Unidad 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 6) Unidad 1 1.
9x2 - 18x - 36 = 10x2 - 30x - 100
Reemplazando en (1):
x2 - 12x - 64 = 0 (x - 16)(x + 4) = 0 & x = 16 0 x = -4
200k + 180k 200k - 180k
πk + 3 =
Colocamos los ángulos en sentido antihorario, y tenemos:
&
πk + 3 = 19 & πk =
16
&
R = 16
&
Por lo tanto, el ángulo mide 16 rad. Clave B
3x
−(2x − 10°)
6.
−(30° − 4x)
Del gráfico: -(2x - 10°) + (3x) - (30° - 4x) = 180° -2x + 10° + 3x - 30° + 4x = 180° 5x - 20° = 180° 5x = 200° ` x = 40°
g
Por dato: los ángulos (3x)° y complementarios.
d 203x n son
d n = 90° d 203x n d 109° n 90° Clave B
g
30θ
Del gráfico, se cumple: 18q° + 30qg = 90° 18q° + 30qg 9°g = 90° 10
Del enunciado: 30x + π rad = 3(90° - π 2
g
8.
n
+
m
n
50
30x = 270° - 180° 30x = 90° ` x = 3°
810 0 00 00’’
810 00 000’’
π 810000’’
`
R+3 C+S
R+3 C+S
d
n
1° 3600’’
π rad 180°
=
n
=
5 rad 4
d 1001 n = 0,5 d 9° n = 0,45° 10 = 0,45° d n = 1620”
=
C
-
S
Se sabe: S
180
=
…(1) π
=
k
S = 180k, C = 200k y R = pk
&
2
d n 54 = 54 d rad n 200 54° = 54° π rad
1 3
3
3
3 .2 .10 1 3. 2 . 1 0
d n = 3 1 60
El ángulo es 3°.
π
g
g
3π rad 10
3π rad 10
=
27π rad 100
27π rad 100
-
=
Intelectum 5.°
Clave C
(179x + 185)° = (180 + 180x)° 179x + 185 = 180 + 180x x = 5 Reemplazando: a = (1 + 5)p rad g a = 6p rad 200 π rad
a = 1200g
`
Clave C
13. Sea el error E:
E = 315° - 315g
3π ra d 100
E = 315° - 315g E=
315° 10
d 109° n g
2
10. S = x - 3x - 10
…(1)
E = 31,5°
2
…(2)
En el sistema radial
Dividiendo (1) y (2): S C 9 10
x =
2
x
-
3x
2
x
x
10
-
2x
-
4
-
3x
-
10
2
=
-
2 -
2x
-
4
factor n conversión
d n factor conversión
=
180°
C = x - 2x - 4
R
1 (18 1800) (20 2000) (6)
d
Clave A
=
k
(179x + 185)° = (1 + x)p rad 180° π rad
3600’’ 1°
2
C 200
=
(179x + 185)° = (1 + x)p rad
El error cometido será:
C+S (C + S) (C - S) C+S C-S
π
12. De la relación:
m
g
g
5 rad 4
C+S 2
`
Clave D
9.
Clave D
R + 3 =
&
π
=
π
5.
225 °
=
d
R
Luego: S = 180k = 180
50m = 1620”
`
π
k=
g
50m
810 0 00 00 ’’
=
π
k3 = k3 =
Clave E
4.
=
6
30 g
g
50m = 50m
30x = 270° - p rad
d
C 200
Clave A
π rad 3π rad 6 2
30x = 270° - p rad 180° π rad
rad.
(180k)(200k)(kp) = π
Luego: 30x = 270° -
11π 10
SCR = π , reemplazando valores
Como: a - b = 30g g (50 ) - b = 30g g & b = 20 Por lo tanto, el menor ángulo mide 20 g.
rad )
6
11π rad 10
=
Del enunciado:
2a = 70g + 30g 2a = 100g & a = 50g
Clave B
3.
n
6
d
18q + 27q = 90 45q = 90 ` q = 2
=
g
2a = 7π rad 200 20 π rad
d n
180°
medida de un ángulo en los 3 sistemas. De la fórmula de conversión: S 180
Sean los ángulos: a y b (a 2 b) Por dato: a + b = 7π rad 20 (+)
a - b = 30
π rad
11. Sean S, C, R los números que expresan la
18θ°
7.
d
Clave C
3x + 6x = 90 9x = 90 ` x = 10
2.
198°
Por lo tanto, el ángulo mide
=
g
Clave D
Entonces el ángulo mide 198° &
g
(3x )° +
Reemplazando en (1): S = (16)2 - 3(16) - 10 S = 198
g
Entonces: (3x)° + 20x 3
x = 16
d n
E = 31,5° = 31,5° πrad `
E = 7π rad 40
180°
Clave D
14. Se tiene:
175° = 175° 175° =
8.
Piden: π rad b 180π ° l rad = 175 180
35π 36
rad
&
35π 36
n=
rad
`
M=
3x + 4y 5x - 4y
M=
9 7
3 (8k) + 4 (3k) 5 (8x) - 4 (3k)
=
=
9 7
d
M=
1
π 1
π
[36n - 30p] =
1
π
[36
d n - 30 ] 35π 36
p
4.
[35p - 30p] = 5π π
π
g
180°
-
5
36
50
Clave B
5.
…(a)
`
Además: &
1 rad =
C 200
6.
Por dato: SCR
&
=
S
=
180R
400πk 200πk
=
=
2
y - + AOB = 3(m+1 vuelta) y = 3(360°) + + AOB Del gráfico: +BOA = -(-60)° = 60° + AOB + +BOA = 90° + AOB = 90° - +BOA + AOB = 90° - 60° + AOB = 30°
&
k = 4
d
π rad 180°
n
=
π rad 5
rad .
d n
30,5g = (30,5)g 9°g 10
30,5g = 27,45° = 27° + 0,45° = 27° + 0,45(60') = 27° + 27' g ` 30,5 = 27° 27'
Resolución de problemas
C 200 C
d nd 180R
200R
π
π
n
R
R
3
=
=
=
10. Por dato:
R
π
60S & n.° de minutos sexagesimales 100C & n.° de minutos centesimales
200 R
π
Entonces: 60S + 100C = 1540
7.
π 180
π 180
rad.
2
Por dato: C - S = 76 Sabemos: C = 10k
/
S = 9C , luego 10
(10k)2 - (9k)2 = 76 19k2 = 76 k2 = 4 & k = 2
54C + 100C = 1540 154C = 1540 C = 10
Entonces:
a = 10g = 10g # π radg 200 `
S = 9k
a = π rad 20
Clave C
&
11. Sea el ángulo: a
Por dato:
a = 130g / 180° - a = (8n - 1)° α = 130g 9°g = 117° α = 117° 10
Luego: S = 9k = 9(2) = 18 & S = 18
&
En radianes: 18° π = π rad
b 180° l
8 3
&
10
Clave A
... (2)
C 10
d n
3
Por lo tanto, la medida del ángulo es
2
=
60 9C + 100C = 1540
π3 180
=
S 9
π 162
=
... (1)
Clave B
Razonamiento y demostración
=
R
Reemplazamos (2) en (1): y = 1080° + 30° ` y = 1110°
Por dato: g x = 4° / y = 2 30 36
162
/
π
y - + AOB; tiene un número entero de vueltas el cual según gráfico es 3, luego:
y = 3k
9.
Reemplazando en el dato se tiene:
Del gráfico se observa que:
/
15
π
…(b)
Clave C
x = 8k
=
Clave C
Por lo tanto, la relación correcta es la C.
&
=
200R
180
=
1
Clave C
π (200k) + π (180k) + 20 (πk) 200 (πk)
πC + πS + 20R
Sabemos: S
g
+
15
k
=
π
Clave B
De (a) y (b): g & 1 rad 2 1° 2 1 g & 2 rad 2 2° 2 2
d nd 109° n
10k 10
=
π
1 rad . 57°19’30” 2 1° & 1 rad 2 1°
Luego: x = 4° 36 y 2 g 30
R
180°
&
3.
=
Piden: πC + πS + 20R 200R
!
1
n n
5
S = 180k, C = 200k y R = pk
Se sabe:
p rad = 180°
=
1
Por lo tanto, la medida del ángulo es π
&
Comunicación matemática 9° = 10g & 1° = 1, 1 g 2 1g g & 1° 2 1
36°
Sabemos: S 180
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 8) Unidad 1
+
Entonces, el ángulo en radianes mide:
r ad
50
C 10
Luego: S = 9k = 9(4) = 36
Clave C
36
-
nd nd
1
(k - 1)(k + 1) = 15 k2 - 1 = 15 k2 = 16
9π rad 50
=
=
9k 9
-
5
El error cometido será: π rad 9π rad π
π rad = π rad
S 9
π rad
=
El número de radianes de M° es π .
`
2.
180°
g
Luego:
1.
d n 36 = 36 d rad n 200 36° = 36° π rad g
M = 5
M° = 5° = 5° #
d
Clave E
Reemplazando en M: M=
Se sabe: S = 9k / C = 10k Por dato:
10
Por lo tanto, la medida del ángulo es π rad. 10
d n
&
Luego: 180° - 117° = (8n - 1)° 63° = (8n - 1)° 64 = 8n & n = 8
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
3
Piden: ng en radianes
d
`
g
n
π rad ng = 8g π rad = 25 200 g ng = 8g = π rad 25
m
s
14. 40° = aa aa aa
d n
g 40° 10 9°
&
Clave E &
Nivel 2 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática
…(1)
400 g 9
=
=
g m 44g + 4 100g 9 1
d n
g
m
. 44
s
(C + S) + (C + S) + (C + S) + ... + (C + S) = 3800
a = 13; b = 6 ; c = 45
S 180
=
a + b = 20°
3800R
9
C 200
n
d
200R
π
x = 42; y = 17; z = 9
De las expresiones:
2 3
III. c = 45; z = 9
&
a y b no son equivalentes. (F)
b y z están en razón de 2 a 3. (V)
π
x° + a° + 180° - b° = 360°
De (2) y (4):
π
n= nd n= +
180R
3800R
π
π
380R
3800R
π
π
2n° = 20°
De (3) y (4):
b + 100° = 78°
b = -22°
&
d
El mayor es: 58° π rad
`
` 180° j
rad
180°
16. Por dato:
160 A =
1 3
(m+1 vuelta)
160 A =
1 3
(360°) = 120°
4 3
29π rad 90
Por dato: (3600S) - 3(100C) = 29 400 12S - C = 98
12
A
= 1°
Entonces, se cumple: 3600 S: representa el n.° de segundos sexagesimales. 100 C: repre senta el n.° de minutos centesimales.
... (1)
d n d 180R
π
-
200R
π
Además:
π R
=
98
=
98
=
π 20
Por lo tanto, el ángulo mide π
27B = 90° 3B = 10°
n
1960R
&
Clave B
=
grados sexagesimales y C el número se grados centesimales.
9
c m
S(x) = a° - b°
n
18. Sabemos que S representa el número de
2n° = π rad.
4 A = 3°
S(x) = 180° - (180° + b° - a°)
Intelectum 5.°
a = 42°
&
Clave D
π
S(x) = 180° - x
4
a + (36)° = 78°
Finalmente:
x = 180° + b° - a° Luego; el suplemento de x será:
…(4)
(20°) + q = 78° & q = 58°
160 A = 120°
x° - b° + a° = 180°
…(3)
De (1) y (4):
Clave A
x° + 90° + a° + (-b°) + 90° = 360°
180°
π rad
…(2)
3800R
(F)
13. Del gráfico se obtiene:
d n rad d n = 100°
2(a + b + q) = 156° a + b + q = 78°
200R
z es menor que c. Clave E
…(1) 9° = 36° 10 g
Sumando (1), (2) y (3):
π
n = 10
&
&
R
y C=
π
n(C + S) =
b = 42g 17m 9s = xg ym zs
I. a = 13; b = 6
=
Luego:
s
b = 42g + 17m + 9s
`
g
a + q = 5π
π
180R
S =
&
s
b = 42 # 100 + 17 + 9
=
17. Sean: a, b y q dichos ángulos.
De la fórmula general:
b = 4217m + 0,09 # 100s
6 9
Resolución de problemas
b + q = 40
n(C + S) =
b = 4217m + 0,09m
=
π
Luego:
b = 4217,09m
b z
R
n términos
Análogamente
II.
