Statistik (Peluang, Square, Binomial, Anova, Normal It As, Homogenitas,Regr

1

2

PROBABILITAS A. PENGER PENGERTIA TIAN N PROBA PROBABILI BILITAS TAS Probabilitas atau Peluang adalah : derajat tau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus memahami memahami analisis analisis kombinator kombinatorial, ial, yaitu yaitu analisis analisis bilangan bilangan factorial, factorial,permut permutasi asi dan kombinasi. Secar umum probabilitas probabilitas dapat dipahami sebagai sebagai suatu nilai dari 0 s/d 1 yang mennjukkan seberapa besar terjadinya suatu peristiwa, suatu kejadian (event), adalah sekumpulan atau lebih dari hasil-hasil yang mungkin pada suatu eksprimen. Adapun hasil (out come) adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh. Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah merupakan merupakan suatu eksprimen, eksprimen, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, 6 adalah keseluruhan hasil (out comes) yang mungkin terjadi. Kumpulan angka genap (2, 4, 6) atau kumpulan angka ganjil (1, 3, 5) adalah kejadian (event). Rumus peluang:  P ( A) =

n( A) n( S )

=

m n

B. TUJUAN DAN KEGUNAANYA : Tujuanya : dengan adanya tujuan probabilitas, mahasiswa akan dapat: 1. Menjelaskan Menjelaskan peranan peranan statist statistic ic dalam dalam mengambi mengambill keputusan. keputusan. 2. membedakan membedakan pengertian pengertian deskriptif deskriptif dengan inferensia inferensia.. 3. dapat menyajikan menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik grafik.. 4. memudah memudahkan kan mahas mahasisw iswaa dalam dalam mengo mengolah lah data. data.

3

Kegunaanya : Dengan adanya statistic probabilitas atau peluang kita dapat memperkirakan kejadiaan-kajadiaan yang akan muncul.Banyak kejadian dalam kehidupan sehati-hari yang slit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian dimasa yang akan datang misalnya, Apakah nanti malam akan turun hujan? Meskipun kejadiaan tersebut tidak pasti,tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap, maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun.

C. BAG IAN - BAG IAN PROBABILITAS 1.BILANGAN FAKTORIAL Bila n bilangan bulat positif, maka bilangan factorial ditulis dengan n! dan di defenisikan sebagai berikut:

Rumus: n!= n (n-1) (n-2)..3.2.1 O! = 1dan 1! = 1

2. PERMUTASI Susuna Susunann- susu susuna nan n yang yang dibe dibent ntuk uk dari dari anggo anggota ta suat suatu u himp himpun unan an denga dengan n mengambilseluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut yang ditulis dengan p

Rumus =

n Pr  =

n! ( n − r )!

Beberapa jenis permutasi a. permut permutasi asi meling melingkar kar ( keli kelilin ling) g) suatu suatu permut permutasi asi yang yang dibuat dibuat dengan dengan menyus menyusun un anggot anggota-a a-angg nggota ota suatu suatu himpunan secara melingkar.

4

Rumus ; banyaknya permutasi = (n-1)!

 b. permutasi permutasi dari dari sebagia sebagian n anggota anggota yang yang sama sama jenisny jenisnya. a. Bila Bila kita mempuny mempunyai ai himpunan himpunan yang terdir terdirii atas

n anggota, anggota, maka ada

kemunhkinan sebagian dari anggotanya mempunyai jenis yang sama.

n!

Rumus :

n1, n 2, n3..... nk 

=

n! n1!, n 2!, n3!.... nk  !

3. KOMBINASI Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari aanggota himpunan itu tanpa memberi arti  pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.

RUMUS : nCr =

 N   R

=

 N   R!( N  − R)!

= N !

KONSEP DASAR PROBABILITAS 1. pengantar menuju pemahaman konsep probabilitas Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui debngan  pasti apalagi kejadian dimasa yang akan dating, misalnya sebagai berikut ; 1. apakah apakah nanti nanti malam malam akan akan dati dating ng hujan hujan.. 2. apakah apakah pesawwa pesawwatt garuda garuda akan beran berangka gkatt tepat tepat waktu. waktu.

Begitu juga dalam percobaan statistic,kita tidak bias mengetahui dengan pasti hasilhasil yang akan muncul misalnya: Pada melemparan sebuah uang logam kita tidak tau dengan pasti hasilnya.apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu.

5

2. perumusan probabilitas a. perumusan klasik   bila kejadiian E terjsdi dalam n cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing masing-ma -masin sing g n cara cara itu itu mempuny mempunyai ai kesemp kesempata atan n atau atau kemungk kemungkina inan n yang yang sama sama untuik muncul,maka probabilitas kejadian E yang ditulis P(E) dirumuskan sebagai  berikut; rumus

 P ( E ) =

m n

b.rumusan dengan frekuensi relatife   proba probabil bilita itass empiri empiriss dari dari suatu suatu kejadi kejadian an dengan dengan memekai memekai frekuen frekuensi si relati relative ve dari dari terjad terjadiny inyaa suatu suatu kejadi kejadian an dengan dengan syarat syarat banyak banyakny ny pengam pengamata atan n atau atau banyakny banyaknyaa sampel n adalah sangat besar.

Rumus :  P ( E ) =

lim lim   f   n →∞n

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN Kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi opada suatu percobaan statistic disebut ruang sample.yang dilambanmgkan dengan himpunan S,sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.

Rumus : P(A) = n (A)

n (S)

m

n

SIFAT-SIFAT PROBABILITAS KEJADIANYA

6

Dengan pengetahuan pengetahuan kejadian A ruang sample S dan pelung kejadian kejadian A pada S yaitu P(A) = n ( A) = n (S)

m n

sifat 1. 0 < P(A) < 1  penjelasan  penjelasan sifat sifat ini, A merupakan merupakan himpunan dari S yaitu yaitu A C S, maka banyaknya banyaknya anggota A selalu lebih sedikit dari banyaknya anggota S yaitu n (A) ≤ n (S) sehingga 0 < n (A) < 1 atau 0 < P(A) < 1…(1) sifat 2. dalam hal A = 0 , himpunan himpunan kosong artinya A tidak terjadi terjadi pada S, maka n (A) = o, sehingga p(A) = n (A) = 0 =0 n (S)

sifat 3 = dalam hal A = S maksimum banyaknya anggota A sama dengan banyakny anggota S, maka n (A) = n (S) = n sehingga p(A) = n (A) = n = 1 n (S)

n

 bila hasil (1), (2) dan (3) digabunmg maka diperoleh sifat 0 ≤ P(A) < 1 dalam hal P(A) = 0, dikatajkan dikatajkan A kejadian yang mustahil mustahil terjadi dan dalam hal P(A) = 1 dikatakan A kejadian yang pasti terjadi.

PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK A U B DAN A ∩ B Probabilitas kejadian A U B dirumuskan dirumuskan sebagai berikut : P(A U

B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Penjelasan lahirnya rumus diatas kita telah tahu bahwa : n(A U B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)

 bila dua ruas persamaan dibagi dengan n (S) maka diperoleh: n (A U B) = n (A) + n(B) – n (A n(S)

n(S)

n(S)

n(S)

B)

7

sehingga diperoleh ; P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

DUA KEJADIAN SALING LEPAS Bila A dan B dua dua kejadian kejadian lepas maka P(A ∩ B) P( 0 ) = 0,sehingg 0,sehinggaa probanbilit probanbilitas as kejadian A U B dirumuskan sebagai berikut:

Rumus : P(A U B) = P(A) + P(B)

DUA KEJADIAN SALING KOMPELEMENTER  Sejalan Sejalan dengan pengetahuan pengetahuan itu,kita itu,kita mengenal mengenal dua kejadian kejadian saling saling komplemente komplementerr A dan A′ dalam ruang sample S, A dan A′ merupakan dua kejadian saling lepas karena A∩A′ =

0 bila A dan A dua kejadian dalam S saling kompelementer.

Rumus ; P (A ) = 1 – P(A)

DUA KEJADIAN SALING BEBAS Dua kejadian A dan B dalam ruang sample S dikatakan dikatakan saling bebas jika kejadian kejadian A tidak tidak mempen mempengar garuhi uhi kejadi kejadian an B dan sebali sebalikny knyaa kejadi kejadian an B tidak tidak mempena mempenaruh ruhii kejadian A, jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas maka berlaku rumus  berikut : Rumus : P(A ∩ B) = P(A) P(A) . P(B)

PROBABILITAS BERSAYARAT Perobabilitas terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebutm probabilitas  bersyarat yang ditulis P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut:

Rumus : P(A/B)= P(A ∩ B). B). P(B) > 0 P(B)

8

D. CONTOH SOAL 1. bila bilang ngan an F akt aktor oria iall hitunglah 3!, 5!, 6!

Langkah-langkah penyelesaianya Jawab ; Rumus : n! = n (n-1) (n-2)…..3.2.1 3! = 3 (3-1) (3-2) = 3.2.1 =6

5! = 5 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) = 5.4.3.2.1 = 120

6! = 6 (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) = 6.5.4.3.2.1 = 720

2. bila bilang ngan an per permu muta tasi si hitunglah ? a. 6P2

b. 8P4

c. 4P2

E. LANGKAH LANGKAH PENYELESAIANYA  jawab:

9

rumus: nPr =

n!

(n-r)!

a. dike diketa tahu huii n= n= 6 dan dan r=2 r=2 6p2 =

6! (6-2) !

= 6! = 6.5.4.3.2.1 4!

4.3.2.1

= 720 12 = 30

Diketahui n= 8 dan r=4 Rumus

= nPr =n! (n-1)! = 8P4 = 8! ((8-4)! = 8.7.6.5.4.3.2.1 4.3.2.1 = 40320 12 = 3360

Diketahui n= 4 dan r = 2 Npr = n! (n-1)! = 4! (4-2)!

10

= 4.3.2.1 2.1 = 12 2 =6

3. Ruang sample dan kejadian Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pada S maka A = { 2.4.6 } sehingga sehingga probabilitas probabilitas kejadian A adalah

Langkah-langkah penyelesaianya

Rumus ; P(A) = n(A) = m = n (S) n

P(A) = 3 6 =1 2

4. Permutasi dari sebagian anngota yang sama jenisnya Beberapa permutasi dalam STATISTIKA carilah permutasi dari kata tersebut

11

Langkah-langkah penyelesaianya Jawab

Diketahui : S = 2 , T= 3, A= A= 2, I=2, K=1 K=1 Rumus ; n! n1!, n2!, n3!, ….nk!

10 2!,3! 2! 1! 2! 1!

10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 2! 3! 2! 1! 2! 1!

= 362800 48 = 75.600

5. Kombinasi Hitunglah ! a. 12 6

b. 7 3

Langkah-langkah penyelesaianya: Jawab Diketahui n= 12 dan r= 3

12

Rumus: nCr = n! r!(n-r)! 12 = 6

12! 3! (12-6)!

= 12! 3! 6! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 3.2.1

6.5.4 5.4.3.2.1 2.1

= 110880

 b.  b. dike diketa tahui hui n= 7 dan dan r = 3 langkah-langkah penyelesaianya  jawab rumus : nCr = n! r!(n-r)!

7

=

3

7! 3!(7-3)!

=

7! 3! 4!

= 7.6.5.4.3.2.1 3.2.1 4.3.2.1

= 35

6. kaidah pengadaan Pada sebuah perpustakaan membuat rak buku yang terjadi dari :

13

Buku hokum ,keguruan, pertanian dan ekonomi. Bala perpustakaan tersebut mempunyai 4 jenis buku hokum 2 jenis buku keguruan, 5 jenis buku pertanian ,3  jenis buku tentang ekonomi. Berapa paket rak yang yang akan dibuat.

Langkah-langkah penyelesaiaanya. Jawab Diketahui paket rak buku Buku tentang hukum

=4

Buku rtentang keguruan

=2

Buku tentang pertanian

=5

Buku tentang ekonomi

=3

Banyaknya paket rak adalah ; 4 x 2 x 5 x 3 = 120 paket

14

F. SOAL-SOAL LATIHAN 1. selesaikan kan a. 4 ! b. 6!

2. hitungla glah ! a. 6P3 b. 10P4

3. empat empat orang bermai bermain n brigde dalam dalam susunan susunan melingka melingkar, r, berapa berapa susunan susunan yang mungkin dibentuk n=6 maka permutasi melingkarnya. 4. berapa banyak susunan susunan yang yang dapat dibuat dari kalima kalimatt STATISTIK STATISTIKA A 5. hitungla glah ! a. 10 3 b. 6 2 6. dari dari 100 mahasisw mahasiswaa yang yang mengik mengikuti uti ujian matemat matematika ika,di ,distr stribu ibusi si frekuen frekuensi si nilai mahasiswa adalah seperti pada table berikut ini. Nilai x frekuens

35

47 10

55 20

64 30

87 35

96 30

25

i 7.Pada pelemparan sebuah dadu misalnya kejadian A menyatakan munculnya muka dadu dadu ganjil ganjil pada S, maka maka A = {1 5 7 } sehingga sehingga probabili probabilitas tas kejadiaan kejadiaan A adalah. 8. bila A dan B dua kejadian saling saling lepas dengan P(A) 0,5 tentukan P( A U B)

15

9. Bila A dan A P(A )=

dua kejadia kejadian n saling saling kompelem kompelementer enter dengan P(A)= 0,8 maka maka

1- P(A)

10. Misalkan Misalkan sebuah dadu dilempar dilempar B kejadian kejadian bilangan kuadrat kuadrat murni dan diketahui peluang munculnya bilangan ganjil = 1/9 dan peluang munculnya bilangan genap = 2/9 bila diketahui A{ 4,5,6 } telah terjadi tentukan P(A/B) 11. Jika diketahui diketahui dua kajadian kajadian A dan B saling saling bebas dengan P(A) P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,7 maka berklaku P( A ∩ B ), hitunglah !

16

G. JAWABAN SOAL-SOAL LATIHAN

1. Diketa Diketahui hui n! n! = n(nn(n-1) 1) (n-2 (n-2)) …..3.2 …..3.2.1 .1 4! = 4 (4-1) (4-2) (4-3) = 4.3.2.1 = 28

6! = (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) = 6.5.4.3.2.1 = 720

2. nPr = n! n! (n-r)! a. Diketahui n= 6 dan r= 3 6P3 = 6!

= 6! = 6.5.4.3.2.1

(6-3)!

3!

3.2.1 = 120

c. dike diketa tahu huii n=1 n=10 0 dan dan r= r= 4 10P4 = 10! (10-4)!

= 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 6!

6.5.4.3.2.1 = 5040

17

3. jawab : Banyak permutasi = (n-1)! (4-1)! = 3! = 3.2.1 =6

4. jawab semuanya ada n=8 huruf yang terdiri atas  jenis 1 huruf S yang banyaknya banyaknya adalah n1 = 1  jenis 2 huruf E yang banyaknya adalah n2 = 1  jenis 3 huruf G yang banyaknya adalah n3 = 2  jenis 4 huruf I yang banyaknya adalah n4 = 2  jenis 5 huruf T yang banyaknya adalah n5 = 1   jenis 6 huruuf yang banyaknya adalah jadi,

banyaknya

8

permutasi

=

n6 = 1 yang

dapat

8

1,1,2,2,1,1

1! 1! 2! 2! 1! 1! = 8.7.6.5.4.3.2.1 1. 1. 2.1 2. 2.1 1. 1. 1 = 40320 4 = 10.080

5. jawab nCr = n = r

n! r! (n-r)!

a. diketahui n= 10 dan r= 3 10C3 =

10 =

10!

= 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

dibuat

adalah:

18

3

3! (10-3)!

3.2.1 7.6.5.4.3.2.1 = 720 6 = 120

c. dike diketa tahu huii n= n= 6 dan dan r= 2 6C2 = 6 = 6! 2

2! (6-2)!

= 6.5.4.3.2.1 2.1 4.3.2.1 = 30 2 = 15

6. jawab P(E) = P(X=35) = 10 100 = 0,5

P(E) = P (X= 64) = 64

P(E)= P(X=47)

P(E)=P(X=55)

= 20

= 55

100 =0,2

100 = 0,15

P(E)=(X=87)

P(E)= P(X=96)

= 87

= 96

100

100

100

= 0,64

= 0,87

= 0,96

7. jawab P(A) = 3 5 = 0,6

19

8. jawab karena A dan B saling lepas maka berlaku: P ( A U B) = P(A) + P(B) = 0,5 + 0,15 = 0,65 9. jawab P(A) = 0,8 Jadi P(A´) = 1- 0,8 = 0,2 10. 10. jawa jawab b S = {1,2,3,4,5,6 }

P (genab) = 2

P(ganjil) 1

9

9

B = {1,4 } A= { 4,5,6 } - P(A) = 2 + 1 + 2 = 5 9

9

9

9

A ∩ B = { 4 }- P A ∩ B = 2 9 P(B/A) = P A ∩ B = 2 P (A)

9 5 9

11. 11. jawa jawab b P( A ∩ B) = P(A). P(B) = (0,4) . (0,7) = 0,28

=2 5

20

21

CHI-SQUARE (UJI KUADRAT) 1. PENGERTIAN CHI-SQUARE Uji chi-sq chi-squar uaree adalah adalah penguji pengujian an hipote hipotesis sis mengen mengenai ai perband perbanding ingan an antara antara freku rekuen enssi

obse obserrvas vasi

yang yang

bena benarr-ben -benar ar

terj erjadi/ adi/ak akttual ual

deng dengan an

frek frekue uens nsii

harapan/frekuensi ekspektasi. Fre Frekuen uensi

obs observasi

adalah

suat uatu

nilai

yang

didapat

dar dari

hasil

 percobaan(o),sedangkan frekuensi harapan/ekspektasi adalah suatu nilai yang dapat dihitung secara teoritis(e). Contoh : 1. Sebuah dadu setimbang dilempar sekali 120 kali,berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3, sisi 4, sisi 5, dan sisi 6 muncul ? kategori Frekuensi

Sisi 1

Sisi

Sisi

Sisi

Sisi

Sisi

1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

ekspektasi (e) Sebuah dadu setimbang dilempar 120 kali berapa nilai ekspektasi sisi 1, sisi 2, sisi 3, sisi 4, sisi 5,dan sisi 6 muncul ? kategori Frekuensi

Sisi 1

Sisi

Sisi

Sisi

Sisi

Sisi

20

2 20

3 20

4 20

5 20

6 20

ekspektasi (e) Setiap kategori memiliki frekuensi ekspektasi yang sama yaitu : 1/6 x 120 = 20

22

Apakah data observasi akan sama dengan ekspektasi? Apakah Apakah jika anda anda melemp melempar ar dadu dadu 120 kali maka maka pasti pasti setiap setiap sisi sisi akan akan muncul muncul sebanyak 20 kali?

2.TUJUAN DAN KEGUNAAN CHI-SQUARE Tujuannya adalah untuk menguji perbedaan proporsi antara dua atau lebih kelo kelomp mpok ok.. Misa Misaln lnya ya:: apaka apakah h ada ada perb perbed edaan aan hipe hipert rten ensi si anta antara ra mahas mahasis iswa wa dan dan maha mahasi sisw swii dan apak apakah ah ada ada perbe perbedaa daan n BBLR BBLR anta antara ra ibu ibu yang yang sosi sosial al ekono ekonomi mi rendah,rendah dan tinggi.

