Unidad 1
SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 6) Unidad 1 1.
9x2 - 18x - 36 = 10x2 - 30x - 100
Reemplazando en (1):
x2 - 12x - 64 = 0 (x - 16)(x + 4) = 0 & x = 16 0 x = -4
200k + 180k 200k - 180k
πk + 3 =
Colocamos los ángulos en sentido antihorario, y tenemos:
&
πk + 3 = 19 & πk =
16
&
R = 16
&
Por lo tanto, el ángulo mide 16 rad. Clave B
3x
−(2x − 10°)
6.
−(30° − 4x)
Del gráfico: -(2x - 10°) + (3x) - (30° - 4x) = 180° -2x + 10° + 3x - 30° + 4x = 180° 5x - 20° = 180° 5x = 200° ` x = 40°
g
Por dato: los ángulos (3x)° y complementarios.
d 203x n son
d n = 90° d 203x n d 109° n 90° Clave B
g
30θ
Del gráfico, se cumple: 18q° + 30qg = 90° 18q° + 30qg 9°g = 90° 10
Del enunciado: 30x + π rad = 3(90° - π 2
g
8.
n
+
m
n
50
30x = 270° - 180° 30x = 90° ` x = 3°
810 0 00 00’’
810 00 000’’
π 810000’’
`
R+3 C+S
R+3 C+S
d
n
1° 3600’’
π rad 180°
=
n
=
5 rad 4
d 1001 n = 0,5 d 9° n = 0,45° 10 = 0,45° d n = 1620”
=
C
-
S
Se sabe: S
180
=
…(1) π
=
k
S = 180k, C = 200k y R = pk
&
2
d n 54 = 54 d rad n 200 54° = 54° π rad
1 3
3
3
3 .2 .10 1 3. 2 . 1 0
d n = 3 1 60
El ángulo es 3°.
π
g
g
3π rad 10
3π rad 10
=
27π rad 100
27π rad 100
-
=
Intelectum 5.°
Clave C
(179x + 185)° = (180 + 180x)° 179x + 185 = 180 + 180x x = 5 Reemplazando: a = (1 + 5)p rad g a = 6p rad 200 π rad
a = 1200g
`
Clave C
13. Sea el error E:
E = 315° - 315g
3π ra d 100
E = 315° - 315g E=
315° 10
d 109° n g
2
10. S = x - 3x - 10
…(1)
E = 31,5°
2
…(2)
En el sistema radial
Dividiendo (1) y (2): S C 9 10
x =
2
x
-
3x
2
x
x
10
-
2x
-
4
-
3x
-
10
2
=
-
2 -
2x
-
4
factor n conversión
d n factor conversión
=
180°
C = x - 2x - 4
R
1 (18 1800) (20 2000) (6)
d
Clave A
=
k
(179x + 185)° = (1 + x)p rad 180° π rad
3600’’ 1°
2
C 200
=
(179x + 185)° = (1 + x)p rad
El error cometido será:
C+S (C + S) (C - S) C+S C-S
π
12. De la relación:
m
g
g
5 rad 4
C+S 2
`
Clave D
9.
Clave D
R + 3 =
&
π
=
π
5.
225 °
=
d
R
Luego: S = 180k = 180
50m = 1620”
`
π
k=
g
50m
810 0 00 00 ’’
=
π
k3 = k3 =
Clave E
4.
=
6
30 g
g
50m = 50m
30x = 270° - p rad
d
C 200
Clave A
π rad 3π rad 6 2
30x = 270° - p rad 180° π rad
rad.
(180k)(200k)(kp) = π
Luego: 30x = 270° -
11π 10
SCR = π , reemplazando valores
Como: a - b = 30g g (50 ) - b = 30g g & b = 20 Por lo tanto, el menor ángulo mide 20 g.
rad )
6
11π rad 10
=
Del enunciado:
2a = 70g + 30g 2a = 100g & a = 50g
Clave B
3.
n
6
d
18q + 27q = 90 45q = 90 ` q = 2
=
g
2a = 7π rad 200 20 π rad
d n
180°
medida de un ángulo en los 3 sistemas. De la fórmula de conversión: S 180
Sean los ángulos: a y b (a 2 b) Por dato: a + b = 7π rad 20 (+)
a - b = 30
π rad
11. Sean S, C, R los números que expresan la
18θ°
7.
d
Clave C
3x + 6x = 90 9x = 90 ` x = 10
2.
198°
Por lo tanto, el ángulo mide
=
g
Clave D
Entonces el ángulo mide 198° &
g
(3x )° +
Reemplazando en (1): S = (16)2 - 3(16) - 10 S = 198
g
Entonces: (3x)° + 20x 3
x = 16
d n
E = 31,5° = 31,5° πrad `
E = 7π rad 40
180°
Clave D
14. Se tiene:
175° = 175° 175° =
8.
Piden: π rad b 180π ° l rad = 175 180
35π 36
rad
&
35π 36
n=
rad
`
M=
3x + 4y 5x - 4y
M=
9 7
3 (8k) + 4 (3k) 5 (8x) - 4 (3k)
=
=
9 7
d
M=
1
π 1
π
[36n - 30p] =
1
π
[36
d n - 30 ] 35π 36
p
4.
[35p - 30p] = 5π π
π
g
180°
-
5
36
50
Clave B
5.
…(a)
`
Además: &
1 rad =
C 200
6.
Por dato: SCR
&
=
S
=
180R
400πk 200πk
=
=
2
y - + AOB = 3(m+1 vuelta) y = 3(360°) + + AOB Del gráfico: +BOA = -(-60)° = 60° + AOB + +BOA = 90° + AOB = 90° - +BOA + AOB = 90° - 60° + AOB = 30°
&
k = 4
d
π rad 180°
n
=
π rad 5
rad .
d n
30,5g = (30,5)g 9°g 10
30,5g = 27,45° = 27° + 0,45° = 27° + 0,45(60') = 27° + 27' g ` 30,5 = 27° 27'
Resolución de problemas
C 200 C
d nd 180R
200R
π
π
n
R
R
3
=
=
=
10. Por dato:
R
π
60S & n.° de minutos sexagesimales 100C & n.° de minutos centesimales
200 R
π
Entonces: 60S + 100C = 1540
7.
π 180
π 180
rad.
2
Por dato: C - S = 76 Sabemos: C = 10k
/
S = 9C , luego 10
(10k)2 - (9k)2 = 76 19k2 = 76 k2 = 4 & k = 2
54C + 100C = 1540 154C = 1540 C = 10
Entonces:
a = 10g = 10g # π radg 200 `
S = 9k
a = π rad 20
Clave C
&
11. Sea el ángulo: a
Por dato:
a = 130g / 180° - a = (8n - 1)° α = 130g 9°g = 117° α = 117° 10
Luego: S = 9k = 9(2) = 18 & S = 18
&
En radianes: 18° π = π rad
b 180° l
8 3
&
10
Clave A
... (2)
C 10
d n
3
Por lo tanto, la medida del ángulo es
2
=
60 9C + 100C = 1540
π3 180
=
S 9
π 162
=
... (1)
Clave B
Razonamiento y demostración
=
R
Reemplazamos (2) en (1): y = 1080° + 30° ` y = 1110°
Por dato: g x = 4° / y = 2 30 36
162
/
π
y - + AOB; tiene un número entero de vueltas el cual según gráfico es 3, luego:
y = 3k
9.
Reemplazando en el dato se tiene:
Del gráfico se observa que:
/
15
π
…(b)
Clave C
x = 8k
=
Clave C
Por lo tanto, la relación correcta es la C.
&
=
200R
180
=
1
Clave C
π (200k) + π (180k) + 20 (πk) 200 (πk)
πC + πS + 20R
Sabemos: S
g
+
15
k
=
π
Clave B
De (a) y (b): g & 1 rad 2 1° 2 1 g & 2 rad 2 2° 2 2
d nd 109° n
10k 10
=
π
1 rad . 57°19’30” 2 1° & 1 rad 2 1°
Luego: x = 4° 36 y 2 g 30
R
180°
&
3.
=
Piden: πC + πS + 20R 200R
!
1
n n
5
S = 180k, C = 200k y R = pk
Se sabe:
p rad = 180°
=
1
Por lo tanto, la medida del ángulo es π
&
Comunicación matemática 9° = 10g & 1° = 1, 1 g 2 1g g & 1° 2 1
36°
Sabemos: S 180
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 8) Unidad 1
+
Entonces, el ángulo en radianes mide:
r ad
50
C 10
Luego: S = 9k = 9(4) = 36
Clave C
36
-
nd nd
1
(k - 1)(k + 1) = 15 k2 - 1 = 15 k2 = 16
9π rad 50
=
=
9k 9
-
5
El error cometido será: π rad 9π rad π
π rad = π rad
S 9
π rad
=
El número de radianes de M° es π .
`
2.
180°
g
Luego:
1.
d n 36 = 36 d rad n 200 36° = 36° π rad g
M = 5
M° = 5° = 5° #
d
Clave E
Reemplazando en M: M=
Se sabe: S = 9k / C = 10k Por dato:
10
Por lo tanto, la medida del ángulo es π rad. 10
d n
&
Luego: 180° - 117° = (8n - 1)° 63° = (8n - 1)° 64 = 8n & n = 8
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
3
Piden: ng en radianes
d
`
g
n
π rad ng = 8g π rad = 25 200 g ng = 8g = π rad 25
m
s
14. 40° = aa aa aa
d n
g 40° 10 9°
&
Clave E &
Nivel 2 (página 8) Unidad 1 Comunicación matemática
…(1)
400 g 9
=
=
g m 44g + 4 100g 9 1
d n
g
m
. 44
s
(C + S) + (C + S) + (C + S) + ... + (C + S) = 3800
a = 13; b = 6 ; c = 45
S 180
=
a + b = 20°
3800R
9
C 200
n
d
200R
π
x = 42; y = 17; z = 9
De las expresiones:
2 3
III. c = 45; z = 9
&
a y b no son equivalentes. (F)
b y z están en razón de 2 a 3. (V)
π
x° + a° + 180° - b° = 360°
De (2) y (4):
π
n= nd n= +
180R
3800R
π
π
380R
3800R
π
π
2n° = 20°
De (3) y (4):
b + 100° = 78°
b = -22°
&
d
El mayor es: 58° π rad
`
` 180° j
rad
180°
16. Por dato:
160 A =
1 3
(m+1 vuelta)
160 A =
1 3
(360°) = 120°
4 3
29π rad 90
Por dato: (3600S) - 3(100C) = 29 400 12S - C = 98
12
A
= 1°
Entonces, se cumple: 3600 S: representa el n.° de segundos sexagesimales. 100 C: repre senta el n.° de minutos centesimales.
... (1)
d n d 180R
π
-
200R
π
Además:
π R
=
98
=
98
=
π 20
Por lo tanto, el ángulo mide π
27B = 90° 3B = 10°
n
1960R
&
Clave B
=
grados sexagesimales y C el número se grados centesimales.
9
c m
S(x) = a° - b°
n
18. Sabemos que S representa el número de
2n° = π rad.
4 A = 3°
S(x) = 180° - (180° + b° - a°)
Intelectum 5.°
a = 42°
&
Clave D
π
S(x) = 180° - x
4
a + (36)° = 78°
Finalmente:
x = 180° + b° - a° Luego; el suplemento de x será:
…(4)
(20°) + q = 78° & q = 58°
160 A = 120°
x° - b° + a° = 180°
…(3)
De (1) y (4):
Clave A
x° + 90° + a° + (-b°) + 90° = 360°
180°
π rad
…(2)
3800R
(F)
13. Del gráfico se obtiene:
d n rad d n = 100°
2(a + b + q) = 156° a + b + q = 78°
200R
z es menor que c. Clave E
…(1) 9° = 36° 10 g
Sumando (1), (2) y (3):
π
n = 10
&
&
R
y C=
π
n(C + S) =
b = 42g 17m 9s = xg ym zs
I. a = 13; b = 6
=
Luego:
s
b = 42g + 17m + 9s
`
g
a + q = 5π
π
180R
S =
&
s
b = 42 # 100 + 17 + 9
=
17. Sean: a, b y q dichos ángulos.
De la fórmula general:
b = 4217m + 0,09 # 100s
6 9
Resolución de problemas
b + q = 40
n(C + S) =
b = 4217m + 0,09m
=
π
Luego:
b = 4217,09m
b z
R
n términos
Análogamente
II.
120 A = 27B Clave C
a = 13° 6' 45" = a° b' c"
m
9 40
15. Del dato:
a = 13° + 6' + 45"
m
B
d n
120 A = 120 # `
a = 13 # 60' + 6' + 45"
`
120 A = 120 # 1 A De (3):
Clave E
a = (13 # 60 + 6)' + 45"
b = 4217 + 9
... (3)
Piden: …(2)
a = 786' + 45"
m
s
4 A 3
B
9 40
A
Comparando (1) y (2): & a = 4 ` 2a = 8
a = 786' + 0,75 # 60"
40 3
dn
A
d n 1 =d n 3B =
d n
40° = 44 44 44
a = 786,75' = 786' + 0,75'
3B = 10(1°) = 10
m g 40° = 44g + 44m + 4 100 9 1m
&
12. De los datos:
`
(1) en (2):
Razonamiento y demostración
20
rad.
... (2) Clave A
19.
y = 60S Además: x - y = 368
B α
`
E) De: S
5x
A
g
(4x + 5)°
C
S 9
d n
S C 9 10
=
&
9 C 10
S =
SC 40
Luego: g
100C - 60S = 100C - 60
Del gráfico: 5x = (4x + 5)° 5x
d n
9° = (4x + 5)° 10 g
g
9x 2 x 2 &
d n = 368 9 C 10
`
= 4x + 5
`
Luego: 45° + a + 45° = 180°
d
a = 90° π rad ` α =
π
2
180°
V S
a = 2π rad 2π 25
rad.
Nivel 3 (página 9) Unidad 1 Clave D
S 180
B 54°
x
A
S
C
C 10
=
9
-
`
&
4a° 3b ’ 1c ’’
d
3π 180° rad π rad 13 &
n
3π rad 13 3π rad 13
41° +
=
=
=
C 10
=
S 180
π
7 6
=
π
20R
π
V 7
&
=
S 6
=
S 6 # 30 30
&
V 210
=
S 180
... (1)
C 200
R
=
V 210
=
π
... (2)
=
V ` 210
V =
210R
π
A es correcta.
C
-
1
C 10
=
B) Relación entre V y C De (2)
1
-
C 200
10 10 -
=
d n d n 60’ 1°
4 1° 1° + 32’ +
4’ 13
C 10
=
S+C 9 + 10 `
...(1) 7° 13
S 9
=
180
20R
=
=
-
V 7
k1
9 (k1) + 10 (k1) 9 + 10
C 200
-
=
C S 200 π -
=
S 1 80 18
R
=
π
=
200k 2 200
k2
-
-
200k 2
=
C =
200
πk 2 π -
-
=
k2
180k 2 180
`
S
-
20
-
Piden: J = (a + b)c = (1 + 2)8 ` J = 24
C es correcta. S 9
22. Datos
S 9 2
&
S 81
C 10
2
dn
x " n.° de minutos centesimales y " n.° de minutos sexagesimales Sean S, C lo convencional para un ángulo a: x = 100C
=
=
=
20V 21
=
20R
π
=
360 6
V = 420
&
m+1 vuelta = 420v
... (3)
=
...(1) k2
...(2)
D) De (3) m+1 vuelta = 420v = 360° v & 420 = 360° v ` 42 = 36° D es incorrecta.
... (4)
E) De (4) 42v = 36° 7v = 6° 7v = 6(60') 7v = 360' E es correcta.
Razonamiento y demostración
k1
25. Reduciendo la expresión tenemos:
d n
k12; C 20R 10 π
=
k12
E=
2CR
π
=
Clave D
D) Sea: Clave D
`
k1
De (1) y (2):
Comparando (1) y (2): & a = 1, b = 2 y c = 8
C =
C es correcta.
-
41°32’18” …(2)
=
π
C 200
C R 200 π
60’’ 1’
V ` 210
C) De (1), siendo S = 360 para el ángulo de 1 vuelta
B es correcta.
C) S
=
B es correcta.
A es correcta.
S 9 Clave C
=
=
=
R
B) Se tiene:
d n
13
S 9
&
π
&
9
9
En el triángulo ABC, se cumple: x + 54° + x = 180° 2x = 126° g x = 63° 10 = 70g 9° g ` x = 70
π 21. 3 rad
R
=
2
2
Se tiene: A) S
x
C 200
=
k12
A) Relación entre R y V De (2)
Comunicación matemática 23. De la fórmula general de conversión:
20.
=
En la fórmula general de conversión: Clave B
rad
π
E es incorrecta.
V 7 # 30 30
25
La medida del ángulo es
n
20R
Del dato:
a = 16g # π radg 200
Entonces: m+C = (4 # 10 + 5)° = 45° & m+ A = 45°
2
d n
las medidas de un ángulo en los sistemas de medición angular:
a = 16g
x = 10
k1
=
24. Sean V, S, C, R los números que representan
Luego, el ángulo será:
= 5
π
k12 ;
=
400R
=
20R
=
Clave E
100C - 54C = 368 46C = 368 C = 16
C 10
=
9
100C - 60S = 368
&
También: C 10
D es correcta.
E=
( C
+
S )2 + ( C - S )2
( C )2 - ( S )2 2 (C + S) (C - S)
-
-
2
2
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
5
Sabemos: S
C
=
9 10
Se sabe:
= k
1° = 1g
S = 9k / C = 10k
&
5
Reemplazando en la expresión reducida: E `
2 (19k) k
=
-
2
w
2
36
=
10 9
v
=
10 9
1V =
`
E = 6
; reemplazando: &
1
w
1 w
dn 9 4
=
v
&
4 9
Clave C
M=
>
M=
2200g π rad π rad 200 g
M `
=
29. M
H
11g (1 + 2 + 3 + ... + 70) 400 2 rad (1 + 2 + 3 + ... + 70) π
d
2200 200
=
=
n
M=
Clave B
M=
27. Por dato: m g
m m
g
m
&
f
m
(100am) + am am
g
=
pf
M
a g bm; (a 2 b)
(100bm ) + bm bm g
d n
20x° + 3x π rad + 80x g 5 2xπ rad (50g) x 15x ° + + 9
m
p
=
=
20° + 3π rad + 80 g 5 2π rad + 50g + 15° 9 20° + 3π rad 180° 5 π rad
d
2π 9
w
5 = 1°
6
/
/
20v = 10g v
2 = 1
=
E =
625 9
=
&
g
Intelectum 5.°
bl
75 2
a b
75 2
=
d n 50 27
25 3
25 3
E=
Clave B
=
180 S
3
200 C
+3
+
π
3
R
n
+
80
g
9° 10 g
&
180 180k
3
+
200 200k
+3
3
1 k
+
3
1 k
200° 100°
a b
π πk
3
+
1
3
+
k
30. Colocando los ángulos en sentido antihorario,
tenemos:
a
am = -(-b’) am = b’
m
-(-b')
=
3
1 k
=
3
3
1 k
=
1
Clave C
Resolución de problemas
=
33
&
g m
3
=
Sabemos: S = 180k, C = 200k / R = pk g
g
+
π
20° + 108° + 72 ° 40° + 45 ° + 15 °
28. Por dato:
(1°)
75a 2b
`
d n rad d 180° n 50 d 9° n 15° rad 10
Clave A
1 5
=
g m
Comparando: a = 102 / b = 1 Piden: a + b = 102 + 1 = 103 ` a + b = 103
1w =
50 27
M = 2
`
m
(101) (101) = a b (102)g(1)m = agbm
=
m
g
31. Por dato:
M = 11
g
a b
Simplificando, tenemos:
11
d aaa n dbbb n
1’ 10 g 1m 9°
E
Clave C
26. Factorizando tenemos:
=
Piden:
1V = 2,25w
0
d nd 601°’ nd 1001 n
a b
3
k = 1
Piden: E
=
E
=
E
=
3
6( 3
-
2 ) SCR
3
6( 3
-
2 ) (180k) (200k) (πk )
3
60 3 k 3 ( 3
-
2 )π
=
Una aproximación de p es: 3
&
E = 60k
( 3
`
E = 60k = 60(1) = 60
-
60k 3 ( 3 3
2)( 3
+
+
-
2 )π
2
2)
=
60k (1)
&
Clave E
SECTOR CIRCULAR APLICAMOS LO APRENDIDO (página 10) Unidad 1
2 2 θ (R2 - r 2) = 3 θr
2
7.
2
2
2
1 A
2
2(R - r ) = 3r
1.
2
A
r
&
R π
O
A
3π
/5
2
=
1 1
2 5
r R
5
Del gráfico, la longitud que recorre el centro de la rueda al ir de A hasta B será:
Clave B
Por propiedad, el área del trapecio circular es: (4π) 2 (3π) 2 7π2 35π A 2π 2 2 π 5 5 35 ` A = π -
` j
=
LC 4.
A
LC
B
2
Por dato la rueda mayor gira 18°. &q A = 18°
(1) 3r
r 20r
&
Por dato: la bicicleta dará 20 vueltas. Entonces, la longitud recorrida por el centro de la rueda (1) será: LC = 20(2p . 20r) = 800p r nv
(1)
nv
(1)
&
&
=
=
2πr
800πr = 400 2πr
` qB
5.
19π 4
=
nv
(AB)
=
19π 4 2π (1)
=
=
19 8
19 8 Clave E A
8. C 2
= 36°
L1
1 rad
O
L2
A
2 D
3
B
Del gráfico: L1 = (1)(2) = 2 L2 = (1)(5) = 5
Del gráfico: 6
= 400 8 θ r ra ad
O
A
400 3
Por lo tanto, cada rueda dará
Del gráfico: q(14) = 14 & q = 1
Clave A
9.
Piden:
y 400 vueltas.
A
El área del sector sombreado (A): 2 A = θR 2
C
=
(1) (8) 2 2
r
=
32
r
r
L1
S2
L2
D
6. 1 rad
6m
A
8m
α+θ
2 S1 = θr
2
2
2
Por propiedad, el área del trapecio circular será: S1
=
S2 = θ (R2 - r 2) 2
Por dato: 2S2 = 3S1
B
r
C
Del gráfico:
O
Del gráfico:
-
2r
Sea el valor de a expresado en radianes.
B
2
r
θ
O
Clave B
S2
R
2 S2 = θR
M r
S1 α
S1
S1 + S2 = θR
D
r
Q
` A = 32
A
θ
2psomb. = L1 + 3 + L2 + 3 2psomb. = 2 + 3 + 5 + 3 = 13 ` 2psomb. = 13 &
Clave A
3.
Piden: el perímetro de la región sombreada (2psomb.).
14
6
nv(2) = 400 3
&
` 2 j . (5) + c 34π m . (3)
Clave D
= 20(2p . 20r) = 800pr (2) LC(2) 800πr = 400 nv(2) = = 2π (3r ) 6πr 3
O
(2)
3
LC
&
+ LC
= π
(18°)(4) = qB(2)
Luego, la longitud recorrida por el centro de la rueda (2) será:
&
(AB)
(1)
q A . R A = qB . RB
(1)
Lc(1)
`
Luego, por estar en contacto las ruedas, se cumple: L1 = L2
P
(AB)
= LC
Piden: LC( AB) nv = (AB) 2πR
(2)
2.
(AB)
LC
&
2m
4m
Clave A
B
2
=
C
=
4 45° 135° 2 LC(2) 1 1
4π
`
O
2
4
D
=
LC(1)
4
2R2 = 5r 2
B
1
θR2 2
-
θr 2 2
A
=
( 8)
` A = 14
2
(6) 2 (1) -
2 =
28 2
=
14
S1
=
S2
=
S2
=
=
π rad 2
&
θ
=
π 2
-
α
...(1)
θr 2 2 L1 + L2
c m cα cαm α 2
r =
m
. 2r + α . 3r r 2
2
m2 Clave C
5 r 5 r r = 2 2
Por dato:
S1 S2
=
1 2
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
7
12. Del enunciado, la bicicleta recorre 12 p m; por lo
2
θr 2
&
2
=
5αr 2
1 2
&
θ 5α
1 2
=
&
θ
=
5α 2
2 1 0,6 m
Reemplazando en (1):
c m 5α 2
=
` α =
π
2
α
-
&
7α 2
2
12π m
π
Sabemos:
Luego:
7
n1 =
10. R
n2 =
R
B
A
2πr 1
; n1: n.° de vueltas de radio 1
,2
,1
49π 11
Lrecorrida =
2πr1
rad
`
c π m(0,5) 49 11
49π 22
n1 + n2 =
12π 2π (0, 6)
n1 + n2 =
6
c
10 6
Clave B
+
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 12) Unidad 1
12π 2π (0, 8)
+
Comunicación matemática 1.
m
10 8
O
`
=
49 22
suma del número de vueltas de las ruedas es igual a 17,5. Clave C
c m 22 7
=
7
S
S3S1 = S2S4
r
11. Para la polea:
r
L
2
S4S1 = S2S4
r
S1 = S2
B
O
θg
r + + r
2
`
Por dato: S = πr
Cuando la polea gira un ángulo qg el bloque se eleva una altura h tal que equivale a la longitud de arco correspondiente al qg entonces:
nv =
2π
"
nv =
75 + 5 0 2π (1)
=
-
5( 3
+
2)
2( 3
+
2)
+
II. Se tiene del gráfico:
1
S1 =
2
r = ( 2
-
1)
r =( 2
-
1) m
`
r
2
Intelectum 5.°
1 2
2 ar ; S2 =
1 2
2 aR - S1
S2 =
1 2
2 aR -
S2 =
1 2
2 2 a(R - r )
= r (1 + 2 ) -
1) ( 2
+
1)
Si : S1 = S2: S1 = S2 1 2
AO + OB +
L AB
= 1 + 1 + ` π j (1) 2
AO + OB +
L AB
=
!
!
2 α r =
1 2
2 2 α (R - r )
r 2 = R2 - r 2 2r 2 = R2
4+π m 2
r `
número de vueltas que da la polea es 2,5
S1 = S2
2 2)
Nos piden
Clave A
8
π (3
AO = 1 m
nv = 2,5 ` El
=
=( 2
h 2πr
&
(verdadero)
AO = OB = r +
Reemplazando datos: nv =
2
Si S3 = S4
Luego:
... (1)
Además: θg
2
r 2 = ( 2 ) 2 - 2 2
h
h r
... (1)
De (1):
Clave A
qg =
Se cumple: S1S3 = S2S4 I. Si : S 3 = S4:
A
"
S3
13. Del gráfico:
x=7
qgr = L = h
S4
` La
d(AB) = Lrecorrida = x 49π 22
S2
S1
&
=
Por propiedad
n1 + n2 = 17,5
A su vez, la longitud que recorre su arco también va ser igual a la distancia entre A y B.
x
nv = 4
2πr 2
Reemplazando:
Se cumple que la longitud que recorre su arco va ser igual a: Lrecorrida = (qb)R =
q = 2p ; R = 9u ; r = 3u 2π (9 + 3) nv = 2π (3)
,2
+
2πr
Para el problema
; n2: n.° de vueltas del radio 2
2πr 2
n1 + n2 = Por dato: la rueda barre un ángulo de y R = 0,5
θ (R + r )
nv =
,1
Nos piden:
x
&
9
12π m
2
Clave B
&
3
1
0,8 m
π
=
14. Del grafico:
tanto, cada rueda de la bicicleta también recorre 12p m entonces:
Clave E
2
= R
Si : S 1 = S2
(falso)
&
R = r
2
1 2
2 ar
III. Si : S 3 = 4S4
S 9
De (1): S1S3 = S2S4 4S1 = S2 : S 3 = 4S4
R
4S1 = S2
&
20R
=
30 9
S14S4 = S2S4 ` Si
A 24
20R
=
O
π
π 6
=
E C
π
θ
&
S1
π ^2 3 h
=
6
2 π ^6 h
S1 + S2
De las propiedades de engranajes y ejes:
6
F
6
2
36π 12
=
2
D
Del gráfico:
π
=
=
` S2
2 A
2p
=
4.
S1
θ
a
3
a
S1
θa2
=
2
(falsa)
θ^3ah2
=
2
II. A y B unidas por un mismo eje:
4θa 2
n A = nB
+
S2
=
9θa 2
+
S2
=
9θa 2
2
y B dan un mismo número de vueltas S2
&
(verdadera) III. Del gráfico:
`
D y C mismo eje: nD = nC
S1
5θa 2
=
2
=
S2
2 O1 P
2
5θa 2
=
2
...(2)
2m
R
A3
2R
2θ
El triángulo O 1O2O3 es equilátero. Las regiones (sectores circulares) PO3R; RO2Q; QO1P son congruentes (áreas iguales).
θ
F
3R
Sea el área sombreada Sx. Se tiene que: A9 ABC = Sx + 3S ... (1) 9 ABC:
equilátero
A3 ABC
=
Del gráfico:
nD = 1 Si B da 2 vueltas (n B = 2), D da 1 vuelta
A1 =
(nD = 1) (verdadera)
Razonamiento y demostración
(3θ) R 2
2 =
A2 =
( 2θ ) ( 2R) 2
A3 =
θ (3R) 2 2
Clave E
3θR 2
2
=
=
2
4θR2
9θR2 2
Piden:
3. 2 30°
3
J S1 6
S2
`
=
A 2
-
A3
-
π/3 2 m O2
D
2 = 2nD `
▪
E A2
A1
O
Q
2m
R
A
Si: nB es igual a 2
S
R
C
3θ
S
1 5
R
R
/3 2 m
π
π/3 O3 2 m
▪
... (2)
2m
S
5.
nB = 2nD
x 2θ
7. Del gráfico:
Clave D
(1) en (2):
2
=
Clave C
2
nB . r = nC . 2r nB = 2nC
6
θa2
... (1)
B y C unido por una banda:
cθm
2
2
θ^2ah
2
x 2θ
x2 = 36 ` x = 6
...(1)
S1 + S + S2
2
x 2θ
=
2θ
De (1):
... (2)
El número de vueltas de C es igual a 4 veces el número de vueltas de E
` A
2
S2
S
a
nC = 4nE
... (1)
θ
L2
3A =
&
6
A=
Luego: S EOF = 3A =
a
(1) en (2): `
&
2θ
a
nD . r = nE4 r nD = 4nE
24
=
a
... (1)
D y E engranaje:
24 2θ
Entonces:
Clave B
nD = nC
( 24 ) 2 = 2θ
=
2θ
3π
I. Del gráfico: D y C mismo eje:
2
L1
COD = 2A =
S
π + S2 = 3π
&
Sean: n A, nB, nC, nD, nE, nF; los números de vueltas:
=
x
A
A B
π . 12
=
2
Clave C
A
α
π rad 6
=
2
(verdadero)
2.
6.
30° a radianes:
A1 A2
4θR
2
=
9θR 2
-
3θR 2
2
2 -
4θR
=
2
5θR 2
2
3 4
; S= 1 π 2
` 3 j^ 2h
A3 ABC =
(4) 2 3 ; S = 2π m2 4 3
A3 ABC
4
=
3m
2
2
En (1):
2
θR2
,
=
5
2
J = 5
4
3
`
Sx
=
Sx + 3
=
(4 3
2 3
c πm
-
2π) m
Clave E
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave E
9
Nivel 2 (página 12) Unidad 1
Resolución de problemas 8.
12.
I. De la condición:
Comunicación matemática
Del enunciado:
B
11. 5m
20
1
rn1 = Rn2 n1
10
3π 200
20a =
rad
S=
=
k
La razón de los radios (k) es igual a la
`
inversa de la razón de vueltas.
El área del sector será:
`
R r
=
n2
c m
2 qR = 1 3π (5) 2 2 10
=
c m entre su número 1 k
II. Del enunciado: = qr cm
15π 2 m 4 Clave B
:
La región sombreada corresponde a un sector circular cuya longitud de arco es la longitud que recorre P cuando el cuadrado gira desde el instante dado hasta que C toca el piso por primera vez. Luego, del gráfico: ,P
3.
=
` , P =
I es falsa.
15π 4
2 3π cm 2
longitud que la rueda recorre.
D P 3 cm
Sabemos:
D P
C
,
nV =
π
II. De la condición:
Sabemos que: 9.
C
3 cm
Se cumple:
1a = 3π rad
1 2
D
P r
g 1a = 3 πradg 200
S=
C
4 cm
R
Por dato: 1a = 3g
B
l
A
S 2
&
A
I. Para dos ruedas unidas por una banda:
a
α
lC
2πr
P
r
Para la rueda C: nVC =
,c
"
2π (5)
B
,c
=
10πn vc ... (1)
C
Trayectoria de P cuando el cuadrado gira según las condiciones luego, el área sombreada, sector circular y , longitud de arco donde:
= qr
r: radio de la rueda
Por dato: =
,1
2π (3)
+
,2
C:
longitud que recorre el centro de la rueda
2 π ( 4)
`
q . r cm es igual a la longitud que recorre el centro de la rueda.
Pero: 1 = 2 = 24 m, entonces: nVC
=
nVC =
24 6π
+
24 8π
7
=
4
π
+
= 10π
` C
1
2
+
4
2
17 cm
=
A
Entonces: π 17 ,=
2
2
7
cπm
` , =
= 70 m
n Ar A = nBr B
III. De la condición:
qi: ángulo que gira la polea
ni =
n A, nB : n.° de vueltas
B
θi
A
2π
θ1
Por dato:
2π
(n - 4)6 = n(3)
n1 n2
3n = 24
=
45°
´
45°
θ2 2π
3 cm &
n1 = n2
= 1
La razón de su número de vueltas es igual a1 III es verdadera.
n + 3 = 11 Clave D
D
,
`
n = 8
C
P
Luego:
r A; r B : radios
Intelectum 5.°
Sabemos que: q1 = q2
17 π 2
El número de vueltas de una polea (n i) está definido:
10. De la figura se cumple:
10
=
4 cm
III. Sean 2 poleas unidas por un eje: 1
2
BP
1 cm B
Clave B
`
BP
P
π
(2) en (1): C
,
II es falsa.
3
... (2)
π
A 4 cm
q: ángulo que gira la rueda
nVC = nVA + nVB
1 cm
α
Clave C
longitud de arco del sector circular sombreado de ángulo central 45° y radio 3 cm, entonces: π .3 ; 45° = π rad ,= 4
4
` , =
3π cm 4 Clave E
13. De la figura, sea L la longitud del péndulo: 10 cm P
n A =
Q 30°
60°
- 10 cm
θ A
; q A: ángulos que gira la rueda A
2π
q A = 2p n A
L
`
10 cm L
L2 = n3(2p)r 2; r 2 = 2 cm
Finalmente:
Razonamiento y demostración
R
2 p n3(2)
n3 =
11 2π
A
Clave B
L2 C
11
=
2.
q A = 12p
30°
B
22 =
`
22 7
n3 = 1,75 Clave C
15. Del gráfico:
L3
B C
QAC, RCB sectores circulares donde:
Resolución de problemas
S1 A
S2 22°32° S4
L2, L3: longitudes de arco
S3 G
Por dato: L2 + L3 = 13p cm ... (1)
n1r 1 = n2r 2
46° 26°
22°
17. Para los engranajes se cumple que:
D
S6
Por dato: r 1 = 5 u ; n 2 = 1,25 r 2 = 1 u
32° O
F
E
5
Del gráfico: L3 = π L; L2 = (L - 10)q; q = 30° L3 =
2 Lπ 2
OAB ,
q= π
Nos piden: 2 A = θR
6
BOD
6
En (1): L2 + L3 =
6
^L - 10h π + 3πL 6
+
=
`
n1 =
Para el punto A en el engranaje (1) n1 =
2π 5
A `
14. Del grafico:
BOD =
A
θ A 2π
q A = 2 π
&
1
c m 4
q A = π 2
En (1):
L = 22 cm
1 4
Luego:
R = 5 u
88 π
Clave C
A
n1 = 0,25
... (1)
2
5
4pL - 10p = 78p =
n1(5) = 1,25 (1)
q rad = 72° = 72° πrad 180c q rad = 2π rad
13π
q= 4 πL
En (1)
Por dato: Lπ 2
13π
=
DEO
S2 = S3 ; S 5 = S6
180
^L - 10hπ
CFO ,
Entonces:
q = 30° π
L2 = (L - 10) π
CGO;
... (1)
S5
2π 1 . 5 2
BOD = 5p u
Para el punto B en el engranaje (2) . (5) 2 n2 =
2 Clave E
θB 2π
qB = 2p(1,25)
&
qB = 5π 2
4 cm C 2 cm
Finalmente:
16.
