Solución Consolidación unidimensional

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO Programa de maestría y doctorado en ingeniería Maestría en Ingeniería Civil Campo de conocimiento: Geotecnia

Asignatura: Matemáticas aplicadas Profesores: M.I. Roberto Magaña del Toro M.I. Armando Rafael Hermosillo Arteaga Alumnos: Espinoza Vázquez, Jesús Antonio Forero Buitrago, Diego Fernando Lerma Tirado, César Ramírez de Arellano De la Peña, Carlos Alfonso

México D.F. a 05 de enero de 2015

Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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ÍNDICE DE CONTENIDO Página 1. INTRODUCCIÓN ...................... ................................................ ................................................... ............................................... ...................... 4 2. OBJETIVO ....................... ................................................. .................................................... .................................................... .............................. .... 5 3. ANTECEDENTES ...................... ................................................ ................................................... ............................................... ...................... 5 4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIÓN .............................................. .............................................. 7 5. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONSOLIDACIÓN UNIDIMENSIONAL .......................... .................................................... ................................................... ............................................... ...................... 9 6. PRUEBA DE CONSOLIDACIÓN ....................................................................... ...................................................................... 13 7. CÁLCULO DE LOS ASENTAMIENTOS ............................................................. ............................................................. 15 a. MÉTODO DE CASAGRANDE: .................................................................... ......................................................................... ...... 17 b. METODO DE TAYLOR ....................... ................................................. ................................................... .................................... ........... 19 8. PROGRAMACIÓN EN FORTRAN ........................ ................................................. ............................................. .................... 20 9. RESULTADOS .......................... .................................................... ................................................... ............................................. .................... 24 10. CONCLUSIONES. ................................................................ ......................................................................................... ............................ ... 41 11. REFERENCIAS ......................... ................................................... ................................................... ............................................. .................... 42


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ÍNDICE DE IMÁGENES Página Imagen 1. Analogía hidromécanica de Terzaghi (Díaz-Rodríguez, 2014) ................... 5 Imagen 2. Distribución de presiones en un estrato de suelo homogéneo y compresible (González de Vallejo, 2002). ...................... ............................................... ........................................... .................. 6 Imagen 3. Distribución de presiones en los tiempos

t y t  dt en un elemento de

volumen sujeto a consolidación (Juárez Badillo, 2010). ...................... ............................................ ...................... 7 Imagen 4. Esquema de un consolidómetro y la celda odométrica que contiene el espécimen de suelo (Díaz – Rodríguez, 2014 y González de Vallejo, 2002). ........... ........... 14 Imagen 5. Esquema para el cálculo de asentamientos (Díaz-Rodríguez, 2014). ...... ...... 15 Imagen 6. Curva de compresibilidad, (Fuente propia, 2014). .................................. .................................. 16 Imagen 7. Método de Casagrande para determinar Cv, (tomado de: http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html) ......................... ......................................... ................ 18 Imagen

8.

Método

de

Taylor

para

determinar

Cv

(tomado

de:

http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html) ......................... ......................................... ................ 19 Imagen 9. Diagrama de flujo......................... .................................................. .................................................... ................................ ...... 22 Imagen 10. Introducción de datos con las filas descritas anteriormente: NUMITE, PRPOINI, PRPOFIN, DELTAT, COECON, HALT y TOLER. ....................... ....................................... ................ 25 Imagen 11. Resultados de la variación de la presión de poro respecto al tiempo. ... ... 27 Imagen 12. Ejemplo de importación de datos en Excel. .................. ......................................... ........................ 28


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Una de las problemáticas a las que frecuentemente frecuentemente se enfrenta la ingeniería de cimentaciones es la que respecta a los asentamientos, cuyos métodos de análisis se enfocan en predecir la magnitud y el tiempo en el que ocurrirán los mismos. Actualmente pese a las diversas herramientas que existen para realizar un análisis más detallado de las teorías establecidas, muchas estructuras presentan desplomes a causa de asentamientos diferenciales que muchas de las veces son producto de una errónea conceptualización de los fenómenos que se llevan a cabo en el suelo, entre los que destacan la consolidación. La consolidación de los suelos es un fenómeno característico de los suelos finos saturados, que se da debido a un cambio en el estado de esfuerzos que gobierna la masa del suelo producto de la variación de las condiciones de carga a las que estará sometido, tal es caso del incremento de carga que induce la construcción de un edificio o el abatimiento del nivel freático que requeriría una excavación para trabajar sin presencia de agua. El fenómeno de consolidación se caracteriza por una reducción gradual del volumen en el espesor del estrato en estudio debido a que se genera una expulsión de agua. La velocidad de asentamiento producto del cambio de volumen depende de la permeabilidad del suelo y de sus condiciones de drenaje. Por lo tanto el objetivo de este trabajo es presentar los elementos necesarios para estudiar dicho fenómeno, el cual, por su complejidad se limitara a desarrollar lo relacionado con la Teoría de Consolidación Primaria de Terzaghi enfocándose a deducir la solución matemática de la ecuación diferencial que rige este fenómeno, por medio de un método numérico.


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Presentar una solución de la ecuación diferencial de consolidación para el cálculo de isócronas mediante el lenguaje de programación FORTRAN, utilizando el programa de clase de resolución de ecuaciones en derivadas parciales de tipo parabólico y graficando los resultados en una hoja de cálculo de EXCEL .

