Álgebra 4 Act. - Intelectum

Álgebra Actividades Cuarto grado de Secundaria

Editorial

ÁLGEBRA LIBRO DE DE ACTIVIDADES ACTIVIDADES CUARTO GRADO DE SECUNDARIA COLECCIÓN INTELECTUM EVOLUCIÓN

©

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder G amarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográco:

Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Grácos e Ilustraciones:

Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.º 2013-12002 ISBN: 978-612-313-058-9 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300690 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av.. Garcilaso de la Vega Av Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail : [email protected] Impresión: Editorial San Marcos, de Aníbal Jesús Paredes Galván Av.. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, Av Mangomarca, Lima, S.J.L. RUC 10090984344

La COLECCIÓN INTELECTUM EVOLUCIÓN para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la COLECCIÓN INTELECTUM EVOLUCIÓN se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modicada por la Ley

N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.

Contenido Temas

Páginas

Teoría de exponentes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

6 8

Polinomios Aplicamos lo aprendido Practiquemos

PRIMERA UNIDAD

10 12

Productos notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

16 18

Cocientes notables Aplicamos lo aprendido Practiquemos

21 23

Factorización Aplicamos lo aprendido Practiquemos

26 28

Maratón matemática MCD y MCM - Fracciones algebraicas

30

Aplicamos lo aprendido Practiquemos

33 35

Potenciación

SEGUNDA UNIDAD


39 41

Radicación - Racionalizació Racionalización n Aplicamos lo aprendido Practiquemos

43 45

Números complejos Aplicamos lo aprendido Practiquemos

48 50

Maratón matemática Ecuaciones de primer grado - Planteo de ecuaciones

52


55 57

Matrices y determinan determinantes tes Aplicamos lo aprendido Practiquemos

TERCERA UNIDAD

59 61

Sistema de ecuaciones lineales Aplicamos lo aprendido Practiquemos

64 66

Ecuaciones de segundo grado - Planteo de ecuaciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

69 71

Ecuaciones de grado superior Aplicamos lo aprendido Practiquemos

74 76

Maratón matemática Inecuaciones

79


82 84

Funciones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

87 89

Límites

CUARTA UNIDAD


93 95

Derivadas Aplicamos lo aprendido Practiquemos

98 100

Sucesiones - Progresiones Aplicamos lo aprendido Practiquemos

102 104

Maratón matemática Sudoku

107 108

Unidad 1

Recuerda Métodos integrales Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración denida. El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con innitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes innitesimales. Sin embargo, fue en su obra Nueva esteriometría de toneles de vino... donde expuso su método de utilización de magnitudes innitesimales y los fundamentos para la suma de estos. La mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las guras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las guras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración denida en forma de cuadraturas geométricas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver. Las ideas que incluyen elementos de integración denida abarcan hacia los años 60 del siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas. Era necesario solo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.

Reflexiona • La voluntad humana es asombrosa. Una y otra vez se ha impuesto sobre adversidades increíbles. • El poder se adquiere aprendiendo a usar ese gran don en las decisiones que tomamos día tras día. • La integridad es el valor que nos asignamos a nosotros mismos. Es nuestra capacidad para comprometernos a mantener los compromisos con nosotros mismos, de “hacer lo que decimos”.

¡ Razona...! En la gura, el sólido que está formado por 7 cubos iguales pegados entre sí se sumerge completamente en un recipiente con pintura. Luego de secar y despegar, ¿cuántas caras pintadas hay más que las no pintadas?

A) 13

B) 16

C) 14

D) 29

E) 10

A p l ica m o s lo ap r en d ido TEMA 1: 1

TEORÍA DE EXPONENTES

Reduce: R

=

2

2

x+5

2

.2

x+8

A

2x + 12

A) 1 D) 8 3

B) 2 E) 32

Si: A = 54 x . 5x -

2

; B = 53x - 1 . 52 - 3x;

-

5

B) 35 E) 1

C) 25

Simplifica: M

6

4

n+1

=

2

. 4

n

16 . ^2

+

-n + 2

8

=

.5

x+3

B) 5 E)

-1

20.5

A) 11 D) 16 6

-2n + 1

5

3x + 15

2x + 10

C) 125 5

Efectúa: S

A) 5 D) 125

5

=

A) 25 D) 1

C) 4

A B

halla:

Efectúa:

+

-2

16.2

+

32.4

-1

B) 10 E) 8

C) 9

Efectúa: M = ab2a2b3a3b4a4b5a5b6

-3

h

A) 4,5

B) 3,5

D)

E)

3

Intelectum 4.°

2

C) 2,5

A) a14b19

B) a15b21

D) a13b20

E) a12b21

C) a15b20

7

a+b

Si x

a

ax , calcula: -

=

A) 0 D) a2 9

x

8

=

4 10

C) a

^5 h

10 +

2 10

^7 h

-

8 5

^5 h

-

5 4

^7 h

C) 343

A

=

^7 h

12 -

^7 h

+

9

A) 780 D) 27

2

^

+ -3

4

h

B) 163 E) 36

+

1

halla: M =

A) 1 D) 4

14 a

5 /2

=

^23h4 - ^26h2 + ^32h2 - 92 + 50

= 3

2

15

C) 3

C) 16

2

7

2

4

+

2

5

+

2

2

B) 2 E) 5

C) 3

Simplifica:

4

B) 2 E) 5

B) 1 E) 18

Calcula:

4 .3

b

C) 15

Calcula:

.b

a .

1 -y

yx

E) 10

10/3

3

+

B) 1

A) 1 D) 4

Si: ab = 1

1

D) 17

A

C) 81

+

A) -1

A) 0 D) 15

Calcula: 16 5

2

A

B) 1 E) 0

4 20

Si: x y = 1

yx = - 3 x halla el valor de: E = xy

B) 1 E) -a

A) 2 D) 81

13

x

b 2a 2x

`x j

Efectúa: E

11

b

3

2

+

+

2

8 .6

2

2

2. 15

A)

3 4

B)

4 5

D)

6 7

E)

7 8

C)

5 6

B . 4 1

B . 2 1

B . 0 1

D . 8

C . 6

D . 4

A . 2

A . 3 1

B . 1 1

E . 9

C . 7

A . 5

A . 3

B . 1

s e v a l C

ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 1

7

Practiquemos Nivel 1

iv) Se observa que: La respuesta de mayor valor la obtuvo la alumna:

Comunicación matemática

La maestra de matemática deja como tarea los siguientes ejercicios para: Eminorie, Daysi y Karina, respectivamente: 1.

E

2.

El resultado de Eminorie más el doble del resultado de Daysi y más el triple del resultado de Karina es:

=

x-1

h + 5 ^2 x + 2 h - 2 x + 4 x+5 x+3 h - 15^2xh 2 - 2^ 2

Halla el valor numérico de: D ( x; y) = x

Razonamiento y demostración

c yx 11 m yc yx 11 m +

+

+

+

1 -2-

Para: x = 164

4.

+

; y = 2

-

E

3.

El proceso de solución de las alumnas es como sigue: 5. i) Para Eminorie: x Tomamos como factor común: 2 E

E

2

x

^6.2 x 2 ^2

=

+

=

+

5 .2

-2

-

2.2

- 15

h

A) -2 D) 1

h

=

-

15

6.

7

K

2

-

16

16

1

=

xy =

=

.

&

=

=

7.

=

Luego: x

D(x; y) = x ++1 =

1+x

=

+

iii) Para Karina: K

+

x

=

=

E)

=

-2

;c m 3 2

+

14 9

x

x

C) xx

x

1 x

x

Determina la tabla de verdad:

c

1 25

2

+

1 -2 -

c mm 5 2

=

5

2 09 27

82

=


C) 4 14.

3

C)

6 13

D) x10y11

E) (xy)10

Calcula: E =

A) 7 D) 7x

15.

C) 3 16.

D) 3

E) 1

3

+

3

x

B) 7 x E) 7x

C) 7x

-

1

3

4 0

5

+

6

A) 80

B) 125

D) 25

E) 5

C) 27

Reduce: =

x

2x

x

c m c m c m 2 3

.

4 9

-

.

8 27

C) x11y10 A) 1 D) 4 17.

B) 2 E) 5

C) 3

Si: M = 22 - x . 23 - x . 22x - 4

â4ha

B) 27

-

x

x+1

Calcula: L = 52

M

â5ha

A) 9

x+2

-

E

B) x10y9

Simplifica: 21

-1 -3

0 5

A) x9y10

D(x, y) =

7 12 1 2

B) 4 E) 1

Si: aa = 3

`

N = 26x + 2 . 22 - 4x . 2 - 7 - 2x

C) 8

halla: M N

Resolución de problemas

3

2

9.

n

2

n

4

-

` K =

Intelectum 4.°

A) 2 D) 4

De la expresión: E

Reemplazamos: xx = 2 K=

E)

13. 3

Efectúa: R = x3y2x4y3x2y2xy3

3 x 2 x

B)

8.

y+1

_i d n _i d n x

=

+y y+1

+

5 12 2 5

A) 0 D) 2

1

=

-

-

Efectúa:

ii) Para Daysi:

y = 2

D) x3

x

x


12.

16

B) 5 E) 2

=

A)

` E =

x = 16

3

Halla: 2M + N 1 Si: M 64 2 y N = 27

D)

-

-

4- 2

B)

1 x 1+x +

h

^x2h

8

3

Si: xx = 2 x ^ 3h Calcula: K = x x

x .

A) x2

16

3

1+x

1+x

Nivel 2

16

=

x

=

5 1 4 2 3 3 2 4 13 10 11. x y- . x y- . x y- . x y- = x y-

Indica el valor aproximado de:

2

Efectúa: M

Hay 2 resultados iguales y estas corresponden a las alumnas: y

Reduce: 6^ 2

10.

=

-

n

4

n

2

a

18.

d n -

B) 99 E) 102

-

198

C) 100

C) 3

Efectúa:

-

determina el valor de a tal que: E = n A) 98 D) 101

B) 1 E) 16

N

=

A) 2 D) 76

7

4n + 19

3n - 1

7

n + 20

.7

B) 7 E) 1

C) 49

1

19.

Efectúa: A=

Sacando factor común: 1+5

9

-1

1 + 125

A) 1 D) 4

3

+

5

6

-2

125

+

5

+

9

+

A

-3

125

B) 2 E) 5

3

P

8^y

3h

=

A) -2 D) 4

-

3 ^ 2h4

3

A = 35

;y ! 0 25.

C) -3

x2 xx

x x2x

^x h `x calcula: M Luego no es correcto:

j

-

•

y

3

+3

+3

B) -1 # M # 1

C) 0,5 # M # 2,5

D) 0 # M # 1,5 2n n

f p n

=

1 n n

A) 1

B)

D) nn - 1

E) n

-

-

2

x

3

7 .8 . 4 2

4n + 7

2n + 1 n

26.

n

n n

Reduce:

2

2

a

3m m

a

a

+

C) n2

27.

+

a

29.

=

x

x

A

=

3

x-1

+

3

x-2

3

x+3

+

3

x-3

+

3

x+4

2

x

+

+

3

x-4

2 x+x

x + 1

3

x

1

3 . 3

=

a

2m

1

+

+

33.

-m

a

C) am

, será: C)

3

x

x2

E) 3.2x x

.

3x

5 7

-

.

125 49

x

C) 1

4 4

x. x:

3 3

x. x:

B) x

D) x3

E)

x x

2 2

4

1 x

1 16 4

2

A) -1 D) 2

B) 0 E) 3

C) x3

B) 308 años D) 310 años

Los instrumentos en la gran mayoría de los aviones que permiten determinar la presión atmosférica P a una determinada altitud H (metros, m) lo hacen mediante el siguiente modelo matemático que relaciona la presión atmosférica P al nivel del mar con la temperatura del aire T (grados Celsius, ºC): P

Po

=

H 30T + 8000

Sea la presión atmosférica al nivel del mar 75,87 cm de mercurio. Si la presión atmosférica a una determinada altitud es 2,81 cm de mercurio, la temperatura es de -5ºC. Determina la altitud que marcará el instrumento. B) 23 500 m D) 20 000 m

C) x2

Indica el exponente final de 2 luego de reducir: 3

x

5 x -` x x j

El modelo para calcular la masa de un elemento radioactivo luego de un tiempo determinado es: m(t) = mo . ekt ...(i) donde: mo : masa inicial (gramos, g) m(t) : masa luego de un tiempo t (gramos, g) t: tiempo (años) e: número neperiano La “vida media” del polonio ^209 Poh es 103 años. Determina el tiempo en que la masa final será la octava parte de la masa inicial.

A) 23 000 m C) 23 550 m E) 40 000 m

H44 3

x

`x j E B) x E) xx

3

B) 0 E) 3

A) 1

x

3 3

1

3m

Simplifica:

Tener en cuenta que: 3x - 1 = 3x . 3-1 =

a

:

B) 6x

**> 30.

+

m

a

c mc m c m


Completa los recuadros en blanco, en la secuencia de solución siguiente: De la expresión:

+

B) 1 E) a2m

A) -1 D) 2

C)70días

2m

x

A) 307 años C) 309 años E) 311 años

Si: xx = 2; el equivalente de: S

1

+

+

2

-m

A) 0 D) a-m

Nivel 3

x+2

^32h2


-

B) 30 días E) 150 días

3

-

^120h3

=

+

+

.64 - 16

;

x x5x

Resolución de problemas 32.

+

3

=

=

x +1

A) x2 D) 5x

-

+

x+1

i

+3

+3

-

A) 81 La reproducción exponencial de insectos 2 está dado por el modelo matemático: D) 21 x Rt = 350(7)0,03t 28. Reduce: donde : t es el tiempo (días). 49 N Calcula los días en donde la reproducción 343 de dichos insectos es: 120 050

3

3

` A =

2

determina el exponente de x.

24.

3

2.3 .3.4 .4.5 .5. 6

A) 1 # M # 2

A) 20 días D) 100 días

+

Simplifica: R

• 27(3 3) + 9(3 2) + 3(3 1) 27(3 3) + 9(3 2) + 3(31)

x

23.

1

Escribe > o < según corresponda en:

Siendo: x + y = 2

De la expresión: E

+

3

&

E) -1 # M # 0 22.

+3

1

-

B) 2 E) 5

=

+

3

3

+

1

_1 + 3

4

3 .

A =

4

B

3

+

1

-

y^ y 3 h y -

21.

2

3

h o

Multiplicando por 34 al numerador y deno minador, luego sacando factor común 3 dentro del paréntesis en el numerador:

Indica el exponente final de y, luego de reducir: -

x

C) 3


3

=

^ e

x

31.

C) 1

17. E 25. Nivel 1 9. C 10. B 18. E 26. C 1. 27. E 2. Nivel 2 19. E 20. 28. C A 3. 11. 21. 29. C E 4. E 12. 22. 30. A D 5. B 13. 23. D 31. B 6. D 14. D 7. E 15. D Nivel 3 32. C 33. C 8. D 24. 16. A


9


Polinomios

Sea el polinomio P(a;b) = 7a4 - 7a2 b2 + b4 Obtén un polinomio S(a;b) que sumado a P(a;b) resulte un polinomio homogéneo y completo, que cumpla: S(2;1) + P(2;1) = 125 y S(1;3) + P(1;3) = 250

A) a3b + 2ab3 C) 8a3b + 7ab3 E) a3b + ab3

3

Establecemos: A_A_ A _A_x i)) i = 16x + 45 Calcula: B =

B) 5a3b + 8ab3 D) 3a3b + 8ab3

4

10

D) 7

E) 9 -

B)

1 7

E)

85 7

A) 1 D) 4

C) 5

El grado absoluto del monomio (m + n)x2(m n) y3n es 17, además su coeficiente es igual al grado relativo respecto a “x”. Da como respuesta: 2m - n

Intelectum 4.°

n

B) -10 E) 20

C) 0

se verifica para todo x.

B) 3

D) 7

231

x(13 - 10x) + C(x2 + 2)

c m

84 7

+

=

152 5

A) 1

A)

A 5

1 2

Si: - A (4x2 - 3x - 5) + B(x2 - x - 1) + 7x(1 - x)

Calcula:

5

db _ il

2

A) -20 D) 10

Si: B^BÂ^ x h + 1 hh = 5x + 11 y B(x - 1) = 4x + 3 calcula: A

2

C)

48 7

6

B A

+

C

B) 2 E) 5

C) 3

Se presenta un polinomio idénticamente nulo: (x + 101) 2 (101a + 404) - (800b - 3200)4( x - 800) Determina: b (a + b + 1)a

A) 1 D) 3

B) 2 E) 4

C) 0

7

Si: P` x j = x30 - 8x27 + 5x + 1 ; halla: P(1)

8

2

Halla el término independiente y la suma de coeficientes del polinomio: 2n 4

A) 9 D) 11 9

B) 10 E) 13

A) 5 y 65 D) 5 y 8

C) 12

b

Dado el polinomio: P(x;y) = axab + bx

a b a - 12

y

+

a x3 y13 + b2 yba b 2

10

Calcula la suma de coeficientes si se sabe que es homogéneo. (a > b)

A) 8 D) 12 11

B) 10 E) 6

-

+

A) 3 D) 4 13

C) 9

+

12

-

B) 1 E) 6

C) 0

+

-

+

A) 9

B) 3

D) 27

E) 81

B) -1 E) 3

14

-

+

-

+

B) 25 E) 22

2

+

C) 15

El polinomio: P(x; y) = mx2y + nx2y - 4x2y + mxy - xy - nxy es idénticamente nulo. Halla: 4mn

A) 8 D) 10

C) 18

C) 2

Dado el polinomio: P(x; y) = 2xbyb 1 + 5x2byb 3 - bxb 5 + byb 7 + 7x2byb Si su grado absoluto es 33, calcula el grado relativo a x.

A) 20 D) 10

Halla el coeficiente del monomio: P(x; y) = 9m 1 . 3 nx3m 2n . y5m n, si su grado absoluto es 10 y el grado con respecto a x es 7.

C) 3 y 9

Calcula: A . B Si se cumple: x3 + 2x2 - 1 / (x + 1)[Ax2 + B(x - 1)]

+

-

4x

+

B) 2 y 3 E) 4 y 36

A) 1 D) -2

Si el polinomio: P(x) = (a + b)xa b 1 + (a + b + 1) xa b 2 + (a + b + 2)xa b 3 + ... + 29 es completo y tiene (3a - 2b) términos, calcula (a - b). +

P(x - 1) = (2x - 3)

B) 12 E) 18

C) 15

C . 4 1

A . 2 1

A . 0 1

A . 8

A . 6

E . 4

E . 2

A . 3 1

A . 1 1

B . 9

D . 7

E . 5

D . 3

D . 1

s e v a l C


11


6.

Comunicación matemática 1.

¡A recordar! Memoriza los polinomios por 1 minuto. 7. Luego sin mirarlos responde las preguntas. P(x;y) = x5y5 - 3x2y8 + 2x6 y4 7

ax

5

bx

+

2

cx

+

dx + e / 0

P(x) = x100 + x80 + x70 + x30 + 1

P(x,y,z) = 3xy2z7 + 2x2y2z6

A) 2 D) -1

P(y) = 1 + y3 + y5 + y7 + y10

P(x,y) = 3y + xy + 10x3y2 + 2x2 + 7x4y3

P(x,y) = x4y + x3y2 + x2y3 + 2xy4 + 21y5

P (0) + P (1) calcula: P (2)

9.

1 2

B)

D)

3 2

E) 0

A) C) 26

16.

C)

8 3

-

+

3.

Si Q(x) = 2x3 - 4x2 - x + 1 halla: Q(-2) A) -45 D) 25

4.

-

12

B) 40 E) -29

C) 35

13.

B) 49 E) 90

Siendo: P(x - 8) = x3 + x2 + x halla: P(-5) A) 41

B) 37

D) 39

E) 42

Intelectum 4.°

C) 38

4 7

7 2

C) - 7

2

E) 1

Si: P(x) = 3x + 2; halla: P(x + 2) - P(x + 1) A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

17. Memoria

Observa las figuras geométricas y polinomios que estas contienen por minuto. Luego de esto sin mirarlos nuevo contesta las preguntas que proponen más abajo.

los un de se

P(x - 2) = 4x + 4

-

P(x) es mónico P(x) = (a + b - 2)x + 7

Si: (3a + 2b)x2 + (5a - 6b) / 3x2 - 7 halla: 8a - 4b B) -2 E) -5

C) -3

P(x;y;z) = 71x20y10z2 + x32 + y32 + x5y20z7

Si: P(x) = 6x - 5, calcula:

_ i + P _1 i + P _ 2 i

P 0

A) 1 D) 4

C) 50

-

E) 10

A) -1 D) -4

Si P(x) = x2004 - 7x2003 + 7x + 1 halla: P(7) A) 7 D) 57

5.

12.

B)


De los cinco polinomios especiales que se conocen, tres de ellos se han cortado 11. En el polinomio: en franjas horizontales y de esta manera P(x; y) = 2xny4m 3 - 7x2n y2m 3 + xn 1y4m se muestra en el diagrama. ¿Crees poder se tiene GR(y) = 23, calcula m. indentificarlos? A) 5 B) 6 C) 7


, (m < 0 / n ! z),

n

Nivel 2

E) 2

D) 8

1 3

D) -

Si: P(x) = x5 + 5x3 + 3 halla: P(x) + P(-x)

-

m

S(x) = 3x - 56

4 3

A)

Obtén el valor de

si se tienen los polinomios idénticos:

a) ¿Cuántos polinomios son homogéneos? b) ¿Cuántos polinomios son completos A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 1 y ordenados respecto a x? c) ¿Cuántos polinomios son completos 10. Si: P(x) = x2n 7 - x2n 9 + 2x2n 12 pero desordenados respecto a x? calcula: GA(P) d) ¿Cuántos polinomios están ordenados? A) 2n B) 2n - 7 e) ¿Cuántos polinomios son C) 2n 12 D) 2n - 9 idénticamente nulo? 2.

15.

T(x) = m(x + n) + n(x + m)

B) 21 E) 33

Si: P(x + 1) = x2 + 1

151x7yz2+3z10

C) 0

Sean: P(x + 1) = 3x + 1 Q(2x - 1) = x2 halla: 3P(2) + Q(5)

8.

+


B) 1 E) -2

A) 16 D) 31

+

ax2 + bx + 1 / 0

Si: P(x) = x1996 - 5x1995 + 2 calcula: P(5) - 3

3

B) 2 E) 5

14.

Si: P(x) = x2 - 3x + 1

calcula: E = A) 1 D) 2

P(x;y) = x4 - 2x3y + 3y4 C) 3

P(x) = 4x3y2 + 3x2 +

P^- 2 h + P ^- 1 h

1 3

xy2 + y100

P^ 4 h - P ^ 3 h

B) 4 E) 0

C) -4

Q(x) = 2x2 + 3xy + 8

a. ¿Qué figura contiene al el polinomio cuyo término independiente es y100? b. ¿Qué tipo de polinomio especial es el de la figura rómbica? c. ¿Cual es la suma de coeficientes del polinomio que está en la figura rectangular? 18.

d. ¿Cual es la suma de coeficientes del polinomio P(x) que se obtiene en la circunferencia? e. ¿Qué valor tiene el coeficiente principal del polinomio que està en el triángulo?

Completa la siguiente tabla: Polinomio

Coeficientes

Término independiente

Valor numérico para: Valor numérico para: Valor numérico para: T(1) + T(0)

T(5)

T (2)

I T(x) = x3 - 4x + 1 II T(x) = x3 + x + 6 III T(x - 3) = 3x - 5 19.

8 Expresa con un polinomio: 23. Si: P(P(P(x))) = x / Q(Q(Q(x))) = x27 a) El perímetro de la figura mostrada. calcula: P(8) + Q(-4) b) El área de la misma. A) 1 B) 2 C) 7 c) El volumen del sólido que se puede D) 0 E) 5 formar. 24. Si: P(x) = 2x + 3 Halla: P(x + 2) + P(x - 2) z

z

A) 2x - 3

B) 4x - 6

D) x + 3

E) x - 3

25.

x x

y Razonamiento y demostración 20.

En el siguiente polinomio cuadrático:

P(x) = x2 + bx + c

se sabe que: P(0) = 2, P(1) = 6

26.

Calcula P(2).

27.

B) 10 E) 6

C) 12

21.

Sea P(x) = (m - 1)x2 + mx + m + 1

Si:

22.

B) 2 E) 5

A) 8 D) 12

B) 10 E) 16

C) 6

B) 8 E) 6

C) 4x + 1

D) x + 1

4

+

C) 4

En el siguiente polinomio: P(x; y) = xmyn 1 + xm 1yn m 2 n 2 m 3 n - x + x y y el GR(x) = 12 y GA(P) = 18. Calcula el GR(y). +

+

A) 6

B) 7

D) 10

E) 5

+

+

1

C) 8

Si el polinomio es de séptimo grado, siendo m > 0, halla m + 3. 31. Sabiendo que x, y, z son variables, calcula el grado absoluto de: P(x) = 7 x2 m + 2 x3 m + 11x4 m +

+

A) 3

B) 6

D) 8

E) 12

+

C) 7

a b

¿Cuántos factores hay que tomar para que la expresión: P(x) = (x6 + 1)(x24 + 1)(x60 + 1)...

B) 13 E) 10

32.

C) 12

1 5m + 2

-

y

y5m

+

-

6

se cumple: GR(y) = 2GR(x) A) 13

B) 17

D) 10

E) 8

C) 14

b

c

yb x

c

.c

B) abc

a

zc xa

C) 1

E) 0

Sea P(x) = xa + xb + xc, donde: c > b > a, además, el grado de P es cinco. Calcula: c + 2 A) 7 D) 5

En el siguiente polinomio: P(x; y) = mx3m + x3m

xa . yb

A) a + b + c D) 2

B) 8 E) 17

33.

Si: P(x) = x + 1

halla:

Calcula el grado absoluto del polinomio.

P(R(1)) = 8

x3ym - 2 + xym - 1

+

-

C) 3

Sean: P(x) = 2x + a y R(x) = x - 2 Calcula el valor de a, si:

2

x2m . y + xm + 3 . ym

+

-

B) x2 + 8x + 12

A) 20 D) 11 28.

+

6

A) 3 D) 5

sea de grado 4290?

P(2) = 4, calcula el valor de m.

+

Sabiendo que el GA(P) es al GA(Q) como 8 es a 3, halla el GR(x) en el polinomio P(x; y).

C) 4x + 6

A) x2 + 4x E) x

A) 1 D) 4

Q(x; y) = xm

Si: P(x - 2) = x2 - 4 Halla: P(x + 2)

2

En los siguientes polinomios: P(x; y) = x2m

30.

x

x

A) 9 D) 3

29.

A) 0 D) 1

P^ x

+

1h + P ^x

C) 10

-

1h

P^ x h

B) 3 E) 5

C) 2


13

C


b +c

T^ x; y; zh = aa

A) 59 35.

En todo polinomio de una sola variable que sea completo y ordenado se cumple que el número de términos es igual al grado relativo más uno.

Determina el menor grado de homogeneidad del siguiente polinomio: r

b

xs y7n + b

B) 60

+

1

a s yt z5m + t zr x2p

C) 61

D) 62

P(x) = 10x4 + x3 + 4x2 + x - 1

P(x) es de 4.° grado y tiene 5 términos.

&

E) 63

Se muestra el polinomio homogéneo: H(x;y) = 7x5 + 5x3y2 + 10x2y3 + y5

38. Crucigrama polinómico:

Horizontales:

Halla el polinomio que debe agregarse a H(x,y) para que el polinomio resultante sea también un polinomio homogéneo y completo, tal que la suma de sus coeficientes sea 36 y su valor numérico igual a 21 cuando x e y tomen los valores -2 y 1, respectivamente.

36.

A) 5x5 - 3xy4

B) 10x4y - xy4

D) 3y7 - 4x5y2

E) 11x4y - 2xy4

A: El grado de homogeneidad del polinomio es: P(x;y;z) = 5x7000y300z41 + 21x40y301 z7000 + 17x600y5000 z1741 D: La suma de los grados relativos de x e y del polinomio: P(x;y) =

C) 15x4y - 2xy4

E: La mitad del grado absoluto del monomio es:

Sea: T(z) = cz2 + d

Z(x;y;z) = x900y200 z284

y también: T(T(z)) = 27z4 + 108z2 + e

Verticales:

C: Del polinomio idénticamente nulo:

Determina el valor de la suma: c +d+e A) 123

B) 124

C) 213

P(x) = (A-600)x2 + (B - 60)x + (C - 6); D) 456

E) 321

El valor de A + B + C es:

Nivel 3

B: El término independiente del polinomio: P(x) = x3 + 3x2 + 2x + 12; es:


a

x500y + 3x2y67 + 37xy68 + aa x480y2 es:

2

Memoriza la siguiente propiedad durante 50 segundos. Luego sin mirarla compara y verifica cuál de las alternativas A, B, C coincide exactamente con la memorizada.

A: En los polinomios idénticos, el valor de a + b + c + d es: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d Q(x) = 75x3 + 20x2 + 15x + 595

En todo polinomio de una sola variable que sea completo y ordenado se cumple que el número de términos es igual al grado relativo más uno.

A

B

P(x) = 10x4 + x3 + 4x2 + x - 1

C


&

D

A

En todo polinomio de una sola variable que sea ordenado se cumple que el número de términos es igual al grado relativo más uno.

E

P(x) = 10x4 + x3 + 4x3 + x - 1


&

B

En todo polinomio de una sola variable que sea completo y ordenado no se cumple que el número de términos es igual al grado relativo más uno.

Razonamiento y demostración 39.

Si: f _ x i =


14

Intelectum 4.°

2

+

x

10

calcula: / f _ i i i=1

P(x) = 10x4 + x7+4x3 + x - 1 &

1 x

A)

1 10

B)

9 10

C)

10 9

D)

10 11

E)

11 10

40.

Sea: P

d

49.

1 +1 x

n

P(x) = (x + 1)(x2 + 2)(x3 + 3) ... n paréntesis.

x + 1;

=

Sabiendo que el término independiente es 5040, halla el grado del polinomio.

calcula: P(2) - P(3) - P(4) B) -5/6

A) 3/5

C) 5/7

Sea: P(x) = 2x, calcula:

P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(30)

42.

D) -5/7

E) -4/3

B) 920

C) 870

D) 930

E) 960

Si:

d

1 f x

2

+

=

x;

E) 7

E) 9

El polinomio mostradose anula para más de dos valores de “x”:

Halla el valor de: J=

B) -1

C) 1

a 5 2 y

+

D) 2

E) 4

+

xa - 4 y 4

+

1 +

53.

x11 - a

C) 7

D) 3

E) 4

:

m

C) 1

+

3c b

6

B) 144

C) 145

D) 146

E) 147

R(z) = z(z + 1) (z + 2) S(z) = e(z - 2)3 + f(z - 2)2 + g(z - 2) + h A) 60

D

D) 2

6

Si: R(z) = S(z); calcula: e + f + g + h

Si el grado absoluto de Q es 17 y el GR(y) es 9, halla: n - m

B) 5

3b c

A) 143 a

1

B) 8

A) 0

C) 5

x ! 0

Q = x m y 2n + 1 z x m - 1yz n - 1 + _xy i z n

B) 70

C) 80

D) 90

E) 100

E) 3

Halla el valor de ab, si al efectuar la expresión: M(x; y) = x3yb(x 2y) ay4, el grado relativo de x es 13 y el grado absoluto 18. -

A) 10

-

B) 20

C) 30

D) 15

E) 21


52.

B) 3

I(x) = bx2(cx2 + b6) - 7(3x4 - x2 + 1) + cx2(c6 + 7ab) - a

n

-

E) -121

R(x) = x7 - 2a - 5x3a - 2 + 21x19 - 2a

Indica el grado del polinomio:

A) 6

47.

E) 8

D) 90

E) -66

halla: f_3 i

P(x; y) = xa

46.

D) 7

C) 5

C) 110

Determina el grado del polinomio entero que está ordenado necesariamente en forma ascendente.

f_ 5i f _ 7i

A) -2 45.

D) -75

B) -115

A) 1

B) 3

E) 30

51.

P(2x + m) = 6x + 7 A) 1

D) 29

Se presenta el siguiente polinomio completo y ordenado:

A) -105

Si: P(x + 5) = 3x - 2, calcula m, si:

44.

C) -72

B) -143

C) 28

Calcula la suma de sus coeficientes.

Si P(x) = 2x99 - 64x94 + x - 5, calcula:

A) -141

B) 27

E(x) = pxm + n + rxn + p + mxp + q + nxq + r + qxr + 121

E = P(2) + P(-1) + P(1)

43.

A) 26 50.

41.

A) 900

Sea.

Del siguiente polinomio homogéneo: a (2a + 3)bb3a

S(x;y;z) = a x

y

+

a (2a - 3) b6b

1 b3a + 6b - z c

determina el valor de: λ

A)

a =

1 27

3

âahb , siendo a: impar y no fraccionario.

B) 27

C) 72

D) 6

E) 1

Nivel 1

12. D

23. D

35. C

46. C

1.

13. A

24. C

36. A

47. C

2.

14. B

25. B

Nivel 3

48. B

3.

15. D

26. B

37.

49. C

16. C

27. E

38.

50. B

Nivel 2

28. B

39. D

51. C

17.

29. B

40. B

52. D

18.

30. B

41. D

53. A

19.

