CURSO: ESTADÍSTICA APLICADA-SOLU APLICADA-SOLUCIONARIO CIONARIO
FACULTAD DE INGENIERÍA
PRACTICA N° 01 Tema:
Experimentos, Espacio Muestral y Eventos
I.- En los siguientes ejemplos, indique si el experimento es o no es aleatorio, justifique su respuesta.
Ejemplo 1: Sea el experimento: “Determinar el número de probetas que cumplen con las especificaciones de diseño (175 Kg/cm²) de un conjunto de "n" probetas de concreto normal”
ALEATORIO
Ejemplo 2: Sea el experimento: “Seleccionar un empleado de la planilla de la Empresa Ferreyros, según su cargo”. ALEATORIO
Ejemplo 3: Sea el experimento: “Prestar un capital a un porcentaje y a un tiempo determinado en el BBVA”.
NO ALEATORIO
Ejemplo 4: Sea el experimento: “Apostar en la carrera de automóviles” ALEATORIO
Ejemplo 5: Sea el experimento: “Determinar el número de clientes que cumplen con los pagos de su préstamos”.
ALEATORIO
Ejemplo 6: Sea el experimento: “Colocar un plástico en un horno a 250° por 30 minutos”
NO ALEATORIO
P á g i n a 1 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
II.- En los siguientes experimentos aleatorios, determine su correspondiente espacio muestral y liste los elementos de los eventos requeridos. Experimento 1: 1: Lanzar dos monedas y observar la cara superior. Solución:
Espacio Muestral: C…..CC
C
S…..CS
C…..SC
S
S……SS
Eventos: A= Obtener dos sellos. A
SS
B= Obtener una cara. B
CS SC ,
C= Obtener cara o sello. C
CC CS SC SS ,
,
,
Experimento 2: 2: Un ingeniero planea la compra de 3 mezcladoras, para ser utilizadas en un nuevo proyecto, asignado a su empresa, según experiencia previa hay una alta probabilidad de que cada mezcladora llegue en perfecto estado operativo al finalizar los 6 meses. Utilice B para denotar el buen estado y utilice M para denotar un mal estado. Espacio Muestral: Sea: B= BUEN ESTADO M=MAL ESTADO B…..BBB
B B
M….BBM B…..BMB
M
M….BMM
B…..MBB
B M
M….MBM B…..MMB
M
M….MMM
P á g i n a 2 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
Eventos: A= por lo menos 2 mezcladoras estén en mal estado.
A BM BMM , MB MBM , MM MMB, MM MMM
B= las tres mezcladoras están en buen estado. B
BB BBB
C= por lo menos una de las mezcladoras estén en buen estado. C
BB BBB BB BBM BM BMB BM BMM MB MBB MB MBM MM MMB ,
,
,
,
,
,
Experimento 3: 3: Tres electores elegidos al azar deben expresar su opinión favorable o contraria a un proyecto de ley sobre minería informal. Si se designan las opiniones por F (favorable), C (contrario), N (Neutro) hallar: Espacio Muestral:
Eventos: A= Dos electores estén en contra de la propuesta. A
FCC FCC CFC CFC CCF CCF CCN CNC CNC NCC ,
,
,
,
,
B=Tres electores estén en contra o los 3 electores están a favor de la l a propuesta. B
FF FFF F CCC ,
C= Por lo menos 1 elector sea neutro neutro al opinar de la propuesta. C
FFN FCN FNF FNC FNN CFN CCN CNF CNC CNN NFF NFC NFN NCF NCC NCN NNF NNC NNN ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Experimento 4: 4: Seleccionar una muestra de 3 televisores y clasificarlos según su tiempo de garantía: Con menos de 6 meses (A) o con una garantía de 6 o más meses (B) Espacio Muestral: Sea: A= MENOS MENOS DE DE MESES B= 6 O MÁS MESES A…..AAA
A A
B…..AAB A…..ABA
B
B…..ABB
A…..BAA
A B
B…...BAB A…..BBA
B
B…..BBB
P á g i n a 3 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
Eventos: A= A lo más dos televisores estén dentro los 6 meses de garantía.
