Soluciones a los ejercicios del
Capítulo Capítulo 2. Espacios Espacios Métricos Métricos, del libro
Análisis Matemático de Mónica Clapp por MGG
May 19, 2017
Tabla de Ejercicios 2.32 . . . . . . . . . .
1
2.41 . . . . . . . . . .
5
2.50 . . . . . . . . . . 12
2.33 . . . . . . . . . .
1
2.42 . . . . . . . . . .
6
2.51 . . . . . . . . . . 13
2.34 . . . . . . . . . .
2
2.43 . . . . . . . . . .
7
2.35 . . . . . . . . . .
3
2.44 . . . . . . . . . .
8
2.52 . . . . . . . . . . 13 2.53 . . . . . . . . . . 14
2.36 . . . . . . . . . .
3
2.45 . . . . . . . . . .
9 2.54 . . . . . . . . . . 14
2.37 . . . . . . . . . .
3
2.46 . . . . . . . . . . 11
2.38 . . . . . . . . . .
4
2.47 . . . . . . . . . . 11
2.39 . . . . . . . . . .
5
2.48 . . . . . . . . . . 11
2.56 . . . . . . . . . . 15
2.40 . . . . . . . . . .
5
2.49 . . . . . . . . . . 12
2.57 . . . . . . . . . . 17
2.55 . . . . . . . . . . 14
Nota: Usamo la primera edición impresa, año 2015. Los resultados que usamos aquí y están probados en el libro se distinguirán con el símbolo *.
2.6. Espacios Espacios Métricos Métricos Ejercicio 2.32. Por
la desigualdad del triángulo (dos veces),
dpw, xq ď d pw, z q ` dpz, xq ď pdpw, yq ` dpy, z qq ` dpx, z q,
se sigue dpw, xq ´ dpy, z q ď d pw, yq ` dpx, z q.
Igualmente, dpy, z q ´ dpw, xq ď d pw, yq ` dpx, z q.
Se sigue en efecto,
|dpw, xq ´ dpy, z q| ď d pw, y q ` dpx, z q.
(a) La (a) La distancia usual dpx, yq “ | x ´ y |, x, y P de la propiedades de valor absoluto: Ejercicio 2.33.
(M1) Para Para todo x, y P
R,
es una métrica en
R:
Se sigue
R,
dpx, yq “ |x ´ y | “ 0 ô x ´ y “ 0 ô x “ y. y .
(M2) Para Para todo x, y P
R,
dpx, yq “ | x ´ y | “ | ´ py ´ xq| “ | ´ 1||y ´ x| “ |y ´ x| “ d py, xq. x, y,z P (M3) Para Para todo x,
R,
dpx, z q “ | x ´ z | “ |px ´ y q ` py ´ z q| ď |x ´ y | ` |y ´ z | “ d px, yq ` d py, z q.
(b) La (b) La distancia usual en
n
R
es una métrica:
(M1) Para Para todo x “ px1 ,...,xn q, y “ py1 ,...,yn q P Rn , d px, y q “
a
px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 “ 0 ô px1 ´ y1q2 “ ¨¨ ¨ “ pxn ´ yn q2 “ 0 ô x 1 “ y 1 ,...,xn “ y n y . ô x “ y.
(M2) Para Para todo x “ px1 ,...,xn q, y “ py1 ,...,yn q P Rn , d px, yq “
“ “
a a a
px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2
p´1q2 py1 ´ x1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` p ´1q2 pyn ´ xn q2 py1 ´ x1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ xn q2
“ d py, xq. 1
(M3) Recordemo Recordemos: s: Cauchy-Schwarz) warz). Sean a1 ,...,an y b1 ,...,bn números reales, reales, Teorema eorema 1 (Desigualdad de Cauchy-Sch entonces
2
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
n
n
2
ď
ai bi
bi2
ai
i“1
i“1
.
i“1
Demostración. Consideramos la función cuadrática n
f pxq “
ÿ
˜ÿ ¸ n
2
pai x ´ biq “
i“1
2
ai
n
2
x ´2
i“1
Como f pxq ě 0 para todo x P
R,
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
ai bi
bi2
x`
i“1
se sigue que el discriminante de f es no positivo, esto es, 2
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
ai bi
i“1
n
n
2
´
bi2
ai
i“1
ď 0 .
i“1
De manera que si x “ px1,...,xn q, y “ py1 ,...,yn q y z “ pz1 ,...,zn q están en
´
2
¯ ´a
d px, yq ` d py, z q
“
.
i“1
2
2
px1 ´ y1 q ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q `
“ p x1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2
a
n
R
, 2
a
2
2
py1 ´ z1q ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q
` 2 px1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2
¯
a
py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2
` py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2
ě p x1 ´ y1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 ` 2 px1 ´ y1 q2 py1 ´ z1q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q2 pyn ´ zn q2
`
` ´ ¯
` py1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pyn ´ zn q2
“ px1 ´ y1 q ` py1 ´ z1 q
2
˘
`
˘
` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ yn q ` pyn ´ zn q
“ p x1 ´ z1 q2 ` ¨ ¨ ¨ ` pxn ´ zn q2
˘
2
2
“ d px, zq De donde
.
d px, zq ď d px, yq ` d py, z q.