31. E

42. A

20. C

32. A

43. E

21. A

33. C

44. C

22. B

34. A

E 4. C 5. D 6. D 7. B 8. D 9. A 10. B 11. A

45. B


15


PRODUCTOS NOTABLES

Halla: F = x - y Si: x2 + y2 = 5 xy = 2 / x - y 2 0

A) 0 D) 3 3

B) 1 E) 4

2

Calcula: F

2

^

6

+

2h

^

3

+

2h

4

2

+

^

6

-

2h

+

^

3

-

2h

2

A) 2,4 D) 2,9

C) 2

Efectúa: (a + b)(a - b) + (a - 2)(a + 2)- 2a2 + b2

=

2

B) 1,6 E) 0

C) 1,8

Simplifica: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) - [x(x + 3)]2 ;

siendo x2 + 3x = a

A) -2 D) -1 5

B) -5 E) -4

C) -3

Reduce:

6

(a + 2)3 - (a - 2)3

A) 0 D) 16 + 6a2

16

Intelectum 4.°

A) a D) 2a

B) 8 E) 16 + 12a2

C) 16

B) 1 E) -2a

C) -a

Si: a + b = 10 y a2 + b2 = 50; calcula el valor de: a 3 + b3

A) 216 D) 165

B) 250 E) 125

C) 200

7

Efectúa:

8 2

R = (x + y)(x

9

2

2

xy + y ) - (x - y)(x

-

A) y3

B) 2 y3

D) 1

E) y

2

xy + y )

+

halla: M =

C) 2

Siendo a, b y c tres números reales que cumplen la igualdad: a3 + b3 + c3 = 3abc. Además: a + b + c ! 0

10

12

+

12

b

+

3

3

3

B) -3

+c

12

h

C) 1

S=

14

(a + b)

-

(a - b)

2 6a2 + b 2 + c 2 @ - 2 (ab + ac + bc )

Halla: M = a + b Si: a2 + b2 = 5; ab = 2

A) 0 D) 3

E) abc

Efectúa: 4

Si: a + b + c = 0;

A) a2 + b2 D) 3

C) 1/3

a +b +c â + bhâ + c h^b

A) 3 D) a + b + c 13

C) -2

a2 + (a + b ) 2 + b 2

12

B) 1/2 E) 2

Si a + b + c = 0, halla:

B) 2 E) -3

c

A) 3 D) 1/4 11

xy + xz + yz

halla el valor de: C =

âb2 c3h a

^x + yh2 + ^ x + zh2 + ^ y + zh2

A) 1 D) 3

2

Halla: M =

Si: x = a - b; y = b - c; z = c - a

4

B) 2 E) (a + b)2

/

C) 0

a + b > 0

B) 1 E) 4

C) 2

Reduce: (x + 2)(x - 2) - (x + 3)(x - 3)

2a (a 2 + b 2)

A) 1 D) 8ab

B) 4b E) a

C) 2b

A) 2 D) 5

b

B) 3 E) 6

C) 4

D . 4 1

D . 2 1

D . 0 1

C . 8

B . 6

D . 4

B . 2

B . 3 1

B . 1 1

C . 9

B . 7

E . 5

E . 3

B . 1

s e v a l C


17


4.

Efectúa: R


â + b + c h3 - â3 + b 3 + c 3h 3â + b hâ + c h^b + c h

6

3

B) x

4

E) 1

A) x

D) x 5.

a

+

b

3

c

+

3

3â + b + c hâb + ac

+

+

bc h

6. 2

III.

â + b h

-

â - b h

S

ab

B) Sólo II D) I y II

Golpe de vista

2

(a + b)

2

(a - b)

+

2

/ 2(a

b )

+

(a - b)2 / a2 - 2ab + b2

8.

(a + b)(a2 - ab + b2) / a3 + b3 (a + b)

/ a

2

=

=

2ab + b

(a + b)(a - b) / a2 - b2 (a + b)2 / a2 + 2ab + b2 2

(a - b)(a

9. 2

3

ab + b ) / a

+

1h^ 3

-

1 h^ 2

-1

C) 6

a

3

+

b

3

B) 1 E) 4

C) 2

a

3

-

b

3

B) 2 E) 5

C) 3

ab + b ) / a

-

b

-

b

3.

Si: m2 +

1 m

2

=

2, halla: m

+

3m

D)

18

2 3

B) 1 E)

2 6

Intelectum 4.°

Fíjate bien en las identidades y luego escribe el nombre de cada uno junto a la letra que corresponde.

E D

A) 3

B) 2

D) 0,5

E) 0,2

Si se cumple:

x+

1 x

C) 1

5

=

;

A B

1 x

2

B) 1 E) 3

Si: x +

C) -1

1 x

2, halla: E =

=

A: Identidad de: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

x

2

B) 0 E) 4

+

B: Identidad de:

1 x

2

(ax + by)2 + (ay - bx)2 = (a2 + b2)(x2 + y2) C) 2

C: Identidad de: x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1)

1

11.

6

Efectúa: H=

A) 2

C) 1

Nivel 2

z3

A) 1 D) 3

Razonamiento y demostración 12

B) -1 E) 0

C

calcula el valor de: x2 +

10.

3

+

Determina el valor de S:

x 3 + y3

calcula:

(a - b)2 / a2 - 2ab + b2 (a + b)(a

C) 3a

Si x; y; z ! R , tal que:

A) 0 D) 2

3

B) 2a E) 5a

14. Identigrama

â - b h^ a2 + ab + b 2h

3

(a + b)(a - b) / a2 - b2

2

13.

2


(a + b)(a2 - ab + b2) / a3 + b3

2

A) 1a D) 4a

h

2

2a b + ab ab

A) 2 D) -2

â + b h^ a2 - ab + b 2h

2

+

2

x2 + y2 + z2 = xy + xz + zy

(a - b)(a2 + ab + b2) / a3 - b3

2

calcula: M =

=

S = (x + y + 1)3 - (x + y)3 - 3(x + y)(x + y + 1)

A) 1 D) 4

2

+

Efectúa: R

Descubre qué Producto Notable no tiene su pareja y qué otro aparece tres veces.

+

C) x

B) 4 E) 3

A) 0 D) 3 7.

2.

1h^ 2

b a

Si:

2

Reduce:

2

A) Sólo I C) Sólo III E) I y III

+

A) 2 D) 5

â + b + c h3 + 3abc 3

3

a b

12.

Efectúa: E =^

II.


^x + 3h^x2 - 3x + 9h^x - 3h (x2 + 3x + 9) + 729

¿Qué expresión(es) luego de ser reducida(s) resultan(n) 1? I.

=

C)

3 2

A) 6 D) 2

D: Binomio al:

(5x + 3y) 2 - (5x - 3y ) 2 12xy B) 4 E) 1

(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) C) 5

E: Binomio al: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

15.

Verifica la verdad o falsedad, de las alternativas planteadas, según corresponda:

22.

Calcula: P

b

A

M

B

a

b

=

A) 23.

2

^

6

+

2h

^

5

+

3h

B)

Si x2 + x

-

2

6

-

2h

+

^

5

-

3h

C)

3 4

6

2

3, calcula: x6 + x

-

=

A) 9

a

^

2

3

2

-

B) 18

D)

2

E)

3 2

6

C) 27

D) 30

E) 36

Resolución de problemas D

N

24.

C

Reduce: 2

B

I. El área del cuadrado ABCD menos el área del cuadrado de menor región sombreada es: a(a + 2b) ( ) II. La diferencia de las áreas sombreadas (mayor menos el ( ) menor) es: (a - b)2

25.

( )

Si:

x+

1 x

=

3 , halla: M

A) 40

=

B) 47

x

4

+

C) 43

D) 81

4

=

35 ^6

A) 6 18.

1h^6

4

+

B) 36

3 =

=

x+

C) 216

x

2

-

64 .

B) 3

D)

6

E) 1

3

x-

x

2

-

C) 8

64

A) 3

B) 5

Si: m + m

-

A)

1 2

E) 52

Si se cumple que: (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 + (a2 + b2 + c2) = ab + ac + bc

I.

D) 4

E) 10

a

3

3

b

+

a c

3

3

+

b c

3

3

3 3 3 / 3a

bc

1

=

C)

x

n

D) 10

5; calcula: m3 + m

B) 165

-

C) 132

C)

E) 15

( ) ( )

3

Memoriza el texto durante 1 minuto; luego tapa las descripciones y responde con SÍ o NO a las preguntas planteadas: Binomio al cuadrado: (a - b)2 / a2 - 2ab + b2 ▪

D) 110

E) 100

▪

5 2

1 6 a + 1 b6 + 1 c6 3 3 3

27. Memoria

^3x + 2yh2 + ^2x - 3yh2 ^x + yh2 + ^ x - yh2 B) 1

( )

IV. (a + b + c)3 - (a - b)3 / 2(a - c)3 + 3(b - c)3 2 2 2 + 26(a + b + c ) ( )

Reduce: E=

D) 72


▪

21.

C) 62

III. (a + b)3 + (a + c)3 + (b + c)3 / 8(a3 + b3 + c3)

^xn + 6h^x n + 4h - ^xn + 3h^x n + 7 h

A) 125

B) 58

Verifica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

1h + 1

Efectúa: S

E) 1

II. a2b2c2 + (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2 /

A) 6

20.

+

Calcula: S

19.

2

D) 4

Si: a + b = 4 ab = 1

E) 37

Efectúa: R

C) 3

Nivel 3

4

26. 17.

B) 2

A) 56

1 x

-

Calcula: a3 + b3


â - bh2 ^3a + bhâ + 3bh

4^ a + b h

A) 0

III. El área del rectángulo AMND es: b _a + bi2

=

D) 3

E)

13 2

En la Identidad de Legendre hay un coeciente que es el único número primo par (2): (a + b)2 + (a - b)2 / 2(a2 + b2) En la multiplicación de binomios con un término común, el resultado nos proporciona cuatro términos: (x + a) (x + b) / x2 + (a + b)x + ab


19

▪

Del binomio al cubo se deduce la Identidad de Cauchy. 3

(a + b)

3

(a + b)

3

2

2

3a b + 3ab

34.

b Sacando el factor común: 3ab

/ a

+

3

+

3

b + 3ab(a + b) (Identidad de Cauchy) / a

+

Reduce: M = (x + 2y -7z)3 + (x - 2y + 7z)3 - 8x3 + 6x(x + 2y - 7z) (x - 2y + 7z)

3

1. ¿El único número primo par, se refiere a la Identidad de Legendre?

35.

A) x

B) 2xyz

D) x - y

E) 2y2

Si: x + y =

3

xy = 2. ¿En la identidad binomio al cuadrado nos mencionan que se proporciona cuatro términos?

2

3 $

B) 2

3. ¿A partir de la Identidad del binomio al cubo se deduce la identidad de Cauchy? Razonamiento y demostración x

=

Calcula: M

=

A) 0

c

x

-

37.

B) 1

C) 5

D) 16

Calcula: P = 2

Si: x

E) 25

7

-

x

5

x

5

+

x

3

3x + 1 = 0

-

A) 7 30.

x

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

D) 2x

E) 0

E) 5

2

B) 4

C) 2

D) 32

E) 64

Simplifica: N=

29.

D) 4

8b ac

A) 8

2

m

C) 0

Si f(x) = ax2 + bx + c es un trinomio cuadrado perfecto, calcula:

2 1 x

12


Si: x + 1

1

Halla: P = x3 + y3 A) 3

28.

C) 0

6^x + 1h^x + 2 h + ^x - 3h^x + 4 h - ^x + 5 h^x - 6 h - 20 @2 ^x2 + 5x + 2h^x2 + 5x + 3h - 5^x2 + 5xh - 6

A) x2 + 5x

B) (x2 + 5x)

D) 5(x2 + 5)

E) 0

C) 1

Efectúa: E=

(3x + 1) 2 + (3x - 1) 2 2

-

A) 1

B) 2

C) x

9x2 D B C C D C

31.

Efectúa: 2

E = (x + 1)(x - 1)(x

4

1)(x

+

8

1)(x

+

1)

+

A) x16 - 1

B) x8 - 1

D) x9 - 1

E) x14 - 1

C) x4 - 1

. . . . . . 2 3 4 5 6 7 3 3 3 3 3 3

3 l E e . v . 5 i 6 2 N 2

A E A A

. . . . . 7 8 9 0 1 2 2 2 3 3

B B D A D E E B E

32.

. . . . . . . . . 6 7 8 9 0 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 2 2 2

Efectúa: 2

A=

4x - 1 2x + 1

A) x 33.

2

-

9x - 1 3x + 1

B) 2x

C) 2x -2

Efectúa: E = (a + 5)(a - 5)(a

2

2

4

5 )(a

+

A) 54 C) -56

E) Hay dos claves correctas 20

D) -x

Intelectum 4.°

4

8

5 ) - a

+

B) -58 D) -254

E) -2x

2 l C C e B E C C . . . . v . . . . 0 1 2 3 i 4 5 8 9 1 1 1 1 N 1 1 1 l e D D A A B A v i . . . . . . . N 1 2 3 4 5 6 7


COCIENTES NOTABLES

Si A es el penúltimo término del CN generado por: x40 + y10 x4 + y

B) -x4y8

8 9

8 9

desarrollo, calcula: E

C) x4y8

A) 20 D) 25

E) -x y m-2

a

a

5

desarrollo, calcula: B = n

A) x9y8

Sabiendo que el CN

=

3

m

n+5

-

b

-

b

-

A) 2

B) 3

D) 5

E) 7

30 m Si el cociente notable x n - x2 , tiene 10 términos en su

x

, halla el término A.

D) x y 3

2

2

tiene 9 términos en su

4

x5 - y 4

Calcula el término de lugar 17 en:

A) x84y46

B) x86y48

D) x80y42

E) x82y44

C) 4

x120 - y180

6

x 2 - y3

C) x88y50

+

-

y

3m

B) 24 E) 21

C) 22

Calcula el vigésimo tercer término del desarrollo del cociente: x120 - y96

n

4

. Da como respuesta la suma de sus exponentes.

A) 90

B) 92

D) 95

E) 97

C) 93

x5n + 3 - y5n + 30

Calcula n si la división: n x notable.

A) 1 D) 4

-

B) 2 E) 5

1

-

yn + 2

origina un cociente

C) 3


21

7

Expresa el polinomio: P(x) = x12 + x8 + x4 + 1 como un cociente notable.

8

Halla t8 si el cociente es notable: x

5m + 3

x

16

A)

x

x

4

16

D)

9

x

4

B)

1

-

x

16

1

-

-

1

+

1

E)

x

4

x

8

x

3

+

1

+

1

-

1

+

1

C)

x

8

x

3

+

1

-

1

10

100

B) x40y30

65 34

50 40

C) x35y25

x3n - y15n x - y5

grado absoluto: 185

D) a40 x2

E) x16

12

; tiene

C) -a35 x2

Halla el grado del cuarto término del siguiente cociente notable: 35

-

5

128

-

2

B) 8 E) 14

En el siguiente cociente notable:

C) 24

x

6n + 3

x

n-6

+ +

a

6n - 22

a

n-8

halla el número de términos.

A) 40

B) 27

D) 60

E) 50

Calcula el antepenúltimo término de:

C) 45

A) 20 D) 25

x51 + y34

14

x3 + y2

A) -x3y17

B) x6y34

D) y34

E) x42y4

B) 15 E) 10

xm - yn

C) x 6y28

C) 30

Si el grado relativo de x e y de uno de los términos de x

2

-

y

es 8; determina

m n

.

A) 1

B) -1

D) 17

E) 3

C) 2

C . 4 1

D . 2 1

D . 0 1

B . 8

C . 6

C . 4

E . 2

C . 3 1

E . 1 1

D . 9

A . 7

B . 5

C . 3

C . 1

s e v a l C

22

a

i

m+2

A) 12 D) 15

E) x y

Halla n si el décimo término del desarrollo:

-

_

5 m+6

B) x2 a35

x

A) x25y40

a

A) a5 x14

x

y x-y -

D) x y

13

x

Halla el término de lugar 35, en: 100

11

x

-

m-1

Intelectum 4.°


11.


Calcula (m + n).

Analiza y escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 1.

n

n

x -a x-a

2.

n

n

x +a x+a

3.

n

n

x -a x+a

4.

n

n

x +a x-a

A) 56

n

n

x+a

12.

: Es un cociente notable para n par.

C) 84

D) 89

: Es un cociente notable para n par.

A) 2

: No es un cociente notable ya sea n par o impar.

n

x -a

(n: impar) y

x+a

n

13.

B) 3

(n: par)

A) 21

B) 7

n

1

x

-

x

A) xn + 1

B) x2n - 1

D) x2n + 2

E) x2n + 1

n

2n

+

1

1

-

x

n

B) x3y5

C) x3y10

1

-

x

C) 14

mn

-

y

n

-

y

x

D) 6

p

es x6y3,

E) 28

Completa los espacios en blanco: En el cálculo de un término cualquiera de lugar k de un cociente notable:

▪

1

+

x

n

+

1

n

▪

-

-

1

Cuando el signo del divisro es negativo: x -a tk = (siempre) Cuando el signo del divisor es positivo: x + a. tk = + ; k: &

tk = - ; k:

&

512x9 - y18 15.

2x - yn

D ) 8x3y5

; tk = ! xn k ak

&

C) xn - 1

Calcula el sexto término del cociente notable: A) 2x3y5

E) 6


3n

-

D) 5

es 12.

NIVEL 2

x!a

x

x7 - yt

Si el término central del cociente notable

n

x

C) 4

x70 - ym + t

calcula el número de términos del cociente.

14.

Efectúa y simplifica:

E) 98

Calcula t, sabiendo que el grado respecto a y del término de lugar 7

x !a

7.

se sabe que tiene 14 términos.

en el CN correspondiente a la división:

Respuesta:

6.

x 3 + y4


Escribe la diferencia principal que se encuentra en el desarrollo de los cocientes notables: x +a

x n - ym

B) 42

: Es un cociente notable para n par o impar.


En el cociente notable:

Completa el siguiente esquema de los cocientes notables, luego une con una línea lo que corresponda:

E) 8x3y10 n

n

x !a

8.

Halla el valor de (m + n) si el t60 del desarrollo de: es x140y1416, si es cociente notable. A) 7

9.

10.

B) 8

C) 9

D) 10

148m

x

x

2m

-

296 n

y

4n

la división:

a

A) 27

B) 40

a

4

-

b

-b

72 9

es igual a: a 8 . bm

5

+

C) 42

Se sabe que el resto de la división:

D) 45 m

x

CASO I: n

n

x -a

CASO II: n

n

CASO III: n

x +a

x -a

n

x-a

x+a

x+a

n: par o impar

n: impar

n: par

Signos de los términos +-+-...-+

Signos de los términos + + +...+ +

Signos de los términos + -...+ -

E) 50 m

-z

n

Existen tres casos para sus cocientes notables.

E) 11

Calcula m, sabiendo que el sexto término del CN al que da lugar 32

x!a

y

n

es cero. Según

x -z

esto, ¿cuántos términos tiene el cociente? A) mn

B) mn

1

-

C) m 1n -

D)

m 2n

E)

n 2m


23

18.

Razonamiento y demostración 16. Evaluación de condiciones:

Halla el valor numérico del término de lugar 29 del cociente notable:

_x + 3i36 - x36

Identifica qué condiciones serán necesarias para satisfacer lo planteado y marca la clave que creas sea conveniente:

2x + 3

A) 128

A. Solo la condición i es suficiente. B. Solo la condición ii es suficiente.

19.

; para x = -1

B) 120

C) 138

3

D. Faltan condiciones.

x

2a

x

2

Condiciones: i. Si: a = 4 ii. Si: a = 3 A

A) 20.

-

y

-

y

C

E

D

21.

B

B) 6

Si la división:

A) 3

22.

E)

15

x

4

xm

C) 7 2

+

7

-

D) 8

y9m - 13

x 2 - y2

E) 9

origina un cociente notable,

B) 4

C) 5

D) 6

E) 8

-

En el desarrollo del cociente notable: x 2n - y3n x 2 - y3

C

_3x 2i

E

D

hay un término cuyo grado es el doble del número de términos. ¿Qué lugar ocupa este término? A) 2 23.

-n

_21yi

B) 3

En la siguiente división:

C) 4 a

3n

a

3

D) 5 4m

-

b

-

b

4

E) 6

, el término de lugar 10 de su

cociente notable es a 21br . Calcula (n + m + r + 3).

3x 2 + 21y

A) 2

Condiciones: i. Si : n= 100 ii. Si: n=200

B) 7

C) 70

D) 69

E) 73

NIVEL 3 B

C


E

D

24.

Halla el valor numérico del tercer término del desarrollo de:

Dadas las expresiones: I.

xa + 1 - y20b x 2 - yb

para: x = 0,5; y = 2; b = 17

24

D) 15 y5


-n

A) 5 D) 1

C) 15 y 4

calcula el valor de m.

III. Si es cociente notable, ¿es posible encontrar su desarrollo general? ¿Con qué condición?

17.

y5

+

y y

Calcula el número de términos en el siguiente cociente notable:

A) 5 B

35

7 35

x 2 - yn - 1

Condiciones: i: Si: p= impar y q= impar ii: Si: p= par y q= par

A

B)

+

xn + 1 - y40

^- 1hp ^x9 + y6h ^- 1hq ^x3 + y2h

y4

35

a

II. Verifica si es un cociente notable:

A

x x

15

I. Determina el único término central del cociente notable:

E) 110

Halla el quinto término del desarrollo:

C. Se pueden usar ambas condiciones por separado. E. No es posible encontrar la solución general en el campo de los números naturales.

D) 118

B) -3 E) 3

Intelectum 4.°

C) -1

III.

V.

x 60 - y30 x x

4

27

x

3

2

-

y

-

3

+

27

27

_x + 2i10 - _x + 1 i10 _x + 2 i - _x + 1 i

II.

IV.

140

x

x

5

-

+

1

1

x80 + y 40 x 4 + y2

Reconoce de las expresiones; cuál o cuáles son cocientes notables. A) I, II, III D) II, IV, V

B) I, II, IV E) I, II, V

30.

Calcula m, si la división: x13m + 1 - y8m +2

C) II, IV, V

x m + 1 - ym

A) 4 25.

En los desarrollos de los cocientes notables escribe los exponentes faltantes de tal manera que cumpla con lo principal de sus características:

31.

6

x x

-

a a

6 =

x5 + x

a + x3 a2 + x

a

5

a

c.

3n

a

3

+

b

4n

b

4

5

-

b

24

+

b

2

=

16x

8x

4x

-

C) 3

D) 2

E) 5

, el término de grado absoluto igual a 31?

A) Sexto D) Tercero

32x + 1 2x + 1

b.

60

a

xa4 + a

+

B) 6

¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable a

a.

, genera un CN.

B) Noveno E) Décimo

C) Segundo

2x + 1

+

-

Resolución de problemas =

a3(n - 1) - a3. a3.

b4 + a3(n

b4.

+

b4.

3) 4.

-

b

32.

...

-

Uno de los términos del desarrollo del siguiente cociente notable es x18y24; según esto calcula el octavo término de su desarrollo.

; n: par

-

x6n - y10p x n - 4 + yp

d.

x

36

x

4

-

1

-

1

x4.

=

20

10 1 9999

e.

-

=

x4.

x4.

+

x20 + x4.

+

1016 + 104

+

104

104

+

... + x4.

+

+

1

+

1

+

B) -x28y12

D) -x12y28

E) x12y12

C) x28y12

Halla el número de términos del cociente notable que tiene dos términos consecutivos de la forma x46y72 / x44y78. A) 36


33.

A) x12y28

B) 35

C) 72

D) 30

E) 118

Calcula (n - m), si el decimoséptimo término de: xm - yn x

5

-

y

7

es x115y112.

A) 80

B) 70

C) 60

D) 50

E) 40 D D B D A

27.

Halla el vigésimo término del desarrollo del cociente notable: x

2

10

A) x - 1 28.

B) 2

-

2x + 2

x-1

-

C) 3

1

D) 1

E) 4

Se sabe que: b - a = 6; además la siguiente división genera un cociente notable. x a + yb

Halla el término central.

29.

B) - xy3

D) - x3y5

E) - xy

C) x3y5

Halla n, si la división es un cociente notable de 81 términos. x

27

x

3 l E e E . v . i 4 3 2 N 2

A D D

. . . . 5 6 7 8 2 2 2 2

D A A A C B

. . . . . . . . 5 6 7 8 9 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2

2 l A B e E B B . E . . v . . . . 0 1 2 3 i 4 8 9 1 1 1 1 N 1

x 3 + y5

A) xy3

. . . . . 9 0 1 2 3 2 3 3 3 3

1 l e v i N

D E . . . . . . . 1 2 3 4 5 6 7

5n

13n 3

+

1

+

1

A) 6

B) 8

D) 2

E) Imposible calcular

C) 0


25


FACTORIZACIÓN

Factoriza: 6

N(x) = x

2 3

19x

-

216

-

e indica la suma de los factores primos lineales.

A) 3x + 1 D) 2x - 1

3

B) 2x - 3 E) 2x + 3

Factoriza: 6

P(x) = x

4x

+

3

x

+

2

4x

+

2x; e indica el factor lineal

+

B) 2x + 2 E) 3x + 2

2

6 2

x - 6)

+

2

6(x

-

x) + 6

+

2

B) 2 E) 5

C) 3

Indica un factor del polinomio: F(a; b; c) = a2 + a - b2 + b - c2 - c + 2bc

A) a + b - c + 1 D) a - b + c + 1

C) 2x + 1

Factoriza: M(x) = (x

A) 1 D) 4 4

4

A) x D) 3x + 1

5

C) 2x + 1

Factoriza: F(x) = 25x4 - 109x2 + 36; luego indica cuántos factores primos se obtienen.

B) a - b + 1 E) a - b - c

C) a+1

Halla un término de un factor primo de: F(x; y; z; w) = (x + y)(x + z) - (y + w)(z + w)

Señala el número de factores primos.

A) 1 D) 4

26

Intelectum 4.°

B) 2 E) 5

C) 3

A) -yz D) -zw

B) x E) xy

C) yz

7

9

Factoriza: R(x; y) = x5 - y5 + (xy)2(y - x); e indica los factores de segundo grado.

A) x2 - y2

B) x2 + y2

D) x2 + xy + y2

E) x2 + y2 + 1

D) 2x + y + z

B) x + y + z E) 3x + y - z

B) 3 E) 2

D) 4(x + y + z)

10

B) 1 E) 4

B) x2 + y2 E) 0

C) 2 (x+ y + z)

Factoriza: P(x) = x4 - 2x3 - x2 + 4x - 2; e indica cuántos factores primos

tiene.

C) x - y + z

12

A) 1

B) 3

D) 7

E) 2

14

C) 2

C) 5

Factoriza: F(a; b) = a6 - 64b6 Indica el número de factores primos.

A) 1 D) 4

C) 6

¿Cuántos factores cuadráticos tiene el binomio P(x) = x8 - 1?

A) 0 D) 3

Factoriza: F(x; y) = (x + y + z)(xy + xz + yz) - xyz Señala la suma de factores primos.

A) x + y + z

Factoriza: P(a; b; c) = (a3 + b3 + c3)3 - a3 - b3 - c3 Indica el número de factores primos.

A) 4 D) 5

13

C) x2 - xy + y2

Factoriza: F(x; y; z) = x(x2 + yz)+ z(x2 + y2)- y3 luego indica un factor primo.

A) x + y - z

11

8

B) 2 E) 5

C) 3

Factoriza: P(x; y) = 64x7y7 - xy13; luego indica el número de factores primos.

A) 4

B) 5

D) 12

E) 7

C) 6

C . 4 1

D . 2 1

E . 0 1

C . 8

B . 6

D . 4

D . 2

B . 3 1

B . 1 1

C . 9

C . 7

D . 5

A . 3

D . 1

s e v a l C


27


▪

▪


▪

▪

El manuscrito misterioso

▪

A continuación se ha escrito una definición en clave. ¿Puedes descifrarlo?. Ten en cuenta que cada casilla tiene un número que representa a una letra del alfabeto: 1 = A; 2 = B; no consideres (Ñ, LL, CH).

▪

▪

Sustitución de variables Divisores trinómicos Aspa simple Quita y pon Aspa doble Factor común Adición y sustraciones especiales.


A) -2 D) 5

Razonamiento y demostración 10. 3.

5

1

21 5

16 18

3 5

Factoriza:

x3 + 5x2 - 2(2x + 1)

4 5

18

19

19

13 1 3

5 19

22

19

A) x + 3 C) x3 + 5x2 E) x + 1

5 19

4 5

16

12

15 13

14

13 21 12 20

9

3 9

4 9

1

3

20

13

1

4

16

1

16

5

9

4

12

15

15

15 19

14

21 14

4

19

5.

15 13

4 5

4 5

3

21

3

5

6.

1

13 9

5

6

19

3 20

12 5

▪

▪

28

Aspa doble especial Identidades Intelectum 4.°

Representa gráficamente el polinomio: x2 + (a + b) x + ab; en un cuadrado o rectángulo y según ello factorízalo.

12.

Luego de factorizar el polinomio: B(x) = 21x4 + 13x3 + 85x2 + 24x + 22 3x2

cx

11

2

dx

b

ax

D) 6x4 + 4y2

determina la suma de coeficientes de uno de sus factores primos:

Al factorizar: F(x; y) = (xy + 1)2 - (x + y)2 + 4xy la suma de sus factores primos es:

A) 11 D) 5

B) 12 E) 8

C) 10


B) 2x + y

D) 4x + 2y

13.

Factoriza:

P(x) = x3 - 5x2 + x + 10

Indica un factor primo.

P(x) = x4 + 3x3 + 5x2 + 3x + 4

Identifica el método de factorización que 8. no encaja con los demás:

C) -1

11.

B) 9x4 + 4y2

Factoriza:

Razonamiento:

Método de(l) :

Factoriza: H(x; y) = 54x8 + 21x4y2 - 20y4 Indica un factor primo.

7. 15

B) -2 E) 3


B) m - 2 D) m + 5

A) 4 C) 2x - y E) 2xy + 2

5 19

A) -3 D) 2

Nivel 2

Factoriza: J(m; n) = m2(4m2 - 5) + 1 e indica un factor primo obtenido.

A) 6x4 - 5x2 C) x4 + y E) 3x2 + 2y

20

14 21 13

Esta definición se refiere a:

2.

15

Factoriza: F(x) = (x + y)2 + (x - y)2 + 4xy Indica la suma de los términos independientes de los factores primos.

B) 2x + 1 D) x2 + 6x + 2

A) m + 2 C) 2m - 1 E) m2 + 1

14

C) 3

5(x + y) + 2

21

4.

B) -3 E) 1

-

Indica un factor primo. 2

Factoriza: 2x3- 7x2 - x + 2 El término independiente de un factor primo es:

A) x - 1 D) x - 7

e indica un factor primo. A) x2 + 3 C) x2 + 2 E) x2 + 7

B) x2 + 4 D) x2 + 1

B) x - 2 E) x + 2

14.

Si: a + b + c + d = 33; {a; b; c; d} 1 z y P(x) es factorizable por aspa simple, tal que:

P(x) = 6x2

dx

+

+

7

3x

a

bx

c

Cuántos factores binómicos se obtienen al factorizar: P(a; b; c; d) = (a + b)(a + c) - (b + d)(c + d)?

Calcula: d - 2c - b2a

A) Ninguno

B) 2

A) 5

B) 3

D) 3

E) 5

D) 7

E) 6

C) 1

C) x + 4

C) 4

15.

Factoriza:

Verifica las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F):

3x3 - 13x2 + 13x - 3

Señala el producto de los términos de un factor. A) 2x D) -2x 16.

B) x E) 3x

17.

18.

R = x

A) x + b D) x + a

n+1

bx

+

n

abx , es:

-

B) x - b

24.

2

C) x - c

C) VVF

B) a + 2b - 2 D) a + b + 3

B) 2 E) 12

C) 3

B) x - 1 E) x - 3

30.

Factoriza el polinomio:

R(x) = x4 + x3 + 4x2 - 3x + 5

e indica la suma de los términos lineales de cada uno de los factores primos. A) 2x D) 8x 31.

A) x + a D) x + 7 26.

C) x

Al factorizar: F(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 ¿cuántos factores primos se obtienen? A) 2 D) 3

B) 4 E) 1

C) 5

C) x - 1

Luego de factorizar: M(x; y) = 12(x + y)2+ 7(x + y) - 12 se obtiene:

D . 7 2

A . 8 2

B . 9 2

C . 0 3

E . 1 3

3 l e A C C A A B . . . . . . v i 1 2 3 4 5 6 N 2 2 2 2 2 2

C) (4x - 4y + 3)(3x + y - 4) C) x + 2

D) (3x + 4y + 3)(4x + 3y - 4) B A C D C A D B

E) (6x + y + 2)(2x - y - 6)

¿Cuánto vale (M-N) ' 2, si el trinomio 5Mx10 + 110x5y5 + Ny10 es un trinomio cuadrado perfecto? C) 20

. . . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 1 1 1 2

Determina el número de factores primos luego de factorizar: P(x) = x4 + 2x3 + x2 - 18(x2 + x) + 72 A) 1 D) 4

28.

E) 27

B) x + 2 E) 2x + 1

B) (4x + 4y - 3)(3x + 3y + 4)


D) 21

C) x - y

B) 5x E) 4x

25. Indica un factor primo del polinomio: P(x) = x3 + (a - 1)x2 - (a + 2)x - 2a

27.

B) 19

B) x + 4y E) x - 2y

A) (4x - 4y - 3)(3x - 3y + 4)

Nivel 3

A) 58

Indica un factor primo del polinomio: F(x; y) = x3 - 3xy(x - y) + 26y3 A) x + 2y D) x + y

E) ax

Al factorizar: F(x) = (x2 + 2)2 - (2x + 1)2 el factor primo que se repite es: A) x + 1 D) x - 2

22.

B) FVF E) VVV

A) a + 3b + 2 C) a + 3b - 2 E) a + b - 2

C) 2

Al factorizar: F(x) = x2(2x + 7)2 - 12(2x2 + 7x + 5)+ 15 la suma de los términos independientes de los factores primos es: A) 0 D) 6

21.

A) VFV D) FFV

ax

-

A) (z + q)(x - y)(m + n) B) (z + q)(x + y)(m + n) C) (z + q)(x - y)(m + n) D) (z + q)(x + y)(m - n) E) (x + y)(m + n)

III. La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es -c3.



20.

nyq + nxz

+

Un factor de: n+1

Factoriza: A = mxz + mqy + nqx + myz + mqx + nyz

C) 3c4

B) 5 E) 6

n+2

19.

29.

23. Factoriza: Factoriza el polinomio: 2 2 2 2 M(a; b) = a2 + 5ab + 6b2 + a + 5b - 6 P(x; y) = x - y + a - b + 2(ax - by); e indica el número de factores lineales. Indica un factor primo.

