CURSO: ESTADÍSTICA APLICADA-SOLUCIONARIO INGENIERÍA
FACULTAD DE
PRACTICA N° 01 Tema:
Experimentos, Espacio Muestral y Eventos
I.- En los siguientes ejemlos! in"i#ue si el e$e%imento es o no es &le&to%io! justi'#ue su %esuest&. %esuest&. Ejemlo (: Sea Sea el expe experi rime ment nto: o: “Dete Determ rmin inar ar el núme número ro de prob probet etas as que que cump cumple len n co con n las las especifcac especifcaciones iones de diseño diseño (!" #$%cm&' #$%cm&' de un conunto de )n) probetas probetas de concreto concreto normal* ALEATORIO Ejemlo ): Sea el experimento: “Seleccionar un empleado de la planilla de la Empresa +erreyros, se$ún su car$o* ALEATORIO Ejemlo *: Sea el experimento: “-restar un capital a un porcentae y a un tiempo determinado en el ../0* NO ALEATORIO Ejemlo +: Sea el experimento: “0postar en la carrera de autom1viles* ALEATORIO Ejemlo ,: Sea el experimento: “Determinar el número de clientes que cumplen con los pa$os de su pr2stamos* ALEATORIO Ejemlo : Sea el experimento: “3olocar un pl4stico en un 5orno a 6"78 por 97 minutos* NO ALEATORIO
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II.- En los siguientes e$e%imentos &le&to%ios! "ete%mine su o%%eson"iente es&io muest%&l / liste los elementos "e los e0entos %e#ue%i"os. E$e%imento (: an;ar dos monedas y observar la cara superior Solución:
Es&io 1uest%&l:
C
C2..C C S2..C S
S
C2..S C S22 SS E0entos: 0< =btener dos sellos A = { SS }
.< =btener una cara B = { CS , SC }
3< =btener cara o sello C = { CC , CS , SC , SS }
E$e%imento ): >n in$eniero planea la compra de 9 me;cladoras, para ser utili;adas en un nuevo proyecto, asi$nado a su empresa, se$ún experiencia previa 5ay una alta probabilidad de que cada me;cladora lle$ue en per?ecto estado operativo al fnali;ar los @ meses >tilice . para denotar el buen estado y utilice M para denotar un mal estado Es&io 1uest%&l: Sea: .< .>EA ESB0D= M
3 3 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
32..33 3 12.33 1 32..31 P á g i n a 2 | 13
1
3 1 1
3 12.31 1 32..13 3 12.13 1 32..1 13 12.11 1
E0entos: 0< por lo menos 6 me;cladoras est2n en mal estado A = { BMM , MBM , MMB, MMM } .< las tres me;cladoras est4n en buen estado B = { BBB } 3< por lo menos una de las me;cladoras est2n en buen estado C = { BBB , BBM , BMB , BMM , MBB , MBM , MMB}
E$e%imento *: Bres electores ele$idos al a;ar deben expresar su opini1n ?avorable o contraria a un proyecto de ley sobre minerCa in?ormal Si se desi$nan las opiniones por + (?avorable', 3 (contrario', A (Aeutro' 5allar: Es&io 1uest%&l: E0entos: 0< Dos electores est2n en contra de la propuesta A = { FCC , CFC , CCF , CCN , CNC , NCC } .
