Examen del Segundo Aporte de Matemáticas 11 de Abril del 2005 Folleto 20
1. Si a, b, c son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, entonces b – a = c – b. a) Verdadero b) Falso 2. El tercer término de una progresión geométrica cuyo primer término y raón son 2 y ! respectivamente, es ". a) Verdadero b) Falso !. #a suma de la serie geométrica in$inita 1 − a)
! 2
b)
−
2 !
1 2
1
1
%
&
+ − + ... es'
c) 2
d)
2 !
%. Sea x ∈ IR . El con(unto de todos los valores de x para ue $*+)=
e)
−
! 2
1 x 2 − %
sea un nmero
real es' a) *-2, 2)c b) IR – - 2, 1, 2/ c) IR – - 2, 1, 2/ d) *- ∞,-2) ∪ *2, ∞) e) 0 - -2, 2/ . Sean f y y g dos dos $unciones de IR en IR, tal ue' 2 x + ! 3 x ≥ 4 f * x) = y 1 3 4 x < #a regla de correspondencia de * f 5 g ) es. f 5 % x 3 x ≤ −1 x2 3 −1 < x < 4 a) ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x + 2 3x≥ 4 3 x ≤ −1 % x + 1 2 3 −1 < x < 4 b) ( f + g ) ( x ) = x + 1 x 2 + 2 x + 1 3 x ≥ 4
% x 3 g * x) = 2 x − 1 3
x ≤ −1 x > −1
3 x ≤ −1 % x + 1 2 3 −1 < x < 4 c) ( f + g ) ( x ) = x + 1 2 x + 2 x + 2 3x≥ 4 3 x ≤ −1 % x + 1 x2 3 −1 < x < 4 d) ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x + 2 3x≥ 4 3 x ≤ −1 % x + 1 x2 3 −1 < x < 4 e) ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x + 1 3 x ≥ 4
". Sea f una una $unción de IR en IR dada por'
− x − 2 3 x ≤ −2 f * x) = x 2 + 1 −2 < x < 2 . ! 3 x ≥ 2
#a gr6$ica de f es' es'
de IR en IR tal ue f * x 7. #a $unción f de x) = x 5 1 es biyectiva. a) Verdadero b) Falso &. #a $unción f de de IR en IR tal ue $*+)= 2 es par. a) Verdadero
b) Falso
3 x ≤ −1 % x + 1 2 3 −1 < x < 4 c) ( f + g ) ( x ) = x + 1 2 x + 2 x + 2 3x≥ 4 3 x ≤ −1 % x + 1 x2 3 −1 < x < 4 d) ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x + 2 3x≥ 4 3 x ≤ −1 % x + 1 x2 3 −1 < x < 4 e) ( f + g ) ( x ) = x 2 + 2 x + 1 3 x ≥ 4
". Sea f una una $unción de IR en IR dada por'
− x − 2 3 x ≤ −2 f * x) = x 2 + 1 −2 < x < 2 . ! 3 x ≥ 2
#a gr6$ica de f es' es'
de IR en IR tal ue f * x 7. #a $unción f de x) = x 5 1 es biyectiva. a) Verdadero b) Falso &. #a $unción f de de IR en IR tal ue $*+)= 2 es par. a) Verdadero
b) Falso
7. #a gr6$ica de la $unción f de de IR en IR tal ue f * x !, es una par6bola ue x) = -*+ 5 2)2 – !, tiene el vértice en el punto *2, -!). a) Verdadero b) Falso 14. #a $unción f de de IR en IR tal ue f * x x)= -! x 5 2 es estrictamente decreciente. a) Verdadero b) Falso 11. 8on respecto a la recta determinada por los puntos * -, !) !) y *%, *%, -2), cu6l de las siguientes proposiciones es F9#S9' F9#S9' a) #a recta recta contiene contiene puntos puntos del del segundo segundo cuadra cuadrante nte..
b) #a recta y el E(e : tienen un punto de intersección en 4,
2
÷.
7
c) #a pendi pendient entee de la la recta recta es nega negativ tiva. a. d) #a ecuaci ecuación ón gener general al de de la rect rectaa es x 5 7 y 5 2 = 4
2 e) #a recta recta y el E(e ; tienen tienen un punto punto de intersecci intersección ón en el punto , 4÷ . 12. 8onsidere la $unción f de IR en IR tal ue $*+)= x2 - " x 5 11. 0denti$iue cu6l de las siguientes proposiciones es VE<9
?: dada por $*+)= +2 5 es biyectiva, entonces el dominio de f @1 es , ∞). a) Verdadero b) Falso 1%. Si θ es la medida de un 6ngulo tal ue secθ A 4 y tanθ B 4, entonces el 6ngulo se encuentra en el' a) 0 8uadrante b) 00 8uadrante c) 000 8uadrante d) 0V 8uadrante 1. El valor numérico de la e+presión !1C 5 csc*-214C) es' sen 2%4C 5 ctg !1C a)
2− ! 2
b)
!+2 2
c)
!−2 2
d)
2 +! !
e)
2 −! !
1". Sea + ∈ 4, 2π>. #a suma de las soluciones de la ecuación trigonométrica 2 sen2 x sen x = 4 es' a) 2π
b) !π
c) %π
2 1D. ∀ x ∈ IR, cos 2 x = 1 − cos x a) Verdadero
1&. Si z = arcsen a)
! 2
! 2
y z ∈ 4, b)
d) π
e) Dπ
b) Falso
π , entonces cos z es' es' 2 2
c)
2
1 2
d)
−
1 2
e)
−
2 2
17. #a gr6$ica ue se presenta a continuación, representa una de las siguientes $unciones IR en IR . 0denti$uela.
a) f * x) = 2 sen*2 x − π ) π b) f * x) = −!sen 2 x − ÷ 2 c) f * x) = 2 sen*2 x) d) f * x) = !sen*2 x − π ) e) f * x) = !sen* x − π )
π π , ÷ dada por f * x x) = arctan* x x), determine cu6l de 2 2 las siguientes proposiciones es F9#S9' 24. especto a la $unción f ' R → −
a) f es es impar b) f es es estrictamente creciente
π % d) f es inyectiva e) f es acotada c) f *1) = −
Primer examen de Matemáticas 7 de Agosto del 200 !"eciente#
1. na sucesión es una $unción cuyo ango es el con(unto de nmeros naturales IN ' a) Verdadero b) Falso 2. En el dibu(o se observa la ubicación de los nmeros a, b, c y d, adem6s del nmero cero. Entonces se cumple ue' ac B bd
a
c
b 4 d
a) Verdadero
b) Falso
!. Si A=1, 1//, con Re = P * A A), y si p* x x)' x ∈ A, entonces' *9 p* x x)) = 1 N *9 a) Verdadero
b) Falso
%. Si p* x x)' x Gx - 2G ≤ 4 con Re = IR , entonces 9 p* x x) = ∅ a) Verdadero b) Falso . Sean 9 y H dos $ormas proposicionales tales ue A es una tautologa y B es una $alacia, entonces la con(unción entre ambas es una contradicción. a) Verdadero b) Falso ". El nmero 12I descompuesto en sus $actores primos es' 214 g! g2 gDg11 a) Verdadero b) Falso D. Si f: IR → IR es una $unción inversible, entonces ango* f )= IR f )= a) Verdadero b) Falso
&. ∀ x < 4 '
x÷ = − ÷ x 2 − 1
x % − x 2
a) Verdadero
b) Falso
7. Joda $unción cuadr6tica del tipo f * x)= ax2 5 b, si bA4 interseca al e(e ; en dos puntos distintos. a) Verdadero b) Falso
{
14. #a región sombreada es' ( A ∩ B ) ∪ B ∩ ( C ∩ D ) A
∪ ( C ∩ Dc ) }
B
D C
a) Verdadero
b) Falso
11. #a $unción cuadr6tica cuya regla de correspondencia es. f * x) = -x2 5 % x – ! Es estrictamente creciente en el intervalo *-∞, 2) a) Verdadero
b) Falso
12. #a proposición K9bdón 8alderón no nació un 27 de enero sólo si Verna es la capital de Suia. Lero 9bdón 8alderón si nació un 27 de eneroM es lógicamente euivalente a' a) 9bdón 8alderón nació un 27 de enero. b) Es necesario ue 9bdón 8alderón Naya nacido un 27 de enero para ue Verna sea la capital de Suia. c) Es su$iciente ue Verna sea la capital de Suia para ue 9bdón 8alderón Naya nacido un 27 de enero. d) Verna no es la capital de Suia e) Verna es la capital de Suia
1!. 0denti$iue ue conclusión puede obtenerse del raonamiento' KSi la candidata 8indy Viteri no logra conseguir un buen candidato vicepresidencial, su participación en las elecciones ser6 un rotundo $racaso y tendr6 ue aceptar ue no logró convencer al electorado. Sin embargo, incluso si logra conseguir un buen candidato vicepresidencial, tampoco lograr6 convencer al electorado. : por otro lado, el pueblo no apoyar6 a un candidato ue sólo sirva a los intereses de los empresariosM. a) 8indy no lograr6 convencer al electorado b) #a participación de 8indy ser6 un rotundo $racaso c) 8indy sólo sirve a los intereses de los empresarios
d) 8indy no lograr6 conseguir un buen candidato vicepresidencial e) 8indy ganar6 las elecciones. 1%. 9l simpli$icar la siguiente e+presión algebraica se obtiene' 1 1+
1 1+
1 x
2 x 2 − x − 1 + 2 ÷ x − x
−1
a) x b) 1 1 c) x d) x2 – x 1 e) 1 + x 1 1.