Ejercicio 2.34. Para
x “ px1 ,...,xn q P Rn , sea } x}8 “ max t|x1 |, ..., ..., |xn |u.
(N1) Para Para todo x “ px1 ,...,xn q P Rn , ..., 0q. }x}8 “ 0 ô |x1 | “ ¨ ¨ ¨ “ |xn | “ 0 ô x 1 “ ¨¨ ¨ “ x n “ 0 ô x “ p0, ...,
2
(N2) Para Para todo x “ px1 ,...,xn q P Rn y λ P
..., λxn q, R, λx “ pλx1 , ...,
de donde,
..., |λxn |u “ max t|λ||x1 |,..., |λ||xn |u “ |λ| maxt|x1|, ..., ..., |xn |u “ |λ|}x}8 . }λx}8 “ max t|λx1 |, ...,
(N3) Para Para todo x “ px1 ,...,xn q y y “ py1 ,....,yn q en
Rn ,
..., |xn ` yn | ď | xn | ` |yn |, |x1 ` y1 | ď |x1 | ` |y1 |, ...,
de donde,
|x1 ` y1 | ď }x}8 ` }y }8 ,..., |xn ` yn | ď } x}8 ` }y}8 , en consecuencia,
}x ` y}8 “ max t|x1 ` y1 |, ¨ ¨ ¨ , |xn ` yn |u ď }x}8 ` }y}8 .
Ejercicio
..., 0q “ 2.35. La función µpxq “ min t|x1 |,..., |xn |u no es norma en Rn . En efecto, µp1, 0, ...,
..., 0q no es el vector nulo. 0, pero p 1, 0, ...,
omamos mos x “ px1 ,...xn q P 0 ă k ă n y |a| ą 0. Toma
n
tal que xi “ a exactamente para k coordenadas, y x i “ 0 exactamente para n ´ k coordenadas. Sea y “ py1 ,...,yn q tal que yi “ a ´ xi, para todo 1 ď i ď n . Entonces, Ejercicio 2.36. Sean
˜ÿ n
|xi ` yi |
1 2
i“1
¸
2
2
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
2
2
2
“ n |a| ą k |a| ` pn ´ kq |a| “
R
|xi |
1 2
n
`
i“1
|yi |
1 2
2
.
i“1
Observación 1. Si k ą 0 , entonces n ` k ą n ´ k, y dado que k ă n ,
n2 ´ k 2 “ p n ` k qpn ´ kq ą p n ´ k qpn ´ kq “ p n ´ k q2 ,
de donde n2 ą k 2 ` pn ´ kq2 .
(M1) Ejercicio 2.37. (M1)
Para Para todo v, w P V , dpv, wq “ 0 ô }v ´ w} “ 0 ô v ´ w “ 0 ô v “ w. w .
(M2) Para Para todo v, w P V , dpv, wq “ } v ´ w} “ } ´ p´v ` wq} “ | ´ 1|}w ´ v} “ }w ´ v} “ d pw, vq. u, v, w P V , (M3) Para Para todo u, dpu, wq “ } u ´ w} “ }pu ´ v q ` pv ´ wq} ď }u ´ v } ` }v ´ w} “ d pu, vq ` dpv, wq.
3
Ejercicio 2.38. Para
p “ 1 . Para todo x “ px1 , x2q P R2 ,
˜1 p0, 1q ô }x}1 ď 1 ô |x1| ` |x2 | ď 1 ô |x2 | ď 1 ´ |x1 | ô |x1 | ´ 1 ď x 2 ď 1 ´ |x1 |. x P B
Ahora, para todo x1 P
R,
|x1 | ´ 1 ď 1 ´ |x1 | ô 2|x1 | ď 2 ô |x1 | ď 1 ô ´1 ď x 1 ď 1 . Por tanto, ˜1p0, 1q “ tpx1 , x2 q P B
2
R
Para p “ 2 . Para todo x “ px1 , x2 q P
: ´ 1 ď x 1 ď 1 y | x1 | ´ 1 ď x 2 ď 1 ´ |x1 |u.
R2 ,
˜2 p0, 1q ô } x}2 ď 1 ô x 2 `x2 ď 1 ô x 2 ď 1 ´x2 ô ´1 ď x 1 ď 1 y ´ x P B 1 2 2 1
Así que
B2 p0, 1q “ px1 , x2 q P
2
R
: ´ 1 ď x 1 ď 1 y ´
b
b b b (
1 ´ x21 ď x 2 ď
1 ´ x21 ď x 2 ď
1 ´ x21 .
1 ´ x21 .
Para p “ 8. Para todo x “ px1 , x2 q P R2, ˜2 p0, 1q ô } x}8 ď 1 ô max t|x1|, |x2 |u ď 1 ô |x1 | ď 1 y | x2 | ď 1 ô ´1 ď x 1 ď 1 y ´ 1 ď x 2 ď 1 . x P B
De donde ˜2 p0, 1q “ r´ 1, 1s ˆ r ´1, 1s. B
4
Ejercicio 2.39. Para
todo x P
R2 ,
x P B disc p0, 1q ô d disc px, 0q ď 1 ô d disc px, 0q “ 0 ó ddisc px, 0q “ 1 ô x “
0 ó
x ‰ 0 ô x P
R
2
.
