UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
A N ÁL Á L I S IS I S M A T EM E M Á T IC IC O I I
Tema
Teóricos
2010
Límites
Prof. Ing. M.A.Ramadán
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Definición de Límite
Ampliando el concepto de límites que vimos en Anam 1 para el funciones monovariables, diremos: El límite de una función multivariable multiva riable punto
( x;
y)
z f ( x; y ) =
de un cierto entorno de su dominio
es el valor real L , cuando el
D f tiende
al centro de dicho entorno,
( x0 ; y0 ) , si para un ε dado por por el el punto de acumul acumul ación un número número real real , pos pos iti vo y
arbitrariamen arbitra riamente te peque pequeño, ño, existe otro númer número o real
δ ,
radioentorno del punto ( x0 ; y0 ) ,
dependiente de ε , y también positivo y arbitrario, de modo que en un reducido del punto
( x0 ; y0 ) ,
se verifique que el valor absoluto de la diferencia entre el
valor de la función en el punto de partida, y su límite, sea menor que el valor del número ε . En símbolos (figura 1): Lím
[ f ( x; y )] = L si
( x ; y ) →( x 0 ; y 0 )
∀ε > 0 ∃δ (ε )>
0 : [0 < ( x − x0 ) 2
+ (y −
y0 ) 2
< δ ] ⇒
O sea, que una función tendrá un límite numérico ( L ) en un punto
f(x; y) - L
< ε
P ( x0 ; y0 ) ,
si
es posible que los valores de la función, en puntos Q ( x; y ) , se acerqu acerquen en al valor L al tomarse puntos Q cada vez más cerca del punto P , interes interesando ando el compo comportamien rtamiento to de la función dentro del entorno reducido del punto de acumulación ( P ) . Como el entorno es reduci reducido, do,
significa que no interesa, a los fines de la determinación del límite al que tiende el valor de la función, el valor de la misma en el punto de acumulación, pero sí se requiere el punto de acumulación a los efectos de asegurar que al menos un punto del dominio, dentro del entor entor no reducido, implique existencia de la función (que tenga 1
imagen). Por lo tanto, la función puede, o no, estar definida en el acumulación.
P ( x0 ; y0 ) , no fuera reducido, se tendría que Si el entorno del punto ( x − x0 ) 2
+( y −
y0 ) 2
< δ
y ello implica que
sería posible que ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2
=0
,
con lo que se obl iga a la def inic ión de límit e a consid erar que la función esté definida en el punto de acumulación. Para que esto no suceda, es necesario que ( x − x0 ) 2
+( y −
y0 ) 2
Al verificarse que
>0
.
f(x; y) - L
para
<ε
que exista el límite, significa que − ε <
f(x; y) - L < ε ,
como sabemos por las
propiedades del valor absoluto de un número; por lo tanto, resulta que ( L − ε ) < f(x; y)
, lo que significa que los valores de la función, ubicables sobre
< ( L + ε )
la gráfica espacial de la función, están comprendidos entre un plano inferior L − ε y otro plano superior L + ε ; figura 2.
En consecuen cia, la definición tamb ién implica que cuando la funció n límite, en el marco de lo dicho hasta aquí, debe verificarse, simultáneamente, que δ (ε )>x
− x0
∧
δ (ε )> y
−
y0
, en el entorno reducido. O, lo que es lo mismo: x0
− δ <
x < δ + x0
∧
y0
− δ <
y < δ + y0 .
Por esta razón, el límite así definido se denomina límite simultáneo, debido a que las variables independientes de la función tienden (al mismo t iempo) a “su” límite (las coordenadas del punto de acumulación) cuando la función tiende al suyo. En el caso de las funciones multivariables de dos variables independientes, el límite simultáneo también es llamado límite doble. Si las variables independientes fueran tres, el límite será simultáneo, o también, triple. Observemos que mientras que en las funciones monovariables el límite tiene sólo dos trayectorias posibles, por izquierda y por derecha (al ser lineal el entorno reducido, figura 3), en las bivariables, como el entorno es circular, existen infinitas
trayectorias para ir desde un punto del entorno reducido hasta el pu
acumulación (en la figura 4 se indican algunas trayectorias utilizando dis colores). También podemos decir lo mismo considerando distintos puntos del entorn 2
reducido desde los cuales las variables independientes tienden al punto acumulación siguiendo trayectorias rectilíneas, figura 5. Como por un punto pasan infinitas rectas, tendremos como posibilidad una cantidad infinita de trayectorias rectilíneas, cada una con una pendiente correspondiente (distintos colores de las rectas). En el caso de límites monova riables , si los valore s de límite por izquierda y por derecha son iguales, para cada uno de los puntos pertenecientes al entorno reducido del punto de acumulación, figura 3, decimos que el límite de la función es el obtenido para estas dos trayectorias. Pero si los valores de límites de ambas trayectorias son distintos, vimos que se convenía en decir que la función no tiene límite. Y esto es categórico en ambas situaciones.
