18. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri
1. Ruas garis berarah AB =
2. Sudut antara dua vektor adalah
b – a
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
B. Vektor Secara Aljabar
a 1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 = a1i + a2 j + a3k ; a 3 |a| =
2
a1
a 22 a 32
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a 1 b1 a 1 b1 a b = a 2 b 2 = a 2 b 2 ; a 3 b 3 a 3 b 3
SOAL
a 1 ka 1 k a = k a 2 = ka 2 a 3 ka 3
PENYELESAIAN
− − − − − −
1. UN 2013
Diketahui vektor
= 2 + 3
,
= 3 + 2 , dan = 4 2 + 3 .
Hasil dari 2 + 3
adalah …
− − − − − − − −
A. 9 + 7 + 3 B. 6 + 7 11 C. 8 + 7 5 D. 9 + 11 11 E. 6 7 + 11 Jawab : D
by Eko Setyawan,S.Pd
1
SOAL
PENYELESAIAN
2. UN 2013
− − − − − −− − −−− Diketahui vektor
=2
=3
3 , dan =
Vektor yang mewakili 2
2 + ,
2 .
3 +
A. 12
5 + 12 B. 3 + 9 C. 7 9 D. 3 3 + 9 E. 3 + 9 Jawab : B
− − − − − −− − − − − − − −
3. UN 2013
=2
Diketahui
=9
dan
,
= 5 + 4
7 . Vektor 2
3 ,
3 +
adalah … 1
A. B. C.
D. E.
+ 7 +
2
1
7 +
2
1 2
7 +
2 + 7
2
7
Jawab : B
by Eko Setyawan,S.Pd
2
C. Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor dan koordinat (searah jarum jam positif) n B
m
B
P
m
B
P
n
m A
A
A
(1) P membagi AB di dalam
AP PB
p =
(2) P membagi AB di luar
m
AP
n mb na
n
P
PB
m n
p =
m
n
mb na mn
(3) P membagi AB di luar
AP PB
p =
m
n
mb na mn
D. Dot Product
a 1 b1 Apabila diketahui a = a 2 dan b = b 2 , maka: a b 3 3 1. a· b = |a| |b| cos = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 2. a· a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3 3. |a + b|2 = |a|2 + |b |2 + 2|a||b| cos = |a|2 + |b|2 + 2 a· b 4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b | cos = |a|2 + |b |2 – 2 a· b 5. Dua vektor saling tegak lurus jika a· b = 0 SOAL 1.
PENYELESAIAN
UN 2015
Diketahui vektor – vektor
− − −− − − −−
= 2 5 + , = 3 + 5 2 , = 2 + 4 + . Jika ( + ) tegak lurus terhadap vektor maka nilai + + adalah … A. 7 + 4 + 9 B. 7 4 +9 C. 7 4 9 D. 5 + 4 8 E. 5 4 8 Jawab : A
by Eko Setyawan,S.Pd
3
SOAL 2.
PENYELESAIAN
UN 2015
− − − −− −
Diketahui vektor – vektor = 2 + , = 4 + + dan vektor
= 2 + 4 2 . Jika ( + ) tegak lurus terhadap vektor maka nilai + + adalah … A. 8 + 8 8 B. 8 8 8 C. 5 + 8 8 D. 8 + 5 + 6 E. 8 + 5 8 Jawab : D 3.