c) Ap* x) = −!, −
1
1,1 ∪ 2 2
d) 9 p* x)= *-!, 1) e) 9 p* x)= *-!, 5∞)c
1". El nmero periódico' !.1%1%1%1%O..es igual a' a) π !1%1%1% b) 14" ! c) 14 !11 d) 77 e) π @ 4.42 1D. n padre de $amilia propone a su Ni(o la resolución de problemas diarios de matem6ticas. Lromete darle P por cada problema bien resuelto y uitarle Q % por cada problema ue de(e de presentar o esté mal resuelto. 9l cabo de una semana *de lunes a domingo) el padre entregó al Ni(o P !1 R8u6ntos problemas $ueron bien resueltos en la semana por el estudiante
a) b) c) d) e)
24 ! 17 2 2%
1&. En una encuesta realiada a !44 empresarios, sobre los principales problemas ue tenan ue resolver en sus empresas para poder ser competitivos, se obtuvo ue. 14 aseguraron tener problemas sólo de tipo logsticos. %4 aseguraron tener problemas sólo de producción. 24 aseguraron tener problemas sólo en su publicidad. 14 aseguraron no tener problemas de estos tres tipos. Tinguno aseguró tener problemas de tipo logstico y de publicidad. !4 aseguraron tener problemas de producción y de publicidad. Entonces, es verdad ue' a) b) c) d) e)
244 de las empresas tienen problemas logsticos. 144 empresas tienen problemas de producción. Tinguna empresa tiene problemas de tipo logstico y de producción. 127 empresas tienen problemas de publicidad. 224 empresas no tienen problemas de tipo logstico.
17. Si A = 1, 2, !,O,4/, B= 1, 2, !,..,%4/ y la relación R de A en B
1
= 4 es verdad ue' & a) Lara W = 1 la ecuación tiene un nica solución b) ∀ > 4 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas c) ∀ ∈ *4, 2) la ecuación no tiene soluciones reales d) Lara = 1 la ecuación tiene dos soluciones reales distintas e) ∀ ∈ *4, + ∞) la ecuación tiene soluciones reales
21.
22. Si se tiene la $unción f ' IR ? IR, con regla de correspondencia' !" x < −1 x + 2
− x + 2
f * x) = − x 2 + 2
!" − 1 ≤ x ≤ 1 , entonces es verdad ue. !" x > 1
a) f es la $unción monótona b) f es una $unción par c) f es acodada d) f es una $unción inyectiva e) f es una $unción sobreyectiva 2!. 9l analiar el volta(e de un circuito # , se conoce ue' • # = f *t ) • El volta(e se mantiene constante en un valor de 14 voltios desde t = 4 seg. Nasta t = seg. •
e) Tinguno de los anteriores representa al volta(e.
Examen del Segundo Aporte de Matemáticas 5 de Abril de 200$ Folleto 2$
1. Si $, g y N son $unciones de IR en IR, tal ue f * x) = 2 µ * x − 2), g * x) = sgn*2 x + 1) y %* x) = § x + 1¨
Entontes' f *!) 5 g *-1) 52% −
2!
÷ = -! 14 a) Verdadero
b) Falso
8on respecto a la $unción f cuya regla de correspondencia es $*+)= @+2 - 2 x - , determine el valor de verdad de las proposiciones de los numerales 2, ! y %' 2. ∃ x ∈ IR, f * x) ≥ 4 a) Verdadero !. ∀ x ≤ −1, f es decreciente a) Verdadero
b) Falso b) Falso
%. ∀ x ∈ IR, f * x) ≤ −% a) Verdadero
b) Falso
. Si f ' IR ? IR es una $unción cualuiera y g ' IR ? IR es una $unción par, entonces f o g es una $unción par a) Verdadero b) Falso ". Si f es una $unción inversible y estrictamente creciente de A en B3 entonces f @1 es una $unción estrictamente de B en A& a) Verdadero b) Falso D. Si f y g son dos $unciones de IR en IR tales ue'
! x 2 , f * x) = x + 1,
G x G< 1 G x G≥ 1
y
2 − x , 2 ,
f * x) =
x < −2 x ≥ −2
Entonces la regla de correspondencia de la $unción *! f - 2 g ) es'
a)
2 x − 1 , x − 1 , f * x) = 2 ! x − 2, x − 1 ,
x < −2
−2 ≤ x ≤ − 1 −1 < x < 1 x ≥1
x < −2 ! x − ! , x − ! , −2 ≤ x ≤ −1 e) f * x) = 2 x − % , −1 < x < 1 x − ! , x ≥1
x + D , ! x + D , b) f * x) = 2 7 x + %, ! x + D , , ! x + ! , c) f * x) = 2 ! x + 2 , x + ! , x − 1 , ! x − 1 , d) f * x) = 2 7 x − %, ! x − 1 ,
x < −2
−2 ≤ x ≤ −1 −1 < x < 1 x ≥1 x < −2 −2 ≤ x ≤ −1 −1 < x < 1 x ≥1 x < −2 −2 ≤ x ≤ −1 −1 < x < 1 x ≥1
&. Si f y g son dos $unciones de IR en IR tales ue' x + 1, x ≤ 4 f * x) = 2 , , 4 x x >
g * x) = 1- x
Entonces l regla de correspondencia de la $unción
2 − x, a) f * x) = 2 *1 − x) , − x, b) f * x) = 2 1 − x ,
x≤4 x>4
x ≤1 x >1
x≤4 x>4
2 − x, c) f * x) = 2 *1 − x) , *1 − x) 2 , d) f * x) = 2 − x ,
− x, e) f * x) = 2 1 − x ,
x ≤1 x >1 x <1 x ≥1
7. Si f es una $unción de IR en IR con correspondencia'
1 − x 2 , f * x) = x 2 , a)
x<4 x ≥ 4
1 − x , log 2 * x),
, entonces la regla de correspondencia de f @1 es'
x <1 x ≥1
d)
− 1 − x , − log 2 * x ),
x <1 x ≥1
b)
c)
− 1 − x , log 2 * x), − 1 − x , log 2 * x),
x<4
e)
x≥4
− 1 − x , − log 2 * x ),
x<4 x≥4
x <1 x ≥1
14. Si f es una $unción de IR5 en IR tal ue f * x) = 'og a x, a ∈ IR5- 1/, entonces ∀ x, y ∈ IR+ f * x + y) = f * x) + f * y)> a) Verdadero b) Falso 11. Si log*2) = a y log*) = b, entonces
1" − log 2 1÷ 2%÷ = Da − !b
a) Verdadero
b) Falso
12. Si f ' IR--2/? IR es una $unción tal ue f * x)= Glog12 Gx52GG, entonces es verdad ue' a) f es una $unción par b) f es creciente en el intervalo *@1, 5∞) c) rg * f ) = IR5 d) f es inyectiva e) f es decreciente en el intervalo *-∞ , -2)
© 1 ¬= 1 log % x − 1!. Si Re = IR y p* x) ' ª , entonces 9 p* x) es' ÷ ª 2 ª« ! ® a) *1, 21> b) *12, 1&> c) 21, 2D) d) 1, 21) e) 1&, 2%)
1
1%. Si Re = IR, p * x) ' % = 2 x2 ×% x − 2÷ y (* x)' log!*log2*! x@2)) = 4, entonces el producto de los elementos del con(unto 9 p* x) ∨ (* x)> a) @! b) 2 c) @%
d) %
e) !
8ada numeral del 1 al 1D contiene la regla de correspondencia de una $unción cuyo dominio es el intervalo *-2π, 2π), la cual est6 asociada con un gr6$ico de los literales a, b, c, d o e.