Pero en el caso de las multivariables, al existir la posibilidad de trayectorias, es fácil deducir que: 1) categóricamente no existe el límite de la función cuando, al menos, una trayectoria presenta un valor distinto a las de las demás; 2) en el caso de que un convenido número de trayectorias presenten el mism o valor de límite, es probable que exista alguna otra trayectoria, de las restantes infinitas no valoradas, que determine un valor distinto de límite, por lo que, en este caso, diremos que el valor de límite obtenido en el número convenido de trayectorias analizadas es probable que sea el lím ite de la funci ón; y pro babl e sig nif ica que no as categóricamente que ese sea el límite (como sí ocurre en las monovariables); 3) para certificar que el límite obtenido en el número convenido de trayectorias es verdaderamente el límite de la función, será necesario verificarlo mediant aplicación de la definición de límite. Cálculo del límite Dado que la definición de límite sólo sirve para verificar que cierto valor real es el límite de una función, y por lo tanto no es viable el uso de la definición para calcular el valor del límite, se utilizan procedimientos prácticos que permiten determinar la existencia probable , o negarla, del límite de la función monovariable. Estos procedimientos se denominan: límite simult áneo, límites reiter ados (o suces ivos), y límites radiales (o por haz de rectas, o por haz de tangentes). 3
Límite simultáneo: consiste en considerar que las variables independientes tienden, simultáneamente, a los valores del punto de acumulación, o sea, a sus límites. Una vez alcanzados estos límites de las variables, se evalúa la función para tales valores. Esto se interpreta , geométrica mente , como una tendencia simult ánea de variables independientes hacia el punto de acumulación, a través de una rampa, figura 6. Como vimos en Anam 1, esto exige que la función sea continua en el punto de acumulación, si bien la definición de límite no requiere que la función esté definida en dicho punto, pero sí en algún punto del entorno reducido del mismo.
Si la función no está definida en el punto de acumulación (la fu discontinua), el valor de la función es indeterminado, y lo propio se dice del límite (que en realidad, no es determinable).
(x; y)P = f (xo; yo ) = z(P) L = L (íz)m= L (í f m(x; y) =) f x→ xo x→ xo y → yo y → yo
En símbolos:
si z es continua en P.
(mx; y) = ) I n d ae L = L (íz)m= L (íf O bien
x→ xo x→ xo y → yo y → y o si z no es continua en P.
Si la funciónz
=
f ( x; y )
es una expresión funcional fraccionaria, y no e
continua en el punto bajo análisis, se procede a factorear numerador y denominador (mediante Ruffini, por ejemplo) y simplificar los factores comunes. Si la expresión obtenida es continua para el punto, se la valúa y se obtiene el límite. Si no lo es, el límite es indeterminable. Si no fuera del todo suficiente, o la consigna de trabajo lo requiere, se aplicarán los restantes caminos de determinación de límites (sucesivos, radial). Límite reiterado: consiste en calcular límites en forma secuencial, primero para una
variab le y después para la otra. Esto implica que hay dos posibil idades, primero por una variable y luego por la otra, o bien, comenzar por ésta y luego por la restante. En símbolos: 4
L1 = L (íz)m= L (íf (mx; y) = ) L [íL m (íf (mx; y) = ] L [íf (mxo; y) = ] L [íF (my) = ] R x → xo x → xo y → y o y → yo
y→ yo x→ xo
y → yo
y → yo
donde R es un valor determinado, real, finito, medible. Para que esto sea posible: 1) la función debe ser continua en
x
=
xo ;
si no lo fuera se aplica L’Hopital hasta
lograrlo; ( xo ; y ) = F ( y ) debe ser continua en 2) f
y
=
yo .
La figura 7 da la interpret ación geomét rica de la traye ctor ia seguida cálculo de este límite. Si en cambio, se sigue la trayectoria sugerida por la figura 8, se calcula así:
L2 = L (íz)m= L (íf (mx; y) = ) L [íLm (íf (mx; y) = ] L [íf (mx; yo ) = ] L [Gí (mx) = ] R x→ xo x→ xo y → y o y → yo
x→ xo y→ yo
5
x→ xo
x → xo
Si ambos cálculos coinciden en el valor R , se dirá que es probable que el límite sea
R .
