Skripta ELAST PODLOGA

Prof . dr PETAR SANTRAČ, dipl.građ.inž.

FUNDIRANJE FUNDIRANJE – PREDAVANJA I VEŽBE INTERAKCIJA KONSTRUKCIJE I TLA

GRAĐEVINSKI FAKULTET SUBOTICA 2012

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE

3

SADRŽAJ PREDGOVOR

5

1.

INTERAKCIJA (SADEJSTVO) KONSTRUKCIJE I TLA

7

2.

MODELI DEFORMABILNE PODLOGE

8

3.

TEMELJNA GREDA NA VINKLEROVOJ PODLOZI

13

4.

METODA POČETNIH PARAMETARA ZA GREDU BESKONAČNE DUŽINE

15

4.1

VERTIKALNA SILA NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE

16

4.2

SPREG SILA NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE

19

4.3

LINIJSKO OPTEREĆENJE NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE

21

4.4

BROJNI PRIMER -1

24

5.

PRIMENA METODE SUPERPOZICIJE ZA GREDU KONAČNE DUŽINE

27

5.1

TEMELJNA GREDA KONAČNE DUŽINE

27

5.2

KLASIFIKACIJA NOSAČA PREMA PARAMETRU KRUTOSTI

30

5.3

BROJNI PRIMER -2

31

5.4

ODREĐIVANJE VERTIKALNOG MODULA REAKCIJE TLA

35

5.5

BROJNI PRIMER – 3

39

6.

PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE METODOM KONAČNIH RAZLIKA

40

6.1

PRORAČUN STATIČKI EKVIVALENTNOG ČVORNOG OPTEREĆENJA

44

6.2

PRIBLIŽAN PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE VINKLEROVOJ PODLOZI

45

6.3

BROJNI PRIMER – 4

47

6.4

PRIBLIŽAN PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE NA ELASTIČNOJ PODLOZI 52

6.5

ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI TLA

55

6.6

BROJNI PRIMER – 5

56

6.7

UTICAJ MODELA PODLOGE NA REZULTATE PRORAČUNA

60

7.

PRORAČUN INTERAKCIJE KONSTRUKCIJE TEMELJA I TLA

62

7.1

DIREKTNA METODA PRORAČUNA INTERAKCIJE

63

7.2

ITERATIVNA METODA PRORAČUNA INTERAKCIJE

65

7.3

BROJNI PRIMER – 6

66

8.

PRORAČUN SAVITLJIVOG ZIDA U VINKLEROVOJ SREDINI

74

Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

4


8.1

BROJNI PRIMER – 7

80

9.

PRORAČUN ŠIPOVA U VINKLEROVOJ SREDINI

86

9.1

VERTIKALAN ŠIP OPTEREĆEN AKSIJALNOM SILOM (k t = const)

88

9.2.1

POPREČNO POMERANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (k h = const)

93

9.2.2

OBRTANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (k h=const)

95

9.3

POPREČNO POMERANJE I OBRTANJE GLAVE ŠIPA ( k h const)

96

9.4

MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

97

9.5

MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

98

9.6

USLOVNE JEDNAČINE RAVNOTEŽE NAGLAVNICE

100

9.7

ODREĐIVANJE HORIZONTALNOG MODULA REAKCIJE TLA

103

9.8

BROJNI PRIMER – 8

107

9.9

BROJNI PRIMER - 9

109

10.

PRIBLIŽNO REŠENJE ŠIPA U VINKLEROVOJ SREDINI

115

10.1

VERTIKALNO OPTEREĆEN VERTIKALAN ŠIP

116

10.2

VERTIKALAN ŠIP OPTEREĆEN HORIZONTALNOM SILOM I MOMENTOM 117

10.3

VERTIKALAN ŠIP – SLOBODNA GLAVA

118

10.4

VERTIKALAN ŠIP – UKLJEŠTENA GLAVA (SPREČENO OBRTANJE)

120

10.5

BROJNI PRIMER – 10

122

11.

PRIBLIŽNA ANALIZA INTERAKCIJE GRUPE ŠIPOVA

126

11.1

INTERAKCIJA IZMEĐU VERTIKALNO OPTEREĆENIH ŠIPOVA

127

11.2

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA VERTIKALNOM SILOM

130

11.3


132

11.4

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA VERTIKALNOM SILOM I MOMENTOM

135

11.5


138

11.6

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA HORIZONTALNOM SILOM

141

PREDGOVOR Predmet Fundiranje predaje se u VII-smestru na konstruktivnom smeru Građevinskog fakulteta u Subotici, i zajedno sa nastavnim predmetom Mehanika tla u V-semestru i Osnove funiranja u VI-semestru, predstavlja jedinstvenu celinu u okviru izučavanja praktične oblasti Geotehnike. Osim pomenutih predmeta, za praćenje i savladavanje nastavnog gradiva iz predmeta Fundiranje, potrebno je osnovno znanje iz predmeta Statika konstrukcija i Otpornost materijala . Osnovna svrha predmeta Fundiranje kako je koncipiran na Građevinskom fakultetu Subotici je da studente upozna sa postupcima rešavanja problema interakcije nadzemne konstrukcije, temeljne konstrukcije i temeljnog tla. U okviru klasičnog pristupa, kako u Mehanici tla tako i u Fundiranju , problemi nosivosti i pomeranja su razmatrani odvojeno. Stim u vezi, problemi nosivosti temelja, bočnog pritiska na potporne konstrukcije i stabilnosti analizirani su metodom granične ravnoteže ili metode teorije plastičnosti, a problemi sleganja i pomeranja metodama teorije elastičnosti i jedno-dimenzionalne deformacije. Sa razvojem i dostupnošću računara i softvera, uprošćen i često nerealan pristup se može zameniti numeričkim metodama koje vode računa o konstitutivnim vezama u tlu i kompatibilnosti pomeranja između temelja i tla ili konstrukcije, temelja i tla. Fond časova, nivo postojećeg znanja i potreba za praktičnu primenu, opredelili su sadržaj predmeta na elementarnom nivou. Zbog toga su u okviru nastavnog gradiva, analizirani samo jednostavni problemi, u kojem se tlo kao deformabilna sredina tretira na vrlo uprošćen način, kao sistem linearno elastičnih opruga (Vinklerov model) ili nešto složenije, kao model linearno-elastičnog polu-prostora. Kod oba modela, zbog linearne veze između napona i deformacija važi princip superpozicije ili nezavisnosti dejstva. Bez obzira na velik broj komercijalnih softvera, razvijenih za rešavanje problema u fundiranju, u predavanju nisu zanemarena postojeća analitička rešenja. Naime, analitička rešenja su alat za kontrolu numeričkih postupaka i način da se razume fizička suština problema i da se jasno sagledaju pretpostavke na kojima se zasniva proračunski model, kako bi se on mogao kritički primenjivati u praksi. Insistiranje samo na softveru bez razumevanja i bez sposobnosti da se rezultati kritički verifikuju, ne vode ka sigurnom, racionalnom i inžinjerskom rešenju. U okviru predavanja su analizirani samo jednostavni praktični slučajevi, u kojem figurišu temeljne grede, šipovi ili ravanski problemi, koje student može vrlo lako i brzo rešiti bez korišćenja specijalnih kompjuterskih programa. Pošto se zbog vrste problema koriste numerički postupci, studenti se upućuju na korišćenje računarskog programa EXCEL koji je sastavni deo Microsoft office-a na svakom PC -računaru. U predmetu se koristi metoda konačnih razlika (skraćeno MKR), kao uobičajen postupak rešavanja diferencijalnih jednačina u inžinjerskoj praksi. Kod linijskih i površinskih nosača, u MKR se u svakoj čvornoj tački diskretizacije pojavljuje jedna nepoznata (ugib), što rezultuje relativno malim brojem algebarskih jednačina koje se mogu lako rešavati. Treba istaći, da između ostalog, postoji i drugi, znatno moćniji i fleksibilniji metod, koji se naziva metoda konačnih elemenata (MKE). Međutim, kod ove metode, u čvornim tačkama se pojavljuje veći broj nepoznatih. Kod linijskih nosača 2 (ugib i nagib) a kod površinskih 3 (ugib i dva nagiba), što značajno povećava obim

6


proračuna. Zbog toga je MKR pogodnija za edukaciju a u suštini problematiku obrađuje vrlo slično MKE. Nakon što student ovlada teorijske postavke i praktične primere i samostalno reši postavljene zadatke, imaće jasan uvid u problematiku interakcije konstrukcija-temelj -temeljno tlo, elementarno znanje da reši jednostavne probleme i dobru osnovu za buduću nadgradnju iz ove oblasti. Za primenu u praktičnom radu, danas se primenjuje velik broj komercijalnih softvera, koji se koriste za analizu interakcij temelj-temeljno tlo, kao npr. Plaxis, FLAC , GeoSlope, CRISP i sl. Podaci o ovim programima (sa Demo-verzijama) mogu se naći na Internetu.

Subotica, 2012.

Prof dr Petar Santrač, dipl.inž.građ.



7

1. INTERAKCIJA (SADEJSTVO) KONSTRUKCIJE I TLA Rešenja problema interakcije između deformabilnih tela imaju vrlo široku primenu u mnogim inžinjerskim disciplinama i uglavnom su zasnovana na vrlo složenim matematičkim postupcima. Rešenja se koriste za proračun temelja objekata, za proračun plovećih struktura, proračun kompozitnih materijala i laminata, proračun zemljanih masa, proračun geoloških struktura i slično. Mada je najveći broj rešenja problema interakcije zasnovan na linearno elastičnoj analizi, korišćenjem savremene računarske opreme i numeričkih metoda, za analizu i proračun vrlo složenih konstrukcija, koriste se realnije osobine materijala, kao što su anizotropija, nelinearnost, elasto-plastičnost, viskoznost (puzanje). Interakcija između elastičnih tela, u principu se može podeliti u tri grupe: a) interakcija između elastičnih tela, b) interakcija između elastičnog i krutog tela i c) interakcija između elastičnog tela i elementa konstrukcije. Problemi interakcije u fundiranju spadaju u treću grupu. Za kvalitetan proračun i pouzdano izvođenje fundiranja objekta, neophodno je između ostalog, rešiti interakciju objekta, temelja i tla tokom svih faza izgradnje, počev od iskopa, zaštite temeljne jame i susednih objekata, snižavanja i održavanja nivoa podzemne vode, izgradnje objekta i eksploatacije objekta. Mehaničke osobine tla su vrlo složene i rešenje problema interakcija temeljnog tla sa elementima konstrukcije zahteva određena uprošćenja. Bez uprošćenja, problem je nerešiv ili nije ekonomski opravdan (vreme, cena i sl.). Imajući to u vidu, najveći broj rešenja je razvijen za tlo kao linearno-elastičan, homogen i izotropan kontinuum (poluprostor, polubeskonačna masa). Ova rešenja su relativno jednostavna, međutim zbog grube idealizacije, u nekim slučajevima mogu dati nerealne i/ili potpuno pogrešne rezultate. Zbog toga, svaki rezultat treba pre primene kritički preispitati sa aspekta ulaznih pretpostavki i učinjene idealizacije, kojim je dat fizički model sveden na uprošćen matematički model. U tom smislu, svaki rezultat uvek treba tumačiti kao posledicu proračuna idealizovanog a ne realnog fizičkog modela. U okviru predmeta fundiranje, prikazaće se određena rešenja zasnovana na linearnoelastičnom modelu tla, koja se mogu koristiti za rešavanje standarnih (rutinskih) problema vezanih za projektovanje i izvođenje objekata uobičajenih dimenzija i raspona. Za složene i specifične objekte, projektantima su danas na raspolaganju specijalizovani softveri za geotehniku, koji koriste vrlo složene numeričke postupke i konstitutivne mode tla. Upotreba složenih modela, zahteva visokostručne i posebno obučene kadrove, koji imaju potrebno znanje iz mehanike tla, teorije konstrukcija i numeričkih metoda.