© x 1. f * x) = ª ª sen ÷ ª« 2
x ÷÷ % x 1D. f * x) = sgn cos − ÷÷ 2 1". f * x) = µ tan
!π ! y sen x = − , entonces sen*2 x 5 π ) es' 2 D 7 2% 7 a) − b) − c) d) 2 2 2 2
1&. Si π < x <
17. Si x ∈ 4,
π ! y tan* x) = ! entonces tan *2 x) = 2 a) Verdadero
b) Falso
2 sen 2 x 2 24. ∀ x ∈ IR cos x sen x = % 2
a) Verdadero
b) Falso
e)
−
2% 2
21. Si f es una relación de IR en IR con regla de correspondencia f * x) = entonces una de sus asntotas es la recta y =
1 2
arctan*2 x) ,
π 2
a) Verdadero
b) Falso
x ÷ 2
22. #a $unción f ' ) ? IR, ) = IR- x x = *2 5 1)π, ∈ * / , tal ue f * x) = tan creciente en el intervalo 2π, !π). a) Verdadero
es
b) Falso
2!. Si 4 ≤ θ ≤ π 2 y θ = arccos*! x) , entonces los valores de ctg θ y sen θ y sen θ son, respectivamente' a) c) e)
1 + 7 x y ! 1 − 7 x 2
! x 1 + 7 x ! x
2
y
1 − 7 x
2
y
b)
2
! 2 1 + 7 x
d)
2
1 − 7 x y 2
14 1 − 7 x
2
y
1 + 7 x 2 2 1 − 7 x 2
1 − 7 x 2
2%. Si el con(unto re$erencial es e = 4, 2π> y el predicado p* x)' cos*2 x) 5 ! = cos x, entonces la suma de los elementos de 9 p* x) es' !π 2π π π a) b) c) d) 2π e) ! 2 2 ! 2. Si las rectas # 1 y #2 mostradas en el gr6$ico ad(unto son paralelas, x y z son medidas de 6ngulos en grados entonces x 5 z = 1"4C
x
z 5 24 # 1
#2
! z
a) Verdadero
b) Falso
2". Si 9H8 es el tri6ngulo mostrado en la $igura ad(unta D+ AC , AB = 14, AC = , D+ = x y AD = y , entonces es verdad ue'
donde
H
a) b) c) d) e)
E
<
9
y = 2 x y = x – y = x . /0 y = 14 – x y = 14 – x
8
2D. Si se de$inen los vectores A y B en IR!, tales ue A =
B = −
!
!
,−
! ! 2
2
,
2
, 4÷ ,
, x÷ , x < 1 , y la medida del 6ngulo ue $orman entre ellos es
2 2 2 2 entonces x es igual a'
a)
b)
−
! !
c)
2
−
!
d)
2
−
! 2 %
e)
−
%π , !
! 2 %
2&. Si se desea construir un tri6ngulo ABC de $orma ue los lados a, b y c midan, respectivamente, 1, 2 y ! unidades3 y A sea el 6ngulo comprendido entre los lados a y b3 entonces es verdad ue' a) A es un 6ngulo recto b) A es un tri6ngulo agudo c) El tri6ngulo es euil6tero 2π d) m* A) = ! e) To es posible construir un tri6ngulo con las caractersticas dadas. 27. Si 2 y # son dos vectores en IR! tales GGGG = GGVGG, entonces los vectores 2 5 # y 2 - # son ortogonales a) Verdadero b) Falso !4. Si se tienen los vectores A y B, en IR!, tales ue A = *1, -1, 4) y A - B = *@1, @2, 1), entonces el 6rea del paralelogramo de$inido por los vectores A y B es igual a' a) !1.
14
b)
∀2 ,# ∈ IR ! 2 + # =
c)
11 2
+ #
12
d)
1!
e)
a) Verdadero b) Falso !2. #a proyección del vector *1, 2) sobre el vector *1, 4) es un vector unitario. a) Verdadero b) Falso
1%
Examen de %ngreso de Matemáticas 12 de ma&o del 200$ Folleto 27
1. #a $orma proposicional *p proposicional' a) p ⇒ *( ⇒ r ) b) r ⇒ *( ⇒ p) c) * p ∧ r )⇒ ( d) *¬ p ∨ ¬r )⇒ ( e) ( ⇒ * p ∧ r )
∧¬)⇒* ∨¬r) es lógicamente euivalente a la $orma
2. Si a, b y c son proposiciones atómicas tales ue' a' apruebo matem6ticas b' ingreso a la universidad c' no apruebo $sica Entonces la traducción al lengua(e $ormal de la proposición molecular' KTo ingreso a la universidad y apruebo $sica, siempre ue no apruebe matem6ticas esM a) *¬b ∧ ¬c) ⇒ ¬ a b) *¬b ∧ c) ⇒ ¬ a c) ¬ a ⇒ *¬b ∧ c) d) ¬ a ⇒ *¬b ∧ ¬c) e) *¬ a ⇒ ¬b) ∧ ¬c !. Si la proposición molecular *¬a ∧ b) ⇒ *c ∨ d ) es F9#S9 entonces la proposición b∧ ¬c es VE<9
α) ∅ b) c) d) e)
4, 1, 2, !/ 4, / 2, !, %, / 4, 2, !, /
. El valor de verdad de la proposición ∀3 ∈ IN ∃n ∈ IN * n = 23) es' a) Verdadero b) Falso ". Si 9 =∅, ∅// entonces ∅// ⊆ L*L*9)) a) Verdadero
b) Falso
D. Si un escuadrón de 1&4 soldados est6 dispuesto en $ilas, de manera ue en cada $ila Nay & soldados m6s ue el nmero de $ilas e+istentes, entonces el nmero de soldados en cada $ila es' a) 7 b) 24 c) 14 d) 1& e) 1" 8ali$iue como VE<9
&. g es una $unción inversible a) Verdadero
b) Falso
7. f o g = *◊, ⊗), *⊗,◊), *Θ,⊗ )/ a) Verdadero
b) Falso
14. El rango de la $unción g o f es ◊, ⊗/ a) Verdadero
b) Falso
8ali$iue como VE<9
∀y ∈ IR ∀n ∈ IN * x + y) n = xn + n* xy) + yn a) Verdadero
12. ∀ x ∈ IR
1!. ∀ z ∈ C
∀y ∈ IR
b) Falso
x 2 + y 2 x * x ≠ − y) ⇒ x + y = x + xy a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
z + z ∈ IR
1%. Si Re = IR, p* x)' G2 x - !G≤ D y (* x)' x2 - 2 x ≥ 4, entonces el con(unto 9* p* x) ∧ (* x)) es' a) -2, > b) *4, 2)8 c) -2, 4> ∪2, > d) 4, 2> e) ∅ 1. Si f y g son $unciones pares de IR en IR entonces f.g es una $unción par de IR en IR a) Verdadero b) Falso 1". Joda $unción creciente de IR en IR es inyectiva a) Verdadero
b) Falso
1D. 8on respecto a la $unción f de IR en IR con regla de correspondencia f * x) = * x2 - % x) sgn* x 5 1), es VE<9< ue' a) f es sobreyectiva b) f es monótona creciente en el intervalo *@1, 2) c) f es par d) el rango de f es *-∞, -) ∪-%, 5∞) e) ∃ x ∈ IR [ f * x) = −%.] 1&. Si en la $igura ad(unta se muestran las gr6$icas de tres $unciones e+ponenciales f , g y %, entonces es VE<9< ue'
a) b) c) d) e)
aBbBc bBaBc 0AaAbAcA1 cBbBaB1 cBaBb
17. En la $igura ad(unta se muestra los gr6$icos de la $unción f con regla de correspondencia f * x)= 2 x y de la $unción inversa de f 3 donde el punto P tiene coordenadas *%, a) y el punto 1 tiene coordenadas *1", b), entonces el valor de punto 1 tiene coordenadas *1", b), entonces el valor de a . b es'
a) % b) 2 c) & d) e) "
24. Si Re = 4, 2π > y p* x)' cos*2 x) - %cos* x) 5 ! = 4, entonces es F9#SU ue' a) N *9 p* x)) = 2 b) 9 p* x) = 4, 2π / c) #a suma de los elementos de 9 p* x) es 2π d) π ∈ Α p( x) e) El producto de los elementos de 9 p* x) es 4
2 1 ÷ , Re = IR y p* x)' det *9 @ x0), donde I es la matri identidad de 2×2, ! 4
21. Si A =
entonces la suma de los elementos del con(unto 9 p* x) es' a) b) c) d) e)
! -1 2 % -!