B
3 2 cm
A
π rad
1
2
2
x
4
Datos:
5
nB + nC = 18; nB, nC: número de vueltas
5π rad 2
B
6 1
22 cm
Del gráfico: A y B unidos por el mismo eje:
Para la polea (1) La longitud que gire la polea 1 será igual a la longitud que recorre el bloque al descender.
n A = nB A y C unidos por una banda n Ar A = nCr C & nC =
Entonces: L1 = 22 cm
n A r A r C
Luego: nB + nC = n A +
n A r A r C
n A rC + n A rA r C n A .2 + nA .4 2
=
n A rC + n A rA
= 18 = 18
r C
x2 = 42 + 62 x2 = 52 x = 2 `
13
La distancia será igual a 2
13 u. Clave A
La polea (1) y (2) unidas por una banda: L1 = L2 = 22 cm
18. Del enunciado:
Polea (2) y (3) unidas por el eje de giro: ... (1) q2 = q3
R1
R2
Se sabe: L2 = q2r 2 De (1)
Dato:
6n A = 36
L2 = q3r 2
R2
n A = 6
De: nv =
R1 θ 2π
&
q = 2p nv
=
8 15
;
R1 = 8k R2 = 15k
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
11
En la bicicleta se cumple: 1
= 2
Para 2 ruedas de radios iguales, si recorren la misma distancia. Entonces el número de vueltas que dan las ruedas son iguales. Luego:
n1R1 = n2R2
&
Luego: n1(8k) = n2(15k) ; n1 =
3 8
rueda 3
3 (8 k ) = n2 (15 k ) 8
rueda 1 y 2 6m
1 5
n2 =
... (2)
Del dato III: m + AOB = p - (a + q) π = p - (a + q)
c m 1 5
2π rad 5
=
2π 5
rad
6
2n1 = 3n3
180c
π rad
... (1)
Clave D
(a + q)R2
... (3)
6
... (2) 3π
`
1 2
=
5
c πm 6
6
R=
2
R
5 5
2n3 = 8
Clave D
n3 = 4
3m
5m
... (1)
a + q = 5π rad
De (1) y (2): 3n3 - n3 = 8
19. Del enunciado
1 2
3p =
Pero: n1 = n2; radios iguales 2n1 - n3 = 8
... (3)
De (1) (2) y (3) se observa que solo (1) y (3) son necesarios, tal que presentan 2 ecuaciones y 2 incógnitas:
Por dato: (n1 + n2) - n3 = 8;
Cualquier punto sobre la superficie de la rueda gira un ángulo de 72°.
5π 6
a+q=
n1(6) = n3(9)
qg = 72° `
= (a - q)R
6
qg = 2p n2; qg: ángulo que gira la rueda
qg =
2π 5
(a + q) = p - π
Se cumple: n1r 1 = n3r 3;
Además:
qg = 2p
9m
Del dato II: L1 - L2 = aR - qR L1 - L2 = (a - q)R
Razonamiento y demostración
P
Finalmente, de:
2m
nv = La cabra podrá pastar hasta los puntos donde la cuerda esté totalmente estirada luego:
23. Sea S, área de la circunferencia de radio r
, 2πr
S = pr 2
Para la rueda 3 n3 =
... (1)
En el gráfico:
d 2πr 3
A
A
4= 3m P
`
d = 72p m
La zona sombreada representa la región en la que la cabra puede pastar donde: APB y BOC son sectores circulares.
= π 4
`
21. Tenemos 2 expresiones para el cálculo del
número de vueltas de una rueda. nV =
Del gráfico:
S1 + S2 =
Comunicación matemática
2
+
1
2
+
1 2
. p . 32
θg
2π
19π 2 m 4
La cabra puede pastar en un área de 19π 4
2
m
.
Clave A
20. Para el triciclo, si se traslada una distancia d;
12
Intelectum 5.°
a = 60°
O’PO 60° y 30°
2πr
22. Del dato I: 1 2
=
200 . 9c 3 10 g
OO’ = 2r
θ (R + r )
Clave B
Entonces: OQ = OO’ + O’Q OQ = 2r + r OQ = 3r El área sombreada (S1) será igual: S1 = S AOB - S S1 = q(3r)2 - pr 2... (1 )
S1 + S2 =
1 2
2 aR +
S1 + S2 =
1 2
(a + q)R2
3p =
1 2
(a + q)R2
, 2πr
=
De la segunda expresión, es necesario conocer q, R y r; o conocer c y r para el cálculo del número de vueltas.
cada rueda recorrerá la misma distancia d.
nv =
,c
2πr
Para la primera expresión, solo es necesario conocer el ángulo que la rueda gira para calcular el número de vueltas.
9π 2
De la expresión:
; nV =
g
g
a = 200 3
Nivel 3 (página 13) Unidad 1
B
1 2
Q
B
Clave A S1 O
c m` π j^ h
r
P
2m
C
S1 + S2 =
O'
α
O
r
S2
1m
d 2π (9)
2 qR
Pero: q rad = 60° = ... (1)
q= π 3
60c.
π 180c
rad
=
π rad 3
En (1): S1 =
1 2
cπm 3
- pr 2
2
9r
3
πR
+
2
En la expresión:
... (1)
3
5 (θr ) 2
S1 = π r 2 = π 2
2
8
cπm
2P2 = R + aR; a rad = 60° = π rad 3 2P = R + π R ... (2) 2
inclinada.
´c 5 cm
53°
´c
`
R 2
+
R
3
+
2
3
3
5q
- 2p
`
Resolución de problemas
3π 2
-
;q=
2π 5
2π 5
rad =
2π 180c . 5 π
El ángulo del sector es igual gual a 72°.
26.
Clave D F
28. C
E
1
R
,c
2πr
2
7
a θ
O
r
A
2
D G
R
Por dato: L! GF = & qR =
22
=
π
3π
q rad = 72°
Clave C
220 nv = 2 π ( 5) 5) 22
5 L AE
!
5
(qr) & R =
5 r
7
En el
nv = 7
ODC por el teorema de Pitágoras: 2
`
+ 3p
q rad =
(4π + 9 + 3 3 ) R 6
2P1 + 2P2 =
Luego:
22
=
Entonces:
π R+ R + π R
B
nv =
2q
q=
224 cm
Del gráfico: c + 4 = 224 c = 220 cm
3πr 2
(2q + 3p)(5q - 2p) = 0
74°
4 cm P Q
A
3
De (1) y (2): 2P1 + 2P2 =
O
11θ 2
=
2
Nos piden: 2P1 + 2P2
24. En el instante que choca con la superficie
+
m
10q2 + 11qp = 6p2 10q + 11qp - 6p2 = 0
Del gráfico:
Clave C
c
11 1 θr2 2
5θ π
!
S1 = 4 cm2
nv =
+
π
2P2 = ED + L ED
2
`
R
+
2P2: Perímetro de la región ED
S1 = 3π r 2 - pr 2 2
R 2
2P1 =
R = a2 + (r + a)2
La rueda da 7 vueltas desde A hasta chocar con la superficie.
( 5 r ) 2 = a2 + r 2 + 2ra + a2 a2 + ar - 2r 2 = 0
Para las ruedas 1 y 2: q1 + q2 = 486° = 486° πrad 180c q + q = 486π rad
&
Clave E
(a - r)(a + 2r) = 0 25. En el gráfico:
a = r
&
C
Como: a 2 0
R 2 R
3 2 30°
A
a = -2r /
1
r 2 0 & a = r
2
n1 2π
180
n2 2π
+
=
D
T
B
0
Del enunciado: q1 + q2 = 486° qi: ángulo que gira la rueda i Sabemos: q = nv2p q: ángulo que gira la rueda en radianes
P
Entonces el R 2
60°
a
Sea: 2P1: perímetro de la región ABT
O
θ
r
a
=
27 20
180
... (1)
&
θ
E
n1 + n2 =
q + q = 90° 2q = 90° q = 45° π rad `q=
B
60°
O
R
OAB resulta isósceles.
R
486 π
Las ruedas están unidas por una faja, se cumple: n1(7) = n2(2) n2 =
4
A
2P1 = AB + BT + L AT
7n1
... (2)
2
!
Clave B
Del gráfico: 2P1 =
R 2
+
R
3 2
n1 +
27. +
(2) en (1):
θR
7 27 n1 = 2 20 9 n1 2
r
Donde: q rad = 60° = 60° . q rad = π rad 3
q= π 3
π 180c
θ rad
S
27 =
n1 =
´
rad
20 3 10
En (2): De: S=
1 2
2 qr ;
= qr
n2 =
7 3 . 2 10
n2 =
21 20
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
13
Nos piden: n2 - n1 = `
Además del 21 20
3 10
-
31. Sea la cerca cuadrada ABCD, con la cabra atada
45°)
al punto D:
a + b = ( 2 ) ( 2 )
R
a + b = 2
3 4
n2 - n1 =
AOB (
Clave E
2a `
=
B
2 S2
a = b = 1
O
P 2 Q
4
B
R 2
S=
30. Del enunciado: PAQ + A PBR
1 2
2 q1a +
1 2
θg
2
q2b
... (1)
45° 2
45° O
B
2
+
P
4
1 π 2 b 2 4
S2 =
qg =
&
4π 3
rad =
qg = 240°
Por desigualdades: Si a y b ! R , se cumple: a + b
2
2
2
2
O
a + b = 2ab a + b - 2ab = 0 (a - b)2 = 0 a - b = 0 a = b
r
Dell De
OQP( OQ P( 30 30°° y 60 60°) °)
QP =
r 3 2
3
h
Intelectum 5.°
3 2
S3 =
75π 4
2
m2
+
77π 4
π 4
+
75π 4
m2
La cabra puede pastar en un área de 77π m2. 4
Clave E
h + QP = r r 3 2 Clave A
14
1 2
`
Además, nos piden h, donde:
h = r -
c π m (5)
S3 =
S1 + S2 + S3 =
2 P
`
` π2 j (1)2
4
Q 60°
$ 2ab
Si S es mínimo:
1 2
Nos piden: S1 + S2 + S3 = π
r
Entonces:
` π2 j (1)2
4
4 πrad 180c 3 πrad
8
2
1 2
S2 = π m2
Por dato:
S = π (a2 + b2) ... (2)
2
S1 =
4
qg = nv2p 2 3
La cabra podrá pastar hasta los puntos en que la cuerda está totalmente estirada. Por lo tanto, todos los puntos en que la cuerda se estira totalmente forman arcos de circunferencia por lo que encierren sectores circulares (S1, S2, S3).
S1 = π m2
qg: ángulo que gira la rueda en radianes. Sabemos que:
nv =
1 π 2 a 2 4
S3
Luego, del gráfico:
O
Donde: m+BAO = m+ ABO = 45° Además 45° = 45° π rad 180c 45° = π rad
En (1): S=
O
P
r
Del triángulo AOB: A
D 4m
8
Clave B
Sea: S = A
A 1m
5m
S = π u2
b
O
4m
P
En (2): S = π (12 + 12)
a
1m
C
Q
29. A
S1
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 15) Unidad 1 1.
4.
De (1) y (2): k a
θ
Por dato: tan a = 6
En el
a
x + r
ML =
Por el teorema de Pitágoras:
θ α
`
6
a b
&
=
2
1 12
MB ML
2k
=
3k
3k
2
cosa =
`
a
=
3 Clave A
(x - 3r)(x +r) = 0
1 12
tanq =
-3r r
x x
3k
cosa =
2
x - 2xr - 3r = 0
1 12
=
2k
=
Piden:
x2 + (x + r)2 = (x + 2r)2
a b
a
&
MBL, por el teorema de Pitágoras:
&
a
Piden: tanq =
2
2k
=
(ML) = a2 + k2 = 2k2 + k2 = 3k2
α
=
2
2
b
Entonces:
a
&
x + 2r x
b 2a
a 2k
=
x = 3r
7.
x = - r
0
&
A
Clave B
Del gráfico: x 2 0 & x = 3r 2.
b
c
Además: q 2 a B
H
4k
3k
θ
37°
53°
A
&
C
M
5k
B
Piden: la cosecante del menor ángulo agudo. (3r) + 2r csca = x + 2r = x (3r )
N
2k
csca =
5k
Del gráfico:
`
csca =
5r 3r
=
Piden: K = senA
5 3
K=
5 3
El AHM es notable de 37° y 53° & AM = 5k, HM = 3k y AH = 4k
senC + sec C sec A a c b b + b b a c
`j `j c m cm
Clave C &
K
=
5.
BM: mediana relativa a la hipotenusa.
B
`
C
d
&
AH BH
=
4k 2k
`
α =
2
cota =
cotq = 2
tanb = Clave E
m n
+
=
m
a+d d
-
a d
+
n
a+d-a d
cota - tanb =
`
cota - tanb = 1
=
d d
=
2
mn
`
+
mn
=
amn mn
b
2
=
b
2
c
2
1
K = 1
143°
α 3
37°
B
37°
12
1 6°
Q
4 P
Trazamos AP 9 CB
AP = 3
α
/
CQ 9 AB
CQ = 12
L α
C
a
M
a
=
Si: LB = k En el
&
En el
/
BQ = 16
Luego:
B
cota = AQ
MBL: tan a = ABC: tan a =
21 12
=
=
24 3
=
cotacotb =
7 4
QC
AL = 3k
L = a Clave D
PB = 4
k
Por dato: AL = 3LB a
/
CQB notable de 37° y 53°:
3k
...(2)
2
n
+
APB notable de 37° y 53°:
...(1)
Reemplazando (2) en (1): 2
2
1
A
2
m
2
m+ ABP = m+ CBQ = 37°
m + n = amn
L=
b
5
Clave A
Por el teorema de Pitágoras: m2 + n2 = ( amn ) 2 2
=
A
6. 2
a
=
20
& n
n m
b
2
C
amn
=
2
8.
α
L
c
β
3.
&
+
Clave A
a+d d a d
Piden: cota - tanb =
Piden: L = tana + cota
b
2
2
D
A
m
K
d
β
Piden: cotq =
a
Por el teorema de Pitágoras: a 2 + c2 = b2
a
Entonces por propiedad: BM = AM = MC & BM = 5k & BH = 2k
C
a
k a
cotb = PC
2a 4k
AP
...(1) ` =
a 2k
...(2)
=
7 4 8
. 8 = 14
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave D
15
9.
13.
cotq = cos16°sec37° cotq =
24 5 25 4
cotq =
6 5
2. D
senq . seca = 1 C
q y a complementarios:
n
α
Por T. de Pitágoras x2 = 62 + 52 x2 = 61 x = 61 61 ` secq =
θ
x
6
5
A
cosa . sec a = 1
β
B
a
Razones recíprocas:
Piden: P = cosbcota + tanasecb &
P
=
&
P
=
6
Clave D
10. `P
=
1 senθ
seca = b
Luego:
De la expresión:
1 senθ
seca =
`
... (Correcto)
`j`j cm`j a n
a b a
2
.
n b
+
b a
=
+
b
b n
+
a
2
+
n a
.
Clave B
2
b
Razonamiento y demostración
ab
3.
2
A
ab Clave B
n
=
b
5
4
c
14. β
C
B
3
Por dato: cos b = 0,6 =
`
K=
5 4
3 4
+
sec C
1
El
ABC es notable de 37° y 53°.
Del gráfico: 4k = 4 & k = 1 Piden: tana =
11. `
A
3k
tana = 3
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 17) Unidad 1 θ a
C
1.
a
=
b
2
2
+
c
2
b
2
=
a
2
+
b
K
=
b
2
b
2
1
=
K = 1
4. A
Del triángulo: α
`jc m 4k a
=
2
c
2
Clave A
Comunicación matemática
Piden: P = cotqcotf .
&
`
B
K
c b b c
+
Por el teorema de Pitágoras: a 2 + c2 = b2
= 3(1)
Clave C
k
a k
3k 1
&
φ
N
a b b a
K=
4k
senC sec A
+
`j `j c m cm
B
D 3
Clave B
`
α
37° A
K = 2
P=
K = senA
3k
8 4
=
C
Piden:
5k
Por el teorema de Pitágoras: n = 4 Piden: K = cscb + cotb &
a
53°
3 5
b
c
4 2
3 # 1
P = 4
a
B θ
Clave C
2
3 #
C
Piden:
3
J = (sec2C - cot2 A)(sen2C + sen2 A)
12.
notable de 30° y 60°
A
d
d
II. senq = sen30° =
θ
k
M
k
C
1 2
d 2k
tan n θ ta tan n α = ` ta
.
k 2d
1 4
a = π rad 3
Clave D
Intelectum 5.°
e
b
2
c
-
c a
2
2
oe
c b
c
2
+
2
+
a
2
a b
2
o
Por el teorema de Pitágoras: b 2 = a2 + c2 &
&
=
-
... (Falsa)
... (Falsa)
`
Clave C
16
b a
&
180c
c mc m
J
2
cc m ` j mc` j ` j m
... (Verdadera)
III. a = 60° = π rad
Piden: tan ta n θ ta tan n α =
=
q es la mitad de a
b
N
B
J
I. q = 30° / a = 60°
α
J
=
a
2
b
2
e oe o a
2
a
2
.
b
2
b
2
J = 1 Clave A
5.
Nivel 2 (página 17) Unidad 1
Resolución de problemas A
8.
Comunicación matemática 11. Del triángulo, sea BD = 2a
3
1
B
4 13
=
x
θ
B
x
C
φ
a
53° 2
5
3
Por el teorema de Pitágoras: 32 = 12 + x2 9 = 1 + x2 8 = x
Por el teorema de Pitágoras: 2
2
4 = x + ( 3 )
x 1
8
=
` cot θ = 2
=
2
D
DC = 4a
J = 13
53c 127c y 127c : 2 2
/
BC = 2a
+
53c 127c y 127c : 2 2
AD = a / AB = a 13
3
13
5
5
2
c m e o 2
4
C
4a
BDA notable de
J = 13 csc2f + 3tan2f Clave B
a
BDC notable de
Piden:
2
2a
2
16 = x2 + 3
2
5
53°/2 A
13 = x
Piden: cot θ =
2a
I. AB
3
DC
=
a
5 4a
=
5 4
... (Falso)
6.
J = 16 + 13 = 29 `
II.
J = 29
5 x
DC AD
III. BD
Clave D
AC
β
=
=
4a a 2a 5a
=
=
4
... (Falso)
2 5
... (Verdadero) Clave A
9.
2
A
12.
Por el teorema de Pitágoras:
α
52 = x2 + 22
I.
b
c
5 2
2
25 = x + 4 21 = x
B
Piden: sen β =
x 5
` sen β =
#
(2 2)
1 # (2 2) M a
a/2
C
Notable de 8° y 82° ...(a)
Piden:
21 5
=
a/2
II.
Q = tana . tan q
21 5
a 2 . c c a
Q= Clave A &
Q=
7. `Q=
a 1 . 2 a
10 # ( 2) 1 # ( 2)
=
1 2
Notable de
1 2
Clave E
x
=
37c y 143c 2 2
...(c)
III.
13
5 # (2 2)
2
10. A
α
2 # (2 2)
3
φ
a
C
Razonamiento y demostración
13
Piden:
13 2
13. tan(a + b + y)tan(2y - a - b) = 1
P = cotq . cotf
Piden: J = secacsca
`J=
Clave E θ
B
13 . 3
...(b)
k
x2 = 13
J=
53c 127c y 127c 2 2
N
x2 = 22 + 32
x=
Notable de
3k
Por el teorema de Pitágoras:
P= =
13 6
`
`jc m a k
.
4k a
tan(a + b + y) = cot(2y - a - b) =
4
tan y cot, co -razones: a + b + y + 2y - a - b = 90°
P = 4 Clave C
13 6
3y = 90° ` y
= 30°
Clave C
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
17
14.
Del gráfico: En el ABC: tana = 3
=
2
2
2
tan
Por el teorema de Pitágoras: a = Además: cosb = tana &
cos β =
1 a
2
2
α =
1
2
.
2
2
n 1
2
2
a
Por dato: 3 + 4tan B = 3cscA 3+4
C
AD = 4a
7 tan β
AP = 3a
&
m
7 ( 7)
+
15. 2a
E
En
C
n a F
2n - a
AQB:
`
M
tanq =
a 5a
=
1 5
3 (c - a) (c + a) a
j
=
4 3
cm`j`j`jc m
M =
b a
=
b c
c b
.
=
.
a c
.
c a
.
b a
4 3
4 3
Clave A
Clave D
θ
D
20.
18. A
Piden: Q = tana + tanq 2n - a n
2n + a - a n
β
α
=
m
2n n
a x
13
=
2
5
12
P
13
5
T
5 O
θ 3x
5 θ
O1
Q = 2
12
H
6
Del gráfico: b 2 q
B
Del gráfico: AO1 = O1B = 18 Clave B
16. B α
a2 = x2 + (3x)2
En el O1HO por el teorema de Pitágoras: O1H = 12
a2 = 10x2
HB
M a
N
Por propiedad: BN = AN = NC & m + MCN = m+ MBN = a
Intelectum 5.°
+
AP OP
+
13 12
&
` tanq
23 12
α
x 10
Piden: csc β =
C
+ cota =
a =
&
5 6
tanq + cota =
α
Por el teorema de Pitágoras:
Luego se deduce: O1O = 13
Piden: tanq + cota = OH
a
c
18
=
1
M=
` M
n
A
A
b a
&
2n
`
4b
-
ACB por el teorema de Pitágoras:
AQ = 5a / BQ = a
n
n α
=
` ac
Piden: M = senBsecAcosBcscAtanB
BQ = QE = a
Q
3
4a = 3b &
BQE notable de 45°:
Clave E
&
=
4ba = 3(b2)
APE notable de 45°:
Trazamos BQ 9 AE.
+
4b c+a
Entonces:
2
2
Q = 11
`j c
c a
4ba = 3(c2 - a2)
En el
PD = a
2 /
`
Q =
3
a2 + b2 = c2 & c2 - a2 = b2
AE = 6a
a n
=
D
2
Q = 4 + 7 = 11
H
m `j
c+a
2
AD = 2BC
B
c
b
Trazamos EP 9 AD.
7
c
b c+a
=
2
P
Sea: BE = EC = a
2 2 2 1
Q=
3a
4a
&
&
2
&
2 c ot α +
=
2
A
7 1
=
tan β =
7
2 E a a 45°a Q
3a
45°
Piden:
&
tan B
a
5a
θ
β 1
tan β =
C
a
2
2
Por el teorema de Pitágoras: n =
B
Prolongamos CB una distancia igual a AB. &
n
Q
c
17. 2
b
B/2
2 2
=
2
B
&
1 2
=
Clave D
Luego:
&
...(2)
2 2
` tan α =
2
A
c
` 2ca j . ` ac j
tan α =
&
1
=
19.
Multiplicando (1) y (2):
1 3
Por dato: sena =
...(1)
c
α
a
Resolución de problemas
B/2
a
ABM: tan a =
En el
1
c 2a
` csc β =
Clave B
a 3x
=
x
10 3x
=
10 3
10 3 Clave B
Nivel 3 (página 18) Unidad 1
21.
cot A
&
Comunicación matemática n
=
24. En un
5
4
notable de
sen 143c 2
β
3
=
Por dato: cos b = 0,6 =
3 5 1
=
10
3
143c y 37c : 2 2
J B N K cot 2 + 1 O K =K OtanB K cot A + 1 O L 2 P J K K =K K L
10
Por el teorema de Pitágoras: n = 4 3
Piden: K = cscb + cotb 5 4
&
K=
`
K = 2
3 4
+
`
C es la correcta.
8 4
=
K
Clave C
=
` c
2cos2a + 2tan2q = 2cosa + 2tanq - 1
22.
# 2 A
&
2cos2a - 2cosa + 2tan2q - 2tanq + 1 = 0
j NOc m m OOP +
1
+
1
b a
K=
a (a + b + c) b . b (a + b + c) a
=
1
K = 1
`
4cosa2 - 4cosa + 1 + 4tan2q - 4tanq + 1 = 0
c+a b c+b a
c+a+b b b . c+b+a a a
25. De la expresión: Clave B
c+b a
Piden:
3 10 10
143° 2
=
2
Clave C
(2cosa - 1)2 + (2tanq - 1)2 = 0 b
2cosa - 1 = 0
&
c
cosa = B
C
a
&
1 2
/
tanq =
/
a = 60° / q = 53°
a c
=
4
senAsenC
=
` senAsenC
=
a a
α
2c
c
... (Incorrecta) III. El complemento de a = 60° es igual a 30°, luego: r = 60 = 2
2 5
=
c
mc
5c
m
=
r: razón de a y su complemento ... (Incorrecta)
2 5
Clave E
0,4 Clave D
B
O
n
m
(3a)2 = (n) . (m) & 9a2 = nm
&
Piden: tanatanb =
c m` j 2a n
.
2 tanatanb = 2a nm
=
30
.
5c
H
Por propiedad: CH2 = AH . HB
II. cotq es igual a 1.
` ba j . ` bc j
β
A
... (Incorrecta)
Por el teorema de Pitágoras: b= 5c
&
a N
I. a es igual a 45°.
a2 = 4c2 & a = 2c
=
C
M
` ac j
Piden: senAsenC
1 2
2
Por dato: tanA = 4tanC &
27.
2tanq - 1 = 0
&
` tanatanb
a m
2a2 (9a2)
2 9
=
Razonamiento y demostración
Clave D
26. Primero:
23.
Prolongamos CB una distancia igual a AB.
A 5
β
P
A
3
B/2 3
a O
β
B/2
PAO por el teorema de Pitágoras: 2
a = 5 + 32 a2 = 34
2
=
B
a
C
c+a b
a
=
se nbcosb
&
senbcosb
=
34
Q 2a H 5a
M
15 a
=
Luego: Prolongamos CA una distancia igu al a AB.
2
.
5 a
=
15 34
A c 2 A A 2
15 34 Clave B
B
4a P
a
β
6a
8a
F
6a
4a T
4a
D
Piden: tan b En el
DHQ:
tan β =
c b
L
8a
A
c mc m 3 a
5a
N
8a
12a &
Piden: senbcosb =
`
cot B
&
C
4a c
2
E
B
B
En el
Empleando el teorema de los puntos medios y la base media se obtiene la proporción de los segmentos.
b
c
3
5
28. Sea el lado del cuadrado ABCD: 16a
` tan β =
2a 11a 2 11
C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave B
19
29.
c2 + 2 . 27c + 272 = 27 . 21 + 272
31. 0 1 a 1 45° A
cot 2α =
θ
15 8
c.a . c.o .
=
&
h
=
(c + 27)2 = 27(48)
17
c + 27 = 36
C 2a
a
2
θ
R
N
α
O
B
M
α
!
m AC = mCB
17
8
8
2α 17
!
8
17
a 45° 2a
En
ABC:
α
15
32 15
m+ COH = 45°
&
c = 9
&
9 α/2
Trazamos NR 9 AO, si RO = a:
1
17 α/2
CM = 2a
12
α
4
17
Notable de 37° y 53°
OMC notable de 45°: AO = OC = 2a
E
ARN; AR // NC; m + NAR = q
En
AR = 2a `
E
2
- a
2
2a
cotq =
2 2a
-
a
2
2 2
=
-
^
17
^
17
-
4h cot
-4
h^
2
17
2
4 h = ^ 17 h
+
` -
4
3 4
tan37° =
2
Clave A
1
=
33. Del enunciado:
1
B
Clave A Clave C
Resolución de problemas 32. Del enunciado; sea
30. Por dato:
tanf =
=
` E
RN = 2a
/
=
α
26 k
25 k 24 k
ABC:
A
2
A
10 k
H
7k
C
b c x
Trazamos BH 9 AC
2
φ
B
1
donde a > c;
Por T. de Pitágoras.
Datos:
x2 = 3
a + b = a - c = b + c = b =
En M: M=
cos φ cot 60c + csc
1
.
3
M=
+
3 1
.
` M
3
2
1
.
2
2
+
2
3.
2 3
2
3
2
.
1 3
... (1)
/
BH = 24k
AHB:
BH = 24k
/
AH = 10k
/
AB = 26k
También: a - c = 3 a = c + 3
... (2)
Sea: 2p: perímetro de ABC 2p = 26k + 25k + 10k + 7k 204 = 68k k = 3
Por teorema de Pitágoras: a2 + c2 = b2
Nos piden: 2
AB = 26k 2
2
(c + 3) + c = (24 - c)
c2 = (24 - c)2 - (c + 3)2
13 12 3 3 . 3 2
c2 = (24 - c + c + 3)(24 - c - c - 3) c2 = 27(21 - 2c) c2 = 27 . 21 - 27 . 2c
13 3 24
Intelectum 5.°
En el
De (1) y (2)
c2 + 2 . 27c = 27 . 21 Clave C
20
27 3 24 24 - c
2
1 3 + 3 4 3 3 . 1+2 2
=
7 25
2
e oc m e o
2
M=
2
φsen 45c csc φ . cot φ sec 45c + sec φ sec 30c tan 30c 1
M=
2
cosC = 0,28 =
Luego:
HC = 7k
3
12 / 5
tanA = 2,4 =
BHC notable de 16° y 74°; para BC = 25k:
x2 = ( 2 ) 2 + 1
x=
C
a
`
AB = 26 . 3 = 78 cm Clave B
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 20) Unidad 1
7.
Reemplazando (2) en (1): A
1.
=
c
B
` A
=
B+b 2
c
B
mc
2
b
-
B
-
b
2 2
4
m
m
N
tan θ B
2L
tan θ L
a
N
90° - θ
D
θ
Clave C θ
A x
2θ
θ θ
α
A
H
A
C
a
rcot θ rcot α
Por el teorema de la bisectriz: BC = HC = a
r
α α
C
ABC: 2 q + a = 90°
En el
r T
r
rcsc α O
m+ ANH = 2q
DH = NC
L = NC 2
Del gráfico, se cumple: CA = CT
x = atanqsec2q Clave B
2L
BC = cosq(2L) ` BC = 2Lcosq &
rcota + rcotq = rcsca + r
&
cota + cotq = csca + 1 cot α + cot θ csc α + 1
2. B
Clave A
= 1
8. acotx
B 53° 37° 4
2
K
=
cot α + cot θ 1 + csc α
=
a
Clave A
ABC
( 2 ) (x) (x) (4 2 ) .sen53° + . sen37° = 2 2
+
2
2x.
=
8
2x 5
+
2x 5
=
`x=
5
6
2x 5
=
msenθ
ATBNC
ATBNC =
θ
=
ABC es isósceles, entonces: AB = BC & mcos q = msenq + x x = mcosq - msenq ` x = m(cosq - senq) El
2 4
(csca . cscb . senq)
2
a 2
&
Clave D
`
6. B
c
b
90° -
a 2
…(2)
De (1) y (2):
Clave C
3.
...(1)
2
ATBNC =
&
4
4
a cot x 2
(BN) (NC) (a csc α) (a csc β) . sen θ = . sen θ 2 2
B
mcosθ
(acot x) (a) 2
=
2
&
D
A
2
(base) (altura) 2
ATBNC =
45° x
4
D
Del gráfico:
C
m
3 5
β
N
5.
( 2 )( ) (4 2 ) 2 2x 4 . 2 5
α
A
Del gráfico:
a
acsc β
θ
K = 1
`
C
a
acscα
1
C
R
AT ABR + ATRBC = A
x
Piden:
x
A
NC = 2L
CBN: cos q = BC
En el
Sea r: el radio de la circunferencia.
atanqsec2q = x
2
&
B
&
`
&
2
x atan θ
AHN: sec2q =
C
Por dato: HD es mediatriz de AC. & AH = HC Por C trazamos una paralela a HD. Entonces; por el teorema de la base media:
θ
&
En el
H
4.
atan θ
L α
1 senx
2
cotx =
a 2
(csca . cscsb . senq)
cotx = csca . csc b. senq
cos x senx
j = csca . cscb . c csc1 θ m
m . cscq = csca . cscb . c
1 cosx
m
α
h
cscx . cscq = csca . cscb . secx
R
h
a α
θ
90° - 2α
θ
A d
b
Piden el área del trapecio isósceles (A). =
c
...(1)
B-b 2
h =
c
B-b 2
m tanq
9.
Además, se deduce: m+ ALM = 90° MLA: sec2 a =
sec2a =
`
…(2)
`
P = cscxcscq Clave E
LM = MC = a
&
Luego: h = dtanq &
P C
MR: mediatriz de LC.
En el
Del gráfico: 2d + b = B 2d = B - b & d =
a
&
m
B+b h 2
&
α
M
d
B
A
2α
C
AM LM
θ
y
AM a
α θ o s x c θ
AM = asec2a O
x
N
αD
B H ysenθ
A
Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
21
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 22) Unidad 1
Entonces:
En el OAD: q + a = 90° Además: NB = AH = ysenq
(10absenq) + S2 = 40absenq
Comunicación matemática
S2 = 30absenq
&
Piden: OB = ON + NB & OB = ON + AH = xcosq + ysenq ` OB = xcosq + ysenq
1.
Piden: S2 S1 Clave D
`
S2 S1
=
30absen θ 10absen θ
=
3
=
I.
3 1
x
&
a
15°
13.
θ
E
2a
8u
C
a
M
θ
atan θ
90° - θ
C
N
H
b
x
(Falsa)
II. La medida de la hipotenusa siempre es mayor que la medida de los catetos. (Falsa)
θ
2atanα
θ
=
75°
Clave C
10. B
x 2
a
α
A
Se traza:
H
BH = AE & BH // MN
• AT ABC
Luego: CD = CN + ND 2a = atanq + 2atana
&
2 (1 tan α) 1 tan α -
=
=
IV. Hipotenusa 10 m
&
(CB) . (CA) senθ 2
=
5m
cx 2
-
=
Clave C ` x
(Verdadera) ...(II)
2.
=
h
ab 2 ab c
2m 2m
senq
▪
14.
▪
θ
α α
n tan x
=
n
na
e
D a
asen α cos α na
o
D
C
a(1 - n)
senα cos α
Clave B
E θ θ/2
P
B
O
&
r
F
ODP: OP = DPcsc θ
c
R = r S2
N
A
S=
2.3 2 `
STMBN = 3 m2
3. B 1 D
α
6
C
(4a) (5b) S1 = senq & S1 = 10absenq 2 (10a) . (8b ) senq 2
S1 + S2 = 40absenq
Intelectum 5.°
csc
θ 2
-
1
m
7 E 1
3b
Del gráfico:
22
3
2
5b
6a
S1 + S2 =
MN = AC = 2 m
R + r = rcsc θ
θ
S1
sec45°
2
B
M
2
D
2m
Razonamiento y demostración
OF + FP = rcsc θ 4a
3
S = 3 m2
C
2
12.
AC =
3
h = 3 m
r r
R
/ 2
=
2m
AC = 6 m
A
asenα cosα
3
M
45° A
E
asen α
N
senq
Clave C
A
C 2m
11. x
5m
Igualando (I) y (II):
2
B
=
5m
...(I)
B
2
-
=
A
(c ) . (x) 2
=
(a) . (b) AT ABC = senq 2
-
tan θ 1 tan α
cx 2
AT ABC =
• AT ABC
tanq = 2(1 - tana)
&
`
B
( AB) . (CH) 2
=
2 = tanq + 2tana
Piden: tan θ 1 tan α
c
Empleando áreas:
Entonces: m+HBM = m+EMC = q
&
III. Existen más de 367 formas para demostrar el teorema de Pitágoras. (Falsa)
D
2a
AEO: AO = r AO = r csc θ
c
2
A
-
1
m
Del gráfico: Asomb. = AT ABC - ATDBE
AE = AOcosq AE = r csc θ - 1 cosq
c
2
C
Asomb. =
m
8.7 1. 6 . senα . senα 2 2
Asomb. = 28sena - 3sena
Clave E `
Asomb. = 25sena Clave C
4.
n
&
n
` cot α =
n
14.
