Solver y Tora

SOLVER Y TORA

Presentado Presentado por: Briceño Calderón, Karen Milena Cayao Coronel, José Elden Pinto Quispe, Deymi Jehes Ramos Burga, Hugo Enrique Villar Zamora, Raúl Augusto Vásquez Zelada, Jhenifer Jhoana

Ing. Franklin Montoya Toroverero

SOFTWARE MINEROS Cajamarca, diciembre de 2017

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Índice general 1. Introducción.................................................... .......................................................................... ............................................. ......................................... ..................5 2. Objetivos..................................................... ........................................................................... ............................................ ............................................ ........................6 3. Solver en Excel 2016 ........................... ................................................. ............................................ ............................................ .............................. ........7 3.1. Conceptos generales ............................................... ..................................................................... ............................................ ......................... ... 7 3.2. Activación de Solver .......................................... ................................................................ ............................................ ............................. ....... 7 3.3. Funcionamiento y uso de Solver .......................................... ................................................................. ................................. .......... 9 3.3.1. Funcionamiento Funcionamiento ........................................... ................................................................. ............................................ ............................. ....... 9 3.3.2. Uso de Solver .......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 9 3.3.3. Función objetivo ................................... ......................................................... ............................................ .................................. ............ 10 3.3.4. Variables ....................................... ............................................................. ............................................ .......................................... .................... 11 3.3.5. Restricciones............................................ .................................................................. ............................................ ............................... ......... 11 3.4. Mensajes ..................................................... ............................................................................ .............................................. .................................. ........... 12 3.5. Posibles soluciones de Solver ............................................ ................................................................... .................................. ........... 12 3.6. Ejemplo para explicar funcionamiento de Solver............................................ ................................................ .... 13 3.7. Ejercicio de aplicación en minería usando Solver ........................................... ............................................... .... 22 3.7.1. Solución. ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 23 3.7.2. Utilización de Solver. .................................. ........................................................ ............................................. ........................... .... 27 4. Tora............................................................. ................................................................................... ............................................ ........................................... .....................37 4.1. Definición ....................................................... ............................................................................. ............................................. ............................... ........ 37 4.2. Ventajas .............................................................. .................................................................................... ............................................. ........................... .... 37 4.3. Funcionamiento TORA (versión 1.00) ................................. ....................................................... ............................... ......... 38 4.3.1. Método Gráfico ........................................... ................................................................. ............................................ ........................... ..... 46 4.3.2. Método simplex ....................................... ............................................................. ............................................ ............................... ......... 47 4.4. Ejercicio de aplicación en minería usando TORA .............................................. .............................................. 49 5. Conclusiones............................................... ..................................................................... ............................................ ........................................... .....................60 6. Referencias bibliográficas ............................................. ................................................................... ............................................ ..........................61

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Índice de figuras Figura 1.

Opciones de Excel –  opción  opción C omplementos omplementos. ........................................................ 8

Figura 2.

Complementos de Excel 2106.......................................................... ............................................................................... ...................... 8

Figura 3.

Ventana principal de Excel 2016 en la pestaña Datos. .......................................... 9

Figura 4.

Parámetros de Solver ........................................................................................... ........................................................................................... 10

Figura 5.

Plantilla en Excel para solucionar el ejercicio. .................................................... 14

Figura 6.

Plantilla modelo en Excel para solucionar cualquier. Los signos encerrados con azul son los signos de las restricciones. ............................................................... ............................................................... 14

Figura 7.

Variables de decisión. .......................................................................................... .......................................................................................... 15

Figura 8.

Función objetivo. .................................................................. ................................................................................................. ............................... 15

Figura 9.

Restricción 1. ............................................................ ....................................................................................................... ........................................... 16

Figura 10.

Hoja de cálculo completa. .................................................................................... .................................................................................... 16

Figura 11.

Elección de la celda objetivo en Parámetros de Solver. ....................................... 17

Figura 12.

Elección de las celdas de variables de decisión en Parámetros de Solver. .......... 17

Figura 13.

Agregar celdas de restricciones en Parámetros de Solver. ................................... 18

Figura 14.

Parámetros de Solver lleno. Muestra la restricción de No Negatividad para las variables de decisión. ........................................................................................... ........................................................................................... 18

Figura 15.

Resultados de Solver, marcamos las opciones de informes para su revisión detallada. .............................................................................................................. .............................................................................................................. 19

Figura 16.

Guardar escenario para su revisión posterior en el Administrador de escenarios. 19

Figura 17.

Administrador de escenarios ............................................................ ................................................................................ .................... 19

Figura 18.

Resultados de Solver. El resultado es de 16 Tm de concentrado de Pb y 24 de Zn con un beneficio máximo de 1 360 000 Dólares. ................................................. 20

Figura 19.

Informe de respuestas............................................................ .......................................................................................... ............................... 20

Figura 20.

Ubicación del complemento SOLVER. ............................................................... ............................................................... 27

Figura 21.

Selección de la celda a maximizar. ...................................................................... ...................................................................... 28

Figura 22.

Selección de las variables a solucionar. ............................................................... ............................................................... 29

Figura 23.

Selección de las restricciones. .......................................................... .............................................................................. .................... 30

Figura 24.

Selección del método Simplex L P para la solución. ........................................... ........................................... 31

Figura 25.

Finalizar con “Aceptar” ....................................................................................... 32

Figura 26.

Aceptar la solución dada por SOLVER ............................................................... ............................................................... 33

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Figura 27.

Pantalla inicial del Software Tora ........................................................................ 38

Figura 28.

Menú Principal - Tora .......................................................................................... 39

Figura 29.

Ventana Desplegable – Menú Principal ............................................................... 39

Figura 30.

Ventana de modos de ingreso de datos ................................................................ 40

Figura 31.

Modo de Ingreso de Datos ................................................................................... 40

Figura 32.

Ventana de ingreso de número de variables y restricciones ................................. 41

Figura 33.

Ventana de ingreso de la Función Objetivo y las restricciones ............................ 42

Figura 34.

Ventana con datos ya ingresados ......................................................................... 43

Figura 35.

Ventana emergente para guardar el problema ...................................................... 44

Figura 36.

Menú desplegable para seleccionar el método de solución del problema............ 44

Figura 37.

Ventana para introducir el número de enteros y decimales.................................. 45

Figura 38.

Ventana principal del Método Gráfico ................................................................. 46

Figura 39.

Solución del problema – Método Gráfico ............................................................ 47

Figura 40.

Ventana desplegable para elegir las opciones del método simplex...................... 47

Figura 41.

Ventana que muestra la solución final del problema ........................................... 48

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Índice de tablas Tabla 1.