120 A = 27B Clave C
a = 13° 6' 45" = a° b' c"
m
9 40
15. Del dato:
a = 13° + 6' + 45"
m
B
d n
120 A = 120 # `
a = 13 # 60' + 6' + 45"
`
120 A = 120 # 1 A De (3):
Clave E
a = (13 # 60 + 6)' + 45"
b = 4217 + 9
... (3)
Piden: …(2)
a = 786' + 45"
m
s
4 A 3
B
9 40
A
Comparando (1) y (2): & a = 4 ` 2a = 8
a = 786' + 0,75 # 60"
40 3
dn
A
d n 1 =d n 3B =
d n
40° = 44 44 44
a = 786,75' = 786' + 0,75'
3B = 10(1°) = 10
m g 40° = 44g + 44m + 4 100 9 1m
&
12. De los datos:
`
(1) en (2):
Razonamiento y demostración
20
rad.
... (2) Clave A
19.
y = 60S Además: x - y = 368
B α
`
E) De: S
5x
A
g
(4x + 5)°
C
S 9
d n
S C 9 10
=
&
9 C 10
S =
SC 40
Luego: g
100C - 60S = 100C - 60
Del gráfico: 5x = (4x + 5)° 5x
d n
9° = (4x + 5)° 10 g
g
9x 2 x 2 &
d n = 368 9 C 10
`
= 4x + 5
`
Luego: 45° + a + 45° = 180°
d
a = 90° π rad ` α =
π
2
180°
V S
a = 2π rad 2π 25
rad.
Nivel 3 (página 9) Unidad 1 Clave D
S 180
B 54°
x
A
S
C
C 10
=
9
-
`
&
4a° 3b ’ 1c ’’
d
3π 180° rad π rad 13 &
n
3π rad 13 3π rad 13
41° +
=
=
=
C 10
=
S 180
π
7 6
=
π
20R
π
V 7
&
=
S 6
=
S 6 # 30 30
&
V 210
=
S 180
... (1)
C 200
R
=
V 210
=
π
... (2)
=
V ` 210
V =
210R
π
A es correcta.
C
-
1
C 10
=
B) Relación entre V y C De (2)
1
-
C 200
10 10 -
=
d n d n 60’ 1°
4 1° 1° + 32’ +
4’ 13
C 10
=
S+C 9 + 10 `
...(1) 7° 13
S 9
=
180
20R
=
=
-
V 7
k1
9 (k1) + 10 (k1) 9 + 10
C 200
-
=
C S 200 π -
=
S 1 80 18
R
=
π
=
200k 2 200
k2
-
-
200k 2
=
C =
200
πk 2 π -
-
=
k2
180k 2 180
`
S
-
20
-
Piden: J = (a + b)c = (1 + 2)8 ` J = 24
C es correcta. S 9
22. Datos
S 9 2
&
S 81
C 10
2
dn
x " n.° de minutos centesimales y " n.° de minutos sexagesimales Sean S, C lo convencional para un ángulo a: x = 100C
=
=
=
20V 21
=
20R
π
=
360 6
V = 420
&
m+1 vuelta = 420v
... (3)
=
...(1) k2
...(2)
D) De (3) m+1 vuelta = 420v = 360° v & 420 = 360° v ` 42 = 36° D es incorrecta.
... (4)
E) De (4) 42v = 36° 7v = 6° 7v = 6(60') 7v = 360' E es correcta.
Razonamiento y demostración
k1
25. Reduciendo la expresión tenemos:
d n
k12; C 20R 10 π
=
k12
E=
2CR
π
=
Clave D
D) Sea: Clave D
`
k1
De (1) y (2):
Comparando (1) y (2): & a = 1, b = 2 y c = 8
C =
C es correcta.
-
41°32’18” …(2)
=
π
C 200
C R 200 π
60’’ 1’
V ` 210
C) De (1), siendo S = 360 para el ángulo de 1 vuelta
B es correcta.
C) S
=
B es correcta.
A es correcta.
S 9 Clave C
=
=
=
R
B) Se tiene:
d n
13
S 9
&
π
&
9
9
En el triángulo ABC, se cumple: x + 54° + x = 180° 2x = 126° g x = 63° 10 = 70g 9° g ` x = 70
π 21. 3 rad
R
=
2
2
Se tiene: A) S
x
C 200
=
k12
A) Relación entre R y V De (2)
Comunicación matemática 23. De la fórmula general de conversión:
20.
=
En la fórmula general de conversión: Clave B
rad
π
E es incorrecta.
V 7 # 30 30
25
La medida del ángulo es
n
20R
Del dato:
a = 16g # π radg 200
Entonces: m+C = (4 # 10 + 5)° = 45° & m+ A = 45°
2
d n
las medidas de un ángulo en los sistemas de medición angular:
a = 16g
x = 10
k1
=
24. Sean V, S, C, R los números que representan
Luego, el ángulo será:
= 5
π
k12 ;
=
400R
=
20R
=
Clave E
100C - 54C = 368 46C = 368 C = 16
C 10
=
9
100C - 60S = 368
&
También: C 10
D es correcta.
E=
( C
+
S )2 + ( C - S )2
( C )2 - ( S )2 2 (C + S) (C - S)
-
-
2
2
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
5
Sabemos: S
C
=
9 10
Se sabe:
= k
1° = 1g
S = 9k / C = 10k
&
5
Reemplazando en la expresión reducida: E `
2 (19k) k
=
-
2
w
2
36
=
10 9
v
=
10 9
1V =
`
E = 6
; reemplazando: &
1
w
1 w
dn 9 4
=
v
&
4 9
Clave C
M=
>
M=
2200g π rad π rad 200 g
M `
=
29. M
H
11g (1 + 2 + 3 + ... + 70) 400 2 rad (1 + 2 + 3 + ... + 70) π
d
2200 200
=
=
n
M=
Clave B
M=
27. Por dato: m g
m m
g
m
&
f
m
(100am) + am am
g
=
pf
M
a g bm; (a 2 b)
(100bm ) + bm bm g
d n
20x° + 3x π rad + 80x g 5 2xπ rad (50g) x 15x ° + + 9
m
p
=
=
20° + 3π rad + 80 g 5 2π rad + 50g + 15° 9 20° + 3π rad 180° 5 π rad
d
2π 9
w
5 = 1°
6
/
/
20v = 10g v
2 = 1
=
E =
625 9
=
&
g
Intelectum 5.°
bl
75 2
a b
75 2
=
d n 50 27
25 3
25 3
E=
Clave B
=
180 S
3
200 C
+3
+
π
3
R
n
+
80
g
9° 10 g
&
180 180k
3
+
200 200k
+3
3
1 k
+
3
1 k
200° 100°
a b
π πk
3
+
1
3
+
k
30. Colocando los ángulos en sentido antihorario,
tenemos:
a
am = -(-b’) am = b’
m
-(-b')
=
3
1 k
=
3
3
1 k
=
1
Clave C
Resolución de problemas
=
33
&
g m
3
=
Sabemos: S = 180k, C = 200k / R = pk g
g
+
π
20° + 108° + 72 ° 40° + 45 ° + 15 °
28. Por dato:
(1°)
75a 2b
`
d n rad d 180° n 50 d 9° n 15° rad 10
Clave A
1 5
=
g m
Comparando: a = 102 / b = 1 Piden: a + b = 102 + 1 = 103 ` a + b = 103
1w =
50 27
M = 2
`
m
(101) (101) = a b (102)g(1)m = agbm
=
m
g
31. Por dato:
M = 11
g
a b
Simplificando, tenemos:
11
d aaa n dbbb n
1’ 10 g 1m 9°
E
Clave C
26. Factorizando tenemos:
=
Piden:
1V = 2,25w
0
d nd 601°’ nd 1001 n
a b
3
k = 1
Piden: E
=
E
=
E
=
3
6( 3
-
2 ) SCR
3
6( 3
-
2 ) (180k) (200k) (πk )
3
60 3 k 3 ( 3
-
2 )π
=
Una aproximación de p es: 3
&
E = 60k
( 3
`
E = 60k = 60(1) = 60
-
60k 3 ( 3 3
2)( 3
+
+
-
2 )π
2
2)
=
60k (1)
&
Clave E
SECTOR CIRCULAR APLICAMOS LO APRENDIDO (página 10) Unidad 1
2 2 θ (R2 - r 2) = 3 θr
2
7.
2
2
2
1 A
2
2(R - r ) = 3r
1.
2
A
r
&
R π
O
A
3π
/5
2
=
1 1
2 5
r R
5
Del gráfico, la longitud que recorre el centro de la rueda al ir de A hasta B será:
Clave B
Por propiedad, el área del trapecio circular es: (4π) 2 (3π) 2 7π2 35π A 2π 2 2 π 5 5 35 ` A = π -
` j
=
LC 4.
A
LC
B
2
Por dato la rueda mayor gira 18°. &q A = 18°
(1) 3r
r 20r
&
Por dato: la bicicleta dará 20 vueltas. Entonces, la longitud recorrida por el centro de la rueda (1) será: LC = 20(2p . 20r) = 800p r nv
(1)
nv
(1)
&
&
=
=
2πr
800πr = 400 2πr
` qB
5.
19π 4
=
nv
(AB)
=
19π 4 2π (1)
=
=
19 8
19 8 Clave E A
8. C 2
= 36°
L1
1 rad
O
L2
A
2 D
3
B
Del gráfico: L1 = (1)(2) = 2 L2 = (1)(5) = 5
Del gráfico: 6
= 400 8 θ r ra ad
O
A
400 3
Por lo tanto, cada rueda dará
Del gráfico: q(14) = 14 & q = 1
Clave A
9.
Piden:
y 400 vueltas.
A
El área del sector sombreado (A): 2 A = θR 2
C
=
(1) (8) 2 2
r
=
32
r
r
L1
S2
L2
D
6. 1 rad
6m
A
8m
α+θ
2 S1 = θr
2
2
2
Por propiedad, el área del trapecio circular será: S1
=
S2 = θ (R2 - r 2) 2
Por dato: 2S2 = 3S1
B
r
C
Del gráfico:
O
Del gráfico:
-
2r
Sea el valor de a expresado en radianes.
B
2
r
θ
O
Clave B
S2
R
2 S2 = θR
M r
S1 α
S1
S1 + S2 = θR
D
r
Q
` A = 32
A
θ
2psomb. = L1 + 3 + L2 + 3 2psomb. = 2 + 3 + 5 + 3 = 13 ` 2psomb. = 13 &
Clave A
3.
Piden: el perímetro de la región sombreada (2psomb.).
14
6
nv(2) = 400 3
&
` 2 j . (5) + c 34π m . (3)
Clave D
= 20(2p . 20r) = 800pr (2) LC(2) 800πr = 400 nv(2) = = 2π (3r ) 6πr 3
O
(2)
3
LC
&
+ LC
= π
(18°)(4) = qB(2)
Luego, la longitud recorrida por el centro de la rueda (2) será:
&
(AB)
(1)
q A . R A = qB . RB
(1)
Lc(1)
`
Luego, por estar en contacto las ruedas, se cumple: L1 = L2
P
(AB)
= LC
Piden: LC( AB) nv = (AB) 2πR
(2)
2.
(AB)
LC
&
2m
4m
Clave A
B
2
=
C
=
4 45° 135° 2 LC(2) 1 1
4π
`
O
2
4
D
=
LC(1)
4
2R2 = 5r 2
B
1
θR2 2
-
θr 2 2
A
=
( 8)
` A = 14
2
(6) 2 (1) -
2 =
28 2
=
14
S1
=
S2
=
S2
=
=
π rad 2
&
θ
=
π 2
-
α
...(1)
θr 2 2 L1 + L2
c m cα cαm α 2
r =
m
. 2r + α . 3r r 2
2
m2 Clave C
5 r 5 r r = 2 2
Por dato:
S1 S2
=
1 2
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
7
12. Del enunciado, la bicicleta recorre 12 p m; por lo
2
θr 2
&
2
=
5αr 2
1 2
&
θ 5α
1 2
=
&
θ
=
5α 2
2 1 0,6 m
Reemplazando en (1):
c m 5α 2
=
` α =
π
2
α
-
&
7α 2
2
12π m
π
Sabemos:
Luego:
7
n1 =
10. R
n2 =
R
B
A
2πr 1
; n1: n.° de vueltas de radio 1
,2
,1
49π 11
Lrecorrida =
2πr1
rad
`
c π m(0,5) 49 11
49π 22
n1 + n2 =
12π 2π (0, 6)
n1 + n2 =
6
c
10 6
Clave B
+
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 12) Unidad 1
12π 2π (0, 8)
+
Comunicación matemática 1.
m
10 8
O
`
=
49 22
suma del número de vueltas de las ruedas es igual a 17,5. Clave C
c m 22 7
=
7
S
S3S1 = S2S4
r
11. Para la polea:
r
L
2
S4S1 = S2S4
r
S1 = S2
B
O
θg
r + + r
2
`
Por dato: S = πr
Cuando la polea gira un ángulo qg el bloque se eleva una altura h tal que equivale a la longitud de arco correspondiente al qg entonces:
nv =
2π
"
nv =
75 + 5 0 2π (1)
=
-
5( 3
+
2)
2( 3
+
2)
+
II. Se tiene del gráfico:
1
S1 =
2
r = ( 2
-
1)
r =( 2
-
1) m
`
r
2
Intelectum 5.°
1 2
2 ar ; S2 =
1 2
2 aR - S1
S2 =
1 2
2 aR -
S2 =
1 2
2 2 a(R - r )
= r (1 + 2 ) -
1) ( 2
+
1)
Si : S1 = S2: S1 = S2 1 2
AO + OB +
L AB
= 1 + 1 + ` π j (1) 2
AO + OB +
L AB
=
!