2a = (acota)cota 2 = cot2a
D
C
2 Clave C msenθ
β
α ncotα
n
Resolución de problemas
ncotβ
x
θ θ
9.
A
Del gráfico: x = ncota + n + ncotb ` x = n(cota + cotb + 1)
ntanβ
B
m
Del gráfico: CD = BDsenq = (msenq)senq 2 ` CD = msen q
A
Clave D
Clave B β n
5. α
Piden: (n tan β) . (n) A = 2
m
α
msen
15. C
=
n2 tan β 2
θ
L
2
` A =
n tan β 2
m/2 H
m/2secθ
m/2
Clave A
β
2θ
x
A
10.
Del gráfico: x = (msena)cosb ` x = msenacosb
Piden: L = (2q) .
atanθ atanθ
Clave B
`
asecθ asec θ
θ
O
m/2sec θ
B
m/2secθ
` m2 sec θj
L = qmsecq Clave C
6.
C
θ
D
16.
a
m
θ
A
x mcosθ
H
C
Piden: el perímetro del triángulo (2p). 2p = a + atanq + asecq ` 2p = a(tanq + secq + 1)
B
2 13
Clave B
D
5
En el ADB: AD = (mcosq)cosq & AD = mcos2q
Nivel 2 (página 23) Unidad 1
A
Comunicación matemática
En el AHD: x = ADcosq 2 & x = (mcos q)cosq 3 ` x = mcos q
1
θ
B
2
Por el teorema de Pitágoras: AD = 5 / AC = 13
11. 12. 5m
B 37°
C
Luego: (base) (alt altura ura) AT ADC = 2
53° A
Clave D
=
(2 ) (2 ) 2
6m
7.
&
A
30° 4
8 A
Piden: A=
37°
&
A=
A = 15 . 4.8 2
A = 16 .
. sen30°
` A = 12
c m = 8 1 2
D
10 m
5.6 2
sen53° &
4 5
2
a
R
Del gráfico: BD = ABcota
acotα
B
...(2)
65 sen θ 2 4 65
ncscθ
A n
θ
R x
a α
=
R
θ
Rcotθ
65 sen θ 2
17.
R
R
A
...(1)
Clave D
D
C
2
=
` sen θ =
Clave C
α
AT ADC
De (1) y (2):
m2
13.
8.
=
(AD) (AC) ( 5 ) ( 13 ) . sen θ = . sen θ 2 2
AT ADC =
Razonamiento y demostración
` A = 8
AT ADC
x D
ncscθ
Del gráfico: x = Rcotq + R ` x = R(cotq + 1)
B
θ
θ
D
C
Clave C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
23
22. V; V; V; F
En el ABD: BD = ABtanq
ncosq - nsenb = 1 ncosb = 2 + nsenq & ncosb - nsenq = 2
Razonamiento y demostración
x = (ncscq)tanq ` x = ntanqcscq &
23. Clave C
a
B
a
M
a
18.
-
C
=
-
5
a
5
2a
m
2a
2a
&
cos θ
-
sen β
cos β
-
sen θ
θ
A
D
2a
=
1 2
`E=
1 2
θ mcotθ mcot
Clave C
Por el teorema de Pitágoras: AM = MD = a 5
θ θ m
x
Luego: (base) (altura) AT AMD = 2
Del gráfico: m+x m cot θ
26. B
(2a) (2 a) 2
=
m + x = mcot2q x = mcot2q - m
AT AMD
=
2a
2
C
T Rcosθ
R
θ &
b
...(1)
O
N R
&
`
...(II)
Dividiendo (I) y (II): n (cos θ sen β) 1 n (cos β sen θ) 2
θ
cotq =
...(I)
&
(AM) (MD) (a 5 ) (a 5 ) AT AMD = . sen θ= . sen θ 2 2
x = m(cot2q - 1)
R
R
θ
θ
A
D
H
b
b
2
&
Clave D
AT AMD
=
5a sen θ 2
...(2)
De (1) y (2):
Resolución de problemas
2a2 =
19.
5a 2
senq
senq =
TH AT
TH = ATsenq
&
Rcosq + R = (b)senq
&
4 = 5senq
L
AHT:
2
R(cosq + 1) = bsenq
&
` sen θ =
En el
4 5
`R
L
=
Clave C
θ
bsen θ 1 + cos θ Clave D
θ
Lcotθ
L
Lcotθ
24.
a
Del gráfico: Lcotq + L + Lcotq = a L(2cotq + 1) = a ` L=
B
a 2 cot θ + 1
A
H
s 4 α R c o 4α
s 4 α R c o 4α
P
34
3
θ
O
4
C
R
R
C
3α
R 6α
Clave B
5
B
θ
R
2α
27.
T
5
θ
E
H 26
1
20. C
ncsc β
A
n
β
B
ncot β
Piden: el perímetro (2p) del triángulo.
2p = n + ncotb + ncscb
`
2p = n(1 + cotb + cscb)
Por el teorema de Pitágoras:
En el T ATO: 2a + m+ ATO = 6a ATO = 4a & m +
Luego:
A
EC
34
=
ATCED =
Piden: BT = BH + HT & BT = Rcos4a + Rcos4a ` BT = 2Rcos4a
2p = CB + AB + AC &
En el TPC: 3 a + q = 90° En el TTOC: 2q + m+ TOC = 180° & 2(90° - 3a) + m +TOC = 180° & m+TOC = 6a
&
Clave A
ATCED =
&
Nivel 3 (página 24) Unidad 1
β n
21. 7m
n
D
16° 24 m
25 m 25
C 14 m
A
24
16° 48 m
Intelectum 5.°
B
ATCED
1
ncosβ
nsenθ
=
(4 ) . (5 ) 2 ...(1)
c
=
221 csc θ
m
...(2)
10
=
221 csc θ
&
csc θ =
221 10
=
2, 21
D nsenβ E ncosθ
5m 50 m
A
θ
(base) (alt altura ura) 2
De (1) y (2):
2 B
E
26
(EC) (ED) ( 34 )( ) ( 26 ) 1 . sen θ = . 2 2 csc θ
C
Comunicación matemática
/ ED =
ATCED = 10
Clave D
25.
D
Por dato: AB = CD = n Del gráfico: ncosq = 1 + nsenb
`
csc θ =
2, 21
Clave E
MARATÓN MATEMÁTICA (página 25) Unidad 1
28. B x
α
P mcosθ
k
1. B
D
(2k + m)q = n
10 M m
C 6
AS =
1 1 (k + m)2q - qk2 2 2
AS =
1 2 q((k + m) - k) 2
AS =
1 q(2k + m)m 2
AS =
1 m.n 2
37° A
15
Del gráfico:
D
E
2
PH // BM & m+HPD m+PDB =
=
q
15 2
ED = 10 -
Luego: PC = msenq
`
5 2
ED =
En el TBCD: a + m+BCD = q
Clave E
m+BCD = q - a
&
En el
Clave A
2.
BPC:
De la condición: n + m = 2p
PB = PCtan(q - a) &
x = (msenq)tan(q - a)
`
x = msenqtan(q - a)
6.
n = 2p - m
&
Sabemos: n2 = m2 + p2
&
(2p - m)2 = m2 + p2
2
2
2
4p - 4pm + m = m + p
Clave B
20 u 37°
2
3 4
29. A θ
m
B
msenθ
n = 2p - m = 2p n= 5p 4
C
&
p n
3 4
p = m
1 p # 2 3
AS =
2p = m + msenq + mcosq
&
= cosM =
=
S C
30. C a 2acsc θ b
O
&
mx - n mx + n
18n
2a
` 180 radj p
=
=
np 10
3
u2
=
9 = k & S = 9k 10
C = 10k
Reemplazamos: 2(9k) - 18 = 10k + 30 18k = 10k + 48 8k = 48 & k = 6 S = 54°
9 10
10mx - 10n = 9mx + 9n mx = 19n & S = 18n Luego:
Clave B
b
9 10
p
7.
4 5
Sabemos: S C
= m(1 + senq + cosq)
= 200
Clave D
Clave A
3.
B
2
# (20)
p
Piden: el perímetro del triángulo (2p). 2p = AC + BC + AB
53° 9u
Luego:
mcosθ
12 u
60° 37°
3p2 = 4pm
Resolución de problemas
` 2p
n
C
37°
θ
H
As
C θ - α
A
A
k m B
θ θ
5.
Luego: R = 54°
rad
a 180° k rad p
R=
&
3 p rad 10 Clave C
a
θ
θ
A
2bcsc θ
θ
El suplemento:
D
p rad - n
2b
p
10
rad =
c
10 - n 10
8.
m p rad
A
Por dato: ABCD es un paralelogramo.
Clave B
BC = AD = 2bcscq
&
4.
AB = CD = 2acscq
Sean x e y los ángulos.
&
&
Piden: el perímetro del paralelogramo (2p). 2p = A AB B + BC + A AB B + BC = 2(AB + BC) 2p = 2(2acscq + 2bcscq)
`
2p = 4(a + b)cscq
y + 60x = 1845
60 . x
2p = AB + BC + CD + AD
&
(q: menor ángulo)
25 k
p
` 1 80 j
&
3x - y = 45
p
-
y 9
=
q
... (1) 5& x 3
-
y 9
=
B
5
252 = 242 + k2 & k = 7
... (2)
x = secq + tanq
(1) + (2): 63x = 1890
x &
x = 30° y = 45°
Clave A
C
24
`
x = 30°
`
=
25 24
x=
+
7 24
=
32 24
=
4 3
4 3
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
Clave C
25
Unidad 2
ÁNGULOS VERTICALES Y HORIZONTALES
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 27) Unidad 2
4.
Sea la altura de la torre: h
7.
1.
Por dato: tanq = 2 &
h a
=2
h = 2a
Además: h = a + 12 h = 68,04 + 12
&
Piden: cot a = `
cota =
h+a h
=
Sea la altura de la torre: 6h Del ABC, notable 45°: AB = BC = 6h Del ABE, notable 37° y 53°: BE = 8h a = h Piden: tana tana = AB = 6h = 6h
Del gráfico: a = 12cot10° a = 12(5,67) = 68,04
(2a) + a (2a)
=
&
&
h = 80,04 m
`
3a 2a
BD
Clave C
3 2
`
Clave B
5.
tana =
Sea la altura de la torre: h
6h + a
6h + (h)
=
6h 7h
6 7 Clave E
8.
2.
Del gráfico:
Del gráfico:
CB 2
&
h 2d
En el MBC: tanq =
d h
...(I)
Sea la altura del edificio: H Del BEC, notable 30° y 60°: Si: CE = h BE = h 3
...(II)
Igualando (I) y (II): h 2d
El D ACB es isósceles: AC = CB = 20 m En el CHB notable de 30° y 60°: CH =
En el ABC: tanq =
d
=
20 2
2
=
2
h = 2d
= 10 m
&
d h
Del ADC, notable 30° y 60°: AD = h 3 CD = 3h
h= 2d
&
&
Del gráfico: 2h = 16 h = 8 Piden: H = h + 2h = 8 + 2(8) = 24 ` H = 24 m
Reemplazando en (I):
Piden: AH = 20 + d = 20 + 10 ` AH = 30 m
tanq =
&
h 2d
=
2d 2d
=
2 2
&
`
tanq = 2 2 Clave B
Clave E
6. 3.
Clave E
Sea la altura de la torre: H 9. N
N
O 200 2
Del gráfico: d = (H - h)cota d = Hcotq
c m
...(1) ...(2)
Luego en el BCD: Por el teorema de Pitágoras: BD = 13 Piden: secq secq = BD = 13 = 2,6
H =
d
26
Intelectum 5.°
S 150
150
300
Sea la distancia entre la casa y el colegio: d Por el teorema de Pitágoras: d2 = (150)2 + (300)2 d2 = 112 500 = 1502 . 5 ` d = 1 1550 5 m
5
`
Clave C Clave B
E
E
S
secq = 2,6
hcota cota - cotq
d
S
O
Colegio
45° 200 E
N Casa O
&
4
Igualando (1) y (2): (H - h)cota = Hcotq Hcota - hcota = Hcotq H(cota - cotq) = hcota `
100
S 200
N O
Del gráfico: d + 4 = 12 . cot53° d + 4 = 12 3 = 9 d = 5
E
100
Clave C
10.
14. N
O d1
Altura del edificio: H
Por dato: 40°
c d2 = c
E
d1 =
40° 50° S
d2
d
15
km h
20
km h
m (4h) = 60 km m (4h) = 80 km
Sea d: la distancia de separación después de 4 horas. •
Por el teorema de Pitágoras: d2 = d12 + d22 d2 = (60)2 + (80)2 = 10 000 ` d = 100 km
3 = (h + 36)cot60° h 3 = 3 (h + 36) 3 3h = h + 36 3h = 36 h = 18
Del gráfico:
h
&
Clave D
•
H = 18 + 36 = 54 m
Luego:
Clave C
11.
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 29) Unidad 2 Comunicación matemática 1. 2.
Razonamiento y demostración
Del gráfico: tan30° =
4 3 x+4
3.
3 3
=
12 = x + 4 x = 8 m
h1
•
h1 = 12 . tan37° h1 = 9 m
•
h2 = 12 . tan45°
37° 12 m 45°
Clave B
12.
h2 = 12 m ` H = h1 + h2 = 21 m
h2
Del gráfico: H = 13cot50° = 13(0,84) = 10,92 m h + H = 13tan44° h = 13(0,97) - 10,92 h = 1,69 m
4.
Sea la altura del poste: 3h En el ABC, por el teorema de Pitágoras: (4h)2 + (3h)2 = 202 h2 = 16 h = 4 m ` 3h = 12 m
Clave D
13.
Resolución de problemas 5.
Sea h: la altura del poste Del gráfico: h = 10tan45° h = 10(1) = 10
&
`
•
Del gráfico
h + 8 = h 3 h=
•
Luego
h = 10 m
8 3
-
1
^ ^
3
+
1h
3
+
1h
Clave A
= 4 ^
3
+ 1h
6. N E40°N
H = h + 8 H = 4^ 3 + 1h + 8 O
H = 4^3 + 3 h m Clave A
50° 40° 20°
E
El menor ángulo formado por las direcciones será: 20° + 90° + 50° = 160°
O20°S
Clave E S
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
27
Nivel 2 (página 29) Unidad 2
7. S
Comunicación matemática N
30°
12. &
60° 30°
60°
P
E
tanq =
11.
d N
O
Del gráfico.
O
40 m
S
D
E
S
2+
Del gráfico: `
Del gráfico: El PSD resulta ser notable de 30° y 60°. d = 40cos30° =
&
d =
`
40
1
tanq =
Razonamiento y demostración 13.
h 2h + h cot 37°
tanq =
c m 4 3
=
h h (2 + cot 37 3 7°)
1 3 = 10 10 3
=
3 = 0,3 10 Clave E
17.
c m 3 2
20 3 . 34,6 m Clave C
8.
h1 = 30sen74° = 28,8 m ` h = h1 + 1,64 = 30,44 m
N N10°O
E40°N 10° 50° 40°
O
Clave A
E
20°
Por dato: 14.
E20°S
Del gráfico:
tanq =
S
/
tana =
1 4
Del gráfico: H = 36tanq = (d + 36)tana
El menor ángulo formado por las direcciones N10°O y E20°S es 120°. Luego la bisectriz de dicho ángulo tiene la dirección E40°N.
&
c m
36 7 12
C = (cota + cotq) . tanb
Altura del poste: h
2L + a h . h L+a
C=
c
C=
2 (L + a) h $ h (L + a)
a h
+
=
c m
(d + 36) 1 4
84 = d + 36 ` d = 48 m
Clave D
9.
7 12
m
Clave E
18.
C = 2
`
Clave B
Resolución de problemas 15.
En el
ABC por el teorema de Pitágoras:
(h . 3 )
2
N
(h) = 144 2 3h + h2 = 144 4h2 = 144 h2 = 36 ` h = 6 m +
270
H
2
30 O
Del gráfico: H + h = h 3 cot 30°
L
E S
H + h = h 3 ( 3 ) = 3h
450
360
x
H = 2h h =
&
N 37° Casa O E C
Clave C N 40 O
E S
x N Casa O C
En el
E
O
`
100
16.
H
En el CHA, por el teorema de Pitágoras: x2 = 502 + 1002 x2 = 12 500 &
x
= 50
5 m Clave C
28
Intelectum 5.°
= 60
61 m
`
Clave B
50
S
`
x
H+
H 2
3H 2
&
30
37° E
CHL, por el teorema de Pitágoras:
x2 = 3602 + 3002 x2 = 219 600
S A
100
80
&
N
60
H 2
Luego: H + h = 29
S
10.
&
H
=
29
= 29 =
58 m 3 Clave B
19.
Del gráfico: Hcot45° + 80 = Hcot37°
H(1) + 80 = 80
=
28.
Resolución de problemas 25.
Del siguiente gráfico:
c m
4 H 3 4H 3
-
Debemos considerar cuerdas rígidas sin deformación.
H
&
80
=
x
H 3 a
H = 240 m
`
2 a
135°
24°
21°
Clave D
Entonces:
20.
x
Del gráfico: hcota = hcotq + d hcota - hcotq = d h(cota - cotq) = d
a
45°
2
Sabemos: 26°30’ = Del gráfico:
a
Clave A
En el ADB por el teorema de Pitágoras: (150 - h)2 + (2h)2 = 1502 1502 - 300h + 5h2 = 1502 h2 = 60 h ` h = 60 m
26. &
N O
&
100
2
240
2
x
2
=
=
c
a 2 2
2a 4
2
2
m c 2
+
2
m
3a 2 2
+
2
18a 4
=
20a 4
=a
5 m
45°
O
E
Nivel 3 (página 30) Unidad 2
Clave D
37°
100 92
S L
29.
N P
O
Comunicación matemática
x
` x
100
Clave B
2/2
x2 = 5a2
E 45° S 37°
N
144
21.
C
E
S
15hcosx 15h
Piden la distancia del punto de partida al punto de llegada (PL).
22.
Razonamiento y demostración N O 10
D
En el
O
P
E 10 m
&
csc x
5m H
O
A α
θ
N
L α
H
Aplicando T. de Pitágoras en el d2 = (10 m)2 + (5 m)2
`
d = 5
B
O
PHF:
N
L
Clave E
24.
30h cos x h cos x
= 30
&
csc x
= 30
S α
O
=
AC CB
&
E
θ
θ
5 m
B
Piden: E = cscx - 15 E = (30) - 15 ` E = 15
E
S
S
hcosx
x
x x
ABC: cscx =
27. N
d
x h
x
E
5m 45° S
2m
A
x
2x 15h
Clave B
F N 45°
15hcosx
Del gráfico: PL = 144 + 100 = 244 ` PL = 244 km
23.
2/2
Por el teorema de Pitágoras:
h = d(cota - cotq)-1
`
a
45°
d cot a - cot q
h=
53° 2
a
135°
&
E
α
θ
P
Clave D
Q
30.
S
Del gráfico: a + q = 90° Luego se deduce que: m+PAB = m+ABQ = 90° Trazamos: QH = PA Entonces se forma el rectángulo ABQH. En el ABC: CB = (AB)tanq H - x = Htanq ` x = H(1 - tanq) x = H - Htanq &
&
En el PHQ: PQ = (HQ)secq PQ = (L)secq ` PQ = Lsecq &
Del gráfico: la altura de la torre es MH. MH = MP + PH MH = d + dsena = d(1 + sena) &
Clave D
En el
…(1)
QHB: QH = (d + 1)senq
Clave D
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
29
Luego: PH = PQ + QH
Reemplazando (2) en (1): &
MH =
c sesen n
`
MH =
(senq + 1) (sena + 1 ) sena - senq
dsena = 1 + (d + 1)senq dsena = 1 + dsenq + senq dsena - dsenq = senq + 1
&
q+1
a-
senq
m(1
+ sena)
Clave B
d(sena - senq) = senq + 1 &
d=
senq + 1 sena - senq
...(2)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 32) Unidad 2
Como: x 1 0
1.
Piden: y
(-24; 7)
4.
x=- 7
α
&
2 M = 2 x - 7 r
Entonces:
7
M= 2
(-4; -3)
2
7
3
2
7
&
3.
Piden: P = cosb - 5cosa 5
x r
24 5
=
-
P= -4 + 5
=
4 5
-
-
5
-
tanq =
5 > 0 12
24 25
P = 4
`
3
x2 + ^
2
2h
x2 = 7 x = 7 &
30
34
^
-
34
h;
5
-5
-
34 3
hc
+
34 + 5 3
c mE -5
3
m
=-
1 3
8^
34
h
2
-5
2
B
A = -3
(-12k; -5k) R
=
Piden:
c yr m + 5 c xy m m = - 5 + 1 122 = 7
c m c -5 k
13k
+5
-12k - 5k
tan180° + cos 360° + sen360 ° sen90° + cos 270°
Reemplazando los valores correspondientes:
R = 13senq + 5cotq = 13 R = 13
R=
(0) + (1) + (0) (1) + (0)
=
1 1
R = 1
`
R = 7
= ^ 3 h2
5 3
Clave A
θ
Por radio vector:
=-
x
5.
x
5 3
-
r = 13k
y (x; 2)
=
3
Clave C
2 / q ! IIC 3
34 3
=-
-
A = - 9 = -3
θ
Por dato: senq =
^
A= -
y
20 5
`
2.
y x
A=
senq < 0 Entonces: q ! IIIC
c m `j c m c m r 1
tanq =
34 3
=
34
Reemplazando:
Clave B
&
x1
r x
M = 10
r 2 = 72 + (-24)2 r = 25 r 12 = (-3)2 + (-4)2 r 1 = 5
P=
secq =
`
Del gráfico:
34
=
x = -3; y = 5; r =
M = 2cot2q - 7 se seccq
x β
El radio vector en P será: r = (- 3) 2 + 52
cym `xj c - m - c - m = 7 + 3
r
r 1
&
`
Clave B 0
x=- 7
Intelectum 5.°
Clave C
6.
f ` p j =
y
r
2
4
P(7; 2)
P'(-7; 2) r
α
2
`4j
θ
p
p
cos
2
+
p
sen4 p
+
p
2
=
x
7
`4j
sen
p
f θ
7
p
+
-
p
+
sen p - sen
+ cos p + tan
p
4
-
3p 2
=
+ -
p
`
Luego, por radio vector:
-
+
=
-
9.
E=
^a + bh
Piden: cosa = `
7 =-
cosa = - 7
`
1 4
sena =
.
53
53
E=
53 53
1 28
+
+
4 13
sena =
1 70
sena =
&
+
E=
3 p
sen
2
3p 2
+
+
2
^ a - bh
b cos
3
cos
^a + bh2 - ^a - bh2 -a
5 13
2 p
2
θ
x
=
Por dato: AB = 4AM AM + MB = 4AM &
4ab -a
MB = 3AM
&
P^1; - 2
x=
6 h ! IVC
&
f ! IVC
y=
y
...(2)
E=
= -6
`
Piden: H = 2sena + 3cosa
&
34
34
6 c m m 34 2 34
10 2
-
=-
60 4
Clave B
13.
θ
x
α
C(-3; -4)
Piden: R = cosa(secqtana - 2cscq) -4 - 2 5 5 R= -3
E= - 6
c m;c - mc - m c mE R = - c- - m R=- c m 5
4
3 5
11.
-
5
5
1 5
3 6
P(3; 4)
(-4; 3) 5
senf - 3 6 cosf
y
26 13
= 10 y = 10
E = -15
Clave C
c yr m 3` xr j 2c 135 m 3c 1312 m
40n 4n
=
y
2 6 5
3 5
α
5 3
-
15 3
3
3
10 3
=
15 5
=
3
R = 3
`
x
H = -2
`
17 Clave D
Clave B
θ
(x;- 15)
14.
Por dato: sen2 x + sen4 x - sen 6 x cos 2x + cos 4x + tan x - 4 sec 4x
4n
`
c yr m - 3 6 ` xr j E = cm- c m
&
Piden: f ` p j 4
=
r
E=
Como: x 1 0 x = -12
f(x) =
n + 3n
Piden:
&
8.
n ^ 4 h + 3n^12h
` j` j c
Por radio vector: r 2 = 12 + ^- 2 6 h2 = 25 r = 5
α
=-
- 24n
=
n + 3n
r
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 2 x + (5)2 = (13)2 x2 = 144 x = 12 0 x = -12
-
n ^ 6 h + 3n^- 10h
Piden: E = 34senqcosq E = 34 y x
r
&
H =
1 3
&
x
+
=
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 r = 2
φ
(1; -2 6)
=
AM MB
&
&
10.
x
&
B(6; 4)
r
x = -6
...(1)
(x; 5)
36 13
M(x; y)
Por división de un segmento en una razón:
y
10 13
y n
3n
^a + bh2 ^1 h3 + ^a - bh2 ^- 1h3 2 a ^- 1 h + b^ 0 h
Entonces: a ! IIC
+
4
p
E = -4b
De (1): a ! IC 0 a ! IIC De (2): a ! IIC 0 a ! IIIC
H = 2
15 4
12.
`
1 130
Además: cosa 1 0
13
=
Clave C
Clave E
4 5
0
+
-8
B = 15 = 3,75
Por dato: 4 5
- 15
+
-8
53
Clave C
7.
1 2
- 15
A(-10; 12) 2
asen x r
=
Clave D
53
&
2 4
&
=
r 2 = ^- 7h2 + 22 = 49 + 4 r 2 = 53 r =
c yx m + c yx m + tan^360°h B= c m c m ^h
B=
4 sec p
- -
+
p
Piden: B = tana + tanq + tan(a - q)
p
-
^h ^h ` 4 j ^ 0h 1^ 1h 0 ^1 h^ 14h^ 1 h 1 f ` j 4 2
f
Por simetría con respecto al eje y: P’ es (-7; 2)
Además: a - q = 360°
p
` 4 j sen6` 4 j cos 2 ` j cos 4` j tan ` j 4 sec 4 ` j 4 4 4 4 sen2
Por radio vector: x2 + y2 = r 2 x2 + (-15)2 = 172 x = 8 0 x = -8
B(-2; m)
θ
&
A(3; n) α
x
&
Del gráfico: x 1 0 x = -8
y
C(-1; −1)
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
31
Piden: T = 3tana - 8tanq T = 3 ` n j - 8` m j
y
-2
3
T = n + 4m
2n
n
2
m
1
-
(+)
m
-
-
3
3
2
n
A
&
(+)
n
-
(-2n - m
-
3)
(3m + 2 - n)
2
=
2 13
-
-
Clave B
2 13
=-
3
3
10.
13
A=
2
13
20 = |4m + n + 5|
&
2
3
13
13
;c- m - c- mE
7.
r
y Por dato: tanq = 5 = ; q ! III 1
cos q =
Clave B
Para el punto P: tanq =
3 5a
2.
Para el punto Q: tanq =
a+1 a
3.
Igualando: tanq =
Comunicación matemática
8.
1.
I.
sen127° . cos135° 2 0 (F) (+) (-) 1 0 II. sen90° . sen60° = 1 (F)
3 5a &
Reemplazando: tanq = 3
2
3 2
5
c m 2 5
=-
-
=
3 5
11.
a+1 a &
=
0
2
`
M=
$
7
=
7
9.
S=
-
3 2
+
m
=
6 5
36 30
=-
+
0, 5 = - 5 10
Entonces: cot a = 1 -
5 6
=-
1 2
2
=
x y
/
r 2 = x2 + y2 r= 5
3
2 3
=-
13 6
α
Piden:
1 x
- 13 6
csc a = r y
5 2 = - 1,118
r 2
−
=
-
Clave B
senq cos q 1 0
(-)
Nivel 2 (página 34) Unidad 2
(+) 0 0
135° 1 q
1 180°
&
90° 1 q
1 120°
&
2
=
=
3 3 2
-
=-
3 2
3
Clave C
32
=
11 6
Comunicación matemática
IVC IVC
12.
tanb 1 0; a 2 b y
2 r = (- 2) 2 + ^ 5 h
r x
5 6
+
-
Se sabe:
De ambas condiciones: q ! IVC 270° 1 q 1 360°
x = -2 ; y = 5
secq =
11 30
mc
y
-
&
P(-2; 5 )
4+5
11 6
11 5
11 5
Pero: a ! IVC
5
cotq = - 2
&
c m c m
cosq 2 0, q ! IC senq 1 0, q ! IIIC
Del gráfico:
r=
=
-
11
=-
- 11 x = =r 6
-
y r
=
Resolución de problemas 2 3 7 Clave B
5.
k
Clave C
M = sena . cosa 2
c
x
11 5
=
cot a = x y
a= -2
Razonamiento y demostración 3
=
Piden: S = tanq + cotq
(F)
Clave B
4.
k
&
5 6
Clave B
= a + 1
3 2
senq =
=-
cot q = x y
&
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 34) Unidad 2
5 6
θ
y = 5; r = 6
x
&
(+)
senq =
&
x
x = -1; y = -5 Del gráfico: a - 3 = -1 a = 2 b - 7 = -5 b = 2 Nos piden calcular: a + b = 2 + 2 = 4
Clave D
(+)
senq 5
y
&
&
III. sen130° . cos60° 1 0
; cos q 1 0
Clave D
Reemplazando (2) en (1): T = n + 4m = 15 ` T = 15
c m=
7
senq
(x; y)
&
(1) .
7
1 senq = 6 5
A = - 2 + 3 = 1
Del gráfico: m / n son positivos. 20 = (4m + n + 5) 15 = 4m + n ...(2)
3 2
=
76
13
5
7 =
1
3 =-
Reemplazando:
4m + n + 5
10 =
=
x r
cosa =
2q - cos q 5
L = cos
13 (sena – cos a)
r
^3m + 2 - nh - ^- 2n - m - 3h
ABC =
13
(-) - (+) = (-)
Piden: A = Pero: y sena =
3m
1
-
r=
(-3; -2)
3 -
(+) (-) = (-)
x = –3 y = – 2
x
ABC = 10
q q cos 2 3
C = sen
α
...(1)
&
Por dato: A
Piden los signos de:
6.
Intelectum 5.°
108° 1
2q 1 144° 5
cq m cq m c qm
&
α β x
! IIC
2
! IIC
3
2 5
! IIC
b ! IIC & 90° 1 b 1 180°
45° 1 b 2
1 90°
&
c b2 m
IC
!
180° 1 2b 1 360°
Por radio vector: r 2 = (-5)2 + (-3)2 = 34 r = Piden: T = 5tanq + 34 cosq
(2b) ! IIIC 0 IVC
&
a ! IIIC & 180° 1 a 1 270°
90° 1 a
2
&
1 135°
` a2 j ! IIC
T= 5 T= 5
360° 1 2a 1 540° (2a) ! IC 0 IIC
y
-3 -5
`
m .
16. y
-
3
3
2
θ
Piden: P = tanqsenq =
143° 37° A(-2; 0) 4 2 6
(-) - (+) = (-)
x
`
y x
=
3 -6
=-
P=
&
Piden: tan q =
9 & |m| = 6 & m =
=
Por radio vector: r 2 = (-3)2 + m2 = 9 + (-6)2
B(a; 3)
(-); (-); (+)
&
2
a - sen b N = cos
Del gráfico: A(-3; m) ! IIIC m 1 0
Por dato: Asomb. = 9
T = -2 Clave C
P = sen2a - sen2b (+) - (-) = (+)
r
A(-3; m)
34
&
x
|m|
-5
34
+
θ
|-3|
c yx m + 34 ` xr j c m c m
T = 3 + (-5) = -2
Piden los signos de: M = sena + cosa (-) + (-) = (-) 2
20. 34
&
1 2
&
6 3
c mc -
P = - 4
tanq = - 1
`
2
-
6
3 5
m
-6
&
r= 3
5
c mc m y
y
x
r
4 =-
5
5 5 Clave D
Clave C
Clave A
17.
13. 14.
1 - cos A csc B
cos A - 1
+
= 1 + senB
+ 2 = |tanC - 1|
…(1)
^ h ^ hc m ^ h ^ h ^ h ^h 2
…(2)
+
1 2
-1
-1
- -1 +
0
+
a$0
`
3 x
=
=
25
A(25; 0) x
O
3
25
3
P(-7; a)
x = -1
Del gráfico: P(-7; a) ! IIIC a 1 0 Empleando el radio vector: &
(-7)2 + a2 = 252 a = -24 &
y A(1; 7)
Piden: sena =
B(-9; 3)
&
G(x; y)
β
y r
=
a r
=-
24 25
24 25
sena = -
x
&
`
C(-3; -3)
Clave A
Por dato: G es baricentro del ABC.
&
x =
&
&
y =
&
1 + ^- 9h + ^- 3 h 3 7 + 3 + ^- 3h 3
=
=-
22.
11 3
7 3
7 y Piden: tanb = = 3 = - 7 x - 11 11 3
&
tanb = -
`
Por dato: a es un ángulo en posición normal. Además: P(-k; 1 - k) es un punto de su lado final. &
tan a =
&
tan a
=
1-k -k
1-k k
También: tana = 4 4 = - 1 - k
7 11
&
k
4k = -1 + k 3k = -1
Resolución de problemas 19.
y x
=-
Clave B Clave C
15.
α
18.
1 - 1 + 1 - 1 = 1 + senB senB = -1 B = 270° ! G0°; 360°] Reemplazando cscB = -1, en (2): |tanC - 1| = 1 - 1 + 2 = |tanC - 1| Recordando el teorema: |a| = b; b 2 0 a = b 0 a = -b Luego: tanC - 1 = 1 0 tanC - 1 = -1 tanC = 2 0 tanC = 0 Como A, B y C son cuadrantes diferentes: tanC = 0 C = 180° Piden: A + B + C = 360° + 270° + 180° ` A + B + C = 810°
Por dato: AO = OP y
Clave A
&
Razonamiento y demostración
21.
2
3
-
Analizamos la condición (1): 1 - cosA $ 0 / cosA - 1 $ 0 cosA # 1 / cosA $ 1 cosA = 1 A = 360° ! G0°; 360°] Reemplazamos cosA = 1, en (1): &
2
x
Recordando el siguiente teorema: a $0
Reemplazando los valores de las razones en la condición tenemos:
Sea el ángulo b 1 3000° ...(1) b es coterminal con a b - a = (360°)n b = a + (360°)n b = 20° + (360°)n
`
k= -1
3
&
y 5
3 x
3
Clave C
&
θ
r r
5
N(-5; -3) M(3; -5)
De (1): 20° + (360°)n 1 3000°
&
n 1 8,27
Como n debe ser un número entero y b el mayor posible n = 8 ` b = 20° + 8(360°) = 2900° &
Clave A
Nivel 3 (página 35) Unidad 2 Comunicación matemática 23.
Por dato: q ! IIIC y es menor que una vuelta y positivo: 180° 1 q 1 270° &
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
33
Luego: 90° 1 q 2 60°
1
27.
135°
&
90°
&
1
q
1
3
q
30.
IIC
!
2
q
y
y = 2x + 3
q
2
2q q - csc 3 4
J = (-) - (+) = (-) J = (-)
&
Piden: L = senacosb = Por lo tanto, los signos son: (+); (+); (-) L =
Clave D
&
24. `
Por dato: q ! IIIC: 180° 1 q 1 270° & 90° 1 2 a ! IVC
1 135° &
q
9
c
3 10
=-
2
L = - 0, 3
c yr mc xr m
1
mc m -
31.
1
2
1
2
r O(a; a)
y
3 5 10
r r
5
30° β β 45° 30°
α θ
2
IIC II C
!
(-2a;
2a
3 a)
2a
3a
senq. co cos sq. ta tan na = csca + cota
^-h. ^-h. ^- h ^-h + ^-h
=
^-h ^-h
2a
Por dato: a = -300° Del gráfico: 30° + 2b + 30° = 90°
x β
A = (+) =
3 a 30°
60°
&
^+h - ^- h ^-h
Piden: cotb = x y
^+h ^-h
cotb =
&
B = (-) Por lo tanto, los signos son: (+); (-) &
`
-
2
.
