Soluciones a los ejercicios del
Capítu Capítulo lo 3. Contin Continuid uidad ad , del libro
Análisis Matemático de Mónica Clapp por G3
October 20, 2017
Tabla de Ejercicios 3.35 . . . . . . . . . .
1
3.47 . . . . . . . . . .
7
3.59 . . . . . . . . . .
9
3.36 . . . . . . . . . .
1
3.48 . . . . . . . . . .
8
3.60 . . . . . . . . . .
9
3.37 . . . . . . . . . .
1
3.49 . . . . . . . . . .
8
3.61 . . . . . . . . . .
9
3.38 . . . . . . . . . .
3
3.50 . . . . . . . . . .
8
3.62 . . . . . . . . . .
9
3.39 . . . . . . . . . .
3
3.51 . . . . . . . . . .
8
3.63 . . . . . . . . . .
9
3.40 . . . . . . . . . .
3
3.52 . . . . . . . . . .
8
3.64 . . . . . . . . . .
9
3.41 . . . . . . . . . .
3
3.53 . . . . . . . . . .
9
3.66 . . . . . . . . . .
9
3.42 . . . . . . . . . .
4
3.54 . . . . . . . . . .
9
3.66 . . . . . . . . . .
9
3.43 . . . . . . . . . .
4
3.55 . . . . . . . . . .
9
3.67 . . . . . . . . . .
9
3.44 . . . . . . . . . .
4
3.56 . . . . . . . . . .
9
3.68 . . . . . . . . . .
9
3.45 . . . . . . . . . .
5
3.57 . . . . . . . . . .
9
3.69 . . . . . . . . . .
9
3.46 . . . . . . . . . .
5
3.58 . . . . . . . . . .
9
3.70 . . . . . . . . . .
9
Nota: Usamos la edición impresa. Los resultados del libro se distinguirán con el símbolo *.
3.4. Ejercicios (Continuidad) (Continuidad) Ejercicio 3.35.
Sea ε
ą 0. Existe entonces un δ ą ą 0 (que depende de x 1 d pφpxq, φpx qq ď ε si d px, x q ă δ. 2
0
Y
X
0
y de ε) tal que
0
En particular, si
p p q p qq ă ε
dY φ x , φ x0
p
dX x, x0
q ă δ.
Así que φ es continua en x0 .
r (a) ñ (b)s Obvio. r(b) ñ (c) s Sea algún ε ą 0 y sea δ ą 0 tal que }Lv} ď ε si }v} ă δ . tal que v ‰ , se cumple δ δ ă δ , v “ 2}v } 2 Ejercicio 3.36.
0
W
0
0 V
y por lo tanto
››
›› ˆ › }} L
De donde
0
V
δ 0 v 2 v V
˙›› ›
››
W
V
0
0
Para Para todo todo v
P V ,
0
0
V
“ 2}δ v} }Lv} ď ε . 0
W
V
0
}Lv} ď 2δ ε }v} . 0
W
V
0
Hacemos c 2ε δ . (c) (d) Para todo v1 y v2 en V ,
“ { r ñ s 0
0
}Lv ´ Lv } “ }Lpv ´ v q} ď c}v ´ v } . 1
2
W
1
2
W
1
2
V
Por lo que L es Lipschitz continua. (d) (a) Obvio.
r ñ s
Ejercicio 3.37.
(a) Probamos (a) Probamos un par de útiles resultados.
Lema 1. Dadas las constantes reales a y b, la función σa,b :
2
R
Ñ R, dada por 2
p q “ ax ` by, @px, yq P R ,
σa,b x, y
es continua. Demostración. Observamos que σa,b es una transformación lineal. En efecto, para todos x, y , x1 , y 1 1 2 R y cualesquiera escalares λ y λ ,
p qp
σa,b
`p λ
x, y
q ` 1px1, y1q “ σ p x ` 1x1, y ` 1y1q “ ap x ` 1x1q ` bp y ` 1y1q “ pax ` byq ` 1pax1 ` by1q “ σ px, yq ` 1σ px1, y1q. λ
˘
a,b λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ a,b
λ
1
λ
a,b
λ
qP
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, 2
pax ` byq ď
`
a2
2
`b
˘`
x2
`y
2
así que por el ejercicio anterior, σ a,b es continua. Ahora, la función valor absoluto : R 33, la función σa,b , de R2 a R es continua.
|¨ | ¨ |
| |
˘
2
(1)
@px, yq P R ,
,
Ñ R es continua, así que por la Proposición 3.5* (a), p.