8ali$iue como VE<9 en IR, tal ue
! sen*2 x), −2π ≤ x ≤ 4 f * x) = 2 . arctan* x), 4 < x ≤ 2π 22. El gr6$ico de f es.
a) Verdadero b) Falso
2!. f es una $unción periódica a) Verdadero
2%. f *π ) + f −
!π ÷ %
b) Falso
b) Falso
x , x ∈ 4,π ÷ 2 2
2. Si 4 = sen
, entonces sen* x) es'
a) 24 b)
4
1− 42
c) 24 1 − 4 2 d) 4 1 − 4 2 24 e) 1− 42 8ali$iue como VE<9
b) Falso
2&. Si R es la región de$inida por' R=* x, y) ∈ IR2 + ≥ 4 ∧ 4 ≤ y ≤ % -2 x/ Entonces el 6rea de la región R es' a) & b) "
c) 2
d) %
e)
27. Si una circun$erencia satis$ace las condiciones siguientes'
• •
El centro de la elipse de$inida por
* x − 2) 2 2
+
* y + 1) 2 1"
= 1 es el centro de la
circun$erencia. #os $ocos de la misma elipse pertenecen a la circun$erencia. Entonces la ecuación general de la circun$erencia es' a) x2 5 y2 5 % x 5 2 y - % = 4 b) x2 5 y2 5 % x 5 2 y 5 % = 4 c) x2 5 y2 5 % x - 2 y - % = 4 d) x2 5 y2 - % x 5 2 y 5 % = 4 e) x2 5 y2 - % x 5 2 y - % = 4
!4. 9l sumar cualuier par de polinomios de grado 2, se obtiene otro polinomio de grado 2. a) Verdadero b) Falso
!1. Si @1 y 2 son ceros de un polinomio p* x) de grado 2 y p*1) = -%, entonces la suma de los coe$icientes de p* x) es' a) 4 b) % c) @% d) @" e) " !2. Si z 1 = " es una ra cbica de un nmero comple(o , entonces z = @".
a) Verdadero
b) Falso
!!. Si una es$era de radio est6 circunscrita a un cono circular recto de altura % y radio de la base r , entonces la relación ue e+iste en R, r y % es. a) R 2 b) r
= %2 − r 2 !
=
c) R = d) r = e) R 2
R 2 r 2 + %2
2% R 2 + % 2
=
2% %r 2 + % 2 %
!%. En el gr6$ico ad(unto se muestra una circun$erencia con centro en el punto U, donde' π • 3*∠5!$ ) = " • El ∠ P5R es recto Entonces el valor de *∠ R5! ) es'
a) b)
L U
S
2π ! π
12 !π c) % π d) " Dπ e) 12
Primer Examen de %ngreso de Matemáticas 1' de diciembre del 200$ Folleto '2
1. Sea
x ≤ −% x + ", f * x) = 1" − x 2 , −% < x < % . 0denti$iue cu6l de las siguientes proposiciones es " − x, x≥%
VE9
* f o g )* x) = 2% x! - % x * f o g )* x) = -2% x! - % x * f o g )* x) = -" x! - % x * f o g )* x) = " x! - % x * f o g )* x) = -" x! 5 % x
. 8on respecto a la $unción de IR en IR dada por f * x)= Gx2 - %G, uno de los siguientes enunciados es VE<9
c) f no es par. d) #a $unción es decreciente en el intervalo *@2, 4). e) El punto *4, %) pertenece a la gr6$ica de f& ". #a ecuación de la recta ' 1 ue pasa por el punto *2, @%) y ue es paralela a la recta ' 2' x @ 2 y = % es' a) b) c) d) e)
x 5 2 y - 1& = 4 x 5 2 y 5 1& = 4 x - 2 y - 1& = 4 x - 2 y 5 % = 4 x - 2 y - % = 4
D. Sean f * x) = 2 x −
14
! Entonces es F9#SU ue'
y g * x) = @! x2. Sea %* x) = f * x) 5 g * x).
a) El rango de % es *-∞, -!> 1 b) El par ordenado , −!÷ es el vértice de la gr6$ica de %& ! c) % es una $unción par. 1 d) % es creciente en el intervalo −∞, ÷ ! e) % es decreciente en el intervalo
1 , ∞ ! ÷
&. Si f * x) = x2 – ! para x ≥ 4, entonces la inversa de f * x) es' f @1* x) = x + ! para x ≥ -! a) Verdadero
b) Falso
7. Sea la $unción polinómica f * x) = x! 5 x2 - x 5 !. n cero de f es x = !. a) Verdadero b) Falso 14. Sea x ∈ IR. #a solución de la ecuación log!* x 5 2) 5 log!*2 x 5 D) = ! es. 1! 2 1 a) 2 b) c) d) 1 e) 2 1! 2 11. Sea f * x) una $unción de variable real tal ue f * x) = 2 x@! - 1, es VE<9< ue' a) El rango de f es el intervalo -1, ∞). b) f no est6 de$inida si x A !. c) #a gr6$ica de f contiene el punto *!, 4). d) f es monótona decreciente e) f @1*4) = @!
12. El valor de cos
π !
=
1
. 2 a) Verdadero
b) Falso
( sen!4° − cos %° ) ( sen!4° + cos %° ) 1!. El valor de la e+presión
a) @1
1 + ( cot "4° ) 2 b)
−
1 !
c)
1
d)
!
es'
−1
−
1 %
e)
1 %
1 x − π ÷ , es F9#SU ue' 2
1%. especto a la gr6$ica de la $unción f * x) = !cos a) f es acotada b) El rango de f es -!, !> c) El perodo $undamental es %π. d) El 6ngulo de des$ase es 2π. e) f es decreciente es 4, 2π>
1. Si cos θ A 4, entonces θ es posición est6ndar est6 ubicado en el cuarto cuadrante. a) Verdadero b) Falso tan x + 1
cos x es idéntica a' senx + cos x a) cot * x) b) tan*+) c) 1 d) cot * x) @1
1". #a e+presión
e) tan* x) 5 1
1 1 1& 1"1 2 ÷ 2 ÷ • • • es % 1. El resultado del producto a) Verdadero b) Falso 2 2 2÷ 2÷%
2. Si f es una $unción de IR en IR cuyo gr6$ico es'
Entonces es verdad ue' a) b) c) d) e)
rg * f ) = @1, 5 ∞ ) ∀ x∈ IR f *-x)= f6x7> f *-!) 5 f *4) - f *1) = ! ∀ x≤ @! * f * x) ≥ 2) ∀ x1∈ IR ∀ x2∈ IR +1 B +2 ⇒ f * x1)≤ f * x2)>
!. Si f y g son $unciones de IR en IR tal ue g * x) = f *G+G), entonces el gr6$ico de g es simétrico con respecto al e(e 8 . a) Verdadero b) Falso %. Joda $unción estrictamente creciente de IR en IR es sobreyectiva. a) Verdadero b) Falso . Si Re = IR y p* x)' x 2 - % x es un nmero real, entonces 9 p* x) es' a) 4, %> b) 4, %>c c) *@∞, 4>∪%, 5∞) d) IR5 e) Re ". Si f es una $unción de IR en IR tal ue x < −% D, f * x ) = ! − x , − % ≤ x ≤ % , entonces es verdad ue' −1, x > % a) b) c) d) e)
f es una $unción par f es una $unción creciente f es una $unción invectiva f es una $unción sobreyectiva rg * f ) = @1, D>
2 § −π ¨ − µ ÷ ! D. El resultado de es' 2 sgn ( π + 1) − G − G −π GG
a)
-
% 1- p
b)
1- p
c) e)
-
% 1 +p
d)
p -
1
p +1
&. Si f es una $unción de IR en IR tal ue f * x) = @ x2 5 ! x 5 %, entonces es verdad ue' a) b) c) d) e)
f es creciente en *1, 5∞) f se intercepta con el e(e x en un solo punto #a $unción g , cuya regla de correspondencia es g * x) = f * x - !2) El gr6$ico de f es simétrico con respecto a la recta x = !2. rg * f ) = 2%, 5∞)
7. Si f es una $unción de IR en IR tal ue f * x) = 2 x2 5 x 5 , entonces los valores de para ue el gr6$ico de f no se intercepte con el e(e x es' a) *1&, 5∞) b) *&, 5∞) c) { 2} 1 d) & e) *@∞, 4) 14. Si a la $unción f de IR en IR con regla de correspondencia f * x) = @ x, se la desplaa dos unidades Nacia arriba, dos unidades Nacia la iuierda y luego se la re$le(a con respecto al e(e x, obteniéndose una $unción g , entonces g *4) = @2. a) Verdadero
b) Falso
11. Si p* x) es un $actor del polinomio f * x) y r es una ra de la ecuación polinomial p* x) = 4, entonces * x - r ) es un $actor del polinomio f * x). a) Verdadero
b) Falso
12. Si al dividir el polinomio f * x) = x2 5 px 5 ( para * x @ /) se obtiene como residuo @!, y al dividir f * x) para * x - ) el residuo es @D, entonces el valor de p( es' a) b) c) d) e)
@" @% 21 " @21
1!. Si f es una $unción de IR en IR impar, estrictamente creciente y g es una $unción par tal ue g * x) =
f * x )
, entonces el valor de
2 g *%) +! f *%)
- f * - %) +% g * - %)
es'
a) b) c) d) e)
! @2 @! @1 1
1%. Si $ es cualuier $unción de IR en IR y g es una $unción par de IR en IR entonces la $unción g o f es par a) Verdadero
b) Falso
1. Si f es una $unción inversible tal ue f @1 6a) = 2 y f *) = 9, entonces a = !. a) Verdadero b) Falso 1". Si $ y g son $unciones de IR en IR cuyas reglas de correspondencia son' x , x > 1 !− x , x≤ % f * x) = g * x) = y x + 1 , x > % 1 , x ≤ 1 Entonces la regla de correspondencia de la $unción f o g es'
x + 1 1
, x >1
x + 1 1 ! − x c) x + 1 1 ! − x d) x + 1 1
, x >1
a)
, x ≤ 1
b)
e)
2 , x + 1 , 1 ,
−% ≤ x < 2 x>% 2 ≤ x ≤ % ∨ x < −%
, x ≤ 1 , , , , , ,
x>4
−% ≤ x ≤ 4 x < −% −% ≤ x < 2 x>% 2 ≤ x ≤ % ∨ x < −%
1D. Si $*+) = @ x2 5 % x - !, x ∈*@∞, 2> es la regla de correspondencia de una $unción inversible, entonces la regla de correspondencia de la inversa de f es' a) f −1 * x) = 2 + 1 − x , x ≤ 1 b) f −1 * x) = 2 − 1 − x , x ≤ 1 c) f −1 * x) = 2 + 1 − x , x ≤ 2 d) f −1 * x) = 2 − 1 − x , x ≤ 2 e) f −1 * x) = 1 − 2 − x , x ≤ 1
1&. Si f es una $unción de IR en IR con regla de correspondencia f * x)= e sgn* x)5µ* x), entonces es )erdad ue' a) f es estrictamente creciente b) f *π) = f *@ 2 ) c) f es impar 1 2 d) rg * f )= , e e e) f no es inyectiva 17. Si Re = IR. @1/ y p* x). ln *log+ 2) = @1, entonces 9 p* x) = 2e/ a) Verdadero b) Falso + 24. ∀ x ∈ IR *log* x).log* x).log* x) = !log* x)) a) Verdadero
b) Falso
1%.