8


2. MODELI DEFORMABILNE PODLOGE Najjednostavniji model tla je zasnovan na konceptu modula reakcije. U primenjenu mehaniku, ovaj model je uveo Vinkler (1867), a Zimmerman (1888) ga je prvi put praktično primenio na proračun napona u železničkim šinama, oslonjenenim na pragove, koji leže na sloju tucanika. Zimmerman je železničke šine modelirao kao kontinualni nosač na nizu deformabilnih oslonaca. Pošto su pragovi međusobno nezavisni i dovoljno udaljeni, opterećenje na jednom osloncu ima uticaj samo na taj oslonac dok je sleganje susednih oslonaca nula . Ovo je osnovna radna hipoteza u konceptu modula reakcije tla ili tzv. Vinklerove podloge. Pošto se podloga opisuje jednim parametrom, naziva se i jednoparametarski model tla(Slika 2.1). Tokom sledećih decenija, teorija je proširena na proračun savitljivih temeljnih konstrukcija, kao što su kontinualni temeljni nosači, temeljni roštilji, temeljne ploče i kolovozne ploče izložene saobraćajnom opterećenju. U prvoj polovini XX veka, metoda je proširena na proračun šipova i zaštitnih zidova u tlu opterećenih bočnim silama. Za razliku od temeljnih nosača gde se tlo modelira sistemom vertikalnih elastičnih opruga, kod bočno opterećenih šipova i savitljivih zaštitnih zidova u tlu, tlo se modelira sistemom horizontalnih elastičnih opruga. a)

b)

P

x

x

z c)

z d)

P

p

x

z

Slika 2.1

x

z

a) Model podloge sa oprugama (Vinklerov model) , b) Opterećenje koncentrisanom silom, c) Opterećenje krutog temelja, d) Jednoliko opterećenje idealno savitljivog temelja

Deformabilnost podloge kod Vinklerovog modela je d efinisana modulom reakcije k u 3 kN/m . Na osnovu principa efektivnih napona, veza između efektivnog kontaktnog napona q u temeljnoj spojnici (reaktivno opterećenje) i sleganja podloge w , glasi: q ( x , y )  k  w( x , y )

,

q ( x , y )  q( x , y )  u w  x , y 


9


Kritički posmatrano, pretpostavka o tlu kao o sistemu nezavisnih opruga uopšte ne odgovara stvarnosti. Tlo je kontinuum, u kojem se uticaj iz jedne tačke prenosi na okolne tačke obrnuto srazmerno nekom stepenu rastojanja. Međutim Vinkler-ov model se zbog jednostavnosti zadržao u upotrebi do danas, a velik broj autora se u međuvremenu bavio njegovim poboljšanjem. Navest će se samo poznatiji modeli. Filolenko-Borodich (1940, 1945) su povezali elastične opruge tankom elastičnom membranom u kojoj deluje konstantna zatežuća sila T , i tako dobili 2-parametarski model podloge koji ima osobine kontinuuma, a opisan je parametrima k i T (Slika 2.2). Efektivni kontaktni napon kod modela koji su predložili Filolenko-Borodich, dat

je sledećim izrazom: q ( x , y )  k  w( x , y )  T   2 w x , y  ,

2 2   x 2  y 2

b)

a)

T

2     

elastična membrana

T

P

T

T

x

x

z c)

T

P

z d)

T

p

T

T

x

x

z

Slika 2.2

z

a) Model podloge sa oprugama i membranom, b) Opterećenje koncentrisanom silom, c) Opterećenje krutog temelja, d) Jednoliko opterećenje idealno savitljivog temelja

Heteny (1946) je kontinuitet između nezavisnih opruga ostvario uvođenjem fiktivne elastične grede koja ima krutost na savijanje EI. Za prostorni ili 3-dimenzinalni

problem, umesto grede se uvodi ploča, koja ima krutost na savijanje (ili cilindričnu krutost) D. Efektivni kontaktni napon kod ovog modela, dat je izrazom: q ( x , y )  k  w( x , y )  D   2 w x , y 

,

D



EI 1   2

Pasternak (1954) je predložio uvođenje smičuće interakcije između opruga, tako što

ih je povezao slojem fiktivnih, nestišljivih kliznih elemenata koji se deformišu samo smicanjem. Efektivni kontaktni napon kod ovog modela, dat je izrazom: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

10


q ( x , y )  k  w( x , y )  G   2 w x , y  ,

G

E 21   

b)

a) smi čući sloj

x

x

x +dx

w

gxz

x w+ d w

txz

gxz 

txz

z c)

G

txz

z d)

p

P

x

x

z

Slika 2.3

z

a) Model podloge sa oprugama i smičućim slojem, b) Deformacija smičućeg sloja, c) Opterećenje krutog temelja, d) Jednoliko opterećenje idealno savitljivog temelja

Izraz je identičan modelu koji su predložili Filolenko-Borodich, ili modelu koji je predložio Hetenyi , ako se u jednačini umesto sile T u membrani odnosno krutosti ploče D, uvede modul smicanja G. Svi dvo-parametarski modeli, mogu se svesti na jedno-parametarski model, odnosno Vinklerov model, ako se u odgovarajućim izrazima anulira parametar T, D ili G. Treba istaći, da u pomenutim modelima deformabilne podloge, parametri k , T , D i G, nisu fundamentalne karakteristike tla koje se mogu odrediti opitom, već pretstavljaju fiktivne veličine koje se mogu odrediti indirektno. Osim navedenih, postoje i drugačiji tipovi dvo-parametarskog modela podloge, koji su predložili Vlasov (1949), Vlasov-Leontiev (1966), Reissner (1958) i drugi. Bolja aproksimacija deformabilne podloge, postiže se uvođenjem složenijih modela, zasnovanih na teoriji linearno elastičnog kontinuuma, poznatog kao Hukov materijal (Robert Hook , 1660), na teoriji elasto-plastičnosti ili teoriji elasto-visko-plastičnosti (konsolidacija i puzanje). Međutim, po pravilu, ono što se dobija kvalitetnijim modelom podloge, odnosno kvalitetnijim predviđanjem mehaničkog ponašanja tla, gubi se kroz znatno složeniji matematički postupak rešavanja problema. Analitička rešenja su moguća samo za najjednostavnije primere. Opšti slučajevi koji se pojavljuju u praksi, moguće je rešiti samo približno, koristeći numeričke metode. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

11


Linearno elastični kontinuum (Hukov model) je za razliku od Vinklerovog modela neprekidna sredina, definisana fundamentalnim karakteristikama materijala (modul elastičnosti E s i Poisonov koeficijent  s), u kojoj se uticaj iz jedne tačke prenosi na sve okolne tačke obrnuto srazmerno stepenu odstojanja. Saglasno tome, sleganje podloge zavisi od kontaktnih napona u svim okolnim tačkama (realna osobina tla). a)

b)

P x

x

Es, s

z c)

z d)

P

p x

x

z

Slika 2.4

z

a) Model elastične sredine (Hukov model) , b) Opterećenje koncentrisanom silom, c) Opterećenje krutog temelja, d) Jednoliko opterećenje idealno savitljivog temelja

Proračun sleganja na homogenoj, izotropnoj i linearno-elastičnoj sredini, zasniva se na Busineskovom izrazu (J.Boussinesq, 1885) za sleganje tačke na odstojanju r od vertikalne koncentrisane sile na površini elastične sredine : dw x , y  

1  s2 dQ E s 

r

, dQ  q dA

Za površinsko opterećenje intenziteta q koje deluje na površini proizvoljnog oblika veličine A, potrebno je izvršiti integraciju Busineskovog izraza. Opterećenje i površina se obično definišu u odnosu na pomoćni translatorno pomeren koordinatni sistem (x , ) koji je postavljen u tačku sa koordinatama ( x ,y ) za koju se traži sleganje. Izraz za sleganje tačke usled opterećenja na proizvoljnoj površini, u integralnom obliku glasi: w x , y  

1   s2

 E s



A

q x , 

x 2   2

d x d  , q  const .



w x , y  

1   s2

 E s

q



A

d x d 

x 2   2

U slučaju ravanskog stanja deformacije, ne može se odrediti apsolutna, već samo relativna veličina sleganja u odnosu na proizvoljno odabranu (referentnu) tačku u posmatranoj ravni preseka. Izraz za sleganje je dao Flamant (A.Flamant, 1892): Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

12


dw x , y  

gde je:

r = R =



2 1   s2 E s 

 dQ  ln  r   R 

odstojanje sile od tačke u kojoj se traži sleganje odstojanje sile od tačke u odnosu na koje se određuje sleganje

Referentna tačka se obično usvaja na odstojanju, na kojem se proceni da će sleganje usled opterećenja biti zanemarljivo, mada se može usvojiti i drugačije (relativno u odnosu na levi/desni kraj nosača). Treba istaći, da su sleganja zavisna, a deformacije i presečne sile temeljnog nosača nezavisna od položaja referentne tačke. Imajući u vidu prethodne izraze, može se zaključiti da je proračun sleganja na linearno elastičnoj i izotropnoj podlozi (Hukov model) znatno složeniji zadatak od proračuna sleganja na Vinklerovoj podlozi. Umesto prostog izraza, po kojem je sleganje Vinklerove podloge jednako količniku kontaktnog napona i modula reakcije podloge, kod Hukovog modela se sleganje mora izračunati dvostrukim integrisanjem uticaja kontaktnih napona u svim tačkama opterećene površine. Pošto kontaktni napon osim parametara podloge, zavisi i od opterećenja i krutosti nosača, deformacija nosača i Vinklerovoj podlozi se svodi na rešavanje diferencijalne jednačine. Diferencijalna jednačina se može rešiti analitički za proizvoljno opterećen nosač konstantnog preseka. Međutim, deformacija nosača na linearno elastičnoj podlozi se svodi na rešavanje integro-diferencijalne jednačine, koja se analitički može rešiti samo za nekoliko vrlo prostih slučajeva opterećenja. Neki autori su rešenje problema dobili zamenom nepoznate funkcije beskonačnim redom ili polinomom. Jedno interesantno rešenje za ravansko stanje deformacije je dao Simvulidi (I.A. Simvulidi, 1973.), gde se kontaktni napon interpolira polinomom trećeg stepena, a zadato opterećenje funkcijama Gersevanova (S.Gersevanov,1933). Nepoznati koeficijenti polinoma (a 0, a1, a2 i a 3) se određuju iz uslova jednakosti ugiba podloge i nosača na levom kraju i na sr edini nosača, jednakosti površine obrazovanih ordinatama linije ugiba podloge i nosača i jednakosti trećih izvoda linije ugiba podloge i nosača u sredini nosača. Integracione konstante se određuju iz graničnih uslova. Autor je za brzo rešavanje praktičnih problema, dao tabelarna rešenja za tipska opterećenja (koncentrisana sila, spreg sila, trapezno opetrećenje). Metoda se može lako programirati na računaru. U narednim poglavljima, biće prikazane analitičke i numeričke metode za rešavanje deformacije linijskih temeljnih nosača na linearno elastičnoj Vinklerovoj i Hukovoj podlozi. Nelinearni modeli podloge (elasto-plastični i visko-elastični) prevazilaze okvir osnovnih studija i neće se detaljnije obrađivati.


