Programación lineal (gams , tora)

Solución analítica y programación (GAMS, TORA) de los ejercicios del libro de: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES SÉPTIMA EDICIÓN HAMDY A. TAHA CAPITULO 2

Jean Manuel Jiménez

Tabla de contenido Comandos básicos de GAMS ............................................................................................................... 3 Conjunto de problemas 2.2 B .............................................................................................................. 4 Ejercicio 2 ........................................................................................................................................ 4 Ejercicio 3 ........................................................................................................................................ 6 Ejercicio4 ......................................................................................................................................... 8 Ejercicio 5 ...................................................................................................................................... 11 Ejercicio 6 ...................................................................................................................................... 13 Conjunto de problemas 2.2 B ............................................................................................................ 15 Ejercicio1: Análisis de sensibilidad ................................................................................................ 15 Ejercicio 3 ...................................................................................................................................... 19 Ejercico4 ........................................................................................................................................ 22 Ejercicio 6 ...................................................................................................................................... 25 Ejercicio 7 ...................................................................................................................................... 27 Conjunto de problemas 2.3 B ............................................................................................................ 30 Ejercicio1 ....................................................................................................................................... 30 Ejercicio 3 ...................................................................................................................................... 32 Conjunto de problemas 2.5 A............................................................................................................ 34 Ejercicio 5 ...................................................................................................................................... 34 Ejercicio 8 ..................................................................................................................................... 40 Ejercicio 9 .................................................................................................................................... 43


Comandos básicos de GAMS GAMS no diferencia entre letras mayúsculas y minúsculas

(*).- se lo aplica siempre que se desee colocar algún comentario dentro de la página de programación

Variables.- nos permite declarar la cantidad y el nombre de las variables, incluyendo la de la función objetivo

Positive variables.- permite declarar cual de la variables toman valores no negativos

Equations.- nos permite declarar el número y el nombre de todas las ecuaciones e inecuaciones que se usaran dentro de la programación, incluyendo la ecuación de la función objetivos

Display.- este comando muestra el valor de las distintas variables que se estén trabajando, su estructura se la realiza de la siguiente manera: variable + (.L): X1.L

(=l=).- menor o igual (=g=).- mayor o igual (=e=).- igual (;).- este símbolo se lo usa siempre que se termine un proceso Model.- Permite dar nombre los modelos y asignares las lista de restricciones Solve.-indica A GAMS el programa que debe resolver (lp).- programación lineal Maximizing.- ordena al software que se desea maximizar la función objetivo Minimizing .- ordena al software que se desea minimizar la función objetivo


Conjunto de problemas 2.2 B Ejercicio 2 Para el modelo de la dieta. Suponga que la disponibilidad diaria del maíz se limita a 450 libras. Identifica el nuevo espacio de solución y determine la nueva solución óptima

Parte analítica Variables:

Función objetivo: Minimizar los costes de reducción Restricciones:

(

) (

[

]


)

Programación (GAMS)

Luego de ejecutar la programación obtenemos la siguiente respuesta

Con esta nueva restricción la cantidad de maíz y soya para preparar el alimento especial es de 450 y 350 respectivamente, teniendo un costo total de $450


Ejercicio 3 Para el modelo de la dieta ¿Qué clase de solución óptima produciría el modelo si la mezcla de alimento no debe exceder de 800 libras por día? ¿Tiene sentido esa solución?


Función objetivo: Minimizar los costes de reducción Restricciones:

(

) (

[

]


)



Como podemos observar esta no es una solución factible ya que el óptimo sería no hacer nada


Ejercicio4 Juan debe trabajar cuando menos 20 horas a la semana para complementar sus ingresos, y al mismo tiempo asistir a la escuela. Tiene la oportunidad de trabajar en 2 tiendas al menudeo: en la tienda 1 puede trabajar entre 5 y 12 horas por semana, y en la tienda 2 le permiten trabajar entre 6 y 10 horas. Ambas tiendas le pagan el mismo sueldo por hora. En consecuencia, juan quiere basar su decisión acerca de cuantas horas trabaja en cada tienda en un criterio distinto: el factor de tensión en el trabajo. Con base a envista con otros empleados, juan est5ima que en una escala del 1 al 10 los factores de tención son 8 y 6 en las tiendas 1 y 2, respectivamente. Como la tensión aumenta en cada hora, supone que la tención total al final de la semana es proporcional a la cantidad de horas que trabaja en las tienda ¿Cuántas horas debería trabajar cuan en cada tienda?


