20. SOAL-SOAL VEKTOR UN2004 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1. Jika vektor a = ⎜ 2 ⎟ ; b = ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
⎛5⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ dan c = ⎜ − 1⎟ ⎜ −1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
UMPTN1989 3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi titik T adalah … A. (3, -1, 11) B. (2, -1, 12)
C. (2, 0, 11) D. (3, 1, 12)
E. (11, -13, 32)
Jawab:
maka vector a + 2 b - 3 c = …. ⎛ 6 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A. ⎜ 11 ⎟ B. ⎜ 13 ⎟ C. ⎜ 12 ⎟ D. ⎜ 13 ⎟ E. ⎜ − 12 ⎟ ⎜ − 8⎟ ⎜ − 8⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ a + 2 b - 3 c = ⎜ 2⎟ + 2 ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 ⎟ -3 ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
PT:QT = 2 : 1 Æ
1
• Q
2 PT = QT 1
t - p = 2 (t - q ) t - p = 2 t -2 q
2 q - p = 2t - t t =2 q - p = 2 (5,-4,17). - (-1,5,2) = (10, - 8, 34) – (-1,5,2) = (11, -13, 32 )
⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2⎟ + ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
⎛ 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟ - ⎜ − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 + 10 − 12 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 2 + 8 − (−3) ⎟ = ⎜ 13 ⎟ ⎜ 3 − 2 − 3 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Jawabannya adalah E EBTANAS1998 4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah ….
Jawabannya adalah D EBTANAS2001 2. Diketahui | a | =
3 , | b | = 1 dan | a - b | = 1.
Panjang vektor a + b = …. 3
• T
2
PT = 2 QT
Jawab:
A.
• P
B.
5
C.
7 D. 2 2
⎛ − 4⎞ ⎛ − 4⎞ ⎛ − 4⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ − 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A. ⎜ 3 ⎟ B. ⎜ 3 ⎟ C. ⎜ − 7 ⎟ D. ⎜ − 7 ⎟ E. ⎜ 7 ⎟ ⎜ − 6⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E. 3
Jawab: 2(a 2 + b 2 )− | a − b | 2
.| a + b | =
.| a + b | 2 = 2(a 2 +b 2 ) - | a - b | 2 = 2 (( 3 ) 2 + 1 2 ) - 1 2 = 2 (4) – 1 = 7 .| a + b | =
7
Jawabannya adalah C
Jawab: • A 3
• P
AP:PB = 3 : 2 Æ
• B
AP 3 = PB 2
2 AP = 3 PB 2 ( p - a ) = 3 (b - p ) 2 p - 2 a = 3b - 3 p 3 p + 2 p = 3b + 2a 5p =3 b +2 a www.matematika-sma.com - 1
3b + 2a 5 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 15 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3⎜ − 4 ⎟ + 2⎜ 1 ⎟ ⎜ − 10 ⎟ ⎜ 6 ⎟ ⎜ − 4 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎠= p = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠=⎝ 5 5
EBTANAS2000 6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ........
p =
A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13
⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
Jawab:
• A
⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ CP = p - c = ⎜ − 2 ⎟ - ⎜ 5 ⎟ = ⎜ − 7 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1. AB = k.AC 2. AB = k. BC 2. AC = k. AB 3. AC = k. BC 4 BC = k .AB 5. BC = k. AC
6 , ( a - b ). ( a + b )= 0 dan
a . ( a - b ) = 3. Besar sudut antara vector a dan b adalah …. A.
π
B.
6
π
C.
4
π 3
D.
π 2
E.