Mineral limpio (M1) en STOCK ................................................................. 22

Tabla 2. Mineral limpio (M1) en Banco..................................................................... 23 Tabla 3. Mineral en STOCK ...................................................................................... 24 Tabla 4. Mineral en Banco. ........................................................................................ 24 Tabla 5. Restricciones ................................................................................................ 25 Tabla 6. Solución del mineral de stock ...................................................................... 34 Tabla 7. Solución del mineral de bancos.................................................................... 35 Tabla 8. Solución de las restricciones. ....................................................................... 36 Tabla 9. Mineral Limpio (M1) en Stock  –  noviembre de 2010 ................................. 49 Tabla 10.

Mineral Limpio en Banco  – noviembre de 2010 ...................................... 49

Tabla 11.

Mineral Limpio (M1) en Stock  – noviembre de 2010.............................. 51

Tabla 12.

Mineral Limpio en Banco  – noviembre de 2010 ...................................... 51

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1. Introducción Debido a que la computadora es un pilar en la evolución de las técnicas de investigación de operaciones, tanto por su potencial de cálculo como por la rapidez y exactitud, puede decirse que es imprescindible el uso de la misma para efectuar procesos de IO en  problemas que, aunque revistan sencillez, involucran tal número de variables que dificultarían el resolverlos manualmente. El presente trabajo busca aportar la idea de la necesidad de utilizar y desarrollar software en la enseñanza de la minería. El eje temático del trabajo es el funcionamiento del software TORA y el complemento SOLVER en Excel 2016, en la solución de problemas de programación lineal en minería.

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2. Objetivos Objetivo general Investigar acerca del software de programación lineal Tora y el complemento Solver en Excel 2016.

Objetivo especifico 

Estudiar el software Tora, sus ventajas, funcionamiento y aplicaciones.



Estudiar el complemento Solver en Excel 2106.



Desarrollar un caso práctico en minería utilizando Solver y el software Tora.



Analizar los resultados obtenidos por ambas herramientas.

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3. Solver en Excel 2016 3.1. Conceptos generales El Solver es una herramienta de Microsoft Excel que, entre otras funcionalidades, sirve  para resolver problemas de programación lineal utilizando el método Simplex. Solver es una herramienta para resolver y optimizar ecuaciones mediante el uso de métodos numéricos. Antes de utilizar el Solver se debe tener claro cuál es problema que se desea resolver. Es decir, cuál es la función objetivo y cuáles son las restricciones. Luego, se deben ingresar los datos del problema en el modelo del Solver. Cabe aclarar que llamamos “modelo” a la planilla (u hoja de cálculo) de Excel que utilizamos para ingresar los datos del  problema. Por otro lado, se debe recordar que los elementos de un Modelo de Programación Lineal son: los Parámetros y las Variables. Las variables son aquellas sobre las que se pueden tomar decisiones y los parámetros son las constantes del modelo (coeficientes de la función objetivo, coeficientes de las restricciones, lado derecho de las restricciones). Entonces, al resolver el problema se busca hallar los valores de las variables de manera que maximice (o minimice) la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas.

3.2. Activación de Solver El complemento Solver es un programa de Microsoft Office Excel complemento que está disponible cuando instala Microsoft Office o Excel. Sin embargo, para usar el complemento Solver, primero debe cargarlo en Excel. El siguiente procedimiento aplica a: Excel 2016, Excel 2013y Excel 2010. En la pestaña Datos. Si aparece la opción Solver , ya está. Si no aparece, continua con el procedimiento. 

Paso 1: Hacer clic en la pestaña Archivo.



Paso 2: Luego clic en Opciones.



Paso 3: Hacer clic en Complementos.

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Figura 1. Opciones de Excel  –  opción Complementos. 

Paso 4: clic en la pestaña administrar , buscar Complementos de E xcel y clic en la opción ir .



Paso 5: Se abre la ventana Complementos, y clic en la opción Solver .

Figura 2. Complementos de Excel 2106.

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

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Paso 6: La opción Solver , se encuentra en la pestaña Datos.

Figura 3. Ventana principal de Excel 2016 en la pestaña Datos.

 Notas: 

Si el complemento Solver no se enumera en el cuadro Complementos disponibles, haga clic en Examinar para encontrarlo.



Si se le indica que el complemento Solver no está instalado actualmente en su equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

3.3. Funcionamiento y uso de Solver 3.3.1. Funcionamiento 

Busca el valor óptimo para una celda, denominada celda objetivo  en donde se escribe la fórmula de la función objetivo f (x1, x2, ..., xn).



Cambia los valores de un grupo de celdas, denominadas celdas cambiantes , y que estén relacionadas, directa o indirectamente, con la fórmula de la celda objetivo. En estas celdas se encuentran los valores de las variables controlables x1, x2, ..., xn.



Se puede agregar restricciones escribiendo una fórmula gj (x1, x2, ..., xn) en una celda, y especificando que la celda deberá ser mayor o igual, igual, o menor o igual que otra celda. También puede especificar que los valores sean enteros.



Solver ajustará los valores de las celdas cambiantes para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda objetivo.

3.3.2. Uso de Solver 

Seleccione la cinta de opción Solver del menú Herramientas. aparecerá el cuadro de diálogo.

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

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Hay que dar a Solver tres datos: celda objetivo (función objetivo), las celdas cambiantes (las variables de decisión) y las restricciones.

Figura 4. Parámetros de Solver

3.3.3. Función objetivo 

En el cuadro de diálogo Celda objetivo se indica el objetivo que debe alcanzar Solver.



Se puede introducir escribiendo las coordenadas de la celda, escribiendo un nombre que se la haya asignado a la celda o pulsando en la celda con el ratón. Si asigna un nombre a la celda, Solver lo usará para los informes. Si no les pone nombre a las celdas, Solver construirá los informes basándose en los textos de cabecera de las filas y columnas más cercanas. En aras de la claridad, se recomienda darles nombre a todas las celdas importantes del modelo antes de comenzar con Solver.

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

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Sí se desea minimizar, se selecciona Mín. Si el objetivo es maximizar, se selecciona Máx. También hay ocasiones en las que la celda objetivo tiene que igualar un valor particular, en cuyo caso se selecciona Igual a y se introduce la cifra (o referencia de la celda) en el cuadro adyacente.



 No es necesario especificar un objetivo. Si se deja en blanco el cuadro Celda objetivo, se puede obtener una solución que cumpla con las condiciones, pero no sea necesariamente óptima. Para ello, pulsa el botón opciones y selecciona la opción Mostrar resultado de iteraciones.