!
2 α r =
1 2
2 2 α (R - r )
r 2 = R2 - r 2 2r 2 = R2
4+π m 2
r `
número de vueltas que da la polea es 2,5
S1 = S2
2 2)
Nos piden
Clave A
8
π (3
AO = 1 m
nv = 2,5 ` El
=
=( 2
h 2πr
&
(verdadero)
AO = OB = r +
Reemplazando datos: nv =
2
Si S3 = S4
Luego:
... (1)
Además: θg
2
r 2 = ( 2 ) 2 - 2 2
h
h r
... (1)
De (1):
Clave A
qg =
Se cumple: S1S3 = S2S4 I. Si : S 3 = S4:
A
"
S3
13. Del gráfico:
x=7
qgr = L = h
S4
` La
d(AB) = Lrecorrida = x 49π 22
S2
S1
&
=
Por propiedad
n1 + n2 = 17,5
A su vez, la longitud que recorre su arco también va ser igual a la distancia entre A y B.
x
nv = 4
2πr 2
Reemplazando:
Se cumple que la longitud que recorre su arco va ser igual a: Lrecorrida = (qb)R =
q = 2p ; R = 9u ; r = 3u 2π (9 + 3) nv = 2π (3)
,2
+
2πr
Para el problema
; n2: n.° de vueltas del radio 2
2πr 2
n1 + n2 = Por dato: la rueda barre un ángulo de y R = 0,5
θ (R + r )
nv =
,1
Nos piden:
x
&
9
12π m
2
Clave B
&
3
1
0,8 m
π
=
14. Del grafico:
tanto, cada rueda de la bicicleta también recorre 12p m entonces:
Clave E
2
= R
Si : S 1 = S2
(falso)
&
R = r
2
1 2
2 ar
III. Si : S 3 = 4S4
S 9
De (1): S1S3 = S2S4 4S1 = S2 : S 3 = 4S4
R
4S1 = S2
&
20R
=
30 9
S14S4 = S2S4 ` Si
A 24
20R
=
O
π
π 6
=
E C
π
θ
&
S1
π ^2 3 h
=
6
2 π ^6 h
S1 + S2
De las propiedades de engranajes y ejes:
6
F
6
2
36π 12
=
2
D
Del gráfico:
π
=
=
` S2
2 A
2p
=
4.
S1
θ
a
3
a
S1
θa2
=
2
(falsa)
θ^3ah2
=
2
II. A y B unidas por un mismo eje:
4θa 2
n A = nB
+
S2
=
9θa 2
+
S2
=
9θa 2
2
y B dan un mismo número de vueltas S2
&
(verdadera) III. Del gráfico:
`
D y C mismo eje: nD = nC
S1
5θa 2
=
2
=
S2
2 O1 P
2
5θa 2
=
2
...(2)
2m
R
A3
2R
2θ
El triángulo O 1O2O3 es equilátero. Las regiones (sectores circulares) PO3R; RO2Q; QO1P son congruentes (áreas iguales).
θ
F
3R
Sea el área sombreada Sx. Se tiene que: A9 ABC = Sx + 3S ... (1) 9 ABC:
equilátero
A3 ABC
=
Del gráfico:
nD = 1 Si B da 2 vueltas (n B = 2), D da 1 vuelta
A1 =
(nD = 1) (verdadera)
Razonamiento y demostración
(3θ) R 2
2 =
A2 =
( 2θ ) ( 2R) 2
A3 =
θ (3R) 2 2
Clave E
3θR 2
2
=
=
2
4θR2
9θR2 2
Piden:
3. 2 30°
3
J S1 6
S2
`
=
A 2
-
A3
-
π/3 2 m O2
D
2 = 2nD `
▪
E A2
A1
O
Q
2m
R
A
Si: nB es igual a 2
S
R
C
3θ
S
1 5
R
R
/3 2 m
π
π/3 O3 2 m
▪
... (2)
2m
S
5.
nB = 2nD
x 2θ
7. Del gráfico:
Clave D
(1) en (2):
2
=
Clave C
2
nB . r = nC . 2r nB = 2nC
6
θa2
... (1)
B y C unido por una banda:
cθm
2
2
θ^2ah
2
x 2θ
x2 = 36 ` x = 6
...(1)
S1 + S + S2
2
x 2θ
=
2θ
De (1):
... (2)
El número de vueltas de C es igual a 4 veces el número de vueltas de E
` A
2
S2
S
a
nC = 4nE
... (1)
θ
L2
3A =
&
6
A=
Luego: S EOF = 3A =
a
(1) en (2): `
&
2θ
a
nD . r = nE4 r nD = 4nE
24
=
a
... (1)
D y E engranaje:
24 2θ
Entonces:
Clave B
nD = nC
( 24 ) 2 = 2θ
=
2θ
3π
I. Del gráfico: D y C mismo eje:
2
L1
COD = 2A =
S
π + S2 = 3π
&
Sean: n A, nB, nC, nD, nE, nF; los números de vueltas:
=
x
A
A B
π . 12
=
2
Clave C
A
α
π rad 6
=
2
(verdadero)
2.
6.
30° a radianes:
A1 A2
4θR
2
=
9θR 2
-
3θR 2
2
2 -
4θR
=
2
5θR 2
2
3 4
; S= 1 π 2
` 3 j^ 2h
A3 ABC =
(4) 2 3 ; S = 2π m2 4 3
A3 ABC
4
=
3m
2
2
En (1):
2
θR2
,
=
5
2
J = 5
4
3
`
Sx
=
Sx + 3
=
(4 3
2 3
c πm
-
2π) m
Clave E
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave E
9
Nivel 2 (página 12) Unidad 1
Resolución de problemas 8.
12.
I. De la condición:
Comunicación matemática
Del enunciado:
B
11. 5m
20
1
rn1 = Rn2 n1
10
3π 200
20a =
rad
S=
=
k
La razón de los radios (k) es igual a la
`
inversa de la razón de vueltas.
El área del sector será:
`
R r
=
n2
c m
2 qR = 1 3π (5) 2 2 10
=
c m entre su número 1 k
II. Del enunciado: = qr cm
15π 2 m 4 Clave B
:
La región sombreada corresponde a un sector circular cuya longitud de arco es la longitud que recorre P cuando el cuadrado gira desde el instante dado hasta que C toca el piso por primera vez. Luego, del gráfico: ,P
3.
=
` , P =
I es falsa.
15π 4
2 3π cm 2
longitud que la rueda recorre.
D P 3 cm
Sabemos:
D P
C
,
nV =
π
II. De la condición:
Sabemos que: 9.
C
3 cm
Se cumple:
1a = 3π rad
1 2
D
P r
g 1a = 3 πradg 200
S=
C
4 cm
R
Por dato: 1a = 3g
B
l
A
S 2
&
A
I. Para dos ruedas unidas por una banda:
a
α
lC
2πr
P
r
Para la rueda C: nVC =
,c
"
2π (5)
B
,c
=
10πn vc ... (1)
C
Trayectoria de P cuando el cuadrado gira según las condiciones luego, el área sombreada, sector circular y , longitud de arco donde:
= qr
r: radio de la rueda
Por dato: =
,1
2π (3)
+
,2
C:
longitud que recorre el centro de la rueda
2 π ( 4)
`
q . r cm es igual a la longitud que recorre el centro de la rueda.
Pero: 1 = 2 = 24 m, entonces: nVC
=
nVC =
24 6π
+
24 8π
7
=
4
π
+
= 10π
` C
1
2
+
4
2
17 cm
=
A
Entonces: π 17 ,=
2
2
7
cπm
` , =
= 70 m
n Ar A = nBr B
III. De la condición:
qi: ángulo que gira la polea
ni =
n A, nB : n.° de vueltas
B
θi
A
2π
θ1
Por dato:
2π
(n - 4)6 = n(3)
n1 n2
3n = 24
=
45°
´
45°
θ2 2π
3 cm &
n1 = n2
= 1
La razón de su número de vueltas es igual a1 III es verdadera.
n + 3 = 11 Clave D
D
,
`
n = 8
C
P
Luego:
r A; r B : radios
Intelectum 5.°
Sabemos que: q1 = q2
17 π 2
El número de vueltas de una polea (n i) está definido:
10. De la figura se cumple:
10
=
4 cm
III. Sean 2 poleas unidas por un eje: 1
2
BP
1 cm B
Clave B
`
BP
P
π
(2) en (1): C
,
II es falsa.
3
... (2)
π
A 4 cm
q: ángulo que gira la rueda
nVC = nVA + nVB
1 cm
α
Clave C
longitud de arco del sector circular sombreado de ángulo central 45° y radio 3 cm, entonces: π .3 ; 45° = π rad ,= 4
4
` , =
3π cm 4 Clave E
13. De la figura, sea L la longitud del péndulo: 10 cm P
n A =
Q 30°
60°
- 10 cm
θ A
; q A: ángulos que gira la rueda A
2π
q A = 2p n A
L
`
10 cm L
L2 = n3(2p)r 2; r 2 = 2 cm
Finalmente:
Razonamiento y demostración
R
2 p n3(2)
n3 =
11 2π
A
Clave B
L2 C
11
=
2.
q A = 12p
30°
B
22 =
`
22 7
n3 = 1,75 Clave C
15. Del gráfico:
L3
B C
QAC, RCB sectores circulares donde:
Resolución de problemas
S1 A
S2 22°32° S4
L2, L3: longitudes de arco
S3 G
Por dato: L2 + L3 = 13p cm ... (1)
n1r 1 = n2r 2
46° 26°
22°
17. Para los engranajes se cumple que:
D
S6
Por dato: r 1 = 5 u ; n 2 = 1,25 r 2 = 1 u
32° O
F
E
5
Del gráfico: L3 = π L; L2 = (L - 10)q; q = 30° L3 =
2 Lπ 2
OAB ,
q= π
Nos piden: 2 A = θR
6
BOD
6
En (1): L2 + L3 =
6
^L - 10h π + 3πL 6
+
=
`
n1 =
Para el punto A en el engranaje (1) n1 =
2π 5
A `
14. Del grafico:
BOD =
A
θ A 2π
q A = 2 π
&
1
c m 4
q A = π 2
En (1):
L = 22 cm
1 4
Luego:
R = 5 u
88 π
Clave C
A
n1 = 0,25
... (1)
2
5
4pL - 10p = 78p =
n1(5) = 1,25 (1)
q rad = 72° = 72° πrad 180c q rad = 2π rad
13π
q= 4 πL
En (1)
Por dato: Lπ 2
13π
=
DEO
S2 = S3 ; S 5 = S6
180
^L - 10hπ
CFO ,
Entonces:
q = 30° π
L2 = (L - 10) π
CGO;
... (1)
S5
2π 1 . 5 2
BOD = 5p u
Para el punto B en el engranaje (2) . (5) 2 n2 =
2 Clave E
θB 2π
qB = 2p(1,25)
&
qB = 5π 2
4 cm C 2 cm
Finalmente:
16.