Es&io 1uest%&l: Sea: 0< MEA=S DE MESES .< @ = MS MESES DPTO. DE CIENCIAS -UPN
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A2..A AA 32..A A3 A2..A 3A 32..A 33
A A 3
A2..3 AA 32...3 A3 A2..3 3A 32..3 33
A 3 3 E0entos:
0< 0 lo m4s dos televisores est2n dentro los @ meses de $arantCa A = { AAA, AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA } .< -or lo menos un televisor este con @ o m4s meses de $arantCa B = { AAB, ABA, ABB, BAA, BAB, BBA , BBB } 3< Ain$ún televisor este con menos de @ meses C = { BBB }
CALCULO DE PRO3A3ILIDADES: De los siguientes e$e%imentos! &lule l&s %o4&4ili"&"es: E$e%imento (: >n in$eniero planea la compra de 9 niveladoras, para ser utili;adas en un nuevo proyecto, se$ún experiencia previa 5ay una alta probabilidad de que cada niveladora lle$ue en per?ecto estado operativo al fnali;ar los @ meses >tilice . para denotar el buen estado y utilice M para denotar un mal estado ' 3alcule la probabilidad de que por lo menos 6 niveladoras est2n en buen estadoF A = { BBB , BBM , BMB , MBB } n( A) = 4 P ( A) =
n( A) n( Ω )
=
4 8
= 0.50 ó 50%
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6' 3alcule la probabilidad de que a lo m4s una de las niveladoras est2n en mal estadoF B = { BBB , BBM , BMB , MBB } n( B ) = 4 P ( B ) =
n( B ) n( Ω )
=
4 8
= 0.50 ó 50%
E$e%imento ): >n contratista est4 dando inicio a dos nuevas obras, existe al$una incertidumbre acerca del tiempo para completar cada obra En un año cada obra puede lle$ar: Defnitivamente completada (a' 3uestionadamente completada (b' Defnitivamente incompleta (c' Donde a, b, c son notaciones de los sucesos inciertos ' 3alcular la probabilidad de que a lo m4s una obra sea terminada en un año A = { aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc} n( A) = 8 P ( A) =
n( A) n( Ω )
=
8 9
= 0.889 ó 88.9%
6' 3alcular la probabilidad de que dos obras sean cuestionadamente completadas en un año B = { bb} n( B ) = 1 P ( B ) =
n( B ) n( Ω )
=
1 9
= 0.111 ó 11.1%
9' 3alcular la probabilidad de que por lo menos una obra sea terminada en un año C = { aa, ab, ac, ba, ca} n( C ) = 5 P ( C ) =
n( C ) n( Ω )
=
5 9
= 0.556 ó 55.6%
CURSO: ESTADÍSTICA APLICADA
FACULTAD DE
INGENIERÍA
PRACTICA N° 02 TEMA:
34lculo de -robabilidades y uso de propiedades (0l$ebra de eventos'
1. Un experimento puede resutar en uno o am!os de os e"entos # $ % &on as pro!a!iidades 'ue se muestran en esta ta!a de pro!a!iidad( A
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AC
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B
0.34
0.46
B C
0.15
0.05
)n&uentre as siguientes pro!a!iidades( a. P ( A) !. P ( B ) d. P ( A ∪ B )
&. P ( A ∩ B ) +. P ( B * A)
e. P ( A * B )
Solución:
a. P ( A) = 0.34 + 0.15 = 0.49 !. P ( B ) = 0.34 + 0.46 = 0.80 &. P ( A ∩ B ) = 0.34 d. P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B) = 0.49 + 0.80 − 0.34 = 0.95
0.34 P ( A * B ) = = 0.425 0 . 80 e. 0.34 P ( B * A) = = 0.694 0.49 +.
6 >na asociaci1n deportiva reali;a un sondeo entre las personas mayores a @ años respecto de su participaci1n en actividades deportivas 0 continuaci1n se presenta el número de participantes en los cinco deportes principales PARTICIPANTES (En millones) ACTIVIDAD Hombres 22.2
( A1 ) Andar en bicicleta
( B1 )
( B2 )
Mujeres 21.0
25.6
24.3
28.7
57.7
20.4
24.4
26.4
34.4
( A2 ) Acamar ( A3 ) Caminar ( A4 ) Hacer
ejercicios
con
aaratos
( A5 ) Nadar &. Estime la probabilidad de que una muer, ele$ida al a;ar, participe en cada una de estas actividades deportivas DPTO. DE CIENCIAS -UPN
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4. Estime la probabilidad de que un 5ombre, ele$ido en ?orma aleatoria, participe en andar en bicicleta . Estime la probabilidad de que una persona, ele$ida en ?orma aleatoria, 5a$a eercicio caminando ". Supon$a que acaba de ver una persona que pasa caminando para 5acer eercicio 3u4l es la probabilidad de que sea muerF, de que sea 5ombreF Solución:
a. !.
