, suprotne smjem izabrane ose x. Jednadžbu gibanja za prigušeno titranje, na osnovu dmgog Newtonovog aksioma i (6.3.), možemo pisati: ma = Frl + Jv

(6.54.)

ili

d lx b dx k (6.55.) —r ---dt T +— dt + m m x =0 k b Zamjenom, — = toj i — = 2 8 , jednadžba (6.55.) poprima oblik: m m d2x . . dx 2 (6.56.) y + 2 8 - + » ;,.o . gdje je cn0 = J — vlastita frekvencija neprigušenog oscilatora, a 5 faktor prigušenja. ''m Rješenje ove homogene lineame diferencijalne jednadžbe je: x(t) = Ae~^ sin(cot +
(6.57.)

uz uvjet, co = •Jal + 5 J . •

(6.58.)

Ovo možemo dokazati uvrštavanjem, prvog i dmgog izvoda. Prvi izvod od z(t) je ustvari brrina prigušenih oscilacija: ■— = -Ade~it sin(cot+
-99 P

Uvrštavanjem u jednadžbu (6.56.), dobivamo:

(A 8 2 - Aa>2 - 2A8 7 + /4(Oo)e"*' sin(cof + tp) = 0 .

(6.59.)

Jednadžba (6 59.) mora fiti ispunjena za svaki t, |to daje uvjet (6.58.): a = co0 —o . Prigušenje smanjuje fiekvenciju titranja to više što je trenje veće. Amplituda A e **opada eksponencijalno s vremenom; što je faktor prigušenja 8 veći, to i amplituda brže tme, crt. 6.10. Ako je trenje veliko, uopće nema titranja; uvjet za takvo aperiodično gibanje dobivamo iz (6.58.): 82 > a 0 .

(6.60.)

Tada je naime a u izrazu (6.58.) imaginama i tješenje jednadžbe gibanja je elongacija koja eksponencijalno opada. Osciliranje nekih mehaničkih sistema često je nepoželjno i nastoji se, uvođenjem određenog prigušenja, smanjiti ili ukloniti (npr., kazaljke mjemih instrumenata, amortizeri na vozilima i dr.).

6.7. P R IS IL N O T IT R A N J E . R E Z O N A N C IJ A

Crtež 6.11.

100

Kada vanjska periodična sila djeluje na sistem koji može titrati, nastaje prisilno titranje. Na crtežu 6.^1. prikazan je jedan takav prisilni oscilator. Pomoću vanjskog oscilatora, kojem se frekvencija može mijenjati, pobuđujemo sustav “opraga + masa”, na titranje. Kad je frekvencija co vanjskog oscilatora manja od vlastite frekvencije sistema co0 = -J k /m , sistem oscilira, ali s malim amplitudama. Kako
Fv= F0 sincof,

(6.61.)

gdje je o) kružna frekvencija vanjskog oscilatora. Drugi Newtonov aksiom, primijenjen na ovakvo gibanje, daje: dx dx i — = = - k x - b — + /vsmcor dt dt ili

F x + 28x+a>lx = — sinto/ = /foSinof, (6.62.) m gdje je 5 faktor prigušenja, koji smo definirali u prethodnom ođjeljku, a A0 arnplimda vanjskog oscilatora. Rješenje ove jednadžbe je titranje s prisilnom frekvencijom co: x(t) = A(a>) sin(car- cp)

(6.63.)

gdje je

-sinco?.

(6.64.)

28(0

25co ■ ^ - = ^/(
Crtež 6.12.

(6.65.)

Amplitude za razna prigušenja prikazane su na crtežu 6.13. Amplituda osciliranja (6.64.) ovisna je o omjeru co/co0 i o prigušenju 6 i maksimalna je pri rezonantnoj frekvenciji: cor = -Jtol - 2 6 2

( 6.66.)

što se dobije izračunavanjem maksimuma funkcije (6.64.). Rezonantna frekvencija ©„ u slučaju prigušenog oscilatora nešto je manja od vlastite frekvencije; rezonantna frekvencija neprigušenog oscilatora jednaka je vlastitoj frekvenciji cor = co„. U idealnom slučaju, kad ne bi bilo gubitaka, amplituda pri rezonanciji (co = co0) bila bi beskonačno velika. Kad su prisutni

101

Citež 6.13. gubici, rezonantna amplituda je konačna a rezonantna frekvencija je nešto manja od (o„, tim više što je prigušenje veće. Rezonancija može biti ponekad opasna i dovesti do rušenja (mostova, zgrada i sl.). Tako je srušen most u Takomi (1940.); vjetar u rezonanciji s vlastitom frekvencijom mosta uzrokovao je snažne oscilacije i rušenje mosta. Rezonancija se susreće u mnogim mehaničkim, električnim i drugim uređajima.

1

102

7. MEHANIČK3 VALOVI I ZVUK

7.1. PROSTIRANJE VALOVA U ELASTIČNOJ SREDINI Ako se na jednom mjestu elastične sredine (čvrste, tečne ili plinovite) izazovu oscilacije njenih čestica, tada će se, zbog međudjelovanja čestica, to osciliranje širiti kroz sredinu nekom brzinom v. Proces prostiranja oscilacija u prostoru naziva se val ili talas. Val ne prenosi čestice sredine u kojoj se prostire, one samo vrše osciliranje oko ravnotežnih položaja. Longitudinalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju duž pravca prostiranja. Transverzalni val je takav val kod kojeg čestice osciliraju u smjeru koji je okomit na pravac prostiranja vala. Mehanički transverzalni val nastaje samo u sredini koja pokazuje otpor na smicanje. U tečnoj i plinovitoj fazi moguć je nastanak samo longitudinalnih valova.

103

Na crtežu 7.1, prikazano je kretanje čestica pri prostiranju transverzalnog vala. Čestice označene sa 1,2,3 itd. pomaknute su jedna od druge na rastojanju 1/4 vT. To je jednako četvrtini puta kojeg val pređe za vrijeme jednog perioda. Čestice koje se nalaze jedna od druge na rastojanju vT osciliraju u istoj fazi. Rastojanje između najbližih čestica koje osciliraju u istoj fazi naziva se valna dužina. Valna dužina je prema tome jednaka proizvodu brzine vala i perioda. X= v - r .

(7.1.)

Ako zamijenimo u izrazu (7.1) T s M f dobijemo X =j .

(7.2.)

Geometrijsko mjesto točaka do kojeg dolaze oscilacije u momentu vremena t naziva se valni front. To je površina koja dijeli dio prostora koji je zahvaćen u valni proces od oblasti u kojoj još nema oscilacija. Geometrijsko mjesto točaka koje osciliraju sa istom fazom naziva se valna površina. Valne površine mogu da budu bilo kojeg oblika, najjednostavnije su one koje imaju oblik ravni ili sfere. U tim slučajevima val se naziva ravni ili sferni. U sfemom valu valne površine predstavljaju sistem koncentričnih sfera, crtež 7.2a.

\ \ \ \

\.

zrake valna fronta

b. ravoi val

Crtež 12.

Pravci duž kojih se šire oscilacije od točke do točke zovemo zrakam a vala, zrake su okomite na valne površine. Iz točkastog izvora u izotropnom sredstvu (tj. sredstvu koje u svim smjerovima ima iste osobine) širi se sfemi val čije su valne fronte koncentrične sfere (lopte) crtež 7.2a, a zrake radijalni pravci. Ravni val nastaje iz beskonačno dalekog točkastog izvora, valne fronte su ravnine, a zrake paralelni pravci, crtež 7.2b. 104

7.2. JEDNADŽBA RAVNOG I SFERNOG VALA Valna jednađžba naziva se izraz koji daje pomjeranje ¥ oscilirajuće točke kao funkciju njenih koordinata x , y , z i vremena t ¥ = ¥ ( z ,y ,z ,0 .

(7.3.)

Funkcija (7.3.) mora da bude periodičnakako u odnosu na vrijeme, t tako i u odnosu na koordinate x, y , z. Nađimo oblik funkcije u slučaju ravnog vala koji se prostire duž ose x ¥ = ¥ (x 0 (7-4-) Valne površine normalne su na osu x. Neka oscilacije točaka koje leže u ravni x = 0 imaju oblik ¥ = ¥ (0 , t)= A coscot. Nađimo oblik osciliranja čestice u ravni koja odgovara proizvoljnoj vrijednosti x. Da bi val prešao put od ravni x = 0 do ravni x valu je potrebno vrijeme x

X= V T x r = —, (7.6.) v gdje je v brzina prostiranja vala. Crtež 73. Oscilacije čestica koje leže u ravni x , zaostaju u vremenu, za t. Prema tome, jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku ¥ = /fc o s to (/-r) = / f c o s o ^ / - —j .

(7.5.)

X

(7.7.)

Pri ovome pretpostavljamo da je amplituda oscilacija u svim točkama jedna ista, tj. nema apsorpcije valova. Neka je vrijednost faze u jedndžbi (7.7.) jednaka nekoj stalnoj vrijednosti const.

(7.8.)

Izraz (7.8.) daje vezu između vremena t i onog mjesta x u kojem se u danom momentu ostvaruju iste vrijednosti faze. Diferenciranjem (7.8.) dobivamo brzinu kojom se pomjera dana vrijednost faze d t- - d x =0, V

(7.9.)

.105

odnosno dx (7.10.) — = +v. dt Prema tome, brzina prostiranja vala u jednadžbi (7.7.) jeste brzina pomjeranja faze, pa se zove fazna brzina. Iz jednadžbe (7.10.) slijedi da je brzina vala pozitivna, prema tome (7.7.) opisuje val koji se rasprostire u stranu rasta x (slijeva u desno), val koji se rasprostire u stranu suprotnu ima oblik W = A cosa

(7.11.)

Izjednačimo fazu sa konstantom i diferencirajmo, dobijemo d x __ d t~

(7.12.)

Rezultat pokazuje da se val kreće u suprotnom smjeru. Jednadžbi ravnog vala može se dati simetričan oblik u odnosu na t i x. Uvedimo valni broj k, k

2n k

(7.13.)

Veza između valnog broja k i kružne frekvencije © i fazne brzine vala v ima oblik © v (7.14.) J Jednadžba ravnog vala može se napisati u obliku = A cos(©r ± kx).

(7.15.) ■» Promatrajmo jednadžbu sfemog vala. Sfemi val nastaje od izvora koji se može smatrati točkom. U slučaju đa je brzina prostiranja u svim smjerovima ista val koji nastaje od izvora (točkastog) mora biti sfemi. Neka je faza osciliranja jednaka tada točke koje leže na valnoj površini radijusa r moraju oscilirati sa fazom ©(/ - r/v). Amplituda osciliranja u tom slučaju ako sredina ne apsorbira energiju vala neće ostati konstantna, ona se smanjuje po zakonu 1/r. Jednadžba sfemog vala ima oblik *¥ = — c o s© ^ f-—j .

(7.16.)

Ova jednadžba vrijedi samo za velike r, u odnosu na dimenziju izvora. Kad r teži nuli amplituda postaje beskonačna, što upravo pokazuje neprimjenjivost jednadžbe (7.16.) za male vrijednosti r.

106

V

7.3.

JE D N A D Ž B A R A V N O G V A LA K O J I S E P R O S T IR E U P R O IZ V O L J N O M S M J E R U

Nađimo jeđnadžbu ravnog vala koji se prostire u pravcu koji sa osama ^ z o b r ^ j e ugJcvc a , P, y. Neka oscilacije koje prolaze kroz koordinatni pocetak, crtež 7.4, lmaju oblik 'Po = A coscot. (7.17.) Uzmimo valnu površinu koja od koordinatnog početka stoji na rastojanju /. Oscilacije u toj ravni zaostaju za oscilacijama (7.17.) za vrijeme t = l/v 'F = /
(7 1 g )

Izrazimo / preko radijus vektora r . Lako je uočiti da skalami proizvod jedimčnog vektora normale 5 s radijus vektorom r bilo koje točke površine ima istu vrijednost koja je jednaka / n ■r =rcos

(7.19.)

(7.20.)

Omjer co/v jednak je valnom broju k. Vektor k = kn

(7.21.)

koji je po modulu jednak valnom broiu

2 jj

Crtež 7.4.

k = — i koji ima smjer normale na površinu naziva se valni vektor. Uvođenjem k u (7 .2 0 .), dobijemo ¥ ( ? , / ) = /! c o s ( c o t-k r ) .

( 7 .2 2 .)

Jednadžba (7.22.) daje otklon točke s radijus vektorom r od ravnotežnog položaja u momentu vremena t. Da bi prešli od radijus vektora točke r njenim koordinatama x, y, z, izraztmo skalami proizvod k ■r projekcijama vektora na koordinatne ose: k ' r = kxx + kyy + kzz.

(7.23.)

Tada jednadžba ravnog vala dobiva oblik

■ 107

'F(x,y, z ,t) = A cos(ca/ - kxx - kyy - k.z),

(7.24.)

gdje je

kx=^ cosa>

C0SP- **= Y

y

cosy‘

(7.25.)

7. _ O ta U slučaju kada se r podudara sa osom x, tada je k, = k, ky - k. - 0, te jednadžba (7.24.) prelazi u jednadžbu (7.15). Jednadžba ravnog vala ponekad se piše i u obliku (7.26.) odnosno

^i>= A [cos(co/ - kx) + / sin(co/ - kx)],

(7.27.)

pri čemu se podrazumijeva da se koristi samo realni dio tog lzraza.

7.4. VALNA JEDNADŽBA Jednadžba bilo kojeg vala je iješenje diferencijalne jednadžbe koju zovemo valna jednadŽba. Promatrajmo ravni val u smjeru ose x 'F(x, t) = A cos(cot - kx).

(7.28.)

Nađimo drugu parcijalnu derivaciju po koordinatama i vremenu od funkcije '¥(x, /)' = -co2-4cos(a>/-fct) = -co2yP ^ = -fc2^cos(o>/ - fcc) = -fc2'F . dx Iz jednadžba (7.29.) dobivamo g2'F fc2 d2xP dx* cb2 dt2

(7fi9.)

(7.30.)

Uzevši u obzir vezu —j = -=■, dobivamo co v d 2' ¥

1 d 2' ?

dx2

v2 dt 1

(7.31.)

1 Funkciia 4-(x y z, l), je funkcija četiri nezavisno promjenjive, pa se ovdje moraju uvesti parcijalni izvodi funkcijc, koji se pišu simbolima 34'/&. 34>ldy, čtV/dz. 34-/3/. Parcijalni izvod za funkc.jc više promjenjivih, po nekoj određenoj promjenjivoj, računamo kao “običan lzvod po toj promjenjivoj, s tim da se ostale varijable smatraju konstantne.

108

Jednadžba (7.31.) predstavlja valnu jednadžbu. Ovo raožemo analogno proširiti na sve tri dimenzije, pa valna jednadžba u tri dimenzije ima oblik d2'V & '¥ dxl 8y 2

d2'¥ dz 2

1 a 2'p v3 3 /2

(7.32.)

Jednadžba (7.32.) može se napisati koristeći Laplasov operator A1 a2'? a2'? 324' A47 = — r + — r + — dx2 dy 2 dz

(7.33.)

odnosno A4> =

i t f 'v v2 d t 2

(7.34.)

7.5. BRZINA PROSTIRAN JA ELASTIČN IH VALOVA Neka se u pravcu x ose prostire longitudinalni ravni val. Izdvojimo u sredini cilindrični volumen visine Ax sa površinom koja je jednaka jedinici. Ako osnova cilindra sa koordinatom x ima u nekom trenutku pomjeranje 4* onda će pomjeranje osnove s koordinatom x + Ax biti ¥ + A'P. Prema tome, razmatrani volumen se deformira i dobiva izduženje A ¥ (ako je A'F < 0 to predstavlja sažimanje). Velićina, e = A4VAx predstavlja srednju relativnu deformaciju cilindra. Zbog toga što se ne mijenja po lineamom zakonu, stvorena deformacija na raznim presjecima cilindra neće biti jednaka. Da bismo dobili deformaciju na presjeku x potrebno je da Ax teži nuli. Prema tome je .. A'¥ £ P (7.35.) e = lim ----a»-+o Ax dx Postojanje deformacije istezanja svjedoči o postojanju normalnog naprezanja a koje je pri malim deformacijama proporcionalno veličini deformacije. Suglasno Hookeovom (Hukovom) zakonu, cr = E • e, gdje je E Youngov (Jang) modul a a normalno naprezanje (o = F/s), imamo a = E s = E~ ^ ~ . (7.36.) dx Napomenimo da relativna deformacija d'V/dx a prema tome i naprezanje u fiksiranom raomentu vremena zavise od x. Tamo gdje su otkloni čestice od položaja ravnoteže maksimalni, deformacije i naprezanja su jednaki nuli. U mjestima gdje čcstice prolaze kroz položaj ravnoteže deformacija i naprezanje*1 . a1 tf

#

1 Laplasov operator; a " a ? +ŠT"1'i?-

109

dostižu maksimalnu vrijednost pri čemu se pozihvne .negat.vnedeformac.j (istezanje i sabijanje) naizmjenično smjenjuju (longitudinaku val )>crte* J .

^ p i š i m o je d n a d ž b u k re ta n ja z a je d in ič n i c ilin d a r. U z im a ju ć t d a e A * v e o m a m L n , i b iz a n je s is te m a m o ž e s e s m a tr a ti k o n s ta n tn o . M a s a c .lm d r a j e d n a k a j e p A xS, g d j e j e p g u s t o ć a n e d e f o r m i r a n e s r e d m e .

Citež 7.6.

Sila koja djeluje na cilindar, jednaka je razlici sila na presjeku x na presjeku x = 0 tj. F = F2 —Fv Prema (7.36.) imamo

Ax i

Veličinu f — 1 možemo razviti u red' za male vrijednosti Ax kao1 1 Funkcija F(x) može se razviti u Mac Lorinov red. Za male (infinitezimalne) vrijednosti A* fimkcija F(x) = F(0) * F (0)Ax +...

110

l 9* J at \ dx J q

J /5 ¥ 5*1 5*

A*+...

Uvrštavanjem u relaciju (7.37.) dobivamo F = SE

_ 5 _ f£ F

5 * f 5*

5J'P A* = SE-—~ - A x . 5 r2

(7.38.)

Sa druge strane, sila je prema II Newtonovom zakonu jednaka _ A S2'P A„ d l'P „5^ F = t M - r j - = p •AK—— = p ^ - r - r - A *. (7.39.) d t2 dt dt Izjednačavanjem relacija (7.39.) i (7.38.) dobivamo jednadžbu oblika valne jednadžbe p 52vF - e š 'i s r ( 7 ‘, 0 » Uspoređivanjem jednadžbe (7.40) sa valnom jednadžbom (7.31.) vidimo da je -j- =

. Prema tome brzina Iongitudinalnih valova jednaka je kvadrat-

nom korijenu iz Youngovog modula podijeljnog s gustoćom sredine (7.41.) Analogna računanja za transverzalne valove dovode do slijedećeg izraza za brzinu v . j l '.

(7.42.)

gdje je G modul smicanja.

7.6. ENERGIJA ELASTIČNOG VALA Promatrat ćemo sredinu u kojoj se prostire longitudinalni ravni val, izdvojivši elementami volumen AF, ali tako malen da se deformacije i brzina mogu smatrati istim i jednakim u svim točkama. Da bismo izračunali ukupnu energiju sistema moramo prethodno izračunati potencijalnu energiju elastične deformacije pri istezanju ili sabijanju. Energiju istegnutog (sabijenog) štapa za A/, dobit ćemo preko rada vanjskih sila. Pošto je sila promjenljiva, rad je jednak

J

W — F -d x , 0

(7.43.)

111

gdje je x - izduženje u procesu deformacije i mijenja se od O do AA Znači, sila koja odgovara izduženju x, prema Hookeovom zakonu ima oblik E -S (7.44.) F" XUvrštavanjem (7.44.) u (7.43.) možemo izračunati rad, odnosno energiju deformiranog tijela. čj

■E-S ^ E - S x 2 61 E - S - l f A r f -xdx = — — 2 l 2 l

(7.45.)

w=Jv

Konačno imamo da je potencijalna energija jednaka E =^

z 2

(7-46-)

' 2 Izraz za potencijalnu energiju elementamog volumena ima oblik 6E = (7 4 7 ) r 2' - \ 8x ) gdje je, E = pv2, Youngov modul elastičnosti, e = — , relativna deformacrja. Promatrani volumen sadrži također i kinetičku energiju AEt

(7.48.)

■‘f i

&V gdje je, Am = pAK, masa i v = ^ - brzina dan0« elementa A K Sabrranjem izraza (7.48.) i (7.47.) dobit ćemo ukupnu energiju (7.49.)

A£ = A£t + A£ = ^

Dijeljenjem energije AE sa volumenora AK u kojem se ona sadrži, dobit ćemo gustoću energije

Parcijalnim diferenciranjem jednadžbe ravnog vala po / i po x dobivamo ĆW . . r x\ — = -<»4sina> t — dt V v)

H>

d V co . . — = — 4smco dx v

112

(7.51.)

Uvrštavanjem izraza (7.51.) u (7.50.) dobit ćemo izraz za gustoću energije u = 2

22sin2 co^/ - —j

ili u = p/12©2 sin2(cc)/ - kx) .

(7.52.)

Vidimo da se gustoća energije mijenja po zakonu kvadrata sinusne funkcije. Pošto je srednja vrijeđnost kvadrata sinusa jednaka 1/2, srednja vrijednost gustoće energije po volumenu u svakoj točki sredine bit će jednaka u = —A 2(o2 .

2

(7.53.)

V

Gustoća energije proporcionalna je gustoći sredine, kvadratu frekvencije i kvadratu amplitude vala. Eneigija se prenosi samim valom od izvora oscilacije do različitih točaka sredine, prema tome val sa sobom prenosi energiju. Količina energije koju prenosi val kroz neku površinu u jedinici vremena naziva se tok energije ili fluks kroz površinu. Fluks energije je skalama veličina čije su dimenzije jednake dimenziji energije podijeljene sa dimenzijom vremena, tj. podudara se sa dimenzijom snage. Prema tome fluks se mjeri u vatima (W). Fluks energije u raznim točkama sredine može imati različitu jakost. Za karakteristiku fluksa energije u raznim točkama prostora uvodi se vektorska veličina koja se zove gustoća toka (fluksa) energije. Smjer vektora gustoće fluksa energije podudara se s smjerom u kojem se prenosi energija. Neka se kroz površinu ASX okomitu na pravac prostiranja vala prenosi za vrijeme A/ energija AE. Tada će gustoća fluksa energije po definiciji biti jednaka AE A5X-A/

(7.54.)

S obzirom da je AE/At fluks energije Acj>, kroz površinu AS± može se pisati A<(> (7.55.) AS± Kroz površinu ASX za vrijeme At prenijet će se energija koja je sadržana u volumenu valjka sa osnovom A5X i visinom v • At, crtež 7.7. Ako su dimenzije valjka dovoljno male tako da bismo gustoću energije u svim točkama valjka mogli smatrati jednakom, onda se AE može naći kao proizvod gustoće energije i volumena valjka, ASL • v • A/, tj. J=

■113

AE = u- AS± v -At.

(7.56.)

Kad taj izraz za uvrstimo u formulu (7.54.) dobit ćemo j = « *V.

V

Razmatrajući faznu brzinu v kao vektor čiji se pravac podudara sa smjerom prostiranja vala može se napisati Grtež 7.7.

j =u v ,

(7.57.)

gdje je j vektor gustoće fluksa energije1. Srednja vrijednost vektora gustoće fluksa energije jednaka je (7.58.) Intenzitet vala /jed n ak je srednjoj vrijednosti energije, koju val prenosi kroz jediničnu površinu u jedinici vremena, a to je upravo skalama vrijednost vektora j v tj. / = —pvA2®2.

(7.59.)

7.7. INTERFERENCIJA VALOVA Ako se u sredini istovremeno prostire nekoliko valova, onda će oscilacije čestica sredine biti jednake geometrijskoj sumi oscilacija koje bi vršile čejtice pri prostiranju svakog vala pojedinačno. Prema tome, valovi se jednostavno superponiraju jedan na drugi ne remeteći jedan drugog. Ovaj princip naziva se princip superpozicije valova. U slučaju kada oscilacije, uvjetovane pojedinim valovima u svakoj točki sredine, imaju konstantnu razliku faza valovi se zovu koherentni. Očigledno da koherentni valovi mogu biti samo valovi koji imaju istu frekvenciju. Pri slaganju koherentnih valova dolazi do pojave interferencije, koja se sastoji u tome da se oscilacije u jednim točkama pojačavaju a u drugim slabe. Promatrajmo dva vala koji se prostim od točkastih izvora O, i 0 2 koji osciliraju s konstantnom fazom razlikom (takvi izvori se nazivaju koherentni kao i

1 Vektor gustoće fluksa energije naziva se i Pojtingov vektor. 114

valovi koje oni obrazuju). Odredimo rezultirajuće osciliranje u bilo kojoj točki sredine pod uvjetom da oba osciliranja imaju isti smjer, crtež 7.8. Pretpostavimo da valovi koji izlaze iz izvora O, i 0 2 imaju jednaku amplitudu i fazu. Dolazeći do toćke S, valovi prelaze različite putove, te se osciliranje koje oni proizvode u toj točki razlikuje u fazi:

Crtež 7.8.

'P, ^A^COsfcot-kr,) % = ^ c o s (a u - kr2) , Razlika u fazi ova dva osciliranja je jednaka:

A5 =

—7-j),

(7.60.) (7.61.)

g d je .su /t, > Ai amplitude valova u točki S, k valni broi k - co/v r , n a o jm j, od izvore do đ stt .odko. P « ,K » a ; ta o da” u ™ pU M ^ , S k s’ jednake, tada je rezultirajuće osciliranje P U t0ćkl S 'i' = *P, + »Pj =

a

[ c o s ( co/

-k r ,) + cos(o51 - lcr2)].

(7.62.)

^ ^ riste ć i adicione teoreme dobit ćemo izraz za rezultirajuće osciliranje u obliku . * f \c - ’i)l 2,4cos— -'jcos o s J ^ ( f l/- /ti± lJ .

2

(7.63.)

amplituda

fa z a 1

promabamo ^ a” lplltuda rezu,tiraJ'ućeg osciliranja ovisi o mjestu u kojem Maksimalno osciliranje dobivamo na mjestima gdje je cos-

=

1

(7.64.)

tj. na mjestima gdje je razlika u fazi višekratnik od 27T k(r2 - ri) = ± 2 n n

n = 0 ,1 ,2 ,...

( 7 . 6 5 .)

Na tim mjestima oba osciliranja su u fazi i dobivamo tev. konstruktivnu interferenciju, s amplitudom A = A , + A 2.

U točkama u kojima je cos

*(r2 ~ ri) = 0 2

(7.66.)

tj. razlika u fazi, A(r2 - r , ) = ±27i^/j + |- j;

n = 0,1,2,...

(7.67.)

dobivamo minimalno osciliranje, odnosno destrukdvnu interferenciju, s amplitudom A = \A j - At\.\J specijalnom slučaju kadaj e A t =A2 na tim mjestima neće biti osciliranja. Uvjeti (7.65.) i (7.67.) svode se na to da je r. - r , = const.

Crtež 7.9.

(7.68.)

Iz analitičke geometrije je poznato da jednadžba (7.68.) predstavlja jednadžbu hiperbole sa fokusima u točkama O, i 0 2. Znači, geometrijsko mjesto točaka u kojima se oscilacije pojačavaju ili oslabljuju predstavlja porodicu hiperbola, crtež 7.9. odgovara slučaju, 9 , -
7.8. DIFRAKCIJA VALOVA Kada na svom kretanju valovi susretau prepreku, oni je obilaze. Ta pojava naziva se difrakcija. Nastajanje difrakcije može se objasniti pomoću Huygensovog (Hajgens) principa kojim se određuje način stvaranja valnog fronta u trenutku t + At, ako je poznat položaj valnog fronta u trenutku t. Suglasno Huygensovom principu: svaka točka do koje dolazi valno kretanje, postaje centar sekundarnih valova koji su u homogenoj i izotropnoj sredini sferni.

116

Anvelopa (ovojnica) tih valova daje položaj valnog fronta u narednom trenutku, crtež 7.10. Neka na ravnu pregradu sa otvorom pada valni front paralelan s pregradom, crtež 7.11. Prema Huygensovom principu, svaka točka otvora predstavlja centar sekundarnih valova, koji će u homogenoj sredini biti sfemi.

Crtež 7.10.

Ovojnica (anvelopa) sekundamih valova predstavlja novu valnu frontu. Ako je pukotina široka, mnogo šira od valne dužine, tada iz dijela valne fronte koji ulazi u pukotinu nastaje mnogo sekundamih valova čijom superpozicijom dobivamo paralelne valne fronte, crtež 7.11b. Što je pukotina manja (reda veličine valne dužine) skretanje valova u podmčje geometrijske sjenke je izrazitije, crtež 7.11a, i dobiva se sfemi val.

Ravni val

a) Crtež 7.11.

7.9. S T O JE Ć I V ALO VI Kada imamo interferenciju dva ravna vala jednakih amplituda koji se kredu jedan na suprot drugoga, oscilatomi proces koji pri tome nastaje naziva se stojeći val. U praksi stojeći val nastaje pri odbijanju valova od pregrada.

. 117

Val koji pada na pregradu i odbijeni val interferiraju. Napišimo jednadžbe dvaju ravnih valova koji se prostiru u suprotnim smjerovima. 'P, = A cos(co?-fo) T\ = A cos(to t + kx).

(7.69.)

Kada zbrojimo ove jednadžbe i koristeći formulu za sumu kosinusa dobit ćemo

'F = 'i', +

= ^[cos((D/ -fcc) + cos(oof + tx)] = |2.4cosfcc|cosco/.

(7.70.)

2 ji . Zamjenom k = — izraz možemo napisati u obliku *P = 2Acos2n— COS(Of . X U točkama gdje je

(7.71.)

fl"

cos2 ji --J =

1

tj. 2 ji —= ±/jjt; n = 0,1 ,2 ,...; A žli x tx „ =±n— 2

(7.72.)

amplituda oscilacija dostiže maksimalnu vrijednost 2A. Te točke zovemo trb u si stojećeg vala. U točkama gdje je

ili (7.73.) amplituda osciliranja pretvara se u nulu. Te točke se zovu čvorovi stojećeg vala.

118

7.10. REFLEKSIJA VALOVA Promatrajmo širenje valova u jednodimenzionalnoj sredini, npr. zategnutom užetu ili gumenoj cijevi. Udarimo li na jednom mjestu zategnuto uže, poremećaj (brijeg) će se širiti na obje strane. Ako je uže na kraju učvršćeno, poremećaj će se reflektirati, cit. 7.13.a.

v

/ "

b)

Crtež 7.13.

119 *

Pritom opažamo da nastaje promjena faze za Jt, tj. da se poremećaj od čvrste zapreke reflektira sa suprotnom fazom. Naprotiv ako kraj debelog užeta vežemo za zid nekom tankom niti, crt. 7.13b, tada će se na tom spoju brijeg reflektirati kao brijeg, tj. s istom fezom. Iz ovih razmatranja možemo izvesti slijedeće zaključke: Kad val upada na granicu između dva sredstva, jedan dio energije vala se reflektira, a ostatak prelazi u drugo sredstvo: od upadnog vala nastaje reflektirani (odbijeni) i tiansmitirani (propužteni) val. Pri refleksiji na gušćem sredstvu reflektirani val je pomaknut u fazi za Jt prema upadnom, dok pri refleksiji na tjeđem sredstvu nema pomaka u fazi. Posebno, pri refleksiji od čvrste zapreke nema transmitiranog vala, reflektirani val ima istu amplitudu kao upadni ali je pomaknut u fezi za n; pri refleksiji na slobodnom kraju upadni i reflektirani val imaju jednake amplitude i faze. Da bismo razumjeli zašto dolazi do promjene faze promatrajmo danu situaciju pomoću jednadžbi za ravne valove. Promatrajmo refleksiju vala na užetu na mjestima gđje se mijenja gustoća, npr. na spoju dva užeta različite debljine. Jednadžbe upadnog vala yj[x,t), reflektiranog vala y£x,t) i transmitiranog vala yj[x,t) su:

(7.74.)

gdje su Atf Ar i A, amplituda upadnog, reflektiranog i transmitiranog vala. Elongacija y{x,t) mora da je svugdje dvaput derivabilna funkcija udaljenosti, tj. u svakoj točki neprekidna funkcija s nepnekidnom derivacijom. N a mjestu gdje se mijenja gustoća, neka je to ishodište našeg koordinatnog sustava x = 0, moraju biti ispunjeni slijedeći rubni uvjeti: y u(x,t)+yXx,t) =yfx,t)

(7.75.)

Prvi uvjet kaže da se na mjestu x = 0 val dijeli na reflektirani i transmitirani, dok drugi uvjet zahtijeva da u graiiičnoj točki nagibi obje žice moraju biti jednaki (jednake prve derivacije). U graničnoj točki x = 0, valne funkcije imaju oblik:

120

y u = Au sinco/; y r = Ar sinco/; y, = A, sinco/.

(7.76.)

Primjenom prvog nibnog uvjeta dobivamo: A u+ Ar = A ,.

(7.77.) Izvršimo derivaciju (7.74.) kako to zahtijeva drugi rubni uvjet dobivamo:

4, 4

4

V| V|

V2

.

(7.78.)

(7-77.) i (7.78.) dobivamo amplitude reflektiranog i transmitiranog vala: (7.79.) (7.80.) Pogledajmo kakva je refleksija kad val prelazi iz ijeđeg u gušće sredstvo. Tada je p, te je v, > v* prema relaciji (7.31.). Iz (7.79.) i (7.80.) zakIjučujemo da amplituda reflektiranog vala ima suprotan predznak od amplitude upadnog vala, dok je amplituda transmitiranog vala istog predznaka kao i amplituda upadnog vala. Drugim riječima, reflektirani val trpi skok u fazi za n kad je slijedeće sredstvo gušće; trasmitirani dio, naprotiv, nastavlja se u drugoj sredini bez promjene u fazi. U posebnom slučaju, kad je kraj žice učvršćen (pj = oo, v2 = 0), reflektirani val je iste amplitude kao upadni, ali pomaknut u fazi za 7t, dok transmitiranog vala nema: y u(x,/) = /4sinco / - —

{

VJ

(7.81.)

Pri refleksiji na tjeđem sredstvu, reflektirani val ne mijenja fazu (pj < p.,; vi); ako je refleksija na slobodnom kraju (p^ = 0, v2 = oo), upadni i reflektirani val imaju iste amplitude i faze. Refleksiju valova možemo promatrati koristeći Huygensov princip. Da bismo izveli zakon refleksije valova, postavit ćemo na put valova ravnu prepreku od koje će se odbijati valovi koji doiaze iz valnog izvora O. Val pogađa prvo točku A, koja postaje izvor novog vala te se oko nje formira elementami val. Slijedeće točke koje bivaju pogođene također formiraju elementame valove ali sa zakašnjenjem koje je utoliko veće ukoliko su točke dalje od A.1 v2 >

1 g je lineama ili pođužna gustoća u = p//.

121

7.12.2. Brzina zvučnih valova u plinovima Da bismo izračunali brzinu zvučnib valova u plinovima (zrak) pođimo od Hookeovog izraza za zapreminsku deformaciju (7.86.) napisavši ga u obliku (7.97.) B = - Ap AV V Uzmimo da su promjene pritiska beskonačno male, tj. Ap -> 0 tada i AV -> 0 pa izraz (7.93.) prelazi u diferencijalni oblik, B=

(7.98.)

Pri ovome moramo voditi računa da povećanje pritiska (dp > 0) odgovara smanjenju zapremine (dV < 0). Oscilacije zvuka vrše se tako brzo da se može smatrati da je sabijanje i razijeđenje plina adijabatsko1, pa prema tome zadovoljava Poissonovu (Poason) jednadžbu p V K= c o n s t,

(7.99.)

gdje je k = cjc„ odnos specifične toplote gasa pri stalnom pritisku i specifične toplote pri stalnoj zapremini. Diferenciranjem Poissonove jednadžbe dobije se V^dp + k V^'^pdV = 0 (7.100.) odakle dp p ——= - K — . dV V Zamjenjujući ovaj izraz u (7.97.) dobivamo B =K-p.

(7.101.) ■» (7.102.)

Znači brzina zvuka u plinovitoj sredini jednaka je |& l a

il

II

(7.103.)

Koristeći izraz za jednađžbu stanja gasa, pV = — RT, M

(7.104.)

1 Adijabatska promjena je takva promjena stanja plina kada nema razmjene toplote sa okolinom

SQ « 0.

126

gdje je m - masa gasa, M -m olekulam a masa, R = 8,314 J/mol K, univerzalna plinska konstanta i T - apsolutna temperatura, možemo izračunati gustoću plina „ PM (7.105.) RT Konačno izraz za brzinu zvuka dobiva oblik v = J ~ T r = const -Jt V Al

(7.106.)

ili v = v J L = 331 j J L ° \ T0 V273 gdje je v0= 331 m/s, brzina zvuka u zraku na temperaturi T0= 273 K.

7.12.3. Dopplerov efekt Kada se zvučni izvor, ili slušalac, ili oboje kreću u odnosu na zrak, visina (frekvencija) zvuka koju čuje slušalac neće u općem slučaju biti ista kao kad bi izvor i slušalac mirovali. Poznat je slučaj naglog pada visine zvuka automobilske sirene kada se susreće ili prolazi pored automobila koji se kreće u suprotnom pravcu. Ova pojava se naziva Dopplerov1 efekt. Neka se brzina promatrača vp i brzina izvora v, nalaze na,jednom istom pravcu. Izvor emitira valove frekvencije f t Vidjet ćemo da će zavisno o relativnoj brzini prema izvoru, promatrač izmjeriti različitu frekvenciju izvora. Definirajmo smjer brzina kretanja tako da i v, imaju pozitivan smjer ako su usmjerene od promatrača ka izvoru. Brzma prostiranja vala u uvijek je pozitivna. Uzet ćemo slučaj kad se promatrač nalazi lijevo od izvora valova, tj. i jcdan i drugi imaju pozidvne brzine (smjer od lijeva na desno). Izvor se u času f, = 0 nalazi u točki A, a u trenutku f2 = f u točki B, crtež 7.17. U međuvremenu, val emitiran od izvora u času f, = 0 pređe put u • t. Pri ovome imajmo na umu da bizina širenja ovisi od medija kroz koji se širi val, dakle ne ovisi od brzine kretanja izvora vala u času emitiranja. Za vrijeme f2 = f izvor putujući iz A u B emitirao je ^ • f valova gdje je f frekvencija izvora. Između B i D ti se valovi gomilaju a između F i B su rašireni. Prema tome valna dužina u području gomilanja valova (desno od izvora) ----------------------- f f

X‘ = ! £ z 3 £ = £ z i f

(7.107.)

1 Ch. Doppler (1803.-1853.), austrijski matematičar i fizičar

. 127

dok je u području gdje se valovi šire valna dužina: Ut + Vjt _ u + v, f t

(7.108.)

f

Fonnule (7.107.) i (7.108.) vrijede za valnu dužinu valova koji dolaze od izvora u kretanju. Koliku će frekvenciju izmjeriti promatrač koji se prema izvoru kreće brzinom vp? Brzina kojom se valovi kreću, prema promatraču je u + v p frekvencija kojom promatrač sreće valove je V

+ U

- _ 2 ____ f =/ /,=

V

+u

(7.109.)

U + V.

U slučaju da se promatrač nalazi desno od izvora i kreće se brzinom tada će frekvencija koju mjeri promatrač biti jednaka Jfp

U~ V J£■= L ^ fs ■u ~ v” = —— Ji u -v .

v ’,

(7.110.)

Crtež 7.17.

Ova dva slučaja možemo prikazati jednom formulom u + v„

(7.111.) u —v. gdje je vp pozitivno ako se prijemnik približava izvoru, a negativno ako se prijemnik udaljava od izvora. Slično tome, brzina izvora v, je pozitivna ako / =/-

128

se izvor kreće u pravcu prijenuiika a negativna ako se izvor udaljava od prijemnika. Pri tome pretpostavljamo da se izvor i prijemnik kreću duž pravca koji ih povezuje. Uzmimo nekoliko specijalnih slučajeva: 1. Promatrač mimje, izvor se kreće prema promatraču, vp = 0. vf > 0

2. Promatrač mkuje izvor se kreće od promatrača, v; < 0, vp = 0 r

U + V,.

/,< /, r

3. Izvor miraje promatrač se kreće prema izvora, vf =0. vp > 0 u+v f „ = f ------* ■ ; £ > / , y u r 4. Izvor miruje, promatrač se kreće od izvora, vf = 0, vp < 0 u~v„ / , = / , -----r u U slučajevima 1. i 3. promatrač mjeri veću frekvenciju od one kojom izvor emitira valove, a u slučajevima 2. i 4. izmjerena frekvencija je manja. U slučaju u = v, svi valovi dodiraju se u točki S gdje se nalazi izvor. U toj točki nalazi se akumulirana znatna oscilatoma energija to je tzv. zvučni zid, slika 7.18. Ako je vf > u dolazi do eksplozije, slika 7.19. Val koji nastaje pri vf > u na ovaj način nema periodičan karakter nego predstavlja jednu oblast

129

kompresije koja se širi brzinom zvuka. Valovi nisu više sadržani jedan u drugom nego su obuhvaćeni konusom AOB tzv. Machov (Mahov) konus. Da bi došlo do zvučne eksplozije (proboj zvučnog zida) bizina izvora mora biti veća od brzine zvuka, tj. v;> 344 m/s.

7.12.4. Zvučni izvori Svaki mehanički oscilator koji pravilno oscilira u opsegu frekvencija zvuka naziva se zvučni izvor. Kao najčešći izvori zvučnih valova susreću se zategnute žice i zračni stupovi. Zategnute žice osciliraju transverzalnim oscilacijama. Ako se na jednom mjestu zategnute žice izvede transverzalna deformacija, ona će se prostirati duž žice brzinom v, koja je jednaka prema (7.41.) (7.112.) gdje je F sila zatezanja žice a p = mll masa jedinične dužine (podužna masa) žice. Na učvršćenim krajevima žice takav val će se odbiti i krenuti u suprotnom smjeru duž žice. Uslijed interferencije formirat će se stojeći val. Stojeći val će se formirati ako dužina žice iznosi (crtež 7.20.) X, 2H, 3A.|

2

’

2

’

2

odnosno

O

Q

0 Crtež 7.20.

130

0

0

0

/ = «-=-; n = 1,2,3,... 2 gdje je X„ valna dužina transveizalnog vala. Frekvencija je jednaka

(7.113.)

(7.114.) gdje je n = 1, 2, 3... Za n = 1 imamo osnovni ton. Osciliranje zračnih stupova može se ostvariti u cijevima koje mogu biti otvorene na jednom kraju ili na oba kraja. Ako je cijev otvorena na jednom kraju, onda će se uvijek na otvorenom kraju obrazovati trbuh a na zatvorenom kraju čvor stojećeg vala. Napomenimo da se u zračnim stupovima mogu obrazovati samo longitudinalni stojeći valovi koji su na crtežu 7.21. prikazani točkastim crtama.

Zatvorent stupovi

Otvoreni stupovi Crtež 7.21.

Općenito možemo pisati da je valna dužina zvuka u zatvorenim stupovima 4/ (7.115.) . ( * - 0 , 1, 2 ...), 2n + l a odgovarajuća frekvencija , 2n + l f ' - 4/

(7.116.)

-131

Ako je cijev otvorena na oba kraja onda će se na njima obrazovati, t**n*fi stojećeg vala. Analogno prethodnom slučaju, za otvorene stupove vnjed. da je X„ = 2l/n, pa je frekvencija jednaka: /n = ±.v,(„=l,2,...),

<7- " 7-)

gdje je n - broj čvorova, a v brdna zvuka.

7.12.5. Osjećaj zvuka Čovjek prima zvuk pomoću ćula sluha: uha. Uho je vrlo složen organ koji zvućne oscilacije prenosi kroz slušni kanal do bubne opne, zatim preko niza složenih opruga do Cortijevog (Korti) organa koji se sastojt tz vlakana do kojih dolaze slušni nervi. Vlakna tmaju različite đužine 1 napetosti pa tm ođgovaraju određene rezonantne frekvencije. Pod utjecajem zvuka određena vlakna stupaju u rezonantno osciliranje i nadražuju određene nervne završetke, koji te nadražaje prenose do mozga, pa čovjek može odvojeno da osjeti komponente složenoga zvuka. Postojanje dva organa sluha (uha) omogućavačovjeku da ocijeni pravac prostiranja zvuka. Ovo je posljedica sposobnosti mozga da registrira faznu razliku oscilacija koje stižu do ušiju. Kod subjektivnog osjećaja zvuka, razlikuju se tri njegove osobine: visina, b o ja i glasnost. Realni zvuk ne predstavlja jednostavno harmonično osciliranje već superpoziciju harmoničnih oscilacija, koje se nalaze u danom zvuku 1 naziva se akustički spektar. Ako se u zvuku nalaze oscilacije svih frekvencija u nekom intervalu o d / ’ d o / ”, tada je spektar kontinuiran (neprekidan). Ako se zvuk sastoji iz diskretnih oscilacija (odvojenih konačnim intervalima) sa frekvenc ija m a /„ /2,... spektar je linijski (diskontinuiran). Na crtežu 7.22. prikazan je neprekidni spektar i linijski spektar zvuka.

132

Šumovi imaju neprekidni akustički spektar. Oscilacije sa linijskim spektrom izazivaju osjećanje zvuka sa više ili manje određenom visinom zvuka. Takav zvuk se naziva tonalni zvuk. Tonalni zvuk se određuje osnovnom najmanjom frekvencijom. Različit spektralni sastav zvuka, koje proizvode razni muzički instrumenti omogućuje da se po slubu razlikuje, flauta od violine ili klavira.

7.12.6. Jačina zvuka Jačina ili intenzitet zvnka određuje se srednjom snagom koju val zvuka prenosi po jedinici površine normalne na pravac prostiranja vala, odnosno količina energije koju prenosi val u jedinici vremena kroz jediničnu površinu normalnu na pravac prostiranja vala.

Koristeći izraz za srednju snagu (7.96.) dobit ćemo da je intenzitet zvuka jednak 7 = --^ (7.119.) 2pv tj. intenzitet zvuka je razmjeran kvadratu amplitude pritiska a obmuto razmjeran proizvodu gustoće sredine i brzine zvuka. U ovom izrazu se ne pojavljuje amplituda A koja se praktično teško mjeri, što nije slučaj sa amplituđom pritiska p^. Jedinica intenziteta zvuka u SI je W/m2. Korištenje ove jedinice nije pogodno jer je raspon intenziteta zvuka, koji se javlja u svakodnevnom životu izražen u ovim jedinicama 1012 puta veći od onog minimalnog koji se može čuti. S druge strane čulo sluha detektira zvuk po logaritamskom zakonu. Prema Weber-Fechnerovom (Veber-Fehnerov) zakonu, psihofizički zakon, čulo sluha osjeća građaciju jačine zvuka približno kao logaritam intenziteta zvuka. Na osnovu ove zakonitosti ustanovljena je skala nivoa jačine zvuka. Zvučni val koji još može izazvati osjećaj zvuka mora imati minimalnu vrijednost 70 koja se naziva prag čujnosti i iznosi približno 10'12 W/m2, pri frekvenciji 1000 Hz. Nivo jačine zvuka L, definiran je na slijedeći način L = k Io g y -, h

(7.120.)

• 133

gdje je k koeficijent proporcionalnosti. Stavljanjem k = 1 nivo jačine je izražen u belima prema Grahamu Bellu (Bel). U praksi se koristi 10 puta manja jedinica koja se naziva decibel, oznaka dB tj. L = lOlog— = 201og— . (7.121.) h Po Ako je jačina jednog zvučnog izvora jednaka I = I0, prema gomjem izrazu njegov nivo jačine je jednak nuli. Zvuk koji je 10 puta jači tj. I = 10 70 ima nivo jačine 10 dB. Jačini od 1 W/m2 odgovara nivo jačine 120 dB. Pri ovim i većim intenzitetima, uho prestaje da prima val kao zvuk, a u uhu se izaziva osjećaj bola ili pritiska, i naziva se prag osjećaja bola. Prag čujnosti i prag osjećaja bola su različiti za razne frekvencije. Najveća osjetljivost čovjekovog uha je u oblasti frekvencije od 3000 do 5000 Hz. U ovom intervalu frekvencije nalazi se minimum praga čujnosti (-5 dB). Prema proračunima, u tom frekventnom području, zvučni pritisak Brovvnovog (Braun) molekularnog kretanja je samo za oko 15 dB niži od praga čujnosti (pri temperaturi 27°C). Amplituda promjene pritiska N/m2

Nivo intenziteta dB

Intenzitet W/mJ

Prag čujnosti

0

io-12

210-5

Tihi razgovor

40

lO"*

2-10°

Glasni razgovor

60

io-*

210-J

Gust ulični saobraćaj

80

io-4

210-'

ZaJdvanje

100

io-J

2

Granica bola

120

1

20

Izvori zvuka

Za ostale frekvencije javlja se veliko odstupanje izmedu fizičke jačine zvuka i subjektivne jačine zvuka. Iz ovih razloga za subjektivnu jačinu zvuka uvedena je također logaritamska skala sa jedinicom koja se zove fon. Kod 1 000 Hz decibel i fon se približno poklapaju.

134

11

7.12.7. Apsorpcija zvuka Kada dođe na granicu između dvije sredine, zvučni val se u općem slučaju djelomično odbija od granice, a djelomično prodire u drugu sredinu i produžuje u njoj da se prostire. Val postepeno slabi pri prostiranju kroz danu sredinu i energija osciliranja prelazi u diuge oblike energije. U prostorijama srednjih dimenzija zvučni val pretrpi nekoliko stotrna uzastopnih odbijanja od zidova dok njegova energija ne opadne ispod granice čujnosti. U velikim prostorijama zvuk se može čuti u toku nekoliko sekundi poslije isključenja izvora, uslijed postojanja odbojnih valova. Suviše sporo prigušenje pogoršava akustičke osobine prostorije i izaziva jako odjekivanje ali i suviše brzo amortizovanje vala što također nije pogodno jer se u prostoriji dobije slab zvuk. Pri proračunu akustičkih osobina prostorija upotrebljava se vrijeme u toku kogase energijazvukasmanji na lO^dioprvobitne vrijednosti, tj. W = 10'6W0. Ovo vrijeme se naziva vrijeme reverberacije (jeke). Pošto je prigušenje valova različito za različite fiekvencije usvojeno je da se vrijeme reverberacije određuje pri frekvenciji 512 Hz. Optimalno vrijeme reverberacije za koncertne sale i predavaonice je reda veličine ls. Označimo gustoću zvučne energije u početnom trenutku sa u,y Označimo sa a koeficijent apsotpcije pri odbijanju, i neka je broj odbijanja u jedinici vremena n. Tada je smanjenje gustoće energije du za vrijeme dt jednako du = - anudt.

(7.122.)

Napišimo ovaj izraz u obliku du

•andt

(7.123.)

odnosno d(\nu) = -d (a n t).

(7.124.)

Pošto $u diferencijali đvije veličine međusobno jednaki same veličine se razlikuju za ađitivnu konstantu, pa je lnu = - a n t + C.

(7.125.)

Pošto je za r = 0, n = «o to je C = lnu0

(7.126.)

pa jednadžba (7.121.) dobiva oblik

.In— u =-a n t odakle je

«o u = u0 e™'.

(7.127.)

•135

Iz ovoga slijedi da gustoća zvučne energije opada sa vremenom po eksponencijalnom zakonu. Na osnovu teorije vjerojatnosti može se izračunati broj odbijanja zvučnih valova u toku Is pod pretpostavkom da se valovi prostiru u svim mogućim pravcima, račun daje n =—

,

(7.128.)

gdje je v brzina, S površina prostorije a V njena zapremina. Jednažba (7.127.) postaje . u = u0e w .

(7.129.)

Za određivanje vremena reverberacije uzimamo — = 10-* «o

(7.130.)

tada je c = - i L ln l0 - . (7.131.) avS Stavljajući za v = 340 m/s, vrijednost brzine zvuka u zraku, dobivamo praktičnu formulu: 4V tr = 0,163— , a -S

(7.132.)

7.12.8. Ultrazvuk Da bismo dobili usmjereni val, blizak ravnom valu, dimenzije i^vora vala moraju biti mnogo puta veće od valne dužine. Zvučni valovi u zraku imaju valnu đužinu otprilike od 15 m do 15 mm. U tečnim i čvrstim sredinama valna đužina je još veća (brzina rasprostiranja zvučnih valova u tim sredinama je veća nego u zraku). Napraviti izvor koji bi stvarao usmjereni val slične dužine praktično je nemoguće. Drukčije stoji stvar sa ultrazvučnim valovima, čija je valna dužina mnogo manja. Sa smanjenjem valne dužine efekt difrakcije postaje zanemariv. Iz ovih razloga ultrazvučni valovi mogu biti dobiveni u obliku usmjerenih snopova, sličnih svjetlosnim snopovima. Za dobivanje ultrazvučnih valova koriste se uglavnom dva fizikalna efekta: efekt magnetostrikcije i piezoelektrični efekt. Za dobivanje ultrazvuka najčešće korišteni način je baziran na inverznom piezoelektričnom efektu. Pločice nekih metala (kvarca, titanit barija itd.) pod djelovanjem električnog polja deformiraju se (skupljaju i izdužuju ovisno o

136

smjeru polja). Ako stavimo takvu pločicu između metalnih obloga na koje priključimo izvor naizmjenične struje, izazvat će se prinudne mehaničke oscilacije ploče, crtež 7.24. pri čemu je relativna đeformacija ploče razmjema priključenom električnom naponu U na oblogama kondenzatora

Ove oscilacije postaju naročito intenzivne ako se frekvencija promjena električnog napona podudara sa frekvencijom vlastitih oscilacija ploče. Kao što smo vidjeli osnovni način osciliranja štapa ima valnu dužinu X = 2d gdje je d debljina pločice između elektrođa. Pošto brzina zvuka u kvarcu iznosi v = 5 300 m/s to će npr. pločica debljine jednog milimetra oscilirati frekvencijom f =T ^ = l,325MHz(7134> X = /2-0,002 Dmgi način dobivanja ultrazvuka sastoji se u tome da se feromagnetni materijali (Fe, Ni i neke legure) pri djelovanju promjenjivog magnetnog polja lagano deformiraju. Ta pojava naziva se magnetostrikcija. Ako stavimo feromagnetnu šipku u promjenjivo polje (npr. unutar indukcionog kalema s naizmjeničnom stmjorn) mogu se izazvati njene mehaničke oscilacije, koje će ponovo biti naročito intenzivne pri rezonanciji. Relativna deformacija kod magnetostrikcije proporcionalna je kvadratu magnetske indukcije B ćd , — » B2.

(7.135.)

Osnovno svojstvo ultrazvuka po kojem se on razlikuje od zvuka je gotovo pravolinijsko prostiranje. Dok se zvuk širi gotovo u svim smjerovima u obliku sfemih valova sa izraženim efektom difrakcije, kod ultra-

v Crtež 7.25.

• 137

zvuka se može napraviti izvor koji emitira ravne valove kod kojih je efekt difrakcije zanemariv. Pored ovoga, intenzitet valova proporcionalan je kvadratu frekvencije, što znači da, energija ultrazvučnog va]a visoke frekvencije je znatno veća od energije zvučnog vala niske frekvencije iste amplitude. Pločice kvarca pri frekvenciji 1,5 MHz mogu proizvesti zvučnu energiju jačine i do 20W/cm2. Značajna osobina, koja je bitna za korištenje ultrazvuka, je mala apsorpcija pri prolazu ultrazvuka kroz čvrsta i tečna tijela. Prim jena ultrazvuka. Ultrazvuk se u metalima i drugim čvrstim tijelima prostire sa relativno malim gubicima, tj. sa malom apsorpcijom. Na ovoj osobini zasnovane su važne primjene ultrazvuka u ispitivanju homogenosti materijala (defektoskopija). Prijenos informacija u vodi moguć je isključivo ultrazvučnim valovima, jer radio valovi imaju veliku apsorpciju u vodi. Djelovanje ultrazvuka zasniva se na tri efekta: kavitacija, koagulacija i termičko djelovanje. Koje će se djelovanje ispoljiti i u kojoj mjeri, zavisi od više faktora od kojih su najvažniji slijedeći: sredina u kojoj djeluje ultrazvuk, frekvencija, intenzitet zračenja i vrijeme zračenja. Sve primjene ultrazvuka u tekućinama zasnivaju se na djelovanju kavitacije, koja nastupa pri određenom intenzitetu. Pod kavitacijom u hidrodinamici se podrazumijeva obrazovanje mjehurića u fluidu, uslijed vrtloženja i zagrijavanja. Ultrazvučni val dovoljnog intenziteta, proizveden u tekućini, stvorit će promjenu pritiska u tekućini. U fazi dilatacije, stvorit će se potpritisak koji će dovesti do obrazovanja mjehurića u tekućini koja je pod djelovanjem ultrazvučnog vala. Gasni mjehurići se ponašaju kao mehanički oscilatomi sistemi koji mogu biti apsorberi energije. Na osnovu efekta kavitacije ultrazvuk se može primijeniti za: • obrazovanje emulzija kod koloidnih rastvora, pravljenje legura, • čišćenje i odmašćivanje sitnih predmeta, posebno u industriji poluvođiča i preciznoj mehanici, • lemljenje aluminija. Poznato je da se na površini predmeta od aluminija brzo obrazuje oksidni sloj koji ne dozvoljava “meko” lemljenje. Ako se predmet od aluminija potopi u rastopljeni kalaj u kojem se intenzivno prostim ultrazvučni valovi, tada će uslijed kavitacije doći do razaranja oksidnog sloja i kalaj će se vezati na površini. • obrada metala, stakla i keramike. Ultrazvuk se sa velikim uspjehom koristi za obradu tvrdih materijala (metala, stakla i keramike). Na crtežu 7.26. dana je shema uređaja, baziranog na efektu magnetostrikcije, za obradu tvrdih materijala. Transdjuser (pretvarač) pretvara električnu energiju iz generatora u mehaničku energiju osciliranja jezgre pretvarača. Pretvarač možemo predstaviti štapom koji je učvršćen u sredini u kojem se formira stojeći val sa trbusima

138

na krajevima štapa. Kraj štapa završava se alatom čija konfiguracija ima željeni oblik. Gustoća ultrazvučne energije, zahvaljujući stojećim valovima, ima maksimum na samom vriiu alata. Između objekta koji se obrađuje i alata stavlja se vođeni rastvor sitnog praha kaiborunduma1 ili dijamanta. Čestice karborunduma ili dijamanta primaju ultrazvučnu energiju i ponašaju se kao mali “čekići” koji velikom brzinom udaraju u objekt (desetine hiljada puta u sekundi) i razaraju ga na željenom mjestu. Na ovaj način omogućeno je pravljenje najrazličitijih oblika otvora u tvrdim materijalima. Uređaj za ultrazvučno lemljenje zasnovan je na istom principu samo što se alat uranja u kadu sa rastopljenim kalajem. Zahvaljujući kavitaciji razbija se oksidni sloj i rastopljeni kalaj prianja na aluminiju.