3.3.4. Variables 

Las variables del problema se ubican en las celdas cambiantes. Estas celdas se encuentran siempre en un rango especifico.



Esta información se puede introducir escribiendo las coordenadas de las celdas, escribiendo su nombre o seleccionándolas en la hoja.



Si las variables no están en celdas adyacentes, se pueden separar las celdas (o rangos) con punto y coma.



Hay que especificar al menos una celda variable. Si no es así, Solver no podrá hacer nada.

3.3.5. Restricciones 

Pulsa el botón Agregar en el cuadro de diálogo Parámetros de Solver y complete el cuadro de diálogo Agregar restricción.



Cada restricción se compone de tres elementos: una referencia de celda (lado izquierdo de la restricción), un operador de comparación y un valor de restricción (lado derecho de la restricción).



Después de introducir una restricción, se puede pulsar el botón Aceptar para volver al cuadro de diálogo Parámetros de Solver o pulsar Agregar para especificar otra restricción.

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3.4. Mensajes Si Solver no puede encontrar la solución óptima de un problema, presenta un mensaje en el cuadro de diálogo Resultados el cual informa del problema. Los mensajes más frecuentes cuando no se puede alcanzar el objetivo son los siguientes: 

Solver no ha encontrado una solución válida.

Solver no ha podido encontrar una

solución que satisfaga todas las restricciones. Puede ocurrir si la región de factibilidad es vacía 

Se ha cumplido el número máximo de iteraciones. ¿Desea continuar de todos modos?

Para evitar que la computadora se meta en un círculo sin fin cuando un

 problema es irresoluble, Solver está diseñado para que se detenga y presente este mensaje cuando ha realizado el número por omisión de iteraciones y no ha llegado a una solución. 

Se ha cumplido el límite máximo de tiempo. ¿Desea continuar de todos modos?

Este mensaje es similar al del límite de iteraciones. Solver está diseñado para detenerse después de un cierto período de tiempo.

3.5. Posibles soluciones de Solver 

Solución Óptima Única: Para el ejemplo Solver señala que ha encontrado una solución y da la posibilidad de seleccionar alguno de los tres informes (Respuestas, Sensibilidad y Límites). A continuación, se selecciona el I nforme Respuestas y la opción Utilizar la solución de Solver , y se hace clic en Aceptar.

Si se mira el modelo, el Solver completó las celdas de las variables de decisión con sus valores en el óptimo y la celda correspondiente a la función objetivo con el valor de la misma también en el óptimo, esto es: x1 = 16; x2= 24; Max (z) =1360000. 

Solución No Acotada: En esta situación el cuadro de Resultados del Solver es el siguiente: El Solver identifica que los valores no convergen (no están acotados), no permitiendo seleccionar ningún informe.



 No Existe Solución Factible: Para este caso se tiene el siguiente cuadro de Resultados del Solver: Solver no ha encontrado solución válida (factible) y tampoco permite seleccionar ningún informe.

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3.6. Ejemplo para explicar funcionamiento de Solver Una mina polimetálica en el centro del Perú produce Pb y Zn. Se desea encontrar la  producción diaria que maximice las ganancias de la mina sabiendo que: 

La planta puede procesar máximo 40 Tn / día, que la demanda máxima de concentrado de Pb es de 20 Tn/día,



La diferencia entre el procesamiento de ambos concentrados no debe ser mayor a 8 puesto que se está minando las vetas de forma paralela.



Cabe resaltar que la producción de Zn es mayor.



El precio de los concentrados de Pb y Zn es de 25000 y 40000 dólares por tonelada respectivamente.

x1= Tn/día producidas de concentrado de Pb. Precio: $5000/Tn x2= Tn/día producidas de concentrado de Zn. Precio: $4000/Tn Función objetivo: Máx. Z= 25000x 1 + 40000x2 (Utilidad diaria) Restricciones: x1+x2≤ 40 x2- x1 ≤ 8 x1 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0

Solución 

Definimos la plantilla en Excel Para el ejercicio, el modelo presentado puede usarse de base para cualquier ejercicio. En este caso, tenemos 2 variables y 3 restricciones; si se tuviera más variables y más restricciones, solamente se agregarían columnas para las variables y filas para las restricciones.

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Figura 5. Plantilla en Excel para solucionar el ejercicio.

Figura 6. Plantilla modelo en Excel para solucionar cualquier. Los signos encerrados con azul son los signos de las restricciones. 

Variables de decisión: Son las variables involucradas en el ejercicio (x1 y x2). En las celdas señaladas de amarillo (C5 y D5) en la siguiente figura, el Solver devolverá el valor de las variables de decisión. Por ello, no es necesario ingresar ningún valor en estas celdas.

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Figura 7. Variables de decisión. 

Función objetivo: La idea es representar la función objetivo en la celda señalada pintada de rojo (C13,). Para ello, se ingresa los coeficientes de la función objetivo (25000 y 40000) en la línea señalada como coeficientes, como se indica en la siguiente figura: Se ingresa la fórmula que representa a la función objetivo en la celda correspondiente a Max (Z). En el ejemplo, la función objetivo es: Máx. Z= 25000x 1 + 40000x 2 y la fórmula que la representa es: (C5 * C12) + (D5* D12)

Figura 8. Función objetivo. 

Restricciones: La idea es la misma que para la función objetivo: representar las restricciones en las celdas marcadas.



Analizando la primera restricción:



Ingresar los coeficientes de la 1° restricción en la línea que corresponde a la misma.



En el ejemplo, R 1 es: x1 + x2 y la fórmula que la representa es: (C7 * D7) + (F7 * G7) la cual será ingresada en la celda de color verde (E7).



Ingresar el signo de la restricción, es decir, (=, <=, >=) y en el lado derecho la restricción. En el ejemplo es <= y 40 en las celdas F7 y G7 respectivamente como se muestra a continuación:

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Figura 9. Restricción 1.

Siguiendo el mismo procedimiento se representa la restricción 2 y 3 en el modelo, quedando de la siguiente manera:

Figura 10. Hoja de cálculo completa. 

Procedimiento de resolución: Seleccionar la opción  Solver   desde la pestaña Datos. Aparecerá el cuadro de diálogo Parámetros de Solver , en la que se ingresarán los datos del modelo; para resolver el problema se deben completar: o

Celda Objetivo (C13): es la celda que representa la función objetivo.