Función objetivo: Minimizar la tensión por el trabajo Restricciones:

[

]

El problema estima que la tensión que recibe es proporcional a las horas de trabajo


Programación (TORA)




Esta respuesta nos quiere decir que Juan debe trabajar 10 horas en la tienda 1 y 10 horas en la tienda 2 para poder cumplir con sus ingresos, restricciones y minimizar la tensión por el trabajo


Ejercicio 5 Oíl Co construye una refinería para elaborar cuatro productos: Diésel, Gasolina, Lubricantes y Combustible para aviones. Las demandas (barriales por día) de esos productos son 14000, 30000, 10000, 8000 respectivamente. Irán y Dubái tiene contrato para enviar crudo a Oíl Co. Debido a las cuotas de producción que especifica la OPEP la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de irán , y el resto de Dubái . La empresa pronostica que estas cuotas de demanda y de crudo permanecerán estables durante los 10 años siguientes. Las distintas especificaciones de los 2 crudos de irán rinde 0.23 barril de diésel ,0.25 barril de gasolina, 0.1 barril de lubricante y 0.15 barril de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubái son 0.1, 0.65, 0.15, 0.1 respectivamente Oíl Co necesita determinar la capacidad mínima de la refinería, en barriles de crudo por día.


Función objetivo: Minimizar la cantidad de barriles de crudo que entran a la refinería Restricciones:

( [

) ]




Esta solución nos dice que la cantidad optima de barriles que debemos obtener de Dubái es 30000 barriles y de Irán 55 barriles para poder satisfacer la demanda


Ejercicio 6 Ahorros S.A desea invertir una suma que genere un rendimiento anual mínimo de $10000. Dispone de 2 grupos de acciones selectas y alta tecnología, con un rendimiento anual promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnologías dan más rendimiento, son más arriesgadas, y ahorros desea limitar la cantidad invertida en ellas a un máximo de 60% del total ¿Cuál es la cantidad mínima que debe invertir ahorros en cada grupo de acciones para alcanzar la meta de inversión?


Función objetivo: Minimizar la cantidad de dinero invertida Restricciones:

[

]




La solución nos dice que se debe invertir en acciones una cantidad de $21052.632 y en las tecnologías $31578.947, para poder obtener un rendimiento anula mínimo de $10000


Conjunto de problemas 2.2 B Ejercicio1: Análisis de sensibilidad Determine el intervalo de optimizad

para los problemas siguientes. Tenga en

cuenta los casos especiales donde c1 o c2 pueda asumir un valor cero

a) Maximizar Sujeta a:


Solución


Proceso Restricciones


b) Maximizar Sujeta a:

Programación (Tora)

Solución


El análisis de sensibilidad nos dice que:


Ejercicio 3 La tienda B&K vende 2 clases de gaseosas: la cola 1 y la cola B&K, menos costosa. El margen de utilidad de A1 es 5 centavos por lata y la B&K es de 7 centavos por lata. En promedio la tienda, la tienda no vende más de 500 latas diarias, aunque A1 es una marca reconocida, los clientes tienden a comprar más B&K porque es bastante menos costosa, se estima que se vende cuando menos 100 latas de A1 diarios, y que B&K se vende más que A1 por un margen mínimo de 2:1 a) ¿cuantas latas diarias de cada marca debe tener en existencia la tienda para maximizar la utilidad? b) Determine la relación de las utilidades por lata de ambas colas que mantengan sin cambiar la solución optima


Función objetivo: Maximizar la rentabilidad Restricciones:

[

]




Estos nos quiere decir que se debe tener diariamente un aproximado de 100 colas A1 y 400 colas B&K para poder cumplir con la demanda y maximizar las ganancias teniendo una ganancia diaria de aproximadamente $33 Programación (TORA)


La utilidad de la cola A1 es de 0.05 y puede llegar a cambiarse hasta 0.07 para q2ue se mantenga la solución óptima, de igual manera el costo de la cola B&K puede bajar hasta 0.05


Ejercico4 Muebles Babas emplean 4 carpinteros durante 10 días para armar mesas y sillas. Se necesita 2 horas hombres para armar una mesa, y 0.5 horas hombres para armar una silla, los clientes suelen comprar una mesa y de 4 a 6 sillas. La utilidad es de $135 por mesa y $50 por silla. La empresa trabaja un turno diario de 8 horas a) Determine la proporción optima de producción de mesas y sillas en 10 días b) Determine el intervalo de la relación de utilidades optimas que mantengan sin cambiar al óptimo de a


Función objetivo: Maximizar la rentabilidad Restricciones: (

[

]


)



Estas tablas nos dice que la solución óptima para obtener la mayor rentabilidad es crear 64 mesas y 384 sillas, con ello obtenemos una rentabilidad de $27840 Y de acuerdo con el intervalo de cambio para no altera la solución óptima es

Sabiendo que c1 y c2 son los costos de las mesa y sillas que se ha determinado en la función objetivos



Ejercicio 6 Electra produce 2 clases de motores eléctricos, cada uno en una línea de producción aparte las capacidades diarias de las 2 líneas don de 600 y de 750 motores. El motor tipo 1 usa 10 unidades de cierto componente electrónico, y el motor tipo 2 usa 8 unidades. El proveedor de ese componente puede suministrar 8000 piezas por día. Las utilidades son $60 por cada motor tipo 1 y 40 por cada motor tipo 2 a) determine la mezcla óptima de producción diaria. b) determine el intervalo de optimizad para la relación de utilidades unitarias que mantengan inalterada la solución en el punto a)



[

] Programación (TORA)