1 Karborundum. vrlo tvrdi materija).

• 139

8. TOPLINA

8.1. UVOD Molekulama fizika predstavlja dio fizike koji izučava strukturu i svojstva tvari polazeći od tzv. molekulamo-kinetičkih predodžbi. Suglasno tim predodžbama, svako tijelo (čvrsto, tekuće ili plinovito) sastoji se iz velikog mnoštva veoma malih čestica —molekula. Molekule se mogu sastojati od jednog, dva ili više atoma. Makroskopske osobine tvari mogu se bolje razumjeti pomoću molekulame teorije tvari, tj. promatrajući što se događa u mikroskopskom svijetu atoma i molekula. Atomi unutar molekule vezani su silama čije je porijeklo električne prirode, c rt 8.1.

Citež 8.1.

Molekulamu i atomsku struktura moguće je shvatiti samo pomoću kvantne fizike, te ćemo se zadržati samo na kvalitativnom opisu međudjelovanja atoma i molekula. Na crtežu 8.1. prikazano je: kako sila ovisi o udaljenosti dvaju atoma u dvoatomnoj molekuli i zavisnost odgovarajuće potencijalne

140

energije Ep(f) o toj udaljenosti. Kad su atomi na međusobnoj udaljenosti, r= molekulaje u ravnotežnom stanju, apotencijalna energijaje minimaln? Kada je udaljenost, r < r^ atomi se odbijaju jakim silama, za udaljenosti, r > r^ atomi se privlače. Odgovarajuće potencijalne energije zadovoljavaju uvjet (5.25.), tj. F = -grad Ep. Jedna od važnijih karakteristika ovakvih sila je zasićenost: čim se dva atoma privuku i formiraju molekulu, oni više ne djeluju na ostale atome. Molekule svake tvari nalaze se u nesređenom, kaotičnom kretanju, pri čemu nijedan smjer gibanja nema prednost pred ostalim. Intenzitet tog gibanja zavisi od temperature tvari. Kod čvrstih tijela molekule (atomi) osciliraju (titraju) oko skoro fiksnih centara koji su pravilno raspoređeni tvoreći kristalnu rešetku. U tekućinama su međumolekulame udaljenosti nešto veće, privlačne sile slabije, te su molekule pokretljivije. U plinovima molekule su daleko jedna od druge, međumolekulame sile vrlo su slabe te se molekule gibaju skoro slobodno i skoro ne utječu jedna na dragu. Veličina molekule je reda veličine nanometra, a masa reda 10'27 kg, radi toga u svijetu atoma i molekula koristi se tzv. atomska jedinica mase: lu = 1,66 • 10'27kg

(8.1.)

koja je jednaka 1/12 mase atoma izotopa ugljika 6C 12. Već smo spomenuli razliku između mase i količine tvari. Za razliku od mase koju mjerimo u kilogramima, jedinica za količinu tvari je mol (osnovna jedinica SI): Mol je količina tvari koja sadrži onolDd broj međusobno identičnih čestica (atoma, elektrona, protona, iona, itd.) koliko ima atoma u 0,012 kg čistog ugljika 6C12. Broj molekula u 1 molu jedna je od osnovnih prirodnih konstanti, zove se Avogadrov’ broj i iznosi: N0 = 6,023 • 1023 m ol'1.

(8.2.)

Molna masa je masa količine tvari od 1 mola. Ako je m masa tvari, n broj molova, tada je molna masa: n

( 8 .3 .)

1 Amadeo Avogadro (1776.-1856.), talijanski fizičar.

. 141

8.2. TEMPERATURA U svim se tijelima čestice neprestano gibaju; to gibanje nazivamo toplinsko gibanje. Zbog toga gibanja čestice posjeduju toplinsku energiju. Naš osjećaj toplijeg i hladnijeg ovisi o kinetičkoj energiji čestica tvari s kojom dolazi u dodir. Dovedemo li dva tijela, hladnije i toplije u međusobni kontakt, čestice s većom kinetičkom energijom u sudarima predaju energiju onima s manjom energijom. Na taj način energija u obliku topline prelazi s jednog tijela na drugo. Za tijelo koje pri tom gubi energiju kažemo da je toplije, a za ono na koje energija prelazi da je hladnije. Prijelaz topline traje sve dok se ne uspostavi ravnoteža. Molekule koje se brže gibaju u toplijem tijelu predaju svoju energiju molekulama hladnijeg tijela, usporavaju se i toplije tijelo se hladi; molekule hladnijeg tijela ubrzavaju se i tijelo se grije. U termičkoj ravnoteži srednja kinetička energija istovrsnog gibanja molekula oba tijela je jednaka. Da bismo odredili stupanj zagrijanosti nekog tijela, definiramo temperaturu. Temperatura je u vezi sa srednjom kinetičkom energijom molekulskog gibanja. Kad dva tijela imaju jednaku srednju kinetičku eneigiju gibanja čestica (atoma ili molekula), ako ih dovedemo u kontakt, toplinska energija neće prelaziti s jednog na drugo; kažemo da su tijela na istoj temperaturi. T em peratura je proporcionalna srednjoj kinetičkoj energiji čestica tijela. Obično se temperatura ne mjeri u energetskim jedinicama već u kelvinima (K) i definira se izrazom: \k T = E l'\

(8.4.)

gdje je k Boltzmanova konstanta (£= 1,38 • 10'^J/K ), a srednja kinttička energija pojedinog stupnja slobode gibanja molekula, koja je npr. za translaciju u smjeru ose x jednaka m v l / l . Umjesto translacije, mogući su, naravno i drugi oblici gibanja, npr. rotacija i osciliranje molekula. U slučaju da se molekule mogu gibati samo translacijski (npr. molekule jednoatomnog plina), srednja ukupna kinetička energija je:

Budući da je pri translaciji v2 = 3v2 zbog ravnopravnosti svih triju smjerova u prostoru je:

142

kT = —Ek = (8.5.) 3 * Izraz (8.5.) je definicijska formula za termodinamičku ili apsolutnu temperaturu. Budući da je kinetička energija uvijek pozitivna, to je i apsolutna temperatura uvijek pozitivna veličina. Na nultoj temperaturi, tzv. apsolutnoj nuli formula (8.4.) kaže da prestaje svako toplinsko gibanje. Ova tvrdnja vrijedi samo u okviru klasične fizike (točnije rečeno nije istinita). To je ustvari najniža moguća temperatura, koja se ne može eksperimentalno dostići iako joj se može vrlo blizu približiti. Skalu apsolutne temperature zovemo još i Kelvinovom skalom (William Thomson - Lord Kelvin). Kelvin (K) je jedinica za temperaturu u Međunarodnom sustavu (SI); definiran je pomoću temperature trojne točke vode1. Kelvin je 1/273,16 dio termodinamičke tem perature trojne točke vode. U običnom životu temperatura se izražava u stupnjevima Celzijusa (°C). Nula stupnjeva Celzijusa je temperatura ledišta vode, dok apsolutna nula (OK) odgovara -273,15 °C. Veza između Kelvinove (apsolutne) temperature T i Celzijusove temperature t je: 7(K) = 273,15+ /(0C)

( 8.6.)

tj. apsolutna temperatura T izražena u kelvinima (K) brojčano je jednaka zbroju mjemog broja temperature / u °C i broja 273,15. Možemo uočiti da je temperatumi interval u kelvinima jednak temperatumom intervalu u stupnjevima Celzijusa. Klasična molekulamo-kinetička teorija ne može objasniti sve pojave u toplini i za potpunije opisivanje toplinskih pojava potrebno je upotrijebiti kvantnu fiziku.

8.3. IDEALAN PLIN. PLINSKA JEDNADŽBA Da bismo ilustrirali molekulamo-kinetičku metodu istraživanja plinova, izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina. Model idealnog plina je baziran na slijedećim pretpostavkama: • Plin se sastoji od velikog broja molekula koja se kreću kaotično unutar granica sistema koji se istražuje. • Sudari među molekulama ili sa granicama sistema (ziđovima) su savršeno elastični. I Trojna točka vode je stanje u kojoj su sve tri faze vode u ravnoteži (voda, led i vodena para). Ovo stanje odgovara temperaturi 0,01 °C i tlaku 61,05 Pa.

143

• Zapremina samih molekula se može zanemariti u odnosu na raspoloživu zapreminu sistema. • Srednja kinetička energija molekula je proporcionalna temperaturi plina. Zbog toplinskog gibanja molekula, molekule plina djeluju na zidove posude u kojoj se nalaze. Molekule plina udarajući u zidove posude predaju joj određenu količinu gibanja; promjena ukupne količine gibanja u vremenu određuje silu kojom molekule plina djeluju na površinu zida posuda. Tlak plina jednak je sili koja djeluje na jediničnu površinu. Izvest ćemo jednadžbu stanja idealnog plina, tj. vezu između tlaka, volumena i temperature plina. Zamislimo da se plin nalazi u kutiji oblika kocke brida a (crt. 8.2.).

Uzmimo u razmatranje jednu od N molekula koliko ih ima u kocki (i-ta molekula). Njena masa je m, a brzina: v, = ?„+ v * + vfc.

(8.7.)

Prilikom savršeno elastičnog sudara sa zidom posude (onim koji je okomit na osu x) promijeni se x komponenta količine gibanja molekule za iznos:

AP* = 1™* ~ ( -m v j = 2

.

( 8.8.)

Promjena količine gibanja molekule jednakaje impulsu sile koji je primio zid. Budući da je molekuli potrebno vrijeme alvb sekundi da ode od jednog kraja posude do drugog kraja, odnosno 2a/vu za oba smjera, vrijeme između dva sudara promatrane molekule u isti zid posude iznosit će:

144

A/ =

2a

(8.9.)

Sređnja sila kojom molekula djeluje na zid posude jednaka je ukupnom impulsu sile koji zid primi u jedinici vremena: ( 8. 10.)

Ft =. -APt, “ ■= 2mvb — = ' Nt b 2a a To je bilo za jednu molekulu, dok za N molekula imamo: c

n

FC =

A Px

N

S = -1 ■'C1 > m vt2 = m — > v2l V‘ i-l

,

( 8. 11.)

a3 V gdje .smo umjesto a pisali a = — = —. Iz definicije za tlak p = — , slijedi da je tlak p : a S S

8 12.)

2

( .

Za makroskopske veličine, kao što su tlak i temperatura, koje nisu osobina pojedine molekule nego većeg broja čestica, važne su prosječne (srednje) vrijednosti brzine i kvadrata brzine. Gibanjejekaotično i ima isti broj molekula koje se gibaju u jednom i suprotnom smjeru. Srednji kvadrat z-komponente brzine molekula je:

_

2>;

(8.13.)

N Uvrštavanjem ovog rezultata u izraz za tlak (8.12.) dobivamo: Nmvt

(8.14.)

Svi su smjerovi u posudi ravnopravni, te vrijedi: v2 = v l + v ^ + v t = 3 v |.

(8.15.)

Uzevši ovo u obzir, dobivamo relaciju između tlaka i volumena za idealan plin: p V = -N m v2= - N — y

3

3

2

=-N E k . 3

*

(8.16.)

Ovo je veza između tlaka plina i srednje kinetičke energije translacije molekule, odnosno osnovna jednadžba kinetičke teorije plinova.

•145

Definirajući temperaturu, istakli smo da svakom stupnju slobode gibanja pripada srednja kinetička energija molekule kT/2. Translacija molekule ima tri stupnja slobode, te je srednja vrijednost kinetičke energije translacije: Et = E ^ + E ^ + E {; ] = ^ k T .

(8.17.)

Efektivna brzina molekule v , = a/ v^ jednaka je onda: (8.18.) Uvrstimo li (8.17.) u (8.16.), dobivamo jednadžbu stanja idealnog plina: p V = N kT .

(8.19.)

Iz (8.19.) slijedi da jednaki volumeni različitih plinova, pri jednakom tlaku i tem peraturi, im aju jednak broj čestica. To je Avogadrov zakon. Pišemo li N = nN0, gdje je N0 Avogadrov broj (broj čestica u 1 molu plina) a n broj molova plina, jednadžba (8.19.) poprima oblik: P V = nN 0kT= nRT.

(8.20.)

Produkt Avogadrovog broja N0 i Boltzmanove konstante daje novu konstantu R koju zovemo univerzalna plinska konstanta: R = kN0 = 1,3805 •10 '23- •6,0235 •1023- ^ - = 8 ,3 1 4 -^ — . K mol molK Volumen 1 mola bilo kojeg plina pri normiranim uvjetima (T = 273 K, p = 101325 Pa) jednak je: ,r

1,3805■ 10"23— •6,0235• 1023- ^ - •273K

T/ - N ok l - _________ K__________mol______ 0

p

»

101325Pa

Ko = 2 ^ 4 -1 0 -J — . '• (8.21.) mol To je normirani molni volumen idealnog plina. Ako broj molova n u (8.20.) pišemo kao kvocijent mase m i molne mase M, plinska jednadžba glasi: pV = — RT. (8.22.) y M Plinska jednadžba (8.19.) vrijedi za idealne plinove a, aproksimativno za realne. Aproksimacija je to bolja što je temperatura plina viša, a tlak manji; odstupanja postaju znatna kad se plin približava točki kondenzabije, tj. prelazi u tekuće stanje.

146

8.4. A V O G A D R O V Z A K O N , D A L T O N O V Z A K O N I Z A K O N E K V IP A R T IC IJ E Avogadrov zakon tvrdi da pri istom tlaku i temperaturi, jednaki volumeni dva proizvoljna plina sadrže isti broj molekula. Ako za ta dva različita plina napišemo jednadžbu stanja: P V = N xkT; P V = N tkT pošto su parametri p, V i T za oba ta plina jednaki, slijedi da je: N t =N2 tj. u svakoj količini ima jednak broj molekula, što je suština Avogadrovog zakona. Promatrajmo sada smjesu plinova u nekoj posudi zapremine V, koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži i međusobno ne međudjeluju. Jednadžba stanja za tu mješavinu glasi: p V = (N, + N2 +... )kT = NkT,

(8.23.)

gdje su N t, TVj, ..., brojevi molekula odgovarajućih sastojaka smjese, a N je ukupan broj molekula u posudi. Iz izraza (8.23.), dijeljenjem sa V, dobivamo: p = * L -k T + ^ k T + ...

(8.24.)

To znači da svaka ima svoj vlastiti tlak nezavisan od tlakova ostalih komponenti smjese. Ovo vrijedi za idealan plin u kojem po pretpostavci moN N lekule ne međudjeluju na udaljenostL Izrazi ~^~kT = p x, k T = p 2,... predstavljaju tlakove koje bi svaki plin vršio kad bi se samo on nalazio u zapremini V i oni se nazivaju parcijalni tlakovi. Relacija (8.24.) može se napisati u obliku: P = P \+Pi + -

(8.25.)

i izražava Daltonov zakon. Daltonov zakon kaže da je u smjesi više plinova koji međusobno kemijski ne reagiraju ukupan tlak jednak zbiru parcijalnih tlakova pojedinih sastojaka smjese. Stupnjeve slobode definiramo kao različite vidove gibanja tijela. Njihov broj za neko tijelo ili sistem tijela jednak je broju nezavisnih koordinata kojima možemo opisati kretanje danog tijela ili sistema tijela. Naprimjer, najjednostavniji slučaj imamo kod opisivanja gibanja točkaste mase, npr. jedne .

147

molekule koju čini samo jedan atom. Ona ima tri translatoma stupnja slobode, tj. njeno gibanje se može opisati pomoću tri nezavisno promjenljive veličine (u pravokutnom Descartovom sustavu to su koordinate X, y i z). Ako pak imamo dvije međusobno nezavisne, tj. nepovezane točkaste mase, onda nam treba šest međusobno nezavisnih koordinata da bismo opisali gibanje ovog sistema od dvije točkaste mase. Njihove koordinate su: x,, y t, z, i x2, y 2, z2. Kažemo da takav sistem ima šest stupnjeva slobode. Sistem N međusobno nezavisnih materijalnih točaka, npr. N molekula idealnog plina, ima, prema tome, 3N stupnjeva slobode. Ukoliko, međutim, između dvije točkaste mase postoji kruta veza, onda je za njihovo opisivanje dovoljno pet nezavisno-promjenljivih, jer se šesta uvijek može izvesti iz poznate konstantne udaljenosti točkastih masa d, prema relaciji: (x2 - x , ) 2 +(y2 - y , ) 2 + (z 2 - z , ) 2 = d 2 . Od ovih pet stupnjeva slobode, tri mogu biti koordinate centra mase sistema, a preostale dvije mogu biti dva kuta

148

Ako ovu tvrdnju uopćimo, onda sistem sa s stupnjeva slobode ima kinetičku energiju:

Ovaj izrazje poznat kao zakon o ekviparticiji ili zakon jednake raspodjeie kinetičke energije po stupnjevim a slobode. Kod utvrđivanja iznosa srednje energije molekule treba voditi računa da dok na svaki translatomi stupanj slobode i svaki rotacioni stupanj slobode dolazi po 1/2 kT energije, dotle na oscilatomi stupanj slobode dolazi dvostruko veća vrijednost tj. 2 • 1/2 kT = kT srednje energije molekule. Ovo se objašnjava time što su translacija i rotacija molekula vezane uz prisustvo samo kinetičke energije dok su oscilacije u vezi sa postojanjem i kinetičke i potencijalne energije. Prema tome, broj stupnjeva slobode s jedne molekule se može napisati kao zbroj translacionih, rotacionih i oscilatomih stupnjeva slobode: (8.27.) a ukupna srednja energija je: ■= e

.kT =j t >

(8.28.)

gdje je: (8.29.)

8.5. B A R O M E T A R S K A F O R M U L A Jedan od dokaza realnosti gibanja molekula je fenomen Braunovog gibanja koje je otkrio Robert Brown (1827.) promatrajući pod mikroskopom gibanje poienovog praha u vodi. Uvećana mikroskopom gibanja zmaca polena su izgledala kaotična, podsjećajući na fantastični divlji ples, pun sudara i obrta. Eksperimenti su pokazali da takvo gibanje nije povezano s biološkim porijeklom čestica ili sa gibanjem tekućine, već ono postoji ako se sitne čestice nalaze u plinovitoj ili tekućoj fazi ili jednostavno u nekom rastvom. Eksperimenti su također pokazali da priroda Braunovog gibanja zavisi od osobine tekućine a ne zavisi od osobine čestica koje su rastvorene u njoj. Pri tome je utvrđeno da brzina gibanja raste sa porastom temperature ili sa smanjenjem dimenzija čestica. Kaotično gibanje molekula je razlog zašto se molekule plina uniformno raspoređuju po raspoloživoj zapremini tako da svaka jedinična zapremina u prosjeku sadrži isti broj molekula. U ravnotežnom stanju tlak i temperatura

149

plina su također isti po cijeloj zapremini. To vrijedi u svim onim slučajevima kad vanjska sila nije prisutna. Kao primjer ponašanja plinova u polju sile, promatrat ćemo utjecaj gravitacijske sile na atmosferu Zemlje. Kad ne bi bilo termičkog gibanja molekula zraka, sve one bi pod djelovanjem sile teže “pale” na Zemlju i oko Zemlje bi se formirao tanak “zračni” sloj. S druge strane, kad ne bi bilo sile Zemljane teže, molekule zračnog omotača bi se uslijed kaotičnog gibanja raspišile svuda po Svemiru. Postojanje zračnog omotača oko Zemlje je uvjetovano istovremenim postojanjem termičkog gibanja molekula i gravitacijske sile Zemlje, što kao posljedicu daje točno definiranu raspodjelu koncentracije molekula po visini u atmosferi, tj. promjenu tlaka sa udaljenošću od Zemlje. Izvedimo matematičku formulaciju ove zakonitosti. Promatrajmo vertikalni zračni stup koji ima tlak p 0 na povišini Zemlje, *o = 0Tlak na nekoj visini x je p. Kada se visina promijeni za iznos dx, tlak se promijeni za dp. Pri tome se pod tlakom misli na težinu zračnog stupa iznad neke jedinične površine na izobamoj visini. To znači da je dp ustvari određen razlikom težine stupova na visinama x i x + đx: p - (p + dp) = p gdx, (8.30.)

Crtcž 8.4.

gdje je: p - gustoća zraka, g - gravitacijsko ubizanje. Gustoća zraka je jednaka produktu mase jednog molekula m i broja molekula u jediničnoj zapremini, koncentracija n = N/V. p = m -n . Iz jednadžbe stanja p V = NkT, može se dobiti koncentracija n kao: -

"

V

kT

(8.32.)

što uvrštavanjem u izraz (8.31.) daje: mp p = -H r. kT

(8.33.)

Kad se izraz (8.33.) uvrsti u (8.30.) dobivamo: dp = - ^ - p d x kTy

150

(8.34.)

ili nakon razdvajanja promjenljivih,

± , - % L đ, p

kT

(8.35.)

Pretpostavimo da se temperatura T ne mijenja s visinom (ovo se može pnhvatiti za relativno male promjene visine), možemo izvršiti integriranie jednadžbe (8.35.): in p ^ - ^ r +hC ,

(8.36.)

gdje je C integraciona konstanta koja se određuje iz početnih uvjeta, tj. za xo = P - Po> dobiva se C = p 0 pa jednadžba (8.36.) postaje: P = P0e kT ■

(8.37.)

Jednadžba (8.37.) daje vezu između tlaka i visine i naziva se barom etarska formula. Ova formula može se koristiti za određivanje visine ako se zna tlak na toj visini i tlak na morskoj površim p 0. U avionima je, naprimjer, ugrađen instrument koji direktno pokazuje visinu aviona u metrima. Ovaj instrument ima također korekciju za temperaturu koja znatno opada sa visinom. Pošto postoji lineama veza između tlaka p i koncentracije molekula, prema jednadžbi, pV = NkT: p = N /V k T = rikT (8.23.), barometarska formula može se transformirati u oblik: _2£x n = n0e *

(8.38.)

koji daje zavisnost koncentracije molekula n od visine x, gdje je n0 broj molekula u jedinici zapremine na visini x0 = 0.

8.6. B O L T Z M A N N O V Z A K O N Barometarska formula (8.38.) izvedena je za plin koji se nalazi pod djelovanjem gravitacijske sile. Općenito govoreći, izraz mgx je potencijalna energija molekule, u gravitacionom polju na visini x, Ep = mgx. Jednadžba (8.38.), znaći, daje informacije o broju čestica potencijalne energije Ep u jedinici zapremine u gravitacijskom polju Zemlje:

Pri tome se relacija (8.38’) tnože poopćiti tako da se za polje sile može uzeti bilo koje drugo polje u kojem čestice imaju potencijalnu energiju Ep. Ova relacija se tada nazive Boltzmannov zakon. On nam omogućava da odredimo onaj dio čestica koji u stanju termodinamičke ravnoteže ima energiju

n

7)__ u Crtež 8.5.

Iz relacije (8.39.) se vidi da dio čestica n/n^ koji ima energiju U, zavisi samo od temperature, što znači da temperatura sada možemo smatrati kao veličinu od koje zavisi raspodjela čestica po energijama. Za izabranu temperaturu, dio molekuia koji ima energiju U vrlo brzo teži nuli kad U raste. To znači da je dio molekula koje imaju vrlo visoku energiju veoma mali. S drage strane, dio molekula date energije C/utoIiko je veći ukoliko je temperatura viša.

8.7. M A X W E L L O V A R A S PO D JE L A M O L E K U L A ID E A L N O G PL IN A P O B RZIN A M A Boltzmannov zakon nam daje raspodjelu molekula prema vrijednostima njihove potencijalne energije u nekom potencijalnom polju sila podrazumijevajući da se radi o skupu identičnih čestica u stanju kaotičnog termičkog gibanja. Sad nas interesira kako se molekule idealnog plina raspoređuju piema vrijednostima njihove kinetičke energije, tj. prema intenzitetima njihovih brzina. Molekule plina imaju različite brzine i po veličini i po smjeru, koje se uz to neprestano mijenjaju uslijed stalnih sudara. Dok je raspodjela molekula po smjerovima ravnomjema, pošto su svi smjerovi gibanja ravnopravni i, prema tome, jednako vjerojatni, dotle intenziteti brzina molekula, koji mogu imati veličinu od 0 do « , uopće nisu jednako vjerojatni. To se dešava zato što promjena brzina molekula pri sudarima nastaje slučajno. Pri tome su neke brzine molekula vrlo malo vjerojatne (npr. beskonačno velike brzine ili veoma male brzine) dok 'su neke drage

152

mnogo vjerojatnije, tj. češće zastupljene među molekulama. Tada je moguće očekivati neku najvjerojatniju brzinu. Funkciju raspodjele_/(v) molekula idealnog plina po vrijednostima njihove brzine prvi je teoretski ođredio J. C. Maxwell (1859.), koristeći se razmatranjima baziranim na teoriji vjerojatnosti. Izvođenje funkcije/(v) prelazi razinu prethodnog znanja iz fizike, pa ćemo to izvođenje ovdje izostaviti. Navest ćemo konačan oblik/(v):

2

HTV

/ ( v ) = Ae 2tTv2.

(8.40.)

Funkcija _/(v) se zove funkcija raspodjele i poznavajući nju i ukupan broj molekula N, možemo odrediti broj molekula ANy koje imaju brzine u intervalu brzina Av. Kvocijent: AN ~ ^ = /(v)A v

(8.41.)

daje onaj dio molekula čije brzine leže unutar danog intervala brzina Av. Može se reći da izraz (8.41.) daje vjerojatnost da će brzina molekula ležati u intervalu od v do v + Av. Očigledno je da zbroj svih skupova molekula ANy iz različitih intervala brzina jednak ukupnom broju molekula N: i

i

dijeljenjem s N dobivamo: E /( v » ) A V |= l. (8.42.) / Relacija (8.42.) predstavlja vjerojamost da će brzina molekule imati neku vrijednost između 0 i oo. Pošto brzina molekule uvijek ima neku vrijednost, prikažana vjerojatnost je vjerojatnost sigurnog događaja i, prema tome, jednaka jedinici. Ukoliko interval Av smanjimo prelaskom na diferencijalnu formu d v relacije (8.41.) i (8.42.) možemo pisati u obliku: dN

=j+ = f(v )đ v

(8.43.)

J/(v)rfv=1.

0 U slučaju (8.43.) kažemo da je funkcija / v ) norm irana na jedinicu. Koristeći ovu relaciju možemo izračunati faktor A, koji ne zavisi od brzine molekule v. Uvrštavanjem (8.40.) u (8.43.) dobivamo:

153

r

(8.44.)

J Ae lkrv2dv = 1 o odakle je faktor A jednak: 1

A=

r — , J e ™ v2đv

(8.45.) 1

Integral u nazivniku relacije (8.45.) može se riješiti uvođenjem smjene: 2kT V m Uvrštavanjem u integral1 dobivamo:

V m

Konačno funkcija raspodjele molekula po brzinama, poznata kao MaxweIIova funkcija raspodjele ima oblik: ( 8 ' 4 6 ')

Funkcija raspodjele je, ustvari, produkt dvije funkcije bizine, jedne eksponencijalne e~ ^ , gdje je a = m/2kT i druge kvadratne, v2. Kad ih predstavimo grafički kako je prikazano na crt. 8.6. i izmnožimo dobit ćemo funkciju /v ). Izračunajmo sada srednju vrijednost bizine molekula u nekom plinu od N molekula. Ona se definira kao odnos zbira svih brzina svih molekula i ukupnog broja molekula. Broj molekula čije su bizine u intervalu od v do v + dv je Nflv)đv. Zbir btzina svih tih molekula je vNfiy)dv. Da bismo našli zbir bizina svih molekula koje imaju sve moguće brzine, moramo integrirati ovu funkciju preko svih mogućih brzina od nule do beskonačnosti. Konačno zbir svih brzina Crtež 8.6. svih molekula je: 1 Vrijednost integrata uzet ćemo iz tablica

154

r

J vNf(y)dv o pa je srednja bizina v po definiciji:

•

<0

v = — J vN f(v)dv = Jvf(v)
0

(8.47.)

0

Uvrštavanjem vrijednosti za / ( v ) prema (8.46.) dobivamo:

-

4 ( « f

v=7 f e J

4 ( * f |v e 2 i ^ = ^ f e J

7>-

(8.48.)

Integrali tipa, /„ za neparan n = 2k + 1, vode na tipski integral:

'

J0

2a*

21, m )

2a2

v

gdje j e n = 3 ; A : = l ; a = mt2kT. Uvržtavanjem vrijednosti integrala /, u (8.48.) dobivamo, srednju brzinu molekula plina:

-

18kT

(8.49.)

V=i ^ r -

Na sličan način možemo dobiti srednju kvadratnu brzinu v2 , koja je po definiciji:

v2=Jv2/(v)
ln \2 k T )

4 ( - » j 7n{2kT J

J

,3/2

(8.50.)

Ovaj integral za pame n iješava se na način:

I2 - J x e

dx-

,

2

o

,

2 3^


gdje je n = 2k, slijedi n = 4, k = 2; a = m!2kT

0

v

y

Konačno srednji kvadrat brzine molekule

—_ 3kf m

(8.51.)

Ovu istu relaciju za srednju kvadratnu btzinu dobili smo u (8.17.) iz srednje kinetičke energije translatomog gibanja. Izračunat ćemo sada najvjerojatniju brzinu molekula, tj. onu brzinu koja je najviše zastupljena među molekulama idealnog plina. Matematički to je jednostavno, treba naći maksimum funkcije./(v) čiji nam je analitički izraz poznat. Prema tome, da bismo našli vnv moramo prvi izvod funkcije J{v) izjednačiti sa nulom:

Ovaj izvod je jednak nuli, kad je izraz u uglastoj zagradi jednak nuli, tj. jsL ( A 2ve 2tT 1 - — =0.

I 2kTJ

Gomja jednadžba je zadovoljena za v = 0, odnosno za v = oo, ili za fj]y2 1--------= 0 . Jasno je da prve dvije vrijednosti ne odgovaraju maksimumu 2kT funkcije raspodjele. Prema tome, vrijednost najvjerojatnije brzine se određuje iz uvjeta: 1 ~ ^ — = 0 odakleje: 2 kT

i—— /2£T vm = J ----- . (8.52.) Vm Uspoređivanjem relacija (8.52.), (8.49.) i (8.18.) dobivamo odnos između

brzina: vBV: v : vcy = 2 :

: 3 = 1:143: 1,22.

Vidi se da razlika između ove tri vrijednosti nije velika, i srednja i efektivna brzina su dosta bliske najvjerojatnijoj brzini molekule. Ako vrijednost najvjerojatnije brzine uvrstimo u izraz/(v), (8.46.), dobit ćemo maksimalnu vrijednost funkcije fiy), crt.8.7.: =

=

(8.53.)

Iz relacija (8.52.) i (8.53.) slijedi da se pri povećanju temperature maksimum krivulje pomjera udesno i postaje niži. Isto se dešava i kod plinova čija je masa molekula manja, tj. pri smanjenju mase molekula.

156

C rtež 8.7.

Na crt. 8.7. uspoređene su tri krivulje raspodjele koje se odnose na različite temperature T[t T& T3 istog plina (ista masa m). Može se također smatrati da se radi o tri razna plina, dakie sa različitim masama molekula m u m2 i m3, ali pri istoj temperaturi. Pri tom za temperature vrijedi odnos: Tt m 2 > n *3-

Pri svemu ovome, površina koju bilo koja od krivulja raspodjeie zaklapa s v-osom, zbog uvjeta normiranja (8.43.) je ista i jednaka jedinici.

8.8. RASPODJELA MOLEKULA EDEALNOG PLINA PO ENERGIJAMA Kinetička eneigija translacije molekule mase m i brzine v jednaka je: E=

(8.54.)

Često je korisno da se raspolaže jednim izrazom za broj molekula koje imaju kinetičku energiju translacije u određenom, unaprijed danom opsegu, između E i E + dE. Iz relacije (8.54.) je: dE = mv dv tj-

157

^ dE dE dv = — = ------mv m

^{im E f'dE .

(8.55.)

Polazeći od raspodjele molekula po brzinania (8.43.), dobivamo:

Analogno za funkciju raspodjele molekula po energijama imamo: (8.56.) Sređivanjem relacije (8.56.) dobivamo: (8.57.) Ako sada pomoću funkcije raspodjele
8.9. TERM ODINAM EKA 8.9.1. Uvod Termodinamika istražuje fizikalne procese koji se dešavaju u makroskopskim sistemima, tj. tijelima koja su sastavljena od velikog broja čestica (atoma, molekula, iona, itd.). Osobine i stanja tih sistema termodinamika prati izučavanjem relacija koje postoje između topline, rada i energije, tj. razmatra

158

prijenos energije ovisno od fizikalnih osobina materijala koji učestvuju u tom prijenosu. Termodinamika se zasniva na dva opća zakona prirode, na prvom i đrugom zakonu termodinamike. Na osnovu ova dva zakona moguće je logičkim rasuđivanjem povezati mjerljiva svojstva materije, kao što su koeficijenti širenja, kompresibilnost, specifični i toplotni kapacitet, toplinske transformacije i dr. Inženjeri (strojarski, elektro) koriste principe i metode termodinamike prilikom izrade proračuna za pame strojeve i turbine, motore sa unutrašnjim sagorijevanjem, mlazne motore i hladnjake, dok ih kemijski inženjer koristi u praktično svakom procesu u kojem dolazi do prijenosa topline, ili se javlja problem kemijske ravnoteže. Termodinamika ne postavlja nikakve hipoteze o strukturi tvari. To je eksperimentalna ili empirijska znanost.

8.9.2. Rad i toplina Rad W izvršen u nekom termodinamičkom procesu koji je sistem preveo iz početnog stanja 1 u konačno stanje 2 definira se kao: 2

W = jsW,

(8.60.)

gdje je 8 W infinitezimalni rad izvršen u infmitezimalnom dijelu tog procesa. Za proces integriranja u relaciji (8.60.) potrebno je znati putanju po kojoj se vrši integriranje, tj. proces kroz koji sistem prolazi, što znači da je rad fimkcija procesa, pa stoga njegov diferencijal nije totalni i zato ga označavamo sa SW. Iz istih razloga se, onda, rad izvršen u toku procesa 1-2 piše kao: 2

W = j 8 W = W t_2 .

(8.61.) i Promatrajmo idealni plin u cilindru s pomičnim klipom (crt. 8.8.). Zagrijavanjem cilindra, plin će se zagrijati, klip podizati i obavljati rad. Pomakne li se klip za infinitezimalnu duljinu dx, izvršeni rad je: dW = Fds = Fdx = p Sdx=pdV,

(8.62.)

gdje je dV povećanje volumena plina. Da bismo iz (8.62.) izračunali rad za konačnu promjenu volumena plina, potrebno je poznavati ovisnost tlaka o volumenu, p(V). Tada je:

159 P

p

\ V

x

V Crtež 8.8.

(8.63.) Ako znamo dijagram određenog procesa s idealnim piinom, rad je jednak površini ispod krivulje p(V), crt. 8.8. Tada npr. rad pri izobamom procesu (p = const.) je; (8.64.) n Ako se plin širi izotermno (T = const.), iz (8.20.), p = nRT/V i iz (8.63.) dobivamo:

Obično se u termođinamici upotrebljava slijedeći dogovor o predznaku rada: pri ekspanziji (dV> 0), sistem (idealni piin) vrši rad i rad je pozitivan (8 JV> 0); naprotiv, pri kompresiji (dV < 0) okolina vrši rad nad sistemom te je rad negativan (8fV< 0). Iz iskustva je poznato da postoji beskonačan broj različitih procesa u kojima neki sistem može preći iz jednog stanja u drugo. Razmotrimo nekoliko mogućih procesa danih na dijagramu (crt. 8.9.). Koliki je rad pri prijelazu sistema iz stanja 1 u stanje 2. Najveći rad koji sistem vrši jeste duž puta 1-4-2 (maksimalna površina), a najmanji duž puta 1-3-2 (minimalna površina). Duž ostalih mogućih putova l-4 ’-2, l-3 ’-2 i 1-2, rad poprima neke međuvrijednosti, što se može vidjeti

160

iz veličine površine ispod krivulja koje opisuju proces. Ako bi srajer strelica promijenili, rad na sistemu bi također pokazao različite vrijeđnosti. Možemo zaključiti da nema smisla govoriti o radu sistema (iii radu u sistemu) kao o temperaturi, tlaku, jer rad zavisi od procesa i nema jednoznačnu vrijednost pri prijelazu iz jednog stanja sistema u drugo, tj. rad nije osobina (parametar) sistema. Matematički rečeno veličina S W nije totalni diferencijal. Toplina je oblik prenošenja energije. Toplina, kao i rad, nije vrsta energije već fonna njenog prenošenja. Toplina, također, nije osobina koju posjeduje sistem, pa njen điferencijal nije pravi, pa ćemo ga označavati sa 6Q. Ukupna toplina koja je prenesena u procesu u kojem sistem iz stanja 1 pređe u stanje 2 je: 2

Q = ( S Q = a . 2.

( 8.66.)

1 Raziičite količine topline treba dovesti tijelu da pređe iz jednog stanja u drugo ako se taj prijelaz vrši na različite načine. Naprimjer, zagrijavanje izvjesne mase plina za AT u izohomom’procesu zahtijeva manju količinu topline nego isto zagrijavanje u izobamom procesu. Količina topline, za razliku od energije, nije funkcija stanja sistema, jer zavisi od procesa promjene ovog stanja. Toplina i rad imaju zajedničku osobinu da postoje samo u procesu prijenosa energije, i njihove brojne vrijednosti zavise od vrste ovih procesa. i

8.93. Prvi zakon termodinamike Prvi zakon termodinamike je, ustvari, princip očuvanja energije. Ovaj zakon je nastao postuliranjem određenih stajališta do kojih se došio na osnovu eksperimentalnih činjenica, koje već stoljeće i pol ništa nije dovelo u sumnju. U najopćenitijem značenju prvi zakon termodinamike tvrdi da je čisti protok energije kroz graničnu površinu sistema jednak promjeni energije samog sistema. Sa stajališta termodinamike dovoljno je razmotriti dvije vrste

161

P

protoka energije. Jedna vrsta protoka je izvršeni rad na sistemu ili rad koji vrši sistem, a druga vrsta je protok topline ili zračenjem ili kondukcijom. Ako sistemu ne dovodimo izvana energiju kažemo da je sistem toplinski izoliran, te se plin može širiti i vršiti rad jedino na račun svoje unutrašnje energije. Unutrašnja energija je zbroj kinetičke energije toplinskog gibanja molekula i potencijalne energije međumolekulamog djelovanja. U idealnom plinu nema sila međudjelovanja među molekulama, te je unutrašnja energija jednaka zbroju kinetičke energije svih molekula: (8.67.)

Unutrašnja energija tijela može se mijenjati a da se pri tom ne obavlja rad. Dovedemo li dva tijela u kontakt, molekule tijela više temperature predavat će energiju molekulama tijela niže temperature sve dok se njihove temperature ne izjednače. Unutrašnja energija toplijeg tijela će se smanjivati, a hladnijeg povećavati. Kažemo da energija u obliku topline prelazi s tijela više temperature na tijelo niže temperature. Unutrašnju energiju tijela možemo promijeniti na dva načina: vršenjem rada nad tijelom i prijenosom topline. Tu činjenicu možemo izraziti i ovako: U nutrašnja energija sistema povećava se obavljanjem rada na sistemu i dovođenjem topline sistemu, a sm anjuje se kad sistem obavlja rad, odnosno kada se toplina odvodi iz sistema: d U = 8 Q -8 W .

( 8 .68.)

Ovako napisan zakon o očuvanju eneigije naziva se prvi zakon termodinamike. 5Q i 8W nisu pravi diferencijali, ali dU jeste. Integriranjem relacije (8.68.) dobivamo: , AU = Q - W .

(8.69.)

Treba naglasiti da se unutrašnja energija sistema ne može identificirati ni sa radom ni sa toplinom, jer se ove fizikalne veličine koriste samo u svezi s razmjenom energije između sistema i okoline. Razmotrimo to na jednostavnom primjeru trljajmo ciglu o podlogu pa će se ta cigla zagrijati, tj. radom, trenjem smo cigli predali neku količinu energije. Do tog istog stanja možemo doći i tako što ciglu postavimo na podlogu i izložimo je djelovanju sunca. Konačno stanje cigle je u oba procesa isto, ali nam to ne daje za pravo da tvrdimo da cigla na kraju prvog procesa “sadrži” više rada, a na kraju drugog više topline. Cigla sadrži samo više energije, pa je porast unutrašnje energije jednak u oba procesa, ako su u tim procesima početno i krajnje stanje isti.

162

Relacija (8.68.) predstavlja matematičku fonnulaciju prvog zakona termodinamike, koji kaže da se količina topline 5Q koju sistem primi, može utrošiti na promjenu unutrašnje energjje dU i za rad 5 PP' kojt vrši sistem protiv vanjskih sila, tj.: 5Q = dU + pdV.

(8.70.)

Naprimjer, ako se plinu u posudi sa klipom dovede određena količina topline, ona može da se utroši za povećanje temperature sistema, tj. za povećanje njegove unutrašnje energije i za rad nasuprot vanjskom tlaku. Kad se ovo primijeni na izotermni proces (T= konst.), pa je dU = 0. Sva dovedena toplina troši se na rad protiv vanjskih sila. 8Q = 5PV.

(8.71.)

Druge posljedice prvog zakona termodinamike: • U izoliranom sistemu, energija sistema ostaje konstantna. U izoliranom sistemu vrijedi Q = W, što znači daje A(7 = 0. • Perpetuum mobUe prve vrste je nemoguć. Posmatrajmo jedan sistem u kojem je ostvaren kružni proces. Tadaje U, = U2 i Q = W. Ukupna količina topline koja se dovodi sistemu jednaka je radu koji je sistem izvršio. To znači da nije moguće konstrairati stroj koji bi radeći u ciklusima izvršio rad veći od vrijednosti energije utrošene u obliku topline.

8.9.4. Specifična toplina Pri konstantnom volumenu plina rad tlaka jednakje nuli i u prvom zakonu termodinamike u diferencijalnom obliku (8.70.), dV = 0; slijedi: dU=8Q. Kako unutamja energija ovisi samo o stanju sistema, količina dovedene topline u ovom slučaju ovisi samo o konačnom i početnom stanju. Dovedena količina topline proporcionalna je masi tvari i promjeni temperaturc dT. Koeficijent proporcionalnosti cvje specifična toplina pri stalnom volumenu: 8Q = mc,dT.

(8.72.)

Specifična toplina jednaka je dakle: (8.73.)

•163

gdje smo koristili dU = 50. Općenito specifična toplina ovisi o temperaturi, tako da je količina topline koju trebamo dovesti da ugrijemo tijelo od početne temperature do konačne temperature T2 jednaka integralu. Q = m j cv{T )dT.

(8-74.)

T,

Zagrijavanjem pri konstantnom tlaku tijelo se rasteže i obavlja rad protiv tlaka. Stoga je potrebno dovesti veću količinu topline da bismo tijelo ugnjali za određenu temperaturu. Unutamja energija promijeni se za: d U = 5 Q -p d V = S Q -d (p V )+ Vdp. Kako je tlak konstantan, zadnji član jednak je nuli, te imamo: 5Q = dU+d(pV) = d(U +pV).

(8.75.)

Veličina U + p V ovisi jedino o stanju sistema i zove se entalpija H. Dakle, dovođenjem količine topline pri konstantnom tlaku za isto toiiko poveća se entalpija. Slično (8.72.) i (8.73.) definiramo specifičnu toplinu pri konstantnom tlaku cp: 8 0 = mcpdT

(8.76.)

1 dH (8.77.) Cp m d T ' Obje specifične topline praktično su jednake za tekućine i čvrsta tijela, dok se za plinove znatno razlikuju. U idealnom plinu međumolekulame sile su zanemarene, te promjena tlaka i volumena uz stalnu temperatum i time promjena razmaka među molekuIama ne utječe na unutamju energiju: dakle unutamja energija je fimkcija samo temperature plina. Za jednoatomske plinove, čije se čestice mogu gibati samo translatomo, unutamja energija je na osnovu (8.22.) i (8.67.) jednaka: U = n TT. = N - —kT = —— R T . * 2 2 M Specifična toplina pri stalnom volumenu onda je jednaka: = j_dU_3_fi Cv m d T ~ 2 M Entalpija jednoatomnog plina jednaka je: H = U + p V = —— R T + — R T = —— R T 2 M M 2 M

164

(8.78.) y

(8.79.)

iz čega slijedi specifična toplina pri stalnom tlaku: 1 dH m dT

( 8 .80 .)

Vrijednost omjera:

( 8 .81 .) u dobrom je slaganju s izmjerenim vrijednostima za jednoatomne plinove. Pri proučavanju unutamje energije dvo i više atomnih plinova treba, osim translatomog, uzeti u obzir rotacijsko i oscilatomo (vibracijsko) gibanje; ona povećavaju unutamju energiju, a time i specifičnu toplinu.

8.9.5. Drugi zakon termodinamike Prvi zakon termodinamike je posljedica zakona o očuvanju energije i on govori o tome da uvijek mora biti ispunjen uvjet točnog omjera između količine topline i rada u bilo kojem procesu, ali ne govori ništa o smjeru odvijanja procesa. Osnovm problem koji se nameće u svim procesima konverzije topline u rad i rada u toplinu je u činjenici da u nekom cikličnom procesu uvijek možemo sav rad prevesti u toplinu, ali svu toplmu ne možemo prevesti u rad. Dragi zakon termodinamike može se formulirati: Nemoguće je napraviti toplotni stroj koji bi u periodičnom cikiusu svu dovedenu koiičinu topiine pretvorio u mehanički rad. To bi bio peipetuum mobile drage vrste.

Kad ne bi važio ovaj princip, brod bi se mogao kretati uzimajući energiju (toplinu) iz mora (koja je ogromna). To bi bilo moguće po prvom zakonu termodinamike, ali se protivi drugom a i iskustvu. Camot (Kamo) je prvi spoznao da je za pretvaranje topline u meharučki rad potreban pad temperature, i da se toplina može pretvoriti u rad samo ako postoji prijelaz topline, a za to su potrebna dva spremnika topline različitih temperatura. Ma koliki bio ogroman sadržaj topline mora ili zraka, ta se toplina ne može pretvoriti u rad u toplinskim strojevima, ukoliko nemamo spremnik topline niže temperature. Takvih spremnika nema, jer sva okolina ima jednaku temperaturu. Spremnik niže temperature mogao bi se napraviti umjetnim putem, hlađenjem ispod temperature okoline (hladnjacima). Ali taj bi postupak zahtijevao ulaganje mehaničkog rada. Utrošak rada bio bi u najboljem slučaju jednak dobitku na mehaničkom radu iz toplinskog stroja (u praksi nemoguće). Iz svega ovoga se vidi da nije moguće sagrađiti parobrod čiji bi stroj iskorištavao toplinu mora. Stroj koji bi to vršio bio bi neka vrsta perpetuum mobile. Na kraju možemo zaključiti: • Toplina sama od sebe prelazi samo s tijela više temperature na tijelo niže temperature. • Toplina prelazi s tijela niže temperature na tijelo više temperature samo uz naročito djelovanje izvana, tj. samo uz utrošak vanjskog rada. • Perpetuum mobile druge vrste njje moguć, tj. nije moguće kružnim procesom trajno uzimati toplinu iz jednog spremnika i pretvarati u mehanički rad. Na crt. 8.10a. dana je shema toplinskog stroja. Da bi se napravio toplinski stroj, potrebno je imati dva rezervoara (spremnika) različite temperature: iz onog više temperature stroj uzima količinu topline Q„ jedan njen dio pretvara u rad W, a ostatak Q2 predaje rezervoaru niže temperature. Pri tome koeficijent iskorištenja:

W Qt -Q2 Q

(8.82.)

Q

Slično rade i toplinske pumpe (hladnjaci): oni prenose toplinu s hladnijeg na toplije tijelo uz utrošak rada. Na crt. 8.10b. dana je shema rada toplinske pumpe (hladnjak). Kod hladnjaka u domaćinstvu, hrana (kockice leda) predstavljaju hladni rezervoar, rad vrši elektromotor, a topli rezervoar je zrak u okolini hladnjaka (u kuhinji). I S. Caraot, francuski inženjer.

166

8.9.6. Entropija Prvi zakon termodinamike, koji je ustvari zakon očuvanja energije, ne daje mogućnost određivanja smjera termodinamičkog procesa. ^ nj ega ne možemo odrediti smjer izmjene topline između dva tijela lazličitih temperatura. S gledišta I zakona termođinamike prijelaz topline sa hiadnjjeg na toplije tijelo i obmuto jednako je vjerojatan. Prema ovome, parobi-od bi mogao uzimati toplinu iz mora pokretati svoje propelere i vraćati j e nazad u obliku hladne vode ili čak leda. Kao što nam govori iskustvo ovo je nemoguće. Sadržaj topline morske vode ili potencijalne energije je beskoristan jer nema rezervoara sa hladmjom vodom ili nema nižeg potencijalnog nivoa vode. Promatrajući ove primjere možemo zaključiti da postoji “prirodan” tok topline od toplijeg ka hladmjem, odnosno prirodan smjer pretvaranja energije: je od mehaničke energije ka toplini. U termodinamici je bilo potrebno pronaći veličinu koja karakterizira smjer termodinamičkog procesa. Ako su dana stanja jednog izoliranog sistema i ako je unutamja energija u oba sistema ista, da li je moguće naći kriterij koji određuje koje se od ta đva stanja može uzeti kao početno stanje, a koje kao konačno stanje jednog procesa koji bi se u sistemu mogao zbiti? Da bi riješili ovaj problem treba pronaći funkciju, koja je funkcija stanja sistema i koja bi imala različite vrijednosti na početku i na kraju procesa. Nju je prvi pronašao Clausius (Klausijus) i naziva se entropija. Kao i unutamja energija sistema, ona je funkcija samo stanja sistema, i, kao što se može vidjeti, ona ili raste ili ostaje konstantna u svakom mogučem procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu. Pomoću entropije dragi zakon termodinamike može se formulirati na slijedeći način: Nisu mogući procesi u kojima bi dolazilo do smanjenja entropije izoliranog sistema, ili, u svakom procesu do kojeg dolazi u izoliranom sistemu entropija sistema raste ili ostaje konstantna. Dragi zakon termodinamike može se matematički iskazati kao:

Integriranjem dobivamo: (8.84.) Veličina S naziva se entropija sistema, za koju vrijedi: • Entropija sistema je definirana samo za ravnotežna stanja. • Iz relacije (8.84.) može se izračunati samo promjena entropije. U mnogim praktičnim problemima, kao što je projektiranje pamih stro-

• 167

jeva, u obzir dolaze samo promjene entropije. Za entropiju nekog sistema može se, kao pogodnije, uzeti da je entropija nula za neko referentno stanje tako da se svako drugo stanje te supstance može definirati jednom numeričkom vrijednosti. • Entropija sistema u ravnotežnom stanju je funkcija samo stanja sistema, i nezavisna je od njegove prethodne povijesti. Entropija se, prema tome, može izraziti kao funkcija termodinamičkih promjenljivih, kao što su tlak i temperatura, ili tlak i volumen. « Promjena entropije može se izračunati na osnovu relacije (B.84.) samo za reverzibilne (povratne) procese. Svi stvami procesi su ireverzibilni (nepovratni). Oni se zbivaju konačnom brzinom, sa konačnim razlikama temperatura i tlaka između dijelova jednog sistema ili između jednog sistema i njegove okoline. Pokazuje se da jedan od posljedica drugog zakona termodinamike je taj da entropija jednog izoliranog sistema raste u svakom prirodnom (ireverzibilnom) procesu. Jedan od razloga što se u mehaniku uvodi pojam energije, količine gibanja jeste što se te veličine pokoravaju zakonima očuvanja. Entropija, naprotiv, ne ostaje očuvana osim u reverzibilnim procesima. Kad se čaša tople vode pomiješa sa čašom hlađne vode, toplota koju je topla voda predala jednaka je toplini koju je hladna voda primila. Toplina u ovom procesu ostaje očuvana, ili, općenito, energija ostaje očuvana. S druge strane, dok se u procesu miješanja entropija tople vode smanjuje a entropija hladne vode raste, smanjenje entropije nije jednako njenom povećanju i ukupna entropija sistema je na kraju veća nego što je bila na početku. Odakle je došla ova dodatna entropija? Odgovor je da je dodatna entropija nastala u procesu miješanja tople i hladne vode. Također, kad je entropija jednom nastala, ona se ne može nikad više uništiti. Svemir mora trajno nositi ovaj dodatni teret entropije. “Energija se ne može ni stvoriti ni unlštiti” .jtaže prvi zakon term odinam ike. “Entropija se ne može uništitP kaže drugi zakon “ ali se može stvoriti”. Možemo zaključiti: “Eniropija izoliranog sistema raste u svakom prirodnom (tj. ireverzibilnom) procesu”.

8.9.7. Entropija i vjerojatnost Prema Boltzmannu, entropija ima sasvim jednostavno statističko tumačenje. U ranijem izlaganju vidjeli smo da entropija izoliranog (sistem prepušten sam sebi) sistema se ne može smanjivati, AS ž 0. S druge strane, očigledno je da će sistem koji je prepušten sam sebi prelaziti iz stanja manje vjerojatnih u stanja veće vjerojatnosti. Dospjevši u najvjerojatnije stanje, sis-

168

tem će ostati u njemu neograničeno dugo. Prema tome, entropija i vjerojatnost stanja izoliranog sistema ponašaju se na sličan način: one mogu ili rasti ili ostati neizmijenjene. Iz ovih razloga izlazi da između entropije i vjerojatnosti stanja sistema mora postojati određena veza. Boltzmann je pokazao da ta veza ima sljedeći oblik: S - k lnw

(8.85.)

gdje je k Boltzmannova konstanta, w tzv. termodinamička vjerojamost stanja, pod kojom se pođrazumijeva broj različitih načina pomoću kojih se može ostvariti dano stanje. Termodinamička vjerojatnost, razlikuje se od matematičke, koja se obično naziva jednostavno vjerojatnost. Matematička vjerojatnost nekog događaja jednaka je odnosu broja slučajeva koji su povoljni za posmatrani događaj prema općem broju jednako mogućih slučajeva. Prema tome, ona se izražava razlomkom i ne prelazi jedinicu. Termodinamička vjerojatnost, naprotiv, izražava se cijelim brojem, po pravilu veoma velikim brojem. Da bismo razumjeli smisao veličine w, promatrajmo slijedeći primjer. Neka se u posudi nalaze četiri molekule. Zamislimo da je posuda podijeljena na dva jednaka dijela, lijevi i desni, crt. 8.11. Zbog gibanja molekula njihova raspođjela između dijelova posude će se mijenjati. Razmotrimo stanja koja se razlikuju brojem molekula na Iijevoj i desnoj strani posude. Molekule označimo slovima (a, b, c i d) i izračunajmo broj načina na koje može da bude realizirano svako stanje. Rezultati izračunavanja dati su u tabeli 8.1. Od 16 mogućih raspodjela molekula između polovina posude, šest odgovara istom broju molekula s desne i lijeve strane, osam stanjima pri kojima se u jednoj od polovina posude nalazi jedna molekula, a u drugoj Crtež 8.11. tri, a samo na dva načina mogu se dobiti stanja pri kojima se sve molekule skupljaju u jednoj polovini posude. Svaka od molekula s jednakom vjerojatnosti može se nalaziti kako u lijevoj tako u đesnoj polovini posude. Zbog toga se svaka od 16 raspodjcla molekula ostvaruje jednako često. Prema tome, broj načina realizacije danog stanja određuje vjerojatnost toga stanja. Kako možemo vidjeti, u slučaju četiri molekule postoji velika vjerojatnost (1/8) da će se sve molekule sabrati u jednoj polovini posude. S povećanjem broja molekula, međutim, stanje se bitno mijenja. U tabeli 8.2. dati su brojevi tačina realizacije različitih stanja za deset molekula. .169

Tabela 8.1. Način realizacije stanja

Stanjc L

D

0

4

1

2

3

2

L

D a, b, c, d

a b c d a, a, a, b, b, c,

b c d c d d

3

1

a, b, c a, b ,d a, c, d b, c, d

4

0

a, b, c, d

b, c, a, c, a, b, a, b, c, b, b, a, a, a, d c b a

d d c d c b

d d d c

Broj načina realizacije 1

4

6

4

1

Ukupno načina 24 = 16. U tom slučaju vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj polovini posude ravna je svega 1/512. U večini slučajeva (u 672 od 1024) u oba dijela posude dobije se isti (5-5) ili skoro isti (6-4 ili 4-6) broj molekula. Može se pokazati da je ukupni broj načina raspodjele 7/molekula između dvije polovine posude jednak 2N. Zbog toga, ako je N broj molekula, naprjpijer 1020, onda će vjerojatnost da će se sve molekule sabrati u jednoj od polovina posude biti vrlo mala (2 • 10'20). Pretpostavimo da se u početku plin nalazio u lijevoj polovini posude koja je pregrađom odijeljena od desne prazne polovine. Ako uklonimo pregradu, plin će se proizvoljno raširiti po čitavoj posudi. Taj proces će biti nepovratan budući da je vjerojatnost da će se, kao rezultat toplinskog gibanja, sve molekule skupiti u jednoj od polovina posude, kako smo vidjeli, praktično jednaka nuli. Prema tome, sam po sebi, bez djelovanja izvana, plin neće uspjeti da se ponovo nađe u lijevoj polovini posude. Prema tome, proces širenja plina na čitavu posudu je nepovratan zbog toga što je njemu obratni proces malo vjerojatan. Taj zaključak se može proširiti i nadruge procese. Svaki nepovratni proces je takav proces kojemu je obratni proces krajnje nevjerojatan.