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Figura 11. Elección de la celda objetivo en Parámetros de Solver. o

Máximo o Mínimo: se debe seleccionar según sea el problema. En el ejemplo es Máx.

o

Cambiando las celdas: son las celdas que representan las variables de decisión. En el ejemplo son C5:D5

Figura 12. Elección de las celdas de variables de decisión en Parámetros de Solver. o

Sujetas a las siguientes restricciones: aquí se ingresan las restricciones del  problema. Para ingresar las restricciones: Se hace clic en el botón  Agregar , así, aparece el cuadro de diálogo  Agregar Restricción. En el espacio que dice Referencia  de la celda se ingresa el lado izquierdo de las restricciones (en el

ejemplo es E7: E9). Luego, se ingresa el signo de las restricciones usando la lista desplegable del centro (en el ejemplo <=). Finalmente, en el espacio que dice Restricción se ingresa el lado derecho de las restricciones (en el ejemplo G7:G9);

se hace clic en el botón  Agregar   para agregar de la misma forma las demás restricciones y en el botón Aceptar  para finalizar.

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Figura 13. Agregar celdas de restricciones en Parámetros de Solver. o

El cuadro de diálogo para ingresar los datos Parámetros de Solver con base en el ejemplo queda así:

Figura 14. Parámetros de Solver lleno. Muestra la restricción de No Negatividad para las variables de decisión. o

Como el modelo es lineal, adoptar modelo lineal, y se hace clic en Aceptar .

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Figura 15. Resultados de Solver, marcamos las opciones de informes para su revisión detallada.

Figura 16. Guardar escenario para su revisión posterior en el Administrador de escenarios.

Figura 17. Administrador de escenarios

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Figura 18. Resultados de Solver. El resultado es de 16 Tm de concentrado de Pb y 24 de Zn con un  beneficio máximo de 1 360 000 Dólares.

Figura 19. Informe de respuestas.

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 Notas: 

El ingreso de las restricciones puede realizarse individualmente, o en grupo. En el ejemplo, se ingresaron las restricciones funcionales en un grupo y las restricciones de no negatividad en otro. El ingreso ingr eso dependerá de los grupos que se puedan armar de acuerdo con los signos de las restricciones.



Luego de ingresadas las restricciones pueden modificarlas o eliminarlas con los  botones Cambiar Cambiar o Eliminar, según corresponda.



Con el botón R establecer  establecer  todo borran todos los datos y selecciones realizadas en el cuadro del Solver.

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3.7. Ejercicio de aplicación en minería usando Solver La mina Lagunas Norte se ubica en el distrito de Quiruvilca, provincia de Santiago de Chuco, departamento de La Libertad, a 130 Km. al Este de la ciudad de Trujillo y 42 Km. al Oeste de la ciudad de Huamachuco. La geología de Lagunas Norte está dominada por secuencias secuencias de rocas sedimentarias de la la Formación Chimú y secuencias volcánicas dacíticas y andesíticas del Grupo Calipuy. La mineralización es del tipo epitermal de alta sulfuración. El método de minado superficial emplea el sistema Pala  –   Camión en bancos de 10 metros. El mineral pasa por circuito de chancado primario y secundario antes de ser depositado en el PAD de lixiviación. l ixiviación. En Lagunas Norte, se viene trabajando con stocks para hacer un re r e manejo con bancos de alta ley y aumentar la producción, haciendo uso del blending, para luego continuar con su posterior tratamiento.  Nos piden maximizar la producción de onzas de oro puestas en el PAD de lixiviación mediante Programación Lineal (PL), con una chancadora que tiene por capacidad 1890000 toneladas; la meta propuesta para el mes de noviembre del 2010 fue de 52 941 onzas. ¿Podremos obtener una mayor producción o al menos llegar a la meta? Tenemos la siguiente información: Tabla 1. Mineral limpio (M1) en STOCK

Descripción S-4125-001-01-M1 S-4130-001-04-M1 S-4140-001-01-M1 S-4140-001-02-M1 S-4030-001-01-M1 S-4060-001-01-M1 S-4070-001-01-M1 S-4080-001-01-M1 S-4100-004-01-M1 S-4080-001-02-M1

Tn 18,949 59,144 29,591 335,982 45,198 25,871 234,647 1,410,521 6,273 98,734

Au (gr/t) 1.83 0.33 0.34 0.52 0.48 0.18 0.39 0.35 0.34 0.21

% recuperables recuperables 89% 69% 69% 70% 74% 62% 71% 70% 69% 64%

Fuente: Servicios Técnicos de Minera Barrick, inventario noviembre de 2010.

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Tabla 2. Mineral limpio (M1) en Banco.

Descripción M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1

Banco polígono 4110-01 4170-03 4100-05 4100-08 4100-09 4150-11 4110-13 4040-14 4040-17 4040-21 4150-22 4100-25 4170-29 4100-31 4100-33 4090-34 4090-38

Tn 26,650 36,529 49,679 4,433 7,222 172,978 21,859 83,737 105,858 21,301 61,393 208,743 219,602 221,552 92,681 34,909 42,348

Au (gr/t) 1.16 0.69 0.66 0.68 0.95 1.47 0.8 5.48 1.06 5.6 0.87 0.92 0.59 0.96 0.69 0.73 0.75

%gr Recuperables Recuperables 86% 80% 79% 79% 84% 88% 82% 92% 85% 92% 83% 84% 77% 84% 80% 81% 81%

Fuente: Servicios Técnicos de Minera Barrick, inventario noviembre de 2010.

3.7.1. Solución. En ese sentido, surge la necesidad de utilizar la Programación Lineal (PL) como herramienta que nos ayude a optimizar la mezcla de estas dos fuentes de mineral. Una herramienta eficaz para la solución de la PL es el uso del complemento Solver de Excel, el cual utilizaremos para solucionar el siguiente problema y lograr maximizar las Onzas de oro en el PAD. 

Asignación de Variables

Le asignamos variables “Xn” a las descripciones de los Stocks y bancos para identificar

de qué lugar se obtendrán la cantidad de toneladas necesarias que se va a extraer para optimizar la producción de oz de Au puestas en el PAD. Además de ello, continuando con el procedimiento para la solución con Solver, se procede a poner el valor de cero (0) en el lado izquierdo de cada variable, ya que, en esas celdas, una vez utilizado el SOLVER indicaran la cantidad de toneladas a extraer de ese lugar. En el extremo derecho colocaremos la celda “gr Au”, esta nos indicará la cantidad de gramos (gr) de Au

recuperados. recuperados. La cual está dada por:

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    .. Siendo: 

Ln: Ley del mineral (gr/Tn)



Xn: Tonelaje del mineral.