A AAA AAA, AAB AAB, ABA ABA, ABB ABB, BAA BAA, BAB BAB, BB BBA
B= Por lo menos un televisor este con 6 o más meses de garantía. B
AA AAB B AB ABA A AB ABB B BAA BAA BAB BAB BB BBA BB BBB ,
,
,
,
,
,
C= Ningún televisor este con menos de 6 meses. C
BB BBB
CALCULO DE PROBABILIDADES: De los siguientes experimentos, calcule las probabilidades: Experimento 1: 1: Un ingeniero planea la compra de 3 niveladoras, para ser utilizadas en un nuevo proyecto, según experiencia previa hay una alta probabilidad de que cada niveladora llegue en perfecto estado operativo al finalizar los 6 meses. Utilice B para denotar el buen estado y utilice M para denotar un mal estado. 1) ¿Calcule la probabilidad de que por lo menos 2 niveladoras estén en buen estado?
A BBB BBB , BBM BBM , BMB BMB , MBB MBB
P A
4 0.50 n 8 n A
n A 4
50%
ó
2) ¿Calcule la probabilidad de que a lo más una de las niveladoras estén en mal estado?
B BBB BBB , BBM BBM , BMB BMB , MBB MBB
P B
4 0.50 n 8 n B
ó
n B 4
50%
Experimento 2: Un 2: Un contratista está dando inicio a dos nuevas obras, existe alguna incertidumbre acerca del tiempo para completar cada obra. En un año cada obra puede llegar: Definitivamente completada (a) Cuestionadamente completada (b) Definitivamente incompleta (c) Donde a, b, c. son notaciones de los sucesos inciertos. 1) Calcular la probabilidad de que a lo más una obra sea terminada en un año.
n A 8
A aa, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc
P A
8 0.889 9 n n A
ó
88.9%
2) Calcular la probabilidad de que dos obras sean cuestionadamente completadas en un año.
n B 1 n B 1 P B 0.111 ó 11.1% n 9 B bb
P á g i n a 4 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
3) Calcular la probabilidad de que por lo menos una obra sea terminada en un año.
nC 5
C aa, ab, ac, ba, ca
P C
5 0.556 n 9 n C
ó 55.6%
CURSO: ESTADÍSTICA ESTADÍS TICA APLICADA
FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIE RÍA
PRACTICA N° 02 TEMA: Cálculo de Probabilidades y uso de propiedades (Algebra de eventos)
1. Un experimento puede resultar en uno o ambos de los eventos A y B con las probabilidades que se muestran en esta tabla de probabilidad:
B
B
C
A
0.34
0.46
0.15
0.05
Encuentre las siguientes probabilidades: a. P A b. P B d. P A B
C
A
e. P A / B
c. P A B f. P B / A
Soluc So lución ión::
a. P A 0.34 0.15 0.49 b. P B 0.34 0.46 0.80 c. P A B 0.34 d. P A B P A P B P A B 0.49 0.80 0.34 0.95 e. P A / B f. P B / A
0.34
0.80
0.425
0.694
0.34
0.49
P á g i n a 5 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
2. Una asociación deportiva realiza un sondeo entre las personas mayores a 6 años respecto de su participación en actividades deportivas. A continuación se presenta el número de participantes en los cinco c inco deportes principales. PARTICIPANTES (En millones) ACTIVIDAD
Hombres B1
A Andar en bicicleta
Mujeres B2
22.2
21.0
25.6
24.3
28.7
57.7
20.4
24.4
26.4
34.4
1
A Acampar 2
A Caminar 3
A Hacer 4
ejercicios
con
aparatos
A Nadar 5
a. b. c. d.