A) 1 D) 3


II. Tiene 2 factores primos cúbicos.

C) -x

B) -2c2 E) 4c2

son

I. Tiene 2 factores primos.

Halla el valor numérico de un factor primo en: P(x) = x(c4x - 6 - x)- 9; para x = -3 A) -2c D) -3c2

si

B) 2 E) 5

C) 3

Al factorizar: F(x) = (x2 + 6)2 + 3x(x2 + 6) - 10x2 el factor primo cuadrático es:

Del siguiente polinomio:

A) x2 - 2x + 6

B) x2 + 2x + 6

P(a;b) = a6 - 4a3b - 4a3c3 + 6bc3 2 6 + 3b + 3c

C) x2 + 5x + 6

D) x2 - 5x + 6

2 l e D C A A . v i . . . 0 7 8 9 1 N 1 l e v i N

A

. . 1 2 1 1

D C E E . . . . . . 1 2 3 4 5 6

E) x2 + 3


29

Matemática Sea P(x) = x4 - mx + n un polinomio de coeficientes enteros, tal que P(x) es divisible por (x - 2)2. Determina: m + n

Dividimos por Horner: 1

1

4

0

0

4

-

4

16

16

-

48

Si es divisible por (x - 2)2

1

x2 - 4x + 4 es factor de P(x).

4

Como es exacta: 32 - m = 0

n

3

+

2

6n - 9n - 14 n+2

es múltiplo de ( n + 7).

(

• Si P(x) = 4x3 - 2x2 + x P(-1) = 3. &

2x

•

3

-

x

x

2

2

+

-

7x + 6

es una división exacta.

x-2

B) FVF E) VFF

4.

(

)

B) 19 E) 0

Reduce B = A)

3 27

D)

1 3

f

m

-3

m

Sean P y Q dos polinomios.

P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x + 8 Q(x) = ax3 - bx2 + cx - d

+

-3

n

n

-3

-3

p , si m

B)

2 45

E)

3 27

n = 3

+

/

mn =

A) 34 D) 32 8.

1 2

.

1 57

15 + x

3

=

B) 10 E) 18

-

3

3x + 3x x-3

2

-

C) 3

10.

B) 43

C) 50

D) 100

E) 724

1 x

4

=

6

+

B) 124 E) 104

8x 3x

30

5

3

+ +

1 x

5

Determina el resto de la siguiente división: 112

-

6x

40

x

3

x

2

2

+

ax

+

2x + 1

+

bx + c

Intelectum 4.°

16

+

36x

2

1

A) x + 3 D) 42

C) 16

-

+

11.

Reduce: N =

6

x

+

4

B) x + 50 E) 25 (0, 25) -2

Al dividir: 6x

7xmy5

+

A) 45

Si: x +

7x

1

A) 34 D) 94 6.

y

C) m + 9

Determina: x5 +

Determina la suma de coeficientes del cociente en: 5

2 7

B) m + 2 E) m + 5

x

x

+

243

A) 5 D) 9 5.

C) 0

Determina: GR(x) + GA(P)

A) m D) m + 11

Determina x en: x

C) 10

B) -35 E) 18

Si: P(x; y) = 5xm

9.

C)

m + n = 80

`

Si: P(x) = Q(x + 1) Determina: a + b + c + d

C) -25

-1

B) -5 E) 0

7.

C) FFV

Determina un polinomio P(x) de grado 3 de coeficientes enteros que al dividirlo por (x + 3) (x + 1)(x - 2) se obtiene por resto 5; además, el término independiente es 6. Indica P(5). A) 24 D) -19

3.

)

A) 6 D) 9

A) VVV D) VFV 2.

)

(

n = 48

se obtiene de resto: 2x2 + 4x - 3 Indica: a + b + c

Responde verdadero (V) o falso (F) según corresponda: •

m = 32

&

n - 48 = 0

48

-

32 - m n - 48 0 0

12

&

1.

n

4

-

Resolución:

m

-

1

c) 30

+

-

A) 2

B) 1

D) 6

E) 9

0, 5-1

-

d n d 13 n 1 7

-

2

C) 7

Unidad 2

Recuerda Análisis infinitesimal La aparición del análisis infinitesimal fue la culminación de un largo proceso, cuya esencia matemática interna consistió en la acumulación y asimilación teórica de los elementos del cálculo diferencial e integral y la teoría de las series. Para el desarrollo de este proceso se contaba con el Álgebra; las técnicas de cálculo; la introducción a las matemáticas variables; el método de coordenadas; las ideas infinitesimales clásicas, especialmente de Arquímedes; el problema de cuadraturas; la búsqueda de tangentes etc. Las causas que motivaron este proceso fueron, en primer término, las exigencias de la mecánica, la Astronomía y la Física. En la resolución de problemas de este género, en la búsqueda de problemas generales de resolución y en la creación del análisis infinitesimal tomaron parte muchos científicos: Kepler, Galileo, Cavalieri, Torricelli, Pascal, Walis, Roberval, Descartes, Barrow, Newton, Leibniz y Euler. La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma de cálculo de diferenciales de G. W. Leibniz.

Reflexiona • El enfoque proactivo consiste en cambiar de adentro hacia afuera y ser distinto, y de esta manera provocar un cambio positivo en lo que está allí afuera. • Somos responsables, tenemos “habilidad de respuesta”, de controlar nuestras vidas y de influir poderosamente en nuestras circunstancias trabajando sobre el ser, sobre lo que somos. • Lo más proactivo a nuestro alcance es ser feliz, sonreír auténticamente. La felicidad, como la desdicha, es una elección proactiva.

¡ Razona...! En la gura, se muestra una mesa con siete dados. ¿Cuántos puntos como mínimo no son visibles?

A) 67

B) 61

C) 71

D) 68

E) 72


MCd Y mcm - fracciones algebraicas

Efectúa: x

2

x

3x + 2

-

2

2

x-6

-

x

. x

2

2

-

x

2

x-2 x

2

-

4

.

-

2x - 3

-

4x + 4

Reduce: 1+ S= 1+

x+y x-y x-y x+y

Da como respuesta la suma del numerador y el denominador.

A)

D) 3

x-1

B)

x-2 x+1

C)

x+2

x+1 x+2

E) 1

x-2

A) x

Efectúa: a

2

b

-

4

2

ab

-

ab - b

6x

ab - a

2

3

x

B) a/b E) 0

C) ab

M=

2

6 + 2x

3

2x

-

2

3bx

+

2

- 2b

2

2

+

+

14x + 6

3x

2

A) 4

Simplifica: 2ax

B) 2x

E

2cx - 3bx - 3 bc

D) 2y

E) x + y

+

2x

=

a x

+

B) 6

b

+

x+1

1 x+2

C) 7

D) 8

E) 5

Reduce:

3

x - 3 abx + 3 b

C) y

Halla a + b, si:

2

A) b/a D) -ab 5

x-1

=

d

1 3x + 3

+

1 2x - 2

+

1 x

2

-

1

n_ i . x-1

Da como respuesta la diferencia del denominador y el numerador.

A)

D)

x

2

-

b

2

B)

x 2

x +b x+a

2

E)

x

2

-

ax

C)

x x

2

+

b

2

-

x-c

ax

x

2

ax - b x+c

+

2

A) 2 D) x + 1

B) x

C) x - 1

E) x + 3

ÁLGEBRA- ACTIVIDADES UNIDAD 2

33

7

El producto de 2 polinomios es: P(x) . Q(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)2 Calcula el MCD si el MCM = x3 - 7x - 6

A) x + 2

B) x + 1 E) x(x + 2)

D) x 9

11

Sabiendo que la fracción: F(x; y) =

8

+

x-1

x

2

x+1

-

1 x-1

2

D) x

1

-

x+1

B) x - 2 E) x2 + 1

-2

C) x + 1

toma un valor constante para todo valor de sus variables. Halla ab.

Determina el MCD de los siguientes polinomios: P = (mx + ny)2 + (nx - my)2 Q = m3 + n3 + mn2 + m2n

A) 45 D) 90

A) m2 + n2 D) m + n

10

5x 2 + 2xy + 8y 2

B) 60 E) 12

C) 84

Si: Q(x) = x3 - x2 - 9x + 9 es el MCM de los polinomios: P(x) y F(x) = x2 + ax + 3. Calcula: (a2 + 1)

A) 10 D) 26

B) 14 E) 50

12

A)

1

4a + ab

3x - 9

2 x+3

B)

5x - 3 3x

2

-

2 x-3

27

-

C)

1

x-3

5 x

E)

2

2b

2

b+2

a

_

x b-2

x+3

+

2-b

B)

i

E)

=

a ab

+

a

+

1

+

A) 1 D) 4

1

C) n + m2

F

a

_

x b+2

i

C) a + b

a b

Si ab = c, calcula el valor de: E

D)

'

b x - 4x

x+3

1

p <

2

D) a - b 14

+

B) m2 + n E) m - n

Efectúa:

f

C) 17

Efectúa: E=

bc b

+

bc

+

c

+

1 a

+

1+c

B) 2 E) 5

C) 3

A . 4 1

A . 2 1

A . 0 1

A . 8

C . 6

E . 4

B . 2

C . 3 1

C . 1 1

D . 9

A . 7

C . 5

B . 3

A . 1

s e v a l C

34

3

A) x2 + 2x

A)

13

x

M=

C) x - 3

ax 2 + bxy + 24 y2

Efectúa:

Intelectum 4.°


4.


2.

-

B

S

X

S

F

E

Q

A

C

S

E

R

A

V

P

A

E

A

P

V

J

A

Y

O

T

V

P

T

Y

E

D

E

C

E

Q

U

I

V

L

T

A

Q

F

N

X

N

L

B

V

C

A

S

Q

W

O

H

G

E

K

P

D

T

D

I

N

U

Q

X

M

G

X

G

M

G

C

J

P

N

J

I

O

G

E

N

O

L

x5 - px 4 - p 4 x + p 5

R=

Encuentra las distintas clases de fracciones: Propia - Impropia - Homogéneas - Heterogéneas Equivalentes - Compleja

A

Simplifica:

O

B

O

A)

D) 5.

x p

B)

x 2 + p2 x

E)

=

x

3

x

+

3

2x

2

x

2

-

+

2x + 1

-

x-2

x-2

A)

B)

x+1

D)

x+1

E)

x-2

x+7 x

2

-

2

W

Z

P

Y

C

R

K

R

R

J

K

O

E

N

N

K

B

L

M

E

M

P

Z

H

G

J

R

O

I

H

A

S

H

T

I

A

S

E

T

N

E

L

A

V

I

U

Q

E

O

R

D

F

M

D

G

Z

H

C

G

I

P

H

Z

E

A

I

P

O

R

P

M

I

C

Z

F

A) 1

B) a - b

C

R

P

R

O

P

Z

Y

L

A

S

B

X

D) a + c

E) b + c

> __ c

=

x

1

-

A) x3 + 7x2 B) 11x + 5

:

1 b

-

+

c

C) a + b

x

B) x E) 2x

Simplifica:

M

C) -x

2

=

D) Una fracción de valor es cuando asume el valor numérico para cualquier sistema de

Si el producto de dos expresiones es: (x + 1)2(x + 2)(x + 5) y su MCD es (x + 2). El MCM de las expresiones es:

H

1 1

1

1+ 1+


1

1

-

A) 1 D) 0

.

+

1

-

B) Son fracciones homogéneas cuando tienen denominador.

valores asignados a sus

2

Calcula: R

8.

x

i + b _c - b i a + c i + b _a - b i

a a+c

=

1

C) Una fracción es compleja cuando al menos uno de sus términos es una .

5 1-x

Reduce: K

7.

C)

1

x-2

M

Completa la teoría de la clasificación de fracciones algebraicas:

x 2 - p2 x

x

L

6.

C)

x+p

S

A) Una fracción algebraica es propia cuando el grado del denominador es que el grado del numerador.

3.

x2 + p 2 3x

Simplifica: F

B

x 4 - px3 - p2 x2 + p3 x

2 x-1

A)

x-1 x

B)

x x+1

D)

x+1 x

E) 1

C)

x x-1


Si el MCD de: P(x) = x3 + ax2 +(a + b)x + b

Q(x) = x3 + cx2 +(c + d)x + d

C) x3 + 7x2 + 11x + 5

Es un cuadrado perfecto, entonces podemos afirmar que:

D) x2 + 11x + 5

A) a + b = c + d

E) x3 + 7x2 - 11x - 5

B) a + c = b + d C) a + d = b + c D) a + b + c + d = 0 E) a + 2b = c + 2d


35

10.

Si la fracción: F _x ; y i =

ax

2

bx

2

Razonamiento y demostración 2

+

cxy + ey

+

dxy + fy 2

13.

Toma un valor constante k2 para todo valor de x e y. Halla sabiendo que: bde =

R k

2

2

B(x) = x3 + x2 + n

acf ,

es x2 - x + 2 Calcula: mn

; (R 2 0) R k

A) 1

B)

D) k

E) R

C)

Sabemos que el MCD de los polinomios: A(x) = 2x3 - x2 + 3x + m

A) 2 D) 8

k R

14.

NIVEL 2

B) 4 E) 16

Calcular: M = x2 + y2 + z2 Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a a-b


ab 2

11.

_a - bi

Marca verdadero (V) o falso (F), según corresponda: ( ) Una fracción impropia es cuando el grado del denominador es menor o igual que el grado del numerador.

A) 15 15.

( ) El MCM se calcula primero si factorizamos las expresiones;

S

( ) En toda fracción si se altera cualquier par de sus signos, tendremos como resultado otra fracción equivalente. ( ) El MCD de dos o más polinomios es otro polinomio de mayor grado posible que divide exactamente a cada uno de ellos.

16.

=

1 2

+

_b - ci

B(x) = x3 - x2 + 2x - 2, entonces:

MCM(A(x), B(x)) = (x - 1)(x + 2)(x2 + 2)

17.

( ) Si: A(x) = x2 - 3x - 10 B(x) = x2 + 9x + 20

MCM(A(x), B(x)) = x + 5 ( ) Si:

18. 2

A(x) = x + 6x - 27

_a - ci2

C) 16

1 6

+

1 12

+

=

3

D) 14

E) 17

1

... +

n

B)

D) n + 1

E)

2

+

n

1 12

C) n

n n+1

Si la fracción: mx 2 + 18xy + 24y 2 5x 2 + 3xy + ny2

A) 12 D) 6

B) 8 E) -12

Calcula: R 1 Sa + 1 S b+ 1 S a+ S 1 b+ SS h 3 T

V W W W W WW X

'

B)

D) 2a

E) 3a

Intelectum 4.°

R 1 Sb + 1 S a+ 1 S b+ S 1 a+ SS h 3 T

V W W W W WW X

C) b

Calcula:

F

=

1

3+

1

6+ 6+

1 6+

B) VFV E) VVV

C) 34

a b

A) a

MCM(A(x), B(x)) = x + 9

36

ac

+

F2 + 1, si:

B(x) = x2 + 2x - 63

A) FFF D) VVF

c-a

es independiente de x e y. Calcula el valor de m + n.

A(x) = x2 + x - 2

2

A) 1

F _ x; yi =

( ) Si:

bc

B) 13

Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

+

b-c

Calcula la suma de:

luego se tomará solo los factores comunes con su mayor exponente.

12.

C) 6

C) VFF A) 11

B) 8

1

h

C) 7

D) 5

E) 10

19.

Calcula:

III .

1

B=

A)

a-5

-

2 a

2

-

1 a+2

-

a

2

-

5a + 6

B) a + 2

D) a - 2 20.

8a + 15

1

C)

1 a-2

E) a + 1

II "

Simplifica: ab_ x2 + y2i + xy_ a2 + b2i

M=

ab_ x2 - y2i + xy_ a2 - b2i

Indica la suma de los términos del resultado. A) 2by D) -2ax

B) 2ax E) -2by

C) 0

I"


Si uno de los factores del MCD de H(x) y W(x) tiene la forma: ax7 + bx +c

-

V

H(x) = x8 - 5x7 + 9x2 - 46x + 5 13

7

-

6

W(x) = x + 12x - x + 27x - 3

IV

(a - c)c

24.

Determina: R = b A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

Determina qué relación es la correcta entre P y Q si:

C) 3

P

1

=

1+

1+

22.

De la siguiente fracción:

x

4

+

x

_t + 2ix 3 + rx2 + 28x + 21

4

3

+ tx + wx

2

+

10x + 7

Hay un factor en común tanto en el numerador como en el denominador de la siguiente forma: x 3 + Ax + B. Determina AB asi como la suma del numerador y denominador de la fracción simplificada. A) 3; x + 2 D) 1; x + 1

B) 2 ; x + 1 E) 9; 2(x + 2)

C) 10; 5(x + 3)

y

1

Q

1

=

1

1+

1 2

2+

A) P 2 Q

B)

P 4 1 Q 5

3 P

E)

P

D)

+

7 2 14 Q

1 2

C) Q = 7P

Q = 1


Si el MCD de los polinomios: P(x) = x4 - 9x2 + mx + n

F(x) = x4 + 2x3 - 7x2 + px + q

NIVEL 3

es: (x - 2)(x - 3), halla el MCM de dichos polinomios.


A) (x - 2)(x - 3)(x2 - 2x + 4)(x2 + 1)

23. Lenguaje

B) (x - 2)2(x - 3)2(x + 4)2(x - 5)

Sitúa correctamente los títulos de los enunciados en forma cruzada junto al número que corresponde.

C) (x - 2)(x - 3)(x2 + 5x - 10)(x2 - 7x - 22) D) (x2 + 5x - 10)(x - 2)2(x - 3)2

I. Es aquel polinomio de mayor grado posible que divide exactamente a dos o más polinomios. II. Son aquellas que tienen igual denominador: fracciones... III. Es aquel polinomio de menor grado posible que sea divisible por cada uno de los polinomios. IV: Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales enteras llamadas numerador (dividendo) y denominador (divisor) donde este último es al menos de primer grado.

V. Es cuando asume el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores asignados a sus variables.

E) (x - 2)(x - 3)(x2 + 5x + 10)(x2 + 7x + 22) 26.

Si a; b y c ! R , tal que: 1 a-b

+

1 b

-

c

+

1 c

-

a

=

0

Calcula: M

=

A)1

a

4

+

b

4

+

c

4

+

_

2

a b

2

+

abc a + b + c

B) -1

2 2

b c

+

2

c a

2

i

C) 2

D)7

E) 3


37

27.

x2 + y 2 y 2 + z2 + x+y y+z

Si:

Calcula (3B - 2A), si:

33.

z2 + x 2 z+x

+

xyz

=

3x + 4 x

Halla: y

R=

_

xz x + y

i

+

z

_

xy y + z

A) 1/2 D) xyz 28.

a b

Si: E=

+

i

x

_

yz z + x

c d

+c +d

-

-

A) 0

_a2 + b2i _b2 + c2i _a2 + c2i

29.

+

ac

=-

2

A) 1 D) 8

B) 2 E) 16

C) 4

Reduce: +

a-x 1

-

a-x

x

_a - x i2 x

_a - x i2

+

+

x

x

+

a

+

x

-

f

-

_a - x i2n x

_a - x i2n C)

=

a

2

a a - 2x

2ax + x

x

_

2

2 a

-

x

2

_

2ax a + x

i

-

_a - xi_a

2

+

i 2

2ax + x

i

+

a

2

_

-

x

3ax

2

-

abx - a

3

2

4a x + b

D)

2 3

E)

2 x-a

C)

3 5

2 5

Calcula el producto de las fracciones que se obtiene a partir de: 6x

2

-

x

2

i

A) B) a - x E) x - a

2

B) 1

2

da el denominador: A) 2a + x D) 2a - x

+

bx

1 2

a-x

2

3

+

A)

36.

-

x

3

para x = a; se obtiene la forma 0 . Entonces, después de 0 simplificarla, se obtendrá como verdadero valor:

Al simplificar: E

x

_ i=

F x

2n - 1

3x - a

E)

Si al evaluar la fracción:

35.

2n - 1

a

B)

a-x

g

2

_a - xi3

2x - a

D)

3

_a - xi3

a

A)

31.

bc

_a + b + ci6 - _a6 + b 6 + c 6i _abi3 + _bci3 + _aci3

=

C) -1

ac bd

E)

1

30.

+

Calcula:

cd c+d

B) 1

ab cd

C) 3

Si:

34.

ab a+b

B x+2

+


ab

a+b

A x+1

B) 2 E) 6

C) 1

; reduce la siguiente expresión:

_a + c i_b + d i

=

3x + 2

D) 4

P

D)

+

A) 5

i

B) 2 E) 4

=

2

C) a + x

D)

3

2x - 2 -

x

3 x

B) 6

_

x x

2

-

1

i

E)

5 x

2

-

C)

1

6 x

2

-

1

1

_2x - 1i x

Si: xy + yz + zx = 3xyz = 1 Halla: A =

y_1 + x 2i _1 - xy i_1 - xz i

A) 1 D) xyz 32.

z_1 + y 2i x_1 + z2i + _1 - yzi_1 - xy i _1 - zxi_1 - yzi

B) 2x E) 1

C) 3

B) 2 E) 8

Intelectum 4.°

1. 2. 4. D

_a 2 + b2 + c 2i2 a

Nivel 1

3. C

9

Si: a + b + c = 0, halla: A) 1 D) 4

38

+

4

+

b

4

+

c

4

C) 3

9. C 10. E

Nivel 2 11.

16. C

Nivel 3

30. C

17. B

23.

31. C

24. D

32. B

25. E

33. D

26. C

34. B

27. A

35. C 36. D

18. A 19. C

5. D

12. C

6. C

13. D

7. D

14. A

21. C

28. A

8. D

15. E

22. E

29. C

20. B

A p l ica m o s lo ap r en d ido TEMA 2: potenciación 1

Halla: m, si: 5Cm5

m

=

mC3

-

2

1

Halla el lugar del término que contiene como parte variable a x29 en: F(x) = (2x2 + 3 )22 x

A) 5 D) 8 3

B) 7 E) 6

A) Primer término C) Cuarto término E) Sétimo término

C) 9

Halla el noveno término de la expansión de: A = (2x5 + y3)11

4

Halla n, si el tercer término del desarrollo de:

dx

A) x15 y 24

15 24

D) 100x y 5

B) 1320x15y24 E) 130x15y20

C)132x15y24

Calcula el coeficiente del término del desarrollo del binomio (1 + x)20 que es el doble del coeficiente del término anterior.

A) 77 200 D) 77 025

B) 77 520 E) 77 620

C) 77 500

y 2

+

n

n es 5x y . 3 2

A) 5 D) 7 6

B) Segundo término D) Sexto término

B)2 E) 8

C) 1

Halla el término independiente del desarrollo de:

d

x

2

-

13

1 x

2 3

A) 1717 D) 1716

x

n

B) 1718 E) 1719

C) 1720


39

7

Determina el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de la potencia:

A) 67 D) 76 9

x

+

1 4

x

n

B) 90 E) 48

C) 84

B) 16 743 E) 14 14

x

+

1 4

x

10

C) 10 240

12

13

B) 11 E) 19

Indica el término cuadrático en el desarrollo de:

9

n

B) 82

C) 84

D) 12

E) 80

Un término en el desarrollo de (x 2 - 5y7)n tiene como parte literal a x6y35. Halla el coeficiente del segundo término.

A) 40 D) -40

B) -42 E) 28

14

7 2

B)

C3 x

D) C82 x2

E)

C7 x

C3 x

8 2

C) 12

d

x+

1 x

C) C84 x2

8 2

Halla el coeficiente del término independiente de x en el desarrollo de P(x) = (x8 - x 4)12

A) 495 D) 250

C) 8

B) 200 E) 180

C) 195

A . 4 1

B . 2 1

B . 0 1

E . 8

D . 6

A . 4

D . 2

D . 3 1

C . 1 1

A . 9

C . 7

B . 5

B . 3

D . 1

Intelectum 4.°

8

n

-

s e v a l C

40

C) 8

Halla el valor de k de tal manera que los términos de lugares k2 + 8 y 6k del desarrollo de: P(x; y) = (x + y) 193 equidisten de los extremos.

A)

A) 83

B) 5 E) 7

A) 18 D) 10

Calcula el término independiente en el desarrollo de:

d

Halla (n + k) si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk.

A) 4 D) 10

Calcular el coeficiente del término del desarrollo de (1 + x) 17 que es igual al coeficiente del término anterior.

A) 24 310 D) 18 420 11

d

8

9


4.


Encuentra los diferentes tipos de palabras en la siguiente sopa de letras. Semifactorial - Triángulo - Pascal – Binomio - Newton Coeficiente - Binomial A F B

P G T

F S A U G Q V S W

F O W B L H T O E O P

E X

D C L V Z U A J R M I Y K Q W R J C X D C O I H O S U E N L Q E O M S F A G I D D

A) 5.

I

Y O

A E T I

H

6.

G F O F R

I

C G Z U Z N Z P O E O H B B Q L N I J I N R J L T A D O K B B N I D G C K Y K Z C L P X M Y E T

Q X H

B) 0

7.

R C E

T

N E

I

2.

A) El número de términos del desarrollo, es el exponente del

binomio aumentado en uno. Es decir: n.º términos = n + 1 B) Si el binomio es homogéneo, el desarrollo será homogéneo del

mismo grado. C) Si los coecientes del binomio son iguales, los coecientes de los términos equivalentes de los extremos son iguales. Del desarrollo de: A) El _____________________ del desarrollo, es el ___________

E)

D) 11

E) 12

D) 1

E) 5

5 2

.

1 32

1

C) 2

2y

C) 2

D) -1

4

n

un

E) A / D

Halla el coeficiente del término central en el desarrollo del

<

2

x +

1 x

12

F.

B) 924

C) 824

D) 850

E) 950


Memoria

Lee el texto por 2 minutos, tápalo y completa las palabras, que faltan en el texto más abajo: Del desarrollo de: (x+a)n

6

m es

D) - 1

2

C) 8

B) 8

C I F E O C

X M H V T N E A J N M O U K

1 x

d

S A B L S M L N O T W E N T L

ax -

Calcula a de modo que en el desarrollo de ax3 + 2 x término sea 24xn yn.

A) 650

A

-

B) 3

P S I

nC3

c

16 51Ca Halla a, si: 40C18 a =

binomio:

Y

n

=

B) 6

A) 1 8.

C) 1

Calcula n , si: 5Cn5

A) 4

A V A R N W M R T

P U C P

1 64

A) 7

L

M

El término central en el desarrollo de: P(x) = De acuerdo a esta condición, halla a .

c

Si en el desarrollo de: B(x) = 3x3 +

y2 x

n

m

existe un término cuyos exponentes de x e y son, respectivamente, 5 y 8. Hallar el número de términos del desarrollo. A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 10 10.

Determina a para que al reducir: P(x) = (x + 1)8 - (x2 + a)4 - 8x7 se obtenga un polinomio de quinto grado. A) 7 B) 6 C) 5 D) 1 E) 15

NIVEL 2 Comunicación matemática 11. El manuscrito misterioso

A continuación se ha escrito un concepto en clave. ¡Tienes que descifrarlo! Ten en cuenta que cada casilla tiene un número que representa a una letra del alfabeto. 1 = A; 2 = B no considerar (Ñ, Ll, CH).

____________________ aumentado en _______. 5

Es decir:

19

14

B) Si el binomio es _____________________, el desarrollo será

15

_____________________ del _______________________. C) Si los _____________________________ son ____________, los _______________ de los términos ________________ de los _________________________________.

20 5

21

2

5

3.

Calcula: A) 2

M

=

d

83! 81! + 82!

B) 4

nd

40! + 41! 42!

C) 8

n

D) 6

19

21

1

E) 9

6

13 9 1

5

3

1

5

20

5

21

21

13 9

15

1

5 1

9

16

12 15

14

12 1

6

22

5

5

5

3

9

5 4

4

19 18

1

15

16

5

12

5

4


5

19

9

1

5

1

5 5 1

1

14

1

20 5


41

12.

Dado el binomio: (m+n)10 Cuántas de las proposiciones son correctas:

19.

( ) El número de términos es 11. ( ) La suma de coeficientes es 1025. ( ) El lugar del término central es 252m6n6. ( ) El t7 es 210m n . B) 3 E) 2

C) 4

20.


A)

D) 14.

25! 25! + 26! + 27!

1! + 2! + 3!

1 2

B)

1 9

E)

1 4

C)

x

=

10

15

10

15

C1 C6

+

10

15

C 2 C7

C20

25

B)

C10

20 D) C15

E)

C15

A)

20

+

10

15

+n

1 x

+p

C) 12

A) 9 D) 10

d

x-

1 x

14

n

B) 14 E) 11

Intelectum 4.°

C) 12

C) -20

Determina el valor de x, si el tercer y sexto 7 término de 3x + 2 suman cero.

c

A) -2/9

3

m

B) 4/3 E) 3

C) 4

De las relaciones presentadas, veifica la 4 verdad o falsedad, según corresponda: 28. En el desarrollo de: 6 + x + 9 se 3 2 10 x I. El desarrollo de (a +b ) presenta grado de homogeneidad 10. observa que existen dos términos racionales fraccionarios. Determina el cociente de ellos. II. (a+b)! = a! + b!; se cumple si y

B) FVF E) FFV

A)

D)

C) VVF

Calcula el valor de n en:

A) 11 D) 20 23.

9

m

B) 6 E) 84

B) -10 E) 40

D) 3/5

_n + 1i ! # n! _n + 1i ! - n!

+n

Calcula el lugar del término que contiene a x2 en el desarrollo de: P(x) =

42

22.

E) Cmn 2p

A) 80 D) 82 18.

27.

29.

Halla el término independiente de x en el desarrollo de: -

-


E) x - 1

A) VFF D) FFF

C) Cmn

C) 12

d3 x n

A) 20 D) 10

C) 17x - 9

C) C15 10

25

+n B) Cm p

D) Cm2p

2

5 9


A) Cmn p

x

3x -

III. x! = m; y! = n, entonces: x! - y! = mn

Calcula:

c

B)

gC10 C15

n m n m n m E = Cn0 Cm p +C 1 Cp - 1 + C 2 Cp - 2 + ... + Cp C 0

17.

se puede escribir:

solo si: “a” y “b” son pares positivos. +

B) 15 E) 10

d

B) {-6; 4; 2; 0} D) {0; 2; 3}

Calcula la suma: C0 C5

16.

21.

2x

C) {0; 2; -6} E) {0; -6; 4}

A) 13 D) 14


15

2

17 x 6

3-

D) 51x + 9

1 3

fp fp

Resuelve:

x+9 x+1

NIVEL 3

A) {-6; 2; 4}

15.

A)

1 5

15

C) 210(32)

B) -220(36) E) 110(33)

=

Calcula: H=

C) x = 10 / y = 8 E) x = 4 / y = 5

El valor de x es muy pequeño, de modo que 26. Halla el término independiente en la expansión de: su cuadrado y demás potencias superiores 6 pueden omitirse. Entonces el valor de: x 3 f (x) M=

13.

B) x = 5 / y = 10 D) x = 10 / y = 5

Determina el coeficiente del término del desarrollo de: (a + 4b + c)n(a - 2b + c)n 25. En la expansión de (1 + x)40 los en el cual el grado de (a + b + c) excede coeficientes de los términos de lugares en 14 unidades al lugar que ocupa y este (2r + 1) y (r + 2) son iguales. Halla r si es un tercio del valor de n. es mayor que 2. A) 200(13) D) 230

4 6

A) 0 D) 1

A) x = 4 / y = 10


=

_

i

99 n - 2 !

B) 10 E) 15

9x 28

B)

28 9

28x 9

E)

9 28

d

2

Halla x en:

3

+

n

C)

1 3

3

x

n

9 8x

si en el

desarrollo del binomio la relación entre el séptimo término contado desde el principio y el séptimo contado desde el final es: 1 6

C) 12

A) 2 D) 9

B) 7 E) 6

C) 3

Halla el término central en el desarrollo de:

d

4 x

+

x 8

12

n

A)

132 7

B)

157 8

D)

63 4

E)

197 16

*

C)

231 16

C xy + 1 = C yx - 1 24. Resuelve el sistema: C xy = 21 C yx - 2 10

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

1. 2. 3. A 4. D 5. C 6. C 7. E 8. B 9. A 10. A

11. 12. E 13. D 14. D 15. E 16. B 17. E 18. A 19. B 20. A

21. D 22. B 23. C 24. D 25. A 26. C 27. A 28. D 29. D

A p l ica m o s lo ap r en d ido tema 3: 1

3

Efectúa: S

A)

3

D)

3

8 =

3

2

9 -

3

4

B) E)

2 4

2

3

3

C) 3

3

3

6

3

B) 1 +

1

E)

-

B) 2 E) 14

5

-

2

24 3

2 +1

12 +

16

B)

16

5

C) 2 5

8

8

E) 1 n

La expresión:

C)

m +

2

2

es equivalente a:

2

21

6 +

C) 7

35

n

2

2

m +n +n

E) n -

14

5

m +n +m

1

Señala el denominador racionalizado:

A) 1 D) 4

4

C) 3

5

18 =

D) 0

A)

1 2

D)

Efectúa: A

A)

5

Evalúa la expresión (a + 1)-1 + (b + 1)-1 para: a = (2 + 3 )-1 y b = (2 - 3 )-1

A)

5

Radicación - Racionalización

2

m -n

mn + m

D)

m +n -m

2

2

2

Halla el valor de a en:

A) 70 D) 66

B)

17 + 2 72 3+ 8

B) 60 E) 75

+

7

=

a + 2 1 28

C) 42


43

7

Transforma a radicales simples:

A)

D) 9

B) E)

2 +1

3

+

2

Efectúa: N =

3+ 8

8

17 + 288

2

+

2

2

+

3

17

-

4

- 12

C)

2

-

19

+

3

+

7

Siendo R

=

15

-

8

, calcula: T = [(R -

A) 3 D) 8

1

10

72

B) 2 E) 15

11

B) 1

A)

E) -3

A)

2

-

x - 6 ;x

2

B)

x+2 x-2

Efectúa:

A) -

5- 7 . 3+ 7

7

D) 1

-

C)

x-3

14

7

B) - 1

E)

12

C)

7

7 +1

Transforma

30 + 704

+ ... +

B)

17

E)

12

6 + 4 17

C) 1

en suma de radicales simples.