Rn: Recuperación (%)

En el problema nos pide las onzas de Au recuperadas para ponerlas en el PAD, pero trabajaremos con la cantidad de gr de Au, para después, una vez terminado el proceso, y obtengamos la producción óptima, se procederá a convertir gramos (gr) a onzas (oz). Tabla 3. Mineral en STOCK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

Descripción S-4125-001-01-M1 S-4130-001-04-M1 S-4140-001-01-M1 S-4140-001-02-M1 S-4030-001-01-M1 S-4060-001-01-M1 S-4070-001-01-M1 S-4080-001-01-M1 S-4100-004-01-M1 S-4080-001-02-M1

Tn 18,949 59,144 29,591 335,982 45,198 25,871 234,647 1,410,521 6,273 98,734

Au gr/t 1.83 0.33 0.34 0.52 0.48 0.18 0.39 0.35 0.34 0.21

% gr recuperables 89% 69% 69% 70% 74% 62% 71% 70% 69% 64%

gr Au 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Tabla 4. Mineral en Banco. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Variable X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26

Descripción M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1

Banco -polígono 4110-01 4170-03 4100-05 4100-08 4100-09 4150-11 4110-13 4040-14 4040-17 4040-21 4150-22 4100-25 4170-29 4100-31 4100-33 4090-34

Tn 26,650 36,529 49,679 4,433 7,222 172,978 21,859 83,737 105,858 21,301 61,393 208,743 219,602 221,552 92,681 34,909

Au gr/t 1.16 0.69 0.66 0.68 0.95 1.47 0.8 5.48 1.06 5.6 0.87 0.92 0.59 0.96 0.69 0.73

% gr recuperables 86% 80% 79% 79% 84% 88% 82% 92% 85% 92% 83% 84% 77% 84% 80% 81%

gr Au 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

24

Solver y Tora

0

X27 

Softwares mineros

M1

4090-38

42,348

0.75

81%

0

Este escenario se puede modelar con la PL buscando maximizar la producción de gramos (gr) de Au, definiendo las restricciones propias de la operación:

Tabla 5. Restricciones

Variables (Tn) Chancadora Stock Banco x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27

Solución 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

restricción <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <=

Toneladas límite 1890000 2264910 1411474 18949.02 59144.2 29590.66 335982.35 45197.66 25871.41 234646.94 6273.46 1410521.5 98734.28 26650 36529 49679 4433 7222 172978 21859 83737 105858 21301 61393 208743 219602 221552 92681 34909 42384

Expliquemos en qué consisten estas restricciones: 

La Chancadora: la solución que se obtendría de la chancadora es la suma del total de toneladas que se extraerían de los STOCK seleccionados para mezclar o cabecear (blending) con el mineral de los bancos. Esta cantidad de toneladas debe ser menor a la capacidad de la chancadora, que por dato es 1890000 toneladas.

25

Solver y Tora



Softwares mineros

STOCK: Seria la suma de las toneladas de los lugares seleccionados según favorezca y optimice la solución en SOLVER y tiene que ser menor o igual a la suma de las toneladas disponibles mostradas en la tabla 1. Sumando la cantidad de toneladas disponibles del STOCK, obtenemos que la solución tiene que ser menor o igual a 2264910 toneladas.



Banco: Seria la suma de las toneladas de los lugares seleccionados según favorezca y optimice la solución en SOLVER y tiene que ser menor o igual a la suma de las toneladas disponibles mostradas en la tabla 2. Sumando la cantidad de toneladas disponibles de los bancos, obtenemos que la solución tiene que ser menor o igual a 1411474 toneladas.



Variables Xn: sus soluciones están determinadas con el uso de SOLVER indicando la selección del STOCK o Banco y la cantidad de toneladas necesarias a extraer de dicho lugar. Cada variable tiene que ser menor o igual a la capacidad máxima de toneladas disponibles.

26

Solver y Tora

Softwares mineros

3.7.2. Utilización de Solver. 

 Nos posicionamos en la celda de Maximizar (gr de Au), nos vamos a “Datos” y seleccionamos el complemento SOLVER.

Figura 20. Ubicación del complemento SOLVER. 

Se desplegará un cuadro “Parámetros de SOLVER” el cual llenaremos con los datos necesarios. -  Nos ubicamos en “establecer el objetivo” y seleccionamos la celda de “Max (gr Au)” y marcamos Máx. Tener en cuenta que la función objetico es la siguiente:

27

Solver y Tora

Softwares mineros



Max(gr Au) .. =1

Siendo: 

Ln: Ley del mineral (gr/Tn)



Xn: Tonelaje del mineral.



Rn: Recuperación (%)

Figura 21. Selección de la celda a maximizar.

28

Solver y Tora



Softwares mineros

Procedemos a seleccionar “cambiando las celdas de variables” y seleccionamos las variables que tienen por valor cero (0) ubic adas

en el extremo izquierdo de las tablas, para determinar su valor óptimo de toneladas a extraer de cada STOCK y banco.

Figura 22. Selección de las variables a solucionar.

29

Solver y Tora



Softwares mineros

 Nos vamos a “Agregar” e introducimos todas las restricciones que tenemos.

Figura 23. Selección de las restricciones.

30

Solver y Tora



Softwares mineros

Hacemos clic en “Convertir variables sin restricciones en no negativas”, desplegamos “método de resolución” y seleccionamos el método “Simplex L P”.

Figura 24. Selección del método Simplex L P para la solución.

31

Solver y Tora



Softwares mineros

Seleccionamos “Resolver” y saldrá un cuadro de resultados de SOLVER y le ponemos “Aceptar”

Figura 25. Finalizar con “Aceptar”

32

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 26. Aceptar la solución dada por SOLVER

33

Solver y Tora



Softwares mineros

Finalmente obtenemos los resultados que queremos, con un valor óptimo de 1718719.256 gr de Au, seleccionando las variables x1, x4, x5, y x7 del STOCK y desde el x11 hasta el x27 de los bancos, extrayendo las toneladas necesarias de esos puntos para cumplir con la meta establecida.

Tabla 6.Solución del mineral de stock

18949.02 0 0 335982.35 45197.66 0 78396.97 0 0 0 TOTAL

Variable X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

Descripción S-4125-001-01-M1 S-4130-001-04-M1 S-4140-001-01-M1 S-4140-001-02-M1 S-4030-001-01-M1 S-4060-001-01-M1 S-4070-001-01-M1 S-4080-001-01-M1 S-4100-004-01-M1 S-4080-001-02-M1

Ton 18,949 59,144 29,591 335,982 45,198 25,871 234,647 1,410,521 6,273 98,734 2,264,910

Au gr/t 1.83 0.33 0.34 0.52 0.48 0.18 0.39 0.35 0.34 0.21

% gr recuperables 89% 69% 69% 70% 74% 62% 71% 70% 69% 64%

gr Au 30862.2689 0 0 122297.575 16054.2088 0 21708.121 0 0 0 190922.174

34

Solver y Tora

Softwares mineros

Tabla 7.Solución del mineral de bancos.