Estime la probabilidad de que una mujer, elegida al azar, participe en cada una de estas actividades deportivas. Estime la probabilidad de que un hombre, elegido en forma aleatoria, participe en andar en bicicleta. Estime la probabilidad de que una persona, elegida en forma aleatoria, haga ejercicio caminando. Suponga que acaba de ver una persona que pasa caminando para hacer ejercicio. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?, ¿de que sea hombre?
Soluc Solución ión::
a. b. c. P A3 d.
86.4
285.1
P B2 / A3
0.303
57.7
86.4
0.668
P B1 / A3
28.7
86.4
0.332
3. En cierta ciudad el 40% de la población prefiere consumir Pulp, el 20% Frugos y el 5% prefieren consumir ambos productos a otros. Se escoge una persona al azar. Halle la probabilidad de que: A) Consuma Pulp o Frugos. B) Consuma solo Pulp, pero no Frugos. C) No consuma Pulp ni Frugos. Sean los eventos: A= PREFIERE PULP B=PREFIERE FRUGOS NO PREFIERE PULP B NO PREFIERE FRUGOS Por dato: A
P á g i n a 6 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
0.40 P B 0.20 P A B 0.05 P A
A
A
a)
Total
B
B
0.05 0.15 0.20
0.35 0.45 0.80
Total 0.40 0.60 1.00
P A P B P A B P A B 0.40 0.20 0.05 0.55 P A B
b)
0.35
0.45
P A B
c) P A B
4. Se seleccionó una muestra de 500 participantes en un área metropolitana para determinar varios aspectos acerca del comportamiento de los consumidores. Se obtuvo la siguiente tabla: Genero DISFRUTA COMPRANDO ARTEFACTOS ELÉCTRICOS A1 SÍ
B1 HOMBRE
B2 MUJER
136
224
A2 NO
104
36
a) ¿Cuáles la probabilidad de una persona no disfrute comprando artefactos eléctricos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer y si disfrute comprando artefactos eléctricos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el participante elegido sea hombre o no disfruta comprando artefactos eléctricos? d) Si se sabe que la persona persona es mujer ¿Cuál es la probabilidad de que no disfrute comprando artefactos artefactos eléctricos? Solución:
a)
P A2
140
500
0.28
b) 224
A1
P B2
A2
P B P A P B
A2
P B2
500
0.448
c)
P B2
1
2
240 500
140
500
1
104
500
A2
484
500
0.968
d) P A2 / B2
36
260
0.139
P á g i n a 7 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
5.- En una empresa de calzado hay 30 trabajadores, de los cuales la tercera parte son mujeres. Si la cuarta parte de los hombres y la mitad de las mujeres no están asegurados, ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionarse un trabajador aleatoriamente este: ASEGURADOS (A (A) Mujeres (M ( M) Hombres (H (H)
NO ASEGURADOS(N ASEGURADOS(N)
5 15 20
5 5 10
TOTAL 10 20 30
TOTAL a. Sea hombre
P H
20
30
0.667
b. Sea mujer o no asegurada(o)
P M P N P M N
P M N
10 30
10
30
5
30
0.50
c. Sea mujer sabiendo que tiene un seguro
P M / A
5
20
0.25
b. Sea hombre sabiendo que no tiene un seguro
P H / N
5
10
0.50
PROBLEMAS DE TEOREMA DE BAYES: 1.