13


3. TEMELJNA GREDA NA VINKLEROVOJ PODLOZI Na osnovu Bernoulli -eve hipoteze o ravnom poprečnom preseku savijenog nosača, može se uspostaviti veza između momenta savijanja M i poluprečnika zakrivljenosti R elastične linije nosača (Slika 3.1a). Ako je nagib wb elastične linije nosača vrlo mali, zakrivljenost 1/R elastične linije nosača je približno jednaka drugom izvodu ugiba wb (Slika 3.1a). Na osnovu uslova ravnoteže, diferencijalna veza između opterećenja p, kontaktnog napona q i presečnih sila M i T nosača (Slika 3.1b), glasi: a)

1

dq x



1  wb2 

3 2

M  x 

R

R

R

E b I

z

b)

wb



1 R

 wb

p(x)

M

  wb

M+dM x

T T+dT

Bq(x) dx

M

dM  x  dx dT  x 

M M>0, w”<0

Slika 3.1

dx

 T  x   Bq x  p x

a) Veza zakrivljenosti i momenta savijanja , b) Uslov ravnoteže infinitezimalnog nosača

Polazeći od izraza na slici 3.1, diferencijalna jednačina ravnoteže savijenog oblika elastične linije temeljnog nosača (grede), glasi: E b I

gde je:

d 4 wb  x  dx 4

 p  x   B  q  x 

(3.1) 2

E bI - krutost temeljnog nosača na savijanje u kNm

wb( x ) - ugib temeljnog nosača u m p( x ) q( x )

- opterećenje temeljnog nosača u kN/m 2 - totalni kontaktni napon u kN/m

Za nosač na Vinklerovoj podlozi, veza između efektivnog kontaktnog napona q'( x ), sleganja podloge nosača w ( x ) i modula reakcije tla k glasi: q ( x )  q( x )  u w

gde je:

w ( x ) k B q( x ) uw

 k  w( x )

- sleganje podloge u m - modul reakcije podloge (tla ili posteljice) u kN/m3 - širina temeljnog nosača u m 2 - efektivni kontaktni napon u kN/m 2 - pritisak porne vode u temeljnoj spojnici u kN/m Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

(3.2)

14


Ako se usvoji pretpostavka, da je sleganje podloge u svakoj tački jednako sleganju nosača (w = wb), može se izvršiti smena jednačine (3.2) u (3.1), nakon čega se dobija linearna diferencijalna jednačina, četvrtog reda sa konstantnim koeficijentima: E b I

d 4 w x  dx 4

 p x   kB w x   Bu w 

E b I

d 4 w x  dx 4

 kB w x   p x   Bu w (3.3)

Opšte rešenje homogene jednačine glasi: w x   e l x C 1 cosl x   C 2 sinl x   e  l x C 3 cosl x   C 4 sin l x 

gde su:

l 

4

kB

(3.4)

- Parametar krutosti nosača i podloge

4E b I

C 1 , C 2 , C 3 , C 4 - Integracione konstante

Kada je poznato sleganje w ( x ), nagib tangente elastične linije nosača q ( x ), moment savijanja M( x ) i transverzalna sila T ( x ), mogu se odrediti na osnovu poznatih izraza: q ( x ) 

dw  x  dx

, M  x    Eb I

d 2w x dx 2

,

T x 

dM  x  dx

d 3w  x 

  EbI

dx3

(3.5)

-1

Parametar l ima dimenziju m , a zavisi od širine B, krutosti na savijanje E bI i elastične karakteristike podloge k . Uglavnom se izražava u recipročnom obliku kao 1/l pod nazivom karakteristična dužina . Kada je nosač krući od podloge, karakteristična dužina je veća (i obrnuto), što znači da se uticaj (ugib, nagib, presečna sila) od mesta opterećenja prostire na veću udaljenost. Proizvod l L (gde je L dužina nosača) je bezdimenzionalna veličina, i naziva se koeficijent savitljivosti nosača. Konstante C 1 , C 2 , C 3 , C 4 važe duž temeljnog nosača na kojem su ugib w ( x ) i njegovi izvodi neprekidni do 4-tog reda. Analitičko rešenje diferencijalne jednačine savijanja temeljnog nosača na Vinklerovoj podlozi, može se odrediti samo za jednostavne probleme (konstantan modul reakcije, konstantna širina i krutost nosača). Prikazat će se dve analitičke metode, i to: metoda početnih parametara i metoda superpozicije. Treba istaći, da je u jednačini (3.4) zanemaren uticaj horizontalnih sila i smičućih napona u temeljnoj spojnici. Pošto su horizontalne sile na temeljnom nosaču, po pravilu znatno manje od vertikalnih, aksijalne deformacije i pomeranja nosača se mogu zanemariti. Goodier (1932), Timoshenko i Goodier (1970), Donnell (1976) i dr, strogom analizom problema su pokazali, da je uticaj smičućih napona na deformaciju i presečne sile nosača bitan samo ako je nosač vrlo krut a dužina nosača približno jednaka širini. Inače, smičući naponi su nula na sredini a maksimalni po ivici temeljne spojnice, sa smerom od ivice prema sredini. Kod savitljivih temeljnih nosača, uticaj smičućih napona u kontaktu se može zanemariti.



15

Pošto je veza između pomeranja i opterećenja linearna, može se primeniti princip superpozicije (princip nezavisnosti dejstva), koji u matematičkom obliku glasi: f ( a1 P 1 , а2 P 2 ,..., а n P n )  a1 f ( P 1 )  a 2 f ( P 2 )  ...  a n f ( P n )

U gornjem izrazu, funkcija f je linearni operator, a može da pretstavlja sleganje nosača, nagib elastične linije nosača ili presečne sile duž nosača. U nastavku se pretpostavlja da je uw =0, odnosno q=q. Treba istaći, da analiza sa pornim pritiskom ima praktičnog smisla samo ako postoji razlika pritiska vode između donje (potopljene) i gornje (suve) površine temelja (kod temeljnih ploča). Na osnovu principa efektivnih napona, usled promene nivoa podzemne vode, totalna normalna sila u temeljnoj spojnici se ne menja, već se menja samo odnos između efektivne i neutralne (uzgon) komponente sile. Mada je totalna sila, kao integral kontaktnog napona, uvek ista, totalni napon u proizvoljnoj tački ne mora biti isti, ali pri uobičajenom nivou kontaktnog napona, promena ne može biti značajna. Imajući u vidu prethodno, može se pretpostaviti da se totalni napon u temeljnoj spojnici praktično ne menja, odnosno da je nezavistan od promene pornog pritiska. Ako je totalni kontaktni napon na temeljni nosač nezavisan od pornog pritiska ( nivoa podzemne vode), nezavisne su i deformacije i presečne sile nosača, pa se usled promene pornog pritiska, menja jedino sleganje (vertikalna translacija). Ako porni pritisak raste (manji efektivni napon) sleganje opada i obrnuto. Treba istaći, da sile u preseku nosača zavise od totalnog napona a sleganja nosača od efektivnog napona. 4. METODA POČETNIH PARAMETARA ZA GREDU BESKONAČNE DUŽINE U metodi početnih parametara, integracione konstante C 1 , C 2 , C 3 , C 4 koje figurišu u opštem rešenju homogene jednačine (3.4), određuju se direktno na osnovu graničnih uslova, odnosno presečnih sila i pomeranja M, T, w, w  =q na levom i desnom kraju temeljnog nosača. Ako je kraj nosača slobodan, granični uslovi se mogu izraziti po silama M=0 i T =0 na levom i desnom kraju nosača. Ako je kraj nosača slobodno oslonjen, granični uslovi se mogu izraziti mešovito, po silama M=0 i pomeranju w =0. Za uklješten kraj nosača, granični uslovi se mogu izraziti po pomeranjima w =0, q =0. Za opšti slučaj opterećenja, metoda početnih parametara je spora i neadekvatna za praktičnu primenu. Postupak će se prikazati samo za nosač beskonačne dužine, koji je opterećen koncentrisanom silom P, spregom sila M0 ili jednolikim opterećenjem p na konačnoj dužini. Koristeći analitičke izraze za b eskonačni nosač, mogu se relativno jednostavnim postupkom odrediti presečne sile, ugibi i nagibi konačnog nosača.


16


4.1 VERTIKALNA SILA NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE Na osnovu opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine grede na Vinklerovoj podlozi (3.4) i graničnih uslova za slobodan kraj, odrediće se analitički, metodom početnih parametara, ugib i nagib elastične linije i sile u preseku na odstojanju x, beskonačnog nosača, opterećenog koncentrisanom vertikalnom silom (slika 4.1). Konvencija za + znak

P

P M

M

T

x x z

Slika 4.1

x

T

w z

q

Nosač beskonačne dužine na Vinklerovoj podlozi, opterećen vertikalnom silom

Da bi se zadovoljili granični uslovi, odnosno da sleganje nosača u x =  bude jednako x nuli, moraju integracione konstante C 1 i C 2 uz član el u jednačini (3.4) biti jednake nuli, odnosno C 1=C 2=0, pri čemu jednačina (3.4) dobija oblik: w x   e  x C 3 cosl x   c4 sinl x  l

(4.1)

Ispod koncentrisane sile, u tački x =0, =0, tangenta na elastičnu liniju nosača je horizontalna, odnosno q =0. =0. Uslovna jednačina za nagib q elastične elastične linije glasi: dw

 l e l x C 3 cosl x   C 4 sinl x   l e l x  C 3 sinl x   C 4 cosl x   0

dx

x  0

C3 l 

l e  l 0 C3



  cos 0  sin 0   C4  sin 0  cos 0   0

 1  0   C4 0  1  0



C3

 C4

Nakon smene C 3=C 4 u jednačinu (4.1), dobija se sledeći izraz za sleganje: w  C 3 e  x cosl x   sinl x  l



w  C 3 Al x 

(4.2)

Uzastopnim diferenciranjem jednačine (4.2) se dobija: q 

dw dx

d 2 w dx

2

 C 3

 C 3

dA dx

d 2 A dx

2

 C 3  2l e l x sinl x  

q  C 3 2l B l x 

(4.3)

 C 3  l 2 e l x cosl x   sinl x    C 3 l 2 C l x 

(4.4)




17


d 3 w dx

3

 C 3

d 3 A dx

3

 C 3 4l 3 e l x cosl x  

C 3 4l Dl x  3

(4.5)

Transverzalna sila nije definisana u preseku ispod sile (prekid funkcije), već samo u preseku - dx (blisko (blisko levo) i + dx (blisko (blisko desno). Na osnovu veze između transverzalne sile i ugiba nosača (3.5), može se odrediti integraciona konstanta C 3 : T l 0   T  dx   P 2

T   E b I

T d 0   

d 3 w dx 3

P 2

T d 0   T  dx   T l 0   P   P 2

,

  E b I C 3

d 3 A dx 3

  E b I C 3 4l 3 Dl x 

  E b I C 3 4l 3 D0 



C 3

P



8l 3 E b I

Kada se uvrsti vrednost za C 3 u jednačine (4.2) i (4.3), dobijaju se sledeći izrazi za sleganje w i i nagib q elastične elastične linije, na odstojanju x , desno od koncentrisane sile: 3

w

P 3

8 l Eb I

Al x ,

 kB  4 l    4 Eb I  3



w



q

P l 2 Bk

(4.6)

A  l x 

2

q

 2l

P 8 l 3 Eb I

B  l x ,

 kB  4 l    4 Eb I  2



P l 2 Bk

B  lx 

(4.7)

Na osnovu (3.5), (4.4) i (4.5), izrazi za moment savijanja i transverzalnu silu u preseku na odstojanju x , desno od koncentrisane sile glase:

  P M   Eb I   l 2 C lx   , 3 8 l Eb I  

2

 kB  4 l2      4 Eb I 

P

C  lx 

(4.8)