Kegunaannya: Uji

Kebebasan

Chi-Square

digunakan

untuk

memeriksa

kebeb kebebasa asan/ n/in inde depen pende densi nsi dari dari du duaa peuba peubahh kateg kategor orik ik sehi sehingg nggaa kita kita dapat dapat menyimpulkan apakah kedua peubah tersebut saling bebas (tidak berpengaruh) ataukah keduanya saling bertalian (berpengaruh). H0 : kedua peubah saling bebas H1 : kedua peubah tidak saling bebas Kegunaan Chi-Square 1. Ada tidaknya asosiasi antara   Independent test ) 2 variabel ( Independent

2. Apakah suatu kelompok homogen atau tidak  Homogenity ( Homogenity test ) 3. Uji Uji keno kenorm rmal alan an data data denga dengan n meli melihat hat dist distri ribu busi si data data (Goodn Goodness ess of fit fit test  test )

 Manfaat chi-square

23

Penelitian segmentasi post-hoc ini menggunakan metode pendekatan dependensi yaitu yaitu dengan dengan mendet mendeteks eksii hubungan hubungan antara antara variab variabel el terika terikatt (depen (dependent dent variab variable) le) dengan sejumlah variabel bebas (independent varibles). Dalam CHAID, variabel-varibel bebas diukur dengan menggunakan nonparametic test test,, yait yaitu u meng menguj ujii hubu hubung ngan an anta antara ra vari varibe bell beba bebass deng dengan an vari variab abel el teri terika katt menggu menggunaka nakan n chi-sq chi-squar uare. e. Chi-sq Chi-squar uaree digunak digunakan an di sini sini karena karena variab variabel el terika terikatt  berbentuk kategorikal. (Khasali, 1998). Tabel Tabel 1 menunj menunjukk ukkan an pedoma pedoman n untuk untuk memili memilih h teknik teknik stati statisti stik k non nonpar parame ametri trik  k  untuk untuk menguj mengujii hipote hipotesis sis asosia asosiatif tif.. Wijay Wijayaa (2001) (2001) mengem mengemukak ukakan an bahwa bahwa

Uji

 Nonparametrik dengan skala nominal dapat dilakukan dengan uji statistik: modus, frekuensi, koefisien kontingensi. Tabel Tabel 1. Pedoman Pedoman Memili Memilih h Statis Statisti tik k Nonpar Nonparame ametr trik ik Untuk Untuk Menguj Mengujii Hipote Hipotesis sis Asosiatif  Macam/

Tekn Teknik ik Kore Korela lasi si yang yang Digunakan

Tingkatan Data Nominal

Koefi efisien Kont ontingensi

Ordinal

Spearman Ra Rank, Ke Kendal Tau

Sumber: Sugiyono, halaman 100 Data hasil pengamatan dapat digolong-kan ke dalam beberapa faktor, karakteristik  atau atribut dimana setiap faktor atau atribut terdiri dari beberapa klasifikasi, kategori, golongan atau mungkin tingkatan. Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena tersebut akan diselidiki mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor.

24

Dengan kata lain akan dipelajari, apakah terdapat atau tidak suatu kaitan diantara faktor faktor-fa -fakto ktorr terseb tersebut. ut. Jika Jika ternya ternyata ta tidak tidak terdapa terdapatt kaitan kaitan dianta diantara ra faktor faktor-fa -fakto ktor  r  tersebut, maka dikatakan independen atau bebas, tepatnya bebas statistik. Melalui

Chi-kuadra dratt dihara diharapka pkan n dapat dapat menguj mengujii hub hubunga ungan n hipote hipotesis sis dalam dalam uji Chi-kua

 penelitian ini, yaitu: 2

hitung <



2

hitung >



Ho :



Ha :



2

tabel, kedua faktor tidak berasosiasi

2

tabel, kedua faktor berasosiasi

Tabel 2. Uji Chi-Kuadrat Faktor II Jumlah Taraf Taraf … Tara Taraf  f  1 2 K  Faktor  Taraf O11 O12 … O1 O 1 K n10 1

1 Taraf O21 O13 … O2 O 2 K n20 2 … … … …… … Taraf OB1 OB2 … OBK nB0 B

Jumlah

no 1 n 02 … no K n

Sumber: Sudjana halaman 279 Keterangan: B = baris K = kolom O = Observasi N = jumlah observasi

25

Untuk Untuk penguj pengujian ian hipote hipotesis sis penelit penelitian ian asosia asosiasi si antara antara faktor faktor 1 digunakan uji

2



faktor or 2 dan fakt

dengan prosedur sebagai berikut:

1. Tingkat Tingkat signifi signifikansi kansi 0,05 dengan dengan deraja derajatt bebas bebas df = [B-1] x [K-1]. [K-1]. 2. Denga Dengan n meng menggun gunak akan an nila nilaii frek frekue uens nsii yang yang diam diamat atii dapa dapatt dihi dihitu tung ng nila nilaii frekuensi yang diharapkan dengan rumus:

Keterangan: Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan ni0 = jumlah baris ke-I n0j = jumlah baris ke-j n = jumlah sampel yang diambil

3. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji statistika yaitu Chi Square test Keterangan:  Nij = jumlah frekuensi yang diamati Eij = jumlah frekuensi yang diharapkan Apabila nilai probabilitas eror < level of significance (

) maka Ho ditolak  dan Hi



diterima artinya kedua faktor tersebut saling berhubungan Apabilai nilai probabilitas eror > level of significance (

) maka Ho diterima



Hi ditolak artinya kedua faktor tersebut tidak saling berhubungan. Pengukuran derajat asosiasi antar faktor dengan membandingkan antara:

dan

26

C = dengan Cmaks = Keterangan: m = yang lebih kecil antara baris dan kolom Kriteria = makin dekat harga C terhadap C maks makin kuat asosiasi antara faktor-faktor. Syarat-syarat menggunakan metode Chi Kuadrat menurut Sidney Siegel (1994) adalah sebagai berikut: 1. Tidak Tidak ada satu satu selpun boleh boleh memili memiliki ki fre-kuens fre-kuensii yang yang dihara diharapkan pkan (Eij) (Eij) kurang kurang dari 1. 2. Frekuensi Frekuensi diharapka diharapkan n kurang dari 5 maksim maksimal al dari 20% 20% dari jumlah jumlah total total sel. Jika hal itu terjadi maka harus dilakukan dilakukan penggabungan penggabungan kategori-katego kategori-kategori ri yang berdekatan sehingga meningkatkan nilai fre-kuensi yang diharapkan dalam berbagai

3. BAGIAN-BAGIAN CHI-SQUARE/CHI- KUADRAT . Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (χ²)

 Nilai χ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai χ² selalu positif. Bentuk distribusi χ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom.

Contoh : Berapa nilai χ² untuk db = 5 dengan α = 0.010? (15.0863) Berapa nilai χ² untuk db = 17 dengan α = 0.005? (35.7185)

Pengertian α pada Uji χ² sama dengan pengujian hipotesis yang lain, yaitu luas daerah  penolakan H 0 atau taraf nyata pengujian Perhatikan gambar berikut :

27

Error: Reference source not foundα foundα : luas daerah penolakan Ho = taraf nyata nyata  pengujian

Penggunaan Uji χ² Uji χ² dapat digunakan untuk : a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit Test  b. Uji Kebebasan c. Uji beberapa proporsi

1. Uji kecocokan Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif   H 0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan.  H 1 : Ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/perbandingan tersebut.

28

4. CONTOH-CONTOH SOAL Contoh soal 1 : Pelemparan dadu 120 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu . Dadu setimbang  jika setiap sisi dadu akan muncul 20 kali.  H 0 : setiap sisi akan muncul = 20 kali.  H 1 : ada sisi yang muncul ≠20 kali.

Contoh soal 2: Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1  H 0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1  H 1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

Rumus χ² k 

2

X =

∑( i =1

oi − ei ei

)2

oi : frekuensi observasi untuk kategori ke-i ei : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i

kaitkan dengan frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H 0 Derajat Bebas (db) = k - 1

Perhitungan χ² Contoh soal 3 : Pelemparan dadu sebanyak 120 kali menghasilkan data sebagai berikut : kategori : sisi-1 sisi-2 sisi-3 sisi-4 sisi-5 sisi-6

29

Kategori Frekuensi

Sisi 1 20

Sisi 2 22

Sisi 3 17

Sisi 4 18

Sisi 5 19

Sisi 6 24

observasi Frekuensi

20

20

20

20

20

20

ekspektasi

5. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN/SOLUSI : 1. H 0 : Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 20 kali. k ali. H 1 : Dadu tidak setimbang → ada sisi yang muncul ≠20 kali.

2. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 4. Nilai Tabel χ² k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 db = 5;α = 0.05 → χ² tabel = 11.0705 5. wilayah kritis = Penolakan H 0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.0705 6. Perhitungan χ² k 

2

X =

∑( i =1

oi − ei ei

)2

kategori

oi

ei

(oi-ei)

(oi-ei)²

(oi-ei)²/ei

Sisi 1 Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6 Σ

20 22 17 18 19 24 1 20

20 20 20 20 20 20 12 0

0 2 -3 -2 -1 4 ….

0 4 9 4 1 16 ….

0 0,20 0,45 0,20 0,05 0,80 1,70

χ²hitung = 1.70 7. Kesimpulan :

30

χ²hitung = 1.70 < χ² tabel  Nilai χ²hitung ada di daerah penerimaan H 0  H 0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima.

Contoh soal 4 : Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1. Jika 500 kg adonan yang dihasilkan, diketahui mengandung 275 kg Coklat, 95 kg Gula, 70 kg Susu dan 60 kg Krim, apaka apakah h mesi mesin n itu itu beke bekerj rjaa sesu sesuai ai denga dengan n perb perban andi ding ngan an yang yang tela telah h dite ditent ntuk ukan an?? Lakukan pengujian dengan taraf nyata = 1 %.

Langkah-langkah penyelesaian/solusi : 1. H 0 : perbandingan Coklat : gula : Susu : Krim = 5 : 2 : 2 : 1 H 1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 : 1

2. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 1 % = 0.01 4. Nilai Tabel χ² k = 4; db =k -1 = 4-1= 3 db = 3; α = 0.01 → χ² tabel = 11.3449

5. Wilayah Kritis= Penolakan  H 0 jika χ² hitung > χ² tabel (db; α) χ² hitung > 11.3449 6. Perhitungan χ²

k 

2

X =

∑( i =1

Kategori Coklat gula susu krim

oi − ei ei

)2

0i 27 5 95 70 60

ei 25 0 1 00 1 00 50

(0i-ei) 25 -5 - 30 10

(0i-ei)² 625 25 900 1 00

(0i-ei)²/ei 2,50 0,25 9,00 2,00

31

Σ 5 00 5 00 …. Perbandingan coklat : gula : susu : krim = 5 : 2 : 2 :1

….

13,75

Dari 500 kg adonan:  Nilai ekspektasi Coklat = 5/10 x 500 = 250 kg  Nilai ekspektasi Gula = 2/10 x 500 = 100 kg  Nilai ekspektasi Susu = 2/10 x 500 = 100 kg  Nilai ekspektasi Krim = 1/10 x 500 = 50 kg χ²hitung = 13.75

7. Kesimpulan : χ²hitung = 13.75 > χ² tabel =(13,75> 11.3449) χ²hitung ada di daerah penolakan H 0 → H 0 ditolak, H 1 diterima. Perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim ≠ 5 : 2 : 2 :1

2. Uji Kebebasan dan Uji Beberapa Proporsi Uji kebebas kebebasan an antara antara 2 variab variabel el memili memiliki ki prinsi prinsip p penger pengerjaa jaan n yang yang sama dengan pengujian beberapa proporsi.

Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif  A. Uji Kebebasan :  H 0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel)  H 1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel)

B Uji Beberapa Proporsi :  H 0 : setiap proporsi bernilai sama  H 1 : ada proporsi yang bernilai tidak sama

Rumus Uji χ 2 Data Data dalam dalam penguji pengujian an keterg ketergant antunga ungan n (hubun (hubungan) gan) variab variabel el dan beberap beberapaa  proporsi

32

disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab) Bentuk umum Tabel Kontingensi → berukuran r baris x k kolom

Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)

Total observasi r,k  X 2 = Σ  ( 0ij- eij )2 i,j

eij derajat bebas = (r-1)(k-1) r : banyak baris k : banyak kolom oi j , : frekuensi observasi baris ke-i, kolom ke-j ei j , : frekuensi ekspektasi baris ke-i, kolom ke-j

Perhitungan χ² Kita akan menguji kebebasan antara faktor gender (jenis kelamin) dengan jam kerja di suatu pabrik. Tabel kontingensi dapat dibuat sebagai berikut : Kurang dari 25 Pria  jam/minggu

2

2,33

wanita

Total baris

3Error: 2,67

5

Reference source 25 samp ampai 50 7

6,07

 jam / minggu

found 6Error:

13

Reference source

Lebih dari 50 5

not

5,60

found 7Error:

not 12

33

 jam /minggu

Total kolom

14

16

30

Apakah ada kaitan antara gender dengan jam kerja? Lakukan pengujian kebebasan variabel dengan taraf uji 5 Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 2 ( 3 baris dan 2 kolom) db = (3-1)(2-1) = 2 × 1 = 2 Solusi : 1. H 0 : Gender dan Jam kerja saling bebas  H 1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas

2. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 4. Nilai Tabel χ² db = 2; α = 0.05 → χ² tabel = 5.99147 5. Daerah Penolakan H 0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 5.99147

6. Perhitungan χ² Frekuensi harapan = (total kolom)x (total baris)

Total observasi frekuensi harapan untuk :  pria, < 25 jam = 14 x 5

= 2,33

30   pria, > 50 jam = 14 x12

 pria, 25-50 jam = 14 x13 =6 07 30

= 5,60

30

wanita, > 50 jam = 16 x12 = 6,40

wanita < 25 jam = 16 x 5 = 2,67

34

30 Selesaikan Tabel perhitungan χ² di bawah ini. Kategori P < 25 P 25-50 P > 50 W < 25 W 25-50 W > 50 Σ

0i 2 7 5 3 6 7

ei 2,33 6,07 5,60 2,67 6,93 6,40

(oi-ei) -0,33 0.93 -0,60 0,33 -0,93 0,60

(oi-ei)2 0 ,10 89 0 ,864 9 0 ,36 0 ,10 89 0 ,86 49 0 ,36

(oi-ei)2/ei 0,0467 0,1425 0,0643 0,0408 0,1249 0,0563 X2 =0,4755

7. Kesimpulan

χ²hitung = 0.4755 < χ² tabel = 5.99147) X2 hitung ada di daerah penerimaan H0  H 0 diterima, gender dan jam kerja saling bebas

Catatan : Kesimpulan hanya menyangkut kebebasan antar variabel dan bukan hubungan sebab-akibat (hubungan kausal)

35

Contoh soal 6 : Berikut adalah data banyaknya penyiaran pen yiaran 3 jenis film di 3 stasiun TV. Apakah  proporsi pemutaran Film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV tersebut sama? Lakukan Pengujian proporsi dengan Taraf Nyata = 2.5 %

Film India Film kungfu Film latin Total

ATV

BTV

CTV

(%) 4 ,5 2 ,5 3 ,0 10

(%) 3 ,5 1 ,0 2 ,5 7

(%) 2,0 4,5 0,5 7

4 ,17 3 ,3 3 2 ,50

2,92 2,33 1,75

Total baris (%) 2,92 2,33 1,75

kolom(%)

10 8 6 Total observasi(%)= 24

*) Nilai dalam kotak kecil adalah frekuensi ekspektasi Perhatikan cara mendapatkan frekuensi ekspektasi! Ukuran Tabel Kontingensi di atas = 3 × 3( 3 baris dan 3 kolom) db = (3-1)(3-1) = 2 × 2 = 4

solusi : 1. H 0 : Proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun TV adalah sama.  H 1 : Ada proporsi pemutaran film India, Taiwan dan Latin di ketiga stasiun

TV yang tidak sama. 2. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 2.5 % = 0.025 4. Nilai Tabel χ² db = 4; α = 0.025 → χ² tabel = 11.1433

5. Daerah Penolakan H 0 → χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > 11.1433

36

6. Per Perhit hitunga ungan n χ² χ² Frekuensi harapan untuk  India, ATV = 10x10 = 4,17 24 Latin, ATV = 10x16 = 2,50 24 India, BTV = 7x10 = 2,92 24

Latin, BTV = 7x 6 = 1,75 24

India, CTV = 7x10 = 2,92 24 Latin, CTV = 7x 6 = 1,75 24

Kategori Ind, ATV Kf, Atv Lat, ATV Ind,BTV Kf,BTV Lat, BTV Ind, CTV Kf,CTV Lat,CTV

0i 4,5 2,5 3,0 3,5 1,0 2,5 2,0 4,5 0,5

Σ

7. Kesimpulan :

ei 4,17 3,33 2,50 2,92 2,33 1,75 2,92 2,33 1,75

(0i-ei) 0 ,33 -0,83 0 ,5 0 -0,58 -1,33 0 ,7 5 -0,92 2 ,1 7 -1,25

(0i-ei)² 0,1089 0,6889 0,2500 0,3364 1,7689 0,5625 0,8464 4,7089 1,5625

(0i-ei)²/ei 0,0261 0,2069 0,1000 0,1152 0,7592 0,3214 0,2899 2,0201 0,8929 X2= 4,7317

37

χ²hitung = 2.4076 < χ² tabel = 11.1433 χ²hitung terletak di daerah penerimaan H 0 .  H 0 diterima, proporsi pemutaran ketiga jenis film di ketiga statiun TV adalah sama.

Ada beberapa jenis tes chi-kuadrat  tetapi yang paling umum adalah Pearson chi-kuadrat  yang memungkinkan kita untuk menguji independensi dari dua variabel

kategori. Semua tes chi-kuadrat  didasarkan atas distribusi chi-kuadrat , mirip dengan cara t-tes, sama halnya dengan distribusi atau uji-F yang didasarkan pada distribusi F. 1. uji uji keco kecoco coka kan n 2. uji uji kebe kebeba basa san n 3. uji uji beb beber erap apaa pro propo pors rsii Misalkan kita memiliki hipotesis bahwa tingkat kelulusan / kegagalan dalam sebuah kelas matematika tertentu berbeda untuk laki-laki dan perempuan. Katakanlah kita mengambil sampel acak dari 100 siswa dan mengukur kedua jenis kelamin (lakilaki/wanita) dan status kelulusan (lulus/gagal) sebagai variabel kategorik.