170

Tabcla 8.2. Đroj raolekula Desna strana

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Ukupno 210 = 1024.

>

w

Lijeva strana

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

9. ELEKTROMAGNETSKI VALOVI

9.1. ELEKTROMAGNETSKI TITRAJI (OSCILACIJE) Elektromagnetslci titraji mogu se proizvesti u električnom titrajnom krugu, koji se sastoji od zavojnice induktiviteta L i kondenzatora kapaciteta C (crt. 9.1.), pri čemu se napon na kondenzatoru i struja kroz zavojnicu periodično mijenjaju.

Kada je kondenzator nabijen (iz nekog vanjskog izvora, koji se išključi kad je kondenzator nabijen), struja protekne kroz zavojnicu i pritom se kondenzator prazni. Energija električnog poljakondenzatora pretvara se u energiju magnetskog polja zavojnice. U zavojnici se javlja elektromotoma sila samoindukcije koja se suprotstavlja promjeni kojom je izazvana (Lentzovo pravilo). Kondenzator se ponovo puni ali suprotnog polariteta. Ovaj proces pretvaranja električne eneigije u magnetsku i obmuto trajat će beskonačno dugo ako je titrajni krug bez gubitaka. Kao rezultat toga nastaju električni titraji. Proces je analogan mehaničkim titrajima (matematičko klatno) u kojem se potencijalna energija pretvara u kinetičku i obmuto. Na crt. 9.2., dana su tri harmonična oscilatora usporedno: matematičko njihalo, sustav elastične opruge i mase i električni krug LC. Na crtežu je prikazan iznos ukupne energije za osam slučajeva unutar jednog perioda titranja.

172

M ate m a rič k o Idatno

E nergija

L C k ru g

E lastičn a opru g a w=0

'/» 0 e=e„

L 6=0

V A\ X V¥A

X»Jf0

-

r

-

1

/= 0

r r P V s- | L

E k+ Ep

m

m

0=0

(£ ,).» ,

L

r

J

v* ~ vmax r W :

n L

(*»)= «

m x= 0

li

l

i

l

f

Q =0

h H

= -/„

L

^ m

E k+ E p

m

M

v=0

/

-^^6=0

r W

(^p)mtx /= 0

x — x0 Q — Q

I

H

I

L

M m L

m

r '= % 0=0

n L

W W W H D m

- i M

V S V ^,

/ /

r i f p L

(£ » )= ,

m x=0

Q =0

h

/./m

-

00 Jl

W

M

^m

r i f M L

h

m

h

E k+E„

-

Crtež 9.2.

173

Posmatrajmo sada crt. 9.1., napon na kondenzatoru jednak je QIC, gdje je Q naboj, a C kapacitet kondenzatora. Inducirani napon £ na zavojnici uzrokovan promjenljivom strujom je prema Faradayevom zakonu indukcije: (9.1.)

dt Oba ova napona su jednaka (II Kirchhoffovo pravilo):

Q_

jdl

C

L d t'

(9.2.)

Derivirajući po vremenu relaciju (9.2.) i uzimajući u obzir da je jačina struje: I=

dQ dt '

dobivamo: d 2I + ——= 0. dt2 LC

(9.3.)

Ovo je jednadžba harmonijskih titranja i analogno jednadžbi (6.9.) frekvencija osciliranja je: ■ 1

71c

r

L -

2nJT c

(9.4.)

Ovo je poznata Thomsonova formula za frekvenciju električnog titrajnog kruga. U ovakvom titrajnom krugu oscilira električno polje medu pločama kondenzatora i magnetsko polje u zavojnici. Da br se promjenljivo električno i magnetsko polje širilo prostorom u obliku elektromagnetskog vala, potrebno je otvoriti titrajni krug. To se postiže povećanjem razmaka između ploča kondenzatora i zavoja zavojnice, smanjujući tako kapacitet kondenzatora i induktivitet zavojnice. Potpunim otvaranjem ploča kondenzatora i zamjenom zavojnice pravocrtnim vodičem (antena) dobiva se otvoreni titrajni krug, koji se ponaša kao izvor elektromagnetskih valova. Na crt. 9.3. prikazan je jednostavan primjer elektromagnetskog vala, harmonični ravni val. Električno i magnetsko polje prikazani su sa dvije međusobno okomite sinusoide, od kojih jedna predstavlja vektor E , a druga vektor B . Oba vektora osciliraju u fezi. Elektromagnetsko polje opisano je MaxweIlovim jednadžbama, i iz njih možemo izvesti valnu jednadžbu za elektromagnetske valove.

174

J. C. Maxwell' je postavio opću mntematičku teoriju elektriciteta i osnovne zakone elektrodinamike prikazao pomoću četiri jednadžbe. One su osnova klasične elektrodinamike i svih proračuna koji se odnose na elektromagnetske valove i njihovo širenje kroz prostor. Čitav se elektromagnetizam može objasniti pomoću ove četiri jednadJbe. One opisuju vezu izmedu električnog i magnetskog polja, te vezu ovih dvaju polja i električnih naboja.

Posmatrajmo ravni elektromagnetski val koji putuje u smjeru ose x u homogenom izotropnom sredstvu bez struja i naboja. U tom slučaju na osnovu Maxwellovih jednadžbi možemo dobiti valne jednadžbe za električno i magnetsko polje: #Ey &Ey „ d t2 (9.5.) #BZ &B, -e p = 0. d t2 ćbc2 Diferencijalne jednadžbe (9.5.) slične su jednadžbi (7.31.) koju zovemo valna jednadžba. Analogno jednadžbi (7.31.) možemo pisati za jeđnadžbu elektromagnetskih valova: ćfcc

& E}.

1 #Ey (9.6.) = 0, ax1 dtl gdje je v fazna brzina elektromagnetskih valova u sredstvu s određenim vrijednostima permeabilnosti i dielektričnosti: I James Clark Maxwe)l (1831.-1879.), Skotski matematičar i fizičar, poznat po radovima iz elektrodinamike i kinetičke teorije plinova.

175

(9-7.)

V=

VeJT' Brzina širenja elektromagnetskog vala u vakuumu jednaka je: 1 C -

= 299 792 458—

a t0 je upravo b m n a sv je tljti uvakuumu, što ukazuje na to da je svjetlost eiektrom^^etski v ^ n a

ista za sve frekvencije, odnosno valne duljine;

zato kaiemo da u vakuumu nema disperzije. U tom slučaju grupnabm na (brzina širenja energije) jednaka je faznojbrzint. dielektričnost i permeabilnost ovisi o frckvenciji, tj. g j P° J _9e . pri prijelazu elektromagnetskog vala iz sredstva s jednom brzrnom šrrcnja u sredstvo s drugom brzinom širenja mijenja se valna duljina vala. Najjednoftavniji oblik valnog gibanja nastaje kada rzvor vala oscilira. To posebno rješenje valne jednadžbe možemo p.sat. u oblrku analognom za mehaničke valove (7.15.):

H)

Ey = £ 0sinco

B. - B0 sinco t —

(9.8.) .

9.2. ELEKTROMAGNETSKI SPEKTAR U pogledu fundamentalne prirode, nema razlike između svjetlosauh valova i ostalih elektromagnetskih valova, kao naprimjer omh koji potječu o osedatornog ^ ^ . ^ 0 3 ^ najduže elektromagnetske valove koji se mogu proizvesti generatorima za naizmjeničnu struju. Ako generator okrećemo sporo možemo proizvesti proizvoljno malenu frekvenciju. Valna duljma koja zračr prijenosni električni vod (dalekovod) od 50 Hz iznosi: X = —= ^ ^ - = 60 0 0 k m . / 50 Povećanjem brzine obrtanja generatora, frekvencija se može povećati do 100 kHz. Više frekvencije se mogu proizvesti pomoću elektrićnog titrajnog kruga, prema (9.4.): j f = 2n VŽ.C ' 176

r

Dr o

Z p

f

^

mr ,S,đJ a,OVi reda veličine centimetra (mikrovalovi) mogu se V U? klm e,ektronskim cijevima (klistron). Još kraći v K ode se pomoću krugova pobuđenih vamicom Naikraći milrmvat

6* “ «

kod M ^ v o o i h ik v .„

lampa sa živmom parom nađeni su valovi duijine 4 mm Zračenie ^ izvora ide„ae„ o Je p0 „ o jh o L b i

valovima dobtvemm iz električnog kruga. ,, .,Syied0Sni ? ovi koji P0^

s

f s

\

^

magnetskim

od emisije molekula i atoma, protežu se od

vd * vd ov*’ preko v)d,iivo8 speto* *> f n eT Je’ molekule 1 «*»“ ' momjn Prethodno biti na

th do S T P° buđ,Vanje se Putem termičkog kretanja molekula ih do nje dolazi u procesima sudara pri električnom pražnjenju.

va F m kh!U w mi!enU CnergijU emitiraj u u obliku elektromagnetskih valod u ijk T J ^ P°JaVa' VCĆOj Cnergiji 2račenja ođ2°vara kmća valna , , ^ k0 Se «tomi. b° mbardiraju eIektronima velike kinetičke energije može doćt do pobuđivanja unutamjih elektrona i povratak atoma u normalno stanje

CmJS,J0m enT e vrio kralke vable duljine. Usporavanje brzth elektrona tjcođer dovodt do pojave elektromagnetskog zračenja ovo » l O - m ^ 6 (renđ«Cnsk0 * * * & > i Pokriva valne dulji^e od 10 m do 10- m. Granicu za dobtvanje još kraćih valnih duljina predstavlja protzvodnja elektrona velikih brzina. V J p

Valovt još kraćih valnih duljinaprate spontano raspadanje atomskih jezgri procesu radioakttvnog raspada, ovi valovi su poznati kao gama zračen^ Valov, sa najkraćim valnim duljinama stižu iz Svemira i nastaju u nu-

u ^ SC,nazivaju kozmleko zračenje. Danas nema praznina u elelctromafftetskom spektru. Sve frekvencije od onih koje pripadajugL a zračenju na jednom kraju spektra, do radio valova na dragom kraju, mogu se proizvestjt prouča-vati. Svaki dio spektra preklapa se sa susjednim dijelom. ako najkraćt valovt proizvedeni u rendgenskoj cijevi (X-zrake) kraći su od najdužut gama zraka, također se preklapaju X-zrake sa ultraljubičastim itd. e može se povući oštra granica između oblasti spektara, što pokazuje da je fundamentalna priroda tsta i da se oblasti razlikuju samo po valnoj duljini odnosno po načinu na koji su proizvedeni određeni valovi. Na crt 9.4. dat je' spektar elektromagnetskog zračenja u funkciji valne duljine, odnosno frekvencije. Optika je dio fizike koji proučava svjetlost i svjetlosne pojave. Svjetlost je elektromagnetski val valne duljine od oko 380 nm do 780 nm; to je ono zračenje koje djeluje na mrežnicu Ijudskog oka i uzrokuje osjet vida. Preostali

177 *

dio elektromagnetskog zračenja (toplinsko, ultraljubičasto, radiovalovi, itd.) naše tijelo osjeća dragačije ili uopće ne osjeća. _ Mada je svjetlost elektromagnetske prirode i sadrži elektnčnu E i magnetsku komponentu B , eksperiment pokazuje da fiziološko, fotoelektrično, fotokemijsko i draga djelovanja svjetlosti izazvana su samo osciliranjem električnog vektora E . Suglasno tome mi ćemo pod pojmom svjedosnog vektora, podrazumijevati vektor jačine električnog polja. Vektor jačine magnetekog polja nećemo ni spominjati. Prema tome, jačina svjetlosnog vala može se predstaviti zakonom po kojem se mijenja jačina električnog vektora: A(x,t) = A qcos(a t - kx), gdje je A0 amplituda svjetlosnog vala.

178

(9.9.)

Kao i svaki diugi val, i elektromagnetski val može prenositi energiju oz Prostor. S rednja gustoća toka energije ili intenzitet proporcionalan je am plitud. jačine svjetlosnog vektora:

'* > < ?•

(9.10.)

Ovu činjenicu ćemo koristiti u valnoj optici (interferencija, itd.).

9.3. G E O M E T R IJS K A O P T IK A Razvoj pretpostavki o prirodi svjetlosti. Sve do sredine XVH stoljeća vjerovalo se da se svjetlost sastoji od mlaza čestica. Ove čestice bivaju emituane od svjetlosnih lzvora (Sunce, plamen svijeće, itd.), One mogu da prođu kroz providne tvan 1 odbijaju se od površine neprozimih predmeta. Kada čestice dospiju do oka, izazivaju osjećaj viđenja. Ova teorija je poznata kao korpuskularna teorija i njen tvorac je bio Newton (Njutn). Koipuskulama teonja uspješno objašnjava eksperimentalne činjenice kao'što su pravocrtno prostiranje svjetlosti, zakone odbijanja i prelamanja na graničnim površinama Međutim, u isto vrijeme (1670.) C. Huygens (Hajgens) pokazuje da se zakom odbijanja i prelamanja mogu objasniti na bazi valne teorije, koja u to vnjeme mje b.la prihvaćena. Jedan od razloga da se odbaci valna teorija shjedio je iz osobine valova da zaobilaze prepreke, što je u to doba bilo u suprotnosti sa zakonom o pravolinijskom prostiranju svjetlosti. Pojava “savijanja svjetlosh oko mbova predmeta, kasnije nazvana difiakcija, tada je bila zanemarena i sve do početka devetnaestog stoljeća bila je priznata samo korpuskulama teorija. Eksperimenti T. Younga (Janga) i A. Fresnela (Frenel) 1827. godine pokazab su da se interferencija svjetlosti ne može objasniti koipuskularaom teonjom. Pojave mterferencije i difiakcije mogu se objasniti jedino valnom pnrodom svjetlosti. Stvama priroda svjetlosnih valova i sredine kroz koju se om prenose, ostala je neriješen problem. Prema Huygensu prazan prostor je lspunjen elastičnom prijenosnom sredinom (eter). Međutim, da bi se objasnila velika brzina svjetlosti, eter bi morao biti izvanredno čvrst, a on se kao što znamo ne opire kretanju tijela (planete se kreću kroz eter bez smanjenia brzine). Veliki korak u razvoju teorije svjetlosti dao je J. C. MaxweII (Maksvel) koji je teorijski pokazao (1873.) da titrajući električni krug zrači elektromagnetske valove čija je brzina oko 3108 m/s, što odgovara eksperimentalno određenoj brzini svjetlosti. Ove teorijske pretpostavke potvrdio je eksjjeri-

179 P

I

mentalno H. Hertz1 (Herc) koji je napravio titrajni kiug, koji je emitirao elektromagnetske valove malih valnih duljina i koji pokazuju sve osobine svjetlosti. Ovi valovi se mogu fokusirati pomoću specijalnih “leća”, polarizirati itd., isto kao i svjetlosni valovi. Maxwellova elektromagnetska teorija svjetlosti i njena eksperimentalna potvrda od strane Hertza, predstavljale su jedno od velikih dostignuća ftzike XIX stoljeća. Ali vrlo brzo se pokazalo da ni ova teorija nije univerzalna i da ne može da objasni fotoelektrični efekt, tj. emisiju elektrona iz provodnika pod djelovanjem svjetlosti koja pada na njegovu površinu. Da bi objasnio fotoefekt Einstein (Ajnštajn) je 1905. godine, prihvatio ideju koju je predložio Planck (Plank) i pretpostavio da energija svjetlosnog snopa, umjesto da je raspoređena u prostoru u električnim i magnetskim poljima elektromagnetskog vala, koncentrirana u male pakete (kvante energije) ili fotone. Valna slika je zadržana, jer foton ima određenu frekvenciju i energiju koja je proporcionalna frekvenciji (E - hv). Konačnu potvrdu fotonskoj prirodi svjetlosti dao je Compton (Kompton) koji je eksperimentalno pokazao da se prilikom “sudara” foton i elektron ponašaju kao materijalna tijela koja imaju kinetičku eneigiju i količinu kretanja i da pri sudaru te veličine ostaju očuvane. Fotoefekt i Comptonov efekt idu u prilog korpuskulame teorije. Sadašnje stanovište fizičara, suočenih s očigledno kontradiktomim eksperimentima, sastoji se u prihvaćanju činjenice da je svjetlost dualističke prirode. Pojave kao što su interferencija, difrakcija i polarizacija objašnjavaju se valnom prirodom dok se interakcija svjetlosti i materijalne sredine, u procesima emisije i apsoipcije, objašnjava korpuskulamom teorijom. > Kasnije se pokazalo da dualistička priroda nije svojstvena samo svjetlosti (elektromagnetskim valovima) nego i ostalim elementamim česticama (elektroni, neutroni, protoni, itd.).

9.3.1. Osnovni pojmovi Mnoge optičke pojave mogu se razmatrati polazeći od pojmova o svjetlosnim zrakama. Dio optike koji se zasniva na tim pojmovima naziva se geometrijska optika. Pod zrakama se u izotropnoj sredini podrazumijevaju 1 Heinrich Hertz (1857.-1894.), njemački fizičar, prvi dobio clektromagnctskc valove i time potvrdio Maxwellovu teoriju.

180

r linije koje su okomite na valne površine. Duž tih linija prenosi se svjetlosna energija. Pnlikom presijecanja zrake se uzajamno ne ometaju. U homosenoi sređini one se prostiru pravolinijski. 6 J Pojmovi geometrijske optike su upotrebljivi samo dotle dok se mogu zanemanti pojave mterferencije i difiakcije svjetlosnih valova Pokazuie se da je difiakctja manja što je manja valna duljina. Zbog toga se može reći da je geometrijska optika specijalan slučaj valne optike koji odgovara iščezavajuće maloj valnoj duljini. Skup zraka obrazuje snop. Ako se produžene zrake presijecaju u jednoj točki snop se naziva homocentričan. Homocentričnom snopu svjetlosti odgovara sferna valna površina. Na crt. 9.6. je prikazan sabimi, odnosno rasipni homocentrični snop. Specijalni slučaj homocentričnog snopa je snop paralelnih zraka, njemu odgovara ravni svjetlosni vaL Svaki optički sustav transformira svjetlosne snopove. Ako sustav ne narušava homocentričnost snopova onda se zrake koje izlaze iz točke P sijeku u jednoj točki P \ Ta točka predstavlja optički lik točke P. Ako se lik bilo je točke predmeta dobiva u obliku točke, lik se naziva točkasti ili stigmatičan. U siučaju da snopu zraka odgovara valna površina dvostruke zakrivIjenosti, crt. 9.6., presjek zraka se ne nalazi u jednoj točki već u skupu točaka, B’

Crtež 9.6.

.181

koje su raspoređene na dva uzajamno okomita pravocrtna odsječka. Takav snop zraka nazivamo astigmatičan. Lik je stvaran (realan) ako se svjetlosne zrake u točki P’ stvamo sijeku, crt. 9.5a., virtualan (nestvaran) ako se u točki P’ presijecaju produžeci zraka u smjeru koji je suprotan od smjera prostiranja svjetlosti, crt. 9.5.b. Realni likovi neposredno osvjetljavaju postavljeni zastor (filmska projekcija). Vutualni lik ne može da izvede takvo osvjetljavanje, ali uz pomoć optičkih uređaja virtualni likovi mogu se pretvoriti u realne, npr. virtualni Iik se u našem oku pretvara u realan i osvjetljava određeni dio mrežnjače.

9.3.2. Fermatov princip najmanjeg vremena U homogenoj sredini svjetlost se prostire pravolinijski. U nehomogenoj sredini svjetlosni valovi odstupaju od pravolinijske putanje. Zakoni odbijanja i prelamanja mogu se izvesti iz općeg principa kojeg je francuski matematičar Fermat1 (Ferma) postavio je 1658. godine, i koji glasi: “ Svjetlost se prostire po putu za koji joj je potrebno najkraće vrijem e.” Da bi svjetlost prešla dio puta ds potrebno joj je vrijeme, dt, tako da je: (9.11.) gdje je v brzina svjetlosti u danoj točki sredine. Uvedimo konstantu sredine tzv. indeks prelam anja sredine, kao odnos brzine svjetlosti u vakuumu c i brzine u nekoj sredini v, tj.: c n =— V

(9»12.)

dt = - n d s . c

(9.13.)

dobivamo da jc:

Prema tome vrijeme x koje je potrebno da svjetlost pređe put od točke 1 do točke 2, može se izračunati prema formuli: x = - f n d s.

(9.14.)

cj

Prema Fermatovom principu vrijeme t treba da bude minimalno. Pošto je c konstanta onda će minimalna vrijeđnost biti ona za koju veličina: 1 Pierre de Feraiat (1601 .-1665.) veliki fiancuski fizičar i matematičar.

182

r 2 L = ^nds

(9.15.)

J

ima minimalnu vrijednost i ona se naziva optička duljina puta. U homogenoj sredini optička duljina puta jednaka je proizvodu geometrijske duljine puta s i indeksa prelamanja sredine n: L =n s .

(9.16.)

Fermatov princip može se formulirati i na drugi način: Svjetlost se prostire po putu čija je optička duljina puta minimalna.

9 3 3 . Zakoni odbijanja i prelamanja svjetlosti Zakoni prelamanja i ođbijanja svjetlosti proizlaze iz Fermatovog principa. Kada svjedost upada na granicu između dvije sređine (npr. zrak-voda) jedan njen dio se odbija (reflektira), a ostatak se prelama u tom sredstvu. Neka svjetlost dospijeva iz točke A u točku B poslije odbijanja, crt. 9.7. Prema Fermatovom principu, svjetlost će se kretati po onoj putanji za koje joj je potrebno najkraće vrijeme, odnosno putem za koji je optička duljina puta minimalna. Pošto je sredina kroz koju svjetlost prolazi homogena, minimum optičke duljine puta se svodi na minimum geometrijske duljine. Vrijeme potrebno da se pređe put AB je; / = (?,+ s^/v _ V aJ

+ X2 + ijb2'+ [d - x f v

183

Iz uvjeta za nunimum, čbudt = 0, slijedi: x d- x ■Ja2 + x2

ijb2 + { d - x f

ili prema crtežu: sina = sin a’ iz čega možemo zaključiti da je upadni kut a jednak odbojnom kutu a ’, tj.: a = a ’.

(9.17.)

Sad nađimo točku u kojoj treba da se prelomi zrak svjetlosti, koji pada na graničnu površinu, da bi sdgao iz točke A u točku B, crt. 9.7a. Prema Fermatovom principu svjetlost se prostire onim putem za koji je optička duljina puta minimalna. Za proizvoljni zrak optička duljina puta je jednaka: L = n,s, + ^ 2^2 =>h'Ja2 + x 2 +n1-^b2 + ( d - x f . Da bismo našli minimum, nađimo prvi izvod L po x i izjednačimo dobiveni izraz sa nulom: dx

J a 2 + x2

Jb2+ { d - x f

x d ~~x Pošto je — - = s in a ,------- = sin p , dobivamo poznati Snellov1 (Snel) za■Si Ji kon prelamanja s in a

ru,

sinp

n,

**2.1 >

gdje je n2 l relativni indeks preiam anja.

1 W. Snell van Royen (Snellius), 1581-1626, profesor u Leydenu.

184

(9.18.)

r

k

93.4. Prelamanje svjetlosti kroz optičku prizmu Prizma poređ leća predstavlja jedno od najvijednijih optičkih instrumenata. Optička prizma je napravljena od prozimog materijala indeksa prelamanja n, crt. 9.8. Neka je kut prizme 0 a sredina koja okružuje prizmu zrak. Upadni kut svjetlosne zrake sa normalom je a . Naš zadatak je da nađemo kut skretanja 8. Da bismo riješili ovaj zadatak treba samo primijeniti Snellov zakon za prvu površinu, izračunati kut prelamanja, zatim iz geometrije odrediti upadni kut za dragu prijelomnu površinu i ponovo primijeniti Snellov zakon. Sa crt. 9.8. lako se može vidjeti da je kut skretanja: 8 = ( a - p) + (a , - p,) = a + a , -(3 + 3,)

(9.19.)

pri čemu je kut prizme jednak: (9.20.) 0 = Y =3 + 3 iMože se pokazati da je kut skretanja minimalan kad zraka svjetlosti prolazi kroz prizmu simetrično, tj. kad je a = a , i 0 = 0,. Uvrstivši ovaj uvjet u (9.19.) i (9.20.) dobiva se da su upadni i prijelomni kutovi jednaki: (9.21.)

(9.22.)

Crtež 9.8.

185

Prema Snellovom zakonu indeks prelamanja prizme može se izraziti preko njenih karakterističnih veličina, kuta prizme 0 i kuta minimalne devijacije 8 . Ako je kut prizme malen, malen je i kut skretanja, pa u tom slučaju možemo sinuse zamijeniti njihovim kutovima. Tada relacija (9.22.) prelazi u:

S * .« e (B- l ) .

(9.23.)

9.3.5. Prelamanje na sfernoj površini U većini slučajeva, površine svih leća i ogledala su sfeme ili ravne, jer je takve površine najlakše obraditi mašinskim putem. Kada svjetlosni valovi prolaze kroz optički instrument, površine valnih frontova mijenjaju se na svakoj graničkoj površini. Međutim, valni front koji je prvobitno bio sferan ili ravan, neće poslije prelamanja na sfemoj površini imati jednostavan oblik. Zbog toga je praktično nemoguće analizirati prolazak svjetlosti kroz neki optički instmment služeći se predstavom o valnim površinama, te je ovdje nužno uvesti pojam “zraka” svjetlosti. Zraka je pri svom prolazu kroz optički instrament sastavljena od više odsječaka pravih linija, koje na odbojnim ili prelomnim površinama skreću za kutove koji se mogu dobiti iz zakona odbijanja i Snellovog zakona. Prema tome, problem putanje zrake svodi se na geometrijski problem pa se ova grana optike naziva geometrijska optika, mada bi bolji naziv bio trigonometrijska optika. Prije iješavanja određenog problema potrebno je usvojiti neki dogovor, koji se može definirati na ovaj način: 1. Slike crtamo tako da svjetlost pada na odbojne ili prelomne površine ša lijeve strane. 2. Udaljenost predmeta od tjemenap smatramo pozitivnom kada predmet leži lijevo od tjemena prelomne ili ođbojne površine. 3. Udaljenost lika od tjemena /, smatramo pozitivnom ako lik Ieži desno od tjemena. 4. Poluprečnik krivine R smatramo pozitivnim ako centar krivine Ieži desno od tjemena. Uzimamo da su dvije homogene providne sredine sa indeksima prelamanja n, i n2podijeljene sfemom površtnom poluprečnika krivine R sa centrom u točki C. Prava koja prolazi kroz centar krivine C i točku O naziva se osa sustava, a točka O naziva se tjeme prijelomne povišine. Posmatrajmo prolaz homocentričnog snopa kroz konveksnu (ispupčenu) sredinu indeksa prelamanja n2 > n, (crt. 9.9.) Uzet ćemo samo zrake koje obrazuju sa optičkom osom male kutove, ovakve zrake nazivaju se paraksi-

186

jalne (priosne) zrake. Uzmimo jednu paraksijalnu zraku koja polazi od predmeta P i pada na sfemu graničnu površinu u točki A, prelama se na njoj i presijeca optičku osu u točki L. Za točku L kažemo da je lik predmeta P. Prema zakonu prelamanja za točku A vrijedi: n,

sina =

sin|i.

(9.24.)

S obzirom da su zrake paraksijalne, sinuse možemo zamijeniti vrijednostima kutova pa imamo: n ,a = n2 p.

(9.25.)

Sa crteža se lako može vidjeti da su kutovi: a = 5 +y

(9.26.)

P=Y-
Zamjenom (9.26.) u (9.25.) dobivamo: «i(5 + Y) = ni(y “
(9-27.)

Za male kutove, i tangensi se mogu zamijeniti kutovima, pa se može pisati:

Zamjenivši (9.28.) u (9.27.), dobija se zakon prelam anja na sfernoj površini ”■ ,
(9.28.)

R

Ova relacija ima opći značaj za prelamanje na sfemoj površini uz prihvaćanje konvencije o znacima. Rastojanja virtualnih veličina uzimaju se negativna, dok se radijus krivine R mora smatrati algebarskom veličinom: za konveksnu površinu on je pozitivan, a za konkavnu površinu negativan. Veličina: 0 = ^ ^

(9.29.)

naziva se optička moć (jačina) prijelomne površine i predstavlja karakteristiku za datu sredinu i datu prijelomnu površinu. Zrake koje zaklapaju veće kutove 8 sa optičkom osom, poslije prelamanja neće se sjeći u jednoj točki što znači da će snop prestati da bude homocentričan. Ako posmatramo snop paralelnih zraka, tj. zraka koje dolaze iz beskonačnosti, poslije prelamanja ovaj snop će prolaziti kroz jednu točku koju nazivamo drugom glavnom žižom (fokus, žarište), a rastojanje OF2 dmgom žarišnom (žižnom) daljinom prijelomne površine, crt. 9.10. Očito da je pri P žižna daljina f 2 = I. Obmuto, ako pretpostavimo da je lik u beskonačnosti, tj. / = oo, predmet se nalazi u prvom žarištu, p = / „ crt. 9.11.

V eličin a/ naziva se prva glavna žarišna daljina. Iz odnosa ovih relacija dobiva se: ■R. 'h ~«i

188

'h - 'h

(9.30.)

r

IL

Vidimo da su glavne žarišne daljine proporcionalne indeksima prelamanja sredine u kojima se nalaze. Dijeljenjem relacija (9.30.) dobija se:

4 =^ -

(9-31-)

/ Ako jednadžbu (9.28.) podijelimo sa (n^ - nt)/R i iskoristimo relaciju (9.30.) dobijamo relaciju: , , = (9.32.) P 1 Lik predmeta može se odrediti i grafičkom metodom korištenjem karakterističnih zraka, crt. 9.12.

Zraka (1) je paralelna sa optičkom osom i stoga, poslije prelamanja prolazi kroz drugu žižu F2. Zraka (2), koja pada normalno na površinu prolazi kroz centar zakrivljenosti i ne lomi se. Zraka (3) prolazi kroz prvu žižu F, i nakon prelamanja paralelna je sa osom. Za nalaženje lika dovoljno je znati točku presjeka bilo koje dvije zrake. Ako rastojanja p i / izrazimo kao: P = fl+ X » l= f2 + Xl> (9-33-) gdje su i x2 rastojanja predmeta P i lika L od žanšta F, i F2, i uvrstimo u jednadžbu (9.32.) dobit ćemo Newtonovu fonnulu za prelamanje na sfemoj površini: / r / 2= * r * 2(9-34-) Jednadžbe (9.28.), (9.31.) i (9.34.) su potpuno ekvivalentne jedna drugoj. Svaka od njih omogućava da se prema položaju točkastog predmeta nađe njegov lik. U slučaju da svjetlosne zrake, koje padaju na sfemu površinu radijusa R, doživljavaju totalnu refleksiju, takvu površinu nazivamo sfemim ogledalom.

189

Jednadžbu konveksnog sfemog ogledala možemo dobiti ako u relaciji (9.28.)

p l R' Analogno tome jeđnadžba za konkavna sfema ogledala glasi: p +1

R'

(9.35.)

(9.36.)

U slučaju kad imamo ravno ogledalo, tj. R = oo iz relacije (9.36.) slijedi da je: (9.37.) l = -p . Pošto je daljina predmeta p uvijek pozitivna (predmet je realan), slijedi da je / < 0, znači lik kod ravnog ogledala je virtualan i nalazi se na istom rastojanju iza ogledala na kome je predmet ispred ogledala. Položaj lika dobijenog sfemim ogledalom moguće je također odrediti grafičkom metodom, koristeći karakteristične zrake, crt. 9.13.

Crtež 9.13.

Sa crteža se može lako vidjeti da je: £ -2 / =£ 2 /-/ l ođakle se može dobiti jednadžba sfemih (konkavnih) ogledala:

I

1=1

P+l

190

/ '

(9.38.)

(9.39.)

9.3.6. Tanka optička leća (sočivo) Optička leća naziva se tijelo, izrađeno od homogenog providnog materijala i ograničeno površinama, od kojih makar jedna ima radijus krivine različit od nule. Obično su povrišine, koje ograničavaju leću, sfeme. Kao materijal za izrađu leća za vidljivu svjetlost služe razne vrste stakla. Za ultraljubičastu svjetlost, leće se prave isključivo od kvarca, dok za infiacrvenu svjetlost leće se prave od germanija, kamene soli, K G , kvarca i drugih materijala koji slabo ili nikako (Ge) ne propuštaju vidljivu svjetlost. Prosta optička leća predstavlja sustav od dvije sfeme površine, crt. 9.14. Ako se razmak između njihovih tjemena može zanemariti u odnosu na dimenzije leće (a •« R), takva leća se naziva tanka. Neka je leća napravljena od materijala indeksa prelamanja t i nalazi se u sredstvu indeksa prelamanja n0 (npr. zrak n0 = 1). Prelamanje svjetlosti može se posmatrati kao prelamanje na dvije sfeme površine radijusa zakrivljenosti R t i R2.

Neka su O, i 0 2 tjemena sfemih površina i neka je razmak a između njih zanemariv u odnosu na radijuse zakrivljenosti. Pošto je leća sastavljena od dvije sfeme površine, to ćemo jednadžbu tanke leće naći na taj način što ćemo naći položaj lika predmeta s obzirom

na prvu (konveksnu) površinu L’, zatim ćemo taj lik, uzeti kao predmet za dnigu sfemu površinu (konkavnu) i naći položaj lika L, koji daje leća. Jednadžba prelamanja na prvoj (konveksnoj) površini, prema relaciji (9.28.) i uz ograničenje na paraksijalne zrake glasi: *0

,

n -n ,

(9.40.) Pi h Ri Pošto lik L’ služi kao predmet za dmgu (konkavnu) površinu, predmet je virtualan pa je prema dogovora, negativan predznak uz p 2. Prema relaciji (9.28.) jednadžba prelamanja na dragoj površini ima oblik: ” , ”o (9.41.) ~P2 ^ -R i Sabiranjem relacija (9.40.) i (9.41.) i uz pretpostavku da je leća tanka p 2 » /,, dobivamo jednadžbu tanke leće: 1^1

n-Hpf J _

_1_

(9.42.) P l «o A +R2 Ako se predmet nalazi u beskonačnosti lik se nalazi u žarištu, tj. p = oo, / = / i obmuto ako je predmet u žarištu lik je u beskonačnosti. Ako se leća nalazi sa obje strane u istom sredstvu ta d a je / =f Uvrstimo li ovo u jednadžbu (9.42.) dobit ćemo izraz za žarišnu daljinu leće: «-«o| J_ J_ (9.43.) / «o * h +R2 Recipročna vrijednost žarišne daljine naziva se još i optička moć (jačina) leće. Lako se može vidjeti da je optička jačina tanke leće jednaka zbira optičkih jačina sfemih površina: * D = D ,+ D 2.

(9.44.)

Pošto je n > n^, predznak optičke jačine zavisi od predznaka I — + — j . V.-R, A .) Ako je D pozitivno, tada se radi o sabirnoj leći. Kod sabime leće paralelan snop svjetlosti poslije prelamanja u leći skuplja se u njenom dragom žarištu F2 crt. 9.15a. Ako je D negativno, tada se radi o rasipnoj leći. Kod rasipne leće paralelan snop svjetlosti poslije prelamanja kroz leću obrazuje divergenmi snop zraka, čiji se produžeci presijecaju u drugom žarištu, crt. 9.15b. Kod izračunavanja optičke moći sabimih ili rasipnih leća, treba se držati konvencije: ispupčene (konveksne) površine imaju pozitivan centar zakriv-

192

D<0, / <0

D > 0 ,/> 0

ljenosti, a udubljene (konkavne) površine imaju negativan centar zakrivljenosti. Sabime leće mogu biti: (a) bikonveksne, (b) plankonveksne i (c) konveksnokonkavne, crt. 9.16. Rasipne leće mogu biti: (a) bikonkavne, (b) plankonkavne i (c) konkavnokonveksne, crt. 9.17.

Crtež 9.16.

Crtež 9.17.

Jedinica za mjerenje optičke moći je dioptrija. Leća ima optičku moć jedne dioptrije, ako joj je žarišna daljina 1 m. 1D = Im“l.

193

9.3.7. Centrirani optički sustav (sistem) Optički sustav predstavlja skup odbojnih i prijelomnih površina koje razdvajaju jednu od druge optički homogene sredine. Obično se optički sustav sastoji od više sabimih i rasipnih Ieća. Optički sustav je centriran ako centri zakrivljenosti svih odbojnih i prijelomnih površina leže na istom pravcu. Taj pravac naziva se optička osa sustava. U slučaju idealnog centriranog sustava, homocentričan snop će poslije prolaska kroz njega ostati homocentričan. Zrake koje idu sa lijeva nadesno (1), paralelno sa optičkom osom sijeku se u točki F2 koja Ieži na optičkoj osi i naziva se drugo žarište (fokus) sustava. Analogno, zrake koje dolaze sa desna nalijevo (2) paralelno sa optičkom osom sustava, sijeku se u točki F, koja se zove prvo žarište sustava. Točke H i H’ nazivaju se glavne točke sustava, a ravni MN i M ’N ’ glavne ravni sustava, crt. 9.18.

Ako su poznati položaji glavnih ravnina i žarišta sustava, tada se za dati položaj predmeta, može naći položaj lika koji daje sustav, kako je prikazano na crt. 9.19.

194

Iz trokutova, AF,HN i ABNM, slijeđi đa je: £ = NH p NM a iz trokutova F2M ’H ’ i B’N ’M ’ slijedi da je;

(9.45.)

A _ M ’H ’ (9.46.) / M ’N ’ ' Ako saberemo ova dva izraza i uzmemo u obzir da je MN = M ’N ’, dobijamo Gaussov oblik jednadžbe optičkog sustava: £ + £ = 1. (9.47.) P l Ako uvedemo zamjenu, p =f\+X\ i / = ^ + x 2, dobivamo Nevvtonov oblik: *i *2 ~ f \ f i •

(9.48.)

Vidimo da se kod tanke leće glavne točke H i H’ poklapaju. Ako se leča nalazi u istoj sredini sa obje strane tada j e / , = f2= f i izrazi (9.47.) i (9.48.) mogu se primjeniti na tanku leću.

93.8. Debela leća Debela leća je takva leća kod koje se razmak između tjemena ne može zanemariti u odnosu na dimenzije leće.Uzmimo debelu leću, prikazanu na crt. 9.19. Da bismo odredili položaj drugog žarišta F2, koristit ćemo paralelnu zraku koja dolazi od beskonačno

Crtež 9.20.

udaljenog točkastog predmeta, kao što smo to i ranije radili. Znači, uzimamo da je p x= oo, nalazimo položaj lika poslije prelamanja na prvoj sfemoj površini, taj lik je virtualni predmet za drugu sfemu površinu, poslije prelamanja na drugoj sfemoj površini zraka prolazi kroz žarište F2. Da bismo odredili žarišnu daljinu debele leće, poslužimo se crt. 9.20. Zraka pada na prvu površinu u točki A, na visini h iznad ose, i napušta dmgu površinu u točki D, na visini h’. Produženjem upadne i izlazne zrake 'određuje se položaj dmge glavne ravni i dmge glavne točke H’. Iz sličnosti trokutova ABG i DCG, i u granicama točnosti za paraksijalne zrake (razmak između O, i B, kao i razmak između 0 2 i C, možemo zanemariti) dobijamo: h h' (9.49.) f. ~Pi Rastojanje p 2je negativno, jer lik formiran prvom površinom predstavlja virtualan predmet za dmgu površinu. Iz sličnih trokutova EH’F2 i DCF2, nalazimo: (9.50.) f~ k Dijeljenjem ovih izraza dobivamo izraz za žarišnu daljinu, debele !eće: ( k (9.51.) / = ', V. Pi

93.9. Složene Ieće t Da bi se smanjile aberacije, večina leća u optičkim instmmentima su složene, što znači da se sastoje od nekoliko prostih leća koja imaju zajedničku osu. Površine susjednih leća mogu biti u kontaktu, ili između njih se može nalaziti zrak. Svaka složena leća, ima dva žarišta i dvije glavne točke. Rastojanje između svakog žarišta i njegove odgovarajuće glavne točke jednako je žarišnoj daljini. Gaussova i Newtonova jednadžba leća primjenjuje se, kako na složene, tako i na proste leće. Ako su elementi složene leće suviše debeli da bismo ih smatrali tankom lećom, položaj žarišta mora se naći računom od povTŠine do površine kao za debelu leću (9.51.). Za specijalan slučaj, kad se složena leća sastoji od dvije tanke leće sa žarišnim daljinama/J i / 2, razmaknuta rastojanjem d, crt. 9.21., izraz za žarišnu daljinu je jednostavan.

196

-P l

_________/flfi. Crtež 9.21.

Upadna zraka koja jc paralelna optičkoj osi, koja prolazi kroz žarište F2, efektivno trpi samo jedno skretanje na drugoj glavnoj ravni. Sa crt. 9.20. lako je uočiti slijedeće: P i= ° ° h =f\ Pi = -(h ~ đ )-

(9.52.)

Na osnovu jednadžbe za tanku leću, možemo pisati: J_ + l _ J_ (9.53.) Pi h ' f i ' Iz jednadžbe (9.52.), (9.53.) dobivamo jednadžbu složene leće, sastavljene od dvije tanke Ieće: J_ = J_

J ____d _

(9.54.) f f +A fA ' U specijalnom slučaju kad su leće u kontaktu, razmak d je ravan nuli i jednadžba (9.54.) se svodi na (9.55.):

1 =1 Jf

f +h

(9.55.)

‘ 197

9.3.10. Uvećanje optičkog sustava Omjer lineramih dimenzija lika L i predmeta P, naziva se linearno ili poprečno (transverzalno) uvećanje sustava. Ako ga označimo sa a , možemo po definiciji pisati: L (9.56.) Sa crt. 9.19., se vidi, da se ovaj odnos može izraziti preko / , \ f 2. (9.57.) Iz relacije (9.57.) vidimo da lineamo uvećanje ne ovisi o veličini predmeta (u aproksimaciji paraksijalnih zraka). Zbog toga će lik ravnog predmeta koji je okomit na optičku osu biti sličan predmetu. Naprotiv, Iik predmeta koji je opmžen duž optičke ose neće biti sličan predmetu, što proizilazi iz zavisnosti lineamog uvećanja od veličina x t i x2. Pošto je ovo čest slučaj, za razmatranje ove osobine sustava, uvodi se uzdužno ili longitudinalno uvećanje P, koje se definira kao odnos dužine lika dx2 i dužine pređmeta dxt, predstavljenog duž optičke ose sustava: (9.58.) Diferenciranjem Newtonove formule (9.57.) dobivamo da je: X|tfe2 + .x2d!c1= 0, odnosno dt,

x,

(9.59.)

Veza između transverzalnog i longitudinalnog uvećanja dobije se iz relacija (9.57.) i (9.59.): (9.60.) Prema tome, longitudinalno uvećanje je jednako (negativnom) kvadratu transverzalnog uvećanja. Znači, ako je predmet vrlo mala kocka na osi leće, njegov lik neće biti kocka, već pravokutni paralelopiped čija će dužina biti veća od širine. U općem slučaju (izuzev kad je a = ±1), predmet i lik nisu slični. Minus u formuli (9.59.) pokazuje da su dxx i dx2 suprotnog znaka.

198

9J.11. Nedostaci (aberacije) optičkih sustava Relacije koje smo izveli za leće i ogledala, koje daju vezu između udaljenosti lika i predmeta, žarišnih daijina i poluprečnika krivine, izvedene su iz jednadžbe za prelamanje na sfemoj površini koja vrijedi samo za paraksijalne zrake. Pri ovome se smatra da sredina kroz koju prolaze zrake ima konstantan indeks prelamanja za sve zrake. Međutim, u praksi zrake koje padaju na leće ne samo da nisu paraksijalne, nego mogu da leže i van optičke ose. Prema tome neparaksijalne zrake koje potiču od date točke predmeta neće se, u općem slučaju, poslije prelamanja sve sjeći u istoj točki. Lik koji se formira ovakvim zrakama neće biti oštar. Pošto žarišna daljina ovisi od indeksa prelamanja, u slučaju polihromatske svjetlosti lik će biti obojen, čak i za paraksijalne zrake. Odstupanja stvamog lika od predviđene teorije (tzv. teorija prvog reda) nazivaju se aberacije (nedostaci). Ovdje je potrebno naglasiti da aberacije ne potiču od nekakve pogrešne konstrukcije leća i ogledala, već su to posljedice zakona prelamanja na sfemim površinama. Ovdje ćemo razmotriti osnovne aberacije optičkih sustava: sferna aberacija, hrom atska aberacija, koma, astigmatizam i distorzija.

Crtež 9.22.

Citež 9.23.

Sferna aberacija nastaje usljed različitog prelamanja svjetlosnih zraka koje padaju na krajeve i srednji dio leće, crt. 922. Kao rezultat ovoga, lik koji se dobije na zaklonu nije oštar. Kombinacijom rasipnih i sabimih leća različitog indeksa prelamanja može se ova aberacija smanjiti na minimum. H rom atska aberacija, nastaje pri prolasku polihromatske svjetlosti kroz optički sustav (čak i paraksijalnih zraka), crt. 9.23. Pri prolazu polihromatske svjetlosti kroz leću dolazi do pojave razlaganja (disperzija) svjetlosti, jer je indeks prelamanja različit za razne boje. Ovo dovodi do toga da se zrake 199

različitih boja skupljaju u različitim točkama, što rezultira time da je kontura lika obojena. Hromatska aberacija se također može odstraniti kombinacijom leća različitih indeksa prelamanja. Koma nastaje kada se točkasti predmet nalazi van optičke ose sustava. U tom slučaju lik svijetle točke ima oblik istegnute asimetrične mrlje. Naziv potiče od grčke riječi (koma) koja označuje zarez (oblik komete i sl.). Astigmatizam, nastaje kada je lik točkastog predmeta sastavljen od dva uzajamno okomita pravca, crt. 9.6. Astigmatizam se otklanja izborom odgovarajućih poluprečnika zakrivljenosti i optičke moći prijelomnih površina. Distorzijom se naziva deformacija likova koja je izražena različitim poprečnim uvećanjem u raznim točkama vidnog polja. Naprimjer, preslikavanjem kvadrata dobijemo izvitoperen ili bačvast oblik lika, crt. 9.24.

Da bi se otklonile gore navedene aberacije potrebno je formirati vrlo složene optičke sustave. Proračun ovakvih sustava je izuzemo težak i prel^p okvire ovog kursa.

9.3.12. Optički instrumenti Optički instrumenti sastavljeni su od leća, ogledala, dijafragmi i filtera i služe za uvećanje ili umanjenje lika predmeta, radi njegovog proučavanja. Postoje dvije grupe optičkih instrumenata: okularni i projekcioni instrumenti. Okulami instrumenti stvaraju virtualnu sliku koja se u našem oku pretvara u realan lik. Oni omogućavaju promatranje vrlo maiih (Iupa, mikroskop) predmeta ili udaljenih predmeta (durbin, teleskop). Kod okulamih instrumenata povećava se prividni ugao gledanja, a time i prividna veličina predmeta. 200

Kod projekcionih aparata, pomoću sabime leće, dobivamo realnu uvećanu (dijaprojektor) ili umanjenu (fotoaparat) sliku predmeta. Gotovo svi optički instrumenti zasnivaju se na geometrijskoj optici i njenim zakonima, jedino u proučavanju njihove moći razlučivanja, moramo uzeti u obzir valnu prirođu svjetlosti. Oko je najvažniji iako ne i najjednostavniji optički sustav. Glavm dio oka je sabima leća koja stvara lik u unutrašnjosti oka na tzv. mrežnjači. Udaljenost leće od mrežnjače je konstantna, te, da bismo oštro vidjeli predmete na svim udaljenostima, mora se mijenjati žarišna daljina leće. Mišići leće oka mogu stezanjem ili rastezanjem mijenjati njen oblik i tako omogućiti da se na mrežnjači uvijek dobije oštra i jasna slika predmeta. Lupa. Da bismo povećali vidni kut pod kojim giedamo neki predmet upotrebljavamo lupu (povećalo). Lupaje najprostiji optički instrument. To je, ustvari, sabima leća, žarišne daljine manje od daljine jasnog vida (25 cm). Kad bismo htjeli vidjeti neki predmet pod većim kutom, morali bismo ga približiti oku i naprezati oko pri izoštravanju slike, međutim to može samo do neke granice. Pomoću lupe povećavamo vidni kut bez naprezanja očiju, crt. 9.25.

Crtež 9.25.

Posmatrani predmet A„ postavlja se između žarišta i tjemena leće, pri tome se dobiva uspravan uvećan i virtualan lik h2. Položaj lupe se bira tako da se virtualni lik dobije na daljini jasnog vida, što za normalno oko iznosi oko 25 cm. Uvećanje optičkih instrum enata (kutno uvećanje) definira se kao odnos tangensa kuta pod kojim se vidi predmet kroz optički instrument i tangensa kuta pod kojim se vidi predmet bez optičkog instrumenta.

.

201

Sa crt. 9.25. vidi se da je uvećanje jednako: Hl . tgq> _ / _ V *

(9.61.) h h 1 s Odnos veličine predmeta i veličine lika h j h x = Up, te se relacija (9.61.) može pisati: «g«po

«=- . (9.62.) P Napišimo jednadžbu sabime leće 2a slučaj virtualnog lika (/ < 0), tj. lupe:

I I =i

(9.63.) P~l / ' Pošto se lupa postavlja tako da virtualni lik bude na udaljenosti jasnog vida, tj. l = s, uvećanje lupe iznosi: u = j +\ » j .

(9.64.)

Viđimo da uvećanje lupe ovisi od žarišne daljine, međutim usljed aberacija maksimalno uvećanje lupe iznose oko 20 puta. Za postizanje većih uvećanja do 2 000 puta služi mikroskop, a za još veća uvećanja koristi se elektronski mikroskop (200 000-300 000 puta). Granice uvećanja nisu limitirane tehničkim mogućnostima izrade nego valnom prirodom korištene svjetlosti (difrakcija). Da bismo postigli veće uvećanje koristi se mikroskop. Na crt. 9.26. prikazani su glavni dijelovi i princip rada mikroskopa. Mikroskop se sastoji iz dvije sabime leće (obično su to složeni sustavi), objektiva i okulara. *

Crtež 9.26.

202

Objektiv ima malu žarišnu daljinu i predmet se smješta lijevo od žarišta objektiva tako da se dobije uvećan realan i obmut lik. Ovaj lik se promatia okularom koji je postavljen tako da daje virtualan uvećan lik predmeta. Konačno ovaj virtualni lik se u oku pretvara u realan lik koji pada na mrežnjaču oka. Da bi se zadovoljio ovaj uslov, realni lik dobijen prelamanjem na objektivu treba da pada između žarišta okulara i tjemena okulara. Ukupno uvećanje mikroskopa, definira se kao odnos tangensa ugla

0, pod kojim bi oko bez mikroskopa vidjelo predmet na daljini jasnog vida (25 cm). Neka je h x visina predmeta, a h2 visina njegovog lika kojeg formira objektiv. Tada je: .

k

tg
f

K

tg v =

~r ~,

S fdk gdje j e ^ žarišna daljina okulara. Ukupno uvećanje mikroskopa iznosi: u

tgtp _ h j tg 9 o

fh

s

(9.65.)

/<* '

Pošto je h-Jhx poprečno uvećanje a , koje daje objektiv a 25lfA kutno uvećanje koje daje okular, ukupno uvećanje u tada je jednako proizvodu poprečnog (lineamog) uvećanja objektiva i kutnog uvećanja okulara. u = a • y.

(9.66.)

D urbin (teleskop) je optički instrument koji radi na istom principu kao i mikroskop, sa razlikom što se predmet nalazi daleko od objektiva. Zrake na objektiv padaju pod malim kutom, tako da se slika dalekog predmeta formira u žarištu objektiva i ona je obmuta i realna, crt. 9.27.

203

Okular se koristi kao lupa kojom gledamo realnu sliku predmeta što ga stvara objektiv u svom žarištu. Zbog toga kroz okular vidimo obmutu uvećanu i virtualnu sliku predmeta. Ukupno uvećanje durbina je: u

9.4.

tg
/°b

lg
/<*

(9.67.)

I N T E R F E R E N C IJ A S V J E T L O S T I

9.4.1. Interferencija svjetlosnih valova Neka dva vala istih frekvencija, koji se superponiraju jedan na drugi, pobuđuju u nekoj točki prostora oscilacije istog smjera: cos(©/ + CPj)

^9 6g )

X2= ^ 2 cos(cot +
(9.69.)

Možemo zaključiti prema relaciji (9.10.) da je intenzitet svjetlosti pri slaganju nekoherentnih valova jednak sumi intenziteta pojedinih valova: / = / , + /2.

(9.70.)

U slučaju koherentnih valova cos(cp2 - cpj ima konstantnu vrijednost u vremenu ali različitu za svaku točku prostora, pa je: / = /, + / 2 + U onim točkama prostora za koje je:

204

cos((p2 - (p,) .

(9.71.)

cos(cp2- cp,)>0; />/,+/2 cos(cp2- cp,)<0; /
205

različite optičke putove, a zatim se opet sretnu u točki P, pojavit će se na zaklonu (ekranu) slika interferencije. Do točke P prvi val pređe u sredini sa indeksom prelamanja n, put s„ a dmgi val u sredini n2 pređe p u r j 2. Ako je u točki S faza osciliranja
/-A )

a dmgi val oscilacije sa kašnjenjem t^ = s-Jv2. ( 'Pj = ^2 cosco t - -

\ gdje su v, = c/n, i v2 = c/n2 fazne brzine prvog i dmgog vala. Razlika u fazi valova koji pobuđuju osciliranje u točki P, bit će jednaka: 8 = co

.J2. = - ( n 2s2 - n 1s,). viJ c

(9.72.)

Zamijenimo
f gdje je X valna đužina u vakuumu. Izraz c X za faznu razliku dobiva slijedeći oblik:

5 = y A'

(9 7 3 )

gdje je: A=

-L ^ -L ^

(9.74.)

jednaka razlici optičkih dužina putova što obično zovemo optička razlika putova. n Iz formule (9.74.) se vidi da ako je optička razlika putova jednaka cijelom broju valnih dužina u vakuumir A = ±zX (z = 0,1,2,...),

(9.75.)

onda je fazna razlika 8 jednaka višekratniku od 2ji i oscilacije koje izazivaju oba vala u točki P imat će istu fazu. Prema tome relacija (9.75.) zadovoljava uvjet za interferencioni maksimum. Ovaj slučaj nazivamo još i konstruktivna interferencija. Ako je razlika optičkih putova jednaka polucijelom broju valnih dužina u vakuumu: A = + (z + i j x

206

(z = 0,1,2,...)

(9.76.)

tada se oscilacije u točki P nalaze u protufazi i to predstavlja uvjet za interferencioni minimum. Ovakva interferencija naziva se destruktivna interferencija. Promatrajmo dva koherentna izvora 5, i S2, crt. 9.29

Oblast u kojoj se valovi prekrivaju naziva se polje interferencije. U toj oblasti opažaju se naizmjenično mjesta sa maksimumima i minimumima interferencije, koji u slučaju cilindričnih valova imaju oblik naizmjeničnih svijetlih i tamnih pruga. Da bismo izračunali širinu pruga interferencije pretpostavimo da je ekran paralelan s ravni koja prolazi kroz izvore 5, i S2- Položaj točke na ekranu obilježimo sa x. Uzmimo da izvori osciliraju istom fazom, tj. da su koherentni. Sa crteža 9.30. slijedi da je:

odakle dobivamo: =

(9-7 8 >

Da bismo dobili razlučivu sliku interferencije potrebno je da bude rastojanje između izvora d znatno manje od rastojanja od izvora do zaklona /. Rastojanje x, unutar kojeg se obrazuju pruge interferencije također je znatno

207

manje od /. Pri ovim uvjetima može se uzeti da je s, + s2 « 21. U sredini sa indeksom prelamanja n = 1, razlika s2 - s x predstavlja razliku optičkih putova A. Dakle, može se pisati: A=

(9.79.)

Uvrštavanjem uvjeta (9.75.) i (9.76.) u (9.79.) dobit ćemo vrijednosti x koje odgovaraju maksimumu, odnosno minimumu intenziteta: /, (z = 0,1,2,...)

-=±H x■

(9.80.)

);7

■» Rastojanje između dva susjedna minimuma intenziteta zove se širina pruge interferencije. Iz relacija (9.80.) slijedi da je širina pruge interferencije jednaka: Ax = -^X.. (9.81.) d Iz jednadžbe (9.81.) viđimo da bi interferenciona slika bila jasna, potrebno je da bude ispunjen gomji uvjet, tj. d « /. Iz relacije (9.81.) možemo odrediti valnu dužinu svjetlosti, mjerenjem širine pmge interferencije uz poznate / i d. Obmuto, ako je poznata valna dužina, može se odrediti mala vrijednost udaljenosti d. Upravo iz eksperimenata interferencije svjetlosti bile su određene valne dužine za svjetlosne zrake različitih boja.

208

9.4.2. Interferencija svjedosti na tankim listovima Blistave boje koje se često zapažaju prilikom odbijanja svjetlosti od mjehura sapunice ili tankog sloja ulja koje pliva po vodi, podču od interferencije dva svjetlosna vala, odbijena od suprotnih površina tankog sloja sapunice ili ulja. Pri upadu svjetlosnog vala na tanku providnu pločicu ili mjehurić, dolazi do odbijanja od obje površine pločice. Kao rezultat toga nastaju koherentni svjetlosni valovi, koji mogu interferirati. Neka na providnu planparalelnu pločicu pada paralelan snop svjetlosti, predstavljen jednom zrakom, crt. 9.31. Ploča ođbija dva koherentna paralelna snopa svjetlosti, od kojih se jedan obrazuje na račun odbijanja od gomje površine, a drugi uslijed odbijanja od donje površine. Zraka pri ulazu i izlazu iz ploče se prelama prema zakonu

prelamanja. Zrake koje nastaju uslijed višestrukog odbijanja možemo zanemariti, uslijed slabog intenziteta. Povucimo normalu na zrake (1) i (2) ravan AB. Na putu do te ravni zrake (1) i (2) prave razliku u optičkoj dužini puta. Prema tome, optička razlika puta bit će jednaka: A = 71*2-7105,,

(9.82.)