Por tanto B disc p0, 1q “ R2 . Para todo x P R2 , x P B disc p0, 1q ô d disc px, 0q ă 1 ô d disc px, 0q “ 0 ô x “ 0.
Por tanto Bdisc p0, 1q “ t 0u.
Ejercicio 2.40.
Sea ν : V ˆ V Ñ R` tal que para todo u, w P V , ν pv, wq “
$& %
0
si v “ w ,
1
si v ‰ w.
Dado que V ‰ t 0u, existe v P V tal que v ‰ 0 . Supongamos que v “ ´v. Entonces en particular, 2v “ v ` v “ 0 ,
de donde v “ 0 . Contradicción. Así que v ‰ ´v . Luego, ν pv, ´v q “ 1 .
Por otro lado, ν pv, 0q “ 1 .
Supongamos que } ¨ } es una norma sobre V tal tal que para todo v, w P V , ν pv, wq “ } v ´ w}.
En particular 2 “ 2 ν pv, 0q “ 2 }v } “ }2v} “ }v ` v } “ }v ´ p´vq} “ ν pv, ´vq “ 1 .
Absurdo.
Ejercicio 2.41. Para
1 ď p ă 8.
(N1) Para Para todo x “ pxk q P p , 8
}pxk q} p “
˜ÿ ¸ |xk | p
1{ p
“ 0 ô |xk | “ 0 , @k ě 1 ô x “ 0.
k“1
5
(N2) (N2) Si x “ pxk q P p y λ P
R,
entonces 1{ p
8
}pλxk q} p “
8
˜ÿ ¸ ˜ ÿ ¸ |λxk | p
|λ| p
“
k“1
1{ p
|xk | p
1{ p
8
“ | λ|
k“1
˜ÿ ¸ |xk | p
“ | λ|}pxk q} p .
k “1
Para p “ 8. (N1) Para Para todo x “ pxk q P p ,
}pxk q}8 “ 0 ô sup |xk | “ 0 ô |xk | “ 0 , @k ě 1 ô x “ 0. kě1
(N2) (N2) Si x “ pxk q P 8 ,
}pλxk q}8 “ sup |λxk | “ sup |λ||xk | “ | λ| sup |xk | “ | λ|}pxk q}8 k ě1
kě1
kě1
Observación 2. En el inciso (N2) anterior hemos usado el siguiente resultado. Lema 1. Si A es un subconjunto de R y c ě 0 es constante, entonces
suppcAq “ c sup A,
donde cA “ tca : a P A u. Demostración. Para todo a P A, ca ď c sup A. Por lo lo que que suppcAq ď c sup A. La igua iguald ldad ad es inmediata si c “ 0 . Supongamos Supongamos c ą 0 . Si suppcAq ă c sup A, entonces para algún a P A , suppcAq ă ca ; en particular ca ă ca , de donde, a ă a , lo cual es absurdo.
Ejercicio 2.42.
(a) Sean (a) Sean 1 ď s ă r “ 8 y x “ px1 ,...,xn q P Rn . Entonces, para algún 1 ď i 0 ď n ,
ˆ
n
s
˙
max |xk |
1ďkďn
s
s
“ max |xk | “ | xi | ď 0
1ďkďn
|xk |s .
k“1
De donde
˜ÿ ¸ n
}x}8 “ max |xk | ď 1ďkďn
ÿ
|xk |s
1
s
“ } x}s .
k “1
Sean ahora 1 ď s ă r ă 8 y sea x “ px1 ,...,xn q P R n tal que } x}s “ 1 . En particular, | xk | ď 1 para todo 1 ď k ď n . Por tanto,
|xk |r ď | xk |s , Y así
n
}x}rr “
ÿ
k“1
@k “ 1 ,...,n. n
r
|xk | ď
ÿ
k“1
6
|xk |s “ } x}ss “ 1 .
Esto es,
}x}r ď 1 . Ahora, sea x “ px1 ,...,xn q P por lo hecho arriba,
n
y x ‰ 0. Hacemos y “ x {}x}s. Entonces }y}s “ 1 y en consecuencia,
R
}x}r “ } y}r ď 1 , }x}s
esto es,
}x}r ď }x}s . Y desde luego, si x “ 0, } x}r “ 0 “ }x}s . (b) Sea (b) Sea 1 ď s ă r ă 8 y sea x “ px1,...,xn q P Rn . Hacemos p “
Por la desigualdad de Hölder en
n
R
r s
1
q “ “
y
1 ´ p1
}x}ss “
n
ÿ
k “1
|xk |s “
k “1
.
1
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
|xk |s ¨ 1 “
r ´ s
(Proposición* 2.12, p. 14), 1
n
ÿ
r
“
n
p
|xk |sp
1q
k “1
n
q
|xk |r
“
k “1
s r
n
r ´s r
“ } x}rs n
r ´s r
.
k“1
De donde,
}x}s ď n
r ´s rs
}x}r .