A)

8

D)

11

+

Efectúa:

A)

2

D)

5

B) E)

21

+

19

7 - 2 10

-

22 10

+

8

+

20

8 - 2 15

B) 3 E) 1

+

C)

14

C)

4

+

2

B . 4 1

B . 2 1

B . 0 1

A . 8

D . 6

D . 4

A . 2

D . 3 1

D . 1 1

E . 9

A . 7

C . 5

B . 3

D . 1

s e v a l C

44

C) 1

3

D) Más de una es correcta E)

x+1

23

D) 3

Determina uno de los radicales simples, luego de transformar: 2x - 1 - 2 x

13

C) 0

0,5

Indica el valor de uno de los radicales simples de: 1+2

A) 3 D)-1

2

15 ) + 1]

Intelectum 4.°

5


Razonamiento y demostración Comunicación matemática

1.

3.

Percepción - Espacio

Los nombres de tres conceptos se han cortado en franjas horizontales y con algunas de ellas se han formado la ilustración inferior. ¿A qué conceptos se refieren?

Efectúa: A)

4.

5.

Rptas.: ________________________________________________

6.

Memoriza los siguientes conceptos por 3 minutos, luego de esto sin mirarlo compara y verifica qué alternativa coincide exactamente con la memorizada. La racionalización es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es irracional en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante (FR). El factor racionalizante (FR) es la expresión irracional que multiplicada por el denominador irracional lo convierte en una expresión racional.

2

7.

A) 1

C La racionalización es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es irracional en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante (FR). El factor racionalizante (FR) es la expresión racional que multiplicada por el denominador racional lo convierte en una expresión irracional.

8 2

3 2

C) 1

+

2

2

5

+

B)

A

.

2 +1

+

E)

4 3

9

2 3

d

2+ 3 3

+1

3

+

2- 3 3

E)

3

E)

5

-

1

n

7

E) 5

3

11 - 2 18

+

D) 10

E) 12

D) 0

E) 2

1

C)

2

2

D)

3

C) 7 1

3

7 - 2 12

C) 2

B) 9

D) 4

D) 7

12 + 2 27 +

18 + 2 32

7

D) -

C) 4

B) 6

E)

2 6 2

C) 1

12 - 140

9

3

+

C)

12 2

D) 2 3

3


Calcula el valor de: 4

α θ

. A partir de:

11 2

12

-

=

4

α

-

4

θ

a 2 q / { a; q} 1 N

A) 1 11.

B)

3 2 4

Luego de racionalizar: Z =

C)

2 3

D)

3 2 2

E)

2 2 3

3 64 + 8

4

3969

-

4

233 + 88

4

49

Obenemos una expresión similar a: 1 (a - b ) 3 Luego con los valores calculados para “a” y “b” determina: a b - a

B

La racionalización es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es irracional en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se multiplican ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante (FR). El factor racionalizante (FR) es la expresión irracional que multiplicada por el denominador irracional lo convierte en una expresión racional.

9

B) 8

Efectúa: A =

A

La racionalización es la operación mediante la cual se transforma una expresión cuyo denominador es racional en otra equivalente, pero con denominador racional. Para esto se dividen ambos términos de la fracción por una expresión llamada factor racionalizante (FR). El factor racionalizante (FR) es la expresión irracional que multiplicada por el denominador irracional lo convierte en una expresión racional.

3

6

B) -

Calcula: N = A) 8

9.

B)

Calcula: P = A) 4

8.

=

Efectúa: S = 7 A) 5

________________________________________________

A

18 6

Halla el valor de la siguiente expresión: A)

________________________________________________

2.

5 2

+

3

B)

3 3

Efectúa: A)

12 3

A) 16

B) 32

C) 64

D) 128

E) 1024

NIVEL 2 Comunicación matemática 12.

Si los denominadores se presentan como las expresiones, irracionales indicadas, coloca en los recuadros lo que corresponda según su factor racionalizante (FR) de acuerdo a las proposiciones: I. Si: n ! Z+, n $ 2: n x - n y II. Si: 3 x - 3 y III. Si: n ! Z+: n: impar: n x + n IV. Si: n ! Z+, n: par: n x + n y

y


45

FR= n xn

A)

-1

-

n

xn - 2

n

y

... - n yn - 1

+

18.

FR= 3 x 2 + 3 xy + 3 y2

B)

n

n-1

C)

FR= x

D)

FR= n xn

-1

+ -

A) 2

n

xn - 2 n

y

+

n

xn - 2

y

n n -1 y + ... +

n

... +

n

5

Racionaliza: M =

3

5

+

B) 4

, e indica el denominador.

8

+

C) 6

D) 8

E) 10

n -1

y

19.

Halla el equivalente de: T

13. Memoria

De las consideraciones mencionadas, luego de leerlas durante 1 minuto tapa las descripciones y responde con SÍ o NO en las preguntas planteadas. I. La radicación es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada raíz, tal que elevada al índice resulte otra expresión llamada radicando o cantidad subradical. II. La racionalización es el proceso que consiste en transformar el denominador irracional, de una fracción, en otro que sea racional. III. Los radicales homogéneos se caracterizan por tener el mismo índice y los radicales semejantes que además de tener el mismo índice tienen la misma expresión subradical. IV. El factor racionalizante (FR) es aquella expresión irracional que al multiplicarla por una expresión irracional dada, la transforma en racional.

20.

A)

3

-

D)

3

-

_

=

7+ 3

B) E)

1 2

Luego de efectuar: se obtiene: A) 2

E

=

i

7- 3

17 - 2 72

C)

2 -1

6

3

B) 4

i_

2.

3

2

3

-

1 3

+

1.

C) 6

6

16 - 2 48

D) 3

2

E)

2

3

2


Sean:

1- 3 3- 3

1- 5

y

5- 5

El resultado de dividir la suma de la primera fracción con su respectiva inversa, entre la suma de la segunda fracción con su respectiva inversa es una expresión que toma la siguiente forma: K (12 α

-

25 β )

Determina:

A) ¿Los radicales homogéneos y semejantes tienen algo en

común, es decir el poseer la misma expresión subradical?

E

___________ B) ¿Para racionalizar una fracción bastará con multiplicar sus

A) 24

B) 25

10

=

b βα l

β α

C) 26

D) 27

E) 28

términos por el factor racionalizante del denominador? 22.

___________

Con los radicales dobles: A

C) ¿La racionalización es el proceso de transformación de un número irracional a uno racional?

B

___________

C

Efectúa: E A)

15.

6 3

5

B)

Efectúa: L = A)

16.

5

7 =

2 5 5

C) 3

2 5

17

B)

-

3

-

8 3

+

Racionaliza: P =

D) 0

E) 1

D) 0

E) -8

3 3

3

-

B) m + 7

-

2 ab 84

9 + 72

B) 6 E) -16

C) 10

Comunicación matemática 21

23.

Se establece que:

El denominador racionalizado es: A) m - 9

-

NIVEL 3

m - 49 m+4 m

=

10

A) 1 D) 16

12

C) 8

7 3

5

=

13

Se plantea que: La suma del cuádruple de la inversa de B y el triple de la inversa de C es igual a la inversa de A. Determina: ab


=

P

C) m - 7

D) m + 9

E) m + 3

=

3 + 2 6 + 20 9 + 60

Entonces podemos afirmar que: 17.

Efectúa: K = _2 A) 1

46

3

2

i

B) 2

Intelectum 4.°

+

C) 3

_2

2

-

3

2

i

D) 5

+

3

+

2 2

E) 4

A) P > 3 2 -1

D) P3 = 5

B) P es natural E) P4 = 25

C) P2 < 2

24.

Marca la proposición incorrecta:


A) En la racionalización de denominadores de la forma:

5x +

x+1

su factor racionalizante es: 5x -

x+1.

31.

B) Si la racionalización se realiza con el denominador de la forma: 3

a

3

2

a4

+

3

b

2

+

3

D) Los radicales:

101

2( m

=

2x ,

101

3x ,

32.

3 2

26.

A)

3

D)

3

-

Efectúa:

+

3

A)

7

B)

7m

5

+

1

5

-

1

+

1 5

33.

-

2

27.

B)

D)-1

E) 0

C) +

28.

C) 4

3

3

C) 4

10p

λ r +t

3

4n

+

5

+

3

5

-

3

P = 2x - 3 y + 1

C) -

5

P

5

D) -

m - 25

=

+

m+7 m

B) m - 2 E) m + 4

0, 00y

=

0, 005 + 0, 000024

Indica el producto de su radical simple por la inversa del otro radical simple de:

2

1

El denominador racionalizado de: A) m - 4 D) m - 5

3 2

De la igualdad:

A) A) 1

+

E) p

0, 00x

6 6

1 3 3

3

1

B) E)

1

-

2

D) 5p

1

1-

-

2 3

2

$

2

-

m r3 + n t3 + nr6 + 2 pr3 t3 + mt6

5

Calcula: E =

4 3 2

obtenemos una expresión que se expresa como: Determina el valor de “λ”.


+

Luego de la descomposición en sus radicales simples. P=

4x son homogéneos.

101

2 3

B) 3 E) 8

n ); m > n

!

+

A) 2 D) 6

b4 .

C) Según la regla práctica de la transformación de radicales dobles o simples, es cierto que: m + n ! 2 mn

2 3 2

y da como respuesta el denominado denominadorr racionalizado.

; se afirma que su factor racionalizante es:

(ab) 2

3

Racionaliza:

+

10

; siendo: x > y

2

B) - 1

2 2

E) -1

C) -

3

3 3

será:

C) m + 5 D B C C

Si:

. . . . 0 1 2 3 3 3 3 3

m + 39 6 - 2 16 2

entonces el valor valor de la expresión m A) 65 D) 90

B) 25 E) 61

2

+

n

=

6 3 l e E B E A D C . . . . . . . v i 3 4 5 6 7 8 9 N 2 2 2 2 2 2 2

2

n es:

+

C) 74

C A D C B A B D

29.

Halla el denominador luego de racionalizar: B = A) 13 D) 14

30.

B) 12 E) 15

1 3

24

C)16

Racionaliza e indica el denominado denominadorr racionalizado de: 8

_1 - 5 A) 1 D) 3

2

+

5

4

-

5

8

+

5

B) 2 E) 7

16

i

+

3

40

. . . . . . . . 5 6 7 8 9 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2

2 l C B D C e . . . v . . i 2 8 9 0 1 1 1 N 1 1 l e v i . 1 N

C

. . 3 4 1 1

E C A D E . . . . . . 2 3 4 5 6 7

C) 5


47

ap r en d ido lo ap ica m o s lo A p l ica tema 4: 1

Calcula: R = i343 + i7331 + i4742 + i2876

A) -2i

3

NÚMEROS COMPLEJOS

B) 2i

2

C) 2

D) 4i

z1

=

_

-1

A) 4 D) 8 - 2i

E) -2

Calcula:

4 4k + 1

i

_-

-1

4k + 3

i

; k

!

Calcula: W = 8i208 + 3i309 + 5i411 + 2i17

z

i

+

i

A) i 5

B) -i

D) -1

E) 0

d

A) 16

1+i 1-i 1-i 1+i

4

n

B) 16i

Intelectum 4.°

5

6

+

i i

2

9

A) i 6

Simplifica: z=

48

C) 1

7 3

i

+ +

13

i

+

i

8

i

4

8

B) -i

=

1+i+i

2

+

1+

D) -16i E) 0

+

C) 1

D) -1

E) 0

D) 2i

E) -1

Simplifica: E

C) -16

C) 6 - 2i

Reduce: 5

+

B) 8 E) 0

A) i

i

3

+

i

4

+

i

5

1+i 1-i

B) -i

C) 1

7

Calcula:

A) -6

9

B) 8i

1-i 1-i 11-i 11-i 11-i 11+i

C) i

D) -i

8

Siendo a; b reales que verifican:

d

nd

1+

1 i+1

nd

1+

nd

1 1 ... 1 + i+2 i + 99

n

=

a + bi

Calcula: a2 - b

E) -4

A) 100 10

B) 101

C) 102

D) 103

E) 104

D) 54

E) 4

D) 24

E) 17

Halla el módulo de: w = (3 + 2i)4 + (5 - 2i)3+ 22i

B2 y 2 A + y4

A) 3

B) 4

C) 2

D) 1

E) i

A) 36 12

Halla el valor de: P = |4 + |12i - |-3 + 4i|||

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) 19

Calcula: F = (1 + i)3 + (1 - i)3

B) 45

_1 - ii8

=

1+i

A) 25 14

8

+

C) -2

D) -1

p/4

1+i

9

C) 16

B) 2e

p/4

E) 4e

p/2

d

-

D) (4ep)

1/4

-

E) 1

2

_1 + ii9

B) 21

-

B) -3

17

¿Cuál es la parte real de z, si: z =

A) e A) -4

C)

Calcula: C

13

1 i

1+

Sabiendo que: A + Bi = x + yi Halla el valor de: P=

11

A =

1 2

+

1 2

i

i

n ?

C)

2

e

p/4

-

-

A . 4 1

D . 2 1

D . 0 1

B . 8

C . 6

C . 4

B . 2

A . 3 1

C . 1 1

B . 9

C . 7

A . 5

D . 3

A . 1

s e v a l C


49


8.


2.

A) i C) 2i E) -2i

De las proposiciones, indica el valor de verdad. I. |z| = |z*| ; 6z ! C II. |z + i| = |z* - i|; 6z ! C III. |z . z| = |z*||z*| ; 6z ! C

Simplifica: F = (1 + i)3 + (1 - i)3

9.

C) 5


_z1 - iz2i4 + _z3 + iz2 i4

12.

Indica V (verdadero) o F (falso) según z1 + z3 + i _z 2 - z1 i corresponda: I. Una de las raíces complejas de la raíz A) 1 B) –1 C) 1 2 cúbica de la unidad es el cuadrado de 1 D) E) 0 la otra. ( ) 2 II. La suma de las tres raíces cúbicas de Resolución de problemas la unidad es igual a uno. ( ) III. El producto de las raíces cúbicas de la 10. Considerando los afijos del siguiente unidad es igual a uno. ( ) esquema de Argand: 13. 4

:

D

2

22

2

+

i

5

C) 1

307° 240° -4 2 3

Calcula: R = i551 + i7331 + i4742 + i2876 A) -2i

B) 2 E) -i

D) i

A + Bi

=

x + yi

A) 15 D) 16 6.

2

H

B) 9 E) 1

B)

C) 25

7.

A) 1 - i

D)

D) 2 - i

50

Intelectum 4.°

-

-

18

2

C) 2 + i

3

+

(1 + 2 3 i)

A) VVVF D) VFVF

B) FFFV E) FVVV

+

-

3i

(1 + 2 3 ) i

2i

B) Solo II D) II y III

Determina: 2

2

2

+

i

5

5

5

5

3

+

i

A) 1 D) 4

; IVC

E

=

1+i+i

2

B) 5(cos37° + isen37°)

A) 1 D) 4

; IIIC ; IC ; IC

16.

3

3

3

B) 2 E) 5

; IIC

Determina el número complejo que al multiplicarlo por “i” nos da otro complejo de módulo 5, parte imaginaria -4 y que pertenezca al cuarto cuadrante. A) 5(cos307° + isen307°)

C) VVFF

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. Si: Re(z) = 0 & |Im(z)| $ 0; z ! C II. Si: |z|2 = 11Re(z) & |z - 5,5| = 5,5; z!C III. Si: z = cosq - isenq & z = ei(p - q)

1+

E) 2 + 5i 11.

2 ( i - 1) i+1

B) i + 1 E) 1 + 2i

3

3

C) 5

La expresión es equivalente a: z1 =

IV. (24)1/3 = (84)1/4

i

A 3

C) 3 - 18

z1 = 5i5 - (1 + i)4 + 2i3 B) 7 E) 4

14.

_ A2 + A 4iA1

A) 7 + 2 3

Halla el módulo del complejo: A) 1 D) 2

z

e indica el cuadrante en el que se encuentra el resultado. 15. Reduce:

Halla el valor de:

>

II. epi = –1 III. ( e ) = ez, z ! C


Determina: P=

B2 2 y A + y4

10 A2

C) 2i

Indica el valor de verdad de las proposiciones: I. e2npi = 1, 6 n ! Z

A) Solo I C) I y II E) I, II y III

Re(A)

5

A3

Sabiendo que:

P=

A1

5 55

B) i E) 2

D) 0

5.

10 7

A) 1 + i

4.

A4

Calcula: i

l

Nivel 2

Im(A)

3.

π 4

E) 5(cos127° + isen127°)

tal que: z 1 + z2 = z2 + z3 = z3 + z1 = a + bi


+ isen

D) 5(cos217° + isen217°)

B) -4 D) -i

Sean los complejos z 1, z2, z3 ! C – {(0; 0)}

Halla:

π

bcos 4

+i

C) 3

3

+

i

4

+

i

5

1+i 1+i 11-i

B) 2 E) 5

C) 3

Sean los complejos: z1 =

2 + 3i 3 - 2i

z3 =

20 + 12i 6 - 10i

; ;

z2 =

6 + 7i 7 - 6i

z4 =

18 + 16i 8 - 9i

Calcula la parte imaginaria de: z1 + z2 + z3 + z4. A) 3

B) -6

D) 6

E) 4

C) 2

;

17.

Si: z = a + bi, donde a y b son reales, y 23. Dada la raíz de un número complejo: verifica: z + i = 2 80 - 18i Calcula: |z + z| A) 0 D) 2

18.

B) i E) 1

Calcula: w1 = A) 0 D) 16

19.

4

C) 4

_1 + ii9 1+i

9

B) 2i E) 8i

24.

C) ep

-

37π

π

D) 5e 3

53π

i

B) 5e 180 π

i

Calcula:

I. Tiene como módulo: !

A)

82

( )

II. El argumento es: arctan(9)

( )

III. Su forma exponencial es: 1 i arctan ( 9 ) ! 82 e

( )

D)

E) 5e 6

i

-

z-

i

3 i 4

1 2

B)

1 4

1 64

E)

1 128

C)

1 16


=

2 i

π

C) 5e 4

i

2

-

A) 0 D) -1 25.

31.

Reduce: R

El producto del complejo (M + Ni)2 por el conjugado del conjugado del opuesto del opuesto de (M + Ni) es (3 + 4i)3. Determina la forma exponencial del complejo (M + Ni). A) 5e 180

Indica la verdad o falsedad según corresponda:



8n

C) 4i

B) e p/2 E) ep/2

-

2

Si: z = 1 +24n i , n ! R .

-

Proporciona un equivalente de: i i A) e p/4 D) e3p/2

30.

9

i

1

-

B) 2i

C) i

A)

1 3

(1 - i)

B)

Determina 2a - b si se cumple:

C)

1

(1 - i)

D) - 1 (1 - i)

a + bi =

:_2

- 3i

i+1

i

A) 0 D) 5

B) –3 E) 2

Si se cumple:

1 + ai a+i

1-i

D

32.

C) 4 a + 3i = ki; 1 - ai

+

4

2

E) 1 + i

33

k, a ! R

i

1 _1 + 2i i 2

E) 1

34

26.

Se tienen dos números complejos cuya diferencia es real e igual a 1, además, su cociente es un imaginario puro; si el módulo de su diferencia es igual al módulo del cociente, halla uno de estos complejos.

Calcula el número de complejos z que verifican: z2 + 12 = |z|2 - i A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

Calcula: k4 + 1 21.

Si z es el conjugado del complejo z de argumento principal q, además: 3

bl dn z z

3

+

z z

A) 15 D) 19

= 1, calcula: cos18q. 3 5

A) 1

B)

D) 0

E) –1

C)

B) 16 E) 20

27. Halla a + b en: 3 + 2i 1 2+ i

1 2

+

5-i 2i

A) 1,5 D) 1

Nivel 3 28.


C B B A B D B

+

B) Real C) Imaginario puro D) Su módulo es 1 E) Más de una es correcta

29.

a + bi

3 l A E e E C E . . . . . . v i 2 0 1 3 4 5 2 2 N 2 2 2 2

C) 1,3

C A A D C B B

=

^1 - ih - 1 ^l + ih5 + 1

A) 1 D) 2

A) Nulo

=

. . . . . . . 6 7 8 9 0 1 2 2 2 2 2 3 3 3

Halla: |k| k

Si: f0; f1; f2; f3; f4; f5; son las raíces de orden 6 de la unidad. ¿Qué clase de número es: f1 + f2 + f3 + f4 + f ? 5

2i

B) 1,2 E) 2

5

22.

C) 17

. . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1

6

-

^1 - ih - 1 ^l + ih6 + 1

B) 1,6 E) 3

2 l B B D C D e A . . . v . . . i 2 7 8 9 0 1 1 1 N 1

C) 0,6

1 l e v . i 1 N

Si: i5 = i = i17, calcula: z=

2

A) 1 + i

D) i + 2

i-

i+

17

i

A C D C . . . . . 2 3 4 5 6

5

B) 1 - i E) - 2 + i

C) -1 + i


51

Matemática 5

Reduce:

i+

i

20

-

i=

1

-1

(unidad imaginaria)

Resolución:

Siendo: i =

Sabemos también: (1 + i)2 = 2i

-1

Sabemos i5 = i

i

&

5 = i = i

20

Reemplazando en (1):

Reemplazando en la expresión: 5

i+i

-

1

=

5

2i

-

1

& 5

...(1)

(1 + i) - 1

5

`

1.

6.

Completa el siguiente recuadro: z

z

z*

|z|

Arg(z)

i+

=

i

20

5

-

i

=

1

=

5

i 5 = i

i

Simplifica: M=

36 + 2 320

-

21 + 2 80

3 + 4i 4 - 3i

A)

5

1 + 7i

D)

5

B)

E) 4 -

4

+

C) 4

20 5

1 - 2i 1 + 3i 2.

7.

Racionaliza: R=

Calcula el valor de x:

7

-

2+

3

7

+

2+

3

35 35 C34 x = 28 C7

A) 10 D) 30

B) 11 E) 27

A)

C) 15

D) 3.

8+

60

-

3

8.

15

A)

5

D)

3 3

B)

3

E)

5 3

C)

5

7 -

4

El MCD de P(x) = x3 + 4x2 + mx+n y Q(x) = x2 - mx + n es (x + 2). Indica su MCM.

7

B) E)

3

-

C)

4 1 6

_

3

-

7

Se tiene el siguiente desarrollo (xy 3 Determina el valor de: m .Cp(q

3

44

A) 103 D) 302 9.

7

-

-

i +

16 y x) .

El séptimo

19)

B) 114 E) 451

C) (x + 2)2 D) (x + n)(x + 2)(x - 3) E) (x + 2)(x - 3)(x - 1)(x + 3)

C) 120

Efectúa:

A) 28(1 + i)

B) 29 + i

D) 210

E) 29 - i

C) 29 + 1

Determina el sexto término de:

ax

-

y x

10.

k8

A) 36x2y8

B) 72x2y5

D) 32x7y7

E) 8xy8

Intelectum 4.°

C) -56x-2y5

Determina |12 + bi|, siendo: z = 2 + bi y |1 - z| = 2 A)

2

B)

D)

5

E) 2

3

3

2

E = (1 + i)16 + (1 + i)17 - (1 - i)16

B) (x + 2)(x + 1)(x - 1)

52

2

término del desarrollo es de la forma: 182mxpyq

A) (x + 2)(x + 3)

5.

-

3

Reduce la siguiente expresión: M=

4.

7

C)

7

Unidad 3

Recuerda Teoría de números Euler, quien se ocupó de una manera denitiva de lo que hoy en día conocemos como teoría de números, comenzó estudian do los teoremas de Fermat, para desarrollar a continuación todos los aspectos de esta teoría, preferentemente utilizando métodos aritméticos y algebraicos, rehuyendo en la medida de lo posible del análisis innitesimal. A él le debemos la actual teoría de congruencias, a la que lle gó tras extensos trabajos sobre divisibilidad y tras introducir el concepto de raíz primitiva según el módulo m. No de menor importancia que la teoría de congruencias fueron sus trabajos sobre problemas de análisis diofántico, para cuyas necesidades elaboró y fundamentó la teoría de las fracciones continuas. Asimismo elaboró los métodos analíticos para la resolución del problema de la distribución de los números primos, en la serie de los números naturales y también para una serie de problemas aditivos.

Reflexiona • No te cierres a aprender, porque quien ha dejado de progresar ha comenzado a morir. • Te desafío a reconocer los errores que has cometido y resarcirlos, a volver a ser humilde. • La mejor forma de crear riquezas es llegar a estar libre de deudas y mantenerse así.

El primero de estos problemas fue tratado también por Legendre y Chebyshev. Para el segundo de los problemas, donde se estudia el desarrollo de los números grandes en sumandos menores, cabe destacar junto a Euler los nombres de Waring y Lagrange. La teoría de números en el siglo XVIII, se convirtió pues, en una rama independiente, sintetizada en los trabajos de Euler, La grange, Legendre y Lambert entre otros, deniéndose prácti camente los principales problemas y direcciones.

¡ Razona...! ¿Quién es el hijo del padre del padre del bisnieto de mi abuelo, si yo soy hijo único?

A) Yo mismo C) Mi sobrino E) Mi tío

B) Mi hermano D) Mi padre

A p l ica m o s lo ap r en d ido ECUACIONES DE PRIMER GRADO pLANTEO DE ECUACIONES

tema 1: 1

Resuelve: x+m 2

-

2 6+

A) 10 3

7m 10

=

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50

-

x

m

-

4 n

-

x

n

A) 1

_

2 m =

-

n

i

C) 3

D) -2

E) 0 6

-

ab

A) D)

a

x -

b

-

ac

2

a+b-c c

2

a+b-c

b

x =

-

C) 12

D) 16

E) 20

D) 2

E) 0

Resuelve:

A) 1

Halla el valor de x en: x

B) 9

x-1 2

mn

B) 2

Resuelve: (x + 4)2 + (x - 2)2 = 2x2 + 60

A) 10

Resuelve: m

5

m-x 5

+

x-2 3

=

x

B) -2

Halla el valor de x en:

c

-

4

3

x

+

-

4

5

C) -1 x+1 2

+

x+2 4

=

x+3 6

bc

B)

b a+b-c

E)

c a+b+c

C)

b

2

a+b+c

A) - 6 7

B)

6 7

C)

5 3

D)

3 5

E)

2 3


55

7

Resuelve:

x-6 x+4

A) - 8 Resuelve:

A)

x+7 x-2

B) - 16

5

9

=

=

D) -2

E) 2

5 12

B)

10

17 14

C)

E) - 12

B) 5

C)

5 3

D)

16 3

E)

12

5 2

B) 9

C) 6

D) 12

14

D) 1

E) 2

C) - 22

3

5

Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores S/.250. Uno de ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno S/.300. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente?

B) 5

E) 15

C) 7

D) 10

E) 6

C) 1

D) 2

E) -2

Resuelve: (x + 3)3- x3 - 9x2 = 54

B) -1

Mariano puede despachar periódicos en dos veces el tiempo que le tomará a Alberto. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno si pueden hacer juntos el trabajo en 3 h?

A) 10 h y 5 h C) 20 h y 10 h E) 9 h y 4,5 h

B) 3 h y 1,5 h D) 24 h y 12 h

. 4 1 E

. 2 1 C

. 0 1 E

. 8 C

A . 6

. 4 C

A . 2

D . 3 1

D . 1 1

E . 9

B . 7

A . 5

B . 3

B . 1

s e v a l C

56

x+6 x-2

B) - 23

A) 0

Una caja de lápices contiene una tercera parte más de lápices que una segunda caja. Si esta última tiene 3 lápices menos, ¿cuántos lápices tendrá la primera caja?

A) 18

=

A) - 17

A) 4

5

8 3

x+5 x+2

14 17

Halla el valor de x en: (x - 5)(x + 3) + 2 = x2 - 5x + 3

A)

13

8 5


3

x+6 x-3

D) 4

11

C)

19

x+2 x+3

8

Intelectum 4.°

Practiquemos 7.

Nivel 1

b

a a 1b x


fd 1 4

1 x 4

-

1

n

-

1

p

=

1

8.

II. Presenta como raíz x = 84.

9.

III. 4 es una solución de la ecuación.

2.

3.

-

x 3

11.

+

x 6

8

=

B) 18 E) 24

C) 36

Resuelve: x-1 2

A)

+

x- 2 3

67 53

D) 1

+

B)

x- 3 4

=

28 31

x-4 5

C)

12.

99 32

E) 7

Resuelve: 1 (x 3) 1 + + 3 6

A) 13/5 D) 14/5 6.

1

C) a + b

14.

n d -

2 5

x+1 4

n

B) 10 E) 13

=

11 - x 3

C) 11

A) VFVF D) VFVV

Resuelve la siguiente ecuación: x+3 9

+

x

=

9x + 1 9

B) 8 E) 6

B) VFF E) VVV

C) FFV

Resuelve: ax + b = a - bx e indica el 2 valor de verdad de las proposiciones: I. Tiene solución única si: a ! - b II. Si a = 2b y a = -b, la ecuación no tiene solución. III. No tiene solución si a = -b y a ! 2b. IV. Tiene solución única si a = b ! 0. B) VVFF E) VVVF

C) FFFV


C) 5

15.

Calcula x en: 6x 6

Calcula x en: A) 20 D) 32

5.

x+6 6

A) 7 D) 4

C) FFVF

=

A) FVF D) FFF

+

3 2

=

9x 3

-

5 5

Resolución de problemas Verifica la verdad o falsedad de los A) 3 B) 4 conjunto solución (CS) de las ecuaciones 10. Una colección de libros cuesta 500 soles 4 5 presentadas: 7 menos que un televisor. Si a la cuarta D) E) 2 2 7 A) 3x - 9 = 0 CS = {-3} ( ) parte del precio de la colección se le aumenta 60 soles, se obtiene la quinta 16. Determina el valor de x. B) 10x + 0 = 0 CS = {0} ( ) parte del precio del televisor. ¿Cuál es el x x C) 0x + 101 = 0 CS = {0} ( ) 5= +6 3 6 precio del televisor? D) 0x + 0 = 0 CS = R ( ) A) -1 B) 7 A) 800 B) 1100 C) 1300 D) 0 E) 9 D) 1000 E) 1200 Razonamiento y demostración x 2

4.

d

1-

IV. La ecuación es inconsistente.

n

B) a - b E) 2

A) 9 D) 12

4

B) VVFF E) FVFV

+

b b 1a x

Resuelve la siguiente ecuación: 2 3

Concluimos que: I. También es equivalente a la ecuación: 1 x = 22

A) FVFF D) VVVF

l d

A) ab D) 1

Dada la ecuación 1 4

Resuelve:

=

1 (x 1) (x 3) 2

B) 18/5 E) 18/15


A) 0 D)

7 4

B) E)

3 2 4 3

2 3 10 6

C) 11/2

=

-

1 x-2 3

_

4 5 4

Para hacer un trabajo, le tomará a Yuliana 3 h, a Brenda 5 h y a Bianca 6 h, cada una trabajando sola. ¿Cuánto tiempo les tomará si todas trabajan juntas? A) 1 3 h

B) 1 2 h

D)

E)

7 53 2

h

5 21 1 5

C) 3 2 h

A) 42 D) 16 19.

C) 2

B) 35 E) 50

Halla x: 2x + 8 =

5

h


C) -2

i + 2 = 15 _x - 2 i + 8

4 5

B)

5 4

D)

7 3

E)

3 5

Resuelve:

x

3

3x

+ 2

3x

+

C) 47

x + 9 3

A)

Nivel 2

1

5 4

17. Halla el valor de x. En la ecuación: 4 [(a - 1)x + 2a – 1]x + 3ax = 2a - 3 _x + 2i = 83 + 4_x - 2i 3 Halla el valor del parámetro "a" si la ecuación se transforma en una de primer A) 2 B) 3 C) 0 grado. D) 1 E) 8 A) 5 B) 4 C) 3 18. Calcula x. D) 2 E) 1

20. 2x

C)

1

C)

=

91 37

A) 7 B) 8 Para la ecuación de primer grado: ax + b = 0 D) 10 E) 11 verifica la verdad o falsedad: ( ) Es determinada si a = 0 / b ! 0. 21. Resuelve: x - x 2 21 ( ) Es absurda si a ! 0 / b = 0. A) 5 B) 3 ( ) Es determinada y la raíz es nula si C) 4 D) 1 E) Ecuación incompatible a ! 0 / b = 0. -

1 2

C) 9

=

7


57

22.

5x

2

-

Un niño crece mensualmente 2,5 cm durante el primer año y 0,6 cm los meses siguientes (hasta los 18 años). ¿Cuánto medirá a los t años y r meses de nacido, si nació midiendo 40 cm?

x -

3

-

1

7x =

2

-

2+

+

C) 40 + 2,5 (t + r) D) 40 + 2,5t + 0,6r

x+6 x-5

A) VVFF D) FVVF

E) 70 + 7,2t + 0,6r

x-2

=

(x + 1) 2 - 4 x-2

-

x-2

C)

1 3

2

2x

=

x

2

2

-

-

4x + 3

32.

7x + 10

B) FVFV E) VFFV

Resuelve: x-5+

se verifica solo para x = 6 o x = 4

A) 40 + 2,5t + 7,2r B) 70 + 0,6t + 2,5r

5

A) x ! R B) x ! Q D) x ! R - {2} E) 3

IV. Al resolver: x+3 x-2


1

6

verifica para todo valor que pueda tomar la variable x.

(1 1 t 1 18); (1 # r # 11)

23.

31.