209

gdje je s, dužina odsječka OA, s2 zbir dužina OC + CB, n - indeks prelamanja ploče i n0 - indeks prelamanja sredine koja okružuje ploču (obično se uzima da je to zrak, n0 » 1). Iz crteža 9.31. slijedi da je: 2b s, = 2£tgP sin a ; s2 = — - , cosp gdje je b - debljina pločice. Uvrstimo ove izraze u (9.82.) dobit ćemo: A = - ^ - - 2b tg p sina. (9.83.) cosP Uvođenjem zamjene, sina = n sinP i uzimajući u obzir da je sin2p = l-cos2p, relacija (9.83.) može se dovesti u oblik: A = 2bn cosp.

(9.84.)

Uzimajući u obzir da je: ncosP = -Jn2 - n 2sin2p = - W - sinJ a optička razlika putova može se izraziti preko upadnog ugla a: A = I b ^ n 1 - s i n 2a .

(9.85.)

Pri izračunavanju fazne razlike 8 između oscilacija u zrakama (1) i (2) osim optičke razlike putova treba uzeti u obzir slijedeće. Pri odbijanju svjetlosnog vala od granice koja dijeli optički tjeđu od optički gušće sredine (odbijanje u točki O) feza osciliranja svjetlosnog vektora (vektor E ) trpi promjenu od n. Pri odbijanju od granice koja dijeli optički gušću od optički rjeđe sredine (ođbijanje u točki C) do takve promjene u fezi ne dolazi. Lz tog razloga između zraka (1) i (2) nastaje dopunska razlika feza, jednaka n. Ona se može uzeti u obzir ako se na A doda ili oduzme polovina valne dužine u vakuumu. Tako, da konačna razlika u optičkoj dužini puta iznosi: A = 2 b jn 2 - s in 2a - —.

2

(9.86.)

Ako na put zrakama (1) i (2) postavimo sabimu leću one će se sastati u jednoj točki žarišne ravni leće gdje će interferirati. U praksi leća nije uvijek potrebna jer je teško dobiti potpuno paralelne zrake, a ni pločica nije apsolutno paralelna. Rezultat interferencije zavisi od optičke razlike putova, A. Za A = zk dobivaju se maksimumi, a za A = (z + 1/2)X minimumi intenziteta (z = 0,1 ,2 ...). Uvjet za maksimum intenziteta može se napisati i u obliku:

(9.87.) Ako je tanka planparalelna ploča osvijetljena monokromatskom svjetlošću, čije zrake imaju različite upadne kutove, to svakoj vrijednosti upadnog kuta odgovara određena vrijednost razlike optičkih putova A. Interferenciona slika koja se dobiva u žarišnoj ravni jedne sabime leće postavljene na put svjetlosnog vala, predstavlja naizmjeničan niz tamnih i svijetlih pruga, od kojih svaka odgovara određenoj vrijednosti upadnog kuta. Otuda i njihov naziv pruge Istog nagiba. Ako se planparalelna ploča osvijetli paralelnim snopom bijele svjetlosti pruge interferencije će biti obojene. Međutim, do interferencije će doći samo na veoma tankim slojevima, čija debljina ne prelazi 0,01 mm. Za praksu je mnogo značajnija interferencija pri ođbijanju svjetlosti od providnog klina, pri čemu se javljaju tzv. pruge iste debljine. Ako na ploču koja ima oblik tankog klina sa uglom pri vriiu 0, pada paralelan snop monokromatske svjetlosti, i to normalno na donju površinu, gomja površina je osvijetljena paralelnim svijetlim trakama boje upadne svjetlosti, koje su međusobno razdvojene tamnim oblastima, crt. 9.32.

Citež 9.32.

Da bismo objasnili interferenciju svjetlosti na prozračnom klinu, promatrajmo c rt 9.33. Od svih zraka koje padaju normalno na donju površinu klina promatrajmo samo one koje odgovantju dvjema susjednim svijedim pmgama na rastojanju L u točkama A i B. Pošto svijetla pmga odgovara slučaju konstruktivne interferencije (maksimum), to se odgovarajuće putne razlike, za male kutove, sa dovoljnom točnošću mogu odrediti prema relacijama (9.86.).2 2

(9.88.)

AB =2nc/2- y = (z + l)X, gdje su dt i d2 debljine klina na mjestima A i B. 211

Kako ove pruge nastaju interferencijom reflektiranih zraka na mjestima iste debljine klina, to se ove interferencione pruge nazivaju pruge iste debljine. Rastojanje između praga možemo odrediti prema crtežu: 2’

l'

2

L

Crtež 9.33.

tg0 = đ l — i . odnosno L = ———

6

L

8

(9.89.)

Iz relacije (9.88.) dobivamo, oduzimanjem đruge jednadžbe od prve, da je (9.90.) i zamjenom u (9.89) dobiva se da je razmak između svijetlih pmga jednak: (9.91.) Pošto se rastojanje L može lako mjeriti to se uz poznate n i X može ođrediti sa dosta točnosti vrijednosti malih kutova 0.

9 .4 3 . Newtonovi prstenovi Karakterističan primjer pruga jednake debljine predstavljaju tzv. Newtonovi prstenovi. Oni se dobiju kada se promatra ođbijena svjetlost ođ planparalelne staklene ploče na koju je stavljena ptankonveksna leća velikog radijusa. Ulogu tanke opne (sloja) od čije se površine ođbijaju koherentne zrake, ima zračni sloj između ploče i leće, crt. 9.34. Pri okomitom upadu svjetlosti, prage jednake debljine imaju oblik koncentričnih krugova, pri nekom upadnom kutu oblik elipsi. 212

r

Nađimo rađijuse Newtonovih prstenova koji se dobivaju pri okomitom upadu svjetlosti na ploču. U tom slučaju cosp « 1 pa je prema (9.84.) optička razlika putova jednaka dvostrukoj debljini zračnog sloja i ako dodamo još X!2 na račun promjene faze pri odbijanju od optički gušće sredine (staklena ploča) imamo: A= 2i + | .

(9.92.)

R2 = ( R - b f + r l = R1- 2 R b + bl + r2,

(9.93.)

Iz crteža 9.34. slijedi da je:

gdje je R - radijus krivine Ieće, r-ra d iju s kruga, kojem odgovara ista debljina sloja b. Zbog male debljine b možemo zanemariti kvadratni član h2 u usporedbi s 2Rb. Iz (9.93.) slijedi da je: (9.94.) * - s Uvrštavanjem (9.94.) u (9.92.) dobivamo da je razlika optičkih putova jednaka: -2 X A = — + —. R 2

(9.95.)

U točkama za koje je A = zX = 2 z — , javit će se maksimumi, a u točkama / i\ x 2 za koje je A = l z + —jA. = (2z + l)—, minimumi intenziteta. Oba ova uvjeta mogu se ujediniti u jedan: (9.96.)

A = m XT2

J

.

213

pri čemu će pamim vrijednostima m odgovarati maksimumi, a nepamim minimumi intenziteta. Uvrštavanjem u ovaj uvjet izraza (9.95.) i iješavanjem dobivene jednadžbe po r, dobivamo radijuse svijetlih i tamnih Newtonovih prstenova: (9.97.) Pamim m odgovaraju radijusi svijetlih prstenova, nepamim m - radijusi tamnih prstenova. Vrijednosti m = 1 odgovara r = 0, tj. dodima točka ploče i leće. U toj točki nastaje minimum intenziteta radi promjene faze za j i pri odbijanju svjetlosnog vala od ploče.

9.4.4. Primjena interferencije. Interferometri Već smo vidjeli da se interferencija svjetlosti može iskoristiti za mjerenje malih uglova koje obrazuju dvije ravni. Pored toga interferencija svjetlosti može se primijeniti za mnoga dmga precizna mjerenja kao što su: • mjerenje malih dužina, • ispitivanje kvaliteta površina, • mjerenje malih promjena dužina. Pmge jednake debljine mogu se koristiti za mjerenje dužine reda mikrometra. Naime, ako dvije ravne površine obrazuju zračni klin onda će se kao što smo vidjeli u ođbijenoj svjetlosti pojaviti pmge jednake debljine u obliku pravih, međusobno paralelnih pmga. Pomjeranjem interferentne slike za jednu pmgu, đebljina klina na danom mjestu izmijenit će se za veličinu (9.90.). Pri pomjeranju interferentne slike za k pruga, promjena debljine bit'će jednaka: 2n

k = 1,2,...

(9.98.)

Pošto je valna dužina vidljive svjetlosti reda veličine 5xl0‘7 m, to se pomjeranjem interferentnih pmga može mjeriti debljina reda 10‘7 m. Ova metoda se može koristiti za precizno mjerenje toplotnog koeficijenta širenja čvrstih tijela, kada su uzorci malih dimenzija Za ova mjerenja koristi se tzv. interferentni dilatometar, crt. 9.35. Uređaj se sastoji od valjka (1), koji je napravljen od kvarcnog stakla koje ima mali koeficijent širenja. Na valjku leži staklena ploča (2) sa ravnim površinama. U valjak se stavlja ispitivano tijelo (3) čije su gomja i donja površina dobro izglačane. Tijelo se postavlja tako da se između njegove gomje

214

površine i staklene ploče obrazuje tanki zračni klin. Pri osvjetljavanju uređaja odozgo zapažaju se pruge jednake debljine. Pri zagrijavanju uređaja, uslijed razlike u toplotnim koeficijentima širenja tijela i kvarcnog valjka, mijenja se debljina zračnog sloja i dolazi do pomjeranja interferentnih pruga. Iz ovoga se može izmjeriti promjena dimenzija tijela odnosno odrediti njegov toplotni koeficijent. Crtež 9J5.

Interferentna metoda može se koristiti također za mjerenje malih promjena đužina, izazvanih raznim uzrocima: mehaničkim istezanjem, savijanjem i dr. Interferometrijskim metodama može se vršiti kontrola obrade uglačanih površina. Ova metoda ima veliku primjenu u mašinstvu, za kontrolu stupnja hrapavosti površina raznih metalnih proizvoda ili u optičkoj industriji za kontrolu ravne površine ogledala i sferičnosti leća. Pri ovim mjerenjima može se postići točnost od polvine valne đužine primijenjene svjetlosti. Ovakva ispitivanja vrše se pomoću staklene planparalelne ploče (optički kontrolnik) visokog kvaliteta, čija jedna površina ne odstupa od idealne geometrijske ravni više od 1/20 valne dužine upotrijebljene svjetlosti. Ispitivana površina stavlja se uz optički kontrolnik (etalon) tako da se među njima obrazuje tanak zračni sloj, crt. 9.36. Pri osvjetljavanju uređaja odozgo zapažaju se pruge jednake debljine. Ako su obje površine idealno ravne, pruge će biti međusobno paralelne i pravilne, crt. 9.37a. Svako odstupanje od ravni dovodi do iskrivljavanja interferencionih praga, c rt 9.37b i c. Analizom oblika i razmaka pruga može se procijeniti odstupanje površine od željenog oblika. Interferom etri su mjerni uređaji zasnovani na principu interferencije svjetlosti. Jedan od najpoznatijih interferometara je Michelsonov interferom etar. Na crt. 9.38. prikazana je shema Michelsonovog interferome-

215

a.

b.

c.

Crtež 9.37.

tra. Snop svjetlosti iz izvora S pada na polupropusnu ploču PP koja je presvučena tankim slojem srebra. Polovina upadnog snopa odbija se od ploče PP u smjeru zrake (1), a polovina prolazi kroz ploču u smjeru zrake (2). Snop (1) se odbija od ogledala O, i vraća prema PP, djelomično prolazi kroz ploču i obrazuje snop (1 ’). Snop (2) poslije odbijanja od ogledala 0 2 vraća se prema ploči PP gdje se jednim dijelom odbija i čini snop (2’). Snopovi ( l ’) i (2’) su koherentni i imaju isti intenzitet Rezultat interferencije tih snopova zavisi

216

od optičke razlike putova od ploče PP do ogledala O, i 0 2. Zraka (2) prelazi debljinu ploče PP tri puta, a zraka (1) jedan put. Da bismo kompenzirali tu razliku, na put zrake (1) postavlja se ploča P x iste debljine ali bez srebra. Interferenciona slika promatra se durbinom D. U slučaju pomjeranja ogledala O, ili 0 2, dolazi do pomjeranja pruga interferencije. Pomjeranje pruge iz svog prvobitnog položaja na mjesto prve susjedne pruge uvjetovano je pomjeianjem ogledala 0 2 za polovinu valne dužine. Vidimo da se postupkom interferencije, mogu sa velikom točnošću, porediti velike dužine (red veličine metra) sa valnom đužinom svjetlosti. Da bi izmjerio standardni metar (etalon) Michelson je koristio crvenu kadmijevu liniju. Mjerenje sa sastoji u slijedećem postupku. Ogledalo 0 2 pomjera se duž odsječka etalona (10 cm) a u vidnom polju prolaze pruge interferencije koje treba prebrojati. Ovakvo mjerenje predstavlja jedno od najpreciznijih mjerenja koje je ikad izvršeno u fizici. Michelson je našao da dužini od jednog metra odgovara 1 553 163,5 valnih dužina crvene kadmijeve linije. Konačno, 1960. godine Međunarodna konferencija za mjere i tegove donijela je odluku da se za osnovnu jedinicu dužine uzme narandžasta linija izotopa kriptona Kr86, koja odgovara prijelazuna između nivoa 2p10 i 5d5. Prema ovoj definiciji jednom metru odgovara: Im = 1 650 763,73 • X (Kr86). Zahvaljujući razvoju stabilnih lasera čija relativna nesigumost iznosi ±l,3xlO '10 i ova definicija je 1983. godine na 17. Konferenciji za nrjere i tegove (CGPM), da bi se povećala točhost jedinične đužine (metra), zamijenjena i sada glasi: M etar je dužina putanje koju svjetlost pređe za vrijem e od 1/299 792 458 dio sekunde.

9.5. DIFRAKCUA SVJETLOSTI Ako se između točkastog izvora S i zaklona Z postavi neki neprovidni predmet, to bi prema zakonima geometrijske optike na zaklonu morala postojati oštra granica između dijela koji je homogeno osvijetljen i dijela iza predmeta u koji svjetlost (ako se prostire pravolinijski) ne stiže. Dakle, prema geometrijskoj optici postojala bi oštra granica geometrijske sjenke i osvijetljenog dijela zaklona. Međutim, eksperiment pokazuje da se izvjesna, mala količina svjetlosti “savija” oko ivice predmeta i ulazi u oblast geometrijske sjenke. Zavisnost intenziteta osvjetljenosti od udaljenosti od ivice geometnjske sjenke dana je na crtežu 9.39. Ako je intenzitet osvjetljenosti koji se dobije

217

Geometrijska sjenka

Zaklon

Prepreka

bez prepreke /„ vidimo da intenzitet osvjetljenosti u oblasti geometrijske sjenke postepeno opada težeći nuli a desno od ove granice intenzitet ima niz maksimuma i minimuma. Intenzitet difrakcije ovisi od dimenzija prepreke i valne dužine. Pri valnoj dužini koja je usporediva sa dimenzijama prepreka, kao što je slučaj sa zvučnim valovima, difrakcija/e intenzivna i lako uočljiva. Zvuk se čuje iza stupova ili iza ugla zgrade, a zVučni valovi “obilaze” prepreke jer je valna dužina zvučnih valova reda veličine nekoliko metara, tj. reda veličine prepreka. Međutim, kod svjetlosti valne dužine su mnogo manje, reda veličine mikrometra, pa se difrakcija teže uočava i slabije manifestira. Razlikujemo dva slučaja difrakcije: Fresnelova (Frenelova) difrakcija i Fraunhoferova difrakcija. Fresnelova difrakcija nastaje onda kada se svjetlosni izvor i zaklon nalaze na konačnom rastojanju od prepreke. Zrake koje stižu do zaklona nisu paralelne i za promatranje slike difrakcije nisu potrebni optički instrumenti. Fraunhoferova difrakcija, predstavlja difrakciju paralelnih zraka, i nastaje kada su svjetlosni izvor i zaklon beskonačno uđaljeni od prepreke na kojoj nastaje difrakcija. Za promatranje Fraunhoferove diftakcije potreban je optički sistem.

9.5.1. Huygens-Fresnelov princip Pojava difrakcije valova može se objasniti pomoću Huygensovog principa, ali Huygensov princip ne daje nikakve podatke o amplitudi odnosno intenzitetu svjetlosti. Ovaj nedostatak je otklonio Fresnel koji je dopunio Huygensov princip, interferencijom sekundamih valova. Prema tome Huy-

218

gens-Fresnelov princip glasi: “Svaka točka do koje dolazi valno kretanje postaje izvor novih sekundarnih valova, koji interferiraju. Računajući am plitude i faze ovih sekundarnih valova može se naći am plituda rezultujućeg vala u bilo kojoj točki prostora.” Neka S predstavlja jednu od valnih površina svjetlosti koja se prostire od nekog izvora. Amplituda svjetlosnih oscilacija u točki P, koja leži ispred te površine može da se nađe prema Fresnelu na osnovu slijedećeg razmatranja. Svaki element površine predstavlja izvor sekundamih sfemih valova, čija je amplituda proporcionalna veličini elementa dS. Kao što znamo, amplituda sfemih valova opada sa rastojanjem r od izvora, prema zakonu 1fr. Znači u točku P dolaze od svakog elementa valovi koji se mogu opisati jednadžbom: )^cos(
(9.99.)

gdje je (cot + a^) faza osciliranja na mjestu položaja valne površine S, k - valni broj, A0 - amplituda. Koeficijent proporcionalnosti K((p) opada pri povećanju kuta t-k r+ a B)d S .

(9.100.)

Relacija (9.100.) predstavlja analitički izraz za Huygens-Fresnelov princip. Ovaj račun u općem slučaju je jako težak. Međutim za simetrične slučajeve nalaženja amplitude može se dobiti prostim algebarskim sumiranjem. Ako su izvor svjetlosti i promatrana točka P postavljeni od prepreke tako da zrake koje padaju na prepreku i zrake koji idu u točku P, obrazuju praktično paralelne snopove onda se radi o Fraunhoferovoj difrakciji ili difrakciji paralelnih zraka. U suprotnom slučaju radi se o Fresnelovoj difrakciji. Da bismo promatrali Fraunhoferovu difrakciju potrebno je iza izvora svjetlosti 5 i ispred promatrane točke P postaviti leće tako da’ se točke S i P nađu u žarišnoj ravni odgovarajuće leće.

219

9.5.2. Fresnelove zone Primijenimo Huygens-Fresnelov princip za nalaženje amplitude svjetlosnog osciliranja, koje sc pobuđuje u točki P sfemim valovima koji se prostiru u homogenoj sredini iz točkastog izvora S. Valna površina takvog vala simetrična je u odnosu na pravu SP. Fresnel je podijelio valnu površinu na prstenaste zone tako da se rastojanje od krajeva svake zone do točke P rtzlikuje za X/2, crt. 9.41. Rastojanje bm od vanjskog kraja m-te zone do točke P može se izraziti na slijedeći način: K = b +m j

(9.101.)

gdje je b rastojanje od tjemena valne povržine do točke P. Osciliranja koja dolaze u točku P, sa analognih tačaka dviju susjednih zona, nalaze se u protufazi. Zato će se rezultirajuće osciliranje razlikovati za it.

Da bismo ocijenili amplitudu osciliranja treba naći površinu zone. Površina m-te zone može se predstaviti u obliku: ^ . =^ -^ -1 , gdje su Sm i Sm_i površine sfemih segmenata zone m i (m-l). 220

(9.102.)

Iz crteža 9.42. slijedi: rl = a l ~ {a ~ K f ^ { b + ’^

~{b + h j >

(9.103.)

gdje je a polumjer valne površine, rm polumjer vanjske granice m-te zone. Ako se ograničimo na male m možemo zanemariti član uz X2, radi male vrijednosti X. Uz ovu aproksimaciju imamo:

K=-

2 ( a + i)

2{a+b)

(9.104.)

Povišina sfemog segmenta jednaka je, S = 2nRh (R — polumjer sfere, h — visina segmenta). Prema tome, u našem slučaju unamo da je površina sfemog segmenta jednaka: ™b Sm =2nah„ = ------mA., a+ b

(9.105.)

a površina Fresnelove m-te zone je: AS "

(9.106.) a+ b

Dobiveni izraz ne zavisi od m. To znači da su za ne suviše velike m površine Fresnelovih zona približno jednake. Izvršimo procjenu polumjera Fresnelovih zona. Prema (9.103.) i uz uvjet da je hm« a , polumjeri Fresnelovih zona su: 221

rm

l a +b

(9.107.)

Uzmimo za primjer da je a = b= lm, X = 0,5 pm, onđa se za polumjer prve zone dobije vrijednost r, = 0,5 mm. Polumjeri slijedećih zona rastu kao ■Jm. Vidjeli smo da su površine Fresnelovih zona približno iste. Rastojanje bm od zone do točke P lagano raste sa m po lineamom zakonu. Kut

jc/2, tako da amplituda Am i dalje opada. Prema svemu ovome možemo zaključiti da amplitude osciliranja koje pobuđuju Fresnelove zone u točki P čine monotono opadajući niz: (9.108.) Faze osciliranja koje pobuđuju susjedne zone razlikuju se za n. Zbog t°ga amplituda A rezultanmog svjetlosnog osciliranja u točki P može da se nađe algebarski. Sve amplitude od nepamih zona ulaze sa jednim predznakom, a od pamih sa dmgim: A = Aj —A2 + A} —A4 +...

(9.109.)

Ovaj izraz možemo napisati i đmgačije:

Radi monotonog opadanja, Am se može pisati: j

_ 4 -i +

2

(9.111.)

Pri ovom uvjetu izrazi u zagradama bit će jednaki nuli pa dobivamo aproksimativni rezultat: (9.112.) Dobiveni rezultat pokazuje da je amplituda stvorena u nekoj točki P sfeme valne površine jeđnaka polovini amplitude koju stvara samo centralna zona. Dmgim riječima djelovanje cijele valne površine jeđnako je djelovanju polovine centralne zone. Ako na put svjetlosnih valova postavimo neprovidan zastor sa otvorom, koji ostavlja otvorenu samo centralnu zonu, amplituda u točki P bit će jednaka 222

A }, tj. dva puta veća od amplitude kad nema prepreke lzmeđu S i P. U tom slučaju intenzitet svjetlosti u točki P bit će četiri puta veći i možemo smatrati da se svjetlost prostire kroz uski kanal pravolinijski.

9.5.3. Fresnelova difrakcija na kružnom otvoru Postavimo na put sfemom valu neprovidnu pregradu na kojoj je napravljen okrugao otvor polumjera r0, crt. 9.43.

Citež 9.43.

Na ravnom zaklonu pojavit će se difirakciona slika sa svijetlim i tamnim poljima koja će se naizmjenično smjenjivatr, u zavrsnosti od toga kojem broju Fresnelovih zona odgovara otvor na pukotini. Ako je otvor veličine prve Fresnelove zone na zaklonu se dobiva svijetla mrlja, naizmjenični svijetli i tamni prstenovi u tom slučaju neće se pojaviti. Prema relaciji (9.107.), za male vrijednosti r0 u odnosu na a i b, imamo: (9.113.) U suglasnosti sa (9.109.) amplituda osciliranja u točki P bit će jednaka: A = A , - A 2 + A3- A 4 + ...± A m.

(9.114.)

223

U ovom izrazu amplituda Amuzima se sa znakom plus ako je m nepamo i sa znakom minus ako je m pamo. Relacija (9.114.) može se pisati na stijedeći način:

(m - nepamo)

(9.115.)

*

(m -pam o). Kao što je pokazano ranije izrazi u malim zagradama mogu se izjednačiti sa nulom. Amplitude dvije susjedne zone malo se razlikuju po veličini. Zbog toga se može uzeti da je: (9.116.) Kao rezultat dobiva se da je: 4 =4 .± 4 l

2

2

(9.117.)

gdje je znak plus za nepame m, a znak mmus za pame m.

9.5.4. Fraunhoferova difrakcija Neka snop paralelnih zraka monokromatske svjetlosti pada na neprovidnu pločicu na kojoj se nalazi uska pukotina, c rt 9.44. Ako je širina pukotine reda veličine valne dužine svjetiosti, na zaklonu koji je udaljen dovqljno daleko pojavit će se difiakciona slika i bez leće između pukotine i zaklona. Promatrajmo tri karakteristična zraka, koji prema Huygensovom principu skreću za kut 0. Ako je putna raziika između zraka (1) i (2) jednaka polovini valne dužine, valovi koji stižu u točku B su u protufazama, pa dolazi do destruktivne interferencije. Može se lako vidjeti da svakoj zraci koja pada unutar gomje polovine pukotine odgovara jedna zraka u donjoj polovini sa kojom je u protufazi. Ukupni rezultat slaganja u točki B jeminimmn intenziteta svjetlosti pod uvjetom da je: (9.118.) odnosno, d sin0 = ±zX , z = 1,2,3,...

224

(9.119.)

gdje je d - širina pukotine. Minimum intenziteta nalazi se također u simetričnoj točki C. Za x < /, sin0 * xll pa je širina centralne svijetle pruge jednaka:

i i |

ČB = 2 / ^ . (9.120.) d Vidimo da je centralna svijetla pruga upravo proporcionalna valnoj dužini a obmuto proporcionalna širini pukotine. Relacija (9.120.) predstavlja kvantitativan kriterij granica važenja geometrijske optike. Ako je širina lika koji se dobije na zaklonu pomoću snopa paralelnih zraka jednaka širini pukotine (CB = d), tada uvjet važenja geometrijske optike možemo napisati kao: d z J m .

(9.i2i.)

Odavde slijedi da će difrakcija biti posebno izražena u slučaju kad je: d < j2 lk .

(9.122.)

Znači, uvjet (9.122.) predstavlja kriterij za valnu optiku. Uzmimo za primjer zelenu svjetlost X = 500 nm, i pukotinu d = 0,5 mm. Na zaklonu koji je udaljen / = 1 m, dobit ćemo difrakcionu sliku jer je:

■Jllk =10_3m> d .

j

Dosadašnje razmatranje nam daje samo položaj minimuma intenziteta u difrakcionoj slici, ali nam ništa ne govori o tome kako se mijenja intenzitet

.

2%5

o

/

p

Crtež 9.45.

od točke do točke, tj. ništa ne znamo o veličini amplitude rezultujućeg svjetlosnog vala. Da bismo izračunali ampiitudu valova u bilo kojoj točki na zaklonu, izdijelimo valnu frontu koja prolazi kroz pukotinu na infinitezimalne pruge iste širine dx kao na crt. 9.45. Od svake pruge šire se sekundami valovi. Osciliranje u točki P izračunava se primjenom principa superpozicije, uzimajući u obzir sve valove koji stižu od pukotine. Sekundami val koji nastaje na visini x, prelazi veće rastojanje od sekundamog vala koji nastaje u sređini pukotine, za iznos xsin9. Ravni val koji potiče od prage širine dx na visini x, možemo predstaviti ^irema (9.99.) jednadžbom: d%=A cos(oa/- k x sin9)a!r,

(9.123.)

gdje je kx sin9, razlika u fazi u odnosu na centralnu pragu. Rezultirajuće osciliranje u točki P, dobije se integracijom po cijeloj širini pukotine: d (9.124.) 2

Jednadžba (9.124.) predstavlja analitički izraz za Huygens-Fresnelov princip. Integracijom u granicama od -dl2 do +d/2 dobije se:

226

^

AsinG sm[®/ _ * J sinej - sin^oi)/ + A ^ s in e j .

(9.125.)

Koristeći adicionu teoremu', relaciju (9.125.) možemo napisati u obliku: 7w/sin6 sin4 = Adcosco/.

(9.126.)

7t
Izraz u zagradi predstavlja amplitudu rezultujućeg vala i označimo je sa j® faza centralnog sekundamog vala: . 7K/sin6 sm---------X (9.127.) ndsinB Radi lakžeg pisanja uvedimo novu veličinu na slijedeći način: n d sin& z =— l — •

(9.128.)

Tada je amplituda rezultujućeg osciliranja u točki P dana sa: . sinz ^ = Ad-

(9.129.)

PoSto je intenzitet svjetlosti proporcionalan kvadratu amplitude, to je intenzitet osvjetljenosti u točki P jednak:

:Y Na crtežu 9.46. prikazan je grafikon veličine

(9.130.)

j u fun^ciji z j sjn0 .

U centru slike imamo maksimum intenziteta svjetlosti:

z=0, /=/„ i ^ L o , sin0=o, e= o. Minimume intenziteta dobivamo za z = 7t, 27t, 37i , ... tj.: 7t
2 ti, 7 = 0,

Tu/sine

= 27t,

sin6 = 2 —, itd.

1 sina-sinP = 2cos^-^sin^—£ 2

2 -

■ 227

Sekundami maksimum se nalazi približno na polovini između prvog i drugog minimuma, tj. kad je: 2- f ’ Slijedeći maksimum se dobiva za:

z*f- '-'•dJ-0'016'"

Vidimo da se difrakcioni maksimumi nalaze kad je zadovoljen uvjet: sin9 = 0, 3 —, 5 ^ , i t d .

2

2

dok se njihovi intenziteti odnose kao: / 2 :... = 1:0,045 :0 ,0 1 6 :... Centralni maksimum sadrži glavni dio svjetlosnog fluksa koji prolazi kroz pukotinu. Ako ravni svjetlosni val prolazi kroz kružni otvor malog promjera r, to će se na zaklonu pojaviti diftakciona slika predstavljena u obliku koncentričnih svijetlih i tamnih prstenova. Prvi tamni prsten nastaje prema 9.119.:

sin0 = U 2 - . 228

(9.131.)

9.5.5. Difrakciona rešetka Difrakcionom rešetkom naziva se skup velikog broja jednakih pukotina, koje su postavljene na međusobno istom rastojanju. Rastojanje d izraeđu sredina susjednih pukotina zove se konstanta ili period režetke. Znači, konstanta rešetke jednaka je širini pukotine i razmaku između dvije susjedne pukotine, d = a+b, crt. 9.47. Ako na difrakcionu rešetku (optička rešetka) pada ravni monokromatski val, tada svaka pukotina u rešetki proizvodi difiaktovani snop, u kojem je raspodjela intenziteta frmkcija širine pukotine. Ti difraktovani snopovi interferiraju, dajući konačnu sliku. Promatrajmo interferenciju N snopova, i to onih koji se prostiru pod uglom 0 na upadni pravac prostLranja. Putna razlika dva snopa koji potiču iz dvije susjedne pukotine iznosi prema c rt 9.47.: A = d sin 6

(9.132.)

pa je njihova fazna razlika: = — A = — d s in 0 . X X Za snopove za koje je 8 = ±m2n, tj. za koje je:

(9.133.)

d sin0 = ±mX (m = 0,1,2,...)

(9.134.)

6

valovi koji potiču iz pojedinih proreza pojačavaju jedan drugog. Amplituda rezultujućeg vala u promatranoj točki zaklona je: Anm = N A lt

(9.135.)

gdje j e A t amplituda vala koji dolazi iz jedne pukotine u pravcu pod uglom 0 . Relacija (9.134.) određuje položaje maksimuma intenziteta i to, tzv. glavne maksimume, a broj m određuje red glavnog maksimuma. Glavni minimumi intenziteta zadovoljavaju iste uvjete kao za jedan otvor (9.119.), i određeni su relacijom:

229

a s in 0 = ±zX z = 1,2,3,—

(9.136.)

Pored ovih minimuma određenih uvjetom (9.136.) između susjeđnih glavnih maksimuma u difrakcionoj slici rešetke s N pukotina, javlja se i /V-1, tzv. dopunski minimum. Oni odgovaraju pravcima u kojima se oscilacije od N pukotina međusobno poništavaju. Intenzitet glavnih maksimuma raste s povećanjem broja prolaza i to proporcionalno s N2. Ovaj rezultat dobije se kvađriranjem relacije (9.135.): A » = Af2/,.

' (9.137.)

Dakle, sa povećanjem broja N, glavni maksimumi postaju sve sjajniji i sve uži, dok su sekundami maksimumi sve slabiji. Difirakciona rešetka ima veliku praktičnu primjenu. Prema relaciji (9.134.) valna dužina monokromatske svjetlosti može se izmjeriti sa velikom točnošću. U spektroskopiji, difrakciona rešetka može zamijeniti prizmu kao uređaj za razlaganje svjetlosti. Naime, ako se rešetka obasja bijelom svjetlošću, dobiva se difrakciona slika u obliku niza spektara simetrično raspoređenih oko bijelog centralnog lika. Prema relaciji (9.134.) komponente bijele svjetlosti sa većim valnim đužinama, skreću za veće kutove 0. Tako je skretanje crvene svjetlosti najveće, ljubičaste najmanje, za razliku od prizme gdje je obmuto. Preciznost optičke rešetke zavisi od konstante rešetke, prema relaciji (9.134.). Konstanta rešetke treba da bude reda veličine valne dužine. Tako, rešetke koje se koriste za vidljivu svjetlost sadiže od 4000 do 1200 zareza po jednom centimetru. Optičke rcšetke prave se od stakla ili kvarcnih pločica, po čijoj se površini specijalnim dijamantskim noževima zarezuju paralelne pmge. Na mjestima zareza, uslijed hrapavosti površine, svjetlost ne prolazi. Pukotine predsta^jaju neoštećeni dijelovi pločice. Također, postoje i refleksione rešetke, koje se u suštini ne razlikuju od prozimih rešetki. One se dobivaju urezivanjem dijamantskim nožem.

9.5.6. Difrakcija X-zraka na kristalima Pri prolazu X-zraka kroz tijela, dolazi do rasipanja zračenja ovisno o kristalnoj strukturi. Ako na tijelo usmjerimo koherentan snop X-zraka, može nastupiti interferencija među odbijenim zrakama, pod uvjetom da su atomi u tijelu pravilno raspoređeni, kao što je to slučaj sa kristalima. Atomi u kristalima poredani su na pravilan način, tako da kristal može služiti kao trodimenzionalna di-

230

r

frakciona rešetka za elektromagnetsko zračenje valne đužine reda veličine međuatomskog razmaka ( 10*10 m). Ako X-ziake, čija je valna dužina upravo reda 10' 10 m, propustimo kroz tanku pločicu nekog kristala, na zaklonu postavljenom iza pločice, dobit ćemo difrakcionu sliku. Ovaj eksperiment je prvi put izvršen 1913. godine i potvrdio je valnu prirodu X-zraka. Od tada difiakcija X-zraka predstavlja jedno od najjačih omđa za istraživanje kristalne strukture raznih materijala. Da bismo objasnili difrakciju X-zraka na kristalima, zamislimo da je kristal uređen na taj način da predstavlja skup paralelnih ravni koje se nalaze na jednakim udaljenostima d. Ove ravni (kristalne ravni) prolaze kroz veliki broj atoma koji predstavljaju prepreke na kojima dolazi do pojave difrakcije. Kada snop X-zraka pada na kristal, od svake kristaine ravni reflektira se jedan dio upadnog zračenja, pod kutom, jednakim upadnom kutu (kao kod ogledala). Sekundami valovi se međusobno poništavaju osim onih za koje je putna razlika jednaka cjelobrojnom umnošku valne dužine. U tom slučaju, valovi odbijani od paralelnih ravni pojačavaju jedan dmgog i imamo konstruktivnu interferenciju. Na crt. 9.48. može se lako vidjeti da je putna razlika dva vala, koji se odbijaju od susjednih atomskih ravni, jednaka 2r/sin8. Prema tome pravci u kojima se dobivaju difrakcioni maksimumi treba da zadovoljavaju uvjet: 2
(9.138.)

gdje je d - rastojanje između susjednih ravni (međuatomsko rastojanje) 8 kut između upadnih zraka i kristalnih ravni i m - cio broj.

-

231

Relacija (9.138.) poznata je pod imenom Braggov zakon (Breg). Ova relacija daje mogućnost analize upadnog zračenja ako poznamo konstantu rešetke i položaj difrakcionih maksimuma ili uz poznatu valnu dužinu i snimIjen difraktogram možemo odrediti parametre rešetke. Na kristalnoj rešetki pored X-zraka moguće je dobiti i difrakciju gama zraka, elektrona, neutrona i drugih mikročestica.

4 9.6. POLARIZACIJA SVJETLOSTI 9.6.1. Prirođna i polarizirana svjetlost Kao što je već rečeno elektromagnetski valovi su transverzalni. Istovremeno, svjetlosni valovi ne pokazuju asimetriju u odnosu na pravac prostiranja zrake. To je uvjetovano time što je prirodna svjetlost sastavljena od oscilacija koje se vrše u najrazličitijim smjerovima koji su okomiti na zraku svjetlosti, crt. 9.49. Pošto je svjetlosni val sastavljen od velikog broja valnih nizova, koje ispuštaju pojedini atomi, ravan osciliranja za svaki niz, orijentirana je na slučajan način. Zbog toga su u rezultujućem valu oscilacije različitih smjerova predstavljene sa jednakom vjerojatnošću. Svjetlost kod koje su smjerovi oscilacija sređeni na neki način zove se polarizirana. Ako se oscilacije svjedosnog vektora vrše samo u jednoj ravni, svjetlost se zove ravno ili Iinearno polarizirana. Ravan u kojoj oscilira svjetlosni vektor (vektor jačine električnog polja E ), zove se ravan osciliranja. Radi povijesnih razloga kao ravan polarizacije nije nazvana ravan u kojoj oscilira vektor E , već ravan okomita na nju, c rt 9.50.

232

Ravno polarizirana svjetlost može se dobiti iz prirodne, pomoću instrumenata koji se zovu polarizatorl. Ovi instrumenti slobodno propužtaju oscilacije koje su paralelne sa ravni koju ćemo zvati ravan polarizatora, a potpuno zadižavaju oscilacije koje su okomite na tu ravan. Oscilacija sa amplitudom A koja se vrši u ravni koja obrazuje kut

A^ = y4cosq> Ax =y4sinq>.

(9.139.)

Komponenta koja je paralelna sa ravni polari. Ravan ! polarizatora zatora At{ proći će kroz instrument a dmga AL će biti zadržana. Intenzitet svjetlosti koji je prošao, proporcionalan je kvadratu amplitude A \ = /l 2cos2q>, tj. jednak je /cos 2q>, gdje je / - intenzitet oscilacija sa amplitudom A. Prema tome osciliranje koje je paralelno s ravni polarizatora nosi sa sobom dio intenziteta koji je jednak cos2q>. Kod prirodne svjetlosti sve su vrijednosti q>jednako vjerojatne. Zbog toga dio svjetlosti koja je prošla kroz polarizator bit će jednak srednjoj vrijednosti od cos2

kut između ravni osciliranja up>adne svjetlosti i ravni polarizatora. Prema tome, intenzitet propuštene svjetlosti određuje se tzv. Malusovim zakonom: / = / 0 cos2q>.

(9.140.)

Postavimo na put prirodne zrake svjetlosti dva polarizatora čije ravni obrazuju kut q>. Iz prvog polarizatora izaći će ravno polarizirana svjetlost intenziteta koji iznosi polovinu intenziteta prirodne svjetlosti 1^/2. Prema Malusovom zakonu iza drugog polarizatora izaći će svjetlost intenziteta: I = ^Ipr cos2^ .

(9.141.)

233

Za

9.6.2. Polarizacija pri odbijanju i prelamanju Ako upadni kut svjetlosne zrake koja pada na granicu dyije sredine indeksa prelamanja n, i n2 nije jednak nuli, odbijena i prelomljena zraka su djelomično polarizirane. U odbijenoj zraci preovladavaju oscilacije koje su okomite na upadnu ravan, te oscilacije ćemo označiti točkama, crt. 9.52. U prelomljenoj zraci dominiraju oscilacije koje su paralelne sa upadnom ravni i označene su dvostrukim strelicama.

Crtež 9.52.

•» Stupanj polarizacije zavisi od upadnog kuta. Za upadni kut koji zadovoljava uvjet: . tga 5 = /*2 „

(9.142.)

gdje je n21 indeks prelamanja druge sredine u odnosu na prvu, odbijena zraka je potpuno polarizirana. Stupanj polarizacije prijelomne zrakae, za upadni kut koji je jednak a # dostiže najveću vrijednost, ali ova zraka je djelomično polarizirana. Relacija (9.142.) naziva se Brewsterov (Bruster) zakon. Kut a B naziva se k u t potpune polarizacije ili Bretvsterov kut. Stupanj polarizacije odbijene i prelomljene zrake za različite upadne kutove dobiva se iješavanjem MaxwelIovih jednadžba, i ovdje nećemo ulaziti u detaljnu analizu.

234

9.6.3. Polarizacija pri dvojnom prelamanju Prilikom prolaska svjetlosti kroz neke optički anizotropne kristale zraka svjetlosti se dijeli na dva dijela. Ova pojava naziva se dvojno prelam anje. Prilikom đvojnog prelamanja jedna zraka zadovoljava običan zakon prelamanja (Snell) i leži u istoj ravni sa upadnom zrakom i normalom. Ova zraka se zove redovita (ordinarna) i označava se s (o). Druga zraka, koja se zove neredovita (ekstraordinarna) i označava se s (n), po pravilu ne leži u upadnoj ravni i za nju ne važi zakon prelamanja.

t

(o)

(a)

(o)

(«)

Citež 9.53.

Na ctr. 9.53. dana je grafička metoda konstrukcije valnog fionta redovitog i neredovitog prelomljenog vala i njima odgovarajućih zraka, pomoću Huygensovog principa. Njihove valne površine se nalaze kao ovojnice valnih površina sekundamih valova i određene su njihovim branam a Vidimo da su za redovne valove ove površine sfere, a za neredovan val imaju oblik elipsoida. Pojava dvojnog prelamanja zrake opaža se na svim providnim kristalima, izuzev kristala kubičnog sistema. Kod kristala kao što su: kvarc, kalcit, postoji pravac duž kojih se zraka prostire kao u običnoj izotropnoj sredini ne dijeleći se na dva dijela. Ovaj pravac naziva se optička osa kristala. Treba znati da optička osa nije neka određena prava linija, koja prolazi kroz zadanu točku kristala, već određeni smjer u kristalu. Bilo koja prava koja je paralelna tom smjeru, predstavlja optičku osu kristala. Redovita i neredovita zraka su potpuno p>olarizirane i uzajamno su okomite. Po izlasku iz kristala one se razlikuju samo u smjeru polarizacije, a nazivi redovan i neredovan imaju smisla samo unutar kristala.

235

Pošto se kroz kristal prostiru dva lineamo polarizirana vala sa uzajamno normalnim ravnima polarizacije, za izradu polarizatora, potrebno je na neki način jednu od ovih zraka eliminirati. U nekim kristalima jedna zraka se apsorbira jače od druge. Ova pojava se naziva dikromatizam. Veoma jak dikromatizam za vidljivu svjetlost posjeduje kristal turmalina. U njemu se redovita zraka praktično apsorbira na dužini od 1 mm. Slično svojstvo ima i polaroid (celuloiđni film) u koji je ugrađena velika količina jednako orijentiranih kristalića. Veliku primjenu za izrađu polarizatora ima tzv. Nicolova (Nikolova) prizma, crt. 9.54. Ona predstavlja prizmu od islandskog kalcita koja je rasječena po dijagonali i zalijepljena kanadskim balzamom, smolom čiji se indeks prelamanja nalazi između indeksa prelamanja redovite n0 i neredovite nn zrake, tj. n0> n> n„. Upadni kut je tako podešen da se redovita zraka na sloju balzama totalno reflektira i skreće van kristala, a neredovita zraka prolazi kroz taj sloj i izlazi iz prizme.

U zadnje vrijeme za izradu polarizatora sve više se koriste, polareidi, koji imaju niz pređnosti nad prirođnim kristalima, kao što je dikroizam i mogućnost izrade polarizatora velikih površina. Jedna vrsta polaroida dobiva se iz suspenzije malih kristala herapatita Qođkinin sulfat) u isparljivoj viskoznoj sredini. Pri protoku ovakve suspenzije kristalići se orijentiraju paralelno strujnicama toka. Kada se suspenzija stvrdne (ispari) dobije se tanak sloj velike površine (nekoliko đm2) koji ima potrebne karakteristike za izradu polarizatora.

9.6.4. Vještačko dvojno prelamanje (fotoelastičnost) Dvojno prelamanje može nastati i u provodnim izotropnim tijelima, a također i u kristalima kubičnog sistema pod utjecajem različitih djelovanja. Specijalno, ono nastaje pri mehaničkim deformacijama tijela. Kao mjera nas-

236

tale optičke anizotropije može poslužiti razlika indeksa prelamanja redovite i neredovite zrake. Ekspoimenti pokazuju da je ta razlika proporcionalna naponu a u danoj točki tijela, tj. sili na jedinicu površine: n0- n B = Aa,

(9.143.)

gdje je k - koeficijent proporcionalnosti, koji zavisi od svojstva materijala. Ako stavimo staklenu pločicu između ukrštenih polarizatora, koje obično nazivamo polarizator (P) i anallzator (A), crt. 9.55., dobili smo instrument za ispitivanje naprezanja. Kada se polarizator i analizator postave u “ukršten” položaj, tj. kada su im ravni polarizacije pod pravim kutom jedan prema drugom, kroz tu kombinaciju ne dolazi do propuštanja svjetlosti. Ali ako se između polarizatora i analizatora postavi dvolomni kristal, dolazi do prolaska određene količine svjetlosti kroz analizator. Tako vidno polje, koje je tamno dok nema kristala, postaje osvijetljeno kada se on umetne.

Neke tvari, kao što su staklo, celuloid i pleksi-staklo, koje inače nisu dvojno prelamajuće, postaju to, kada se podvrgnu mehaničkom naprezanju. Ako se staklena pločica koja se umetne između ukrštenih Nicola deformira silom F, svjetlost prolazi kroz sistem, pri čemu će promatrana slika biti išarana raznobojnim prugama. Svaka takva pruga odgovara jednako deformiranim mjestima pločice. Da bismo objasnili ovu pojavu, treba poći od činjenice, da redovita i neredovita zraka koje se dobiju dvojnim prelamanjem od pnrodne svjetlosti nisu koherentne i one ne interferiraju. To se objašnjava time što u prirodnoj svjetlosti oscilacije, koje se vrše u raznim ravnima, ispuštaju razhčiti atomi ili molekule. One nisu međusobno povezane i nemaju konstantne razlrke faze. Međutim, zrake, redovita i neredovita, koje nastaju iz jeđne iste polarizirane zrake su koherentne. Ako se oscilacije te dvije zrake dovedu pomoću polarizacionog uređaja u jednu ravan, zrake će tad normalno interferirati. Ako se oscilacije u dvije koherentne, ravno polarizirane zrake vrše u uzajamno normalnim pravcima, one se slažu kao dva uzajamno normalna oscilatoma gibanja i dovode do nastajanja oscilacija eliptičkog karaktera. Svjetlost kod koje se električni vektor mijenja s vremenom, tako da njegov kraj opisuje

237

elipsu, naziva se eliptički polarizirana svjetlost. U specijalnom slučaju elipsa se može pretvoriti u krug i tada dobivamo kružno polariziranu svjetlost. Pošto su, redovita i neredovita zraka koje potiču od jedne polarizirane zrake koherentne, tj. u fazi, prolaskom kroz deformiranu pločicu dolazi među njima do optičke razlike putova: A = (n0 - n jd . Otkud slijedi da je razlika u fazi jednaka: 8=y K -» 0 .

(9-144.)

Pošto su ove zrake uzajamno normalne, iz pločice izlazi eliptički polarizirana svjetlost Znači, svjetlost propuštena kroz deformirano tijelo, postaje eliptički polarizirana i ne može se ugasiti analizatorom. Na vještačkom dvojnom prelamanju zasniva se optička metoda za ispitivanje naprezanja (fotoelastičnost). Metoda fotoelastičnosti ima široku primjenu u ispitivanju naprezanja i u neprovidnim tehničkim materijalima, kao što su: razni nosači, zidovi kotlova, zupčanici i dr. Od izotropnog providnog materijala (pleksi-staklo, celuloid) napravi se model željenog oblika i postavi između ukrštenih polarizatora. Model podvrgavamo opterećenjima analognim onima koje će trpjeti sami proizvodi u eksploataciji. Slika koja se pri tome promatra u propuštenoj svjetIosti omogućava da se odredi raspodjela naprezanja, i ocijeni njegova veličina. Zaostala naprezanja također dovode do vještačke anizotropije. 2Ibog toga se optička metoda koristi za ispitivanje staklenih proizvoda, posebno u optičkoj industriji. Optičko staklo koje služi za izrađu skupocjenih optičkih instrumenata (prizma, leća) prethođno se kontrolira postavljanjem između ukrštenih polarizatora, da bi se utvrdilo da li postoje zaostala naprezanja koja mogu uvjetovati prskanje stakla u daljnjoj obradi. Da bi se izbjegli zaostali naponi u optičkom staklu, prethodno se vrši termičko odgrijavanje i kontrola sa ukrštenim polarizatorima.

9.6.5. Obrtanje ravni polarizacije Pri prolasku ravnopolarizirane svjetlosti kroz neke materijale opaža se obrtanje ravni osciliranja svjetlosnog vektora ili kako se obično kaže obrtanje ravni polarizacije. Materijali koji posjeduju ovo svojstvo zovu se optički

238

aktivni materijali. Tu spadaju kristalna tijela (kvarc, cinober), Čiste tekućine (teipentin, nikotin) i rastvori optički aktivnih materijala u neaktivnim rastvaračima (vodeni rastvor šećera, vinska kiselina i dr.). Kristalni materijali, najjače obrću ravan polarizacije u slučaju kada se svjetlost prostire duž optičke ose kristala. Kut obrtanja

(9.145.)

gdje je a konstanta obrtanja. U rastvorima je, kut obrtanja ravni polarizacije proporcionalan putu kojeg zraka pređe u rastvoru / i koncentraciji aktivnog materijala c:
(9.146.)

gdje je [a] specifična konstanta obrtanja. Ako se između dva ukrštena polarizatora postavi optički aktivan materijal (kristal kvarca ili providna kiveta sa rastvorom šećera), vidno polje postaje svijetlo. Da bismo ponovo dobili zatamnjenje treba drugi polarizator (analizator) okrenud za kut
Slika fotoelastičnog modela pod naprezanjem

• 239

Analizator

Polarizator Rastvor

l Crtež 9.56.

Ovakav način ođređivanja koncentracije ima široku primjenu u proizvodnji različitih materijala specijalno u industriji šećera, pa se odgovarajući instrument zove saharim etar.

9.7. FOTOMETRIJA 9.7.1. Svjetlosni fluks Svaki realni elektromagnetski val predstavlja skup oscilacija sa valnim dužinama koje se nalaze u nekom intervalu Ak. Taj interval ostaje konačan čak i za monokromatski svjetlosni val. Vidijivu svjetlost predstavlja interval elektromagnetskih valova koje može da registrira oko i predstavlja područje od 380 nm do 780 nm. Raspodjela fluksa energije po valnim dužinama može se predstaviti pomoću funkcije raspodjele: (9J47.) gdje je d<£>, - fluks energije (energije koja prođe kroz jediničnu površinu u jedinici vremena), koja odgovara valnim đužinama od X. do k+Ak. Fluks energije koji se prenosi valovima koji se nalaze u konačnom intervalu od X, do kj, može se predstaviti na slijedeći način: (9.148.) Djelovanje svjetlosti na oko, u velikoj mjeri zavisi od valne dužine. Osjetljivost prosječnog normalnog oka na emitiranje raznih valnih dužina dana je tzv. krfvuljom vidljivosti, crt. 9.57. Iz krivulje možemo vidjeti da je oko najosjetljivije na emitiranje valne dužine 0,555 pm (zelena boja). Pri istom energetskom fluksu vizuelno procijenjen intenzitet svjetlosti za druge valne dužine je manji. Vrijednost funkcije

240

r

vidljivosti je obmuto proporcionalna veličinama energetskog fluksa, koje izazivaju jednaku po intenzitetu vizuelnu osjetljivost:

y(h)

(**X

y (K )

(**>.\

(9.149.)

Da bi se okarakterizirao intenzitet svjetlosti uzimajući u obzir i njegovu sposobnost da izazove vizuelni osjećaj, uvodi se veličina koja se naziva svjetlosni fluks. U intervalu d k svjetlosni fluks se definira kao proizvod energetskog fluksa i odgovarajuće vrijednosti funkcije vidljivosti: d
(9.150.)

Ako se energetski fluks izrazi preko funkcije raspodjele energije po valnim dužinama prema formuli (9.147.) može se napisati: d
(9.151.)

Ukupni svjetlosni fluks iznosi: «0 fl. (9.152.) o Funkcija vidljivosti je bezdimenzionalna veličina. Suglasno tome dimenzija svjetlosnog fluksa se poklapa sa dimenzijom fluksa energije. Svjetlosni fluks je fluks energije zračenja p rodjenjen prem a vizuelnoj osjetljivosti. • 241

9.7.2. Ja č in a (intenzitet) svjetlosnog izvora Točkasti izvor je takav izvor kod kojeg možemo zanemariti dimenzije u usporedbi s rastojanjem od mjesta promatranja do izvora. U homogenoj i izotropnoj sredini val koji emitira točkasti izvor bit će sferičan. Da bi se okarakterizirao točkasti izvor svjetlosti koristi se jačina svjetlosnog izvora, koja se određuje kao fluks emitiranja izvora, koji dolazi na jedinicu prostomog kuta: d / =dCl

(9.153.)

U općem slučaju jačina svjetlosnog izvora zavisi od smjera: / = 7(0, (p), gdje su 0,

(9-154.)

gdje je totalni svjetlosni fluks koji emitira izvor u svim pravcima. Jedinica jačine svjetlosti, je jedna od osnovnih jedinica SI i zove se kandela (cd). Jcdna kandela je jednaka 1/60 jačine svjetlosti koja se izrači u pravcu normale s površine 1 cm2 apsolutno cmog tijela na temperaturi prijelaza platine iz tečnog u čvrsto stanje (2046,5 K). Jedinica za svjetlosni fluks je lumen (lm). On je jednak svjetlosnom fluksu koji emitira izotropni izvor svjetlosne jačine 1 cd u prostomi kut jednog steradijana. 1 lm = 1 cd • 1 sterad.

(9.155.)

Eksperimentalnim putem je ustanovljeno da svjetlosnom fluksu jačine jednog lumena koji se dobije emitiranjem svjetlosti valne dužine X = 0,555 pm odgovara fluks energije od 0,0016 W. Veličina: A = 0,0016 W /lm naziva se mehanlčki ekvivalent svjetlosti.

242

9 .7 3 . Osvjetljenost Stupanj osvjetljenosti neke površine na koju pada svjetlosni fluks definiran je veličinom: dO

E= n f

<9156>

koja se naziva osvjetljenost {d$>p je svjetlosni fluks koji pada na element povišine dS). Jedinica osvjetljenosti je luks (lx). To je osvjetljenost koja se dobiva ravnomjemom raspodjelom fluksa od jednog lumena (lm) na povišinu od jednog metra kvadratnog. llx =

llm Im 1

(9.157.)

Osyjetljenost E koja se dobiva od točkastog izvora može se izraziti preko jačine svjetlosti I, rastojanja r od površine do izvora i kuta a između normale na površini n i pravca prema izvom. Na dio površine dS pada fluks d
(9.158.)

Prostomi kut je određen sa: r

(9.159.)

Iz ovoga slijedi: Jco sa d S <&p = ------i-----•

. (9.160.)

Dijeljenjem relacije (9.14.) sa dS dobiva se osvjetljenost: „ / cosa E = — =— .

(9.161.)

9.7.4. Fotom etri Instrumenti koji se koriste za mjerenje jačine svjetlosnog izvora ili svjetlosnog fluksa nazivaju se fotometri. Fotometri se dijele na vizuelne i objektivne.

243

Vizuelni fotom etri su zasnovani na sposobnosti oka đa može dobro ustanoviti jednakost sjaja dviju površina koje se dodiruju. Ako se izvori mogu smatrati točkastim onda će jednakoj osvjetljenosti odgovarati uvjet, prema (9.161):

iz kojeg prema poznatoj jačini svjetlosti etalonskog izvora može se ođrediti jačina nepoznatog svjetlosnog izvora. Objektivne metode se dijele na fotografske i električne. Fotografske metode se zasnivaju na činjenici da je zacmjenje fotoosjetljivog sloja proporcionalno količini svjetlosne eneigije koja pada na fotoploču. Kod električnib fotom etara kao detektori svjetlosti koriste se fotoelementi, fotomuitiplikatori, fotootpori i termoelementi. Objektivm fotometn omogućavaju mjerenje intenziteta zračenja i izvan granica vidljivog dijeia spektra. Tako se fotoploče i fotoelementi koriste za mjercnje ultravioletnog spektra, a termoelementi za infracrveno zračenje.

244

10. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI

10.1. M 3 C H E L S O N O V E K S P E R IM E N T U želji da se sve pojave svedu na mehaniku, fizičari 19. vijeka zamišljali su da između vidljivih tijela postoji nevidljiva mehanička tvar (supstanca), eter. Napetosti, deformacije i oscilacije tog sredstva smatrani su uzrokom za sve fizičke fenomene kao što su gravitacija, svjetlost, električne i magnetske sile. Općenito se smatralo da eter miruje pa tako sva kretanja tijela možemo stavljati u odnos prema tom sustavu. Svjetlost u eteru ima brzinu 3-10® m/s. Promatrači koji se kreću različitim brzinama prema eteru morali bi mjeriti različite brzine svjetlosti. Albert Emstein Ovo se lijepo primjećuje kod zvuka. Neka se voz kreće brzinom 330 m/s. Kada putnik u sredini otvorenog vagona da zvučni signal, zvujc se jednoliko širi kroz zrak brzinom 330 m/s. Putnik na početku voza udaljava se od zvuka, a putnik na kraju voza juri u susret zvuku. Za prednjeg putnika btzina zvuka je 300 m/s, a za zadnjeg 360 m/s. Isto bi to trebalo da važi za svjetlost ako ona predstavlja valno kretanje etera. Kretanje Zemlje kroz eter bila bi vjema slika kretanja voza kroz zrak. Godine 1881. Michelson1 (Majklson) je izveo precizne eksperimente, da utvrdi kretanje Zemlje kroz eter. Rezultati koji su dobiveni bili su začuđujući, svjetlost je u svim smjerovima imala istu brzinu. Michelsonovi eksperimenti su potresli temelje klasične mehanike. Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve predstave o sabiranju brzina, o prostoru i vremenu. Eksperiment koji je Michelson izveo poznat je pod imenom Michelsonov eksperiment. I A. A. Michelson, američjd fizičar, 1887. godine u suradnji s E. W. Morleyem pokušao dokazati postojanje etera.

