Ejercicio 6. Pagina 26 Dado el campo vectorial, G = 2x2 y x ˆ 2(z 2(z x)ˆy + 3xyz zˆ . Dibuje las graficas de G de G x ,Gy , G z , todas evaluadas a lo largo de la linea x = x = 2 , y = 1 , para 0 z 10.
− −
≤≤
−
Ejercicio 5. Pagina 54
En el espacio libre se encuentra Q1 =10 nC localizada en P 1 (0,-4,0) y Q2 =20 nC localizada en P 2 (0,0,4).a) (0,0,4).a) Determine E en el origen. b). b). ¿Donde deberia situarse una carga puntual de 30 nC, de modo queE que E=0 en el origen? dq R 1 =( Sabemos que: E =( )( ) 4π0 R3 Calculamos el vector posicion para Q1 R 1 = r = r r R1 = 0 ( 4y) R 1 = 4y Sacamos la magnitud del vector R 1 = 4 R13 = 64
− −−
Calculamos el vector posicion para Q2 R 2 = r = r r R 2 = 0 ( 4z ) R 2 = 4z R2 = 4 R23 = 64
− −−
Como es cargas puntuales la integral de campo electrico se desaparece y se convierte en una sumatoria de cargas
1.) Se calcula primero para la carga Q1 vale 10 nC 1 y 4 =( E =( )( 10nC ) 64 4π0 5nC y =( E =( ) 32 32π π0 2.)Ahora se procede para la carga Q2 que vale 20nC
1
1 z 4 =( E =( )( 20nC ) 64 4π0 5nC z =( E =( ) 21 21π π0 5nC y 5nC z T E )+( ) T =( 21 21π π0 32 32π π 0 dq R 1 T Para encontrar los puntos utilizamos que el valor de E )( ) T =( 4π0 R3 Como es carga puntual la integral se va y queda como una sumatoria de cargas . 5nC y 5nC y T E )+( ) T =( 21 21π π0 32 32π π 0 1 5nC y 5nC y R ( )( Q )+( ) R )=( 4π 0 21 21π π 0 32 32π π0 3
15
5y 15R 5z =( ) + ( ) 3 2R 21 32
R 10 10 y 10 10 z = + 3 R 315 480
Ejercicio 25. Pagina 56 Una linea de carga con ρ l =50 nC/m , est´a situada a lo largo de la linea x linea x = 2 , y = 5, en el espacio libre. a) Encuentre E en P(1,3,-4). b) Si la superficie x=4 contiene una densidad superficial de carga uniforme ρ s = 18 nC/m nC/m2 , ¿ En qu´e punto del plano z=0 da el Etotal = 0 a) Encontramos el vector posicion = r R = r r R = 2x + y + yy 1x 3y + 4 4 z R = = x + (y ( y 3) 3)y + 4 4 z
−
ρl =
− − −
Q dL
dq = ρ = ρ l dy dq R 1 =( E =( )( ) 4π0 R3 ρl (x + (y 1 (y 3) 3)y + 4 4 z ) =( E =( )( ) 4π0 (17 + (y (y 3)2 )
− −
3 2
2
5 ρl dyx =( E =( )( 0 4π0 (17 + (y (y 3)2 )
−
3 2
+
5 0
(y
− 3) 3)y (17 + (y (y − 3) ) 2
3 2
+
5 0
4dyz (17 + (y (y
Resolviendo las integrales ya sea por tablas queda:
2
− 3) )
3 2
1 2 3 1 1 8 12 =( E =( ) [( + )x + ( + )y + ( + )] 4π0 17 21 17 26 21 26 17 21 26
√
√ −
√
√
√
√
b) x b) x = 4 ρs = 18 nC/m nC/m2 Calculamos el campo electrico dq R 1 =( E =( )( ) 4π0 R3 Calculamos el vector posicion R 1 = r = r r Notamos que nos dice en Z = 0 por ende: R 1 = 0 xx yy Nuestro campo electrico quedaria: ρs ( xx + ( y )y ) 1 =( E =( )( ) 4π0 ((x ((x)2 + (y (y )2 )
− − −
−
−
3 2
Como observamos el campo electrico es 0 cuando x = 0 , y = 0 debido a que X y Y son funciones impares en la integral.