3
cotb = -
Por radio vector: r = =
3 3
=-
y
Clave A
(4; 6) 2
Resolución de problemas
(4; 4) 2 β
10 2 10 A
Del gráfico: γ
1
-
+
`
-
=
3 5
1
-
=
1 5
+
y = 4=1 x 4
tanq =
y x
&
3k 5k
-
1
1
-
&
E = 5
`
Intelectum 5.°
&
c m-` j H= c m c m
Piden: H = seng - cosg =
-
m
6 10
H=
-
8 10
-
y
x r
r
=
=
6 4
=
3 2
Piden: E = tanq - tanb
y = -6
0
Del gráfico: P(-8; y) ! IIC y 2 0 y = 6
Clave E
34
tanb = x
O
&
Piden: E = (sena + cosa)(-tan45°)
c yr xr m c 54kk E= c m c m
10
Por radio vector: (-8)2 + y2 = 102 y2 = 36 y = 6
Del gráfico: P(x; y) = P(-3k; 4k)
x
10 45°
4 5
2 4
45°
P(-8; y) α
E=
(4; 2)
θ
B
x
2
y
y
0
=
32.
y
3k
a
cscq = 2
2 3 3
26.
4k
b = 15 15°°
`
2 3 3
29.
5k
&
a 2
Piden: csc q = r = a 2
2a 3a
-
Clave C Clave B
Razonamiento y demostración
x
y
Piden el signo de:
37°
x
C
Clave E
28.
q
P(x; y)
2
&
Clave C
sec a - sena = q cot 2
H
&
&
B=
60°
2
Por radio vector: r = 4 3 csca = r = 4 3 = 2 y 2 3 Piden: csca + x1 + x2 = 2 + 4 + 8 ` csca + x1 + x2 = 14
&
3
4
Del gráfico: El punto A(x1; 0) = A(4; 0) El punto C(x2; 0) = C(8; 0)
&
&
A=
60° A
4
Calculando los puntos de intersección de ambas funciones: y = x2 = 2x + 3 x2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 0 x = -1 Entonces: x1 = 3 / x2 = -1 Luego: y1 = 32 = 9 / y2 = (-1)2 = 1 Los puntos serán: Q(x1; y1) = Q(3; 9) P(x2; y2) = P(-1; 1) Por radio vector: r 12 = 32 + 92 r 1 = 3 10 r 22 = (-1)2 + 12 r 2 = 2
I = (-)(-)(+) = (+) I = (+)
25.
α
x
&
I = senqcos q tan q
30° 30°
4
2 3
β
&
J = sec
r
α
q ! IC 1 67,5° 4 4 Piden, los signos de las expresiones: H = tanq + sen q 2 H = (+) + (+) = (+) H = (+) 1
B(6; 2 3)
Q(x1; y1)
r 1
r 2
120° 1 2q 1 180° & 2q ! IIC 3 3 45°
y = x
P(x2; y2)
IC
!
3
y
2
`
14 10
7 5
E=
3 2
E=
1 2
-
1
=
1 2
Clave C
Clave C
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE APLICAMOS LO APRENDIDO (página 37) Unidad 2 1.
sen840° tan 3000° cos 1200°
A = cos220° - 1 =
sen250° = sen(270° - 20°) = -cos20° csc290° = csc(270° + 20°) = -sec20° tan300° = tan(360°- 60°) = - tan60° 840° 360° 720° 2 120° ^
-
Q
=
A=
-
tan 20c
^sen120°h^tan 120°h^cos 120° h
2
1 + tan 20c
^ah =2 1 + ^a h
-
=
Q
`
-
^ h^ h c m^ hc m -
Q
5.
-
1
3 2
3
4 3 3
=-
1 2
3
=
=
-
4
3
=-
4 3 3
Piden:
4^1 , 73h 3
=-
E=
2,307
E=
Clave C
2.
Piden: E = tan(36 660°)sec(180 330°)
E=
^ hc 3
-
m
2 3 3
=-
x 2
=-
2
+
-
`2j
f
&
p
sen5p + cos 8p cos 2p + sen6p
=-
=
+
2
^ 0 h + ^1 h ^1 h + ^ 0 h
15p + cos 12p 2 cos 3p + sen9p
sen =
=
0 -1
=
0
&
c m
3p f 2
=
=
^ h ^h ^ h ^h -1 +
1
-1 +
0
0
c m f ` p j + f(π) + f c p m = -1 2
`2j
2
2
E = -2
2 -1
^ 1 h ^1 h ^ 1h ^ 0 h
=
f p + f(π) + f 3p = (-2) + (1) + (0) = -1 2
3 2
`
A = senx + tan x - senx - tan x = 0
`
5p + cos 4p 2 cos p + sen3p
Piden:
j
A = senx + tan x + (-senx) + `- tan x j
2
+
1
y 2
2
j f ` 4 j = -2
=
3p f 2
2
=-
j
c m c m
A = senx + tan x + sen(2π - x) + tan `p 6 3
2
3p f 2
2
-1
f(π) = 1 = 1 & f(π) = 1
y = 2π - x
A = senx + tan x + seny + tan
Reemplazamos los valores en la expresión E:
p
f(π) =
&
0
=
sen5x + cos 8x cos 2x + sen6x
2
Piden:
2 3 3
4
f ` p j =
Clave B
x + y = 2π
4
p
f(x) =
f `
- 3sec(180°)
E = -2 + 3 = 1 ` E = 1
sec(180 330°) = sec(360° . 500 + 330°) sec(180 330°) = sec330° sec(180 330°) = sec(360° - 30°) = sec30°
sec(180 330°) =
cos C
3p 2
sen
cos C
6.
4
p
- 3sec(A + B + C)
2 cos ^180° - Ch
cosp
+
Clave D
8. cos C
f `-
`
E = - 2 cos C - 3(-1)
tan(36 660°) = tan(360° . 101 + 300°) tan(36 660°) = tan300° = tan(360° - 60°) tan(36 660°) = -tan60° = -( 3 ) & tan(36 660°) = - 3
&
En un triángulo los ángulos internos suman 180°. Entonces: A + B + C = 180° 2 cos ^ A + Bh
p
Piden: f `- p j + f ` p j = -2 + 0 = -2
2
Clave A
cos 20°. sec 20° . tan 60° sen60°^ tan 60°h^ cos 60° h
p
`4j csc 6 ` j 4
cos 4
f ` p j = 0 4
1 =
2
^1 h + ^-1h
6 4447 444 8
Q
p
+
f ` p j = 4 ^0 h + ^-1h
2
1+a
p
+
tan2p + csc
2
1 + tan 20c 2
2
a
1 - ^1 + tan 20ch
p
`4j tan 8 ` j 4
sen2
sen
f ` p j = 4
2
2
-
-1
2
sec 20c
=
sec 20c
A= -
`
cos 20°h^ sec 20° h^ tan 60° h
1
2
1 - sec 20c
A=
1200° 360° 3000° 360° 1080° 3 2880° 8 120° 120° -
f ` p j = 4
A = -sen220° = -(1 - cos220°)
= sen250° csc 290° tan 300°
Q
^sen20ch^- sen20ch ^- sen20ch^- csc 20ch
A=
2
Clave C
A = 0
`
Clave A
Clave E
3.
Por dato: 17x = 180° 7.
Piden: M = csc 13x -
tan 16x tan x
csc 4x
M= M=
csc ^17x - 4x h csc 4x
-
csc ^180c - 4xh
M =
&
csc 4x csc 4x csc 4x
-
-
Por dato: f(q) = Para: q =
tan ^17x - xh
-
tan x
-
p
tan x
tan
Por dato: tan20° = a Piden: A = sen160c cos 250c sen340c sec 110c sen^180c - 20ch cos ^ 270c - 20ch sen^360c - 20ch sec ^90c + 20ch
-
&
j 4 j 4
p
+
+
p
2
+
- 2p +
- sen
f `- p j = 4
p
p
2
+
f( p ) = - 2 = -2 4 1 4
j 4 j 4
-
p
-
cos
csc
-p
-
3p 2
cos p
3p - tan 2p - csc 2
Para: q = p
p
` csc 6 `
cos 4
` j ^ h ^ h c m
sen
f `- p j = 4 Clave C
A=
-
-
^- tan xh
sen115°
°
-sen25
sen65°
N(1 - tan25° cot78°) = -
4
sen2
tan x
sen335°
N(1 - tan205° cot258°) = N(1 - tan25° cot78°) =
p
` f ` j = 4 tan 8 `
tan ^180c - xh
M = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 ` M = 2 4.
sen2q + cos 4q tan 8q + csc 6q
9.
= -
^1 h + ^- 1h ^0 h - ^- 1h
sen25° cos 25°
+
+
-
cos 282° sen258° cos78°
°
-sen78
cos 78° sen78°
N(1 - tan25° cot78°) = -tan25° - cot78° N(1 - tan25° tan12°) = -(tan25° + tan12°) Observación: por identidades trigonométricas para el ángulo compuesto se sabe: tan(a + b) = N=-
;^
tan a + tan b 1 - t an an a ta n b
tan 25° + tan12°h
1 - tan 25° tan12°
E
N = -[tan(25° + 12°)] N = -tan37° 3 ` N = 4
Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
35
10.
sen20° = n C = sen200°tan340°cos160° C = sen(180° + 20°)tan(360° - 20°) cos(180° - 20°) C = -sen20° . -tan20° . -cos20° C = -sen20° . tan20° cos 20°
D=
9.
sen3015c tan 4290c cos 2730c
Reducimos al IC:
Comunicación matemática 1.
sen3015° = sen(8° × 360° + 135°) = sen135°
2.
sen3015° = sen(180° - 45°) = sen45° sen3015° = 2 2 &
Razonamiento y demostración 3.
sen20° . cos20° cos 20°
C = -sen20° .
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 39) Unidad 2
C = -sen220° = - n2
Piden: sen2580° sen2580° = sen(7 × 360° + 60°) 3
sen2580° = sen60° =
`
tan4290° = tan(11 × 360° + 330°) = tan330°
tan4290° = tan(360° - 30°) = -tan30° tan4290° = - 3 3
&
&
2
Clave B
3
sen2580° =
`
11. sen ^A + Bh
J=
senC
+
tan ^B + Ch tan A
sen ^180° - Ch
J=
+
senC
+
senC senC
J=
-
tan A tan A
cos ^ A + Ch cos B
4.
&
cos ^180° - Bh
- cos B
cos B
6.
C =
d nd 3
2
C=-
`
2 -
2
n
... (II (III)I)
En (II): secx - cscx = b
C=-
(secx . cscx) 2 - 2sec x cscx = b
4
=
- cos B
cos B
+
8.
tan A - tan A
4
U=
a
N = -
S = -2
Intelectum 5.°
2
2
+3
2
1 2
+
4
k
3 4
=
4
3
3
2
2
27
U=
`
8
27 8 Clave C
Nivel 2 (página 39) Unidad 2 Comunicación matemática 11. 12.
Razonamiento y demostración
a
1 2
+
1 2
3
k
3
=-
3 3
&
C= - 3 3
13.
`
N= -
c m` j 3
2
1
2
T= T=
senx - cos x
_- senxi + _cos xi senx - cos x `
T = -1 Clave B
14.
R=
3 =-
_ i + cos_- xi
sen - x
- ^senx - cos x h = -1 T= senx - cos x
N = sen(-240°)cos(-120°) N = (-sen240°)(cos120°) N = -sen(180° + 60°)cos(180° - 60°) N = -(-sen60°)(-cos60°) N = -sen60°cos60° &
Clave C
36
>d n a kHd n
6
= b
S = -1 + (-1) `
U =
&
Clave D
Clave C
14. S
U = (cos245° + 3tan53°)sen260°
C = (sen330° + cos240°)tan210° Reducimos al IC: sen330° = sen(360° - 30°) = -sen30° cos240° = cos(180° + 60°) = -cos60° tan210° = tan(180° + 30°) = tan30°
sec2x + csc2x - 2secx cscx = b
a - b = 2 a
2
U = [(-cos45°) 2 - 3(-tan53°)] (-sen60°) 2
&
a
3
Reemplazamos en U:
Reemplazamos en C: C = (-sen30° + (-cos60°))tan30° C = -(sen30° + cos60°)tan30°
Elevando al cuadrado:
-2
3
2
D=
Clave D
7.
ah
`
U = (cos2135° - 3tan127°)sen2240°
6 =-
Clave E
^
2 =
Reducimos al IC: cos135° = cos(180° - 45°) = -cos45° tan127° = tan(180° - 53°) = -tan53° sen240° = sen(180° + 60°) = -sen60°
C = sen120°cos225° C = sen(180° - 60°) . cos(180° + 45°) C = (sen60°) (-cos45°) &
- tan A
2
10.
Clave B
tan A cot (90° + A)
Dato: x + y = 90° En (I): tanx + cotx = a secx cscx = a
3
Clave A
Piden: tan5520° tan5520° = tan(15 × 360° + 120°) tan5520° = tan120° = tan(180° - 60°) tan5520° = - tan60° = -( 3 ) ` tan5520° = - 3
M = - 1 - 1 M = - 2
13.
-
&
tan A
+
D=
3
3
-
2
3
5.
Dato: A + B = 90° y B + C = 180° Sumando: A + 2B + C = 270 Restando: C - A =90°
M=
4
Clave B
Clave C
+
3
d nd n n 2
tan6173° =
`
2
Reemplazamos en D:
cos B
cos B
sen (270° - B) cos B
4
tan6173° = tan53° =
J = 1 - 1 - 1 = - 1
M=
Piden: tan6173° tan6173° = tan(17 × 360° + 53°)
tan A
- cos B
3
cos2730° = -
&
`
12.
cos2730° = cos(180° + 30°) = -cos30° Clave D
tan ^180° - Ah
+
cos2730° = cos(7 × 360° + 210°) = cos210°
2
R=
4
3
sen^90c + xh cos ^180c - x h cos x - cos x
+
+
tan ^270c - xh cot ^- x h
cot x - cot x
R = -1 + (- 1) = -2 ` R = -2
4 Clave D
Clave E
15.
E= E=
sen^180c + x h cos ^360c - x h
T=
sen ^270c + xh
^- senxh^cos x h = senx - cos x
`
^tan xh^- cos x h tan x
25.
= -cosx
y
T = -cosx
(-6; 2) Clave B
E = senx Clave A
20. 16.
A=
^
h ` j c ^ h ` j
3p sen p + x tan + x sen 2 2 p
cot
p
x cos
p-
x
m
E=
x
+
2
-
E=
cot ^- 315ch + sen^ - 135c h - cos ^- 225ch sec 150c + cos 120c - cot 315c - sen135c - cos 225c
E=
^
h `
17.
S=
c
3p 2
cos x sen
S=
^^
6- sen
S= `
E=
m
3p 2
-
p-
x
p-
p
-
p
3p cos 2
p
-
'
x
senx
=
cot x
- senx
x
S = -cotx
'
Z ]] A= [ ] \ ` A=
1
^-
cos 45c
- tan 37c
c mc m c m 1 2
2 2
-
-
3 4
3
_ 1 b b ` b a
m c m c m ^h c m c m
2 3 3
-
-
2 3 3
2 2
+
-
1 2
2 2
=
1 2 1
6 θ
A
2
tanq =
^
h c
c
Comunicación matemática
^
2 3
23.
`
cot
p
2
h c m ` j
3p tan p + x sen 2 p
2
-
+
4 BH
=
&
tana = `
BH 9
=-
6 9
=-
2 3
tana = - 2 3 Clave C
Por dato: x + y = 180° tanx = -tany / cosx = -cosy
27.
&
H
1
+
x
x
24.
2a
x
j
C
5
2a
α
4a
N
5
θ
5a 53°/2 A
D 4a
5
Sea: AB = 4a 5 Recuerda:
L = cos10° + cos20° + cos30° + ... + cos180°
k
5 k
53°/2
Si: x + y = 180° cosx = -cosy &
3p 2
+
x
m
5
5a
L = cos10° + cos20° + … + cos160° + cos170° + cos180°
m
53°/2
M
B
2k
Entonces:
-
4a
2a
Además: 3tanx + 2tany = cosx + cosy + 2 3tanx + 2(-tanx) = cosx + (-cosx) + 2 3tanx - 2tanx = cosx - cosx + 2 tanx = 2 Piden: V = 2tanx + 3tany V = 2tanx + 3(-tanx) V = 2tanx - 3tanx = -tanx ` V = -2
x
cot 766p +
BH 9
&
22.
-
c m
135p 2
-
C α
Además: q + a = 180° tana = -tanq
&
m h c
1533p 2
9
BH2 = 36 BH = 6
Nivel 3 (página 40) Unidad 2
-
=
H
&
Clave D
^
4
Del gráfico:
E=-1
Clave B
^- tan45 ch
tan 122p + p + x sen 66p +
T=
c
2
cot
T=
`
h1
tan 123p + x sen
T=
B
Razonamiento y demostración
Clave B
19.
Clave B
26.
csc 60c - sec 30c - cos 60c cot 45c - sen45c + cos 45c
1
tan315 c
Reducimos al IC: sen150° = sen(180° - 30°) = sen30° cos225° = cos(180° + 45°) = -cos45° tan143° = tan(180° - 37°) = -tan37° tan315° = tan(360° - 45°) = -tan45° Reemplazamos: A=
tanb = 3
`
60ch h ^ h ^ - ^- cot 45c h - ^sen4 5ch - ^- co s 45ch
21.
sen150c cos 225c tan 143c
sen30c
-tanb = -3
^
x
Clave B
18.
E=
x
-
2
-
2
x
x
-
-
-
2
- tan
x tan
6 2
-
=
θ
tan
3p cos 2
sen
2
hh ` ` jj c c mm ^ h@8 ` jB c m ^ h ` j ^ h^ h c m x
- p-
cos
S=
j
p
-
y cot(90° + b) = -3
- - csc 60c + - se c 30c + - cos
Clave D
sen x - p tan x
Del gráfico: cot(90° + b) = x
- csc 240c +
Reducimos cada término al IC y reemplazamos en E:
^- senxh^- cot x h^- cos x h A= ^- cot xh^- senx h ` A = -cosx
x
β
csc ^- 240ch + sec ^-150c h + cos ^ -120c h
L = cos10º + cos20° + ... - cos20° - cos10° + cos180°
Luego, al simplificar los términos nos quedará solo el término central que es cos90°. L = cos90° + cos180° = 0 + (-1) ` L = -1 &
x
Entonces: AM = 10a; MH = 2a y HC = 4a tana = HC = 4a tana = &
HN
7a
&
4 7
Además: q + a = 180° tanq = -tana 4 ` tanq = &
7
Clave D
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
Clave B
37
Piden: tana - tanb =
28. A
5k 5k
9k
5k
3k
α
`
37 4k
θ 8k
3
30.
c m
8 3
- -
tana - tanb =
8 3
+
tana - tanb =
73 24
3 8
3 8
=
n=1
73 24
Evaluando:
Del gráfico: tanq = 3k tanq =
C
8k
29.
3 8
&
n = 1: sen(
También: b - a = 270° tanb = tan(270° + a) - 3 = -cota
&
b = 270° + a
j
+
^
cos np - x
h.
2
+q =
`
cotq
) tan(3π + q) = tanq
x) + cos(π - x) = cosx - cosx
+
2 cot q
= cotq
2 = cot2q
x)) + cos(3π - x x x)) = -cosx - cosx
+
&
lcotql = 2
&
P = (cosx - cosx) + (-senx + cosx) + (-cosx - cosx)
8
)
+q =-
Entonces: (-cotq) + (tanq) + (tanq) = 0 2tanq = cotq
Entonces:
&
8 3
p
p n = 3: sen( 3 2
8
tana =
x
) tan( p
n = 2: sen(π + x x)) + cos(2π - x x)) = -senx + cosx
tanb = - 3
cota =
+
n = 3: tan(3! p
2
Evaluando:
8
3 8
/ $sen`n 2
n=1
Además: b + q = 180° tanb = -tanq = - 3 &
P=
+q =
2 p n = 2: tan(2! + q) = tan(π + q) = tanq 2
Clave C
p
n = 1: tan(1! p
2
β 3
/ $tatann `n! p2 + qj. = 0
cotq =
2
0
cotq = - 2
Por dato: q ! IC cotq 2 0 &
P = -senx - cosx
E = cotq = 2
`
Clave D
Clave B
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA APLICAMOS LO APRENDIDO (página 41) Unidad 2 1.
2 6 + 3se sen n2x
a=
p
Tenemos:
4 3 45° < q # 60°
1 # cosq 2
... (I)
1 4 # 3 sen2x + 2 sen
a!
M = (cosq - 2) - 1
9 9 2 $ (cosq - 2) 2 4 2
2 5 $ (cosq - 2) 4 &
M
!
Mmáx. =
; 72 - 2
-2
- 1 $
2;
5 4
7 2
-
-1 # sen2x # 1 1 # sen2x + 2 # 3
-
1$
1 1 $ cos 2q + 2 3
2
A # 2
3
#
-1
3
-
2
2
5 4 Clave C
3
;
3
E Clave E
Del gráfico, tenemos: y β
2
2 - 2 cos 2q - cos 2q cos 2q + 2
M
2 cos 2q + 2
F=
2 - cos 2q cos 2q + 2
F=
2 - cos 2q cos 2q + 2
-
N senβ
x
O CT
1
B
A
cos 2q ( cos 2q + 2) cos 2q + 2
F=
|cosβ|
1
2 - cos 2q (cos 2q + 2) F= cos 2q + 2
E
1 # F # 3
; E
Reducimos la expresión: F=
A + B # 3
#
F= -1;3
4. 3.
+
2 # A # 2 3
1 ;3 3
Clave B
2
; -1 # B # 1 &
1#3
-4
-2
1 # cos2q + 2 # 3 ; -1 # - cos2q # 1
1
1 #a#3 3
2
En (I): -
4 sen se n2x + 2
1 1 4 4 # # 1& # #4 3 sen2x + 2 3 sen2x + 2
Reducimos la expresión: M = cos2q - 4cosq + 3 + 1 - 1 M = cos2q - 4cosq + 4 - 1
2
Sabemos: -1 # cos2q # 1 ; -1 # cos2q # 1
a+1 6
Sabemos:
2 2
<
3 # cosq - 2 < 2
=
MNO , ABO MN = AB ` AB = |cosb|
&
2.
Reducimos la expresión: 2 6 + 3se sen n2x
38
=
5a - 4 3
+
3- 3a 2
=
Intelectum 5.°
10a - 8+ 9- 9a 6
A
B
F = A + B
Clave A
5.
- 3 < 7 + tanq < 7
8. y
y C
1 - |cos γ|
(cosθ; senθ)
tanγ
P
-3<
B (0; 1)
D
- 3 < F < 7/6
|cosγ|
A
O
B
1
A
γ
CT
CT
PB AB
=
Sx +
tan g (1 + cos g ) & PB = 2
100°
y
160°
1.1 1.senq = + 2 2
sen &
R
280°
R=
Del gráfico tenemos:
2
mayor Clave B
7. B
CT
N tanα
1
cosα
1
2
2
a+
1
1 2
a
H
A
Asomb. =
sena 2 cos a
Asomb.=
tan a 2
&
-
10.
(II) en (I): AC = 1 - |senq|
6sena + 8 + 1 - 1
AC = 1 - 1/2 = 1/2
2 (sena + 3)
2
-
1
1
AC = 1/2
`
Clave B
13. y θ
2 3
P α
Asomb. =
y
tana =
140°
200°
senq OP = 1 cos q + 1
tan50° 50°
&
x tan140°
O
Asomb. =
`
1 + cosq
Como: q ! IIC senq 2 0 |senq| = senq cosq 1 0 |cosq| = -cosq &
tan130°
&
&
tan300°
300°
Reemplazando tenemos: OP =
&
j
La cantidad menor es: tan300°
sena cos a
OP =
`
Clave E
senq senq = versq 1 - cos q
q q
sen
vers
Clave C
11.
(1 - cos2a)
2
(sen a)
tan ta na se sen n 2
senq
OP =
tan200°
(1 - cos2a)
2
x
1
Del gráfico:
130°
CT
&
&
CT
|cosθ|
|senθ|
Representamos cada cantidad en la CT CT::
2
En el OHN por el teorema de Pitágoras: cos2a + sen2a = 12 sen2a = 1 - cos2a tana 2
1 4
x
^cosa h^sena h
a
= 1
Clave A
(tana - senacosa)
sen ` cos
3 4
|senq| = 1/2 ...(II)
a Sabemos: tana = cos a
Asomb. =
sen2q +
6sena + 8
sen
&
&
|cosθ| O
Del gráfico: Como a ! IC, entonces sus RT son positivas. Piden: Asomb. = A OAB - A OHN -
2
...(I)
sen2q =
senα
^1 h . ^tana h
3 2
2 (sena + 3) 2 - 1
1 4
α
cosα
O
Del gráfico tenemos: AC + AD = CD AC = CD - AD = 1 - |senq| 2 cos q + sen2q = 1
2
=
x
θ
c m + sen2q = 1
Como a ! IVC, entonces: -1 1 sena 1 0 2 1 sena + 3 1 3 4 1 (sena + 3)2 1 9 3 1 (sena + 3)2 -1 1 8
sen100° > sen40° > sen160° > sen220° > sen280°
y
2 a+
sen
CT
-1
|senθ|
1
2
=
x
220°
cosθ
CT
40°
O
1
1
D cosθ O
Clave E
R
1 2
A
2 9. Tenemos: R = (sena + 2) (sena + 4)
1
T
|senθ|
2Sx + 1 = senq - cosq ` Sx = 0,5 (senq - cosq - 1)
6.
C
1. cosq
Clave E
Asomb. =
y B
Luego:
tan g PB = 2 1 - cos g
&
12.
Sea Sx el área de la región sombreada. Del gráfico se tiene: AAOBD = Sx + A AOB = A ADO + A DOB
ADC:
CD AD
Asomb. =
Clave A
x
O
(-1; 0)
Del gráfico, en el
Fmáx = 1
`
x
D
7 + tan q 7 1 6 6
a Clave B
Operamos la expresión:
14.
F=
3 + tan q 1 + tan q 2 3
F=
9 + 3 tan q - 2 - 2 tanq 6
F=
7 + tan q 6
Si q ! IIC, entonces: - 3 < tanq < 0
y CT θ
A
|cosθ|
B 1
|senθ|
D |cosθ| O
1
|senθ|
|cosθ|
C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 2
x
39
Del gráfico: ADO , OCB (ALA) Asomb.= A ADO + A AOB + A OCB senq
Asomb. = Asomb. =
&
+
2 1 2
Asomb. =
&
`
cos q
Asomb. =
1. 1 2
sen q +
cos q
5k
4.
3k
1 2
+ (senq)(-cosq)
1 2
- senqcosq
π
3 π
a
/2 1,57 1
2
=
Por el teorema de Pitágoras: a = 4k tanq = 3k = 3k
3,14
=
&
x CT
tanq =
=
Del gráfico: 1 ! IC; 2 ! IIC y 3 ! IIC
exsecq exseca cova covq cosq sena
Clave C
8. y
Piden el signo de: P = tan1cot2tan3 tan1cot2tan3 P = (+)(-)(-) = (+) ` P = (+)
|cosθ|
|senθ| x 1
&
CT Clave A
5.
A)
Por dato: senq = a - 2 5
Del gráfico:
y q ! IVC
A somb. =
Analizando en la CT CT:: -1
2
B) 1 # sec x
θ
&
2.
-3
4k
3 4
3 = 0,75 4
AT =
`
Entonces: tan1 = (+); cot2 = (-) y tan3 = (-)
Comunicación matemática
a
&
3π/2 4,71
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 43) Unidad 2 QM : QR : CB : AB : ON : OC :
θ
y
(-)
Clave D
1.
Del gráfico: AT = tanq Del dato: senq = 0,6 = 3 5 Como q ! IC, entonces:
Clave C
2
+ |senq||cosq|
(+)
Ordenando de mayor a menor, tenemos: cot200° 2 cot35° 2 cot275° 2 cot100°2 cot300° Por lo tanto, el menor valor es cot300°.
1
y
+3
^1 h^
cos q
h
2
cos q
&
CT
=
2
Asomb. =
π/2
+ #3
^bas base eh^alt altura urah
2
Además: q ! IC cosq 2 0 |cosq| = cosq Entonces: &
π
2π x
O 0
-3
1
+3
θ
C) -1 # cosx # 1
&
senθ
-1
3π/2
Asomb. =
Se deduce: -1 1 senq 1 0
1 # cosx + 2 # 3
-1
1 1 # #1 3 cosx + 2
0
-3
1
1
Asomb. =
`
a-2 1 1 0 5
D) 0 < q # π/4
1 2
y θ
B
|cosθ| |cosθ|
A
|senθ|
|senθ|
6.
1 $ 1 tan q
0
1
+3
Razonamiento y demostración
M = 2 - 3tan2x Sabemos: -3 1 tanx 1 +3 0 # tan2x 1 +3 0 # 3tan2x 1 +3 -3 1 -3tan2x # 0 -3 1 2 - 3tan2x # 2 -3 1 M # 2
A A
x
O
CT
Del gráfico: los cuatro triángulos rectángulos son congruentes. A =
&
senq
cosq 2
Como q ! IIC senq > 0 / cosq < 0 ^ senqh^ cosqh senqcosq A = &
Clave B
3.
cos q 2
cosq
Clave B
0 < tanq # 1
-
& ° 0 0 3 t
° ° 0 5 0 7 1 t 2 t
T tanθ θ
x
O
CT
200° 300° 275°
Intelectum 5.°
c
A
x
2
2
m
Asomb. = - 3 senqcosq
`
1
=-
Piden: Asomb. = 3A = 3 - sen qcosq
y
cot35° cot200° 35°
CT
2
7.
o o o c c c
40
=
2
9.
Valores enteros de a: {-2; -1; 0; 1} Por lo tanto, a puede tomar cuatro valores enteros.
+3
cos q
Clave B
-5 1 a - 2 1 0 -3 1 a 1 2 3
-3
0
2
Clave C
10.
senx
|tanα|
x α
|cosα|
1
base eh^alt altura urah ^bas 2
=
tana
^1 +
cosa
h
Asomb. =
`
^ tanah^1 + ^- cosa hh 2 1 2
x ! p;p 2
tana ^ 1 - cosah
2
a ! IIIC
&
`
sen2a = 1 -
1 2
=
1 2
y
&
16.
3p ; 2p 2
π
Clave C
17. y
2 k 2 =
=
T
Del gráfico: A OTN = A + S
x IIIC
IVC
−1
2
&
a = π + π/4 = 5π/4
I. g ! IC o IVC II. g ! IIIC III. g es cuadrantal IV. seng ! [0; 1H (F) ` VFFF
a # x # 4π/3
- 2 -2
2
18 + 8 4 8
I.
cosx - 2 # - 1/2 - 2
2
(cosx - 2)2 $
$
2 - 14 $ (cosx 4
2
A + B =
25 4
- 2) - 8 $ -
A
II. x ! &
7 4
B 8
2 - 14 4
-
7 4
4(A + B) = 8 2 - 21
`
2 3
&
2S = tanq - q
...(1)
Piden: M = (2S + q)cotq
...(2)
&
senx > cosx ¡No es necesario!
#
q.^1 h 1. tan q = +S 2 2
Reemplazando (1) en (2): M = (tanq - q + q)cotq M = tanqcotq Por razones trigonométricas recíprocas: tanqcotq = 1 ` M = 1
14.
cosx # - 1/2
#
2
(V) (F) (F)
Clave A
5p # x # 4π/3 4
x
1
IC
0
Sabemos:
S N
θ
1
A # cos2x - 4cosx - 4 # B A # cos2x - 4cosx + 4 - 4 - 4 # B A # (cosx - 2)2 - 8 # B
tanθ
A
IIC
x
θ
O
3π/2
- 2
x2 + y2 = 1
1
CT
2 k 2 π/4 O
α
2 p; 5p 3 6
π < x <
Clave D
18.
5p 6
1 2
< senx <
-
3 2
Por dato: π 1 a 1 2π &
3 2
... (a)
p
2
1
a
2
1
p
Analizando en la CT CT::
< cosx < - 1/2
y /2
α
1 4
Clave C
12.
&
y -
`
E = 3 + 2tan2x Sabemos: -3 1 tanx 1 +3 0 # tan2x 1 +3 0 # 2tan2x 1 +3 3 # E 1 +3 E ! [3; +3H ` Emín. = 3
+ -1 < sena + cosb < 1 -1 < g < 1
CT
-
k ! [-1; 3] Clave C
Sabemos: a ! IIC; b ! IIC π/2 < a < π; π/2 < b < π 0 < sena < 1; -1 < cosb < 0
sena = - 2 2
&
-1 # k # 3
Nivel 2 (página 44) Unidad 2 13.
cos2a + sen2a = 1
c 22 m + sen2a = 1
-2 # k - 1 # 2
Comunicación matemática
Resolución de problemas
1
#
2
Clave B Clave D
11.
,
2
-1 # k - 1
1 < 1 - cotx < +3 0 < - cotx < +3 -3 < cotx < 0
&
Por dato: sena = k - 1 Sabemos: -1 # sena # 1
1 - cotx
2
Como a ! IIIC tana > 0 / cosa < 0 Asomb. =
15.
1 1 - cotx
Sabemos: q ! IC 0 < q < π/2 0 < senq < 1 1 < 1 0<
1
&
senx
senq =
CT
Asomb. =
Razonamiento y demostración
(senq) ` senx - cos x j = 1
y
Reducimos la igualdad: (2senq - 1)(senx - cosx) = (senx + cosx) (2senq)(senx - cosx) - senx + cosx = senx + cosx (2senq)(senx - cosx) = 2senx
< cos2x < 3/4
... (b) x
(a) + (b): 3 4
< cos2x + senx <
3 4
+
3π/2
3 2 1
−
III. ¡No es necesario!
0
Se deduce: - 1 1 cos a Clave D
2
1 0
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
41
Piden la variación de: M = 3cos a - 1 2 Como: -1 1 cos a 1 0 2
22.
Simplificamos la expresión: T=
-3 1 3cos a 1 0
T=
-4 1 3cos a - 1 1 -1
T=
2 2
-4 1 M 1 -1
&
2
4 - 4 cos a - sen 53° cos a - cot 2
3
- 3 # x - 2 # 6 - 1 # x # 8 M = xmín. = - 1
a
4 - 4 cosa - (1 - cos2 a) cos a - 2 cos
2
N : 0 # sen2q # 1 -1 # cosq # 1 -1 # cosq + sen2q # 2
4 cos a + 4 - 1 cos a - 2
a-
- 1 #
(cos a - 2) 2 - 1 T= cos a - 2
M ! G-4; -1H
`
- 1 # senq + cos2q # 2 - 1 # x - 2 # 2
Resolución de problemas
T = (cosa - 2) -
Clave D
19. y cosθ
1
θ
senθ
P
tanθ
senθ
B
Clave B
25.
2
θ
I.
0 < cosa < 1
x
A
- 2 < cosa - 2 < -1
CT
- 2 < cosa - 2 < - 1
A
Como q ! IC, entonces todas sus razones trigonométricas son positivas. Luego: AP + PT = A ATT senq + PT = tanq ` PT = tanq - senq
-1 1
-1
1 2
y
-
θ
|tanθ|
3 2
x `
(F)
III. x1; x2 ! IIIC / x1 > x2 senx1 < senx2
(F)
IV. x1; x2 ! IC / x1 < x2 cotx2 < cotx1 ` 3 falsas
(V)
&
Clave C
Razonamiento y demostración
< B < 1
26.
< A + B < 0
&
-
3 2
< T < 0
Del ejercicio anterior: Si: q ! IVC senq ! G-1; 0H Por dato: senq = 2n - 5 &
Tentero = {-1}
θ
3
Sval. = -1
&
Clave B
Asomb. =
^bas base eh^alt altura urah 2
=
^1 h
Asomb. =
&
2
2
senα
`
Asomb. =
n !
`
1 |cosα|
^ tanq h
A O 1
tanq
21. b
y
5
x
y +
/2
1) 2
α
2
p = 2 +
sen
p = 2 +
2 - 2 cos a
a+
1 - 2 cos a + cos
x 2
a
3π/2 1
0
−
Clave A
Asomb. =
^baseh^alturah
Asomb. = b
2
=
^2bh^1 h
Nivel 3 (página 44) Unidad 2
2
&
5
-5 1 k - 3 1 0
24.