Lema Lema 2. Dado un espacio métrico X, dX , si f, g : X
p q Ñ R son funciones continuas, entonces Ñ R dada por ψpxq “ pf pxq, gpxqq, para toda x P X , es continua. ψ : X Ñ Demostración. Sea x P X y sea ε ą 0. Existen Existen constan constantes tes δ ą 0 y δ ą 0 tales que para toda x P X , |f pxq ´ f px q| ă ε si d px, x q ă δ , y |gpxq ´ gpx q| ă ε si d px, x q ă δ . Sea δ “ “ mintd , δ u. Para toda x P X , si d px, x q ă δ , ? }pf pxq, gpxqq´pf px q, gpx qq} ă 2ε. Se sigue que dadas cualesquiera constantes a , b , i “ 1 , 2, 3, la función ˝ p|σ |, σ q : R Ñ R, σ px, yq Ñ Þ a |a x ` b y| ` b pa x ` b yq. 2
0
1
X
0
1
0
1
i
a2 ,b2 1
0
2
0
0
a1 ,b1
X
0
X
2
2
0
i
2
a3 ,b3
2
2
2
1
3
3
es continua. En particular
t u “ |x ´ y| 2` x ` y
t u “ |x ´ y| ´2 px ` yq ,
y
max x, y
2
(2)
@px, yq P R ,
min x, y
son funciones continuas de R2 a R. En consecuencia, nuevamente del Lema 2 [p. 2] 2 ] anterior y por la Proposición* 3.5 (a), p. 33 y
t p q p qu
max f x , g x
t p q p qu
@x P X,
min f x , g x ,
son funciones continuas de X a R. (b) Igualmente (b) Igualmente probamos algunos utilísimos resultados. Proposición 1. Si f : X, dX
p q Ñ pY, d q y g : pY, d q Ñ pZ, d q son Lipschitz continuas, entonces la composición composición g ˝ f : pX, d q Ñ pZ, d q es Lipschitz continua. Demostración. Existe un c ą 0, tal que para todos x , x P X , d pf px q, f px qq ď c d px , x q; y existe algún c ą 0 tal que para todos y , y P Y , , d pg py q, gpy qq ď c d py , y q. En particula particular, r, para todos x , x P X , d pg pf px qq, gpf px qqq ď c d pf px q, f px qq ď c c d px , x q. Y
X
Y
Z
f
1
g
1
Z
1
Z
2
Y
2
1
2
1
g Y
1
2
Z
1
2
g Y
1
2
2
g f X
f X
2
1
2
2
1
2
Proposición 2. Si f, g : X, dX
Lipschitz continua.
2
q Ñ R son Lipschitz continuas, entonces p pf, gq : pX, d q Ñ R
p
X
es
Demostración. Existen constantes positivas c f y cg tales que para todos x, y X ,
P
2
2
`
2
2
f
g
|f pxq ´ f pyq| ` |gpxq ´ gpyq| ď c ` c
˘
2 dX x, y .
p q
Del Ejercicio 3.36 [p. 1], 1], sabemos que toda transformación lineal entre espacios normados es continua si y sólo si, es Lipschitz continua. Así que por el Lema 1 Lema 1 [p. [p. 1] 1],, se sigue que para cualesquiera 2 ax by , para todo x, y R , es una función Lipschitz continua de constantes a y b, σa,b x, y 2 R a R. Esto también se sigue directamente usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como en la desigualdad (1 (1) [p. 2]. R es una función Lipschitz continua, por Por otra parte, es claro que el valor absoluto : R R lo que para cualesquiera constantes a i , bi , i 1 , 2, 3, la composición σ a ,b σa ,b , σa ,b : R2 R, dadas por (2 es Lipschitz continua. En particular, las funciones max y min de R2 (2) [p. 2] son Lipschitz continuas. continuas. Finalmente, si f, g : X, dX R son Lipschitz continuas, max f, g y min f, g son Lipschitz continuas.
p q“ `
p q P
|¨ | ¨ |
“
p
Ñ
1
1
Ñ
qÑ
˝ p|
2
t u
2
|
3
3
q
Ñ
t u
Sea φ la identidad de R pn a Rn y sea ψ la identidad de Rm a Rm r . Del Ejemplo* n m R es continua, de la Proposición* 3.2, p. 32, φ y ψ son homeomorfis homeomorfismos. mos. Si una función función f : R m 3.5 inciso inciso (b), (b), pp. 3333-34, 34, se sigue que f f φ : R pn es contin continua. ua. Y por el inciso inciso (c) del R m Rr es continua. mismo resultado, f ψ f : R pn Ejercicio 3.38.