Si log*27) = a y log*!) = b, entonces log*D) es' a) ! - !a b) 2 - a 5 b c) 2 5 b - 2a d) 1 - a 5 b e) 2 - 2b 5 a 22. Si Re = IN y p* x). © «log 2* x −1) ¨ = 2 , entonces es verdad ue' $) g) N) i) ()
9 p* x) ⊆ *1, > 9 p* x)=/ 9 p* x) tiene elementos 9 p* x) = ∅ #a suma de los elementos de 9 p* x) es 2"
2!. Si f * x) = 142 x51. Re = IR y p* x)' f * x51) - f * x) = 774, entonces es verdad ue' a) b) c) d) e)
9 p* x) ⊆ IN 9 p* x) tiene dos elementos 1, 2, 4/ ⊆ 9 p* x) #a suma de los elementos de 9 p* x) ∪ / es El producto de los elementos de 9 p* x) ∪ / es
2%. Si f es una $unción de IR en IR cuya regla de correspondencia es f * x) = sen* x!), entonces f es una $unción impar. a) Verdadero b) Falso
2. El gr6$ico de la $unción f de IR en IR cuya regla de correspondencia es f * x) = 2e1@G+@1G es'
2". Xra$iue la $unción f de IR en IR con regla de correspondencia
ln* x + 1), f * x) = x 1 − e ,
x≥4 x<4
2D. Lroporcione un contrae(emplo para la siguiente proposición' *+oda ,unci-n estratgicamente creciente es sobre&ecti)a/ 2&.
∀N ∈ IR + ∀a ∈ IR+ − { 1} [ log a *N ) = log a * ) + log a * N ) ]
27. Si f es una $unción de IR - @2, 2/ en IR cuyo gr6$ico es'
Entonces determine la regla de correspondencia de la $unción g * x)= sgn* f * x)).
Folleto !2 1D. na persona ecNa a volar una cometa su(eta al cordel a % metros sobre el terreno3 el Nilo est6 tenso y $orma un 6ngulo de "4C con la Noriontal. Entonces la longitud del cordel e+presada en metros es' a)
!
b) % !
c) %
!
d)
!
! !
e) &
! !
1&. Si 9 y H son dos matrices cuadradas cualesuiera entonces * A - B)2 = 92 - 2 AB 5 B2 es' a) Verdadero
−1 1 17.
b) 7"
2
4
!
b) Falso
% 4 y B = 2 1 1 −1
c) @D&
4
4 . El det* A . B) es' 1
d) @2&
e) @&%
−1 2 −! 24. #a inversa de la matri A = 2 −1 1 es' ! 1 2 −! −D −1 −! −D −1 1 1 −1 −1 D −! a) A = − −1 D − b) A = − 1% 1& D −! −1 D − −! −D −1 −! −D −1 1 1 −1 D − −1 −1 D −! c) A = − d) A = 1& 1% −1 D − D −! e) A no tiene inversa
x + 2 y − z = 4 21. Sea x, y, z ∈ IR. Entonces el sistema de ecuaciones 2 x + z = 4 es inconsistente. x − 2 y − 2 z = 1 a) Verdadero
b) Falso
22. En un corral Nay gallinas y cone(os, en total Nay %& cabeas y 1"& patas. #a suma del nmero de gallinas y cone(os ue Nay en el corral es' a) 1% gallinas y !% cone(os b) !% gallinas y 1% cone(os c) 1" gallinas y !2 cone(os d) !2 gallinas y 1" cone(os e) 12 gallinas y !" cone(os 2!. El gr6$ico ad(unto representa el con(unto solución de un sistema de inecuaciones. 0denti$uelo.
a)
y ≥ x − 1 y ≥ −2 x ≥ ! y ≥ x − 1 d) y ≤ −2 x ≥ !
b)
y ≤ x − 1 y ≤ −2 x ≤ ! e)
c)
y ≤ x − 1 y ≤ −2 x ≥ !
y ≤ x − 1 y ≥ −2 x ≤ !
2%. Sean los nmeros comple(os 1 = @! 5%" y 2 = - 2", entonces 1 2 = @D 5 2"". a) Verdadero b) Falso 2.
! 2
−
1 2
" entonces es $also ue'
a) El módulo de z es 1. b) se ubica en el tercer cuadrante. 1 ! c) z + " = − . 2 2 d) El argumento de es e) z = −
! 2
+
1 2
%π !
.
".
Folleto $'
1. na contrarrecproca de la proposición' ;!" 'a concentrac" 1 se lee' Ke+iste un x mayor ue 1 M a) Verdadero
b) Falso
. 8onsidere las siguientes proposiciones' 3' El petróleo es de los ecuatorianos n' El petróleo bene$icia a los ecuatorianos #a proposición' KEl petróleo es de los ecuatorianos pero no los bene$iciaM euivale a a) 3 ∨ n b) 3 ∧ n c) ¬3 ∧ n d) n→ 3 e) 3 ∧ ¬n ".
A ∩ B = 1, "/3 * A ∪ B ∪ C )C = 14/3
A – C = 2, !, "/ C @ * AB) = D, &, 7/
Entonces es verdad ue' a) A ∩ B ∩ C = 1, 7/ b) B = 1, %, , ", 7/ c) C – A = D, &, 7/ d) C – B = 1, D, &/ e) * B ∪ C )C = 2, !/ D. 8onsidere las $unciones f ' → N , g ' N → tales ue f = *1, Y)3 *2, Z)3 *!, Z)/ g = *Y, 2)3 *Z, !)3 *P, 1)3 *[, 2)/ 0ndiue cu6l de las siguientes proposiciones es Verdadera' a) b) c) d) e)
f es inyectiva g es biyectiva To es posible determinar \ rg f = Z, Y/ N = Z, P, [/
8ali$iue como Verdaderas o Falsas las siguientes proposiciones. 8onsidere a, b ∈ IR. &. *a - b)2 = a2 - b2 a) Verdadero
b) Falso
7. *a - b)! = a! -!a2 b 5 !ab2 - b! a) Verdadero
b) Falso
14. a%b% = *a2b2)2 a) Verdadero
b) Falso
11.
a 2 + b2
= a+b. a) Verdadero
% x + ! & x + "
% x 2 + 11x + "
÷ ( & x + " ) se obtiene' x 2 − D x − 1& % x + ! 1 % x + ! b) c) d) 2 x − 1& 2 x − 1& x − 7
12. 9l simpli$icar la e+presión a)
b) Falso
e)
1 x − 7
1!. Sean x, ∈ IR. #a suma de los valores ue debe tener para ue la ecuación % x 2 − 2x + 1 = 4 tenga solución nica es' a)%
b)4
c)!
d)1
e) 2
1%. #a cantidad de bacterias 1mg> de un cultivo en $unción del tiempo t min>, puede modelarse por la e+presión 1*t ) = &44e4.t . El tiempo ue deber6 transcurrir para ue la cantidad de bacterias sea de 2%44 mg, e+presado en minutos es' a) ln !
b) -ln !
c) 4
d) ln 7
e) -ln 7
1. #a $unción de variable real f * x) = " x - 14 es monótona creciente. a) Verdadero b) Falso 1". #a $unción de variable real f * x) = * x @)2 5 D, tiene dos ceros. a) Verdadero b) Falso 1D. especto a la gr6$ica de una $unción f de variable real ue se ad(unta, es VE<9< ue'
a) b) c) d) e)
f *@2) = f *2) f es periódica. f es impar. f *@1) - f *4) = 1 f es acotada
1&. El valor de
π + 2tg π − % cos ( !!4° ) ÷ ÷ " % sen ( 2D4° )
sen
es'
a) % ! +
b)
( % ! − )
( % ! + )
c)
d)
( − % !)
e) − % !