245

Shema Michelsonovog interferometra dana je na crtežu 10.1. Iz izvora I izlazi svjetlost i pada na polupropusnu ploču P gdje se jedan dio reflektira u okomitom smjeru a drugi dio prolazi u prvobitnom smjeru. Obje svjetlosne zrake se reflektiraju na ogledalima O, i 0 2 i vraćaju se do polupropusne ploče. Dužine okomitih krakova između ploče i ogledala su jednake. Sjedinjene zrake nakon refleksije ulaze u durbin gdje se promatra interferencija. Zamislimo da je Michelsonov interferometar postavljen tako da os aparata i pravac od izvora do ploČe, leži u smjeru kretanja Zemlje, kroz eter. Jedna zraka ide od polupropusne ploče do ogledala i natrag. Izračunajmo vrijeme t potrebno da svjetlost pređe taj put. Svjetlost se u eteru širi brzinom c, a brzina Zemlje je v. Kako se ogledalo O, odmiče brzinom v, svjetlost od ploče P, za vrijeme t, ne prelazi samo udaljenost d, nego još i dužinu vt za koju se pomjerilo ogledalo, pa je: ct = d + vt.

(10.1.)

Znači vrijeme potrebno da svjetlost dođe do ogledala O, iznosi: t =— . c -v

A-—A Crtež 10.1.

246

(10.2.)

r

Kada se svjetlost reflektirana na ogledalu O, vraća, ploča P joj dolazi u susret, pa je: ct\ = d - v t v

(10.3.)

Znači vrijeme potrebno da zraka svjetlosti reflektirana na O, stigne do ploče P iznosi: d ------ . (10.4.) c+v Ukupno vrijeme potrebno da svjetlosna zraka pređe udaljenost od ploče P do ogledala O, i nazad do P, u smjeru kretanja Zemlje iznosi: d d ----- + -----c - v c+v

(10.5.)

odnosno, 2d

1

2* C 1 -V

( 10.6 .)

Ako gomji izraz razvijemo u red’, za v « c dobit ćemo vrijeme f2: 2d

1+

er

(10.7.)

Posmatrajmo sad svjetlosnu zraku koja se prostire uzduž kraka koji stoji normalno na smjer kretanja Zemlje. Tada je (v. crt. 10.1.):

( c t^ = d2+ (v t^

( 10.8.)

Vrijeme potrebno da zraka svjetlosti pređe od ploče P do ogledaJa 0 2 iznosi: 4 ’ ^ 7
Ako izraz (10.10.) razvijemo u red za, v « c, dobit ćemo za vrijeme tA vrijednost: 1

-1 + p -; m>0; x < l .

247

.2 ( 1 0 .1 1 .)

Vremenska razlika između zraka svjetlosti koje od ploče P idu normalno jedna na drugu i sustižu se na P iznosi:

( 10. 12.) Ova razlika u vremenu nužno dovodi do interferencije zraka. Ako obmemo interferometar za 90° tada će navedena vremenska razlika iznositi: (10.13.) Razlika optičkih dužina putova iznosi: (10.14.) Ako bi se vremenska razlika (10.13.) izmijenila za jedan period svjetlosnih oscilacija, interferenciona slika bi se promijenila za jednu prugu. Đa bismo dobili kolika treba da bude promjena interferencionih pruga treba podijeliti ukupnu razliku optičkih putova sa valnom dužinom upotrijebljene svjetlosti: (10.15.) Brzina Zemlje iznosi v = 3-104 m/s, znači v/c ~ 10"4. U Michelsonovom eksperimentu dužina kraka iznosila je d - 11 m, a valna dužina upotrebljavane svjetlosti X = 590 nm. Uvrštavanjem ovih vrijednosti dobijemo da se slika interferencije treba promijeniti za 0,4 pruge. Mada je preciznost uređaja omogućavala da se registrira pomak^ pruga reda veličine 10'2, nikakav pomak nije uočen. Eksperiment je ponovljen više puta ali rezultati su uvijek bili negativni. Eksperiment nije dokazao postojanje etera. Objašnjenje ovih eksperimentalnih činjenica dao je tek 1905. godine Albcrt Einstein (Ajnštajn), rušeći klasične predodžbe o prostoru i vremenu.

10.2, GALILEJEV PRINCIP RELATTVNOSTI Galilejev princip relativnosti glasi: Sve mehaničke pojave dešavaju se u raznim inercijalnim sustavim a referencije na isti način ili jednadžbe mehanike su invarijantne (nepromijenjene) u odnosu na transform acije koordinata i vremena p ri prijelazu iz jednog inercijalnog sustava u đrugi.

248

Otkriće etera om'ogućilo bi izdvajanje specijalnog apsolutnog sustava referencije. Tako da bi se kretanje ostalih sustava moglo razmatrati u odnosu na taj apsolutni sustav. Prema Galileju nikakav eksperiment nije moguće napraviti da bi se utvrdilo da li dati sustav miruje ili se ravnomjemo pravolinijski kreće.

10.3. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI Einstein je došao do zaključka da svjetski eter, tj. specijalna materijalna sredina koja bi služila kao apsolutni sustav referencije ne postoji. U suglasnosti sa ovom tvrdnjom Einstein je proširio Galilejev mehanički princip relativnosti na sve fizičke pojave bez izuzetka. Prema Einsteinovom principu relativnosti: Svi prirodni zakoni su invarijantni (nepromijenjeni) n odnosu na prijelaz iz jednog inercijalnog sustava referencije n drugi. Specijalna teorija relativnosti razmatra samo inercijalne sustave1. Einstein je također postulirao, u suglasnosti sa eksperimentalnim činjenicama (Michelson), da je: brzina svjetlosti u vaknumu u svim inercijalnim sustavima referendje jednaka i ne zavisi od kretanja izvora i prijem nika svjetlosti. Princip relativnosti i konstantnost brzine svjetlosti daje osnovu specijalnoj teoriji relativnosti, koja predstavlja, u suštini fizičku teoriju prostora i vremena. U klasičnoj mehanici prostor i vrijeme promatrali smo nezavisno jedno od dmgog. Nevvton (Njutn) je smatrao da postoji apsolutni prostor i apsolutno vrijeme. Apsolutni prostor je po njemu bio određen bez ikakvog odnosa prema bilo čemu izvana, ostajući uvijek isti i nepokretan. O vremenu je Newton pisao: “Apsolutno, realno ili matematičko vrijeme samo po sebi i zbog svoje unutrašnje prirode teče ravnom jerno, bez obzira prem a bilo čemu izvana”. U suglasnosti sa ovim smatralo se savršeno očiglednim da dva događaja koja su istovremena u nekom sustavu referencije budu istovremena i u svim ostalim sustavima referencije. Međutim, Iako se može uvjeriti da se posljednja tvrdnja nalazi u suprotnosti s principom konstantnosti brzine svjetlosti.

I Sustav referencije u kojem važi prvi Nevrtonov aksiom zove se inercijalni sustav. Svaki sustav rcferencije koji se kreće u odnosu na neki inercijalni sustav pravocrtno i ravnomjemo je također inercijalni sustav.

.

249

10.4. GALILEJEVE TRANSFORMACIJE Posmatrajmo dva sustava koja se krećujedan prema drugom konstantnom brzinom, crtež 10.2. Smjer kretanja neka se poklapa sa osom x. U početnom vremenskom trenutku t = 0, neka se ishodišta podudaraju. Koordinati x ' pokretnog sustava K ' pripada koordinata x u nepokretnom sustavu K: x = x ' + v t'= x ' + vt

y=y' z = z' t= t'.

( 10. 16.)

Jednadžbe (10.16) nazivaju se Galilejeve1 transformacije. Ove jednadžbe daju prijelaz iz jednog inercijalnog sustava referencije u drugi. Posmatrajmo neku točku koja se kreće duž ose x. Njena brzina u nepokretnom sustavu dana je sa uz = dx/dt, a u pokretnom sustavu sa u'x= dx'/dt. Deriviranjem jednadžbe (10.16.) dobijemo zakon slaganja brzina: dx dx' , — = — + v; u = u ’ +v dt dt x * ili

(10.17.) dtx' _ dx — = ------v: j . *. r > u“ x = u I —vr • dt dt Kada deriviramo dva puta Galilejeve transformacije po vremenu dobivamo ubrzanje: d 2x d 2x ' (10.18.) d t2 " " d t2 Znači, ubrzanje u jednom i drugom sustavu je isto. Slijedi da je Nevvtonov zakon dinamike invarijantan u odnosu na Galilejeve transformacije: d 2x ’ d x P =F. m ~d? = F '' m dt2

(10.19.)

1 Galileo Galilei (1564.-1642.), talijanski fizičar i astronom, jedan od osnivača eksperimentalne metode.

250

Michelsonov eksperiment je pokazao da zbrajanje brzina s brzinom sustava promatranja ne vrijedi za svjetlost. Prema tome Galilejeve transformacije ne vrijede za svjetlost. Znači moramo izabrati takve transformacije između inercijalnih sustava pa da brzina svjetlosti ostane konstantna. Osnovna pretpostavka Galilejevih transformacija koja je sadržana u apsolutnoj istodobnosti, mora se odbaciti. Uzmimo slijedeći primjer: pored nas prolazi voz sa tri vagona. Putnik koji se nalazi u srednjem vagonu, emitira svjetlosni signal. Gledano sa Zemlje putnici koji se nalaze u prvom vagonu odmiču svjetlosnom signalu, prema tome svjetlost će prije stići do putnika koji se nalaze u zadnjem vagonu, nego do putnika koji su u prednjem. Tako stvar izgleda gledano sa Zemlje. Prema principu relativnosti putnici u vozu miruju. Za njih će svjetlost do njih doći istodobno. Vidimo da za putnike u vozu ovi događaji su istodobni, a za nas na Zemlji nisu. Svaki sustav ima svoje vlastito vrijeme. Einstein je uveo relativiziranje vremena i time prekinuo sa tradicionalnim shvaćanjima. Znači, ne postoji apsolutna istodobnost.

10.5. LORENTZOVE TRANSFORMACIJE Transformacije koje zadovoljavaju Einsteinov zahtjev su Lorentzove (Lorencove) transformacije. Lorentzove transformacije moraju ispunjavati sljedeće uvjete: • transformacije između inercijalnih sustava moraju biti takve da brzina svjetlosti ostane konstantna, • svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije i • zahtjev da prostor bude homogen nužno vodi na lineamost transformacija (prava linija se transformira u pravu liniju). Označimo prostorae i vremenske koordinate sustava u mirovanju sa x i t a sustava u kretanju sa x ' i t'. Između koordinata oba sustava moiaju prije svega postojati linearae transformacije: x '= k x + lt t'= m x + nt

y’=y

( 10.20.)

z' = z

gdje su k, l,m , n konstante koje treba odrediti. Neka se pokretni sustav kreće brzinom v u odnosu na nepokremi sustav. Ishodište pokretnog sustavax'= 0, odmiče brzinom v od nepokretnog sustava. Za x'= 0, slijedi * = vt. Uvrstimo ove vrijednosti u jednadžbu (10.20.), dobijemo vrijednost za konstantu /:

251

0 = kx + It l = -kv.

(

10.21.)

Jednadžba (10.20.) poprima oblik: x'= k ( x - vt).

( 10.22.)

Neka sada pokretni sustav miruje, a nepokretni sustav se kreće u suprotnom smjeru brzinom -v. Inverzne transformacije također su lineame:

Sad ishodište nepokretnog sustava, x = 0, odmiče brzinom -v od pokretnog sustava, i za x = 0, slijedi x ' = -vt'. Uvrstimo li ovo u jednadžbu (10.23.) dobijamo: x = k (x '+ v tr).

(10.24.)

Da bismo odredili konstantu k polazimo od pretpostavke da je brzina svjetlosti konstantna. U počemom trenutku t = t'= 0, pustimo jedan svjetlosni signal iz ishodišta u oba sustava. U pokretnom sustavu bit će x ' = ct', a u nepokretnom sustavu x = ct. Uvrstimo ove vrijednosti u jednadžbu (10.22.) i (10.24.), dobijamo: ct = k(ct'+ vt’) ct' = k(ct - vt).

(10.25.)

Iz gomjih jednadžba slijedi: 1

Uvrstimo li konstantu k u (10.24.) i (10.22.) dobijamo transformaciju za vrijeme: X =

i[ifc(x -

Vt)

+ V/'] (10.27.)

analogno može se dobiti izraz za t.

252

(1 0.28.)

Jednadžbe (10.22.) i (10.27.) predstavljaju Lorentzove transform acije:

(10.29.) Lako je pokazati da Lorentzove transformacije prelaze u Galilejeve, ako stavimo v « c. U slučaju Zemlje (v.= 30 km/s), v2/^2» 10*8« 1, to znači da se mogu primijeniti Galileieve transformacije. Za v > c, izrazi (10.22.) i (10.27.) postaju imaginami, čak nije dozvoljeno ni v = c.

10.6. POSLJEDICE LORENTZOVIH TRANSFORMACIJA Iz Lorentzovih transformacija proizlazi niz posljedica koje su neobične sa stanovišta klasične mehanike.

10.6.1. Istovremenost događaja u različitim sustavima referencije Neka se u sustavu K u točkama sa koordinatama i dešavaju istovremeno dva đogađaja u momentu t, = t2 = b. Prema formulama (10.29.) u sustavu K ' tim događajima odgovaraju koordinate:

a odgovarajući momenti vremena su: b-

,

v

b ~ Z J * 2

• 253

Iz gomjih izraza vidimo da, ako se događaji dešavaju na istom mjestu u K prostoru, tj. x, = x2, tada je i u K ' prostoru:

Ako su događaji u sustavu K prostomo odvojeni x, * x 2, tada će oni biti prostomo i vremenski odvojeni i u K': x ', * x 2 i

t \ * t 2.

Predznak razlike t2 - /, određen je predznakora v(x, - x ^ . To znači da u jednom sustavu događaj 2 može prethoditi događaju 1, a u drugom sustavu događaj 1 prethoditi događaju 2. Ovi događaji nisu u uzročnoj vezi. Uzročno povezani događaji ni u jednom sustavu referencije neće biti istovremeni i u svim sustavima će događaj koji se pojavljuje kao uzrok, prethoditi posljedici.

10.6.2. Dužina tijela u različitim sustavima referencije Promatrajmo štap koji je smješten duž ose x i miruje u odnosu na sustav K'. Njegova dužina u tom sustavu iznosi l0 = x 2 - x \, gdje su x \ i x'2 koordinate krajeva štapa i ne mijenjaju se sa vremenom t'. Stap se kreće brzinom v u odnosu na sustav K. U jednom trenutku vremena /, = t2 - b koordinate štapa u nepokretnom sustavuK iznosex, i x 2. Razlika koordinatax2- x , daje dužinu štapa /= x2- x ,. K

y

K'

y

V O’

X|

k *2

Crtež 10.3.

Prema Lorentzovim transformacijama (10.29.) dobivamo:

X,X'

odakle je:

ili (10.30.) Dakle, kod tijela koja se kreću, dimenzije u smjeiu kretanja se smanjuju što je veća brzina kretanja. Ova pojava naziva se kontrakcija dužine.

10.63. Trajanje događaja u različitim sustavima Neka se u toćki, koja je nepokretna u odnosu na sustav K', odvija događaj koji traje At0 = t’2 - t\. Neka je početak i kraj događaja na istom mjestu, tj. jc', = x'2 = a. Prema formulama (10.29.) početku i kraju događaja u sustavu K odgovaraju vremenu:

odakle je:

ili uvođenjem oznake Ij - 1, = At, dobivamo: (10.31.)

Vremenski interval At0 je određen prema satu koji se kreće zajedno sa tijelom, a interval vremena At je određen prema satu u nepokretnom sustavu. Kao što se vidi iz (10.31.) interval vremena Ai0 koji je izmjeren prema satovima koji su nepokretni u odnosu na tijelo, izgleda manji od intervala vremena At koji je izmjeren prema satu koji se kreću u odnosu na tijelo. Prema (10.31.) uvijek je A/0 < At, pa možemo reći da satovi koji se kreću rade sporije od satova koji miruju. Ovaj efekt se naziva dilatacija vremena. Vrijeme At^, očitano na satu koji se kreće zajedno sa tijelom naziva se vlastito vrijem e tog tijela.

.

255

U kozmičkim zrakama postoje čestice koje se zovu mi mezoni (p~ p+). Ove čestice su nestabilne i raspadaju se na pozitron ili elektron i dva neutrina. Srednje vrijeme nepokretnih p mezona iznosi oko 2xl0'6 s. Prema ovome, mezoni koji bi se kretali čak brzinom svjetlosti prešli bi put od svega 600 m. Međutim, eksperiment pokazuje da p mezoni koji se stvaraju na visini 20-30 km stižu u znatnom broju na površinu Zemlje. Ovo se može objasniti time što je 2x 10'6 vlastito vrijeme života p mezona, tj. vrijeme izmjereno na satovima koji se kreću skupa sa njim. Vrijeme, koje je očitano na satovima eksperimentatora, koji je vezan za Zemlju mnogo je veće. Eksperimentator vidi mezone čiji je pređeni put znatno veći od 600 m, dok sa pozicija posmatrača koji se kreće zajedno sa mezonom, rastojanje koje je mezon prešao do Zemlje skraćeno je na 600 m.

10.6.4. Slaganje brzina U sustavu K, položaj točke je određen u svakom trenutku vremena t, koordinatama x, y, z. Kretanje materijalne čestice možemo posmatrati iz sustava u mirovanju ili iz sustava u kretanju pa je njeno kretanje po osi x ili x ' funkcija vremena t ili t': x = x (0 ; x ' = x'(tr). Prema Lorentzovim transformacijama:

Diferenciranjem Lorentzovih transformacija (10.27.) dobiva se:

Dijeljenjem ova dva izraza, dobiva se zakon slaganja brzina u specijalnoj teoriji relativnosti:

gdje su projekcije vektora bczine na zadane ose date izrazima:

256

r dz dx
l- 7 d t'+ \d x ' c

dz

vJ < 4 1_7

dt

dt' + Xrdx'

4

" 7

1+ ^ u ' x c

(10.32'.)

1+4«;

Vidimo da je rezultanta uvijek manja od sume brzine čestice u pokretnom sustavu i brzine pokretnog sustava v. U slučaju kada je v « c, izrazi (10.32.) prelaze u formule slaganja brzina u klasičnoj fizici (10.17.): u’ + v , ur = — J------ ~ u ' + v . i + 7 «; Pretpostavimo da je n ' = c, tada imamo: « !+ v c+v -= c . , v , , v 1 +— ux .1 + — c c c Za slučaj da je u'x = v = c, dobijemo opet kao rezuitat c: c+c u', + v - = c. K = V c 1+ 4 c 1 + -J-C c c Vidimo da je brzina svjetlosti konstantna i ne zavisi od brzine kretanja izvora ili prijemnika svjetlosti, ito je pokazano i Michelsonovim eksp>erimentom.

10.6.5. Dopplerov efekt za svjetlost U akustici se promjena ftekvencije, uvjetovana Dopplerovim efektom, određuje pomoću brzine kretanja izvora i prijemnika u odnosu na sredinu koja je nosilac zvučnih valova. Za svjetlosne valove također postoji Dopplerov

257

efekt. Međutim, pošto ne postoji specijalna sredina koja bi bila nosilac elektromagnetnih valova, Dopplerova promjena frekvencije svjetlosnih valova određuje se samo relativnom brzinom izvora i prijemnika. Vežimo za prijemnik svjetlosti koordinatni početak nepokretnog sustava K a sa izvorom koordinatni početak sustava K'. Ose x i x ' se poklapaju i usmjerene su duž vektora v, kojim se kreće sustav K'. Jednadžba ravnog svjetlosnog vala, koji emitira izvor prema prijemniku, imat će u sustavu K ' oblik: E {x',t') = ^'cosj

+ —j + a '

(10.33.)

K'

V

;---------O j O / V Prijemnik

Izvor Crtež 10.4.

gdje je co' frekvencija kojom oscilira izvor, a ' početna faza, c-brzina svjetlosti. Prema principu relativnosti, svi prirodni zakoni imaju isti oblik u svim inercijalnim sustavima referencije. U sustavu K, svjetlosni val je opisan jednada>om: r .. £ ( * ,/) = ,4 cojja>f/ + -^j + a (10.34.) gdje je co fiekvencija koju prima prijemnik, a a početna faza. Zamijentino x' i t' prema Lorentzovim transformacijama (10.29.), dobijamo: r \ v ‘--J x x -v t E (x,t) = A ' cos <0 ' -a (10.35.)

*-?

4 4 ,

što se lako svodi na oblik: E (x,t)= /4'cosj ca' ■ c f / + —l + a '

1 258

R '

(10.36.)

r Pošto je kretanje duž ose x, amplituda osciliranja ostaje nepromijenjena, A = A ', i za a = a'jednadžba (10.36.) opisuje isti val kao i jednadžba (10.34.). Zbog toga treba biti ispunjen odnos:

1-21 = co

co = co

(10.37.)

1+21 V Pređimo sa kružne frekvencije co = 2 n f na frekvenciju / i o zn ačim o / sa f 0 (frekvencija izvora), dobije se;

/ = /o

(10.38.)

Brzina v u odnosu na prijemnik je algebarska veličina. Pri udaljavanju izvora v > 0 i prema (1 0 .3 8 .)/< / , kad se izvor približava prijemniku v < 0 i/> /o U slučaju kada je v « c, formula (10.38.) može se razviti u red i ako se ograničimo na prva đva člana, đobivamo: 1 -1 2 1 /» /o

<10'3 9 ) 2c Mjerenjem relativnog pomaka linija u spektru zvijezda, može se odrediti njihova radijalna brzina.

10.7. R ELA TTV ISTIČ K A D IN A M IK A Jednadžbe klasične mehanike su invarijantne u odnosu na Galilejeve transformacije, dok u odnosu na Lorentzove transformacije nisu invarijantne. Iz teorije relativnosti slijedi da jednadžba dinamike, invarijantna u odnosu na Lorentzove transformacije ima oblik: / \ d_ dt

=F

(10.40.)

259

gdje je m0 - masa rtfirovanja čestice koja je invarijantna u svim sustavima refercncije, v brzina čestice, F sila koja djeluje na česticu i c brzina svjetlosti. Usporedivši ovu jednadžbu sa formulom u klasičnoj fizici: ^-p =F at

(10.41.)

gdje je p impuls (količina kretanja), dolazimo do zaključka da je relativistički impuls čestice jednak: ffloV (10.42.) P=

Pošto je masa čestice m koeficijent proporcionalnosti između impulsa i brzine dobivamo da je masa čestice u relativističkoj mehanici dana izrazom: (10.43.)

Ovisnost mase tijela od brzine kretanja dana je na crtežu 10.5. Relativistička masa tijela teži beskonačnoj vrijednosti kad brzina tijela teži brzini svjetlosti. Za slučaj malih brzina v « c, m = m0 i p = m^v, odnosno vrijede zakoni klasične fizike. Da bismo izračunali relativističku kinetičku energiju, pođimo od definicije kinetičke energije. Kinetička energija je ona energija koju dobiva

260

r

slobodna čestica kada se nad njom izvrši neki rad. Ako sila djeluje u smjeru ose x, tada je elementami rad jednak: dW = Fdx = Fvdt

(10.44.)

ili dW = vdp gdje je p = m v . Diferencijal relativističkog impulsa jednak je: dp = mdv + vdm .

(10.45.)

Kao što smo rekli, priraštaj kinetičke energije jednak je izvršenom radu: dW = dEk = mvdv + v2d m .

(10.46.)

Diferencijal mase dobijemo diferenciranjem izraza (10.43.) po brzini: i dm odnosno dm =

mvdv 2 2 C —V

(10.47.)

Odavde slijedi da je: mvdv = [c2 - v2

.

(10.48.)

Uvrstimo izraz (10.48.) u (10.46.) dobijemo da je diferencijal kinetičke energije jednak: dEk = (p-dm.

(10.49.)

Integracijom, dobijemo izraz za relativističku kinetičku energiju: Ekr = m
K = rn
(10.50.)

H Ako čestica miruje, v = 0, čestica ima energiju mirovanja: E0 = m<{P.

(10.51.)

261

Pošto je kinetičk'a energija po definiciji jednaka ukupnoj energiji E minus energija mirovanja imamo da je ukupna energija jednaka: E = mc2.

(10.52.)

U slučaju malih brzina v « c, razvijmo u red1 izraz (10.52.), dobit ćemo: (10.53.)

Odavde dobivamo izraz za klasičnu kinetičku energiju, m0v*/2, i ako se zadržimo na prva dva člana, ,2

ili Ek - E - £ 0.

(10.54.)

Napišimo izraz za relativističku energiju preko impulsa. Kvadrirajmo izraze (10.52.) i (10.42.):

dobijemo izraz za ukupnu relativističku energiju: (10.56.) N a crtežu 10.6. dat je graflčld prikaz ukupne relativističke energjje E, relativističke kinetičke energije Ey. i klasiČne kinetičke energije Ek. % Izrazi (10.52.) i (10.56.) nisu primjenljivi samo za elementame čestice već i za složeno tijelo, koje se sastoji od velikog broja čestica. U energiju mirovanja, kao i u ukupnu energiju tijela ne ulazi potencijalna energija tijela u vanjskom polju. Iz relacije (10.52.) slijedi da su eneigija i masa tijela uvijek proporcionalne. Svaku promjenu energije (isključujući promjenu potencijalne energije u vanjskom polju) tijela E prati promjena mase: (10.57.)

I Za neŠto veće brzine, v
\I+ — Iv2 v4 ^ + *3— T+, 2 c*

262

8 c4

r

i obratno, svaku promjenu mase tan piati promjena energtje: AE^Am .

(10-58.)

Ova relacija naziva se zakon proporcionalnosti mase i energije. Ovdje vidimo da je masa tijela mjera njegove ineitnosti i treba je razlikovati od količine supstance u tijelu. Pri povećanju bnrine tijela, njegova količina supstance ostaje stalna dok mu se masa povećava.

263

11. TOPLINSKO ZRAČENJE

Toplinsko zračenje nastaje kađa atomi ili molekule tijela, pobuđeni termičkim kretanjem, emitiraju elektromagnetske valove. Zračenja koja nastaju na račun drugih oblika energije, poznata su pod nazivom luminescencije. Fosfor koji oksidira u zraku zrači (svijetii) na račun cnergije koja se oslobađa u kemijskoj reakciji, taj oblik zračenja naziva se kemiluminescencija. Zračenje koje nastaje pri pražnjenju u plinovima naziva se katodna luminescencija. Toplinsko zračenje emitiraju sva tijela i to na svim temperaturama različitim od apsolutne nule. Međutim, spektralni sustav i intenzitet zračenja zavisi i od temperature i prirode izvora. Toplinsko zračenje je elektromagnetski proces. Smatra se da toplotni valovi imaju valne dužine u intervalu od 380 nm do 40 000 nm. Okružimo tijelo koje zrači neprobojnim omotačem sa idealno reflektirajućom površinom, i evakuirajmo unutrašnjost, crtež 11.1. Zračenje odbijeno od omotača apsorbira se kad padne na tijelo (djelomično ili u potpunosti). Slijedi neprekidna izmjena enetgije između tijela i zračenja koje ispunjava omotač. Ako raspodjela energije između tijela i zračenja ostaje nepromijenjena za svaku valnu dužinu, stanje sistema tijelo-zračenje bit će ravnotežno. Eksperim ent pokazuje da je jedini ofolik zračenja koji može d a se nalazi u ravnoteži sa tijelom koje zrači, toplinsko zračenje, svi ostali oblici zračenja (luminescendje) su neravnotežni. Pretpostavimo da je ravnoteža između tijela i zračenja narušena i tijelo zrači više energije nego što apsorbira. Tada će unutrašnja energija tijela da se smanjuje, što dovodi do sniženja temperature, to uvjetuje smanjenje energije koju zrači tijelo. Temperatura tijela će se smanjivati sve dok se količina izračene energije ne izjednači sa apsorbiranom energijom. Ako se ravnoteža naruši na suprotnu stranu, tj. količina izračene

264

energije bude manja od apsorbirane, temperatura raste, sve dok se ne uspostavi ravnoteža.

11.1. KIRCHHOFFOV ZAKON Da bismo okarakterizirali toplinsko zračenje koristit ćemo veličinu fluksa (toka) energije, koji se mjeri u vatima. Fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela koje zrači, naziva se energetska jakost ili intenzitet zračenja tijela {I ), ili to je energija koju ispužta jedinična površina u jedinici vremena:

(11-1 ) Zračenje se sastoji od različitih frekvencija co. Označimo fluks energije, koji emitira jedinica površine tijela u intervalu da> s dla. Za malu veličinu intervala da>, fluks dla bit će proporcionalan s da>:

( 11.2.)

dIa = ca -do>,

gdje je ea emisiona moć tijela. Eksperiment pokazuje da emisiona moć zavisi i od temperature, znači ea je funkcija temperature i frekvencije: (11.3.) o Zračenje se često karakterizira sa valnom dužinom k umjesto frekvencijom co. Odresku dm odgovara interval dk. Veza između valne dužme i kružne frekvencije je X = 2nc/a>. Diferenciranjem, dobiva se: (11.4.) Predznak minus, nema bitnog fizikainog značenja, on samo ukazuje da porastom jedne veličine dolazi do smanjivanja dmge. Ovaj minus nećemo dalje pisati. Intenzitet zračenja koji otpada na interval d k može se po analogiji predstaviti u obliku: dlx = exdk.

(11.5.)

Ako su intervali da> i d k vezani relacijom (11.4.) to se dla i dlx pođudaraju: eadm = exdk. ■

265

Zamjenom đk iz relacije (11.4.) dobit ćemo: e«,4* 0 = ex —T'd(s>= ‘h. r — <*> (0 2nc 2nc X2 — =r = e , —

(

11. 6.)

Neka na elementamu površinu tijela, pada fluks energije elektromagnetskog zračenja frekvencije iz intervala da>. Dio tog fluksa dO ’a apsorbirat će tijelo. Bezdimenzionalna veličina:

naziva se apsorpciona moć tijela. Apsorpciona moć tijela je također funkcija temperature i frekvencije. Po definiciji aaT ne može da bude veće od 1. Tijelo za koje važi aaT = 1 naziva se apsolutno crno tijelo. Tijelo za koje važi, a a . r < 1* naziva se sivo tijelo. Između emisione i apsorpcione moći bilo kojeg tijela postoji određena veza. Uzmimo za primjer ovaj eksperiment. Neka se unutar zatvorenog omotača, koji se ođižava na stalnoj temperaturi T, nalazi nekoliko tijela. Šupljina unutar omotača je evakuirana tako da je moguća izmjena energije između tijela međusobno i'*između tijela i omotača, samo putem emisije i apsorpcije elektromaCrtež 11.2. gnetnih valova, crtež 11.2. Eksperiment pokazuje da će takav sistem, kroz neko vrijeme dospjeti u stanje toplotne ravnoteže, sva tijela će imati istu temperaturu. U takvom stanju tijelo koje ima veću emisionu moć eaT, gubi sa jedinične površine u jedinici vremena više energije nego tijelo koje ima manju eaT. Kako se pri tome temperatura tijela ne mijenja, to tijelo koje emitira više energije mora više i' apsorbirati. Znači, što je veća emisiona moć ea rto je veća i apsorpciona moć aaT. Odavde slijedi relacija: (

266

11.8.)

Na osnovu ovih razmatranja Kirchhoff je formulirao slijedeći zakon: Omjer emisione i apsorpcione moći ne zavisi od prirode tijela, nego je za sva tijela jedna te ista univerzalna funkcija frekvencije i temperature. ■ ^ = /( c a ,r ) .

(11.9.)

a nT

Pošto je po definiciji aaT = 1 za apsolutno cmo tijelo, znači: j =

f ( a >T ) -

( 11- 10.)

Znači univerzalna Kirchhoffova fiinkcija /co. T)nije ništa dmgo nego emisiona moć apsolutoo cmog tijela. U teorijskim radovima obično se koristi fifit.T), a u eksperimentalnim radovima
f ( a ,T) = ^ < i> ( \,T ) = -£-< t(X ,T) (O

2nc

(11.11.)

Apsolutno cmog tijela nema. Čađ ili platinsko cmilo imaju aaT blisko jedinici samo u ograničenom intervalu frekvencija, za daleku infracrvenu oblast to ne važi. Možemo napraviti uređaj sa osobinama apsolutno cmog tijela, crtež 11.3. Takav uređaj predstavlja zatvorenu šuplju loptu sa malim otvorom. Zračenje koje uđe unutra, prije nego što izađe iz otvora, trpi mnogostruka odbijanja, tako da se jedan dio energije svaki put apsorbira, dok se praktično ne apsorbira sva energija. Ovakva šupljina ako se odižava na konstantooj temperaturi po svom spektralnom sastavu zračenja ponaša se kao apsolutoo cmo tijelo. Razlažući ovo zračenje pomoću spektralnog aparata može se eksperimentalno odrediti oblik funkcije/(o ,7 ) ili
•

267

Na crtežu 11.4., dana je shema uređaja pomoću kojeg se može odrediti emisiona moć apsolutno cmog tijela za različite valne đužme. Za mjerenje intenziteta zračenja, umjesto termočlanka, može se koristiti fotootpor ili bolometar, a umjesto prizme, difrakciona rešetka. Treba napomenuti da se leće i prizma prave od provodnog materijala za infiracrveno zračenje (NaCl, Ge), jer staklo slabo propušta ovo zračenje.

Rezultati ovakvih eksperimenata dati su na crtežu 11.5., različite krivulje odgovaraju različitim temperaturama apsolutno craog tijela. Površina koju obuhvata krivulja
Crtež II.5.

268

11.2. STEFAN-BOLTZMANNOV I WIENOV ZAKON Teoretsko objašnjenje zračenja apsolutno cmog tijela imalo je ogroman značaj za razvoj modeme fizike, ono je dovelo do pojma kvanta energije. Jožef Štefan1je na osnovu eksperimentalnih rezultata za siva tijela došao do zaključka da je intenzitet zračenja proporcionalan četvrtom stupnju apsolutne temperature. Bohzmann2 (Bolcman) je na osnovu termodinamičkih postavki, teoretski dobio za intenzitet zračenja apsolutno cmog tijela vrijednosti: co

7=J/(/o=CTr4)

(11.12.)

o gdje je a konstanta, a T apsolutna temperatura. Ovim je pokazao, da Stefanov rezultat vrijedi samo za apsolutno cmo tijelo. Relacija (11.12.) poznata'je pod imenom Stefan-Boltzmannov zakon, a konstanta ct naziva se Stefan-Boltzmannova konstanta i ima vrijednosti cr = 5,7-10'8 W/m2K4. Wien3 (Vin) je 1893. godine koristeći pored termodinamike i elektromagnetsku teoriju, pokazao da funkcija spektralne raspodjele treba da ima oblik: , s /( o ,T ) = 3 (11.13.)

o>F(jpJ,

gdje je F nepoznata funkcija omjera frekvencije i temperature. Izračunajmo intenzitet zračenja apsolutno cmog tijela koristeći Wienovu fimkciju: „

/ = Jco3F ( y l * o .

(11.14.)

Uvedimo smjenu: a /T = y, co = T-y; da> = Tdy, dobivamo: 4© 49 F{y)Tdy T* y lF{y)dy = 0 0 Vidimo da određeni integral u relaciji (11.15.) treba da bude jednak Stefan-Boltzmannovoj konstanti ct, ali da bi ga izračunali moramo znati funkciju F(co/7). Koristeći relaciju (11.11.) možemo dobiti Wienovu funkciju izraženu preko valne đužine:

/=J r3/

=f

7*0.

(11.15.)

1 Jožef Štefan (1835.-1893.), slovenački fizičar, poznat po radovima iz eksperimentalne fizike. 2 Lođvig Boltzmann (1844.-1893.), njemački fizičar, poznat po radovima iz statističkc fizikc i kinetičke teorije plinova. 3 W. Wien (1864.-1928.), njetnački fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1911).

• 269

(11.16.) ili

«p(x,r)=^F-(xr), gdje je F* nepoznata fimkcija produkta X -T . Iz posljednje relacije mogli bi naći vezu između valne dužine XK kojoj pripada maksimum fiinkcije cp(X, T) i temperature. Treba naći za koju Xm maksimum funkcije je jednak nuli: (11.17.) Na osnovu eksperimentalnih podataka može se dobiti veza između valne dužine Xm i temperature. N a crtežu 11.6. vidimo da maksimumi krivulja spektralne raspodjele leže na krivoj: XmT = b ; X m= j .

(11.18.)

Relacija (11.18.) poznata je pod nazivom Wienov zakon pom jeranja, a b je Wienova konstanta pomjeranja, čija je vrijednost eksperimentalno određena i iznosi: 6 = 2,9-10-3 mK.
Crtež 11.6.

270

(11.19.)

113. RAYLEIGH-JEANSOVA FORMULA Rayleigh-Jeans (Reli i Džins) su pokužali da odrede funkciju J{(s>,T), polazeći od teorema klasične statistike o ravnomjemoj raspodjeli energije po stepenima slobode. Oni su pretpostavili da na svako elektromagnetsko osciliranje otpada u srednjem energija jednaka 2-(kT/2), tj. jedna polovina na električnu a dmga polovina na magnetsku komponentu1. Rayleigh-Jeansova funkcija spektralne raspodjele ima oblik:

f(m,T) = ^ j k - T 47t C

( 11.20.)

ili
Izračunajmo intenzitet zračenja koristeći jeđnadžbu (11.20.), i integrirajmo po o) u granicama od 0 do oo: <0 «0 kT ffl ( 11.22.) f((j>,T)đ
I =j

Rezultat koji se dobije, poznat je pođ imenom ultravioletna katastrofa i stoji u suprotnosti sa eksperimentom. Sa slike 11.7. vidimo da je Rayleigh-Jeansova formula u slaganju sa eksperimentalnim rezultatima samo za velike valne dužine (infiacrveno područje) dok se za male valne dužine (ultravioletno podmčje), oštro razlikuje od eksperimenta.

1 Prema klasičnoj fiaici na svaki oscilatomi stupanj otpada u srednjem energija kT/2, gdje je k = 1 J8 1 0 '23 J/K, Boltzmannova konstanta.

. 271

11-4. PLANCKOVA FORMULA Izvođenje Rayleigh-Jeansove formule sa stanovišta klasične fizike je bez zamjerke, Međutim razilaženje ove foimule sa eksperimentom, ukazuje na postojanje nekih zakonitosti koje nisu u suglasnosti sa pretpostavkama klasične statističke fizike i elektrodinamike. Gođine 1900. Max Planck' (Plank) je uspio da pronađe oblik funkcije/(
(11.23.)

gdje je h (odnosno h) Planckova konstanta, čija je vrijednost određena eksperimentalno i iznosi: h = 6.62-10'34 Js

(11.24.)

ili h = — = 1,054 -lO '^Js. 2 71 Planckova konstanta ima dimenziju: (energija) x (vrijeme) = (količina gibanja) x (dužina) = (moment količine gibanja)12. Ako se energija emitira (apsorbira) u porcijama ha>, to znači da ukupna emitirana (apsorbirana) energija može da bude samo cjelobrojni umnožak kvanata energije, tj.: E„ = nh(o; n = 0,1,2,...

(1125.)

Ovaj rezultat znači da, za razliku od klasičnog oscilatora koii oscilira pod djelovanjem elastične sile F = -kx, frekvencijom ca = -Jk/m i koji može da ima sve vrijednosti energije od 0 do E = h?/2, kvantni oscilator, može se nalaziti samo u stanjima sa energijom Em = nhca. Prema Plancku osnovno (najniže) stanje kvantnog oscilatora je E0 = 0, prvo više stanje je E, = ha>, drugo, E 2 = 2hm itd. Uvođenjem pojma kvatnog oscilatora i kvanta energije (11.23.) i (11.25.), Planck dolazi do rezultata da je srednja vrijednost energije zračenja frekvencije 0) jednaka: 1 Max Planck (1858-1947), njcmaCki fizičar, jedan od osnivaća modcmc fizikc, dobitnik Nobelovc nagrade (1918) 2 XJ mehanici se ova veličina naziva “djelovanje” pa se i Planckova konstanta naziva kvant djelovanja.

272

e kT- l gdje je k - Boltzmannova konstanta, T - apsolutna temperatura. Kada h(o teži nuh, tj. kada je /ico -« kT, eto/*r možemo razviti u red: 17

, to 1 (ha> V ’ ’ (1L27> Uvrštavanjem izraza (11.27.) u (11.26.) i ako se zadržimo na prva dva clana, dobivamo klasični oblik za energiju kT: p

i

^O)

r + ^ _ = kT' ( n '2 8 ) + kT 1 Ako sada u Rayleigh-Jeansovoj fonnuli (11.20.) zamijenimo kT sa Planckovim izrazom za srednju energiju kvantnog oscilatora (11.26.) dobit ćemo Planckovu fimkciju spektialne raspodjele meigije, apsolutno cmog tijela/co.T): / ((° ,7’) = ^

2 ^ e*T - l

ili

01-29.)

2nhc2 1 ^5 ke e\*T _ j Ova formula se podudara sa eksperimentom u intervalu od 0 do w.
Zadovoljava Wienov kriterij co3f M sovu formulu.

, a ia ^

II

* 3*

uvedimo smjenu:

Dobit ćemo izraz:

ha> kT

II 3

x

kT

« 1 prelazi u Rayleigh-Jean-

ha>3 d(0 h*> 4 0 n 2c2 e lT - \

(11.30.)

kT d a = — dx h

(11.31.)

k*T* r 3 dx 1— 4 n 2c2hl J X e 1 - i ' Integial u posljednjem izrazu može se izračunati1 i iznosi: 1 Koristiti: MatematičJci primčnik, N. BronStejn-K.A. Semendjajev.

(11.32.)

(11.33.) 0 UvTŠtavanjem vrijednosti (11.33.) dolazimo do Stefan-Boltzmannovog zakona. / = J ^ r ' = c T r 4. (11.34.) 60c2/!5 Odavde zamjenom brojčanih vrijednosti za konstantu, k = 1,38-10'23 J/K, c = 3-108 m/s i h = 1.054-10'34 Js, dobit ćemo vrijednost za Stefan-Boltzmannovu konstantu: = 5,6696- 10'8W/m2K4

(11.35.)

koja se dobro slaže s eksperimentom (ct^ = 5,7-10'8 W/m2K4). Da bismo odredili Wienovu konstantu koristeći Planckovu formulu (11.29.), diferencirajmo fiinkciju cp(\,T ) po X i izjednačimo sa nulom: (

d
hc

— e ™-- 5 e m _ ] kTk

= 0. (11.36.) hc_ V e tA - 1 V / Vrijednosti X = 0 i X = oo, koje zadovoljavaju jednadžbu (11.36.) odgovaraju minimumu funkcije
hc kTXm

(11.37.)

dobiva se jednadžba: 5(e*- 1) = 0

(11.38.)

ili 5 - x = 5 (^ -1 ). Ova jednadžba je transcendentna i može se riješiti grafički, crtež 11.8. y = 5 - x i y = 5e~x. Rješenje je: x = 4,965 odnosno,

274

hc = 4,965. (11.39.) ~kTk, Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti za konstante h, c i k, dobivamo vrijednost Wienove konstante: Tkm= " 4,965* 6 = 2,886 10'3 mK.

(11.40.)

što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnom vrijednošću b = 2,886-10'3 mK. Izračunavanjem konstante u i b Plankova teorija je dobila punu potvrdu i predstavlja jedno od najznačajnijih dostignućh teorijske fizike.

11.5. OPTIČKA PIROMETRIJA U relacijama (11.29.), (11.34.) i (11.40.) pojavljuje se kao parametar temperatura tijela, koje zrači. Stoga se bilo koja od ovih relacija može koristiti za određivanje temperature užarenih djela. Uređaji koji se baziraju na ovom principu nazivaju se optički pirom etri. Oni se dijele na tri grupe: radijacioni pirometar, pirometar sjaja i kolor pirometar.

11.5.1. Radijacioni pirometgr Shema radijacionog pirometra dana je na crtežu 11.9. Uređaj se dovodi do tijela koje zrači, tako da oštra slika površine koja zrači, dobivena objektivom Ob, potpuno prekriva prijemnik zračcnja Pr. Kontrola se vrši pomoću okulara Ok. Kao prijemnik obično se koristi termočlanak (termopar). Po otklonu kazaljke na galvanometru može se odrediti temperatura tijela koje zrači. Uređaj se baždari prema apsolutno cmom tijelu, tako da za siva tijela radijacioni pirometar ne daje stvamu temperatum T, nego neku temperatum T ^ , pri čemu je in-

’ 275

tenzitet zračenja apsolutno cmog tijela I * jednak intenzitetu zračenja / ispitivanog tijela na njegovoj stvamoj temperatun T:

Temperatura T ^n aziv a se radijaciona. Nađimo vezu između radijacione temperature sivog tijela i njegove stvame temperature T. Označimo sa aT količnik intenziteta zračenja danog tijela / i apsolutno cmog tijela I* uzetih na istoj temperaturi. Tada se može pisati: I(T) = ar I*(T).

(11.42.)

Uvrštavanjem te vrijednosti u (11.41.) dobiva se: I* (T J) = aTT*(T).

(11-43.)

Prema relaciji (11.43.) dobivamo: a T ^ - cijaT*.

(11.44.)

Dakle, stvama temperatura T jednaka je:

Kako je aT za siva tijela manje od jedinice, to je stvama temperatura veća od radijacione.

11.5.2. Plrometar sjaja Pirometar sjaja baziran je na poređenju zračenja svjetlećeg tijela sa*zračenjem apsolutno cmog tijela na jeđnom te istom dijelu spektra AX. Obično se koristi interval u okolini Ob F X = 0,66 pm, crveni dio spektra. Shema pirometra sjaja, dana je na crtežu 11.10. Ovaj uređaj sastoji se od polukružne žame niti koja leži u ravni okomitoj na os uređaja. Objektiv Ob daje u toj ravni sliku površine ispitivanog emitera. Svjetlosni filter F propušta na okular Ok samo crvene zrake sa valnom dužinom blizu

276

0,66 nm. Gledajući kroz okular, podešava se pomoću reostata R takvo žarenje niti da se njen sjaj podudara sa sjajem slike emitera, u tom slučaju nit “iščezava” u vidnom polju. Ovakav pirometar se još zove pirometar sa iščezavajućom niti. Uređaj se prethodno baždari prema apsolutno cmom tijelu. Za siva tijela uređaj daje tzv. temperaturu sjaja Da bismo đobili stvamu temperatum potrebno je izvršiti određene korekcije. Naprimjer za volfram na temperaturi T = 3000 K i X = 0,66 pm temperatura sjaja je Tsjaj = 2700 K, a radijaciona T ^ = 2250 K.

11.5.3. Kolor pirometar Za siva tijela emisiona moć može se napisati u obliku: 4 X ,7 ) » a r q>(M), (11.46.) gdje je aT — const. Prema tome, maksimum emisione moći sivog tijela na temperaturi T odgovara istoj valnoj dužini Xm, kao i kod apsolutno cmog tijela na toj tcmperaturi. Stoga, ako je određeno X„„ može se temperatura sivog tijela izračunati. Ovako nađena temperatura naziva se kolor tem peratura. Maksimum u spektm Sunčevog zračenja, prije prolaska kroz Zemljinu atmosfem odgovara valnoj đužini X„ = 0,47 pm. Uvrštavanjem u (11.40.) dobivamo za kolor temperatum Sunca vrijednosti: 6° 0 0 K .

(11.47.)

Dobiva se da je radijaciona temperatura Sunca približno jednaka 5800 K. Mala razlika izmedu kolor i radijacione temperature ukazuje na to da je površina Sunca po svojim osobinama bliska apsolutno cmom tijelu. Treba napomenuti da za tijela čiji karakter zračenja se razlikuje od zračenja svib tijela (“hladno zračenje”), pojam kolor temperature gubi fizikalni smisao.

• 277

12. KVANTI ELEKTROMAGNETSKOG ZRAČENJA (FOTONI)

12.1. ZAKOČNO RENDGENSKO ZRAČENJE U prošlom poglavlju vidjeli smo da je za objašnjenje toplinskog zračenja bilo potrebno uvesti hipotezu (Planck) o emisiji elektromagnetskog zračenja u obrocima hco. Kvantna priroda zračenja potvrđuje se također postojanjem kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Rendgensko zračenje nastaje pri bombardiranju čvrstih meta bnrim elektronima. Na crtežu 12.1. shematski je prikazana elektronska rendgenska cijev1.

Rendgenske2 zrake stvaraju se u ionskim ili elektronskim cijevima. Mi ćemo opisati elektronsku rendgensku cijev jer je suvremenija i nalazi se u širokoj primjeni. Kod ovog tipa rendgenske cijevi emisija elektrona je termoelektronska, na principu zagrijavanja katode. Katoda K je u obliku spirale 1 Ovo je shema ptve renđgenske cijevi, sada su u upotrebi cijevi od metala s otvorima za X-zrake. 2 W. C. Rontgen (1845.-1923.), njemačld fizičar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1901.).

278

(volfram) koja se zagrijava do usijanja, posebnim strujnim kolom. Na suprotnoj strani od katode u cijevi u kojoj je visoki vakuum (oko 10"5 Pa) nalazi se anoda A. Između anode i katode prikijučen je visoki napon. Slobodni • elektroni pod djelovanjem električnog polja kreću se ubrzano prema anodi sa kojom se sudaraju. Na mjestu sudara nastaju rendgenske ili X-zrake. Veći dio energije elektrona izđvaja se na anodi (antikatodi) u obliku toplote; u zračenje se pretvara samo 1-3% energije. Cijevi velike snage treba intenzivno hladiti. Obično kroz tijelo anode cirkulira tečnost za hlađenje. Eksperiment pokazuje da se intenzivno zračenje može dobiti samo pri naglom kočenju brzih elektrona. Za ovo na rendgensku cijev treba dovesti napon viši od 50 kV. Kod takvog napona elektron postiže brzinu reda veličine 0,4 c, kod 50 MV brzina elektrona iznosi 0,99995 c. Takvi elektroni daju izuzetno male valne dužine X-zračenja. Pri dovoljno velikoj brzini dllđk elektrona, osim zakočnog zračenja (tj. zračenja uvjetovanog kočenjem elektrona) pobuđuje se i karakteristično zračenje. Karakteristično zračenje izazvano je pobuđivanjem unutrašnjih elektrona omotača atoma, tijela mete (antikatode). Prema klasičnoj elektrodinamici, pri kočenju elektrona, treba da se jave valovi svih valnih dužina od nule do beskonačnosti. Valna dužina kojoj odgovara maksimiun zračenja treba da se smanjuje sa povećanjem brzine elektrona, tj. napona u cijevi, U. Na crtežu 12.2. prikazane su eksperimentalne krivulje raspodjele intenziteta zakočnog zračenja dl/dk po valnim dužinama X za razne vrijednosti napona U. Kao što se vidi na citežu 12.2. postoje odstupanja od zahtjeva klasične elektrodinamike. Neslaganje se sastoji u tome da frinkcija raspodjele ne ide prema koordinatnom početku nego se prekida kod neke konačne vrijeđnosti X„jir Eksperimentalno je utvrđeno d a je kratkovalna granica zakočnog zračenja povezana s naponom relacijom:

279

Xmin

1239 [nm], U(V)

( 12. 1.)

gdje je XmiKizraženo u nm a napon U u voltima. Postojanje kratkovalne granice mo.že se objasniti kvantnom prirodom zračenja. Ako prihvatimo da zračenje nastaje na račun energije koju elektron gubi pri kočenju, to veličina kvanta ha> ne može da bude veća od kinetičke eneigije elektrona. Prelazeći potencijalnu razliku u električnom polju rendgenske cijevi, elektron vrši rad koji je jednak kinetičkoj energiji:

( 12.2.) gdje je e = 1,6 x 10'19 C, a U napon. Iz ovoga slijedi: hio <, eU.

(12.3.)

Pošto maksimalnoj frekvenciji odgovara minimalna valna dužina dobivamo: _ eU h (12.4.) 2nc _ hc ^min — eU © Zamjenom vrijednosti konstanti h, c i e dobivamo relaciju (12.1.) koju je trebalo objasniti: , 1239 r , L u = — t—r l n m l . -» n’,n č/(V )1 1 Spektar zakočnog zračenja je kontinuiran i ne zavisi od (materijala) supstance od kojeg je napravljena anoda pa se obično zove bijelo zračenje (po analogiji sa spektrom Sunčevog zračenja). Ukoliko je energija elektrona jednaka kritičnoj veličini ili veća od nje nastaje zračenje koje se naziva karakteristično zračenje, koje nastaje kao posljedica izbijanja elektrona iz unutrašnjih oibita atoma materijala od kojeg je napravljena anoda. Elektroni vrlo velikih brzina udaraju u anođu, i pobuđuju atom, upražnjeno mjesto se popunjava elektronima iz vanjskih oibita što je praćeno emisijom X-zraka karakterističnog spektra. Na crtežu 12.3. dat je karakteristični spektar. Objašnjenje karakterističnog spektra objašnjava kvantna teorija o čemu će biti riječi u slijedećim poglavljima.

280

dlldk

Citež 12.3.

12.2. F O T O E L E K T R I Č N I E F E K T Fotoelektrični efekt ili fotoefekt je emisija elektrona iz m aterijala pod djelovanjem svjetlosti. Ovu pojavu otkrio je 1887. godine Hertz1, primijetivši da se preskakanje iskri između cinkovih kuglica znatno olakša ako se jedna kuglica osvijetli ultraljubičastom svjetlošću. Na crtežu 12.4. je shema uređaja za ispitivanje fotoefekta. Svjetlost prolazi kroz kvarcni prozor KP u evakuirani balon i osvjetljava katodu K, koja je napravljena od materijala koji se ispituje. Elektroni emitirani, uslijed fotoefekta, prelaze pod djelovanjem električnog polja na anodu A. Kao rezultat u električnom kolu teče struja koja se mjeri galvanometrom G. Napon između anode i katode može se mijenjati pomoću potenciometra P.

1 Heinrich Hertz (1857-1894), njemaiki fizičar, prvi je eksperimentalno dobio elektiomagnetske valove i time potvrdio Maxwellovu teoriju. •

281

Na crtežu 12.5. prikazana je krivulja koja pokazuje ovisnost fotostruje o naponu između clektroda U, pri konstantnom svjetlosnom fluksu <1>. Iz te krivulje se vidi da pri nekom velikom naponu, fotostruja postaje zasićena. Struja zasićenja se postiže kada svi elektroni koje emitira katoda dospijevaju na anodu. Jačina struje zasićenja određuje se prema broju elektrona koje emitira katoda u jedinici vremena pod djelovanjem svjetlosti. Za U= 0, fotostmja ne iščezava. To služi kao dokaz da elektroni napuštaju katodu sa btzinom različitom od nule. Da bi fotostruja bila jeđnaka nuli, potrebno je đovesti napon kočenja Ut Pri takvom naponu ni jedan od elektrona čak ni oni najbrži sa brzinom vm ne dospijevaju na anodu. Pri ovome možemo pisati da je: (12.5.) gdje je m-masa elektrona, a e-naboj elektrona. Na ovaj način, ako se izmjeri napon kočenja Uk može se odrediti maksimalna vrijednost brzine fotoelektrona. Ako je spektralni sastav svjetlosti koja pada na katodu konstantan, jačina struje zasićenja proporcionalna je svjetlosnom fluksu O: ( 12.6.)

gdje je koeficijent proporcionalnosti. Eksperiment pokazuje da napon kočenja Ut ne ovisi o veličini svjetlosnog fluksa nego o frekvenciji. Sa crteža 12.6. se vidi da u slučaju da se katoda obasja monokromatskom svjetlošću, napon kočenja se mijenja sa frekvencijom svjetlosti co po lineamom zakonu: Uk=a(0 —q>,

(12.7.)

gdje su a i q> konstante. i

u Crtež 12.5.

282

-i/j, - U a

u

-U a

Crtež 12.6.

Pomnožimo (12.7.) sa e i uvrstimo u relaciju (12.5.), dobit ćemo: e Uk = ^ m v 2m = e(cm-q>).

(12.8.)

Iz posljednje relacije slijedi: elektroni mogu napustiti katodu pod djelovanjem svjetlosti kada je ispunjen uvjet: aco ž (p m co >co0 = x . a Za valnu dužinu dobiva se odgovarajući uvjet. X> X0 = ^ .

(12.9.)

( 12.10.)

Frekvencija co0ili valna dužina naziva se crvena granica fotoefekta. To je granična frekvencija pri kojoj je napon kočenja jednak nuli, crtež 12.7. Zakoni fotoefekta su u suprotnosti sa klasičnom valnom teorijom svjetlosti. Prema klasičnoj elektromagnetskoj teoriji, elektroni tvari oscilirali bi proporcionalno s amplitudom svjetlosnih valova. Međutim, eksperiment pokazuje da btzina elektrona ne zavisi od amplitude svjetlosnih valova nego samo od fiekvencije upadne svjetlosti. Albert Einstein je 1905. godine pokazao da se zakonitosti fotoelektričnog efekta mogu lako objasniti, ako se pretpostavi da se svjetlost apsorbira u istim obrocima (kvantima) he>, u kojima se prema Plankovom zakonu emitira. Kada se svjetlosni kvant (foton) sudari sa elektronom koji se nalazi na povTŠini metala ili neposredno ispod nje, on može da prenese svoju energiju na elektron. Elektron primi ili cjelokupnu energiju fotona ili ne primi nikakvu. U slučaju predaje energije, foton prestaje da postoji. Energija koju je elektron primio može da mu omogući da prođe kroz potencijalnu barijeru, ukoliko se kreće u dobrom pravcu. Prolazeći kroz poteneijalnu barijeru elektron gubi određenu količinu energije W, koja je

•

283

karakteristična za danu površinu i naziva se izlazni rad. Elektron koji polazi sa nekog udaljenijeg mjesta ispod površine može da izgubi veći iznos energije, ali maksimalna energija kojom elektron može da napusti površinu metala ravna je energiji fotona umanjenoj za veličinu izlaznog rada. Dakle maksimalna kinetička energija fotoelektrona izbačenih kvantima svjetlosti jednaka je: = h c o -W .