UN 2015
Diketahui vektor – vektor
− − − − − −
= 4 + 2 5 , = 1 + 3 + , = 6 + 5 + 2 . Jika vektor tegak lurus terhadap vektor , hasil adalah … 2 + 3 A. 5 + 8 + 6 B. 5 + 8 6 C. 5 8 +6 D. 6 + 5 8 E. 6 5 + 6 Jawab : B 4. UN 2014 3 Diketahui vektor = 6 , = 4 2 4 1 , dan = 2 . Vektor tegak 1 lurus hasil dari 2 + = … 1 A. 2 2 3 1 B. 2 2 3 1 C. 3 2 3 1 D. 3 2 3 1 E. 3 2 3 Jawab : D
−− − − − −− − −− −
by Eko Setyawan,S.Pd
4
SOAL
PENYELESAIAN
5. UN 2014
1 2 , 3
− − − − − − − − − −− − −− Diketahui vektor-vektor =
4 4 , dan =
3 = 4 . Jika 5 tegak lurus , hasil dari 2 =… 5 A. 4 15 5 B. 4 10 5 C. 4 6 5 D. 4 4 5 E. 4 2 Jawab : A
6. UN 2014
−
Diketahui vektor-vektor =
4 4 , dan =
− −
3 4 . Jika 5 tegak lurus , hasil dari + 2 =… 6 A. 14 0 6 B. 14 6 6 C. 14 10 6 D. 14 12 6 E. 14 14 Jawab : A =
by Eko Setyawan,S.Pd
1 2 , 3
5
SOAL
PENYELESAIAN
7. UN 2014
− − −− −− − − − − −
− −
Diketahui vektor-vektor =
4 4 , dan =
1 2 , 3
3 = 4 . Jika 5 tegak lurus , hasil dari + 2 =… 1 A. 14 9 1 B. 14 4 1 C. 14 3 1 D. 14 2 1 E. 14 1 Jawab : A 8. UN 2014
− − − Diketahui vektor-vektor =
2 , 1
4 2 = 3 , dan = 0 . Jika tegak 6 3 lurus , hasil dari 3 +2 adalah … 9 A. 0 3 9 B. 9 3 9 C. 9 3 9 D. 6 3 9 E. 9 3 Jawab : B
− − −− −
by Eko Setyawan,S.Pd
6
SOAL 9. UN 2014
− −
Diketahui vektor-vektor =
− − − − −− − 3
PENYELESAIAN
1 3 , 4
7 , dan = 2 . = 3 5 Apabila vektor tegak lurus vektor , hasil dari 2 12 A. 3 16 3 B. 2 6 12 C. 2 6 2 D. 3 6 2 E. 1 6 Jawab : D
+ =…
10. UN 2014
1
−− − − − −− − − − − Diketahui vektor-vektor =
,
3 1 4 = 2 , dan = 7 . 3 0 Apabila vektor tegak lurus vektor , hasil dari 2 + 7 A. 15 0 3 B. 15 6 3 C. 5 3 7 D. 5 6 3 E. 15 0 Jawab : C
by Eko Setyawan,S.Pd
=…
7
SOAL
PENYELESAIAN
11. UN 2012/A13
p 4 Diketahui vektor a 2 ; b 3 ; 1 6 2 dan c 1 . Jika a tegak lurus b , 3 maka hasil dari (a 2b ) · (3c )
adalah… A. 171 B. 63 C. – 63 D. – 111 E. – 171 Jawab : E 12. UN 2012/B25 Diketahui vektor a i 2 j xk , b 3i 2 j k , dan c 2i j 2k .
Jika a tegak lurus c , maka ( a + b )· ( a – c ) adalah ... A. – 4 B. – 2 C. 0 D. 2 E. 4 Jawab : C 13. UN 2012/D49 Diketahui vektor a i x j 3k , b 2i j k , dan c i 3 j 2k .
Jika a tegak lurus b maka 2 a · (b c) adalah…. A. – 20 B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A
by Eko Setyawan,S.Pd
8
E. Besar sudut antara dua vektor Jika dua buah vector dan membentuk sudut sebesar , maka dengan menggunakan rumus dot product diperoleh:
∙
cos =
SOAL 1.
PENYELESAIAN
UN 2015
Diketahui | | = 2, | | = 3, dan
| + | = 5. Jika adalah sudut antara vektor dan , maka nilai sin adalah … A. 0 B. C.
θ
1 2 2 3
D. 1 E.
3 2
Jawab : A 2.
UN 2015
Diketahui | | = 4, | | = 3, dan
| + | = 5. Jika adalah sudut antara vektor dan , maka nilai cos 2 adalah … A. 1 B.
θ
4 5
C. 0 D.
−
1 2
E. – 1 Jawab : E 3.
UN 2015
Diketahui | | = 3, | | = 4, dan
| + | = 5. Jika adalah sudut antara vektor dan , maka nilai sin 2 adalah … A. 1 B. C. D.