&
Clave A
Intelectum 5.°
Se deduce: -1 1 cosq 1 0 -1 1 k - 3 1 0
Comunicación matemática
Del gráfico: b = cotq Asomb. = b = cotq ` Asomb. = cotq
42
q ! IIC
p = 2 + sen2 a + (1 - cos a) 2
θ
1
CT
Por dato: cosq = k - 3 y Analizando en la CT CT::
p = 1 + 1 + sen2 a + ( cos a
b
5 2 Clave A
27.
Perímetro T BOA: p = BO + OA + AB
Clave A
1;
x Origen de arcos
CT Origen de la circunferencia
2 1 2
2
B
&
Asomb. =
2 1 2n 1 5 1 1 n 1 5
α
Punto final del arco
Como q ! IC tanq 2 0 &
3
y
tanq
-1 1 senq 1 0 -1 1 2n - 5 1 0 -3 1 2n - 5 1 0
23.
tanq
(F)
II. x1 > x2 / x1; x2 ! IIIC tanx1 > tanx2 &
2
B
20.
1
cos a - 2
1
- 2 < A < - 1
Clave C
1
1
0° < 90°, pero cos0° > cos90° &
1 1 111 2 cos a - 2
&
CT
- 2 # k + 3 # 4 - 5 # k # 1 N = kmáx. = 1 ` M + N = 0
1 cos a - 2
A Sabemos: a ! IVC 3p < a < 2π
T
k+3 # 2 2
M : (senq + cos2q) -1 # senq # 1 0 # cos2q # 1
-2 1 k 1 3 `
k ! G-2; 3H Clave C
Como q ! IIIC senq < 0
28.
3
sen2(a + π/3) # 1 3 # 4sen2(a + π/3) # 4 3 # 1 - secf # 4 2 # - secf # 3 -3 # secf # -2 secf ! [-3; -2]
&
y B
cotθ
1
θ
1
Asomb. =
&
T
θ
x
A
1
Asomb. =
`
θ
^
qh
+ - sen
2
θ
P
4
- senq
2
Clave B
&
31.
CT
#
Clave E
y β
Como q ! IC, entonces todas sus razones trigonométricas son positivas.
CT |cosβ|
N
Luego, en el BPT BPT:: = q PT (cot )cosq ` PT = cosqcotq
|cosβ|
b
34. y
O
|cotβ|
A
x
P B
θ α
O
Clave D
|secβ|
29. y
(0; 1)
&
CT
150° (- 3/2; 1/2)
H
1
30°
x
O
=2
1
b = 4
Del gráfico: a + q = 90° PD = cotq = tana = |tanb| OD2 = PD2 + PO2 OD2 = tan2b + 12 ` OD = |secb| AO2 = PO2 + AP2 AO2 = 12 + cot2b ` AO = |cscb|
&
&
&
&
…(1)
&
Piden: H = sen2b + cos2b
Piden: el área de la región sombreada. Entonces:
x
β
Del gráfico: b = |secb| - |cosb| (-) (-) b = -secb - (-cosb) cosb - secb = b = 4
(1; 0)
3/2
b .1 2
C
CT
Por dato: Asomb. = 2
30° 1/2
D T
1
En el T AOD:
Elevando (1) al cuadrado: cos2b - 2cosbsecb + sec2b = 42 1 cos2b + sec2b = 16 + 2 = 18 ` H = 18
OD AO
=
BT =
DT BT
- 1h^csc b h
sec b
^
sec b
&
x // Lcot / AO // BC Clave D &
32. 1 Asomb.
Asomb.
=
c
-
3 2
+
1 2
m
c
3 2
3 2
=
+
1 2
2 3 4
Asomb. =
+
=
+
1 2
1
3
Asomb. =
&
CT 1/2 M 1/2
1
A
x
|senθ|
D
1
h
TC =
2
csc sec
b ! IVC
&
b +
csc
=
3 senq 4
|cscb| = - cscb
TC $ TO 2
(- cot b) $ (1 ) 2 cot b ` ÁreaTATC = -
=
sen q Clave A
2
33.
b
csc
- csc b = - cotb sec b
ÁreaTATC =
4
b b
sec
|secb| = secb
Entonces: Asomb. =
3
csc
b b
sen q
3 senq 4
csc b
2
Resolución de problemas
2 . se sen nq
+ |senq|
4
sen q
- 1h sec b
sec
TC =
`
1
2
2
3
sec b
b -
b
sec
Como q ! IIC senq > 0 |senq| = senq
Asomb. =
Del gráfico: Asomb. = ATAMA’ + ATADA’
2
2
&
1
θ
^ hc m ^ h = +
altura alt ura
&
O
A'
^ h^ h = c m^ = base bas e
^
1/2 A x
TC =
y
Asomb. =
1/2
1 4
Asomb.
2
TC = |cscb| -
2
30.
2
TC = AO - BT
CT
|senq|
m Clave A
&
θ
2
`
Asomb.
BT + TC = AO
y B
BC = AO
Clave D
0 # a # π/6 π/3 # a + π/3 # π/2 3 # sen(a + 2
π/3) # 1
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1
43
MARATÓN MATEMÁTICA (página 41) Unidad 2
Para B: 120° < q + 60° < 165° tan
1
CT
c
q + 60 2
o
m < 0
90° -
AS
1
90° -
4.
θ
AS =
AS =
c
tanq 2
AS =
m
c
1 2
`
P=
m
cotq = Clave A
60°
Hárbol
p 7p #q1 24 24
-
p 7p # 2q 1 12 12
9k
-
7p p # - 2q # 12 12
-
p p p 1- 2q # 3 4 3
α
14 m P2
•
Luego: 2 3h h
=2
Del gráfico: 7k = 14 m k = 2 m & Hárbol = 12k + 1,5 m Hárbol = 12(2 m) + 1,5 m ` Hárbol = 25,5 m
3 Clave E
Analizamos en la CT CT:: y CT
Clave C
3.
180° < q < 270° Para A: 90° < 2q - 270° < 270° cos(2q - 270°) < 0 (-) &
c2m tan c q m < 0 2 (-)
`
44
A = (-) (-) = (+)
Intelectum 5.°
/3
π
-π/3
x
6. y k
A
2k E 45°
3k
B `
3k β
3k θ
90° < q < 135° &
3 2
-
53°
37° 7k
A
1,5 m
cota =
=-
5.
h
3h
3h
3 h 60°
3
-2
Clave E
12k
3h
5
2 N
Nos piden cotq (q ! IIC):
3 5
8.
2
D
&
3 5
2. α
α
Luego: AM + MB = 5 2 + MB = 5 MB = 3
tanq 4 Clave A
P1
x
θ
2α
&
3
2
M α
El TMAN es isósceles, entonces: AN = AM = 2 = MO
Nos piden: P = sen - 3p + b = cosb =
tanq 2
b =
&
4
b tan q = 1 2 &
4
tan `kp + p + bj = - 3 2 4 - cotb = - 3 tanb = 4
bh 2
O
Prolongamos NM y CB, TPBM isósceles.
tan `(2k) p + p + bj = - 3 2
5
α
90° - α
De la condición tenemos: 4
α
A
Clave B
x
1
C
α
2α
α
90° -
B = (-)
tanθ
7
B
P
`
b
`
y
2
1.
y
7.
θ
C
D
3k 5k
-
=-
4
-
3 3 ; 2 2
E Clave C
x
Del gráfico tenemos: tanq =
sen `- p - 2q j !
3 5 Clave A
Unidad 3
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 48) Unidad 3 1.
5.
Sabemos: sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x Reemplazamos en z: z = sen4x + cos4x + 2sen2xcos2x z = 1 - 2sen2xcos2x + 2sen2xcos2x ` z = 1
3
&
3
cot x - tan x 3
9.
E
senf
=
1 - senf
sec f + tan f
f
E
senf
=
cos f
+
1 - senf
1
+
cos f
-
senf
sen
2
f
cos
2
f
cos f
1 E
senf
=
cos f
+
1 - senf
1 + senf
sen -
cos
2
2
f
E
E
senf
=
1 - senf
senf + sen
=
1 1 + senf 2
sen
2
f+1
cos sen
2
=
2
2
sen
2
f
cos
2
f
f 2
f
2
f
sen -
f
-
f + 1 - senf
1 - sen
=
`
+
cos
1 2 2 tan x + cot x = 16 Reemplazando (2) en (1): C = 16 + 2 = 18 ` C = 18
f
2
cos
f
C=
f + 1 - sen2 f cos
2
C=
f
cos x
E = sec f Clave C
4.
(senx + cosx) = (n) sen2x + 2senxcosx + cos2x = n2 2senxcosx = n2 - 1
senxcosx =
n
-1 2
C= C=
...(1)
En D, tenemos: D = secx + cscx D= D=
1 co s x senx
+
`
8.
=
senx + cos x senx cos x
2
-
n
2
-
1
1
3 3
=
senx cos x cos x senx
k+ k+
n
-
senx 1 + cos x
1 - cos x senx
+
1 + cos x senx
2
m - 4cot x 2
=
senx 1 + cos x
senx
cos x + sen x
senx cosx
senx
+
1 + cos x
2
senx
2 - cos x + cos x
1
2
1 - cos x
2
2
senx
2
2
2
c m - 4cot x E= c m - 4cot x E= c m - 4cot x
E=
cos x
cos x 1
=
2 senx
senx
E=
= tanx
4 2
sen x
2
2
2 2 2 - 4cot x = 4csc x - 4cot x
E = 4(csc2x - cot2x) = 4 1 `
E = 4 Clave C
4
4
sen x + cos x = 2
2
1 - 2sen xcos x =
2n 2
c
Reemplazando en E:
cos x
1-
1
2
2n n
=
3
Por propiedad:
sen x + cos x
Por dato:
&
n
E=
C = tanx
... (2)
Reemplazamos (1) en (2):
` D
10.
Clave B
+ cos x
=
...(2)
1 se nx nx
senx cos x
D
a a
senx
3 2
Clave B
+ senx
2
2
2
4
tana + cota =
1 2
3
$
3
`
c mc m
senx tanx + cosx cos co s x co cott x
senx
2
2
4
tana + cota =
1
=
cos co sa se sen na
&
Clave D
7.
2
1
tana + cota =
&
&
2
1
cosa =
/
2
Piden: tana + cota = secacsca
Piden: C = sec2x + csc2x C = (1 + tan2x) + (1 + cot2x) C = tan2x + cot2x + 2 ...(1) Por dato: tanx + cotx = 3 2 (tanx + cotx)2 = ( (33 2 )2 tan2x + 2tanxcotx + cot2x = 18 &
sen -
3
sena =
&
&
f
cos f E
&
4
M = 2 - 1 = 1 M = 1
1
...(1)
sen2a = 3 (a ! IC) sena > 0 / cosa > 0
&
6.
2 3
De (1) y (2):
M = (2 + tan2x + cot2x) - (cot2x + tan2x + 1)
2
3
Por identidad trigonométrica: sen2a + cos2a = 1 ...(2)
&
tan
-
-
2
Clave B
sec f
+
1
1
=
sen2a - cos2a = 1
...(1)
Además: sec2xcsc2x = sec2x + csc2x sec2xcsc2x = (1 + tan2x) + (1 + cot2x) sen2xcsc2x = 2 + tan2x + cot2x ...(2) Reemplazando (2) y (1) en M:
Tenemos:
1
9
Por dato:
`
3.
cm
Clave B
3
2 2 cot x - tan x = cot x + tan x + 1 cot x - tan x
Clave E
C=
`
1
C = 1 - 3
^cot x - tan xh^cot2 x + cot x tan x + tan2 x h
=
Sabemos: sec2x = 1 + tan2x Entonces: (secx)2 = (5 - tanx)2 sec2x = 25 - 10tanx + tan2x 1 + tan2x = 25 - 10 tanx + tan2x 10tanx = 24 tanx = 12/5
Piden: C = sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x
3
cot x - tan x cot x - tan x
Clave D
2.
3
cot x - tan x cot x - tan x
M = sec2xcsc2x Se tiene:
7 9 2 9
7 9 7
11.
cscx - cot x cscx + cot x
+
cscx + cot x cscx - cot x
9
2 2 = 2sen xcos x 2 2 = 2sen xcos x
^cscx - cotxh2 + ^cscx + cotx h2 N = M + 4cot x ^cscx + cotx h^cscx - cotx h 2
&
sen2xcos2x =
1
2
2 ^csc x + cot x h 2
Clave D
N = M + 4cot x
2
csc x - cot x
N = M + 4cot x
9
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
45
Por identidad: csc2x - cot2x = 1 2csc2x + 2cot2x = M + 4cotNx 2(1 + cot2x) + 2cot2x = M + 4cotNx 2 + 4cot2x = M + 4cotNx Comparando: M = 2 / N = 2 Piden: M + N = 2 + 2 = 4 ` M + N = 4
III.
1
1
+
2
csc x
&
1
A=
3.
1
2
sen x +
Razonamiento y demostración
1
=
=
12.
T = sen q T = sen4q -
2 2 = 1 - sen x = cos x
1
A=
q
IV.
tan
2
q
^sec qh + csc 2 q 2
tan 2
se c
2
2 q c sc sc q
c
sen
2
cos
2
q q
m
cos x senx
Clave E
2 = sec x
`
2 = tan x
Clave B
1 + co cosx sx
+
5.
= cscx
(1 + cos x)
&
=
2
cosx + cos x + senx .
1 senx
Clave E
= 1 + cosx
senx .
2 = 1 - cos x
senx .
2
= sen
C = senxcotx + cosx
6.
C = senx a cos x k + cosx senx
C = cosx + cosx
x
&
C = 2cosx
`
= senx
1 2.
4
a. sen x - c cos os x = (sen x + c cos os2x)(sen2x - c cos os2x) `
Clave B
2
cos x
=
cos x
1 - senx
2
2
`
d.
1 + cos x 1 - cos x 1+
1
-
sen x
sec x 1
V
H=
1-n
2
2
Piden: L = senxcosx Por dato: senx - cosx = 1 3
Elevando al cuadrado: (senx - cosx)2 =
sec x - 1 sec x + 1
sen2x + cos2x - 2senxcosx = 1 L
=
1 -
sec x
sec x - 1 `
=
&
1
sec x + 1
1-
senx = senx
=
8. 2
1 - sen2x = 1 - sen2x
cos x
Intelectum 5.°
2
cos x ^ 2 sen x h 2 sen x
1-
`
F
c. cot xsen x = 1 - sen x
1=
= secx ! cscx
Clave C
2
cos x
cos x
2
sen x + cos x
cosx = cosx
1 + senx
&
1
`
=
V
Por dato: senx - cosx = n Piden: H = senxcosx Luego: (senx - cosx)2 = n2 2 2 sen x + cos x - 2senxcosx = n2 1 H 1 - 2H = n2
6 44 474 4 4 8
Comunicación matemática 1 cosxsenx senx I. = cosx senx s e n x ( sen2 x + cos 2 x) + 1 4 4 4 2 44 4 3 senx cosx 1
cos x
&
7.
+ cosx =
cosx
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 50) Unidad 3
+
2
sen4x - cos4x = sen2x - cos2x
senxsenx
Clave C
senx
4
b. tanxsenx + cosx = cscx
&
46
A = 13sen2x + 13cos2x A = 13(sen2x + cos2x) = 13(1) ` A = 13
1
S = -1
cos x
(2senx - 3cosx)2 = 4sen2x - 12senxcosx + 9cos2x
1 senx
=
A = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2 (3senx + 2cosx)2 = 9sen2x + 12senxcosx + 4cos2x (+)
`
Por dato: senx + cscx = 3 Piden: L = sen2x + csc2x Luego: (senx + cscx)2 = (3)2 2 2 sen x + csc x + 2senxcscx = 9 L 1 L + 2 = 9 ` L = 7
II.
= secx
U = (cotx)senx = a cos x k senx senx U = cosx
q 2 - csc q 2 sen q
1
1 cos x
. cos2x = sen2x
2
Clave C
1.
=
U = (secxcscx - tanx)senx U = (tanx + cotx - tanx)senx
S = cot2q - csc2q = -(csc2q - cot2q)
14.
2
1 + cos x
A = secx
`
cos x + cos2 x + senx senx (1 + cos x)
S = (1 + cot2q)cos2q - csc2q S = (csc2q)cos2q - csc2q
`
cos x
. cos 2x = 1 - cos2x
V. cotx +
Clave A
cos
+
1
2
sec x
`
Luego: T = sen4q - sen4q = 0 ` T = 0
S=
=
q
T = sen4q - cos2qsen2q
13.
cos x
^1 + cos 2 xh
1
=
`
^1 + tan2 qh + csc 2 q
4
T = sen q -
2
1 + cos x
cos x
^1 + cos 2 xh
1
4. tan
2
1
Clave D
4
sec x + cos x
&
!
sec x - 1 sec x + 1
&
F
1 9 8 9
2 son verdaderas.
`
Clave C
2
cm 1
3
1 9
= 2L = 2L
L=
4 9 Clave C
Por dato: secx = 1 + senx Piden simplificar: 1 senx sec x ^1
9.
-
=
3
cos x 1 - senx 3
cos x 1 - senx 3
cos x 1 &
`
-
sec x
=
1 - senx
senxh 3
2
^1 - sen2 xh
=
Sabemos:
cos x 2
2
cos x
= 1
= 1
3
cos x
Clave B
10.
Por dato: tanx + cotx = 3 Luego: tanx + cotx = 3 1 secxcscx = 3 &
M
cosxsenx
&
C = 1 `
C=
1
14.
3
=
1
2
=
2
=
9
cosx 1
▪
1=
17.
Clave A
▪
▪
x
▪
15.
[f(senb) + f(cosb)] = sen2b + cos2b + 2 1 f(tanb) = tan2b + 1 = sec2b (+) f(cotb) = cot2b + 1 = csc2b
bcos 2 b
o
2
sen x
senx
cosx
+
cos x
2
2
cos x
1 cosx cosx
`
cos x
senx
2
sen x
senx
1 senx senx
L = secxcscx Clave E
cos x
19.
-
sen x
L= L=
2
2
`
2
sec x cs csc x - sec x 2
cot x 2
se c x ^csc x - 1h 2
cot x sec x ^cot x h 2
L=
m
2
2
cot x
2 = sec x
L = sec2x
V
cos x
Clave A
20.
- senx
=
senx
cos x
2
m=
1 sen 2 x
cos x
cos x
2
R=
senx + cos x sec x + csc x
=
senx + cos x 1 cos x
F
+
1 senx
^senx + cos xh
R=
1
^senx + cos xh
= senxcosx
senx cos x `
R = senxcosx Clave C
21.
sen 2 x + cos 2 x sen 2 x cos 2 x
Por dato: tanx + cotx = 4 secxcscx = 4 …(1) Piden: L = secx + cscx &
2
2
b cos 2 b
2
2
p
=
c senx 1. cos x m c sesnenxx cocoss x x m
p
=
senx a cos x
1 2
c
2
senx
1 cos 2 x
senx
2
2
sen2x + cos2x + 2senx . cosx 2 2 + sen x + cos x - 2senx . cosx 1 + 1 = 2 ! 0 F
=
L = (tanx senx + cosx)(cotx cosx + senx)
sen x
cscx ! secx
-
senx -
senx cos x
cosx
D = (secxcscx - cotx)cosx D = (tanx + cotx - cotx)cosx D = (tanx)cosx = a senx k cosx cosx ` D = senx
2
1
2 = csc x
2
c + mc + m + L= c mc + m L= c mc m = secxcscx
Simplificamos la expresión: p
Reemplazamos en la expresión: 1
18.
3 = tan x
3
cos x
2
tan x
senx
cos x
c
csc x ^tan x h
cos x
= senx - senx = 0 ! 1
x+y
+
sen
senx
-
cosx senx
=
2
f(tanb) + f(cotb) =
1
tan x
L= a senx senx + cos x ka cos x cos x + senx k
cosx =
2
Clave A
64
V
Resolución de problemas
f(senb) = sen b + 1 f(cosb) = cos2b + 1
1
2
csc x ^sec x - 1h
65
senx
cosx
sen x
senx
y+x
csca =
-
tan x
U = csc2x
L=
=
2
2
Clave B
cosx
+
3
=
Clave C
2
+
(1 + cosx) (1 + cosx)senx
1
7
`
sen
64
`
F
&
e
U=
2 7 = 9 9
Piden: csca Por dato: xcos2a - ysena = ysen2a x(1 - sen2a) - ysena = ysen2a x(1 - sen2a) = ysen2a + ysena x(1 + sena)(1 - sena) = ysena(sena + 1) x - xsena = ysena x = (y + x)sena sena = x
3
1
=
2
2
sen2 x + cosx + cos2 x (1 + cosx)senx
senx
12.
4
1
+
1 + cosx
Clave D
11.
U=
p
< x <
6
cm
senx
cm 1 3
p
-
2
sec x cs csc x - csc x
2
Comunicación matemática
senxcosx =
U=
16.
Nivel 2 (página 50) Unidad 3
= 3
Piden: C = sen4x + cos4x C = 1 - 2sen2xcos2x C = 1 - 2(senxcosx)2 C = 1 - 2
Razonamiento y demostración
4 - 1 < tanx < 1 ` tanx = 1/2 Hallamos el valor de M: M = sec6x - 3sec4x + 3secx - 1 + 1 M = (sec2x - 1)3 + 1 M = (tan2x)3 + 1
2
^cos xh
Resolvemos la ecuación: 2tan2x - 3tanx + 1 = 0 2tanx -1 -1 tanx 2tanx - 1 = 0 ; tanx - 1 = 0 tanx = 1/2 ; tanx = 1 &
cos x
=
3
-
$
cos x ^1 + senxh^1 - senxh
senx
cos x
13.
=
+
cos x senx
2
k
=
+
(tan x + cot x) 2
Utilizamos el dato II: p = (2)2 = 4
2 2 = 3sec bcsc b
Clave C
Elevando al cuadrado: L2 = (secx + cscx)2 L2 = sec2x + csc2x + 2secxcscx L2 = sec2xcsc2x + 2secxcscx L2 = (secxcscx)2 + 2secxcscx &
Clave D
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
47
Reemplazando (1) en la expresión: L2 = (4)2 + 2(4) = 24 L2 = 24 ` L = 2 6
25.
& &
&
2
tan x
&
3 tan x -
tan x
tan x
M = 1 - 3
tanx - 3 = 2cotx tanx - 2cotx = 3 ` A = 3
M = 1 `
Clave C
23.
5
Piden: M = sen6x + cos6x M = 1 - 3sen2xcos2x M = 1 - 3(senxcosx)2
tan x
M=
&
2
1
c m
3 5 2 5
5
=
2 5
= 0,4
Clave B Clave D
Resolución de problemas
Piden: tanx + cotx Por identidad: tanx + cotx = secxcscx
26.
30.
Tenemos la ecuación: ax2 + bx + c = 0
(senq + cosq)2 =
M=
a
b
M=
a
sen2q + 2senqcosq + cos2q = c
1 + 2
a
=
b
2 2
a 2 b a
&
2
`
senxcosx =
csc x - csc x 2
2
2
2
sec x ^sec x - 1h csc x ^csc x - 1h
4 4 2 2 27. R(4) = sen a + cos a = 1 - 2sen acos a R(6) = sen6a + cos6a = 1 - 3sen2acos2a R(4) - R(6) = sen2a cos2a
5
1 1 0 senxcosx = 3 5
2
csc x ^co t x h 2
2
c
2
sen x 2
cos x
mtan x(tan x) 2
2
M = (tan2x) tan4x M = tan6x Clave C
Clave C
a= -1
sec x ^tan xh
a2 + 2ac = b2
(3a - 1)(5a + 1) = 0 3
2
2
c- m
&
0
2
4
2
c
Producto de raíces = Entonces:
&
1
4
sec x - sec x
a
&
a =
M= M=
Suma de raíces = - b
15 senxcosx / x ! IIIC
Elevando al cuadrado: sen2x + cos2x + 2senxcosx = 15sen2xcos2x 1 1 + 2senxcosx = 15sen2xcos2x Sea: senxcosx = a 1 + 2a = 15a2 0 = 15a2 - 2a - 1 3a -1 5a 1
&
Razonamiento y demostración
Raíces: senq y cosq
Por dato: senx + cosx =
1 + k 1 + 2k
k k k Hallamos el primer término: 4 + 3sen2x - (1 + 2k) - (1 + k) = 2 4 + 3sen2x - 2 - 3k = 2 3sen2x = 3k k = sen2x t1 = sen2x t4 = 3 + sen2x N = 3 + sen2x - sen2x ` N = 3
1
senxcosx =
2 =
1-k 1
&
Piden: A = tanx - 2cotx Por dato: tan2x - 3tanx = 2 Dividiendo entre tanx:
En la sucesión, tenemos: k ; 1; 2; 3 + k ; 4 + 3sen2x; ...
5
=
cosxsenx
Clave B
22.
29.
Por dato: tanx + cotx = 5 Luego: tanx + cotx = 5 1 secx cscx = 5
Como x ! IIIC: senx < 0 / cosx < 0 senxcosx > 0
2
31.
Piden: E = tan2x + cot2x
(-)
Luego: (tanx - cotx)2 = 22 tan2x + cot2x - 2tanxcotx = 4 E 1 E - 2 = 4 ` E = 6
2
R(2) = sen a + cos a = 1
&
R(-2) =
Entonces: senxcosx = 1
1 sen
2
a
+
1 cos
2
a
Reemplazamos en P: P = (sen2acos2a) # 1 # P = 1
3
secxcscx = 3 ` tanx + cotx = 3
=
1 sen
2
Por dato: tanx - cotx = 2
a cos 2 a
&
1 sen
2
a cos 2 a
Clave C Clave E
1
Clave B
24.
E = m(sen4q + cos4q) + 2(sen6q + cos6q) E = m(1 - 2sen2qcos2q) + 2(1 - 3sen2qcos2q) E = m + 2 - sen2cos2q(2m + 6) Entonces: E = m + 2 - (2m + 6)f(q) Luego para que E sea independiente de q, el coeficiente que acompaña a f(q) debe ser cero. 2m + 6 = 0
Comunicación matemática 28.
2
m=`
N = sen2x +
1 2
sen x
cscx
-
tanx
-
2cotx
2
-
1
=
2 = sen x + 2(senx)
+
cosx 1 se nx nx
c m
A=
1 2
sen x
-
-
cosx 2cosx se nx nx
-
2
-
1
cos x 1 - 2 cos x - senx senx
1
senx
senx -
1 - senx - 2 cos x
A=
senx^1 - senx - 2 cos x h cos x ^1 - senx - 2 cos x h
2
A=
senx
m = -3
Intelectum 5.°
A=
-
2
N = (senx + 1 ) 2 - 2 = 7 - 2 = 5
2
M - N = 5 - 5 = 0 Clave B
48
2
M = 4sen x + 4senxcosx + cos x + sen x 2 - 4senxcosx + 4cos x M = 4(sen2x + cos2x) + sen2x + cos2x M = 4 + 1 = 5
&
6
32.
Nivel 3 (página 51) Unidad 3
secx
`
Clave B
senx cosx
= tanx
A = tanx Clave A
33.
Por dato:
Además: tanx - cotx = b (tanx - cotx)2 = b2 tan2x + cot2x - 2tanxcotx = b2 1 tan2x + cot2x = b2 + 2 ...(2) De (1) y (2): a2 - 2 = b2 + 2 2 2 ` a - b = 4
tan2x - sen2x = nsen2x 2
sen x 2
cos x
&
sen2x
2 2 - sen x = nsen x
^1 - cos 2 xh 2
cos x
^sen2 xh 2
cos x
36.
Por dato: cot2x = cscx 2
Clave C
&
2
sen x
=
1
^cosxtanx - senxcotx h2 - 1 2cosx
senx
^senx - cosxh2 - 1
39.
E=
Resolución de problemas
2
sen x + cos x - 2senx cos x - 1 2 cos x
2 cos x
-
37. M
1 =
-
tan2x + cot2x = a2 - 2
M
...(1)
2
(cos θ - 2cos θ cos β + cos β)
2 cos x
Por dato: tanx + cotx = a (tanx + cotx)2 = a2 tan2x + cot2x + 2tanxcotx = a2 1 &
1 - 2 cos θ co cos β + cos2 θ cos2 β 2
Clave B
35.
=
2senx cos x
E = -senx
`
N
cos 2 β (1
=
2
-
co s β c os os
b ! IIIC
&
q ! IVC
&
s e n 2 θ) 2
θ = |cosb||cosq|
|cosb| = -cosb
(cosq) = cosq
N = - cosbcosq !fact = cosq - cosb Clave E
Clave A
2senx cos x
cos 2 β + sen2 θ (- cos2 β)
`
2cosx
-
θsen2 β - sen2 θ - sen 2 β
&
2cosx
1
2
N=
&
...(2)
Reemplazando (1) en (2): E = (senx)2 + cos2x E = sen2x + cos2x = 1 ` E = 1
cosx - senx acosx senx k -1 cosx senx
2
1 + sen
1 - sen2 β + sen2 θ ( sen2 β - 1)
N=
cos2x = senx ...(1)
1 E=
=
(senθ2 - 2sensenβ + sen2 β)
N=
&
Piden: E = cos4x + cos2x E = (cos2x)2 + cos2x
2
E=
N
Clave C
cos x
E=
1 - 2senθ senβ + sen2 β sen2 θ -
= n
tan2x = n 2 ` n = tan x
E=
=
&
2 = nsen x
&
34.
38. N
=
M=
1 + cos
2
2 2 2 cos β - cos θ - cos β θ co
1 - cos2 β + cos2 θ ( cos2 β - 1) 2
2
sen β + cos θ (- sen β)
M
sen2 β (1
=
M=
sen
-
Luego: (tan2x + cot2x)3 = 343 tan6x + cot6x + 3tan2xcot2x (tan2x + cot2x) = 343 B 1 7 B + 3 (1)(7) = 343 B = 322 &
2
M=
tanx + cotx = 3 (tanx + cot x)2 = 9 tan2x + cot2x + 2tanxcotx = 9 1 tan2x + cot2x = 7
Clave B
cos 2 θ)
2
β . sen2 θ = senβsenθ
q ! IC & |senb| = senb b ! IC & |senq| = senq
M = senbsenq ` !fact = senb + senq &
Clave D
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
49
ÁNGULOS COMPUESTOS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 52) Unidad 3 1.
C=
1 - tan
αcosβ + cosαsenβ - senβcosα C= cos co sαco cos sβ + senαse senβ - senαse senβ sen
C=
sen α cosβ cos co s α co cos sβ
=
sen α cos α
1 - ta tan n φ ta tan nα
cm fc m
tan f +
^α + βh - senβcosα ^α - βh - senαsenβ
sen cos
tan φ + tan α
Entonces:
2
5
=
1
1
2
&
(cosb + senb)
2
2
4
tanf =
`
13
17
2
Clave C
Clave B
2.
tan(x + b) =
β
6.
Por dato: tanx = 5 / tanb = 3 Piden:
B
C
β
4
1 - tanx tan b 5+3 1-5$3
=
θ
8 A
Clave D
Además: tanb =
5
/
tanq = tanq =
tana =
4
7.
c 22 m
A = 2 + 2 Clave D
3
+
4
32
5
15 1 15
c mc m 4
4
3
5
=
2
3
α 6
6
50
2
Intelectum 5.°
5 6
1
=
5
c m
2
13
26
x
30° 2
Del gráfico: tana =
Por dato: tanx = 5 / tany = 3 Además: x + y + z = 180° = p rad Entonces, se cumple: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz (5) + (3) + tanz = (5)(3)tanz 8 + tanz = 15tanz 8 = 14tanz 8 4 ` tanz = =
Además: tan(30° + a) = tan30c + tan a 1 - tan 30c tan a
14
1
+
Clave D
2
1
1-
7
3
=
3
x 2
x > 0
/
3
7+x 2
3
7+x 2
3
x
c m c m c mc m c m c m 3
3
x
2
=
7+x 2
3
3
2+x
En un TABC, se cumple: A + B + C = 180° = p rad Entonces: cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1 Por dato:
2
3
&
Clave A 6 1
7
7
2
&
10.
Piden: cotC = 6k = 6 2 ` cotC =
7+x
Luego: (2 + x)6 = (6 - x)(7 + x) x2 + 7x - 30 = 0 (x - 3)(x + 10) = 0 x = 3 0 x = -10 ` x = 3
1
3
=
6
cot A cot B cot C = k = = 3 5 6
63k2 = 1 k =
3
6-x
&
φ
m
α
&
tan(f + a) =
13
7
cotA = 3k; cotB = 5k; cotC = 6k Luego: (3k)(5k) + (3k)(6k) + (5k)(6k) = 1
/
2
+
9.
&
5.
1
13
Clave C
&
8.
`
Del gráfico: tana = 3 =
5
3
Clave D
p
4
A =
c
2
tanq = -32
cos(x + y) A = 2 + 2cos(x + y)
4 A = 2 + 2 cos p = 2 + 2
1
`
A = (cosx + cosy)2 + (senx - seny)2 Efectuando por partes: (cosx + cosy)2 = cos2x + 2cosxcosy + cos2y (senx - seny)2 = sen2x - 2senxseny + sen2y (+) A = 1 + 2(cosxcosy - senxseny) + 1
&
A =
`
3
1 - ta tan n α ta tan nβ
1-
Clave E
Por dato: x + y =
13
&
q=a+b
&
&
13
tan α + tan β
4
&
4.
cosb =
3
Entonces: tanq = tan(a + b)
Por dato: sen(40° + x) + sen(40° - x) = sen40° Desarrollando por partes: sen(40° + x) = sen40°cosx + cos40°senx (+) sen(40° - x) = sen40°cosx - cos40°senx sen40° = 2sen40°cosx 1 = 2cosx cosx = 1 2 x = 60° 0 x = 300° Piden: el ángulo x agudo. ` x = 60°
4
&
2
D
3
Del gráfico: AD // BC
7
senb =
Reemplazando en (1):
α
- 14
tan(x + b) = - 4
`
3.
3
5
tan x + tan b
tan(x + b) =
...(1)
Entonces, del dato:
= 2
2
2
1
A =
5 tan f
1
c m cosb + c m senb
2
17 tan f
C = tana
A=
6
6tanf + 3 = 5 -
`
6
1
&
= tanα
Piden: A = sen(45° + b) A = sen45°cosb + cos45°senb
5
=
9
α β
θ 6
5
c
1 3
7
m=
2 37°
7
7
8
a + b + q = 180° Clave E
Entonces: tana + tan b +tanq = tanatanbtanq 7
6+
5
37 5
tanq
+
tanq
+
37 5
7
6.
=
5
42
=
5 37
=
5
5
B
. tanq
S
α
A
BAE: S = 3k
Clave A
2
D
E
k
sen90° =
3k 2
BCF: S = 5 .n sen90° = B &
Luego: a + b + 60° = 90°
h
Sumando (I) y (II): cos(45° + x) + cos(45° - x) = 2
3k
n=
5
$
A
3
H
1
C
2 cosx 2
m
J J = 2 cosx
a + b = 30°
`
tan(a + b) = tan30° tan α + tanβ
a + b + 135 = 180 $ a + b = 45° tan(a + b) = tan45° tanα + tanβ 1 - ta tan nαta tan nβ
h +h 3 h 1(h) 3
cm
4
Clave C
3
h
=
=
k
+
3
1
1-
3
3k
25 3k . 3 25
-
h
2
-
h
7
=
2
=
2
3
2
+
34k
12. A
3
25
=
=
-
6. k
2
25
α
α+θ
tan(a + q) tanα + tanθ 1 - ta tan nαta tan nθ 1 5
+
116 15
37° 2 37° = tan 2
1
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 54) Unidad 3
=
=
tan
= tanq = tanq =
2
1 8
Luego: tan(q - a) =
J = sen(30° + x) + sen(30° - x) Desarrollando cada término: sen(30° + x) = sen30°cosx + cos30°senx sen(30° + x) = 1 cosx +
15
3 2
senx
...(I)
sen(30° - x) = sen30°cosx - cos30°senx tanθ - tanα
sen(30° - x) = 1 cosx -
1 + tanθtanα
= 1+
=-
2
1 1 8 15 1 1 8 15
3 2
senx ...(II)
2
-
3
1
4
3
4 7
=
=
1 7
4
4
1 7
Clave C
2
1 2
cosx -
senx) - cosx
Clave B
8.