26650 36529 49679 4433 7222 172978 21859 83737 105858 21301 61393 208743 219566 221552 92681 34909 42384 TOTAL

Variable X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27

Descripción M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1 M1

Banco polígono 4110-01 4170-03 4100-05 4100-08 4100-09 4150-11 4110-13 4040-14 4040-17 4040-21 4150-22 4100-25 4170-29 4100-31 4100-33 4090-34 4090-38

Toneladas 26,650 36,529 49,679 4,433 7,222 172,978 21,859 83,737 105,858 21,301 61,393 208,743 219,602 221,552 92,681 34,909 42,348 1,411,474

Au gr/t 1.16 0.69 0.66 0.68 0.95 1.47 0.8 5.48 1.06 5.6 0.87 0.92 0.59 0.96 0.69 0.73 0.75

% gr recuperables 86% 80% 79% 79% 84% 88% 82% 92% 85% 92% 83% 84% 77% 84% 80% 81% 81%

Oz Au 26586.04 20164.008 25902.6306 2381.4076 5763.156 223764.341 14339.504 422168.459 95378.058 109742.752 44331.8853 161316.59 99748.8338 178659.533 51159.912 20641.6917 25748.28 1527797.08

35

Solver y Tora

Softwares mineros

Tabla 8.Solución de las restricciones.

Variables (Toneladas) Chancadora Stock Banco x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25 x26 x27

Solución 1,890,000 478526 1411474 18949.02 0 0 335982.35 45197.66 0 78396.97 0 0 0 26650 36529 49679 4433 7222 172978 21859 83737 105858 21301 61393 208743 219566 221552 92681 34909 42384

restricción <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <= <=

Toneladas límite 1890000 2264910 1411474 18949.02 59144.2 29590.66 335982.35 45197.66 25871.41 234646.94 6273.46 1410521.5 98734.28 26650 36529 49679 4433 7222 172978 21859 83737 105858 21301 61393 208743 219602 221552 92681 34909 42384

Resultado: Se obtuvo un valor máximo de 1 718 719.256 gr de Au recuperado para ponerla en el PAD, lo cual equivale a 60 626.04 oz de Au. Teniendo en cuanta que se tenía una meta de 52 941 oz de Au, se demuestra que con el método de PL usando el complemento SOLVER de Excel se obtuvo 7 685.04 oz de Au más.

36

Solver y Tora

Softwares mineros

4. Tora 4.1. Definición Es un software basado en Windows que fue diseñado especialmente para solucionar  problemas de programación lineal de una forma sencilla y obtener soluciones factibles de manera rápida e instantánea. Entre los problemas que se pueden procesar con TORA están: soluciones de sistema de ecuaciones, problemas de programación lineal (soluciones incluyendo método Simplex, dos fases, M grande, Dual), modelo de transporte (dispone  para la solución factible inicial las variantes de esquina noroeste, método Vogel y ruta  preferente), programación entera, modelo de redes (incluye ruta más corta, flujo máximo, de árbol), planeación de proyectos (CPM y PERT), análisis teoría de cola y juego de suma de ceros. Es una herramienta amigable para el usuario de forma tal que sea fácil la interacción del usuario con el software y no haya inconvenientes a la hora de usarlo, pues es lo que se espera. Tora nos provee un conjunto de herramientas que podemos usar para dar solución a los diferentes tipos de problemas ya anteriormente nombrados y por este motivo resulta muy conveniente y didáctico a la hora de que los estudiantes que estén cursando investigación de operaciones vayan a estudiar porque podrán visualizar bien, como es el funcionamiento de cada uno de los algoritmos mediante el mencionado software.

4.2. Ventajas 1. Se puede emplear Tora para demostrar el extraordinario comportamiento del algoritmo de ramificación y acotamiento, aplicándolo a un problema pequeño de programación entera, en el que la solución se encuentra en 9 iteraciones,  pero su optimalidad se comprueba en más de 25.000 iteraciones, sin el  programa y el diseño especial del Tora, sería casi imposible demostrar esta situación de forma efectiva. 2. A manera de estudio es una herramienta muy útil ya que nos permite a nosotros como estudiantes verificar o comprobar los resultados obtenidos en algún ejercicio de programación lineal, al mismo tiempo que nos permite corregir nuestros errores, ya sea en aquellos problemas que debamos dar solución de forma algebraica o de manera gráfica.

37

Solver y Tora

Softwares mineros

3.  Nos provee una manera más sencilla y didáctica de comprender mejor el funcionamiento de los modelos de programación lineal. 4. Es de fácil accesibilidad al usuario ya que se encuentra de manera libre y sin costo alguno.

4.3. Funcionamiento TORA (versión 1.00) Tora está compuesto por un conjunto de herramientas que nos permitirán facilitar lo que es la solución de muchos de los modelos que se pueden presentar. A continuación explicaremos como usar el software tora, los pasos a seguir para resolver problemas de  programación lineal: Ejecutamos el programa y nos saldrá la siguiente pantalla

Figura 27. Pantalla inicial del Software Tora

Una vez ingresado en el programa se procede a darle click ( click here) para dirigirse al menú principal lo cual nos mostrara la siguiente pantalla:

38

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 28. Menú Principal - Tora

Figura 29. Ventana Desplegable  –  Menú Principal

Al elegir cualquiera de las opciones que se muestran en la figura 29, nos encontraremos con el siguiente cuadro de selección del modo de entrada:

39

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 30. Ventana de modos de ingreso de datos

Cuando se van a ingresar los datos tenemos dos opciones:

Primero permite ingresar un nuevo conjunto de datos para un nuevo problema, o lee los datos de un archivo existente que haya sido creado por TORA, mientras que la otra

opción consiste en seleccionar el formato decimal o científico, de igual forma controla el grado deseado de exactitud al capturar los datos. El formato decimal es el predeterminado, se representa por el código NNNNN.DD, mientras que el formato científico se representa como NNNNNeDD. Los valores  predeterminados de N y de D, son 5 y 2, respectivamente. Estos valores se pueden cambiar a cualquier otro valor que sea razonable.

Figura 31. Modo de Ingreso de Datos

40

Solver y Tora

Softwares mineros

Después se debe hacer click en (go to imput screem)  para acceder a la ventana donde se ingresa los datos de la función objetivo y las restricciones, primero se coloca el título del  problema, posteriormente el número de variables y el número de restricciones.