Y desde luego, esta misma desigualdad es inmediata si r “ s . (c) Sea (c) Sea 1 ď s ă 8 y x “ px1 ,...,xn q P Rn . Entonces n
}x}ss “
ÿ
n s
|xk | ď
k“1
ÿ
s }x}8 “ n }x}8 .s
k“1
De donde 1
}x}s ď n s }x}s
p, q P P p1, 8q tales que p1 `
1
“ 1 . Si x “ pxk q P p y y “ pyk q P q . Por la desigualdad de Hölder para sucesiones finitas (Proposición* 2.12, p. 14), para todo Ejercicio 2.43. Sean
q
1
n
ÿ
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
|xk yk | ď
k“1
|xk | p
k “1
8
1
8
|xk yk | ď
k“1
Consecuentemente, p xk yk q P 1 .
|yk |q
1
q
.
k “1
Si n Ñ 8,
ÿ
n
p
8
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ p
|xk | p
k “1
|yk |q
1
q
ă 8.
k “1
7
Ejercicio 2.44.
(a) Sea 1 ď s ă r ă 8. Por el Ejercic Ejercicio io 2.42 2.42 (p. 6), si pxk q P s, entonces para
todo n ě 1 ,
1
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ n
n
r
|xk |
r
s
s
ď
|xk |
k “1
si n Ñ 8,
1
,
k “1
}pxk q}r ď }pxk q}s . Consecuentemente s Ă r . Ahora, sea x k “ k ´ s , para todo k ě 1 . Entonces 1
8
8
1 “ 8. k
ÿ ÿ xks “
k “1
No obstante, dado que
r s
k “1
ą 1 , 8
8
1
ÿ ÿ xkr
“
k “1
npr{sq k “1
ă 8.
Así que p xk q P r . Nuevamente, por el Ejercicio 2.42 (p. 2.42 (p. 6), 6 ), si 1 ď s ă 8,
˜ÿ ¸ n
max |xk | ď
1ďkďn
1
s
s
|xk |
.
k“1
Si n Ñ 8,
}pxk q}8 ď }pxs q}s . Consecuentemente s Ă 8 . Nuevamente, Nuevamente, hacemos xk “ k ´ s , para todo k ě 1 . Ya vimos que p xk q R s . No obstante, 1
}pxk q}8 “ sup
k ě1
1
kp1{sq
ď 1 .
Así que p xk q P 8 . (b) Si (b) Si p xk q P p , para alguna 1 ď p ă 8, entonces para todas r ą s ą p ,
pxk q P s
}pxk q}r ď }pxk q}s ď }pxk q} p ă 8.
y
De modo que lim }pxk q}r existe y por (a) por (a),, rÑ8
}pxk q}8 ď lim }pxk q}r . rÑ8
En particular }p xk q}8 ă 8. Por otro lado, sea ε ą 0 y sea n ě 1 tal que 8
˜ÿ ¸
1
p
|xk | p
ă
k“n`1
8
ε
}pxk q}8 ` 1
.
Y sea r ą p tal que
ε
1
nr ă
p}pxk q}8 ` 1q
` 1.
Por la desigualdad del triángulo, la parte (a) y (a) y el Ejercicio 2.42 Ejercicio 2.42 (p. (p. 6), 6 ), 1
8
1
8
˜ÿ ¸ ˜ÿ ¸ ˜ ÿ ¸ ˜ÿ ¸ ˜ ÿ ¸ ˆ ˙ n
r
|xk |r
r
|xk |r
ď
k“1
|xk |r
`
k“1
k“n`1
1
n
8
r
|xk |r
ď
1
p
|xk | p
`
k“1
ď
1
r
k“n`1
ε
}pxk q}8 ` 1
` 1 }pxk q}8 `
ε
}pxk q}8 ` 1
“ }p xk q}8 ` ε.
Se sigue lim }pxk q}r ď }pxk q}8 .
rÑ8
Ejercicio 2.45.
(a) Para probar la desigualdad del triángulo, vamos a probar algunos hechos
sobre números. Lema 2. Sean a, b y c números reales no negativos tales que
c ď a ` b.
Entonces
1 1`a
`
1 1`b
´
1 1`c
ď 1 .
(1)
Demostración. Tenemos,
p1 ` aqp1 ` bqp1 ` cq “ 1 ` a ` b ` c ` ab ` ac ` bc ` abc ě 1 ` 2c ` ac ` bc ` ab ` abc ě 1 ` 2c ` ac ` bc ´ ab Pero 1 ` 2c ` ac ` bc ´ ab “ p1 ` b ` c ` bcq ` p1 ` a ` c ` acq ´ p1 ` a ` b ` abq
“ p 1 ` bqp1 ` cq ` p1 ` aqp1 ` cq ´ p1 ` aqp1 ` bq. De aquí se sigue de inmediato la desigualdad (1 (1). Corolario 1. Sean a, b y c números reales no negativos tales que
c ď a ` b.
Entonces
c 1`c
ď
a 1`a
9
`
b 1`b
.
(2)
Demostración. De (1) se sigue directamente, 1´
1 1`c
Esto es,
ď 1 ´
c
ď
1`c
Ahora, si x, y, z P
R,
1 1`a
a 1`a
1
` 1 ´
`
b 1`b
1`b
.
.
entonces
|x ´ z | ď | x ´ y| ` |y ´ z |. De donde, por la desigualdad (2 (2),
|x ´ z | |x ´ y| |y ´ z | . ď ` 1 ` |x ´ z | 1 ` |x ´ y | 1 ` |y ´ z | De esto es trivial probar la desigualdad triangular. Las otras propiedades de métrica son fáciles de deducir. (b) rñs Supongamos que lim dpxk , xq “ 0 . kÑ8
Sea i P
N.