86.4 P ( A3 ) = = 0.303 285 . 1 &. 5. = 0.668 P ( B2 * A3 ) = 86 . 4 d.
P ( B1 * A3 ) =
28. 86.4
= 0.332
9 En cierta ciudad el G7H de la poblaci1n prefere consumir -ulp, el 67H +ru$os y el "H preferen consumir ambos productos a otros Se esco$e una persona al a;ar Ialle la probabilidad de que: 0' 3onsuma -ulp o +ru$os .' 3onsuma solo -ulp, pero no +ru$os 3' Ao consuma -ulp ni +ru$os D' Se&n los e0entos: A5 PREFIERE PULP You're Reading a Preview 35PREFIERE FRUGOS Unlock full access with a free trial. A = NO PREFIERE PULP B = NO PREFIERE FRUGOS -or dato: Download With Free Trial
( ) = 0.40 P ( B ) = 0.20 P ( A ∩ B ) = 0.05 P A
a' P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
B 0.05 0.15 0.20
A A ota
ota 0.40 0.60 1.00
B 0.35 0.45 0.80
P ( A ∪ B ) = 0.40 + 0.20 − 0.05 = 0.55 ! P ( A ∩ B ) = 0.35
c' P ( A ∩ B ) = 0.45
G Se seleccion1 una muestra de "77 participantes en un 4rea metropolitana para determinar varios aspectos acerca del comportamiento de los consumidores Se obtuvo la si$uiente tabla:
Gene%o DISFRUTA CO1PRANDO ARTEFACTOS EL6CTRICOS DPTO. DE CIENCIAS -UPN
B1
7O13R B2 1U8E E R P á g i n a | 13
A1
SÍ
A2 NO
9@
66G
7G
9@
a' 3u4les la probabilidad de una persona no dis?rute comprando arte?actos el2ctricosF b' 3u4l es la probabilidad de que la persona sea muer y si dis?rute comprando arte?actos el2ctricosF c' 3u4l es la probabilidad de que el participante ele$ido sea 5ombre o no dis?ruta comprando arte?actos el2ctricosF d' Si se sabe que la persona es muer 3u4l es la probabilidad de que no dis?rute comprando arte?actos el2ctricosF Solución:
a' P ( A2 ) =
b'
140
= 0.28
500
224
P ( B2 ∩ A1 ) =
500
c'
= 0.448
P ( B2 ∪ A2 ) = P ( B1 ) + P ( A2 ) − P ( B1 ∩ A2 ) P ( B2 ∪ A2 ) =
240 500
+
140 500
−
104 500
=
484 500
= 0.968
d' P ( A2 * B2 ) =
36 260
= 0.139
"J En una empresa de cal;ado 5ay 97 trabaadores, de los cuales la tercera parte son mueres Si la cuarta parte de los 5ombres y la mitad de las mueres no est4n ase$urados, 3u4l es la probabilidad de que al seleccionarse un trabaador aleatoriamente este: ASEGURADOS (A) Mujeres (M) H!"res (H)
NO ASEGURADOS(N)
5 15 20
5 5 10
TOTAL 10 20 30
TOTAL #. Sea 5ombre
P ( H ) =
b
20 30
= 0.66
Sea muer o no ase$urada(o'
P ( M ∪ N ) = P ( M ) + P ( N ) − P ( M ∩ N ) =
c
10 30
+
10 30
−
5 30
= 0.50
Sea muer sabiendo que tiene un se$uro
P ( M * A) =
5 20
= 0.25
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b Sea 5ombre sabiendo que no tiene un se$uro P ( H * N ) =
5 10
= 0.50
PRO3LE1AS DE TEORE1A DE 3A9ES: (. En una ?4brica la m4quina 0 produce el G7H de la producci1n total y la maquina . el @7H restante -or experiencia se sabe que el KH de los artCculos producidos por la m4quina 0 son de?ectuosos y el H de artCculos producidos por la m4quina . son de?ectuosos a Si se selecciona en ?orma aleatoria un artCculo, 3u4l es la probabilidad de que sea de?ectuosoF b Si se selecciona en ?orma aleatoria un artCculo y se observa que es de?ectuoso 3u4l es la probabilidad de que sea producido por la m4quina 0F Solución:
/ean os e"entos( #( ) art&uo +ue produ&ido por a má'uina # %( ) art&uo +ue produ&ido por a má'uina % ( ) art&uo es de+e&tuoso #demás(
P A- = 0.40 P B- = 0.60 P D * A- = 0.09 P D * B - = 0.01 a P D - = P A- P D * A- + P B - P D * B P D -
= 0.40 0.09 + 0.60 0.01
P D -
= 0.042
!.1 P A * D -
=
P A- P D * A P D -
=
0.40 0.09 0.042
= 0.85,
!.2 P B * D -
=
P B - P D * B P D -
=