2 2 2 17. Sea x ∈ IR. El producto de las soluciones de la ecuación de la ecuación 7 x2@1 - 2D = 4 es' a) 2 b) 2 c) 1 d) − 2 e) @2 24. Si x∈ 4, 2π>, el nmero de soluciones de la ecuación sen* x) = @! es 2. a) Verdadero b) Falso − 21. ∀ x ∈ IR − 4/, e 2lnG xG
= x −2 a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
22. Si z ∈ C , z.z =G z G2 .
x+ y x y 2!. Si a > 4 ∧ a ≠ 1, ∀x, y ∈ IR, a = a + a . a) Verdadero
1 1 ÷, 1 1 −
2%. 8onsidere las matrices A =
a)
11 1 1 !÷ d)
a 2. 8onsidere det d g a)
b
c
e
f ÷
%
b)
−
b) Falso
2 4 . #a matri *2 B - A)@1 es' ÷ 4
B =
1 11 1 ÷ !2 1 !
1 D 2 − ÷ % 2 4
÷ = . El "÷ b) @
c)
1 11 1 ÷ !2 1 !
1 D 2 e) ÷ % 2 4
g det !d a
%
÷
!e ! f ÷ es' b c÷
c) 14
2". especto al sistema de ecuaciones lineales
"
d) 1
e) @1
x + y + !z = 2 −2 x + ! y − z = 1 , es VE<9< ue' ! x − % y − 2 z = !
a) Jiene solución nica b) Jiene in$initas soluciones c) Es inconsistente d) x = 1 e) y 5 z = @1
Folletos ue)os Folleto 1
1. ∀ x ∈ IR, ( cos G x G= cos x ) a) Verdadero
b) Falso
2. Si f: IR → IR, ta' (4e f6x7 = , ∈ IR, entonces f es periódica a) Verdadero b) Falso !.
∀α , β ∈ IR, ( senα = senβ ) ⇒ ( α = β )
x %. ∀ x ∈ IR, !
a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
≥ 2x
.
b) Falso
". En el gr6$ico ad(unto, si U es el centro del crculo, entonces 3*∠ ABC ) es igual a 3*∠ABC ) + 3*∠A5B) . 2 8 H <
.U 9
a) Verdadero
b) Falso
D. #a contrarrecproca de la proposición KSi ]uan va a la c6rcel, entonces no obedece la leyM es' a) b) c) d) e)
Si ]uan no va a la c6rcel, entonces obedece la ley. Si ]uan no obedece la ley, entonces va a la c6rcel. Si ]uan va a la c6rcel, entonces obedece la ley. Si ]uan obedece la ley, entonces no va a la c6rcel. Si ]uan no obedece la ley, entonces no va la c6rcel.
&. El valor de la suma cos*1C) 5 cos*2C)5 cos*!C)5 O 5 cos*!"4C) es' 1 1 a) 4 b) 1 c) @1 d) e) − 2 2 7. na de las siguientes proposiciones es verdadera. 0denti$uela. p a) El con(unto de los nmeros racionales es 1 = x x = , p ∈ IR, ( ∈ IR, ( ≠ 4 ( b) Jodo nmero irracional puede ser e+presado como una $racción. c) N ⊆ 1 ⊆ * ⊆ IR d) En el con(unto de los nmeros reales, el neutro aditivo es 1 y el neutro multiplicativo es 4. D1 e) #a representación $raccionaria del nmero racional 2.111O es . !! 14.
b) @1/
c)
1
d)
! 2
e)
27 , 1 2
11.
#a condición 1 es su$iciente, pero la condición 2 no es su$iciente. #a condición 2 es su$iciente, pero la condición 1 no es su$iciente. #as condiciones 1 y 2, (untas, son su$icientes, pero cada una no es su$iciente. #as condiciones 1 y 2 son su$icientes. #as condiciones 1 y 2, (untas, no son su$icientes.
12.
#a condición 1 es su$iciente, pero la condición 2 no es su$iciente. #a condición 2 es su$iciente, pero la condición 1 no es su$iciente. #as condiciones 1 y 2, (untas son su$icientes, pero cada una no es su$iciente. #as condiciones 1 y 2 son su$icientes. #as condiciones 1 y 2, (untas, no son su$icientes.
1!.
f es sobreyectiva o g es sobreyectiva g o f es inyectiva o f es sobreyectiva f es sobreyectiva solo si f tiene inversa g tiene $unción inversa y g o f también g o f es biyectiva
2 ! x 1%. ÷ y
14
, entonces, los valores de y >, tales ue las potencias
de x e y del tercer término sean respectivamente iguales a las potencia de x e ydel octavo término, son' a) b) c) d) e)
= 2 y> = @! = 2 y> = ! = ! y> = 2 = @2 y> =! = % y> = 2
1. Si un rect6ngulo se inscribe entre los e(es coordenados y la recta ?' y = " - ! x, como se muestra en la $igura ad(unta3 entonces, el valor del 6rea del rect6ngulo de mayor super$icie ue se puede inscribir es'
a) ! b) 2
?
c) 1 d) " e) 12
1". El valor de x, de modo ue * x @ 1), x, * x 5 2) sean términos consecutivos de una progresión geométrica es' a) @2 b) 1 c) @1 d) 2 e) 4 1D.
a ! − b
, a, b ∈ IR y el predicado p*a, b)' A2 = I .
Entonces, es Verdad ue' a) N *9 p*a, b)) = 2 b) N *9 p*a, b)) = % c) 9 p*a, b) = ∅ d)
x y ∃* x, y) ∈ 9 p*a, b) det = 4 1 4
e) 9 p*a, b) = *@1, 1) 1&. Si Re = IR y se de$ine el predicado p*+)' log* x2 5 1) - 2log x = 1, entonces es Verdad ue' a) b) c) d) e)
9 p* x) ⊆ , 14) N *9 p* x)) = 2 9 p* x) ⊆ *4, 1!> 9 p* x) - 4, > = 2/ Tinguna de las anteriores
17. Si Re = IR y se de$ine el predicado p* x)' 1" x - % x52 5 1 = 4. Entonces, la suma de los elementos de 9 p* x) es' a) ! b) c) log2! d) 4 e) log%1
x + !
!
24.
x − 1
. Entonces, los valores reales x,
tales ue la matri A sea invertible, son' a) b) c) d) e)
x ≤ x ≥ 4 x ≥ x ≥ @! x ≥ ∧ x ≠ "
21. 8on respecto a la $unción de variable real f * x) = ln*G xG), x ≠ 4, una de las siguientes proposiciones es Falsa. 0denti$uela. a) f es par b) 8on$orme x se aprox"3a a 4, f * x) disminuye. c) Si x es pos"t"@o y x a43enta, f * x) también aumenta. d) Si x es negat"@o y x d"s3"n4ye, f * x) aumenta.
e) Si x es negat"@o y x d"s3"n4ye, f * x) también disminuye. 22. El 6rea del tri6ngulo SJ cuyo gr6$ico se ad(unta es' y
a) ! *a, b)
b) c) $ *c, 4)
R*1 , 4)
x
d) e)
bc
2 b ( c − 1) 2 c ( b − 1) 2 a ( c − 1) 2 c ( a − 1) 2
2!. En el crculo de radio 12 se traan dos di6metros perpendiculares AC y BD. Si es el punto medio de la cuerda BC , entonces la longitud del segmento A es' a) 14 " b)
!&4
c) " 14 d) " 14 + 1 e) " 2 2%. #a altura % de un punto sobre un arco parabólico de 1&m. de altura m6+ima y 2%m de base, situado a una distancia de &m. del centro del arco es'
a) b) c) d) e)
*4, 1&)
& 14 12 2" 1%
N
&
*12, 4)
2. Si z 1 = 1 - !", z 2 = 2 5 ", son nmeros comple(os, entonces el módulo del nmero es'
"
e
z 1 z 2
a) e −1V
b) e D V
c) e 2 V
2 2". Si se de$ine el predicado p * x) ' cos x =
a)
π , !π , π ! %
b)
π , π , 2π ! " e)
d)
!*1 − sex)
, 2 π !π c) , " %
&
e) 4
x ∈ 4, 2π > , entonces 9 p* x) es'
,
π 2
d)
π , π , π " " 2
π , !π , π % %
2D. #a ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos # 1*4, 2), # 2*%, 2) y cuyo e(e menor tiene longitud 2 es' a) b) c) d) e)
%* x @ 2)2 5 * y @ 1)2 = 1 * y @ 2)2 5 * x @ 2)2 = 1 * x @ 2)2 5 %* y @ 2)2 = % %* x @ 2)2 5 %* y @ 2)2 = 1 1"* x @2)2 5 %* y @ 2)2 = %
π − π + π − π + π − π + ... ÷ es igual a' 2 ! % " & 12
2&. #a e+presión sen
a) b)
1 2
−
2 !