Por dato: tana =
1 3
/
tanb =
2 5
Piden: tan α - tan β 1 + ta tan n α ta tan nβ
cm cm c m c mc m c m 1
tan(a - b) =
J = cosx
`
Clave B
2
E = cosx - senx - cosx E = -senx
3
1+
Clave D
1
`
J
3 41
3 -4
tan 45c - tan 37c
tan(a - b) =
Sumando (I) y (II): sen(30° + x) + sen(30° - x) = 1 cosx + 1 cosx
c mc m
4
10
E= 2(
Razonamiento y demostración
2
-
E = 2 (cos4 (cos45°cos 5°cosxx - sen45°senx) - cosx
2.
3.
3
10
E = 2 cos(45° + x) - cosx
7.
1
1 3
3 =
10
1 + tan 45c tan 37c
tan8° =
1.
3
1
2
Piden: tan8° tan8° = tan(45° - 37°)
`
Comunicación matemática
=
tanq
5
B
4
5
4 -
1+ 1
1
θ
C
3
1
Clave C
2
sen7° =
3 10
^h c m tan8° = ^ hc m
E = 25
37°/2
3
tan8° =
3 E
2
Clave A
3 3
=
3 k
3
5
`
34k Clave E
3
sen7° =
3
k
34k 3 (25 k 2) -
c mc m - c m c m
&
-
&
sen7° =
3
25
3
Piden: sen7° sen7° = sen(37° - 30°) sen7° = sen37°cos30° - cos37°sen30°
3
=
k
25 =
3
34k 75
1
5.
3
=
1 - ta tan nα ta tan nβ
h2 + 4h - 3 = 0
13.
c
β
α
2 cosx + 2 senx ...(II) 2 2
cos(45° - x) =
5n 2
2
11.
J = cos(45° + x) + cos(45° - x) Desarrollando cada término: cos(45° + x) = cos45°cosx - sen45°senx cos(45° + x) = 2 cosx - 2 senx ...(I) 2 2 cos(45° - x) = cos45°cosx + sen45°senx
S
tanq
tanq = 1
n F
3
tanq
4.
C
β
60°
tan(a - b) = -
`
-
2
-
5
1
2
3
5
=
1
15
17 15
1 17
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave D
51
Por dato:
9.
14.
3
senx =
/
5
24
senz =
25
; (x ; z son agudos)
3
cos(4x + x)
tan x - tan y = 2 1 + tanx tany 25
5
3
1 + tan x x
z 4
7
Piden: sen(x + z) = senxcosz + cosxsenz 7
4
24
5
25
5
25
sen(x + z) =
&
21 125
+
96 125
=
cm 1
tanx -
3
3
cos5x =
&
= 2
= 2 + =
2 3
Clave B
19.
7 3
Piden: un valor agudo de x. sen4xcosx - senxcos4x = 0,5 sen4xcosx - cos4xsenx = 1 2
sen(4x - x)
Clave B
sen(x + z) =
`
&
Clave D
10.
15.
tan A - tanB
2
2
= 2
cm
16.
3
tanA -
1 3
tanA 3
= 2 +
2 3
tanxtany = Luego:
tanA
3
&
12
c 123 m coss x co co coss y
&
Clave B
=
cosxcosy =
Comunicación matemática
cos(x - y) =
11. 12.
c
cos(x - y) =
`
5
3 12
m c m +
3
12
5
3
=
6
M= 3
17.
5
13
12
3
y 4
`
Piden: sen(x + y) = senxcosy + cosxseny
52
=
2 cos30c cosx 2sen30c cosx
= cot30°
M = 3 Clave C
Piden: E = (sen17° + cos13°)2 + (sen13° + cos17°)2 Efectuando por partes: (sen17° + cos13°)2 = sen217° + cos213° 2sen17° + cos13° (+) (sen13° + cos17°)2 = cos217° + sen213° 2cos17° + sen13°
&
c mc m + c mc m 3
5
4
12
5
13
5
13
sen(x + y) =
15
48
63
sen(x + y) =
63
`
D
2
5
65
N
Nivel 3 (página 55) Unidad 3 Comunicación matemática
13
+
N D
M = cot30° = 3
12
Clave D
Entonces:
sen(x + y) =
=
&
12
Por dato:
x
sen ^30c - xh + sen ^30c + x h
Para el denominador (D): sen(30° - x) = sen30°cosx - cos30°senx (+) sen(30° + x) = sen30°cosx + cos30°senx D = 2sen30°cosx Luego:
1 5
3
Razonamiento y demostración
4
cos ^30c - x h + cos ^30c + x h
&
Piden: cos(x - y) = cosxcosy + senxseny
Nivel 2 (página 54) Unidad 3
tanx = 3 ; secy =
M=
Para el numerador (N): cos(30° - x) = cos30°cosx + sen30°senx (+) cos(30° + x) = cos30°cosx - sen30°senx N = 2cos30°cosx
3
senxseny =
/
senxseny 1 = cosx cos y 5
7
=
1 5
tanA = 7
5
20.
Por dato:
`
13.
Clave B
Clave A
= 2
1 2
&
1 3 1
1 2
Sabemos: sen30° = 3x = 30° ` x = 10°
. sen10°)
E = 2(sen30° . cos10° - cos30° . sen10°) E = 2sen(30° - 10°) ` E = 2sen20°
3
1 + ta tan n A ta tan nB
3
E = 2 ( 1 . cos10° -
Además: tan(A - B) = 2
1 + tan A
E = cos10° - 3 sen10°
1
Por dato: tanB =
tan A -
sen3x =
117 125
1 2
tanx
7
125
1
&
tanx = 7 1 ` cotx =
117
1 2
2
Sabemos: cos60° = 5x = 60° ` x = 12°
3
tanx
c m c m + c mc m 3
1 3 1
tan x -
24
Piden el valor agudo de x. cos4xcosx - sen4xsenx =
Además: tan(x - y) = 2
Entonces:
sen(x + z) =
18.
1
Por dato: tany =
65
=
E = 2 + 2 ` E = 3
65
65
Intelectum 5.°
E = 1 + 2(sen17°cos13° + cos17°sen13°) + 1 E = 2 + 2sen(17° + 13°) E = 2 + 2sen30°
c m = 2 + 1 = 3 1
Razonamiento y demostración 23.
E = tan27° + tan18° + tan27°tan18° Observamos: 27° + 18° = 45° tan(27° + 18°) = tan45° Luego: &
tan 27c + tan 18c 1 - tan 27c tan 18c
= 1
tan27° + tan18° = 1 - tan27°tan18°
&
Reemplazando en la expresión E: E = (1 - tan27°tan18°) + tan27°tan18°
2
Clave C Clave C
21. 22.
E = 1
`
Clave A
24.
E = 3 tan80° tan80°(tan50 (tan50°° - tan40°) Por propiedad:
1 Reemplazando en la expresión E: E = 3 tan80° tan80°(2tan1 (2tan10°) 0°) E = 2 3 ta tan8 n80° 0°ta tan1 n10° 0° E = 2 3 tan80°cot80° 1 = ` E 2 3
tan(x + y) =
`
1 1
-
tan ta n α ta tan nβ
&
=
1
3
1 + ta tan n α ta tan nβ
1-
E=
sen (x + y) - tany cosx cos y
c mc m 3
4
4
x
+
1
4
=
=
x+1 4
x+1 4
13
Clave C
30. Piden: tanq 4
1
β θ
4
Piden:
4
α 5
tan18c
Del gráfico:
tan 54c - tan 36c
Por propiedad: tanx - tany - tan(x - y)tanxtany = tan(x - y)
tan54° - tan36° - tan18°tan54°cot54° = tan18° 1 tan54° - tan36° = 2tan18°
4
tana =
5
tanb = 4 = 1 4
/
Además: q = a + b tanq = tan(a + b) &
tanq =
tan α + tan β 1 - ta tan n α ta tan nβ 4
&
tan18c 2 tan18c
=
5
tanq =
Reemplazando en la expresión E:
E =
4
1
13
Clave B
`
=
3
+
16
E = (tanx + tany) - tany ` E = tanx
E=
4
64 = 13x + 13 51 = 13x 51 ` x =
tan54° - tan36° - tan(18°)tan54°tan36° = tan(18°)
Clave E
tan y
1 4
Entonces:
tan α - tan β
^ 2h - ^- 1h 3 tan(a - b) = = -1 1 + ^ 2 h^- 1h ` tan(a - b) = -3
tan x
tan a + t an 37c 1 - ta tan n a ta tan n 37c
&
sen (x + y) - tany cosx co coss y + s en en xs xs en en y - sen xs xs en en y
E=
x+1
b
&
28.
4
Además: tan(a + 37°) =
a
E=
1
&
&
-
b-a
sen (x + y) = tanx + tany cosx cosy
Por dato: tanx + tany = a / cotx + coty = b 1 1 = b +
b
ab
Por propiedad:
Luego: tana + tanb = 1 ...(I) tanatanb = -2 ...(II) De (I) y (II): tana = 2; tanb = -1 0 tana = -1; tanb = 2 Como a ! IC tana = 2 / tanb = -1 Piden:
26.
abk
3
tanatanb = -2
tan(a - b) =
-
=
Clave D
tana + tanb = 1
=
a a
1
Del gráfico: tana =
sen (x + y) - tany 27. E = co s(x - y) - se nx nx se sen y
/
tan α + tan β
a 1
Por dato:
1 - ta tan n α ta tan nβ
4
tan(x + y) =
Clave D
&
37° α
t an x + t an y tan(x + y) = 1 - tanx tan y
tan50° - tan40° = 2tan10°
3
1
b
Piden:
&
tan(a + b) =
x
a
tanxtany =
&
1
Piden: x
a = b tanx tan y
tan50° - tan40° - tan(10°)tan50°tan40° = tan(10°) tan50° - tan40° - tan10°tan50°cot50° = tan10°
25.
29.
tan x + tan y = b tanx tan y
1-
1 2
+
9
1
c m^ h 4
5
1
=
5 = 9 1 5
tanq = 9
`
1
Clave E
2 Clave C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
53
ÁNGULOS MÚLTIPLES APLICAMOS LO APRENDIDO (página 56) Unidad 3 1.
5.
tan(45°, - x) = 4 Sea: 45°, - x = a Entonces: tana = 4 Luego: 2a = 90°, - 2x Entonces: tan2a = tan(90°, - 2x) 2 tan a = cot2x 2 1 - tan
tan
2
cot2x = -
&
tan2x = -
cot
6.
E=
E=
15
x
x
csc
tan
2 cot cot
2
K = 2 - 2cos 35° + sen20°
3
x
x - csc 2 2 csc x + cot x
k a
x x - csc 2 2 csc x + cot x
cot
x
- cot
2
2 cos 18° 3 ^2sen36° cos 36°h
3 ^cos 18°h
=
2 3
+ cot
x
tan2q =
x
tan2q =
2
Del gráfico: tanq = 2 tan2q =
x
tan 2q
=
4x x
2 -
1
-
tan
2
2
5
q
&
x
=
1
5
4
1
0
2
8.
2
2
q
&
c m -c m
=
m
2
-
senq
+
2
4
7 cos 3 q cos q
=
1
3
1
3 =
2
1
1
m
4 m
1
=
2
Luego:
4 -
8
1
=
1
2
2
=
2
2
=
2
2 2
cos q
6cos2q + 3 + 14cos2q - 7 = 1 20cos2q = 5 cos2q =
1 4
/
3p
< q < 2p
2
q
4
θ 3π 1 1 π 4 2
=
1
θ &
1 - cos q
=+
2
cos q = -
7 cos q^2 cos 2 q - 1h
&
m
&
.
2
1 + cos q 2
!
IIC
1-
cm
2
=
2
2
+
2
Por dato:
sen
=
1 m
&
3(2cos2q + 1) + 7(2cos2q - 1) = 1
-
m
Entoces: 2(2senqcosq) = 3senq 4cosq = 3 cosq = 3
1
cm cm 1
senq
Clave C
2
1
2
4
2sen2q = 3senq
senx = -2 (F)
3senq^2 cos 2q + 1h
x
x
Intelectum 5.°
3sen3q
x
2
10.
Clave A
4x2 = 5x2 - 20 x2 = 20 ` x = 2 5
54
4 m
Clave B
x
cm cm
-
tanq =
`
sen3x = 1
5 =
tanq =
`
Luego: 2 tan q
2m m
3senx = 2cos2x
sen3x = 3
x
2
2
1 m
2m2 = 4
Piden: sen3x = 3senx - 4sen3x
4.
θ
1 - tan
Piden: tanq
Entonces: senx =
3
θ
2 tan q
3 a senx k = 2cosx
senx =
Clave A
B
m
Del gráfico: tanq =
2
2 =2 x
&
2
3
θ
A
Luego: 2sen2x + 3senx - 2 = 0 -1 2senx senx 2 (2senx - 1)(senx + 2) = 0
3^2sen18° cos 18°h cos 36 °
2 cos 18°
D 1
θ
3senx = 2(1 - sen2x)
cos 18°
E =
k
cos co sx
1 6sen18 1 8° cos 36°
`
Clave E
3tanx = 2cosx
7. Clave B
3^sen72°h
16
Clave B
K = 1
=
16
E = 2
K = 1 - (sen20°) + sen20° = 1
2 cos 18°
11 =-
4
C
K = 2 - 1 - cos70° + sen20°
E=
-
`
K = 2 - (1 + cos70°) + sen20°
=
3
16
9.
x
+ cot
+
2
E=
K = 2(1 - cos 35°) + sen20°
cos 18°
4
cos6q = - 11
-
acsc 2x
E=
2
3^sen36°h cos 36 °
1
1
3
4
`
8
K = 2(1 + cos35°)(1 - cos35°) + sen20°
E=
1
4 4 csc x + cot x
K = (2 + 2cos35°)(1 - cos35°) + 2sen10°cos10°
E=
3
c m- c m
Clave E
Clave C
E=
4
cos6q =
14° 2
F = tan7°
8 15
`
3.
cos6q =
`
= cot2x
1 - ^ 4h
`
Piden: cos6q = 4cos32q - 3cos2q
a
2^ 4h
2.
Nos piden: F = sec76° - tan76° F = sec(90° - 14°) - tan(90° - 14°) F = csc14° - cot14°
3
4
1+ =-
2
=
2
cm
4
3
4
14
=-
2
4
Piden:
c
2(sen q + 7 co coss q ) = 2 2 2
c
2 sen
`
q
2
+
2 (sen
7 cos
q + 2
q
2
m c =2
2 4
2 4 -
+
7 2 4
7
c
-
m c =2
14 4 -6
4
mm 2
m
q 7 cos ) = - 3 2 2 Clave C
11.
M = 2sen2 q cotq + tan q 2 2 M = (1 - cosq)cotq + tan q 2 M = cotq - cosqcotq + (cscq - cotq)
14.
Piden: Sea: H=
M = cscq - cosqcotq M= M=
1
- cosq
sen q 1
cos
sen q
-
M =
c qq m cos
sen
q
sen q
^sen2 qh
&
2
sen q
Por dato: sen2q =
^1
-
=
cos
2
H=
qh
sen q
H=
= senq
M = senq
`
H=
q - csc 3 q ^sec q - csc qhsec 2 q csc 2 q sec
12.
Piden: tanq Por dato: tanqsec2x - tan2xtanx - 1 = 0 tanqsec2x = 1 + tan2xtanx tanqsec2x = 1 + tan2x(csc2x - cot2x)
Clave B
tanqsec2x =
c
sen se n2x cos co s 2x
sen 2x csc 2x cos 2x
1 cos2x
2
se c
sec 2x
Entonces: E = -2cot2 a p k = -2cot p 8 4 E = -2cot45° = -2(1) ` E = -2
q cs c2 q
^sec2 q csc 2 qh + sec q csc q s ec ec 2
2
&
2
sc q q c sc
Clave A
2
se c
sec c q cs csc cq q cs c q se + 2 2 2 2 se c q cs c q s ec ec q c sc sc q 1 sec se c q cs csc cq 2
cm
= 1 +
P=
7.
= 1 + senqcosq
2sen q cos q
H = 1 +
&
H =
`
sen2q
P=
2
3 2
= 1 +
1 6
=
P=
7 6
7
tanq = 1
Clave C
12 ^4 cos 16°
-
E=
8.
2.
2
M
=
M
=
3h
3.
5sen21° cos 21° 12 ^4 cos 16°
-
3h
5sen21 2 1° cos 21° 3
24 ^4 cos 16°
-
5 cos 16°^2sen21° cos 21 °h
...(1)
4cos316° - 3cos16° = cos3(16°) = cos48°
4cos316° - 3cos16° = cos48°
&
M=
-
42ch
5 cos16csen 42c
M =
&
5
=
1
c m cm 24 25
1
5.
E = -tan100° Clave A
Resolución de problemas
Dato: cosq =
9.
3 5
&
10.
5
Clave C
tan2x = -2
&
2 &
3
q 2
=!
` cos
- tan x (-2) 2 1 - tan x 2 tan x 2
(tan2x)
M = 5
`
Dato: cosq = cos
1 - tan x
q
sen
q
2
2
=
1
!
=
-
cos q 2
!
1
3 /5 2
-
5 5
q = 2
Clave A
&
-2 =
sen
` sen
Por dato: tan2x - tanx - 1 = 0 1 - tan2x = -tanx
= 5
200c 2
`
Piden: tan7°30’ tan7°30’ = tan 15°
(-2)1 =
tan
=
(-)
Clave C
24sen42c 24 = 5 cos 16csen42c 5 cos 16c 24
tan54° + tan36° = (cot36°) + tan36° Sabemos: cotq + tanq = 2csc2q tan54° + tan36° = 2csc2(36°) tan54° + tan36° = 2csc72° tan54° + tan36° = 2csc(90° - 18°) ` tan54° + tan36° = 2sec18°
tan7°30’ = csc15° - cot15° tan7°30’ = ( 6 + 2 ) - ( 2 + 3 ) tan7°30’ = 6 + 2 - 2 - 3 6 - 4 - 3 + 2 ` tan7°30’ =
Por ángulo triple:
24 cos ^90c
1 - cos 200c 1 + cos 200c
2
&
=
= |tan25°|
E = |tan100°| = -(tan100°)
Clave A
4.
Por ángulo doble: 2sen21°cos21° = sen2(21°) = sen42° 2sen21°cos21° = sen42°
=
2
&
&
^2 cos 16°h $ ^2 cos 16°h
3 cos 16 °h
Reemplazando en (1): 24^cos48ch M 5 cos16 1 6c^sen 42ch
50c
P = tan25°
`
Razonamiento y demostración =
1 - cos 50c 1 + cos 50c
Clave C
1. Clave B
13. M
1 + sen^90c - 50ch
Comunicación matemática
`
2
1 - sen^90c - 50ch
(+)
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 58) Unidad 3
= 1
1 - sen 40c 1 + sen 40c
P = tan
6
= sec2x
tanqsec2x = sec2x sec 2x
&
1
&
tanq =
E = tan p - cot p 8 8 Por identidad: 2cot2q = cotq - tanq tanq - cotq = -2cot2q
6.
^sec2 q + csc 2 qh + sec q csc q
H = 1 +
m csc2x - 1 =
3
^sec q - csc qh^sec 2 q + sec q csc q + csc 2 qh ^sec q - csc qh sec 2 q csc 2 q
H = 1 +
tanqsec2x = 1 + tan2xcsc2x - tan2xcot2x
tanqsec2x = 1 +
3
q - csc 3 q ^sec q - csc qhsec 2 q csc 2 q sec
Clave E
H=
Piden: M = tan22x - tan2x - 1 M = (-2)2 - (-2) - 1 = 4 + 2 - 1 ` M = 5
1 3
cos
q 2
=!
cos q + 1 2
2 /3 + 1 2
q 2
=+
5 6 Clave E
Nivel 2 (página 58) Unidad 3 Comunicación matemática 11. 12.
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
55
17.
Razonamiento y demostración 13.
sen 2a + sen a 1 + cos 2a + cos a sen2a + sena
=
1 + cos 2a + cos a sen2a + sena
`
1 + cos 2a + cos a
H
senq tan
sena^2 cos a + 1h c os a^2 cos a + 1h co =
sena cos a
H
=
= tana H
=
Piden: tan2x Por dato: 0° < x < 45° 0° < 2x < 90° (2x) es agudo Además: senx - cosx = 1 &
(senx - cosx)
=
&
H
5
&
2
π
c qm q qc m q
=
H
=
cos
+
sen
cos q 1 - cos q + cos q
sen
= cosq
cos 4q
25
sen 4q
+
2 cos 2q
=
5 &
cos 4q cos 2q + sen 2q
= cos2q - sen2q
2sen 2q cos 2q
(cos2q - sen2q) +
Clave A
2 cos 2q
csc q
=
1 - sen20c + sen10°
cos2q =
&
1 - 2sen10c cos10c + sen10°
1 5sen q
&
sen 4q cos q
&
sen 4q
Luego: 10°! IC, y analizando en la CT CT obtenemos que: cos10° > sen10°. E = |sen10° - cos10°| + sen10°
cos q sen4 q
&
cos q
E = -(sen10° - cos10°) + sen10° E = cos10° - sen10° + sen10° ` E = cos10°
`
2 2
1 + tan 2a
tan
2
a
=
sen4 q cos q
=
cos4a = 1+
-
4
3
4
2
1 8
=
7
q 2
q
cos
+
2
c m c m 7 8
1
+
8
F
7
=
+
8
1 8
8
=
8
=
8
2
2
$
2
2
F = 2 2
`
=
cos q
= 4senqcos2q = 4 =
24.
cos q
cm 1
5
M=
1 sen x
M
=
5
M
=
+
1 sen x
4
Dato: tanq = 2
1
sen2q =
&
sen2q = sen2q =
`
-
^3h
2 tan q 1 + tan
20.
2
=
7 25
7 ` cos4a = 25
M=
q
2 (2) 1 + 22
1 sen x 1 senx
1 sen 2x
+
+
+
+
1 sen 2x 1 sen 2x
2
1 sen 4x
+
+
1 sen 4x
2
cos 2x - sen 2x
+
sen 4x
+
cos 4x sen 4x
1 + cos 4x sen 4x 2
1 sen2x
Dato: tanq = 3
+
2 cos 2x 2sen2x cos 2x
cos2q =
+
1 sen 2x
1-3
2
1+3
2
cos2q = -
cos 2x sen 2x
1 1 + cos 2x + senx sen2x
M=
1 sen x
M =
&
2
+
2 cos x 2sen x cos x
1 + cos x senx
M = cot
`
4
+
M=
2
q cos2q = 2 1 + tan q
1 sen x
4 5
1 - tan
&
`
4
Intelectum 5.°
2
Clave A
Clave B
56
F
&
5
2^2sen q co sqh c os os 2q
2
c m c m 3
7 sen
5
senqcos2q =
2
Reemplazando en (1): -
3
Clave E
4
1-
=
M=
...(1)
tan2a = - 3
&
-
2 sen 2q cos 2q
2^ 3 h
2 tan a -
F
Clave C
19.
1 - tan 2a
1
=
2
c m
Resolución de problemas
Por dato: tana = 3 Piden: cos4a Luego: tan2a =
4
2
1
Clave A
cos4a =
-
Piden:
E = ^sen10c - cos10ch2 + sen10° E = |sen10° - cos10°| + sen10°
16.
=
1+
1 + cos q
=+
2
c m 3
-
5 csc q
cos2q - sen2q + sen2q = E= E=
q
cos
cos q
8
=+
2
-
Piden:
Reemplazando tenemos:
7
q
csc q
Sabemos: cos4q = cos22q - sen22q cos4q = (cos2q + sen2q)(cos2q - sen2q)
24
IC
!
7
2
cos
cos 2q + sen 2q
2
2
sen q =
Por dato:
&
1
=+
2
&
24
q
&
2
1
q
Clave A
24
π
1
2
Luego:
cos q
25
18.
θ
1
4
sen
`
7
15.
4
&
cos q
H = cosq
1
2x
tan2x =
Por dato: p < < / 3 q p cosq = -
sen q csc q + sen q cot q - 1 sen q csc q - sen q cot q + co cos q
1 - sen
cm
25
`
Razonamiento y demostración 23.
sen q
25
sen2x = Luego:
22.
sen q ^csc q - cot qh + cos q
2
Resolviendo: sen2x + cos2x - 2senxcosx = (1) 2senxcosx = 1 - 1
cos q
sen q^csc q + cot qh - 1
5
1
Comunicación matemática 21.
+
2
1
-
2
1
&
2
cm c qm
1 Clave A
14.
=
Nivel 3 (página 59) Unidad 3
q
senq cot
^2sen a cos ah + sen a ^2 cos2 ah + cos a
=
Sea:
1 s en en x
=
2 cos =
2sen
x 2
2
+
x
cos
2
cos
cos x s en en x
x 2
=
sen
x 2 x 2
x 2 Clave C
5 Clave E
25.
Por dato: cos q a &
27.
sen q
=
b
sen q
&
a
c
1 - tan
E=
E=
2
a ^a a
2
m c
2
V W W 2W W X 2
cm cm b
a
b
a
-
+
b
b
k = tan a
2
h
+
2
a
b
+
2 tan q 1 + tan
R S 2 + b S S S1 + T
2
q
m
2ab a
2
2
+
π
4
π
a
cos
a
sen
a
cos
a
a
b
a
k
4
=
-
an 1 + t an
tan
π
4
2
t an an
cos
a
cos
a
2
=
2
2
-
sen
a
+
sen
a
2
1 + 2sen
a (a2 + b2) a
+
b
-
2
k= 2
a
S3 =
2
2
a 2
cos
=
a
c
E = a
`
2
2
tan
2
m
1
+
2
tan
x 2
-
2
2 cot 2x
cot
c
1 1 2 2
x
2
2 cot 2x
-
2
x
cot
4
4
1
-
tan
2
4
m
1
+
m
x 4
4 +
tan 1 4
x 4
tan
x 4
-
2 cot 2x
4
1 2
2
x
cot
2
2
- 2 cot 2x
Para 4 términos, se obtiene: S4 = 13 cot x3 - 2cot2x
cos a 1 + sen a
&
2
2
2
Como la serie original tiene (n + 1) términos:
1 - sen
1
S =
2
`
k2 =
a ^1 + sen ah2
k2 =
^1 + sen ah^1 - sen ah 1 - sen a = 1 + sen a ^1 + sen ah2
=
1 2
S3 =
Elevando al cuadrado: cos
-
2
x
tan x
2
4
a 2
1
1 2
S3 = 1 cot x - 2cot2x
2
2
x
2
2
S3 =
sen
2
2
&
cos
cot
tan x = cotx - 2cot2x +
Para 3 términos: S3 = tanx + 1 tan x + 1 tan x
Luego multiplicamos al numerador y denominador por acos a + sen a k :
2
2
&
2
2
2
1
1 2
S2 = 1 cot x - 2cot2x
α
2 2
c
S2 =
α
2
b
=
b
2
sen
1+
V W W 2W W X
α
-
k=
cm cm
a (a2 - b 2 + 2b 2) 2
S2 = tanx +
tan
a
1-
q + b 2 1 + tan q
R S1 E = a SS S1 + T
Para 2 términos:
a+b
b
tanq =
Piden: E = acos2q + bsen2q E = a
a-b
Piden:
b
=
cos q
Por dato: sena =
a ^1 + sen ah2
2
n
cot
x 2
n
- 2cot2x Clave D
Clave C
26.
Por dato:
Resolución de problemas 29.
cotx - tanx = k (2cot2x) cot2x =
&
k
/
2
tan2x =
k2 =
2
1+
k
Piden: tan4x tan4x =
c c
k = !
`
2 tan 2x
a-b a+b a-b a+b
m m
2b =
a+b 2a
=
a
tan4x = 1
28.
k
2
2
a
k
k
2
-4
1 2
tan x + 2
1 4
tan x + ... + 4
1
x
2
2
Por identidades: 2cot2q = cotq - tanq tanq = cotq - 2cot2q
4k
`
&
Clave A
cot2q = 1 cotq - 1 tanq
&
1
1
3
2
2
3
1
2
2
11 2 Clave D
Sea: S = tanx +
q
c m-c m - c m
1
tan3q =
3
1 - 3 tan q
tan3q =
`
1 2 2
b
Clave B
cm -c m
tanq =
3 tan q - tan
3
a+b
1 - tan 2x 2
tan3q =
&
b
2
2
tan4x =
1-
Dato: cotq = 2
2
2
tan n
n
30.
Dato: secq = 3
cosq =
&
1 3
3
cos3q = 4cos q - 3cosq
cos3q =
4
3
c m- c m 1
3
3
1
3
cos3q = - 23
`
27 Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
57
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 5.
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 60) Unidad 3 1.
64
`2sen 2
P=
P = 32`cos A 2
5A
sen
4
3A
j 4
- cos 2 A
j
... (1)
2 A
- 1
2
2
d n 2 c ` j m ` j
cos2A = 2
`
cos2A =
2cos
A -1 2
2
2
-
4
1
1
-
-
2
=
-
7.
17
j 32
-
4
=
32
` 329 j -
= -
B= B=
9
P = - 9
2.
A = 3 +
3
= 2
3
c
+
2
A=2
3 (sen6 (sen60° 0° + sen30°)
A = 2
3 2sen
m
2
m c cos
60c - 30c 2
.
Clave C
3 -
2
4
3 =
2
-
4se sen n x 2
sen x
.
sen x
3 y = 3senx 34sen x -
sen x
&
y
senx
N =[2cos a+ 2cosa] / cos
N =[2cosa (cosa + 1)] / cos
82 cos a`2 cos a2 jB 2
N=
cos `
2
a
sen se n 2x
r
senx
Intelectum 5.°
2 r
D =
10.
K=
2
2
- 4sen
a
3
2
B
j - 4` 12 j E 2 3
1
-
4
` 18 jB 2` 32 =
1 -
2
j
2sen40c sen60c + sen20c 2sen40c
K= 2sen
K= `
. sen ` x + 7x j
c
60c
+
20c
2
sen40c sen40c cos 20c
m c
=
cos
60c
-
2
20c
m
1 cos20c
K = sec20° Clave C
2
11.
. sen4x
A = sen1° + sen(1° + 1°) + sen(1° + 2(1°)) + ... + sen(1° + 179(1°))
. cos ` P + U j 2
2 4^2x h
sen
&
= 2sen 3a
2
a
nr
D=
2
N = 4cosa
a
2
sen se n 4x
sen
2
Clave B
4^2x h
sen
= 4cosa
a
F = 2(1) = 2
2
2x
3
2
2
2
;`
F = 2 8 3
. sen ` P + U j
2
D=
Clave A
58
F = 2
nr
sen
sen
2
cos
2
2
En el denominador (D):
2a
3a
cos
sen se n 2x
+
-
+
F = 2 83sen a
Empleando las series trigonométricas: P: primer ángulo = x U: último ángulo = 7x n: n.° de términos = 4 r: razón = 2x En el numerador (N):
N =
2
F=
sen se n 2x
cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x
&
2a
+
sen x + sen 3 x + sen 5 x + sen 7 x
N=
2
+
= 2cos3x + 1
sen
N = [(1 + cos 2a) + 2cosa] / cos2 a 2
-
sen se n 2x
Clave C
4.
` 5x 2 x j cos ` 5x 2 x j sen se n 2x
sen
y = sen3x sen x
2sen
2sen 2x cos 3x
P=
` 2a 2 a j cos ` 2a 2 a j
sen se n2x
N=
-3
`
2
cos
sen se n 2x
sen
senx
2sen
F=
B=
sen3x sen3 x
=
a
^sen 5x - sen xh + sen 2x
3.
y=
sen2a + sena cos
Clave C
8.
2 cos15° = 2 6 cos15° 2 A = 2 6 cos15° 3
= tan4x
9.
F=
2sen 2x cos 3x + sen 2x
mm
3 (2sen45° cos15 cos15°) °)
A = 4 `
60c + 30c
sen4x cos co s 4x
Clave E
2
B=
`
c c A=2
2
$ cos 4x
P = tan4x
sen se n 2x
B=
Clave B
1
sen se n4x
`
sen 5x + sen 2 x - sen x
2sen
`
3
D
$ sen4x
senx
=
Clave D
32
En (1): P = 32 ` 1
P=
2R = 2cos5xcosx ` R = cos5xcosx
1
N
senx
&
17
cos2A =
P=
R = sen3xsen7x + cos2xcos8x 2R = 2sen7xsen3x + 2cos8xcos2x 2R = (cos4x - cos10x) + (cos10x + cos6x) 2R = cos4x - cos10x + cos10x + cos6x 2R = cos6x + cos4x 2
7 2
8
sen se n4x
2R = 2cos ` 6x + 4x j cos ` 6x - 4x j
-1
2
1 2
Entonces:
Clave C
6.
Sabemos: cos2A = 2cos2A - 1 cosA = 2cos
R = 2cos2xcos3x - cosx R = cos(2x + 3x) + cos(2x - 3x) - cosx R = cos5x + cos(-x) - cosx R = cos5x + cosx - cosx = cos5x ` R = cos5x
2 2x
. cos `
x
+ 7x 2
j
Primer ángulo
: P = 1°
Último ángulo
: U = 180°
n.° de términos
: n = 180°
Razón
: r = 1
2
sen4x senx
. cos4x
A = sen1° + sen2°+ sen3° + ... + sen180°
sen
A=
c ^ hm c c m
14.
180c 1 2
sen
1c
sen
1c + 180c 2
m
Por dato: sen8x + sen4x = AsenBxcosCx 2sen`
2
8x + 4x 2
j cos`
8x - 4x 2
Razonamiento y demostración 3.
j = AsenBxcosCx
2
H=
2sen6xcos2x = AsenBxcosCx Comparando: A = 2; B = 6; C = 2
Sabemos: 1 - sen2x = cos2x
Piden: A + B + C = 2 + 6 + 2 = 10 ` A + B + C = 10
H=
&
sen90c
A=
sen
c m
sen
A=
1c
sen
181c 2
2
181c
2 1c sen 2
c m
=
2
2
=
2
2 cos x 2sen y 2 cos ^x y h -
-
^1 + cos2 xh - ^1 - cos 2yh 2 cos ^ x - yh 2 c os ^ x + y h c o s ^ x - y h + H = cos2x cos 2y = 2 cos ^ x - y h 2 cos ^x - yh ` H = cos(x + y)
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 62) Unidad 3 Comunicación matemática 1.
Por dato: A, B y C son los ángulos internos de un triángulo. A + B + C = 180° ...(1) Además: senAsenB = cosC 2senAsenB = 2cosC cos(A - B) - cos(A + B) = 2cosC cos(A - B) - cos(180° - C) = 2cosC cos(A - B) - (-cosC) = 2cosC cos(A - B) + cosC = 2cosC cos(A - B) = cosC
1
• senqcos3q =
&
1
• sen3x sen7x =
2 1
• cos2x cos8x =
2.
2
2
sen ^2x + 30c h 2
+
-
2
#
2
+
1 4
#
2
sen ^2x a
+
#
Smáx. =
30c h
+
1
#
1
_ 2 b ` b 4b 2
-
1 4
2
Clave B
6.
d
= -2sen 19c + 9c
2cos
2
1
# S #
d
3x + 4x 2
= 2cos
7x
= 2cos
7x
2
2
cos
cos
p + sen p = 2sen p
9
n sen d
19c - 9c 2
M = sen3x + sen5x + sen8x M = (2sen4xcosx) + 2sen4xcos4x M = 2sen4x(cosx + cos4x)
n
M = 2sen4x (2cos 5x cos 3x )
10
180
n cos d
3x - 4x 2
n
2
+
1 4
c
90c - 4x
+
8x
2
m cosc
4
4 Clave A
` 6x
+
90 - 4x 2
j cos
f
cos
2
2
7.
x
K=
2
cos p
K=
180
90c - 4x
- 8x
2
m
= 2cos(45° + 2x)cos(45° - 6x)
= 2sen
3
2
3x Clave B
`2j
• sen6x + cos4x =sen6x + sen(90° - 4x)
3
M = 4sen4x cos
`
2
5x
-x
• sen4x + cos8x =cos(90° - 4x) + cos8x
= 2cos 1
H = 1 + cos2x + cos4x + cos6x H = 2cos2x + (2cos5xcosx) H = 2cosx(cosx + cos5x) H = 2cosx(2cos3xcos2x) ` H = 4cosxcos2xcos3x
` 5q 2+ q j cos` 5q 2- q j
• cos19° - cos9°
• sen
3
5.