En una fábrica la máquina A produce el 40% de la producción total y la maquina B el 60% restante. Por experiencia se sabe que el 9% de los artículos producidos por la máquina A son defectuosos y el 1% de artículos producidos por la máquina B son defectuosos. a. Si se selecciona en forma aleatoria un artículo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b. Si se selecciona en forma aleatoria un artículo y se observa que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que sea producido por la máquina A? Soluc So lucii ón:
Sean los eventos: A: “El artículo fue producido por la máquina A” B: “El artículo fue producido por la máquina B” D: “El artículo es defectuoso” Además: P ( A)
0.40
P ( B )
0.60
P ( D / A)
0.09
P ( D / B )
0.01 P á g i n a 8 | 13
DPTO. DE CIENCIAS -UPN
a) P ( D)
P
( A) * P ( D / A) P ( B) * P ( D / B )
P ( D)
0.40 * 0.09 0.60 * 0.01
P ( D)
0.042
b.1) P ( A / D)
P ( A) * P ( D / A)
0.40 * 0.09
P ( D)
0.042
0.857
b.2) P ( B / D)
2.
P ( B) * P ( D / B)
P ( D)
0.60 * 0.01
0.042
0.143
En el depósito de almacenamiento de una empresa privada se encuentran 80 toneladas en sacos de 50 kilos de harina de pescado que sirve como alimentación del ganado vacuno. 20 toneladas han sido producidas por la empresa HAYDUK, 35 toneladas por la empresa SIPESA y el resto por la empresa MALABRIGO. Se sabe también que la empresa HAYDUK, produce el 3% de sacos defectuosos, la empresa SIPESA el 5% y la empresa MALABRIGO el 4%. a. Si se selecciona 1 saco de harina de pescado ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? b. Si se selecciona 1 saco de harina de pescado y se encuentra que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la empresa SIPESA? c. Si se selecciona un saco de harina de pescado y se encuentra que NO es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la empresa HAYDUK? Soluc So lución ión::
Obtendremos la producción en sacos: La producción total es de 80 toneladas (1 tonelada=1000 kg.), lo equivalente a 80000 kg, la producción de sacos (peso por saco=50 kg.) por Empresa es la siguiente: Total de Sacos Producidos: 1600 Sacos Empresa HAYDUK Producción: 20 Toneladas (20000 kg.) Sacos Producidos: 400 Sacos Empresa SIPESA Producción: Sacos Producidos:
35 Toneladas (35000 kg.) 700 Sacos
Empresa MALABRIGO Producción: 25 Toneladas (25000 kg.) Sacos Producidos: 500 Sacos
Sean los eventos: A1: “El saco proviene de la l a Empresa HAYDUK”. A2: “El saco proviene de la l a Empresa SIPESA”. P á g i n a 9 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
A3: “El saco proviene de la Empresa MALABRIGO”. D: “El saco producido es defectuoso”. defectuoso”. P ( A1 )
0.25
P ( A2 )
0.438
P ( A3 )
0.313
P ( D / A1 )
0.03
P ( D / A2 )
0.05
P ( D / A3 )
0.04
a) P ( D)
P ( Ai ) * P ( D / Ai )
P ( D)
P ( A1 ) * P ( D / A1 ) P ( A2 ) * P ( D / A2 ) P ( A3 ) * P ( D / A3 )
P ( D)
0.25 * 0.03 0.438 * 0.05 0.313 * 0.04
P ( D)
0.042
b) P ( A2 / D)
P ( A2 ) * P ( D / A2 )
0.438 * 0.05
0.521 0.042 c) Teniendo en cuenta que la probabilidad que sea defectuoso es 0.042, entonces:
P ( D )
Sea el evento D:El artículo no es d efectuoso
042 0.958 958 P D P D 1 P D 1 P D 1 0.042
La probabilidad solicitada es: P A1 / D
P A1
0.25; P D
P A1 P D / A1
P D
, por dato tenemos:
0.958 958,
para hallar P D / A1 , decimos:
0.03........... Por dato P D A 0.03 P D A 0.030.25 0.0075 P A Reemplazando en la probabilidad solicitada:
P D / A1
1
1
1
P D A P D A P D A P A P D A P A1
1
P D A1
P D / A1
1
1
1
1
P A1 / D
0.25 0.0075 0.2425 P D A 0.2425
1
P A1
0.25
P A1 P D / A1
0.250.97 P A / D 1
P D
0.958
0.2531
0.97
P á g i n a 10 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
3.