El primero en estudiar el fenómeno de la consolidación fue el ingeniero Karl Von Terzaghi, quien presentó su teoría en 1925 basándose en un modelo reológico elaborado por Kelvin, el cual consistía en un resorte de elasticidad lineal y un amortiguador de viscosidad lineal. En dicho modelo el resorte representaba la estructura del suelo y el amortiguador al agua presente en los poros de suelo, dicha analogía se le conoce como la analogía hidrodinámica de Terzaghi (Imagen 1)

Imagen 1. Analogía hidromécanica de Terzaghi (Díaz-Rodríguez, 2014)

Según el modelo, cuando se aplica una carga, quien la asume inicialmente es el agua, esto genera un exceso de presión la cual se trata de disipar con la expulsión Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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de agua, cuando el agua comienza a fluir, la presión empieza a ser asumida por el resorte, la velocidad con la cual se da este intercambio de esfuerzos depende de la velocidad de salida del agua, es decir del diámetro de la válvula de salida, si esta es muy pequeña la disipación del exceso de presión puede tardar mucho tiempo, finalmente cuando la presión en el agua vuelve a ser nula toda la carga es asumida por el resorte y la magnitud de la deformación depende de la rigidez del mismo. Trasladando esta analogía al suelo, quien recibe la carga inicialmente es el agua contenida en los poros, el resorte es representado por la estructura intergranular del suelo y la válvula por donde escapa el agua la representa el coeficiente de permeabilidad, como se sabe la permeabilidad está ligada al diámetro de las partículas, por tal razón entre más grande es el diámetro de la partícula más rápido se disipa el exceso de presión, por tal razón se podría considerar que la permeabilidad es un proceso que se produce únicamente en los suelos finos. De los párrafos anteriores se desprende que la presión en una masa de suelo sometida a una carga no presenta una presión de poro uniforme y que esta depende de la profundidad y del tiempo en el cual se quiera conocer su valor, así mismo el valor del asentamiento total dependerá del tiempo transcurrido.

Imagen 2. Distribución de presiones en un estrato de suelo homogéneo y compresible (González de Vallejo, 2002).


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Considerando un elemento diferencial de volumen del estrato deformable con espesor

 y área unitaria imagen 3.

t t  dt en un elemento de volumen sujeto a consolidación

Imagen 3. Distribución de presiones en los tiempos y

(Juárez Badillo, 2010).

Sea u la presión del agua en exceso de la hidrostática; en la situación indicada por el punto 1 (tiempo t y profundidad z).

 =  El punto 2 representa la presión en el mismo tiempo, pero a una profundidad

  ,

por lo tanto:

 =      El punto 3 representa la presión a la misma profundidad que 1, pero en un tiempo

  : 3 =      Finalmente, el punto 4 representa una presión que varía en un tiempo profundidad

, respecto a la presión en 1.  [   ] 4 =        


 y en una

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Por definición, el gradiente hidráulico es la pérdida de carga por unidad de longitud. Entonces, en 1 el gradiente hidráulico será:

 = 1   Análogamente, el gradiente hidráulico en 2, representativo del existente en la cara inferior del elemento en tiempo t, será:

 = 1       Aplicando la ley de Darcy, en el elemento diferencial, la cantidad neta de agua que sale estará dada por:

   ∆ = −     Análogamente el delta de volumen en función del cambio en la relación de vacíos y el coeficiente de compresibilidad es igual a:

∆ = 1   ̅  Recordando que el sentido matemático del coeficiente de compresibilidad representa la pendiente de la curva de compresibilidad, en escala natural, en el punto de que se trate. El valor de

 depende de la presión actuante y no es una

constante. Por otra parte el cambio en los esfuerzos efectivos

̅

partiendo de la ecuación

fundamental de los suelos saturados, se obtiene que es proporcional al cambio en la presión de agua.

̅ = − = −    Por tanto el cambio de volumen ΔV queda definido por: Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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∆ = − 1      Igualando las ecuaciones de cambio de volumen se tiene:

   −     = − 1      De donde:

1    =       Cuya ecuación establece la relación entre la presión en exceso de la hidrostática, u, la profundidad y el tiempo. Esta ecuación permite conocer la distribución de presiones en el suelo durante un proceso de consolidación unidimensional, con flujo vertical. La ecuación se conoce con el nombre de ecuación diferencial del proceso de consolidación unidimensional con flujo vertical. Para presentar de una forma más compacta dicha ecuación se define el coeficiente de consolidación:

 = 1        = 

Partiendo de la ecuación diferencial básica de la teoría de consolidación de Terzaghi (Das, 2008):


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 =     

… (1)

Se realizan los siguientes cambios de variable: 

Parámetro de exceso de presión de poro adimensional:

 =  

Parámetro de tiempo adimensional:

 ̅ =  

… (2)

… (3)

Parámetro de profundidad adimensional:

̅ = 

… (4)

Tomando las ecuaciones (2), (3) y el miembro izquierdo de la ecuación (1) se tiene:

 =      ̅

… (5)

De manera semejante, de las ecuaciones (2) y (3) y ahora el lado derecho de la ecuación (1):

          =   ̅ 

… (6)

Igualando las ecuaciones (5) y (6):

Simplificando el término

 :

  =      ̅  ̅  1  =     ̅  ̅ 

... (7)

Adoptando el tiempo de referencia de tal manera que

 =  entonces la ecuación

(7) será:


10

 =   ̅ ̅ 

... (8)

El miembro izquierdo de la ecuación (8) puede expresarse como:

 = 1 (, +∆ − , )  ̅ ∆ ̅ ̅ ̅ ̅

... (9)

, ̅ y , ̅+∆ ̅ son las presiones de poro adimensionales en el punto cero (ver figura) a los tiempos adimensionales  y   ∆ . Escribiendo:  = 1 (,  3, − 2, ) … (10) ̅ ̅  ∆̅  ̅ ̅ donde

Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (9) y (10):

Reacomodando:

1 (, +∆ − , ) = 1 (,  3, − 2, ) ̅ ∆ ̅ ̅ ̅ ̅ ∆̅  ̅ ̅ , ̅+∆ ̅ = ∆̅∆ ̅ (, ̅  3, ̅ − 2 , ̅), ̅

Para que la ecuación (11) converja,

que ∆∆ ̅ ̅

< 0.5

… (11)

∆ ̅ y ∆̅ deberán ser escogidos de tal manera

Cuando se está calculando la presión de poro en la interfaz de un estrato arcilloso y un estrato impermeable la ecuación (11) puede ser usada. Sin embargo, se necesita tomar al punto 3 como espejo del punto 1 (ver figura siguiente). Así,

, ̅ = 3, ̅ ,

entonces la ecuación (11) se convierte:

, ̅+∆ ̅ = ∆̅∆ ̅ (2, ̅ − 2, ̅), ̅

… (12)


11

En suelos estratificados hay diversas variables involucradas como los coeficientes de permeabilidad, los espesores de estratos y los diferentes valores del coeficiente de consolidación. Al momento de involucrar el exceso de presión de poro en la interfaz de dos diferentes suelos (dos estratos de suelos arcillosos, por ejemplo), la ecuación (11) deberá ser modificada. Cambio en el volumen:

  =    Diferencia en la tasa de flujo:

   Se puede escribir:

  1      = 2 [∆  ∆]2 ,  2 3, − 2, 

… (13)

 y  son los coeficientes de permeabilidad en los estratos 1 y 2 respectivamente y , , , y 3, son los excesos de presión de poro al tiempo  Donde

para los puntos 1, 2 y 3 respectivamente. También, el promedio del cambio de volumen para un elemento en la frontera está expresado mediante:

  = 1      1 (,+∆ − , )   2   ∆

… (14)

, y ,+∆ son los excesos de presión de poro en el punto 0 a los tiempos  y   ∆ , respectivamente. Igualando los miembros derechos de las ecuaciones (13) Donde

y (14) se tiene:

1    2 ,  2 3, − 2,      1∆ (,+∆ − , ) = ∆        Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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O bien:

,+∆ = ∆∆    2 ,  2 3, − 2,   ,    O bien:

  1  ∆   ,+∆ = ∆   2 ,  2 3, − 2,   , 1   

… (15)

 =  y combinando las ecuaciones (2), (4) y (15), se tiene: 

Finalmente asumiendo  

1   ∆ ̅ 2 , ̅+∆ ̅ =   ∆̅     , ̅  2 3, ̅ − 2, ̅   , ̅ 1  

… (16)

La prueba de consolidación surgió de la necesidad de conocer los asentamientos que sufriría un suelo fino saturado debido al incremento de carga que generaría la construcción de una estructura sobre este, ensayando una muestra representativa del material bajo condiciones controladas. Para llevar a cabo la prueba se toma una muestra de suelo inalterado y dentro de un anillo metálico se labra un cilindro de 63.5 milímetros de diámetro y 24.5 milímetros de altura, luego se lleva este anillo con la muestra de suelo en su interior y se coloca sobre un consolidometro, el cual consta de un micrómetro que registra la Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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deformación de la muestra durante la prueba, un marco de carga que aplica las cargas sobre la muestra, un brazo de palanca que multiplica la carga aplicada, un tornillo de apoyo, un contrapeso, un recipiente donde se ubica el anillo el cual permite sumergir la muestra con el fin de garantizar la saturación durante toda la prueba. Luego de que la muestra está montada en el consolidometro se procede a la realización de la prueba que consiste en la aplicación de incrementos de carga sobre el brazo de palanca, cada una de estas cargas se mantiene durante 24 horas según la norma ASTM D 24 35 y se registran lecturas de deformación vs tiempo a ciertos tiempo determinados por la misma norma, si se posee un equipo instrumentado se pueden obtener todos los datos que sean necesarios. Después de transcurrido este tiempo se procede a incrementar la caga, por lo general la nueva carga es el doble de la anterior.

Imagen 4. Esquema de un consolidómetro y la celda odométrica que contiene el espécimen de suelo (Díaz – Rodríguez, 2014 y González de Vallejo, 2002).


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Para conocer el asentamiento por consolidación primaria que sufrirá un estrato de suelo se deben conocer ciertos valores que son propios de cada tipo de suelo, el cálculo del asentamiento se realiza con la ecuación que se extrae de la siguiente imagen.

Imagen 5. Esquema para el cálculo de asentamientos (Díaz-Rodríguez, 2014).

De la imagen:

1 =    Despejando:

 = 1  ∗  De esta ecuación se puede obtener el asentamiento producido por un incremento de carga en un estrato de suelo de espesor H conociendo la relación de vacíos inicial de campo y el cambio en la relación de vacíos producido por la carga. El inconveniente con esta ecuación es que no se conoce el cambio de la relación de vacíos, por tal razón se utiliza la prueba de consolidación De la prueba la curva de compresibilidad, esta curva presenta los resultados de la relación de vacíos final para diferentes incrementos de carga. Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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Cc 1

Imagen 6. Curva de compresibilidad, (Fuente propia, 2014).

La gráfica de compresibilidad se puede expresar en escala aritmética y en escala logarítmica, para la segunda representación se obtienen dos tramos muy bien definidos, el tramo de recompresión y el tramo virgen, cada uno de estos tramos se presenta con línea recta de la cual se puede obtener la pendiente. Conociendo los valores de incremento de carga y la pendiente de las curvas se puede obtener la variación de la relación de vacíos con lo que se puede calcular el asentamiento.

