2TKJ2 -
2011 SMK Telkom Sandhy Putra Malang
[ KUMPULAN
SOAL + PEMBAHASAN MATEMATIKA
]
KELOMPOK 3
1. Jika vektor a=325, b=-467, a=2-13 Vektor 2a + b - 3c = ...... Jawab : 2a + b - 3c = 2325+-467-32-13 = 6410+-467+-63-9 = -4138
OLEH :
2. Diketahui titik A(-1,-5,-2) dan B(5,-4,-17), jika titik P pembagi AB sehingga 1. AP:PB = 2:1, maka 2. Vektor posisi titik P adalah : 3. Jawab: 4.
Ahmad Irsyadur Rozikin(03) Denny Eko Prasetyo (08) Farah Adillah (13) Luqman Chakim Saputra (18) (23) 5. M. Rafi Khabibi 6. Ranindita Nur Fadhilah (28) Pakai rumus perbandingan : p= na+ mbm+n 7. Satria Dwi Putra (33) p= na+ mbm+n= a+ 2b2+1= -152+ 25-4173= -152+ 10-8343= 9(38) 8. Yoga Putra Pradhana 3363= 3-111
3. Titik P(3,2,-1), Q(1,-2,1) dan R(7,p-1,-5) segaris untuk nilai p = Jawab: 4p-3-4= k-2-42 ⇔4=-2k →k= 4-2=-2 ⇔ p – 3 = -4k p – 3 = -4x.-2 p–3=8 p = 8 + 3 = 11 PR=k PQ
jadi p = 11
r- p=k (q- p) 7p-1-5-32-1= k 1-21-32-1
4. Diketahui titik-titik A(2,-1,4), B(1,0,3) dan C (2,0,3). Cosinus sudut antara AB dan AC adalah : Jawab:
AB.AC = AB.AC.cosa cosa= AB.AC AB.AC
= -11-1.01-1 -12+ 12+ -12 . 02+ 12+
AB= b- a= 103-2-14= -11-1 AC= c- a= 203-2-14= 01-1
-12 = 0+1+1 3 . 2 =26= 26 . 66= 266= 136
Cosa= AB.AC AB.AC 5. Diketahui a = 3 ; b = 1 dan a- b = 1 Berapa panjang vector a+ b = Jawab: Gunakan rumus berikut : a+ b= a2+ b2+2ab cosa = 2a2+ b2-a+ b2 Diketahui :
Masukkan ke dalam rumus : a+ b2= 2a2+ b2-a+ b2 = 23 + 1-1= 2×4-1 =7
a2=(3)2=3 ; b2=1 ; a+ b2=1 6. Panjang proyeksi ortogonal vector a = - 3 i + p j + k pada vector b = - 3 i + 2 j + pk adalah 32, maka nilai p adalah :
Jawab : Gunakan rumus : OC= c= a . bb
⇔ 23+3p=37+p2 → Proyeksi
skalar ortogonal a pada b c= a . bb= -3p1 . -32p(-3)2+ 22+ p2= 3+2p+p3+4+p2= 3+3p7+p2= 32
⇔ 61+p=37+p2 ⇔ 21+p=7+p2 ⇔ 2+2p2=7+p22
⇔ 4+8p+4p2=7+p2
p+3=0
⇔ 8p+3p2-3=0
p=-3→ memenuhi
⇔ 3p-1(p+3)=0
Jadi nilai p adalah 13
3p – 1 = 0
7.
3p = 1 p = 13 →
(ii) Tidak
8. Diketahui vector a = 2i- 4j- 6k dan b = 2i – 2j + 4k
(i)
Proyeksi vector ortogonal a pada b adalah… Jawab: Rumus proyeksi vektor
c= a . bb2 . b= 2-4-6 . 2-2424 . 2-24
ortogonal a pada b adalah : c= a . bb2 . b a= 2-4-6 ; b= 2-24
= 4 + 8 - 2424 . 2-24 = -1224 . 2-24
b= 22+ (2)2+ 42= 24 b2=24 masukkan ke dalam rumus :
= -12 . 2-24= -11-2 = -i + j – 2k
9. Diketahui vektor : a= -123 ; b= 2-1-2 dan c= -1-23 Tentukan x jika :
a) x = a + b b) x + a = c
Jawab : a) x = a + b = -123+ 2-1-2= 111 b) x + a = c ⇒ x = c – a = -1-23- -123= 0-40 10.Ditentukan titik-titik P(2,7,8) dan Q(-1,1,-1). Tentukanlah dalam bentuk komponen vektor yang diwakili oleh PR apabila R adalah titik pada PQ sehingga PR = 13 PQ dan berapa koordinat R.