0.60 0.01 0.042
= 0.143
). En el dep1sito de almacenamiento de una empresa privada se encuentran L7 toneladas en sacos de "7 ilos de 5arina de pescado que sirve como alimentaci1n del $anado vacuno 67 toneladas 5an sido producidas por la empresa I0ND>#, 9" toneladas por la empresa SO-ES0 y el resto por la empresa M00.POQ= Se sabe tambi2n que la empresa I0ND>#, produce el 9H de sacos de?ectuosos, la empresa SO-ES0 el "H y la empresa M00.POQ= el GH
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a Si se selecciona saco de 5arina de pescado 3u4l es la probabilidad de que sea de?ectuosoF b Si se selecciona saco de 5arina de pescado y se encuentra que es de?ectuoso 3u4l es la probabilidad de que 5aya sido producido por la empresa SO-ES0F c Si se selecciona un saco de 5arina de pescado y se encuentra que A= es de?ectuoso 3u4l es la probabilidad de que 5aya sido producida por la empresa I0ND>#F Solución:
!tendremos a produ&&i7n en sa&os( a produ&&i7n tota es de 80 toneadas 1 toneada1000 :g.-, o e'ui"aente a 80000 :g, a produ&&i7n de sa&os peso por sa&o50 :g.- por )mpresa es a siguiente( Total de Sacos Producidos: 1600 /a&os Empresa HAYDUK Producción: 20 oneadas 20000 :g.Sacos Producidos: 400 /a&os Empresa SIPESA Producción: Sacos Producidos:
35 oneadas 35000 :g.00 /a&os
Empresa MALABI!" Producción: 25 oneadas 25000 :g.Sacos Producidos: 500 /a&os
/ean os e"entos( #1( ) sa&o pro"iene de a )mpresa ;#<U=. #2( ) sa&o pro"iene de a )mpresa />P)/#. #3( ) sa&o pro"iene de a )mpresa ?##%@>A. ( ) sa&o produ&ido es de+e&tuoso. P A1 - = 0.25 P A2 - = 0.438 P A3 - = 0.313 P D * A1 - = 0.03 P D * A2 - = 0.05 P D * A3 - = 0.04 a P D -
= ∑ P Ai - P D * Ai -
P D -
= P A1 - P D * A1 - + P A2 - P D * A2 - + P A3 - P D * A3 -
P D -
= 0.25 0.03 + 0.438 0.05 + 0.313 0.04
P D -
= 0.042
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! P A2 * D -
=
P A2 - P D * A2 P D -
=
0.438 0.05 0.042
= 0.521
c' Beniendo en cuenta que la probabilidad que sea de?ectuoso es 77G6, entonces: Sea el evento D:El artícu lo no es d efectuoso P ( D ) + P ( D ) = 1 → P ( D ) = 1 − P ( D ) = 1 − 0.042 = 0.958
a probabilidad solicitada es:
P ( A1 * D ) =
P ( A1 ) P ( D * A1 ) P ( D )
, por dato tenemos:
P ( A1 ) = 0.25B P ( D ) = 0.958,
para 5allar
(
P D * A1
) , decimos:
P ( D * A1 ) = 0.03.......... Por . dato P ( D ∩ A1 ) P ( A1 )
= 0.03 → P ( D ∩ A1 ) = ( 0.03)( 0.25) = 0.005
@eempaDando en a pro!a!iidad soi&itada(
P ( A1 ) = P ( D ∩ A1 ) + P ( D ∩ A1 ) P ( D ∩ A1 ) = P ( A1 ) − P ( D ∩ A1 ) P ( D ∩ A1 ) = 0.25 − 0.005 = 0.2425 P ( D * A1 ) =
P ( D ∩ A1 ) P ( A1 )
=
0.2425 0.25
(
)=
(
)=
P A1 * D
= 0.9
P A1 * D
( ) (
P A1 P D * A1
)
( )
P D
( 0.25)( 0.9,) 0.958
= 0.2531
*. >na compañCa de desarrollo urbano est4 considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de ima >n elemento vital en esta consideraci1n es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad Si el 3onceo municipal aprueba esta autopista, 5ay una probabilidad de 7,K7 de que la compañCa construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 7,67 .as4ndose en la in?ormaci1n disponible, se estima que 5ay una probabilidad de 7,@7 que la autopista sea aprobada Dado que el 3entro 3omercial ?ue construido, 3u4l es la probabilidad de que la autopista 5aya sido aprobadaF Solución:
/ean os e"entos( #( /e aprue!a a &onstru&&i7n de a autopista. A ( Co se aprue!a a &onstru&&i7n de a autopista.