Tabel Tabel 1. Data Data ting tingka katt kelu kelulu lusan san kela kelass mate matema mati tika ka terse tersebut but akan akan menja menjadi di sebagai berikut Siswa

Laki-laki Perempuan TOTAL

Lulus

30

36

66

Tidak 

14

20

34

44

56

10 0

lulus TO TA L

Hipotesis Null: Distribusi frekuensi beberapa kejadian yang diamati pada sebuah sampel konsisten dengan distribusi teoritis tertentu

38

6. SOAL LATIHAN 1. Suatu adonan kue cake akan menghasilka menghasilkan n perbandingan perbandingan antara coklat:gula: coklat:gula: susu: mentega= 5:2:2:1. jika 300 kg adonan yang dihasilkan, dihasilkan, diketahui mengandung 100kg coklat, 75 kg gula, 55 kg susu, 70 kg mentega.apakah adonan tersebut dapat dicampur  sesuai dengan perbandingan yang telah ditentukan? Lakukan pengujian dengan taraf  nyata 1%. 2. pelemparan dadu sebanyak 60 kali menghasilkan data sebagai berikut: Kategori Sisi 1 Frrekuensi 10

Sisi 2 12

Sisi 3 8

Sisi 4 10

Sisi 5 15

Sisi 6 5

observasi Frekuensi

10

10

10

10

10

10

harapan Apakah dadu itu dapat dikatakan setimbang? Lakukan pengujian dengan taraf nyata 5%

39

7. JAWABAN SOAL 1).Solusi H0 = perbandingan coklat: gula:susu : mentega = 5:2:2:1 H1 =perbandingan coklat: gula :susu : mentega ≠5:2:2:1

2. Statistik uji X2

3. Nilai α =1% =0,01

4.Nilai tabel X2 k= 4,db = k-1 = 4-1 = 3 db = 3 α =0,01 → X2tabel =11,3449

5.wilayah kritis= penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel X2 hitung > 11,3449

6.perhitungan X2 k 

2

X =

∑( i =1

Kategori Coklat Gula Susu mentega Σ

oi − ei ei

oi 100 75 55 70 3 00

)2 ei 1 50 60 60 30 300

oi-ei - 50 15 -5 40

(oi-ei)2 2 500 225 25 16 00

(oi-ei)2/ei 16,66 3.75 0,42 53,33 74,16

Perbandingan coklat:gula:susu:mentega = 5:2:2:1 Dari adonan 300kg: Nilai harapan coklat =5/10x300=150 Nilai harapan gula = 2/10x300 =60

40

Nilai harapan susu = 2/10x300=60 Nilai harapan mentega= 1/10x300=30 X2 hitung = 74,16

7. kesimpulan X2 hitung> X2 tabel 74,16 > 11,3449 H0,ditolak, H1diterima Perbandingan coklat:gula:susu:mentega ≠5:2:2:1

1. Solusi H0 = Dadu setimbang → semua sisi akan muncul = 10 kali H1 = dadu tidak setimbang → aada sisi yang muncul ≠10 kali

2. Statistik uji X2

3. Nila Nilaii α = 5% 5% = 0,0 0,05 5

4. Nilai tabel X2 K=6

db=k-1 =6-1= 5

Db=5 α =0,05 → X2 tabel =11,0705

5. wilayah kritis : penolakan H0 jika X2 hitung > X2tabel X2hitung > 11,0705 6. perhitungan X2 k 

2

X =

∑( i =1

Kategori Sisi1

Oi 10

oi − ei ei

ei 10

)2 oi-ei 0

(oi-ei)2 0

(oi-ei)2/ei 0

41

Sisi 2 Sisi 3 Sisi 4 Sisi 5 Sisi 6 Σ

12 8 10 15 5 60

10 10 10 10 10 60

2 -2 0 5 -5

4 4 0 25 25

0,4 0,4 0 2,5 2,5 5,8

X2hitung =5,8

7. kesimpulan X2 hitung =5,8 < X2 tabel Nilai X2 hitung ada di daerah penerimaan H0 H0 diterima,pernyataan dadu setimbang dapat diterima

42

43

DISTRIBUSI BINOMIAL 1. PENGER PENGERTIA TIAN N DISTRIBU DISTRIBUSI SI PROBABI PROBABILIT LITAS AS BINOMIAL BINOMIAL Distribusi Probabilitas Binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu  percobaan yang dinamakan percobaan beroulli. 1.1 ciri-ciri ciri-ciri Bernoull Bernoullii a. setiap setiap kegia kegiatan tan hanya hanya diha dihasil silkan kan 2 kejad kejadian ian

Percobaan /kegiatan Melempar uang keudara Perubahan harga

Kejadian 1. muncul gambar   2. muncul angka 1. inflasi 2. deflasi

 b. probabi probabilit litas as sebuah sebuah kejadi kejadian an baik baik sukses sukses maupun maupun gagal tetap tetap bernil bernilai ai sama untuk setiap percobaan c. percob percobaanaan-per percab cabaan aan bersif bersifat at indepe independen ndentt d. data yang dikumpul dikumpul merupak merupakan an hasil hasil dari perhitungan perhitungan..

1.2 pembentukan pembentukan distribusi distribusi normal normal untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlkukan ppengetahuan dua hal yaitu: a. banyaknya banyaknya atau atau jumlah jumlah dario dario percobaa percobaan n atau atau kegoiata kegoiatan n dan,  b. probabilitas probabilitas suatu suatu kejadian kejadian baik sukses sukses maupun maupun gagal. Distri Distribusi busi probabili probabilitas tas  binomial dapat dinyatakan sebagai berikut:

 P ( r ) =

n! r !( n − r )!

dimana:

 p r  .q n −r 

44

P(r)

= nilai probabilitas binomial

P

= prob probab abil ilit itas as suk sukse sess sua suatu tu kej kejad adia ian n untu untuk k kese keselu luru ruha han n per perco coba baan an

N

= jumlah nilai percobaan

Probabilitas gagal suatu suatu kejadian yang diperolehb dari q = 1 – p

2. TUJUAN TUJUAN DAN DAN KEGUNA KEGUNAAN AN DISTR DISTRIBUS IBUSII BINOMIAL BINOMIAL Tujuan dengan diadakan perhitungan distribusi binomial adalah untuk mengetahui  probabilitas suatu jkejadian tersebut sukses maupun gagal dalam suatu percobaan.

3. CONTOH SO SOAL PT. PT. MENA MENA JAYA JAYA FARM FARM (MJF (MJF)) meng mengir irim im sebu sebuah ah sema semang ngka ka ke hero hero supermarket. Dengan jaminan kualitas yang baik, maka 90% sermangka yang dikirim dikirim lolos seleksi seleksi oleh Hero Supermarket. Supermarket. PT. MJF setioap hari mengirim 15  buah semangka dengan berat antara 5-6 kg.

a. berapa berapa probab probabili ilitas tas 25 25 buah buah semang semangka? ka? b. Berapa Berapa proba probabil bilita itass 13 buah buah semang semangka? ka? c. Berapa Berapa prob probabi abilit litas as 10 buah yang diteri diterima? ma? 4.

LANGK NGKAH-LA -LANGKAH

PENYELESAIAN IAN

DISTRIBUSI BINOMIAL a. probabi probabilit litas as 15 buah buah yang yang diteri diterima ma semua semua n = 15

p = 90% =0,9

r = 15

q = 1% 1 % = 0 ,1

 P ( r ) =

 P ( r ) =

n! r !( n − r )!

 p r  .q n −r 

15 ! 15 !(15 −15 )!

0,915 .0,115 −15

CONTOH

SOAL

45

 P ( r ) =

15! 15!(0)!

0,915 .0,10

 P (15 ) =1 x 0,206 x1

 P (15 ) = 0,206

 b. probabilitas 2 ditolak atau 13 buah diterima semua n = 15

p = 90% = 0,9

r = 13

q = 10% = 0,1

 P ( r ) =

 P (r ) =

n! r !( n − r )!

 p r  .q n −r 

15 ! 13!(15 −13 )!

 P (13 ) =

0,913 0,115 −13

15 ! 0,913 0,12 15 ! ( 2)!

 P (13 ) =105  x0,2 x 0,01

 P (13 ) = 0,267

 b. probabi probabilit litas as 10 buah buah dit diteri erima ma semua semua n = 15

p = 90% = 0,9

r = 10

q = 0,1

 P ( r ) =

n! r !( n − r )!

 P (10 ) =

 P (10 ) =

 p r  .q n −r 

15 ! 10 !(15 −10 )! 15! 15 !(5)!

0,910 .0.115 −10

0,910 0,15

 P (10 ) = 3,003  x 0,35 x0,00001

 P (10 ) = 0,010

Jadi, Jadi, probabi probabilit litas as untuk untuk diteri diterima ma 15 adalah adalah 20,6%: 20,6%: diteri diterima ma 13 buah sebesa sebesar  r  26,7%; dan diterima 10 buah probabilitasnya adalah 10,0%.

46

5.

SOAL LATIHAN

Sebuah Sebuah indust industri ri rumah rumah tangga tangga yan mempro memproduk duksi si keranj keranjang ang dari dari dau ulang ulang  plastik dengan jaminan kualitas bahan yang baik, maka 90% keranjang yang dikirim ke sebuah supermarket lulus seleksi. Industri tersebutmengirim 10 buah keranjan setiap minggunya. Pertanyaan? a. brapa brapa probab probabil ilita itass 10 keran keranjan jang g diteri diterima ma  b. berapa berapa probab probabili ilitas tas 5 keranj keranjang ang diter diterima ima

47

6.

JAWABAN SOAL LATIHAN

a. probabi probabilit litas as 10 keran keranjang jang diterim diterimaa semua semua  P (10 ) =

10 ! 10 ! (10 −10 )

 P (10 ) =

10 ! 10 !(0)!

0,910 .0,110 −10

0,9 10 .0,10

 P (10 ) =1.0,349 .1  P (10 ) = 0,349

b. probabi probabilit litas as 5 keran keranjang jang diteri diterima ma  P (5) =

 P (5) =

 P (10 ) =

10 ! 5!(10 −5)! 5! 5!(5)!

30240 120

 P (10 ) = 0,008

0,9 5 0,110 −5

0,590 .0,00001

0,590 .0,00001

48

49

ANALISYS OF VARIANS (ANOVA) 1. PENGERTIAN ANOVA Analisa varian atau anova adalah suatu metode untuk menguji hipoteis kesamaan rata-rata dari tiga atau lebih populasi. 

Asumsi o

Sample diambil secara random dan saling bebas ( independent )

o

Populasi berdistribusi berdistribusi normal

o

Populsi mempunyai kesamaan variansi



Misalkan kita mempunyai k  populasi.  populasi.



Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran n.



Misalkan pula bahwa k populasi itu bebas ban berdistribusi normal dengan ratarata dan variansi µ1, µ2,...... dan µk dan variansi σ2



Hipotesa : Ho : µ1 = µ2 = ... = µk  H1 : ada rata-rata yang tidak sama

Analisis varians ( analisis of variance, ANOVA ) adalah suatu metode analisis statistika yang termasuk kedalam cabang stetistika inferensi.dalam literatur indonesia metide ini dikenal dengan berbagai nama lain seperti ragam, sidik ragam, dan analisis variansi. Ia merupakan pengembangan dari msalah behrens-Fisher, sehingga uji F   juga juga dipak dipakai ai dalam dalam peng pengam ambi bila lan n keput keputus usan an.. Anal Analis isis is vari varian anss pert pertam amaa kali kali diperkenalkan oleh sir Ronal fisher, bapak statistika modern. Dalam praktek , analisis varians dapat merupakan uji hipotesis ( lebih sering dipakai ) maupun pendugaan ( estimation, khususnya dibidang genetika terapan) Secara umum, analisis varians menguji dua varians ( atau ragam ) berdasarkan hipotesis nol bahwa kwdua varians iti sama. Varians pertama adalah varians antar  contoh ( among sampel ) dan varians kedua adalah varians didalam masing-masing

50

contoh ( within samples ). Dengan ide semacam ini, analisis varians dengan dua contoh akanmemberikan hasil yang ama dengan uji T untuk kedua rerata ( mean ). Supa Supaya ya sahi sahih h ( val valid ) dal dalam mena menaffsirk sirkan an hasi hasiln lny ya, anal analiisis sis

var varians ians

mengga menggantu ntungka ngkan n diri diri pada pada empat empat asumsi asumsi yang yang harus harus dipenuh dipenuhii dalam dalam rancang rancangaa  percobaan : 1. Data berdistr berdistribusi ibusi normal, normal, karena karena pengujian pengujiannya nya menggunakan menggunakan uji uji F-snedecor. F-snedecor. 2. varian varianss atau atau ragamn ragamnya ya homogen homogen,, dikena dikenall sebaga sebagaii homosk homoskedas edasti tisit sitas, as,kar karena ena hanya digunakan satu penduga untuk varians dalam contoh. 3. masing masing-ma -masin sing g contoh contoh saling saling indepen independen den,, yang yang harus harus dapat diatur diatur dengan  perencanangan percobaan yang tepat. 4. komponen-kompo komponen-komponen nen dalam dalam modelnya modelnya bersifa bersifatt aditif aditif ( saling saling menjuml menjumlah) ah) Analis Analisis is varian varianss relati relatiff mudah mudah dimodi dimodifik fikasi asi dan dapat dapat dikemb dikembangk angkan an untuk  untuk    berba berbagai gai bentuk bentuk percoba percobaan an yang yang lebih lebih rumit rumit.. Selain Selain itu, itu, analisi analisiss ini juga juga masih masih memiliki keterkaitan dengan analisis regresi. Akibatnya, penggunaannya sangat luas di berbagai bidang, mulai dari eksperimen laboratorium higga eksperimen periklanan,  psikologi, dan kemasyarakatan.

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN ANOVA TUJUAN ANOVA 1. Untu Untuk k meng menget etah ahui ui dan dan mema memaha hami mi jui jui stat statis isti tik k deng dengan an meng menggu guna naka kan n ANOVA. 2. Untuk mengeta mengetahui hui persoalan persoalan dan dan masalah-mas masalah-masalah alah yang yang berkaitan berkaitan dengan dengan uji uji ANOVA dalam kehidupan sehari-hari. 3. Agar dapat dapat menyele menyelesai saikan kan persoala persoalan n uji ANOVA ANOVA dan menarik menarik kesimpul kesimpulan an yang sesuai dengan persoalan yang diujikan. KEGUNAAN ANOVA 

Mengendalikan 1 ataulebih variabel independen o

Disebut dengan faktor ( atau variabel treatment )

51

o



Mengamati efek padavariabel dependen o



Tiap faktor mengandung 2 atau lebih level ( katagori / klasifikasi )

Merespon level pada variabel independen

Perencanaan eksperimen : perencanaan dengan menggunakan uji hipotesis

3. BAGIAN-BAGIAN ANOVA Anova dapat digolongan kedalam beberapa kriteria, yaitu : 1. klas klasif ifik ikas asii 1 ara arah h Anova klasifikasi 1 arah merupakan anova yang didasarkan pada pengamatan 1 kriteria. 2. Klas Klasif ifik ikas asii 2 ara arah h Klas Klasif ifik ikas asii 2 arah arah meru merupa pakan kan aova aova yang yang didas didasar arka kan n pada pada engam engamat atan an 2 kriteria. 3. Klas Klasif ifik ikas asii bany banyak ak ara arah h Anova Anova banyak banyak arah arah merupak merupakan an Anova Anova yang yang didasa didasarka rkan n pada pada pengama pengamatan tan  banyak kriteria.

4. CONTOH SOAL ANOVA 1. Sebagai manajer manajer produks produksii anda ingin ingin melihat melihat mesin mesin pengisi pengisi akan akan dilihat dilihat rataratarata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat signifikasi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin 1 25,40 26,31 24,10 23,74 25,10

Mesin 2 23,40 21,80 23,50 22,75 21,60

Mesin 3 20,00 22,20 19,75 20,60 20,40

5. LANGKAH-LANGKAH LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN ANALISIS ANALISIS VARIANS

52

•

Tingkat signifikan α = 0,05 dF 1 = 2 (derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 12 ( derajat bebas galat ) maka F ( 0,05; 2 ; 12 ) = 3,89

•

Jadi daerah penolakannya : H0 ditolak jika F > 3,89

•

Data

Populasi 1 25,40 26,31 24,10 23,74 25,10 124,65

Total

2 23,40 21,80 23,50 22,75 21,60 1 1 3 ,0 5

3 20,00 22,20 19,75 20,60 20,40 1 0 2 ,9 5

340,65

a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )  K 

2

n

JKT = ∑∑ x ij –  T  .. i =1   j =1 nk  2

JKT = 25,402 + 26,312 + 24,102 + 23,742 + 25,102 + 23,402 + 21,802 + 23,502 + 22,752 2

+ 21,60 + 20,00 + 22,20 + 19,75 + 20,60 + 20,40 - 340 ,65 5 ×3 2

2

2

2

2

2

JKT = 645 645,16 ,16 + 692,216 692,2161 1 + 580,81 + 563,5876 563,5876 + 630,01 630,01 + 547,56 547,56 + 475,24 475,24 + 552,25 + 517,5625 + 466,56 + 400 + 492,84 + 390,0625 390,0625 + 424,36 + 416,16 116042 ,4225 15

= 7794,3787 – 7736,1615 = 58,2172  b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )

53

k 

JKP =

2

∑T  i -

T ..2

i =1

nk 

n

=

124 ,65 2 +113 ,05 2 +102 ,95 2

=

5

38916 ,6275 5

-

340 ,65 2 5 ×3

- 7736,4225

= 7783,3255 – 7736,1615 JKP

= 47,164

c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 58,2172 58,2172 – 47,16 47,164 4 JKG = 11,0532

Tabel ANOVA dan daerah penolakan Sumber  variasi perlakuan

Derajat be bebas

Jumlah

Kuadrat rata-rata

k-1

kuadrat 47,164

KRP = JKP/ (k)-1

(3-1) = 2

statistik  

KRP = 47,164/(3-1) KRP = 47,164/2

galat

k ( n-1 )

11,0532

KRP = 23,582 KRG = JKG/(k(n-1)

3 ( 5-1 )

KRG = 11,0532/(3(5-1)

3 ( 4 ) = 12

KRG = 11,0532/(3(4) KRG = 11,0532/12 KRG = 0,9211

total

nk – 1 5.3 – 1 15 – 1 = 14

58,2173

F = KRP/KRG F = 23,582/0,9211 F = 25,60

54

•

Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak 

•

Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak 

CONTOH SOAL ANOVA Dalam sebuah percobaan biologis 4 konsentrasi bahan kimia digunkaan untuk  merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Konsentrasi 1 8 ,2 8 ,7 9 ,4 9 ,2

2 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0

3 6,9 5,8 7,2 6,8 7,4 6,1

4 6,8 7,3 6,3 6,9 7,1

Langkah-langkah : •

Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24

•

Jadi daerah penolakanya H0 ditolak jika F > 3,24

•

Data Populasi 1 8,2 8,7 9,4 9,2

Total

2 7,7 8,4 8,6 8,1 8,0

35,5 40,8 a. Jumlah kuadrat total ( JKT )

3 6 ,9 5 ,8 7 ,2 6 ,8 7 ,4 6,1 40,2

4 6 ,8 7 ,3 6 ,3 6 ,9 7 ,1

Total

34,4

150,9

55

n

k 

JKT =

∑ ∑ x

2

2 T ... ...

ij -

k 

  j =1

i =1

8,22 + 8,72 + 9,4 2+9,22 + 7,72 + 8,42 + 8,6 2+ 8,12 + 8,02 + 6,9 2+

JKT =

5,82 + 7,22 + 6,82 + 7,42 + 6,12 + 6,82 + 7,32 + 6,32 + 6,92 + 7,12 150 ,9 2 20

JKT = 67,24 + 75,69 + 88,36 + 84,64 + 59,29 + 70,56 + 73,96 + 65,61 + 64 + 47,61 + 33,64 + 51,84 + 46,24 + 54,76 + 37,21 + 46,24 + 53,29 + 39,69 + 47,61 + 50,41 -

22770 ,81 20

JKT = 1157,89 – 1138,5405 JKT = 19,3495 ( dibulatkan ) JKT = 19, 350  b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP ) k 

JKP =

Ti 2

∑

ni

i =1

JKP =

35 ,5 2 4

2 T ... ...

-

 N  40 ,82 2

+

5

+

40 ,2 2

+

6

34 , 4 2 5

-

150 ,9 2 20

2 2 7 7 0,8 1 JKP =

1260 ,25 4

+

1664 ,64 5

+

1616 ,04 6

+

1183 ,36 5

-

JKP = 315,0625 + 332,928 + 269,34 + 236,672 – 1138, 5405 JKP = 15,462 c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 19,350 – 15,462 JKG = 3,888 Tabel Anova dan Daerah Pendapatan

20

56

Sumber 

Derajat

Jumlah

Kuadrat

Variansi Perlakuan

Bebas k-1

Kuadrat 15,462

Rata-rata KRP = JKP/(k-1)

( 3-1 ) = 2

Statistik F

KRP = 15,462/(4-1) KRP = 15,462/3 KRP = 5,514 F = KRP/KRG

Galat

N–k  

3 ,8 8 8

KRG = JKG/N-k  

( 20- 4 ) = 16

KRG = 3,888/(20-4)

F = 5.514/0,243 F = 21,21

KRG = 3,888/16 KRG = 0,243 Total

N–1

19,350

( 20-1 ) = 19 •

Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak 

•

Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak 

6. SOAL LATIHAN ANOVA 1. Sebagai manajer manajer produks produksii anda ingin ingin melihat melihat mesin mesin pengisi pengisi akan akan dilihat dilihat rataratarata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti disamping. Pada tinggkat signifikansi 0,05 adakah perbedaan rata-rata waktu ?