“ “ ˝
“ ˝ ˝
Ñ
Ñ
Ñ
Sea 1 p y sean f y h funciones en C p0 a, b . Hacemo Hacemoss q desigualdad de Hölder para integrales (Proposición* 2.18, p. 18),
ď ă 8
Ejercicio 3.39.
b b
r s
b b
ˇˇż p ´ ´ q ˇˇ ď ż | ´ ´ || f
h g0
f
a
donde M 0 Si p
h g0
a
{
1 q
| ď M pb ´ aq 0
p p ´ 1q.
“ “ {p
De la
{
1 p
b b
ˆż | ´ ´ | ˙ f
h
p
,
a
ą 0 es una cota superior de |g |. “ 8, por el Ejercicio 2.47 inciso (c), 0
b b
b b
ˇˇż p ´ ´ q ˇˇ ď ż | ´ ´ || ˇ ˇ f
g g0
f
a
Ejercicio 3.40. Inmediato
Ejercicio 3.41.
h g0
a
Sea 1
| ď M pb ´ aq max |f pxq ´ hpxq|. ď ď 0
a x b
del Ejercicio 2.42 (a).
1
n
˜ÿ
p
{
1 p
|π pxq ´ π pyq| “ |x ´ y | “ p|x ´ y | q ď k
k
k
k
k
3
i“1
n
1
{
1 p
n
k
n
ď p ă 8. Para todos x “ px ,...,x q y y “ py ,...,y q en R , si 1 ď k ď n, p
|x ´ y | i
i
¸
“ }x ´ y } . p
Análogamente, si x
“ px q, y “ py q P 8, y k ě 1, |π pxq ´ π pyq| “ |x ´ y | ď sup |x ´ y | “ }x ´ y}8. ě i
i
k
k
k
k
i
i
i
1
(a) Si f : S X es acotada, entonces existe una constante c 0 y un x0 X tal que para todo s S , d f s , x0 particular lar,, para para toda s1 S 1 , d f φ s1 , x0 c . En particu c . Así que f φ es acotada. Ahora, si f 1 , f 2 : S X son acotadas, es claro que
Ñ Ñ p p q qă
Ejercicio 3.42.
P
˝ ˝
P
ą P p p p qq q ă
Ñ Ñ
d f 1 φ s1 , f 2 φ s1
p p p qq p p qqq ď d8pf , f q, @s1 P S 1. 1
2
De donde
p ˝ φ, f ˝ φq ď d8pf , f q,
d8 f 1
2
1
2
y por tanto φ˚ es Lipschitz continua. (b) Si (b) Si φ es sobre, entonces existe (al menos) una función inversa por la derecha φ´1 . Si g : S 1 X es acotada, entonces f g φ´1 : S X es acotada, como acabamos de ver. Y si f 1 , f 2 : S X son acotadas tales que f 1 φ f 2 φ, componiendo por la derecha con φ´1 , se sigue f 1 f 2 . Esto prueba que φ˚ es biyectiva. Nuevamente, sean f 1 , f 2 : S acotadas. as. Dado Dado que φ es sobre, para todo s S , hay un X acotad s1 S 1 tal que s φ s1 , de manera que
“ “ ˝ Ñ Ñ ˝ “ ˝
P
“
Ñ Ñ
“ p q
Ñ Ñ Ñ
P
p p q p qq ď d8pf ˝ φ, f ˝ φq, @s P S.
d f 1 s , f 2 s
1
2
De donde
p
q ď d8pf ˝ φ, f ˝ φq.
p
q “ d8pf ˝ φ, f ˝ φq
d8 f 1 , f 2
1
2
Luego, d8 f 1, f 2
1
2
y por tanto φ˚ es una isometría.
(a) Obvio. (a) Obvio. (b) Ver (b) Ver Proposición 1 Proposición 1 [p. 2] [p. 2].. (c) Tanto (c) Tanto φ : X Y como φ ´1 : Y X son Lipschitz continuas, de modo que si ψ : Y Lipschitz continua, la composición ψ φ lo es; y si ψ φ es Lipschitz continua, así lo es ψ ψ φ (d) Tanto (d) Tanto ψ : Y Z como ψ ´1 : Z Y son Lipschitz continuas, de modo que si φ : X Lipschitz continua, la composición ψ φ lo es; y si ψ φ es Lipschitz continua, así lo es φ ψ ´1 Ejercicio 3.43.
