SOLUCIONARIO MATEMATICA USM-MA01-4M-2017
1. La alternativa correcta es D 24 10-5 12 106
= 2 · 10 -11
2. La alternativa correcta es C Al truncar el número
0,4353535… a la milésima se obtiene 0,435 y luego redondeado a
la centésima se obtiene 0,44.
3. La alternativa correcta es B Siempre mayor que cero quiere decir positivo, si “c” es positivo y le restamos “b” que es
negativo quedarían quedarían ambos positivos y sumándose.
4. La alternativa correcta es B x 1 = y 3
2 27 27 z-1 = 2
z =
y
x z = y 0,2
5. La alternativa correcta es D Sea x el total de personas Mujeres
:
Hombres : x =
5 72 = 2
3 5 2 5
x x = 72
180
6. La alternativa correcta es D Al ser a y b positivos con b < a, y es una fracción propia positiva, x es una fracción impropia positiva; t es una fracción propia negativa, z es una fracción impropia negativa en orden creciente (de menor a mayor) la menor es la fracción impropia negativa (z), luego la fracción propia negativa (t), sigue la fracción propia positiva (y) y la mayor es la fracción impropia positiva (x).
7. La alternativa correcta es B p, q y r tres números primos distintos m.c.m = pqr M.C.D = 1 Cuociente =
1 pqr
8. La alternativa correcta es D Con la información (1) y resolviéndola tenemos M2 + 2M + 1 – M2 + 2M – 1 = 20, en este caso M = 5 Con la información (2) y resolviendo tenemos M2 + 2M + 1 – M2 + 2M – 1 = 20 4M = 20 / : 4 M=5
2
9. La alternativa correcta es B
36 · 48 ·
4 = 3 4 = 3
48 64
10. La alternativa correcta es A (
5 –
5 – 2 +
2 2 5-1 ) = ( 5 ) – 2 16 1 = 5 5
·
5
5-1
+ (
5-1
)2
11. La alternativa correcta es E 1 3 1 log9 = 3
m=
-
1 2
12. La alternativa correcta es B
(2
2 )2 – 2
· 2
2
·
3
+ (
3 )2 =
4 ·2 - 4
6 +
3 = 11 – 4
13. La alternativa correcta es B
P= Q=
a4 b4 2
2
a b 3
3
a +b a+b
= =
(a2 b2 )(a2 + b2 ) 2
2
a b
= (a2 + b2)
(a + b)(a2 ab + b2 ) = a+b
(a2 – ab + b2)
R = a2 + 2ab + b2 Luego, como son números naturales R>P>Q
3
6
14. La alternativa correcta es A m = 0,34 n = 2,35 n + m= 2,69 n + m = 2,7 redondeado a las décimas
15. La alternativa correcta es A x2 + 4 0 esta condición siempre se cum plirá pues “x” se está elevando al cuadrado y se le está sumando un número positivo.
16. La alternativa correcta es D Si z = a + bi, como –a = b se tiene z = a – ai, entonces
z =
a2 2aai + (ai)2 a ai a ai · = a + ai a ai a2 (ai)2
=
=
a2 2aai + (ai)2 2
2
a +a
17. La alternativa correcta es C 12.5982 – 12.5882
= (12598 – 12588) · (12598 + 12588) = (10) · (25186) = 251.860
18. La alternativa correcta es D I)
Verdadero
II) III)
Falso Verdadero
z =
a2 + b2
=
a2 + (-b)2
a2 + (-b)2 a2 – b2
a2 + b2 = (a + bi) · (a – bi)
4
a + ai
-2a2i 2a2
= -i
19. La alternativa correcta es D (1) Suficiente, si pq < 0, entonces M = ( ) = (+) es positivo. ( )
(2) Suficiente, si
p < q
0, entonces pq < 0 y luego M es positivo.