  D l x 

(4.9)

M



4l

3

   kB  4 P 3 T   Eb I  4 l 3 C l x , l       8 l 3 Eb I    4 Eb I 



T

P 2

Na slici 4.3 je prikazan dijagram ugiba w , nagiba q , momenta savijanja M i transverzalne sile T , beskonačnog nosača (sa normiranim ordinatama od -1 do +1, u odnosu na maksimalne vrednosti), prikazan je u funkciji koeficijenta l x u u intervalu između -5  l x  5. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

18

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE -1.0 w

-0.8 | x

a m

U | / U i d e r g j o n j l e m e t u i j a c i t U

w' M

-0.6

T

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Parametar lx

Slika 4.3

Uticaji u beskonačnom nosaču na Vinklerovoj podlozi, usled koncentrisane sile

U prethodnim izrazima, pomoćne funkcije A(l x ) , , B(l x ) , , C (l x ) i D(l x ), ), glase: Al x   e  l x cos l x   sinl x  ,

Bl x   e  l x sinl x  ,

C l x   e  l x cosl x   sinl x  ,

Dl x   e  l x cosl x 

1.0

0.8

A 0.6 D , C , B , A : i t n e j i c i f e o K

C

D

0.4

0.2

B 0.0

-0.2

-0.4 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

Parametar lx

Slika 4.2

Grafički prikaz pomoćnih funkcija, za rešenje nosača n a Vinklerovoj podlozi

Za odstojanje, za koje je koeficijent l x 2.5, ugib je  2%, a za l x 5.0, ugib je  0.5% od ugiba nosača ispod sile. Za l x 2.5, moment savijanja je 11%, a za l x 5 je 0.8% od momenta savijanja ispod sile. To znači, da se uklanjanjem levog ili desnog dela nosača, koji su od sile udaljeni više od l x =2.5 =2.5 (efektivni radijus  2.5/l ), ), zanemarljivo utiče na promenu ugiba, odnosno presečnih sila nosača ispod sile. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

19


4.2 SPREG SILA NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE Spreg sila M0 može se zameniti sa dve paralelne sile suprotnog smera, na rastojanju  x =M0 /P. Negativna sila P je u koordinatnom početku, a pozitivna na odstojanju  x od koordinatnog početka (Slika 4.4). Pozitivan moment deluje u smeru obrtanja kazaljke na satu, tako da daje pozitivan nagib elastičnoj liniji. Konvencija za + znak

M0

P x P

M

T

M0

x

z

Slika 4.4

T

w

x

M

z

x

q

Nosač beskonačne dužine na Vinklerovoj podlozi, o pterećen spregom sila

U preseku na odstojanju x od koordinatnog početka, ugib nosača w je jednak zbiru ugiba od sile - P koja je od preseka udaljena x , i ugiba od sile + P koja je od preseka udaljena x - x , prema sledećoj jednačini: w  w M 0 , x  w P , x  w P , x   x    w P , x   w P , x   x  w

P l 2 Bk

 Al x  Al  x   x   

P l

2 Bk

 Al x 

 x P  xl  Al x   2 Bk  x  x

Kada se izvrši smena sprega dve paralelne sile P, i - P na rastojanju  x momentom M0 i kada se pusti da rastojanje  x teži ka nuli, dobiće se sledeći izrazi: P  x  M 0 ,

w

M 0 l 2 Bk

 Al x    x0  x lim

dAl x  dx

 2l Bl x 

2

 2l Bl x  

M 0 l Bk

Bl x 

(4.10)

Uzastopnim diferenciranjem izraza (4.10), za presek na odstojanju x , desno od sprega sila M0, mogu se dobiti izrazi za nagib elastične linije q , i presečne sile M i T . Nagib elastične linije nosača iznosi: q 

dw dx



M 0 l 2 dB Bk dx



M 0 l 2 Bk

l C l x  

M 0 l 3 Bk

C l x 


(4.11)

20


Moment savijanja u preseku nosača iznosi: M   E b I

M  E b I

d 2 w dx 2

2 M 0 Bk

3

M 0 l d 2 B

  E b I

Bk dx 2

l 4 D l x   E b I

2 M 0

3

M 0 l

  E b I

Bk

 2l Dl x  2

M Dl x   0 D l x  Bk 4 E b I 2 kB

(4.12)

Transverzalna sila u preseku nosača iznosi: T   E b I

T   E b I

2

d 3 w dx

M 0 l d 3 B

  E b I

3

2 M 0 l Bk

Bk dx

3

l 4 Al x    E b I

2

M 0 l

  E b I

2l M 0

Bk

kB

2l Al x  3

Al x   Bk 4 E b I

M 0 l Al x  2



(4.13)

Dijagram ugiba w , nagiba q , momenta savijanja M i transverzalne sile T , beskonačnog nosača (sa normiranim ordinatama od -1 do +1, u odnosu na maksimalne vrednosti), prikazan je u funkciji karakterističnog parametra l x u intervalu između -5  l x  5. -1.0 w -0.8

w' M

-0.6 | x

a m

U | / U i d e r g j o n j l e m e t u i j a c i t U

T -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Parametar lx

Slika 4.5

Uticaji u beskonačnom nosaču na Vinklerovoj podlozi, usled sprega sila

Za odstojanje, za koje je koeficijent l x 2.5, ugib je  15.5%, a za l x 5, ugib je  2% od ugiba nosača ispod sprega sile. Na odstojanju od l x 2.5, moment savijanja je 6.5%, a na l x 5, je  0.2% od momenta savijanja ispod sprega sile. To znači, da se uklanjanjem levog ili desnog dela nosača, koji su od sprega udaljeni više od l x =2.5, zanemarljivo utiče na promenu ugiba, odnosno presečnih sila nosača ispod sile. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

5

21


4.3 LINIJSKO OPTEREĆENJE NA GREDI BESKONAČNE DUŽINE Jednoliko podeljeno linijsko opterećenje intenziteta p, koje deluje na ograničenoj dužini nosača, počev od odstojanja r levo od koordinatnog početka do odstojanja s desno od koordinatnog početka, može se pretstaviti kao integral niza koncentrisanih sila intenziteta dP=pdx. Konvencija za + znak

p x

r

p

M

s z

Slika 4.6a

M

T T

w z

x

q

Nosač beskonačne dužine na Vinklerovoj podlozi, opterećen jednolikim opterećenjem

Na osnovu Slike 4.6a, imajući u vidu prethodno, diferencijalno sleganje nosača iznosi: l dP

dw 

Al x 

2Bk

l pdx 2Bk

A l x 

pl 2Bk

A l x

d  l x 

l



p

A l x d  l x 2Bk

(4.14)

Sleganje unutar opterećene površine, za presek koji je na odstojanju r od leve ivice i s od desne ivice opterećenja, glasi: s

r

w



p 2Bk

A l x  d l x  

0



Alx d lx 2Bk

0

s

r

w

p

p 2Bk



A l x d l x  

0

p 2Bk



A  l x d l x 



2  D lr  D ls  2Bk p

(4.15)

0

Uzastopnim diferenciranjem izraza (4.15), mogu se dobiti izrazi za nagib q , moment savijanja M i transverzalnu silu T , na odstojanju r od leve ivice, odnosno s od desne ivice opterećenja: q



M

T

dw dx

pl

 A  lr   A  l s   2 Bk 



  Eb I

  Eb I

d 2w dx

2

d 3w dx

3





p 4l 2

 B  l r   B  l s  

p

C  l r   C  l s   4 l  Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

(4.16)

(4.17)

(4.18)

22


Ako je presek za koji se traži uticaji izvan opterećene površine (Slika 4.6b), sa leve strane jednoliko raspodeljenog opterećenja, izrazi za uticaje glase: r

s

p

w

2Bk



Al x d  l x 

p 2Bk

0



Al x d l x



p 2Bk

 D  l r   D l s 

(4.19)

0

Konvencija za + znak

p

M x

r

p

s

q

z

q

Nosač beskonačne dužine na Vinklerovoj podlozi, opterećen jednolikim opterećenjem



M

T

x

T

w

z

Slika 4.6b

M

T

dw dx

pl

 A  lr   A  l s  2 Bk 



d 2w

  Eb I

dx

2

d 3w

  Eb I

dx





3

p 4l 2

(4.20)

 B  l r   B  l s  

(4.21)

p

C  l r   C  l s   4 l 

(4.22)

Ako je presek izvan opterećene površine (4.6c), sa desne strane opterećenja, izrazi za sleganje nosača w , nagib q , moment savijanja M i transverzalnu silu T , glase: Konvencija za + znak

p

M

p

x z

Slika 4.6c

z

q

Nosač beskonačne dužine na Vinklerovoj podlozi, opterećen jednolikim opterećenjem r

w

p 2Bk



s

A l x d l x 

0

q

x

T

w

r

s

M

T



M

dw dx



  Eb I

p 2Bk



A  l x  d  l x



p 2Bk

 D l r   D  l s  (4.23)

0

pl

 A  lr   A  l s  2 Bk  d 2w dx

2



p 4l 2

 B  l r   B  l s  


(4.24) (4.25)

23

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE 3

  Eb I

T

d w dx

3



p

C  l r   C  l s   4 l 

(4.26)

Pošto je u praksi temeljni nosač konačne dužine, izrazi izvedeni za beskonačni nosač na Vinklerovoj podlozi sami po sebi nemaju praktičnu primenu, ali su nezaobilazni kod proračuna temeljnih nosača konačne dužine primenom metode superpozicije . Koristeći signum funkciju, u tabeli 4.1 su dati uopšteni analitički izrazi za proračun uticaja u proizvoljnom preseku beskonačnog nosača na Vinkler-ovoj podlozi, za sve prethodno obrađene tipove opterećenja. Presečne sile M( x ) i T ( x ), ugib w ( x ) i nagib ( x )

Tip opterećenja:

sgn x  0   1 , sgn x  0   0 , sgn x  0   1

 x  x  x P

P

T

xP

M

x M 

x

P 4l

C l  x 

P T   sgn x  Dl  x  2

x z

P l

Al  x  2 Bk

w

2

P l Bl  x  q   sgn x  Bk

 x  x  x M M0

T

xM

M

M M  sgn x  o Dl  x  x 2

M o l 2

w  sgn x 

x

x

M l T   o Al  x  2

z

q 

M o l 3

 xl  x  x L M 

p

T

M

T 

x xL

xD x

z

w

4 l 2

p 4 l



sgn x L   B l  x L

B l  x 

C l  x 

 xd  x  x D

  sgn x D  Bl x D  

C l  x L   C l x D  

p

 sgn x L   sgn x D   sgn x L   Dl  x L    sgn x D  Dl  x D  

q 

Tabela 4.1

p

Bk

Bk

2 Bk

pl

 Al  x L   Al x D  

2 Bk

Pregledan prikaz M, T, w,

u preseku beskonačne grede na Vinklerovoj podlozi


24


4.4 BROJNI PRIMER -1 Potrebno je odrediti uticaje (sleganje w , nagib elastične linije q , transverzalnu silu T i moment savijanja M) u tački A, B i nagib elastične linije ispod koncentrisane sile P, vrlo dugačkog nosača na deformabilnoj podlozi, prema opterećenju i dimenzijama na Slici 4.7. Temeljnu podlogu aproksimirati Vinklerovim modelom. Proračun izvršiti analitički, prema izrazima za beskonačni nosač. 0,4