 =  ∗ log[ ] Por tanto:

 = 1  ∗  ∗ log[ ]


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Esta ecuación brinda el valor total del asentamiento sufrido en un estrato de suelo para cuando ya se ha terminado la consolidación primaria, pero como ya se mencionó antes, este proceso puede tardar mucho tiempo y por tal razón es necesario conocer la magnitud del asentamiento del suelo en diferentes tiempos, para esto y basándose en la teoría de Terzaghi, la cual dice que el porcentaje de consolidación depende de un factor tiempo Tv, Casagrande y Taylor idearon dos métodos alternativos para determinar el coeficiente de consolidación Cv el cual permite el obtener del factor tiempo Tv, basándose en las gráficas de consolidación que se obtienen durante la prueba de consolidación



Se toman los datos de deformación y tiempo que se obtienen de la prueba de consolidación para cada carga aplicada y se ubican en un gráfico semilogarítmico, donde en el eje de las abscisas se ubica el logaritmo del tiempo y en las ordenadas la deformación.



Se toma un valor de tiempo (1) en la primera parte recta de la curva y se proyecta hasta que corta la gráfica y se registra el valor de la deformación para ese tiempo



Se multiplica por cuatro el tiempo 1 y se proyecta este valor hasta la gráfica (2)



Se calcula la diferencia de deformaciones entre los puntos (1) y (2).



Se toma este valor y se le resta a la deformación del punto (1) y se registra el valor de deformación resultante, el cual es correspondiente a la deformación inicial de la prueba (3)



Luego se trazan dos rectas una que proyecte la parte recta del centro de la curva y otra que proyecte los valores de la parte final, y se hacen cortar estas dos rectas, el punto de intersección es el correspondiente al final de la consolidación primaria, se registra el valor de la deformación (4). Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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Se resta el valor de la deformación final y el de la deformación inicial y se



divide en dos (5), luego se busca el valor correspondiente de tiempo para esa deformación y allí se encuentra el tiempo igual al cincuenta por ciento de la consolidación (6). Finalmente se calcula el coeficiente de consolidación con la siguiente



ecuación

  ∗   = 50 Donde: Cv

= Coeficiente de consolidación

Tv =

Factor tiempo para el 50% de la consolidación

t50 =

tiempo correspondiente al 50% de la consolidación = 0.197

= Altura de drenaje del estrato de suelo

2

H

Imagen 7. Método de Casagrande para determinar Cv, (tomado de: http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html) Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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

Se toman los datos de deformación y tiempo de la prueba de consolidación para un ciclo de carga, y se grafican en escala aritmética los valores de la raíz del tiempo en el eje de las abscisas y en el eje de las ordenadas las deformación.



Se ubica la zona recta del inicio de la gráfica y se traza una línea recta que se proyecta hasta un poco más abajo del valor máximo de la deformación (1)



Se mide el tiempo desde el cero hasta la proyección de la recta (2)



Se multiplica este valor por 1.15 (3) y se une el punto obtenido con el punto inicial 0´



Se ubica el valor de tiempo en el cual la línea (4) corta la gráfica, luego se determina el tiempo t para ese punto (5), este valor es el del 90 % de la consolidación



Se calcula el valor del coeficiente de consolidación con la misma ecuación que para el método de Casagrande, solo que cambia el factor tiempo para el del 90% de la consolidación.

Imagen 8. Método de Taylor para determinar Cv (tomado de: http://dc335.4shared.com/doc/4uxRxnhq/preview.html)


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  ∗   = 50 Donde: = Coeficiente de consolidación Tv = Factor tiempo para el 90% de la consolidación= 0.848 t50 = tiempo correspondiente al 50% de la consolidación H = Altura de drenaje del estrato de suelo Cv

2

La programación se realizó en Microsoft Developer Studio con Fortran PowerStation 4.0. Dentro del código se han escrito instrucciones para que el programa lea un archivo de ingreso de datos llamado DATOS.txt y para que el mismo programa escriba los resultados en otro archivo de texto denominado RESULTADO.txt. Para ejecutar el programa se debe ingresar la información en el archivo de texto DATOS.txt donde se capturarán 2 renglones con 7 filas de información. Fila a fila, la información capturada es la siguiente: 

Fila 1: NUMITE. Es el número de columnas que va a arrojar el programa.



Fila 2: PRPOINI. Esta fila contiene el valor de la presión de poro inicial que va a tener el problema que se está ingresando.



Fila 3: PRPOFIN. Esta fila es el valor de la presión de poro final que va a tener el problema que se está ingresando.



Fila 4: DELTAT. Este es el valor en el cual cambio su factor de tiempo, entre menor sea este valor más iteración tendrá el resultado y consecuentemente mayor exactitud.



Fila 5: COECON. Valor del coeficiente de consolidación del problema que se quiere solucionar.



Fila 6: HALT. Este valor es el espesor efectivo. Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

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

Fila 7: TOLER. Se introduce un valor de tolerancia entre los resultados.

Con este programa se podrá obtener los resultados de la variación de la presión de poro con el tiempo para un estrato de suelo conocido su espesor efectivo y su coeficiente de consolidación. El diagrama de flujo se muestra a continuación.


21

Imagen 9. Diagrama de flujo.


22

En las siguientes figuras se muestra el código en FORTRAN.


23

A continuación se presentan los resultados obtenidos en el programa. Se muestran las pantallas de los archivos de texto DATOS.txt y RESULTADO.txt así como la importación a Excel como archivo de datos para su posterior graficación.


24

Imagen 10. Introducción de datos con las filas descritas anteriormente: NUMITE, PRPOINI, PRPOFIN, DELTAT, COECON, HALT y TOLER.


25


26

Imagen 11. Resultados de la variación de la presión de poro respecto al tiempo.