Ñ Ñ
˝
Ñ
˝
Ejercicio 3.44. Sean
Ñ
˝
Ñ Ñ
˝
Ñ Z es “ ˝ ˝ φ´ . Ñ Z es Ñ “ ˝ ψ ˝ φ. 1
Entoncess f es continua en rx, ys y diferenciable en px, yq, así ď y en I . Entonce que por el Teorema el Teorema del valor medio, medio, par algún c P px, yq, |f pxq ´ f pyq| “ |f 1pc q||x ´ y| ď C |x ´ y| x
x,y
x,y
4
Observación 1. No es indispensable la hipótesis de que f 1 sea continua.
R, φ x (a) φ : R Lipschitz continu continua: a: Supongamos Supongamos que sí lo es. x2 no es Lipschitz c x y para todo x, y R. En partic Habrá alguna constante c particula ular, r, si 0 tal que x2 y 2 elegimos 0 y x tales que x y c , Ejercicio 3.45.
ą
ă ă
Ñ
p q“ | ´ | ă | ´ |
` ą px ` yqpx ´ yq “ x ´ y ă cpx ´ yq, 2
de donde x
P
2
` y ă x ` y. Absurdo. 2
Observación Observación 2. No obstante, la función φ x
acotado I , puesto que φ1 x
es Lipschitz continua en cualquier intervalo 2 x es acotada (de hecho continua) en I .
p q“ x
p q“ ? (b) φ : r0, 8q Ñ R, φpxq “ x no es Lipschitz Lipschitz continua: continua: En efecto, supongamos supongamos que sí lo es. ? ? Habrá alguna constante c ą 0 tal que para todo x, y ě 0 , | x ´ y | ď c |x ´ y|. Sean en particular, ? ? x ‰ y en p0, 1q lo suficientemente pequeñas tales que cp x ` y q ď 1 . No obstante, |? x ´ ? y| ă c|x ´ y| “ c|? x ´ ? y|p? x ` ? yq,
de donde c
ă c. Absurdo.
efecto,, p q “ ? x es Lipschitz continua en r r1, 8q. En efecto para todo x, y ě 1 , |x ´ y| “ |? x ´ ? y|p? x ` ? yq ě 2|? x ´ ? y|. (c) φ : R Ñ ´ , , φ pxq “ arctanpxq es Lispchitz continua. En efecto, φ1 pxq “ ` ď 1 para todo x P ´ , . Así Así que que φ es Lipschitz Lipschitz continu continua. a. No obstante obstante φ´ pxq “ tan x no es Lipschitz continua sobre ´ , . En efecto efecto,, supong supongamo amoss que φ´ pxq “ tan x es Lipschitz continua en el interv intervalo alo indicado. indicado. Entonces Entonces hay hay algún c ą 0 tal que para todos ´ ă x, y ă , se cumple | tan x ´ tan t an y | ă c|x ´ y |, en particular, se sigue p φ´ q1 pxq ď c para todo x P ´ , . Pero pφ´ q1pxq “ sec x, así que φ´ q1 pxq ď c. 8 “ lim p Ñ { Observación Observación 3. No obstante, la función φ x
π π
1
` ˘ ` `˘ ˘ 2
2
1
π π 2
1
x2
1
2
π
π
2
2
1
π
π
2
1
2
1
x
2
π
π
2
2
` ˘
π 2
obstante, la función función tangente tangente es Lipschitz Lipschitz continua continua en cualquier cualquier intervalo intervalo Observación Observación 4. No obstante, π π
, puesto que la función sec2 x es acotada en tales intervalos.
` ˘
ra, bs Ă ´
2
,
2
∞ (a) 0, 1 1 es norma, puesto que el operador derivada D : C 0 lineal y 8 es norma en C 0, 1 . Ver solución del Ejercicio 2.56. 2 es norma. En efecto:
Ejercicio 3.46.
} ¨ } ~¨~
(N1) Para Para toda f
~ ¨ ~
r s Ñ C r0, 1s es
r s
1
P P C r0, 1s, ~f ~ “ 0 ô pf 1 “ 0 2
5
y f 0
p q “ 0q ô f “ “ 0.