Si elegimos 0 ă ε ă 1 , entonces para algún natural K ą 1 , dpxk , xq ă
Pero para todo k P
N,
así que
ε 2i`1
,
para todo k ě K .
|xki ´ xi | ď d pxk , xq, 2i p1 ` |xki ´ xi |q ε |xki ´ xi | ă i`1 , k i 2 2 p1 ` |xi ´ xi |q
para todo k ě K .
ε{2 ă ε, 1 ´ ε{2
para todo k ě K .
De donde
|xki ´ xi | ă rðs Supongamos que
lim xki “ x i ,
kÑ8
Sea ε ą 0 y sea J P N tal que
8
ÿ
i“J `1
@i P N.
ε 1 1 . “ ă 2i 2J 2
Para todo 1 ď i ď J , existe K i ą 1 tal que
ε 2
|xki ´ xi | ă ,
para todo k ě K i .
10
˜ J Si hacemos K J “ max K i , entonces para todo 1 ď i ď J , 1ďiďJ
ε 2
|xki ´ xi | ă ,
˜ J para todo k ě K J .
˜ J De esta manera, para todo k ě K J J
J ε ε ε ε |xki ´ xi | 1 1 dpx , xq ď ` ď ` “ ´ 1 2 2 2i 2 2 2J 2i p1 ` |xki ´ xi |q i“1 i“1 k
ÿ
ˆ ˙
ÿ
`
ε ε ε ă ` “ ε. 2 2 2
Ejercicio 2.46. Dado
que la integral es lineal, monónota y
|f pxq ` gpxq| ď |f pxq | ` |gpxq|, se sigue,
b
ż
@x P ra, bs,
b
|f pxq ` g pxq|dx ď
a
ż
b
|f pxq|dx `
a
De la misma desiguald (3 (3),
(3)
ż
|f pxq ` gpxq| ď max |f pxq| ` max |g pxq|, xPra,bs
|gpxq|dx.
a
xPra,bs
@x P ra, bs,
por tanto max |f pxq ` g pxq| ď max |f pxq| ` max |g pxq|.
xPra,bs
xPra,bs
xPra,bs
Ejercicio 2.47.
(a) Se (a) Se sigue trivialmente del hecho de que para todo 1 ď k ď n ,
|yk | ď max |yk |. 1ďkďn
(b) Igualmente, (b) Igualmente, se sigue de que para todo k ě 1 ,
|yk | ď sup |yk |. kě1
(c) Como (c) Como g es continua, entonces max |g pxq| ă 8. Así que la desigualdad se sigue trivialmente de que para todo a ď x ď b ,
aďxďb
|gpxq| ď max |gpxq|. aďxďb
Ejercicio 2.48. Para
cada k ě 1 hacemos, f k pxq “
$& %
2kp1 ´ kxq
si x P r0, 1{ks,
0
si x P p1{k, 1s. 11
Es claro entonces que
}f k }1 “ p2k q Pero
ˆ ˙ 1 2k
“ 1 .
}f k }8 “ k Ñ 8. Por otro lado, si g : r 0, 1s Ñ
R es
continua y } g }8 “ 1 , entonces
|gpxq| ď 1 , por lo que
@x P r0, 1s,
1
ż
1
ż
|gpxq|dx ď
0
1dx “ 1 .
0
Concluimos que no es posible construir sucesiones de funciones continuas sobre r0, 1s acotadas en norma supremo, y no acotado en norma L 1 . Ejercicio 2.49. Para
todo p ě 1 y todo entero k ě 1 ,
1
ż
1
|f k pxq| p dx “
0
ż 0
p`1
1 p1 ´ kxq p1 ´ kxq p dx “ ´ k p ` 1
Por tanto,
}f k } p “
1
pk p p ` 1qq1{ p
x“1
ˇˇ ˇ
x“0
“
1
kp p ` 1q
.
.
Ejercicio 2.50.
(a) Si (a) Si 1 ď s ď r , la Proposición* 2.23 (p. 21) prueba que para toda f P C 0 ra, bs,
}f }s ď pb ´ aq
r ´s rs
}f }r .
r ´s
Y obviamente, c : “ p b ´ aq rs ą 0 . De hecho, si a “ 0 y b “ 1 , entonces c “ 1 . (b) Sea (b) Sea p ą r y supongamos que para alguna constante c ą 0 ,
@f P C 0 r0, 1s.
}f } p ď c }f }r ,
En particular, si f k es como en el ejercicio anterior para toda k ě 1 , entonces 1
pk p p ` 1qq1{ p De donde, para toda k ě 1 ,
ď c
1
pkpr ` 1qq1{r
.
1
pr ` 1q r
1
1
kr
p p ` 1q p
´ p1
ď c.
Lo cual es imposible porque el término de la izquierda crece al infinito si k crece al infinito.