III. La igualdad:


4 x-6

A) 6 C) 6 / - 6 E) Incompatible

C) FFVV

=

7-x+

4 x-6

B) -6 D) Indeterminada

Razonamiento y demostración Pablo puede construir un armario en 3 Resolución de problemas semanas. A Ramón le tomará 5 semanas. ¿Cuánto tiempo le tomará a Gabino si, 26. En la siguiente ecuación: 33. En una iglesia, si los asistentes se sientan trabajando los tres juntos, pueden hacer el (x + 2) + (x + 4)+(x + 6) + (x + 8) + ... + 12 en cada banca, se quedan 11 de ellos trabajo en una semana? (x + 2n) = n2 + 3n de pie, pero si se sientan 15 en cada 1 1 banca, la última banca solo tendría 11 ! $ donde: n y n 2003. El valor de x es: Z A) 3 semanas B) 4 semanas 7 7 feligreses. ¿Cuántos asistentes tiene la iglesia? A) 2n + 1 B) 6 C) 3n C) 2 1 semanas D) 2 1 semanas 2 2 7 3 A) 57 B) 73 C) 71 n-1 1 D) 2 E) D) 49 E) 63 E) semanas 2 7

27.

Nivel 3


2+

3-x 2

+

x-1 3

=

x+1 4

Señala la ecuación que no cumple a la A) 6 B) 7 C) 8 precedente: D) 9 E) 10 27x2 - 12 = 27x2 - 18x 28. Resuelve la siguiente ecuación: I. 9x2 - 4 = 9x2 - 6x 2 x + 70 x + 30 x+7 - 6 + 2x = II. (3x + 2)(3x - 2) = 3x(3x - 2) 5 80 40 5 5 III. 3x + 2 = 3x A) 6 B) 7 C) 8 IV. 2 = 3x D) 9 E) 10 V. 3x - 4 = -2

d

A) V D) II 25.

34.

Halla x, en:

B) III E) IV

C) I

29.

n

+

x - ac a+c

+

x - bc b+c

De las proposiciones, marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

Además: {a, b, c} 1 R +

I. Luego de resolver:

A) ab – ac – bc C) ab + ac + bc E) ab + ac

1 x-2

+

1 x+3

=

3 x

2

+

x-6

II. Si se resuelve: x+ 3 x- 3

58

=

3

+

1

3

-

1

llegamos a la conclusión que la ecuación es compatible determinada. Intelectum 4.°

+

3

D)

1 2

h

B) 5 2 h 3

C) 4 1 h 3

E) 10 2 h 3

. . . . . . 9 0 1 2 3 4 2 3 3 3 3 3

=

a+b+c

B) ab + ac - bc D) ab – ac + bc

x-b c+a

D B E

. . . . 5 6 7 8 2 2 2 2

. . . . . . . . 5 6 7 8 9 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2

+

x-c a+b

=

3

Donde: {a, b, c} 1 R + A) a + b – c C) a – b + c E) b + c

3 l D e B . v . i 4 3 2 N 2

C C B C E A E E

podemos asegurar que la ecuación es 30. Resuelve: incompatible. x-a b+c

A) 10 1 h

C B D E C E

Resuelve : x - ab a+b

Gilberto puede preparar una masa en 8 h, le tomará a Gálvez 2 veces más tiempo que a Mariano. ¿Cuánto tiempo le tomará a Mariano si, trabajando juntos, los tres lo pueden hacer en 4 h?

B) a + b + c D) a – b – c

2 l A C C E A e C A . . v . . . . . i 3 4 8 9 0 1 2 1 1 1 N 1 1 1 l e A E A D B C v . . . . . . . i 1 2 3 4 5 6 7 N


Calcula: a + b, si las matrices A y B son iguales: J a - 4b N 3 O A = KK a 2a - b O L P J 6 N b-a O B = KK a+b O -6 L P

A) -6 3

MATRICES Y DETERMINANTES

B) -3

C) 6

D) -9

2

A) 0

E) 9

Dada la matriz: J3 2N K O D =K 1 4 O K7 6O L P

4

5

N J O B) K 7 O K2 12 P L N J 2 O E) K 7 O K0 8 P L

2

14

8 5 7

Halla AT, si: J 1 A = KK 0 L

J0 A) KK 1 L J -1 D) KK 0 L

5 5

4

6

1

7

N O O P

N O 8 O P

-1

J C) K 2 K3 L

2 4

1

N O O P 1 5

N J O- 6 K 1 O K0 P L

N O O P

1

J5 B) KK 0 L J5 E) KK 5 L

Si A es una matriz es triangular superior, calcula a + b + c.

A) 3 Sean: J 4 A K K 1 L Halla: A - B -

1 0

c-1

b+7

6

a+4

c-1

7

B) 4

=

5

E) - 2

N O O O P

N O O 5 P

N O O P

0

D) - 1

0

-1

0

C) 2

8

6 0

B) 1

J 7 K A= K a-3 K b+2 L

Determina: 2DT

J A) K 6 K4 L J D) K 7 K1 L

Sabiendo que: J N J N 2 O 0 O 2 K 1 2 K 1 A =K ; B =K 0 1 O 2 1 O L P L P J2 1N J1 1 N O ; BA = K O AB = KK K1 2O 1 1 O L P L P Calcula la traza de: (A + B)(A - B)

N O O P N O O P

J -5 C) KK 0 L

0 -5

N O O P

J A) K 9 K -7 L J C) K 9 K7 L J 1 E) K K -4 L

C) 6

1

3

5

2

-2

1

3

6

4

5

7

6 2

5

N O O P 3

6

N O; O P

N O O P

N O O P

B

=

D) 2

J K K L

-

5

3

6

2

J B) K - 1 K 5 L J D) K 2 K 6 L

E) 5

2 -

4

N O O P

4 7

5 -2

3

5

7

6


N O O P

N O O P

59

7

J 4 K Sean: A = (3 2 1); B = K - 1 K L 3 Halla: A # B

A) 16 9

B) 14

N O O O P

C) 15

8

B

=

2

sec x 2

4 cos x

-

J6 A) KK 4 L J7 D) KK 6 L

E) 13 10

2

3

2

1

2

5sen x

-

5 cos x

2

7

0

2

4sen x

6

J K K L

=

-

D) 11

tan x

A

=

Si B es una matriz definida por: J K1 K4 K5 KK L6

Dadas: J 5 3N O B K K 2 1 O ; L P Calcula: 3B + 4A

N O O O OO P

N O -3 O P N 29 O -1 O P

-

2

5

3

-

J3 B) KK 2 L J 10 E) KK 6 L

-2

1

N O O P

N O 6 O P N 5 O 7 O P

J6 C) KK 3 L

5

9 5

Calcula el valor de:

A

=

13

16

19

14

17

20

15

18

21

+

3

71

91

4

72

92

5

73

93

entonces el valor de |B| es: B) (senx cosx) 2 D) sen2x + tan2x

A) senx cosx C) sec2x tan2x E) 0 11

Halla el valor del determinante:

B=

5

6

7

4

4

6

7

4

4

4

7

4

4

4

4

4

A) 20 13

A) 0

B) 36

C) 24

12

D) 28

E) 30

E

=

14 1

4

6

3

6

7

5

5

2

3

6

5

-

A) 0

3

-

5

1

B) 18

C) 26

D) 36

E) 48

D) 3

E) 4

B) -2

C) -10

D) -5

E) -7

D) 4

E) 5

Calcula un valor de x, si: 1

x+2

1 1

A) 1

`x

+

2

2x

4x

2

2

4

x

x

B) 2

2

j

=

0

C) 3

. 4 1 B

. 2 1 C

. 0 1 A

. 8 D

A . 6

. 4 D

A . 2

A . 3 1

C . 1 1

E . 9

E . 7

C . 5

A . 3

D . 1

s e v a l C

60

C) 2

Halla el determinante de la siguiente matriz: J0 0 0 0 2N K O K0 0 0 1 3O F=K 5 7 6 1 1 O K O KK 4 1 1 1 1 OO L5 0 0 1 1 P

A) 0

Halla: 2

B) 1

Intelectum 4.°

N O O P



Si: A = [aij]23 2; aij = i + j B = [bij]2 41; bij = 2i + 3j #

7.

A)

1 2

B)

1 4

D)

1 5

E)

1 6

2.

Si: P(A; B) = 2A - B + 3

3

#

3; i > j aij = 0; i < j 1; i = j

/

Calcula Traz(X) si X es la matriz que verifica: J3 2N J N 2 O K O. X K 0 K5 4O K 4 10 O L P L P A) 16 B) 24 C) -16 D) 20 E) - 20 -

Dado el polinomio: Q(X) = X2 - 3X - I J1 N 2 O y la matriz: B = KK 1 4 O L P Calcula la suma de los elementos de Q(B). A) 9 D) 8

=

-

=

2 5

3

N O, C O P

=

Calcula el valor de: Si: 1 x 4

2 y 5

3 z 6

=

y x+z

0

J K K L

0 NO 2O

-

P

P

J3 B) KK 4 L J2 D) KK 4 L

N O 1 O P N -2 O 4 O P 3

Halla la suma de los elementos de A, tal que: J 2 1N J 2 N 5 O K O A . K K 2 1O K 4 0 O L P L P A) 5 B) -2 C) 0 D) 1 E) 3 -

-

=

-

9.

Si A = (aij)3

1

6

2

4

-

3 es una matriz, tal

#

que |A| = 2 y B = (bij)2

#

2 es

otra matriz, tal que |B| = 3. Halla el valor de: T=

si: 2X = 3[A - 2(B + C) - X] + A J 1 /4 N J 1 1/8 O K A) KK B) K -1 -1 2 /3 O L P L J N J2 3 -1 K O C) K D) KK 2 1 1 O L P L J1 N 3 O E) KK 1 1 O L P 6.

8.

C) 5

1

-

=


B) 7 E) 10

Sean las matrices: J1 N J 8O K A KK , B K 7 3O L P L Determina la matriz X.

=

Determina: P(X; Y) J 4 N 4 O A) KK -3 -1 O L P J 4 4N O C) KK 1 O -1 L P J -1 -1 N O E) KK 3 3 O L P

Calcula la suma de los elementos de A, si:

=

5.

J 1 K K 1 L

A) 136 D) 125


4.

2 NO ; Y 0O

1 1

X

A = [aij]2

3.

J K K L

Siendo C = A . B, calcula el valor del elemento c34. C) 114

1 3

Dadas:

#

B) 121 E) 134

C)

N O O P

A

3

2B

A B

T

A) 144 D) 1628

B) 576 E) 2304

C) 1152

Nivel 2

2 1 -2 -6

N O O P

N O O P


Si S es el conjunto solución de la siguiente ecuación: 2x - 1

3x

x-2

2x + 1

x

2x + 1

2x - 1

3x

3x - 2

=

0

Entonces indica el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. n(S) = 3 II. S = Q III. La ecuación posee 3 raíces. IV. S + {1; 2; 3} = Q A) FFVV D) VFVV

B) FFFF E) VFVF

C) FVVF


61

11.

Relaciona cada matriz con su determinante: J1 K Kb L Ja K K1 L

N O O P N O O P

a 1

1 b

15.

(-2)(8) - (-4)(6) 6(8) - (-4)(-2) 16.

J ab 1 N K O K 1 1O L P J1 N 1 K O K 1 - ab O L P J 2 -6 N K O K 4 -8 O L P J -2 6 N K O K -4 8 O L P J 4 -8 N K O K 2 -6 O L P J 6 -2 N K O K -4 8 O L P

-ab - 1

A=

13.

4(-6) - 2(-8)

17.

2(-8) - 4(-6)

-

-

-

x x x

-

-

x x

x x

x x

i

x i

-

x

62

2

20

24

0

1 4

N O O P

2

2

2

3

2

2

2

2

4

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2

2

2

2

N O O P

.

.

.

2

.

.

.

n

B) 2(n - 2)! E) -2(n - 1)!

C) 2n!

B) 9 +

C) 9

E) 9 10 ( 3

2)

-

10

2)

Si A = (aij)n

#

n tal que |A| ! 0, además:

f(x) = |A - xI|; g(x) = |A-1 - xI| ! 0 = -

Sean las matrices: J x - 3y x N A = KK 1 6 y OO L P J -4 -8 N 7 K O C= K 2 O 3 3 L P Si: A = B, halla: 3A + 2C J -2 A) KK 7 L J3 2 D) KK 7 2 L

C) -4


4; i

B) E) -2

7

P

Calcula el determinante de la matriz A, definida por: J N 3 5 3 K 2 O K 6 21 10 - 2 3 O A= K O 6 KK 10 2 15 5 OO 2 2 6 10 15 L P

=

-

cm

1

g(x) = h(x) . f

C) -

3

;

J2 B = KK 1 L

J 8 16 7 N O B) KK 7 3 2 O L P J - 2 1 20 E) KK 7 24 1 L

Intelectum 4.°

1

x

Entonces la función h es: A)

5

D) 14.

2

2

D) 9 10 ( 3

Da como respuesta la menor raíz. A) -1 D) -

2

2

A) 16

Resuelve la ecuación en x. x i

2

2

A) -2(n - 2)! D) -2(n)!

Si: J N 3 4 O K A= K y P(x) = x2 + 3x - 4 5 3 O L P halla P(A) e indica la suma de la diagonal principal.

i

1

ab - 1

1 - ab

N

5O 7O

Calcula:

ab + 1


Halla: (x - y)(z - w) J 2x - z w - y N J 6 O= K Si: KK z - x w + y O K -1 L P L A) -8 B) -6 D) -10 E) -12

6

-

y N

6

-

xO

O P

x A x

n

n

B) xn

n n

_- 1 i A

n

E)

x

n

C) xn _- 1 in

A n

_- 1i A

Nivel 3


J 16 C) KK 2 L N O O P

1

0

-3

4

N O O P

Si B = (bij) es una matriz cuadrada de orden n, tal que: 2; i = j bij + b ji = 0; i ! j AB + ABt = 6I, halla |A|. A) 3 D) 3n

B) 2 E) 6n

C) 2n

A

20. Lenguaje

26.


Si N es una matriz definida por: J1 2 3 4 5N K O K5 1 2 3 4O N =K 4 5 1 2 3 O K O KK 3 4 5 1 2 OO L2 3 4 5 1 P Entonces el valor del Det(N) es:

Para resolver este logogrifo debes sustituir los números de los recuadros por letras 21. Si la matriz A es simétrica, calcula su traza: según la teoría de matrices. J x 5 3z + x N K O Una pista!! x + 2y y 20 O K Cada número nos representa siempre la A = K 11 2y 3z z O + misma letra L P A) 12/5 B) 7 C) 35/6 D) 27/8 E) 34/3 5 2 6 1 3 5 2 4 2 A) 3 . (54) B) 54 C) 2 . (54) I 2 5 4 7 8 1 4 9 22. Si A es una matriz definida por: D) 5 . (34) E) -3(54) II J 2 2 2 N 3 5 7 O K 1 6 10 17 4 9 4 11 III Resolución de problemas K 92 112 132 152 O A = K 2 2 2 2 O 19 4 3 11 5 21 KK 17 2 19 2 212 232 OO IV 27. Si: A = (aij)n n y |A| ! 0; 25 27 29 31 L P 3 11 4 21 4 T Entonces el Det(A) es: V simplifica: Det A 1 Det 2 A A 1 18 9 4 A) 0 B) 1 . 3 . 5 . 7 VI 2 2 2 C) (1 . 3 . 5 . 7)2 D) 1 A) 2n A n n B) 2n A 1 n 2 8 10 E) -1 VII 2 2 2 n n n 1 n n C) D) 2 A 2 A 10 5 VIII 23. Si E es una matriz definida por: 2 2 E) 2n A n n 1 J5 6 7 8N 4 K O IX K8 5 6 7O 28. Si A, B y C son matrices cuadradas de E= K O 7 8 5 6 orden 4, que satisfacen las siguientes KK O I. Es aquella matriz escalar donde todos 6 7 8 5 O condiciones: L P los elementos de la diagonal principal Det(A2B3C) = 1 son iguales a la unidad. Entonces el Det(E) es: Det(2A) = 32 A) 0 B) 416 C) -216 II. Es aquella matriz no nula, donde todos D) -416 E) -532 los elementos fuera de la diagonal Det(B3C2) = 27 16 principal son ceros. Entonces, el valor de: 24. Si A = (aij)n n es una matriz definida por: III. Es aquella matriz diagonal donde T = 2Det(A) + 3Det(B) + 4Det(C) es: J a+b N todos los elementos de la diagonal a a ... a K O principal son iguales. a+b a ... a O K a A) 16 B) 28 C) 30 K a a a+b ... a O D) 32 E) 48 IV. Es un arreglo rectangular de elementos K O ... K O dispuestos en filas y columnas. K h h h h O ... KK O V. Es la suma de todos los elementos a a a ... a+b O L P de la diagonal principal de una matriz cuadrada. Entonces el valor del Det(A) es: C E A E D 2

#

f f pp -

-

-

+

-

-

-

+

-

+

-

#

VI. Es aquella matriz, donde todos sus elementos son iguales a cero. VII. La matriz

> H es de orden: 5

2

-1

1

VIII. Es una determinante de Vandermonde de orden tres: 1

1

a

a

b

c

2

2

2

a

b

c

= (c - b)(c - a)(b - a)

¿SÍ o NO? IX. La primera:

A) 0

B) (a + b)n

C) bn + nabn-1

D) an + nb

. 4 2

3 l e D . v i 9 N 1

E) an + nban-1 25.

Si A es una matriz definida por: J 3 2 3a 3a Ka 2 2 Ka a + 2a 2a + 1 A = K 2a + 1 a+2 KK a 3 3 L1 Entonces el valor del Det(A) es: A) 2a3(a - 1)3

B) a2(a - 1)4

C) a4(a - 1)2

D) a(a - 1)5

E) (a - 1)6

. 5 2

1 1 1 1

N O O O OO P

. 6 2

. 0 2

. 7 2

. 8 2

C A D . 1 2

. 2 2

. 3 2

C A A A E E

. . . . . . . 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1

2 l C A C e A . . . . . v i 0 1 7 8 9 N 1 1 1 l e A A E D A v . . . . . . i 1 2 3 4 5 6 N


63


Halla a: 5a + 3b = 36 4a - 2b = 20

A) 5 3

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2

B) 7

E) 6

B) k ! 3 E) k ! 6

B) 2

Intelectum 4.°

C) 1

A) 20 4

C) k ! -3

Si el sistema: (p - 1)x - 4y = 11 + p -x +(p + 2)y = 2 Tiene más de una solución, el valor de p es:

A) 3 64

D) 4

Para qué valores de k el sistema: (2k + 1)x + 5y = 7 (k + 2)x + 4y = 8 tiene solución única.

A) k ! 2 D) k ! 1; 2 5

C) 8

D) -2

B) 10

C) 30

D) 15

E) 18

Si el sistema: (m - 2)x + 5y = 6 3x + 5my = 18 admite infinitas soluciones; el valor de m es:

A)2

6

E) -3

Halla y: 12x + 7y = 260 4x - 5y = -60

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Calcula los valores de a y b en el sistema para que tenga infinitas soluciones. ax - 2y = 4 x - by = 2

A) a = 2 y b = -1 C) a = 2 y b = 1 E) a = 1 y b = 2

B) a = -2 y b = 1 D) a = 2 y b = 4

7

Calcula el producto de las soluciones de:

*

9

1 1 + = a x y x+y = b

A)

1 a

D)

b a

+

13

1 b

B)

1 a

E)

a b

-

1 b

C)

1 b

-

b

A) 1 D) a + b 10

B) 3

C) 4

D) 5

E) 8

B) -1/2

C) 1/2

D) 3/5

B) !1

C) -2

D) -1

B) 80

14

E) 2

C) 0

C) 47

D) 65

E) 72

Calcula m para que el sistema tenga solución única. x - 3y = m - mx 3x + 2y = n + mx

A) m ! 2 D) m ! 11

E) 3/4

Determina a en el sistema de modo que tenga infinitas soluciones. ax + y = 0 x + ay = 0

A) 1

12

B) 2 E) 2a - b

Calcula m2 + n2; si el sistema es indeterminado. mx + ny = 4 2x + y = 1

A) 70

Calcula k de modo de que el sistema tenga infinitas soluciones. (k - 1)x = -y x = 2y

A) 2/3

Resuelve y da como respuesta (x + y). ax + (a - 1)y = 2a - 1 (b + 1)x + (b + 1)y = 2b + 2 Considera b ! -1.

Halla el valor de n para que el sistema: (3 + 5n)x + 9y = 4 (1 + 3n)x + 5y = 3 sea incompatible.

A) 1 11

8

B) m = 2 E) m = 11

C) m ! 13

Determina el valor que no puede tomar n cuando el sistema es compatible determinado. 25x - 5n2y = 1 5nx - y = 3

A) 0

B) 1

C) 3

D) -1

E) 2

B . 4 1

D . 2 1

B . 0 1

B . 8

C . 6

B . 4

A . 2

B . 3 1

C . 1 1

B . 9

D . 7

E . 5

A . 3

E . 1

s e v a l C


65

Practiquemos 5.

Nivel 1


Verifica si es correcta (C) o incorrecta (I) cada una de las siguientes proposiciones:

+

7.

y = 0 2

es indeterminado. III. El sistema: x+y x- y + 4 2 12x - 7y = 3 13

2.

8.

II.

M N ! Q R

III.

M Q

=

=

C) CII

N P ! R S

N R

=

D) IIC

E) ICI

9.

B) Ib IIc IIIa E) Ia IIb IIIc

C) Ia IIc IIIb

E) -2

B) 11

C) 12

D) 10

E) 9

A) 1 10.

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

=

6;

xz 3x + 2z

=

8;

B)

15 2

yz 3y + 5z

=

6

y x-z

C) 10

D)

25 2

E) 25

Nivel 2

C) 34

D) 18

es compatible determinado?

Intelectum 4.°

C) m = 4; n = 4

Si:

A) 5

¿Para qué valores reales de m el sistema:

A) m ! R - {0; 13/6} C) m ! R - {1} E) m ! R -

B) m = 13; n = 22 E) m = 6; n = 7

Determina el valor de: E =

Resuelve el sistema: x + y + z = 10 2x + y + z = 12 x - y + 2z = 9 Indica xyz. B) 24

= 4

La suma de las edades de un hombre y su esposa es 6 veces la suma de las edades de los hijos; hace 2 años, la suma de las edades de los esposos era 10 veces la suma de las edades de los hijos; y dentro de 6 años, la suma las edades de los esposos será 3 veces la suma de las edades de los hijos. ¿Cuántos hijos tienen?

xy

5mx +(m + 2)y = 27 mx +(3 - m)y = 8

66

D) 2



4.

C) -1

Halla m y n para que el sistema tenga infinitas soluciones.

5x + 4y

A) 30

E) 7

Si x; y; z son números reales positivos, el valor de 0,5xyz es: xy = 6 yz = 12 xz = 8

A) m = 3; n = 4 D) m = 4; n = 5

a. El sistema no tiene solución. b. El sistema es determinado. c. El sistema tiene más de una solución.

P S

A) Ic IIa IIIb D) Ic IIb IIIa

3.

B) 1

3x + 5y = 1 (m - 1)x +(n - 2)y

Relaciona adecuadamente: Dado el sistema de ecuaciones: Mx + Ny = P Qx + Ry = S I.

D) -4

3

B) CCC

M Q

C) 5

Resuelve y da como respuesta el valor de x. x + y = 2 y + z = 3 x + z = 5

A) 15 =

no admite solución. A) CCI

B) -2

A) 0

II. El sistema: 29 - 7y = - 5x x 3

A) 3 6.

I. El sistema: 3(a + 2) = 2b 2(b + 5) = 7a es compatible determinado.

Si el siguiente sistema admite como solución x = 2, y = 3. Halla a + b. ax - y = 1 bx - 2y = 4

B) m ! R D) m ! R +


E) 22 11.

Dos sistemas __________, exactamente con las ____________, se dice que son ____________ si y solo si la solución de una es también la _______________________________ de la otra. A) cuadrático - diferentes incógnitas - equivalentes - raíz. B) cúbicas - mismas incógnitas - diferentes - solución. C) lineales - equivalentes incógnitas - diferentes - conjunto solución. D) lineales - mismas incógnitas - equivalentes - solución.

12. Memoria

16.

Fija atentamente tu mirada en la imagen por medio minuto. Luego tápala y responde las preguntas. J 2 Kx K 1 KK x L

1 x 1

N O O Q (x) = x - 1 x+2 OO P

x x 1

J1 K K1 L

3x + y = 7 2x - 3y = 1 J 2x - 1 K K 2x + 1 L

3x 7x

J 2 K sen x K - cos2 x L

N O O P

5 9

2

P(x) = x

x + y + z = 1 2x + 3y + 5z = 4 4x + 9y + 25z = 16

A) 3a = 5b D) 3b = 5a 17.

N O O P

J1 K K2 K5 L

2

3

5

5

4

3

N O O O P

2

3

+ 3x + 1

2

2

sec x

N O J3 O K P K2 L

7 20

N O O P

J1 K K0 K0 L

0

0

1

0

0

1

N O O O P

3

8

5

1

0

0

0

1

18.

D) - 8

E) - 10

B) 0 E) 1

19.

?

A) 10 D) 13

B) 7 E) 8

C) 6

C) 15

Calcula el valor de n para que el sistema no tenga solución única. nx + y + z = 1 x - y + z = 2 x + y + nz = -1 B) -3 0 2 E) 1 0 -1

C) -3 0 -1

Sea el sistema:

E = {(x; y) ! R 2 / x # 0 / y $ -1/3} A) n $ 1 D) n $ 6

calcula: a + b

Calcula: x + z - y 2x + y = 17 z + 2y = 23 x + 2z = 23

B) 18 E) 13/2

3nx + 6y = -2 2x - ny = -1 Halla los valores de n para que las soluciones del sistema pertenezcan a la región definida por:

C) -3

C) 5

7


B) 2 E) 15

C) - 6

3

A) -3 0 1 D) 3 0 1

Si el siguiente sistema es compatible indeterminado: (a - 3)x + (b - 2)y = 8 (a + 1)x + (b + 4)y = 24 A) 1 D) 10

4

Halla a - b para que el sistema tenga infinitas soluciones.

Halla m para que el sistema tenga infinitas soluciones:

A) 3 D) 5

15.

B) - 3

A) 17/3 D) 24/7

7

x + my = 1 mx - 3my = 2m + 3

14.

A) - 1

(a - 3)x + ay = 12 3x - 5by = 18


C) b = 2a

¿Para qué valores de m y n el sistema tiene infinitas soluciones, indica el valor de m + n? 3x - my = 1 5x - (2m + 1)y = n - 1

3

¿Cuántas matrices observas? ¿Cuántos sistemas de ecuaciones lineales? ¿Qué expresiones diferentes hay a las observadas anteriormente? ¿Dónde está el sistema lineal con 3 incógnitas? ¿Dónde está el valor de la determinante

B) a = b E) a = 2b

3

(a + b)(a - b) = a2 - b2

tan x

¿Cómo debe ser la dependencia entre a y b para que el sistema tenga solución única? x + y = 3 ax + by = 5b 5x - 3y = 7

21.

B) n # 3 E) n # 10

C) n $ 0

Un obrero trabajó durante 2 meses con su hijo en una misma fábrica. El primer mes por 14 días del padre y 24 del hijo recibieron S/.118, el segundo mes por 21 días del padre y 19 del hijo recibieron S/.143. ¿Cuál es la diferencia de jornales diarios del padre y del hijo? A) 3 D) 5

B) 1 E) 2

C) 4


67

25.

Nivel 3


Relaciona los sistemas de ecuaciones con su respectivo conjunto solución (CS). I.

2x + 4y +

II.

2x + 4y +

III.

2x + 4y + 2x +

IV.

V.

4y + 2x + 4y +

y-2 5 x+4 6 y-2 5 x+4 6 y-2 5 x+4 6 y-2 5 x+4 6 y-2 5 x+4 6

=

21

=

29

=

21

=

29

=

CS = {(10; 7)}

Halla la suma de los valores de n para que el sistema homogéneo tenga soluciones diferentes a la trivial. (1 - n)x + y - z = 0 2x - ny - 2z = 0 x - y -(n + 1)z = 0 A) 2

26.

27.

CS = {(8; 6)}

B) 1

x+y

-

+

A) 17 =

21

=

29

=

21

=

29

CS = {(10; 6)}

28.

C) 2

D) 3

E) -3

1 x+y x-y

=

=

2 15

8 x2 y2 . Indica el valor de y. 15

B) 8

C) 15

D) 25

E) 4

=

a;

y-x+1 x-y+1

=

ab

e indica el valor de x.

CS = {(10; 7)}

A) a + 1 D) a + 1

B) ab + 1 E) ab + 2

ab + 1

29.

Las letras mostradas están desordenadas; ordénalas para formar palabras; en cada grupo sobra una letra, anótala en la columna de la derecha. Palabras correctas

E) -1

Resuelve el sistema: x+y-1 x-y+1

23. Lenguaje

D) 0

Resuelve el sistema: 1 x-y

= 29

C) 1

El sistema tiene solución única, indica el valor de a. ax + y = 3 2x + ay = 4 2ax - 3y = 1 A) -2

CS = {(0; 0)}

21

B) -2

Halla la diferencia entre (x + y) máximo y (x + y) mínimo, luego de resolver el sistema: 2x2 + 5xy - 10y2 = 0 12y2 - xy - 72 = 0 A) 2

Letra que sobra

C) ab - 1

B) 12

C) 18

D) -6

E) 0


AAÓGUNIICLP SSTTÓNUUCXII ZCUDERÓNIC EAMILBOCRTP TENTYNOCSIENSI INUCSSEJLOO MTSSEAAI SEBICAUNOCE TIDGCISANON

30.

Tres amigos de los cuales uno de ellos está con su motocicleta que desea llevarlos a través de una distancia MN = 44 km. Partiendo los tres al mismo tiempo, lo primero que hace es llevar a uno de ellos hasta un cierto tramo, lo deja para que continué corriendo y va a recoger a su otro amigo. El motociclista va a una velocidad de 45 km/h mientras el amigo a 18 km/h. Determina la distancia que recorrió el motociclista comprendida desde el momento en que deja hasta recoger a su otro amigo. A) 1 km

B) 19 km

C) 17 km

D) 12 km

E) 13 km

20. C 21. A

26. C 27. B 28. D 29. B 30. D


Si el siguiente sistema tiene mas de una solución, halla la suma de los valores de m, si m es único. (m - 1)x - (m - 2)y = 3 (m + 1)x - (m - 1)y = m + 3 A) 1 D) 14

68

B) 3 E) 0

Intelectum 4.°

C) 2

Nivel 1

1. C 2. E 3. A 4. A 5. E 6. D

7. C 8. B 9. C 10. A Nivel 2

13. C 14. D 15. B 16. E 17. A

11. D 12.

18. E 19. A

Nivel 3

22. 23. 24. B 25. A


Resuelve e indica la menor raíz, en: (2x - 1)2 = -(x - 2)

A) - 1

5

3

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO PLANTEO DE ECUACIONES

B) - 1

2

C) - 1

3

2

D) - 1

4

E)

1 5

Para la ecuación: (a - 13)x2 - 7(a - 1)x + (11 - a) = 0 halla a, si las raíces son recíprocas.

Si el producto de raíces es igual a la unidad, halla m, en: (m + 1)x2 - 2 x + 2(m - 1) = 0

A) -1 4

( C) ( E) (

1+

5

C) 6

D) -6

E) 1

Determina k de manera que la ecuación tenga única solución: 2kx2 - 6x + 9 = 0; k ! 0

A) 1

B)

1

D) - 1

E)

1 4

2

2

6

-2

3

-

B) -12

C) -2

D) 3

E) 2

Resuelve: 3x2 - 2x + 1 = 0

A)

A) 12

B) -3

2 ; 3

;

1-

-2

3

-2

3

4x x

2

2

-

-

( D) ( B)

2

1+ 5 ;1- 5 4 4

Resuelve:

2

2 ; 3

-

-2

3

2

2 1- 2 ; 3 3

2

2

3x + 5

2x + 13

=

2

C) -1 A) {-7; 3} D) {-2; 3/7}

B) {-3; 2} E) {3; -7/2}

C) {-7; 2}


69

7

Indica el producto de raíces de la siguiente ecuación: 1 2x

A)

9

11

11 2

5

=

9 2

-

C)

7 2

D)

5 2

+

A) 1

D) 4

B) 2

8

2 1

Halla k, si la ecuación x 2 -(k + 2)x iguales.

C) 3

E)

1

B) 5

C)

4 5

D)

2k = 0, tiene raíces

5 4

4 3

B)

1 3

C)

7 3

D)

13 3

10

12

E) - 4 5

E)

14

11 3

C) 303

D) 300

E) 200

Halla m, si las raíces de la ecuación son recíprocas: (2m - 5)x2 + (8m - 4)x + 3m - 4 = 0

B) -2

C) -3

D) -4

E) -5

Si k > 0, indica la menor solución de: 36x 2 - 12x + 1 = k2

A)

k 6

D)

k+1 6

+

B) k

1

6

E)

-

1

C)

1-k 6

k 6

Calcula c, tal que la ecuación: 3x2 - 10x + c = 0 tenga sus dos raíces positivas.

A) c ! G0; 25] C) c ! G0; 25H E) c ! G0; 25H

B) c ! G0; 25/3] D) c ! G0; +3H

B . 4 1

C . 2 1

A . 0 1

D . 8

E . 6

A . 4

D . 2

D . 3 1

C . 1 1

B . 9

A . 7

B . 5

A . 3

D . 1

s e v a l C

70

B) 103

A) -1

E) 5

Calcula a, de tal manera que las ecuaciones sean equivalentes: (5a - 2)x2 -(a - 1)x + 2 = 0 (2b + 1)x2 - 5x + 3 = 0

A)

Si las ecuaciones en x: 30x2 + nx + 3m = 0 / 2x2 + 5x + n = 0 tienen el mismo conjunto solución, halla: m - n

A) 100

2

Halla a, si las raíces de la ecuación son simétricas: (6a - 2)x2 + (5a - 4)x + (8a - 1) = 0

A) 4

13

B)

-

x x

Intelectum 4.°


Resolución de problemas Comunicación matemática

1.

Verifica si es correcto (C) o incorrecto (I) el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: I. 5x2 - 20x = 0 II. 3x2 - 27 = 0 III. x2 - x - 12 = 0 IV. 7x2 - 21x = 0

2.

10.