1
(N2) Para Para todo escalar λ y toda f
P P C r0, 1s, ~ f ~ “ | f p0q|`} f 1}8 “ | | |f p0q|`}f 1}8 “ | |~f ~ . λ
λ
2
λ
λ
1
(N3) Para Para todas f , g
`
˘
λ
2
P C r0, 1s, ~f ` ` g~ “ |f p0q ` gp0q|`}f ` ` g}8 ď |f p0q|`}f }8 ` |gp0q|`}g}8 “ ~f ~ ` ~g~ 2
2
~ ¨ ~ es norma. En efecto: (N1) Para Para toda f P P C r0, 1s,
2
3
1
1
ż “ “
1
~f ~ “ 0 ô f “ 0 y Lo cual ocurre sólo si f es constante, digamos f “ “ a. “ 0. f “ (N2) Para Para todo escalar y toda f P P C r0, 1s, 3
0 .
Pero Pero entonces entonces
ş
1
0
“ “ a “ 0.
f
Esto Esto es, es,
1
λ
1
ˇˇż
1
ˇˇ “ | | ˇˇż ˇˇ
λf
0
De donde
f
0
} f 1}8 “ | |}f 1}8.
y
f
λ
λ
0
λ
~ f ~ “ | |~f ~ . λ
λ
3
3
1
(N3) Para Para todas f , g
P C r0, 1s, por linealidad de la integral, 1
1
1
ˇˇż p ` ` qˇˇ ď ˇˇż ˇˇ ` ˇˇż ˇˇ f
g
f
0
Y dado que f
g .
0
0
} ` ` g}8 ď }f }8 ` }g}8, se sigue ~f ` ` g~ ď ~f ~ ` ~g~ . 3
3
3
Observación 5. Para brobar el inciso (N3) anterior usamos el siguiente resultado: Lema 3. Para todos a,b, a,b, c, d números reales,
t ` b, c ` du ď maxta, cu ` maxtb, du.
max a
Demostración. Se sigue de inmediato del hecho de que a max b, d . c d max a, c
` ď
t u`
` b ď
t u
t u ` maxtb, du y
max a, c
~ ¨ ~ no es norma, puesto que para cualquier escalar y f P P C r0, 1s, ~ f ~ “ | | { ~f ~ . (b) La norma ~ ¨ ~ no es equivalente a la norma } ¨ } 8 . En efecto efecto,, si tomamos tomamos la funció función n constante f “ “ 1, entonces para cualquier k ą 0, 1 “ }f }8 ą k }f 1}8 “ 0. La norma ~¨ efecto, si tomamos tomamos la función función constante constante ~ ¨ ~ no es equivalente a al norma }¨ } ¨ } 8. En efecto, “ 1, entonces para cualquier k ą 0, 1 “ |f p0q| ą k }f 1}8 “ 0. f “ 1
λ
4
1,
1
1,
2
6
λ
4
λ
1 2
4
La norma
1
~¨ ~ es equivalente a la norma }¨ } 8. Prueba : Sea f P P C r0, 1s y sea c P r0, 1s tal que 1 Dado que que f es continua, usando el Teorema Fundamental del Cálculo, Cálculo, |f pcq| “ min ď ď |f pxq|. Dado para cada x P r0, 1s, |f pxq ´ f pcq| “ f 1pyqdy ď |x ´ c|}f 1}8 ď }f 1}8, 1,
3
0
x
1
x x
ˇˇż
ˇˇ
c
de donde
|f pxq| ď }f 1}8 ` |f pcq|. Por lo tanto,
}f }8 ď }f 1}8 ` |f pcq|. Ahora, en virtud del Teorema del Teorema del valor medio para integrales , integrales , hay algún ˜c f c˜ . Luego,
pq
P r0, 1s tal que
ş
1
0
pq “
f x dx
}f } 8 “ }f }8 ` }f 1}8 ď 2}f 1}8 ` |f pcq| ď 2}f 1}8 ` f pxqdx 1,
1
ˇˇż "ˇˇż p q ˇ
ˇˇ ˇˇ } } * “ ~ ~ ˇ ˇˇş ˇˇ ď } }
0
1
ď 3 max max Por otra parte, para toda f donde
1
f x dx , f 1
0
3 f
8
3
P P C r0, 1s, |f | ď }f }8 , de modo que, integrando, 1
ˇ ˇ ż ~ ~ ď ˇ ˇ ` } } ď } } f
f
3
f 1
f
8
0
8
` }f 1}8 “ }f }
1,8
.