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%( /e aprue!a a &onstru&&i7n de Eentro Eomer&ia Por dato nos men&iona 'ue si e EonseFo ?uni&ipa aprue!a esta autopista, Ga$ una pro!a!iidad de 0.90 de 'ue a &ompaHa &onstru$a e Eentro Eomer&ia, o denotamos por( P B * A- = 0.90 )n tanto 'ue si a autopista no es apro!ada a pro!a!iidad es de soo 0.20, os denotamos por( P B * A- = 0.20 /e estima 'ue una pro!a!iidad de 0.60 'ue a autopista sea apro!ada, enton&es( P A- = 0.60 , por dedu&&i7n e 'ue no se apro!ada será( P A-
= 0.40
P B ∩ A P A-
= 0.20
P B ∩ A-
= 0.20 0.40
P B ∩ A-
= 0.08
Cos soi&itan o!tener( ado 'ue e Eentro Eomer&ia +ue &onstruido, IEuá es a pro!a!iidad de 'ue a autopista Ga$a sido apro!adaJ P A * B- = J Primero o!tenemos a pro!a!iidad 'ue e Eentro Eomer&ia sea &onstruido. P B - = P A- P B * A- + P A- P B * A P B -
= 0.60 0.90 + 0.40 0.20
P B -
= 0.62
#Gora reempaDamos os "aores( P A- P B * A- 0.60 0.90 P A * B - = = = 0.81 P B 0.62 Por lo #ue concluimos #ue la pro$a$ilidad de dado de #ue se constru%e el edi&icio comercial' se (a%a apro$ado el pro%ecto de la auto)*a es apro+imadamente' ,-./0
+. Bres empaquetadoras se emplearon en una u$ueterCa durante el periodo de Aavidad MarCa, que empaqueta G7H de todos los u$uetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio ve; en "7R uana, que empaqueta el 97H se de todos los u$uetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio una ve; en 7, y Elena, que empaqueta el resto de u$uetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio ve; en 67 Dado que un cliente se que1 de que una etiqueta con el precio no ?ue quitada de un re$alo antes de 5aber sido empaquetado a 3u4l es la probabilidad de que se olviden de quitar la etiqueta del precio antes de empaquetar los u$uetesF b 3u4l es la probabilidad de que MarCa cometiera el errorF Solución:
Sean los eventos: A1 ( os u$uetes que empaqueta MarCa
A2 ( os u$uetes que empaqueta uana
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A3 (
os u$uetes que empaqueta Elena B ( Ao se quit1 la etiqueta de su empaquetado P ( A1 ) = 0.40 P ( B * A1 ) = 0.02 P ( A2 ) = 0.30 P ( B * A2 ) = 0.10 P ( A3 ) = 0.30 P ( B * A3 ) = 0.05 a'
( ) = P ( A1 ) P ( B * A1 ) + P ( A2 ) P ( B * A2 ) + P ( A3 ) P ( B * A3 ) P ( B ) = ( 0.40)( 0.02) + ( 0.30)( 0.10) + ( 0.30)( 0.05) = 0.053 P B
b' P ( A1 * B ) =
P ( A1 ) P ( B * A1 ) P ( B )
=
( 0.40)( 0.02) 0.053
= 0.151
" En un proceso de producci1n el porcentae de obetos no de?ectuosos ?abricados es !7H con probabilidad 7,9"R K7H con probabilidad 7,6" y @7H con probabilidad 7,G7 Si se selecciona al a;ar uno de tales obetos "J 3alcule la probabilidad de que sea de?ectuoso "6J Si resulta no de?ectuoso, calcule la probabilidad de que sea de calidad del K7H Solución:
-or dato: .
P ( B * A1 ) = 0.0
P ( A2 ) = 0.25
P ( B * A2 ) = 0.90
P ( A3 ) = 0.40
P ( B * A3 ) = 0.60
5.1.K
( ) = P ( A1 ) P ( D * A1 ) + P ( A2 ) P ( D * A2 ) + P ( A3 ) P ( D * A3 ) P ( D ) = ( 0.35)( 0.,0) + ( 0.25)( 0.90) + ( 0.40)( 0.60) = 0.,1 P D
5.2.K
(
P A2 * B
)=
(
) ( P ( B )
P A2 P B * A2
)
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=
( 0.25)( 0.90) 0.,1
= 0.31,
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