Mesin 1 2 4 ,4 0 2 5 ,3 1 2 3 ,1 0 2 2 ,7 4 2 4 ,1 0

Mesin 2 22,40 20,80 22,50 21,75 20,60

Mesin 3 1 9 ,0 0 2 1 ,2 0 1 8 ,7 5 1 9 ,6 0 1 9 ,4 0

57

2. dalam dalam sebuah sebuah percoba percobaan an biologi biologi 4 konsent konsentras rasii bahan kimia kimia digunakan digunakan untuk  untuk  merangs merangsang ang pertum pertumbuh buhan an sejeni sejeniss tanama tanaman n terten tertentu tu selama selama period periodee waktu waktu tertentu.

Konsentrasi 1 7,2 7,7 8,4 8,2

2 6,7 7,4 7,6 7,1 7,0

3 5,9 4,8 6,2 5,8 6,4 5,1

4 5,8 6,3 5,3 5,9 6,1

7. JAWABAN LATIHAN Langkah- langkah : •

Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 2 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 12 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 2 ; 12 ) = 3,89

•

Jadi daerah penolakanya H0 ditolak jika F > 3,89

•

Data Populasi 1 24,40 25,31

2 22,40 20,80

3 19,00 21,20

58

23,10 22,74 24,10 119.65

Total

22,50 21,75 20,60 1 0 8 ,0 5

18,75 19,60 19,40 97,95

325,65

a. Jumlah kuadrat Total ( JKT )  K 

JKT =

2

n

∑∑ x i =1   j =1

ij2 –  T  .. nk 

JKT = 24,402 + 25,312 + 23,102 + 22,742 + 24,102 + 22,402 + 20,802 + 22,502 + 21,752 2

+ 20,60 + 19,00 + 21,20 + 18,75 + 19,60 + 19,40 - 325 ,65 5 ×3 2

2

2

2

2

2

JKT = 595,36 + 640,5961 + 533,61 + 517,1076 + 580,81 + 501,76 + 432,64 + 507,25 + 473,0625 + 424,36 + 361 + 449,44 + 351,5625 + 384,16 + 376,36 106047 ,9225 15

JKT = 7128,0787 – 7069,8615 JKT = 58,2172  b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP ) k 

JKP =

2

∑T  i i =1

n

2

T ..

nk  2

= =

2

119 ,65 +108 ,05 + 97 ,95 5

-

325 ,65 2 3 ×5

14316 ,1225 +11674 ,8025 + 9594 ,2025 5

= 7117,0255 – 77069,8615 JKP

2

= 47,164

c. Jumlah Kuadrat galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP

- 7069,8615

59

JKG = 58,2172 58,2172 – 47,16 47,164 4 JKG = 11,0532

Tabel ANOVA dan daerah penolakan Sumber  variasi perlakuan

Derajat be bebas

Jumlah

Kuadrat rata-rata

k-1

kuadrat 47,164

KRP = JKP/ (k)-1

(3-1) = 2

statistik  

KRP = 47,164/(3-1) KRP = 47,164/2

galat

k ( n-1 )

11,0532

KRP = 23,582 KRG = JKG/(k(n-1)

3 ( 5-1 )

KRG = 11,0532/(3(5-1)

3 ( 4 ) = 12

KRG = 11,0532/(3(4) KRG = 11,0532/12 KRG = 0,9211

total

nk – 1

58,2173

5.3 – 1 15 – 1 = 14 •

Karena F hitung > F tabel maka H0 ditolak 

•

Karena 25,60 > 3,89 maka H0 ditolak 

Jawaban latihan.

•

Tingkat signifikansi α = 0,05 dF 1 = 3 ( Derajat bebas perlakuan ) dF 2 = 16 ( Derajat bebas galat ) Maka F ( 0,05 ; 3 ; 16 ) = 3,24

•

Jadi daerah penolakanya

F = KRP/KRG F = 23,582/0,9211 F = 25,60

60

H0 ditolak jika F > 3,24 •

Data

•

konsentrasi 1 7,2 7,7 8,4 8,2

Total

31,5

2 6,7 7,4 7,6 7,1 7,0 35,8

3 5 ,9 4 ,8 6 ,2 5 ,8 6 ,4 5,1 34,2

4 5 ,8 6 ,3 5 ,3 5 ,9 6 ,1

Total

29,4

130,9

a. Jumlah kuadrat total ( JKT ) k 

JKT =

∑ i =1

JKT =

n

∑ x ij2   j =1

2 T ... ...

k 

7,22 + 7,72 + 8,4 2+8,22 + 6,72 + 7,42 + 7,6 2+ 7,12 + 7,02 + 5,9 2+ 4,82 + 6,22 + 5,82 + 6,42 + 5,12 + 5,82 + 6,32 + 5,32 + 5,92 + 6,12 130 ,9 2 20

JKT = 51,84 + 59,29 + 70,56 + 67,24 + 44,89 + 54,76 + 57,76 + 50,41 + 49 + 34,81 + 23,04 + 38,64 + 40,96 + 26,01 + 33,64 + 39,69 + 28,09 + 34,81 + 47,61 + 37,21 -

17134 ,81 20

JKT = 876,09 – 856,7405 JKT = 19,3495 ( dibulatkan ) JKT = 19, 350

 b. Jumlah Kuadrat Perlakuan ( JKP )

61

k 

JKP =

Ti 2

∑

JKP =

-

ni

i =1

31 ,5 2 4

+

2 T ... ...

 N  35 ,8 2 5

+

34 ,2 2

+

6

29 ,4 2 5

-

130 ,9 2 20

17134,8 1 JKP =

992 ,25 4

+

1281 ,64 5

+

1169 ,64 6

+

864 ,36 5

-

20

JKP = 248,0625 + 256,328 + 194,94 + 172,872 – 856,7405 JKP = 872,2025 – 856,7405 JKP = 15,462

c. Jumlah Kuadrat Galat ( JKG ) JKG = JKT – JKP JKG = 19,350 – 15,462 JKG = 3,888

Tabel Anova dan Daerah Pendapatan Sumber 

Derajat

Jumlah

Kuadrat

Variansi Perlakuan

Bebas k-1

Kuadrat 15,462

Rata-rata KRP = JKP/(k-1)

( 3-1 ) = 2

Statistik F

KRP = 15,462/(4-1) KRP = 15,462/3 KRP = 5,514 F = KRP/KRG

Galat

N–k   ( 20- 4 ) = 16

3 ,8 8 8

KRG = JKG/N-k   KRG = 3,888/(20-4) KRG = 3,888/16

F = 5.514/0,243 F = 21,21

62

KRG = 0,243 Total

N–1

19,350

( 20-1 ) = 19 •

Karena F hitung > F tabel maka Ho ditolak 

•

Karena 21,21 > 3,24 maka Ho ditolak 

63

64

UJI NORMALITAS A. PENGER PENGERTIA TIAN N UJI NORM NORMALIT ALITAS AS Uji normalitas adalah uji untuk mengukur apakah data kita memiliki distribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik statistik parametrik (statistik inferensial). Data Data

klasif klasifika ikasi si

kontinu kontinue, e,

data data

kuanti kuantitat tatif if

yang yang

termas termasuk uk

dalam dalam

  pengukuran pengukuran data skala interval atau ratio, ratio, untuk dapat dilakukan dilakukan uji statisti statistik  k    parametrik diprasyaratkan

berdistribusi normal. Pembuktian data berdistribusi berdistribusi

normal tersebut perlu dilakukan uji normalitas terhadap data. Metode klasik dalam pengujian normalitas suatu data tidak begitu rumit. Berdasarkan pengalaman empiris beberapa pakar statistik, data yang banyaknya lebih dari 30 angka (n > 30), maka sudah dapat diasumsika diasumsikan n berdistribu berdistribusi si normal. Biasa dikatakan sebagai sampel besar.   Namun untuk memberikan memberikan kepastian, kepastian, data yang dimiliki dimiliki berdistri berdistribusi busi normal normal atau tidak, tidak, sebaiknya sebaiknya digunakan digunakan uji statisti statistik k normalitas normalitas.. Karena belum tentu data yang lebih dari 30 bisa dipastikan dipastikan berdistri berdistribusi busi normal, normal, demikian demikian sebali sebalikny knyaa data data yang yang banyakn banyaknya ya kurang kurang dari dari 30 belum belum tentu tentu tidak tidak berdis berdistri tribus busii normal, untuk itu perlu suatu pembuktian. Pembuktian normalitas dapat dilakukan dengan manual, yaitu dengan menggunakan kertas peluang normal, atau dengan menggunakan uji statistik normalitas.

B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI NORMALITAS Penguji Pengujian an normal normalita itass dilaku dilakukan kan untuk untuk menget mengetahui ahui normal normal tidakny tidaknyaa suatu suatu distribusi data. Hal ini penting diketahui karena berkaitan b erkaitan dengan ketetapan pemilihan uji yang akan digunakan. Uji parametrik misalnya, mengsyaratkan data harus normal. Apab Apabil ilaa dist distri ribu busi si tida tidak k norm normal al maka maka disa disara rank nkan an untu untuk k meng menggu guna naka kan n uji uji nonparametric.

65

Uji normalitas normalitas berguna berguna untuk membuktikan membuktikan data dari sampel sampel yang dimiliki dimiliki berasal berasal dari populasi populasi berdistri berdistribusi busi normal atau data populasi populasi yang dimiliki berdistribusi normal.

C. BAGIAN-BAGIAN UJI NORMALITAS Banyak jenis uji statistik normalitas yang dapat digunakan diantaranya Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk atau menggunakan soft ware computer. Soft ware computer dapat digunakan misalnya SPSS, Minitab, Simstat, Microstat, dsb. Pada hakekatnya soft ware tersebut merupakan hitungan uji statistik Kolmogorov Smirnov, Lilliefors, Chi-Square, Shapiro Wilk, Wilk, dsb yang telah diprogram dalam soft ware komputer. Masing-masing hitungan uji statistik  normalitas memiliki kelemahan dan kelebihannya, pengguna dapat memilih sesuai dengan keuntungannya.

Di

bawa bawah h

disaji disajikan kan

beber beberapa apa

cara cara

untuk untuk

menguj mengujii

suatu suatu

data data

 berdistribusi normal atau tidak.

1. BERDASARKAN BERDASARKAN KEMIRINGA KEMIRINGAN N / KEMENCENGAN KEMENCENGAN / SKEWNES SKEWNES DAN KURTOSIS Suatu data bila disajikan dalam bentuk kurva halus dapat berbentuk kurva yang miring ke kanan, miring ke kiri atau simetris. Miring ke kanan bila kurva mempunyai ekor (asymtut / menyinggung sumbu X) yang memanjang ke sebelah kanan, demikian miring ke kiri sebaliknya, sedangkan bila simetris  berarti kondisi ke kanan dan kiri seimbang, biasanya nilai mean, median dan modus   berde berdekat katan an bahkan bahkan kadang sama. Kondisi Kondisi kurva yang simetr simetris is

terseb tersebut ut sering sering

disebut disebut membentuk membentuk kurva distribusi distribusi normal. normal. Kemiringan Kemiringan kurva dapat dihitung dihitung  berdasarkan rumus Koefisien Kemiringan Pearson, yaitu :

66

Bila Bila hasi hasill kemi kemiri ring ngan an nega negati tif, f, maka maka kurv kurvaa miri miring ng ke kiri kiri,, bila bila hasi hasill kemiri kemiringa ngan n positi positif, f, Maka Maka

kurva kurva miring miring

ke

kanan, kanan,

sedang sedangkan kan

pada pada

hasil hasil

kemiringan kemiringan nol, maka kurva kurva normal. Pada kurva kurva normal biasanya biasanya data cenderung cenderung  berdistribusi norma. Secara visual gambar sebagai berikut:

MIRING KEKANAN

MIRING KEKIRI

SIMETRIS

1.1 CONTOH SOAL Contoh kasus hasil pengukuran kebisingan pada tempat-tempat umum didapat data sebagai berikut:

67

1.2 1.2

LANGK ANGKAH AH-L -LAN ANG GKAH KAH

PENY PENYEL ELES ESAI AIAN AN CONT CONTO OH

SOAL SOAL

UJI UJI

KEMIRINGAN / KEMENCENGAN.



Xi merupakan nilai tengah suatu data (kebisingan) ( ex: 70 + 79 / 2 = 74,5 , dst )



Fi x Xi, frekuens frekuensii (Fi) (Fi) dikali dikalikan kan dengan dengan data data ke-i ke-i (Xi) (Xi) misaln misalnya ya pada pada baris baris  pertama, 9 x 74,5 = 670,5 dan seterusnya



X yaitu rata-rata, untuk mencarinya yaitu jumlah Fi x Xi dibagi jumlah frekuensi. Misalnya pada baris pertama 670,5/50 = 91,5



Xi – X, yaitu data ke-i di kurangkan dengan jumlah rata-rata (X), Misalnya pada  baris pertama 74,5 - 91,5 = -17



Pada Pada Fi. (Xi – X), frekuens frekuensii dikali dikalikan kan dengan dengan hasil hasil pengur penguranga angan n data data ke-i. ke-i. Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5) = 153



(Xi – X)2, jumlah pengankatan dari (Xi – X), Misalnya pada baris pertama (74,5 91,5)2 = 289



Begitu juda dengan Fi. (Xi – X)2, merupakan merupakan hasil hasil perpangkatan perpangkatan dari Fi. (Xi (Xi –  X), Misalnya pada baris pertama 9 x (74,5 - 91,5)2 = 2601

68

 Nilai kemiringan 0,44 atau 0,29, berarti miring ke kanan, tidak simetris.

Rumus lainnya yang dapat digunakan untuk membutikan kenormalan data, yaitu Koefisien Kurtosis Persentil, sebagai berikut :

69

Keterangan :

κ = kappa (Koefisien Kurtosis Persentil) SK = rentang semi antar kuartil P

= persentil

K = kuartil Bila nilai Koefisien Kurtosis Persentil mendekati 0,263, maka dapat disimpulkan data data berdis berdistri tribus busii normal normal.. Berdas Berdasark arkan an kurva kurva normal normal,, untuk untuk membukt membuktika ikan n data data Berdis Berdistr tribu ibusi si normal normal atau atau tidak, tidak, dapat dapat dihit dihitung ung berdas berdasark arkan an rumus rumus Koefisi Koefisien en Kurtosis, yaitu:

Keterangan : a4 = koefisien kurtosis : m = moment sekitar rata-rata, berdasar rumus rumus di bawah

Keterangan : mr = moment ke r = 1 , 2, 3, dst : Xi = data ke i = 1, 2, 3, dst, (titik tengah interval kelas) : n = banyaknya angka pada data : X = rata-rata

70

: fi = frekuensi

Bila nilai a4 sama dengan 3, maka data berdistribusi normal, bila a4 kurang dari 3, maka bentuk kurva normal platikurtik, bila nilai a4 lebih besar dari 3, maka  bentuk kurva leptokurtic. Secara visual gambar sebagai berikut:

Contoh data tinggi badan masyarakat kalimas

Dihitung Koefisien Kurtosis Persentil sebagai berikut :

71

Hasil Koefisien Kurtosis Persentil 0,265 ≠≈ 0,263, distribusi normal. Selanjutnya dihitung Koefisien Kurtosis.

72

Hasil Koefisien Kurtosis ≈ > 3, mendekati normal.

2. METODE KERTAS PELUANG NORMAL Metode Metode kertas kertas peluang peluang normal normal membut membutuhka uhkan n kertas kertas grafik grafik khusus khusus yang yang disebut disebut Kertas Kertas Peluang Normal. Normal. Berikut Berikut langkah-langk langkah-langkah ah Dalam metode metode kertas kertas  peluang normal:

2.1 CONTOH SOAL

2.2 LANGKA LANGKAH-L H-LANG ANGKAH KAH PENYEL PENYELESA ESAIAN IAN CONTOH CONTOH SOAL SOAL KERTAS KERTAS PELUANG NORMAL 1. Langkah Langkah pertam pertamaa dalam dalam memper memperguna gunakan kan metode metode kertas kertas peluang peluang normal normal,, yaitu yaitu data data disaji disajikan kan dalam dalam bentuk bentuk tabel tabel distri distribusi busi frekuen frekuensi si relati relatiff (data (data disajikan dalam bentuk prosentase). Contoh data sebagai berikut:

73

2. Selanj Selanjutn utnya ya tabel tabel diubah dalam bentuk bentuk distribu distribusi si frekuens frekuensii komula komulatif  tif  relatif kurang dari, sehingga terbentuk tabel sebagai berikut :

3. Beriku Berikutny tnyaa

data data

komula komulati tiff

relati relatiff

ditamp ditampilk ilkan an

pada pada

kertas kertas peluang peluang

normal normal.. Sumbu Sumbu horiso horisonta ntall tempat tempat meleta meletakka kkan n interv interval al kelas kelas dan sumbu sumbu vertikal vertikal tempat tempat untuk angka komulatif komulatifnya. nya. Pertemuan Pertemuan kelas dan angka komulatif ditandai dengan titik-titik. Jika titik-titik tersebut dihubungkan membentuk garis lurus, berarti data berdistibusi normal.

74

Contoh untuk penyajian data di atas pada kertas peluang normal menjadi sebagai berikut :

75

3.

METO METODE DE CHI CHI SQUA SQUARE RE (UJI (UJI GOOD GOODNE NESS SS OF FIT FIT DIST DISTRI RIBU BUSI SI

NORMAL) Metode Metode Chi-Sq Chi-Squar uaree atau atau X2 untuk untuk Uji Goodne Goodness ss of fit Distr Distribu ibusi si   Normal, Normal, menggunakan menggunakan pendekatan pendekatan penjumlahan penjumlahan penyimpanga penyimpangan n data observasi observasi tiap kelas dengan nilai yang diharapkan. Adapun langkah-langkahnya:

1. Rumus X2

Keterangan : X2 = Nilai X2 Oi = Nilai observasi Ei = Nilai Nilai expect expected ed / harap harapan, an, luasan luasan inte interva rvall kelas kelas berda berdasar sarkan kan tabel tabel normal normal dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N  N = Banyaknya angka pada data (total (total frekuensi)

Komponen penyusun rumus tersebut di atas didapatkan berdasarkan pada hasil transformasi data distribusi distribusi frekuensi yang akan diuji diuji normalitasnya, sebagai  berikut:

76

Keterangan : Xi = Batas tidak nyata interval kelas Z = Transformasi dari angka batas interval interval kelas ke notasi pada distribusi normal   pi = Luas proporsi kurva normal tiap interval kelas berdasar tabel normal Oi = Nilai observasi Ei

=

Nilai Nilai expecte expected d / harapan, harapan, luasan luasan interv interval al kelas kelas berdasa berdasarka rkan n tabel tabel normal normal

dikalikan N (total frekuensi) ≈ pi x N

2. Persyaratan a. Data tersusun berkelompok atau dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi.  b. Cocok untuk data dengan banyaknya angka besar ( n > 30 ) c. Setiap sel harus terisi, yang kurang dari 5 digabungkan. digabungkan.