P=1,3 MN p=50,0 kN/m A

B

0 , 1

x

4 , 0

k=30,0 MN/m3 3,0

B=1,5

2,0

4,0

1,0 Eb=21,0 GPa I=0,159 m4

L=10,0 z

Slika 4.7

Opterećenje između tačaka A i B beskonačnog nosača

Rešenje: Parametar krutosti sistema temeljni nosač – podloga (tlo), iznosi: l 

4

kB 4 Eb I



4

30,0  1,5 4  21000  0 ,159



0,2409 m1

Proračun sleganja w , nagiba q , transverzalne sile T i momenta savijanja M, u tački A : -

pomoćne veličine za proračun uticaja koncentrisanog opterećenja : sgn x   sgn 3 ,0   1

 x  x  x P  0  3 ,0  3 ,0 -

pomoćne veličine za proračun uticaja od jednako podeljenog opterećenja :

 x L  x  x L  0  5 ,0  5 ,0

 x D  x  x D  0  9 ,0  9 ,0

sgn x L   sgn 5 ,0   1

sgn x D   sgn 9 ,0   1

w A

w A





P l

p  D5l   D9l  A3l   2 Bk 2 Bk

1300  0 ,2409 2  1 ,5  30000

A0 ,723  

50 ,0 2  1 ,5  30000

 D1 ,205   D2 ,169   2 ,48  10 3 m


25




q A

q A



P



4l

1300 ,0





2

1 ,5  30000



2 Bk

 A5l   A9l  50 ,0  02409

C 3l  

p

2  1 ,5  30000

 A1 ,205  A2 ,169   0 ,586  10 3 rad

 B5l   B9l 

4l 2 50 ,0

0 ,232

 B1 ,205   B2 ,169   18 ,028 kNm

P p C 5l   C 9l  D3l   2 4l

1300 ,0 2

pl

B0 ,723 

C 0 ,723  

0 ,964

T A

T A

Bk

B3l  

1300  0 ,2409

M A M A

P l 2

D0 ,723  

50 ,0 0 ,964

C 1 ,205   C 2 ,169   235 ,914 kN

Proračun sleganja w , nagiba q , transverzalne sile T i i momenta savijanja M, u tački B : sgn x   1

 x  7 ,0



w B



w B

q B

P l 2



M A





B7 l  

1 ,5  30000



P 4 l

1300 ,0

2

2  1 ,5  30000

pl

sgn x D   1

C 7 l  

 D1 ,205   D0 ,241  0 ,93  10 3 m

 A5l   Al 

2 Bk

B 1 ,687  

C 1 ,687  

0 ,964

T  T B

Bk

50 ,0

A1 ,687  

1300  0 ,2409

M B

 x D  1 ,0

p  D 5l   D l  A7 l   2 Bk 2 Bk

2  1 ,5  30000



sgn x L   1

P l

1300  0 ,2409

q B

 x L  5 ,0

p 4l 2

50 ,0  02409 2  1 ,5  30000

 A1 ,205  A0 ,241  0 ,384  10 3 rad

 B5l   Bl 

50 ,0 0 ,232

 B1 ,205   B0 ,241  257 ,049 kNm

P p C 5l   C l  D 7 l   2 4l



1300 ,0 2

D1 ,687  

50 ,0 0 ,964

C 1 ,205   C 0 ,241  24 ,930 kN


26


Sleganje w i nagib elastične linije beskonačnog nosača q ispod sile P :



w

w



p  D 2l   D 6 l  A0   2 Bk 2 Bk

1300  0 ,2409

1 ,00 

2  1 ,5  30000

q 

q 

P l

P l 2 Bk

B0  

1300  0 ,2409 2 1 ,5  30000

50 ,0 2  1 ,5  30000

pl 2 Bk

0 ,0 

 D0 ,482   D1 ,445   3 ,77  10 3 m

 A2l   A6 l 

50 ,0  02409 2  1 ,5  30000

 A0 ,482  A1 ,445  0 ,0765  10 3 rad

Dijagram momentasavijanja na delu AB bekonačnog nosača nosača (kNm) -400 -200 -208.17

0

-257.05

-123.29

18.03 -5.80

200 167.47

314.09

400 419.67

600 747.04

800

796.47

1,000 1,200 1,400

1337.66

1,600 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

Dijagram transverzalnihsila na delu AB beskonačnog beskonačnog nosača nosača (kN) 800

674.15

700 600

508.96

500 360.50

400 300 200 100

235.91 -24.93

0 -100 -200

-141.46

-97.41

-75.98

-208.98

-300 -298.91

-400 -500

-457.26

-600 -625.85

-700 0.0

Slika 4.8

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

Presečne sile na delu AB beskonačnog nosača na Vinklerovoj podlozi Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

10.0

27


5. PRIMENA METODE SUPERPOZICIJE ZA GREDU KONAČNE DUŽINE Za konačne temeljne nosače, sa višestrukim i složenim opterećenjem, prethodno prikazana metoda za beskonačni nosač postaje vrlo komplikovana. Umesto metode početnih parametara, za analitičko rešavanje je znatno jednostavnija i brža metoda superpozicije ( Hetenyi , 1936). Metoda se zasniva na rešenjima za beskonačnu gredu, koja je pojedinačno opterećena vertikalnom silom, spregom sila ili ravnomerno podeljenim opterećenjem. Greda konačne dužine, posmatra se samo kao deo beskonačne grede (zauzima samo određeni deo beskonačne grede). U metodi se implicitno pretpostavlja da važi princip superpozicije, odnosno da je kontaktni napon (reaktivno opterećenje nosača) linearna funkcija sleganja podloge. Da bi se zadovoljili granični uslovi za temeljni nosač konačne dužine, na beskonačni nosač, u tačkama koje odgovaraju krajevima konačnog nosača, treba dodati fiktivne sile, koje se sastoji od 2 momenta i 2 transverzalne sile. Nepoznate fiktivne sile se određuju iz 4 uslovne jednačine, dobijene na osnovu graničnih uslova (po silama i/ili pomeranjima) na levom i desnom kraju temeljnog nosača konačne dužine. 5.1 TEMELJNA GREDA KONAČNE DUŽINE Posmatra se deo beskonačnog nosača na Vinklerovoj podlozi, između tačaka A i B, na rastojanju L, koje odgovaraju krajevima konačnog nosača. Koordinatni početak je u tački A i osa x je je usmerena od tačke A prema tački B. Između tačaka A i B , na nosač deluje proizvoljno opterećenje (koncentrisana sila, spreg sila, linijsko opterećenje). Pošto su krajevi konačnog nosača u tačkama A i B su slobodni (Slika 5.2a), moment savijanja i transverzalna sila u njima moraju biti jednaki nuli ( M=T =0). T0A M0A

a

P

p

T0B M0

b

A

M0B B

a

L

x

b

z Slika 5.1

Konačni nosač, kao deo beskonačnog nos ača, sa aktivnim i fiktivnim silama

Presečne sile na beskonačnom nosaču, usled zadatog opterećenja, u tački A blisko desno ( a-a) označiće se sa M A i T A a u tački B blisko levo ( b-b) MB i T B . Granični uslovi na slobodnim krajevima konačnog nosača glase: M A=0, T A=0, MB=0 i T B=0. Da bi se zadovoljili granični uslovi, pored aktivnog opterećenja, potrebno je u tačke A i B beskonačnog nosača, dodati i fiktivne sile M0A , T 0A 0A , M0B , T 0B 0B. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

28


Ukupan moment savijanja M A u beskonačnom nosaču, u tački A blisko desno ( a-a), usled aktivnog-zadatog opterećenja, M A i fiktivnog opterećenja T 0A, T 0B, M0A i M0A , na beskonačnom nosaču, mora biti jednak nuli: M A

M 0 A

 M A 

2

D0  

M 0 B 2

Dl L  

T 0 A 4 l

C 0  

T 0 B 4l

C l L   0

(5.1)

Jednačine oblika (5.1) se mogu napisati i za ostale granične uslove: moment savijanja u tački B blisko levo (presek b-b), transverzalnu silu u tački A blisko desno (presek aa) i transverzalnu silu u tački B blisko levo (presek b-b). Sve četiri uslovne jednačine za nosač na Vinklerovoj podlozi (za slobodne krajeve), mogu se pregledno napisati u matričnom obliku: D( l L ) C ( 0 )  M A   M A    D( 0 )       2 2 4l   D( l L )    D ( 0 ) C ( l L )   M B   M B   2 2 4l     T   T    l A( 0 )  l A( l L )  D( 0 )  A   A   2 2 2   l A( l L )    l A( 0 ) D( l L )    T   T    B   B   2 2 2

C ( l L )   M 0 A  0    4l        C ( 0 )   M 0 B  0 4l        (5.2) D( l L )      T 0 A  0   2    D( 0 )     T  0 2   0 B   

Rešenjem gornje jednačine, dobijaju se nepoznate fiktivne sile M0A , T 0A , M0B i T 0B , koje zajedno sa aktivnim opterećenjem na beskonačnom nosaču zadovoljavaju uslove za slobodan kraj konačnog nosača. Pri proračunu uticaja u bilo kom preseku između tačaka A i B beskonačnog nosača, osim uticaja od aktivnog opterećenja uvek treba uzeti u obzir i fiktivno opterećenje. Uticaji koji se na prikazan način računaju za beskonačni nosač, odgovaraju uticajima za konačni nosač. Na sličan način, mogu se analizirati i drugačiji granični uslovi, prikazani na slici 5 .2. a)

b) M(0)=0 T(0)=0

p(x)

M(L)=0 T(L)=0

x

p(x)

M(0)=0 w(0)=0

L

M(L)=0 w(L)=0

x

L

z

z c) q (0)=0

w(0)=0

p(x)

q (L)=0

w(L)=0

x L z

Slika 5.2

Granični uslovi na krajevima nosača: a) Slobodan, b) Zglobno oslonjen, c) Uklješten Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

29


Ako je konačan nosač oslonjen na krajevima, u tačkama A i B (Slika 5.2b), moment savijanja i ugib moraju biti jednaki nuli ( M=w =0). Da bi se zadovoljili granični uslovi na krajevima nosača konačne dužine, pored zadatog opterećenja, treba u tačke A i B beskonačnog nosača, dodati fiktivno opterećenje M0A , T 0A , M0B , T 0B. Ukupan ugib w A beskonačnog nosača u tački A blisko desno ( a-a), usled aktivnogzadatog opterećenja w A i fiktivnog opterećenja T 0A, T 0B, M0A i M0A , na beskonačnom nosaču, mora biti jednak nuli: w A

 w A 

l 2 M 0 A Bk

B0  

l 2 M 0 B Bk

Bl L  

l T 0 A 2 Bk

A0  

l T 0 B 2 Bk

Al L   0

(5.3)

Jednačine oblika (5.3) se mogu napisati i za ostale granične uslove: ugib nosača u tački B blisko levo (presek b-b), moment savijanja u tački A blisko desno (presek a-a) i moment savijanja u tački B blisko levo (presek b-b). Sve četiri uslovne jednačine za nosač na Vinklerovoj podlozi (za slobodno oslonjene krajeve), mogu se pregledno napisati u matričnom obliku: D( l L )  M A   M A    D( 0 )       2 2   D( l L )    D( 0 )   M B   M B   2  2 2   2  l B ( 0 ) l B ( l L ) w  w    A A      Bk Bk 2   l 2 B( l L )    l B( 0 )  w   w    B   B   Bk Bk

C ( 0 ) 4l C ( l L ) 4l l A( 0 ) 2 Bk l A( l L ) 2 Bk

  M 0 A  0    4l      C ( 0 )     M 0 B  0 4l       (5.4)  l A( l L )        T 0 A  0 2 Bk     l A( 0 )    T  0 2 Bk   0 B    C ( l L )

Ako konačni nosač ima uklještene krajeve u tačkama A i B (Slika 5.2c), ugib i nagib na krajevima moraju biti jednaki nuli ( w=0 , q =0). Ugib i nagib nosača u tački A usled zadatog opterećenja je w A i q A. Da bi se zadovoljili granični uslovi na kraju konačnog nosača, pored zadatog opterećenja, u tačke A i B beskonačnog nosača treba dodati fiktivno opterećenje M0A , T 0A , M0B , T 0B. Ukupan nagib u tački A blisko desno (presek a-a), usled aktivnog-zadatog i fiktivnog opterećenja na beskonačnom nosaču, mora biti jednak nuli: q A

 q A 

l 3 M 0 A Bk

C 0  

l 3 M 0 B Bk

C l L  

l 2 T 0 A Bk

B 0  

l 2 T 0 B Bk

Bl L   0

(5.5)

Sve četiri uslovne jednačine, za nosač na Vinklerovoj podlozi (za uklještene krajeve), mogu se pregledno napisati u matričnom obliku: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

30


3 l 3 C ( l L ) l 2 B( 0 ) q A  q A    l C ( 0 )      Bk Bk Bk 3 2      l 3 C ( l L ) l C ( 0 ) l B ( l L ) q B  q B   Bk Bk        2 Bk w   w   l B( 0 )  l 2 B( l L ) l A( 0 )  A   A   Bk Bk 2 Bk      l 2 B( l L ) 2 l B ( 0 ) l A ( l L ) w   w    B   B   Bk Bk 2 Bk

l 2 B( l L )   M  0 A   Bk   l 2 B( 0 )   M 

0       0 B  0  Bk        (5.6) l A( l L )      T 0 A  0  2 Bk      l A( 0 )   T  0  2 Bk   0 B   

Na sličan način se mogu ispisati i kombinovani granični uslovi za levi i desni kraj temeljnog nosača na Vinklerovoj podlozi.