Figura 32. Ventana de ingreso de número de variables y restricciones

Se presiona (ENTER) donde nos encontraremos con lo siguiente:

41

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 33. Ventana de ingreso de la Función Objetivo y las restricciones

Se hace el llenado de la siguiente parte de la ventana que aparece después de colocar las variables y las restricciones, primero se coloca el nombre de las variables (opcional). Después los valores de la función objetivo y finalmente los coeficientes de las restricciones. Suponga que el modelo que va a procesar es el siguiente: Min Z= 4x1 + x2 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3

42

Solver y Tora

Softwares mineros

4x1 + 3x2 >= 6 x1 + 2x2 <= 3

x1, x2 >= 0

Figura 34. Ventana con datos ya ingresados

Una vez llenados todos los datos, se presiona la tecla SOLVE Menú y se siguen las instrucciones para guardar los datos en un archivo, si así se desea. Si va a continuar con la resolución del problema el programa le da la opción de guardar el problema en un documento para utilizarlos posteriormente se coloca sí, pero si no lo va a guardar se coloca no, una vez guardado el archivo se ingresa al menú de solución del  problema.

43

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 35. Ventana emergente para guardar el problema

Luego, aparecerá la siguiente pantalla:

Figura 36. Menú desplegable para seleccionar el método de solución del problema

44

Solver y Tora

Softwares mineros

Donde se tiene dos opciones: el método grafico o el método simplex, al seleccionar cualquiera de estas opciones se mostrará nuevamente la ventana de cantidad de números enteros y decimales que estas utilizando en el problema para continuar se presiona  go to

output screen , pero si no estás seguro de los valores que has introducido en el formulario de datos puedes modificarlos colocando view modify input data, volver al menú  principal o salir del programa.

Figura 37. Ventana para introducir el número de enteros y decimales.

Una vez introducido la cantidad de números enteros y decimales. En caso de seleccionar:

45

Solver y Tora

Softwares mineros

4.3.1. Método Gráfico Una vez introducido los datos aparecerá la siguiente pantalla:

Figura 38. Ventana principal del Método Gráfico

Para obtener la representación de las rectas se tiene que seleccionar las restricciones y la función objetivo para obtener los resultados del problema. Se obtiene finalmente los valores de las variables de decisión y de la medida efectiva de la función objetivo.

Respuesta: Z= 3.60 X1= 0.60 X2= 1.20

46

Solver y Tora

Softwares mineros

Figura 39. Solución del problema  –  Método Gráfico

4.3.2. Método simplex Se puede hacer de dos formas paso a paso o de forma directa. Una vez seleccionada una de las opciones como final solution o  iterations, sale nuevamente el número de enteros y decimales con lo que está trabajando.

Figura 40. Ventana desplegable para elegir las opciones del método simplex

47

Solver y Tora

Softwares mineros

Una vez seleccionada una de la opción final solution, sale nuevamente el número de enteros y decimales con lo que está trabajando. Hacemos click en go to output screen para obtener el resultado.

Figura 41. Ventana que muestra la solución final del problema

Resultados obtenidos: Zz= 3.60 X1= 0.60 X2= 1.20

48

Solver y Tora

Softwares mineros

4.4. Ejercicio de aplicación en minería usando TORA Se resolverá con el software Tora el mismo ejercicio de aplicación desarrollado anteriormente con Solver. Teniendo lo siguiente: Tabla 9. Mineral Limpio (M1) en Stock  –  noviembre de 2010

DESCRIPCIÓN S-4125-001-01-M1 S-4130-001-04-M1 S-4140-001-01-M1 S-4140-001-02-M1 S-4030-001-01-M1 S-4060-001-01-M1 S-4070-001-01-M1 S-4080-001-01-M1 S-4100-004-01-M1 S-4080-001-02-M1 Tabla 10.

Toneladas 18 949 59 144 29 591 335 982 45 198 25 871 234 647 1 410 521 6 273 98 734

Au gr/t 1.83 0.33 0.34 0.52 0.48 0.18 0.39 0.35 0.34 0.21

% gr recuperables 89% 69% 69% 70% 74% 62% 71% 70% 69% 64%

Mineral Limpio en Banco  –  noviembre de 2010

DESCRIPCIÓN

BANCO POLIGONO

Toneladas Au gr/t

% gr recuperables

M1

4110-01

26 650

1.16

86%

M1

4170-03

36 529

0.69

80%

M1

4100-05

49 679

0.66

79%

M1

4100-08

4 433

0.68

79%

M1

4100-09

7 222

0.95

84%

M1

4150-11

172 978

1.47

88%

M1

4110-13

21 859

0.8

82%

M1

4040-14

83 737

5.48

92%

M1

4040-17

105 858

1.06

85%

M1

4040-21

21 301

5.6

92%

M1

4150-22

61 393

0.87

83%

M1

4100-25

208 743

0.92

84%

M1

4170-29

219 602

0.59

77%

M1

4100-31

221 552

0.96

84%

M1

4100-33

92 681

0.69

80%

M1

4090-34

34 909

0.73

81%

M1

4090-38

42 348

0.75

81%

49

Solver y Tora

Softwares mineros

En ese sentido, surge la necesidad de utilizar la Programación Lineal (PL) como herramienta que nos ayude a optimizar la mezcla de estas dos fuentes de mineral. Una herramienta eficaz para la solución de la PL es el uso del Programa TORA, el cual utilizaremos para solucionar el siguiente problema y lograr maximizar las Onzas de oro en el PAD. En el problema nos pide las onzas de Au recuperadas para ponerlas en el PAD, pero trabajaremos con la cantidad de gr de Au, para después, una vez terminado el proceso, y obtengamos la producción óptima, se procederá a convertir gramos (gr) a onzas (oz)

Asignación de Variables Le asignamos variables “Xn” a las descripciones de los STOCKs y bancos para identificar

de qué lugar se obtendrán la cantidad de toneladas necesarias que se va a extraer para optimizar la producción de oz de Au puestas en el PAD. Además de ello, continuando con el procedimiento para la solución con el programa TORA, desarrollaremos las restricciones y la función objetivo, las cuales ingresaremos al  programa, para que nos arroje la producción de Oz de Au máximas. La función objetivo está dada por: Max (Z) =

∑=1 ∗∗

Donde: Ln= Ley de Au (gr/Tn) Xn= Tonelaje de Ley de Mineral Rn= Recuperación Asignamos Variables para las Toneladas, y sacamos la Función Objetivo y las restricciones.

50

Solver y Tora

Tabla 11.