θ
4 5 3 5 1 2
E. 0 Jawab : E
by Eko Setyawan,S.Pd
9
SOAL
PENYELESAIAN
4. UN 2013
2 3 dan 1
−
Diketahui vektor =
−
1 2 . Nilai sinus sudut antara 3
=
vektor A. B. C. D. E.
dan
adalah …
5 7
11 14
5 3 14 5 11
3
3 5 14
Jawab : C
5. UN 2013
− −
Diketahui =
3 3 dan = 0
1 3 . 2
Apabila α adalah sudut yang dibentuk antara vektor … A. B. C.
dan , maka tan α =
1
6
6
1 7 6 7
7 7
D. 6 E. 7
Jawab : D
by Eko Setyawan,S.Pd
10
SOAL
PENYELESAIAN
6. UN 2012/C37
2 Diketahui vektor a 3 dan 3 3 b 2 . Sudut antar vektor a dan 4
b adalah … A. 135 B. 120 C. 90 D. 60 E. 45 Jawab : C 7. UN 2012/E52 Diketahui titik A (1, 0, – 2), B(2, 1, – 1), C (2, 0, – 3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah…. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : D 8. UN 2012/A13
Diketahui vektor a 4i 2 j 2k
dan b 3i 3 j . Besar sudut antara
vektor a dan b adalah…. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 E. 120 Jawab : A 9. UN 2011 PAKET 12 Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, – 1, – 1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …
A.
D.
B.
E. 0
C.
2 3
6
Jawab : B
by Eko Setyawan,S.Pd
11
SOAL 10. UN 2011 PAKET 46 Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2).
PENYELESAIAN
Jika u mewakili AB dan v mewakili
AC , maka sudut yang dibentuk oleh vector u dan v adalah … a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Jawab : b
by Eko Setyawan,S.Pd
12
F. Proyeksi Vektor
1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a ab |p | = |a| SOAL 1.
UN 2015
2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a p =
ab |a|
2
a
PENYELESAIAN
−
Diketahui vektor = + 2 dan = 2 + + 2 . Jika | | adalah panjang proyeksi vektor pada dan | | = 3, nilai adalah … A. 3 B. 2 C. 1 D. – 1 E. – 3 Jawab : E 2.
UN 2015
Diketahui vektor = 3 +
+ dan = 2 + + 2 . Jika | | adalah panjang proyeksi vektor pada dan | | = 4, nilai adalah … A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawab : D 3.
UN 2015
−
−
Diketahui vektor = 2
+ 3 dan = 2 + 2 . Jika | | adalah panjang proyeksi vektor pada dan | | = 4, nilai adalah … A. – 4 B. – 2 C. 2 D. 4 E. 8 Jawab : C
by Eko Setyawan,S.Pd
13
SOAL
PENYELESAIAN
4. UN 2014
− − Diketahui vektor = 2
=
2
+ 4 dan
3 + 4 . Jika panjang proyeksi
vektor pada adalah
6
26
, nilai p = …
A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 3 Jawab : B 5. UN 2014
2 1 Diketahui = 3 , = 2 , dan 6 2 proyeksi skalar vektor vektor pada 1
adalah 1 . Nilai x = … 7
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawab : B 6. UN 2014
− − Diketahui vektor =
+ 2 dan
= 2 2 + . Jika panjang proyeksi vektor pada adalah 2, nilai n = … A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 E. 8 Jawab : A
by Eko Setyawan,S.Pd
14
SOAL
PENYELESAIAN
7. UN 2014
− − − − − − =9 +
Diketahui vektor-vektor dan =
+
. Sudut antara vektor
dan adalah dengan cos =
Proyeksi
= 4
+
6
11
.
pada adalah
2 + 4 . Nilai b = …
A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 E. 4 2 Jawab : C 8. UN 2014
Diketahui vektor-vektor dan =
+
=
12 +
. Sudut antara vektor
dan adalah dengan
=
3
4
.
Proyeksi vektor pada adalah
=
4
4 + 4 . Nilai dari b = …
A. 4 7 B. 2 14 C. 2 7 D. 14 E. 7 Jawab : B 9. UN 2013
Diketahui vektor
−− − −
7 4 dan = 1
− =
2 1 . Proyeksi vektor orthogonal pada 0 adalah … 4 4 2 2 A. D. 2 2 5 5 0 0 4 4 1 B. E. 2 2 5 0 0 C.
1 5
4 2 0
by Eko Setyawan,S.Pd
Jawab : E
15
SOAL 10. UN 2013 Diketahui vektor
− 0 = 2 dan = 2
Proyeksi vektor orthogonal adalah … A. B.