Jawab: ( a - b ). ( a + b )= 0 ⇒ a. a - b. b = 0 ⇒ 6 - | b |2 = 0
2 π 3
Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 : AB = k.AC b - a = k (c - a ) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2⎟ - ⎜ 2 ⎟ = k ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 4⎟ = k ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
| b |2 = 6 | b| =
• C
Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi:
Jawabannya adalah D EBTANAS2000 5. Diketahui | a | =
• B
6
⎛⎛ 7 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ p − 1⎟ − ⎜ 2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ − 5 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ p − 3⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎝ ⎠
-2 = 4.k
a. (a- b ) = 3
k=-
a . a - a . b . Cos α = 3 a . b . Cos α = a . a - 3 Cos α =
a.a − 3
a.b 6−3 1 = ` = 6 2
π 180 0 α = 60 = = 3 3
1 2
1 3 .p + 2 2 1 3 .p = + 4 2 2 1 11 .p = Æ p = 11 2 2
-4 = -
Jawabannya adalah B
0
Jawabannya adalah C
www.matematika-sma.com - 2
EBTANAS2001 7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan QR wakil dari v , maka u . v adalah…
A. 34
B. 36
C. 38
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ a = ⎜ 4⎟ ; b = ⎜1⎟ ⎝ ⎠
a. b = 0 ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 4⎟ . ⎜1⎟ ⎝ ⎠
D. 40 E. 42
jawab : ⎛ − 2⎞ ⎛1⎞ ⎛ − 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PQ = u = q - p = ⎜ 1 ⎟ - ⎜ 5 ⎟ = ⎜ − 4 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜8⎟ ⎜ − 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ m ⎟ ; c= ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ − 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ m⎟ =0 ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠
= 2. -3 + 4m + 2 = 0 = -4 + 4m = 0 4m = 4 m=1
⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ QR = v = r - q = ⎜ − 6 ⎟ - ⎜ 1 ⎟ = ⎜ − 7 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 3⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ maka ( b - c ) = ⎜ 1 ⎟ - ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − 1 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ −1⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u . v = ⎜ − 4 ⎟ . ⎜ − 7 ⎟ = -3 . 3 + (-4 . -7) + (-5. -3) ⎜ − 5⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = -9 +28 + 15 = 45 – 9 = 36
Æ -4 i - j + 3 k
Jawabannya adalah B UAN2007 9. Diketahui segitiga ABC, dengan A (0, 0,0 ), B(2,2,0) dan C (0,2,2). Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah….
Jawabannya adalah B UAN2006 8. Diketahui vektor-vektor a = 2 i + 4 j + k , b = -3 i + m j + 2 k dan c = i + 2 j - k .
A. j + k
C. . - i + k
B. i + k
D. i + j -
Vektor a tegak lurus b , maka ( b - c ) adalah… A. -4 i + j + 3 k
C. -4 i - 4 j + 3 k
⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠
E. 1 k 2
E. -4 i + 3 k Jawab :
B. -4 i - j + 3 k
D. -4 i + j + 3 k proyeksi orthogonal a pada b : ⎛ a.b ⎞ ⎟.b |c| = ⎜ ⎜ | b |2 ⎟ ⎝ ⎠
Jawab: . a . b = | a | | b | cos α karena vektor a tegak lurus b maka α = 90 0 sehingga cos α = cos 90 0 = 0 maka . a . b = | a | | b | cos α a . b = |a | |b | . 0 a. b = 0
⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = b - a = ⎜ 2 ⎟ - ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ AC = c - a = ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 3
1 i - j 2
⎛ a.b |c| = ⎜ ⎜ | b |2 ⎝
=
⎞ ⎟.b ⎟ ⎠
(p + 2) 2 = ( p 2 + 16 ) 2 p 2 +4p + 4 = p 2 + 16 p 2 - p 2 + 4p = 16 – 4 4p = 12 p=3
⎛ 2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( 2 +2 ) 2
2
⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ 4⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ . ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ = ⎜ 2⎟ 8 ⎜ 2⎟ 2 ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
jawabannya adalah C
⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ = 0 i + j + k = j + k ⎜1⎟ ⎝ ⎠
Jawabannya adalah A EBTANAS1999 ⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ 10. Diketahui panjang proyeksi vektor a = ⎜ 8 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ pada vektor b = ⎜ p ⎟ adalah 8. Nilai p=… ⎜4⎟ ⎝ ⎠
A. -4
B. -3
C. 3
D. 4
E. 6
Jawab: Panjang proyeksi vector a pada vector b : |c| =
a.b
|b|
Diketahui :
a.b
=8
|b| ⎛ − 2 ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎟⎜ p ⎟ ⎜ 4 ⎟⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ p 2 + 16
=8 ⇒
8p + 16 = 8
p+2=
8 p + 16 p 2 + 16
=8
p 2 + 16
p 2 + 16
www.matematika-sma.com - 4