CS = {0; 4} CS = {-3; -3} CS = {-3; 4} CS = {-3; 0}

( ( ( (

A) 1

) ) ) )

(x - 1) 2 + (x - 2) 2 + 15

A) (1 + 2 ) cm D) 1 cm

IV. Reales irracionales fraccionarias. V. Complejas conjugadas.

-

A) -3 4.

1 4

12.

x

2

B) 4

C) -7

D)

5

B)

1 4

C)

6 3

D)

4 3

B) 21

C) 22

D) 23

B) 6

C) 7

B) 4

C) 5

B) 8

C) -6

E) 2

3

13.

▪

E) - 4 3

▪

▪

▪

A) 25

1 x1

+

B) 16

1 x2

=

E) 7

15.

5 ; encuentra el valor de n. 12

C) 12

D) 24

x(x - 1) = 18x + 372 3x + 1 = 2

E) 15

-

7x 2

11x(x - 1) = 9x2 + 21 10x = 3 +

1 x


Si: x2 - nx + 36 = 0, admite como raíces a: x1; x2, tal que:

2x(x - 31) + x - 31 = 0

E) -4

E) 4

C) FVF

x2 - 2x - 63 = 0

2

E) 24

D) 8

B) FFV E) FFF

De las siguientes ecuaciones, plantea sus respectivos enunciados matemáticos:

▪

D) -3

C) 5 cm

Para la ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0; a ! 0 cuya discriminante se define: T = b2 - 4ac, verifica la verdad o falsedad, en cada caso: ( ) Si: T > 0; las raíces serán reales iguales. ( ) Si: T < 0; no hay raíces iguales ( ) Si: T = 0; las raíces serán reales distintas.

▪

D) 6

B) ( 2 - 1) cm E) ( 3 + 1) cm

A) VFV D) VVF

; x ! R

Sean x1 y x2, las raíces de la ecuación: 3x2 + 7x + 2k = 0 Calcula k, si: (x1 + 3)(x2 + 3) = 6 A) 6

9.

=

Halla k, si las raíces de la ecuación son simétricas: 8x2 + 6(k - 7)x + 6 = 0 A) 3

8.

2

Dada la ecuación: (m + 1)x2 + 5x + (2m - 1) = 0 el producto de raíces es 5/3. Halla m. A) 5

7.

x

Sea la ecuación x2 - 3x - 6 = 0, halla: x12 + x 22 A) 20

6.

-

En la siguiente ecuación: 2x + 8x2 = 4x + 5, indica la suma de raíces. A)

5.

16

E) -2


Indica una raíz de: 14

D) -1

Nivel 2


C) 2

Determina la medida del lado de un cuadrado si una de sus diagonales mide 1 cm más que la medida de un lado.

= - 1, tiene raíces:

I. Reales distintas. II. Reales iguales. III. Reales racionales fraccionarias.

B) 0

11. Problema con datos numéricos:

Luego de resolver la ecuación: (x - 1) 2 + (x - 4) 2 - 17

Calcula la suma de los valores de n, si una raíz es el doble de la otra, en: 2nx2 + 3x + n = 0

Si k > 0, indica la mayor solución de: 64x2 - 16x + 1 = k2 A)

k 8

D)

k+1 8

+

1

B) E)

k 8

-

1

C)

1-k 8

C)

61 3

k 8

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación: 3x2 + 2x - 4 = 0 Halla el valor de (x1 + 5)(x2 + 5). A)

61 4

B)

61 5

D)

61 7

E)

61 9


71

16.

Si m y n son raíces de: 3x2 - 2x + 1 = 0, halla: R= A)

m n

+


m

3 2

B)

D) - 1

Resuelve:

1 3

C) - 3

23.

2

E) - 2

3

17.

Nivel 3

n

3

x+1 x-1

=

3 x

3x - 1 x+1

Indica una de las raíces. A) 1 D) 3 18.

19.

C) 2

B) 4 E) 10

Sea la ecuación: (3m - 2)x

A) 1 D) 4

11 7

2

C) 6 24. - (5m + 2)x + 4m - 1 = 0

1 2

= 0

B) 2 E) 5

( )

B) Una de las raíces es 9.

( )

C) Una de las raíces es recíproca de la otra.

( )

D) a - b = - 73

( )

Elige la ecuación que representa correctamente el enunciado del problema que nos permitirá solucionarlo. Determina la capacidad de un depósito lleno de Benceno (C6H6) puro, del cual se ha extraído dos veces 10 L reponiéndose en cada caso con idéntico volumen de H 2O y resultando únicamente C 6H6 al 83,25%.

C) 3 2

- (a - 3)x + 3 = 0

1 1 + = 2 m n

B) 16 E) 9

25.

Si n es un número racional, de modo que la ecuación x2 - (3n - 2)x + (n2 - 1) = 0 tiene sus raíces en la relación de 1 a 3, calcula la suma de todos los valores de n. A)

29 14

B)

37 12

D)

36 11

E)

37 11

C)

39 12

x

2

x - 10

= 83,25% (x - 10)

II.

(x - 10) 2 = 83,25% (x + 10) x

III.

(x - 10) 2 = 83,25% x x

IV.

(x + 10) 2 = 83,25% x x

C) 3


y ax2 + bx +

18

. Halla el valor de m.

Las raíces de la ecuación: 2x son m y n; calcula a si:

A) 8 D) 4

= 10

A) a + b = - 73

I. 20.

x

18

Halla el valor de n, si la ecuación: 2nx2 + 4nx + n = 5x2 - 7x - 1, tiene raíces recíprocas.

Donde x1 . x2 =

3

+

Podemos afirmar que:

B) -1 E) 8

A) 2 D) 8

Examen de admisión UNI 2001 -I (matemática I) Analiza, luego según la proposición responde si es correcto (C) o incorrecto (I): De las ecuaciones equivalentes:

En la cuadrícula hay oculto un gusano que ocupa exactamente diez casillas. Una de las soluciones de las ecuaciones cuadráticas muestra el número de casillas ocupadas que hay en cada fila o columna. Fíjate el ejemplo mostrado: O

(2) A

(4) B

(4) C

O O D (3) E (2)

22. Problema con datos numéricos:

Un grupo de amigos se ponen de acuerdo para hacer un viaje en una camioneta cuyo alquiler es de 4000 soles. A última hora dos de ellos deciden no viajar, por ende cada uno de los restantes paga 100 soles más. Determina el número de amigos que se van de viaje y cuánto paga cada uno. A) 5; S/.200 D) 4; S/.1200 72

B) 7; S/.1000 E) 8; S/.600

Intelectum 4.°

C) 7; S/.600

F (2) G (3)

A: 2x2 - 2x - 4 = 0; C: 5x2 - 19x - 4 = 0; E: x2 - 4 = 0 G: 2x2 - 4x - 6 = 0

B: 3x2 - 11x - 4 = 0 D: 2x2 - 7x + 3 = 0 F: 3x2 - 5x - 2 = 0

Determina dónde se encuentra el gusano en la cuadrícula inferior. Te facilitamos la posición de la cabeza. O

A

B

C

31.

A) {-3; 1/2} D) {-3; -1/2}

D E F

32.

G H

B: D: F: H:

x2 - x - 6 = 0 3x2 - 7x + 2 = 0 4x2 + 20x - 56 = 0 x2 + 9x - 22 = 0

1

27.

B) -2 E) -5

3

Del problema anterior, halla p tal que las raíces sean recíprocas. A) 10 D) 2

B) 0 E) 20

C) 1

Halla el mayor valor de a en la ecuación: x2 - (2a + 4)x + a2 + 8 = 0 si una raíz es el triple de la otra. A) 11 D) -12

C) 0

C) 18

En la siguiente ecuación: 3x2 - 3x + 6 = 0, las raíces son x1 y x2. Halla: x12 + x 22 A) -1 D) -4

29.

B) 17 E) 20

E) - 5

5

34.

Encuentra el valor de m para que una raíz sea el doble de la otra. x2 + 9x + m = 0 A) 16 D) 19

28.

B) 1 E) 10

4


Resuelve en R , la ecuación: 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y - 2x + 2 = 0 Halla: xy + x + y A) -1 D) -2

C) - 3

6

D) - 2 33.

C) {3; 1/2}

B) - 5

2


B) {3; -1/2} E) {-1/2; 1/2}

Dada la ecuación: 4x2 -4(p + 3)x + p2 + 4 = 0 Calcula p, tal que presente una raíz doble. A)

I

A: 3x2 - x - 2 = 0; C: 2x2 - 7x - 4 = 0; E: 10x2 - 15x - 10 = 0 G: 2x2 + x - 21 = 0 I: x2 + 8x - 9 = 0

Resuelve la ecuación: (n -2)x2 -(2n - 1)x + n - 1 = 0, sabiendo que el discriminante es 25.

B) -11 E) 10

C) 12

35. Problema de datos numéricos:

Examen final CEPREUNI CONCURSO 2001-I Un grupo de personas que asistieron a una reunión se dieron la mano, uno de los asistentes observó que los apretones de mano fueron 465 (incluido los dados por él mismo). Determina el número de personas que asistieron a la reunión. A) 39 personas D) 41 personas

B) 29 personas E) 51 personas

C) 31 personas

C) -3

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación: (m + 3)x2 - (m - 2)x + m + 3 = 0, donde: x1 + x2 =

3 8

.

Indica el valor de m. 8. A

15. C

Nivel 3

30. E

1.

9. E

16. E

23.

31. C

2.

10. B

17. D

24.

32. B

Si m y n son las dos raíces de la ecuación: x2 - 2x + 2 = 0

3. E

11. A

18. C

25.

33. B

4. A

Nivel 2

19. C

26. A

34. E

calcula: E = mm+n . nmn

5. B

12. C

20. E

27. C

35. C

6. D

13.

21. D

28. C

22. E

29. E

A) 1 D) 4 30.

A) 2 D) 2

B) 2 E) 5

B) -4 E) 4

C) 3

C) 1

Nivel 1

7. E

14. D


73


Resuelve la ecuación: 3x3 - 13x2 + 13x - 3 = 0

( D) ( A)

1 ; 1; 3 3

1;

3

( E) ( B)

1;

2 ;3 3

1 ; 2; 3 2

2 2

B) -4

C) -2

Si la ecuación: x3 - ax2 + bx - c = 0; (a; b; c ! Q) admite por raíces a 3 calcula: a + b + c.

A) 52 74

3 ;3 2

2 2

2

C)

(

1 ; 2; 3 3

Halla el valor de a, en: ax3 + (2a + 1)x2 + 3ax + 2 = 0 Si sus raíces r 1; r 2; r 3 verifican: r 1-1 + r 2-1 + r 3-1 = 6

A) 4 5

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

B) 54

Intelectum 4.°

C) 50

D) 2

A) x3 + 10x2 - 30x + 60 = 0 B) x3 - 10x2 + 31x - 30 = 0 C) x3 + 31x2 - 30x - 60 = 0 D) x3 + 62x - 20x2 - 60 = 0 E) x3 + 12x2 - 15x - 30 = 0

2 4

E) 5

y 4,

D) 58

E) 60

Resuelve la siguiente ecuación: x4 - 6x3 + 3x2 + 26x - 24 = 0 e indica el producto de la mayor raíz con la menor raíz.

A) 8 6

5

Forma la ecuación de menor grado posible con raíces: 2; 5 y 3.

B) -5

C) -8

Si 1 + 3 es una raíz de x3 b ! Q, halla (a . b)

A) -8

B) -6

C) -4

D) 6 +

ax2

+

bx

D) 8

E) -6 +

4 = 0 con a,

E) 6

7

Resuelve la ecuación: x4 - 29x2 + 100 = 0 Indica la menor raíz.

A) -2 9

B) 5

D) -1

B) 3

C) 4

10

D) 6

B) 4 E) 6

6

E) 8

3

C) 2

6

B) 1

12

C) G1; 2H

C) 24

D) 16

E) -16

Sean a; b; c raíces reales de: x3 + x + mn = 0 (a + b) 3 + (b + c ) 3 + (c + a ) 3 + 6abc abc

3

A) 5

D) 3

B) -20

Determina: H =

3

C) 2

B) G0; 1H E) G3; 4H

Si una de las raíces de la ecuación polinomial de coeficientes racionales: P(x) = x4 - 4x3 + ax2 + bx + c = 0 es 1 + 4 2 ; calcula: a . b . c

A) -24

Resuelve: 9x4 + 16 = 0 ; e indica el número de raices en C.

A) 0

Sea el polinomio P(x) = x3 - 2x - 5; podemos afirmar que una de sus raíces se encuentra en el intervalo:

A) G-1; 0H D) G2; 3H

E) 2

Calcula la suma de las raíces positivas de la ecuación bicuadrada: 4xn+1 - 20nx2 + 3n3 = 0

A) 2 D) 3 13

C) -5

Resuelve: x5 - 6x4 - 5x3 + 30x2 + 4x - 24 = 0 e indica una raíz.

A) 5 11

8

14

E) 4

B) 7

C) 3

D) 0

E) 6

Si una de las raíces de la ecuación: 3x3 - 18x2 + ax - 60 = 0 (a ! R ) es la media aritmética de las otras 2, calcula la suma de las inversas de estas 2 raíces.

A) 1/5

B) 2/5

C) 3/5

D) 4/5

E) 1

. 4 1 B

. 2 1 C

. 0 1 C

. 8 D

A . 6

. 4 C

B . 2

E . 3 1

A . 1 1

D . 9

C . 7

B . 5

B . 3

A . 1

s e v a l C


75

Practiquemos 5.

Nivel 1

Donde: x1; x2; x3 raíces de la ecuación.


2.

Completa y marca la alternativa adecuada. I. Los coeficientes de una ecuación polinomial pertenecen a . II. Si P(a) = 0, entonces a es de la ecuación polinómica. III. Si (x - k)2 es factor del plinomio P(x); k es raíz de multiplicidad . IV. Si el polinomio de grado n $ 3 posee una raíz irracional, a - b , entonces la raíz conjugada irracional es . V. El polinomio de coeficientes en R tiene una raíz imaginaria -a - bi, entonces su raíz conjugada imaginaria es: . A) Reales / raíz / dos / a + b / a + bi B) Complejos / solución / uno / a - b / a - bi C) Complejos / raíz / dos / b - a / -a + bi D) Complejos / raíz / dos / a + b / -a + bi E) Reales / solución / uno / b - a / -a + bi

Ecuación trinomia.

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0

Presenta 7 raíces.

3

Tiene como suma de raíces -5.

2

+ 3x + x + x - 6 = 0

7x6 - x3 + 9 = 0

Ecuación recíproca.

x7 + 2x6 + 2x3 = 0

Tiene a 6/7 como producto de raíces.

3

D)

B)

-1 +

3

35 i

E)

Intelectum 4.°

3 2 x - 20 = 2

-1 -

35 i

6 -2 -

6

35 i

C)

-1 -

6

7.

3 2 x - 40 = 0 2

D) 2x4 - x2 - 40 = 0

Determina el valor de A + B, si: x4 + Ax3 + Bx2 - x = 0 admite a 1 como raíz. A) 0 D) 2

8.

B) 1 E) 3

C) -1

Al resolver la ecuación: 12x4 - 4x3 - 41x2 - 4x + 12 = 0

(

-

m; n ; 1; a n m a

2; (m

< n)

Calcula: m2 + n2 + a2 A) 14 D) 17 9.

B) 15 E) 18

C) 16

Con respecto al polinomio: P(x) = x3 + 4x2 - 4 podemos afirmar que una de sus raíces se encuentra en el intervalo: A) G0; 1H D) G2; 3H

B) G1; 2H E) G7; 9H

C) G-1; 0H


Sean x1; x2 y x3 las raíces de la ecuación: x3 + 4ax + b - 2004 = 0; a < 0 Además: x2 - x1 = x3 - x2. Da como respuesta una de sus raíces.

11. 35

B) x4 -

0

E) x4 - x2 - 20 = 0

B) x2 - 7x + 14 = 0 D) x2 - 7x + 15 = 0

Resuelve e indica una raíz de: 3x 3 - 5x2 + x - 6 = 0

C) m

C) 2x4 - 3x2 - 40 = 0

La ecuación: x - 3x + 4x + 28 = 0 admite a (-2) como raíz. Las otras raíces satisfacen la ecuación:

A) -2

B) 1 E) 4

Forma la ecuación bicuadrada, si la suma de productos de sus raíces dos a dos es - 3/2 y el producto de las mismas es -20. A) 2x4 -

2

A) x2 - 6x + 14 = 0 C) x2 - 5x + 14 = 0 E) x2 - 4x + 14 = 0

76

6.

10.


4.

A) 3 D) n

su CS es:

x3 + 5x2 + m = 0

7x

3.

Determina x3; si: x1 + x2 = 3

Relaciona correctamente:

5

Sea la ecuación: x3 - 7x2 + mx + n = 0

A) 2004

B)

D) 2a - 1

E) 2

-a

C) - 2

-a

a

Se sabe que las raíces de la ecuación: x3 - 12x2 + ax - 28 = 0; están en progresión aritmética. Halla a. A) 39 D) 16

B) 24 E) 22

C) 20

Nivel 2


12.

14.

Si x1; x2; x3 son raíces de: x3 + ax + b = 0 Además: x1 . x2 . x3 = x1 + x2; indica la relación entre a y b. A) a2 + b2 + 1 = 0 B) a + b2 + 1 = 0 C) a2 - b2 + 1 = 0 D) a3 + b - 1 = 0 E) a3 - b + 1 = 0

15.

Si x = c; es una raíz de la ecuación: 4x3 +(3b - 12 - 4c)x2 +(13c - 3bc)x - c2 = 0, calcula el valor de c, si las otras raíces son recíprocas.

Identifica la premisa incorrecta: A) Sea P(x) = ax5 + bx4 + bx + a Si P(m) = 0 & 1/m es raíz de P(x). B) La suma de productos de raíces dos a dos de P(x) = 3x4 - 6x3 - 12x2 + 3x + 10 = 0 C) Si _x - 2 + &

_- 2 -

3

3

es: -4

i es factor de una ecuación polinómica;

i es una raíz de dicha ecuación.

A) 1 D) 4

D) (x - 3)6 = 0; tiene una solución y 6 raíces. E) x3 - 2 = 0; posee 2 raíces imaginarias. 13.

16.

Completa los pasos para resolver la siguiente ecuación: Indica qué condición debe cumplir a y b, donde a; b ! 0, para que las raíces de la siguiente ecuación: ax5 + (b - ac)x4 - bcx3 - bx2 - (a - bc)x + ac = 0, sean todas reales. Dato: c es raíz de la ecuación, c ! R .

17.

ac c

ac

18.

bc

a

0

& P(x) = (x - c)(

B) 4/3 E)-5/4

B) ! 3 E) ! 2

C) ! 1

La ecuación: x3 - 7x - 2 = 0 Admite como solución a:{x1; x2; x3} Determina: H= 1 + 1 + 1 x1 + 2

x2 + 2

A) 7 D) 1/3

- a)

C) 5/3

Encuentra el valor de k en la ecuación bicuadrada: (5k2 + 2)x4 -(4k4 + 9)x2 + 3(k2 + 2) = 0 si el producto de raíces es 1. A) ! 3 D) ! 2

dividimos aplicando Ruffini:

C) 3

Si a y b son raíces imaginarias de la ecuación: 2x3 - 3x2 + 3x - 10 = 0 calcula: M = a2b + ab2 A) 3/4 D) -5/3

Resolución: • Si x = c es raíz,

B) 2 E) 5

x3 + 2

B) 2 E) - 1/2

C) -5/4

Posee una raíz = 1 Resolución de problemas

Aplicamos Ruffini, factor (x - 1): 19. & P(x) = (x - c)(x -

1) (

) Posee una raíz = -1

A) 0 D) 64

Aplicando Ruffini, factor (x + 1): & P(x) = (x - c)(x - 1)(x +

|

)

D $ 0 Como observamos 3 raíces en R , las otras 2 también deben ser reales.

b2 `

1)(

Si la ecuación: 16x4 - 32x3 + 72x2 + mx + n = 0 m; n ! R admite dos raíces imaginarias de multiplicidad dos, determina m + n.

20.

|

C) -6

Sean a, b y c; raíces de la ecuación: x3 + 2x + 2 = 0 Forma una ecuación cúbica en "y" de raíces: b c c a a b ; ; . + + + c

b

3

| $ 2 |

B) 2 E) -7

a

2

c

b

a

A) y + 3y + 5y + 5 = 0 C) y3 - 3y2 + 5y - 5 = 0 E) y3 + 3y2 + 5y - 5 = 0

B) y3 - 3y2 - 5y + 5 = 0 D) y3 - 3y2 - 5y - 5 = 0


77

25.

Nivel 3


Con respecto a la siguiente gráfica del polinomio P(x) de grado 6: 26.

y P(x):

9

Indica entre qué valores se encuentra x, si: x4 - 6x3 - 144 < 7x2 - 96x; x ! R A) G-3; 3H B) G3; 4H D) G-4; 3H E) G-4; 4H - {3}

Si la ecuación x3 + x2 - 1 = 0 tiene por CS = {a; b; c} Halla el valor de: M

=

a a

x

1

C) G-3; 4H

A) 1

-a 2

-

+

bc

B) -1

b b

-b 2

-

+

ac

C) 3

c c

2

-c -

ab

D) 2

E) -2

Responde: ▪

▪

n.° de raíces reales de multiplicidad 2:

Sea 6x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx - 12 = 0 Posee 2 raíces imaginarias i y 1 + i. Determina: 8a + 4b + 2c + d

▪

Suma de los coefcientes del polinomio:

A) -62

▪

▪

▪

22.

27.

n.° de raíces imaginarias:

n.° de soluciones en R :

28.

n.° de raíces reales negativos:

Sea la ecuación polinomial compleja: P(x) = ix3 + 3x2 - 3ix + 2 = 0 Indica el valor de verdad de las proposiciones: I. Posee solo una raíz real. II. Posee 3 raíces imaginarias. III. Posee 2 raíces reales y 1 imaginaria. A) FFF D) FVF

23.


n.° de raíces reales:

B) VFF E) VVV

C) VVF

De la ecuación polinomial: x4 - x - 3 = 0: se afirma: I. Tiene dos raíces reales positivas. II. Si: x1 y x2 son dos de sus raíces reales, positiva y negativa, respectivamente, entonces: x1

>

x2

A) VVV

B) VFV

D) FVV

E) FFF

1;

3 2

31.

. C) FFV

D) -60

E) -36

C) -5

D) -6

E) 4

La ecuación: x3 + ax2 + bx + c = 0 ; c ! 0 tiene 3 raíces distintas en progresión geométrica y cuyas inversas pueden ordenarse de modo que formen una progresión aritmética. Halla la relación entre a, b y c. B) b3 = ca E) b3 = c3a

C) b3 = ca3

De la siguiente ecuación: x3 + 3x2 + 5x + 8 = 0 calcula la suma de las sextas potencias de sus raíces. A) 25

1

III. La raíz positiva se localiza en

B) 6

A) b = ca3 D) 27a3 = b3c 30.

C) 2

Determina el coeficiente a, de tal modo que el número (-1) sea una raíz múltiple de orden no inferior a 2, del polinomio: f(x) = x5 - ax2 - ax + 1 A) 5

29.

B) 42

B) 84

C) 122

D) 232

E) 212

Si las raíces: x1, x2, x3, x4; de la siguiente ecuación: x4 + mx3 + nx2 + px + 864 = 0 son reales y positivas; además: x 1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 48 Da como respuesta la suma de raíces. A) 3

B) 9

C) 17

D) 25

E) 36


Sea la ecuación: x4 + x3 - 4x2 + x + 1 = 0; si hacemos: z=

1 x

+

x ; entonces la ecuación en z será:

A) 2z2 - z + 6 = 0 2 2

C) x (z

- z - 8) = 0

E) z2 + z - 6 = 0 78

Intelectum 4.°

B) xz2 2 2

D) x (z

7. A

13.

20. A

26. B

1. D

8. D

14. B

Nivel 3

27. D

2.

9. A

15. D

21.

28. C

3. C

10. C

16. E

22. D

29. D

4. B

Nivel 2

17. E

23. D

30. C

5. E

11. A

18. C

24. D

31. D

6. C

12. C

19. E

25. E

Nivel 1

Z x

- 6 = 0

+ z - 6) = 0

Matemática Determina cuál de las ecuaciones cuadráticas de coeficientes reales admite como una raíz a: (1 - i

3

)

Resolución:

x2 - (1 - i

Sabemos que si 1 - i 3 es raíz de la ecuación, & 1 + i 3 es la otra raíz. Desarrollamos la ecuación: x2 - Sx + p = 0 .

.

Dada la matriz: H = 2013

e

0

-a

a

0

6.

o

A) a . H D) -a2013 . H 2.

B) H E) a2012 . H

2

-

4.

C) I

C) {-3; 2; 4}

Si x1 y x2 son las raices de: 3x 2 - 6x - 5 = 0 1

+

7.

1

1 2

B) - 1

D)

6 5

E)

2

C) - 6 5

5 3

Ecuación polinomial

II. ex + x3 = 0

Ecuación fraccionaria

-1

x

1 x

=0

8.

x

3

+

3

x+1 =

9.

0

Ecuación irracional

En la siguiente matriz determina: Traz(A) + Traz(A ) + a32

A) 13 D) 5

3 2 3

N O - 1O O -4 P 5

B) 7 E) 10

C) 8

=

c d

f p 9 12

=

18 21

2 ; entonces:

b

2+c

d

+

B) A E) I

2

1 d 1 b

=

2

C) D

C) A + B

f p x

2

-x

1

3

B) 2 E) -2

C) 0

Determina el complemento del CS de: 2 + 5x - 30

A) G-3; 5H D) [-5; 3] 10.

2+a

B) B E) E

(|x - 1| + 2)3x

Ecuación logarítmica

T

J7 K A = K4 K6 L

3 A

Determina un valor de x, si det(A) = 10.

> (|x - 1| + 2)15 x

B) G5; +3H E) G-5; 3H

C) G3; + 3H

Resuelve el determinante e indica el CS de x. 1

5.

&

A) 1 D) 4

Ecuación exponencial

IV. x3 - 2x2 + x - 2 = 0 V.

Recuerda: i2 = -1

Sea B una matriz nilpotente y A una matriz idempotente, determina A4 + Bn + 4; A y B son de orden n # n.

A=

I. n(x + 2) + logx = 0

+

6 7

A) B D) 0

Relaciona correctamente:

4

3 4

A) A D) C

x2

A)

III.

f p

a b

E) Si: B) {3; 4} E) {-3; 2; 3}

x1

) = 0

C) De la premisa anterior det(A) = 3.

9 = x + 3

Determina:

3

D) det(A) = det(AT)

A) {-4; 3} E) {-3; 2} 3.

)(1 + i

Identifica la premisa falsa:

B) Si A =

Determina el CS de: x

3

A) En una matriz involutiva de orden n se cumple: An = I

Determina: H 2013

)x + (1 - i

La ecuación buscada es: x2 - (2)x + 1 - 3i2 = 0 2 ` x - 2x + 4 = 0

suma producto de de raíces raíces

1.

3 + 1 + i 3

-2

0

-1

x

0

0 0

0

-1

x

0 0

0

0

-1

0

0

0

A) G0; 2] D) G-1; 2H

-1

2

<

0

x 0 -1

x

B) [0; 3] E) G0; 2H

C) G1; 2H


79

Unidad 4

Recuerda Reflexiona

Teoría de probabilidades La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a ningún otro matemático. Desde 1774 escribió muchos artículos sobre el tema y los resultados obtenidos los incorporó y organizó en su obra Teoría analítica de las probabilidades publicada en 1812. Sin embargo, el primero de los resultados teóricos en esta rama fue, al parecer, la demostración realizada por M oivre en 1730 del teorema local del límite central.

• Cuando sus metas personales coinciden con las de otro, el poder del trabajo en común no solo le beneficia a usted, sino que tal cooperación también crea un efecto sinérgico que le permite conseguir más que la simple suma de sus esfuerzos individuales.

El problema del cálculo de probabilidades sobre la base de observaciones en diferentes aspectos, también fue tratado por D. Bernoulli, Euler, Simpson y Condorcet, siendo uno de los resultados más importantes las fórmulas de Bayes publicadas en 1764. Junto a esto Legendre, Laplace y Gauss elaboraron el método de mínimos cuadrados. Todo el aparato matemático que permitió desarrollar la teoría de probabilidades está extraído del análisis combinatorio, disciplina iniciada por Leibniz y Bernoulli. Posteriormente se introdujo la teoría de límites disminuyendo el peso específco de los métodos combinatorios.

• Una alianza magistral surge cuando dos o más personas trabajan juntas en perfecta armonía por la consecución de un propósito común. • Recuerda que el éxito es el resultado de las buenas decisiones. • ¡Decídete sin miedo a lograr el éxito y él te alcanzará pronto!

¡ Razona...! En el cuadrado mágico faltan cinco números, y la suma de los tres números en cada fila, en cada columna y en cada diagonal es la misma. ¿Cuál es el valor de la letra A? 15

35

50 25

A) 50

B) 40

A

C) 30

D) 20

E) 10


Sea: f(x) = x2 - 6x + 11, tal que: f(x) $ k; 6 x ! R Entonces, el mayor valor de k es:

A) 0 3

INECUACIONES

B) 1

D) 3

B) ∅ E) G0; +∞H

216ab c

A) 27

6

82

, donde a; b; c ! R +

B) 18

Intelectum 4.°

C) 6

B) 1/3

C) 3

D) 8/3

D) 216

E) 36

E) 2

Resuelve: x2 - 7x + 12 < 2x2 - 4x + 3

A)

x!

- 3;

B)

x!

- 3;

C)

x!

-3 -

3 5

2 -3 -

3 5

2

-3 -

3 5

2

;-

-3 +

,

,

3 5

2

<

-3 +

2

;+3

3 5; 3 +

3+3 5 2

D) x ! ∅

6

2 3

4

C) G2; 4H

Calcula el mínimo valor de la expresión:

_a + 2b + 3ci

Al resolver la inecuación: (x + 5)(x - 2) - 5 $ (x + 2)(x - 2) - 3 se obtiene como extremo finito del conjunto solución a:

A) 3/8

E) 4

Indica el conjunto de valores de m de modo tal que la inecuación: (m + 3)x2 - 2mx + 4 < 0 se cumpla para todo valor de x ! R .

A) G-∞; 0H D) R 5

C) 2

2

E) x ! R

Si el conjunto solución de: x4 - 2x2 - 8 < 0; es x ! Ga; bH ; halla a + b.

A) -2

B) 2

C) -4

D) 4

E) 0

7

Resuelve: (x2 + 9)(x2 - 1) # 0

8

Resuelve:

_

3 2-x

A) x ! R C) x ! R - G-1; 1H E) x ! [1; 3] 9

Resuelve:

x x+1

<

B) x ! [-1; 1] D) x ! [-3; 1]

11

9

12

x-3

>

A) G-1; 3H D) G5; 9H

x-

5 x-3

B) R E) G-1; 3H , G4; +3H

C) G3; 4H

Halla el conjunto de números negativos en que debe estar contenido x, según la inecuación: (x - 4) (x + 2) (x - 5) # 0 (x + 6) (3 - x)

B) x ! [3; 5] E) x ! G-3; 5H

B) G-3; -6] E) G-6; -2]

C) G-3; 8]

B) ∅ E) G-3; -11]

C) [3; 11H

Halla el conjunto de números positivos en que debe estar contenido x según la inecuación: (x + 4) 2 (x - 1) 3 (x + 7) 4 (2x + 1 ) 5

A) [1; 6H D) G1;-7H

C) G-6; -0]

C) x ! [3;+ 3H

B) [-3; 8H E) G-3; -8H

(x + 1) 6 (x + 9) 7 (x - 6) 99 (3x - 7 ) 100

A) G-3; -2H D) G-1; -3H

3-x

Resuelve: x2 + 3x + 11 1 0

A) R D) G3: 11H 14

i- 5 +

x+2 $2 x-3

Resuelve:

A) G3; 8] D) G3; +3H

C) G-3/7; 2]

Resuelve: 2x -

13

10

B) G1; 3/7H E) [-3; 3/7H

_

3-x # 2 3-x

A) x ! G-3; 3] D) x ! Q

12 19

A) G-1; 12/7H D) [-2; 7/2]

i+

' 1

B) G1;+3H E) [2; -7]

7 3

#

0

C) [2; +3H

. 4 1

B . 2 1

A . 0 1

D . 8

E . 6

A . 4

D . 2

. 3 1

E . 1 1

A . 9

B . 7

D . 5

B . 3

C . 1

s e v a l C


83

Practiquemos 8.

Nivel 1 Comunicación matemática 1.

Indica el valor de verdad de: ( ) 6 a; b ! R +: a + b $ 2 b

( ) 6 a; b ! R + / n ! N: A) VVF D) VFF 2.

A) -1 D) 3

a

a+b $ 2

( ) 6 a; b ! R +;

ab $

2 1 a

a + nb $ n+1

+

n+1

1 b ab

B) VVV E) FFF

9. n

C) FVV

Es una propiedad particular de las inecuaciones. Reemplaza cada letra por la que la precede en el abecedario y descubrirás de qué propiedad se trata. Considera que la letra que precede a la A es la Z. FM DPÑKVÑUP EF WBMPSFT BENJTJCMFT HBSBÑUJAB MB FYJTUFÑDJB EFM WBMPS EF MBT WBSJBCMFT QBSB RVF VÑB FYQSFTJPÑ NBUFNBUJDB FTUF CJFÑ EFGJÑJEB.


Indica el mayor número entero M que satisface la desigualdad: 2x2 - 4x + 1 > 2M; 6 x ! R (a tal desigualdad la llamaremos absoluta) A) 3

4.

B) - 2

C) 0

D) 1

E) - 1

Halla el menor número racional m tal que 6 x ! [2; 4] se satisface la desigualdad: x+3 #m x-5

A) - 2 5.

C) - 5 3

D) - 7

E) - 6

Encuentra el mínimo valor de: E

=

x

4

+

4z x

2

2

+

B)

a b ; b a

D) 〈a; b〉

E)

1; 1 a b

B) 14

x-2 x

7.