(12.11.)

Relacija (12.11.) je poznati Einsteinov zakon fotoelektričnog efekta. Lako je vidjeti da je ovaj zakon u suglasnosti sa Millikanovim1 (Milikan) eksperimentalnim rezultatima, relacija (12.8.). Upoređivanjem jednadžbi (12.8.) i (12.11.) dobivamo da je: h = ea = e tg a W = etp.

(12.12.)

Prema tome, iz tangensa nagibnog ugla na crtežu 12.7. može se odrediti Planckova konstanta Ti. Vrijednost za h đobivena na ovaj način podudara se sa rezultatima dobivenim iz spektralne raspodjele ravnotežnog toplotnog zračenja i kratkovalne granice zakočnog rendgenskog zračenja. Odsječak , relacija (12.6.). Naime, veličina svjetlosnog fluksa određena je brojem kvanata svjetlosti koji padaju na površinu u jedinici vremena. Istovremeno, broj oslobođenih elektrona treba da bude proporcionalan broju upadnih kvanata. Povećanje fluksa svjetlosti znači samo da, više fotona pada na katodu u jedinici vremena, što odgovara većera broju izbačenih fotoelektrona, ali maksimalna energija ostaje ista je r je i energija fotona ista. Granična frekvencija (crvena granica fotoefekta) danpg materijala je ona frekvencija pri kojoj je energija fotona jednaka izlaznom radu materijala, tj. elektron mora da primi najmanje toliku energiju da bi se oslobodio površine. Osim vanjskog fotoefekta, kojeg smo izučavali, postoji također i unutrašnji fotoefelct, koji se primjećuje u dielektricima i poluvodičima. 1 Robert Andrews Millikan (1868.-1953.), amerifki fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade za fiziku (1923.).

284

12.3. FOTONI Da bi se objasnila raspodjela energije u spektra ravnotežnog toplinskog zračenja dovoljno je, kao što je pokazao Planck, pretpostaviti da se svjetlost emitira sarao u kvantima ftto. Da bi se objasnio fotoefekt dovoljno je pretpostaviti da se svjetlost apsorbira u istim takvim kvantima. Međutim, Einstein je išao dalje. On je pretpostavio da se svjetlost i rasprostire u obliku diskretnih čestica, prvobitno nazvanih svjetlosni kvanti, a kasnije su te čestice dobile naziv fotoni. Einsteinova hipoteza potvrđena je nizom eksperimenata. Foton treba shvatiti kao česticu u kojoj je koncentrirana energija elektromagnetskog polja, tj. česticu čija je energija jednaka: E

(12.13.)

Energija fotona, zavisi samo od valne dužine, odnosno frekvencije elektromagnetskog zračenja. Foton valne dužine X = 550 nm ima energiju E 2,23 eV, dok energija fotona X-zraka leži u intervalu od 15 eV (X = 80 nm) do približno 100 MeV (X = 10'14 m). Suglasno teoriji relativnosti, čestici s energijom E odgovara masa, m = Elć1. Odavde se dobije da je masa fotona jednaka: ftd) c2 ’

(12.14.)

S druge strane, ako u izraz za relativističku masu (10.43.) uvrstimo, za brzinu fotona brzinu svjetlosti, tj. v = c, nazivnik će biti jednak nuli. Istovremeno je, kao što se vidi iz (12.14.) masa fotona konačna. Ovo je moguće jedino u slučaju da je masa mirovanja m„, jednaka nuli, tj.: 0%

_ o

T-

v c2 Znači, fbton je čestica koja se bitno razlikuje od čestica kao što su elektron, proton i neutron, koji imaju masu mirovanja različitu od nule i koji se mogu nalaziti u stanju mirovanja. Foton nem a mase m lrovanja i može da postoji samo kad se kreće brzinom prostiranja svjetlosti. Uvrštavanjem m0 = 0 u formulu (10.56.) dobiva s e E = cp. Odavde slijedi da foton ima impuls:

E__ ftco _ 2rth ^

c

c

X

(1 2 .1 5 .)

•

285

Uzimajući u obzir da je 2nfk jednako valnom broju k, tj. modulu valnog vektora k , impuls fotona može se pisati u obliku vektora: p = hk

(12.16.)

Iz postojanja impulsa fotona slijedi da svjetlost, koja pada na bilo koje tijelo, mora da vrši pritisak na to tijelo, koji je jednak impulsu koji fotoni predaju jedinici površine u jeđinici vremena. Razmotrili smo niz pojava, u kojima se svjetlost ponaša kao struja čestica (fotona). Međutim, ne treba zaboraviti da se pojave kao što su interferencija i difrakcija svjetiosti, mogu objasniti samo na osnovu valnih pretpostavki. Svjetlost iskazuje korpuskularno-valni dualizam: u nekim pojavama pokazuje se njena valna priroda i ona se pohaša kao elektromagnetski val, a u drugim pojavama, pokazuje se korpuskulama priroda svjetlosti i ona se ponaša kao tok fotona. Dualizam je karakterističan ne samo za svjetlosne čestice, već i za ostale čestice materije (elektrone, protone, neutrone, itd.) o čemu će biti govora kasnije. Da bismo objasnili vezu između valne i korpuskulame slike, posmatrat ćemo osvjetljenost neke površine. Prema valnoj teoriji osvjetljenost u nekoj točki površine proporcionalna je kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema korpuskulamoj teoriji, osvjetljenost je proporcionalna gustoći fluksa fotona. Znači, između kvadrata amplitude svjetlosnog vala i gustoće fluksa fotona postoji direktna proporcionalnost. Nosilac energije i impulsa je foton. Kvadrat amplitude vala određuje vjerojatnost da foton padne u danu točku površine. Vjerojatnost dP da foton bude nađen unutar zapremine dV, koja u sebi sađrži posmatranu točku, određena je izrazom:

dP = v i 2<*V,

(W.17.)

gdje je x koeficijent proporcionalnosti, A amplituda svjetlosnog vala. Veličina: — = %A2 (12.18.) dV K ’ naziva se gnstoća vjerojatnosti nalaženja fotona unutar zapremine dV.

12.4. COMPTONOV EFEKT I pored uspješnog Einsteinovog objašnjenja fotoefekta, veliki broj fizičara je smatrao da fotoni nisu fizička realnost. Točnije, i dalje se sumnjalo u korpuskulamost fotona, u njihovu indiviđualnost u prostora. Eksperiment kojeg je izveo A. Compton (Kompton) 1923. godine jasno je istakao korpusku-

286

lame osobine svjetlosti, nazvan je Comptonov efekt. Compton je istražujući raspršenje rendgenskib zraka na raznim supstancama (litij, berilij, grafit) primijetio da se rasprSene zrake, sastoje od dvije komponente: jedna sa nepromijenjenom valnom dužinom X, i druga čija je valna dužina X' veća od valne dužine upadnog zračenja. Shema Comptonovog eksperimenta je na crtežu 12.8. Uzak snop monokromatskog rendgenskog zračenja pada na supstancu koja ga raspršuje. Spektralni sastav raspršenog zračenja ispituje se pomoću rendgenskog spektrografe sastavljenog od kristala i ionizacione komore. Eksperimentalno je pokazana slijedeća ovisnost: AX = Xo(l - cos0),

(12.19.)

gdje je AX = X' - X, 0 ugao koji obrazuje smjer raspršenog zračenja i smjer prvobitnog snopa, X„ je Comptonova valna dužina koja za elektrone ima vrijednost:

X0= 2,42,lO'12m.

(12.20.)

Comptonov efekt može se objasniti, ako se raspršenje posmatra kao proces elastičnog sudara rendgenskih fotona s praktično slobodnim elektroni-

ma. Slobodnim, se mogu smatrati elektroni koji su najslabije vezani za atom, čija je energija vezanja znatno manja od eneigije koju foton može da preda elektronu prilikom sudara. Suština eksperimenta sastoji se u slijedećem: neka na elektron, koji se nalazi u stanju mirovanja, pada foton energije hm, i impulsa h k . Energija elektrona do sudara iznosi m^c1 (m0 masa mirovanja), impuls je jednak nuli. Poslije sudara elektron će imati energiju mc2 i impuls m v , a energija i impuls 287

fotona će se također promijeniti i iznosit će fico’ i h k '. Iz zakona o očuvanju impulsa (količine kretanja) i očuvanja energije slijede dvije relacije: h k = m v + hk' (

12.21.)

ha+ m ^c2 =h
+ ( h k f + ( h k f - 2(hk)(hk') + 2m
Iz crteža 12.8. slijedi da je: ( m v f = ( h k f + ( h k f - 2(hk)(hk')cos9.

(12.23.)

Oduzimanjem jednadžbe (12.23.) od (12.22.) dobiva se: m\(p- - v2) = m 2
(12.24.)

Uzimajući u obzir relaciju (10.43.) lako možemo pokazati da je m2(

(12.25.)

Pomnožimo relaciju (12.25.) s 2rt i podijelimo s k k 'm f, dobivamo: 2 ji k

2it = ----- (l-c o sG ). k mf

, (12.26.)

Pošto je — = X i — = X' , dobivamo formulu: k k' AX = X '- X = —

(1-cosG)

.

(12.27.)

koja se podudara sa empirijskom formulom (12.19.). Uvrštavanjem brojčanih vrijednosti h, m0 i c dobiva se vrijednost za konstantu X f Xo = 2,4210-,2m što je u dobrom slaganju sa eksperimentalnim rezultatima (12.20.).

288

13. BOHROVA TEORIJA ATOMA

13.1. ZAKONITOSTI ATOMSKIH SPEKTARA Užarena čvrsta tijela emitiraju svjetlost s kontinuirano raspodijeljenim valnim dužinama. Od temperature užarenog tijela zavisi koji je dio spektra najintenzivniji, ali intenzitet svjetlosti opada prema manjim i većim valnim dužinama. Nasuprot ovome kontinuiranom spektru čvrstih tijela, opaža se kod plinova i p ara diskretne linije koje su karakteristične za pojedini kemijsld element. Ćitav spektar se sastoji od niza oštro određenih linija. Lako je vidjeti da linijski spektar potiče od atoma. Električno pražnjenje u cijevi niskog pritiska pobuđuje uvijek veliki broj atoma na emisiju svjetlosti. Linijski spektar možemo proučavati na emisionom ili apsorpcionom spektru. Pusti li se “bijela svjetlost” (svjetlost složenog spektra, npr. sunčev spektar) kroz neke pare ili gas, opaža se u dobivenom spektru da su neke linije ugašene. “Tamne linije” stoje točno gdje bi ležale emisione linije. Gas dakle apsorbira svjetlost onih valnih dužina koje bi inače emitirao. Emisioni spektar slaže se potpuno sa apsorpcionim spektrom. Ova određenost u spektrima kemijskih elemenata, jedan je od osnovnih zakona atomske fizike. Spektar atoma vodika kao najjednostavnijeg atoma, pruža najbolje mogućnosti za analizu strukture atoma na osnovu njihovog spektra. Kad se kroz Geisslerovu (Gajsler) cijev s vodikom propusti električna struja, ona emitira svjetlost koja upada u spektralni aparat i dobiva se linijski spektar sa velikim brojem linija, preko kojih je supeiponirana serija linija poredanih karakterističnim redom. Ova pojava se objašnjava činjenicom da je vodik normalno u molekulskom stanju i da je pri prolasku električne struje jedan broj molekula razdvojen na atome odnosno ione. Povećanjem intenziteta struje kroz cijev, serija linija u spektm sve više dolazi do izražaja dok se mnoštvo linija gubi. To znači da se pri povećanju struje sve veći broj molekula razlaže, pa se dobiva pretežno spektar vodika u atomskom stanju. Prvi je švajcarski fizičar Balmer 1885. godine otkrio da se vodikov spektar može prikazati jednostavnom matematskom formulom. Njemu su tada bile poznate četiri vidljive vodikove linije sa njihovim valnim dužinama. 289

H,

H.

Hs

Osim navedenih linija, koje su u vidljivom dijelu spektra, u ultraljubičastom dijelu pojavljuje se mnogo linija koje su sve bliže jedna drugoj i završavaju se sa H„ = 365 nm. Balmerova formula daje zakon po kojem se može izračunati valna dužina svake linije ove serije:

%

U

r l *» = 3,4,5,...

m2)

(13.1.)

gdje je R Rydbergova (Ridberg) konstanta i iznosi: R = 1,097-10’ m"1.

(13.2.)

Usavršavanjem spektrografskih aparata pronađene su i druge serije u infracrvenom i ultraljubičastom đijelu spektra vodika. Njihove valne đužine računaju se prema jednostavnom zakonu: (13.3.) gdje je • • . . .

n = 1, 2, 3, 4, 5 a m = n+1, n+2, ..., ođnosno: n - 1, Lymanova (Lajmanova) serija, ultraljubičasto podmčje, m = 2,3,... n = 2, Balmerova (Balmer) serija, vidljivo područje, m = 3, 4, 5,... n = 3, Paschenova (Pašen) serija, infracrveno područje, m = 4 ,5 ,6 ,... n = 4, Brackettova (Breket) serija, infracrveno područje, m = 5, 6,... n = 5, Pfundova (Pfund) serija, infracrveno područje, m = 6, 7, 8,...

Teoretski m -> « , te svaka serija ima beskonačno linija, ali za veće m, linije su tako blizu da se više ne mogu razlučiti.

290

13.2. RUTHERFORDOV MODEL ATOMA Dimenzije atoma su izračunate još u 19. vijeku pomoću kinetičke teorije plinova. Određeno je da polumjer atoma iznosi oko 10'10 m. Prvi model koji je razradio J. J. Thomson1(1904.) bio je tzv. statički model atom a. Međutim, ovaj model nije mogao objasniti spektre zračenja i vrlo bizo je odbačen. Da bi se ispitala struktura atoma i raspodjela negativnog i pozitivnog naboja u atomu, Emest Rutherford (Raderford)2 i njegovi suradnici bombardirali su (1911.) metalne folije alfa česticama i posmatrali promjenu njihovog smjera pri prolazu kroz foliju.

Alfa čestice su, pozitivno naelektrizirane (+2e) i izlaze iz nekih radioaktivnih elemenata. To su ustvari jezgra helija 2He4, imaju relativno veliku masu i kinedčku energiju i zbog toga, mogu poslužiti kao projektili za ispitivanje strukture atoma. Pri prolazu kroz supstancu al& čestice se otklanjaju od prvobitnog smjera kretanja za različite uglove 6. Raspršene čestice udaraju u zaklon pokriven cinkovim sulfidom gdje izazivaju scintilacije (svijetljenja) koje se posmatraju mikroskopom. Sve je smješteno u evakuirani balon, da bi se smanjilo sudaranje alfa čestice sa molekulama zraka. Mjerenja su pokazala da veliki broj alfa čestica prolazi kroz tanki metalni listić (foliju) kao da je prazan prostor, na te alfa čestice metalni listić ne djeluje, kao da ga i nema. Jedan dio se alfa čestica rasprši, neke za velike kutove. Analizirajući rezultate eksperimenta Rutherford je došao do zaključka, da tako veliko skretanje alfa čestica moguće je samo u tom slučaju ako se 1 J. J. Thomson (1856.-1940.), engleski fizičar. Proučavao vođenje elektriciteta kroz plinove, otkrio elektron 1897. Dobitnik Nobelove nagrade 1906. 2 Emest Rutherford (1871.-1937.), dobitnik Nobelove nagrade za kemiju 1908.

291

unutar atoma nalazi jako električno polje, formirano nabojem vezanim za veliku masu i koncentrirano u maloj zapremini. Na osnovu ovoga Rutherford je predložio model atoma sa jezgrom, tzv. nuklearni model. Prema ovom modelu, atom predstavlja sistem naboja u čijem se centru nalazi teško pozitivno jezgro sa nabojem Ze veličine 10'H m a oko jezgra kruži Z elektrona na udaljenosti 10'10m. Nukleami model je mogao objasniti raspršenje alfa čestica, jer je jezgro 104 puta manje od atoma a u njemu je koncentrirana sva masa atoma (masu elektrona možemo zanemariti u uspoređbi s masom jezgre), tako da je veliki dio atoma upravo prazan prostor. Međutim, nukleami model ne objašnjava atomske spektre i nalazi se u suprotnosti sa zakonima klasične mehanike i elektrodinamike. Ovakav model ne daje stabilnost atoma. Elektroni koji se kreću oko jezgra po zatvorenim putanjama, kreću se ubrzano. Po zakonima klasične elektrodinamike, naboj koji se kreće ubrzano emitira elektromagnetske valove. Stoga bi elektroni u atomu morali neprestano emitirati elektromagnetske valove, time gubiti energiju, tako da elektron na kraju mora da padne na jezgro. Smanjivanjem polumjera putanje rasla bi frekvencija emitiranja zračenja, frekvencija bi se dakle kontinuirano mijenjala, te bi atom, po klasičnoj teoriji emitirao kontinuirane spektre, a ne linijske, kako pokazuju eksperimenti. Prema tome klasična fizika ne može objasniti stabilnost atoma ni atomske spektre.

13.3. BOHROVI POSTULATI Neils Bohr1 (Nils Bor) je 1913. đopunio Rutherfordov model atoma sa dva postulata, i na taj način uspio objasniti strukturu elektronskog orrfotača i procesa emisije i apsorpcije svjetlosti. Prvi Bohrov postulat. Od beskonačno mnogo elektronskih orbita (putanja), mogućih s gledišta klasične m ehanike, javljaju se u stvarnosti samo neke diskretne orbite, koje zadovoijavaju određene kvantne uslove. Elektron, koji se nalazi na jednoj od tih orbita, bez obzira na to što se kreće s ubrzanjem , ne em itira elektromagnetske valove. Drugi Bohrov postulat. Zračenje se em itira ili apsorbira u obliku svjetlosnog kvanta energije Acd p ri prijelazu elektrona iz jednog stacionarnog (stabilnog) stanja u drugo. Veličina svjetlosnog kvanta jednaka je razlici I Niels Bohr (1885.-1962.), danski fizičar, dobitnik Nobelove nagrade (1922) za model atoma vodika.

292

energije onih stacionarnih stanja, između kojih se dešava kvantni skok elektrona: h(o = Emn En. n

(13.4.)

Frekvencija emitirane svjetlosti iznosi: (13.5.) Stacionarno stanje je takvo stanje p ri kojem atom ne zrači nikakvu energiju, m ada se elektron kreće ubrzano. Neobičnost Bohrovih postulata sastoji se u zabrani zračenja u stacionarnom stanju iako se elektroni kreću ubrzano. Takvo shvaćanje se protivi klasičnoj nauci o elektromagnetizmu, odnosno zračenju elektromagnetskih valova.

13.4. FR A N C K -H E R T Z O V E K S P E R JM E N T Franck1 i Hertz (Frank i Herc) su 1914. uspjeli eksperimentalno potvrditi postojanje određenih energetskih nivoa u atomu i opravdanost Bohrove teorije. Osnovni dio njihovog uređaja je trioda napunjena razrijeđenim živinim parama, crtež 13.3. Iz užarene katode izlijeću elekhoni i ubrzavaju se prema anodi. Potencijal rešetke je nešto malo pozitivniji (oko 0,5 V) od potencijala anode, te će se elektroni, koji imaju energiju manju od oko 0,5 eV, zaustaviti na rešetki, dok će se ostali elektroni veće energije skupiti na anodi. Mijenjanjem anodnog napona i mjerenjem anodne struje može se snimiti karakteristika ove triode (/-(/), crtež 13.4. Kada napon raste od nule do 4,9 V, anodna struja raste jer elektroni stižu na anodu. Kad je napon oko 4,9 V, anodna struja pada (a struja rešetke raste). Povećanjem napona ponovo raste struja, dok ne dostigne 9,8 V gdje se ponovo javlja maksimum anodne struje. Ovaj eksperiment možemo objasniti ako pretpostavimo da su energetski nivoi elektrona u atomu žive kvantizirani. Kada je napon manji od 4,9 V, elektroni u cijevi nemaju dovoljnu energiju da pobude atome žive, već se samo elastično sudaraju s atomima žive i zbog male mase, praktično im ne predaju energiju. Struja u cijevi raste jer elektroni dospijevaju na anodu. Čim je energija elektrona dostigla vrijednost 4,9 eV, elektron ima dovoljnu energiju da pobudi atom žive. U takvom neelastičnom sudaru elektron izgubi energiju 1 James Franck (1882-1964) i GustavHertz (1887-1975), njemački fizičari koji su pođijelili Nobelovu nagradu za fiziku (1925) za eksperimentalne radove koji se odnose na sudare elektrona i atoma.

293

i umjesto na anodu đospijeva na rešetku. Zbog toga anodna struja pada, a struja rešetke raste. Rešetka zbog svog pozitivnog prednapona privlači elektrone, koji su u sudaru u blizini rešetke izgubili svu kinetičku energiju. Kada povećamo napon, elektroni ranije postižu energiju za neelastičan sudar, koji se dešava prije rešetke, u prostoru između katode i rešetke, bliže katodi, te elektron nakon sudara dok dođe do rešetke, ponovo dobije dovoljnu energiju da prođe kroz nju. To je razlog da struja raste kada je napon veći od 4,9 V. Kada napon dostigne vrijednost 2x4,9 V, elektron je sposoban da izvrši dva neelastična sudara, jedan ispred, a drugi blizu rešetke. Ovaj efekt se ponavlja svakih 4,9 V, crtež 13.4. Iz ovog eksperimenta može se zaključiti da atom žive iz osnovnog stanja može preći u pobuđeno stanje primivši samo određeni kvant energije. Atomi koji su primili kvant energije prelaze u*pobuđeno stanje, iz kojeg se poslije veoma kratkog vremena vraćaju (»lO'8 s) u osnovno stanje, emitirajući kvant svjetlosti energije tko. Za živu, energija od 4,9 eV je karakteristična i odgovara valnoj dužini zračenja od: _ 2iihc_ ^ 250nm . (13 6 ) 4,9 eV Poznato je da živine pare emituaju svjetlost pri tom procesu. Valna dužina, izmjerena spektralnim aparatom je, X = 253,7 nm, što je u dobrom slaganju sa vrijednošću izračunatom pomoću relacije (13.6.).

294

13.5. ELEMENTARNA (BOHROVA) TEORIJA VODIKOVOG ATOMA Prema prvom Bohrovom postulatu dozvoljene su samo one orbite (kvantni uvjet) za koje važi da je moment količine kretanja elektrona jednak cjelobrojnom višekratniku Planckove konstante h. Broj n je prirodan broj i naziva se glavni kvantni broj: m,vr = nh; n= 1 ,2 ,3 ,...

(13.7.)

m, - masa elektrona, v - bizina i r - polumjer orbite. Tako je Bohr izrazom (13.7.) kvantizirao kretanje elektrona u elektronskom omotaču atoma. Uzevši u obzir da Coulombova (Kulonova) sila između protona i elektrona, uzrokuje centripetalnu sihi potrebnu za kretanje po kružnici, mogu se odrediti polumjeri stacionamih oibita, brzine i energije elektrona na tim kružnicama. Da bi elektron kružio po «-toj orbiti mora biti zadovoljen uvjet stabilnosti, tj. centripetalna sila Fc jednaka je Coulombovoj sili: H r). - 1 _ " . 4its0 r gdje je Z -redni broj, e-n ab o j elektrona i = 8,854-10'12 C2/Nm2, dielektrična konstanta vakuuma. Prema tome, uvjet stabilnosti glasi: 1 Ze1 m,v (13.8.) r 4ice0 r Eliminacijom v iz jednadžbe (13.7.) i (13.8.) dobivamo da polumjer elektronskih orbita može da ima samo diskretne vrijednosti: m. Za prvu oibitu vodikovog atoma (Z = 1, n = 1) dobiva se:

4jtenft2 = 0,053nm .

(13.10.) m.e Iz (13.8.) i (13.9.) može se izračunati brzina elektrona u n-toj orbiti: r, = -

e?Z 1 4trevh n

(13.11.)

Za osnovno stanje vodikovog atome v, » c/137. Ukupna energija elektrona sastoji se od kinetičke i potencijalne energije: E = Ek + Ep.

(13.12.)

295

Kinetička energija može se dobiti ako jednadžbu (13.8.) pomnožimo s r!2: m,v2 _

1__ Z£_ 4 ji60 2r

2

(13.13.)

Da bismo dobili potencijalnu energiju elektrona u električnom polju jezgra, treba riješiti integral: E = jF ( r ) d r =

J4 1 „ jte

Z e^ r1

1 Ze2 +C. 4 jce0 r

(13.14.)

Obično se uzima da je osnovni nivo Ep = 0, kada r-»«>. Odavde slijedi da je konstanta C=0. Konačno, potencijalna energija elektrona u atomu je negativna. Znak minus znači da je elektron u polju jezgra, elektron s pozitivnom potencijalnom energijom, je slobodan elektron. Znači potencijalna energija jednaka je: Ep

1 Ze2 1 ** 4 jie0 r

(13.15.)

Ukupna energija elektrona jednaka je: 1 Ze2 Ze2 1 Ze2 (13.16.) 4 jce 0 2r 4 jie0 2r 4 jte0 r Uzevši u obzir relaciju (13.9.) dobivamo da je ukupna energija elektrona u n-toj orbiti jednaka: E=

1

Z 2e'm 1 (13.17.) -s-f; n =\ X — (4 jce0)2 2 h2n2 Vidimo da je ukupna energija negativna i mijenja se sa 1/n2. Energija 1 osnovnog stanja za vodikov atom iznosi: ' E = -

E , = —. ^5- 5 -7 = -2,17-10_I,J = -13,6 eV . 32 jc2epl1

(13.18.)

Energija E t, je energija koju je potrebno uložiti da bi se elektron oslobodio iz atoma, tj. da bi se atom vodika ionizirao i često se naziva energija ionizacije. Energiju prvog pobuđenog stanja dobivamo za n = 2, drugog za n = 3, itd.: £ 2 = —3,4eV; £ 3

= -1,5 eV; £ 4=-0,85 eV; Es = - 0 ,5 4 eV. (13.19.)

1 Energija elektrona u energetskim stanjima obično se izražava u eV. Rad potieban da se elektron ili neka dtuga čestica s jedmičnim nabojem. pomjeri između točaka čija je potencijalna razlika IV, zove se elektronvolt (eV): leV = l,6-10'*9CxlV = 1,6-10'I9J.

296

Pošto svakoj stacionamoj orbiti odgovara određena energija elektrona, često se umjesto orbita, govori o dozvoljenim elektronskim nivoima elektrona u atomu. Shema energetskih nivoa određenih relacijom (13.17.) prikazana je na crtežu 13.5. Pri prijelazu vodikovog atoma iz stanja m u stanje n emitira se kvant, prema (13.5.): fia> = E, - E = -

m,e

(13.20.)

{4m J2h2 Valna dužina emitirane svjetlosti iznosi: m,e (13.21.) (4n€0) 4nch3 Na ovaj način došli smo do formule za zakonitost atomskih spektara (13.3.) iz koje možemo izračunati Ryđbergovu konstantu. X

OeV -0,54 eV -fi;85 eV -131 eV

-3,39 eV

Lymanova serija

Crtež 13.5.

297

Uvrstivši u izraz (13.21.) vrijeđnosti konstanti đobiva se vrijednost za Rydbergovu konstantu koja se izuzetno dobro slaže sa eksperimentalnom vrijednošću: R = — ^ — = 1,097 107m -'. (47tft) C£q

(13.22.)

Na osnovu Bohrove teorije moguće je objasniti optičke spektre vodika. Očito da Lymanovu seriju predstavlja grupa linija koju elektroni emitiraju vTaćajući se u osnovno stanje (n = 1), Balmerova, grupu linija koju emitiraju elektroni vraćajući se sa nekog višeg stanja, ali tako da se zaustave na drugoj orbiti (n - 2), itd. Shema kvantnih prijelaza za atom vodika dana je na crtežu 13.6. Možemo zaključiti da su diskretne linije atomskog spektra vodika posljedica kvantnih prijelaza elektrona između diskretnih nivoa energije u atomu. Cijeli brojevi n i m u empirijskoj relaciji (13.3.) i teorijskoj formuli (13.21.), od kojih zavisi valna dužina zračenja, predstavljaju glavne kvantne brojeve, koji određuju nivoe energije elektrona u atomu. Slaganje eksperimentalnih rezultata sa Bohrovom teorijom za vodik je više nego zadovoljavajuće. Međutim, teorija nailazi na nepremostive prepreke kada je trebalo da se primijeni na složene sisteme (atomi sa dva ili više elektrona). Bohrova teorija također nije omogućavala da se odredi intenzitet spektralnih linija, da se objasni cijepanje ovih linija u vanjskom električnom, odnosno magnetskom polju (Zeemanov efekt). Bohrov model atoma vodika je odigrao ogromnu ulogu u razvoju suvremene fizike. Zahvaljujući njemu po prvi put je shvaćeno da postoji principijelna razlika između atoma (i dmgih kvantnih sistema) i makroskopskih tijela, pa se prema tome ni zakoni klasične fizike ne mogu primijeniti, pri objašnjavanju unutar atomskih procesa. Danas je jasno da nedostaci Bohroverteorije vodikovog atoma, leže upravo u njenom poluklasičnom, odnosno polukvantnom karakteru. Bohr je pored kvantnih koncepcija uveo i neke klasične predodžbe kao npr. pojam elektronske orbite, za koju se kasnije pokazalo da je neprimjenjiva za atom. Možemo na kraju zaključiti da je Bohrova teorija koja se oslanja na klasičnu fiziku samo prelazna etapa na putu izgradnje dosljedne teorije atomskih pojava.

298

13.6. KARAKTERISTIČNI SPEKTAR RENDGENSKOG ZRAČENJA Kao što je rečeno pored kontinuiranog spektra rendgenskog zračenja, javlja se i linijski spektar koji ovisi o vrsti materijaia od kojeg je napravljena anoda (antikatoda). Karakteristični linijski spektar nastaje kada upadni elektron izbaci jedan od elektrona iz atoma i tako napravi prazninu u jednoj od unutrašnjih Ijuski atoma. Ako upadni elektron izbije jedan elektron iz K-ljuske volflamovog atoma, nastat će prazmna u toj ljusci. Pntom energija upadnog elektrona mora biti dovoljno velikajerje taj elektron vezan za jezgm energijom od oko 70 keV-a. U vrlo kiatkom vremenu (oko 10-8 s) jedan elektron iz gomjih ljuski (npr. L ljuske) popunit će tu prazninu i pri tome emitirati foton energije: tus>=EL- E K,

(13.23.)

gdje su El i E k energetski nivoi L i K ljuske. n

oo

Praznina u L Ijuski koja je nastala odlaskom tog elektrona, popunit će se elektronom iz slijedeće ljuske itd. Tako ćemo dobiti liniju K u karakterističnom rendgenskom spektru, to je linija s najmanjom frekvencijom koja odgovara prijelazu elektrona na unutrašnju orbitu K. Na crtežu 13.6. prikazan je spektar zračenja rendgenske cijevi s anodom od volframa. Na kontinuirani zakočni spektar superponirane su dvije linije Ka i Kp. Prva nastaje pri prijelazu

• 299

elektrona iz druge na prvu orbitu, dok K$ nastaje pri prijelazu iz treće u prvu orbitu. Shema kvantnih prijelaza rendgenskog zračenja dana je na crtežu 13.6. U principu nema razlike između optičkog linijskog spektra vodika i spektra težih atoma. Linije odgovaraju uvijek prijelazima elektrona s udaljenih na bliže ljuske. Pri prijelazu na K ljusku dobivamo za vodik Lymannovu seriju u ultraljubičastom području, dok za teže atome, zbog većeg naboja jezgre, energije fotona su veće, valne dužine manje, te se tako dobiva K serija rendgenskog zračenja. Unutrašnji elektroni svojim negativnim nabojem zaklanjaju naboj jezgra, te se rezultati Bohrovog modela atoma vodika ne mogu primijeniti na ostale atome. Jedino za K seriju đosta dobro vrijedi formula slična onoj za vodik:

I .( z -,) ■ * ( ,- £ ).

(13.24.)

Ovo je tzv. Moseleyev (Mozli) zakon, gdje je Z redni broj elementa, a n = 2, 3,...

14. KVANTNOMEHANIČKI MODEL ATOMA

14.1. VALNA PRIRODA ČESTICA. DE BROGLIEVA RELACIJA Pošto je dokazano da su elektromagnetski valovi dualističke prirode, pred fizičare dvadesetih godina prošlog stoljeća postavljeno je pitanje: da li je dualizam osobina samo svjetlosti ili je to univerzalna osobina supstance. Francuski fizičar Luis de Broglie' (Luj de Brolj) postavio je 1924. godine hipotezu da dualizam nije osobina samo optičkih pojava nego ima univerzalni karakter. Čestice tvari (elektron, neutron, proton itd.), pored korpuskularnih osobina imaju i valne osobine. Kao što smo već pokazali, foton ima energiju: (14.1.)

E=hm = h \ i impuls: h X'

P

(14.2.)

Odavde dobivamo da valna dužina fotona iznosi: 2nh _h_

(14.3.) P P De Broglie je predložio da čestice supstance, koje su smatrane isključivo korpuskulama (elektron, proton, neutron) imaju valne osobine kao sastavni dio svoje prirode. Valna dužina ovih valova po analogiji sa valnom dužinom fotona (14.3.) jednaka je: X

h_ mv

(14.4.)

De Broglieva relacija (14.4.) o dualističkoj prirodi materije poslužila je kao osnova suvremene valne (talasne) ili kvantne mehanike. 1 Louis Victor de Broglie, francuski fizičar, osnivač valne mehanike, dobitnik Nobelove nagrade (1929.).

301

Zašto valne osobine čestica supstance nisu uočljive kao valne osobine svjetlosti (difrakcija, interferencija), možemo vidjeti na slijedećem primjeni. Posmatrajmo česticu m asem = 10‘8kg, bnrine v = 103 m/s. Prema relaciji (14.4.) dobivamo za De Broglievu valnu dužinu X = 6,6 10'29 m, što je izuzetno mala veličina, praktično nemjerljiva. Da bi detektirali valove ovako kratke valne dužine, morali bismo posjedovati spektralni difrakcioni aparat čija bi optička rešetka bila reda veličine ovih valova. Jasno je da takva rešetka ne postoji niti ju je moguće napraviti. Prema relaciji (14.4.), mjerljive valne dužine posjeđuju samo najlakše čestice koje se kreću najmanjim mogućim brzinama. Tako elektron čija je kinetička energija Ek - 150 eV, ima valnu dužinu X = 10"to m. Ova veličina je reda veličine parametra kristalne rešetke i može se lako mjeriti. De Broglijeva hipoteza je eksperimentalno potvrđena 1927. godine. Davisson i Germer (Devison i Džermer) su primijetili da snop elektrona raspršen na kristalnoj rešetlri daje difrakcionu sliku. Eksperiment se sastoji u slijedećem: snop elektrona ubrzan potencijalnom razlikom U, reda veličine nekoliko desetina kV, prolazi kroz metalnu foliju i dospijeva na fotoploču, crtež 14.1. Elektron pri udaru u fotoploču ponaša se kao foton. Da bismo izračunali valnu dužinu elektrona, pođimo od kinetičke energije elektrona u električnom polju’: (14.5.) Odavde dobivamo brzinu, odnosno impuls elektrona:

p = mv = -JlmeU.

(14.6.)

Odgovarajuća valna dužina prema De Broglieu je: ,

h

1,225

,

,

.

■JlmeU yJU(V) ' ( 4'? ) Elektroni prilikom prolaska kroz metal ne pokazuju pojavu difuzije kao što bi se očekivalo prema klasičnoj fizici, nego pojavu difiakcije. Valna dnžina izračunata iz relacije (14.7.) može se eksperimentalno provjeriti analogno difrakciji rendgensldh zraka za koje važi Braggova formula (7.40.): 2dsinQ = mX; m = 1,2,...

(14.8.)

gdje je 0 - kut između upadne i difraktovane zrake, d — konstanta rešetke (rastojanje između ravni kristalne rešetke) i m - r e d difrakcionih praga. 1 Kineti£ka energija iednaka je radu kojeg elektron izvrSi u električnotn polju, W = afVi - t'ij gdje je e = 1.610 reC. naboj elektrona.

302

Kasnije su izvedeni slični eksperimenti koji su pokazali da i ostale čestice (neutron, proton, atomi, molekule) pokazuju dualističku prirođu. Difrakcija čestica, objaSnjena pomoću De Broglieve relacije, smatra se eksperimentalnom osnovom kvantne mehanike. Valna svojstva elektrona našla su praktičnu primjenu u elektronskom mikroskopu. Poznato je da granica razlučivanja optičkih sistema ovisi o valnoj dužini. Ako je udaljenost između dvije točke koje promatramo mikroskopom manja od polovine valne dužine svjetlosti kojom se koristimo, uslijed difrakcije, bez obzira na uvećanje nećemo uspjeti razlučiti te dvije točke. Moć razlučivanja mikroskopa možemo povećati samo ako smanjimo valnu đužinu. Snop brzih elektrona dobiven pomoću elektronskih leća (električnih ili magnetskih polja) ponaša se kao svjetlosna zraka u običnom mikroskopu. Obzirom da je valna đužina elektrona manja od 0,1 nm, to je i moć razlučivanja elektronskog mikroskopa znatno veća nego običnog mikroskopa.

14.2. SCHRČDINGEROVA JEDNADŽBA Neposredan povod za stvaranje kvantne mehanike, bili su eksperimenti u kojima je proučavano raspršenje elektrona i drugih mikročestica' na kristalima, a koji su pokazali da mikročestice pored koipuskulamih osobina (karakterističnih za obične makročestice) u nizu slučajeva ispoljavaju valne osobine. Iz ovoga se može zaključiti da za opisivanje ponašanja mikročestice, ne važe zakoni klasične mehanike. Ovdje se mora naglasiti da zakoni klasične frzike i dalje vrijede, samo je suženo područje u kojima oni korektno opisuju stanje mikrosvijeta. K vantnu fiziku ne treba smatrati nečim što se ne odnosi na makroskopski svijet. Čitava flzika je zapravo kvantna i njezini zakoni, kako ih danas 1 1 Mikročestice su elementarne čestice (elektroni, protoni, neutroni) i druge jednostavne čestice i složene čestice obrazovane od elementarnih čestica (atomi, jezgre atoma, moiekuli, itd.).

303

poznajemo, su najopćenitiji zakoni prirode. Klasične teorije su, fenomenološke teorije. Takva teorija nastoji sažeto opisati eksperimentalne podatke u nekom ograničenom podmčju fizike. Zakoni klasične fizike su dobri fenomenološki zakoni, ali nam oni ne kažu sve o makroskopskim tijelima. Veoma je važno odrediti područje u kojem važe zakoni klasične mehanike. Vidjeli smo da je brzina svjetlosti prirodan kriterij kojim se može zaključiti da li je promatrana pojava “relativistička” ili nije. Za male brzine u usporedbi s brzinom svjetlosti svi relativistički zakoni prelaze u nerelativističke izraze. Kriterij koji određuje u kom shičaju moramo primijeniti kvantnu mehaniku, odnosno kada se možemo zadovoljiti klasičnom teorijom je Planckova konstanta h. Ovaj kriterij može se formulirati na slijedeći način: Ako u nekom fizičkom sistemu bilo koja dinamička varijabla koja ima dimenziju djelovanja poprima num eričke vrijednosti usporedive s Planckovom konstantom h, onda se ponašanje sisteraa m ora razm atrati u okvirima kvantne mehanike. Ako, s druge strane svaka varijabla koja ima dimenziju djelovanja, izmjerena u jedinicam a h, poprim a velike vrijednosti, onda s dovoljnom točnošću vrijede zakoni klasične mehanike. Iz ovoga možemo zaključiti da kvantna fizika nije izoliran dio fizike koji nema veze sa makroskopskim svijetom. Kvantnu fiziku treba shvatiti kao dio fizike čiji su zakoni (u obliku u kojem su danas poznati) najopćenitiji zakoni prirode, za razliku od klasične fizike koja nema univerzalnu primjenu. Zakoni klasične fizike su dobri fenomenološki zakoni, pomoću kojih raožemo opisati kretanje mehanizama koji su sastavljeni od poluga, opruga itd., ako su nam poznate fizičke konstante materijala od kojeg su napravljeni (kao gustoća, modul elastičnosti, itd.). Međutim, klasična fizika ne daje odgovore na pitanja: zašto gustoća i modul elastičnosti imaju baš tu vrijednost ili zašto se materijal kida pri ^đređenoj vrijednosti napona? Hi, zašto je točka topljenja bakra 1356 K, zašto je srebro provodnik, a guma izolator, itd.? Di, zašto su neki materijali izolatori a neki poluvodiči, itd.? Klasična fizika ne daje teoriju strukture materije. Kvantna teorija dala je odgovore na veliki broj pitanja što je rezultiralo u naglom razvoju nauke i tehnologije XX stoljeća. Navedimo samo neke primjere novih tehnologija koje su se razvile na fundamentalnim osnovama kvantne fizike: nuklearna energija, tranzistorska tehnika, laseri, kompjuteri, itd. Austrijski fizičar Ervin Schrodinger1 (Šredinger) formulirao je 1926. valnu jednadžbu za valove materije. Ta jednadžba, koju danas nazivamo Schrddingerova jednadžba, osnovna je jednadžba kvantne mehanike iI I Erwin Schrođinger (1887.-1961.), austrijski fizičar. DobitnikNobeIovenagrađezafiadku(1933.), jedan od osnivača valne mehanike.

304

im a istu ulogu kao i drugi Newtonov zakou u kiasičnoj fizici: Ona je postulat koji se ne izvodi već se iz nje izgrađuje cijela nerelativistička kvantna mehanika. Schrodingerovu jednadžbu treba smatrati za polaznu pretpostavku, čija se primjenljivost dokazuje slaganjem sa eksperimentalnim činjenicama. Stanje mikročestice opisuje se u kvantnoj mehanici, tzv. valnom (talasnora) funkcijom, koja se obično označava sa grčkim slovom 'F (psi). Ona je funkcija koordinata i vremena, i može se naći rjeErvin Schrodinger šavanjem jednadžbe: *2 au/ _ -2 _ A'P + U'l' = j f c ^ - . (14.9.) 2m dt Veličine koje ulaze u ovu jednadžbu imaju slijedeće značenje: - valna funkcija, i - imaginama jedinica, tt - Planckova konstanta, Tti masa čestice, 'P A - Laplasov operator, A'P = — =-+— j - + — 3* vy w U - potencijalna energija čestica. Kao što se vidi iz jednadžbe (14.9.), oblik valne funkcije T , određen je potencijalnom energijom U, tj. karakterom sila koje djeluju na česticu. U općem slučaju, C/je funkcija koordinata i vremena. Ako potencijalna energija ne ovisi o vremenu, postoje stanja u kojima se energija čestice ne mijenja s vremenom, tj. stacionarna stanja. Valna funkcija za stacionama stanja, ukupne energije E, sadrži dva faktora, od kojih jedan ovisi o vremenu a drugi o koordinatama: '¥ ( x ,y ,z ,t) = e ‘^ \ f ( x , y , z ) .

(14.12.)

Uvrštavanjem funkcije (14.12) u (14.9) dobiva se: * . ------ Awe * +Ue * 2m Dijeljenjem ove jednadžbe sa zajedmčkim faktorom e diferencijalna jednadžba:

(14.13.)

-4

dobiva se

Av + T^(£ - f / )'*, = 0 n

(14.14.)

koju nazivamo Schrddingerova jednadžba za stacionarno stanje.

305

Do Schrodingerove jednadžbe1 može se doći preko slijedećih razmatranja. Iz eksperimenata difrakcije mikroćestica, slijedi da paralelni snop čestica ima osobine ravnih valova, koji se prostiru u smjeru kretanja čestica. Jednadžba ravnog vala, koji se prostire u smjeru ose x, ima oblik: (14.15.) Prema De Broglievoj relaciji, slobodnoj čestici odgovara ravni val frekvencije co = E/h i valne dužine X = liđtip. Ako u izrazu (14.15.) zamijenimo cd i X dobivamo valnu funkciju za slobodnu česticu koja se kreće u smjeru ose x : v ( x ,t) = \|/Ocosl ^ ( E t ~ px)

(14.16.)

Da bismo dobili Schrodingerovu jednadžbu za slobodnu česticu koja se kreće konstantnom brzinom duž osex, diferencirajmo jednadžbu (14.16.) pox:

(14.17.)

Iz (14.16.) i (14.15.) dobivamo diferencijalnu jednadžbu drugog reda: ftrr

-p -V .

(14.18.)

Pošto je ukupna energija slobodne čestice jednaka njenoj kinetičkoj energiji, iskoristimo vezu: ■% Ek = ^ = Ć * 2 2m pa jednadžbu (14.18.) možemo pisati u obliku: 2mEk

.

(14.19.)

(14.20.)

Ova diferencijalna jednadžba je Schrodingerova jednadžba za slobodnu česticu mase m, koja se kreće konstantnom brzinom duž ose x. Za česticu koja se kreće u polju konstantne sile, koju karakterizira potencijalna energija U, Schrodingerova jednadžba se dobiva iz jednadžbe (14.20.), uvođenjem smjene Ek = E - U: 1 Schr&dingerovu jednadžbu ne lzvodimo, kao 5to se ne izvode ni Newtonovi aksiomi.

306

§ + ^ (£ -C /)M / = 0 . (1421.) ox n Jednadžba (1421.) podudara se sajednadžbom (14.14.), za slučaj kretanja čestice duž ose x.

14.3. FIZIKALNO ZNAČENJE VALNE FUNKCIJE U klasičnoj fizici kretanje čestice pod utjecajem sile bilo je opisano II Newtnovim zakonom: zadavši početni položaj i brzinu, mogli smo odrediti položaj i brzinu čestice u bilo kom trenutku vremena, odnosno ođrediti putanju. U kvantnoj mehanici, poznavajući potencijalnu energiju, možemo iz Schrodingerove jednadžbe ođrediti valnu funkciju '¥(x,y,z,t) koja nam daje vjerojamost dw da se u određenom trenutku vremena čestica nađe u elementu volumena dV: dw = \ ¥ { x , y , z , t f d V ,

(14.22.)

gdje je |'F|2 = '¥■'¥'' kvadrat apsolutne vrijednosti valne fiinkcije. Gustoća vjerojatnosti može se pisađ u obliku:

p = ^ l = |T f = ' F . r y

dV

1 1

(14.23.)

gdje je 'F* konjugirano kompleksna vrijednost1 valne funkcije 'F. Znači, fizički smisao valne fimkcije 'F sastoji se u tome, da kvadrat njenog mođula daje gustoću vjerojatnosti nalaženja čestice na odgovarajućem mjestu u prostoru. Za stacionama stanja valna funkcija ima oblik (14.12.) te važi: -A

i- i

'F-'F* = e * \j/e * vp* =

(14.24.)

tako da u tom slučaju gustoća vjerojatnosti jednaka je tjnj/* i prema tome ne ovisi o vremenu. Iz ovoga slijedi da kvantna mehanika im a statističld karakter. Ona ne dozvoljava određivanje položaja čestice u prostoru ili putanje po kojoj se čestica kreće. Pomoću valne funkcije može se samo pređvidjeti s kojom vjerojatnošću će čestica biti primijećena u različitim točkama prostora. Značaj Schrodingerove jednadžbe ni blizu se ne iscrpljuje u tome što se pomoću nje 1 Konjugirano komplelcsna veliiina dobiva se na taj način da se odgovarajućoj kompleksnoj veličini, imaginama jedinica i zamjeni sa -i, npr. 4 ' = «'*“*((;; V " = «*’V*. Odavdc jc jasno da sc gustoča vjerojatnosti nalaženja čestice u zadanom intervalu može izraziti podjednako sa obje funkcije.

307

može naći vjerojatnost nalaženja čestice u različitim točkama prostora. Iz te jednadžbe i iz uvjeta koje treba da zadovoljava valna fiinkcija, neposredno proizlaze pravila kvantiziranja enetgije. Valna funkcija, da bi imala fizičkog smisla treba da bude; jednoznačna, konačna i neprekidna u cijelom definicionom području varijabli x, y, z. U Schrodingerovu jednadžbu kao pararaetar ulazi ukupna energija E. U teoriji diferencijalnih jeđnadžba pokazuje se da jednadžbe oblika Schrodingerove nemaju iješenja koja zadovoljavaju ove uvjete (jednoznačnost, konačnost, neprekidnost) za proizvoljni parametar E, nego samo za izabrane vrijeđnosti. Te izabrane vrijeđnosti nazivaju se vlastite vrijednosti parametra E, a odgovarajuća tješenja jednadžbe vlastite funkcije problema. Pored ovoga valna funkcija mora da zadovoljava uvjet: (14.25.) tj. valna funkcija mora biti normirana. Integral predstavlja sumu vjerojatnosti nalaženja čestice u svim mogućim elementima zapremine, tj. vjerojatnost nalaženja čestice u bilo kom mjestu u prostoru. Ta vjerojatnost je vjerojatnost sigumog događaja i prema tome treba da bude jednaka jedinici. Najvažniji zadatak kvantne mehanike je nalaženje vlastitih vrijednosti i vlastitih funkcija čestica (ili sistema). Praktičnu primjenu pokazat ćemo na jednostavnim primjerima.

14.4. ČESTICA U JEDNODEMENZIONALNOJ BESKONAČNO DUBOKOJ POTENCIJALNOJ JAIVfl D a bismo objasnili znaČaj Schrodingerove jednadžbe i način tješavanja, koristit ćemo sasvim jednostavan primjer. Posmatrajmo ponašanje mikročestice u beskonačno đubokoj jednodimenzionalnoj potencijalnoj jami, crtež 14.2. Ograničimo kretanje čestice đuž ose x, u granicama x = 0 do x = /. Unutar potencijalne jame čestica je slobodna i potencijalna energijajoj je nula. Čestica ne može izaći iz jame je r je U(x < 0) = oo, U(x > /) = » . Ovakva potencijalna jama ne postoji u prirodi, ali se neki problemi u nukleamoj fizici mogu aproksimirati potencijalnom jamom, za koju Schrddingerova jednadžba ima egzaktna iješenja. Kako funkcija y zavisi samo o jednoj koordinati x, jednadžba (14.21.) može se napisati u obliku: (14.26.)

308

u

U=oo

U=oo

0

Jt

Crtež 142 .

Crtež 14.3.

Čestica ne može da dospije u područje van potencijalne jame. Prema tome, funkcija y van granica jame je jednaka nuli. Budući da valna funkcija treba da bude neprekidna, to u x = 0 i x = / moraju biti ispunjeni rubni uvjeti: V (0 ) = 0

i

(14.27.) V(/) = 0 .

Unutar jame funkcija y nije identički jednaka nuli, pa jednadžba (14.26.) zbog U = 0, poprima oblik:
2m

(14.28.)

Uvođenjem oznake, — E =
(14.29.)

(14.30.)

Da bismo zadovoljili rubne uvjete (14.27.) treba izabrati konstante co i a . Iz uvjeta xy(0) = 0 dobiva se: vp(0) = a sina = 0

(14.31.)

odakle slijedi da je a jednako nuli. Dalje treba zadovoljiti uvjet: \)/(/) = asincD/=0.

(14.32.)

309

Odavde slijedi da je: ( a l - i n n (n = 1,2,3.—)

(14.33.)

(ti = 0 se odbacuje, jer pri tome \|/ s 0, što bi značilo nema čestice). Iz (14.33.) slijedi, da tješenja jednadžbe (14.28.) imaju fizički smisao za samo određene vrijednosti energije E, koje zadovoljavaju relaciju: (14.34.) Na ovaj način, bez dopunskih zahtjeva (kao što je to radio Bohr) dobili smo kvantizaciju energije čestice, odnosno našli vlastite vrijednosti te energije: E ^ ^ - n 2; n = l,2,3,...

(14.35.)

2/7u

Shema energetskih nivoa prikazana je na crtežu 14.3. Procijenimo rastojanje između susjednih nivoa za različite vrijednosti mase čestice m i širine jame /. Razlika energije dva susjedna nivoa iznosi: M ” = E^ ~ E" = ^ p ( 2 n + l^ ~

f n'

(14.36.)

Uzmimo nekoliko primjera: • Neka se molekuli gasa mase m = 10'27 kg nalaze u posudi dimenzija / = 10'1 m, razlika dva susjedna nivoa iznosi:

:

AE,«10'39-/i (J).

Ovako gusto raspoređeni energetski nivoi mogu se smatrati neprekidnim energetskim spektrom energije, kvantizacija se može zanemariti. • Posmatrajmo slobodne elektrone mase m s 10"30 kg pri istim dimenzijama jam e / = 0,1 m. U tom slučaju razlika energetskih nivoa je: AE„ ~ 10'35 • n (J) = 10'16 • n (eV). I u ovom slučaju efekt kvantizacije možemo zanemariti. • Međutim, sasvim drugačiji rezultat se dobiva za elektron, ako je oblast u kojoj se kreće reda veličine promjera atoma / * 10"10 m, u tom slučaju razlika energetskih nivoa iznosi: A 1 0 " 17> n (J)= 102 - n (eV). U ovom slučaju diskretnost energetskih nivoa je očigledna. Vlastite funkcije, prema uvjetu (14.33.) bit će:

Da bismo odredili veličinu a koristit ćemo se uvjetom normiranja, koji za dati slučaj ima oblik: , c 2] s i n 2f y x l o ! r = l .

( 14.38 .) o ' Koristeći poznate trigonometrijske relacije sin2* = (1 - cos2x)/2 možemo riješiti integral u izrazu (14.38.):

, / / . „ rm , l dx = ---------- sm 2— / = - . 2 4mt 1 2 Odavde slijedi da je velićina a jednaka: (14.39.) Na taj način vlastita funkcija ima oblik: V ,W = - J y s i n ( y x ] n = 1,2,3,...

(14.40.)

Grafici vlastitih funkcija (14.40.) dati su na crtežu (14.4a), a gustoća vjerojatnosti nalaženja čestice na različitim mjestima unutar jame, |vy|2, na crtežu (14.4b). Kao što se vidi sa crtežu, čestica u stanju, npr. sa n = 2, ne može se naći u sredini jame, jer je ista vjerojatnost da se ona nađe i lijevo i desno od sredine jame. Ovakvo ponašanje čestice, očigledno je nespojivo sapredstavom o oibitama (putanjama).

311

14.5. JEDNODIMENZIONALNI HARMONIJSKI OSCILATOR Jednodimenzionalni hannonijski oscilator je čestica mase m koja pod djelovanjem elastične sile, F = - kx oscilira kružnom frekvencijom ©, duž pravca x. Potencijalna energija ove čestice je:

Zamjenom ovog izraza u relaciji (14.21.), dobivamo Schrodingerovu jednadžbu za iineami harmonijski oscilator: (14.42.) gdje je E ukupna energija oscilatora. Može se pokazati da ova jednađžba ima konačna, jednoznačna i neprekidna iješenja samo pri slijedećim vrijednostima parametra E: (14.43.) Osnovno (najniže) energetsko stanje se dobija za n = 0, pa je minimalna energija kvantnog oscilatora: (14.44.) Vidimo da je energija osnovnog stanja različita od nule čak i na temperaturi T = 0 K. Shema energetskih nivoa harmonijskog oscilatora dana je na crtežu 14.5.:

E t = E 0+h co £ 2 = £ 0+2ft©

(14.45.)

E„ = Eo+nfUo.

x

Crtež 14.5. 312

Ovaj rezultat se slaže sa Planckovim zakonom zračenja apsolutno cmog tijela. Razlika je samo u tome što je prema Plancku minimalna vrijednost energije jednaka

nuli, dok u kvantnoj mehanici osnovno stanje ima određenu energiju tual2 Postojanje ove energije potvrđeno je eksperimentalno. Proučavanje raspršenia svjetlosti na kristalima kada temperatura teži apsolutnoj nuli pokazuje da čak i na apsolutnoj nuli ne prestaje osciliranje atoma kao što je to pretpostavljala klasična teorija.

14.6. HEISENBERGOVA RELACUA NEODREĐENOSTI Razmotrimo difrakciju elektrona na dvije međusobno bliske pukotine. Uslijed interferencije snopova koji se prostiru od dvije pukotine, difirakciona slika neće biti identična sa difrakcionim slikama dobivenim od pukotina pojedinačno. Pri otvorenoj lijevoj ili desnoj pukotini dobiju se raspodjeie elektrona kao na crtežu 14.6.a i b. Pri prolazu kroz dvije pukotine slika ne predstavlja zbir raspodjela a) i b) kao što bi bila za makroskopske čestice već se sastoji od pruga interferencije, crtež 14.6.C. Prema tome vjerojatnost da elektron (ili neka druga mikročestica) dospije u pojedinačne tačke ekrana pri prolazu snopa kroz obje pukotine neće biti jednaka sumi vjerojatnosti za slučajeve prolaska kroz svaku pukotinu pojedinačno. Iz ovoga slijedi zaključak koji je nespojiv sa putanjom elektrona. Ako bi se elektron u svakom trenutku vremena nalazio u određenoj točki prostora i kretao po određenoj putanji, on bi prolazio kroz određenu pukotinu,

Crtež 14.6. 313

’t.

prvu ili drugu. Pojava difrakcije, međutim, pokazuje da u prolazu svakog elektrona učestvuju obje pukotine i prva i druga. Međutim, ne treba zaboraviti da se kretanje elektrona u katodnoj cijevi pretežno izračunava po zakonima klasične fizike, ali pojam putanje i određenog položaja može se primijeniti na mikročesticu samo sa određenim stupnjem točnosti. Situacija je analogna sa optičkim pojavama. Ako su dimenzije prepreka i pukotina velike u poredbi sa valnom dužinom, prostiranje svjetlosti ođvija se duž određene zrake (putanje). Stupanj točnosti s kojom se na česticu može primijeniti predstava o njenom određenom položaju u prostoru, dat je relacijom neodređenosti koju je pronašao njemački fizičar Wemer Heisenberg1 (Hajzanberg) 1927. godine. Prema toj relaciji čestica ne može istovremeno da ima potpuno točno određene vrijednosti npr. koordinate x i njoj pridružene komponente impulsa p„ pri čemu neodređenost tih veličina zadovoljava uvjet:

(14.46.)