B
3 2 cm
A
π rad
1
2
2
x
4
Datos:
5
nB + nC = 18; nB, nC: número de vueltas
5π rad 2
B
6 1
22 cm
Del gráfico: A y B unidos por el mismo eje:
Para la polea (1) La longitud que gire la polea 1 será igual a la longitud que recorre el bloque al descender.
n A = nB A y C unidos por una banda n Ar A = nCr C & nC =
Entonces: L1 = 22 cm
n A r A r C
Luego: nB + nC = n A +
n A r A r C
n A rC + n A rA r C n A .2 + nA .4 2
=
n A rC + n A rA
= 18 = 18
r C
x2 = 42 + 62 x2 = 52 x = 2 `
13
La distancia será igual a 2
13 u. Clave A
La polea (1) y (2) unidas por una banda: L1 = L2 = 22 cm
18. Del enunciado:
Polea (2) y (3) unidas por el eje de giro: ... (1) q2 = q3
R1
R2
Se sabe: L2 = q2r 2 De (1)
Dato:
6n A = 36
L2 = q3r 2
R2
n A = 6
De: nv =
R1 θ 2π
&
q = 2p nv
=
8 15
;
R1 = 8k R2 = 15k
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
11
En la bicicleta se cumple: 1
= 2
Para 2 ruedas de radios iguales, si recorren la misma distancia. Entonces el número de vueltas que dan las ruedas son iguales. Luego:
n1R1 = n2R2
&
Luego: n1(8k) = n2(15k) ; n1 =
3 8
rueda 3
3 (8 k ) = n2 (15 k ) 8
rueda 1 y 2 6m
1 5
n2 =
... (2)
Del dato III: m + AOB = p - (a + q) π = p - (a + q)
c m 1 5
2π rad 5
=
2π 5
rad
6
2n1 = 3n3
180c
π rad
... (1)
Clave D
(a + q)R2
... (3)
6
... (2) 3π
`
1 2
=
5
c πm 6
6
R=
2
R
5 5
2n3 = 8
Clave D
n3 = 4
3m
5m
... (1)
a + q = 5π rad
De (1) y (2): 3n3 - n3 = 8
19. Del enunciado
1 2
3p =
Pero: n1 = n2; radios iguales 2n1 - n3 = 8
... (3)
De (1) (2) y (3) se observa que solo (1) y (3) son necesarios, tal que presentan 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
Por dato: (n1 + n2) - n3 = 8;
Cualquier punto sobre la superficie de la rueda gira un ángulo de 72°.
5π 6
a+q=
n1(6) = n3(9)
qg = 72° `
= (a - q)R
6
qg = 2p n2; qg: ángulo que gira la rueda
qg =
2π 5
(a + q) = p - π
Se cumple: n1r 1 = n3r 3;
Además:
qg = 2p
9m
Del dato II: L1 - L2 = aR - qR L1 - L2 = (a - q)R
Razonamiento y demostración
P
Finalmente, de:
2m
nv = La cabra podrá pastar hasta los puntos donde la cuerda esté totalmente estirada luego:
23. Sea S, área de la circunferencia de radio r
, 2πr
S = pr 2
Para la rueda 3 n3 =
... (1)
En el gráfico:
d 2πr 3
A
A
4= 3m P
`
d = 72p m
La zona sombreada representa la región en la que la cabra puede pastar donde: APB y BOC son sectores circulares.
= π 4
`
21. Tenemos 2 expresiones para el cálculo del
número de vueltas de una rueda. nV =
Del gráfico:
S1 + S2 =
Comunicación matemática
2
+
1
2
+
1 2
. p . 32
θg
2π
19π 2 m 4
La cabra puede pastar en un área de 19π 4
2
m
.
Clave A
20. Para el triciclo, si se traslada una distancia d;
12
Intelectum 5.°
a = 60°
O’PO 60° y 30°
2πr
22. Del dato I: 1 2
=
200 . 9c 3 10 g
OO’ = 2r
θ (R + r )
Clave B
Entonces: OQ = OO’ + O’Q OQ = 2r + r OQ = 3r El área sombreada (S1) será igual: S1 = S AOB - S S1 = q(3r)2 - pr 2... (1 )
S1 + S2 =
1 2
2 aR +
S1 + S2 =
1 2
(a + q)R2
3p =
1 2
(a + q)R2
, 2πr
=
De la segunda expresión, es necesario conocer q, R y r; o conocer c y r para el cálculo del número de vueltas.
cada rueda recorrerá la misma distancia d.
nv =
,c
2πr
Para la primera expresión, solo es necesario conocer el ángulo que la rueda gira para calcular el número de vueltas.
9π 2
De la expresión:
; nV =
g
g
a = 200 3
Nivel 3 (página 13) Unidad 1
B
1 2
Q
B
Clave A S1 O
c m` π j^ h
r
P
2m
C
S1 + S2 =
O'
α
O
r
S2
1m
d 2π (9)
2 qR
Pero: q rad = 60° = ... (1)
q= π 3
60c.
π 180c
rad
=
π rad 3
En (1): S1 =
1 2
cπm 3
- pr 2
2
9r
3
πR
+
2
En la expresión:
... (1)
3
5 (θr ) 2
S1 = π r 2 = π 2
2
8
cπm
2P2 = R + aR; a rad = 60° = π rad 3 2P = R + π R ... (2) 2
inclinada.
´c 5 cm
53°
´c
`
R 2
+
R
3
+
2
3
3
5q
- 2p
`
Resolución de problemas
3π 2
-
;q=
2π 5
2π 5
rad =
2π 180c . 5 π
El ángulo del sector es igual gual a 72°.
26.
Clave D F
28. C
E
1
R
,c
2πr
2
7
a θ
O
r
A
2
D G
R
Por dato: L! GF = & qR =
22
=
π
3π
q rad = 72°
Clave C
220 nv = 2 π ( 5) 5) 22
5 L AE
!
5
(qr) & R =
5 r
7
En el
nv = 7
ODC por el teorema de Pitágoras: 2
`
+ 3p
q rad =
(4π + 9 + 3 3 ) R 6
2P1 + 2P2 =
Luego:
22
=
Entonces:
π R+ R + π R
B
nv =
2q
q=
224 cm
Del gráfico: c + 4 = 224 c = 220 cm
3πr 2
(2q + 3p)(5q - 2p) = 0
74°
4 cm P Q
A
3
De (1) y (2): 2P1 + 2P2 =
O
11θ 2
=
2
Nos piden: 2P1 + 2P2
24. En el instante que choca con la superficie
+
m
10q2 + 11qp = 6p2 10q + 11qp - 6p2 = 0
Del gráfico:
Clave C
c
11 1 θr2 2
5θ π
!
S1 = 4 cm2
nv =
+
π
2P2 = ED + L ED
2
`
R
+
2P2: Perímetro de la región ED
S1 = 3π r 2 - pr 2 2
R 2
2P1 =
R = a2 + (r + a)2
La rueda da 7 vueltas desde A hasta chocar con la superficie.
( 5 r ) 2 = a2 + r 2 + 2ra + a2 a2 + ar - 2r 2 = 0
Para las ruedas 1 y 2: q1 + q2 = 486° = 486° πrad 180c q + q = 486π rad
&
Clave E
(a - r)(a + 2r) = 0 25. En el gráfico:
a = r
&
C
Como: a 2 0
R 2 R
3 2 30°
A
a = -2r /
1
r 2 0 & a = r
2
n1 2π
180
n2 2π
+
=
D
T
B
0
Del enunciado: q1 + q2 = 486° qi: ángulo que gira la rueda i Sabemos: q = nv2p q: ángulo que gira la rueda en radianes
P
Entonces el R 2
60°
a
Sea: 2P1: perímetro de la región ABT
O
θ
r
a
=
27 20
180
... (1)
&
θ
E
n1 + n2 =
q + q = 90° 2q = 90° q = 45° π rad `q=
B
60°
O
R
OAB resulta isósceles.
R
486 π
Las ruedas están unidas por una faja, se cumple: n1(7) = n2(2) n2 =
4
A
2P1 = AB + BT + L AT
7n1
... (2)
2
!
Clave B
Del gráfico: 2P1 =
R 2
+
R
3 2
n1 +
27. +
(2) en (1):
θR
7 27 n1 = 2 20 9 n1 2
r
Donde: q rad = 60° = 60° . q rad = π rad 3
q= π 3
π 180c
θ rad
S
27 =
n1 =
´
rad
20 3 10
En (2): De: S=
1 2
2 qr ;
= qr
n2 =
7 3 . 2 10
n2 =
21 20
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
13
Nos piden: n2 - n1 = `
Además del 21 20
3 10
-
31. Sea la cerca cuadrada ABCD, con la cabra atada
45°)
al punto D:
a + b = ( 2 ) ( 2 )
R
a + b = 2
3 4
n2 - n1 =
AOB (
Clave E
2a `
=
B
2 S2
a = b = 1
O
P 2 Q
4
B
R 2
S=
30. Del enunciado: PAQ + A PBR
1 2
2 q1a +
1 2
θg
2
q2b
... (1)
45° 2
45° O
B
2
+
P
4
1 π 2 b 2 4
S2 =
qg =
&
4π 3
rad =
qg = 240°
Por desigualdades: Si a y b ! R , se cumple: a + b
2
2
2
2
O
a + b = 2ab a + b - 2ab = 0 (a - b)2 = 0 a - b = 0 a = b
r
Dell De
OQP( OQ P( 30 30°° y 60 60°) °)
QP =
r 3 2
3
h
Intelectum 5.°
3 2
S3 =
75π 4
2
m2
+
77π 4
π 4
+
75π 4
m2
La cabra puede pastar en un área de 77π m2. 4
Clave E
h + QP = r r 3 2 Clave A
14
1 2
`
Además, nos piden h, donde:
h = r -
c π m (5)
S3 =
S1 + S2 + S3 =
2 P
`
` π2 j (1)2
4
Q 60°
$ 2ab
Si S es mínimo:
1 2
Nos piden: S1 + S2 + S3 = π
r
Entonces:
` π2 j (1)2
4
4 πrad 180c 3 πrad
8
2
1 2
S2 = π m2
Por dato:
S = π (a2 + b2) ... (2)
2
S1 =
4
qg = nv2p 2 3
La cabra podrá pastar hasta los puntos en que la cuerda está totalmente estirada. Por lo tanto, todos los puntos en que la cuerda se estira totalmente forman arcos de circunferencia por lo que encierren sectores circulares (S1, S2, S3).
S1 = π m2
qg: ángulo que gira la rueda en radianes. Sabemos que:
nv =
1 π 2 a 2 4
S3
Luego, del gráfico:
O
Donde: m+BAO = m+ ABO = 45° Además 45° = 45° π rad 180c 45° = π rad
En (1): S=
O
P
r
Del triángulo AOB: A
D 4m
8
Clave B
Sea: S = A
A 1m
5m
S = π u2
b
O
4m
P
En (2): S = π (12 + 12)
a
1m
C
Q
29. A
S1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 15) Unidad 1 1.
4.
De (1) y (2): k a
θ
Por dato: tan a = 6
En el
a
x + r
ML =
Por el teorema de Pitágoras:
θ α
`
6
a b
&
=
2
1 12
MB ML
2k
=
3k
3k
2
cosa =
`
a
=
3 Clave A
(x - 3r)(x +r) = 0
1 12
tanq =
-3r r
x x
3k
cosa =
2
x - 2xr - 3r = 0
1 12
=
2k
=
Piden:
x2 + (x + r)2 = (x + 2r)2
a b
a
&
MBL, por el teorema de Pitágoras:
&
a
Piden: tanq =
2
2k
=
(ML) = a2 + k2 = 2k2 + k2 = 3k2
α
=
2
2
b
Entonces:
a
&
x + 2r x
b 2a
a 2k
=
x = 3r
7.
x = - r
0
&
A
Clave B
Del gráfico: x 2 0 & x = 3r 2.
b
c
Además: q 2 a B
H
4k
3k
θ
37°
53°
A
&
C
M
5k
B
Piden: la cosecante del menor ángulo agudo. (3r) + 2r csca = x + 2r = x (3r )
N
2k
csca =
5k
Del gráfico:
`
csca =
5r 3r
=
Piden: K = senA
5 3
K=
5 3
El AHM es notable de 37° y 53° & AM = 5k, HM = 3k y AH = 4k
senC + sec C sec A a c b b + b b a c
`j `j c m cm
Clave C &
K
=
5.
BM: mediana relativa a la hipotenusa.