20. La alternativa correcta es A 32n+2 : 32n+2 3-1
=
1 3-1
= 3
21. La alternativa correcta es D -2x + 3p = px + 1 -2x – px = 1 – 3p x (-2 – p) = 1 – 3p / : (-2 – p) x=
3p 1 1 3p = , p+2 -2 p
con p -2
22. La alternativa correcta es B El sistema de ecuaciones y x=8 2x y = 7
Resuelve el problema planteado
23. La alternativa correcta es B 2,6 · 60 = 156 minutos 1 3
+
x= 1 6
1 2 1 6
+ x = 1
· 156 minutos = 26 minutos
5
24. La alternativa correcta es A (a + 1)-1 +
1 1 1+ a
=
1 a a+1 + = = a+1 1+a 1+a
1
25. La alternativa correcta es C 1 1 x y + : = 3 y y x x y+x xy · = 3 xy (x + y) · (x y) 1 =3 x y x y=
1 3
26. La alternativa correcta es D Si una de sus soluciones es x = 2 reemplazamos en la ecuación dicho valor y queda (2 + 3) (2 – n) = 15 5 · (2 – n) = 15 10 – 5n = 15 / -10 -5n = 5 / : - 5 n = -1
27. La alternativa correcta es D (1) Suficiente, se puede establecer el sistema xy = 40 x2 + y2 = 89 Donde {(5,8)(8,5)} son sus soluciones con x > 0 e y > 0, en ambos casos el perímetro es 26. (2) Suficiente, se puede establecer el sistema x – y = 3 xy = 89 Donde {(8,5)} es su solución con x > 0 e y > 0. 6
28. La alternativa correcta es C
-3
-2
4
6
29. La alternativa correcta es C I) Verdadero; Función costo C(x) = 300.000 + 50.000x II) Verdadero; Función venta V(x) = 120.000x III) Falso; V(15) – C(15) = 1.800.000 – 1.050.000 = 750.000 1.800.000
30. La alternativa correcta es C f(6) = g(7) 30 = 30 31. La alternativa correcta es B I) II)
Si estuvo 8 segundos en el aire H (8) debe ser cero, 80 · 8 – 10 · 82 = 640 – 10 · 64 = 640 – 640 = 0 (Verdadero) La altura máxima se alcanzaría en (-b/2a) , primera componente del vértice
-80 4ac b2 , = -2 -10 4a
V III)
4 (-10) 0 -802 4, (Verdadero) 4 -10
Para ser verdadera se debe cumplir f(1) = f (3) f(1) = 80 · 1 – 10 · 1 2 = 70 f(3) = 80 · 3 – 10 · 3 2 = 240 – 90 = 150 f(1) = f(3) (Falso)
32. La alternativa correcta es E Como son lineales las pendientes tienen que ser la misma (12,1.800);(16,2.240)(6,y) 2.240 1.800 y 1.800 = 16 12 6 12 440 y 1.800 = 4 -6
110 · (-6) = y – 1.800 -660 = y – 1.800 y = 1.140 7
33. La alternativa correcta es B 2x + 3 = 5 x=1 g(5) = 6 – 2a 10 = 6 – 2a a = -2 2x + 3 = -2 x = -5 2
g(-2) = 6 ·
5 - – 2 2
·-2
g(-2) = -11
34. La alternativa correcta es C x – 2 debe ser igual a 4 x = 6 al hacer f(4) = 26 – 1 = 32 35. La alternativa correcta es D I) II) III)
Verdadero Falso Verdadero
Es una función par. Es creciente. Es decreciente en ]-, 0[.
36. La alternativa correcta es B (1) No se puede, esta información es la misma que entrega el enunciado (2) Si se puede ya que el producto de las raíces es c = -4 + n = 2 a
3
37. La alternativa correcta es E El área original es r2, si se duplica el radio el área nueva es (2r)2 = 4r2 La nueva área es un 400% de la original es decir aumenta en un 300% 38. La alternativa correcta es D (4x2 + 4x + 1) = (2x + 1) 2, por lo tanto, el lado del cuadrado es (2x + 1), si cada lado aumenta en 3 cm el nuevo lado medirá (2x + 4) el perímetro será 4 · (2x + 4) = 8x + 16
8
39. La alternativa correcta es E Con una rotación de 90º positiva la figura A queda como la B solo falta trasladarla.
40. La alternativa correcta es B x · b = 48 x=
48 b
2b + 2 ·
48 b
=
2b2 + 96 b
41. La alternativa correcta es A
dAB =
62 + 22
=
Área del cuadrado
40 d2 40 = = 2 2
20
42. La alternativa correcta es A I) II) III)
Verdadero Falso Falso
AM // NC ; FM // NE Es verdadero, si ABCD es cuadrado. Es verdadero, si ABCD es cuadrado o rombo.