2 Ovi izrazi izražavaju činjenicu da produkt neodređenosti kooidinate i njoj pridruženog impulsa ne može, po redu veličine, da bude manji od hJ2. Da bismo objasnili relaciju neodređenosti, posmatrajmo zamišljeni eksperiment. Posmatrajmo elektron tako da ga “osvijetlimo” elektromagnetskim valovima valne dužine X, njegov položaj se ne može ođrediti preciznije od valne dužine upotrijebljene svjetlosti, te je Ax « X. Da bismo “vidjeli” eilktron, on se mora sudariti sa fotonom koji stiže u “objektiv” donoseći informaciju. Pri sudaru, količina kretanja elektrona se promijeni i postaje neodređena, prema proračunima (14.4.) do na tsp » h/X. Produkt neodređenosti Ap-Ax je reda veličine Planckove konstante. Relacije neodređenosti odnose se također i na istovremeno određivanje energije i vremena. Ograničenje za produkt neođređenosti enetgije i vremena je slično relaciji (14.46.): A E A l> -,

2

(14.47.)

I Wemer Karl Heisenberg, njemaeki teorijski fizičar. Dobitnik Nobelove nagrade (1932) jedan od najvećih fizičara, otkrio matričnu mehaniku.

314

Vidimo da što je točnije određena jedna veličina, to je veča neodređenost druge. Moguća su stanja čestica u kojima jedna od veličina ima potpuno preciznu vrijednost, ali je tada druga veličina potpuno neodređena.

14.7. KVANTNOMEHANIČKA TEORIJA VODIKOVOG ATOMA U atomu vodika elektron se nalazi u Coulombovom polju jezgre, i ima potencijalnu energiju: 1

Ep “ 4n8„

Ze2

.

0 4 .48 .)

gdje je Ze naboj jezgre, r rastojanje između jezgre i elektrona a e®dielektrična konstanta vakuuma. Schrddingerova jednadžba (14.14.) u tom slučaju ima oblik: . 2m ( „ 1 Ze2\ . (14.49.) A u/+—=- E + - ---------- y = 0. v ( 4t o 0 r

n2

y

Može se pokazati da jednadžba (14.49.) ima tražena rješenja (jednoznačna, konačna i neprekidna) u slijedećim slučajevima: • za sve pozitivne vrijeđnosti parametra E i • za diskretne negativne vrijednosti energije, koja iznosi: (4ne0) 2 r r i Slučaj E > 0 odgovara elektronu koji prolijeće blizu jezgre i ponovo se udaljava u beskonačnost to je tzv. slobodni elektron. Slučaj E < 0 odgovara elektronu koji se nalazi unutar granica atoma. Uspoređivanje (13.17.) i (14.50.) pokazuje da kvantna mehanika dovodi do istih rezultata za energije vodikovog atoma kao i Bohrova teonja. Razlika je u tome što u kvantnoj mehanici te vrijednosti se dobrvaju logičnim putem iz Schrodingerove jednadžbe dok je Bohr, da bi dobio ovaj rezultat, morao da uvede specijalne kvantne pretpostavke. Vlastite funkcije jednadžbe (14.49.) sadrže tri cjelobrojna parametra. Jedan od njih se podudara sa rednim brojem energetskog nivoa n, a druga dva se obično označavaju sa / i m. Ti brojevi nazivaju se kvantni brojevi: • n - glavni kvantni broj, • / - orbitalni (azimutalni) kvantni broj i • m - magnetski kvantni broj.

315

Za zadano n = 1,2,3,..., brojevi / i m mogu imati slijedeće vrijednosti: • / = 0,1,2,3,..., n-1, ukupno n različitih vrijednosti, • m = - /, - /+ l,...,- l,0 ,+ i......M , /, ukupno 2/+1 različitih vrijednosti. Na taj način, svakom En (izuzev E {) odgovara nekoliko valnih funkcija 'Vn.i.m koje se međusobno razlikuju po vrijednostima kvantnih brojeva n. I, m. To znači, da vodikov atom može da ima jednu te istu vrijednost energije, a da se nalazi u različitim stanjima.

14.8. K V A N T N I B R O J E V I Kao što smo vidjeli, stanje elektrona u atomu vodika određeno je sa tri kvantna broja, Međutim, da bi se objasnio anomalni Zeemanov1 (Zeman) efekt uveden je i četvrti kvantni broj, tzv. spinski kvantni broj. Prema tome stanje elektrona u atomu prema kvantnomehaničkom modelu određeno je s četiri kvantna broja koji “kvantiziraju” određene fizikalne veličine, koje su u vezi sa kretanjem elektrona. Te fizikalne veličine su: Ukupna energija elektrona, E. Ukupna energija elektrona određena je glavnim kvantnim brojem n, prema relaciji (14.50.), koji može imati vrijednosti, n = 1,2,3....... U vodikovom atomu E opada sa kvadratom glavnog kvantnog broja. Kod složenijih atoma ukupna energija elektrona također zavisi od n2, ali i od ostalih kvantnih brojeva i njihovih kombinacija. Moment količine kretanja elektrona n atomn, Z . U kvantnoj mehanici se dokazuje da orbitalni (azimutalni) kvantni broj / određuje iznos vektora momenta količine kretanja na ovaj način: L = h j l ( l + l)

-»(14.51.)

gdje je / orbitalni (azimutalni) kvantni broj, i za dati glavni kvantni broj n, može imati slijedeće vrijednosti: / = 0 ,1 2 ,..., P rojekd ja momenta količine k retanja na zadani smjer, Lt . Kretanje elektrona po zatvorenoj putanji stvara magnetsko polje tako da se vektor I Ako se atomi, koji etnitiraju svjcdost, smjeste u magnetsko polje, to će se linije, koje atomi emitiraju. rascijepiti na nekoliko kompooenti. Tu pojavu je otkrio Zeeman jo5 1896. godine pri svijetljeaju natrijevih para. Noimalni Zeemanov efekt sastoji se u tome da se pod đjelovanjem magnetskog polja na atom umjesto jedne linije, lcoju etnitira atom u odsustvu polja, dobivqu tri linije. Medutim, kako to pokazuje eksperiment, takvo cijepanje se dobiva samo za linije koje nemaju finu strukturu (za singlctc). Kod Imija, kojc ncmaju fmu strukturu, broj komponcnti je vcći od tri, takvo cijepanjc se naziva anomalni Zeemanov efekt. Anomalni Zeemanov efekt potpuno se objašnjava postojanjem elektronskog spina.

316

indukcije B podudara po pravcu i smjeru sa vektorom momenta količine kretanja elektrona L . Ako se atom «?< u vanjskom magnetskom polju indukcije B ,, t iji se pravac i smjer poklapa sa pravcem ose z, crtež 14.7., onda vektor L , može da ima samo neke dozvoljene pravce u odnosu na osu z. Kažemo d a je L prostomo kvantiziran. Ovi dozvoljeni pravci su ođređeni vrijednostima projekcije vektora L na osu z prema relaciji: L: = mh

(14.52.)

gdje je m magnetski kvantni broj koji može imati slijedeće vrijednosti m = -/, -/+1, ..., /-1, 0, +1, ..., M , /, ukupno 2/+1 različitih vrijednosti. Moguće orijentacije vektora L u odnosu na vanjsko magnetsko polje, za vrijednost oibitalnog kvantnog broja (/ = 3) date su na crtežu 14.8.

Vlastiti moment količine kretanja, Š . G. Uhlenbeck (Julenbek) i S. Goudsmit (Gaudsmit) pretpostavili su 1925. godine da elektron ima vlastiti moment količine kretanja Š i nazvali ga spin. Slično orbitalnom (azimutalnom) momentu količine kretanja, i spin je određen spinskim kvantnim brojem s, koji za elektrone, protone i neutrone iznosi 1/2. Osim ovih čestica koje nazivamo fermioni, postoje čestice sa spinom jednakim nuli, bozoni. Fotoni imaju spinski kvantni broj s = 1. Iznos vektora spina elektrona je:

317

S = h^Js{s +1)

s h. 2

(14.53.)

Komponenta vektora spina u zadanom smjeru može poprimiti samo dvije vrijednosti: h/2 i -ft/2, crtež 14.9. Projekcija vektora spina na z-osu, je kvantizirana i jednaka: =

(14.54.)

gdje je ms magnetski spinski kvantni broj ili kraće spinski kvantni broj koji može imati dvije vrijednosti: /n, = ± i .

(14.55.)

Na kraju treba reći, da predstava da je elektron kuglica koja se obrće oko svoje ose potpuno neodrživa. Spin treba smatrati unutamjom osobinom koja pripada elektronu, kao što mu pripadaju masa i naboj. Orbitalni i spinski moment količine kretanja elektrona zbrajaju se u ukupni moment količine kretanja 7 : J = i +Š. (14.56.) U kvantnoj mehanici pokazuje se da se spin elektrona u odnosu na orbitalni moment količine kretanja može orijentirati samo na dva moguća načina: paralelno i antiparalelno. Spin se dakle, dodaje ili ođuzima od orbitalnog momenta količine kretanja. -» Pretpostavka o spinu elektrona je potvrđena velikim brojem eksperimenta i treba je smatrati potpuno dokazanom. Postojanje spina automatski proizlazi iz jednadžbe kvantne mehanike koju je dao Dirac1 (Dirak) i koja zadovoljava zahtjeve teorije relativnosti.

I Paul Andrian Dirac, engleski fizičar. Njegova relativistička teorija vodikovog atoma je dovela do teorije antičestica.

318

14.9. PAULIJEV PRINCIP ISKLJUČENJA. PERIODNI SISTEM ELEMENATA v

Stanje svakog elektrona u atomu određeno je sa četiri kvantna broja, n, l, m, ms. U atomu vodika elektron je određen jednim “kompletom” kvantnih brojeva. Međutim u slučaju višeelektronskih atoma, postavlja se pitanje: kako su raspoređeni Z elektrona po energetskim nivoima, kada se atom nalazi u osnovnom stanju. Da li su svi elektroni na nivou najniže energije, koji je određen glavnim kvantnim brojem n = 1? Odgovor na ovo pitanje dao je 1925. švicarski fizičar W. Pauli' (Pauli), postavivši tzv. Paulijev princip isključenja, koji glasi: U jednom te istom atomu (ili kvantnom sistemu) ne mogu da budu dva elektrona koja im aju jednake sve kvantne brojeve, n, l, m, mr Ovaj princip se rnože formulirati i na dnigi način: U svakom elektronskom stanju u atomu može se nalaziti samo jedan elektron. Polazeći od Paulijevog principa i mogućih vrijednosti kvantnih brojeva može se izračunati maksimalan broj elektrona za određene vrijednosti glavnog kvantnog broja n, prema formuli12: 2 £ ( 2 / + l ) = 2n2 . (14.57.) i-o Skup elektrona koji imaju jednake kvantne brojeve n i / čini Ijusku. Skup ljuskd s jednakim n čini grupu ili sloj. U suglasnosti sa vrijednošću n, slojevima se daju oznake pozajmljene iz spektroskopije rendgenskih zraka: n sloj

1 2 3 4 5 6 ... K L M N O P ...

Svaki sloj je podijeljen na ljuske, koje odgovaraju različitim vrijednostima orbitalnog kvantnog broja /, za određenu vrijednost broja n. Oznake za ljuske su također preuzete iz spektroskopije, i za različite / su slijedeće: / ljuska

0 1 23 45... s p d f g h ...

Podjela mogućih stanja elektrona u atomu na ljuske i slojeve prikazana je u tabeli 14.1, u kojoj se umjesto oznake ms = ±1/2 koriste simboli 1 1 : 1 W. Pauli (1900.-I9S8.), Svicartki fizičar, dobitnik Nobclovc nagrađe za fiziku (1945). 2 Suma predstavlja aritmetiiki red /■4

* 319

Tabela 14.1

Sloj K

Vioo

1

m

m,

Ljuska

1

0

0

(ls)J

2

0

0 -1 0

U U U u u u u u u u u u u u

(2s )2

2

(2p)‘

6

(3s)2

2

(3p)6

6

V200

L

H'21.1 V210

2

1

V211

0

V300 V31.1

M

Hbio V311 V32.2

1 3

V32-1 V320

'*'321 V322

Maksimalni broj elektjona 2 / j 2

//

2

+1 0 -1 0 +1 -2 -1 0 +1 +2

2 8

18 (3d)10

10

Raspored elektrona po kvantnim stanjima (tzv. elektronska konfiguracija) zasniva se na dva principa: Paulijevom principu isključenja i principu minimuma energije atoma kao fizičkog sistema. Kod višeelektronskih atoma energija elektrona zavisi ne samo od giavnog kvantnog broja n već i od orbitalnog kvantnog broja /, tako da neki energetski nivoi sa većim n mogu da budu i ispod nivoa sa manjim n. v Paulijev princip daje objašnjenje za periodičko ponavljanje osobina atoma. Posmatrajmo periodni sistem elemenata kojeg je formirao Mendeljejev još 1869., kada je struktura atoma bila potpuno nepoznata. Uzmimo, za primjer prva tri elementa sistema: vodik, helij i litij. Atom vodika ,H sadrži jedan elektron, koji se prema principu minimuma energije smješta u stanje (ls )1. Atom helija 2He sadrži dva elektrona koji su po Paulijevom principu smješteni u K-sloj zahvaljujući različitim spinskim kvantnim brojevima. Elektronska konfiguracija osnovnog stanja atoma helija je prema tome (ls)2. Atom litija 3Li ima tri elektrona, pa prema Paulijevom principu samo dva su smještena u sloju sa n = I, a treći se smješta na nivo n = 2, sa orbitalnim kvantnim brojem 1 = 0. Elektronska konfiguracija atoma litija je (ls)2 (2s)1. Elektron u stanju 2s ima mnogo veću energiju, pa je slabije vezan za atom

320

nego elektron u stanju ls. Ovakav elektron (2s), naziva se valentni elektro i učestvuje u kemijskim vezama i određuje neke osobine litija. n Ovakvim razmatranjem možemo analizirati cijeli periodni sistem ele menata. U tabeli 14.2 dana je elektronska konfiguracija prvih 11 elemenata Iz tabele vidimo da je stanje sa n = 1 popunjeno helijem, sa n = 2 neonom Sa natrijem , ,Na počinje popunjavanje stanja sa n = 3, da bi se M sloj popunio slijedećim inertnim (plemenitim) plinom argonom IgAr. Tabela 14.2 Redni broj

Element

n

1

H He

i

2 3 4 5

6 7

8 9

10 11

Li Be B C N O

(ls )' (ls )2 Os )2 (2s)' d s )2

2

F

Ne Na

Elektronslca konfiguracija

3

(ls)2 (2s)2 (2 p )' ( ls ) 2 (2S)2 (2P)2 (ls )2 (2S)2 (2p)3 (Is )2 (T a f (2P)4 (ls )2 (2 b)2 (2P)5 (ls )2 (2S)2 (2p)6

(Is )2 (2S)2 (2p)6 (3s)‘

Ako pogledamo periodni sistem u cijelosti vidimo da popunjavanje novog sloja počinje alkalnim metalima (jLi, -nNa, ]9K, ^^Rb, J5Cs, ^Fr), a završava se plemenitim plinovima (^He, 10Ne, |gAr, 36Kr, g^Rn). Atomi plemenitih plinova imaju zajedničku osobinu da su vrlo stabilni, što se odražava u velikoj kemijskoj inertnosti. Analogno ovome mogu se pronaći sličnosti u kemijskim i optičkim osobinama kod elemenata kod kojih se elektronska konfiguracija završava valentnim elektronima: (2s)’, ( 3 s ) ',..., (alkalni metali). Elektronske konfiguracije atoma u potpunosti objašnjavaju periodičnost fizičkih i kemijskih osobina atoma, koju je, čisto empirijski, utvrdio Mendeljejev. Objašnjenje periodnog sistema elemenata uspješno daje kvantna mehanika na osnovu Paulijevog principa: Periodično ponavljanje kemijskih i fizičkih osobina elemenata je posljedica periodičnog ponavljanja brojeva valentnih elektrona u atomima srodnih elemenata.

321

15. OPTIČKI KVANTNI GENERATOR. LASER

15.1. STIMULIRANA EMISIJA Pored spontanih (svojevoljnih) prijelaza s jednog energetskog nivoa na drugi javljaju se također i prinudni (stimulirani) prijelazi uvjetovani djelovanjem zračenja koje pada na atom. Spontani prijelazi su mogući samo u jednom smjeru, sa viših nivoa na niže nivoe. Prinudni prijelazi mogu s jednakom vjerojatnošću da se dese kako u jednom tako i u dragom smjera. U slučaju prijelaza na viši nivo atom apsorbira zračenje koje pada na njega. Pri prinudnom prijeiazu sa jednog od pobuđenih nivoa na niži energetski nivo, dolazi do emisije fotona, koji je komplementaran fotonu pod čijim djelovanjem je došlo do prijelaza. Znači, kvantni prijelazi sa viših na niže energetske nivoe dešavaju se, uz emisiju fotona, frekvencije: ® = E" ~ Em, n

(15.1.)

gdje je En > na dva načina: spontano, tj. samo od sebe i prinudno (stimulirano) pod utjecajem vanjskog djelovanja (fotona). Spontani prijelazi imaju karakter slučajnih događaja, pa se može go^oriti o srednjem vremenu kojeg atom provede u pobuđenom stanju tzv, srednje vrijeme života u pobuđenom stanju. Ovo vrijeme je vrlo kratko j iznosi oko 10"* s. Atom prelazi spontano u osnovno stanje i to poslije jednog ili nekoliko kvantnih prijelaza. Ovako emitirani fotoni mogu imati bilo koji pravac prostiranja i bilo koju početnu fazu. Prinudni prijelazi mogu, sa jednakom vjerojatnošću da se dešavaju u oba pravca. Ako se frekvencija upadne svjetlosti m poklapa se jednom od frekvencija (E„ - E J /h atoma supstance, ona će izazvati dva procesa: prijelaz atoma iz stanja sa energijom Em u stanje sa energijom En (apsorpcija) i prinudni prijelaz iz višeg nivoa En u stanje Em. Na crtežu 15.1. dat je shematski prikaz: a) apsoipcija, b) spontana emisija i c) stimulirana emisija. U slučaju termodinamičke ravnoteže raspodjela atoma po različitim energetskim stanjima određena je Boltzmannovim zakonom (8.39.):

322

Apsorpcija

Spontana emisija ----------------- 9

l

—----- ------

• i

fon=EH-Em

Stimuiirana emisija "Fe ha>

; Ato = E.-Em

hto •e«----------------- 1-----------------------b)

*)

F

<0

Crtež 15.1.

f,

N, = Ne kT,

(15.2.)

gdje je N ukupan broj atoma, N, broj atoma koji se na temperaturi T nalaze u stanju sa energijom Et. Iz formule (15.2.) slijedi da se s povećanjem energije, stanje naseljenosti (populacije), tj. broj atoma u danom stanju smanjuje. Broj prijelaza između dva nivoa, proporcionalan je naseljenosti polaznog nivoa. Prema tome, u sistemu atoma koji se nalaze u termodinamičkoj ravnoteži, apsorpcija upadnog svjetlosnog vala nadvladat će prinudno zračenje, tako da će upadni val slabiti pri prolazu kroz supstancu. Da bismo dobili pojačanje upadnog vala treba na neki način obmuti naseljenost energetskih nivoa, tj. postići da se u stanju sa većom energijom E„ nalazi veći broj atoma nego u stanju s manjom energijom E„. U tom slučaju kažano da je zadani skup atoma inverzno naseljen. Prema formuli .(15.2.) imamo da je odnos naseljenosti dva nivoa, crtež 15.2. A kT (15.3.) Nm U slučaju inverzne naseljenosti je (N JN J)> 1, z a E„ —EM> 0. Da bismo zadovoljili izraz (15.3.) dobivamo “negativnu temperatura” T. Ovdje treba napomenuti da je pojam temperature vezan samo za ravnotežna stanja, tako da pojam “negadvne temperature” treba vezati za stanja inverzne naseljenosti, koja su neravnotežna. Noimalna naseljenost

E.

E.

—

E.

Inverzna naseljenost -----• --------•------- •— .—

Em

AL>N.

Nm
323

U materijalu sa inverznom naseljenošću energetskih nivoa, prinudno zračenje može prevladati apsorpciju svjetlosti atomima, uslijed čega će se upadni snop svjetlosti pri prolazu kroz materijal povećati. U slučaju pojačanja upadnog snopa, može se reći da je koeficijent apsorpcije postao negativan. Često se za sredinu sa inverznom naseljenošću kaže da je to sredina sa negativnim koeficijentom apsorpcije. Prolazak fotona kroz sredinu sa normalnom naseljenošću, u najvećem broju slučajeva dovodi do apsorpcije: / =/

(

1

5

.

4

.

)

gdje je /„ intenzitet upadnog snopa, I intenzitet propuštenog, d debljina sredine i k koeficijent apsorpcije. U slučaju inverzne naseljenosti, koeficijent apsorpcije je negativan i imamo pojačanje upadnog snopa. Laser upravo radi na principu stimulirane emisije i sama riječ laser potiče od prvih slova engleskog izraza: “Light Amplification by Stimuiated Emission o f Radiation”, što u prijevodu znači: pojačavanje svjetlosti stimuliranom emisijom zračenja. Mada je još 1917. Einstein predvidio pojačanje svjetlosti pomoću stimuliranog zračenja, tek 1960. T. H. Maiman (Majman) je konstruirao prvi optički kvantni generator u kome je kao aktivni materijal korišten sintetski rabin. Praktična primjena stimulirane emisije svjetlosti postala je moguća tek onda kada je nađen način za postizanje inverzne naseljenosti nekih nivoa supstance. Pokazalo se, da se u nekim energetskim nivoima elektroni zadržavaju relativno dugo (oko 10'3 s). Stanja kod kojih je srednje vrijeme života veće od 10^ s nazivaju se m etastabilna stanja.

15.2. PRINCIP RADA LASERA Da bismo objasnili princip rada lasera, posmatrajmo tri energetska stanja atoma, sa energijama: £, (osnovno stanje), E2 i E3 (viša pobuđena stanja), crtež 15.3. Neka je srednje vrijeme života u pobuđenom stanju E2, veće od vremena života u ostalim stanjima. Kada se na ovakvu supstancu djeluje vanjskim zračenjem energije E ' ž.E 3, zbog apsorpcije fotona mnogi atomi prelaze u stanje 3, a odavđe spontano prelaze u stanje 2 ili osnovno stanje 1. Pošto je vrijeme boravka u stanju 2 veliko (metastabilno stanje) to se u njemu može postići inverzna naseljenost u odnosu na stanje 1. Za takvu sredinu kažemo da je optički aktivna. Znači, u ovoj sredini proces emisije fotona, sa firekvencijom:

324

Spontana etnisija Inverzna naseljenost

fico

Stimulirantr emisija

N.

Crtež 15.3.

Ei-E, £0 , = —2 --- L

(15.5.)

bit će intenzivniji od procesa apsorpcije. Pod utjecajem fotona iste frekvencije dolazi do prinudnog prijelaza E^ —E^ u vidu koherentnog zračenja iste frekvencije. Emitirani foton je potpuno isti kao foton koji je izvržio pobudu. Održavanje atoma u pobuđenom stanju vrši se pomoću specijalnih uređaja “pumpi”, naziv potiče od njihove uloge, “pumpanje” (podizanje) elektrona na više energetske nivoe. Ovo podizanje obično se postiže tzv. Potupro“optičkim pum pam a”, to su Ogledalo pusno ogledalo uređaji koji emitiraju veliki broj fotona (električne bljeskalice) i koji apsorpcijom vrše naseljavanje nivoa £ 3 i E2. Jednostruki prolaz fotona kroz radnu sredinu stimulira relativno mali broj pobuđenih atoma, pa je potrebno snop fotona ponovo vratiti u danu sredinu. Kod lasera se to postiže postavljanjem radne (optičke) sredine između dva strogo paralelna ogCrtež 15.4. ledala, crtež 15.4. Obično je

325

jedno ogledalo polupropusno a drugo potpuno reflektira svjetlost. Uslijed višestruke refleksije, dolazi do umnožavanja fotona, a time se pojačava efekt stimuliranog zračenja. Kao rezultat dobiva se kroz polupropusno ogledalo zraka, skoro paralelna snopu koherentne, lineamo polarizirane svjetlosti. Pored veoma visokog stupnja prostome i vremenske koherentnosti laserske “zrake” (svjetlost) imaju i druge značajne karakteristike: laserski snop se može izvanredno “kolimirati”, tj. ugao širenja snopa je malen i dmgo, intenzitet impulsnog zračenja dostiže vrlo velike vrijednosti i do 1013 W/m2. Do sada su napravljeni laseri koji pokrivaju široko polje frekvencija od vidljive svjetlosti do milimetarskih valova. Pronađeno je stotinjak supstanci koje imaju pogodne energetske nivoe za postizanje inverzne naseijenosti. Radna (aktivna) sredina može biti u čvrstom ili plinovitom stanju (smjesa helija i neona, C 0 2, mbin, neodijumsko staklo i dr.). Prema režimu rada laseri mogu biti kontinuirani i impulsni. Prvi daju kontinuiran snop svjetlosti male snage, dok impulsni laseri postižu izuzetno veliku snagu u kratkom vremenu.

153. RUBINSK3 LASER U prvom Iasem koji je izgradio Maiman, radno tijelo je valjkasti štap od crvenog rubina. Dijametar valjka je reda veličine 1 cm, a dužina 5 cm. Baze mbinskog valjka su brižljivo uglačane i predstavljaju međusobno dva strogo paralelna ogledala. Jedna baza je posrebrena gustim slojem i predstavlja nepropusno ogledalo dok dmga baza propušta 8% svjetlosne energije. Rubin je aluminijev oksid (A120 3) u kojem su neki od aluminijevih atoma zamijenjeni atomima kroma. Od koncentracije kroma ovisi boja mbina. Pri apsoip^iji svjetlosti ioni kroma Cr+++prelaze u pobuđeno stanje. U prvoj etapi pobuđeni ioni predaju dio svoje energije kristalnoj rešetki i prelaze u metastabilno stanje. Vrijeme života iona u metastabilnom stanju (» 10'3 s) je za oko 105 puta veće od vremena života u običnom pobuđenom stanju (« 10-8 s). U dmgoj etapi ioni iz metastabilnog stanja prelaze u osnovno stanje emitirajući fotone valne dužine X = 694,3 nm, ovaj prijelaz je uvjetovan prinudnim zračenjem. U lasero je mbin osvijetljen pomoću ksenonove impulsne lampe koja daje široki spektar frekvencija. Pri dovoljnoj snazi lampe većina iona kroma prelazi u pobuđeno stanje 3, ovaj proces nazivamo “pumpanje”. Na crtežu 15.5. prikazani su nivoi iona kroma. Vrijeme života nivoa 3 je kratko (« 10"8 s), tako da neki ioni spontano prelaze na osnovni nivo 1. Takvi prijelazi su označeni strelicom A 1}. Međutim, većina iona prelazi na metastabilni nivo 2.

326

Metastabilno

stanje

Crtež 15.5.

Vjerojatnost prijelaza na metastabilni nivo 2, prikazana je strelicom Si2> znatno je veća nego vjerojatnost prijelaza A iv Pri dovoljnoj snazi pumpanja broj iona hroma koji se nalaze na nivou 2 veći je od broja iona na nivou 1. Prema tome, nastaje inveizija nivoa 1 i 2. Spontani prijelaz sa metastabilnog nivoa na osnovni, može da izazove prinudno zračenje dopunskih fotona, koji izazivaju ponovno prinudno zračenje, hd. Na taj način dobiva se lavina fotona. Fotoni koji nastaju pri prinudnom zračenju lete u istom smjeru kao i upadm fotoni. Fotoni čiji smjerovi kretanja obrazuju male uglove sa osom kristala, Hpe mnogostruke refleksije od baze primjerka. Stoga će dužina puta u kristalu biti vrio velika tako da se lavina fotona posebno umnožava u smjeru ose kristala. Fotoni koji se spontano emitiiaju u diugim smjerovima izlaze iz kristala kroz njegovu bočnu površinu. Kada jc snop fotona dovoljno intenzivan, jedan njegov dio izlazi kioz polupropusnu bazu kristala.

15.4. HELIJ-NEONSKI LASER Godine 1961. izrađen je prvi plinski laser, koji je predložio Javan (Džavan) i koji je radio sa smjesom helija i neona. U njemu se pumpanje ostvaruje na račun električnog pražnjenja u plinovima. Cijev u kojoj se vrši pražnjenje napunjena je smjesom helija pod pritiskom 10 Pa i neona pod pritiskom l ( r Pa. Na krajevima cijevi nalaze se planparalelna ogledala, od kojih je jedno polupropusno. Rad plinslrib lasera zasniva se na uzajamnom djelovanju dva plina koji imaju bliske eneigetske nivoe, kao što se može vidjeti na energetskom dijagramu, crtež 15.6.

327

3s

2s

o.

e

i '£

±

Helij

ls

Neon Crtež 15.6.

Pobuđivanje rađne sredine se vrši u procesu pražnjenja, tj. sudarima brzih elektrona u ioniziranom plinu sa ionima helija, koji se podižu na viši energetski nivo (2s); Postoji velika vjerojatnost da se ovako pobuđen atom helija sudari sa atomom neona uslijed čega se pobuđuju stanja (2s i 3s) neona, a atom helija se vraća u osnovno stanje. Na ovaj način dolazi do inverzne naseljenosti stanja 2s i 3s u odnosu na stanje 2p atoma neona, tako da postoji mogućnost za spontano zračenje slijedećih valnih dužina: 632,8 nm, 1152,3 nm i 1117,7 nm (infiacrveno zračenje), koje podliježu efektu stimuliranog zračenja. Uloga ogledala je ista kao i kod rubinskog lasera, tj. stimuliraju se samo oni fotoni koji su paralelni sa osom cijevi. Helij-neonski laser daje veoma stabilan monokromatski snop svjetlosti, snage 0,1 do 10 mW (ovisno od đužine cijevi). Zbog ovih karakteristika He-Ne laser je najpogodniji izvor koherentne svjetlosti u vidljivom dijelu spektra i ima široku primjenu.

15.5. PRIMJENA LASERA. HOLOGRAFIJA Teško bi bilo pronaći oblast nauke ili tehnike u kojoj se ne primjenjuju laseri. Pomoću lasera mogu se vršiti ispitivanja strukture atoma i molekula, utvrđivanje prirode uzajamnih veza, ođređivanje strukture živih ćelija itd.

328

Laserska tehnika omogućava održavanje veza na velikim udaljenostima, veza sa kozmičkim brodovima, raketama itd. Također je značajna primjena'u industrijskoj obradi materijala, medicini, biologiji, meteorologiji itd. U posljednje vrijeme razvila se važna primjena Iasera u fotografiji. Ova metoda se razlikuje od klasične, po tome što klasična fotografija registrira samo amplitudu svjetlosnog vala, tj. intenzitet, a faza vala nije zapisana. Metoda fotografiranja koja uspijeva pored amplitude da zabilježi i fazu naziva se holo grafija prema grčkoj riječi “holos” što znači potpun zapis. Očito svjetlosni valovi koji omogućavaju potpuni zapis moraju imati strogo definirane odnose faza i veliki intenzitet. Ovakve valove može generirati laser. Iz tih razloga iako je holografija otkrivena 1947. (D.Gabor) praktična primjena počinje tek sedamdesetih godina 20. stoljeća. Osnovu holografije čini zapis faznih odnosa svjetlosnih valova, što se može ostvariti samo pomoću efekta interferencije. Princip holografije sastoji se u sljedećem. Neka svjetlost pada na točkasti objekt i od njega se odbija. Valna fronta odbijene svjetlosti ima sfemu površinu. Međutim, realni objekti nisu točkasti, pa ih možemo predstaviti skupom točaka. Stoga će rezultirajući val biti jednak sumi velikog broja sfemih valova, a time će i rezultirajuća valna fronta imati kompleksan oblik. Ovakva valna fronta nosi sa sobom potpunu informaciju o predmetu. Obična fotografija u sebi sadrži samo zapis o veličini amplitude preko različitog stupnja zacmjenosti emulzije fotofibna. Da bismo zabilježili i informaciju o fazi, potrebno je imati dvije zrake: jednu referentnu (1), čija je faza nepromijenjena i dmga (2) kojoj se faza promijeni nakon refleksije od objekta.‘Ove dvije zrake dovedene su zajedno na fotoploču, gdje interferiraju. Poslije razvijanja, na fotoploči se može vidjeti interferenciona slika, to je tzv. hologram. Način snimanja holograma dat je na crtežu 15.7. Da bi se đobio lik predmeta treba dobiveni hologram osvijetliti referentnom laserskom zrakom. Shema formiranja virtualne slike predmeta dana je na crtežu 15.8. Referentni zrak, prošavši kroz hologram, ponaša se isto kao osnovni zrak pri odbijanju od objekta snimanja, kada se na njegovom putu nalazila fotoploča. Proces formiranja lika pri prolasku referentnc zrake (1) kroz hologram predstavlja obmuti proces u odnosu na obrazovanje interferencione slike pri dobivanju holograma. Rezultat ovoga je vjema trodimenzionalna slika predmeta. Osnovna karakteristika holograma je trodimenzionalnost slike koja uključuje i efekt paralaksa. Sliku objekta možemo posmatrati sa svih strana. Najvažnija primjena holografije je holografska interferometrija. Ako u jednom trenutku vremena snimimo hologram neke površine tada će drugi hologram snimljen u nekom dragom vremenskom trenutku sadržavati infor-

329

Djeljitelj snopa

Ogledalo

maciju o promjenama na toj površini, tj. pomjeranje, naprezanje i sl. Istovremenom rekonstrukcijom oba holograma i interferencijom dobit ćemo relativne pomake površine u odnosu na referentni hologram. Laserski holografeki interferometri se koriste za kontrolu kvaliteta bez razaranja, tj. identificiranje skrivenih unutrašnjih defekata. Postupak se sastoji u sljedećem: ispitivani predmet se pobudi vanjskim udarom, uslijed čega se na mjestima postojećih defekata javljaju interferencione pruge karakterističnog oblika. Iz njih se može zaključiti o lokaciji defekta, obliku, veličini i načinu njegovog pomjeranja u procesu deformacije. ■*

330

16. FIZIKA JEZGRE (NUKLEARNA FIZIKA)

16.1. SASTAV I KARAKTERISTIKE ATOMSKE JEZGRE Rutherfordovi i drugi eksperimenti pokazali su da se atom sastoji od jezgre, po dimenziji mnogo manje od atoma ali s gotovo cjelokupnom masom atoma. Jezgra je sastavljena od protona i neutrona, koje jednim imenom zovemo nukleoni. Najvažnije osobinejezgre su njena masa i naboj. Naboj jezgre Ze određen je brojem protona Z, dok ukupni broj protona i neutrona određuje maseni broj jezgre A. Jezgru određenog elementa karakterizira broj protona Z i zove se redni broj elementa dok broj neutrona, N = A - Z , može varirati a da se pri tome ne mijenjaju kemijska svojstva elementa. Masa nuklida praktično je jednaka masi atoma, jer je masa elektronskog omotača zanemariva. Atomske mase se izražavaju u atomskim jedinicama mase (1 ajm). Atomska jedinica mase jednaka je 1/12 mase atoma ugljika

1ajm = lu = ~

mase atoma 6C 12 = 1,66063-10'27 kg.

U nukleamoj fizici je uobičajeno da se mase izražavaju u jedinicama energije, prema relaciji E = mc2. Tako dobivamo za atomsku jedinicu mase ekvivalent izražen u elektronvoltima: 1^

= 931,478 MeV.

(16.1.)

Proton (p) nije ništa drugo nego jezgra vodikovog atoma. On ima naelektrisanje (+e) i masu izraženu u jedinicama eneigije1: mp - 938,2 MeV.

(16.2.)

Masa elektrona izražena u istim jedinicama iznosi: mt i 0,511 MeV.

(16.3.)

I Uobičajeno je u nukleamoj fizici, mase čestica izražavati ne u masenim već u energetskim jedinicama.

331

Neutron (n) je čestica bez električnog naboja i s masom: m„ i 939,5 MeV

(16.4.)

vrlo bliskom masi protona. Razlika u masi neutrona i protona m„ - mp iznosi 1,3 MeV. Neutron kao i proton imaju spinski kvantni broj s = 1/2. U slobodnom stanju neutron je nestabilan (radioaktivan) i on se spontano raspada, pretvarajući se u proton i emitirajući elektron (e~) i još jednu česticu koja se naziva antineutrino ( v ). Raspad protona može se prikazati na slijedeći način: n -+/? + e + v .

(16.5.)

Masa mirovanja antineutrina jednaka je nuli. Masa neutrona, kao što smo vidjeli, veća je od mase protona za 1,3 MeV ili za 2,5 mt. Prema tome, masa neutrona je veća od ukupne mase čestica koje figuriraju na desnoj strani jeđnadžbe (16.5.) za 1,5 me odnosno za 0,77 MeV. Ta energija se oslobađa pri raspadu neutrona u obliku kinetičke energije čestica koje se obrazuju. Za označavanje jezgri obično se koristi simbol: z gdje se pod X podrazumijeva kemijski simbol danog elementa. Desno gore stavlja se maseni broj A, lijevo dolje atomski (redni) broj Z. Većina kemijskih elemenata ima nekoliko različitih varijeteta, koji se razlikuju u masenom broju i zovemo ih izotopi. Tako npr. vodik ima tri izotopa: jH1- obični vodik, ili protij (Z=l, N=0) ,H2- teški vodik (D) ili deuterij (Z=l,yV=l) ,H3 - tricij (T) (Z=l, N=2) Kisik ima tri stabilna izotopa: 80 16, 80 17, 80 18, olovo deset itd. Izotopi su jezgre sa istim brojem protona Z. Jezgre sa jednakim masenim brojem A nazivaju se izobari. Kao primjer mogu se navesti jezgre ^Ar40 i joCa40. Jezgre sa istim brojem neutrona N=A-Z nazivaju se izotoni (npr. 6C 13, 7N 14). Postoje također radioaktivne jezgre sa jednakim Z i A, koje se razlikuju periodom poluraspada. Takve jezgre nazivaju se izomeri. Jezgra je oko 104 —105 puta manja od atoma. Eksperimentima raspršenja nukleona na jezgrama određen je radijus jezgre: (16.6.)

332

gdje je A maseni broj, a r0 konstanta za sve jezgre i iznosi oko 1,2-10'IS m. Srednja gustoća nukleame supstance iznosi 2 1 0 17 kg/m3, što je za 1014 puta veća gustoća od gustoće materijala i ne ovisi o vrsti nuklida.

16.2. MASA I ENERGIJA VEZE JEZGRE Masa mirovanja jezgre MN uvijek je manja od sume mase mirovanja čestica koje sačinjavaju jezgru. To je uvjetovano time što se pri sjedinjavanju nukleona u jezgru oslobađa energija veze jednaka radu koji bi bilo potrebno izvršiti, da bi se jezgra rastavila na nukleone, koji ga obrazuju i da bi se ti nukleoni međusobno udaljili na rastojanja na kojima praktično ne međudjeluju jedan s drugim. Znači, energija jezgre je manja od energije sistema nukleona koji međusobno ne djeluju za veličinu jednaku E ^ e Prema relativističkoj relaciji (10.57.), promjeni mase sistema za veličinu Am, odgovara promjena energije za veličinu AE = Amc2. Prema tome, smanjenje mase sistema za AM: 6M = Z m p + NmK- M N

(16.7.)

odgovara smanjenju njegove energije za AA/c2. Ova se energija naziva energija veze i iznosi: E ^ =

+ Nm„ - Mn).

(16.8.)

Ova razlika u masi AM, naziva se defekt mase jezgre, i predstavlja karakteristiku svake jezgre. Nađimo energiju veze nukleona u jezgri helija 2He4, koja se sastoji od dva protona (Z = 2) i dva neutrona (N = 2). Masa atoma helija iznosi 4,00388 mu, odnosno 3 728 MeV. Iz praktičnih razloga umjesto mase protona uzmimo masu vodikovog atoma (938,7 MeV) a umjesto mase jezgre uzmimo masu helijevog atoma (3 728 Me\0- Uvrštavanjem ovih podataka u jednadžbu (16.8.) dobit ćemo energiju veze nukleona u helijevoj jezgri: E ^ = 2 • 938,2 + 2 •939,5 - 3 728 = 28,4 MeV.

(16.9.)

Energija veze jednog nukleona u jezgri helijevog atoma iznosi 7,1 MeV. Radi usporedbe navedimo da je energija veze valentnih elektrona u atomima reda veličine 10 eV. Energija veze koja otpada na jedan nukleon (EvrIJA) naziva se specifična energija veze i ne razlikuje se mnogo od veličine E ^ J A za helij. Na crtežu 16.1. prikazan je grafikon koji pokazuje ovisnost E ^ J A o masenom broju A.

333

40

80

120

160

200

240 A

Crtež 16.1.

Najijače su vezani nukieoni u jezgrama sa masenim brojem 50-60 (tj. za elemente od Cr do Zn). Energija veze za te jezgre dostiže 8,7 MeV/nukleonu. S porastom A specifična energija veze postepeno opada, za najteži prirodni element (uran) ona iznosi 7,5 MeV/nukleonu. Ovakva zavisnost specifične energije veze o masenom broju, energetski omogućava dva procesa: cijepanje teških jezgri na nekoiiko lakših i spajanje (sintezu) iakih jezgri u jednu jezgru. Oba procesa dešavaju se uz oslobađanje velike količine energije.

163 . PRIRODA NUKLEARNIH SILA

'

Ogromna energija veze nukleona u jezgri govori o tome da između nukleona postoji vrio intenzivno međudjelovanje (interakcija). Ova interakcija ima karakter privlačenja. Ona održava nukleone na međusobnom rastojanju, reda veiičine 10'15 m, usprkos jakog elektrostatskog odbijanja između protona. Nukleama interakcija između nukleona dobila je naziv jak a interakcija. Jaka interakcija može se opisati pomoću polja nukJeamih sila, čije su osobine slijeđeće: Nukieame sile su kratkog dosega i ovisno o rastojanju među nukleonima ponašaju se na slijedeći način: • r > 2-10'15 m, međudjelovanje se ne opaža, • 10'15 m < r < 210"15 m, privlačno mrfudjelovanje, • r < 10'15 m, jako odbojno međudjelovanje.

334

Jako međudjelovanje ne ovisi o naboju nukleona. Nukleame sile koje đjeluju između dva protona, između protona i neutrona i između dva neutrona, jeđnake su po veličini. Ova osobina naziva se neovisnost nukleamih sila o naboju. Nukleame sile zavise o uzajamnoj orijentaciji spinova međudjelujućih nukleona. Tako, naprimjer, neutron i proton se udružuju, obrazujući deuteron, samo u slučaju da su im spinovi međusobno paralelni. Nukleame sile imaju osobinu zasićenja, to znači da svaki nukleon u jezgri međudjeluje s ograničenim brojem nukleona. Ta osobina slijedi iz činjenice da je energija veze koja otpada na jedan nukleon, približno jednaka za sve atome počevši od helija. Suvremena teorija nukleamih sila pretpostavlja da se uzajamno djelovanje nukleona ostvamje posredstvom nukleamog polja, i to putem razmjene kvanata tog polja, tzv. mezona. Još daleke 1935. godine japanski fizičar Yukawa (Jukava) je pretpostavio da u prirodi postoje tada još neotkrivene čestice, čija je masa 200-300 puta veća od mase elektrona, a koje imaju ulogu prijenosnika nukleamih interakcija. Po analogiji sa fotonima, čija je uloga u elektromagnetnim interakcijama ista, ove hipotetičke čestice je nazvao teški fotoni. Kako se po svojoj masi nalaze između elektrona i protona, ove čestice su dobile kasnije naziv mezoni. Dvanaest godina kasnije (1947.) u kozmičkim zracima pronađeni su tzv. pioni ili Jt-mezoni, za koje se pokazalo da su nosioci nukleamih sila. jc+ i mezon imaju masu 273 m , (1413 MeV),-a naelektrisani su suprotnim elementamim količinama elektriciteta e. Masa neutralnog tt° mezona je 264 me (135 MeV). Sve tri čestice su nestabilne. Prema mezonskoj teoriji nukleamih sila jaka interakcija se objažnjava virtualnom razmjenom mezona između protona i neutrona u jezgri, što se shematski može predstaviti na ovaj način: p < r> n + n *

p < * p + Jt°

o n++p + n~ n++n + ji .

( 16.10.)

U kvantnoj mehanici virtualnim se nazivaju čestice koje ne mogu biti opažene za vrijeme njihovog postojanja. Ove relacije slijede iz zakona očuvanja naelektrisanja i zakona održanja mase i energije. Prema ovoj teonji nukleon je okmžen oblakom virtualnih Jt mezona, koji obrazuju polje nukleamih sila. Vrijeme života Jt+ i Jt~ mezona iznosi 2.55T0'8 s, a jt°mezona 2,1T0‘i 6 s . Najveći dio nabijenih mezona raspada se po shemi:

.

335

n+-» n+ + v 31" -> H" + v

(16.11.)

gđje su |i+ i |i“ pozitivni i negativni mlon, v neutrino, a v antineutrino.

16.4. RADIOAKTIVNOST Radioaktivnost je spontani prijelaz nestabilnih izotopa nekog kemijskog elementa u izotop drugog eiementa, koji se dešava uz emisiju elem entarnih čestica ili jezgri. Osnovni tipovi radioaktivnog raspada su: • alfa raspad, • beta raspad, • spontana fisija i • gama raspad. Kod prva tri raspada dolazi do transmutacije elemenata i oni su praćeni emisijom odgovarajućih čestica, dok je gama raspad praćen emisijom fotona i kod njega jezgra trpi samo energetsku promjenu. Radioaktivnost izotopa koji se sreću u prirodnim uvjetima, naziva se prirodnom, dok se radioaktivnost dobivena posredstvom nukleamih reakcija naziva vještačkom. Između vještačke i prirodne radioaktivnosti nema suštinsiće razlike. Proces radioaktivnog pretvaranja u oba slučaja pokorava se jednakim zakonima. Alfa raspad. Alfa čestice su jezgre helija 2He4 i nastajupri radioaktivnom alfa raspadu. Kada nestabilna jezgra emitira a-česticu, maseni broj joj se smanji za četiri, a redni za dva. Općenito a-raspad može se predstaviti po shemi: zZ-4 - + 2. 2^ - 4 + 2H e4.

(16*12.)

Kao primjer može poslužiti raspad izotopa urana U238 koji protiče uz obrazovanje torija Th234: 92U238- + 90Th234 + 2He4. Brzina kojom alfa čestice izlijeću iz jezgre koja se raspada je vrio velika (»107m/s), a kinetička energija leži u opsegu od 4 do 10 MeV. Alfa zračenje danog raspada ima strogo određenu energiju, tj. linijski spektar. Prolazeći kroz supstancu, alfa čestice postepeno gube svoju energiju trošeći je na ionizaciju molekula supstance i na kraju se zaustavljaju. Na obrazovanje jednog para iona u zraku troši se u srednjem 35 eV. Na taj način alfa čestica obrazuje na svom putu oko 105 parova iona. Prirodno, što je veća

336

gustoća supstance, to je manji domet alfa čestice u njoj. Tako u zraku pod normalnim pritiskom domet iznosi nekoliko centimetara, a u čvrstoj supstanci domet dostiže nekoliko desetina mikrometara. Alfa čestice se mogu potpuno zaustaviti običnim listom papira. Beta raspad. Postoje tri različita tipa beta raspada. U jednom slučaju jezgra koja se raspada emitira elektron, u drugom pozitron, a u trećem slučaju, koji nazivamo K-zahvat (ili elektronski zahvat) jezgra apsorbira jedan od elektrona K-sloja atoma. Prvi oblik raspada nazivamo beta minus raspad (p~). P"-raspad se može shematski pisati na ovaj način: zX A ^ z n YA + _te° + v .

(16.13.)

Kada radioaktivna jezgra emitira česticu (elektron), redni broj joj se poveća za jedan, dok se maseni broj ne mijenja. Pored elektrona emitira se također i antineutrino v . Cijeli proces promiče kao kad bi se jedan od neutrona jezgre X pretvorio u proton, pretrpivši raspad po shemi:

on x - + iP1+ .,e0+ v.

(16.14.)

Kao primjer P_-raspada može se navesti raspad torija Th234 u protaktinij Pa234 sa emisijom elektrona i antineutrina: ^Th234-+ „Pa234 + _,e° + v . Beta raspad može se odigrati uz emisiju gama zraka. Razlog njihove pojave je isti kao i u slučaju alfa raspada, Jezgra potomak može nastati kako u normalnom tako i u pobuđenom stanju. Prelazeći u stanje sa manjom energijom jezgra zrači gama foton. Za razliku od alfa čestica, beta-elektroni imaju najrazličitije energije od 0 do Drugi oblik beta raspada je beta plus raspad (P*). Neke nestabilne jezgre koje imaju manjak neutrona emitiraju pozitivne čestice mase jednake masi elektrona, ali naboja +e i tako postaju stabilnije. To je beta plus raspad (p4), pri kome se jedan proton pretvara u neutron, a iz jezgre izlazi pozitron (e4) i neutrino (v). Shemu P+ raspada pišemo: (16.15.)

(16.16.)

•337

Kao što se vidi iz sheme, atomski broj jezgre potomka je za jedinicu manji od atomskog broja materinske jezgre. Proces se dešava uz emisiju pozitrona i neutrina, a moguće je i nastajanje gama zraka. Pozitron je antičestica elektrona, a neutrino antičestica antineutrina. Treći oblik beta raspada K-zahvat sastoji se u tome da jezgra apsorbira jedan od K-elektrona svog atoma, a kao rezultat toga, jedan proton prelazi u neutron emitirajući pri tome neutrino: ,p 1+ y ) - > o " , + v.

(16.17.)

Jezgra koja je nastala može biti u pobuđenom stanju. Prelazeći zatim u energetski niže stanje ona emitira gama foton. Shema procesa može se prikazati na ovaj način: ZX A + _,e° -> z.lYA + v.

(16.18.)

Kao primjer K-zahvata može se navesti raspad kalija K40 u argon Ar40: Gama raspad. Poslije alfa ili beta raspada, jezgra potomak može biti u nekom od pobuđenih stanja. Jezgra potomak se vraća u svoje osnovno stanje

emitirajući pri tome gama zračenje (y-fotone) odgovarajuće energije. Na primjeru raspada izotopa Na24, vidimo da je moguće da jedna jezgra emitira istovremeno tri y-fotona po jednom raspadu, slika 16.2. Spektri beta i gama zračenja iz raspada Na24 dati su na slici 16.3.

338

16.5. ZAKON RADIOAKTIVNOG RASPADA Trenutak spontanog raspada jezgre nekog radioaktivnog izotopa je nemoguće predvidjeti, ali se može odrediti vjerojatnost tog raspada u toku određenog vremenskog intervala. Prema tome, radioaktivni raspad je statistički proces, koji se pokorava zakonima vjerojatnosti. Brzina kojom se raspada radioaktivni matenjal naziva se aktivnost i jednaka je broju raspada u jedinici vremena: dN (16.19.) dt Znak minus označava da se broj raspada u toku vremena smanjuje. Aktivnost se mijenja sa vremenom i proporcionalna je broju nestabilnib jezgri N(t): A = XN(t),

(16.20.)

gdje je X konstanta raspada i karakteristika je pojedinog radioaktivnog elementa. Iz relacija (16.19.) i (16.20.) slijedi diferencijalna jednadžba: d N = -X N{t)dt,

(16.21.)

koja daje broj raspada za vrijeme dt u trenutku /. Integracijom izraza (16.21.) dobiva se: ln N = -X t+ C ,

(16.22.)

gdje je C - integraciona konstanta. Za /= 0, dobivamo da je C = ln Ne pa je, N = N 0e-^,

(16.23.)

'

339

gdje je N0 broj jezgara u momentu t = 0, a N broj neraspadnutih jezgri do trenutka vremena t. Relacija (16.23.) predstavlja zakon radioaktivnog raspada. Ako je A0 početna aktivnost uzorka: 4 =

= AJV0.

(16.24.)

Vrijeme poluraspada (poluživota) Tm predstavlja onaj vremenski interval u kojem se raspadne polovina atoma radioaktivnog elementa. Uvrstivši t = Tm i N = N J l u relaciju (16.23.) dobivamo da je vrijeme poluraspada jednako: _ ln2 0,693 (16.25.) Grafički prikaz zakona radioaktivnog raspada dat je na crtežu 16.4.

Crtež 16.4.

Jedinica za aktivnost radioaktivnih izvora u Međunarodnom sistemu jedinica mjera (SI) je bekerel (Bq). Aktivnost od 1 Bq ima onaj izvor u kome se u jednoj sekundi dešava jedan raspad. Međutim, u praksi se još uvijek može sresti i vansistemska jedinica za aktivnost, kiri (Ci). Aktivnost od jednog kirija (1 Ci) ima onaj izvor u kome se u jednoj sekundi dešava 3,7-1010raspađa: lC i = 3,71010Bq.

340

16.6. CIJEPANJE JEZGRE (FISIJA) Fisija je proces cijepanja teške jezgre na dva približno jednaka fragmenta uz oslobađanje energije. Godine 1938. njemački naučnici O. Hahn (Han) i F. Strassmann (Štrasman) primijetili su da pri ozračivanju urana neutronima, nastaju elementi iz sredine periodnog sistema, barij i lantan. Dalja istraživanja su pokazala da se cijepanje može odigrati na više načina. Fisija je nukleama reakcija koja karakterizira cijepanje teške jezgre na dva fragmenta, dvije lakše jezgre, pri čemu je zbir rednih brojeva jednak rednom broju mete. Kako proces fisije ima statistički karakter, to postoji oko četrdeset načina cijepanja teške jezgre, pri čemu su najvjerojatnija cijepanja na fragmente čije se mase odnose kao 2:3. Fizibilne jezgre su izotopi WU 235 (sadržan 0,7% u prirodnom uranu) 92U233 i s+Pu239 kojih nema u prirodi nego ih dobivamo neutronskim ozračivanjem. Cijepanjem jezgre „U 235 postoji vjerojatnost nastajanja oko 300 različitih radioaktivnih produkata fisije. Na crtežu 16.5. dat je relativni odnos fragmenata različite mase, koji nastaju pri cijepanju U235 sporim (termalnim) neutronima (energije 0,025 eV). Sa crteža vidimo da je vjerojatnost obrazovanja fragmenata iste mase mala ( 10'2 %) dok se obrazovanje fragmenata sa masenim brojevima 95 i 140 (2:3) javlja u 7% slučajeva. U uranu i sličnim jezgrama fisija se najčešće izaziva neutronima. Kad neutron uđe u jezgru i veže se za ostale nukleone, oslobođena eneigija vezivanja pobuđuje jezgru iznad minimalne energije potrebne za fisiju i jezgra se

‘ 341

raspada. Jedan od mogućih procesa fisije U235 nakon zahvata sporog (termalnog) neutrona može se prikazati shematski: 92U235 + n,-+ 92U236 -> X + Y + ( 2 -3 ) 0/j i + oko 200 MeV, (16.26.) gdje su X i Y fragmenti fisije. Energija vezivanja po nukleonu najveća je za srednje teške jezgre (oko 8,5 MeV), dok je za vrlo teške kakav je uran (oko 7,6 MeV). Uzmimo da su fragmenti X i Y, masenih brojeva 96 i 140 vezani u prosjeku sa 8,5 MeV a uran U235 sa 7,6 MeV, oslobođena energija u fisiji biće jednaka razlici energija vezivanja: E = 8,5 MeV (96+140) - 7,6 MeV 236 = 212 MeV. Od ove energije oko 85% oslobodi se u obliku kinetičke energije fragmenata, ostatak kao kinetička energija neutrona, alfa i beta čestica i gama zraka. Jedan od načina na koji se ostvaruje cijepanje jezgre U235 može se prikazati na slijedeći način: OTU235 + /!,->■ n Um - » 5JCs140+ 37Rb94 + 2 y . Fragmenti cijepanja, cezij i rubidij također trpe daljnje transmutacije:

~ 140 n 140-+j,La . 140-+5,Ce ^ 140

„Cs ^ -»„Ba

P"

P"

p~ P"

p"

p"

Krajnji produkti cerij Ce140 i cirkonij Zr94, su stabilni. Cijepanjem jezgri U235, Pu239 i U233 nastaje nekoliko neutrona, što omogućava ostvarivanje lančane nukleame reakcije. Ako imamo z neutrona đobivenih cijepanjem jedne jezgre, moguće je sa njima izazvati cijepanje z jSzgri od kojih dobivamo z2 novih neutrona, koji će izazvati cijepanje z2 jezgri, itd. Na taj način, broj neutrona koji se dobije, raste geometrijskom progresijom. Međutim, proces umnožavanja neutrona protjecao bi na opisani način samo u slučaju kad bi svaki neutron bio zahvaćen jezgrama koje se cijepaju, što u realnim uvjetima nije slučaj. Mnogi neutroni prije nego što budu zahvaćeni jezgrama napuštaju zonu reakcije ili budu zahvaćeni jezgrama koje nisu sposobne za dezintegraciju, tako da veći broj neutrona ne učestvuje u stvaranju novih neutrona. Prirodni uran sadrži 99,27% izotopa U238, 0,72% U235 i oko 0,01% U234. Na taj način, na svaku jezgru U235 koja se cijepa pod djelovanjem sporih neutiona, otpada 140 jezgri U238 koje zahvaćaju neutrone bez dezintegracije. Zato u prirodnom uranu ne nastaje lančana reakcija dezintegracije. Lančana nukleama reakcija u uranu može se ostvariti tako da se iz prirodnog urana izdvoji izotop U235, koji je sposoban za dezintegraciju. U komadu

342

čistog U235 svaki neutron zahvaćen jezgrama izaziva cijepanje sa emisijom u prosjeku 2,5 neutrona. Međutim, ako je masa komada izotopa U235 manja od neke kritične mase to će većina neutrona izletjeti van zone reakcije i neće se ostvariti lančana nukleama reakcija. U slučaju kad je masa komada veća od kritične, neutroni se brzo umnožavaju i reakcija dobiva karakter eksplozije. Prema računima njemačkog fizičara Heisenberga (Hajzenberg) kritična masa za U235 iznosi 9 kg. Na ovom principu zasniva se djelovanje atomske (nukleame) bombe. Nukleamo gorivo U235 ili Pu239 podijeljeno je u dva dijela čije su mase manje od kritične mase. Masa svakog komada je manja od kritične mase i zbog toga ne dolazi do lančane reakcije. Pošto u Zemljinoj atmosferi postoji određen broj neutrona uslijed kozmičkog zračenja, da bi izazvali eksploziju dovoljno je spojiti dijelove nukleamog goriva u jedan komad s masom većom od kritične. Lančana reakcija u atomskoj bombi odvija se pomoću brzih neutrona. Na crtežu 16.6. dana je shema (nukleame) atomske bombe. Fisioni materijal (U235 ili Pu239) nalazi se odvojeno (1) i ukupna masa je veća od kritične mase. Do eksplozije dolazi naglim spajanjem tih masa pomoću klasičnog eksploziva (2), Cijeli uređaj je smješten u masivni omotač (3) koji služi kao reflektor neutrona i čuva nukleamo gorivo od raspršenja prije nego što dovoljan broj jezgri ne oslobodi svoju energtju. U nukleamoj bombi koja je bačena na Hirošimu fisioni materijal bio je ^U 235, a u onoj na Nagasaki ^Pu239.