La solución óptima para aumentar la rentabilidad es elaborar 600 motores tipo 1 y 250 motores tipo 2, en el análisis de sensibilidad el costo del motor tipo 1 puede bajar a $50 mientras que el motor tipo 2 puede subir hasta $48



Ejercicio 7 Se contrata a enlatadora Popeye para que reciba 60000 libras de tomate maduros a 7 centavos por libras , con los cuales produce jugos de tomate y pasta de tomate , ambos enlatados , se empacan en cajas de 24 latas , en una lata de jugos se usa una libra de tomate frescos y nunca de pasta solo 1/3 de libras . La demanda de los productos en el mercado se limita a 2000 cajas de jugos y 6000 cajas de pasta, los precios al mayoreo por cajas y de pasta son $18 y $9 respectivamente a) Deduzca un programa óptimo de producción de Popeye b) Determine la relación de precio de jugos entre pasta que permita a Popeye producir más cajas de jugos que de pasta



[

]




La solución que nos da la programación es que se deberá producir 500 cajas de jugo de tomate y 6000 cajas de pasta de tomate, la cual nos da una rentabilidad de $63000


Según el análisis de sensibilidad el costo de la caja de jugo de tomate puede llegar hasta un máximo de $27 mientras que la pasta de tomate puede llegar hasta un mínimo de $6


Conjunto de problemas 2.3 B Ejercicio1 Salvaje Oeste produce 2 clases de sombreros. Y sombrero de clase 1 requiere el doble de mano de obra que uno de clase 2. Si toda la mano de obra se dedicara solo a la clase 2, la empresa podría producir diariamente 400 de esos sombreros los límites de mercado son 150 y 200 sombreros respectivamente, la utilidad es de 8 para los de tipoi 1 y 5 ara los de tipo 2 a) Aplique la solución grafica para determinar la cantidad de sombreros diarios de cada clase con la que se maximice la utilidad b) Determine el valor de aumentar la capacidad de producción en la empresa en un sombrero de la clase 2 y el intervalo dentro del cual se aplica este resultado


Función objetivo: Maximizar la utilidad Restricciones:

[

]



La solución óptima es fabricar 100 sombreros tipo 1 y 200 sombreros tipo 2 obteniendo una rentabilidad de $1800, el valor de sensibilidad para el sombrero tipo 1 es de un máximo de $10 y para el sombrero tipo 2 un mínimo de $4


Ejercicio 3 En los 2 productos se requieren tres procesos consecutivos, el tiempo disponible para cada poseso es de 10 horas diarias, la tabla siguiente resume los datos del problema: Minutos por unidad Proceso 1 Proceso 2 Proceso 3 10 6 8 5 20 10

producto 1 2

Utilidad unitaria $2 $3

a) Determine la combinación optima de fabricación de los productos



[

]



Se debe producir 52 productos tipo 1 y 14 productos tipo 2 teniendo como rentabilidad $146


Conjunto de problemas 2.5 A Ejercicio 5

Cruda X1: GASOLINA R. Mezcladora

SHALE OIL

X2: GASOLINA P.

Destilación

X3: GASOLINA R. Pesada


Desintegración

X4: GASOLINA P.



[

]



Se deben procesar 70000 barriles de gasolina regular y 10000 barriles de gasolina Premium todos ellas procedentes de la gasolina cruda, por otro lado 40000 barriles de gasolina Premium procedente de la desintegración, teniendo una rentabilidad de $1070000


Ejercicio 6

4000 Toneladas semanales de guarapo

1:01 melaza


Azúcar morena

Glass 1:0.95

1:0.3

Azúcar blanca 1:0.8



[

]




La solución óptima para aumentar los ingresos es procesar 25 toneladas de azúcar morena 25 toneladas de azúcar blanca 869.25 toneladas de azúcar Glass y 400 toneladas de melaza teniendo una ganancia de $222677.50


Ejercicio 8

Meses Demanda Precio unitario

1 100 $50

2 250 $45

3 190 $55

4 140 $48

5 220 $52

6 110 $50

Parte analítica Variables: [ [

] ]

Función objetivo: Minimizar los costes de producción ( Restricciones:

[

]


[

]

)



SOLUCION


Esta solución nos quiere decir que en el mes 1 debemos abastecernos de la demanda exacta es de 100 unidades de ventanas, para el mes 2 por ser el que presenta el menor costo debemos adquirir 440 unidades para abastecer los meses 2 y 3 y llevando a bodega una cantidad de 190 unidades de ventanas y de ahí en adelante cumplir con las demanda establecidas por el problema, teniendo un costo total de $29980 Literal b) En el primer mes se cuenta con un inventario de 25 ventanas, por lo tanto la demanda disminuirá a 75:

Literal d)


Ejercicio 9

Parte analítica Variables: [

] [



]


Solución

Esto nos quiere decir que en el proyecto 1 es el menos factible y que no debemos realizar inversión en tal lo mismo sucede con el proyecto 4 , mientras que el proyecto 2 se debe realizar una inversión total de 100000 y el en el 2 una de 60000 para obtener una utilidad del 536287


Programación lineal (gams , tora)

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