Si no coinciden, categóricamente se dice que la función no tiene límite para el
punto consi derado (en realid ad tiene un límite para cada trayec toria , pero iguales). Es probable que estos pasos sean suficientes par a la determinación del límite de la función. Si no fuera del todo suficiente, o la consigna de trabajo lo requiere, se aplicarán los restantes caminos de determinación de límites (simult áneo, radial). Límite radial: consiste en tomar como trayectorias posibles, las pertenecientes al haz
de rectas que pasa por el punto de acumulación (figura 5), cuyo algor y − yo
=
m ⋅ ( x − xo ) ,
donde m es la pendiente de cada recta considerada;
x0
e y0 son
las coordenadas del punto de acumulación, y x e y son las coordenadas del punto (genérico) perteneciente al entorno reducido de
P ( x0 ; y0 )
.
Se sustituye el haz de rectas en la expresión de la función, obteniéndose una nueva expresión en función de la variable x y del parámetro m . Se analiza si la expresión así obtenida es continua en
x0
y, en caso de serlo, se
la evalúa y se obtiene el límite buscado, el que será un número real
R
≠ h(m )
.
m como Si no es continua, se obtendrá una expresión alfanumérica con variable, es decir z = h(m) , lo que se interpreta que se obtendrá un valor real para cada pendiente m que se considere; esto es, habrá tantos valores de límite como valores de pendiente; evidentemente, bastará con ver que dos valores son distintos para decir, categóricamente, que el límite no existe.
Antes de cerrar el análisis, se procurará ver si es posible levan indeterminación mediante la aplicación reiterada de L’Hopital. Si no fuera del todo suficiente, o la consigna de trabajo lo requiere, se aplicarán los restantes caminos de determinación de límites (sucesivos, simultáneo). Verificación: en el caso de que el valor de lím ite obtenido por aplicación de algunos de los procedimientos mencionados lo requiera, se puede aplicar la definición de límite, al límite hallado, para verificar su validez; en este caso, diremos categóricamente que ése es el límite de la función (dejó de ser probable).
6
Como se verá en los prácticos, no es fácil la aplicación de la definición de límite
para la verificación; requiere experiencia en la tarea y una base alg interesante; por ello, se analizan en los prácticos algunos casos didácticos. En general, si bien la determinación del límite no es categórica mediante los procedimientos indicados, es suficientemente satisfactorio, y suficiente en la mayoría de los casos, sin necesidad de llegar a la verificación. Ejemplo 1:
ver el ejercicio 7 del Ejemplario.
Ejemplo 2:
ver el ejercicio 6 del Ejemplario.
Conclusiones complementarias: si al aplicar todos los procedimientos prácticos descriptos, el valor de límite obtenido es el mismo, se dice que es probable que el límite hallado es el límite de la función: L = L1 = L2
=
LR ; entonces, es probable que el límite de la función sea L .
Si alguno de los límites es distinto: L = L1 = LR
≠
L2 entonces la función no tiene
límite .
Puede determinarse el límite por otras trayectorias (cuadráticas, cúbic exponenciales, etc.), pero basta que una sola dé un valor distinto para decir que no exista el límite. Si la función tiene límite en un punto, ese límite es único, y cualquiera fuera la traye ctor ia utilizada debe obtenerse el mismo valor de límit e. Por ejemplo obtenerse un valor de límite doble, pero los reiterados son distintos; la función no tiene límite. O los límites reiterados son iguales, pero el radial es distinto; no existe el límite. ¿Qué procedimiento utilizar primero?. Ello depende de la consigna del problema, en primer lugar; cada procedimiento implica una trayectoria, al menos, por lo que se suele tomar dos o tres caminos para verificar si los valores coinciden o no; luego, si es necesario, verificar mediante la definición. Propiedades de los límites:
son las mismas vistas en funciones monovariables, por
lo que se solicita, como consigna, el repasarlas comprensivamente. *
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Consignas: a) contemplar el instructivo general para cada actividad de aprendizaje; b) analizar el teórico, antes, durante, y a posteriori de las actividades prácticas; c)
si hay, no olvidar analiz ar el Ejemp lari o; d) compl ement ar con la b bibliográfica del tema en tres textos; e) base complementar el teórico,
enri queci do con los textos base, con las activid ades prácti cas realizad complementar éstas con el teórico enriquecido.
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Recreo: Papá, papá!,¿me hacés el problema de matemáticas?, clamó Pedrito. -No hijo, no estaría bien, contestó el padre. -Bueno….inténtalo lo mismo…… *
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