c) d)
1
2
−
! 2
e) 1 27. Si Re = C y se de$ine el predicado p*)' determinan, el en plano comple(o' a) b) c) d) e)
na recta na par6bola
z + 1 z − 1
= 2 , entonces los
elementos de 9p*)
!4. El 6rea lateral de un cilindro cuya generatri es congruente con el lado del tri6ngulo euil6tero inscrito en su base de radio r , es' a) !π b) 2r 2π c) 2 !r 2π d) !r 2π e) r 2π !1. El volumen de un cono construido a partir de un sector circular de radio 2cm y 6ngulo π central de medida igual a es. ! a)
π ! &1
b)
π ! "%
c)
π 2! %
d)
π 2! 7
e)
π ! 1"
!2. Si en la $igura ad(unta el tri6ngulo tiene la Nipotenusa paralela al e(e ::^, entonces el volumen del sólido de revolución ue se genera al rotar la región sombreada alrededor del e(e ::^ indicada es'
:^
:
2
1
π ! b) %π 1"π c) ! &π d) ! %π e) ! a)
Folleto 2 onsidere el )alor de )erdad de las proposiciones indicadas en los temas de esta secci-n !1 al 20# 1. Si A y B son matrices simétricas 1, 2 y ! ue A y B son dos matrices de orden n×m' a) Verdadero b) Falso
2. A es inversible si y sólo si det* A$ ) = 4 a) Verdadero
b) Falso
!. Si 9 y H son matrices inversibles, entonces *9H)@1=H@19@1
a) Verdadero
b) Falso
8onsidere para los temas % y ue z , ∈C ' con(unto de los nmeros comple(os
%. Si p* z )' Gz - 2" G= 1, entonces la gr6$ica de 9 p* z ) de$ine en IR2 una circun$erencia con centro en *4, 2) y radio 1. a) Verdadero b) Falso . z = z a) Verdadero ". #a ecuación y =
1
12 coordenadas *2, %).
b) Falso
( x2 − % x + 1" ) representa una par6bola cuyo $oco tiene por a) Verdadero
b) Falso
D. #a ecuación % x2 5 & x 5 1" = 4 representa una elipse cuyo e(e menor mide ! unidades. a) Verdadero b) Falso
8onsidere para los temas &, 7 y 14 el con(unto Re = IR y el siguiente sistema de ecuaciones lineales'
x − 2 y + z − = 2 p* x, y, z, ) ' −2 x + % y + 2 z + 2 = % − x + 2 y + !z + = " &. #a matri aumentada es de orden !×% a) Verdadero
7. #a matri de coe$icientes es
1 −2 −2 % −1 2
a) Verdadero
b) Falso 1 2 !
−1 2 ÷ 2 %÷ 1 "÷ b) Falso
14.9 p* x, y, z, ) = * x, y, z, ) x = 2t . s, y = t , z = , = s3 s, t ∈ IR/ a) Verdadero b) Falso
11. Si Re = 4, 2π > y p* x)' cos x*cos x) @ 1> =
−
1 %
, entonces la suma de los elementos del
con(unto de verdad 9 p* x) es 2π . a) Verdadero
b) Falso
12. #as rectas ?1' 2 x 5 ! y - 1 = 4 y ?2' ! x - 2 y 5 1 = 4 no son perpendiculares' a) Verdadero b) Falso 1!. Sean 2 y # vectores en IR!, si GG2 GG 5 GG# GG entonces ∃c ∈ IR2 a) Verdadero b) Falso
= c# > .
Lara los temas 1%, 1 y 1" considere la $unción de variable real' f * x) = log!*1- x)-1 1%. do3 f = 2, 5∞) a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
1". f no es una $unción creciente. a) Verdadero
b) Falso
1D. f * x) = Gx - 2G - G x 5 2G, x ∈ IR, es una $unción impar a) Verdadero
b) Falso
1&. f * x) = x! 5 sen2 x, x ∈ IR, es una $unción impar a) Verdadero
b) Falso
1. f *-2) f *2!) = -1
17. Sea la e+presión lógica' * p ⇒ r ) ∧ *( ⇒ r ), entonces una e+presión lógicamente euivalente es * p ∧ () ⇒ r a) Verdadero b) Falso 24. Sea la sucesión' 1, !, , D, 7, 11, 1!, O/ Entonces la suma de sus n términos es ! n = n& a) Verdadero
b) Falso
21. Lablo le pregunta a ]enny' K8u6ntas veces te Nas enamoradoM y ella le contesta' KSi f * x) = x% - 2 x! - 12 x2 @ 1% x - , la nica ra positiva de la ecuación f * x) = 4 es la repuestaM. Lor lo tanto, ]enny se Na enamorado' a) na ve b)
c) 8inco veces d) 8uatro veces e) Jres veces
22. Si 1 = 1 5 !" y 2 = @1 5
!" . El valor
z 2 2÷ z 1
a) Verdadero
2
es'
b) Falso
2!. Si la ecuación de la circun$erencia es x2 - 14 x 5 y2 5 21 = 4, el segmento AB es tangente a ella y el punto C es su centro.
a)
B A
C
x
21
42
2 b) "4 2 c) 2 214 2 d) 4 2 e) 214 2
2%. Si f * x) = sen * x), la ecuación de la circun$erencia mostrada es' 2
π π a) x + ÷ + y 2 = % % 2 π π b) x − ÷ + y 2 = % % 2 π π 2 2 c) x − ÷ + y = 1" % 2 π π 2 d) x + ÷ + y 2 = 1" % 2 π π 2 2 e) y − ÷ + x = 1" %
2. Si ABC es un tri6ngulo euil6tero de lado igual a 24 y D, + y son los puntos medios de los segmentos AB , BC y AC respectivamente, entonces el 6rea de la región sombreada es' B
a) b) +
D
c)
C
d)
! % %
42 42 !
2
2
42 42
2 2 2 e) 4 ! 2".
a) b) c) d) e)
&
π 4 !
! 2 ! π 4 ! ! π 4 ! D ! π 4 ! % ! π 4 !
2D. Sea R = * x, y)∈ IR23 GxG - 2 ≤ y ≤ % - x2/, entonces la región est6 representada por'
2&. Si Re = C y p* x) '
% ! 2 1
+
& x
2
−1
x
−
% 1 2
x
= 4 . Entonces la suma de los elementos de
9 p* x) es' a) b) c) d) e)
2 ! ! % D & 1 2 D
27. Sean A, B y C matrices tales ue C = AB, siendo' 1 −1 2 !
% A = 4 !
÷
D
7
2
%÷
1
1
4
El valor de c2! - c22 - c21 es' a) 4
1÷
y
÷
b) 1
!4. Si Re = IR y p* x)' log x * x @ ") = 2
c) %
1 −! % 2 4 ÷ ÷ B = 1 1 −1÷ ÷ −1 ! −14 d) "
e) &
Entonces la suma de los elementos de 9 p* x) es' a) 2 b) ! c) d) "
e) %
!1. Si Re = IR y p* x) ' µ *G x − 1G −2) = 4 , entonces 9 p* x) es' a) *@∞, @1) ∪ *!, 5∞) b) *@1, !) c) *@∞, @1> ∪ !, 5∞) d) @1, !> e) ∅ !2. Si la suma de los D elementos de una progresión aritmética es @D y su di$erencia es 2, entonces el primer término de esta progresión es' a) 14 b) 2 c) @ d) @D e) @2 !!. Si Re = IR! y p * A, B, C ) '
2 x − 1
x* x 2 + 17) Entonces el valor de A . B . C es'
a) !
b) %
A
Bx + C
x
x2 + 1
= +
c) 2
d) @2
e) %
!%. 9l simpli$icar la siguiente e+presión algebraica 2
2
e x + 1 − e x − 1 ÷ ÷ e x e x 2 2 ln x − 1 − ln x + 1 ÷ ÷ ln x ln x Se obtiene' a) b) c)
e x
1 + ln x e x + 1 ln x e x + 1
1 + ln x d) -1 e) 1 !.
c) Si soy Nonesto, entonces gano dinero3 soy Nonesto. Lor lo tanto, gano dinero. d) Si el perro salta sobre el gato, entonces el perro se cae. Lor lo tanto, si el perro no se cae, entonces no salta sobre el gato. e) Estudio en la ESLU#3 y, si estudio en la ESLU# soy $eli. Entonces soy $eli.