B) 9

C) 16

C) 12

+

Intelectum 4.°

$0

x-2

11. Resuelve: (x - 3) (x + 4) (x - 1) (x + 5)

#

B) G-3; 2H , [3; +3H D) r - {0}

0

A) G-3; -4H C) G-1; 3] , G4; +3H E) G-3; 2H , G3; +3H

B) G-5; -4] , G1; 3] D) G-8; -4H , G-1; 3]

12. Determina el intervalo al cual pertenece k para que la inecuación: 2

+ 2

kx + 1 +

1

<

2 , se cumpla 6 x ! R .

A) R D) G-2; 2H

B) G-1; 2H E) [-2; 2]

C) G1; 2H

13. Determina cuántos valores enteros de k satisfacen la siguiente

D) 18

D) 10

Resuelve: (x + 7)(8 + 2x - x2) + (x2 + 3x - 28) > 0 A) G- 7; 3H , G4; +3H B) G- 3; - 7H , G- 3; 4H C) G- 3; - 3H , G4; +3H D) G- 7; - 3H , G- 3; 4H E) G- 3; - 7H , G-1; 4H

84

a ;a b

Resolución de problemas E) 12

Halla el menor número M con la propiedad de que para todo x ! R se cumpla: 1 + 6x - x2 # M A) 11

2

A) G-2; 1H , [2; +3H C) G-2; 1] , G2; +3H E) G-3; 4] , G-2; 3H

inecuación, para que se verifique para todo x real: x

6.

C)

10. Resuelve:

9 xz

sabiendo que: x > 0 / xz > 0 A) 5

C) 0

b a ; a b

A)

x

3

B) 1 E) 2

Resuelve la inecuación: abx2 - (a2 + b2)x + ab < 0, si se sabe que: 0 < a < b. Indica el conjunto solución.

x

B) - 1

3

Si la inecuación: (x – 1)(x – 3) $ k se verifica 6 x ! R , encuentra el máximo valor de k.

E) 0

2

-

k-3x+5

A) 10 D) 19

>

0

B) 20 E) 2

C) 22

14. Dos hermanos mellizos al discutir sus edades el primero dice:

“Si a la edad que tengo le resto la quinta parte de mi edad disminuido en 3, a lo más se obtiene 19”, y el segundo mellizo respondió: “Pero si a mi edad que tengo le resto la sexta parte de mi edad disminuida en 5 se obtiene cuanto menos 20”. Determina la edad de los mellizos. A) 19 años D) 22 años

B) 20 años E) 23 años

C) 21 años

NIVEL 2

A) R -{2} D) {2}

Comunicación matemática 1 m

x+3 x-5

+

< 2; ∀m ! R

II. a2 + b2 + c2 # ab + ac + bc; ∀a; b; c ! R III. 9a +

1 b

$

2

6

a b

A) VVV D) FFF

; ∀a ! R + / b ! R - {0} B) FVV E) FVF

16. Si a < 0

C) FFV

/

b-1 < a 1 a

( )

b a-b

a

1 ; 2 5

5; +3

,

C) 3

D) –1

B) 〈0; 1] E) 〈0; 2]

E) 1

C) [-1; 0]

19. Si la ecuación en x:

x2 - (m - 1)x + 3 - m = 0 posee raíces positivas, halla el valor de m (m ! N). B) b

x

2

-

1 5

2; 5

,

x-2

$

5x + 6

x

2

-

7x + 12

entonces el valor de T = a + b + c + d, es: B) 5

C) 10

D) 6

+

4x + 24

<

E) 9

3 x,

C) 3

_x - 5i5 _x + 2 i2 _x - 1 i3 4 x_ x + 3 i

D) 4

E) 2

de un producto y le dieron a elegir dos modalidades de sueldo. Modalidad A: una comisión de $3,20 por cada artículo vendido. Modalidad B: un sueldo fijo de $860 más comisión de $1,80 por cada artículo vendido que exceda las 50 unidades. La suma de las cifras de la cantidad mínima de artículos que debe vender para que la primera opción sea más conveniente es: A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

26. Un libro de química tiene el cuádruple de páginas que uno de

física y entre los dos tienen menos de 130 páginas. Si el libro de química tiene más de 96 páginas, determina el número de páginas del libro de física. A) 25 págs. D) 35 págs.

B) 50 págs. E) 115 págs.

C) 80 págs.

NIVEL 3 Comunicación matemática 27. Determina el valor de verdad de las afirmaciones:

> 0

B) G- 3; - 2H E) G0; 1H

C) R -

B) R E) G3; +3H

20. Señala un intervalo que pertenece al conjunto solución de:

A) G- 3; 3H D) G- 2; 0H

;

25. Una empresa contrató a un estudiante como promotor de ventas

- 2x + m = 0, tenga raíces positivas?

A) 1

-3


18. ¿A qué intervalo pertenece m para que la ecuación:

A) [-1; 0〉 D) [0; 1]

E)

C) G2; 5H

C) VVFF

1 x+1

B) 2

1 ; 5 5

23. Si [a; bH , Gc; dH es el conjunto solución de la inecuación:

A) Q D) zB) VFVF E) VVVV

A) –2

B)

obtenemos por conjunto solución:

2

b < b a

17. Si x > -1, calcula el mínimo valor de la siguiente expresión:

x

D)

x+6


2

1 ; 2 5

24. Al resolver:

> b

A) FFFV D) FVFV

x+

A)

A) 2

( ) a(a - b) > b(a - b) ( )

x+1 x-2

>

x-1

b < 0, halla el valor de verdad de las siguientes afirmaciones (a > b). ( )

C) G- 3; 2H

22. Resuelve:

15. Indica el valor de verdad de:

I. m +

B) G2; +3H E) Q

I. Si x ! G-1; 5H C) G1; 5H

21. Al resolver:

[(3x + 2m)2 + (2x - 3m)2](- 4 + 4x - x2)(x - 2)6 > 0 donde m ! Z, indica su conjunto solución.

II. Si x ! [0; 4H III. Si

x-1 > x x+3

A) FVV D) FFF

&

&

&

3 ! 2x + 5 16 - x x+2

-

G0; 1H x

+

1

>

0

x < - 3 B) FVF E) VVV

C) FFV


85

28. Lenguaje

Ubica solo los grupos de letras tanto en los casilleros de la derecha y el de la izquierda, así como las letras solas en el espacio central, de esta manera formarás diez palabras. Con las letras ubicadas en el centro en forma adecuada se podrá formar la décimoprimera palabra. A ISIBLES O DES T DO PR AD EMA C IN IONES VAL RES FRACCI I ERVALO M I INECUA T GUALDAD R GR O CONJUN O TEO MER NARIAS

34. Determina la suma de los valores enteros positivos que

satisfacen: 3

x -1 x-1

<

x

2

A) 2

-

x+9

B) 3

C) 4

35. Sabiendo que: 2 x + 17 6 k# ; x x

2

+

D) 5

E) 6

, calcula el mayor valor de k.

d R

1

A) 6

B) 4

C) 8

D) 10

E) 5

36. Resuelve: x-2 x+3

<

x+1 x

, indica un intervalo solución.

A) - 3 < x < - 1 2 C) -5 < x < 0 E) -5 < x < 2

B) -2 < x < 1 D) -3 < x < - 1

37. El conjunto solución de la inecuación:

(x - 1)3(x2 + 3x + 4)(x3 - 1) > 0 es: G-∞; a〉 , Gb; +∞H Calcula: a2 + b2 A) -3

B) -2

Razonamiento y demostración 29. Si [m; n] es el conjunto solución de x

A) 1

B) -1

2

C) 2

# 2x + 1, halla: m

-1

+ n

C) 10

E) 4

38. Cierta dama se conformaba de su suerte diciendo:

D) -2

E) 1/2

“Me alegré y me reí menos de 8 veces, me reí más veces de lo que susurraba, me alegré más de unas tres veces de lo que susurré”. Determina cuántas veces se ríe, susurra y alegra en ese orden, la contenta mujer.

D) 8

E) 12

A) 1; 2; 3 D) 1; 5; 7

e indica la suma de las soluciones. B) 14

D) 3

Resolución de problemas -1

30. Resuelve en Z: (x - 3)(4 - x) > -x

A) 2

C) 2

B) 2; 1; 5 E) 2; 2; 5

C) 2; 5; 1

31. Dada la ecuación de raíces imaginarias: 39. Entre los 3 jugadores de fútbol: Mario, Néstor y Pablo pueden

2x2 - (m + 1)x + m + 1 = 0 / m ! Z halla el mínimo valor de m. A) 1

B) -1

C) 0

D) -2

hacer más de 5 goles, Néstor piensa hacer 3 goles más con lo cual tendrá más goles entre Mario y Pablo. Néstor tiene menos goles que Pablo y los goles que hace Néstor no llegan a 3. Determina los goles que hizo Mario.

E) 2

32. Resuelve:

_x + 2i_x - 1 i(x - 4) x+5

$

A) 1 gol D) 4 goles

_x + 2 i_x - 1 i_x - 4 i x+6

B) 2 goles E) 5 goles

C) 3 goles

Indica un intervalo solución. A) G- 2; 1H D) G4; +3H

B) [- 6; - 5] E) G- 5; - 2]

33. Sabiendo que x + y = 1, siendo x > 0

podemos afirmar de l, si A) l = 2 D) l = 1/2 86

λ

16

#

Nivel 1 1. B

y > 0, entonces qué

/

2. 3. E

x 4 + y4 .

B) l $ 1/2 E) l $ 2

Intelectum 4.°

C) [4; +3H

4. C

C) l # 2

5. E 6. D

7. E 8. A 9. B 10. A 11. B 12. D 13. B 14. E

Nivel 2 21. E

Nivel 3 33. C

15. C

22. D

34. D

16. D

23. E

27. E 28. 29. D

24. E

30. E

37. C

25. C

31. C

38. B

26. A

32. C

39. A

17. E 18. B 19. B 20. E

35. C 36. A


Calcula el valor de a + b2, si el conjunto: A = {(8; 2), (2; a), (a2 - 1; b), (2; 2a - 3), (3; 5)}, es una función.

A) 5 3

FUNCIONES

B) 6

C) 7

D) 8

2

A) R -{-3} D) G-3; 13]

E) 4 4

Indica el rango de: F(x) = x2 + 10x + 30

Calcula el rango de la función: f(x) = x2 - 4x + 1; x ! G-2; 5]

B) ∅ E) [-3; 13H

C) R - {13}

Dada la función: F(x) = 5x - 1 x+3

Calcula: Dom(F) + Ran(F)

B) R + E) [30; +3H

A) R D) [5; +3H 5

Si y = F(x) =

2x + 1 x-3

C) [-5; +3H

6

,

encuentra el rango de F.

A) R D) [-2; 2]

A) R -{-3} D) R -{-3; 5}

B) R -{2} E) G-2; 2]

C) ∅

B) R -{5} E) R -{5; 1}

C) R -{-5}

B) [-2; 3] E) [-2; 3H

C) G-2; 3H

Halla el dominio de: f(x) = 4 - x 2

A) [-2; 2] D) G-2; 2]


87

7

Calcula: M = # 3 - +

A) 2 9

|x | ; x

B) 1

6

8

x>0

C) 4

D) 5

¿Cuál de las gráficas representa a y y A) B) y

A) R D) R – [ –7; 7]

E) 0

= x+4

-

Determina el dominio de (f o g)(x). Siendo: f(x) = x - 2 g(x) = | x |- 3

10

5?

B) R – {2; 3} E) R – [2; 3]

C) R - G-7; 7H

Determina el área de la región sombreada: y

x

x

x

y

C)

D)

y1 = -2x2 + 16x - 32

y

x

11

x

A) 20 u2 D) 42 u2 12

Determina si cada función es par (P) o impar (I): y y I. ( ) II.

(

)

y2 = -2x + 6

B) 30 u2 E) 50 u2

C) 21 u2

Determina la regla de correspondecia y dominio de f -1 (x) si existe, siendo f(x) = 2x - 1 ; 6 x $ 3. x+2

x x

III. y = x5 + x3 + x ( ) IV. y = 4 V. y = x - | x | ( ) ¿Cuántas funciones son impares? A) 1 13

B) 3

C) 2

(

x

)

A) f -1 =

2-x

E) 4

2x + 1 2-x x-1 x+2

; [1; 2H

; [-7; 10]

E) No existe

Esboza la gráfica de f -1(x), si f(x) = 3x. y y A) B)

C)

B) f -1 =

; [3; 4H

C) f -1 = 2x - 3 ; [- 7; +3H D) f -1 = D) 0

x

2+x 2-x

14

Dado: F: [a; 5] [-10; b]. donde: F(x) = x 2 - 4x - 32. Determina a + b para que F sea biyectiva. "

x

D)

y

y

x x

A) -15 D) –19

C) -10

. 4 1 D

. 2 1 B

. 0 1 C

. 8 C

A . 6

. 4 D

E . 2

D . 3 1

C . 1 1

C . 9

A . 7

B . 5

D . 3

C . 1

s e v a l C

88

B) 10 E) 15

Intelectum 4.°



1.

4.

Identifica la premisa incorrecta: I. El volumen de una esfera y su radio es idea de función. II. Si (x; y) / (x; z) ! a la función f, entonces y = z. III. Sea f(x) = 2x2 f(3) = 18 IV. En h = {(x; y)} ! A # B/ y = 3x} indica que el valor del dominio es el triple que el rango. V. Toda función es una relación.

A) 13 D) 16

&

2.

5.

Completa según corresponda: a) Sea la función f: A B /y = 2x. f B 6

7

6.

4

3

f(3)

8

=

f(-1) = 7.

b) Sea la función f: y 3

•

2

•

1

•

-4 -3 -2 -1 -1

1

2

3

x

•

-2 -3 • • • 2

c) y = x

3.

Dom f =[ ; ] Ranf =[ ; ] Tiene un máximo en ( ; ) Es creciente en [ ; ] y en [ , ] Es decreciente en [ ; ] F(-2) = F(-4) =

+ 3

x

-4

y

19

-2

1

2

5

Sin hacer operaciones completa o responde: x

...

b) ¿La gráfica de |x| es simétrica? ¿A qué eje? c) Si f(x) = ax2 + bx + c; a < 0, ¿a qué figura corresponde? La figura es cóncava hacia... d) Si f(x) = e) f)

x-3

+

Calcula el rango de: f(x) = 3x + 4; x ! G-3; 2] B) R -{5} E)G-10; 5]

C) G-5; 10]

Halla el dominio de la función: F(x) = x - 6 - 3 B) [6; +3H E) [-6; +3H

C) G3; +3H

Si: 4x + 5; x < 0 F(x) = 3x - 4; x $ 0 Calcula: F[F(1)] - F[F(0)] A) 5 D) 4

9.

B) -5 E) 12

Determina: F( -3) Si F(x) = [x] + - x + 1 A) 0 D) 4

C) -4

+ |x|

B) 1 E) 2

C) 3

# x - , ¿existe f(2) en R ?

Halla: f o g (3) + f o g (5) A) 18 D) 8

B) 28 E) 23

C) 15

11. En la figura se muestra la gráfica de la función F. Entonces, la

gráfica de F* será. A)

y

[-4,2] = ... G

C) 17

10. Sean: f(x) = x -1 ; g(x) = x2 - 2

4

a) Dominio y rango de f(x) =

B) 6 E) 11

A) [-3; +3H D) G-3; 6] 8.

C) 18

Calcula 5a - b para que el conjunto M nos represente una función: M = {(10; 5), (-7; -3), (10; 2a - b), (-7; b - a), (3a + b; b)}

A) Q D) R -{10}

5

-1

B) 17 E) 12

A) 8 D) 13

$

A

Determina a + b de modo que el conjunto sea una función. (a > 0) F = {(2; 5), (-1; 4), (2; 2a2 - b), (-1; b - a2)}

y

G no es una función porque ... x

x

F


89

B)

16. La gráfica de la función f: [0;5]

y

C)

y

[-3; 3], es:

"

y 3

f

x

x

x

5

-3

D)

E)

y

y

x x

A) I y II D) Solo IV

Resolución de problemas 12. Realiza los gráficos de: I. y = 3

III. f(x) = -

II. f(x) = |x - 5| IV. f(x) = [x - 3] ; x ! [0, 2H

x+2

No son correctas: I. f es inyectiva II. f es biyectiva III. |f | no es biyectiva IV. Existe f -1 V. Si h(x) = f(x) + 3; 6 x ! [0; 5], entonces Ran (h) = Ran ( f )

f(x) =

3

+

x

2

4x

2

+

2x - 3

+

x-6

14. Si f es una función definida por: x + 1; si x # x, si x f_ x i = - -x ; s i x 1 0

*

x

5

6

7

8

f(x)

8

7

6

5

g(x)

7

8

6

5

D) 2/5

E) 5/3

Determina: $

[(g + f) o f ] (6) - f (5) - f (8 ) (g o g ) (6)

0

A) -5

determina el rango de f. A) [1; +3H

B) G-3; 0H

D) G-3; 1]

E)

B) 1/5

C)

- [0; 1H

18. Sean las funciones:

G = {(3; 5), (8; -3), (4; 12), (3; a + 4), (4; n - 5)} F = {(1; 9), (5; 13), ( -2; 5), (17; 7)}


Calcula:

si:

f(-x), si: f(x) =

x+2

x + 2

f(x) x

B) 3 E) 8

19. Si F y G son funciones de variable real, definidas por:

x

A) 10 D) 19 f -1(x) si:

|f(x)|, si: y =

f(x)

A) x

x

D)

Intelectum 4.°

B) 13 E) -22

C) -17

20. Halla el rango de la función: G(x) = |2x - 1| - x

y f(x) x3

C) 5

F(x) = 3x + 5a G(x) = (b + 2)x + 7 F(G(x)) = 9x - 4 calcula: F(b)

y

y

_ i + F _n i

F a

A) 4 D) 7

15. Determina la gráfica de cada función indicada:

90

C) -1/5


Nivel 2

-f(x),

C) III y IV

17. Dada la siguiente tabla con valores de las funciones f y g.

13. Halla el dominio, rango y traza la grafica de la función: x

B) III y V E) V

>

-

1 ; 2

-

1; 1 2 2

+3

B) E)

-3 ; -

>

1; 3

+3

1 2

F

C) G-3;1]

Nivel 3

21. Halla el rango de:

T

=

%(x; y) / y

=

25

-

x2

/


A) #y / y $ 0 -

B) "y / 5

C) "y / 1 # y # 5 ,

D) "y / y $ 5 ,

#

y

#

5,

28. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

22. Dada la función:

3x2 - 16; -4 # x # 2 2x + 7; 2 < x # 4

F(x) =

π 2

II. f(x) = x - 1 . x - 2 y g(x) = son funciones iguales.

x

Si f(x) =

B) ]-4; 32] E) [-16; 4]

C) [-16; 32]

sen x

IV. La función F: G-3; 0] es sobreyectiva. V. F: R

$

23. Determina el dominio de la función real: x

F(x) =

2

+

#x - 1 - + 3 C) [2, 6]

F(x) =

B) G1; 3H E) G2; 3/2H

C)

1;

3 2

F

d

x

B) (-1;5 + E) (0; 3)

3

)

C) (2; 3)


C) 8

27. Se desea cercar un jardín en forma de sector circular. Halla una

función área A(x) y determina el radio x para que dicho sector sea de área máxima, si se posee 400 m de cerco. 2

B) 200x - x ; 100 m C) 50x - x2; 60 m D)

2

x 2

; 30 m

E) (x -100) 2 ; 50 m

6 x

2

-

n sen3x

Función periódica

+3 x

Función impar

30. Dada la función F tal que: F(4)

1; 2F(2) F(x) = ax + b. Luego podemos afirmar: A) F(1) = 6 C) F(-4) = F(14) E) F(2) + F(8) = 0

F_ x i =

determina f(4), si f es una función lineal. B) 7 E) 2

Función par

=

=

3F(3), además

B) F(3) = -2 D) F(10) = 5

31. Determina el rango de la función F definida por:

26. Si: f(2 + x) + f(x- 2) = x + 8,

A) 100 x - x ; 50m

R / f(x) = x - 20, es biyectiva.


G(x) = 4 - x 2 Indica el elemento que no pertenece a (f + g)(x)

2

[0; +3H / F(x) = x2

$

F(x) = x _x - 3 x i

25. Sean las funciones: F= {(-3;1), (-2;4), (-1;5), (2;3), (3;7), (0;1)}

A) 3 D) 6

3x + 2

F(x) = x - "x ,

Determina: Dom (f o g).

A) (-2; 4) D) (-3; 5 )

-

29. Relaciona correctamente:

24. Sea: f(x) = 3x + 4 ; x ! G2; 6] g(x) = 6x - 3; x ! G1, 3H

A) [1; 3/2] D) R

2

VII. Si F es creciente, entonces F* es creciente. B) [2; + 3H E) [6; + 3H

D) [3, 6]

]

VI. F(x) = x2 + x - 10, no tiene inversa.

x-6

A) G-3; 2]

&

| x | + cos x es función par. 2

III. f(x) =

Indica el rango. A) [-4; 16] D) [11; 32]

DomF ! [0;

I.

E) "y / 0 # y # 5 ,

*

x

2

9 + 2; -4 # x - 6; 2 # x # 3

+

A) [2; 9] , {-6} C) [5; 7] , {-6} E) [2; 9] , {-6}

#

2

B) [-2; 9] , {6} D) [5; 7] , {6}

32. Identifica las premisas correctas.

Sean las funciones f y g: F(x) =

x

3

x

2

-

x

-

1

y g(x) = x

I. f(x) = g(x) II. Domf + Domg = R - {-1; 1} III. Rang - Ranf = {-1, 1} A) Solo I D) I, II y III

B) I y II E) Solo III

C) II y III


91

33. Determina la suma de los elementos del rango de F 3 + G, donde:

F(x) =

x;x!Q - x ; x ! Q'

G = { ( 3

3

Resolución de problemas 39. Determina la gráfica de:

Y=

; 6) ; (4; 1) ; (1; 7)}

A) 77

B) 47

C) 66

D) 76

E) 25

| x |+ 1 | x |- 1 y

A)

34. Se tiene una función real periódica F de periodo 7 Si : F(3) = 8 y F (5) = 4 Determina: F (10 ) + F(17) + F(19)

A) 16 D) 12

B) 20 E) 14

35. Si f: G3; 6H

B / f(x) determina el conjunto B. $

A) [3; + 3H D) G x + 3 ;

x

x

C) 24 x+3 x-3

C)

es una función suryectiva,

B) R E) [-3; 3]

+3H

x-3

=

y

B)

D)

y

y

C) G3; +3H x

x

36. Determina el menor valor que debe tomar m, de tal modo que

f(x) sea inyectiva si f(x) = x2 - 10x + 27; x ! [m; +3H A) 10 D) 7

B) 8 E) 4

Halla la altura máxima que alcanza el proyectil.

37. Grafica la función inversa de f(x) = x y

A)

40. Se lanza un proyectil hacia arriba y en determinado tiempo su alcance en metros es h(t) = 20t - 2t2

C) 5

B)

2

-

4x + 6 ; x $ 2.

A) 25 m D) 50 m

B) 30 m E) 60 m

C) 40 m

y

41. Determina m - b en la siguiente gráfica:

4

y

y = x3

2 y = mx + b

x

-2

2

x

2

-

x y

C)

D) 2

y

A) 5 D) 4

2

B) 10 E) 7

C) 8

x

-2

x

2

E) No existe. 38. Halla la regla de correspondencia de y. y

30°

A) y = 3 x + 3 C) y = x + 3 E) y = 11 - x 3 92

Intelectum 4.°

2 3

9. E

17. C

26. D

34. B

1.

10. B

18. A

27. B

35. C

2.

11. D

19. E

Nivel 3

36. C

3.

12.

20. A

28.

37. B

4. D

13.

21. E

29.

38. D

5. E

14. E

22. C

30. E

39. B

6. C

Nivel 2

23. B

31. C

40. D

7. B

15.

24. C

32. C

41. A

25. D

33. D

Nivel 1

5 45°

B) y = -x + 3 D) y = - x + 11 + 2

3

8. E

16. E


2

Calcula:

_

lím 3x

3

-

x"2

A) 22 3

2x

2

+

5x - 7

B) 19

lím

x

3

x

-

2

C) 21

D) 17

A) 1

4

1 3

D)

2 9

E)

9 2

lím

A) 4

A)

6

Calcula: x " +3

d

x"3

C)

3x + 4 x-2

B) 3

E) 5

-

x

2

x

2

-

x + 10

+ 3x + 2

B) -15

C) -13

D) -12 E) 12

x+6

-

3

x+1

-

2

B)

n

2 9

C)

4 6

D)

4 3

E)

9 2

Halla: x"5

D) 8

x "-2

1 3

lím

C) 7

3

Calcula: lím

9

B) 2

x

lím

A) -14

E) 20

27

-

Halla:

i

Calcula: x"3

5

límites

A) 1

x-4

-

x

-

3x - 14 5

B) 0

C) -1

D) 2

E) 4


93

7

8

Halla: x

lím x " +3

2

+

x

5

lím

3

x "+3

A) 1 D) 3 9

B) 5 E) 10

7x

2

3x

2

-

2x + 1

+

8x + 5

A) 3/7 D) 7/3

C) 0

10

Si: 3x + 2; si: x < 4 5x + A; si: x $ 4

f(x) =

Calcula:

B) 7 E) 9

C) 1/4

Determina si existe el límite de: lím

x"2

|x + 2 | x+2

Halla el valor de A, tal que: lím f (x) exista. x"4

A) 3 D) -3 11

B) 6 E) 0

12

Calcula: x

lím

3

x

x"b

-

b

lím

_

B) -b E) 6 b5

C) 3

b

x+ x +

x -

x

i

x

1 3

C)

1 2

D)

1 4

E)

2

+

B) 2 E) -1

C) 0

B) 1 E) e-2

C) e

1

x+1

Determina: lim

d

3x - 4 3x + 2

n

x+1 2

A) 0 D) e-1

1 8

D . 4 1

C . 2 1

B . 0 1

D . 8

C . 6

C . 4

B . 2

C . 3 1

E . 1 1

C . 9

C . 7

B . 5

E . 3

B . 1

s e v a l C

94

+

A) 1 D) -2

x"3

B)

C) 2

3

14

A) 1

3

x " + 3 2x 4 +

Calcula: x"3

x

lím

b

B) 1 E) 3

Calcula:

3

A) 0 D) b 13

A) 0 D) no existe

C) -6

Intelectum 4.°


6.

Calcula:


x0

0,85

lí m f (x)

7,85

x0 " 1

7.

f(x)

-7

0,89

0,95

0,99

8.

1

9.

2

y

Calcula:

f(x)

f(x)

B) 3/7 E) 1/4

C) 1/7

Calcula:

100

x

lím x"1

x

50

-

1

-

1

B) 2 E) 8 2x + 1 - 3 x-2 - 2

A) 8 D) 15

= 6

=

C) 3

2 a , a; b b

!Z

+

Calcula: ba

3

5

C) 0

x+5 -2 x+1

lím x "-1

10. Si: lím

6

lí m f (x) =

1

B) 2 E) -1

x"4

x" 5

+

x+1

A) 1 D) 4

=

lí m f (x )

x

+

C) 3


Del siguiente gráfico completa el recuadro:

x"0

3

x " + 3 2x 4 +

1 es:

III. Cuando f(x) se aproxima a 8 es porque x se aproxima a:

x"6

x

lím

$

II. Representa un límite lateral por la:

lí m f (x )

Calcula:

A) 8/5 D) 9/11

y responde: I. El valor del límite de f(x) cuando x

2.

B) 2 E) 5

A) 1 D) -2

x

1

0,82

x"

A) 1 D) 4

Dado f(x), completa en el s iguiente recuadro: y 8 7

2

x -1 1 x -1

lím

x

B) 9 E) 36

C) 16

Nivel 2

lím f (x) =

x " 0-


lím f (x) =

11. En las siguientes proposiciones, indica verdadero (V) o falso (F),

x " 0+

según corresponda: ( )


Calcula: A) 1

4.

5.

B) 4

Determina: A) -10

x +2 x-3

lím x"4

C)

1 3

D)

1 8

E) 16

2

x"

B) 10

x " +3

( ) ( )

x - 25 -5 x + 5

lím

Calcula: lím A) 72/7

( )

C) -21

D) -12

E) 15

( ) ( )

(3x + 2) 2 (2x - 8 ) 3

lím

x ; no existe. x

lím

x + 27 x+3

x"3

3

x "-3

x

2

x"1x

2

lím

lím x"

-

lím

3

x

x"0

x

lím

1 x

x"0

=

-

3x + 2

-

4x + 3

1 x

=

27

=

1 2

0

; existe. = +3

7x 5 - 4x 3 + 2

B) 37/8

C) 42/5

D) 21/8

E) 13/15

A) VFVVFV D) VVVFVF

B) VFFVFF E) VVFVVV

C) FVVVFV


95

12. Completa los pasos para resolver el s iguiente límite. lím

f

x"1

x ax

3

3

x

+

2

1

-

bx + 2

+

p

existe y es un número real.

Usamos: a3 - b3 = (a - b (a2 + ab + b2) I. lím

x"1

(x - 1) _ ax

3

x

+

+

18. Si: f^ x h =

i 2


*

2x + 5; si x < 3 3x + A; si 3 # x x + 2B; si 5

Halla: A + B, tal que lím f (x) y lím f (x) existan.

bx + 2

x"3

II. Se observa que la indeterminación la genera el factor (x - 1). El cual debe aparecer en el denominador para que exista el límite.

A) 4

III. Aplicamos Ruffini en el denominador:

1

IV.

lím

f

mx

2

x"

2

-

14. Calcula: lím

x

x"1

A)

B)

1 3

D)

3 2

E)

1 2

5

2 + 3x 5

x"3

A) 5 D) 0

+

96

2

7x

7

b0 x

a1 x

+

6

x"a

3

+

8x + 5

B)

D)

7 3

E)

3 7

Intelectum 4.°

C) 1

2

2x + 4

A)

a2 x

+

b3 x + b 4

4

+

a3

Límites laterales

Racionalización

x"a

Teorema de Sandwich 3

-

2 3

3

+

Teoremas límites infinitos m > n

x"a

x - b x-b

x"b

1 3

4

b1 x

+

lím

B) 1 E) e 2

, sea igual a 30.

El límG (x ) es:

b

A) 0 D) ea

p

B) m = 3 / n = -9 D) m = n = 2

Sea F(x) # G(x) # H (x) Si lím F (x) = lím H (x) = N &

x"3

x " +3

x"a

C) 1

16. Determina el valor de: lím 1 +

3x

a0 x

lím

3

B) 5 E) 5

17. Calcula: lím

C) 1/4

x

2

3x - 1

2 I = H(x) = 2x - 2; x < a x + 3; x > a ¿Existe lim H (x) ?

+3 -2 x-1

1 4

15. Calcula: lím

1

x"a

B) 1/2 E) 3/8 2

+

+

límites mostrados:

1

A) 1/3 D) 9/7

x

2

4

20. Relaciona correctamente el método a usar para resolver los

a + b =

3x - 1 9x

3x

nx +

+


Razonamiento y demostración 1 3

E) 12

19. Calcula m y n de manera que:

+ a + b+ 1 = 0

13. Calcula: lím

D) 10

Nivel 3

a + 1 a + b + 1

`

C) 8

A) m = 2 / n = -1 C) m = -2 / n = 1 E) m = -3 / n = 9

a + b + 1

&

x"5

B) 6

x " +3

a

5

<

x

#

a x

x

l

21. Responde verdadero (V) o falso (F) los siguientes límites:

A) C) +3

B) lím

x"2

C) C)

4 5

D)

f p

lím

x"3

-

lím

x

2

x

2

|x x

-

1

+

1

-

1

x " 0+ xn

-

2| 2

x+1 x-1

=

=+3

=

e

2

1

; (n ! Z+)

2

lím x " -3

x +3 x+4

=

1

E) Si los límites laterales son diferentes, el límite en el punto de acumulación no existe.


x

lím

a

-

x

x"a

lím

x "-2

3

B) 4 E) 5

a

-

29. El siguiente límite

A) 2a2 D) 3

B) 6a2 E) -a

C) 0

a

8

x

-

1

x"1 5

x

-

1

lím

d

x"3

x+2 x-2

C) 6 x

n ; tiene la forma e ; m

determina el valor de m. A) 1 D) 3

23. Halla: lím

F(x), calcula ab.

A) 3 D) 8

22. Calcula: 3

Si existe el

B) -1 E) 4

C) 2

30. Halla a y b para que lím f(x) = f(0)

A) 1/3 D) 5/8

B) 5/3 E) 8/5

Además f(1) = 7 Si

24. Calcula: x-5

lím x-4

x"5

x"0

C) 3/5

f(x) = 3x2 - a + b si x $ 0 (x2 - a)2 + b si x < 0

3x - 14

-

A) -2 D) 1

B) -1 E) 2

C) 0

A) 3 y 1 D) -1 y 4

B) 2 y 1 E) 4 y 1

C) -1 y 2

25. Resuelve:

(x + 4) 4 (3x + 2) 3

lím

x7 - 3

x"3

A) 4 D) 27

B) 7 E) 256

C) 17 A A D C D . . . . . 6 7 8 9 0 2 2 2 2 3

26. Calcula:

3 l e . v i 0 N 2

3x + 3x + 3x

lím

3x + 1

x"3

A) 1 D) 12

B) 6 E) 1/3

B D B D

. . . . . 1 2 3 4 5 2 2 2 2 2

C) 3 B E E D D C E . . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1

Resolución de problemas 27. Calcula: a + b + c

Si

lím

d

x " +3

ax

2

-

bx + c -

A) 0 D) 2

x

5

+

x

2x

3

4

-

-

5

1

B) 1 E) -2

n

=

0

C) -1

2 l C E B B e C . . v . . . . i 1 2 7 8 9 0 1 N 1 1 1 l e v . i 1 N

B A A B . . . . . 2 3 4 5 6

28. Sea F la función definida por la regla de correspondencia: 3x + a x+3

F(x) =

;

si: -3 < x < -2

a + b -10; x+3

-

5;

si: x = -2 si: x > -2


97


DERIVADAS

Si f(x) = 1 + 2x + x2 Halla f'(x).