43. La alternativa correcta es D Los dos mayores 5k y 4k, los dos menores 4k : x = 2 : 1. Entonces, 2x = 4k x = 2k Luego, los segmentos son 5k, 4k y 2k por esto se puede afirmar que 11k = 22 k = 2 las medidas de cada segmento es 10 cm, 8 cm y 4 cm. El mayor mas el menor resulta 14 cm.
9
44. La alternativa correcta es D El arco DA mide 140º pues el arco BD mide 40º (arco que sostiene a un ángulo inscrito) debido que el arco BA mide 180º por ser media circunferencia. El ángulo AFD =
arco DA arco DB = 140° 40° = 2 2
50°
45. La alternativa correcta es A ACB = 90º – = 90º – ACB < 70º 90º –ACB < 70 20º < ACB
46. La alternativa correcta es C Si el perímetro es 12 por la fórmula h =
3
el lado mide 4
a 3 4 3 = 2 2
3
3
la altura de un triángulo equilátero está dado
= 6
47. La alternativa correcta es C Con la información (1) no podemos determinar ningún valor de ángulo Con la información (2) podemos calcular la medida del ángulo en A, inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco, es decir 110º y a su vez el opuesto Con ambas sabemos qué el ángulo DAB = 110º y que el ángulo ABC es un quinto de él, con el ángulo CDA son suplementarios, por lo tanto con ambas es posible. 48. La alternativa correcta es E Pasa por los puntos (0,-3) y (-2,1) m=
1+3 -2 0
= -2
Como corta el eje y en -3 la ecuación es y = -2x – 3
10
49. La alternativa correcta es D I) II) III)
7 3 1 2
Verdadero
mL = -4 =
Falso
Intersecta al eje x en
Verdadero
mL = -4
15 8
50. La alternativa correcta es B I)
Falso. No necesariamente la razón debe ser 1 o – 1, y las áreas de las figuras
son iguales. Verdadero. Si la razón es -2, el área se cuadruplica. Falso. Si la razón es 2, el área se cuadruplica.
II) III)
51. La alternativa correcta es C La recta que contiene al segmento AB pasa por los puntos (-2,5) y (2,1) m=
1 5 = 2 -2
-1,
Como la simetral es perpendicular al segmento su pendiente es 1 y pasa por el punto medio del segmento (0,3). y – 3 = 1(x – 0), entonces la ecuación es y = x + 3 52. La alternativa correcta es E 2x + y 4 = 0 x + 3y 7 = 0
x =1
, donde
e y = 2, luego x + y = 3
53. La alternativa correcta es C dAB = (-2 p)2 + (3 + 1)2 + (-4 + 2)2 = 6 (-2 – p)2 + (3 + 1)2 + (-4 + 2)2 = 36 (-2 – p)2 + 16 + 4 = 36 (-2 – p)2 = 16 -2 – p = 4 -2 – p = -4 -6 = p 2 = p
11
54. La alternativa correcta es C Visual, se debe considerar el espacio entre la recta que sirve como eje de rotación y el segmento más cercano a este que forma las dos circunferencias y el pequeños segmento paralelo al eje que forma el cilindro al rotar.
55. La alternativa correcta es B
12 + a2
=
8 /
( )2
1 + a2 = 8 / -1 a2 = 7
56. La alternativa correcta es E
4,5
x 4
2
4,5 x 6 2
x = 1,5
57. La alternativa correcta es B M es punto medio de BC M(3,-3,1) ; AM (-1,-6,2) (x,y,z) = (4,3,-1) + t(-1,-6,2) x = 4 – t y = 3 – 6t z= -1 + 2t x 4 y 3 z+1 = = -1 -6 2
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58. La alternativa correcta es B El área de una esfera se calcula con la fórmula Aesfera = 4 · · R2 320 20 = x 9
144 = 4 · · R2 36 = R2 / 6=R
x = 144 , área de la esfera
C
59. La alternativa correcta es C (1) Insuficiente, se desconoce la medida de PD . (2) Insuficiente, se desconoce la medida de BA . (1) y (2) CP = PD. Por teorema de las cuerdas
B
CP2 = 8 · 6
P
A
D
60. La alternativa correcta es E Intervalos
Número de niños
F
F%
[1,50;1,55[ [1,55;1,60[ [1,60;1,65[ [1,65;1,70[
6 26 8 10
6 32 40 50
12% 64% 80% 100%
Luego, es fácil ver que la mediana está en [1,55;1,60[
61. La alternativa correcta es C Corresponde a la media de la población Media = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 5 = 3
62. La alternativa correcta es D I) II) III)
Falso. La frecuencia relativa de [0,5[ es 0,2 y la de [10,15[ es 0,1. Verdadero. El intervalo [0,5[ tiene una frecuencia acumulada de 0,2 y la
acumulada hasta el intervalo [5,10[ es 0,7 la diferencia de las acumuladas 0,7 – 0,2 es de 0,5 (50%). Verdadero. En el intervalo [10,15[ hay frecuencia relativa 0,8 – 0,7 = 0,1 y es la menor.