B
`
C
d
&
AH BH
=
4k 2k
`
α =
2
cota =
cotq = 2
tanb = Clave E
m n
+
=
m
a+d d
-
a d
+
n
a+d-a d
cota - tanb =
`
cota - tanb = 1
=
d d
=
2
mn
`
+
mn
=
amn mn
b
2
=
b
2
c
2
1
K = 1
143°
α 3
37°
B
37°
12
1 6°
Q
4 P
Trazamos AP 9 CB
AP = 3
α
/
CQ 9 AB
CQ = 12
L α
C
a
M
a
=
Si: LB = k En el
&
En el
/
BQ = 16
Luego:
B
cota = AQ
MBL: tan a = ABC: tan a =
21 12
=
=
24 3
=
cotacotb =
7 4
QC
AL = 3k
L = a Clave D
PB = 4
k
Por dato: AL = 3LB a
/
CQB notable de 37° y 53°:
3k
...(2)
2
n
+
APB notable de 37° y 53°:
...(1)
Reemplazando (2) en (1): 2
2
1
A
2
m
2
m+ ABP = m+ CBQ = 37°
m + n = amn
L=
b
5
Clave A
Por el teorema de Pitágoras: m2 + n2 = ( amn ) 2 2
=
A
6. 2
a
=
20
& n
n m
b
2
C
amn
=
2
8.
α
L
c
β
3.
&
+
Clave A
a+d d a d
Piden: cota - tanb =
Piden: L = tana + cota
b
2
2
D
A
m
K
d
β
Piden: cotq =
a
Por el teorema de Pitágoras: a 2 + c2 = b2
a
Entonces por propiedad: BM = AM = MC & BM = 5k & BH = 2k
C
a
k a
cotb = PC
2a 4k
AP
...(1) ` =
a 2k
...(2)
=
7 4 8
. 8 = 14
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave D
15
9.
13.
cotq = cos16°sec37° cotq =
24 5 25 4
cotq =
6 5
2. D
senq . seca = 1 C
q y a complementarios:
n
α
Por T. de Pitágoras x2 = 62 + 52 x2 = 61 x = 61 61 ` secq =
θ
x
6
5
A
cosa . sec a = 1
β
B
a
Razones recíprocas:
Piden: P = cosbcota + tanasecb &
P
=
&
P
=
6
Clave D
10. `P
=
1 senθ
seca = b
Luego:
De la expresión:
1 senθ
seca =
`
... (Correcto)
`j`j cm`j a n
a b a
2
.
n b
+
b a
=
+
b
b n
+
a
2
+
n a
.
Clave B
2
b
Razonamiento y demostración
ab
3.
2
A
ab Clave B
n
=
b
5
4
c
14. β
C
B
3
Por dato: cos b = 0,6 =
`
K=
5 4
3 4
+
sec C
1
El
ABC es notable de 37° y 53°.
Del gráfico: 4k = 4 & k = 1 Piden: tana =
11. `
A
3k
tana = 3
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 17) Unidad 1 θ a
C
1.
a
=
b
2
2
+
c
2
b
2
=
a
2
+
b
K
=
b
2
b
2
1
=
K = 1
4. A
Del triángulo: α
`jc m 4k a
=
2
c
2
Clave A
Comunicación matemática
Piden: P = cotqcotf .
&
`
B
K
c b b c
+
Por el teorema de Pitágoras: a 2 + c2 = b2
= 3(1)
Clave C
k
a k
3k 1
&
φ
N
a b b a
K=
4k
senC sec A
+
`j `j c m cm
B
D 3
Clave B
`
α
37° A
K = 2
P=
K = senA
3k
8 4
=
C
Piden:
5k
Por el teorema de Pitágoras: n = 4 Piden: K = cscb + cotb &
a
53°
3 5
b
c
4 2
3 # 1
P = 4
a
B θ
Clave C
2
3 #
C
Piden:
3
J = (sec2C - cot2 A)(sen2C + sen2 A)
12.
notable de 30° y 60°
A
d
d
II. senq = sen30° =
θ
k
M
k
C
1 2
d 2k
tan n θ ta tan n α = ` ta
.
k 2d
1 4
a = π rad 3
Clave D
Intelectum 5.°
e
b
2
c
-
c a
2
2
oe
c b
c
2
+
2
+
a
2
a b
2
o
Por el teorema de Pitágoras: b 2 = a2 + c2 &
&
=
-
... (Falsa)
... (Falsa)
`
Clave C
16
b a
&
180c
c mc m
J
2
cc m ` j mc` j ` j m
... (Verdadera)
III. a = 60° = π rad
Piden: tan ta n θ ta tan n α =
=
q es la mitad de a
b
N
B
J
I. q = 30° / a = 60°
α
J
=
a
2
b
2
e oe o a
2
a
2
.
b
2
b
2
J = 1 Clave A
5.
Nivel 2 (página 17) Unidad 1
Resolución de problemas A
8.
Comunicación matemática 11. Del triángulo, sea BD = 2a
3
1
B
4 13
=
x
θ
B
x
C
φ
a
53° 2
5
3
Por el teorema de Pitágoras: 32 = 12 + x2 9 = 1 + x2 8 = x
Por el teorema de Pitágoras: 2
2
4 = x + ( 3 )
x 1
8
=
` cot θ = 2
=
2
D
DC = 4a
J = 13
53c 127c y 127c : 2 2
/
BC = 2a
+
53c 127c y 127c : 2 2
AD = a / AB = a 13
3
13
5
5
2
c m e o 2
4
C
4a
BDA notable de
J = 13 csc2f + 3tan2f Clave B
a
BDC notable de
Piden:
2
2a
2
16 = x2 + 3
2
5
53°/2 A
13 = x
Piden: cot θ =
2a
I. AB
3
DC
=
a
5 4a
=
5 4
... (Falso)
6.
J = 16 + 13 = 29 `
II.
J = 29
5 x
DC AD
III. BD
Clave D
AC
β
=
=
4a a 2a 5a
=
=
4
... (Falso)
2 5
... (Verdadero) Clave A
9.
2
A
12.
Por el teorema de Pitágoras:
α
52 = x2 + 22
I.
b
c
5 2
2
25 = x + 4 21 = x
B
Piden: sen β =
x 5
` sen β =
#
(2 2)
1 # (2 2) M a
a/2
C
Notable de 8° y 82° ...(a)
Piden:
21 5
=
a/2
II.
Q = tana . tan q
21 5
a 2 . c c a
Q= Clave A &
Q=
7. `Q=
a 1 . 2 a
10 # ( 2) 1 # ( 2)
=
1 2
Notable de
1 2
Clave E
x
=
37c y 143c 2 2
...(c)
III.
13
5 # (2 2)
2
10. A
α
2 # (2 2)
3
φ
a
C
Razonamiento y demostración
13
Piden:
13 2
13. tan(a + b + y)tan(2y - a - b) = 1
P = cotq . cotf
Piden: J = secacsca
`J=
Clave E θ
B
13 . 3
...(b)
k
x2 = 13
J=
53c 127c y 127c 2 2
N
x2 = 22 + 32
x=
Notable de
3k
Por el teorema de Pitágoras:
P= =
13 6
`
`jc m a k
.
4k a
tan(a + b + y) = cot(2y - a - b) =
4
tan y cot, co -razones: a + b + y + 2y - a - b = 90°
P = 4 Clave C
13 6
3y = 90° ` y
= 30°
Clave C
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
17
14.
Del gráfico: En el ABC: tana = 3
=
2
2
2
tan
Por el teorema de Pitágoras: a = Además: cosb = tana &
cos β =
1 a
2
2
α =
1
2
.
2
2
n 1
2
2
a
Por dato: 3 + 4tan B = 3cscA 3+4
C
AD = 4a
7 tan β
AP = 3a
&
m
7 ( 7)
+
15. 2a
E
En
C
n a F
2n - a
AQB:
`
M
tanq =
a 5a
=
1 5
3 (c - a) (c + a) a
j
=
4 3
cm`j`j`jc m
M =
b a
=
b c
c b
.
=
.
a c
.
c a
.
b a
4 3
4 3
Clave A
Clave D
θ
D
20.
18. A
Piden: Q = tana + tanq 2n - a n
2n + a - a n
β
α
=
m
2n n
a x
13
=
2
5
12
P
13
5
T
5 O
θ 3x
5 θ
O1
Q = 2
12
H
6
Del gráfico: b 2 q
B
Del gráfico: AO1 = O1B = 18 Clave B
16. B α
a2 = x2 + (3x)2
En el O1HO por el teorema de Pitágoras: O1H = 12
a2 = 10x2
HB
M a
N
Por propiedad: BN = AN = NC & m + MCN = m+ MBN = a
Intelectum 5.°
+
AP OP
+
13 12
&
` tanq
23 12
α
x 10
Piden: csc β =
C
+ cota =
a =
&
5 6
tanq + cota =
α
Por el teorema de Pitágoras:
Luego se deduce: O1O = 13
Piden: tanq + cota = OH
a
c
18
=
1
M=
` M
n
A
A
b a
&
2n
`
4b
-
ACB por el teorema de Pitágoras:
AQ = 5a / BQ = a
n
n α
=
` ac
Piden: M = senBsecAcosBcscAtanB
BQ = QE = a
Q
3
4a = 3b &
BQE notable de 45°:
Clave E
&
=
4ba = 3(b2)
APE notable de 45°:
Trazamos BQ 9 AE.
+
4b c+a
Entonces:
2
2
Q = 11
`j c
c a
4ba = 3(c2 - a2)
En el
PD = a
2 /
`
Q =
3
a2 + b2 = c2 & c2 - a2 = b2
AE = 6a
a n
=
D
2
Q = 4 + 7 = 11
H
m `j
c+a
2
AD = 2BC
B
c
b
Trazamos EP 9 AD.
7
c
b c+a
=
2
P
Sea: BE = EC = a
2 2 2 1
Q=
3a
4a
&
&
2
&
2 c ot α +
=
2
A
7 1
=
tan β =
7
2 E a a 45°a Q
3a
45°
Piden:
&
tan B
a
5a
θ
β 1
tan β =
C
a
2
2
Por el teorema de Pitágoras: n =
B
Prolongamos CB una distancia igual a AB. &
n
Q
c
17. 2
b
B/2
2 2
=
2
B
&
1 2
=
Clave D
Luego:
&
...(2)
2 2
` tan α =
2
A
c
` 2ca j . ` ac j
tan α =
&
1
=
19.
Multiplicando (1) y (2):
1 3
Por dato: sena =
...(1)
c
α
a
Resolución de problemas
B/2
a
ABM: tan a =
En el
1
c 2a
` csc β =
Clave B
a 3x
=
x
10 3x
=
10 3
10 3 Clave B
Nivel 3 (página 18) Unidad 1
21.
cot A
&
Comunicación matemática n
=
24. En un
5
4
notable de
sen 143c 2
β
3
=
Por dato: cos b = 0,6 =
3 5 1
=
10
3
143c y 37c : 2 2
J B N K cot 2 + 1 O K =K OtanB K cot A + 1 O L 2 P J K K =K K L
10
Por el teorema de Pitágoras: n = 4 3
Piden: K = cscb + cotb 5 4
&
K=
`
K = 2
3 4
+
`
C es la correcta.
8 4
=
K
Clave C
=
` c
2cos2a + 2tan2q = 2cosa + 2tanq - 1
22.
# 2 A
&
2cos2a - 2cosa + 2tan2q - 2tanq + 1 = 0
j NOc m m OOP +
1
+
1
b a
K=
a (a + b + c) b . b (a + b + c) a
=
1
K = 1
`
4cosa2 - 4cosa + 1 + 4tan2q - 4tanq + 1 = 0
c+a b c+b a
c+a+b b b . c+b+a a a
25. De la expresión: Clave B
c+b a
Piden:
3 10 10
143° 2
=
2
Clave C
(2cosa - 1)2 + (2tanq - 1)2 = 0 b
2cosa - 1 = 0
&
c
cosa = B
C
a
&
1 2
/
tanq =
/
a = 60° / q = 53°
a c
=
4
senAsenC
=
` senAsenC
=
a a
α
2c
c
... (Incorrecta) III. El complemento de a = 60° es igual a 30°, luego: r = 60 = 2
2 5
=
c
mc
5c
m
=
r: razón de a y su complemento ... (Incorrecta)
2 5
Clave E
0,4 Clave D
B
O
n
m
(3a)2 = (n) . (m) & 9a2 = nm
&
Piden: tanatanb =
c m` j 2a n
.
2 tanatanb = 2a nm
=
30
.
5c
H
Por propiedad: CH2 = AH . HB
II. cotq es igual a 1.
` ba j . ` bc j
β
A
... (Incorrecta)
Por el teorema de Pitágoras: b= 5c
&
a N
I. a es igual a 45°.
a2 = 4c2 & a = 2c
=
C
M
` ac j
Piden: senAsenC
1 2
2
Por dato: tanA = 4tanC &
27.