27

0 5

Datos entregados porel programa 5 5 5 5 5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 5

5 5 5 4 .9548

5 5 4 .783 4.5298

5 3.9583 3.3507 2.951

2 .5 0 2 .6 65 1 4 .2 89 4 4 .8 75 7 4 .9 90 6

5

5

5

3 0 2 .4 48 3 4 .0 73 2 4 .7 77 5 4 .9 68 6 4. 99 8 5 3.5 0 2.2768 3.8814 4.6706 4.9349 4.9923 4.9996

0.5 1 1.5 2

0 5 5 5 0 3.9583 5 5 0 3.3507 4.783 5 0 2.951 4.5298 4.9548

5

5

5

4 . 99 06

4 .8 75 7

4 .2 89 4

2 .6 65 1

5 5

5 5

5 4.9996

4 .9 98 4.9923

4 .9 68 6 4.9349

4 .7 77 5 4.6706

40 . 73 2 3.8814

2 .4 48 3 2.2768

4 0 2.1 367 3.7115 4.5612 4.8918 4.9819 4.9982 4.9998 4.5 0 2.0197 3.5604 4.4531 4.8 417 4.9665 4.9951 4.9 991 5 0 1.9 199 3.4 254 4.3481 4.7867 4.9465 4.99 4.9975

4.9998 4.9991 4.9975

4.9982 4.9951 4.99

4.9819 4.9665 4.9465

4.8918 4.8417 4.7867

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4.9825 4.9724 4.9597 4.9444

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4.4336 4.395 4.3561 4.317

4.341 4.3017 4.2623 4.2228

4.0598 4.0192 3.9788 3.9387

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4.002 3.9629 3.924 3.8852

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1.2009 1.1883 1.1758 1.1634

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0.9043 0.8949 0.8855 0.8763

0.7212 0.7136 0.7062 0.6988

0.5019 0.4966 0.4914 0.4863

0.2574 0.2547 0.252 0.2494

83.5 0 84 0 84.5 0 85 0

0.2468 0.2442 0.2417 0.2391

0.4812 0.6 915 0.8671 0.9992 1.0813 0.4762 0.6 843 0.858 0.9888 1.07 0.4712 0.6771 0.8 491 0.9785 1.0588 0.4663 0.67 0.8402 0.9682 1.0 477

1.1 091 1.0975 1.086 1.0747

1.1091 1.0975 1.086 1.0747

1.0813 1.07 1.0588 1.0477

0.9992 0.9888 0.9785 0.9682

0.8671 0.858 0.8491 0.8402

0.6915 0.6843 0.6771 0.67

0.4812 0.4762 0.4712 0.4663

0.2468 0.2442 0.2417 0.2391

85.5 0 0.2366 0.4614 0.663 0.8314 0.9581 1.0368 1.0 634 86 0 0.2342 0.4566 0.6561 0.8 227 0.9481 1.026 1.0 523 86.5 0 0.2317 0.4518 0.6 493 0.8142 0.9382 1.0152 1.0 413

1.0634 1.0523 1.0413

1.0368 1.026 1.0152

0.9581 0.9481 0.9382

0.8314 0.8227 0.8142

0.663 0.6561 0.6493

0.4614 0.4566 0.4518

0.2366 0.2342 0.2317

87 0 87.5 0 88 0 88.5 0

1.0305 1.0197 1.009 0.9985

1.0046 0.9941 0.9837 0.9735

0.9284 0.9187 0.9091 0.8996

0.8056 0.7972 0.7889 0.7807

0.6425 0.6358 0.6291 0.6226

0.4471 0.4424 0.4378 0.4332

0.2293 0.2269 0.2245 0.2222

0.5095 0.5042 0.4989 0.4937

0.3109 0.3077 0.3045 0.3013

0.9934 0.983 0.9727 0.9625

0.7324 0.7248 0.7172 0.7097

0.6063 0.5999 0.5937 0.5875

74.5 0 0.2981 0.5813 75 0 0.295 0.5753 75.5 0 0.2919 0.5693 76 0 0.2889 0.5633

0.2293 0.2269 0.2245 0.2222

0.4471 0.4424 0.4378 0.4332

1.4274 1.4124 1.3977 1.3 831

1.9263 1.9062 1.8863 1.8 665

1.7897 1.771 1.7525 1.7342

1.6628 1.6455 1.6283 1.6113

2.2196 2.1964 2.1 735 2.1508

2.0623 2.0408 2.0195 1.9984

1.0 525 1.3198 1.5209 1.0415 1.306 1.505 1.0306 1.2 924 1.4893 1.0199 1.2789 1.4737

0.8 712 0.8621 0.8531 0.8 442

1.0925 1.0811 1.0 698 1.0 586

0.8 354 1.0475 0.8267 1.0366 0.818 1.0258 0.8095 1.015

0.7 212 0.7136 0.7062 0.6988

0.6425 0.6 358 0.6291 0.6 226

0.9733 0.9 631 0.9 531 0.9 431

0.9043 0.8949 0.8855 0.8763

0.8056 0.7972 0.7 889 0.7807

1.1216 1.1099 1.0 983 1.0868

1.0421 1.0312 1.0204 1.0098

0.9284 0.9187 0.9091 0.8996

2.4016 2.3765 2.3517 2.3272

2.2315 2.2 082 2.1851 2.1623

1.7713 1.7528 1.7345 1.7163

1.6457 1.6 285 1.6115 1.5947

1.3062 1.2926 1.2791 1.2657

1.2137 1.201 1.1 884 1.176

1.0046 0.9941 0.9837 0.9735

1.0305 1.0 197 1.009 0.9 985

Imagen 12. Ejemplo de importación de datos en Excel. Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