• cos3x + cos4x =
Sabemos: -1 # sen(2x + 30°) # 1 sen^2x + 30c h 1
3
Clave C
= 2sen3x cosx
4
= tan60° =
(cos2q - cos8q)
2
1
sen60c cos 60c
L =
2sen ` 4x + 2x j cos ` 4x - 2x j
2
2sen60 6 0c cos 20c 2cos 60c cos 20c
`
• sen4x + sen2x =
2S = sen(x + 30° + x) + sen(x + 30° - x) 2S = sen(2x + 30°) + sen30° 2S = sen(2x + 30°) + 1
cos 80c + cos 40c
L =
= - 2sen14° sen5°
2S = 2sen(x + 30°)cosx
`
1
sen 80c + sen 40c
&
= 2cos3q cos2q
S = sen(x + 30°)cosx
S =
L=
(cos6x + cos10x)
• cos5q + cosq = 2cos
Clave C
&
L=
(cos4x - cos10x)
&
&
-
2
4.
• 2cos3q cosq = cos2q + cos4q
& &
(cos36° - cos140°)
(sen4q - sen2q)
2
• sen3q sen5q =
cos(A - B) = cosC A - B = C A = B + C ...(2) Reemplazando (2) en (1): A + (A) = 180° 2A = 180° A = 90° Entonces uno de los ángulos internos del triángulo mide 90°. Por lo tanto, el triángulo es rectángulo.
Clave A
1
• sen52° sen88° =
&
13.
-
H=
Clave D
12.
2
cos x sen y cos ^ x yh -
sen 90, 5c sen 0, 5c
Clave D
2
1 - s en x - s en y cos ^ x - yh
_
6x - 90 - 4x 2
sen 50c + cos 50c cos 5c sen 50c
p
cos ^90c
K=
sen 50c + sen 40c
K=
2sen 45 45c cos 5c
40c h
cos 5c
cos 5c
K = 2
c 22 m
K =
2
`
-
cos 5c
&
i
+
=
= 2sen45°
2
= 2sen(45° + x) cos(5x - 45°)
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave B
59
8.
Luego:
12.
M= M=
M = sen74° sen34° - sen52° sen88° M = 1 (cos40° - cos108°)
sen 40c + sen 20c cos10c
2
2sen30c cos10c
1
-
cos10c
M = 2sen30° = 2` 1 j = 1 2 ` M = 1 &
M=
1 2
9.
2
cos40° +
1 2
M=
2
-
1
5
-
4
M=
Pero: cos90° = 0 S = 2(0)cos50° = 0 ` S = 0
16.
1 2
cos36° -
+
cos40°
2
10.
M = 2`
&
1 2
4
M = -
&
2
1
4
Clave D
14.
d 2cos d
n n 2sen d n 2sen d n
A - B A+B cos 2 2
• cosA + cosB =
A + B A -B cos 2 2
Resolución de problemas
2p = 2cos2q + 2cos22q + 2cos23q + ... 2 + 2cos kq 2p = cos2q + 1 + cos4q + 1 + ... + cos2kq + 1 2p = k + cos2q + cos4q + ... + cos2kq
2p = k +
sen
2p = k +
>d
senkq senq
. cos
2qc + 2kq 2
m
2
C 2
. cos(q + kq)
n
Intelectum 5.°
2
K = 2cos C 8cos ` A - B j + sen C B 2
2
2
A &
H
2
+
sen C
&
2
B 2
+
C 2
= cos
=
p 2
rad
` A +2 B j
sen2^ x + yh cos ^ x - yh sen^ x + yh cos ^ x - yh sen 2^30c h sen 30c
=
sen 60c sen30c
=
2 1 2
j cos` A -2 B j + senC 2
2sen^ x + yh cos ^x - yh
H =
2
-
2sen^2x + 2yh cos ^y - xh
`
K = 2sen ` A + B j cos` A - B j + senC
Como: A + B + C = p rad
Clave B
60
Del enunciado: A + B + C = p rad K = senA + senB + senC
2
2
senq
H=
K = 2cos C cos ` A - B j + 2sen C cos C
p = 1 k + senkq cos (q + kq) 2
15.
sen^ x + 3yh + sen^3x + yh sen2 x + sen2 y
3
Clave B
2
2q
H=
Razonamiento y demostración
K = 2sen ` p
k . 2q
H=
`
2
# términos : k primer ángulo: 2q último ángulo: 2kq razón: 2q
H=
Dos son verdaderas.
p = cos2q + cos22q + cos23q + ... + cos2kq k términos
Por dato: x + y = 30°
A + B A-B cos 2 2
• senA + senB =
11.
Clave B
17.
A+B A-B sen 2 2
• cosA - cosB = -
Clave A
d n (F) d n (V) d n (V) d n (F)
• senA - senB = 2sen
M = 1
j c ` j
2
&
Según teoría tenemos: Ic - IIa - IIIb
`
`
Por dato, A; B y C son los ángulos internos de un triángulo. A + B + C = p rad Piden transformar a producto: F = sen2A + sen2B - sen2C
Pero: cosC = -cos(A + B) F = 2 2senC[cos(A senC[cos(A - B) + cos(A + B)] F = 2senC(2cosAcosB) ` F = 4cosAcosBsenC
Comunicación matemática
(1) j = 1
sen
2
F = 2sen(A + B)cos(A - B) - sen2C F = 2sen(p - C)cos(A - B) - sen2C F = 2senCcos(A - B) - 2senCcosC F = 2senC[cos(A - B) - cosC]
Nivel 2 (página 62) Unidad 3 13.
2
2
1
Clave E
Sea: M = (sen38° + cos68°)sec8° M = (sen38° + sen22°)sec8° M = (2sen30°cos8°)sec8° M = 2sen30°cos8°sec8°
2
F = 2sen ` 2A + 2B j cos ` 2A - 2B j - sen2C
&
Clave A
2
&
1
2 5
2
B C K = 4cos A c os os c os os
`
cos 72c - cos 36c
S = cos40° + cos140° S = 2cos90°cos50°
2
(cos36° - (-cos40°))
2
-
S = 2` 1 j cos40° + cos140°
2
(cos36° - cos140°)
cos72°
S = cos20° + cos100° + cos140° S = (2cos60°cos40°) + cos140°
2
Clave C
1
Clave A
1
2
K = 2cos C `2 cos A cos B j
(cos40° - (-cos72°)) -
M=
2
K = 2cos C 8cos ` A - B j + cos ` A + B jB
3 Clave C
18.
H = cos20° + cos100° + cos220° H = cos20° + cos100° + cos(360° - 140°) H = cos20° + cos100° + cos140°
2
Por propiedad: cos(x - 120°) + cosx + cos(x + 120°) = 0 Para: x = 20° cos(-100°) + cos20° + cos140° = 0 cos20° + cos100° + cos140° = 0 ` H = 0 &
Clave E
19.
Por dato: x = y + 30° x - y = 30° Piden:
Entonces:
&
s en ^ x + y h
P=
2
s e n x - s en y
2
2 se n ^ x + y h co s 2 y - c o s 2 x
P=
=
-
P =
&
1 sen30c
=
1
cm 1
+
P = 2
^
-
1 s en ^ x - y h
=
&
= 2
=
h - cos ^3a - bh
-
sen
C=
21.
2sen2a + 2cos2(x - a) + 2sen2(x + a) = 4 1 - cos2a + 1 + cos(2x - 2a) + 1 - cos(2x + 2a) = 4 cos(2x - 2a) - cos(2x + 2a) = 1 + cos2a 2sen2x sen2a = 1 + 2cos2a 1 + 2 cos 2a 2sen2a Clave A
22.
cos 4p + cos 4p cos 6p 7
cos
C=
7
+ cos
6p 7
2
cos
2p
+
7
+ 10p
cos
8p
7
7
a
= cos 2p = cos
6p
7
10p
4p 7
4p
4p = cos k 7 7
3p 7
7
24.
3p
- cos
7
7
bpl d pn bp p l bpl bpl 7
sen
-
2sen
7
b p7 l p 2sen b l 7
7
7
=
-
1 2
8p
(sen(2x + 53°) + 4 ) 5
-1 # sen(2x + 53°) +
4
1 10
#
Pmáx. = 9/10 M = 9/10
1 2
9 &
10
cos ^2x
+
B
37ch #
9 10
N = 9/10
Si: A + B + C = 180° cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosA cosB cosC Luego: cos2A + cos2B + cos2C = 1 1 = 1 - 2cosA cosB cosC 0 = -2cosA cosB cosC Deducimos que: cosA = 0 0 cosB = 0 0 cosC = 0 Esto ocurre cuando un ángulo al menos mide 90°. ` Se cumple en un triángulo rectángulo.
R=
cos 7x
R=
2 cos 5x cos 2x
5
#
9 5
[sen(2x + 53°) + 4 ] # 6
9
+
cos 3x
sen7 x - sen3 x
2sen2x cos 5x
R =
&
cos 2x
= cot2x
sen se n2x
R = cot2x
`
Clave D
26.
T=
4 5
1
-
-
Razonamiento y demostración
-1 # sen(2x + 53°) #
7
8 54
25.
2P = sen(2x + 53°) + 1
2
5
Clave D
sen
En M tenemos: P = sen(x + 53°)cosx 2P = 2sen(x + 53°) cosx 2P = sen(x + 53° + x) + sen(x + 53° - x) 2P = sen(2x + 53°) + sen53°
2
1
#
9
&
7
-
- cos(2x + 37°) #
&
7
p
6 7
5
Clave C
23.
7
+ cos
p - 3p = -
Comunicación matemática
P=
E
h
37c
+
M = N
`
Nivel 3 (página 63) Unidad 3
2
Pero: cos
cos 2p
+ cos
7
=
1 10
Tmáx. =
Clave D
2 cos
7
-
=
-
C=
6p
2
7
3p
2sen
Resolución de problemas
2p
p
2sen
Clave D
+ cos
.
7
4p
cos
7
C=
^
cos 2x
-
4
#
5
2.7
7
=
;
1 4 2 5
-1
1
- 2sen 3p cos 3p
A = 2sen(a - b)
7
cos
sen
`
7
8
3p
sen
&
7
2p
4p 7
^2a - 2bhsen^- a - bh A= 2sen ^a + b h cos ^a - bh sen^2 a - 2 bh sen^ a + bh A= sen^a + bh cos ^a - bh 2sen ^a - bh cos ^a - bh A= = 2sen(a - b) cos ^a - bh
7
T=
2p
.
2
sen
- 2se n
2p
7
-1 # - cos(2x + 37°) # 1
=
sen2 a + sen2 b
C = cos
6p
+ cos
7
-1 # cos(2x + 37°) # 1 3
sen
sen2x =
m
7
sen
3b
7
c m p C c m c m c m C c m ak Pero: cos d n cos d n cos d n c m; c mE C ak d n d n
20. cos a
6p
cos
+
2p
sen
Clave C
A=
4p
+ cos
7
Razón =
yh
2
`
7
2 2p
C = cos
2sen ^y + xh sen^y - xh
2sen^x + yh^- sen ^x - yhh
4p
cos
+
7
n.° de términos = 3
2 se n ^ x
2sen^x + yh
2p
cos
2
2sen x - 2sen y
2sen^ x + yh ^1 - cos 2 xh - ^1 - cos 2yh
P= P=
C= 2
2sen^ x + yh
=
2
c
En N tenemos: T = sen(x + 37°)senx 2T = 2sen(x + 37°)senx 2T = cos(x + 37° - x) - cos(x + 37° + x) 2T = cos37° - cos(2x + 37°)
cos x + cos7x
+
s en en x + se n7x
T=
2 co s 4x cos 3x
T=
cos 4x
T=
1
2sen4x cos 3x
sen se n4x
T =
&
5
+
+
cos 2x sen se n 2x
+
2 cos x 2sen4x cosx
1 sen se n4x
cos 4x
sen se n4x
2 cos x sen5 x + sen3 x
=
2 2 cos 2x 2sen2x cos 2x
= cot2x
T = cot2x
`
Clave D
&
7
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
61
27. sen 7 x + sen 3x
P=
sen x + sen 9 x
sen4 a
R=
2sen2a cos 2a
; 6x = p
2sen 5x cos 2x
P=
R=
2sen 5x cos 4x cos 2x
P=
=
cos 4x
cos ^6x
R=
4x h
-
cos 4x
sena
Resolución de problemas
. sen4a
sena
32.
. sen4a
2^2sena cos a h cos 2a sena
P =
&
-
4x h
cos 4x
=
. sen4a
Nos piden: S = cosa + cosb + cosq S = cosa + cos(a + 120°) + cos(a + 240°) S = cosa + cos(a + 120°) + cos(120° - a)
R = 4sen4acos2acos a
-
cos 4x
Clave C
cos 4x
P = -1
`
30. Clave B
S = cosa + 2 cos A=
28.
M=
sen 5q + sen 3q + sen q
A=
cos 5q + cos 3q + cos q
M = sen3q + sen5q + sen q cos 3q + cos 5q + cos q M= M=
sen 3q + 2sen 3q cos 2q
A=
cos 3q + 2 cos 3q cos 2q sen 3q ^1 + 2 cos 2qh
sen3q cos 3q
sen 2 x + sen 4 x + sen 6 x cos2x + cos 4x + cos 6x
31.
Clave A
sen 4 x + ^sen 6x + sen 2x h
R = sena + sen3a + sen5a + sen7a Primer ángulo: P = a Último ángulo: U = 7a n.° de términos: n = 4 Razón: r = 2a
sen
2
2
sen4x^1
+
2cos2xh
cos4x ^1 + 2cos 2x h
R= sen
. sen `
=
cos4x
120c -
2
c m . cos -1 2
cos 2q sen2q
+
a + 7a 2
2
j
Intelectum 5.°
33.
senq cos q
cot2q + tanq = cos 2q cos q + se n2qse nq sen2q cos q
cot2q + tanq =
^
cos 2q -
a
cot2q + tanq =
cos q sen2q cos q
c
1 sen2q
M =
&
^
h
cos 2q sen2q sen2q
q
h
h
h
tanx tan(n + 1)x tan nx = tan(n + 1)x - tannx- tanx =
1 sen2q
tanx(tanxtan2x+tan2xtan3x+...) = tan(n + 1)x - tanx - ntanx P P tanx = tan(n + 1)x - (n + 1)tanx P=
m(2cos2 cos )sen q
+
P = tanx tan2x + tan2x tan3x + tan3x tan4x +... Sabemos: tan(a - b) = tana - tanb - tan(a - b) tanatanb tan(a - b)tanatanb = tana - tanb - tan(a - b) Aplicamos esta identidad: tanx tan2x tanx = tan2x - tanx - tanx tanx tan3x tan2x = tan3x - tan2x - tanx tanx tan4x tan3x = tan4x - tan3x - tanx h
qh
sen2q cos q
&
M=
a
Clave B
q
tan ^n + 1h x
-
^n + 1h tan x
tan x
P = cotxtan(n + 1)x - (n + 1)
`
Clave E
= cos2q
M = cos2q
`
Clave D
62
^
hm hm
a
S = cosa - cosa S = 0
sen se n4x
Sea: M = (cot2q + tanq)(cos3q + cosq)senq Luego:
4^2a h 2 2a
a + 120c -
S = cosa + 2
Además: cos3q + cosq = 2cos2qcosq Reemplazando en M:
. sen ` P + U j
Reemplazando los valores tenemos: sen
c
S = cosa + 2cos(120°) # cos(a)
cos 4x + ^2cos 4xcos2x h
120c -
2
sen 4x + ^2sen 4xcos 2x h
nr 2
^
cos 4x + ^cos 6x + cos 2x h
cot2q + tanq =
29.
r
cos
Clave D
= tan3q
M = tan3q
R=
a + 120c +
A = tan4x
`
sen
c
`
cos 3q ^1 + 2 cos 2qh
M =
&
A=
q
+ 120° + 120°
`
cos ^p
La progresión es: a ; b ;
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS APLICAMOS LO APRENDIDO (página 64) Unidad 3 1.
4.
Piden el dominio de la función: g(x) =
c os os x - s en en x
El dominio de senx y cosx no presenta restricciones, pero g(x) por ser una fracción, su denominador no puede ser cero, entonces: tanx ! 1 p 5p 9p ` x ! ; ; ; ...
Dominio: R - {(2n + 1) p / n ! Z} 2 2x ! (2n + 1) p x ! (2n + 1) p 2 4
senx cosx
&
4
1
4
&
Piden el rango de la función: F(x) = 3 + (senx)(cosx) Como observamos, no hay ningún tipo de restricción, por lo que afirmamos que F(x) se halla definido 6 x ! R , entonces Dom(F) = R . Luego: F(x) = 3 + 2 sen x cos x
5.
#
2
2
#
1
2
2
# 3+
...(a)
#
Ran(F) =
`
F (x) #
2
-
4
h
6
1
3
=
2
2
2
12
Asomb. = p u2 3 Clave B
&
7.
...(b)
y cscx =
y P(θ; cscθ)
y cscθ =
1 S a
π/2
a
x
π
θ
y cosx
Piden el rango de la función:
=
1
p El gráfico presenta simetría con respecto a: x =
2 Entonces: q + a = p a= p -q 2 2 Luego, trasladamos la porción del área inferior, con la cual el área sombreada será equivalente al área de un rectángulo: S = (2a)(y) = 2( p -q)(cscq) 2 S = (p - 2q)cscq &
Por identidades del ángulo doble: H(x) = tanx + cotx = 2csc2x H(x) = 2csc2x
1 2
&
7 2
Piden: A = tan2q cot
c qm ^- h m A = tan2q cot c
Luego a partir del dominio de H, obtenemos: -3 < csc2x # -1 0 1 # csc2x < +3
; 52; 72 E
-3 < 2csc2x # -2 0 2 # 2csc2x < +3
2θ csc θ
csc θ
A = tan2q cot(p - 2q) A = tan2q (-cot2q) = -tan2qcot2q
&
Ran(H) = G-3; -2] , [2; +3H ` Ran(H) = R - G-2; 2H &
Por dato: f(x) = cosx(cosx - 4) y Ran(f) = [a; b]
S csc π
Clave D
3.
2
`
&
5 2
h
Asomb. = 4p
2
2
sen n 2x 3 - 1 # 3 + se
x1
c p p m^ h c p mc m
&
De la función H se observa que aparecen funciones tangente y cotangente, sabemos que no están definidas en (2n + 1) p y np, 2 respectivamente, uniendo estas dos restricciones tenemos: Dom(H) = R -{ np / n ! Z}
sen se n 2x
sen se n 2x
2
Asomb. =
-
-
&
1
2
=
3
H(x) = tanx + cotx
&
2
altura alt ura
O
Como x ! R (2x) ! R -1 # sen2x # 1 -
base bas e
Clave D
2
F(x) = 3 +
&
Dominio: R - {(2n + 1) p / n ! Z} 2 p 2x ! (2n + 1} x ! (2n + 1) p 2 4 p De (a) y (b): x ! (2n + 1) 4 p ` Dom(F) = R - {(2n + 1) / n ! Z} 4
Clave B
2.
Asomb.
Función de referencia: y = secx
x ! (4n + 1) p ; n ! Z 4 p ` Dom(g) = R - {(4n + 1) / n ! Z} 4 &
c p m^ h ^ h ^ h = 3
Función de referencia: y = tanx
&
'4
Piden:
La función F(x) presenta restricciones en su dominio dado que tan2x y sec2x presentan restricciones.
sen x + 1
cosx - senx ! 0 & cosx ! senx & 1 !
Piden el dominio de la función: F(x) = tan2x + sec2x + 2x
(1)
Clave C
A = -1
`
Entonces: f(x) = cos2x - 4cosx f(x) = cos2x - 2(2)cosx + 22 - 22 f(x) = (cosx - 2)2 - 4
Clave E
6. y
&
f (x) (x) senx
8.
=
y2 1 =
Luego, la función f(x) está definida 6 x ! R , no presenta restricciones en su dominio. -1 # cosx # 1 -3 # cosx - 2 # -1 1 # (cosx - 2)2 # 9 2 -3 # (cosx - 2) - 4 # 5
1/2
y
P
O x1
/2
3π/2
π
π
2π
x
&
1
-
/
h=
P(x1; 1 ) = P(x1; senx1)
&
2
senx1 =
&
&
Clave B
=
O
x1
π
/2
π
3π/2
2π
1
g(x) senx =
Como x1 ! G0;
Además: P(x1; 1 tanx1) = P(x1; senx1) 2
1 2
tanx1 = senx1; (0 < x1 < p ) 2
senx1
2
H
&
x1 =
x
Del gráfico: P(x1; y1)
&
2
p
tanx 2
1 2
Además: P pertenece a la gráfica f(x) = senx.
Ran(f) = [-3; 5] Comparando: a = -3 / b = 5 Piden: H = a2 + b2 - ab H = (-3)2 + (5)2 - (-3)(5) ` H = 49
P
1
2
&
1 y1
-
Del gráfico: P (x1; 1 )
-3 # f(x) # 5
f(x)
h
p
6
2 cosx 1
cosx1 =
= senx1 1 2
&
x1 = p 3
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
63
Luego:
III. La función y = F(x) = cscx - 5x, es impar (V)
P(x1; y1) = P a &
p 3
c3
p = p P ; ; sen 3
k
3 2
m
3
y1 =
2
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 66) Unidad 3 Comunicación matemática
F(x) F(-x) = -F(x) ` F(x) = cscx - 5x es una función impar.
1. 2.
&
Piden: baseeh^alt altura urah ^bas
Asomb. =
2
Asomb. =
=
^2ph^y1h 11.
3
+ 2cosx]
2
3
Asomb. =
y = 3sen(4x - π) + 2
2
f(x) = 2[senx(2cos2x + 1) - 2senx][cosx(2cos 2senx][cosx(2cos2x 2x - 1)
1
-
= 2senx[2cos2x - 1]cosx[2cos2x + 1]
2
`
y 5
Clave E
2
^ phc m 2
&
F(x) = cscx - 5x F(-x) = csc(-x) - 5(-x) F(-x) = -cscx + 5x = -(cscx - 5x)
p
p
8
4
4p 8
5p 8
p
2
3p 4
x
= 2cosx(2cos2x - 1)senx(2cos2x + 1)
p
= 2cos3xsen3x
2
= sen6x
Clave C
Luego: T = 2p
9.
&
6
I. La función y = F(x) = senx + 1, tiene como dominio: R - {np / n ! Z} (F)
Razonamiento y demostración 3. T=
p
&
3 Clave B
12.
La función y = F(x) = senx + 1 no presenta restricciones dado que Dom(senx) = R Dom(F) = R II. La función y = F(x) = cosx, es creciente en el intervalo G0; pH (F)
&
y
y cosx =
&
1 /2
π
3π/2
2π
x
1 ` T
13.
&
4.
=
G(x) = cos 4 x - sen4 x ;
3
=
y = F(x) = cosx es decreciente en G0; pH.
Clave B
2
3
-
III. La función y = F(x) = cosx + 47, es par (V) F(x) = cosx + 47 F(-x) = cos(-x) + 47 = cosx + 47 F(x) = F(-x)
&
x ! 2p + 2np / x ! 4p + 2np
Luego: g(x) =
π
O
&
cosx + cos2x + cos3x ! 0 2cos2x . cosx + cos2x ! 0 cos2x(2cosx + 1) ! 0 cos2x ! 0 2x ! (2n + 1) p 2 p x ! (2n + 1) 4 2cosx + 1 ! 0 cosx ! - 1 &
&
F(x) = 2senx + 3 Dom(senx) = R Dom(F) = R Como en el dominio de F no hay restricciones: -1 # senx # 1 -2 # 2senx # 2 1 # 2senx + 3 # 5 Ran(F) = [1; 5] Piden: Dom(F) + Ran(F) = R + [1; 5] ` Dom(F) + Ran(F) = [1; 5]
2
2sen2x cos x + sen 2x
=
Por lo tanto, F(x) = cosx + 7 es una función par. Clave C
2
2
2
G(x) = cos 2 x sen2 x cos 2a x k 2 2 2 G(x) = cosx Además, la función original no presenta ninguna restricción en su dominio. Luego: -
Clave C
=
&
f(x) = AcosBx Valor máximo = 3 Valor mínimo = -3 3 - (- 3 ) Amplitud = A = A = 3 2 Luego: T = p 2p Además: T = 2p = p B = 2
y y G(x) =
1
-
π
&
B
2
1
2
B
9- p2 ; p2 C
1 4 44 4 24 4 4 4 3
p
&
d
G(x) = acos2 x + sen2 x kacos 2 x - sen2 x k
tan 2x
&
`
x
Reduciendo la regla de correspondencia:
2cos 2x cos x + cos 2x
sen2x (2 cos x + 1) cos 2x (2 cos x + 1)
2
-
/2 O
π
π
/2
π
x
Clave D
1
10.
-
I. La función función y = F(x) = cotx, tiene como dominio: R - {(2n + 1) p / n ! Z} (F) 2 La función y = F(x) = cotx tiene como dominio: R - {np / n ! Z}
14.
y = f(x) = asenbx; x ! [0; +3H x = 5p; y = a a = asenb(5p) sen(5bp) = 1 5bp = 2kp + p ; k ! Z 2 5bp = 2p + p b= 1 2 2 &
&
&
II. La función y = F(x) = secx es decreciente en los intervalos Gp ; 3p H , G 3p ; 2pH (V) 2
2
y secx
y
=
1 /2
π
π
3π/2
O 1
-
2π
Clave A
&
x = p ; y = 0,8: 0,8 = asenb a p k 3 3 0,8 = asen 1 a p k 2 3
0,8 = asen p 6
0,8 = a
x `
cm 1
2
5.
Piden el rango de la función f. f(x) =
3 2 + co cosx sx
En la función f se observa que aparece la función coseno y sabemos que está definida en R , además el denominador no afecta al dominio ya que (2 + cosx) es siempre diferente de cero para todo x ! R . Domf = R -1 # cosx # 1 1 # 2 + cosx # 3 & &
&
a = 1,6
M = 5a + 4b = 5(1,6) + 4( 1 ) = 10 2
Clave A
1 1 # #1 3 2 + cosx 1#
3 2 + cosx
#3
1 # f(x) # 3
&
Ranf = [1; 3]
`
Clave A
64
Intelectum 5.°
6.
Por dato: f(x) = senx / g(x) = cosx Además: f(x) = g(x) Entonces: senx = cosx senx = 1 tanx = 1 &
B)
G(x) = cos|x| G(-x) = cos|-x| = cos|x| G(-x) = cos|x| G(x) = G(-x) &
C)
cosx
y
D)
/2
π
C.T.
1
/4
O
E)
3π/2
4
4
Piden: x1 + x2 + x3 = 5p + 13p + 3p 6
Clave A
F(-x) = |cosx| - |senx| & F(x) = F(-x)
Piden los valores de x ! G0; 2pH. p 5p ` x = ;
14.
Vemos que: G(x) = cosx - senx no es una función par.
'4 4 1
10.
Piden: el rango de la función f. f(x) = cos2x - 2cosx f(x) = cos2x - 2cosx + 1 - 1 f(x) = (cosx - 1)2 - 1
Por dato: el punto
-
x = p / cosx = 3 Entonces: cos p = 2n - 1 &
3
y1 =
&
2 2
=
3 3
-
1 = 1 1
2n - 1 2n + 1
&
1 2
=
15.
2n - 1 2n + 1
4
Entonces para el punto P se cumple: y = cos a p k cos p -
3
n =
Del gráfico se tiene que la función y = cosx pasa por el punto Pa- p ; yk
2
4
=
4
2 2 Por lo tanto, las coordenadas del punto P serán: y = cos45° =
&
P(x; y) = P
Comunicación matemática
c- p4 ; 22 m Clave A
11. 16.
12.
4
-
2 2
y2 =
&
-
2 2
Razonamiento y demostración 13.
Piden:
c 22 m c
+ -
2 2
m
=
2 2
-
2 2
y1 + y2 = 0
`
Clave C
Resolución de problemas 9.
1
+ -
Clave A
Nivel 2 (página 66) Unidad 3 2 2
c m
y1 + y2 =
`
-
^ 1h
3
y 3 - y1 = 1 y3 + y2
`
Clave B
Para el punto P: y = y2 = sen 7p
y1 = sen315° =
2n + 1
2n + 1 = 4n - 2 3 = 2n
c4 m c4 m
&
2n - 1
3
=
2n + 1
cos60° =
Del gráfico se tiene que la función y = senx pasa por los puntos Q 3p ; y1 y P 7p ; y 2 .
y1 = sen135° =
y 3 - y1 y3 + y2
+
Clave E
&
Piden:
c p3 ; 22nn 11m = (x; y) = (x; cosx)
Ranf = [-1; 3]
4
+
Luego:
`
c m
c 3 ; 2n 1m pertenece a la
Sabemos que cualquier punto de la gráfica y = cosx tiene la forma: (x; y) = (x; cosx)
-1 # f(x) # 3
Entonces se cumple: Para el punto Q: y = y1 = sen 3p
pertenecen a la tangentoide. Entonces: y1 = tan p = 1 4 3p y2 = tan = - tan p = -1 4 4 4p p y3 = tan = tan = 3 3 3
p 2n - 1
gráfica de la función y = cosx.
-1 # cosx # 1 -2 # cosx - 1 # 0 0 # (cosx - 1)2 # 4 2 -1 # (cosx - 1) - 1 # 3
c4 m c3 m
4
Clave D
Como la función cosx no presenta restricciones en su dominio, entonces:
8.
La tangentoide en x, está representada por la regla de correspondencia: y = tanx Por dato: a p ; y1k ; 3p ; y 2 ; 4p ; y3
Clave B
7.
6
x1 + x2 + x3 = 6p
`
F(x) = |cosx| - |senx| F(-x) = |cos(-x)| - |sen(-x)| F(-x) = |(cosx)| - |(-senx)|
13p ; ... 4
4
1 2
&
G(-x) = cosx + senx & G(x) ! G(-x)
x
5π/4
Entonces: x = p ; 5p ; 9p ;
Sabemos: sen p = sen a2p + p k = 6 6 13p p x2 = 2p + = 6 6
G(x) = cosx - senx G(-x) = cos(-x) - sen(-x) G(-x) = (cosx) - (-senx)
π
2
2
&
Analizando en la C.T C.T.:.:
2
&
H(x) = sen|x| H(-x) = sen|-x| = sen|x| H(-x) = sen|x| H(x) = H(-x)
&
1
Sabemos: sen p = sen ap - p k = 6 6 x1 = p - p = 5p 6 6 5p 1 = senx2; 2p < x2 <
Para que una función sea par se debe cumplir: F(x) = F(-x) A) F(x) = |senx| F(-x) = |sen(-x)| = |-senx| F(-x) = |senx| F(x) = F(-x) &
y
y senx =
1 1/2
&
O
π
2
x1
π
3π 2
1
-
Del gráfico: 5p 2
Piden el dominio de la función f. f(x) = cosx + senx - 1 ; (k ! Z) Luego: Por la función cosx y senx; x no presenta restricciones. Por las funciones raíz cuadrada: senx - 1 $ 0 senx $ 1 ...(I) Pero: -1 # senx # 1 ...(II)
+
p= 2
2π x2
5π 2
x3
x
De (I) y (II) se deduce: senx = 1 x = p ; 5p ; 9p ; 13p ; ... &
x3 x3 = 3p &
Además: 1 p < < = senx1; x1 p 2 2
2
2
x = ^4k + 1h
&
2
p 2
;k
2
!Z
Domf = {(4k + 1) p ; k ! Z} 2
`
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3
Clave E
65
17.
Piden el dominio de la función F.
'
F = (x; y) /y
cos x
=
1 ; 0 1 x 1 2p 2
-
1
19. y
&
a = 2sen p = 2sen60° 3
&
-π
0 5π π 11 2
-π
2
π
23π 16
3π 2
2π
a = 2
&
2
-1
Analizando en la C.T. y teniendo en cuenta el intervalo dado de G0; 2pH se tiene:
En el intervalo: p p
/3
O 2π
π
x
5π 3
8
b = 2sen 7p = 2sen315°
5p 23p la función es creciente y decreciente. ; 11 16
&
3p ; 2p 2
&
O
Entonces: x !
0;
DomF =
p
`
p
C 3
C 3
0;
cosx $ 1 1/2 /2
1/2
,
3π
7π/2
4π
p p En el intervalo 5 ; 7 la función es decreciente. 2 2
20.
y = asenbx T/4 P
T/4
x
25π/4
c m= 4
4
c6
x = p 6
&
Además se cumple: f(x + T) = f(x) = y asenb(x + T) = asenbx sen(bx + bT) = senbx sen(bT + bx) = sen(2p + bx)
sen p = 6
senx =
/
5
c103p ; - 6 m . y = - 6 = asenb c p m p - 6 = asen c m
2n + 1
6
-
6 = a
2
6 3
= asen
=a
a = 2 2
4p 3
2n - 1 2n + 1
&
1 2
=
3
2n + 1
/
b=
Clave B
Intelectum 5.°
p
-
p 2
-
C
=
0
&
C
y1 = g(x1) = g a- p k 2 p senB a- - Ck = sen0 &
&
2
p
=-
2
y2 = g(x2) = g a p k 2
&
Del gráfico que se da en la pregunta, se tiene que la función y = 2sen2x pasa por los puntos
m
7p p ; a yQ ;b . 6 8
2
c2 m
P(x3; y3) = P 3p ; 0
c
0 = AsenB 3p 2
&
c m
y3 = g(x3) = g 3p
&
a- p km
2Bp = p B =
&
a k c
+
&
2
Nivel 3 (página 67) Unidad 3
P
p
P(x3; y3) = P a p + d; 0k = P a p + p; 0k
Razonamiento y demostración
2
=- -
&
22.
5
p
+
2
5 = AsenB a p - a- p kk AsenBp = 5 ...(I) 2 2
Clave B
23.
-
2
2
a= 2 2
p
a 2k 2 2 d = p + p = p d = p 2 2 Entonces se tiene los puntos: Además: d =
N(x2; y2) = N a p ; 5k
2n - 1
21.
c- m &
De la gráfica se deduce: A; B ! R + Domg = R / Rang = [-5; 5]
&
2n + 1
4π x
3π
-5
Comunicación matemática
= asen240°
2π
2
2
3
2 10 5 3
2
0 = AsenB a- p - Ck
2
10
&
2
P
π
2
2n + 1 = 4n - 2 3 = 2n 3 ` n =
La gráfica pasa por el punto P:
-
d π
M(x1; y1) = Ma- p ; 0k
2n - 1
2n - 1
sen30° =
Comparando: bT = 2p b(5p) = 2p b = 2
66
m
Entonces:
&
`
2n + 1
&
&
+
g(x) = AsenB(x − C)
&
p 2n - 1 = (x; y) = (x; senx) ;
; donde T es el período de la
&
3
2
d
M
m pertenece a la
Luego:
función. T = 5p
&
2n - 1 2n + 1
Sabemos que cualquier punto de la gráfica y = senx tiene la forma: (x; y) = (x; senx)
Del gráfico: 5
c6
Por dato: el punto p ;
gráfica de la función y = senx.
T/4
10π 3
2h =
N
5
-π
y
25p
3 +
y
Clave E
T
3 h - ^-
Clave A
1
18.
T/4
b = - 2
x
−
Clave D
O T/4 - 6
&
24.
; 53p ; 2p
,
5π/2
c- 22 m
Piden: a - b = ^ ` a - b =
1 2π
4
b = 2
la función es creciente.
1
; 53p ; 2p
a= 3
&
c m
G-p; 0H la función es decreciente y creciente. 3π 2
3 2
y = b = 2sen2 7p
π
C.T.
c m
Para el punto Q:
la función es creciente.
