Solución Álgebra Lineal 2016 -2T 1. Califique como verdadero o falso. 1.a. Si
= + [] = , y
, entonces B es la base canónica
= {,,} ,,}
Solución:
Por contraejemplo: Consideremos la base
= +1,2, 10 21 01|01 1 0 02
, si calculamos las coordenadas de
tendríamos el siguiente sistema
El cual tiene como solución
= 2 +
,
[] = 210
Por lo tanto, la base no necesariamente es la canónica, y la proposición es FALSA.
= ℝ
1.b. Sean V
. Se define H un subconjunto de V como:
= + + ≤
Entonces H es un subespacio vectorial de V.
Solución: La inecuación
+ + ≤ Tiene como solución x=0, y=0, z=0, ya que la suma de cuadrados nunca es menor que cero, y solo es cero cuando todos los sumandos son cero. Entonces H es:
El cual, es el subespacio de
Ángel Guale
ℝ
= =,=,= =,=,=
que solo contiene al cero ce ro vector. La proposición es VERDADERA.
1.c. Sea V el espacio de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores {1, sen(x), cos(x)}, entonces el vector u=tan(x) pertenece al subespacio vectorial H. Estrictamente la función tan(x) no es continua en los reales, por lo cual que
∉
∉
, de esto se deduce también
. Finalmente se deduce que no pertenece al subespacio vectorial H.
La proposición es FALSA.
Nota: No sé si el hecho de que tan(x) no sea continua en los reales se les pasó por alto a los profesores o esa era su intención. Si se les pasó por alto la solución que esperaban era que tan(x) no se puede escribir como combinación lineal de 1, sen(x), cos(x), y de todas formas la proposición era falsa.
1.d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V. Entonces se cumple que
+ ≠ = 1,, =2,2,2 2 0 0 = 00 20 02 = 1,, = 2, 2,2,2, 2
Consideremos las bases de V=P1:
Si A es la matriz de cambio de base de B2 a B1 sería:
Además, consideremos las bases de P1
Si B es la matriz de cambio de base de B4 a B3 sería:
Entonces tendríamos que
La proposición es FALSA.
Ángel Guale
2 0 0 = 00 20 20 det det + = 0
3. Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe consumir diariamente 13 unidades de carbohidratos(c), 22 de proteínas(p) y 31 de grasas(g). Un restaurante lanza 3 tipos de platos. El plato I contiene 1 unidad de c, 1 unidad de p, y 1 unidad de g. El plato II contiene una unidad de c, 2 de p y 3 de g, y el plato III contiene 4 unidades de c, 7 unidades de p y 10 unidades de g. Encuentre las distintas combinaciones de platos que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de c, p y g que sugiere el nutricionista. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.
Solución Se tiene que:
=1+1+1 =1+2+3 =4+7+10 13+22+31= + + 13+22+31=1+1+1+1+2+3+4+7+10 , , 111 123 1047 |132231~…~100 110 430|1390 =93 =134 =4 =0, =9, = 4 =1, =6, = 3 =2, =3, = 2 =3, =0, = 1
Además, la dieta diaria debe ser
Reemplazando
Resolviendo el sistema para
Es decir
Como no se pueden comer frac ciones, las combinaciones serían
Ángel Guale
= = ,
4. Sean las matrices
encuentre la matriz X tal que
Solución
+ = + = + = = = − = Realizando este cálculo tendríamos
− 0 1 1 0 1 1 = 1 2 0 1 2 1 = 10 12 20 10− = 10 12 01 1/20 = 12 1/20
Ángel Guale
( + ) =
5. Sea el sistema de ecuaciones lineales
++= += +=
Determine los valores que deben tomar a, b, c para que el sistema sea consistente Solución: Hay que resolver el sistema
11 12 11 | ~ 10 11 21 | 1 1 1 0 0 2
Por lo que el sistema siempre e s consistente sin importar los valores de a, b, c; es decir
Ángel Guale
,,∈ℝ