3. Signifikansi Signifikansi uji, nilai X2 hitung dibandingkan dengan X2 tabel (Chi-Square) hitung kurang dari nilai X2 tabel, tabel, maka Ho diterima diterima ; Ha √ Jika nilai X2 hitung ditolak. nilai X2 tabel, maka Ho ditolak; Ha diterima. √ Jika nilai X2 hitung lebih besar dari nilai Tabel X2 (Chi-Square)

77

3.1 CONTOH SOAL TINGGI BADAN MASYARAKAT KALIMAS TAHUN 1990

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ?

3.2 LANGKA LANGKAH-L H-LANG ANGKAH KAH PENYEL PENYELESA ESAIAN IAN CONTOH CONTOH SOAL SOAL UJI CHICHISQUARE: a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

b. Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

c. Rumus Rumus Stati Statisti stikk pengu penguji ji

78

d. Hitung rumus statistik penguji. Telah dihitung Mean = 165,3 ; Standar deviasi = 10,36

Luasan pi dihitung dari batasan proporsi hasil tranformasi Z yang dikonfirma dikonfirmasikan sikan dengan

tabel distribus distribusii normal (Lampiran (Lampiran 2). Proporsi dihitung dihitung

mulai mulai dari dari ujung ujung kurva kurva paling paling kiri kiri sampai sampai ke titik titik Z, namun namun dapat dapat juga juga menggunakan menggunakan sebagian sebagian ujung kiri dan sebagian sebagian ujung kanan, sehingga sehingga hasil pi sebagai berikut.

0,0064– 0,0630= 0,0566 ujung kurve kiri 0,0630– 0,2877= 0,2247 ujung kurve kiri

79

0,2877– 0,3409= 0,3714 melalui tengah titik nol 0,3409– 0,0853= 0,2556 ujung kurve kanan 0,0853– 0,0096= 0,0757 ujung kurve kanan 0,0096– 0,0005= 0,0091 ujung kurve kanan

e. Df/db/dk  Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

f. Nilai tabel  Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991. Tabel X2 (Chi-Square)

g. Daerah penolakan 1). Menggunakan gambar 

80

2). Menggunakan rumus 0,1628 <

5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 

h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

4. METODE LILLIEFORS (N KECIL DAN N BESAR) Metode Lilliefors menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distribusi frekuensi. Data ditransformasikan dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal sebagai probabilitas komulatif normal. Probabilitas ersebut dicari bedanya dengan probabilitas komultaif empiris. Beda terbesar dibanding dengan tabel Lilliefors

1. Rumus

Keterangan : Xi = Angka pada data

Tabel Harga Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal

81

Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal F(x) = Probabilitas komulatif normal S(x) = Probabilitas komulatif empiris

F(x) =

komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung

dari luasan kurva normal mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Zi.

2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) (kuantitatif)  b. Data tunggal / belum belum dikelompokkan pada tabel distribusi distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

3. Signifikansi Signifikans Signifikansii uji, nilai F (x) - S (x) terbesar terbesar dibandingkan dibandingkan dengan nilai tabel Lilliefors. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar kurang dari nilai tabel Lilliefors, maka Ho diterima ; Ha ditolak. Jika nilai F (x) - S (x) terbesar lebih besar dari nilai tabel Lilliefor Lilliefors, s, maka maka Ho Ho ditolak ditolak ; Ha Ha diteri diterima. ma. Tabel Tabel Lilliefor Lillieforss , Tabel Harga Quantil Quantil Statistik Lilliefors Distribusi Normal

4.1 CONTOH SOAL Berdasarkan penelitian tentang intensitas penerangan alami yang dilakukan terhadap 18 sampel rumah sederhana, rata-rata pencahayaan alami di beberapa ruangan ruangan dalam rumah pada sore hari hari sebagai berikut berikut ; 46, 57, 52, 63, 70, 48, 52, 52, 54, 46, 65, 45, 68, 71, 69, 61, 65, 68 lux. Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

82

4.2 4.2

LANGK ANGKAH AH-L -LAN ANG GKAH KAH

PENY PENYEL ELES ESAI AIAN AN CONT CONTO OH

LILLIEFORS: a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

b. Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

c. Rumus Rumus Stati Statisti stikk pengu penguji ji

SOAL SOAL

UJI UJI

83

d. Hitung rumus statistik penguji.

  Nilai F(x) - S(x) tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu 0,1469

84

Cara Hitung rumus statistik penguji.

Cari Sx dengan cara Zi dibagi dengan jumlah data. Dalam contoh 1. baris pertama di atas adalah 1 : 18 = 0.0556, demikian seterusnya sampai  selesai untuk setiap frekuensi. Cari nilai Z  x dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata2. rata dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah ( 45-58,44)/9,22=-1,4577 . untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang   sama. Cari nilai Fx tabel (Z  ) 3. t  t  dengan melihat Tabel Kurva Normal baku (Tabel Z ) berdasarkan nilai Z  x –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel  dilihat dalam baris 1,4577 , diperoleh nilai Z sebesar 0.0721, nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai 4.  Fr  yang sejajar, contoh untuk baris pertama 0.0721 – 0.0556 = 0.0165.  setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І   , diperoleh nilai 0,1469, kemudian 5. bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 18, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh diperoleh nilai 0,2000 , karena   І Fr –Fs І  lebih kecil dari nilai tabel  berarti distribusi normal.

e. Df/db/dk  Df = φ = tidak diperlukan

f. Nilai tabel   Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,2000. Tabe Lilliefors pada lampiran 4.

g. Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1469

<

0,2000 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 

h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

85

5. METODE KOLMOGOROV-SMIRNOV Metode Kolmogorov-Smirnov tidak jauh beda dengan metode Lilliefors. Langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan rumus sama, namun pada signif signifika ikansi nsi menggunakan menggunakan

yang yang tabel

berbeda berbeda..

Signif Signifika ikansi nsi

pembanding pembanding

metode metode

KolmogorovKolmogorov-Smirn Smirnov, ov,

Kolmog Kolmogoro orov-Sm v-Smir irnov nov sedangkan sedangkan

metode metode

Lilliefors menggunakan tabel pembanding metode Lilliefors.

Langkah-langkah penyelesaiannya: 1. Rumus

Keterangan : Xi = Angka pada data Z = Transformasi dari angka ke notasi pada distribusi normal FT = Probabilitas komulatif normal FS = Probabilitas komulatif empiris

FT =

komulatif proporsi luasan kurva normal berdasarkan notasi Zi, dihitung

dari luasan kurva mulai mulai dari ujung kiri kurva sampai dengan titik Z.

86

2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) (kuantitatif)  b. Data tunggal / belum belum dikelompokkan pada tabel distribusi distribusi frekuensi c. Dapat untuk n besar maupun n kecil.

3. Siginifikansi Signifikansi uji, nilai Fr - Fs terbesar dibandingkan dengan nilai nilai tabel Kolmogorov Smirnov. 

Jika nilai Fr - Fs terbesa terbesarr kurang kurang dari dari nilai nilai tabel tabel Kolmogor Kolmogorov ov Smirnov, Smirnov, maka Ho diterima ; Ha ditolak.



Jika nilai Fr - Fs terbesar lebih besar dari nilai tabel Kolmogorov Smirnov, maka maka

Ho ditolak ditolak ; Ha diterima diterima.. Tabel Tabel Kolmogor Kolmogorov ov Smirnov, Smirnov, Harga Harga Quanti Quantill

Statistik Kolmogorov Distribusi Normal.

5.1 CONTOH CONTOH SOAL SOAL Untuk perhitungan normalitas normalitas distribusi, distribusi, dimisalkan dimisalkan terdapat terdapat sekelompok sekelompok data dengan skala pengukuran interval dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat sebagai berikut : Tabel skor Variabel bebas (X) dan variabel terikat (Y)

X1

X2

Y

4 4 9 12

1 2 8 8

7  12 17 20

 

87

12

10

21

Dari tabel tersebut misalkan kita ingin menguji normalitas variabel Y , maka untuk  memudahkan diperlukan tabel bantu sebagai berikut : Tabel bantu Perhitungan Normalitas

Xi

zx

Fr

Fs

І Fr –Fs І

7 12 17 20 21 77

-1.43 -0.58 0.27 0.78 0.96 0

0.08 0.28 0.61 0.79 0.83 -

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -

0 .1 2 0 .1 2 0 .01 0 .01 0 .17 -

5.2 5.2 LANG LANGKA KAHH-LA LANG NGKA KAH H PENY PENYEL ELES ESAIA AIAN N UJI UJI KOLMO KOLMOGO GORO ROVVSMIRNOV Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

Cara Hitung rumus statistik penguji. Sete Setela lah h data data dima dimasu sukan kan dala dalam m kolo kolom m pert pertam amaa dan dan dihi dihitu tung ng frek frekuen uensi siny nya, a, kemudian dilakukan perhitungan sebagai berikut : a. Cari ari Fs Fs de dengan ca cara Zi Zi dib dibagi de denga ngan ju jumlah da data. Da Dalam co conto ntoh ba baris  pertama di atas adalah 1 : 5 = 0.2, demikian seterusnya sampai selesai untuk  setiap frekuensi.

88

Cari nilai Zx dengan cara Skor Y dikurangi dengan Mean/nilai rata-rata b. dibagi nilai Standar Deviasi, sebagai contoh untuk baris pertama adalah (7 –  15.4)/5.86 = - 1.43. untuk baris selanjutnya dihitung dengan cara yang sama. Cari Cari nila nilaii Z tabe tabell (Zt) dengan dengan meliha melihatt Tabel Tabel Kurva Kurva Normal Normal baku c. (Tabel Z ) berdasarkan nilai Zx –nya, contoh untuk baris pertama. Nilai Z tabel dilihat dalam baris 1,4 dan kolom 3, diperoleh nilai Z sebesar 0.4236, karena nilai Zx – nya bernilai bernilai minus minus maka nilai nilai Z tabel yang diisikan diisikan adalah adalah 0.5 - 0.4236 = 0.0764 (0.08). bila Zx bernilai positif maka nilai Z tabel yang diisikan adalah ditambah 0.5. nilai І Fr –Fs І diperoleh dengan menyelisihkan nilai Fs dengan nilai d. Fr yang Fr yang sejajar, contoh untuk baris pertama pertama 0.08 – 0.2 = 0.12. setelah selesai cari nilai І Fr –Fs І, diperoleh nilai 0.17, kemudian e.  bandingankan dengan nilai tabel pada baris N = 5, pada tingkat signifikansi 0.05 diperoleh diperoleh nilai 0.510, karena І Fr –Fs І lebih kecil dari nilai tabel berarti distribusi normal.

6. METODE SHAPIRO WILK  Metode Shapiro Wilk menggunakan data dasar yang belum diolah dalam tabel distri distribus busii

frekue frekuensi nsi.. Data Data diurut diurut,, kemudi kemudian an dibagi dibagi dalam dua kelomp kelompok ok untuk  untuk 

dikonversi dalam Shapiro Wilk. Dapat juga dilanjutkan transformasi dalam nilai Z untuk dapat dihitung luasan kurva normal.

Langkah-langkah penyelesaiannya: 1. Rumus

Keterangan : D = Berdasarkan rumus di bawah ai = Koefisient test Shapiro Wilk 

89

X n-i+1 = Angka ke n – i + 1 pada data X i = Angka ke i pada data

Keterangan : Xi = Angka ke i pada data yang X = Rata-rata data

G = Identik dengan nilai Z distribusi distribusi normal T3 = Berdasarkan Berdasarkan rumus di atas bn, cn, dn = Konversi Konversi Statistik Statistik Shapiro-Wi Shapiro-Wilk  lk  Pendekatan Distribusi Normal

2. Persyaratan a. Data berskala interval atau ratio (kuantitatif) (kuantitatif)  b. Data tunggal / belum belum dikelompokkan pada tabel distribusi distribusi frekuensi c. Data dari dari sampel random

3. Signifikansi Signifikansi dibandingkan dengan tabel Shapiro Wilk. Signifikansi uji nilai T3 diba diband ndin ingk gkan an deng dengan an nila nilaii tabe tabell Shap Shapir iro o Wilk Wilk,, untu untuk k dili diliha hatt posi posisi si nila nilaii   probabilitasnya (p). 

Jika nilai p lebih dari 5%, maka Ho diterima ; Ha ditolak.

90



Jika nilai p kurang dari 5%, maka Ho ditolak ; Ha diterima, d iterima, Tabel Harga Quantil Statistik Shapiro-Wilk Distribusi Normal



Jika digunakan rumus G, maka digunakan tabel 2 distribusi normal.

6.1 CONTOH SOAL Berdasarkan data usia sebagian balita yang diambil sampel secara random dari

posyandu Mekar Sari Wetan Wetan sebanyak 24 balita, balita, didapatkan dat

sebagai berikut : 58, 36, 24, 23, 19, 36, 58, 34, 33, 56, 33, 26, 46, 41, 40 37, 36, 35, 18, 55, 48, 32, 30 27 bulan. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pad α = 5% ?

6.2 6.2

LANG LANGKA KAH H-LAN -LANG GKAH KAH

PENYE ENYELA LASA SAIA IAN N

SHAPIRO WILK : a. Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

b. Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

c. Rumus Rumus stati statisti stikk peng penguji uji

CONT CONTOH OH SOAL SOAL UJI UJI

91

d. Hitung rumus statistik penguji Langkah pertama dihitung nilai D, yaitu :

92

Langkah berikutnya hitung nilai T, yaitu :

93

e. Df/db/dk  =n

f. Nilai tabel Pada lampiran 6 dapat dilihat, nilai α (0,10) = 0,930 ; nilai α (0,50) = 0,963

g. Daerah penolakan  Nilai T3 terletak diantara 0,930 dan 0,963, atau nilai p hitung terletak diantara 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak 

h. Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

Cara lain setelah nilai T3 diketahui dapat menggunakan rumus G, yaitu

94

Hasil nilai nilai G merupakan nilai Z pada distribusi distribusi normal, normal, yang selanjutny selanjutnyaa dicari nilai proporsi (p) luasan pada tabel distribusi normal . Berdasarkan nilai G = -1,2617, maka nilai proporsi luasan = 0,1038. Nilai p tersebut di atas nilai α = 0,05  berarti Ho diterima Ha ditolak. Data benar-benar diambil dari populasi normal.

7. METODE UJI Z Dalam kehidupan sehari-hari tidak jarang kita dihadapkan oleh data yang   berva bervaria riasi si dan fluktu fluktuati atif, f, contohny contohnyaa nilai nilai mahasi mahasiswa swa,, tinggi tinggi badan badan mahasi mahasiswa swa,,  pemasukan, pengeluaran, keuntungan, dsb. Seringkali kita mengira-ngira besarnya rata-rata dari data tersebut, namun tidak jarang pula perkiraan tersebut meleset dari rata-rata sebenarnya. Untuk pengujian rata-rata pada sampel dengan rata-rata yang diperkirakan sebelum dilakukan pengujian oleh peneliti dapat dilakukan dengan uji Z. Denga Dengan n Uji Uji Z dapa dapatt dike diketa tahu huii apaka apakah h perki perkira raan an awal awal pene peneli liti ti dapa dapatt dite diteri rima ma (hipotesis diterima) atau tidak (hipotesis ditolak). Penaksir titik rataan populasi μ diberikan oleh statistik . Distribusi berpusat di μ dan umumnya umumnya variansiny variansinyaa lebih lebih kecil dari penaksir μ lainnya. lainnya. Karena itu rataan rataan sampel akan dipakai sebagai taksiran titik untuk rataan populasi μ. Menurut teorema limit limit sentr sentral, al, distri distribus busii sampel sampel dapat dapat dihara diharapka pkan n secara secara hampir hampiran, an, berdis berdistri tribus busii normal dengan rataan dari simpangan baku P (-Zα/2 < Z < Zα/2) = 1 – α di mana : μ   ĩ

= rataan sampel = rataan populasi

σ

= standar deviasi populasi

n

= jumlah sampel

95

RUMUS:

KET: _  X = mean data sampel µ = mean data populasi α = standar deviasi data populasi n = jumlah sampel yang diteliti

7.1 CONTOH SOAL Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $45. Dengan taraf nyata 1% , ujilah : apakah rata-rata nasabah menarik menarik melalui ATM kurang dari $500 per bulan ?

7.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAI CONTOH SOAL METODE UJI Z:: 1. Menetukan populasi 2.Me 2.Mene netu tuka kan n

samp sampel el

dari dari

popu popula lasi si

deng dengan an

meng menggu guna naka kan n

math mathca cad, d,

yait yaitu u

menggunakan fungsi Random Number Diskrit 3. Mengambil data berdasarkan sampel yang telah ditentukan 4. Menetukan H0 5. Menetukan H1 6. Memilih nilai level of significance (α) 7. Memilih statistik uji yang sesuai berdasarkan apa yang aka n diuji, kondisi data, dan asumsi 8. Perhitungan daerah kritis atau daerah penolakan

96

Untuk H1 : μ < μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα Untuk H1 : μ > μo, maka daerah kritisnya adalah Z> Zα Untuk H1 : μ ≠ μo, maka daerah kritisnya adalah Z< -Zα/2 dan Z> Zα/2 9. Perhitungan nilai Z sampel 10. Penarikan kesimpulan

JAWAB: Diketahui: x = 495 1. H0 : µ = 500

s = 45

n=100

µ0 =500 α=1%

H1 : µ < 500

2. statistik uji : z → karena sampel besar  3. arah pengujian : 1 arah 4. Taraf Nyata Pengujian = α = 1% = 0.01 5. Titik kritis → Z < - Z001→ Z < - 2.33 . 6. Statistik Hitung

7. Kesimpulan : z hitung hitung = -1.11 ada di daerah penerimaan penerimaan H0 H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500

97

D. SOAL-SOAL LATIHAN 1. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Kemiringan/Kemencengan Beri Beriku kutt adal adalah ah data data nila nilaii ujia ujian n mid mid maha mahasi sisw swaa pada pada mata mata kuli kuliah ah ekon ekonom omii  pembangunan.

no 1 2 3 4 5 6 7 8

data

Fi

61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100 jumlah

8 10 16 20 19 17 6 4 1 00

Dari data di atas, tentukan apakah berdistribusi normal atau bergambar simetris?

2. Soal Latihan Kertas Peluang Normal Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah sbb:

no 1 2 3 4 5

umur mahasiswa 17 - 18 19 - 20 21 - 22 23 - 24 25 - 26  jumlah

jumlah (Oi)

PROSENTASI

18 19 20 21 22

0,18 0,19 0,2 0,21 0,22

100

1

Apakah temasuk dalam dalam data berdistribusi normal?