Una compañía de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de Lima. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el Concejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0,90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad pro babilidad es de solo 0,20. Basándose en la información disponible, se estima que hay una probabilidad de 0,60 que la autopista sea aprobada. Dado que el Centro Comercial fue construido, ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? Soluc So lución ión::
Sean los eventos: A: “Se aprueba la construcción de la autopista. A : ”No se aprueba la construcción de la autopista. B: “Se aprueba la construcción del Centro Comercial” Por dato nos menciona que si el Consejo Municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el Centro Comercial, lo denotamos por: 0.90 P ( B / A) En tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20, los denotamos por: P ( B / A) 0.20 Se estima que una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada, entonces: P ( A) 0.60 , por deducción el que no se aprobada será:
P ( A)
0.40
P ( B A)
P ( A) P ( B A)
P ( B A)
0.20 0.20 * 0.40
0.08 Nos solicitan obtener: Dado que el Centro Comercial fue construido, ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? P ( A / B) ? Primero obtenemos la probabilidad que el Centro Comercial sea construido. P ( B) P ( A) * P ( B / A) P ( A) * P ( B / A)
P ( B)
P ( B)
0.60 * 0.90 0.40 * 0.20
0.62 Ahora reemplazamos los valores: 0.60 * 0.90 P ( A) * P ( B / A) 0.871 P ( A / B) P ( B) 0.62 Por lo que concluimos que la probabilidad de dado de que se construye el edificio comercial, se haya aprobado el proyecto de la autovía es aproximadamente, 0.871
4.
Tres empaquetadoras se emplearon en una juguetería durante el periodo de Navidad. María, que empaqueta 40% de todos los juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio 1 vez en 50; Juana, que empaqueta el P á g i n a 11 | 13
DPTO. DE CIENCIAS -UPN
30% se de todos los juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio una vez en 10, y Elena, que empaqueta el resto de juguetes, se olvida de quitar la etiqueta con el precio 1 vez en 20. Dado que un cliente c liente se quejó de que una etiqueta con el precio no fue quitada de un regalo antes de haber sido empaquetado. a. ¿Cuál es la probabilidad de que se olviden de quitar la etiqueta del precio antes de empaquetar los juguetes? b. ¿Cuál es la probabilidad de que María cometiera el error? Solución:
Sean los eventos: A1
: Los juguetes que empaqueta María.
A2 : Los juguetes que empaqueta Juana. A3 : Los juguetes que empaqueta Elena.
B : No se quitó la
P A P A P A1
2
3
etiqueta de su empaquetado.
P B / A P B / A
0.40
0.30
0.30
P B / A1
0.02
2
3
0.10 0.05
a)
P A P B / A P A P B / A P A P B / A P B 0.400.02 0.300.10 0.300.05 0.053 P B
1
1
2
2
3
3
b)
P A1 / B
P B
P A1 P B / A1
0.400.02
0.053
0.151
5. En un proceso de producción el porcentaje de objetos no defectuosos fabricados es 70% con probabilidad 0,35; 90% con probabilidad 0,25 y 60% con co n probabilidad 0,40. Si se selecciona al azar uno de tales objetos 5.1.- Calcule la probabilidad de que sea defectuoso. 5.2.- Si resulta no defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de calidad del 90%. Solución:
Por dato: B=El objeto no es defectuoso.
0.35 P A 0.25 P A 0.40 P A1
0.70 P B / A 0.90 P B / A 0.60
P B / A1
2
3
2
3
P á g i n a 12 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
5.1.-
P A P D / A P A P D / A P A P D / A P D 0.350.70 0.250.90 0.400.60 0.71 P D
1
1
2
2
3
3
5.2.-
P A2 / B
P B
P A2 P B / A2
0.250.90
0.71
0.317
P á g i n a 13 | 13 DPTO. DE CIENCIAS -UPN