- ; 2 2
y π/2
y = senx
1
Luego: Por la función cosx; x no presenta restricciones. Por la función raíz cuadrada: cosx - 1 $ 0 cosx $ 1 2
Entonces se cumple: Para el punto P: y = a = 2sen2 a p k 6
Resolución de problemas
2
2
sen2Bp = senp
&
1 2
Reemplazando en (I): Asen p = 5 2 A (1) = 5 A = 5 &
&
`
A = 5; B = 1 ; C = - p 2 2 Clave A
Sea el baricentro del triángulo FGH: (x1; y1) Entonces:
25. sen se n 2x
F(x) =
; x ! [0; 2p]
2 cosx
x1 =
Simplificando la expresión: F(x) =
2 sen x cos x
= senx
2 cos x
y1 =
x + x + ^p - x h
Resolución de problemas 29. y
x1 = p + x
&
3 0 + csc x + csc x
3
&
3
2 cscx
y1 =
F(x) = senx
1
2
2
2 cscx &
2
Graficando:
2
2π
x
/2
O
&
O
y + 1 = 0
y
2
=
Además de la gráfica: 0 < x < p 2 x = p 4
1
x
El área de la región sombreada será equivalente por simetría:
cscx = 2
&
3
Sabemos: csc45° = csc p 4
y
x = 0
2
2π
3
2
=
3
3π/2
π
π
-
Pero: cosx ! 0 x ! p ; 3p &
/2
O
3
&
Por dato: y1 =
y = cosx
1
3π/2
π
π
2π
x
-1
Piden: la abscisa del baricentro.
-1
x1 = p + x x1 =
Clave E
`
3 5p
p
p+ =
4
=
3
Asomb. = (base)(altura) Asomb. = (2p)(1) = 2p 2 ` Asomb. = 2p u &
5p 12
12
Clave A
Clave A
26. y
30.
28.
1M
y cosx
y
=
y c co otx
Del enunciado:
y tanx
=
=
G(x) cotx =
y O
π
π
2
1
P 5π 2
3π 2π 2
1 y0
x
F(x) senx =
n
-
O
N
Del gráfico, las coordenadas de los puntos M, N y P serán (0; 1), (p; -1) y 5p ; 0 , 2 respectivamente.
c
π
π
2
m 3π 2
2π
O
x
π
π
2
1
-
m
Entonces: y0 = F(x0) = senx0 y0 = G(x0) = cotx0
y = tan(m) = cot(m) / y = n tan(m) = cot(m) tan2(m) = 1 |tan(m)| = 1 tan(m) = 1 o tan(m) = -1
&
Luego:
x0
x
...(1) ...(2)
&
De (1) y (2):
&
&
Como: p < m < 3p 2 tan(m) = 1
&
senx0 = cotx0 cos x 0 senx0 =
senx 0
sen2x0 = cosx0 1 - cos2x0 = cosx0 Como: x0 ! IC cosx0 > 0
tan(m) > 0
&
&
&
Sabemos: 5p 2
ATMNP =
c pm 3
-
&
-
4p
2
=
2
2
^ ph 4
=
2
ATMNP = 2p u2
`
27.
tan p = tan ap + p k = 1 4 4 p 5p & m = p + =
Luego: n = tan
y cscx =
4
&
1
m =
5p 4
1
(π - x)
c m
π
E = (
&
cos x 0
=
cos x 0 cos x 0
- cosx0 = 1
secx0 - cosx0 = 1
n = 1
Clave A
31.
- (1)csc
c m
1 5p 5
6 + 2) - ( 2)
=
Reducimos: f(x) = senx - [1 - sen2x - cos2x] f(x) = senx - [cos2x - cos2x] f(x) = senx Observando que la gráfica representa a la función f(x) = senx. Calculamos el área de la regiión sombreada por simetría: Asomb. = p|1| = p u2 &
4
E = sec 5p - csc p = sec75° - csc45° 4 12
x
La gráfica y = cscx, presenta simetría respecto a la recta x = p . 2 Luego las coordenadas del punto H serán: (p - x; cscx)
4
-
cos x 0
`
5
E = sec 1 5p
H
3
2
5p
3
G(x; cscx)
π
&
4
cos x 0 cosx 0
Piden: E = sec m - ncsc m
y
O F(x; 0)
&
4
Clave C
2
1
6
E = 6
`
Clave C Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 3 1
67
Analizamos en la CT CT::
MARATÓN MATEMÁTICA (página 69) 1. En k: k = 2sen 3a
y
k=
1 4
k
-
2
1 sec a
c
2
m
+ 1
Dom(f) = G0; pH
4
5.
9 = 8
3 (3)
=
1
-
Analizamos:
tan3x =
9 1
-
27 27
=
-
-
(3) 3
π
9 13
O
sen6x 4se senn3 x 3se senx nx sen6x sen sen se n3x
=
-
`
Clave B
2π
9.
=
-1 3 π/2
-
-
M = -2cos3x Clave A
Analizamos: 1 + senx - cos2x > 0 1 + senx - (1 - sen2x) > 0 senx + sen2x > 0 senx(1 + senx) > 0 senx ! 0 ; senx ! -1; senx > 0
c tan2q = c 2
2sen3x . cos 3x = -2cos3x sen se n3x
&
a+b # tanq b
2 tan q
sen6x (3sen x s en en3 x) 3 se nx nx -
tan2q =
a+b b
=
1 - tan q
Dom(f) = [p; 2pH
m m
tanq
#
a-b a+b
... (1)
`
Clave E
-
M=
2
x
Nos piden: M=
c m
y
Clave D
4.
-cos x - 2senx + 1 $ 0 2 - (1 - sen x)-2senx + 1 $ 0 senx(senx - 2) $ 0
De la expresión tenemos: P = 2 2 # cos15° - sen60° 2 P = 2sen45° . cos15° - sen60° P = sen(45° + 15°) + sen(45° - 15°) - sen60° P = sen60° + sen30° - sen60° = sen30° 1 ` P=
Analizamos en la CT CT::
3 (3) 2
13sen3x = 9cos3x 0 = 13sen3x - 9cos3x ` D = 0
3.
8.
2
Por teoría de funciones, obtenemos: -1 # senx # 0
Sabemos:
Clave C Clave D
c m
-
3 2
`
2 - 2 1 + 1
3 tan3x = 3 tan x ta2n x 1 3 tan x
c m cos20° - cos50°
A = 2cos30°cos20° - cos50° A = cos(30° + 20°) + cos(30° - 20°) - cos50° A = cos50° + cos10° - cos50° ` A = cos10°
x
π
Clave B
2.
A = 2
/2
sen a = -(cos2a - cosa) 2 k = cosa - cos2a k = cosa - (2cos2a - 1) k = cosa - 2cos2a + 1 1 sec a
Damos forma a la expresión:
π
#
2
k=
7.
6.
x+a+b b cot q
tan3q = 3
-1 # sen(3x) # 1 2
3 tanq - tan q 2
0 # sen (3x) # 1 0 # 2sen2(3x) # 2 1 # 2sen2(3x) + 1 # 3 1 # f(x) # 3 ` Ran(f) = [1; 3]
=
c
=
x+a+b b
1 - 3 tan q 2
3 - tan q 2
1 - 3 tan q
x+a+b b
m
#
tanq
... (2)
(1) en (2): Clave A
3-
a-b a+b
c c
m m
=
x+a+b b
x+a+b b
=
a + 2b 2b - a
x=
a 2b - a
a-b 1-3 a+b &
`
2
Clave A
68
Intelectum 5.°
Unidad 4
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 71) Unidad 4 1.
F(x) = 4arcsen
5.
&
d+n x
1
tanq = 3 q = 60°
x+1 # # 1 2
-2 # x + 1 # 2 -3 # x # 1 ` Dom(F) = [-3; 1]
Luego, del dato:
Entonces:
sec(2x - q) = 2 = sec45° 2x - q = 45° x - 60° = 45°
arcsen
&
105° 2
x =
N = sen(arcsen 3 + arccos 5 ) 5 13 Sea:
= 52°30'
a
5
arctan
Haciendo: arcsen 3 = q 3 senq = 3 3
8 α
15
b m8 l = a m 8 m 8
tana = 8 15
=
64 15
m =
` 3
α
17
8 17
& 4
3
3 5
sena =
&
=a
Además:
&
= arcsen 3 5
8 17
=a
sena =
Clave B
6.
8 17
&
Clave B
2.
Piden: m Por dato: arctan m = arcsen
b8l
&
2
Para el dominio: -1
9.
Haciendo: arctan 3 = q
Clave D
3
4 θ
= arccos 5 13
q
Luego, nos piden: E = sen2q = 2senqcosq
q
13
cosq =
5
&
5 13
sen2q = 2
12
2
E =
`
Luego: N = sen(a + q) N = senacosq + cosasenq N=
5 13
N =
15 65
N =
63 65
&
`
+
4 5
48 65
=
7.
12 13
-8
Haciendo: arctan2 = q tanq = 2
-9 7
θ
8.
1
1
#
&
d n - 1 =
1 5
- 1
=b
4
= 2b 5 12 β
26 13
<
7
1
5
2β
β
F
13
Clave D
12
Luego: arcsenx = q - b x = sen(q - b) x = senqcosb - cosqsenb &
= arctanx
x= x=
3 5
25 5
26
15 5
x =
`
11.
n - d nd 4 5
4
26
-
5
26
5 5
26
n
11 =
5
26
11 26 130
E = tan
<
m
b p2 - arc secmlF
Por dato:
d n = arctanx 1 3
x =
d nd
Clave A
J 3 1 N + K O arctan K 11 18 O = arctanx 3 1 KK 1 - $ OO L 11 18 P
`
Clave E
5 12
tan2b =
x # 1
arctan
5
3
#
&
E = - 4
5 12
5
5
arctan 1 + arctan 1 + arctan 1 8 _ 18 7 ` b b b b b a b
5 12
#
11 ` b 18 _ b b b b a b
Luego, nos piden: E = cos(2q) E = cos2q = 2cos2q - 1
`
n
arctan
3 4
arctan 5 12
1 2
•
5
Piden: x
1
10
7x + 1 8
1 2
d n
arctan -
θ
p
c m
3
θ
E = 2
-
J 1 1 N K + O arctan K 7 8 O+ arctan 1 = arctanx 18 KK 1 - 1 $ 1 OO 7 8 L P 3 + arctan 1 = arctanx arctan
&
&
d
2
E = cos(2arctan3) Sea: arctan3 = q tanq = 3
2
n
arctan
Dom(f) = - 9 ;
Clave E
1
7x + 1 8
2
4
tanq =
d
1
• arctan 3 = q
Clave C
`
5
10
3
7x + 1 # 8 -9 # 7x # 7
&
4.
Sea:
Piden: Dom(f)
-1 #
5
4
Entonces:
63 65
Luego, nos piden: E = senq 2 ` E =
arcsenx = arctan 3 -
6 3
2
f(x) = 4arccos
Clave D
3.
4
d nd n 3 3
Piden: x Por dato: arcsenx = arctan 3 +
&
d nd n + d nd n 3 5
10. 6
arctan 3 = marctan Entonces: arctan 3 = a
1 3
d 33 n = a
Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
69
tana = 3
&
&
a= p
<
`
d n
m . arctan 3 = a 3
bml
&
m
= p
α
π
=
m
6
...(2)
3m
-p
3m = 6 m = 2 &
m
p - arcsecm
2
p - arc sec 2
2
2
3.
3 2
b3l
7.
3 2
= p 3
arccos1 = 0
/
3
Piden: senq + cosq = sen p + cos p 3 3
l &
= p = 30° 6
`
4.
Piden: Ran(g)
3 2
senq + cosq =
+
3x + 1 2
n
-
p
8.
3x + 1 # 1 2
-2 # 3x + 1 # 2
&
1 3
-3 # 3x # 1 & -1 # x #
0 # 8arccos -p
4
d
4
n
3x + 1 2
8arccos
#
-p
70
3x + 1 2
d
#
q=
d n=q 2
3
3
cscq =
&
2
3
q = arcsen(02 + 1)
p 3
&
3x + 1 2
n
-
p 4
2
cosq = cos p = 0 2 ` cosq = 0
Clave E
8p
#
q = arcsen(1) & q = p
Piden:
3
n
q = arcsen(x2 + 1)
Luego:
3
b l b l
p
N O O = arctan1 OO P
De (1) y (2): x2 = 0 & x = 0
3
Luego: M=a+q= p + p 3 3 2p ` M =
Además:
d
a= p
arccsc
= 0
Sabemos: x2 $ 0 ...(1) Además por la función arcsen: -1 # x2 + 1 # 1 2 & -2 # x # 0 ...(2)
d n
Analizamos el dominio:
5 1 1 1 & n $ 6 11
Clave B
3 +1 2
senq + cosq =
M = arctan 5 + arctan 1 6 11
`
&
4
l
M = arctan1 = p 4
1 2
M = arcsec(2) + arccsc 2 3 3 Sea: arcsec(2) = a seca = 2 &
0 # arccos
arccos b
3
J 61 K 66 & M = arctan K KK 61 L 66
3
Clave C
-1 #
-
3
Como:
Clave D
d
+
J 5 1 N K + O M = arctan K 6 11 O + np KK 1 - 5 $ 1 OO L 6 11 P
p + 0 = p & q =
E = 30°
g(x) = 8arccos
l b p2
K = 2p
`
+ arccos1
`
13.
arcsen a
K = p - p = 2p
Por dato:
arcsen
E = arcsen{cos[arctan(cot30°)]} Luego: arctan(cot30°) = a rc rctan( 3 ) = p 3 Entonces:
dn
-
K = p - (arcsena + arccosb)
Sabemos:
Clave B
E = arcsen
b2
Clave E
q = arcsen
E = 3
1 2
K= p
Razonamiento y demostración
`
3
F
2.
E = -(-tan60°) = tan60° = 3
b
11p 6
6
Por dato: arcsena + arccosb = p 3 Piden: K = arccosa + arcsenb
1.
2p 3
p cos
6.
Comunicación matemática
d n = -tan120°
E = arcsen
11p 6
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 73) Unidad 4
3
E = -tan
#
Clave C
Pero: arcsec2 = p &
<
Ran(f) = - 7p ;
E = -tan(2arcsec2)
5 13
Clave B
7p 11p # f(x) # 6 6
`
E = tan(p - 2arcsec2)
12.
3
-
lF
M =
5 13
2
- 7p # 3arcsenx + p
lF
`
#
6
M = senq =
&
2
Luego: E = tan
Luego: M = sen(q)
arcsenx # p 2 2 3p 3p # 3arcsenx #
6
&
5
12
Piden: Ran(f) f(x) = p + 3arcsenx 3 Sabemos:
p = p
&
6
13
θ
Reemplazando (1) en (2):
b p3 l
4
Clave D
14.
3 3
tan α =
&
F
31p 4
Ran(g) = - p ;
...(1)
3
Clave E #
31p # g(x) # 4
Intelectum 5.°
31p 4
5.
d
M = sen arctan 5 12 5 12 5 12
Sea: arctan &
tanq =
=q
n
9.
Piden: Dom(f) f(x) = arcsenx + arcsen2x Sabemos: y = f*(x) = arcsenx Dom(f*) = [-1; 1]
Nivel 2 (página 74) Unidad 4
Además: arcsenx & -1 # x # 1 arcsen2x & -1 # 2x # 1 -1
&
2
De (a) y (b): -
<
Dom(f) = - 1 ;
1 2
2
... (b)
Además: a = barcsen
Por teoría sabemos: arcsenx x ! [-1; 1] arccosx x ! [-1; 1]
&
Entonces: /
sen a =
-1 # x - 1 # 1
a
01
0
2
-
3
2
x ! 7-
Domf = 7-
2A
2;
&
0 1 x 1 Clave A
11.
+
-1 #
x ! [-1; 1] 1-x # 1 1+x
2 - (1 + x) 1+x
-1 # -1 #
2 1+x
0#
15.
P = arccos
1
#
arccos
1+x 1 # 1 + x < +3
n
2
+ n2 m+n 2
+ n2 m+n
Clave C
d n
17. K = arccos - 1
2
K = p - arccos
4 5
d n=a 4 5
arctan
/
4 5
&
tanb =
18.
3
tan(a + b) =
1-
Intersecamos:
-3
-1
tan(a + b) = 0
1
+3
arctanx + arctan(1 - x) = arctan 4 3 Sea: arctanx = a tana = x arctan(1 - x) = b & tanb = (1 - x) &
&
tan α + tan β
Domf = [0; 1] - {1} ` Domf = [0; 1 H
=
1 - t an an α t an an β 27 20 11 20
= tanq
_ i 4 = 3 1 - x _1 - x i 3 = 4 - 4x + 4x2
&
0 = 4x2 - 4x + 1
11
0 = (2x - 1)2
d n P = arctan d n
`
4 3
x+ 1-x
27
(a + b) = arctan
&
3 5
arctan _ 3 i
+
&
3 5
3 4
1 2
Entonces: a + b = q tan(a + b) = tanq
Entonces: P = a + b Luego: tan α + tan β tan(a + b) =
1 - ta tan n α ta tan nβ
1 - x ! 0 1 ! x
dn
6
arctan 4 = q tanq =
5
+
arcsen
+
Clave B
3 5
34
3 4
1 2
6
K =
3 5
3
dn dn d nd n
dn
7p 6
`
d n=b
β
1-x ! 0 1+x
arctan _ 3 i
+
K = p + p = 7p
&
4
1+x
1 2
b3l b6l b3l
d n + arctanc m
α
d n
dn
K=p- p + p + p
3 5
3
&
arcsen
+
Por propiedad: arccos(-x) = p - arccosx
1
Debemos tomar en cuenta que en una división el divisor debe ser diferente de cero. arccos 1 - x ! 0
m-n m+n
tanq = 1
#
0 # x < +3
l l
`
5
&
n
2cx 1 1 d
2 # 2 1+x
0#
m-n m+n
-
m n
m
d c d 2c
cosa =
&
m+n
f _ ip f _ ip
Sea:
- 1 # 1
1
m n
b l b b lb
tanq =
...(b)
Clave A
arcsenx
m-n
tanb =
&
tan α - tan β
m
Para: •
n
1 + ta tan n α ta tan nβ
1+
d 0; 2c
x !
`
m+n
l
m
tana =
&
l =b
m-n
tanq =
0 1 2cx 1 d
2A
2;
1 ...(a)
& +3
b
n
a 1 1 b
2cx 11 d
0 1 2x 1 `
-1 #
arctan
m
2
De (a) y (b): 0 1 -3
m+n
b l =a
p
1
b
&
/
Intersecamos:
-3
m-n
n
arctan
tanq =
0 1 sen
0 # x2 # 2 -3 # x # 3 / - 2 # x # 2
m
Entonces: q = a - b & tanq = tan(a - b)
2cx d
b
Como: 0 1
2
&
2cx # d
a b
d
+
-3 # x # 3
2cx d
arcsen 2cx =
+
-1 # x + 2 # 1
2
b
Resolución de problemas
b l - arctan b
Sea:
13.
Razonamiento y demostración p a 1 14. Por dato: 0 1
F
Por dato: q = arctan
12.
Clave B
10.
16.
Comunicación matemática
1 2 1 1 #x # 2 2
#x #
`
...(a)
27 11
2x - 1 = 0
&
2x = 1
27 11
Clave B
x =
`
1 2
Clave E
Clave C
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
71
19.
Q = arcsen 3 + arcsen 5
Sea: arcsen 3 = q
arcsen
/
5
senq =
&
8 17
3 5
&
- arcsen 77
22.
85
8 17
arcsen 8 17
8
β 4
15
sen(q + b) = senqcosb + cosqsenb sen(q + b) =
d nd n + d nd n
sen(q + b) =
77 85
3 5
15 17
d
77 85
n
77 85
- arcsen 77
M = p + 0 + p = 2p 3 3 3 2p ` M =
85
Sabemos: arcsen(m)
&
&
24.
2
arctanx 1 p 2 2 -2p1 4arctanx 1 2p 1
1
4arctanx - p 2
1
_ a b ` b b
- 5p 2
2p - p 2
g^ x h 1 3p 2 5p ; 3p ` Ran(g) = -
21.
2
2
x =
`
72
0
x=
7p 0; 6
F< ,
1 2
x!
0; 7p 6
Piden: b Por dato:
d n arctan d n = d n= d n b= dn b
m
p = qarctan
11p ; 2p 6
&
F
E ; 116p ; 2p
n
mb
p
n
q
mb n
tan
Clave B
Sabemos: -1 # sen2x - 1 # 1 0 # sen2x # 1
Clave B
28.
y y = arcsen2x
/2
π
P
/3
π
O x1 1/2
-1/2
Del gráfico: y = p = arcsen2x1 3 p & arcsen2x1 = 3 2x1 = sen p 3 2x1 =
3 2
x1 =
3 4
`
Clave B Clave D
29.
y
Nivel 3 (página 75) Unidad 4
4π
Comunicación matemática
; como x > 0
1 2
Intelectum 5.°
f(x) Aarccos(Bx Aarccos(Bx)) =
V F; arctanx + arccotx = p/2 V V ` Tres son verdaderas.
2
-
Clave B Clave B
x
-π/2
2
25.
p q
n tan p m q
`
,
=- p
(2x + 1)(2x - 1) = 0
x = - 1
Razonamiento y demostración 27.
Para sen2x = 1 f(x) = arcsen(1 - 1) f(x) = arcsen(0) f(x) = 0 (máx.) f(x)máx. + f(x)mín. = 0 - p 2
Luego: a + q = p 2 & cosa = senq cos2a = sen2q cos2a = 1 - cos2q _ 3 xi 2 = 1 - (x)2 3x2 = 1 - x2 2 4x - 1 = 0 &
<
= tan30° Clave B
3 1 # senx # 2 2
x!
M N
m ! [-1; 1]
f(x) = - p (mín.) 2
Clave E
Por dato: x > 0 Además: arccos _ 3 x i + arccosx = p 2 Sea: arccos _ 3 x i = a & cosa = _ 3 xi arccosx = q & cosq = x
&
+
3 2
x=
&
Entonces: Para sen2x = 0 f(x) = arcsen(0 - 1) f(x) = arcsen(-1)
1
2
arccosx = p/6 cos(arccosx) = cos p/6
Clave C
Pero x ! G0; 2pH
2 Sabemos: y = f*(x) = arctanx Dom(f*) = - 3; + 3 Ran(f*) = - p ; p
2
6
Además: -1 # senx # 1
p 20. g(x) = 4arctanx -
-2p - p
6
p - arccosx + 2arccosx = 7p
-
Clave B
2
3
Entonces: - 1 # senx - 1/2 # 1
Q = 0
-p
p
Reemplazando:
`
&
3 2
M: arcsen(-x) + 2arcsenx = p/6 -arcsenx + 2arcsenx = p/6 arcsenx = p/6 sen(arcsenx) = sen(p/6) ` x = 1/2 N: arccos(-x) + 2arccosx = 7p
Resolución de problemas
85
arcsen
26.
`
Entonces: Q = q + b - arcsen 77 Q=
d n=
3
8 17
23.
q + b = arcsen
&
4 5
3
arctan 3 = p 3
3
θ
3 2
arccos 1 = 0
17
5
d n + arccos1 + a arrctan
Sabemos:
=b
senb =
M = arcsen
O
2
x
Del gráfico: B 2 0 / A 2 0 Dom(f) = [-2; 2] / Ran(f) = [0; 4p]
Reemplazando tenemos:
Sabemos: Dom(arccos): [-1; 1] &
-1 # Bx # 1 -1 # B
x
2
1 # B
<
1; 1 & Dom(f) = B B
Comparando el dominio: B = Además: Ran(arccos) = [0; p] 0 # arccos
d n 1 x 2
0 # Aarccos
&
#
F
&
1 2
p
x # Ap 2
b l
d
d n = 2 1 2
b l
&
2
L = -
`
5p 6
1 2
x 2
b l p2 2arcsen b l p 2arcsen b l + p arcsen
#
x 2 x 2
0#
33.
7p 12
12
Clave C
12
35.
0
Observamos que 100° y 300° no se encuentran en los intervalos para aplicar la propiedad respectiva, para ello buscamos los equivalentes de: 2
2π
+3
Dom(f) + Ran(f) = [0; 2]
`
Clave E
Por dato: arcsen1 + arccosx = arccos0 Sabemos: arccos0 = p 2
Tenemos: p - 3arcsenx $ 0 p # 3arcsenx p $ arcsenx 3 p $ x sen 3
b l
3 $ x 2
2
arccot(cotx) = x, si: x ! G0; pH
2p
#
Piden: Dom(f) + Ran(f)
/
Piden: q = arctan(tan100°) - arccot(cot300°)
2
#
Ran(f) = [0; 2p]
arcsen1 = p 2
Nos piden: Q = A + cosB Q = 3 + cos(p) Q = 3 - 1 = 2
5p 6
Por propiedad: arctan(tanx) = x, si: x ! - p ; p
#
&
-2
&
d n
1
-p #
31.
6
#
Además:
-3
p
Clave D
-2 # x # 2 & Dom(f) = [-2; 2]
2
Para x = -1: f(-1) = Aarccos(-1) + b = 4p A(p) + p = 4p Ap = 3p A = 3
L = -p + 5p = - 7p
x
b l +p
Para el dominio:
-p
3 2
Para x = 1: f(1) = Aarccos(1)+ B = p A(0) + B = p B=p &
3 2
L = 2 - p + 2
Clave B
x
34.
n
Reemplazando en L:
A . B = 2
2
3 2
&
`
-1 #
3 2
n = p - arccos d n = p arccos dn=
arccos -
Comparando el rango: A = 4 Piden:
f(x) = 2arcsen
d
L = 2arcsen(-1) + 1 arccos 2 Sabemos: arcsen(-1) = -arcsen(1) = - p 2 p arcsen(-1) = 2
Resolución de problemas
&
Ran(f) = [0; A p]
30.
Clave E Clave A
&
A . B = (4)
2
arccosx = 0 x = cos0 = 1 ` x = 1
&
32. &
Ahora 80° y 60° si se encuentran en los intervalos para aplicar la propiedad respectiva, entonces: q = -(80°) - (180°) + (60°) = -200° ` q = -200°
p + arccosx = p
• tan100° = tan(180° - 80°) = -tan80° & tan100° = -tan80° • cot300° = cot(360° - 60°) = -cot60° & cot300° = -cot60°
Luego: q = arctan(-tan80°) - arccot(-cot60°) q = (-arctan(tan80°))- (p - arccot(cot60°)) q = -arctan(tan80°) - p + arccot(cot60°)
arccos(-x) - arccosx $ 0 p - 2arccosx $ 0 p $ 2arccosx p
2
arccosx
$
cos p $ cos(arccosx) 2 0 $ x Intersecamos los dominios obtenidos:
-3
-1
0
3
1
+3
2
Domf = [-1; 0] Clave A
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
73
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 4.
APLICAMOS LO APRENDIDO (página 76) Unidad 4 1.
senx + cosx = 0 senx = -cosx
2sen2x - 1 = 0 2sen2x = 1 &
senx cosx
1
sen2x =
Analizando en el intervalo positivo G0; 2pH en la CT:: CT
&
2
=-
1
6 1 2
1 2 O
x &
4
x = %kp - p / k ! Z /
3
Ordenando tenemos: x = {60°; 90°; 120°} Por lo tanto, la segunda menor solución positiva es 90°.
&
Clave E
7p 4
= 315°
7.
Por lo tanto, la menor solución positiva es 135°.
3
tan a5x - p k = 2 + 12
3
tan `5x - p j = 2 +
Clave A
Clave C
3
12
Sabemos: tan75° = 2 + tan 5p = 2 + 3
sen2x - 2senx - 3 = 0
3
c m
&
12
Entonces: VP = arctan ( 3 ) = p 3
(senx - 3)(senx + 1) = 0 senx = 3 0 senx = -1
Empleando la expresión general para la tangente: xG = kp + VP; k ! Z xG = kp + p 3 x = %kp + p / k ! Z /
Como: -1 # senx # 1
Entonces: VP = arctan (2 + 3 ) = 5p
Entonces, en senx = 3 no existe solución en los R . Luego: senx = -1
Usando la expresión general para la tangente: xG = kp + VP; k ! Z
Analizando los valores en la CT CT::
&
&
xG = kp + 5p
y
3
&
O
&
x
3
k = 1 x = &
3
= 240° " G0°; 180°H
x = 60° x =
&
sen2q + senq = cos2q sen2q + senq = 1 - sen2q
x =
&
1 2
0
'
3p 7p 11p ; ; ; ... 2 2 2
p
1
x
'p
=
12
k 5
k
=
kp +
p
+
10
Piden: x1 + x2 = p
%^4k + 3h 2 / k ! / Z
Para: k = 0 x = &
senq = -1
3p 2
10
2
&
= 270°
8.
Por lo tanto, la menor solución positiva es 270°. Clave D
10
+
10
3p 10
=
4p 10
5
2tan2xsenx = 0 tan2x = 0 0 senx = 0 Entonces: tan2x = 0 VP = 0 Usando la expresión general para la tangente: xG = kp + VP; k ! Z xG = kp + (0) &
&
6.
De (I): q no puede ser agudo. ` q = 150°
(cos2q +
1 2
cos2q =
&
Clave E
Intelectum 5.°
1
&
2
q = 30° 0 q = 150°
Z
Clave B
&
1
12
x1 + x2 = 2p
`
Para: k = 1 x = 7p = 630° &
5p
/ k !
&
&
Por dato: 90° # q # 180° ... (I) Si: senq = -1 q = 270° (no cumple (I))
74
-
Para: k = 1 x2 = 3p
Evaluando: Para: k = -1 x = - p = -90° 2
Entonces: 2sen2q + senq - 1 = 0 (2senq - 1)(senq + 1) = 0
Si: senq =
a5x
&
Clave C
senq =
p
Luego, para obtener las soluciones positivas evaluamos: Para: k = 0 x1 = p
3π 7π 11π ... ; ; ; 2 2 2
`
&
12
CT
k = 0 & x = p = 60° ! G0°; 180°H 4p
12
12
3
&
arctan (2 + 3 ) = 5p
&
&
Evaluando: k = -1 x = - 2p = -120° " G0°; 180°H
3.
3
4
Para: k = 2 x =
5.
cos2θ
=
3
12
tanx = 3 ; x ! G0°; 180°H
1 2
p = & q = 60° 0 q = 2p = 120°
Para: k = 1 x = 3p = 135° &
CT
3
4
12
12
x
Entonces: q = p = 90° 2 Además: 2q = 2p 0 2q = 4p
&
Piden: la solución principal, que es el menor valor positivo que satisface la ecuación. p = ` x = 15°
2.
-
Evaluando: Para: k = 0 x = - p = -45° 4
En el intervalo de G0; 2pH se tiene: 0 2x = p 2x = 5p 6 6 5p p 0 x = x=
=
4π 3
&
CT
&
p
Usando la expresión general para la tangente: xG = kp + VP; k ! Z xG = kp + a- p k 4
π
1 senθ
O
Entonces: VP = arctan(-1) = -
5π 6
2
tanx = -1
Analizando los valores en la CT CT:: y
π
y 2π 3
)(senq - 1) = 0 -1 2
0
2x = kp x = kp &
senq = 1 &
x =
'
kp / k ! 2
2
Z
1
...(I)
Luego: senx = 0 VP = 0 Usando la expresión general para el seno: xG = kp + (-1)kVP; k ! Z xG = kp + (-1)k(0)
Evaluando: Para: k = -1 x = - 3p
&
&
&
&
&
Además p y 5p son diferentes de p . 2 4 4 p 5p ` x = 0 x= 4
Clave B
9.
2cos2x - cosx - 1 = 0 (2cosx + 1)(cosx - 1) = 0 cosx = - 1 0 cosx = 1 &
senx -
2
Entonces: cosx = - 1 2
Clave A
1 senx 2
sen x &
VP = arccos
c m 1
-
2
=
2p
2
1
cos x =
2
cos x senx
-
; x ! kp ; k ! Z
...(I)
1
12.
Por lo tanto 2x = 7p
sen x
x=
cosx
3
Piden: 7p +
Clave E
tanxtanz + tanytanz + tan2z
=
tan2z
=
tan2z
=
18
=
9
3
+
&
2
2 cos x
senx -
2
2sen x 1 2 cos x senx cosx co sx
=
=
0 1 2senx
=1
tanx = 1 Entonces: VP = arctan(1) = p 4 Usando la expresión general para la tangente: xG = kp + VP; k ! Z xG = kp + p 4 = + x {kp p / k ! Z} 4 &
&
+
x=
6
11p 12
= 3p 2
PRACTIQUEMOS Nivel 1 (página 78) Unidad 4
2.
9
+
Razonamiento y demostración
tanxtanztanytanz 3.
(3)
tan z
#
( 6)
senx =
tanz = 3
xG = kp + (-1)k arcsen
3
b
&
Para: k = 0 x = &
b senb sen2b = cosb cos
c
!
G
!
!
3
= 60°
&
3
Luego, las dos primeras soluciones positivas son: 60° y 120°. 60° + 120° = 180° &
m
-1
2
cc VP = arccos c x = 2kp arccos c x = 2kp arccos c VP = arccos
3
p
Para: k = 1 x = 2p = 120°
1 - cos2b = cosb cos2b + cosb - 1 = 0 cosb = !
;k!Z
&
tan = cscb - senb 2 cscb - cotb = cscb - senb senb = cotb
5
3 2
xG = kp + (-1)k p ; k ! Z 3 Evaluando: Para: k = -1 x = - 4p = -240°
Clave C
senb =
3 2
Empleando la expresión general para el seno: xG = kp + (-1)k VP; k ! Z
&
13.
Piden, la suma de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación:
&
Luego en (I): 3tanx = 3 tanx = 1 x = 45° x = tan15° = 2 - 3 ` tan
0
Por dato: 0 < x < 2p 2x ! p / 2x ! 0 x ! p / x ! 0 2 Luego, empleando las identidades del ángulo doble:
6
2
Se debe tener en cuenta: 1 + cos2x ! 0 / 1 - cos2x ! 0 cos2x ! -1 / cos2x ! 1
cos x
0
11p
2x =
1.
Si: x + y + z = p tanx + tany + tanz = tanxtanytanz
Clave A
1 - cos 2x
12
0
Clave A
'4 4 1
3
1 + cos 2x
12
0 # 2x # 2p
Multiplicando por tanz
La solución de la ecuación será: (I) , (II) 2p ` x = {2kp ! } , {2kp}; k ! Z
=
7p
11p
12
&
&
senx
&
Comunicación matemática
Usando la expresión general para el coseno: xG = 2kp ! VP; k ! Z xG = 2kp ! (0) x = {2kp / k ! Z} ...(II)
-
0 / cos 2x ! 0
2
Luego. 0 # x # p
x = p ; 5p
`
cos 2x ! 0
sen2x = - 1
2
=
/
(1 + sen6x)
&
2
&
cos x
sen se n2x
2
cos x = sen x cosx = senx tanx = 1
Luego: cosx = 1 VP = arccos(1) = 0
10.
cos2x
cos6x =
cos2x = 0 0 sen2x = - 1; sen2x !
cosx
3
3
3
1 cosx
= cosx -
m
1 ; sen2x ! 0 sen2x
6
3
x = {2kp ! 2p / k ! Z}
-
senx
Usando la expresión general para el coseno: xG = 2kp ! VP; k ! Z xG = 2kp ! 2p &
4
senx - cscx = cosx - secx
11.
1 cos 2x
sen2xcos6x = cos2x + sen6xcos2x sen6xcos2x - sen2xcos6x + cos2x = 0 sen(6x - 2x) + cos2x = 0 sen4x + cos2x = 0 2sen2xcos2x + cos2x = 0 cos2x(2sen2x + 1) = 0
" G0; 2pH
4
cos6x = 1 + sen6x c
4
Para: k = 2 x = 9p
...(II)
1
2
4
&
La solución de la ecuación será: (I) + (II) kp ` x = / k ! Z
'
" G0; 2pH
Para: k = 0 x = p ! G0; 2pH 4 5p ! G0; 2pH Para: k = 1 x =
&
x = kp x = {kp / k ! Z}
14.
!
Clave B
4.
mm - m - m - m -1
5
2 5
1
2
5
1
2
5
1
Piden, la suma de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación: senx = - 2 2 Empleando la expresión general para el seno: xG = kp + (-1)kVP; k ! Z xG = kp + (-1)karcsen - 2 ; k ! Z 2
c
2
m
Clave B
TRIGONOMETRÍA - SOLUCIONARIO UNIDAD 4
75