Ejercicio 24. Pagina 86 Sea D Sea D = = (10r (10r2 + 5e r )ρˆ C/m C/m2 . Encontrar ρ Encontrar ρv como funcion de r de r * b). b). Encontrar la carga total en el interior de una esfera de radio a centrada a centrada en el origen. −
a.) ρ a.) ρ v =
∇∗D 2
2
)(10r + 5e 5e ∇ ∗ D = r1 ∂ (r )(10r ∂r
r
−
)
2
∇ ∗ D = r1 [40r [40r
3
+ 5e 5e
r
(2r (2r
− r )]
3
+ 5e 5e
r
r(2
− r)]
2
∇ ∗ D = r1 [40r [40r 2
r
−
ρv = 40r 40 r +
b.) ρ b.) ρ v =
5e 5 e
−
−
(2 r
2
− r)
Q V
Q = ρ = ρv dV 5e 5 e
r
−
Q = (40r (40r +
(2 r
− r) )(r )(r
2
sin θdrdθdγ )
3
Q =
5e 5 e
2 π a 0
r
−
Q = 40r 40 r3 sin θdrdθdγ + + π
(2 r
− r) sin θdrdθdγ
0
2 π a 5e r (2 − r ) −
(40r (40 r3 sin θdrdθdγ ) + 0
Q = 40 40πa πa4 + 20π 20π( 2Ei( Ei ( r)
−
− −e
r
−
0
π
0
( 0
r
sin θdr
)
Ejercicio 12. Pagina 123 Una l´ amina uniformemente cargada , ρ s 1=50 amina 1=500 C/m C/m2 , se localiza en z en z = 1.5m 2 E , en tanto ρs 2=50 2=500 C/m C/m esta en z = 0.5m a). Encuentre en cualquier punto b). Encuentre b). Encuentre y grafique V(z) como V(z) como una funcion de z para 0.5 z 1.5 si V si V =0 en z en z = 0.5m. c). Repita lo anterior para V para V = = 0 en z en z = 0m
−
−
− ≤ ≤
Para Para poder calcul calcular ar el campo campo electr electrico ico utiliz utilizamo amoss la formu formula la de la Ley de Gauss: Qen = E da 0
∗
Como son planos infinitos utilizamos con area gaussiana un cilindro con ρ con ρ infinito entonces como son tres areas las de considerar 1) La de la tapa superior 2) La de la tapa inferior 3) La del contorno.
Qen 2 da2 E 3 da3 = E 1 da1 + E 0
∗
∗
∗
Como Como los planos planos estan estan paralel paralelos os al plano plano ”xy”podem ”xy”podemos os saber saber que no se encontrara campo electrico en el contorno y ese campo electrico sera 0 para las tapas si abra campo electrico y se observa hay dos campos electricos electricos E 1 yE 2 se procede a calcularlos :
Qen = Eda + Eda + E da 0 ρs da = 2 Eda 0 Como son la mism Como misma a area area se proce procede de a canc cancel elar arla la y el campo campo elec elec-trico queda: ρs = 2E 2 E 0 ρs E = = 2 0 ahora el campo E 1 yE 2 es igual a : E 1 =
ρs 1 z 2 0 4
E 2 =
ρs 2 z 2 0
Ahora el campo electrico en la region E T T = E T T
−E − E −50 50 50 50 = + 1
−0.5 ≤ z ≤ 1.5
2
0
2 0
0
2 0
E T T = 0 Ahora el campo electrico en la region z > 1. 1 .5 E T T = E 1 E T T =
− E
2
50 500 50 50 0 + 20 2 0
E T T = 50 Ahora el campo electrico en la region z<
−0.5
E T T = E 1
− E
2
−50 50 50 50 − 2 2 = −50 0
E T T =
0
E T T
0
0
b.) Para hallar el potencial electrico dado queV que V = 0enZ = = 0.5 entonces tenemos que asumir solo el potencial en z = 1.5 el campo electrico seria en ese caso.
−
ρs 1 z 2 0 50 500 E 1 = 2 0 E 1 =
E 1 = 25 25z Aplica Aplicando ndo deriv derivada ada parcia parciales les al potenci potencial al encon encontra tramos mos lo que es el campo electrico asi que nosotros procederemos a hacer a lo inverso es decir antiderivando con respecto a Z. E 1 = 25dz 25 dz
5
V 1 = 25 25zz Se nos pide graficar desde
−0.5 ≤ z ≤ 1.5
Figura 1: GRAFICA Ahora cuando V cuando V = 0 en z en z = 0 tenemos potencial para z para z = = 1.5 y z y z = 0.5 entonces entonces procedemos procedemos a calcular calcular lo mismo que el anterior anterior paso solo que ahora incluimos el E 2 pero si observamos nos pide el calculo en la region 0.5 z 1.5 debido a que calculamos que el campo electrico en esa parte era 0 entonces podemos decir que el Potencial en esa zona es 0.
−
− ≤ ≤
Ejercicio 30 Pagina 176 Un cable coaxial con a con a = = 1mm y mm y b = b = 5mm tiene mm tiene un dielectrico de tefl´on on ( v´ease ea se el ap´endice endice C). Si Eρ = 80 80/ρV/m /ρV/m despr desprecie ecie cualquier cualqui er p´ erdida erdida en el diel´ectrico ectrico y suponga 4 109 moleculas/m3 en el tefl´on on , encuentre a). encuentre a). E, E, D, P y p como p como funciones de ρ de ρ;; b). R , χ e y V ab ab = 0
×
La constante dialectrica del teflon es 2.1 E = =
P
0 (r 1) P = E E 0 (r 1)
− −
6
(80)(8. (80)(8.85 85x x10 12 )(2. )(2.1 ρ nC nC ρ P = 7.788 788x x10 10 2 ρ Calculamos D −
P =
− 1)
−
D = = 0 E + P + P (8. (8.85 85x x10 D = ρ
−12
(80)
−10
+ 7. 7.788 788x x10
Calculamos el Potencial electrico 1 80 80dρ dρ V ab ( 5 ab = ρ V ab 80ln ln(5) (5) ab = 80 V ab 128.75 75V V ab = 128.
−
Calculamos χe χe = = r 1 χe = 2.1 1.1 χe = 1.1
− −
7