28

Así entonces se hicieron las siguientes pruebas cambiando las variables del problema resultando en las siguientes isócronas. Prueba # 1 0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00 1 5 10 20 30 50 90

3 13 26 52 78 129 232

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2.56 1.27 0.89 0.53 0.33 0.12 0.02

4.18 2.41 1.72 1.04 0.64 0.24 0.03

4.82 3.34 2.47 1.49 0.91 0.35 0.05

4.98 4.02 3.07 1.87 1.15 0.44 0.06

5.00 4.45 3.52 2.16 1.32 0.50 0.07

5.00 4.69 3.80 2.34 1.43 0.55 0.08

5.00 4.77 3.89 2.40 1.47 0.56 0.08

5.00 4.77 3.89 2.40 1.47 0.56 0.08

5.00 4.69 3.80 2.34 1.43 0.55 0.08

5.00 4.45 3.52 2.16 1.32 0.50 0.07

4.98 4.02 3.07 1.87 1.15 0.44 0.06

4.82 3.34 2.47 1.49 0.91 0.35 0.05

4.18 2.41 1.72 1.04 0.64 0.24 0.03

2.56 1.27 0.89 0.53 0.33 0.12 0.02

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4.50

5.00

Isócronas de presión de poro para la prueba 1

Presión de poro inicial Cv Delta de tiempo Altura total del estrato Altura de drenaje Número de divisiones Separación

5 0.1 0.5 8 4 15 0.5333

0.00 -1.00

) -2.00 m ( d -3.00 a d i d -4.00 n u -5.00 f o r P -6.00 -7.00 -8.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00 2

Valores de la presión de poro para diferentes tiempos (t/m )


29

Prueba # 2 0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00 1 5 10 20 30 50 90

2 6 11 21 31 52 93

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


1.99 1.18 0.87 0.53 0.33 0.12 0.02

3.76 2.29 1.69 1.04 0.64 0.24 0.03

5 0.25 0.5 8 4 15 0.5333

4.49 3.18 2.41 1.49 0.93 0.34 0.05

5.00 3.90 3.02 1.87 1.16 0.43 0.06

5.00 4.35 3.46 2.15 1.34 0.49 0.07

5.00 4.64 3.74 2.33 1.45 0.53 0.08

5.00 4.70 3.83 2.39 1.49 0.55 0.08

5.00 4.70 3.83 2.39 1.49 0.55 0.08

5.00 4.64 3.74 2.33 1.45 0.53 0.08

5.00 4.35 3.46 2.15 1.34 0.49 0.07

5.00 3.90 3.02 1.87 1.16 0.43 0.06

4.49 3.18 2.41 1.49 0.93 0.34 0.05

3.76 2.29 1.69 1.04 0.64 0.24 0.03

1.99 1.18 0.87 0.53 0.33 0.12 0.02

Isócronas de presión de poro para la prueba 2 1 0.00 -1.00

) -2.00 m ( d-3.00 a d i d-4.00 n u-5.00 f o r P-6.00 -7.00 -8.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

Valores Valoresde dela lapresión presiónde deporo poropara paradiferentes diferentestiempos tiempos(tn/m (t/m22))


30

4.50

5.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Prueba # 3 0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00 1 5 10 20 30 50 90

6 29 58 116 174 290 522

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2.66 1.27 0.89 0.54 0.33 0.12 0.02

4.23 2.41 1.73 1.05 0.64 0.24 0.03

4.82 3.34 2.47 1.50 0.92 0.35 0.05

4.97 4.01 3.07 1.88 1.16 0.44 0.06

5.00 4.44 3.52 2.17 1.34 0.51 0.07

5.00 4.68 3.80 2.35 1.45 0.55 0.08

5.00 4.75 3.89 2.41 1.48 0.56 0.08

5.00 4.75 3.89 2.41 1.48 0.56 0.08

5.00 4.68 3.80 2.35 1.45 0.55 0.08

5.00 4.44 3.52 2.17 1.34 0.51 0.07

4.97 4.01 3.07 1.88 1.16 0.44 0.06

4.82 3.34 2.47 1.50 0.92 0.35 0.05

4.23 2.41 1.73 1.05 0.64 0.24 0.03

2.66 1.27 0.89 0.54 0.33 0.12 0.02



5 0.1 0.5 12 6 15 0.8

0.00 -2.00

) m -4.00 ( d a d i d -6.00 n u f -8.00 o r P -10.00 -12.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

Valores de la presión de poro para diferentes tiempos


31

(t/m2)

4.50

5.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Prueba # 4

1 5 10 20 30 50 90

3 12 24 47 70 116 209

0.00

-0.80

-1.60

-2.40

-3.20

-4.00

-4.80

-5.60

-6.40

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

2.45 1.25 0.88 0.53 0.33 0.12 0.02

4.07 2.38 1.70 1.04 0.64 0.24 0.03

4.78 3.31 2.43 1.49 0.92 0.35 0.05

4.97 3.99 3.04 1.87 1.15 0.44 0.06

5.00 4.43 3.48 2.15 1.33 0.50 0.07

5.00 4.68 3.75 2.33 1.44 0.55 0.08

5.00 4.75 3.85 2.39 1.47 0.56 0.08

5.00 4.75 3.85 2.39 1.47 0.56 0.08


5 0.25 0.5 12 6 15 0.8

-7.20 5.00 4.68 3.75 2.33 1.44 0.55 0.08

-8.00

-8.80

5.00 4.43 3.48 2.15 1.33 0.50 0.07

-9.60

4.97 3.99 3.04 1.87 1.15 0.44 0.06

-10.40

-11.20

-12.00

4.07 2.38 1.70 1.04 0.64 0.24 0.03

2.45 1.25 0.88 0.53 0.33 0.12 0.02

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4.78 3.31 2.43 1.49 0.92 0.35 0.05