98

3. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square Berikut adalah data penelitian umur mahasiswa FKIP Jurusan PIPS dari angkatan 2005-2009. Yang terdiri dari 100 mahasiswa secara sampel . Di mana datanya adalah sbb:

no 1 2 3 4 5

umur mahasiswa

 jumlah (Oi)

17 - 18 19 - 20 21 - 22 23 - 24 25 - 26  jumlah

18 19 20 21 22

100

Selidikilah dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas berdistribusi normal ? Telah dihitung Mean = 20 ; Standar deviasi = 1,581...

4 Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Lillifors Berikut adalah hasil penelitian yang dilakukan oleh salah satu mahasiswa tentang daftar nilai 16 siswa SMA di kota Jambi.

5,8 10,1

7, 3 8,6

8, 9 9, 0

7, 1 9, 3

8,8 6, 4

6,4 7,0

7 ,2 9 ,9

5,2 6,8

Selidikilah dengan α = 5%, apakah apak ah data tersebut di atas diambil dari populasi p opulasi yang berdistribusi normal ? jika diketahui

 X  

= 7,735, SD = 1,4966.

5. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov

99

Suatu Suatu

peneli peneliti tian an

tentan tentang g

berat berat

badan badan

pesert pesertaa

pelati pelatihan han

kebugar kebugaran an

fisik/jasmani dengan sampel sebanyak 27 orang diambil secara random, didapatkan data sebagai berikut ; 78, 78, 95, 90, 78, 80, 82, 77, 72, 84, 68, 67, 87, 78, 77, 88, 88, 97, 89, 97, 97, 98, 70, 70, 72, 70, 69, 69, 67, 90, 90, 97 kg. Selidik Selidikila ilah h dengan dengan α = 5%, apakah data tersebut di atas diambil dari populasi yang berdistribusi normal ?

6. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk  Beriku Berikutt adalah adalah data nilai nilai 18 mahasi mahasiswa swa

Pendid Pendidika ikan n Ekonom Ekonomii pada mata mata kuliah kuliah

Matematika Ekonomi: 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 10,5, 12, 12, 12, 12, 12, 12. Selidikilah data usia balita tersebut apakah data tersebut diambil dari populasi yang berdistribusi normal pada α = 5% ?

7. Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z rikut adalah data nilai prestasi kerja karyawan yang mendapat training dengan yang tidak mendapat training.

Dengan taraf nyata 5 % ujilah ujilah : Apakah perbedaan rata-rata rata-rata nilai prestasi kerja kerja µ 1− µ 2 > 0?

100

E. JAWABAN SOAL LATIHAN 1. Jawaban Soal Latihan Kemiringan/Kemencengan

Uji

Normalitas

Dengan

Metode

Penyelesaian:

no 1 2 3 4 5 6 7 8

data

Fi

Xi

Fi x Xi Xi - X

Fi.(Xi -X) (Xi - X)2

Fi. (Xi - X)2

61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100

8 10 16 20 19 17 6 4

63 68 73 78 83 88 93 98

50 4 68 0 11 68 15 60 15 77 14 96 55 8 39 2

-16,35 -11,35 -6,35 -1,35 3,65 8,65 13,65 18,65

-130,8 -113,5 -101,6 - 27 69 ,35 147,05 81 ,9 74 ,6

2 6 7 ,3 2 3 1 2 8 ,8 2 3 40,3225 1,8225 13,3225 74,8225 186 ,323 34 7 ,82 3

2 1 3 8 ,5 8 128 8 ,225 645,16 36,45 253,1275 1 271 ,982 5 1 117 ,935 139 1 ,29

 jumlah

10 0

644

79 35

9,2

5,4E-13

1060,58

8142,75

Modus

= 75,5 +(4 / (4 + 1)) (5) = 75,5 + (0,8) (5) = 75,5 + 4 = 79,5

Median

= 80,5 + )( )(100/2)- 54 54)/17 (5 (5) = 80,5 + ((-4)/17) (5) = 80,5 + (1,18) = 81,68

Rata-rata

= ∑ (Fi . Xi)/Fi

101

= 7935 / 100 = 79,35 SD2

= ∑ Fi. (Xi - X)2 / Fi = 8142,75 / 100 = √ 81,4275 = 9,024

Kemir Kemiring ingan an

= (79,3 (79,35 5 – 79,5 79,5)/9 )/9,024 ,024 ≈ 3 (79,35 (79,35 – 81,68 81,68)/9 )/9,024 ,024 = (0,017) ≈ (0,775)

 Nilai kemiringan 0,017 atau 0,775, 0,77 5, berarti miring ke kiri, tidak simetris

2. Jawab Jawaban an Soal Soal Lati Latiha hann Uji Norma Normali litas tas Deng Dengan an Metod Metodee Kert Kertas as Pelu Peluan angg Normal n o 1 2 3 4 5

umur mahasiswa

KOMULATIF %

16,5

0

18,5

0,18

20,5

0,37

22,5

0,57

24,5

0,78

26,5

1

102

Selanjutnya Masukan Data Diatas Kedalam Kertas Peluang Normal

3. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Chi-Square Penyelesaian:

103

batas no kelas bawah 1 2 3 4 5

Z

-2,21 16,5 - – (18,5 0,95) -0,95 18,5 -  –  20,5 0,32 0,32 20,5  –  -22,5 1,58 1,58 22,5  –  -24,5 2,85 2,85 24,5 -  –  26,5 4,11

Pi 0,0122 – 0,1469 = -0,1347

Oi

P i - Oi Pi

Oi Ei

-

0,018144 1

0,001000518

18

18,135

19

1,105 17,894 8

1,222793 6

0,068334636

0,36 0,3632 32 – 0,10 0,1056 56 =0,2576 20

0,257 19,742 6

0,066357 8

0,00336118

0,10 0,1056 56 – 0,00 0,0016 16 =0,1040 21

20,896

0 ,104

0,010816

0,000517611

21,999

0,001 5

0.000002 5

0

1,318111 5

0,073213945

0,1469 – 0,3632 = 1 ,105 8

0,00 0,0016 16 – 0,00 0,0001 01 =0,0015 22 10 0

Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

Hitung rumus statistik penguji.

X2 = 0,073213945

-0,135

(Oi - Ei )2 (Oi-Ei)/Ei

104

Df/db/dk  Df = ( k – 3 ) = ( 5 – 3 ) = 2

Nilai tabel  Nilai tabel X2 ; α = 0,05 ; df = 2 ; = 5,991.

Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,073213945 <

5,991 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 

Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

4. Jawaban Soal Latihan Uji Normolitas Dengan Metode Uji Lilliefors Penyelesaian:

Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05 Tabel Uji normalitas dengan metode uji Lilliefors i  1 2 3 4

xi

z

F0(xi)

S(xi)

|S(xi) – F0(xi)|

5 ,20 5 ,80 6 ,40 6 ,40

-1,70 -1,29 -0,89 -0,89

0,0446 0,0985 0,1867 0,1867

0,0625 0,1250 0,1875 0,2500

0,0179 0,0265 0,0008 0,0633

105

i  5 6 7 8

xi

z

F0(xi)

S(xi)

|S(xi) – F0(xi)|

6 ,80 7 ,00 7 ,10 7 ,20

-0,63 -0,49 -0,43 -0,36

0,2643 0,3121 0,3336 0,3594

0,3125 0,3750 0,4375 0,5000

9

7,30

-0,29

0, 3859

0,5625

10 11 12 13 14 15 16

8 ,6 0 8 ,8 0 8 ,9 0 9 ,0 0 9 ,3 0 9 ,9 0 10,10

0 ,58 0 ,71 0 ,78 0 ,84 1 ,04 1 ,44 1 ,58

0,7190 0,7611 0,7823 0,7995 0,8508 0,9251 0,9429

0,6250 0,6875 0,7500 0,8125 0,8750 0,9375 1,0000

0,0482 0,0629 0,1039 0,1406 0,1766  0,0940 0,0736 0,0323 0,0130 0,0242 0,0124 0,0571

nilai Dhitung  terbesar, yaitu 0,1766.

Nilai tabel   Nilai Kuantil Penguji Lilliefors, α = 0,05 ; N = 18 ; ≈ 0,213.

Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1766

<

0,213 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 

Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

5. Jawaban soal latihan uji Normalitas dengan Metode Uji Kolmogorov-Smirnov Penyelesaian: Hipotesis Ho : tidak beda dengan populasi normal Ha : Ada beda populasi normal

Nilai α  Nilai α = level signifikansi = 5% = 0,05

106

Hitung rumus penguji

  Nilai 0,1440

FT − FS

tertinggi sebagai angka penguji normalitas, yaitu

107

Nilai tabel  Nilai Kuantil Penguji Kolmogorov, α = 0,05 ; N = 27 ; ≈ 0,254. Tabel Kolmogorov Smirnov

Daerah penolakan Menggunakan rumus 0,1440

<

0,2540 ; berarti Ho diterima, Ha ditolak 

Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

6. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Shafiro-Wilk 

no

Xi

X

(Xi – X)

(Xi – X)2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

7 7 9 9 9 9 9 10,5 10,5 10,5

10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19 10,19

-3,19444 -3,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 -1,19444 0,305556 0,305556 0,305556

1 0 ,2 0 4 1 0 ,2 0 4 1,4267 1,4267 1,4267 1,4267 1,4267 0,0934 0,0934 0,0934

10,5

10,19

0,305556

0,0934

10,5

10,19

0,305556

0,0934

12

10,19

1,805556

3,26

12

10,19 10,19 10,19 10,19

1,805556 1,805556 1,805556 1,805556

3,26 3,26 3,26 3,26

12 12 12

108

18

12 183,5

10,19

1,805556

3,26 47 ,569

D = 47,569

Menghitung T:

T3

NO ai

(X(n-i+1) – Xi)

Ai( X(n-i+1) – Xi)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12 - 7 = 5 12 - 7 = 5 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 12 - 9 = 3 10,5 - 9 = 0,5 0 0

2 ,4 43 1 ,6 265 0 ,7 659 0 ,6 081 0 ,4 761 0 ,3 591 0 ,04 18 5 0 0 6,32055

0,4886 0,3253 0,2553 0,2027 0,1587 0,1197 0,0837 0,0496 0,0163  jumlah

= 1/47,569 (6,32055)2 = 0,021 ( 39,949) = 0,839

109

Df/db/dk = n Nilai tabel nilai α (0,10) = 0,914 ; nilai α (0,50) = 0,956

Daerah penolakan  Nilai T3 terletak di bawah 0,914 dan 0,956, atau nilai p hitung terletak di bawah 0,10 dan 0,50, yang diatas nilai α (0,05) berarti Ho diterima, Ha ditolak 

Kesimpulan Sampel diambil dari populasi normal, pada α = 0,05.

7. Jawaban Soal Latihan Uji Normalitas Dengan Metode Uji Z: Penyelesaian: α=5%

d0 = 0

2* statistik uji : z → karena sampel besar  3* arah pengujian : 1 arah 4* Taraf Nyata Pengujian = α = 5% 5. Titik kritis → Z>Z5%→ Z > 1.645 6. Statistik Hitung

110

7. Kesimpulan : Z hitung hitung = 4 ada di daerah penolakan H0 H0 ditolak, H1 diterima → beda rata-rata rata-rata prestasi kerja > 0

111

112

UJI HOMOGENITAS (UJI KESAMAAN DUA VARIANS) A. PENGERTIAN UJI HOMOGENITAS B. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI HOMOGENITAS Uji homogenias atau uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji apakah kedua data tersebut homogen yaitu dengan membandingkan kedua variansnya. Jika kedua varians sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan lagi karena datanya sudah dapat dianggap homgen. Namun untuk varians yang tidak sama besarnya, perlu diadakan pengujian pengujian homogenitas melalui uji kesamaan dua varians ini. Uji homogenitas dapat di lakukan apabila datanya bersivat normal.

FUNGSI UJI HOMOGENITAS Fungsi dari uji homogenitas yaitu untuk membuktikan apakah kelompok data-data tersebut bersifat homoge atau tidak.

CARA PENGUJIAN HOMOGENITAS 1. Varians Varians terbesar terbesar dibandingkan dibandingkan varians varians terkecil. terkecil. 2. Varians Varians terkecil terkecil dibandingkan dibandingkan varians varians terbesar. terbesar. 3. Uji barl barlett ett (unt (untuk uk lebih lebih dari dari dua dua kelomp kelompok. ok.

C. BAGIAN-BAGIAN UJI HOMOGENITAS 1. PENGUJ PENGUJIAN IAN DENGAN DENGAN RUMUS RUMUS FARIAN FARIANSS F Pengujian homogenitas data dengan menggunakan rumus farians dilakukan dilakukan untuk menguji 2 kelompok varians. Pada rumus fariasn kita dapat melakukan uji homogenitas apabila telah melakukan penelitian. Terdapat dua rumus farians sebagai  berikut:

1. VARIAN VARIANSS TERBESAR TERBESAR DIBAND DIBANDING INGKAN KAN VARIA VARIANS NS TERKECIL TERKECIL

113

-

Cari Fhitung dengan menggunakan rumus:

F=

-

Tetapkan taraf signifikasi (α)

-

Hitung Ftabel dengan rumus

Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians

Dengan menggunakan tabel F didapat Ftabel -

Tentukan kriteria pengujian Ho yaitu: Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen)

-

Bandingkanlah Fhitung dengan Ftabel

-

Buatlah kesimpulan.

1.1 CONTOH SOAL Didala Didalam m suatu suatu kelomp kelompok ok penguji pengujian an terdapa terdapatt 2 kelmpo kelmpok k yang yang memili memiliki ki varian varianssvarians sebagai berikut: Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14 Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15 Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen? α = 10%

1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians 2

114

Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus yaitu: Kelompok 1: = = =

= 9,7

xi 10 3 12 5 7 10 8 14 14 14 97

(xi - ) 0 ,3 -6,7 2 ,3 -4,7 -2,7 0 ,3 -1,7 4 ,3 4 ,3 4 ,3

(xi - ) 0,09 4 4 ,8 9 5,29 2 2 ,0 9 7,29 0,09 2,89 1 8 ,49 1 8 ,49 1 8 ,49 138,10

Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 =15,344444

Kelompok ke 2: = = =

= 7,9

115

xi 3 5 7 8 1 1 12 13 14 15 79

(xi - ) -4,9 -2,9 -0,9 -0,1 -6,9 -6,9 4 ,1 5 ,1 6 ,1 7 ,1

(xi - ) 2 4 ,0 1 8,41 0,81 0,01 4 7 ,6 1 4 7 ,6 1 1 6 ,51 2 6 ,01 3 7 ,21 5 0 ,41 258,6

Setelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 28,73333333333 Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:

F= Varians terbesar: 28,733333333333 atau 28,73 Varians terkecilnya: 15,344444 atau 15,34

F= F = 1,87288 Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya

Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1)

116

Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel = F0,05 (9, 9) Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18 Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen) 1,87288 ≤ 3,18 Maka Ho diterima (homogen)

2. VARIAN VARIANSS TERKECIL TERKECIL DIBAND DIBANDING INGKAN KAN VARIAN VARIANSS TERBESAR  TERBESAR  Langka Langkah-l h-lang angkahn kahnya: ya: untuk untuk langkah langkah-la -langka ngkahny hnyaa sama sama sepert sepertii di atas, atas, tetapi tetapi sedikit ada perbedaan Rumusnya:

Fkini =

Lalu mencari Ftabel kanan dengan rumus:

Ftabel kanan = F1/2α (dk varians terkecil – 1, deka varians

Atau

Ftabel kiri =

Setelah itu barulah dibandingkan nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan

2.1 CONTOH SOAL Didala Didalam m suatu suatu kelomp kelompok ok penguji pengujian an ter dapat dapat 2 kelmpo kelmpok k yang yang memil memiliki iki varian varianssvarians sebagai berikut: Kelompok ke 1: 10, 3, 12, 5, 7, 10, 8, 14, 14, 14

117

Kelompok ke 2: 3, 5, 7, 8, 1, 1, 12, 13, 14, 15 Pertanyaan: apakah kedua kelompok tersebut memiliki varians yang homogen? α = 10%

2.1 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIN CONTOH SOAL Tentukan terlebih dahulu Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak terdapat perbedaan varians 1 dan varians 2 Terlebih dahulu mencari rata-rata kedua kelompok varians tersebut dengan rumus yaitu: Kelompok 1: = = =

= 9,7

xi 10 3 12 5 7 10 8 14 14 14 97

(xi - ) 0 ,3 -6,7 2 ,3 -4,7 -2,7 0 ,3 -1,7 4 ,3 4 ,3 4 ,3

(xi - ) 0,09 4 4 ,8 9 5,29 2 2 ,0 9 7,29 0,09 2,89 1 8 ,49 1 8 ,49 1 8 ,49 138,10

Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 =

118

S2 = S2 =15,344444

Kelompok ke 2: = = =

xi 3 5 7 8 1 1 12 13 14 15 79

= 7,9

(xi - ) -4,9 -2,9 -0,9 -0,1 -6,9 -6,9 4 ,1 5 ,1 6 ,1 7 ,1

(xi - ) 2 4 ,0 1 8,41 0,81 0,01 4 7 ,6 1 4 7 ,6 1 1 6 ,51 2 6 ,01 3 7 ,21 5 0 ,41 258,6

Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 28,73333333333 Dengan menggunakan rumus yang sebaliknya kita akan mendapatkan F kini

Fkini =

119

Fkini = Fkini = 0,533936651 atau 0,53 Setelah dapat kini (dk barulah kita terkecil mencari F– kanan dengan rumus: = FF1/2α varians 1, deka varians Ftabel kanan Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel kanan = F 5% (9, 9) Ftabel kanan = 3,18 Selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:

Ftabel kiri =

Ftabel kiri = Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314 Setelah didapat semua barulah kita k ita menguji kriteria pengujianya, yaitu: nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan -0,314 ≤ 0,53 ≤ 3,18 H0 diterima (homogen)

3. UJI BA BARLET Uji barlet digunakan digunakan apabila apabila pengujian pengujian homogenitas homogenitas dilakukan terhadap tiga kelompok varians atau lebih. Langkah-langkah yang harus dilakukan sebagai berikut: -

Menghitung S2 dengan menggunakan rumus:

120

-

Hitung log S2

-

Hitung B dengan rumus

B = (log S 2 ) ∑(n1 –

-

Cari

hitung

dengan rumus:

hitung

= (2,3026) B - ∑ (n 1 – 1)

-

Tetapkan taraf signitifnya (α)

-

Cari

tabel

dengan rumus:

tabel

=

(1-α)

Dimana dk = banyaknya kelompok -1 Dengan menggunakan tabel -

Bandingkan

hitung

dengan

didapat

hitung

tabel

2.1 CONTOH SOAL Kelompok 1 dengan anggota 7 2 dengan anggota 9 3 dengan anggota 5

varians 20, 21, 2 2, 35, 31, 45 , 12 12, 22, 2 5, 22, 30, 32 , 26, 27, 24 17, 20, 2 3, 29, 27

Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau 0,01

2.2LANGKAH-LANKAH PENYELESAIAN: Ha = terdapat perbedaan varians H0 = tidak terdapat perbedaan varians

Kelompok 1:

121

Xi = Xi = Xi = 26,5714 atau 26,6 xi 20 21 22 35 31 45 12 18 6

(xi - ) -6,6 -5,6 -4,6 8,4 4,4 18,4 -14,6

(xi - ) 43,56 31,36 21,16 70,56 19,36 338,56 213,16 738,72

S2 = S2 = S2 = 123,12

Kelompok ke 2: Xi = Xi =

Xi = 24,44444444 atau 24,4

xi 12 22 25 22 30 32 26 27 24

(xi - ) -12,4 -2,4 0,6 -2,4 5,6 7,6 1,6 2,6 -0,4

(xi - ) 153,76 5,76 0,36 5,76 31,36 57,76 2,56 6,76 0,16

122

22 0

264,04

S2 = S2 = S2 = 33,005

Kelompok ke 3: Xi = Xi = Xi = 23,2

xi 17 20 23 29 27 11 6

(xi - ) -6,2 -32 -0,2 5,8 3,8

(xi - ) 38,44 10,24 0,04 33,64 14,44 96,8

S2 = S2 = S2 = 24,2

Kelompok 1 dengan anggota 7 2 dengan anggota 9

varians 20, 21, 22 , 35, 31, 45 , 12 1 2 , 2 2 , 2 5 , 2 2 , 3 0 , 3 2 , 2 6 , 2 7,

1 2 3, 1 2 33,005

3 dengan anggota 5

24 17, 20, 23 , 29, 27

24,2

Tabel barlet

S2

123

Kelompok  Dk (n-1)

log

dk

dk log

ke 1 2 3

6 8 4

0,16 0,12 0,25

123,12 3 3 ,0 0 5 2 4 ,2

2,09 1,52 1,39

738,72 264,04 96,8

12 ,54 12 ,16 5,56

jumlah

18

0,53

-

-

1099,58

3 0 ,2 6

Hitung

dengan menggunakan rumus:

= = 61,03 log

= log 61,03 = 1,785

B = (1,785) (18) = 32,13

hitung

= 2,3026 (32,13 – 30,26) = 4,305862 atau 4,305

Taraf signifikansi (α) = 0,01

tabel

(1 – α)(dk)

=

0,99 (2)

Dk = 3 – 1 =2 Dengan menggunakan tabel

hitung

≤

tabel

= 4,30 ≤ 9,21

didapat

tabel

= 9,21

124

Jadi H0 diterima (homogen)

125

D. SOAL LATIHAN

1) Terdapat Terdapat dua macam macam pengukuran pengukuran prosedur prosedur kerja di sebuah kantor kantor:: Kelompok 1: 5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2 Kelompok 2: 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2 Diketahui α = 0,10 (10%) Pertanyaanya: Apakah kedua kelompok varians tersebut memiliki varians yang homogen? Buktikan dengan menggunakan rumus: a. Varian Varianss terbes terbesar ar dibag dibagii varian varianss terkec terkecil il  b. Varian Varianss terkec terkecil il dibagi dibagi varia varians ns terbes terbesar  ar 

2) Terdap Terdapat at empat empat kelompok kelompok peneli penelitia tian n yaitu: yaitu: Kelompok 1: 3, 10, 12, 1, 5, 7 Kelompok 2: 6, 4, 13, 11, 1 Kelompok 3: 5, 5, 9, 10, 11, 16 Kelompok 4: 2, 1, 4, 3, 10 Diketahui α = 0,01(1%)

126

E. JAWABAN SOAL LATIHAN 1) A Ha = terdapat perbedaan varians 1 dengan varians 2 H0 = tidak dapat perbedaan varians 1 dan varians 2

KELOMPOK

VARIANS

Kelo Kelomp mpok ok ke 1 Kelo Kelomp mpok ok ke 2

5, 2, 5, 1, 6, 7, 3, 6, 6, 2 3, 3, 6, 9, 8, 6, 7, 5, 4, 2

Kelompok 1: = = =

= 4,9

xi 5 2 5 1 6 7 3 6 6 2 49

(xi - ) 0 ,1 -2,9 0 ,1 -3,9 1 ,1 2 ,1 -1,9 1 ,1 1 ,1 -2,9

(xi - ) 0,01 8,41 0,01 1 5 ,2 1 1,21 4,41 3,61 1,21 1,21 8,41 4 3 ,7

Setelah itu baru lah cari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 =

127

S2 =4,855555556 atau 4,85

Kelompok ke 2: = = =

= 5,3

xi 3 3 6 9 8 6 7 5 4 2 53

(xi - ) -2,3 -2,3 0 ,7 3 ,7 2 ,7 0 ,7 1 ,7 -0,3 -1,3 -3,3

(xi - ) 5,29 5,29 0,49 13 ,69 7,29 0,49 2,89 0,09 1,69 1 0 ,8 9 4 8 ,0 1

Serelah itu baru lah xari simpangan baku dengan rumus : S2 = S2 = S2 = 5,334444444 Setelah itu barulah dimasukkan kedalam rumus:

F= Varians terbesar: 5,334444444 atau 5,33 Varians terkecilnya: 4,855555556 atau 4,85 F=

128

F = 1,098969072 Setelah didapat F hitung barulah di cari F tabelnya

Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians Ftabel = F½ α (dk varians terbesar -1, dk varians terkecil -1) Ftabel = F½ 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel = F 5%(9, 9) Dengan melihat ke tabel varians maka F tabelnya yaitu: 3,18 Bandingkan F hitung dengan F tabel, Jika Fhitung ≤ Ftabel maka Ho diterima (homogen) 1,098969072 ≤ 3,18 Maka Ho diterima (homogen)

B. Dengan meggunakan rumus yang ke 2 kita tidak perlu lagi mengulang rumus  pertama untuk mencari F tabel tapi kita langsung saja mencari F kini dengan rumus:

Fkini =

Fkini = Fkini = 0,909943714 atau 0,91 Setelah dapat kini (dk barulah kita terkecil mencari F– kanan dengan rumus: Ftabel kanan = FF1/2α varians 1, deka varians Ftabel kanan = F1/2 10% (10 - 1, 10 - 1) Ftabel kanan = F 5% (9, 9) Ftabel kanan = 3,18 selanjutnya kita mencari Ftabel kiri dengan rumus:

Ftabel kiri =

Ftabel kiri = Ftabel kiri = 0,314465408 atau 0,314

129

Setelah didapat semua barulah kita k ita menguji kriteria pengujianya, yaitu: nilai -Ftabel kiri ≤ Fhitung kini ≤ Ftabel kanan -0,314 ≤ 0,91 ≤ 3,18 H0 diterima (homogen)

No 2. Kelompok 1 den denga gann jum jumla lahh var varia ians ns 6 2 den denga gann jum jumla lahh var varia ians ns 5 3 den denga gann jum jumla lahh var varia ians ns 6 4 deng dengaan jum jumlah vara varans ns 5

varians 3, 10, 10, 12, 12, 1, 5, 7 6, 4, 13, 13, 11, 11, 1 5, 5, 9, 10, 10, 11, 11,16 16 2, 1, 4, 3, 10

Apakah ketiga kelompok tersebut bersifat homogeny atau tidak dengan α = 1% atau 0,01

Jawab: Ha = terdapat perbedaan varians H0 = tidak terdapat perbedaan varians

Kelompok 1: Xi = Xi = Xi = 6,333333333 atau 6,3 xi 3 10 12 1 5 7 48

(xi - ) -3,3 3,7 5,7 -5,3 -1,3 0,7

(xi - ) 10,89 13,69 32,49 28,09 1,69 0,49 87,34

130

S2 = S2 = S2 = 17,468

Kelompok ke 2: Xi = Xi = Xi = 7 xi 6 4 13 11 1 35

(xi - ) -1 -3 6 4 -6

(xi - ) 1 9 36 16 36 98

S2 = S2 = S2 = 24,5

Kelompok ke 3: Xi = Xi = Xi = 9,333333333 atau 9,3

xi 5 5 9

(xi - ) -4,3 -4,3 -0,3

(xi - ) 18,49 18,49 0,09

131

10 11 16 56

0,7 1,7 6,7

0,49 2,89 44,89 85,34

S2 = S2 = S2 = 17,068

Kelompok ke 4: Xi = Xi = Xi = 4

xi 2 1 4 3 10 20

(xi - ) -2 -3 0 -1 6

(xi - ) 4 9 0 1 36 50

S2 = S2 = S2 = 12,5

Kelompok 1 dengan jumlah varians 6 2 dengan jumlah varians 5 3 dengan jumlah varians 6 4 dengan jumlah varans 5

varians 3, 10 , 12, 1 , 5, 7 6, 4, 13, 11 , 1 5 , 5 , 9 , 1 0 , 1 1, 1 6 2, 1, 4, 3, 1 0

S2

17,468 24,5 1 7, 0 6 8 1 2, 5

132

Tabel barlet

Kelompok  Dk (n-1)

log

dk

dk log

ke 1 2 3 4

5 4 5 4

0,2 0,25 0,2 0,25

1 7 ,46 8 2 4 ,5 1 7 ,06 8 1 2 ,5

1,24 1,39 1,23 1,10

22,468 98 85,34 50

6,2 5,56 6,15 4,4

jumlah

18

0,9

-

-

2 5 5, 8 0 8

2 2 ,3 1

Hitung

dengan menggunakan rumus:

= = 1,24 log

= log 1,24 = 0,093

B = (0,093) (18) = 1,674 hitung

= 2,3026 (1,674 – 22,31) = -20,636

Taraf signifikansi (α) = 0,01 tabel

(1 – α)(dk)

=

0,99 (3)

Dk = 4 – 1= 3 Dengan menggunakan tabel hitung

≤

tabel

didapat

= -20,636 ≤ 11,3

Jadi H0 diterima (homogen)

tabel

= 11,3

133

134

REGRESI & KORELASI LINIER SEDERHANA 1. PENGERTIAN REGRESI KORELASI • Gagasan perhitungan ditetapkan oleh Sir Francis Galton (1822-1911) • Persamaan regresi :Persamaan matematik yang memungkinkan peramalan nilai suatu   peubah peubah takbeba takbebass (dependent dari nila nilaii peub peubah ah bebas bebas (independent  dependent variable variable) dari variable)

• Diagram Pencar = Scatter Diagram Diagram yang menggambarkan nilai-nilai observasi peubah takbebas dan peubah  bebas.  Nilai peubah bebas ditulis pada sumbu X (sumbu horizontal)  Nilai peubah takbebas ditulis pada sumbu Y (sumbu vertikal)

 Nilai peubah takbebas ditentukan oleh nilai peubah bebas Anda sudah dapat menentukan mana peubah takbebas dan peubah bebas? Contoh 1: Umur Vs Tinggi Tanaman (X : Umur, Y : Tinggi) Biaya Promosi Vs Volume penjualan (X : Biaya Promosi, Y : Vol. penjualan)

2. BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN REGRESI : A. Regresi Linier  - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana Y = a + bX Keterangan: Y : peubah takbebas X : peubah bebas a : konstanta  b : kemiringan

135

- Bentuk Umum Regresi Linier Berganda Y = a + b1X1 + b2X2 + ...+ bnXn Y : peubah takbebas a : konstanta X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1 X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2 Xn : peubah bebas ke-n bn : kemiringan ke-n

B. Regresi Non Linier  - Bentuk umum Regresi Eksponensial Y = abx log Y = log a + (log b) x

1. REGRESI LINIER SEDERHANA • Metode Kuadrat terkecil (least square method ): ): metode paling populer untuk  menetapkan persamaan regresi linier sederhana - Bentuk Umum Regresi Linier Sederhana : Y = a + bX Ket: Y : peubah takbebas X : peubah bebas a : konstanta b : kemiringan  Nilai b dapat positif (+) dapat negartif (-)

136

: positif → Y

b : negatif → Y

Y = a+bX

Y= a - bX

• Penetapan Persamaan Regresi Linier Sederhana

n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i xi : nilai peubah bebas X ke-i

1.1 CONTOH SOAL Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng. Tahun

1992

x

y

Biaya

Volume

Promosi

Penjualan

(Juta

(Ratusan

Rupiah) 2

Juta Liter) 5

xy

x²

y²

10

4

25

137

1993 1994 1995 1996 Σ

4 5 7 8 Σx = 26

6 8 10 11 Σy = 40

24 40 70 88 Σxy = 232

16 25 49 64 Σx² =158

36 64 100 121 Σy² = 346

1.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN Bentuk umum dari regresi linier sederhana : Y = a + bX

• • • •

Peramalan dengan Persamaan Regresi

Contoh soal Diketahui hubungan Biaya Promosi (X dalam Juta Rupiah) dan Y (Volume penjualan dalam Ratusan Juta liter) dapat dinyatakan dalam persamaan regresi linier berikut Y = 2.530 + 1.053 X Perkirakan Volume penjualan jika dikeluarkan biaya promosi Rp. 10 juta ? Jawab : Y = 2.530 + 1.053 X X = 10 Y = 2.53 + 1.053 (10) = 2.53 + 10.53 = 13.06 (ratusan juta liter) Volume penjualan = 13.06 x 100 000 000 liter 

138

2. REGRESI LINIER BERGANDA • Pembahasan akan meliputi regresi linier dengan 2 Variabel Bebas (X1 dan X2) dan 1 Variabel Tak Bebas (Y). • Bentuk Umum : Y = a + b1 X1 + b2 X2 Y : peubah takbebas a : konstanta X1 : peubah bebas ke-1 b1 : kemiringan ke-1 X2 : peubah bebas ke-2 b2 : kemiringan ke-2 • a , b1 dan b2 didapatkan dengan menyelesaikan tiga persamaan Normal berikut:

n : banyak pasangan data yi : nilai peubah takbebas Y ke-i x1i : nilai peubah bebas X1 ke-i x2i : nilai peubah bebas X2 ke-i

2.1 CONTOH SOAL: Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel  biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit) x1

X2

y

x1 x2

x1y

x2y

x1²

x2²

y²

2 3 5 6 7 8

3 4 6 8 9 10

4 5 8 10 11 12 12

6 12 30 48 63 80

8 15 40 60 77 96

12 20 48 80 99 120

4 9 25 36 49 64

9 16 36 64 81 100

16 16 25 64 100 121 144

139

 xΣ1=31

 xΣ2= 40

 yΣ=50

 xxΣ12= 239

 xyΣ1= 296

 xyΣ2= 379

2.2 LANGKAH-LANGKAH PENYELESIAN Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1 X1 + b2 X2

Masukan notasi-notasi ini dalam persamaan normal

Sehingga didapat persamaan berikut:

 xΣ12= 187

 xΣ22= 306

 yΣ2= 470

140

Sehingga Persamaan Regresi Berganda a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai 0.75 + 0.50 X1 + 0.75 X2

141

142

UJI LINEARITAS 1. PENGERTIAN UJI LINEARITAS ( REGRESI ) Uji Linearitas Linearitas merupakan merupakan lanjutan lanjutan dari Regresi. Regresi adalah hubungan fungsional fungsional antara variabel variabel – variabel. variabel. Sedangkan analisa analisa regresi regresi adalah mempelajari mempelajari   bag bagai aima mana na anta antarr varia variabel bel sali saling ng berhub berhubun ungan gan.. Hubun Hubungan gan antar antar vari varibe bell pada pada umumny umumnyaa dinyat dinyatakan akan dalam dalam bentuk bentuk persam persamaan aan matema matematik tikaa yang yang dikena dikenall dengan dengan hubungan fungsional antar variabel. Dalam analisis regresi dibedakan dua jenis variabel, yakni variabel bebas atau  predictor tak bebas / terikat atau variabel respon. Variabel yang sering mudah didapat digolongkan ke dalam variabel bebas, sedangkan variabel yang terjadi karena variabel  bebas merupakan variabel tak bebas / terikat. Untuk keperluan analisis variabel bebas dila dilamb mban angka gkan n denga dengan n X1, X1, X2……. X2…….,, Xk, Xk, seda sedangk ngkan an untu untuk k vari variab abel el tak tak beba bebass dinyatakan dengan Y. Untuk keperluan analisis registrasi dibedakan : registrasi linear sederhana dan regi regist stra rasi si line linear ar gand ganda. a. Regi Regist stra rasi si linea linearr sede sederh rhan anaa adal adalah ah bent bentuk uk hubun hubunga gan n fungsional antara satu variabel bebas dengan variabel terikat. Sedangkan registrasi linear ganda adalah bentuk hubungan fungsional antara dua variabel terikat atau lebih dengan variabel bebas.

2. TUJUAN DAN KEGUNAAN UJI LINEARITAS Uji linear linearita itass diperg diperguna unakan kan untuk untuk meliha melihatt apakah apakah model model yang yang dibangu dibangun n mempuny mempunyai ai hubungan hubungan linear linear atau atau tidak. tidak. Uji ini jarang jarang diguna digunakan kan pada berbag berbagai ai   penel peneliti itian, an, karena karena biasan biasanya ya model model dibent dibentuk uk berdas berdasark arkan an telaah telaah teoret teoretis is bahwa bahwa hubungan hubungan antara antara variabel variabel bebas dengan variabel variabel terikatny terikatnyaa adalah adalah linear. linear. Hubungan antar variabel yang secara teori bukan merupakan hubungan linear sebenarnya sudah tidak dapat dianalisis dengan regresi linear, misalnya masalah elastisitas.

143

Jika ada hubungan antara dua variabel yang belum diketahui apakah linear  atau tidak, uji linearitas tidak dapat digunakan untuk memberikan adjustment bahwa hubun hubunga gan n ters terseb ebut ut bersi bersifa fatt linea linearr atau atau tida tidak. k. Uji Uji line linear arit itas as digu diguna nakan kan untu untuk  k  mengkonfirm mengkonfirmasikan asikan apakah sifat sifat linear linear antara antara dua variabel variabel yang diidentif diidentifikasi ikasikan kan secara teori sesuai atau tidak dengan hasil observasi yang ada.

3. BAGIAN – BAGIAN DARI UJI LINERARITAS Bagian – bagian dari Uji Lineraritas yaitu : 

uji linear sederhana



Uji linearitas berganda

A. UJI LINEAR SEDERHANA 1. CONTOH SOAL UJI LINEAR SEDERHANA Contoh 1 : Karena kita melanjutkan bahasan dari kelompok 7, maka contoh soalnyapun diambil dari kelompok 7, Contoh soal yang pertama adalah : Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng.

Tahun

1992 1993 1994 1995 1996 Σ

x

y

Biaya

Volume

Promosi

Penjualan

(Juta

(Ratusan

Rupiah) 2 4 5 7 8 Σx = 26

Juta Liter) 5 6 8 10 11 Σy = 40

xy

x²

y²

10 24 40 70 88 Σxy = 232

4 16 25 49 64 Σx² =158

25 36 64 100 121 Σy² = 346

144

2. LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL Dari penghitungan yang telah dilakukan oleh kelompok 7 maka diketahui persamaan Y = 2.530 + 1.053 X Maka langkah selanjutnya kita kita akan menghitung nilai r :

 Nilai r = 0.9857 menunjukkan bahwa peubah X (biaya promosi) dan Y (volume  penjualan) berkorelasi linier yang positif dan tinggi  Rr =2=098572...= =2=098572...= 0.97165....= 97 % . y= yy

 Nilai R = 97% menunjukkan bahwa 97% proporsi keragaman nilai peubah Y (volume  penjualan) dapat dijelaskan oleh nilai peubah X (biaya promosi) melalui hubungan linier.

145

Sisanya, yaitu 3 % dijelaskan oleh hal-hal lain.

B. UJI LINIER BERGANDA • Koefisien Determinasi Sampel untuk Regresi Linier Berganda diberi notasi sebagai  berikut : .12

1. CONTOH SOAL Data diambil berdasarkan data dari kelompok 7:

2. LANGKAH PENYELESAIAN CONTOH SOAL

146

  Nilai = 99.53% menunjukkan bahwa 99.53% proporsi keragaman nilai peubah Y (volum (volumee penjua penjualan lan)) dapat dapat dijela dijelaska skan n oleh oleh nilai nilai peubah peubah X (biaya (biaya promos promosi) i) dan X Ry.1222 (biaya aksesoris) melalui hubungan linier. Sisanya sebesar 0,47 dijelaskan oleh hal-hal lain.