5.2 KLASIFIKACIJA NOSAČA PREMA PARAMETRU KRUTOSTI Klasifikacija temeljnih greda konačne dužine, na Vinklerovoj podlozi, vrši se prema koeficijentu savitljivosti l L. Ako je koeficijent savitljivosti temeljnog nosača veći, nosač je savitljiviji i obrnuto (manje savitljiv, odnosno krući). Na savitljivom nosaču (veliko l L), uticaji se prenose na malu udaljenost od sile, dok se kod krutih nosača (malo l L), uticaji prenose na veću udaljenost od sile. Na primer, na udstojanju l x =3 =3/4 2.35 od koncentrisane sile, ugib nosača je jednak nuli, što znači da je unutar navedene dužine podloga pritisnuta. Ako je nosač, čija je dužina l L=2.35+2.35=4.7, opterećena u sredini koncentrisanom silom, tada je cela podloga pritisnuta a na krajevima nosača je pritisak jednak nuli. Ako je dužina nosača veća od l L=4.7, na krajevima se pojavljuje odizanje nosača od podloge i pojavljuju se naponi zatezanja. Treba imati u vidu da su naponi zatezanja u kontaktu, matematički rezultat. Fizički, naponi zatezanja u kontaktu nisu mogući, zbog čega se ukoliko postoje, moraju određenim iterativnim postupkom eliminisati na račun povećanja napona u pritisnutoj zoni. Uobičajena klasifikacija temeljnih nosača/greda na Vinklerovoj podlozi, u funkciji koeficijenta savitljivosti l L, prikazana je u tabeli 5.1. Klasifikacija Hetenyi,1936) Kratke (krute) grede Grede srednje dužine Dugačke (savitljive) grede Tabela 5.1

l L

 0.80 0.80 -  -



Klasifikacija (Vesić,1961) Kratke (krute) grede Grede srednje dužine Srednje dugačke grede Dugačke (savitljive) grede

l L

 0.80 0.80 - 2.25 2.25 - 5.00  5.00

Klasifikacija temeljnih nosača/greda prema parametru krutosti l L


31


5.3 BROJNI PRIMER -2 Dat je temeljni nosač konačne dužine na Vinklerovoj podlozi, dimenzija dimenzija i opterećenja prema Slici 5.3. Potrebno je izračunati sleganje w , nagib elastične linije q , transverzalnu silu T i i moment savijanja M nosača, ispod koncentrisane sile. Proračun izvršiti analitički, metodom superpozicije. su perpozicije. 0,4

P=1,3 MN p=50,0 kN/m B

A

0 , 1

x

4 , 0

k=30,0 MN/m3 3,0

2,0

B=1,5 4,0

1,0

L=10,0

E b=21,0 GPa I=0,159 m4

z

Slika 5.3

Opterećenje između tačaka A i B konačnog nosača

Rešenje: Parametar krutosti sistema temeljni nosač – podloga (tlo), iznosi: l 

4

kB 4 Eb I



4

30 ,0  1, 5 4  21000  0 ,1 ,159

 0,2409 m1

l L  0, 2409  10,0  2,41 Prema klasifikaciji, greda je srednje dužine !

Napomena: Napomena: Pri proračunu transverzalne transverzalne sile i momenta momenta savijanja u proizvoljnom preseku nosača na Vinklerovoj podlozi, ne uzimaju se u obzir (kao što je pravilo u statici) samo sile sa jedne strane preseka, već sve sile koje deluju na nosač. Razlog je u konceptu proračuna, u kojem ne figurišu kontaktni naponi, već sve aktivne sile na nosaču i po dve fiktivne sile na krajevima nosača. Ako bi se uticaj podloge zamenio kontaktnim naponom, presečne sile bi se mogle odrediti na osnovu aktivnih sila i kontaktnih napona koje deluju na nosač, sa jedne ili druge strane preseka. Pored vrednosti presečnih sila dobijenih analitičkom metodom, u zagradi su date i vrednosti prema programu za statičko-dinamičku analizu konstrukcije ( Tower6)*. Proračun presečnih sila od zadatog opterećenja u tačkama A (blisko desno) i B (blisko levo) M A



M A



P 4 l

C 3l  

1300.0 0.964

p 2

4 l

0.043 

 B5l   B9l  50.0

0.232

0.280  0.095  18.028 kNm


(11.59)*

32


M B



M A



P 4l

C 7 l  

1300.0 0.964

p 4l 2

 B5l   B l 

 0.205 

50.0 0.232

0.280  0.188  257 .049 kNm

T A



P p C 5l   C 9l  D3l   2 4l

T A



1300.0

T B



T B



50.0

 0.173   0.159   235.914 kN 2 0.964 P p  D7 l   C 5l   C l  2 4l 0.364 

1300.0 2

 0.021 

50.0 0.964

 0.173  0.576   24.930 kN

(-257,20)*

(228.08)*

(-23.92)*

Uslovne jednačine (5.2) za krajeve A i B nosača konačne dužine (slobodan kraj) glase: 0.5 0.033419 1.037366  0.033419   M 0 A  0   18.028   257 .049  0.033419  0.5  0.131713 1.037366   M 0 B  0      235.914   0.120463 0.000812  0.5  0.033419   T 0 A  0         0.5  T 0 B  0    24.930  0.000812  0.120463 0.033419

Nulte sile u tačkama A i B beskonačne grede iznose:

 2112 .385 kNm  1000 .917 kN

 1329.643 kNm  333.954 kN

M 0 A

M 0 B

T 0 A

T 0 B

Proračun ugiba w, ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 =3.0 m : w3.0  

T l T p  D2l   D6 l   0 A A3l   0 B A7 l   1.0  2 Bk 2 Bk 2 Bk 2 Bk

P l

 w3.0  

M 0 B l 2 Bk

B3l  

1300.0  0.241

M 0 B l 2 Bk

B7 l 

50.0

0.547  0.029  2  1.5  30000  333.954  0.241 0.685  0.163  2  1.5  30000 2  1.5  30000 1.0 

2  1.5  30000 100.917  0.241

 

2112.385  0.2412 1.5  30000

0.321 

1329.643  0.2412 1.5  30000

0.184  4.9  10 3 m


33


Proračun nagiba q , ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 m : q 3.0  

2

P l

Bk

 q 3.0  

pl

B0  

M 0 A l 3 Bk

2 Bk

C 3l  

1300.0  0.2412 1.5  30000

T 0 A l 2

 A2l   A6 l   M 0 B l 3 Bk

0.0 

T 0 B l 2 Bk

B 7 l  

C 7 l 

50.0  0.241 2  1.5  30000

0.834  0.263 

 333.954  0.2412 0.184  1.5  30000 1.5  30000 2112.385  0.2413 1329 .643  0.2413  0.205   0.000361 rad 0.043   1.5  30000 1.5  30000 

1000 .917  0.241 2

Bk

B 3l  

0.321 

Proračun momenta M, ispod koncentrisane sile P, na odstojanju x =3.0 m : M 3.0  

P

4l M 0 A

 M 3.0  

p

C 0  

2

2

4l

D3l  

1300.0 4  0.241

 B2l   B6 l   M 0 B

1.0 

 0.205 

2

4l

C 3l  

T 0 B 4l

C 7 l  

D7 l 

50.0 2

40.241  2111.39 2

T 0 A

0.286  0.234  2112.385 0.043  1329.643  4  0.241

0.364 

 1329.64 2

4  0.241

 0.021  1054.723 kNm

Proračun transverzalne sile T l blisko levo ispod koncentrisane sile P, na x =2.9999 m : T l 3.0  

T T P p D0   C 2l   C 6 l   0 A D3l   0 B D7 l   2 4 l 2 2 M 0 A l M 0 B l  A3l   A7 l  2 2

T l 3.0  

1300

50.0

0.261  0.043  1000.917 0.364  333.954  0.021

4  0.241  2112.385  0.241 2



1

2

0.685 

2  1329.643  0.241 2

2

0.163  695.906 kN

Proračun transverzalne sile T d blisko desno od sile P, na odstojanju x =3.0001 m: T d 3.0   T l 3.0   P  695.906  1300.0  604.094 kN


34

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE -1

-0.15 0

0.65

1

1.44

) m m 2 ( w a č a s 3 o n b i g U 4

2.48 3.52

5.27

5

5.22

5.13

2.35

3.34 3.77

3.67 04

1.83

2.87

3.05

0.93

1.35

2.22

3 3.74

4.9 BESKONAČNA GREDA KONAČNA GREDA

6 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00 Odstojnje x (m)

6.00

7.00

8.00

9.00

- 0.79

-0.79

10.00

-1.0

-0.71

-0.8

-0.77

-0.78

-0.50

-0.53

-0. 79

-0.60 -0.6

-0.36

) -0.4 d a r (

-0.50

-0.45

-0.42

-0.38

-0.14

-0.2

-0.04 -0.06

a č a s o 0.0 n b i g a 0.2 N

-0.24

0.08

0.4

0.38 0.6

0.59

BESKONAČNA GREDA

0.54

KONAČNA GREDA

0.8 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m) -400

-208.17 ) m N k (

0

M 200 a č a s o 400 n a j n 600 a j i v a s t 800 n e m o 1000 M

-257.05

-123.29

-200

-5.80

0

102

118.2 18.03

30.68

258.21

314.09

9.36

2.66

0

167.47

471.23 557.62 419.67 747.04 1054.72

796.47 BESKONAČNA GREDA

1200

1337.66

KONAČNA GREDA

1400 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

Odstojanje x (m)

800

674.15

600 ) N 400 k ( T a č 200 a s o n a l 0 i s a n l a z -200 r e v s n a r T -400

508.96 360.50 235.91

695.91

469.35

236.06 -108.04

0

-40.44

-209.97 -141.46

0

-8.09

-11.25

-97.41

-75.98 -24.93

-208.98

-393.82 -298.91 -604.09

-600

-457.26

BESKONAČNA GREDA KONAČNA GREDA

-625.85 -800 0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

Odstojanje x (m)