16.7. N U K L E A R N I R E A K T O R Kao materijal koji dezintegrira u reaktorima koristi se prirodni uran obogaćen uranom U235. D a bi se spriječio zahvat neutrona jezgrama U23* nukleamo gorivo se razmješta u blokove između kojih se stavlja moderator, tj. materijal koji usporava neutrone do termalnih brzina. Mada se neutroni češće sudaraju sa jezgrama U238, vjerojatnost da dođe do cijepanja jezgre U235 je veća od vjerojatnosti zahvata neutrona u jezgm U238. Jezgre moderatora treba da imaju malu vjerojatnost zahvata neutrona i veliku vjerojatnost elastičnog raspršenja. Ovakve uvjete ispunjava deuterij, grafit i berilij (Be). Da bi se smanjila energija neutrona dobivenih fisijom (2 MeV) do termičkih brzina (0,025 eV) potrebno je oko 25 sudara u teškoj vodi (D20 ).

•

343

Crtež 16.7.

Prvi nukleami reaktor pušten je u rad 1942. godine u Čikagu (SAD), pod nikovodstvom talijanskog fizičara Enrika Fennia1. Kao gorivo korišten je uran a moderator je bio grafit pa se ovakav reaktor naziva uran-grafitni reaktor. Na crtežu 16.7. prikazana je shema reaktora. Nukleamo gorivo U235 je smješteno u odvojene blokove (1) između kojih se nalazi moderator - grafit (2). Da bi se mogla zaustaviti lančana reakcija u reaktoru, odnosno vršiti kontrola procesa, koriste se šipke od kadmija ili bora (3). Kadmij i bor imaju

Brzi neutroni 100%

1 EnrikoFermi (1901.-1954.) talijsnski fiziiSar, dobitnik Nobelove nagrade za fiziku 1938.Njegovi glavni radovi su na podruiju nuklearne fizike i fizike elementamih čestica.

344

tu osobinu da intenzivno apsorbiraju neutrone. Uvlačenjem šipki u reaktor smanjuje se koeficijent umnožavanja neutrona, a time se zaustavlja proces fisije. Proces nukleame fisije u reaktorima sa prirodnim uranom može se prikazati na crtežu 16.8. Prvi industrijski reaktori, izgrađeni u SAD, pravljeni su za proizvodnju dezintegracionog materijala za atomske bombe (Pu239), dok je prva atomska centrala za proizvodnju električne energije napravljena u SSSR 1954. godine, snage 5 MW. Napomenimo da je nukleama elektrana koja radi u Krškom (Slovenija) snage 600 MW.

16.8. T E R M O N U K L E A R N A R E A K C IJA (F U Z IJA ) Spajanje lakih jezgri u jednu jezgm naziva se fuzija i dešava se uz oslobađanje ogromnih količina energije. Pošto je za sintezu jezgri potrebna visoka temperatura, ovaj proces se naziva termonuklearna reakcija. Da bismo savladali potencijalnu barijeru, uvjetovanu Coulombovim (Kulonovim) odbijanjem, jezgre sa rednim brojevima Z, i Z^ treba da imaju energiju: £ =—

4 t ie 0

rN

(16. 27. )

gdje je rN radijus djelovanja nukleamih sila koji iznosi oko 2 1 0 15 m. Čak i za najlakše jezgre sa Z, = Z^ = 1, ta energija iznosi: E = 1.15-10'6 J « 0,7 MeV.

(16.28.)

Na svaku jezgm koja se sudara otpada polovina navedene veličine (0,35 MeV). Srednjoj energiji toplotnog kretanja od 0,35 MeV odgovara temperatura reda veličine 2109 K (prema relaciji E = kT, gdje je k = 1.38 I0'23 JK"1). Međutim, fuzija lakih jezgri može se ostvariti na znatno nižim temperaturama (107 K). Ovo se može objasniti na slijedeći način: statistička raspodjela čestica po brzinama, podrazumijeva da postoji uvijek jedan broj jezgri čija energija znatno prelazi srednju vrijednost. Na principu fiizije zasniva se hidrogenska bomba. Da bi se postigla potrebna temperatura od 107 K koristi se kao upaljač atomska bomba (fisija). Za hidrogensku bombu obično se koristi sinteza deuterija i tricija: ,H2 + ,H3 -»• jHe4 + n + 17,6 MeV.

(16.29.)

345

Pri ovoj reakciji oslobađa se energija od 17,6 MeV što iznosi oko 3,5 MeV po nukleonu. Radi usporedbe navedimo da cijepanje jezgre urana oslobađa oko 0,85 MeV po nukleonu. Sinteza jezgri vodika u jezgre helija je izvor energije Sunca i zvijezda, u čijoj unutrašnjosti temperatura dostiže 107—108 K. Sinteza u zvijezdama ostvaruje se na dva načina. Pri nižim temperaturama javlja se sinteza dva protona koji obrazuju jezgru helija 2He2, koja se raspada radioaktivnim beta P+ raspadom: ,H' + ,H ' -+ jHe2 -+ ,H2 + P++ v + 1,35 MeV.

(16.30.)

Tako dobivena jezgra teškog vodika (deuterij) ,H2 sudara se s protonom i sa njim tvori tricij: ,H 1 + ,H2 —» ,H3 + P+ + v + 4,6 MeV.

(16.31.)

Proces se završava reakcijom: 2He3 + 2He3 - + jHe4 + 2p

(16.32.)

tj. formiranjem jezgre helija i đva protona. N a višim temperaturama veću vjerojatnost ima jedna draga termonukleama reakcija, tzv. ugljično-dušični ciklus. Konačni rezultat svih etapa ovog ciklusa je obrazovanje jezgri helija. Ovakvim termonukleamim fuzionim reakcijama na Suncu (i zvijezdama) dolazi do smanjenja količine vodika i povećanja količine helija. Međutim, obzirom na postojeće količine vodika može se očekivati da će se tokom slijedećih nekoliko milijardi godina ove nukleame reakcije odvijati skoro nesmanjenim intenzitetom.

16.9. KONTROLIRANA FUZIJA Na Zemlji je fuziona energija dobivena samo u veoma kratkotrajnim eksplozijama hidrogenskih bombi. Međutim, ovo su nekontrolirane fiizione reakcije. Kontrolirane termonukleame reakcije, bit će moguće ostvariti tek onda, kada se u laboratorijskim uvjetima ostvare uvjeti slični onima koji vladaju u zvijezdama. Kontrolirana fuzija, pružit će čovječanstvu neiscrpan izvor čiste i jeftine energije. Naprimjer, pri fuziji deuterija, koji je sadržan u 1 litri obične vode, oslobodilo bi se isto toliko energije koliko se dobije sagorijevanjem oko 350 litara benzina.

346

Kao sirovinu za kontroliranu fuziju treba koristiti deuterij i tricij, čije su zalihe u oceanima neiscipne. Posebno su interesantne ove reakcije koje se mogu ostvariti u ionizovanoj vreloj plazmi vodika: ,H2 + ,H2 -+ jHe3 + n + 3,25 MeV ,H2 + 1H2 -> ,H e 3 + p + 4,0M eV

(16.33.)

,H2 + ,H3 -> 2He4 + n + 17,6 MeV. U hidrogenskoj bombi termonukleama reakcija ima nekontroliran karakter. Za ostvarivanje kontrolirane termonukleame reakcije potrebno je dostići i održavati u nekoj zapremini temperatum reda veličine 108 K. Na tako visokoj temperaturi supstanca predstavlja potpuno ionizovanu plazmu. Za ostvarivanje kontrolirane termonukleame reakcije postoje ogromne teškoće. Pored toga što je potrebno ostvariti visoku temperatum, problem je odižavanje plazme u zadanoj zapremini. Dodirivanje plazme sa zidovima suda dovodi do njenog hlađenja. Osim toga, zidovi od bilo kakvog materijala na takvoj temperaturi bi brzo isparili. Problem izolacije plazme pokušava se riješiti tzv. magnetnom termoizolacijom. Kada se kioz smjesu lakih plinova propusti veoma jaka električna struja, dolazi do slijedećih pojava: a) uslijed intenzivne ionizacije dolazi do stvaranja plazme, b) plazma se zagrijava na račun izdvojene toplotne energije i c) dolazi do formiranja plazmenog stupa oko uzdužne ose. Magnetsko polje električne strnje djeluje na svaku naelektriziranu čestieu, koja se kreće duž plazmene niti, Lorentzovom silom F, uslijed čega plazmeni stup biva odvojen od zidova suda i koncentrira se oko uzdužne ose suda, (crtež 16.9a).

«)

b) Crtež 16.9.

•

347

Pojava sažimanja plazmenog sloja u magnetskom polju poznata je kao “pinčefekt”. Nažalost, plameni sloj pokazao se veoma nestabilan, crtež 16.9b. Suvremeni plameni reaktori ostvarili su plameni stup u veoma kratkom vremenu (djelići sekunde). Pored toga postignute temperature plazme su niske (106 K), a plameni stup je nedovoljno stabilan tako da se brzo izgubi termoizolacija i stup se raspada. U posljednje vrijeme, uspjelo se dobiti supervisoke temperature (108 K) unutar male zapremine, fokusiranjem snažnog laserskog snopa i time ostvariti termonukleamu reakciju ali u vrlo kratkom vremenu. Od pedesetih godina 20. stoljeća fizičari cijelog svijeta rade na razvoju fuzionih reaktora. Poseban uspjeh su postigli reaktori na principu “sažimanja” plazme magnetskim poljem kojeg su prvi predložili ruski fizičari Tamm i Saharov. Ovaj način ostvarivanja kontrolirane fuzije poznat je pod imenom “tokam ak” što je akronim za rusku kovanicu “toridalnaya kamera magnitanaya katushka”. Snaga prvih reaktora na bazi fuzije bila je od nekoliko vata do megavata krajem drugog milenija. Fuziona tehnologija na bazi “tokamaka” dostiglaje maksimalnu snagu fuzionib reaktoraod 10,7 MW (SAD, Princeton, 1994.). Ovdje treba napomenuti da su ovo još uvijek laboratorijska istraživanja jer je uložena snaga za ostvarivanje kontrolirane fuzije bila 30 MW, a vrijeme trajanja 1-2 sekunde. Projekt poznat pod imenom ITER u koji su uključene sve zemlje razvijenog svijeta (SAD, Rusija, Japan, Europska zajednica), planira da će do 2008. godine biti napravljen reaktor snage 500 MW, koji se još uvijek ne bi mogao koristiti u komercijalne svrhe jer bi, prema projektu, korisna snaga bila samo 40 MW. Ako se uzme u obzir stanje raspoloživih energetskih resursa na bazi fosilnih goriva, energetičari predviđaju da će već 2020. godine doći do nedostatka energije jer su ovi izvori neobnovljivi, a altemativni izvori (vjetar, Sunce, hidroenergija itd.) nedovoljni da osiguraju povećane potrebe za energijom, posebno, zemalja u razvoju. Gledajući očima fizičara, jedina rAlna šansa da se osiguraju potrebne količine energije je razvoj fuzione tehnologije, jer fuzionog goriva (deuterij, litij) ima u skoro neograničenim količinama na našoj planeti (mora, oceani). Fizičari smatraju da mogu riješiti problem kontrolirane fuzije do 2050. godine. Reaktor (DEMO) koji se planira imao bi komercijalnu namjenu a fuziona snaga bi iznosila 4000 MW i imao bi snagu 1000 MW električne energije što je dovoljno za grad od 1 000 000 stanovnika (prema američkim standardima).

348

17. ELEMENTARNE ČESTICE

17.1. UVOD Zasluga za uvođenje pojma atoma u teoriji strukture materije pripada starim grčkim filozofima. Odmah treba naglasiti da ti stari “atomi” nisu isto što i atomi s kojima mi danas radimo. Nije jednostavno točno znati što su grčki filozofi razumijevali pod pojmom atom; središnje pitanje koje ih je zaokupljalo bilo je: da li je ili nije tvar neograničeno djeljiva. Ako nije neograničeno djeljiva, onda ćemo kad tad doći do iđeje o elementamim sastojcima tvari - “atomima”. Uzmimo komad materijala i drobimo ga na sve sitnije i sitnije djeliće. Na kraju dolazimo do čestica koje su dalje nedjeljive i to su “atomi” (riječ atom zapravo znači “nedjeljiv”). Grčki atomisti vjerovali su da je tvar zaista izgrađena od atoma; nekako su osjećali da se mnoštvo elementamih struktura može objasniti pomoću različitih konfiguracija atoma. Uglavnom ni mi danas ne mislimo puno dmgačije, ali sigumo postoji golema ražlika između naših kvantitativnih teorija i maglovitih nagađanja antičkih filozofa. * Da podsjetimo čitaoce na povijest atomske teorije; u 19. stoljeću atomska hipoteza dovela je do značajnog uspjeha u razumijevanju niza prirodnih pojava. Na osnovu pretpostavke o atomima možemo shvatiti temeljnu činjenicu kemije, tj. da se svaki kemijski spoj uvijek sastoji od određenih temeljnih kemijskih elemenata u određenim omjerima, karakterističnim za spojeve. Pogledajmo na očiglednu činjenicu da se kemijski spojevi mogu predstaviti jednostavnim formulama kao što su H20 , H2S 0 4 i NaOH. Upadljivo je da se u tim formulama pojavljuju mali cijeli brojevi koji kažu da se dvije jedinice vodika spajaju s jednom jedinicom kisika da bi nastala jedna jedinica vode, itd. Pretpostavimo li da je tvar građena od atoma, odmah ćemo shvatiti te empirijske činjenice: kemijski spojevi sastoje se od nevelikog broja atoma. Dva atoma vodika spajaju se s jednim atomom kisika i tvore jednu molekulu vode. Vrlo jednostavno. Kao daljnju potvrdu atomske hipoteze možemo navesti uspjeh kinetičke teorije plinova što su je razvili J. C. Maxwell i L. Boltzmann. Pretpostavivši da je plin roj molekula koje se u posudi nasumice gibaju i žestoko međusobno sudaraju i sudaraju sa stjenkama posude, ta je teorija

•

349

objasnila mnoga svojstva plinova. Pomoću nje se, uspio procijeniti Avogadrov broj. Imajući u vidu takve dokaze o postojanju atoma, teško je povjerovati da je gotovo do konca 19. stoljeća bilo znanstvenika koji su odbacivali atomsku hipotezu zato što nije bilo direktnih dokaza da je tvar građena od atoma. Atomi grčkih filozofa nisu istovjetni s današnjim atomima. Prije svega, naši atomi nisu nedjeljivi: izgrađeni su od protona, neutrona i elektrona. Ulogu “atoma” u shvaćanjima starih Grka trebali bi na neki način predstavljati protoni, neutroni, elektroni i mnoštvo drugih elementamih čestica. Što podrazumijevamo pod “elementamom česticom”? Točna defimcija tog pojma danas je pomalo spoma, ali za naše potrebe na to pitanje dat ćemo ovaj jednostavan i praktičan odgovon čestica se smatra elementamom ako je se ne može opisati kao sistem složen od dragih još elementamijih jedinica. Elementama čestica nema “dijelova”, niti je “izgrađena” od bilo čega još jednostavnijeg. Prema takvoj definiciji proton, neutron i elektron su elementame čestice, ali vodikov atom ili uranova jezgra to nisu. Ako se dva komada mramora sudare velikom brzinom, razmrskat će se u manje komade. Na isti način će se dvije vodikove molekule posiije sudara velikom relativnom brzinom razbiti u komade. Među takvim komadima, osim ako brzina nije vrlo velika, naći ćemo vodikove atome, protone, elektrone; dragim riječima, naći ćemo komponente od kojih su molekule bile izgrađene. Što se dogodilo u oba ta slučaja možemo opisati ovako: Silina sudara nadjačala je kohezivne sile koje su držale skupa dijelove mramora, ili vodikove molekule, pa su se ti objekti razletjeli u komadićima. Na sličan način možemo interpretirati mnoštvo nukleamih reakcija. Jezgre su izgrađene od protona i neutrona, pa ako se brzi proton sudari s jezgrom, može se dogoditi da nekoliko protona i neutrona bude izbačeno iz jezgre. , Međutim, razmatramo li silovit sudar dviju elementamih čestica, kao što su đva protona, otkrivamo pojave koje se kvalitativno razlikuju od gomjih pojava. Ako npr. proton vrio velike energjje udari u dragi proton, poslije sudara oba će protona ostati protoni, ali ćemo među produktima te reakcije naći i nekoliko novih elementamih čestica, npr. pi mezona. Kažemo da su u toj reakciji nastali pi (7t)-mezoni (nazivamo ih još i pioni). To nije jedino što se može đogoditi u sudara protona s protonom: protoni mogu i nestati, a umjesto njih mogu se pojaviti nove čestice koje se zovu K mezoni ili hiperoni, crtež 17.1. Isto se tako može dogoditi da u žestokom sudaru dva elektrona poslije reakcije imamo tri elektrona i jedan pozitron. S drage strane, ako se sudare elektron i pozitron, može se dogoditi da te dvije čestice iščeznu (kažemo da su se poništile, anihilirale) pa ostane samo elektromagnetsko zračenje u obliku

350

gama kvanta. Stvaranje i poništavanje čestica, važno je svojstvo prirode. Očito da te pojave nemaju analogiju u drobljenju komada mramora, ili u kemijskim reakcijama. Kemijsku reako ciju možemo opisati tako da kažemo da nove molekule nastaju od elemenata koji su sastavni dijelovi drugih molekula. Pri takvom opisu atome možemo smatrati sastavnim dijelovima molekule. Za razliku od toga, razmotrit ćemo događaj kada dvije čestice koje su se sudarile ostaju i poslije sudara u kojemu je nastalo više novih Crtež 17.1. čestica. Da bismo eksperimentalno ustanovili da li je neka čestica elementama ili složena, nastojimo stvoriti uvjete da sc ona sudari s drugom čcsticom, pa da posmatramo produkte reakcije. Tom metodom u stanju smo razbiti molekulu na zasebne atome, a atome na elektrone i jezgre, pa je pravilno kazati da su molekule izgrađene od atoma, koji su opet izgrađeni od clektrona i jezgri. Fizičari 19. stoljeća zaista su pogriješili misleći da su atomi neuništivi i nedjeljivi. Ispostavilo se da se atom može razbiti. To isto vrijedi i za jezgre. Samo, za njihovo rarf)ijanje potrebno je znatno više energije nego za razbijanje atoma. Pomoću modemih akceleratora možemo proizvesti snopove čestica vrlo visokih energija, pa postoje mogućnosti za razbijanje čestica.

o-

17.2. K O Z M IČ K O Z R A Č E N J E Iz Svemira na Zemlju neprekidno pada fluks atomskih jezgri (uglavnom protona visoke energije) u srednjem 10 GeV, a pojedine čcstice dostižu energiju i do 1010 GeV. To tzv. primarno kozmičko zračenje obrazuje u zemljinoj atmosferi sekundarno zračenje, u kojem se sreću sve u današnje vrijeme poznate elementarne čestice. Čestice primarnih kozmičkih zraka tipe neelastične sudare sa jezgrama atoma u gomjim slojevima atmosfere, rezultat čega je postanak sekundamog zračenja. Na visinaraa nižim od 20 km kozmičke zrake imaju potpuno sekundami karakter. U sastav sekundamih kozmičkih zraka ulaze dvije komponente.

351

Jedna od njih jako se apsorbira u olovu i zato je nazrvamo meka; druga, međutim, prodire kroz veliku debljinu olova i zove se tvrda. Meka komponenta sastoji se iz kaskade ili pljuskova parova elektron-pozitron. Gama foton, koji je nastao kao rezultat nukleame transformacije ili naglog kočenja brzog elektrona, prolijećući blizu atomskog jezgra, obrazuje par elektron-pozitron. Kočenje tih čestica ponovo dovodi do obrazovanja gama fotona. Procesi stvaranja parova i generacije gama kvanata izmjenjuju se jedan s drugim sve dok energija gama fotona ne postane nedovoljna za obrazovanje para. Kako je energija prvobitnog fotona vrlo velika, to može da nastane mnogo pokoljenja sekundamih čestica prije nego se prekrati razvitak pljuska. Tvrda, prodoma komponenta kozmičkih zraka sastoji se uglavnom iz miona. Ona se prvenstveno obrazuje u gomjim i srednjim slojevtma atmosfere na račun nabijenih 71-mezona (i dijelom K-mezona). Do nedavno, kozmičko zračenje bilo je jedini izvor čestica sa energijom dovoljnom za obrazovanje mezona i hiperona. Pozitron, mioni, pi-mezoni i mnoge druge čestice prvi put su opažene u sastavu kozmičkih zraka. Godine 1952. u SAD pužten je u rad prvi sinhrofazotron (akcelerator) koji je omogućio da se dobiju protoni energije do 3 GeV, koja spada u oblast energija primamog kozmičkog zračenja. Zato je ovaj sinhrofezotron dobio naziv kozmotron. Danas postoje akceleratori koji omogućavaju energije i 100 GeV (LEP-Large Electron Positron Collider, Cem). U planu su SSC (SAD) protonski kolajder i do višeod 10 TeV, i LHC (Large Hadron Collider) u Cemu. U sadašnjem trenutku teško je zamisliti da će se u skoroj budućnosti praviti veće mašine jer i ove sadašnje koštaju izuzetno mnogo. Za SSC planirano je u 1995. gođini utrošiti 6,5 milijardi dolara i njegovo dovršenje će čekati povoljnije financijske prilike. Pojavom akceleratora izgledalo je da će značaj kozmičkih zraka za i^učavanje u oblasti elementamih čestica izgubiti na značaju. Sada smo, međutim, sigumi da će daljnja izučavanja u podračju visokih energija biti vezana isključivo za kozmičke zrake.

173. METODE PROMATRANJA ELEMENTARNIH ČESTICA Elementame čestice mogu se promatrati zahvaljujući tragovima koje one ostavljaju pri svom prolasku kroz tvar. Karakter tragova omogućava da se sudi o predznaku naboja čestice, njenoj energiji, impulsu i sl. Nabijene čestice izazivaju ionizaciju molekula na svom putu. Neutralne čestice ne ostavljaju tragove, ali se mogu opažati u trenutku raspada na nabijene čestice ili u trenutku sudara sa nekom jezgrom. Prema tome, u krajnjoj liniji, neutralne

352

čestice se također mogu opažati po ionizaciji izazvanoj od njih stvorenim nabijenim česticama. Na slici 17.1. prikazan je snimak poništenja protona i antiprotona u mjehurastoj komori. Komora se Judazi u magnetskom polju okomitom na ravninu snimka. Tragovi negativnih Česrica sayijaju se u smjeru kazaljke na satu, a tragovi pozitivnih čestica u obznutotn smjeru. Tragovi sporih čestica su debeli, dok su tragovi vrlo brzih češtica tanke, uglavnom isprekidane linije. Uređaji koji se koriste za registriranje ionizirajućih češtica dijele se u dvije giupe. U prvu spadaju uređaji koji registriraju činjenicu prolaska čestice i osim toga, u nekim slučajevima, omogućavaju da se sudi o njenoj energiji. U drugu grupu spadaju uređaji koji omogućavaju promatranje tragova čestica u tvari. Među uredaje za registriranje nbrajaju se ionizacione komore i brojači sa plinskim pražnjenjem. Također se koriste Čerenkovljevi brojači, scintilacioni a u novije vrijeme poluvodički - gennanijski detektori. Nabijene čestice, koje prolaze kroz supstancu, izazivaju ne samo ionizaciju nego i pobuđivanje atoma. Vraćajući se u normalno stanje, atomi emitiraju vidljivu svjetlost. Tvari u kojima nabijene čestice pobuđuju svjetlosnu iskru (scintilaciju) nazivaju se scintilatori. Scintilatori mogu da budu organski (benzen, naftalin, itd.) i neorganski NaI(Tl), CsI(Tl), KI(T1). Za protonske

Slika 17.1. Snunak poništcnja protona i antiprotona u lcomori na mjeburićc. Glavni događaj jc u arcdini snimka. Antiproton upada odozgo.

• 353

brojače obično se koriste scintilatori od plastike. Danas se koriste poluvodički detektori posebno u spektrometriji ionizirajućih zračenja, radi velike moći rczolucije. U spektrometriji alfa čestica i drugih teških nabijenih kaona koriste se silicijeve diode sa površinskom barijerom. U spektrometriji gama zračenja danas se koriste dva tipa Ge-detektora (germanij), tzv. Ge(Li), germanij-litij detektor u kojem je driftovan litij i HP-Ge detektor, od vrlo čistog (high purity) germanija. U detektore sa tragovima ubrajaju se Wilsonova komora, mjehurasta komora, vamična komora i emulzione komore. Staza iona, kojom prolazi nabijena čestica, postaje vidljiva u Wilsonovoj komori zato što na ionima dolazi do kondenziranja zasićenih para neke tečnosti. U mjehurastoj komori, koju je konstiuirao D. Glaser 1952. godine, zasićene pare zamijenjene su pregrijanom prozračnom tekućinom. Ionizirajuća čestica koja proleti kroz komoru izaziva bumo ključanje tekućine, uslijed čega je trag čestice označen lancem mjehurića pare, koji obrazuju trag, slika 17.1. Mjehurasta komora, kao i WiIsonova komora, radi u ciklusima. Komora se pušta u rad naglim snižavanjem tlaka uslijed čega rađna tekućina prelazi u metastabilno pregrijano stanje.

17.4. KLASE ELEMENTARNIH ČESTICA j.. Pod elementamim česticama podrazumijevamo takve mikročestice čiju unutrašnju struktum na današnjem stupnju razvoja fizike, nije moguće prikazati kao ujedinjenje đmgih čestica. U svim do sada promatranim pojavama svaka takva čestica ponaša se kao cjelina. Elementame čestice mogu se pretvarati jedna u dmgu. Da bismo objasnili osobine i ponašanje elementamih čestica potrebno im je, pored mase, električnog naboja i spina pridmžiti niz dopunskih, za njih karakterističnih veličina (kvantnih brojeva). Prije samo tridesetak godina izgledalo je da je atom sastavljen samo od elektrona, protona i neutrona i da se pomoću njih može izgraditi sve što nas okružuje. Danas je poznat veliki broj elementamih čestica koje se mogu podijeliti u četiri skupine (klase): Fotoni, y (kvanti elektromagnetskog polja). Leptoni. Tu se ubrajaju čestice koje ne učestvuju u jakoj interakciji: mioni, elektroni i neutrino. Svi leptoni imaju spin 1/2. Takve čestice pokoravaju se Fermi-Diracovoj statistici (koja uzima u obzir Pauliev princip) uslijed čega se nazivaju fermioni. Svi leptoni učestvuju u slaboj interakciji. Oni

354

elektromagnetskoj inSSkcTji”8* ^ (m,0ni ' eIektroni) učestvuJu talcođer i u Tabela 17.1.

355

veličine 10'8 s. K-mezoni se raspadaju obrazujući n-mezone i leptone ili samo leptone. Nabijeni rr-mezoni raspadaju se, obrazujući leptone. Sheme raspada mogu se vidjeti u tabeli 17,1. Za razliku od leptona mezoni učestvuju ne samo u slaboj (i ako su nabijeni i ^iektromagnetskoj interakciji) nego i u jakim interakcijama koje se očituju u njihovom međudjelovanju, a također i u međudjelovanju između mezona i bariona. Spin svih mezona jednak jc nuli. Čestice sa cijelim (ili nultim) spinom podčinjavaju se statistici Bose-Einsteinovoj, pa se nazivaju bozoni. Barioni - klasa bariona objedinjuje u sebi nukleone (p. n) i nestabilne čestice s masom većom od mase nukleona, koje su dobile naziv hiperoni (X°, £+, zPt £-, 2 °, H-). Svi barioni učestvuju u jakoj interakciji i prema tome aktivno međudjeluju sa atomskim jezgrama. Spin svih bariona jednak je 1/2, tako da barioni predstavljaju fermione. Izuzev protona svi barioni su nestabilni. Pri raspadu bariona, pored ostalih čestica, obavezno se obrazuje barion. Ta zakonitost je. jedan vid zakona o očuvanju barionskog broja. U zadnje vrijeme otkriveno je više od 200 kratkoživećih čestica koje su dobile naziv rezonance. Te čestice predstavljaju rezonanma stanja koja obrazuju dvije ili veći broj elementamih čestica. Vrijeme života rezonanci je vrlo kratko 10"23—10'22 s. To dokazuje da se raspad rezonanci događa na račun jake interakcije. Raspad dnigih čestica ostvaruje se na račun slabe (ponekad elektromagnetske) interakcije. Zato su njihova vremena života duža.

17.5. ČESTICE I ANTIČESTICE Schrodingerova jednadžba (14.9.) ne zadovoljava zahtjeve teorije relativnosti; ona nije invarijantna u odnosu na Lorentzove transformacije. Godifie 1928. engleski fizičar Paul Dirac našao je relativističku valnu jednadžbu za elektron iz koje slijedi niz važnih posljedica. Prije svega, iz tješenja te jednadžbe na prirodan način, bez bilo kakvih dopunskih pretpostavki, dobiva se spin i brojčana vrijednost vlastitog magnetskog momenta elektrona. Na taj način se je razjasnilo da spin predstavlja veličinu koja je istovremeno i kvantna i relativistička. Diracova jednadžba također omogućava da se predvidi postojanje antičestice elektrona, pozitron. Iz Diracove jednadžbe ne dobivaju se za ukupnu energiju slobodne čestice samo pozitivne, već i negativne vrijednosti. Pri zadanom impulsu čestice p postoje iješenja jednadžbe koja odgovaraju energijama (10.56.): E = ± J c 2p 2 + » tc 4 . (17.1.)

356

Između najmanje pozitivne vrijednosti (+macr) i najveće negativne (-m^c2) vrijednosti postoji interval vrijednosti energija, koje se ne mogu ostvariti. Širina tog intervala je 2 crtež 17.2a. Na taj način, dobivaju se dvije oblasti vlastitih vrijednosti energije: jedna počinje sa +2m0c2 i prostire se do +oo, a druga počinje sa - 2 m ^ i prostire se do —oo. Čestica sa negativnom energijom treba imati veoma čudne osobine. Prelazeći u stanje sa sve manjom energijom (tj. sa po mođulu rastućom negativnom energijom), ona bi mogla emitirati energiju, recimo u obliku zračenja, pri čemu bi, pošto |is| ničim nije ograničeno, čestica sa negativnom energijom mogla izračiti beskonačno veliku količinu energije. Do analognog zaključka može se doći na slijedeći način: Iz relacije E = mc* slijedi da će kod čestica sa negativnom energijom masa također biti negativna. Pod djelovanjem siie kočenja, čestica s negativnom masom ne treba da se usporava već da se ubrzava, vršeći nad izvorom sile kočenja beskonačno velik rad. Zbog tih teškoća, trebalo bi izgleda, pretpostaviti da stanja s negativnom energijom treba isključiti iz razmatranja jer dovode do apsurdnih rezultata. To bi, međutim, protunječilo nekim općim principima kvantne mehanike. Zato je P. Dirac izabrao drugi put. Prelpostavio je da se prelazi elektrona u stanja s negativnom energijom obično ne primjećuju iz tog razloga što su svi postojeći nivoi s negativnom energijom već zaposjednuti elektronima. Napomenimo da se elektroni, kao i dmge čestice s polucijelim spinom pokoravaju Paulievom principu koji zabranjuje da u jednom te istom stanju bude više od jedne čestice. Pieina Diracu vakuum je takvo stanje prostora u kojem su svi nivoi negativne energije zaposjednuti elektronima, a nivoi s pozitivnim energijama su slobodm (crtež 17.2.). Ako jedan od elektrona koji se nalaze na negativnom nivou primi energiju koja prelazi širinu zabranjene zone, koja iznosi Im^c2, to će taj elektron preći u stanje s pozitivnom energijom i ponašat će se kao čestica s pozitivnom masom i negativnim nabojem. Vakancija (“šupljina”) obrazovana pritom u skupu negativnih nivoa, treba da se ponaša kao elektron koji ima pozitivni naboj. Naime, odsustvo čestice koja ima negativnu masu i naboj, očitovat će se kao prisustvo čestice s pozitivnom masom i pozitivnim nabojem. Ova prva predskazana (teoretski) čestica nazvana je pozitron. Pri susretu pozitron i elektron iščezavaju (anihiliraju) tj. elektron prelazi s pozitivnog nivoa na vakantni negativni. Energija, koja odgovara razlici tih nivoa, oslobađa se u vidu zračenja. Na crtežu 17.2b strelica 1 predstavlja stvaranje para elektron-pozitron, a strelica 2 njihovu anihilaciju. Teorija Diraca bila je toliko ‘revolucionama” da većina suvremenika bila je nepovjerijiva prema njoj. Međutim, 1932. godine američki fizičar G. Anderson opazio je pozitron u sastavu kozmičkih zraka. U WiIsonovoj komori,

'

357

-------------------- 1 1------------------

+«o«J 2

1

£=0

£=0

-m^c1 —• —

♦ a)

b) Crfež 17.2.

smještenoj između polova magneta, pozitron je ostavio isti trag kao i elektron koji jc istovremeno nastao, samo je taj trag bio zakrivljen u suprotnu stranu. Rađanje para elektron-pozitron nastaje pri prolazu y fotona kroz tvar. To je jedan od osnovnih procesa koji dovodi do apsorpcije gama zraka u supstanci. U potpunoj sugiasnosti sa Diracovom teorijom minimalna energija y-fotona pri kojoj se rađa par jednaka je ImrfP- = 1,02 MeV. Radi zakona očuvanja impulsa u procesu stvaranja para treba da učestvuje još jedna čestica, koja preuzima razliku impulsa y-fotona i sumamog impulsa eiektrona i pozitrona. f'rema tome proces se piše u obliku: y + X -> X + e ~ + e*,

(17.2.)

gdje je X jezgro u čijem polju sila dolazi do stvaranja para. Pri anihilaciji je zakon očuvanja impulsa uzrok nastanka dva ili tri y-fotona, koji se razlete na razne strane: “* e~ + e*—>y + y +(y).

(17.3.)

Elektronsko-pozitronski parovi mogu da nastanu i pri interakciji y-fotona sa elektronom; ili u sudaru dva elektrona: y + e~ —>e +e~ + e* e~ + e~ —> e~ + e~+ e~ + e*.

(17.4.)

U nešto izmijenjenom obliku Diracova jednadžba može se primijeniti ne samo na elektrone (pozitrone) nego i na druge čestice sa spinom jednakim 1/2. Prema tome za svaku takvu česticu (npr. proton ili neutron) mora postojati antičestica. Po analogiji sa (17.3.) stvaranje paraproton-antiproton (p - p ) ili neutron-antineutron (n — n ) mogio bi se očekivati pri sudaru nuldeona do-

358

vo|jno visoke energije. Ovo je eksperimentalno postignuto još daleke 1955 godine u akceleratoru, prema slijedećoj shemi: P p —>p + p + p + p ili P + n —>p + n + p + p .

(17.5.)

Proton i antiproton anihiliraju prema slijedećoj shemi, crtež 17.3 Vidimn da se anihilacijom proton-antiproton obrazuju pioni koji se raspadaju na mione 3 miom na elektrone, pozitrone i elektronska i mionska neutrina: p + p -> Jt+ + 7 r + jr°

(1 7 6 )

Crtež 17.3.

359

Antičestice postoje ne samo za fermione, već i za bozone. Tako naprimjer je antičestica jr--mezonu. Poznate su samo četiri čestice koje su identične sa svojim antičesticama. To su foton, n°-mezon i dva A°-mezona. Očigledno je, da čestice koje su identične sa svojim antičesticama ne mogu da anihiliraju. Ako se barionima, gdje se ubrajaju i nukleoni (n i p ) , pripiše barionski broj (naboj) B = +1, a antibarionima barionski broj B = —1, to će za sve procese u kojima učestvuju barioni i antibarioni bit karakteristično očuvanje barionskog broja. Napomenimo da zakon, očuvanja barionskog broja uvjetuje stabilnost najlakšeg bariona-protona. Dmgi zakoni očuvanja (energije, impulsa, momenta impulsa, električnog naboja, itd.) ne zabranjuju naprimjer, proces: 7i+-mezon

p -» e+ + v + v koji bi u krajnjem slučaju doveo do anihilacije atoma. Međutim, takav proces dešavao bi se uz smanjenje barionskog broja za jedinicu i stoga je nemoguć. Analogno tome, zakon očuvanja električnog naboja uvjetuje stabilnost najlakše nabijene čestice - elektrona, zabranjujući naprimjen e~

-> y + Y+ v.

Da bismo objasnili procese u kojima učestvuju leptoni potrebno je uvesti kvantni broj L, koji se zove leptonski broj ili naboj. Leptonima se pripisuje L = +1, antileptonima L = —1, a svim ostalim česticama L = 0. Pri tome bez izuzetka, javlja se u svim procesima očuvanje ukupnog leptonskog broja spomenutog fizikalnog sistema. Prema CPT1 teoriji osnovni parametri antičestice trebaju imati slijedeće vrijednosti: Čestica Električni naboj Masa Spin Magnetski moment Vrijeme života Barionski broj Leptonski broj

Antičestica e

—e

m

m

s

s

V X

T

B L

-B -L

1 Prema CPT teoriji, zakoni prirode se ne mijenjaju pri istovremenoj trostmkoj zamjeni: čestica-antičestica, desno-lijevo i direktan tok vremena-invetzan tok vremena.

360

U slučaju neodižavanja barionskog broja, najlakši barion-proton mogao bi se raspasti na čestice čiji je ukupni barionski broj nula. Naprimjer: p —> e++ ji ° B = +\ 0 0. Međutim, do danas još nije eksperimentalno potvrđen raspad protona. Ako se i događa, vjerojatnost je toliko mala da proton može da ostane stabilan u toku najmanje 1030 godina. A to je mnogo više od starosti Svemira, tj. od vremena koje je proteklo od početka njegovog širenja do danas (10-20)10'° godina. Vremenski interval od 103° godina toliko je velik da je teško zamisliti neki proces koji toliko dugo traje. Naprimjer, ako se sjetimo priče o mitološkom orlu, koji jednom u 100 godina slijeće na visoku planinu da oštri svoj kljun, jednostavno se može izračunati vrijeme potrebno orlu da na taj način sravni planinu veličine Bjelašnice. Pokazalo se da je to vrijeme manje milijardu puta od vremena života protona. Do danas nije opažen raspad protona mada se trenutno vrše veoma skupi eksperimenti koji bi mogli opaziti spontani raspad bar jednog protona. U Japanu je konstruiran ogromni detektor Kamioka, instaliran na dubini od 1 000 m ispod planine Ikenoyama koji bi trebao u toku godine registrirati spontani raspad protona (u bazenu koji sadrži 33 000 tona vode ima « 2 1034 nukleona). Ako je vrijeme života protona 103' bilo bi za očekivati 1 000 raspada protona godišnje, ali do danas nije registriran ni jedan raspad. Treba napomenuti daje riječ o najkompliciranijim mjerenjima koje je čovjek do sada uspio organizirati uz pomoč najmoćnijih kompjutera. Slični eksperimenti se izvode u SAD, Francuskoj, Rusiji, Indiji.

17.6. TEORIJA VELIKOG UJEDINJENJA Teorija ujedinjenja predviđa neodržavanje barionskog broja. Kao rezultat dala bi neophodnu česticu X koja je odgovoma za taj proces. Donedavno se pretpostavljalo da postoje četin osnovna tipa međudjelovanja: gravitacijsko, slabo nukleamo, elektromagnetsko i jako nukleamo. U svakodnevnom životu nam je dobro poznato gravitacijsko i elektromagnetsko međudjelovanje. Jako nukleamo međudjelovanje je odgovomo za vezu između nukleona u jezgm. Slabo nukleamo međudjelovanje odgovomo je za procese kao što je beta raspad. U tabeli 17.2. datc su osnovne karakteristike međudjelovanja (interakcija).

361

Tabela 17.2. Tip interakcije 1. Nukleama-jaka 2. Elektromagnetska 3. Nukleama-slaba 4. Gravitacijska

Kvant - prijenosnik interakcije

Konstanta interakcije

gluoni

1

00

y-foton, m = 0, w +, w -, Z°

io-J

10-'7

bozcmi, m « 80 GeV

io-'4

00

graviton (7) m = 0

Radijus djelovanja (m) io

-15

10^

Vidimo da se karakteristične veličine pojedinih interakcija razlikuju jedna od druge. Kako naći jedinstvenu teoriju i ove pojave dovesti u vezu. Izvođenju takve teorije posvetio je A. Einstein veliki dio svog života ali bez većih uspjeha. On to nije mogao uraditi u to vrijeme jer nije imao eksperimentalne podatke o pojedinim tipovima interakcije koji su dostupni današnjim teorijskim fizičarima. Sama ideja o zajedničkoj teoriji izgledala je i još je uvijek vrlo privlačna. Sredinom šezdesetih godina Amerikanci S. Glashow i S. Weinberg i Pakistanac Abdus Salam izveli su prvu ujedinjenu teoriju za procese u mikrosvijetu, koja je ujedinila slabu i elektromagnetsku interakciju. Pokazano je da na dovoljno visokim eneigijama (reda nekoliko stotina GeV-a) sile elektromagnetske i slabe interakcije postaju usporedive po veličini, kvanti-prijenosnici slabog i elektromagnetskog polja, mogu se ujediniti u jednu grupu, i slabi i elektromagnetski procesi se mogu opisivati jednim istim jednadžbama. Pri prijelazu na niže energije ta se simetrija narušava. Dok su raniji kvanti slabe interakcije slično fotonima imali nultu masu mirovanja, danas ona iznosi 80 GeV, što ima niz posljedica. Kao prvo smanjuje se radijus djelovanfž slabe interakcije, kao drugo na energijama, malim u usporedbi s masom kvanta koji prenosi interakciju, konstanta slabe interakcije također je mala, to jest “sila” interakcije se smanjuje. Glashow-Weinberg-Salamova teorija dobila je blistavu eksperimentalnu potvrdu kada su na akceleratoru u Cemu (Ženeva) otkriveni kvanti prijenosnici elektroslabe interakcije W i Z bozoni. Te čestice s kvantom svjetlosti - fotonom, obrazuju jednu grupu koja je dobila naziv “teška svjetlost”. Za otkriće W-bozona C. Rubia i S. Van der Mer dobili su Nobelovu nagradu za fiziku 1984. godine. Izvođenje teorije elektroslabe interakcije predstavlja jedno od krupnijih dostignuća u fizici elementamih čestica. Zbog toga su prirodno počeli da se pojavljuju pokušaji da se njene osnovne ideje prošire dalje na izvođenje ujedinjene teorije jakih i slabih i elektromagnetskih interakcija. I u

362

posljednje vrijeme napravljen je značajan progres u opisivanju jakih interakcija. Godine 1963. Gell-Mann je postavio hipotezu da su mezoni i barioni složeni sistemi, izgrađeni od sitnijih čestica koje je nazvao kvarkovi. Kvarkovi imaju niz egzotičnih svojstava. Oni nemaju cjelobrojan električni i barionski naboj, a osim toga imaju još jedan kvantni broj, koji se naziva boja (color). Tako da svaki kvark može da se nađe u tri stanja koja se međusobno razlikuju po boji (uvjetno, na primjen crvena, zelena i plava). Prema suvremenim predstavama veza kvatkova u barionima i mezonima ostvaruje se izmjenom gluona (eng. glue - lijepak). To je bezmasena čestica koja na neki način liči na fotone, prijenosnike elektromagnetskih interakcija. Međutim, sami fotoni nemaju električni naboj dok gluoni imaju određenu “boju”. Zato, za razliku od fotona gluoni mogu interagirati jedan s drugim. Teorija obojenih kvarkova naziva se “kvantna kromodinamika”. Proračuni pokazuju da na fantastično velikim energijama, reda 1014-1 0 1S GeV, konstanta jake interakcije postaje usporediva po veličini s konstantom elektroslabe interakcije. To znači da na tako velikim energijama procesi jake, slabe i elektromagnetske interakcije dešavaju se s jednakom vjerojatnosti i mogu se opisati u okviru jedne teorije. U tabeli 17.3. date su osnove karakteristike kvarkova i gluona. Tabela 173.

1.

Pretpostavlja se da postoji šesf kvarkova i osam gluooa

2.

Naziv kvarka i njegov električni naboj Up u 2/3 Down d -1/3 Charm c 2/3 Strangeness s -1/3 Beauty/bottom b -1/3 Top/tiuth (?) t 2/3

3.

Barionski broj (naboj) kvarka je

(Q):

B - 1/3

4.

Svaki kvark ima odgovarajući antikvark:

5.

Svaki kvaric ima tri boje

6.

Kvarkovi međusobno interagiraju izmjenom gluona

u,d,c,'S,b ,7

7.

Gluoni imaju boju i mogu da interagiraju međusobno

8.

Svaki barion se sastoji od tri kvarka, a svaki mezon od dva

Na crtežu 17.4. prikazana je shema građe protona i neutrona.

363

Crtež 17.4.

Proton (uud) B = 1 ,0 = 1 5 = 1/3 + 1/3 + 1 /3 = 1 Q = 2/3 + 2/3 - 1/3 = 1

Neutron (udd)

B = 1,2 = 0 5 = 1 / 3 + 1/3 + 1 / 3 = 1 g = 2/3 - 1/3 - 1/3 = 0

Mada kvaricovi nisu identificirani u slobodnom stanju, postoje eksperimentalni dokazi za njihovo postojanje, jedino se još traže eksperimentalni dokazi za7 kvark. Na crtežu 17.5. prikazana je shema građe mezona: 7t+-mezon ( u d ) «_-mezon ( u d ) B = 0, Q = 1 B = 0, g = -1 5 = -1/3 + 1/3 = 0 B = 1/3 - 1/3 = 0 0 = 2/3 +1/3 = 1 2 = -1/3 - 2/3 = -1

Crtež 17.5.

Prvi model velikog ujedinjenja napravili su američki fizičari G. Georgy i S. Glashow. Pošto takvi.modeli istovremeno opisuju jake i slabe interakcije, kod njih se kvarkovi, koji učestvuju u jakim interakcijama i leptoni, koji učestvuju uglavnom u slabim interakcijama, ujedinjuju u jednu grupu. Pri tome se uvodi nova interakcija, koja prevodi članove te grupe jedne u druge. Ali kvarkovi imaju barionski naboj a leptoni nemaju. Zbog toga, ta nova leptokvark interakcija, treba narušiti zakon održanja barionskog broja. Kvant

364

- prenosilac takve interakcije - treba da ima izuzetno veliku masu, odnosno energiju približno jednaku energiji, na kojoj se dešava veliko ujedinjenje, oko 1014-1 0 15 GeV. Takve čestice ne mogu se dobiti ni suvremenim akceleratorima, ni u kozmičkim zracima, nazvane su leptokvarkovi. Njihova masa je usporediva sa masom najjednostavnijih bakterija. Tako velika masa leptokvarka objašnjava zašto proton “živi” tako dugo. Stvar je u tome da takve interakcije na našim malim energijama imaju malu vjerojatnost. Tek na energijama koje su uporedive sa masom leptokvarka, počinju dominirati procesi u kojima je narušen barionski broj. Vidimo da suvremena teorija ne zabranjuje postojanje procesa u kojima se ne održava barionski broj. Istina eksperimentalno takve reakcije još nisu otkrivene, ali se u bliskoj budućnosti očekuje takva situacija. Iz teorije slijedi da su procesi najočekivaniji na visokim energijama od 1014 do 101S GeV. Na crtežu 17.6. prikazan je raspad protona p -> e+ + Jt° kojeg pretskazuje teorija velikog ujedinjenja. Prijenosnik takve interakcije je leptokvark X, koji prevodi kvarkove u leptone. U procesu izmjene između kvarkova protona, d kvark prelazi u lepton e+, a jedan od u-kvarkova u svoju antičesticu u .

17.7. T E O R IJA V E L IK E E K S P L O Z IJE I T E O R IJA V E L IK O G U JE D E V JE N JA Još na početku 20. stoljeća, izučavanjem spektara zračenja udaljenih zvjezdanih maglina, primijećen je “crveni pomak”. Prema Dopplerovom efektu to znači da se objekti koji zrače udaljavaju. Dvadesetih godina američki astronom Edvin Hubble je uspio odrediti rastojanje do nekih nama bližih galaksija. Na osnovu ovih rezultata Hubbl je pokazao da je brzina udaljavanja

-

365

galaksija direktno proporcionalna rastojanju R od nje. Koeficijent proporcionalnosti H, naziva se Hubblova konstanta: v = HR.

(17.7.)

Od tada je prošlo pola stoljeća astronomi su izmjerili crvene pomake za većinu objekata i za sve njih važi Hubblov zakon. • Pokazano je da se, znajući brojnu vrijednost Hubbleove konstante može odrediti “starost” Svemira, to jest vrijeme proteklo od trenutka kad su sve galaksije koje “vidimo” bile u “jednoj točki”. To vrijeme je obmuto proporcionalno Hubbleovoj konstanti i iznosi «10'° godina. Zaključak koji slijedi iz Hubbleovog zakona vrijeđa zdrav razum. Što to znači da su galaksije bile u jednoj točki? Zašto se Svemir počeo širiti? Što je bilo do trenutka širenja? Sva ta pitanja ostaju i dalje bez cjelovitog odgovora. Poznati švedski astrofizičar H. Alfven napisao je 1979. godine: “Suvremena kozmološka teorija pređstavlja vrhunac apsurda - ona tvrdi da je sav Svemir nastao u određenom trenutku, slično eksploziji atomske bombe, koja je imala približno dimenzije “glave” čiodice. Izgleda da u današnjim intelektualnim krugovima prednost teoriji velike eksplozije (big bang theoiy) daje to, što ona vrijeđa zdrav razum - credo, quia absurdum (“vjerujem, jer to je apsurdno”)! Odlučujući faktor koji je uticao na formiranje suvremenih pogleda jeste otkriće 1965. godine, reliktnog zračenja koje odgovara temperaturi od 2,9 K. Njega su otkrili američki radio-astronomi A. Pensias i R. Wilson. Reliktno zračenje ima spektar kao cmo tijelo. Takav spektar su trebali imati fotoni u ranoj fazi Svemira koja odgovara energijama od 10,4-1 0 15 GeV postignutim približno u 10_34-1 0 '35 sekundi od početka širenja. Po današnjim shvaćanjima na takvim temperaturama u Svemira nisu postojali cijeli nukleoni već njjhovi “sastavni dijelovi” —kvarkovi i antikvarkovi. Na crtežu 17.7., je pokazano kako se ponašaju konstante različitih interakcija s porastom temperature Svemira. Na grafikonu je na apscisi pored temperature usporedno dana i skala koja pokazuje vrijeme u sekundama od početka “velike eksplozije”. Na ordinati je dat intenzitet pojedinih tipova interakcija. Vidimo da je na niskim temperaturama jaka interakcija približno sto puta jača od elektromagnetske, a konstanta slabe interakcije približno 10'12 puta manja od elektromagnetske. S porastom energije konstanta slabe interakcije raste i na temperaturi T « 1015 K postaje uspoređiva po veličini s konstantom elektromagnetskih sila. To se događa u oblasti energija reda stotinu gigaelektronvolti, kad je od početka širenja Svemira prošlo 10'7-1 0 '8 s. Nastaje prvo ujedinjenje - slabih i elektromagnetskih interakcija. Kad temperatura Svemira 366

i

io^*

10'°

io-,J

ur'6

10'5

io-24

10“

10“

10“

icr"

10“

(S)

7TK)

Crtež 17.7.

pređe 1021 K, na našem grafiku se pojavljuje nova linija, koja odgovara leptokvark interakciji. Procesi u kojima se ne održava barionski broj počinju igrati sve važniju ulogu, dok, na kraju, u oblasti temperatura 1027—1028 K vrijednosti za sve tri interakcije, osim gravitacijske, ne postanu jednake. To je područje teorije velikog ujedinjenja. Baš u tom momentu, koji se nalazi u vremenskom intervalu 10‘35-1 0 '36s od početka širenja dolazi do “velikog ujedinjenja”. U Svemiru su tada bili prisutni samo fotoni, leptoni, kvarkovi, gluoni i još neke super teške čestice, čije postojanje predviđa teorija velikog ujedinjenja. One su se sve nalazile u stanju toplotne ravnoteže. Dio Svemira kojeg danas možemo “vidjeti” bio je skupljen na samo 3,66 cm. Slijedeći korak bi bio stvaranje opće teorije jedinstva u kojoj bi bila uključena i gravitacijska interakcija, to bi se trebalo desiti pri fantastičnim energijama, odnosno na temperaturi od 1031 K, ili to se desilo prema teoriji velike eksplozije poslije 10"41 s. Da li je to moguće? Da li je to samo fantazija teorijskih fizičara sada je teško govoriti o tome.

‘ 367

Na kraju ovog kratkog pregleda fizike elementamih čestica, koji se može čitaocu dojmiti kao suviše optimističan, završio bih citatom jednog od tvoraca suvremene fizike i antičestica Paula Diraca: “Posvećujući se istraživačkom radu, treba težiti da se sačuva sloboda rasuđivanja i ni u što ne treb a previše vjerovati; uvijek treba biti sprem an da uvjerenja kojih smo se dugo pridržavali mogu biti pogrešna.”

Paul Adrien Dirac

368

VAZNIJE KONSTANTE Brzioa svjetlosti u vakuumu

c = 299 792 458 m s'1

Elementami električni naboj

e = I.60210"19 C

Dielektrična konstanta vakuuma Permeabilnost vakuuma

= 8.854-10

12 Fm'1

= 4jt I0 "7 H m"1

Gravitacijska konstanta

y = 6.6710"11 N m2 kg '2

Planckova konstanta

h = 6.62610"34 J s

Boltzmannova konstanta

k = 1.3810"23 J K">

Plinska konstanta

R = 8,314 J mol"1 K "1

Avogadrov broj

Na = 6.0210 23 mol"1

Stefan-Boltzmannova konstanta

o = 5,67-10"8 W ra"2 K"4

Rydbergova konstanta

R = 1.097-10"7 m "1

Masa mirovanja elektrona

mt = 9,1110 "31 kg = 5.49-10"4u

Masa mirovanja protona

mp = 1.672610"27 kg = 1,00728 u

Masa mirovanja neutrona

m„ = 1,675-lO ^kg = 1,008665 u

Faradayeva konstanta Atomska masena konstanta

F = 9,65-104 C mol"1 mu = 1,66-10"27 kg =

1u

Akceleracija slobodnog pada

g = 9,80665 m s"2

Masa Zemlje

5,96-1024 kg

Polumjcr Sunca

6,9510* m

Masa Sunca

1,98-lO^kg

Polumjer Mjeseca

1,74-10* m

Masa Mjeseca

7.33-1022 kg

Srednja udaljenost sredižta Zemlje i Sunca

1.49-1011 m

Srednja udaljenost središta Zemlje i Mjeseca

3,84-10* m

Opbodno vrijeme Mjeseca oko Zemlje

27,32 dana = 2,36-10* s

Ophodno vrijeme Zemlje oko Sunca

365,25 dana

Kutna brzina vrtnje Zemlje oko svoje osi

7,272-10-5 rad s"1

■ 369

SI jedinice Deflnicijska relacija

Z nak

Jedinica

r, l, s, d

metar, m

Masa

m

kilogram, kg

Vrijeme

t

sekunda, s

Struja

i

amper, A

Jačina svjetlosti

i

kandela, cd

Temperatura

T

kelvin, K

Količina tvari

n

mol

PovrSina

s

m2

Zapremina

V

m3

Brzina

V

metar u sekundi, m/s

Ubrzanje

a

m/s2

- dv a=— dt

Impuls

p

kg m/s

p = mv

Tlak (pritisak)

p

Paskal, N m '2

P = F/S

Sila

F

Njutn, N=kgms“2

F =& di

Rad, energija

W. E

Džul, J^kgm V 2

W = jF d š

Snaga

P

Vat, W=J/s

P =dW /di

Naboj

9

Kulon, C

q = Idt

Električni potencijal

U

Volt, V

U = q ! (4ner)

II

Veličina Udaljenost

Elcktromotoma sila

$

Volt, V

W=qf

Električno polje

E

Volt po metni, V/m

F =qE

Magnetsko polje

B

Tesla, T

F =q{vxB)

Vodljivost

a

(Om)-1

j =o E

Otpor

R

om, O

I= E /R

Kapacitet

C

farad, F

q = CU

Induktivnost

L

Henri, H

E = L dI/dt

370