Softwares mineros

Mineral Limpio (M1) en Stock  –  noviembre de 2010

Variable

Descripción

Toneladas

Au gr/t

% gr recuperables

F.O.

X1

S-4125-001-01-M1

18949.00

1.83

0.89

1.63 X1

X2

S-4130-001-04-M1

59144.00

0.33

0.69

0.23 X2

X3

S-4140-001-01-M1

29591.00

0.34

0.69

0.23 X3

X4

S-4140-001-02-M1

335982.00

0.52

0.70

0.36 X4

X5

S-4030-001-01-M1

45198.00

0.48

0.74

0.36 X5

X6

S-4060-001-01-M1

25871.00

0.18

0.62

0.11 X6

X7

S-4070-001-01-M1

234647.00

0.39

0.71

0.28 X7

X8

S-4080-001-01-M1

1410521.00

0.35

0.70

0.25 X8

X9

S-4100-004-01-M1

6273.00

0.34

0.69

0.23 X9

X10

S-4080-001-02-M1

98734.00

0.21

0.64

0.13 X10

2264910.00

TOTAL Tabla 12.

Mineral Limpio en Banco  –  noviembre de 2010

% gr

Función

recuperable

Objetivo

1.16

0.86

1.00 X11

36529.00

0.69

0.80

0.55 X12

4100-05

49679.00

0.66

0.79

0.52 X13

M1

4100-08

4433.00

0.68

0.79

0.54 X14

X15

M1

4100-09

7222.00

0.95

0.84

0.80 X15

X16

M1

4150-11

172978.00

1.47

0.88

1.29 X16

X17

M1

4110-13

21859.00

0.8

0.82

0.66 X17

X18

M1

4040-14

83737.00

5.48

0.92

5.04 X18

X19

M1

4040-17

105858.00

1.06

0.85

0.90 X19

X20

M1

4040-21

21301.00

5.6

0.92

5.15 X20

X21

M1

4150-22

61393.00

0.87

0.83

0.72 X21

X22

M1

4100-25

208743.00

0.92

0.84

0.77 X22

X23

M1

4170-29

219602.00

0.59

0.77

0.45 X23

X24

M1

4100-31

221552.00

0.96

0.84

0.81 X24

X25

M1

4100-33

92681.00

0.69

0.80

0.55 X25

X26

M1

4090-34

34909.00

0.73

0.81

0.59 X26

X27

M1

4090-38

42348.00

0.75

0.81

0.61 X27

Variables

Descr.

X11

M1

X12

Banco

Toneladas

Au gr/t

4110-01

26650.00

M1

4170-03

X13

M1

X14

TOTAL

Polig.

1411474.00

51

Solver y Tora

Softwares mineros

Función Objetivo 1.6287 X1 + 0.2277 X2 + 0.2346 X3 + 0.364 X4 + 0.3552 X5 + 0.1116 X 6 + 0.2769 X7 + 0.245 X8 + 0.2346 X9 + 0.1344 X10 + 0.9976 X11 + 0.552 X12 + 0.5214 X13 + 0.5372 X14 + 0.798 X15 + 1.2936 X16 + 0.656 X17 + 5.0416 X18 + 0.901 X19 + 5.152 X20 + 0.7221 X21 + 0.7728 X22 + 0.4543 X23 + 0.8064 X24 + 0.552 X25 + 0.5913 X26 + 0.6075 X27

Restricciones Chancadora: X1 + X2 + X3 + X4+ X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X19 + X20 + X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 <= 1 890 000

Stock: X1 + X2 + X3 + X4+ X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 <= 2 264 910

Banco: X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 + X19 + X20 + X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 <= 1 411 474 X1 <= 18949.00 X2 <= 59144.00 X3 <= 29591.00 X4 <= 335982.00 X5 <= 45198.00 X6 <= 25871.00 X7 <= 234647.00

52

Solver y Tora

Softwares mineros

X8 <= 1410521.00 X9 <= 6273.00 X10 <= 98734.00 X11 <= 26650.00 X12 <= 36529.00 X13 <= 49679.00 X14 <= 4433.00 X15 <= 7222.00 X16 <= 172978.00 X17 <= 21859.00 X18 <= 83737.00 X19 <= 105858.00 X20 <= 21301.00 X21 <= 61393.00 X22 <= 208743.00 X23 <= 219602.00 X24 <= 221552.00 X25 <= 92681.00 X26 <= 34909.00 X27 <= 42348.00

53

Solver y Tora

Softwares mineros

Ingresamos al Programa TORA

Vamos a seleccionar la Opción de Programación Lineal

Definimos y seleccionamos un nuevo problema, y los decimales lo dejamos por defecto y le damos en ir a la pantalla.

54

Solver y Tora

Softwares mineros

A continuación ingresamos el Titulo de nuestro Problema, el número de variables, el número de restricciones y damos ENTER.

Agregamos la función objetivo (máx.), y las restricciones obtenidas anteriormente

55

Solver y Tora

Softwares mineros

Una vez ingresados la F.O y todas las restricciones, damos clic en SOLVE Menu

56

Solver y Tora

Softwares mineros

Luego le damos clic en Solve Problem, y desarrollar por el método Algebraico y damos en la solución final

Luego le damos ver la pantalla, para que nos muestre la solución.

57

Solver y Tora

Softwares mineros

A continuación la pantalla nos muestra los resultados tanto de las Variables como de la F.O.

58

Solver y Tora

Softwares mineros

A continuación, mostraremos los resultados obtenidos por el programa TORA

F.O (Máx.) X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17 X18 X19 X20 X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27

1718719.2563 18949.02 0 0 335982.35 45197.66 0 78396.97 0 0 0 26650 36529 49679 4433 7222 172978 21859 83737 105858 21301 61393 208743 219602 21552 92681 34909 42384

Se obtuvo un valor máximo de 1718719.2563 gr de Au  recuperado para ponerla en el PAD, lo cual equivale a 60 626.04 oz de Au. Teniendo en cuenta que se tenía una meta de 52 941 oz , se demuestra que con el método de PL usando el programa TORA se obtiene

7 589.18 oz más que la meta establecida.

59

Solver y Tora

Softwares mineros

5. Conclusiones 

El software Tora es una herramienta muy útil para desarrollar problemas de optimización de cualquier área en Minería.



Estudiamos el complemento Solver en Excel 2106, activación, funcionamiento y un modelo sencillo para entender los pasos a seguir.



Desarrollamos un caso práctico en minería aplicando Solver en Lagunas Norte referido blending.



Se demostró la efectividad tanto de la programación lineal como del complemento Solver



La precisión de ambas herramientas: Solver y Tora es similar ya que ambas nos arrojar resultados idénticos.

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