2

A) 2x D) 2 + x2 3

Si f(x) =

B) 2(1 + x) E) 1 + x 3

x 3

+

A) 1 D) 4x

C) 2 + x

3 x

4

3

Halla f'(x).

2

5

A) x

+

D) 3x

2

3 x

2

B) x

2

2

-3

E) x

x

2

2

C) x

-

9 x

- 9x

D)

1 (x - 1)

6

B) 2

E)

Intelectum 4.°

1 (x - 1) -1

x-1

2

C)

Si f(x) = x . Calcula f'(9).

81 + x

B) 4x + 1 E) 8x + 1

C) 8x + 4

C)

2

A)

27 2 2

B) 36

D)

26 2 4

E)

4

4

Si: f(x) = x x-1 Halla f'(x).

A) (x - 1)2

98

+

9

Si f(x) = 4x2 + 4x + 1 Halla f'(x).

2

37 2 4

9 2 2

Si f(x) = cos(4x) Halla f'(x).

1 (x - 1) 2 -

A) -4sen4x D) 4cos(4x)

B) sen4x E) -4cosx

C) -sen(4x)

7

8

Halla la derivada de: f(x) = 3 4x 2 - 1

A)

8 3 (x

2

B)

1) 8 x C) 3 (4x 2 - 1 ) 2 /3

E) (4x 9

2

-

3 (4x

-

1) 1 /2

4x 3 (4x

2

-

1) 1 /2

A) xsenx D) xcosx

- 1)

Si f(x) = 10 5

A) f'(x) = D) f'(x) =

10

x

B) x E) cosx

C) senx

Determina f'(x) . Si f(x) = tan23x

df dx

-1 5

5

x 2

4

x

4

B) f'(x) = E) f'(x) =

1 5

A)

C) f'(x)= - 5 1

x

x

1 5

x

D)

4

Si f(x) = x3 + 5x2 Calcula: f''(x) + f'''(x) Se sabe que: f''(x): segunda derivada de la función f(x). f'''(x): tercera derivada de la función f(x).

A) 6x + 15 D) 3x + 8 13

8x 2

-1/3

Calcula:

11

D)

Halla la derivada de: f(x) = xsenx + cosx

B) 2(3x + 8) E) 12x + 16

12

B) E)

m

C) 2

B) 3sec23x

2

cos 3 x 2

csc 3 x 3

E)

14

m

6sen3x 3

cos 3x

6 cos 3x 2

sen 3 x

B) 25 E) 42

C) 29

Si f _ x i = Mxb Halla: f'(1)

A) M

m /3

C)

Si f(x) = 8x5 - 2x3 - 1 Halla el valor de f'(1).

A) 21 D) 34

C) 6x

Descompón m en dos factores tal que la suma de ellos sea máxima e indica uno de ellos.

A) m2 D) m /2

sen3x

B)

M 2

C) bM

D)

M b

E) M2

C . 4 1

D . 2 1

C . 0 1

D . 8

A . 6

A . 4

C . 2

B . 3 1

B . 1 1

D . 9

C . 7

C . 5

C . 3

B . 1

s e v a l C


99


5.


4

df (x) dx

13

x


A) 4cosx B) 8xsenx C) 8xcosx D) 4x(cosx - senx) 11. Determina si la proposición es verdadera V o falsa F: E) 4x(2cosx - xsenx)

Resuelve las siguientes derivadas. f(x)

NIVEL 2

Halla la derivada de: P(x) = 4x2cosx

6.

=

B) 5x + 18x2

A) 6x cos(3x + 1) 2

C) 6x + 18x + 42x

=

log (2x + 6)

7.

8.

Determina el valor de “n” en c ada caso: f (x + h) - f (x) h

lim

h"0

xn-5

n - 5

3xn

ab . x7

x3 + 1/x3 + 3x

3x2 - 3xn + 3

sen(nx)

ncos 72 x

1

-

x+2

1 2

9.

n

2 (3 + x) n

D)

100

C) 3x2 - 3

1 x 3x

1 3x

B) E)

-1

2x 3x 3 2 3x

Intelectum 4.°

x

f'(x) =

&

cos x x

d 2 f (x)

&

dx 2

= -cosx

C) 29

derivadas. A) x

Un móvil recorre una trayectoria según x = t2 + 3t + 4; determina qué distancia recorrerá el móvil y qué velocidad tendrá en el instante t = 12 s. Sabiendo que: velocidad = dx ; x: metros, t: segundos

2p 160 cm =

x=

cm

B) x

x

2p 80 cm =

x=

cm

10. Una

Determina:

1 2x

senx

12. Determina x para que el área de las figuras sea máxima (2p = perímetro) usa

A) 144 m; 36 m/s B) 180 m; 27 m/s C) 184 m; 36 m/s D) 360 m; 36 m/s E) 320 m; 180 m/s

Si f(x) = x3 - 3x + 1000 Halla f'(x).

A)

+ 4x + 3 & y'' = 7x

f(x) = cosx

dt


f'(x), si f(x) =

B) 25 E) 42

3

2

C) 2x2


(x + 2)

B) 3x2 + 3 E) 3x2 + 4

B) x2/2 E) 2/x

A) 21 D) 34

7x 6

3x2 - 3x + 2; tiene un mínimo en x = 1

, halla f'(x).

Halla el valor de f'(1). n

y=

f(x) =

Si f(x) = 8x5 - 2x3 - 1

1

3+x

A) 3x2 D) 2x3

2-x x

A) -2/x2 D) 3x2

=

f(x)

4.

D) 3x + 18x

2

Si: f(x) =

=

3ln (x2)

3.

5

E) 6x + 18x2 + 42x5

x

2.

3

=

La derivada de una función H(x) representa la pendiente en x0 de la gráfica de H(x).

Halla la derivada de: f(x) = 3x2 + 6x3 + 7x6

C)

1 x 3x

empresa de electrodomésticos Razonamiento y demostración determinó que sus utilidades están dadas por la siguiente función: 13. Si f(x) = 1 + 5x 2 U(x) = 200x - 2x ; Halla f'(7). donde x son las ventas totales de A) 1/5 B) 7/12 C) 5/12 electrodomésticos. D) 13/15 E) 13/12 Determinalacantidaddeelectrodomésticos que se tiene que vender para maximizar la 14. Sea: f(x) = x a 2 + x2 ; a > 0 utilidad, y a cuánto asciende dicha utilidad Cacula f'(a). en soles. A) 100; S/5000 C) 50; S/5000 E) 100; S/5000

B) 300; S/3000 D) 50; S/10 000

A)

3 2 2

B)

3a 2 2

D)

a 2 3

E) a

2

C) 2a

2

15. Si f(x + 3) = x5; halla f'(x).

A) 5x4

B) 5(x - 3)4

D) 4(x - 3)

5

=

π

Halla: f'(x) - ad - bc2 (cx + d)

B) 1 E) 4

C) 2

2π

x

B) 1 E) 4

A) y = 40 x - 30 C) y = 7x + 7 E) y = 25x - 40

B) y = 10 x+ 4 D) y = 30x - 10


LT:

28. Encuentra el área de la mayor región que

recto de volumen máximo que está inscrito en un cono, (R en función al radio r de la base del cono).

Halla f'(0).

A) 9 D) 3

5π 3

22. Encuentra el radio R de la base del cilindro

17. Dada la función: f(x) = tan(2x) - tanx

3

π

-

cx + d

18. Si: f(x) = (|x| - x) Halla f'(-3).

en el punto (2; 10).

LT

f(x) sen x 2

16. Si f(x) = ax + b ; ad - bc ! 0

A) 2 D) -2

y

C) 4x5

E) b

A) 0 D) 3

27. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva: x4 - 2x2 + x - y = 0

II.

C) -1

limita un triángulo isósceles que tenga un perímetro de 18 cm. A) 9 cm2 C) 9 3 cm 2 E) 12 3 cm2

B) 9 D) 2

2 cm

2

3 cm

2

29. Halla dos números cuya suma sea n y

cuyo producto sea máximo.

9x

B) 10 E) 12

A) n/2 y n/2 C) n/5 y 5n/6 E) n y n/2

R

C) 8

r

B) n/3 y 2n/3 D) n/4 y 3n/4

30. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre



19. Dado un sector circular de radio r, si el

perímetro mide 100 pies, ¿qué valor del radio r producirá un área máxima? A) 12 pies C) 20 pies E) 30 pies

B) 15 pies D) 25 pies

20. Una pelota se lanza verticalmente hacia

1 / 3

23. Si f(x) = tan(eln (arctanx ))

Halla f'(x). A)

x -1/3 2

B) 3ex

D)

x -2 /3 3

E)

C) 2x-3

B) 180 pies D) 170,25 pies

NIVEL 3

A) 1/(x + 5) D) 5/(x - 5)

A) 1 D) 10/7

B) 10/3 E) 11/5

C) 10/9

1 1 /3

x

arriba S pies del punto de partida en el instante t (segundos) según S = 81t - 9t2. 24. Dada la función: f(x) = ln(x + 5) Halla f'(x). ¿Cuál es la altura máxima alcanzada? A) 182,25 pies C) 720 pies E) 160 pies

el eje x los otros dos están respectivamente sobre las rectas y = x / 4x + 5y = 20. Halla el valor de y para que el área de la región rectangular sea máxima.

B) 1/(x - 5) E) 5/(x + 5)

B E C A C

C) 5/x

. . . . . 6 7 8 9 0 2 2 2 2 3

2 l D e . v . 0 i 1 2 N 2

25. Dada la función:

D A E

. . . . 2 3 4 5 2 2 2 2

f(x) = sen(cosx) Halla f'(x).


C B B A B C A

21. Halla la ecuación de la recta tangente a

cada curva f(x). I. y f(6)

LT

f(x) = x2 + x 4

Punto de tangencia

6

LT:

x

A) senx B) cosx C) cos(cosx) D) -cos(cosx) E) -senx . cos(cosx) 26. Si y = Asen3x + Bcos3x, tal que

B) 1 E) 4

2 l B E B C e . v . . . . i 1 7 8 9 0 1 N 1 1 l e v . i 1 N

y'' + 4y' + 3y = 10cos3x Halla: A - B A) 0 D) 3

. . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1

. 2 1

C E D A . . . . . 2 3 4 5 6

C) 2


101


Determina:

SUCESIONES - PROGRESIONES

a 20

2

b 20

Si: an = 4; 8; 12; 16; ... bn = 2; -2; 2; -2; ...

A) 1 D) 40 3

B) 20 E) -20

Sea la sucesión {a n}; a1 = 2, donde: an = 2an – 1 + 2 Calcula a6.

A) 100 D) 126

C) -40

Calcula la suma de los siete primeros términos de a n = 2n + 4.

4

5

2; 8 ; 18 ; 32 3 5 7

A) D)

n

6

2

2

n+1 2

n 3

Intelectum 4.°

B)

n+3 2n + 1

(n 1) 2 E) + n+2

C)

=

d

1+

1 2

A) 3 D) 1

C) 36

Determina el término general de la sucesión:

(

102

B) 24 E) 84

C) 120

Calcula: S

A) 18 D) 56

B) 50 E) 160

+

1 4

+

...

nd

1+

1 3

+

1 9

+

...

n

B) 5 E) 2

C) 6

Determina el enésimo término de la sucesión: 2; 6; 12; 20; …

2

2n 2n - 1

A) 2n D) n(n + 1)

B) n2 + 1 E) n(n – 1)

C) 40 – 1

7

Sean las siguientes sucesiones: {an} : an = 3n2 + 5n + 1

8

{bn} = {2; 11; 20; 29; .....} ¿A qué valor converge

A) 0 9

B) 1

C) 2

D) 3

¿A qué valor converge la sucesión {a n}: an =

bn

d nn? an

E) 3

A) 1 10

En la siguiente progresión aritmética, calcula x: x - 3; 7; x + 5; ....

11

B) 6

3

/

D) 5

A) (2, 5) 3 10, 4

B) (0,4)3 25

D) (3) 3 8

E) (0,2) 3 5

B) 53

C) 54

D) 0

E) 3

B)

C) 0

D) 12

E) 8

2

Dada la PA: 5 ; ... ; 47 ; ... ; 159, donde el número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47. El número de términos será:

C) (0,4) 3 5 A) 17

Interpola 6 medias aritméticas entre 64 y 15. Indica el segundo término.

A) 52

12

C) 310

4 n

A) 6

E) 4

Si el quinto y octavo término de una progresión geométrica son 5a y 8a, respectivamente; ¿cuál es la razón?

5

13

C) 3

B) 2

Calcula: n=1

A) 12

3n + 1 ? (n + 2) !

D) 56

14

E) 57

B) 20

C) 23

D) 21

E) 19

En la siguiente progresión: t 1; t2 ; t3 ;... , se conocen los términos: tm + n = a / tm - n = b Halla tn+1, n ! 0.

A) t1

a b

B) t2

a

D) a

b

E) t1

b a

C)

b

A . 4 1

C . 2 1

A . 0 1

D . 8

D . 6

A . 4

D . 2

E . 3 1

B . 1 1

B . 9

D . 7

C . 5

E . 3

C . 1

s e v a l C


103

Practiquemos Nivel 1 III. an =


Relaciona los enésimos términos de las sucesiones:

d

1 4 9 ; ; ; ..... 5 6 7 3

3

1 3

3 2

;

0;

5

;

2

;

2 3

6.

n

n n+4

d

n-1 n

2

n+1

2

1; 2; 6; 24; 120....

n

-

1

B) CNCD E) DCDN

C) CCND

Indica cuáles de las sucesiones s on acotadas superiormente: I.

; ...

3 2

A) CCCD D) DDCC

3

n

n!

; ...

3

dndn 1 2

2n - 1 4-n

3

dndnd n

2.

IV) an =

(- 2) n n

III.

II.

(n + 1) 3 n

2n 1+2

IV.

n

1 - 2n 1+n

n

n

A) Solo I D) II y IV

B) I y II E) Todas

C) III

Completa adecuadamen adecuadamente: te:

Resolución de problemas a) La función sucesión tiene su dominio en los

.

7.

b) Sea an el término general de una sucesión. Si a n > a n + 1 , la sucesión será . c) En toda sucesión creciente se cumple que:

.

d) Una sucesión será monótona cuando es: .

o

e) Una sucesión es convergente si existe el sucesión an.

A) 3; 5 y 7 D) 1; 5 y 9 8.

de la

2

2

2

25 24

D)

d n 25 24

9.

2

2

B)

26 25

E)

24 25

2

-

6 x

13 5 -

x

=

2

0;

A) 2 D) 6

3 4 5 ; ; ; ... 2 3 4

A)

C) 3; 6 y 9

y el sexto término es igual a 21. Halla la razón.

Determina el término a 25 de la sucesión: {an} : 4;

B) 2; 6 y 10 E) 3; 7 y 11

La suma de los dos primeros términos de la progresión aritmética es igual al valor absoluto de l a suma de las raíces de la ecuación: 1


Los tres números positivos en progresión aritmética que aumentado en 3; 3 y 7, respectivamente, forman una progresión geométrica de suma 28, son:

C)

2

27 26

B) 4 E) 3

Si {an} es una sucesión definida por: a1 = 2; an- 2 = 2an - 1 - an; a23 = 156 Halla: a4 + a35 A) 261 D) 164

2

C) 2,5

B) 156 E) 263

C) 158

Nivel 2 4.

Determina a qué valor converge:


3 ; 3 3 ; 4 3 ; ...

A) D) 3 5.

B) 3 E) 1

3

C)

3

3

10. Completa los pasos para determinar la convergencia de:

an = an =

Identifica si la sucesión es creciente (C), decreciente (D) o ninguna de las anteriores (N): I. an = 7(n - 2) II. an =

104

3

5n 2n + 1

Intelectum 4.°

1 n

2

+

I. lím a n = lím n"

n"

2 n

2

+

... +

1 ( n2

n n

2

+

+

+

factorizamos

... + 1

n

2

)

Utilizamos suma notables:

II.

1 ( n2

lím n"

III.

`

)(

Resolución de problemas )

2

(Teorema de límites)

=

Converge a :

18. Se interpolan cuatro medios geométricos entre 160 y 5. Halla la

suma de los dos últimos términos de la progresión geométrica formada. A) 40

11. En las siguientes sucesiones determina el término faltante.

d nn(n 3 2

C) 30

D) 15

E) 10

+ 5) es la suma parcial de de los n primeros términos térmi nos

de una progresión aritmética y S m = m(m + 12) es la suma de los m primeros términos de otra progresión aritmética. Dos términos del mismo lugar son iguales, halla su valor.

an: 1; 1; 2; 3; 5; an: x2; 4x2; 9x2; 16x2; L;M;Ñ;Q; an = 3an - 1 + 5 : - 2; ..... ; S

a1

A) 12 D) 21

B) 15 E) 24

C) 18

S

a5

20. Se tienen los números x; y; z; w; los tres primeros están en

Razonamiento y demostración 12. Sea la sucesión: a 1; a 2; a 3; .... cuyos términos forman una PA. Determina a 5 + a6, si a2 = 7 y a4 = 19.

A) 56 D) 11

19. Sn =

B) 60

B) 45 E) 25

C) 54

progresión aritmética y los tres últimos en progresión geométrica, siendo la suma de los extremos 14 y la suma de los medios igual a 12. Indica un valor que adopta x. A)

3 4

B)

4 3

C) 12

D)

1 2

E) 8

21. La suma de tres números en progresión aritmética es igual a

15. Si 1; 4; 19 se suman, respectivamente a ellos, se obtendrán tres números en progresión geométrica. Halla la razón de la progresión geométrica.

13. Marca la alternativa correcta.

an = (-1)n-1 3n, es : A) Creciente C) Convergrente E) Oscilante

A) 1 D) 4

B) Decreciente D) Monótona

B) 2 E) 5

C) 3

NIVEL 3 14. ¿A qué valor converge la siguiente serie?

Sn = 1

+

2

1 6

+


1 ... 1 + 12 n (n + 1)

A) 0 D) 2

22. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

B) 1/2 E) -1

C) 1

I. La sucesión an =

15. Calcula a qué valor converge a n.

III. an = B) 0 E)

C)2 3

n

2

-

5n + 6

-

A) 0 D) 1

n

C) Diverge

A)

3 2

3 8

+

7 32

B)

4 3

+

15 128

+

C)

+

-

n+6

4n + 2

converge a 3.

x

3 ; 32x

-

1

; 93x

-

2

.

...

&

x

=

4 5

23. Encuentra el valor de x en los siguientes casos:

x=

... 3 4

V. Sea la PG

a+6 2

I. Sea la PA: 200x ; 203x; 211x; ....

17. Calcula el valor límite de: +

2n

2

2

&

B) -5/2 E) - 1

1 2

3n

IV. Sea la PA a; b; c b =

16. Determina a qué valor converge la siguiente sucesión:

=

es convergente.

II. La sucesión :2; 3; 3; 5; ... es creciente.

2n + 3 n+7

A) 1 D) 2

S

2

n -4

2

an =

an =

n+1

D)

5 2

II. 15 + 21 + 27 + 33+ ... + x = 576 E) 2 x=


105

III. x = 6 + 66+ 666 + ... + 666 ... 66


20 cifras 29. Si: :

x=

-

1 1 1 ; ; a b c

... están en progresión aritmética,

: a ; (b + 1); c ... están en progresión aritmética

<

:: a -

Razonamiento y demostración n

24. ¿A qué valor converge a n =

A)

2n +

D) 3

A) 5 D) 8

3n

B) 2

2

C)

2 2

E) Diverge

d

n

10

C)

E)

111

-

10

10 21 ( 11 11 20 - 1 ) B) 8

9

D)

9

10

- 10

30. En una progresión geométrica existe un término que es igual

A) 6 D) 9

20 cifras

10

C) 7

Siendo r y y a la razón y el primer término, respectivamente.

S = 11 + 11+ 111 + ... + 111 ... 11

11 20 ( 10 10 20 - 1 ) A) 9

B) 6 E) 11

a la razón. Halla el lugar que ocupa este término en dicha progresión, si: logr = - 1 y loga = 7

25. Indica el valor de S + 20 : 9

F ; b ; c ... están en progresión geométrica,

Halla: a + b + c

?

n+

1 2

10

21

-

10

B) 7 E) 10

C) 8

31. La suma de tres números en PG es 70. Si los extremos se

multiplican por 4 y el intermedio por 5, los productos están en PA. El mayor de ellos es: A) 10 D) 40

B) 20 E) 50

C) 30

81

10

9

26. De la siguiente serie, determina el resultado: 12

/ (k + k2)

E B C E D D . . . . . . 6 7 8 9 0 1 2 2 2 2 3 3

k=1

A) 700 D) 725

B) 650 E) 728

C) 750

27. La suma de los n términos de una PA es:

n

d

7n + 1 2

n.

. . . . . . . 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1

2

B) 12 E) 14

C) 13

28. Si a2(b + c) ; b2(a + c) ; c2(a + b) están en PA, halla una solución

para: M

=

A) 1 D) 4

106

C D

. . . 3 4 5 2 2 2

E C D B B D D

Calcula el término que ocupa el lugar 21. A) 12 D) 132

3 l C C e . . v . 0 1 i 2 2 2 N 2

a+c b

B) 3 E) 5

Intelectum 4.°

C) 2

2 l D B E e . . . . v i 0 7 8 9 N 1 1 l e v . i 1 N

A

. . 1 2 1 1

B E C D . . . . . 2 3 4 5 6

Matemática Determina el área máxima de la figura sombreada.

L1: y = tana(x - 2)

y 5

y=

D h 2

x1 =

-3

(x1; 5)

16 3

D

L1

1.

(2; 0)

(xL2; h) (8; 0)

A': 6 -

7.

&

5

-6

I. II. III. IV.

x

F es inyectiva y biyectiva. |F| no es inyectiva. Ran(F + 3) ! [-4; 5] Dom(F + 1) ! [-6; 0]

-7

A) I; II

B) I; II; IV

4.

B) 13 # f(x) E) R

dd

6 1

-

nn

h 5

12h = 0 5

16 3

-

(x - 8) 8

8y 15

=

c

6h

8-

8h 15

-

+

2h 3

x=8

-

2

&

xL2 = 8 -

8h 15

m

2

6h 5

&

h = 2,5

Amáx. = A(2,5) = 7,5

`

Sea la siguiente sucesión: an: 25; 36; 49; ...

B) 2-1

A) 1015 8.

D) 3-1

B) 1035

B) 8nxnx E) (n + 1)xnx

B) 36

Si a1 = 3 B ; a2 = 3 B 3 B ; a3 = Determina a qué valor tiende a n

f(x) = ln

d

B) B0

C) B1

B

3

B

3

D) B1/2

C) 24

2

1-

x 16

+

A) G-2; 2H D) R

E) 0,95

D) 3

E) 1

1

n

B) G-4; 4H E) R +

C) [-4; 4]

10. Indica cuál es el área que corresponde a la intersección de las

gráficas. y - 6 # - 3 (x - 3)2

/

2

y$

x-1 2

y

y

A)

B) 1

1 2

x

y

C) -2

3

D) 1045

Determina el dominio de la siguiente función:

E) 4

C) (n + 7)xnx

C) 985

Sea f una función de proporcionalidad. Si: f(1) + f(3) = 24, determina f*(6). A) 4

9.

C) f(x) < 18

C) 3

i=1

Determina el término general de la siguiente sucesión: (x)2x; (8x)3x; (27x)4x; ...

A) B2

5

=

Determina: S k = / an

E) I; II; III

En una progresión geométrica el cuarto término es 4, el decimoprimero es 512. Determina el primer término.

A) x2nx D) (n3x)(n + 1)x 6.

D) I; IV

De la siguiente serie determina la suma de los números del término 10. 18 9 12 15 3 ; 3 6 ; 3 6 9 ... A) 30 B) 300 C) 4600 D) 4620 E) 5400

A) 1 5.

C) II; III

Determina el rango de la función: f(x) = -2x2 - 12x, si el dominio pertenece a R . A) f(x) < 12 D) f(x) # 18

3.

8)

10

y

2.

-

Derivamos e igualamos a cero:

L2

Dada la siguiente gráfica de F: [ -6; 0] [-7; 5]. Indica qué proposiciones son verdaderas. F

(x

(x - 8)

8

2h + 2 3

xL1 =

A (h)= h h

8

-

- 15

y=

Luego: A = hD = h (xL1 - xL2) = h

Resolución:

(xL1; h)

(x - 2)

5 x1

Evaluamos (x1; 5):

x

8

3 2

L2: y =

D) x

x

-2 y

1

5

x

-1

B

E) B1/4 ÁLGEBRA - ACTIVIDADES UNIDAD 4

107

Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra en cada fla, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.

1.

5. 1 2

2

4

4 6

8 5

8

4 5

9

4

1

7 7

8

4 5

9

7 3

5

6

7

3

9

1

6

1

8

8

3

2.

6

4 2

8 6

3 5

9

8 4

1

9

6

7

7

3

6 5

7

6

3

2 2

1

6

2

8 5 3

7

8

1

8 9

6

3

6. 5 7

9

3

1 6 3

2

9

5

1

6 9

1

4

2

3

1

9

2 5

8 3

5

6

3

4

9

6 5

2 8

6

1

3

8

7

4

1

8

8

1 3

2

7

8

5

8

8 4

4

5

6 4

2

3 2

3.

3

9

8 4

2

2 6

3

4

6

3 2

1

8

9

7. 3 2

2 5

6

6 1

7

3

9

2

4

2 5

9 1

6

7

9

4

9

3

6

5

4

1

8

4.

8

2

9

5

9

6

3

8 5

1 7

4

1

1

7

2

5

1

8

3

2

7

5

6

4

4

4

5

9 3

9

4

8

9

8

7

8

2

9

7

2

6

9 4

8. 6 8

3

3

8

1

9

9 4

4 1

1

6

5

3 1

2

5 3 7 4

5 6

1

6 7

8

8

7

7

3

6

2

1 2

9

8

1

3

8

4

3

4

3

7

5

9

6 7

2

3

9 2

4 9

3

7

6 8

6

1

4

8

8

9

5 3

9

3 4

1.

5. 1

3

7

2

9

5

8

4

6

3

5

2

1

8

9

7

4

6

2

4

9

3

6

8

7

1

5

8

4

1

3

6

7

2

5

9

8

6

5

1

4

7

3

9

2

6

7

9

5

4

2

3

1

8

4

8

3

5

1

9

2

6

7

1

8

4

7

5

6

9

2

3

7

1

6

8

2

3

9

5

4

5

9

7

2

3

8

4

6

1

5

9

2

6

7

4

1

8

3

2

3

6

9

1

4

5

8

7

3

2

8

4

5

1

6

7

9

7

1

5

6

2

3

8

9

4

6

7

4

9

8

2

5

3

1

9

2

8

4

7

1

6

3

5

9

5

1

7

3

6

4

2

8

4

6

3

8

9

5

1

7

2

2.

6. 8

5

2

6

7

3

9

1

4

2

7

8

4

3

1

6

9

5

7

9

6

5

4

1

8

2

3

3

5

4

9

8

6

1

2

7

4

1

3

8

2

9

5

6

7

9

6

1

5

2

7

4

3

8

6

3

9

7

5

4

2

8

1

4

2

5

1

6

3

8

7

9

2

4

1

3

9

8

6

7

5

8

9

3

2

7

4

5

1

6

5

7

8

2

1

6

3

4

9

6

1

7

8

9

5

3

4

2

3

6

4

1

8

5

7

9

2

1

8

9

6

4

2

7

5

3

9

2

5

4

6

7

1

3

8

7

4

6

3

5

9

2

8

1

1

8

7

9

3

2

4

5

6

5

3

2

7

1

8

9

6

4

3.

7. 3

4

1

2

8

7

6

9

5

9

4

3

7

5

8

6

1

2

2

5

6

4

9

3

7

1

8

6

8

1

9

3

2

5

4

7

7

8

9

5

1

6

3

2

4

7

5

2

6

1

4

9

8

3

8

7

3

6

2

5

1

4

9

4

9

8

2

7

5

1

3

6

1

9

2

8

7

4

5

6

3

2

1

7

8

6

3

4

9

5

4

6

5

9

3

1

8

7

2

5

3

6

1

4

9

2

7

8

9

1

7

3

4

8

2

5

6

3

6

4

5

8

1

7

2

9

6

2

8

7

5

9

4

3

1

1

2

5

3

9

7

8

6

4

5

3

4

1

6

2

9

8

7

8

7

9

4

2

6

3

5

1

4.

8. 7

4

6

3

8

1

9

5

2

4

7

5

3

8

9

2

1

6

2

8

3

7

9

5

4

1

6

6

3

9

2

4

1

5

7

8

1

9

5

2

4

6

3

7

8

8

1

2

6

5

7

3

4

9

4

7

2

5

3

8

1

6

9

9

8

7

1

6

5

4

3

2

6

1

8

9

7

4

2

3

5

2

5

1

8

3

4

6

9

7

5

3

9

1

6

2

7

8

4

3

4

6

7

9

2

1

8

5

3

6

1

8

2

9

5

4

7

5

9

3

4

7

6

8

2

1

8

2

7

4

5

3

6

9

1

1

6

4

9

2

8

7

5

3

9

5

4

6

1

7

8

2

3

7

2

8

5

1

3

9

6

4

Instrucciones: completa los tableros subdivididos en 9 cuadrados llenando las celdas vacías con los números del 1 al 9, sin que se repita ninguna cifra en cada fla, ni en cada columna, ni en cada cuadrado.

1.

5. 9

6 7

4

3

5

5 9

6 2

4

7 8

5

5

2 6

2

4 1

1

5

7 4

1

1

9

9

2

2.

6

5

4

9

8

4

3

9

1

7

6

9 8

3

1

9 2

7

8

2

8

5

4

7

4 6

4

9

9 7

5

5

8 3

7

7

2

6

2

4

6. 2 9

4

6

3

8

3

8

4

1

3

9

7

6

2

9 5

8

6

2 9

6

5

8

2

3

4

4

7

8

3

5

9 1 2 5

6

8

2

2 1

4

6

8

3

3

1

8

5

1

3

9

4

2

5

2 4

9 3

7

1

1

9

8

5

9 3

4

4

3.

1

7. 1 4

8 6

5

6

6 5

3

2

1

2

1

9

8

3 7

5 5

4

1

4 8

3 1

9

9

6

7

6

2

3

8

3

1 5

3

4 9

7

4.

5

1

7

9 1

5

6

5 6

1 8

2

7 1

5

2

6

9

2

7

7 2

8

6 8

3

2

9

3

8

4

2

1

8

2

3

8. 3

2 1

8

6

3 3

9

2

8 2

3

2

2

7 7

8 3

1

1 1

9 6

1

1

9

4

5

9

4

2

9

4

7

9

8

9

4 6

5 7

5

5

6 8

6

6

7

3

4

8

7

1

5

8

6

7

5

3

5

5.

1.

9

2

6

8

4

3

5

7

1

3

1

6

7

2

4

8

9

5

8

7

3

5

6

1

9

2

4

8

5

7

3

9

6

1

4

2

4

5

1

9

7

2

8

3

6

9

4

2

1

8

5

7

3

6

3

4

7

1

9

8

6

5

2

4

6

8

2

7

1

9

5

3

1

8

2

7

5

6

3

4

9

1

3

5

4

6

9

2

8

7

5

6

9

3

2

4

1

8

7

7

2

9

8

5

3

6

1

4

2

9

4

6

8

5

7

1

3

2

7

3

9

4

8

5

6

1

6

1

8

2

3

7

4

9

5

5

9

4

6

1

7

3

2

8

7

3

5

4

1

9

2

6

8

6

8

1

5

3

2

4

7

9

2.

6. 8

4

1

2

3

5

9

6

7

7

2

3

8

9

4

1

5

6

5

9

7

4

1

6

8

2

3

1

4

9

2

6

5

8

7

3

6

3

2

8

7

9

4

1

5

8

6

5

1

3

7

2

9

4

3

8

5

1

4

2

7

9

6

9

7

4

6

5

2

3

1

8

4

1

9

3

6

7

5

8

2

2

5

8

3

4

1

9

6

7

2

7

6

9

5

8

1

3

4

6

3

1

9

7

8

5

4

2

1

6

3

5

9

4

2

7

8

3

8

7

4

1

9

6

2

5

9

2

4

7

8

3

6

5

1

5

1

6

7

2

3

4

8

9

7

5

8

6

2

1

3

4

9

4

9

2

5

8

6

7

3

1

3.

7. 5

2

9

6

1

8

7

3

4

9

6

2

1

5

4

8

3

7

3

4

8

2

7

9

6

5

1

5

8

4

3

2

7

6

1

9

1

7

6

5

4

3

2

9

8

7

3

1

8

6

9

5

4

2

8

5

3

7

6

4

1

2

9

1

5

7

4

3

8

9

2

6

7

9

4

3

2

1

5

8

6

8

2

6

5

9

1

3

7

4

2

6

1

9

8

5

4

7

3

3

4

9

2

7

6

1

8

5

9

8

7

4

5

6

3

1

2

6

9

3

7

1

2

4

5

8

6

1

2

8

3

7

9

4

5

2

1

8

9

4

5

7

6

3

4

3

5

1

9

2

8

6

7

4

7

5

6

8

3

2

9

1

4.

8. 3

7

8

4

2

5

9

6

1

4

1

2

9

6

3

8

5

7

4

1

9

7

6

8

5

3

2

5

8

3

4

7

2

1

6

9

6

2

5

3

1

9

8

4

7

7

9

6

1

5

8

2

4

3

7

3

6

9

4

1

2

8

5

2

5

9

6

3

7

4

1

8

9

5

2

6

8

3

7

1

4

6

7

1

5

8

4

3

9

2

1

8

4

2

5

7

6

9

3

8

3

4

2

1

9

6

7

5

8

4

1

5

9

2

3

7

6

1

2

7

3

4

5

9

8

6

2

6

7

8

3

4

1

5

9

3

6

8

7

9

1

5

2

4

5

9

3

1

7

6

4

2

8

9

4

5

8

2

6

7

3

1

Álgebra 4 Act. - Intelectum

Recommend Documents