Examen Final de Matemáticas %ngenieras Folleto '
1. Si p* x) y (* x) son polinomios tales ue (* x) es un $actor de p* x) y r 1 es una ra de la ecuación polinomial p* x) = 43 entonces, r 1 es la ra de la ecuación polinomial (* x) = 4. a) Verdadero b) Falso 2. Si p* x) es un polinomio de coe$icientes reales y z ∈ C es una solución de la ecuación polinomial p*+) = 4, entonces z también es solución de la ecuación polinomial p* x) = 4 a) Verdadero b) Falso !. Si ) 1, ) 2 ∈ n×1 son soluciones del sistema Nomogéneo A) = 4, donde 9∈ n×n, 4∈ n×13 entonces ) 1 5 ) 2 también es solución del sistema Nomogéneo A) = 4. a) Verdadero b) Falso %. Si 9∈ n×n es una matri no inversible ;∈ n×1, H∈ n×1, entonces el sistema de ecuaciones lineales A) = B, tiene in$initas soluciones. a) Verdadero b) Falso . Lara toda $unción f: IR→ IR, la $unción g * x) = f * x) 5 f *@ x) es par. a) Verdadero b) Falso ".
∀a ∈ IR a4 = 1> a) Verdadero
b) Falso
D. #a $orma proposicional *p∨r)⇒> ⇒ *p⇒) ∨ *⇒r)> es una tautologa. a) Verdadero b) Falso &. #a negación de la proposición KTingn nmero par es divisible para !M es KE+iste un nmero par no divisible para !M a) Verdadero b) Falso 7. Si dos prismas son euivalentes entonces las 6reas de sus super$icies laterales son iguales. a) Verdadero b) Falso 14. Si se tienen' un plano π , una circun$erencia C ⊆ π de centro en el punto P y una recta ? ⊆ π tangente a C en el punto 1, entonces P1 ⊥ ? .
a) Verdadero
b) Falso
2 x − y + z = 4 p* x, y, z ) ' % x + y − z = 4 , ∈ IR . 8ali$iue las siguientes proposiciones de los −! x + 2 y + !z = 4 numerales del 11 al 1% como verdadero o $also'
11.
∀ ∈ IR, Ap* x, y, z ) = ∅ . a) Verdadero
12. Si = −
21 7
b) Falso
, entonces 9 p* x, y, z )= *@t , @7t , t )t ∈ IR/ a) Verdadero
1!. Si = −
21 7
b) Falso
, entonces *, 7, @1) ∈ 9 p* x, y, z ) a) Verdadero
b) Falso
1%. Si = -2, el sistema tiene solución nica. a) Verdadero 1 t + 1 1
1. En la matri 4 1
−1 t 4 1
b) Falso
, la suma de los valores de t para ue la matri no tenga
inversa es' a) 4
b) 1
c) @1
d) @!
e) !
1". na de las cinco opciones muestra el sistema de desigualdades cuyo con(unto solución es la región sombreada del plano cartesiano mostrada en el gr6$ico ad(unto. 0denti$uela'
a)
x ≥ % x − y ≤ " x ≥ 4 y ≥ 4
d)
x ≤ % x − y ≤ " x ≥ 4 y ≤ 4
x ≤ % x + y ≥ " b) x ≤ 4 y ≥ 4 x ≤ % x + y ≥ " c) x ≥ 4 y ≤ 4
e)
x ≤ % x + y ≤ " x ≥ 4 y ≥ 4
1D. Si un octógono regular est6 inscrito en una circun$erencia de permetro igual a 12π , entonces el 6rea de la super$icie e+terna al polgono e interior a la circun$erencia es' a) !"π - b) D2 2 c) !" 2
(
d) !" π − 2 2
(
e) 7 %π − 2
)
)
8on re$erencia a las regiones ! y $ , mostradas en el gr6$ico ad(unto, cali$iue las siguientes proposiciones de los numerales del 1& al 21 como verdaderas o $alsas' A C 1
! $
2
B A^
2
B^ C ^
1&. 9l rotar la región ! alrededor del e(e CC ^ se genera un cono de revolución de radio 2 y altura 1. a) Verdadero b) Falso 17. El volumen del sólido generado al rotar R = ! ∪ $ alrededor del e(e AA^ es a) Verdadero
2&π !
b) Falso
24. El volumen del sólido ue se genera al rotar R = ! ∪ $ alrededor del e(e AA^ es el mismo ue se genera al rotar R alrededor del e(e CC ^ a) Verdadero b) Falso
21. El sólido ue se genera al rotar R = ! ∪ $ alrededor del e(e BB^ es el mismo sólido ue se genera al rotar R alrededor del e(e AA^ a) Verdadero b) Falso
b) Falso
! ! 2!. Si 9 = 2, la ecuación describe una circun$erencia de centro en − , − ÷ 2 2 a) Verdadero b) Falso 2%. ∀ A > 4 , la ecuación describe una Nipérbola a) Verdadero
b) Falso
2. ∀ A < 4 , la ecuación describe una elipse a) Verdadero
b) Falso
2". na elipse concéntrica con una circun$erencia tiene por e(e menor el di6metro de dicNa circun$erencia. El e(e mayor de la elipse mide " y es paralelo al e(e ) . Si la ecuación de la circun$erencia es x2 5 y2 - & x @" y 5 21 = 43 entonces la ecuación de la elipse es' a) 7 x2 5 % y2 - !2 x - % y 5 147 = 4 b) 7 x2 5 % y2 - D2 x - 2% y 5 1%% = 4 c) % x2 5 7 y2 - 2% x - D2 y 5 1%% = 4 d) % x2 5 7 y2 - !2 x - % y 5 147 = 4 e) % x2 5 7 y2 - % x - !2 y 5 147 = 4
2D. Si se tienen dos nmeros comple(os' 1 = 2 – " y 2 = ! . " 3 entonces el módulo del nmero comple(o
a) e
z 1 z 2
e
es'
b) 2
c)
1 2
d) 2e
2&. Si se de$ine el con(unto re$erencial Re= IR2 y el predicado x − 1 a b 3 entonces a . b es igual a' p* a, b) ' = + x 2 + " x + & x + 2 x + % D a) @1 b) c) 2 d)1 2
e)
e
e) 4
27. na conclusión v6lida para el siguiente raonamiento' KSi 2 divide a un nmero entero positivo z y z es mayor ue 2, entonces z no es un nmero primo. Lero z es un nmero primoM es' a) Si z es mayor ue 2 entonces z no es un nmero primo. b) To es verdad ue 2 no divide a un entero positivo z y ue z es mayor ue 2. c) Si 2 no divide a un nmero entero positivo z , entonces z es mayor ue 2. d) 2 divide a un nmero entero positivo z y z es mayor ue 2. e) 2 no divide a un entero positivo z o z no es mayor ue 2. !4.
!1. Si se de$inen los vectores A y B en IR!, tales ue A =
B = −
!
,−
!
−
2
,
2
, x÷ , x ∈ IR@ y la medida del 6ngulo ue $orman entre ellos es
2 2 2 2 entonces x es igual a' a)
2 2
b)
! 2 %
c)
−
! ! 2
d)
! ! 2
e)
, 4÷ , %π 3 !
! 2
!2. ∪", ∞) b) *@∞, 2>∪!, ∞) c) Re - !/ d) !/ e) Re !!. Lablo reparte periódicos en !4 minutos. 9 Ledro le toma 24 minutos realiar la misma actividad. R8u6nto tiempo, en minutos, tardar6n en entregar los periódicos si traba(an (untos a) & b) 14 c) 2 d) 12 e) 1 8on regencia a la $unción f de$inida por f * x) = loga x, x B 4, a∈*1, 5∞) cali$iue las proposiciones de los numerales del !% al !D como verdaderas o $alsas' !%. f * xn) = nf * x), n ∈ * a) Verdadero
b) Falso
!.
f * x ) = − log 1 x a
a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
a 2 a 1! !". f ! ÷ ÷=" a !D. f * x . y) = f * x) 5 f * y)
sgn ( x ) ln x , x≠ 4 8on re$erencia a la $unción f ' IR→ IR tal ue f * x) = , cali$iue las x = 4 4, proposiciones de los numerales del !& al %1 como verdadero o $also' !&. f es creciente en todo su dominio. a) Verdadero
b) Falso
!7. f es una $unción impar. a) Verdadero %4. #a inversa de f en *4, 5∞) es la $unción e-x, x∈ IR& a) Verdadero
b) Falso
b) Falso
%1. f es sobreyectiva. a) Verdadero
b) Falso
8on relación a la $unción de variable real f ' IR→ IR, cuyo gr6$ico se ad(unta, cali$iue las siguientes proposiciones de los numerales del %2 al % como verdadero o $also'
%2. El gr6$ico de µ* f * x)) es'
a) Verdadero
b) Falso
%!. El gr6$ico de sgn* f * x)) es'
a) Verdadero
b) Falso
%%. El gr6$ico de f * x @ 1) @1 es'
a) Verdadero
b) Falso
a) Verdadero
b) Falso
%. El gr6$ico de G f * x)G es'