PENYELESAIAN
2 0 . 2
pada
– – –− −− +
+
1
2
C. D. 2 + E. 2
Jawab : A 11. UN 2013 Diketahui vektor
− =
− − − − − − − −
3 6 . Proyeksi vektor orthogonal 0
=
pada A.
C.
8
5
5
D.
4 5
4
8
5
5
+
8 5
4
8
5
5
E.
adalah …
4
B.
4 4 dan 3
+
4
8
5
5
4
5
+
4 5
Jawab : C 12. UN 2013 Diketahui = 2 + 2 + 9 dan
− − − − − − =2
2 + . Proyeksi vektor
orthogonal pada A. 3
3 +
B. 3
5
C. 4
4 + 2
D. 2
2 +
adalah …
2
E. 5 + 5 + 5 Jawab : D
by Eko Setyawan,S.Pd
16
SOAL 13. UN 2013 Diketahui vektor =
PENYELESAIAN
−− −− − − − − − − − − =
2 . Proyeksi vektor orthogonal
pada
A.
1
3
3
3 2
C.
3
D.
+ +
1 3
3
2 3
4
3
3
3
3
3
2
2
2
+
+
+
2
2
E.
adalah …
1
1
B.
+ 2 dan
2 3
+
+
4 3
4 3
Jawab : E 14. UN 2013 Diketahui vektor = 3
− − − − − – − =
+ + 2 . Proyeksi vektor
orthogonal pada A. B. C.
2 + 4 dan
1
adalah …
+ + 2
6
1
+ + 2
3 1
+ + 2
2
+ + 2
D.
2 + 2 + 4
E.
Jawab : C 15. UN 2013 Diketahui vektor =
− − − − − − − − − − = 3 +
2 + dan
2 . Vektor mewakili vektor
hasil proyeksi orthogonal vektor pada vektor , maka vektor = … 1
A.
1
B.
6
3
2 + 2
1
C.
2 +
14 1
D. E.
2 +
6
14
1 6
3 + + 2 2 +
Jawab : A
by Eko Setyawan,S.Pd
17
SOAL
PENYELESAIAN
16. UN 2013 Diketahui vektor = 11 + 4 + 3 dan = 2 + 5 + 11 . Proyeksi vektor orthogonal terhadap adalah … A. 2 5 11
− − –− − – –− − B.
C. +
5
11
2
2
5 2
+
D.
+
5
2
2
+
5
E.
11
11 2
11
Jawab : C
17. UN 2012/A13 Diketahui a 5i 6 j k dan
b
i
2 j
2k .
Proyeksi orthogonal vektor
a pada b adalah…. A. i 2 j 2k B. i 2 j 2k C. i 2 j 2k D. i 2 j 2k E. 2i 2 j k Jawab : D 18. UN 2012/B25 Diketahui vektor a 9i 2 j 4k dan b 2i 2 j k . Proyeksi orthogonal vektor
a pada b adalah ...
A. 4i 4 j 2k B. 2i 2 j 4k C. 4i 4 j 2k D. 8i 8 j 4k E. 18i 4 j 8k Jawab : C
by Eko Setyawan,S.Pd
18
SOAL
PENYELESAIAN
19. UN 2012/E52 Proyeksi orthogonal vektor a = 4 i + j + 3 k pada b = 2 i + j + 3 k
adalah…. A.
13 14
(2 i + j +3 k )
B.
15 14
(2 i + j +3 k )
C.
8 7
(2 i + j +3 k )
D.
9 7
(2 i + j +3 k )
E. 4 i +2 j +6 k Jawab : D 20. UN 2011 PAKET 12 Diketahui vector a = 4 i – 2 j + 2 k dan vector b = 2 i – 6 j + 4 k . Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. i – j + k b. i – 3 j + 2k c. i – 4 j + 4k d. 2 i – j + k e. 6i – 8 j + 6k Jawab : b 21. UN 2011 PAKET 46 Diketahui vector a = 2i – 4 j – 6k dan vector b = 2i – 2 j + 4k . Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah … a. – 4i + 8 j + 12k b. – 4i + 4 j – 8k c. – 2i + 2 j – 4k d. – i + 2 j + 3k e. – i + j – 2k Jawab : e
by Eko Setyawan,S.Pd
19