Slika 5.4

Grafički prikaz rezultata proračuna za temeljni nosač iz Primera-1 i Pr imera-2 Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

35


5.4 ODREĐIVANJE VERTIKALNOG MODULA REAKCIJE TLA Modul reakcije tla/podloge/posteljice nije fundamentalna fizička veličina, kao npr. modul elastičnosti ili Poissonov broj, već izveden parametar definisana kao količnik kontaktnog napona i sleganja u tački kontaktne površine. Modul reakcije se menja ne samo u zavisnosti od vrste tla i nivoa opterećenja već i u zavisnosti od oblika i veličine kontaktne površine. Modul reakcije tla se određuje terenskim ispitivanjem pomoću kružne ploče prečnika 76.0cm (2.5 ft) ili 30.5 cm (1.0 ft), gde je ft =stopa imperijalna jedinica za dužinu. Srpski standard, opitom pomoću kružne ploče definiše modul stišljivosti (SRPS U.B1.046:1969) i modul deformacije (SRPS U.B1.047:1997), dok određivanje modula reakcije tla nije definisano. Standard ACI 360R , specijalno usmeren za proračun ploča na deformabilnoj podlozi,

definiše modul reakcije tla na osnovu ispitivanja kružnom pločom prečnika 76.0 cm (2,5ft). Ploča se opterećuje do sleganja od 1.25 mm (0.05 in), gde je in =inč imperijalna jedinica za dužinu ( 1.0 in =2.54 cm) . Modul reakcije tla k je količnik opterećenja q i sleganja w . (Slika 5.3a). a)

b) q0

Opterećenje (q )

D

d

p

p w0=1,25mm

k 1

) w ( e j n a g e l S

a n o z a n j a c i t u

~1.5d a n o z a n j a c i t u

~1.5D

=76,0 cm (2,5 ft)

Slika 5.5

a) Definicija modula reakcije k , b) Efekat veličine temelja

Detaljan opis postupka određivanja modula reakcije tla/podloge/posteljice u funkciji vrste tla i veličine opterećene površine, dali su Terzaghi (1955), Teng (1962), Bowles (1977) i drugi, a sumiranje različitih pristupa detaljno je prikazao Nair (1974) . Uglavnom je uočeno, da modul reakcije k nije konstanta, već da zavisi od vrste tla, vlažnosti, zbijenosti, nivoa opterećenja, veličine i oblika opterećene površine i dubine fundiranja. Da bi se za tlo na nekoj lokaciji, uopšte mogla uspostaviti veza između veličine i oblika opterećene površine, neophodno je da tlo u zoni dejstva opterećenja (Slika 5.5b) bude homogeno. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

36

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE Prečnik ploče d (ft) 0.0

0.5

1.0

1.5

Prečnik ploče d (ft) 2.0

2.5

3.0

0.0

5

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

10

(Stratton, J.H.)

Glina (K.Terzaghi) 9

(Stratton, J.H.) 4

Glina (K.Terzaghi)

8

Pesak (K.Terzaghi)

5 . 0 3

2 . 6 7

k / d k 3

Pesak (K.Terzaghi)

7

k / d 6 k

t n e j i c i f 2 e o K

Normiranona

t 5 n e j i c i f 4 e o K 3

30.5 cm (1,0 ft)

k d ~ 16d -0.8

1

Normirano na

76.0 cm (2.5 ft)

k d ~ 32d -0.8

2 1

0

0 0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

0.0

10.0

Prečnik ploče d (cm)

Slika 5.6

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

Prečnik ploče d (cm)

Zavisnost modula reakcije od prečnika opitne ploče

Zavisnost modula reakcije tla k od prečnika opitne ploče d , prikazan je na Slici 5.6, gde je izvršeno normiranje na opitnu ploču prečnika 76cm i (ekonomičniju) prečnika 30.5 cm. Modul reakcije opada sa povećanjem prečnika. Na slici su prikazane empirijske vrednosti po Terzaghi-u i eksperimentalne (merene) vrednosti prema Stratton-u. Određivanje modula reakcije je spor i neekonimičan opit, pa se u praksi retko koristi. Kao parametar za dimenzionisanje kolovoza, piste za aerodrome i industrijski pod, modul se češće određuje korelacijom sa drugim terenskim opitima (CBR, opit sa padajućim tegom i sl.). Za temeljni nosač na homogenom sloju gline ili prašine (sitnozrno odnosno koherentno tlo), Terzaghi (1955) predlaže sledeću zavisnost između modula reakcije k za pravougaoni temelj dužine L i širine B i modula reakcije k 0 za ploču 30.5 cm : k  k 0

0.305 L  0.305 2 B

1.5 L

 k 0

0.3 L  0.15 B

1.5 L

(5.7)

Kod mekih (normalno konsolidovanih i senzitivnih) glina ( cu <50kPa), zbog velike krutosti l L, proračun temeljne konstrukcije se vrši prema pravolinijskoj raspodeli kontaktnog napona. Ako temelj leži na homogenom sloju peska, prema Terzaghi-u, modul reakcije ne zavisi od dužine temelja L, već samo od širine B i dubine fundiranja temelja D f : 2

 B  0.305    B  0.3   k 0x    2 B   2 B 

k  k 0 x 

2

, x  1  2

D f B

2

(5.8)

Na osnovu paralelnog proračuna temeljnog nosača opterećenog vertikalnom silom u sredini, na Vinklerovoj podlozi odnosno elastičnom poluprostoru, polazeći od jednakosti ugiba ispod sile, Vesić (1961) predlaže sledeći izraz :


37


k



0,65E s B 1 

2 s



12

Es B 4 Eb I

,

za

L B

 10

k



0,65Es

B 1 

2 s

(5.9)



U nedostatku eksperimentalnih podataka, za preliminarni proračun Terzaghi (1955) predlaže sledeće orijentacione vrednosti modula reakcije k 0 za ploču 30.5cm. Relativna zbijenost peska Dr (%) 25

50

75

100

200 300 Jednoaksijalna čvrstoća gline qu (kPa)

400

300 Glina Pesak - suv ili vlažan Pesak - potopljen

250 ) 3 m / N M 200 ( 5 , 0 3

k

e 150 j i c k a e r l 100 u d o M

50 0 100

Slika 5.7

Orijentacione veličine modula reakcije tla (Terzaghi, 1955)

U poglavlju 1.1 je pokazano, da delovi grede koji su na odstojanju većem od l x  2.5, nemaju bitan uticaj na sleganje i moment savijanja grede. Može se pokazati da isti zaključak važi i za kružnu ploču opterećenu koncentrisanom silom u sredini, koja je u ravnom stanju stim što se umesto l x  2.5, uvodi   r  2.5, gde je:  

gde je:

4

k D

, D 

E b h 3 12(1   b2 )

(5.10) 2

D - cilindrična krutost temeljne ploče u MNm

- debljina temeljne ploče u m 2 E b - modul elastičnosti temeljne ploče u MN/m  b - Poissonov koeficijent temeljne ploče h

Imajući u vidu prethodno, može se zaključiti, da je za dimenzionisanje grede/ploče na Vinklerovoj podlozi, potrebno odrediti modul reakcije podloge za efektivni radijus, koji za gredu iznosi x  2.5/l a za ploču r  2.5/  . U putogradnji se za dimenzionisanje krute kolovozne konstrukcije od betona, koristi formula koju je predložio Vestergard. Provera napona zatezanja u betonu prema metodi Vestergarda se vrši za 3 položaja sile: unutar ploče, na ivici i na uglu ploče. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

38


Teorijski, maksimalni napon zatezanja usled dejstva koncentrisane sile u centru beskonačne ploče, određuje se prema sledećoj jednačini:

 i

 0.275

 E b h 3   4   k  

P h

1   b log  2

(5.11)

Za ploču na prekonsolidovanoj glini, čiji je efektivni radius r =2.5/  , modul reakcije je: k  k 0

0.3 2r  0.15 d 1.5  2r

 k 0

0.3 5   0.15 5  1.5  5 



 25

k 0

Za ploču na pesku, čiji je efektivni radius r =2.5/  , modul reakcije je: 2

2 5   0.3   2r  0.3   k    0.5  0.03 2 k 0 k  k 0   0  2  2 r 2  5     

Iz prethodnih jednačina se vidi da je odgovarajući modul reakcije podloge funkcija efektivnog radijusa, koji je funkcija karakterističnog broja  , a karakterističan broj je opet funkcija modula reakcije podloge, ili matematički k = k 0 f (k ). Pošto je jednačina implicitnog oblika, odogovarajući modul reakcije se može odrediti samo iterativno, metodom direktne zamene (supstitucije): 0-iteracija

 0

4

1-iteracija

 1

4

k 0 D k 1 D



k 1

 k 0  f   0 



k 2

 k 0  f   1 

..................................................................................... m-iteracija

 m

max odstupanje

4

k m D

k m1

 k m

k m



k m 1

 k 0  f   m 

 0,01

Nakon što se odredi odgovarajući modul reakcije podloge prema modelskoj sličnosti za homogen sloj gline ili peska, može se izračunati napon zatezanja u betonskoj kolovoznoj ploči. Za ploče proizvoljnog oblika na Vinklerovoj podlozi, proračun se može izvršiti numerički, stim što će se modul reakcije podloge izračunati prema gornjem postupku. Ako je srednja širina ploče manja od Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

39


5.5 BROJNI PRIMER – 3 Odrediti modul reakcije podloge temeljnog nosača dimenzija B/L=1.8/12.0m, koji je fundiran na dubini od D f =0.8m. Ispod temeljnog nosača se nalazi homogen sloj debljine oko 8.0m Pretpostaviti da se homogen sloj sastoji od: a) b) c) d)

zbijenog, potopljenog peska, relativne zbijenosti Dr =70%, zbijenog, vlažnog peska, relativne zbijenosti Dr =70%, prekonsolidovane gline, jednoaksijalne čvrstoće qu =280.0 kPa, prekonsolidovane gline, koja ima modul elastičnosti za efektivne napone (drenirani modul) u iznosu od E s=20.0 MPa i Poissonov koeficijent  s =0.3.