12
Ejercicio 2.51. Sean
f, g P C r ra, bs. Para toda 0 ď s ď r ,
´
psq
f
Por tanto, r
}f ` ` g }r,p “
ÿ ››
pf ` ` gq
psq
s“0
`g
psq
1
¯
“ f ps`1q ` g ps`1q .
r
›› ÿ ›› p
“
r
psq
f
`g
psq
›› ÿ ›› ›› p
s“0
psq
ď
f
s“0
r
ÿ ›› ›› g psq
`
s“0
Las otras propiedades de norma son también fáciles de probar. Ejercicio 2.52. Vamos
p
“ } f }r,p ` }g }r,p.
a probar un resultado previo.
Proposición 1. Si pV, } ¨ }q es un espacio normado y S es un conjunto, entonces f P B pS, V q si y
sólo si, existe c ě 0 tal que
}f pz q} ď c,
@z P S.
Demostración. Si f P B pS, V q, existe c1 ě 0 y x 0 P V tales que
}f pz q ´ x0 } ď c 1 @z P S. Por tanto,
}f pz q} ď }f pz q ´ x0 } ` }x0 } ď c 1 ` }x0 },
@z P S.
Tomamos cualquier c ě c 1 ` }x0 }. La afirmación recíproca es obvia. Sean f , g P B pS, V q y s, t P
R,
psf ` ` tgqpz q “ p sf qpz q ` ptgqpz q “ sf pz q ` tg pz q P V ,
@z P S.
Ahora, para algunas constantes cf , cg ě 0 ,
}psf ` ` tgqpz q} ď |s|}f } ` |t|}g } ď |s|cf ` |t|cg ,
@z P S.
En consecuencia sf ` ` tg P B pS, V q.
Esto prueba que B pS, V q es un subespacio del espacio vectorial de todas las funciones definidas sobre S y y con valores en V , con las operaciones de suma y producto por un escalar indicadas en el ejercicio. Por otro lado, si f, g P B pS, V q, entonces
}pf ` ` g qpz q} “ }f pz q ` gpz q} ď }f pz q } ` }gpz q},
@z P S.
Por tanto
` gqpz q} ď sup }f pzq} ` sup }g pz q}. sup }pf ` z PS
z PS
z PS
Lo que prueba prueba la desiguald desigualdad ad triangular de } ¨ }8 . Las otras propiedades propiedades de norma son trivialmente trivialmente válidas. 13
(a) Sea 1 ď p ă 8. Sean ai , bi , ci ě 0 , i “ 1 , 2, tales que ai ď b i ` ci , i “ 1 , 2. Si consideremos la norma } ¨ } p en R2 , Ejercicio 2.53.
{
pa p1 ` a p2 q1 p ď pp b1 ` c1 q p ` pb2 ` c2 q p q1{ p “ }p b1 ` c1 , b2 ` c2 q} p ď }p b1 , b2q ` pc1 , c2 q} p {
{
ď }p b1 , b2q} p ` }pc1 , c2 q} p “ pb p1 ` b p2 q1 p ` pc p2 ` c p2 q1 p . Luego, si p xi , yi q P X ˆ , con i “ 1 , 2, 3, hacemos ˆ Y , a1 “ d X px1 , x3 q, a2 “ d Y py1 , y3 q, b1 “ d X px1, x2 q, b2 “ d Y py1, y2q y c1 “ d X px2 , x3 q, c2 “ d Y py2 , y3 q.
Obtenemos así la desigualdad triangular relativa a d p , con 1 ď p ă 8. Por otro lado, de las desigualdades dX px1 , x3 q ď d X px1 , x2 q ` dX px2 , x3 q ď max tdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2 , x3 q, dY py2 , y3 qu dY py1 , y3 q ď d Y py1 , y2 q ` dY py2, y3q ď max tdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2, x3 q, dY py2 , y3 qu
se sigue maxtdX px1 , x3 q, dY py1 , y3 qu ď max tdX px1 , x2 q, dY py1 , y2 qu ` maxtdX px2 , x3 q, dY py2 , y3 qu.
Obtenemos así la desigualdad triangular relativa a d8 . Las otras propied propiedade adess son trivialm trivialmen ente te válidas. Ejercicio 2.54. Sean
y1, y2 P Y y sean x1, x2 P X (únicos) tales que y1 “ φ px1 q y y 2 “ φ px2 q.
dY py1 , y2 q “ d Y pφpx1 q, φpx2 qq “ d X px1 , x2 q “ d X pφ´1 py1 q, φ´1 py2 qq.
(a) No (a) No es una isometría. Prueba : si }p1, 1q} p “ }p1, 1q}r , entonces 2 “ 2p{r , de donde p “ r , lo cual contradice la suposición p ‰ r . (b) No (b) No es isometría. Prueba : Prueba : Sea Ejercicio 2.55.
f pxq “
x 1`x
Entonces f 1 pxq “ ´
´ logp1 ` xq, x
p1 ` xq2
ă 0 ,
@x ą 0 .
@x ą 0 .
Así que f es una función decreciente en su dominio. Y si hpxq “
1 f pxq, x2
entonces h es también decreciente en su dominio. 14
@x ą 0 .
Ahora, si
1 log p1 ` xq, x
@x ą 0 .
g 1 pxq ď lim hpy q ă 0 ,
@x ą 0 .
g pxq “
entonces g1 pxq “ h pxq, por lo que y Ó0
Así que g es decreciente en su dominio. Pero g pxq “ log ψ pxq, donde 1 ψ pxq “ p 1 ` xq {x ,
@x ą 0 .