1
0
f
f
8.
De
.
(c) Dada (c) Dada ε 0 , para toda f C 1 0, 1 , si f 1,8 ε , entonces en particular f 1 8 ε . (d) Observamos (d) Observamos que para cualquier f C 1 0, 1 , f 1 8 f i , para i 1 , 2, 3. Por consiguiente, dada ε entoncess en particular f 1 8 tanto to D : ε, para i ε. Por tan 0, si f i 1, 2, 3, entonce 1 0 C 0, 1 , C 8 0, 1 , es continua para i 1 , 2, 3. i
ą
ą ~ ~ ă p r s ~¨~ q Ñ r s
P P r s } } ă P P r s } } ď ~ ~ “ “
Ejercicio 3.47. Primero
hay que hacer una pequeña aclaración.
Definición 1. Si X y Y Y son espacios normados con normas
“ } } ă
} } ă
}¨ } ¨ } y }¨ } ¨ } , resp., entonces decimos
que una función f : X las respectivas normas
X
Y
continua si lo es respecto a las métricas inducidas por Ñ Ñ Y es Lipschitz continua } } ¨ } y } } ¨ } . Esto es, si para todas x, y P X , }f pxq ´ f pyq} ď c}x ´ y} Observación 6. En particular, si f : X Ñ Ñ Y es Lipschitz continua y f p q “ , }f pxq} ď c}x} , @x P X. (a) Si (a) Si 1 ď r ď p ď 8, de acuerdo a la Proposición* 2.23 (p. 21), para todas f , g P C r0, 1s, }f ´ ´ g} ď }f ´ ´ g} . Así que Id : C r0, 1s Ñ C r0, 1s es Lipschitz continua. No obtante, de los Ejercicios 2.48 y 2.50 inciso (b), se sigue que si 1 ď p ă r ď 8 , entonces Id : C r0, 1s Ñ C r0, 1s no es Lipschitz continua. X
Y
Y
X
0X
Y
0 Y
X
0
r
0
0
p
r
0
0
p
r
p
7
(b) Si 1 r p , entonces Id : C p0 0, 1 C r0 0, 1 es continua pues es Lipschitz continua (Proposición* 3.7, p. 35). Probaremos en seguida que si 1 p r , entonces Id : C p0 0, 1 C r0 0, 1 no es continua. Sea δ 0 . Elegimos un número a 0 tal que
ď ď ď 8
r sÑ r s
ď ă ă 8 ą
ą ą
δ p p r´ p a r
r sÑ r s
ˆ ´ "´ *˙ ą 1
r p a δ p p
exp
Hacemos
a p
“ ` ´ ˘ !´ ´ ´ ¯ ) b
Definimos f : 0, 1
r s Ñ r0, 1s dada por f pxq “ a exp
Claramente f es continua y
δ p p 1
p r
1 .
.
p x , r
b 1
@x P r0, 1s.
1
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p
f x
dx
0
p
Esto es, f p
} } ď δ . No obstante, 1
ż | p q| f x
r
“
dx
0
`
“ δ 1 ´ exp
δ p p r´ p a r
a p δ ´ p
ˆ ´ "´ *˙ ą 1
r p a δ p p
exp
Esto es, f r 1 . (c) Solo (c) Solo si r p (ver inciso (a) inciso (a)). ). (d) Solo (d) Solo si r p (ver inciso (c) inciso (c)). ).
} } ą
“ “
Ejercicio 3.48.
(a) Para (a) Para toda 0
δ p .
(˘ ď
1 .
ď x ď 1,
ˆ ? 1
k
2
p
sin πkx
˙q ď
1
k
,
de donde,
} p q ´ σpxq} “ 0.
lim σk x
kÑ8
(b)
2
L
Ejercicio 3.49.
Ejercicio 3.50.
Ejercicio 3.51.
Ejercicio 3.52.
8
Ejercicio 3.53.
Ejercicio 3.54.
Ejercicio 3.55.
Ejercicio 3.56.
Ejercicio 3.57.
Ejercicio 3.58.
Ejercicio 3.59.
Ejercicio 3.60.
Ejercicio 3.61.
Ejercicio 3.62.
Ejercicio 3.63.
Ejercicio 3.64.
Ejercicio 3.65.
Ejercicio 3.66.
Ejercicio 3.67.
Ejercicio 3.68.
Ejercicio 3.69.
Ejercicio 3.70.
9