2tanq - 1 = 0
&
` tanatanb
a m
2a2 (9a2)
2 9
=
Razonamiento y demostración
Clave D
26. Primero:
23.
Prolongamos CB una distancia igual a AB.
A 5
β
P
A
3
B/2 3
a O
β
B/2
PAO por el teorema de Pitágoras: 2
a = 5 + 32 a2 = 34
2
=
B
a
C
c+a b
a
=
se nbcosb
&
senbcosb
=
34
Q 2a H 5a
M
15 a
=
Luego: Prolongamos CA una distancia igu al a AB.
2
.
5 a
=
15 34
A c 2 A A 2
15 34 Clave B
B
4a P
a
β
6a
8a
F
6a
4a T
4a
D
Piden: tan b En el
DHQ:
tan β =
c b
L
8a
A
c mc m 3 a
5a
N
8a
12a &
Piden: senbcosb =
`
cot B
&
C
4a c
2
E
B
B
En el
Empleando el teorema de los puntos medios y la base media se obtiene la proporción de los segmentos.
b
c
3
5
28. Sea el lado del cuadrado ABCD: 16a
` tan β =
2a 11a 2 11
C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave B
19
29.
c2 + 2 . 27c + 272 = 27 . 21 + 272
31. 0 1 a 1 45° A
cot 2α =
θ
15 8
c.a . c.o .
=
&
h
=
(c + 27)2 = 27(48)
17
c + 27 = 36
C 2a
a
2
θ
R
N
α
O
B
M
α
!
m AC = mCB
17
8
8
2α 17
!
8
17
a 45° 2a
En
ABC:
α
15
32 15
m+ COH = 45°
&
c = 9
&
9 α/2
Trazamos NR 9 AO, si RO = a:
1
17 α/2
CM = 2a
12
α
4
17
Notable de 37° y 53°
OMC notable de 45°: AO = OC = 2a
E
ARN; AR // NC; m + NAR = q
En
AR = 2a `
E
2
- a
2
2a
cotq =
2 2a
-
a
2
2 2
=
-
^
17
^
17
-
4h cot
-4
h^
2
17
2
4 h = ^ 17 h
+
` -
4
3 4
tan37° =
2
Clave A
1
=
33. Del enunciado:
1
B
Clave A Clave C
Resolución de problemas 32. Del enunciado; sea
30. Por dato:
tanf =
=
` E
RN = 2a
/
=
α
26 k
25 k 24 k
ABC:
A
2
A
10 k
H
7k
C
b c x
Trazamos BH 9 AC
2
φ
B
1
donde a > c;
Por T. de Pitágoras.
Datos:
x2 = 3
a + b = a - c = b + c = b =
En M: M=
cos φ cot 60c + csc
1
.
3
M=
+
3 1
.
` M
3
2
1
.
2
2
+
2
3.
2 3
2
3
2
.
1 3
... (1)
/
BH = 24k
AHB:
BH = 24k
/
AH = 10k
/
AB = 26k
También: a - c = 3 a = c + 3
... (2)
Sea: 2p: perímetro de ABC 2p = 26k + 25k + 10k + 7k 204 = 68k k = 3
Por teorema de Pitágoras: a2 + c2 = b2
Nos piden: 2
AB = 26k 2
2
(c + 3) + c = (24 - c)
c2 = (24 - c)2 - (c + 3)2
13 12 3 3 . 3 2
c2 = (24 - c + c + 3)(24 - c - c - 3) c2 = 27(21 - 2c) c2 = 27 . 21 - 27 . 2c
13 3 24
Intelectum 5.°
En el
De (1) y (2)
c2 + 2 . 27c = 27 . 21 Clave C
20
27 3 24 24 - c
2
1 3 + 3 4 3 3 . 1+2 2
=
7 25
2
e oc m e o
2
M=
2
φsen 45c csc φ . cot φ sec 45c + sec φ sec 30c tan 30c 1
M=
2
cosC = 0,28 =
Luego:
HC = 7k
3
12 / 5
tanA = 2,4 =
BHC notable de 16° y 74°; para BC = 25k:
x2 = ( 2 ) 2 + 1
x=
C
a
`
AB = 26 . 3 = 78 cm Clave B
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 20) Unidad 1
7.
Reemplazando (2) en (1): A
1.
=
c
B
` A
=
B+b 2
c
B
mc
2
b
-
B
-
b
2 2
4
m
m
N
tan θ B
2L
tan θ L
a
N
90° - θ
D
θ
Clave C θ
A x
2θ
θ θ
α
A
H
A
C
a
rcot θ rcot α
Por el teorema de la bisectriz: BC = HC = a
r
α α
C
ABC: 2 q + a = 90°
En el
r T
r
rcsc α O
m+ ANH = 2q
DH = NC
L = NC 2
Del gráfico, se cumple: CA = CT
x = atanqsec2q Clave B
2L
BC = cosq(2L) ` BC = 2Lcosq &
rcota + rcotq = rcsca + r
&
cota + cotq = csca + 1 cot α + cot θ csc α + 1
2. B
Clave A
= 1
8. acotx
B 53° 37° 4
2
K
=
cot α + cot θ 1 + csc α
=
a
Clave A
ABC
( 2 ) (x) (x) (4 2 ) .sen53° + . sen37° = 2 2
+
2
2x.
=
8
2x 5
+
2x 5
=
`x=
5
6
2x 5
=
msenθ
ATBNC
ATBNC =
θ
=
ABC es isósceles, entonces: AB = BC & mcos q = msenq + x x = mcosq - msenq ` x = m(cosq - senq) El
2 4
(csca . cscb . senq)
2
a 2
&
Clave D
`
6. B
c
b
90° -
a 2
…(2)
De (1) y (2):
Clave C
3.
...(1)
2
ATBNC =
&
4
4
a cot x 2
(BN) (NC) (a csc α) (a csc β) . sen θ = . sen θ 2 2
B
mcosθ
(acot x) (a) 2
=
2
&
D
A
2
(base) (altura) 2
ATBNC =
45° x
4
D
Del gráfico:
C
m
3 5
β
N
5.
( 2 )( ) (4 2 ) 2 2x 4 . 2 5
α
A
Del gráfico:
a
acsc β
θ
K = 1
`
C
a
acscα
1
C
R
AT ABR + ATRBC = A
x
Piden:
x
A
NC = 2L
CBN: cos q = BC
En el
Sea r: el radio de la circunferencia.
atanqsec2q = x
2
&
B
&
`
&
2
x atan θ
AHN: sec2q =
C
Por dato: HD es mediatriz de AC. & AH = HC Por C trazamos una paralela a HD. Entonces; por el teorema de la base media:
θ
&
En el
H
4.
atan θ
L α
1 senx
2
cotx =
a 2
(csca . cscsb . senq)
cotx = csca . csc b. senq
cos x senx
j = csca . cscb . c csc1 θ m
m . cscq = csca . cscb . c
1 cosx
m
α
h
cscx . cscq = csca . cscb . secx
R
h
a α
θ
90° - 2α
θ
A d
b
Piden el área del trapecio isósceles (A). =
c
...(1)
B-b 2
h =
c
B-b 2
m tanq
9.
Además, se deduce: m+ ALM = 90° MLA: sec2 a =
sec2a =
`
…(2)
`
P = cscxcscq Clave E
LM = MC = a
&
Luego: h = dtanq &
P C
MR: mediatriz de LC.
En el
Del gráfico: 2d + b = B 2d = B - b & d =
a
&
m
B+b h 2
&
α
M
d
B
A
2α
C
AM LM
θ
y
AM a
α θ o s x c θ
AM = asec2a O
x
N
αD
B H ysenθ
A
Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
21
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 22) Unidad 1
Entonces:
En el OAD: q + a = 90° Además: NB = AH = ysenq
(10absenq) + S2 = 40absenq
Comunicación matemática
S2 = 30absenq
&
Piden: OB = ON + NB & OB = ON + AH = xcosq + ysenq ` OB = xcosq + ysenq
1.
Piden: S2 S1 Clave D
`
S2 S1
=
30absen θ 10absen θ
=
3
=
I.
3 1
x
&
a
15°
13.
θ
E
2a
8u
C
a
M
θ
atan θ
90° - θ
C
N
H
b
x
(Falsa)
II. La medida de la hipotenusa siempre es mayor que la medida de los catetos. (Falsa)
θ
2atanα
θ
=
75°
Clave C
10. B
x 2
a
α
A
Se traza:
H
BH = AE & BH // MN
• AT ABC
Luego: CD = CN + ND 2a = atanq + 2atana
&
2 (1 tan α) 1 tan α -
=
=
IV. Hipotenusa 10 m
&
(CB) . (CA) senθ 2
=
5m
cx 2
-
=
Clave C ` x
(Verdadera) ...(II)
2.
=
h
ab 2 ab c
2m 2m
senq
▪
14.
▪
θ
α α
n tan x
=
n
na
e
D a
asen α cos α na
o
D
C
a(1 - n)
senα cos α
Clave B
E θ θ/2
P
B
O
&
r
F
ODP: OP = DPcsc θ
c
R = r S2
N
A
S=
2.3 2 `
STMBN = 3 m2
3. B 1 D
α
6
C
(4a) (5b) S1 = senq & S1 = 10absenq 2 (10a) . (8b ) senq 2
S1 + S2 = 40absenq
Intelectum 5.°
csc
θ 2
-
1
m
7 E 1
3b
Del gráfico:
22
3
2
5b
6a
S1 + S2 =
MN = AC = 2 m
R + r = rcsc θ
θ
S1
sec45°
2
B
M
2
D
2m
Razonamiento y demostración
OF + FP = rcsc θ 4a
3
S = 3 m2
C
2
12.
AC =
3
h = 3 m
r r
R
/ 2
=
2m
AC = 6 m
A
asenα cosα
3
M
45° A
E
asen α
N
senq
Clave C
A
C 2m
11. x
5m
Igualando (I) y (II):
2
B
=
5m
...(I)
B
2
-
=
A
(c ) . (x) 2
=
(a) . (b) AT ABC = senq 2
-
tan θ 1 tan α
cx 2
AT ABC =
• AT ABC
tanq = 2(1 - tana)
&
`
B
( AB) . (CH) 2
=
2 = tanq + 2tana
Piden: tan θ 1 tan α
c
Empleando áreas:
Entonces: m+HBM = m+EMC = q
&
III. Existen más de 367 formas para demostrar el teorema de Pitágoras. (Falsa)
D
2a
AEO: AO = r AO = r csc θ
c
2
A
-
1
m
Del gráfico: Asomb. = AT ABC - ATDBE
AE = AOcosq AE = r csc θ - 1 cosq
c
2
C
Asomb. =
m
8.7 1. 6 . senα . senα 2 2
Asomb. = 28sena - 3sena
Clave E `
Asomb. = 25sena Clave C
4.
n
&
n
` cot α =
n
14.
2a = (acota)cota 2 = cot2a
D
C
2 Clave C msenθ
β
α ncotα
n
Resolución de problemas
ncotβ
x
θ θ
9.
A
Del gráfico: x = ncota + n + ncotb ` x = n(cota + cotb + 1)
ntanβ
B
m
Del gráfico: CD = BDsenq = (msenq)senq 2 ` CD = msen q
A
Clave D
Clave B β n
5. α
Piden: (n tan β) . (n) A = 2
m
α
msen
15. C
=
n2 tan β 2
θ
L
2
` A =
n tan β 2
m/2 H
m/2secθ
m/2
Clave A
β
2θ
x
A
10.
Del gráfico: x = (msena)cosb ` x = msenacosb
Piden: L = (2q) .
atanθ atanθ
Clave B
`
asecθ asec θ
θ
O
m/2sec θ
B
m/2secθ
` m2 sec θj
L = qmsecq Clave C
6.
C
θ
D
16.
a
m
θ
A
x mcosθ
H
C
Piden: el perímetro del triángulo (2p). 2p = a + atanq + asecq ` 2p = a(tanq + secq + 1)
B
2 13
Clave B
D
5
En el ADB: AD = (mcosq)cosq & AD = mcos2q
Nivel 2 (página 23) Unidad 1
A
Comunicación matemática
En el AHD: x = ADcosq 2 & x = (mcos q)cosq 3 ` x = mcos q
1
θ
B
2
Por el teorema de Pitágoras: AD = 5 / AC = 13
11. 12. 5m
B 37°
C
Luego: (base) (alt altura ura) AT ADC = 2
53° A
Clave D
=
(2 ) (2 ) 2
6m
7.