Isócronas de presión de poro para la prueba 4 0.00 -2.00

) m -4.00 ( d a d i d -6.00 n u f -8.00 o r P -10.00 -12.00 0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00



32

(t/m2)

4.50

5.00

Prueba # 5 0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00 1 5 10 20 30 50 90

3 15 30 59 89 147 265

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

5.13 2.36 1.63 0.93 0.53 0.18 0.02


8.37 4.52 3.18 1.82 1.03 0.35 0.04

9.65 6.32 4.55 2.62 1.49 0.50 0.05

10 0.1 0.5 8 4 15 0.5333

9.96 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 9.96 7.68 8.61 9.13 9.30 9.30 9.13 8.61 7.68 5.69 6.54 7.06 7.24 7.24 7.06 6.54 5.69 3.28 3.78 4.09 4.20 4.20 4.09 3.78 3.28 1.86 2.15 2.32 2.38 2.38 2.32 2.15 1.86 0.62 0.72 0.78 0.80 0.80 0.78 0.72 0.62 0.07 0.08 0.08 0.09 0.09 0.08 0.08 0.07

9.65 6.32 4.55 2.62 1.49 0.50 0.05

8.37 4.52 3.18 1.82 1.03 0.35 0.04

5.13 2.36 1.63 0.93 0.53 0.18 0.02


) -2.00 m ( d-3.00 a d i d-4.00 n u-5.00 f o r P-6.00 -7.00 -8.00 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Valores de la presión de poro par a diferentes tiempos


33

(t/m2)

9.00

10.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Prueba # 6 0.00 -0.53 -1.07 -1.60 -2.13 -2.67 -3.20 -3.73 -4.27 -4.80 -5.33 -5.87 -6.40 -6.93 -7.47 -8.00 1 5 10 20 30 50 90

2 6 12 24 36 59 106

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

3.97 2.37 1.64 0.92 0.52 0.17 0.02

7.53 4.57 3.21 1.80 1.02 0.34 0.04

8.97 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 8.97 6.36 7.80 8.70 9.28 9.41 9.41 9.28 8.70 7.80 6.36 4.59 5.75 6.60 7.14 7.31 7.31 7.14 6.60 5.75 4.59 2.58 3.24 3.73 4.04 4.15 4.15 4.04 3.73 3.24 2.58 1.46 1.83 2.11 2.28 2.34 2.34 2.28 2.11 1.83 1.46 0.49 0.61 0.71 0.76 0.78 0.78 0.76 0.71 0.61 0.49 0.05 0.07 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.07 0.05

7.53 4.57 3.21 1.80 1.02 0.34 0.04

3.97 2.37 1.64 0.92 0.52 0.17 0.02



10 0.25 0.5 8 4 15 0.5333

0.00 -1.00

) -2.00 m ( d-3.00 a d i d-4.00 n u-5.00 f o r P-6.00 -7.00 -8.00 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

Valores de la presión de poro par a diferentes tiempos


34

(t/m2)

9.00

10.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Prueba # 7 0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00 1 5 10 20 30 50 90

7 34 67 133 199 331 596

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4.97 2.35 1.64 0.93 0.54 0.18 0.02


8.13 4.49 3.18 1.81 1.04 0.35 0.04

10 0.1 0.5 12 6 15 0.8

9.49 6.28 4.56 2.61 1.50 0.50 0.05

9.89 7.63 5.69 3.27 1.88 0.62 0.07

9.98 10.00 10.00 8.55 9.07 9.24 6.54 7.06 7.24 3.77 4.07 4.18 2.17 2.34 2.40 0.72 0.78 0.80 0.08 0.08 0.09

10.00 9.24 7.24 4.18 2.40 0.80 0.09

10.00 9.07 7.06 4.07 2.34 0.78 0.08

9.98 8.55 6.54 3.77 2.17 0.72 0.08

9.89 7.63 5.69 3.27 1.88 0.62 0.07

9.49 6.28 4.56 2.61 1.50 0.50 0.05

8.13 4.49 3.18 1.81 1.04 0.35 0.04

4.97 2.35 1.64 0.93 0.54 0.18 0.02


) m -4.00 ( d a d i d -6.00 n u f -8.00 o r P -10.00 -12.00 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00



35

(t/m2)

9.00

10.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Prueba # 8 0.00 -0.80 -1.60 -2.40 -3.20 -4.00 -4.80 -5.60 -6.40 -7.20 -8.00 -8.80 -9.60 -10.40 -11.20 -12.00 1 5 10 20 30 50 90

3 14 27 53 80 133 239

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

4.90 2.32 1.63 0.94 0.53 0.17 0.02


8.15 4.45 3.18 1.83 1.04 0.34 0.04

10 0.25 0.5 12 6 15 0.8

9.56 6.23 4.55 2.62 1.49 0.49 0.05

9.94 10.00 10.00 7.60 8.53 9.07 5.69 6.54 7.06 3.29 3.79 4.10 1.87 2.15 2.33 0.61 0.71 0.76 0.07 0.08 0.08

10.00 9.24 7.24 4.21 2.39 0.78 0.08

10.00 9.24 7.24 4.21 2.39 0.78 0.08

10.00 9.07 7.06 4.10 2.33 0.76 0.08

10.00 8.53 6.54 3.79 2.15 0.71 0.08

9.94 7.60 5.69 3.29 1.87 0.61 0.07

9.56 6.23 4.55 2.62 1.49 0.49 0.05

8.15 4.45 3.18 1.83 1.04 0.34 0.04

4.90 2.32 1.63 0.94 0.53 0.17 0.02

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00


) m -4.00 ( d a d i d -6.00 n u f -8.00 o r P -10.00 -12.00 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00 2

Valores de la presión de poro para diferentes tiempos (t/m )


36

10.00

A continuación se muestra un resumen del tiempo necesario para que el exceso de la presión de poro llegue a cero para cada uno de los estratos de suelo estudiados, se muestra también una comparación entre el tiempo calculado con el programa en Fortran y el tiempo calculado con las ecuaciones convencionales.