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63. La alternativa correcta es D Intervalo
[20,25[ [25,30[ [30,35[ [35,40[ [40,45[ [45,50[
Frecuencia
F
16 21 18 22 15 8
16% 37% 55% 77% 92% 100%
Como son 100 datos cada frecuencia representa el porcentaje, luego es fácil ver el primer cuartil esta en [25,30[
64. La alternativa correcta es E I) II) III)
Falso: No se puede determinar la desviación estándar con solo la media. Falso: La media sería el triple de la media original. Falso: La varianza queda igual.
65. La alternativa correcta es E Rango diferencia entre el dato mayor 13 y el menor 2 es 11 (13 – 2 = 11)
66. La alternativa correcta es D 5 5! 3! 4 5 20 = = = 10 = 2! 3! 2 3! 2 2
67. La alternativa correcta es C Como no puede partir con cero 9 posibilidades para el primero. Como ya se usó un número en el primero y si se puede usar el cero en la segunda ubicación entonces tengo 9 posibilidades para el segundo. Luego, no hay más condiciones fuera de que sean distintos y serian 8 para el tercero y 7 para el cuarto.
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68. La alternativa correcta es D (1) Suficiente, la media de la población es igual a la media de todas las muestras. (2) Suficiente, con la suma de las medias y el total de muestras de tamaño 3. Se determina el promedio de la población 69. La alternativa correcta es A Los valores de la variable aleatorias X pueden ser 0, 1, 2, 3 y 4
70. La alternativa correcta es E n = 20 x = 18 P(correcta) = 0,5 P(incorrecta) = (0,5) 20
20 2
P(18 preguntas correctas) = = 18
P(18 preguntas correctas) =
20 1 20 2 2
71. La alternativa correcta es A BN = buena nota EST = estudie P (BN/EST) = 1 3 5 = 5 P(EST)
P(BN y EST) P(EST)
; P(EST) =
1 5 1 = 5 3 3
Que Roberta No estudie = 1 –
1 2 = 3 3
72. La alternativa correcta es B Como m = 0,2 E(x) = 0 + 0,4 + 0,2 + 0,6 = 1,2
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73. La alternativa correcta es B Usando triángulo de Pascal: 1 6 15 20 c6 c5 c4 c3
15 c2
6 c1
1 c0
1 6 7 + = 64 64 64
74. La alternativa correcta es C Probabilidad que salga cara 2x, sello x, entonces
2x + x = 1 1 x= 3
Probabilidad que salga cara
2 3
y sello
1 3
Qué salga más de dos caras, es decir tres caras o cuatro caras 4
3
2 2 1 +4 3 3
1 48 16 = = 3 81 27
75. La alternativa correcta es E La probabilidad de un valor exacto (40 semanas) en una distribución normal es 0. 76. La alternativa correcta es B Usando la fórmula del intervalo de confianza con n = 100, queda 32,5 1,96
5 100
; 32,5 + 1,96
1 2
77. La alternativa correcta es D F(1) = P(X 1) = 0,3 + 0,6 = 0,9
16
x =
32,5;
Z 1 2
= 1,96; = 5 y
78. La alternativa correcta es B El recorrido de la variable aleatoria X es RecX = {0, 1, 2, 3, 4, 5} pues el menor valor es 1 – 1 = 2 – 2 = … = 0 y el mayor valor 6 – 1 = 1 – 6 = 5
79. La alternativa correcta es A E(X) =
0
1 3 1 1 3 3 13 +2 +4 +6 =0+ +1+ = 8 8 4 4 4 2 4
80. La alternativa correcta es A (1) Suficiente, 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 hay 5 números primos. (2) Insuficiente, si hay 6 números compuestos podrían haber 12 ó 13 fichas.
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