&
A
30° 4
8 A
Piden: A=
37°
&
A=
A = 15 . 4.8 2
A = 16 .
. sen30°
` A = 12
c m = 8 1 2
D
10 m
5.6 2
sen53° &
4 5
2
a
R
Del gráfico: BD = ABcota
acotα
B
...(2)
65 sen θ 2 4 65
ncscθ
A n
θ
R x
a α
=
R
θ
Rcotθ
65 sen θ 2
17.
R
R
A
...(1)
Clave D
D
C
2
=
` sen θ =
Clave C
α
AT ADC
De (1) y (2):
m2
13.
8.
=
(AD) (AC) ( 5 ) ( 13 ) . sen θ = . sen θ 2 2
AT ADC =
Razonamiento y demostración
` A = 8
AT ADC
x D
ncscθ
Del gráfico: x = Rcotq + R ` x = R(cotq + 1)
B
θ
θ
D
C
Clave C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
23
22. V; V; V; F
En el ABD: BD = ABtanq
ncosq - nsenb = 1 ncosb = 2 + nsenq & ncosb - nsenq = 2
Razonamiento y demostración
x = (ncscq)tanq ` x = ntanqcscq &
23. Clave C
a
B
a
M
a
18.
-
C
=
-
5
a
5
2a
m
2a
2a
&
cos θ
-
sen β
cos β
-
sen θ
θ
A
D
2a
=
1 2
`E=
1 2
θ mcotθ mcot
Clave C
Por el teorema de Pitágoras: AM = MD = a 5
θ θ m
x
Luego: (base) (altura) AT AMD = 2
Del gráfico: m+x m cot θ
26. B
(2a) (2 a) 2
=
m + x = mcot2q x = mcot2q - m
AT AMD
=
2a
2
C
T Rcosθ
R
θ &
b
...(1)
O
N R
&
`
...(II)
Dividiendo (I) y (II): n (cos θ sen β) 1 n (cos β sen θ) 2
θ
cotq =
...(I)
&
(AM) (MD) (a 5 ) (a 5 ) AT AMD = . sen θ= . sen θ 2 2
x = m(cot2q - 1)
R
R
θ
θ
A
D
H
b
b
2
&
Clave D
AT AMD
=
5a sen θ 2
...(2)
De (1) y (2):
Resolución de problemas
2a2 =
19.
5a 2
senq
senq =
TH AT
TH = ATsenq
&
Rcosq + R = (b)senq
&
4 = 5senq
L
AHT:
2
R(cosq + 1) = bsenq
&
` sen θ =
En el
4 5
`R
L
=
Clave C
θ
bsen θ 1 + cos θ Clave D
θ
Lcotθ
L
Lcotθ
24.
a
Del gráfico: Lcotq + L + Lcotq = a L(2cotq + 1) = a ` L=
B
a 2 cot θ + 1
A
H
s 4 α R c o 4α
s 4 α R c o 4α
P
34
3
θ
O
4
C
R
R
C
3α
R 6α
Clave B
5
B
θ
R
2α
27.
T
5
θ
E
H 26
1
20. C
ncsc β
A
n
β
B
ncot β
Piden: el perímetro (2p) del triángulo.
2p = n + ncotb + ncscb
`
2p = n(1 + cotb + cscb)
Por el teorema de Pitágoras:
En el T ATO: 2a + m+ ATO = 6a ATO = 4a & m +
Luego:
A
EC
34
=
ATCED =
Piden: BT = BH + HT & BT = Rcos4a + Rcos4a ` BT = 2Rcos4a
2p = CB + AB + AC &
En el TPC: 3 a + q = 90° En el TTOC: 2q + m+ TOC = 180° & 2(90° - 3a) + m +TOC = 180° & m+TOC = 6a
&
Clave A
ATCED =
&
Nivel 3 (página 24) Unidad 1
β n
21. 7m
n
D
16° 24 m
25 m 25
C 14 m
A
24
16° 48 m
Intelectum 5.°
B
ATCED
1
ncosβ
nsenθ
=
(4 ) . (5 ) 2 ...(1)
c
=
221 csc θ
m
...(2)
10
=
221 csc θ
&
csc θ =
221 10
=
2, 21
D nsenβ E ncosθ
5m 50 m
A
θ
(base) (alt altura ura) 2
De (1) y (2):
2 B
E
26
(EC) (ED) ( 34 )( ) ( 26 ) 1 . sen θ = . 2 2 csc θ
C
Comunicación matemática
/ ED =
ATCED = 10
Clave D
25.
D
Por dato: AB = CD = n Del gráfico: ncosq = 1 + nsenb
`
csc θ =
2, 21
Clave E
MARATÓN MATEMÁTICA (página 25) Unidad 1
28. B x
α
P mcosθ
k
1. B
D
(2k + m)q = n
10 M m
C 6
AS =
1 1 (k + m)2q - qk2 2 2
AS =
1 2 q((k + m) - k) 2
AS =
1 q(2k + m)m 2
AS =
1 m.n 2
37° A
15
Del gráfico:
D
E
2
PH // BM & m+HPD m+PDB =
=
q
15 2
ED = 10 -
Luego: PC = msenq
`
5 2
ED =
En el TBCD: a + m+BCD = q
Clave E
m+BCD = q - a
&
En el
Clave A
2.
BPC:
De la condición: n + m = 2p
PB = PCtan(q - a) &
x = (msenq)tan(q - a)
`
x = msenqtan(q - a)
6.
n = 2p - m
&
Sabemos: n2 = m2 + p2
&
(2p - m)2 = m2 + p2
2
2
2
4p - 4pm + m = m + p
Clave B
20 u 37°
2
3 4
29. A θ
m
B
msenθ
n = 2p - m = 2p n= 5p 4
C
&
p n
3 4
p = m
1 p # 2 3
AS =
2p = m + msenq + mcosq
&
= cosM =
=
S C
30. C a 2acsc θ b
O
&
mx - n mx + n
18n
2a
` 180 radj p
=
=
np 10
3
u2
=
9 = k & S = 9k 10
C = 10k
Reemplazamos: 2(9k) - 18 = 10k + 30 18k = 10k + 48 8k = 48 & k = 6 S = 54°
9 10
10mx - 10n = 9mx + 9n mx = 19n & S = 18n Luego:
Clave B
b
9 10
p
7.
4 5
Sabemos: S C
= m(1 + senq + cosq)
= 200
Clave D
Clave A
3.
B
2
# (20)
p
Piden: el perímetro del triángulo (2p). 2p = AC + BC + AB
53° 9u
Luego:
mcosθ
12 u
60° 37°
3p2 = 4pm
Resolución de problemas
` 2p
n
C
37°
θ
H
As
C θ - α
A
A
k m B
θ θ
5.
Luego: R = 54°
rad
a 180° k rad p
R=
&
3 p rad 10 Clave C
a
θ
θ
A
2bcsc θ
θ
El suplemento:
D
p rad - n
2b
p
10
rad =
c
10 - n 10
8.
m p rad
A
Por dato: ABCD es un paralelogramo.
Clave B
BC = AD = 2bcscq
&
4.
AB = CD = 2acscq
Sean x e y los ángulos.
&
&
Piden: el perímetro del paralelogramo (2p). 2p = A AB B + BC + A AB B + BC = 2(AB + BC) 2p = 2(2acscq + 2bcscq)
`
2p = 4(a + b)cscq
y + 60x = 1845
60 . x
2p = AB + BC + CD + AD
&
(q: menor ángulo)
25 k
p
` 1 80 j
&
3x - y = 45
p
-
y 9
=
q
... (1) 5& x 3
-
y 9
=
B
5
252 = 242 + k2 & k = 7
... (2)
x = secq + tanq
(1) + (2): 63x = 1890
x &
x = 30° y = 45°
Clave A
C
24
`
x = 30°
`
=
25 24
x=
+
7 24
=
32 24
=
4 3
4 3
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave C
25
Unidad 2
ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 27) Unidad 2
4.
Sea la altura de la torre: h
7.
1.
Por dato: tanq = 2 &
h a
=2
h = 2a
Además: h = a + 12 h = 68,04 + 12
&
Piden: cot a = `
cota =
h+a h
=
Sea la altura de la torre: 6h Del ABC, notable 45°: AB = BC = 6h Del ABE, notable 37° y 53°: BE = 8h a = h Piden: tana tana = AB = 6h = 6h
Del gráfico: a = 12cot10° a = 12(5,67) = 68,04
(2a) + a (2a)
=
&
&
h = 80,04 m
`
3a 2a
BD
Clave C
3 2
`
Clave B
5.
tana =
Sea la altura de la torre: h
6h + a
6h + (h)
=
6h 7h
6 7 Clave E
8.
2.
Del gráfico:
Del gráfico:
CB 2
&
h 2d
En el MBC: tanq =
d h
...(I)
Sea la altura del edificio: H Del BEC, notable 30° y 60°: Si: CE = h BE = h 3
...(II)
Igualando (I) y (II): h 2d
El D ACB es isósceles: AC = CB = 20 m En el CHB notable de 30° y 60°: CH =
En el ABC: tanq =
d
=
20 2
2
=
2
h = 2d
= 10 m
&
d h
Del ADC, notable 30° y 60°: AD = h 3 CD = 3h
h= 2d
&
&
Del gráfico: 2h = 16 h = 8 Piden: H = h + 2h = 8 + 2(8) = 24 ` H = 24 m
Reemplazando en (I):
Piden: AH = 20 + d = 20 + 10 ` AH = 30 m
tanq =
&
h 2d
=
2d 2d
=
2 2
&
`
tanq = 2 2 Clave B
Clave E
6. 3.
Clave E
Sea la altura de la torre: H 9. N
N
O 200 2
Del gráfico: d = (H - h)cota d = Hcotq
c m
...(1) ...(2)
Luego en el BCD: Por el teorema de Pitágoras: BD = 13 Piden: secq secq = BD = 13 = 2,6
H =
d
26
Intelectum 5.°
S 150
150
300
Sea la distancia entre la casa y el colegio: d Por el teorema de Pitágoras: d2 = (150)2 + (300)2 d2 = 112 500 = 1502 . 5 ` d = 1 1550 5 m
5
`
Clave C Clave B
E
E
S
secq = 2,6
hcota cota - cotq
d
S
O
Colegio
45° 200 E
N Casa O
&
4
Igualando (1) y (2): (H - h)cota = Hcotq Hcota - hcota = Hcotq H(cota - cotq) = hcota `
100
S 200
N O
Del gráfico: d + 4 = 12 . cot53° d + 4 = 12 3 = 9 d = 5
E
100
Clave C
10.
14. N
O d1
Altura del edificio: H
Por dato: 40°
c d2 = c
E
d1 =
40° 50° S
d2
d
15
km h
20
km h
m (4h) = 60 km m (4h) = 80 km
Sea d: la distancia de separación después de 4 horas. •
Por el teorema de Pitágoras: d2 = d12 + d22 d2 = (60)2 + (80)2 = 10 000 ` d = 100 km
3 = (h + 36)cot60° h 3 = 3 (h + 36) 3 3h = h + 36 3h = 36 h = 18
Del gráfico:
h
&
Clave D
•
H = 18 + 36 = 54 m
Luego:
Clave C
11.
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 29) Unidad 2 Comunicación matemática 1. 2.
Razonamiento y demostración
Del gráfico: tan30° =
4 3 x+4
3.
3 3
=
12 = x + 4 x = 8 m
h1
•
h1 = 12 . tan37° h1 = 9 m
•
h2 = 12 . tan45°
37° 12 m 45°
Clave B
12.
h2 = 12 m ` H = h1 + h2 = 21 m
h2
Del gráfico: H = 13cot50° = 13(0,84) = 10,92 m h + H = 13tan44° h = 13(0,97) - 10,92 h = 1,69 m
4.
Sea la altura del poste: 3h En el ABC, por el teorema de Pitágoras: (4h)2 + (3h)2 = 202 h2 = 16 h = 4 m ` 3h = 12 m
Clave D
13.
Resolución de problemas 5.