1 2 3 4 5 6 7 8

5 5 5 5 10 10 10 10

0.1 0.25 0.1 0.25 0.1 0.25 0.1 0.25

8 8 12 12 8 8 12 12

257 102.5 579 231.5 294 117 661.5 264.5

320 128 720 288 320 128 720 288

Como se puede ver a medida que el Cv aumenta el tiempo necesario para que se realice la consolidación es mayor, así mismo se puede ver que la altura del estrato juega un papel muy importante en el tiempo, finalmente se aprecia que la presión de poro inicial presenta una leve influencia en el tiempo calculado con base en el programa de fortran a diferencia del método tradicional, ya que en este el valor inicial de la presión de poro no influye. Haciendo una comparación entre los resultados hallados por el programa y los calculados teóricamente se puede apreciar que el tiempo arrojado por el programa es menor en todos los casos evaluados, sin embargo presenta un valor muy cercano, por lo tanto se puede asegurar que el método es apropiado para obtener información del comportamiento del suelo en cuanto a consolidación se trata. A continuación se presentan los resultados de la presión de poro en el centro del estrato para cada una de las isócronas elaboradas para cada prueba, los valores de tiempo se tomaran con base al total que le tomó a cada estrato para alcanzar el 100 Proyecto final de Matemáticas Aplicadas. Espinoza-Forero-Lerma-Ramírez de Arellano

37

por ciento de la consolidación, es decir cuando la presión de poro es igual a cero, los porcentajes de tiempo analizados son: 1, 5, 10, 20, 30, 50 y 90 por ciento.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1

3 2 6 3 3 2 7 3

5.00 5.00 5.00 5.00 10.00 10.00 10.00 10.00

2 3 4 1 8 7 5 6

5 5 5 5 5 5 5 5

6 29 12 13 14 34 15 6

4.70 4.75 4.75 4.77 9.24 9.24 9.30 9.41

1 2 3 4 5 6

10 10 10 10 10 10

26 11 58 24 30 12

3.89 3.83 3.89 3.85 7.24 7.31


38

7 8

10 10

67 27

7.24 7.24

1 2 3 4 5 6 7 8

20 20 20 20 20 20 20 20

52 21 116 47 59 24 133 53

2.40 2.39 2.41 2.39 4.20 4.15 4.18 4.21

1 2 3 4 5 6 7 8

30 30 30 30 30 30 30 30

78 31 174 70 89 36 199 80

1.47 1.49 1.48 1.47 2.38 2.34 2.40 2.39

1 2 3 4 5 6

50 50 50 50 50 50

129 52 290 116 147 59

0.56 0.55 0.56 0.56 0.80 0.78


39

7 8

50 50

331 133

0.80 0.78

1 2 3 4 5 6 7 8

90 90 90 90 90 90 90 90

232 93 522 209 265 106 596 239

0.08 0.08 0.08 0.08 0.09 0.08 0.09 0.08

De las tablas anteriores se puede apreciar que al cumplirse el 50% del tiempo se ha producido ya una disipación de más del 90% de la presión de poro en exceso, lo que ratifica que los datos obtenidos cumplen con la teoría de la consolidación. Por otra parte se puede apreciar que los valores de presión de poro son similares para los diferentes estratos estudiados, cuando se pondera el tiempo con respecto al valor máximo obtenido. En cuanto al tiempo necesario para que se produzca la consolidación se evidencia que los factores principales que intervienen son el coeficiente de consolidación y la altura del estrato. Finalmente se puede asegurar que el método de cálculo de la consolidación basado en división numérica es aplicable y entrega muy buenos resultados del valor de la presión de poro para diferentes tiempos.


40

Este programa hace uso de un programa de solución de ecuaciones en derivadas parciales del tipo parabólico aplicado al problema de disipación de la presión de poro de la consolidación unidimensional de suelos finos saturados. Se hizo uso de los métodos numéricos y técnicas de programación enseñadas durante el curso de Matemáticas Aplicadas. Se pudo corroborar mediante el programa desarrollado y también analíticamente mediante teoría clásica que los resultados son similares, validando los mismos. Para resolver un problema de isócronas mediante la aplicación de las ecuaciones deducidas en el capítulo de “Resolución de la ecuación diferencial de consolidación unidimensional” de este mismo trabajo, el ingeniero deberá invertir una cantidad de

horas considerable dependiendo la magnitud del mallado, la precisión que busque en sus cálculos así como la cantidad de estratos que tenga. Por su parte, si el mismo ingeniero sabe utilizar el programa aquí presentado e importar los datos de texto de un archivo .txt a una hoja de cálculo como aquí se hizo, bastarán unos minutos para que pueda obtener los datos, incluso, gráficamente. La programación de este problema en Fortran es una herramienta de gran uso en la ingeniería porque proporciona de forma eficaz y clara soluciones para diseñar estructuras en la geotecnia. Los métodos numéricos aplicados en este programa simplifican de gran manera el lenguaje de programación al simplificar secuencias de operaciones.


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Solución Consolidación unidimensional

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