Así que ψ es una función decreciente en su dominio. Ahora, Ahora, sea Idr0,1s la función función identidad identidad de r0, 1s en r0, 1s, esto es, Idr0,1s pxq “ x para toda 0 ď x ď 1 , y supongamos que 0 ă p ă r . Tenemos
}Idr0,1s } p “
1
p1 ` pq {p 1
ă
1
p1 ` rq {r 1
“ } Idr0,1s }r .
(c) Es (c) Es una isometría pues se trata de la inclusión del subespacio C 21 r0, 1s en el espacio (d) Misma (d) Misma razón que en (c). (c) . (e) Es (e) Es una isometría: Prueba : Prueba : Para toda f P B pN, Rq, obviamente,
C 21 r0, 1s.
}f }8 “ sup t|f pnq| : n P Nu “ }φpf q}8 .
Ejercicio 2.56. (a) Para (a) Para todo v P V , recordemos que existe un único vector n n hecho, o, la regla v ÞÑ xv es biyectiv biyectiva). a). Note que R tal que v “ i“1 xi ei . (De hech }xv } es la norma usual en Rn . Luego
ř
xv “ 0 V ô x v “
Para todo λ P
R,
dado que λv “
ř
n i“1 λ xi ei ,
0 ô
xv “ px1 ,...,xn q de
}v }˚ “ }xv }, donde
}xv } “ 0 ô }v }˚ “ 0 .
se sigue que xλv “ λxv , de donde
}λv}˚ “ }xλv } “ }λxv } “ |λ|}xv } “ |λ|}v }˚ .
ř
Finalmente, si w “ xv ` xw , y por tanto
n i“1 yi ei ,
se tiene la representación v ` w “
n i“1 pxi `
ř
yi qei , de donde xv`w “
}v ` w}˚ “ }xv`w } “ }xv ` xw } ď }xv } ` }xw } “ }v }˚ ` }w}˚ . Observación 3. Este ejercicio es de hecho un caso particular del siguiente Teorema 2. Sea X un espacio vectorial normado con norma } ¨ } X , y sea Y un espacio vectorial.
Si f : Y Ñ X es una aplicación aplicación lineal, lineal, esto es, para para todo y1 y y2 en Y , y cualquier escalar λ, f py1 ` λy2 q “ f py1 q ` λf py2 q, y si para todo y P Y se cumple f py q “ 0X ñ y “ 0Y , entonces , es una norma en Y . . }y}Y :“ } f py q}X , para todo y P Y , 15
Demostración. Como f es lineal, f p0Y q “ f p0Y ` 0Y q “ f p0Y q ` f p0Y q “ 2 f p0Y q.
Esto es f p0Y q “ 0X . Se sigue que para toda y P Y , ,
}y }Y “ 0 ô }f py q}X “ 0 ô f pyq “ 0X ô y “ 0 Y . Por otra parte, para todo escalar λ,
}λy}Y “ } f pλyq}X “ } λf pyq}X “ | λ|}f py q}X “ | λ|}y }Y . Finalmente, para todo y1 y y2 en Y , ,
}y1 ` y2 }Y “ } f py1 ` y2q}X “ } f py1 q ` f py2 q}X ď } f py1 q}X ` }f py2 q}X “ } y1 }Y ` }y2}Y .
(b) Hay (b) Hay que aclarar algunas cosas primero. X y Y son espacios vectoriales normados con normas } ¨ }X y } Definición 1. Si X } ¨ }Y resp., decimos φ : X Ñ Y es una isometría φ es una isometría respecto a las métricas inducidas que una función φ isometría si φ por las respectivas normas en X y Y . . Proposición 2. Si X y Y son espacios vectoriales normados con normas } ¨ } X y } ¨ } Y resp., y si
φ : X Ñ Y es una función lineal, entonces φ es una isometría si y sólo si,
}x}X “ } φpxq}Y ,
@x P X.
(4)
Demostración. De acuerdo a la primera parte de la demostración del Teorema Teorema 2 2 (p. (p. 15 15), ), φ p0X q “ 0 Y . Ahora, si φ es una isometría, para toda x P X ,
}x}X “ d X px, 0X q “ d Y pφpxq, φp0X qq “ d Y pφpxq, 0Y q “ }φpxq}Y . Recíprocamente, si la igualdad (4 ( 4) es válida, entonces para todo x, y P X , dX px, yq “ } x ´ y }X “ } φpx ´ y q}Y “ } φpxq ´ φpy q}Y “ d Y pφpxq, φpy qq.
Así que para verificar el inciso (b) (b) solo debemos probar que φpx1 ,...,xn q “ in“1 xi ei es una aplicación lineal de Rn a V , ya que por definición, }φpx1 ,...,xn q}˚ “ } in“1 xi ei }˚ “ }px1 ,...,xn q}, para todo p x1 ,...,xn q P Rn . Pero note que para todos p x1 ,...,xn q y p y1 ,...,yn q vectores de Rn ,
ř
ř
φppx1 ,...,xn q ` py1 ,...,yn qq “ φ px1 ` y1 ,...,xn ` yn q n
“
ÿ ÿ
pxi ` yiqei
i“1 n
“
i“1
n
xi ei `
ÿ
yi ei
i“1
“ φ px1 ,...,xn q ` φpy1 ,...,yn q.