Jawab : PQ = q – p
Misal koordinat titik R adalh (x,y,z)
= -11-1- 278= -3-6-9 Karena PR = 13 PQ sehingga
maka: PR = r – p → -1-2-3= xyz- 278
komponen vector yang diwakili oleh
xyz= -1-23+ 278= 155 Jadi koordinat R (1,5,5)
PR = 13 -3-6-9= -1-2-3
11.Diketahui dua titik P(-1,4,3) dan titik Q(2,1,-3) Tentukan vektor PQ Jawab : PQ =OQ- OP =21-3- -143= 3-3-6 12.Hitunglah perkalian skalar antara: a = 2i + 3j + 5k dan b = i + j + k Penyelesaian: a . b = 2 . 1+ 3 . 1+ 5 .1 = 2 + 3 + 5 = 10 13.Diketahui vektor-vektor sebagai berikut: a=124
b=540
Tentukan hasil kali skalar dua vektor tersebut Jawab: a . b = 1 . 5+ 2 . 4+ 4 .0 = 2 + 3 + 5 = 10 14.Bila vektor a=149, b=25-3,c=312, dan p= a- 2b+ 3c, panjang vektor p adalah ...... Jawab : p=a-2b+ 3c p=149-225-3+ 3312 p=149-410-6+ 93-6= 6-39
p= (6)2+ (-3)2 + (6)2 = 126=314 15.Dalam ∆ABC diketahui P titik berat ∆ABC dan Q titik tengah AC. Jika CA= u dan CB= v, maka PQ= .... Jawab : CA = u, CB= v PQ = 13 BQ = 13 (BC+ CQ) = 13 (BC+ 12CA) = 13 (-v)+ 16(u) = 16u- 13 v 16.Diketahui a=3,b=1 dan a-b=1 Panjang vektor a+b=… Jawab: a-b=2(a2+b2)-a-b2 a-b=2(a2+b2)-|a-b|2 = 2(3 2 + 12)-12 = 2(4)-1=7 a-b = 7
17.Diketahui titik A(3,1,-4),B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3:2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah… Jawab: 3p+2p=3b+2a 5p=3b+2a p=3b+2a5 AP:PB = 3:2 → APPB =32 2AP = 3PB 2p-a=3b-p 2p-2a=3b-3p
18.Jika vector a=123;b=54-1dan c=4-11
p =33-46+231-45=1510105=3-22 CP=p - c = 3-22--154=4-7-2
Maka vektor a+2b-3c=… Jawab: a+2b-3c=123 +254-1-34-11 = 123+108-2-12-33
= 1+10-122+8--33-23=-113-2
19.Diketahui |a|=6,a-b.a+b=0 dan a.a-b=3. besar sudut antara vector a dan b adalah… Jawab: a-b.a+b=0
a.a-a.b.cosa=3
⇒a-b.a+b =0
a.b.cos a=a.a-3
⇒ 6-|b|2=0
cosa = a .a-3a . b
|b|2=6
= 6-36=12
|b|=6
a=600=18003=π3
a.a-b=3 20.Diketahui vektor
dan vektor
1 a = x 2 pada
2 b = 1 , 1
ialah 2 6 sudut antara b
dan panjang proyeksi
pada a
ialah α maka cos α = ..... b
Jawab: panjang proyeksi
pada a
cosθ = a.b a
ialah : b
= 26 = 1,x,2.(2,1,-1)22+ 12+ -12 = 26 b
a
= 2+x-26 = 26 = x = 2 , jadi vektor
= (1,2,2) a
pada
Sudut antara a
= a.b co sα
. a
ialah α , dapat diperoleh : b
= 1,x,2.(2,1,-1)12+ 22+ 22.6 = 2+2-29 . 6 = 19 6 b
21.Besar sudut antara vektor
dan vektor
3 a = 2 4
adalah α, maka
2 b = 3 , - 3
besarnya α = ... Jawab: = a.b co sα
. a
= 3.2+2.3+4.(-3) b
. a
= 6+6-12 b
maka α = 90o 22.Jika vector a=123;b=54-1dan c=4-11 Maka vektor a+2b-3c=… Jawab: a+2b-3c=123 +254-1-34-11 = 123+108-2-12-33 = 1+10-12 2+8--33-2-3=-113-2 23.Diketahui a=3,b=1 dan a-b=1 Panjang vektor a+b=… Jawab: a-b=2(a2+b2)-a-b2 a-b=2(a2+b2)-|a-b|2 = 2(3 2 + 12)-12 =2(4)-1=7 a-b =7
. a
=0 b
. a
=0 b
24.Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT=2:1 maka vektor posisi titik T adalah… Jawab:
25.Diketahui titik A(3,1,-4),B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3:2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah… Jawab:
AP:PB = 3:2 → APPB =32 2AP = 3PB 2p-a=3b-p 2p-2a=3b-3p 3p+2p=3b+2a 5p=3b+2a p=3b+2a5 p =33-46+231-45=15-10105=3-22 CP=p - c = 3-22--154=4-7-2
26.Diketahui |a|=6,a-b.a+b=0 dan a.a-b=3. besar sudut antara vector a dan b adalah…
Jawab: a-b.a+b=0 ⇒a-b.a+b =0 ⇒ 6-|b|2=0 |b|2=6 |b|=6 a.a-b=3 a.a-a.b.cosa=3 a.b.cos a=a.a-3 cosa = a .a-3a . b = 6-36=12 a=600=18003=π3 27. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ....
Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi: 1. AB = k.AC 2. AB = k. BC 2. AC = k. AB 3. AC = k. BC 4 BC = k .AB 5. BC = k. AC Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 :
28.Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan QR wakil dari v , maka u . v adalah… Jawab:
29.Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k , b = -3 i + m j + 2 k dan c = i + 2 j - k . Vektor a tegak lurus b , maka ( b - c ) adalah… Jawab:
karena vektor a tegak lurus b maka α = 900 sehingga cos α = cos 900= 0
30.Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0) dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah…. Jawab:
31.Diketahui panjang proyeksi vektor a = -284 pada vektor b = 0p4 adalah 8. Nilai p=… Jawab: Panjang proyeksi vector a pada vector b :
3 32. Panjang vektor: a = 4 Jawab: =5
a
=
Adalah ...
+ 42
32
33. Panjang vektor v = 2i + j – 2k adalah... Jawab:
=
22 =4 + 1 + 4 v
+ 12 + (−2) 2
=3 34.Diketahui vektor
= +2 +m a
i
j
dan k
= 2 - 10 + 2 . Jika nilai b
i
j
k
. a
= b
0, maka nilai m = ... ` jawab : . a
= a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3 = 0 b
=
1. 2 + 2 . (-10) + m . 2 = 0 2 – 20 + 2m = 0 - 18 + 2m = 0 2m = 18 m=9
35.Jika sudut antara vektor
dan vektor
2 a = 1 - 3 besarnya α = ... jawab :
adalah α, maka
- 1 b = 3 - 2
+ a 2 b 2 + a 3 b 3 ( a 1 ) 2 + ( a 2 ) 2 + ( a 3 ) 2 × ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 + ( b 3 ) 2 a 1 b1
co s α =
cos α
+ 1.3 + ( - 3).( − 2) ( 2) 2 + (1) 2 + ( - 3 ) 2 × ( - 1) 2 + ( 3) 2 + ( - 2 ) 2 2.( - 1)
=
-2 + 3 + 6
cos α =
4 +1+ 9 × 1+ 9 + 4
7
cos α =
cos α =
14 × 14
7 14
, maka α = 60o karena cos α = cos α =
1
1
2
2
36.Diketahui vektor a = 2i – 4j – 2k dan b = - i – j – 2k, besar sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut adalah ... Jawab: .
= a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3
a
b
Untuk menentukan sudut (α) :
cos α
=
a1b1
+a
2b 2
+a
3b 3
( a1 ) 2 + ( a2 ) 2 + ( a3 ) 2 × ( b1 ) 2 + ( b 2 ) 2 + ( b 3 ) 2
37.Diketahui Vektor-Vektor : u =i + 2 j + 5k
v =i - 2 j + 5k Sudut antara vector u pada v adalah …. Jawab:
u. v=uv cosθ 125 1-25 = 1+2+5 1+2+5 cosθ 1-2+5 = 8 cosθ cosθ = 48 = 12 =θ = 60°
38. Diketahui titik A (2,7,8) , B (-1,1,-1) dan C (0,3,2) Jika AB mewakili u dan BC mewakili v maka proyeksi ortogonal vektor u pada
v ............
Pembahasan :
Misalkan proyeksi ortogonal vektor u pada
v ialah c ,maka
c = u . v v2 v =
1+4+9
− 1 − 2 1 −7 − 1 − 8
0 3 2
− ( −1) −1 − ( −1)
= -3-6-912314 123 0 3 2
− (−1) −1 − (−1)
-3-6-912314 123 = -3-12-2714 123 = -4214 123 = -3123 = -3-6-9 c = -3 i -6 j -9 k
39. Besar sudut antara vektor
dan vektor
adalah α, maka
2 b = 3 , - 3
3 a = 2 4 besarnya α = ... Jawab:
= c o sα
a.b
=
. a
3.2+2.3+4.(-3) a
b
=
.
6+6-12 a
b
=
. b
0
=
. a
b
0 maka α = 90o 40. Diketahui vektor
dan vektor
2 b = 1 , 1
1 a = x 2 pada
ialah 2 6 sudut antara b
dan panjang proyeksi
pada a
ialah α maka cos α = .....? b
Jawab: panjang proyeksi
pada a
cosθ = a.b
ialah : b
= 26 = 1,x,2.(2,1,-1)22+ 12+ -12 = 26 b
a
= 2+x-26 = 26 = x = 2 , jadi vektor
= (1,2,2) a
pada
Sudut antara a
ialah α , dapat diperoleh : b
a
= a.b c o sα
. a
= 1,x,2.(2,1,-1)12+ 22+ 22.6 = 2+2-29 . 6 = 19 6 b
41. Diperoleh jika proyeksi vektor u = 3 i + 4 j ke vektor v = -4 i + 8j ialah vektor w ,maka |w| ialah....?? jawab:
u (3,4)
Diketahui u = 3 i + 4 j dan v = -4 i + 8j , jadi |w| = u . v |w| = 34 -4816+64 =
v (-4,8)
-12+3245 = 55=5