147

4. SOAL LATIHAN Sepert Sepertii yang yang sebelu sebelumny mnya, a, untuk untuk uji linier linier bergan berganda da inipun inipun kita kita melanj melanjutk utkan an dari dari kelompok 7, maka contohnya pun diambil dari kelompok 7. Berikut adalah data Volume Penjualan (juta unit) Mobil dihubungkan dengan variabel  biaya promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam ratusan ribu rupiah/unit).

x1

x2

y

x1 x2

x1y

x2y

x1²

x2²

y²

2 3 5 6 7 8  xΣ1=31

3 4 6 8 9 10  xΣ2= 40

4 5 8 10 11 12 12  yΣ=50

6 12 30 48 63 80  xxΣ12= 239

8 15 40 60 77 96  xyΣ1= 296

12 20 48 80 99 120  xyΣ2= 379

4 9 25 36 49 64  xΣ12= 187

9 16 36 64 81 100  xΣ22= 306

16 16 25 64 100 121 144  yΣ2= 470

148

5. JAWABAN SOAL LATIHAN Dari contoh Regresi (kelompok 7), maka akan dilakukan penghitungan linearitasnya.

149

150

UJI BEDA (UJI-T) 1.

PENGERTIAN UJI BEDA (UJI-T) Sesuai dengan namanya, maka uji ini dipergunakan untuk mencari perbedaan,  baik antara dua sampel data atau antara beberapa sampel data, dimana uji ini menggunakan beberapa persyaratan tertentu, yaitu diantaranya : a. Sampel Sampel penelit penelitian ian harus harus diambil diambil secara secara random random (secara (secara acak) acak) dari suatu suatu  populasi yang berdistribusi normal.  b. Gejala Gejala data yang didapat didapat harus berskala berskala interva intervall atau rasio. rasio. c. Variab Variabel el – variab variabel el peneliti penelitian an tidak tidak lebih dari satu satu (satu (satu variabel variabel dengan dengan data berskala nominal dengan satu variabel dengan data interval atau rasio, atau sebaliknya).

2. TUJUAN TUJUAN DAN DAN KEGU KEGUNAA NAAN N UJI UJI BEDA BEDA (uji(uji-t) t) Kegunaan t-test sebagai alat analisis data, dapat dipakai untuk menguji satu sampel atau dua sampel. Khusus untuk pengujian dua sampel, uji-t dapat dipa dipaka kaii untu untuk k mengu menguji ji dua dua samp sampel el yang yang bebas bebas dan atau atau samp sampel el yang yang   berkorelasi. Sedangkan untuk pengujian sampel bebas, uji-t dapat dipakai untuk menganalisis varians yang bersifat homogen ataupun heterogen. Penggunaan Penggunaan uji-t uji-t untuk kepentingan kepentingan analisis analisis data, bertolak bertolak pada harga rata –  rata ( mean ) alam upaya menentukan apakah perbedaan rerata tersebut adalah  perbedaan nyata, dan bukan karena kebetulan. Khusus untuk penggunaan t-tes  pada satu sampel, maka dua merata yang hendak dibandingkan, adalah rerata dari sampel dan rerata dari populasiny

151

3. BAGIA BAGIAN N – BAGIA BAGIAN N UJI UJI BEDA BEDA 1. Uji Beda Beda mean mean untuk untuk sampel sampel besar besar (>30) (>30) Untuk uji beda rerata dimana jumlah kasus dalam sampel – sampel yang dikenai penelitian lebih besar dari 30, maka t-test (uji-t) tidak dapat dipakai dipakai lagi. Adapun formulasi formulasi rumusan yang disarankan disarankan dipakai untukk  menganalisis kasus ini adalah uji-Z yang formulasi rumusannya adalah sebagai berikut :

Z= Keterangan: Z

= koefisien Z

S12

= Varians sampel pertama

S22

= Varians sampel kedua = Rerata Sampel Pertama = Rerata sampel kedua

n1

= jumlah kasus pada sampel pertama

n2

= jumlah kasus pad sampel kedua.

2. Analisi Analisiss t-test t-test (uji-t) (uji-t) untuk untuk satu satu kasus kasus samp sampel el Peng Penggun gunaa aan n t-te t-tess untuk untuk satu satu kasu kasuss samp sampel el ini, ini, skal skalaa data data yang yang diperkenankan adalah data yang berskala interval dan biasanya digunakan untuk uji batas keyakinan (confidence limits) atau uji batas keyakinan inte interv rval al

(con (confi fide denc ncee

inte interv rval al). ).

Seda Sedang ngka kan n

WS. WS.

Goss Gosset ettt

deng dengan an

152

menggunakan nama samara student’s memakai formulasi t-test ini untuk  uji kebalikan (goodness (goodness of fit) pada sampel kecil yang diambil dari suatu   popu popula lasi si,, sehi sehingg nggaa rumu rumusa san n ters terseb ebut ut juga juga diken dikenal al denga dengan n nama nama uji uji student. Formulasi rumusan t-tes untuk kasus satu sampel yang diambil secara random dari suatu populasi adalah sebagai berikut :

t= keterangan : t

: Koefisien t

X

: Mean (rerata) sampel

u

: Mean (rerata) populasi

S

: Standars kesesatan mean.

Adapu Adapun n rumu rumusa san n untu untuk k menca mencari ri stan standa dars rs kese kesesa sata tan n mean, mean, dapat dapat digunakan rumusan sebagai berikut:

Sx =

153

Keterangan: S

: standar deviasi sampel

N

: Jumlah kasus

3. T-test untuk analisa analisa dua kasus sampel yang saling berhubungan berhubungan Kondisi Kondisi sampel yang berhubungan berhubungan ini, dapat berupa dua sampel yang  b ber erva vali lida dasi sika kan n (ber (berkon kondi disi si sama sama)) terl terlebi ebih h dahu dahulu lu sebe sebelu lum m dibe dibeer erii  perlakuan, dapat pula dau sampel ini datanya berpasang – pasangan, dan kemungkinan sampel dalam hal ini hanya satu, namun diberi perlakuan dua kali, kali, sehing sehingga ga uji beda meanny meannyaa dikena dikenakan kan pada sampel dengan   perla perlakuan kuan (tread (treadmen ment) t) X dan sampel sampel yang yang sama sama namun namun mendap mendapatk atkan an   perla perlakuan kuan Y. T-tes T-tes untuk untuk dua sampel sampel yang yang berhubu berhubunga ngan n (corr (correla elated ted sample) formula rumusnya adalah sebagai berikut:

t=

keterangan: t

: koefisien t

Xt :rerata atau mean sampel pertama X2 : rerata atau mean sampel kedua D : beda beda antara antara skor skor samp sampel el perta pertama ma dan dan kedua kedua

154

 N : jum jumla lah h pasa pasanga ngan n samp sampel el..

4. CONT CONTOH OH SOAL SOAL UJI UJI BED BEDA A 1) Contoh perhitungan perhitungan Uji Beda Beda Mean Mean untuk sampel besar (>30) Peneliti Peneliti ingin membuktikan membuktikan apakah ada pembedaan pembedaan tingkat tingkat pertumbuhan pertumbuhan   bal balit itaa yang yang dibe diberi ri ASI ASI dan dan yang yang dibe diberi ri susu susu kale kaleng ng,, pada pada tahu tahun n   pertu pertumbu mbuhan han pertam pertama. a. Setela Setelah h dilakuk dilakukan an pengum pengumpul pulan an data data dipero diperoleh leh  besaran-besaran sebagai berikut: Balita yang mengkonsumsi ASI: ni = 44 = 78.09 S12 = 304.15 Balita yang mengkonsumsi susu kaleng : ni = 49 = 68.14 S22 = 325.15

5. LANGKA LANGKAH H – LANGKAH LANGKAH PENYE PENYELES LESAIA AIAN N CONTOH CONTOH SOAL SOAL

155

Untuk mencari besarnya koefisien koefisien Z. dengan formulasi formulasi rumus 15.0 dapat dilakukan dengan mengikuti prosedur sebgai berikut :

Z=

Z=

Z= Z= Z= Z = 2.67 Tes signifikansi dapat dilihat pada tabel asumsi perkiraan distribusi normal, prosedurnya adalah sebagi berikut : 1. Berd Berdas asar ar pada besara besaran n Z = 2.67 2.67 lalu lalu lihat lihat tabel tabel “are “areaa kurv kurvan anor orma mall dan dan ordina ordinatt dari dari kurva kurva normal normal “ ditemu ditemukan kan separo separoh h daerah daerah kurva kurva normal normal sebe sebesa sarr 0.49 0.4962 62 atau atau 49.6 49.62% 2% hal hal bera berart rtii untuk untuk selu seluru ruh h daer daerah ah kurva kurva mencakup 2 x 49.62% = 99.24% 2. Dalam kurva kurva normal normal daerah penerimaan penerimaan perbedaan perbedaan rerata rerata yang disebabk disebabkan an karena kesalahan sampling adalah sebgai berikut: a. Tara Taraff kepe keperc rcay ayaa aan n 95% 95% ≥1.65 atau≤-1.65 (one - tailed test) ≥1.96 atau ≤-1.96 (two – tailed test)

156

 b.  b. Tara Taraff kepe keperc rcay ayaa aan n 99% 99% ≥ 2.23 atau ≤ -2.33 (one – tailed test) ≥2.58 atau ≤ (two – tailed test) 3.

Jika dalam menggunakan taraf kepercayaan 95% maupun 99% untuk twotailed test, 99.24% berada di luar daerah penerimaan perbedaan rerata (mean) sebab 99.24% lebih besar dari 1.96% maupun 2.58%

4. Kesi Kesimp mpul ulan an adala adalah h bahwa bahwa perb perbed edaa aan n rera rerata ta mean mean dari dari samp sampel el-s -sam ampe pell diatas bukan karena kesalahan sampling, untuk itu hipotesis nihilnya yang di ajukan ditolak dari hipoteisi kerja atau hipotesis alternatifnya diterima,   baik baik pada taraf taraf keperc kepercaya ayaan an 95%

maupun maupun 99%. Jika peneli peneliti ti dalam dalam

 persoalan ini megajukan hipotesis nihil : “tidak ada perbedaan tingkat pertumbuhan pada tahun pertama, bagi belita yang diberi ASI dan diberi susu Kaleng ”

2) Cont Contoh oh Perh Perhit itun unga gan n Uji-t Uji-t a) T-test T-test untu untuk k analisi analisiss satu satu kasus kasus sampel sampel Contoh: Seorang peneliti ingin melakukan kajian tentang kemampuan ujian peserta pencari surat izin mengemudi (sim) kendaran bermotor di SAMSAT SAMSAT di Jember Jember.. Untuk Untuk keperl keperluan uan peneli penelitia tian n diambi diambill sampel sampel seban sebanya yak k 50 peser peserta ta,, yang yang dipi dipili lih h secr secraa acak acak (rand (random om). ). Stan Standar  dar 

157

kelulusan kelulusan yang di tentukan tentukan oleh SAMSAT adalah adalah skor 60 (sebagai (sebagai rata-rata populasi). Dari sampel diperoleh rata-rata skor ujian sebesar 55 dengan (S) simpangan baku (standar deviasi) sebesar 15. Berdasarkan data ini KASAD lantas membuat pernyataan bahwa: “ semua peserta ujian mencari SIM dijember dijember mempunyai mempunyai kemampuan kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”.

Berdasarkan data di atas, berikut ini dapat dilakukan perhitungan t-tes atau uji-t nya. =

= Berdasarkan hasil perhitungan diatas, maka besarnya standar kesesatan meannya adalah 2.14, dari besaran ini maka koefisien t nya dapat dicari dengan rumusan t-tes, sebgai berikut:

t=

t= t = -2.34

158

  jik jikaa perny pernyat ataa aan n KASA KASAD D Lant Lantas as diat diatas as difo diform rmul ulas asik ikan an keda kedala lam m hipotesis nihil maka akan berbunyi pernyataan sebagai berikut : “tidak    sem semua ua peser peserta ta ujia ujian n me menca ncari ri SIM SIM dije dijemb mber er me memp mpuny unyai ai kemampuan menyelesaikan soal ujian di bawah standar kelulusan”

Untuk melakukan pengujian hipotesis ini terlebih dahulu dicari derajat kebebasannya (db) terlebih dahulu yaitu dengan rumus db = N-1, jika  N = 50 maka db = 50-1 50-1 =49. =49. Bila Bila besara besaran n deraja derajatt kebebas kebebasan an ini di konsultasikan pada tabel kritik untuk uji-t, maka diperoleh harga kritik  untuk taraf kepercayaan 99% = 2.704 dan harga taraf kepercayaan 95% = 2.021  b) T-test T-test untu untuk k analisi analisiss dua kasus kasus sampe sampell Contoh : Seoran Seorang g peneli peneliti ti ingin mengetah mengetahui ui

perbeda perbedaan an kemampuan kemampuan

  pengu penguasa asaan an materi materi penatar penataran, an, untuk untuk peneli penelitia tian n ini diambi diambill sampel sampel secara acak sebanyak 20 responden, yang dibagi dibagi menjadi 2 kelompok, masing-masing beranggotakan 10 responden.pada kelompok pertama, dalam penyajian materi tatar dipakai metode ceramah, sedangkan pada kelompok kedua, penyajian materi tatar dipakainya metode diskusi. Setelah penyajian materi pada dua kelompok tersebut lalu diadakan tes, dan hasilnya terlihat pada tabel berikut :

TABEL 31 Rekapitulasi Data Penguasaan Materi Tatar 

159

Dua Kelompok Peserta dengan Dua Metode Penyajian Skor kelompok 

Skor kelompok 

D

D2

I dg. Ceramah 8 8 5 7 6 6 8 9 9 8

II dg. diskusi 7 7 7 6 6 5 5 8 7 8

 beda skor  1 1 -2 1 0 1 3 1 2 0

 beda skor  1 1 4 1 0 1 9 1 4 0

74

66

8

22

Berd Berdas asar arka kan n

reka rekapi pitu tula lasi si data data diat diatas as,, sela selanj njut utny nyaa

dapat dapat dica dicari ri

 besarannya rerata masing-masing kelompok, sebagai berikut: 1

= 74/10

= 7 .4

2

= 66/10

= 6 .6

∑D

=8

∑D

= 22

N

= 10 Pasang

t=

t=

160

t = 1.9 tes tes signi signifi fika kans nsii dapat dapat dila dilakuk kukan an denga dengan n berp berpij ijak ak pada pada deraj derajat at kebeba kebebasan san (db) (db) N = N-1 = 10-1= 10-1= 9 dalam dalam tabel tabel kritik kritik t diper diperole oleh h harga sebesar 2.262 (untuk kepercayan 95%) dan 3.250 (untuk taraf  kepercayaan 99%).

161

6. SOAL SOAL LATI LATIHAN HAN UJI BEDA BEDA JAWAB JAWABANN ANNYA YA 1. Diam Diambi bill samp sampel el penel penelit itia ian n seca secara ra rando random m dari dari pop popul ulas asii seba sebany nyak ak 20   peserta. Pada pelatihan pertama digunakan prosedur deduktif dan pada   penel peneliti itian an kedua kedua diberi diberi prosed prosedur ur pelati pelatihan han indukt induktif. if. Selesa Selesaii pelati pelatihan han dilaku dilakukan kan evalua evaluasi si progra program, m, untuk untuk menget mengetahui ahui tingka tingkatt ketera keterampi mpilan lan  peserta pelatihan. Data tingkat keterampilan tersajikan pada tabel berikut :

TABEL REKAPITULASI DATA HASIL EVALUASI PROGRAM PELATIHAN DENGAN MENGGUNAKAN PROSEDUR DEDUKTIF DAN INDUKTIF

 No. Urut

Skor Dg.

Skor Dg

D

D2

Responden

Prosedur 

Prosedur 

Beda Skor 

Beda Skor 

1

Deduktif  7

Induktif  6

1

1

2

8

6

2

4

3

5

6

-1

1

4

6

7

-1

1

5

6

7

-1

1

6

6

8

-2

4

7

6

8

-2

4

8

7

8

-1

1

9

8

5

3

9

10

8

5

3

9

11

8

5

3

9

12

8

4

4

16

162

13

9

4

5

25

14

8

6

2

4

15

9

6

3

9

16

9

7

2

4

17

7

8

1

1

18

7

7

0

0

19

8

7

1

1

20 N = 20

6

6

0

0

14 6

12 6

22

10 4

Berdas Berdasark arkan an data data tabel tabel rekapi rekapitul tulasi asi diatas diatas,, selanj selanjutn utnya ya dapat dapat dicari dicari misalnya rerata skor dari dua prosedur dalam pelatihan, sebagai berikut : Jawab : 1

= 146/20

= 7 .3

2

= 126/20

=6.3

∑D

= 22

∑D2

= 104

N

= 20 Pasang

t=

t= t = 2.22

163

2.

Seorang ketua RT ingin mendata usia anak dibawah 10 tahun. Untuk   penelitian ini diambil sampel secara acak sebanyak 30 anak, yang nantinya dibagi menjadi 2 kelompok, satu kelompok anak laki – laki dan satu kelompok anak perempuan. Anak 

Anak 

D

D2

laki –laki 9

 perempuan 6

Beda skor  -3

Beda skor  9

7

7

0

0

5

8

3

9

7

6

-1

1

6

7

1

1

5

9

4

16

8

6

-2

4

7

7

0

0

8

7

-1

1

10

7

-3

9

6

6

0

0

7

6

-1

1

6

7

-1

1

8

8

0

0

7 10 4

-3 -5

9 61

10 109 Jawab : 1

= 109/10

= 10.9

2

= 104/10

= 1 0 .4

∑D

= -5

∑D2

= 61

164

N

t=

t= t = 0.94

= 15 Pasang

165

LAMPIRAN-LAMPIRAN UJI NORMALITAS

166

167

168

169

170

171

172

173

174

175

176

DAFTAR PUSTAKA Darwyansyah, Dkk. 2007.  Pengantar  Pengantar Statistik Statistik Pendidikan Pendidikan. Jakarta: Gaung Persada Press Hasan, M. Iqbal. 2003.  Pokok-Pokok  Pokok-Pokok Materi Statitik 2 (statistik (statistik inferensif) inferensif). Jakarta: PT Bumi Aksara http://www.goole.com/uji normalitas.html. normalitas.html. diakses 13 Desember 2009 Murray R, Spiegel dan Larry J, Stepens. 2007. 2 007. Statistik Edisi 3. Jakarta. Erlangga Ps, Djarwanto dan Subagyo, Pangestu. 1996.   statistik induktif . Yogyakarta: BPFEYogyakarta Saefudin, Asep dkk. 2009. Statistik Dasar . Jakarta: PT Grasindo Soepomo, Soepomo, Bambang.2002. Bambang.2002.Stat Statis isti tikk Terap Terapan an;; dalam dalam Penel Penelit itia ian n Ilmu Ilmu Sosi Sosial al dan dan  Pendidikan. Jakarta: PT Rineka Cipta

Suharyadi. Suharyadi. 2008. Statistik untuk Ekonomi dan Keuangan Modern. Salemba Empat Supranto, J. 2001. statistik dan aplikasi. Jakarta: PT Glora Aksara Pratama Tri Cahyono. 2006. Uji Normalitas . online (http://scribd.com (http://scribd.com /uji normalitas.html. diakses 13 Desember 2009) Walpope, Ronald E.1995. Pengantar Statistika Edisi ke-3.