16
x, y, z P X , y sean σx,y y σy,z trayectorias de x a y, y de y a z , (a) Sean x, respectivamente, en X de longitud finita. Entonces, definimos Ejercicio 2.57.
σ ptq “
$& %
σx,y p2tq
si 0 ď t ď 21 ,
σy,z p2t ´ 1qq
si
1 2
ă t ď 1 .
Queda claro que σ es una trayectoria de x a z en X de longitud finita. Si 0 ď t 0 ď t 1 ď ¨ ¨ ¨ ď t m “ 1 es una partición del intervalo r0, 1s, entonces 0 ď 21 t0 ď 21 t1 ď ¨ ¨ ¨ ď 21 tm “ 21 es una partición de recíprocamen mente, te, si 0 ď t0 ď t1 ď ¨ ¨ ¨ ď tm “ 21 es una partición del intervalo r0, 21 s, la r0, 21 s. Y recíproca colección 0 ď 2 t0 ď 2 t1 ď ¨ ¨ ¨ ď 2 tm “ 1 es una partición de r 0, 1s. En consecuencia,
#ÿ m
Lpσx,y q
“ sup
k“1
1 }σx,y p2tk´1q ´ σx,y p2tk q} : 0 ď t 0 ď t 1 ď ¨¨ ¨ ď t m “ 2
+
.
De forma análoga puede argumentarse que
#ÿ m
Lpσy,z q “ sup
}σy,z p2tk´1 ´ 1q ´ σy,z p2tk ´ 1q} :
k “1
1 2
ď t 0 ď t 1 ď ¨ ¨ ¨ ď t m “ 1
+
Por otra parte, si 0 ď t 0 ď t 1 ď ¨ ¨ ¨ ď t m “ 1 es una partición del intervalo r 0, 1s y si tomamos 0 ă j ď m tal que t j ´1 ď 21 ă t j , se tiene
}σ pt j ´1 q ´ σ pt j q} ď }σ pt j ´1 q ´ σ p1{2q } ` }σ p1{2q ´ σ pt j q}, de donde dpx, z q ď L pσ q ď L pσx,y q ` Lpσy,z q.
Consecuentemente, dpx, z q ď d px, yq ` dpy, z q.
Lo que prueba la desigualdad triangular. Para probar simetría, note que σ : r 0, 1s Ñ X es una trayectoria de x a y (cualesquiera puntos de Rn ), entonces σ ˜ ptq “ σ p1 ´ tq es una trayectoria de y a x. Y además, Lpσ q
“ Lpσ˜ q.
En consecuencia, dpx, yq “ d py, xq.
Finalmente, si x, y P
Rn ,
dado que
}x ´ y} ď L pσq, para cualquier trayectoria σ de x a y , se sigue que
}x ´ y} ď d px, yq. 17
Así que si dpx, yq “ 0 , entonces x “ y . (b.1) d coincide con la métrica usual, puesto que para todo x, y P σ ptq “ p1 ´ tqx ` yt,
está completamente contenida en
Rn ,
Rn ,
el segmento
0 ď t ď 1 ,
(5)
y Lpσ q “
}y ´ x}.
(b.2) d coincide con la métrica usual. En efecto, si x, y P
B
n
, entonces para todo 0 ď t ď 1 ,
}p1 ´ tqx ` ty } ď p1 ´ tq}x} ` t}y} ď 1 ´ t ` t “ 1 , de modo que la trayectoria (5 (5) está completamente contenida en Rn . (b.3) d coincide coincide con la métrica usual. usual. En efecto, efecto, si x, y P X , entonces sucede que el segemento p1 ´ tqx ` ty, 0 ď t ď 1 ,
0 no
está en
en cuyo caso, dpx, yq “ }x ´ y }. O bien, bien, para para algún algún 0 ă t0 ă 1 (las disigualdades son estrictas 1 porque 0 R X ), ), y “ 1 ´ t x. En cuyo cuyo caso, caso, elegim elegimos os algún vector vector z linealmente idependiente de y ´ x con }z} “ 1, y los puntos pt “ x ` tz , 0 ď t ď 1, de manera que, si consideramos las trayectorias σt de x a y, como la unión de los segmentos de x a pt y de pt a y, entonces σt está en X y dpx, yq ď L pσt q ď }x ´ pt } ` } pt ´ y } ď 2 t ` }y ´ x}.
´ ¯ 0
Si t Ó 0 , concluimos dpx, y q “ }y ´ x}. ..., 1q, (b.4) d no coinci coincide de con la métric métricaa usual. usual. En efecto efecto,, consid considere eremos mos los puntos puntos x0 “ p0, ..., y0 “ ´x0 y cualquier punto z0 “ pz1 ,...,zn´1 , 0q tal que z 12 ` ¨ ¨ ¨ ` zn2 “ 21 . Entonces dpx0 , y0 q ě } x0 ´ 0} ` }0 ´ z0 } ` }z0 ` 0} ` }0 ´ y0 } ą 2 “ }y0 ´ x0 }.
(b.5) d no coincide con la métrica usual.
18