Sea h: la altura del poste Del gráfico: h = 10tan45° h = 10(1) = 10
&
`
•
Del gráfico
h + 8 = h 3 h=
•
Luego
h = 10 m
8 3
-
1
^ ^
3
+
1h
3
+
1h
Clave A
= 4 ^
3
+ 1h
6. N E40°N
H = h + 8 H = 4^ 3 + 1h + 8 O
H = 4^3 + 3 h m Clave A
50° 40° 20°
E
El menor ángulo formado por las direcciones será: 20° + 90° + 50° = 160°
O20°S
Clave E S
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
27
Nivel 2 (página 29) Unidad 2
7. S
Comunicación matemática N
30°
12. &
60° 30°
60°
P
E
tanq =
11.
d N
O
Del gráfico.
O
40 m
S
D
E
S
2+
Del gráfico: `
Del gráfico: El PSD resulta ser notable de 30° y 60°. d = 40cos30° =
&
d =
`
40
1
tanq =
Razonamiento y demostración 13.
h 2h + h cot 37°
tanq =
c m 4 3
=
h h (2 + cot 37 3 7°)
1 3 = 10 10 3
=
3 = 0,3 10 Clave E
17.
c m 3 2
20 3 . 34,6 m Clave C
8.
h1 = 30sen74° = 28,8 m ` h = h1 + 1,64 = 30,44 m
N N10°O
E40°N 10° 50° 40°
O
Clave A
E
20°
Por dato: 14.
E20°S
Del gráfico:
tanq =
S
/
tana =
1 4
Del gráfico: H = 36tanq = (d + 36)tana
El menor ángulo formado por las direcciones N10°O y E20°S es 120°. Luego la bisectriz de dicho ángulo tiene la dirección E40°N.
&
c m
36 7 12
C = (cota + cotq) . tanb
Altura del poste: h
2L + a h . h L+a
C=
c
C=
2 (L + a) h $ h (L + a)
a h
+
=
c m
(d + 36) 1 4
84 = d + 36 ` d = 48 m
Clave D
9.
7 12
m
Clave E
18.
C = 2
`
Clave B
Resolución de problemas 15.
En el
ABC por el teorema de Pitágoras:
(h . 3 )
2
N
(h) = 144 2 3h + h2 = 144 4h2 = 144 h2 = 36 ` h = 6 m +
270
H
2
30 O
Del gráfico: H + h = h 3 cot 30°
L
E S
H + h = h 3 ( 3 ) = 3h
450
360
x
H = 2h h =
&
N 37° Casa O E C
Clave C N 40 O
E S
x N Casa O C
En el
E
O
`
100
16.
H
En el CHA, por el teorema de Pitágoras: x2 = 502 + 1002 x2 = 12 500 &
x
= 50
5 m Clave C
28
Intelectum 5.°
= 60
61 m
`
Clave B
50
S
`
x
H+
H 2
3H 2
&
30
37° E
CHL, por el teorema de Pitágoras:
x2 = 3602 + 3002 x2 = 219 600
S A
100
80
&
N
60
H 2
Luego: H + h = 29
S
10.
&
H
=
29
= 29 =
58 m 3 Clave B
19.
Del gráfico: Hcot45° + 80 = Hcot37°
H(1) + 80 = 80
=
28.
Resolución de problemas 25.
Del siguiente gráfico:
c m
4 H 3 4H 3
-
Debemos considerar cuerdas rígidas sin deformación.
H
&
80
=
x
H 3 a
H = 240 m
`
2 a
135°
24°
21°
Clave D
Entonces:
20.
x
Del gráfico: hcota = hcotq + d hcota - hcotq = d h(cota - cotq) = d
a
45°
2
Sabemos: 26°30’ = Del gráfico:
a
Clave A
En el ADB por el teorema de Pitágoras: (150 - h)2 + (2h)2 = 1502 1502 - 300h + 5h2 = 1502 h2 = 60 h ` h = 60 m
26. &
N O
&
100
2
240
2
x
2
=
=
c
a 2 2
2a 4
2
2
m c 2
+
2
m
3a 2 2
+
2
18a 4
=
20a 4
=a
5 m
45°
O
E
Nivel 3 (página 30) Unidad 2
Clave D
37°
100 92
S L
29.
N P
O
Comunicación matemática
x
` x
100
Clave B
2/2
x2 = 5a2
E 45° S 37°
N
144
21.
C
E
S
15hcosx 15h
Piden la distancia del punto de partida al punto de llegada (PL).
22.
Razonamiento y demostración N O 10
D
En el
O
P
E 10 m
&
csc x
5m H
O
A α
θ
N
L α
H
Aplicando T. de Pitágoras en el d2 = (10 m)2 + (5 m)2
`
d = 5
B
O
PHF:
N
L
Clave E
24.
30h cos x h cos x
= 30
&
csc x
= 30
S α
O
=
AC CB
&
E
θ
θ
5 m
B
Piden: E = cscx - 15 E = (30) - 15 ` E = 15
E
S
S
hcosx
x
x x
ABC: cscx =
27. N
d
x h
x
E
5m 45° S
2m
A
x
2x 15h
Clave B
F N 45°
15hcosx
Del gráfico: PL = 144 + 100 = 244 ` PL = 244 km
23.
2/2
Por el teorema de Pitágoras:
h = d(cota - cotq)-1
`
a
45°
d cot a - cot q
h=
53° 2
a
135°
&
E
α
θ
P
Clave D
Q
30.
S
Del gráfico: a + q = 90° Luego se deduce que: m+PAB = m+ABQ = 90° Trazamos: QH = PA Entonces se forma el rectángulo ABQH. En el ABC: CB = (AB)tanq H - x = Htanq ` x = H(1 - tanq) x = H - Htanq &
&
En el PHQ: PQ = (HQ)secq PQ = (L)secq ` PQ = Lsecq &
Del gráfico: la altura de la torre es MH. MH = MP + PH MH = d + dsena = d(1 + sena) &
Clave D
En el
…(1)
QHB: QH = (d + 1)senq
Clave D
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
29
Luego: PH = PQ + QH
Reemplazando (2) en (1): &
MH =
c sesen n
`
MH =
(senq + 1) (sena + 1 ) sena - senq
dsena = 1 + (d + 1)senq dsena = 1 + dsenq + senq dsena - dsenq = senq + 1
&
q+1
a-
senq
m(1
+ sena)
Clave B
d(sena - senq) = senq + 1 &
d=
senq + 1 sena - senq
...(2)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 32) Unidad 2
Como: x 1 0
1.
Piden: y
(-24; 7)
4.
x=- 7
α
&
2 M = 2 x - 7 r
Entonces:
7
M= 2
(-4; -3)
2
7
3
2
7
&
3.
Piden: P = cosb - 5cosa 5
x r
24 5
=
-
P= -4 + 5
=
4 5
-
-
5
-
tanq =
5 > 0 12
24 25
P = 4
`
3
x2 + ^
2
2h
x2 = 7 x = 7 &
30
34
^
-
34
h;
5
-5
-
34 3
hc
+
34 + 5 3
c mE -5
3
m
=-
1 3
8^
34
h
2
-5
2
B
A = -3
(-12k; -5k) R
=
Piden:
c yr m + 5 c xy m m = - 5 + 1 122 = 7
c m c -5 k
13k
+5
-12k - 5k
tan180° + cos 360° + sen360 ° sen90° + cos 270°
Reemplazando los valores correspondientes:
R = 13senq + 5cotq = 13 R = 13
R=
(0) + (1) + (0) (1) + (0)
=
1 1
R = 1
`
R = 7
= ^ 3 h2
5 3
Clave A
θ
Por radio vector:
=-
x
5.
x
5 3
-
r = 13k
y (x; 2)
=
3
Clave C
2 / q ! IIC 3
34 3
=-
-
A = - 9 = -3
θ
Por dato: senq =
^
A= -
y
20 5
`
2.
y x
A=
senq < 0 Entonces: q ! IIIC
c m `j c m c m r 1
tanq =
34 3
=
34
Reemplazando:
Clave B
&
x1
r x
M = 10
r 2 = 72 + (-24)2 r = 25 r 12 = (-3)2 + (-4)2 r 1 = 5
P=
secq =
`
Del gráfico:
34
=
x = -3; y = 5; r =
M = 2cot2q - 7 se seccq
x β
El radio vector en P será: r = (- 3) 2 + 52
cym `xj c - m - c - m = 7 + 3
r
r 1
&
`
Clave B 0
x=- 7
Intelectum 5.°
Clave C
6.
f ` p j =
y
r
2
4
P(7; 2)
P'(-7; 2) r
α
2
`4j
θ
p
p
cos
2
+
p
sen4 p
+
p
2
=
x
7
`4j
sen
p
f θ
7
p
+
-
p
+
sen p - sen
+ cos p + tan
p
4
-
3p 2
=
+ -
p
`
Luego, por radio vector:
-
+
=
-
9.
E=
^a + bh
Piden: cosa = `
7 =-
cosa = - 7
`
1 4
sena =
.
53
53
E=
53 53
1 28
+
+
4 13
sena =
1 70
sena =
&
+
E=
3 p
sen
2
3p 2
+
+
2
^ a - bh
b cos
3
cos
^a + bh2 - ^a - bh2 -a
5 13
2 p
2
θ
x
=
Por dato: AB = 4AM AM + MB = 4AM &
4ab -a
MB = 3AM
&
P^1; - 2
x=
6 h ! IVC
&
f ! IVC
y=
y
...(2)
E=
= -6
`
Piden: H = 2sena + 3cosa
&
34
34
6 c m m 34 2 34
10 2
-
=-
60 4
Clave B
13.
θ
x
α
C(-3; -4)
Piden: R = cosa(secqtana - 2cscq) -4 - 2 5 5 R= -3
E= - 6
c m;c - mc - m c mE R = - c- - m R=- c m 5
4
3 5
11.
-
5
5
1 5
3 6
P(3; 4)
(-4; 3) 5
senf - 3 6 cosf
y
26 13
= 10 y = 10
E = -15
Clave C
c yr m 3` xr j 2c 135 m 3c 1312 m
40n 4n
=
y
2 6 5
3 5
α
5 3
-
15 3
3
3
10 3
=
15 5
=
3
R = 3
`
x
H = -2
`
17 Clave D
Clave B
θ
(x;- 15)
14.
Por dato: sen2 x + sen4 x - sen 6 x cos 2x + cos 4x + tan x - 4 sec 4x
4n
`
c yr m - 3 6 ` xr j E = cm- c m
&
Piden: f ` p j 4
=
r
E=
Como: x 1 0 x = -12
f(x) =
n + 3n
Piden:
&
8.
n ^ 4 h + 3n^12h
` j` j c
Por radio vector: r 2 = 12 + ^- 2 6 h2 = 25 r = 5
α
=-
- 24n
=
n + 3n
r
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 2 x + (5)2 = (13)2 x2 = 144 x = 12 0 x = -12
-
n ^ 6 h + 3n^- 10h
Piden: E = 34senqcosq E = 34 y x
r
&
H =
1 3
&
x
+
=
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 r = 2
φ
(1; -2 6)
=
AM MB
&
&
10.
x
&
B(6; 4)
r
x = -6
...(1)
(x; 5)
36 13
M(x; y)
Por división de un segmento en una razón:
y
10 13
y n
3n
^a + bh2 ^1 h3 + ^a - bh2 ^- 1h3 2 a ^- 1 h + b^ 0 h
Entonces: a ! IIC
+
4
p
E = -4b
De (1): a ! IC 0 a ! IIC De (2): a ! IIC 0 a ! IIIC
H = 2
15 4
12.
`
1 130
Además: cosa 1 0
13
=
Clave C
Clave E
4 5
0
+
-8
B = 15 = 3,75
Por dato: 4 5
- 15
+
-8
53
Clave C
7.
1 2
- 15
A(-10; 12) 2
asen x r
=
Clave D
53
&
2 4
&
=
r 2 = ^- 7h2 + 22 = 49 + 4 r 2 = 53 r =
c yx m + c yx m + tan^360°h B= c m c m ^h
B=
4 sec p
- -
+
p
Piden: B = tana + tanq + tan(a - q)
p
-
^h ^h ` 4 j ^ 0h 1^ 1h 0 ^1 h^ 14h^ 1 h 1 f ` j 4 2
f
Por simetría con respecto al eje y: P’ es (-7; 2)
Además: a - q = 360°
p
` 4 j sen6` 4 j cos 2 ` j cos 4` j tan ` j 4 sec 4 ` j 4 4 4 4 sen2
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 x2 + (-15)2 = 172 x = 8 0 x = -8
B(-2; m)
θ
&
A(3; n) α
x
&
Del gráfico: x 1 0 x = -8
y
C(-1; −1)
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
31