Modul reakcije tla za ploču 30.5cm, za površinu terena, proceniti na osnovu dijagrama na Slici 5.7. Proračune izvršiti prema odgovarajućim izrazima (5.7)-(5.9). Rešenje: Dr  70%

a) zbijen, potopljen pesak 2

 d  0.3    2 B 

k  k 0 

 d  0.3    2 B 

2

0 ,3 L  0.15 B

1.5 L

0.65 E s



B 1 

 s2





Dr  70%

 50.0

qu



k 0

1.8 1.5  12.0

E s

0.65  20.0



1.8 1  0.3

 280 kPa 

0.3 12.0  0.15

d) prekonsolidovana glina k 

 35.0 MN / m 3

 120.0 MN / m 3

2 D   1.8  0.3   0.8   1  2 f   120.0    1  2   77 .4 MN / m 3 B  1.8   2  1.8   

c) prekonsolidovana glina k  k 0

k 0

2  D f  1.8  0.3   0.8   1  2   35.0    1  2   22.6 MN / m 3 B  1.8   2  1.8   

b) srednje zbijen, suv pesak

k  k 0 



2



k 0

 50.0 MN / m 3

 5.8 MN / m 3

 20 MPa

,

 7 .9 MN / m 3


 s

 0.30

40


6. PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE METODOM KONAČNIH RAZLIKA Analitičko rešenje problema temeljnog nosača na deformabilnoj podlozi je ograničeno na jednostavne primere. Ukoliko je temeljni nosač promenljivog poprečnog preseka ili ako su deformacijske karakteristike podloge promenljive duž nosača, problem se u praksi rešava približnim metodama. Pod prethodnim se podrazumevaju postupci približne integracije diferencijalne jednačine savijanja temeljnog nosača na deformabilnoj podlozi. U inženjerskoj praksi, uglavnom su u primeni dva približna postupka: Metoda Konačnih Razlika odnosno diferencna metoda (skraćeno: MKR) i Metoda Konačnih Elemenata (skraćeno: MKE). U okviru ovog predmeta, biće obrađena samo metoda konačnih razlika. Metoda konačnih razlika predstavlja približan numerički postupak rešavanja diferencijalne jednačine u određenoj tački odnosno nizu tačaka. Tačke se u MKR biraju na ekvidistantnom (jednakom) međusobnom rastojanju. Postupak u suštini pretstavlja zamenu izvoda funkcije u posmatranoj tački, preko pomeranja w susednih simetričnih tačaka, nakon čega se problem svodi na rešavanje sistema algebarskih jednačina po nepoznatim pomeranjima. Tačnost rešenja zavisi od gustine mreže, odnosno broja podele nosača i izbora interpolacione funkcije između tačaka. Za praktične proračune, kao interpolaciona funkcija se uglavnom koristi polinom drugog reda. Kod kvadratne parabole je nagib tangente u tački i paralelan sa sečicom kroz dve simetrične tačke u odnosu na tč. i . x i-2

xi-1

xi+1

xi

wi-2

wi+1

wi

wi-1

x i+2

x

wi+2

i+2 i+1 i-2 i-1

c

između tačaka i-1, i, i+1 interpolaciona funkcija w(x) je kvadratna par abola

i

c

c

c

z Slika 6.1

Interpolaciona funkcija (kvadratna parabola) sleganja u MKR


41


Ako je broj podela nosača n, broj uslovnih jednačina i nepoznatih pomeranja Vi je za jedan veći i iznosi n+1. Veći broj podela znači po pravilu tačnije rešenje i obimniji proračun. Prema slici 6.1, polazeći od osobine kvadratne parabole, prvi izvod funkcije w ( x ) u tački i ili nagib tagente u tački i je paralelan sa sečicom kroz tačke i -1 i i +1, odnosno matematički:

 dw    wi 1  wi1  dx  2c  i

(6.1a)

Drugi izvod funkcije u tački i se može izraziti preko prvog izvoda funkcije w ( x ) u tačkama i -0.5 i i +0.5, odnosno matematički:

 d 2 w  d  dw   wi0.5  wi0.5   dx 2   dx  dx   c  i  i w w w w w  2wi  wi 1 1    i i1  i1 i   i 1 c c c c2 

(6.1b)

Treći izvod funkcije u tački i se može izraziti preko prvog izvoda funkcije w ( x ) u tačkama i -1, i +1, odnosno matematički:

 d 3 w  d  d 2 w   wi1  wi1   dx3   dx  dx 2   2c  i  i 

(6.1c)

  wi  2 wi1  wi 2  wi 2  2 wi 1  wi    wi 2  2wi 1  2wi 1  wi 2   c2 c2 2c3 

1

2c 

Četvrti izvod funkcije u tački i se može izraziti preko drugog izvoda funkcije w ( x ) u tačkama i -1, i , i +1, odnosno matematički:

 d 4 w  d 2  d 2 w  wi1  2wi wi1   dx4   dx2  dx2   c2  i  i

 

(6.1d)

w  2 wi  wi 1 wi  2  2wi 1  wi   wi 2  2 wi 1  wi 2  2 i 1    2 c  c c2 c2  wi  2  4 wi 1  6 wi  4 wi 1  wi  2 1

2

c4

Ako se u diferencijalnoj jednačini savijanja nosača na deformabilnoj podlozi (3.1) za tč. i , izvrši zamena konačnim razlikama prema (6.1), dobija se diferencna jednačina: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

42


E b I

wi 2

 4 wi1  6 wi  4 wi1  wi 2 c4

 pi  B  qi

(6.2)

Na sličan način, presečne sile nosač (3.5) u tački i , izražene konačnim razlikama glase: M i

Ti

 d 2w    Eb I  2   dx  i

 d 3w    Eb I  3   dx i

 M i   Eb I

wi 1  2wi c

 wi1

(6.3a)

2

 w  2wi 1  2wi 1  wi  2  Ti   Eb I i 2 3

(6.3b)

2c

Podelom nosača na n jednakih delova dobija se n+1 jednačina oblika (6.2) po nepoznatim sleganjima Vi i ordinata reaktivnih opterećenja qi . Dodatnih n+1 jednačina za eliminaciju nepoznatih qi dobija se izborom tipa deformabilne podloge. U uslovnim jednačinama za tačke 0, 1, n-1, n pojavljuju se  fiktivna sleganja izvan nosača Vi -2, Vi -1, w n+1, w n+2 koje treba odrediti iz graničnih uslova na kraju grede. Ako su krajevi grede slobodni, granični uslovi su homogeni po silama ( M0=0, T 0=0 i Mn=0, T n=0), odnosno: Granični uslovi na levom kraju nosača daju sledeće fiktivne ugibe w -1 i w -2 :

 0   Eb I

M 0

T 0

 0   E b I

w1  2w0  w1 c2

w 2

 0  w1  2w0  w1

 2 w1  2 w1  w2 2c

3

 0  w 2  2 w1  2 w1  w2 w 2

(6.4a)

(6.4b)

 4 w0  4 w1  w2

Granični uslovi na desnom kraju nosača daju sledeće fiktivne ugibe w n+1 i w n+2 : M n

Tn

 0   Eb I

 0   Eb I

wn 1  2wn  wn 1 c2

 0  wn1  2wn  wn 1

 wn2  2wn 1  2wn 1  wn 2 2c 3

(6.4c)

 0  wn 2  wn2  2wn 1  2wn 1 (6.4d) wn  2

 4wn  4wn 1  wn 2

Ako se diferencna jednačina (6.2) ispiše za sve tačke od 0 do n, vodeći računa o izrazima za fiktivne ugibe (6.4), dobija se sistem diferencnih jednačina, koji u matričnom obliku glasi: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA


E b I c4

 D w   p Bq

43

(6.5)

U jednačini (6.5), sa w  je označen vektor pomeranja, sa  p vektor aktivnog opterećenja, sa q vektor totalnog kontaktnog napona, a sa D matrica diferencnog operatora, čiji su koeficijenti za podelu nosača na n=10 jednakih delova, pregledno prikazani u razvijenoj formi:

 2 4 2  2 5  4 1     1  4 6 4 1    1 4 6 4 1     1 4 6 4 1   1 4 6 4 1  D       1 4 6 4 1   1 4 6 4 1    1 4 6 4 1   1 4 5 2     2 4 2 

(6.6)

Slična matrica diferencnog operatora se može napisati za slobodno oslonjene ili uklještene krajeve nosača. Matrica diferencnog operatora je trakasta (bendirana), sa maksimalnom širinom trake od 5 elemenata. Članovi izvan trake su jednaki nuli. U matričnoj jednačini (6.5) postoje dve nepoznate, ugib w  i reaktivno opterećenje ili kontaktni napon q. Za rešenje jednačine je potrebno uvesti dodatne uslove izborom modela deformabilne podloge koja definiše vezu između ugiba i reaktivnog opterećenja. Pre nego što se pristupi rešavanju jednačine koja se odnosi samo na čvorne tačke nosača, potrebno je zadato opterećenje  p na nosaču, transformisati u statički ekvivalentno opterećenje koje deluje samo u čvornim tačkama nosača. Transformacija zadatog opterećenja u statički ekvivalentno čvorno opterećenje, vrši se na način kako je to prikazano u sledećem poglavlju.


44


6.1 PRORAČUN STATIČKI EKVIVALENTNOG ČVORNOG OPTEREĆENJA Pošto se prema MKR rešenje određuje za čvorne tačke i =0,1,...,n diskretizovanog nosača, potrebno je i zadato opterećenje na nosaču zameniti koncentrisanim silama u čvornim tačkama nosača. U statici konstrukcija, ove sile se nazivaju elastičnim težinama ili ekvivalentnim čvornim silama. Ekvivalentne čvorne sile-opterećenje, u čvornim tačkama nosača treba da izazovu iste uticaje kao i zadato opterećenje, što nije uvek moguće. Između čvornih tačaka nosača, uticaji od zadatog opterećenja i ekvivalentnih čvornih sila se razlikuju, međutim to nije važno, pošto se uticaji traže samo za čvorne tačke (za diskretni sistem). Vrednosti između čvornih tačaka se mogu interpolovati. U svakom slučaju, tačnost rešenja zavisi od broja podela nosača. Umesto stvarnog nosača, za proračun ekvivalentnog čvornog opterećenja se koristi fiktivni nosač, koji u čvornim tačkama ima vertikalan oslonac i zglob, odnosno sistem zglobno vezanih prostih greda. Za tako usvojen fiktivan nosač, treba odrediti reakcije oslonaca R od zadatog opterećenja. Postupak za određivanje statički ekvivalentnog čvornog opterećenja, za proizvoljno opterećen nosač, simbolično je prikazan na slici 6.2. P

a

P

a

a b

p

M

M

M

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

R0

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

c

c

c

c

c

c

c

c

c

x

n=10 Rn

c

L=n.c p0

p3

p4 p2 0

c/2

p4

p5

p6

p8 p7

p9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

c

c

c

c

c

c

c

c

c

Slika 6.2

pn x n=10

c/2

Određivanje statički ekvivalentnog čvornog (nodalnog) opterećenja  p

Posebnu pažnju treba obratiti na uticaje od momenta savijanja. Kada moment čiji je intenzitet M, deluje između dve čvorne tačke, mora se razložiti na dve paralelne sile intenziteta M/c, koje deluju u susednim čvornim tačkama na rastojanju c. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA


45

Međutim, kada moment intenziteta M, deluje u čvornoj tački, mora se razložiti na dve paralelne sile intenziteta M/2c, koje deluju u čvornoj tački ispred i nakon čvorne tačke u kojoj deluje moment savijanja. Od ovog pravila se izuzimaju momenti koji deluje na levom odnosno desnom kraju nosača. U tom slučaju, moment se razlaže na dve paralelne sile na rastojanju c. Treba imati u vidu, da u slučaju sprega sila nije moguće postići ekvivalentne statičke uticaje u čvornim tačkama. Ekvivalentno jednako podeljeno čvorno opterećenje pi se dobija deljenjem reakcije fiktivnih oslonca Ri odgovarajućom dužinom elementa, koji je za unutrašnje (0 i n) tačke c, a za ivične ( i =0, i =n) tačke c/2. Pošto krajnje tačke nemaju susedni čvor izvan nosača, pripada im samo polovina unutrašnjeg elementa. Elementi vektora fiktivnih reakcija oslonaca R, odnosno ekvivalentnog čvornog (nodalnog) jednako podeljenog opterećenja  p, za opterećenje na slici 6.2 glase: 2 P c  a  c   R0 c 2    2 P c  a  c    R c   2 P a c P a c  1       R2 c   M 2c  M 2c 2        2 P  P c   R3 c    R4 c    M 2c   M 2c 2         kN  (6.7)  R   R5 c   M c  kN  ,  p   M c 2    m  2     R c  M c    M c  6       pbc  a  b 2  c   R7 c  pbc  a  b 2  c 2     R c   pba  b 2  c  pba  b 2  c 2  8     2   R9 c  M c  M c          R10 c 2    M c   2 M c 2 

6.2 PRIBLIŽAN PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE VINKLEROVOJ PODLOZI Matrični oblik diferencijalne jednačine (3.2), koja uspostavlja vezu između efektivnog kontaktnog napona i sleganja podloge, za opšti slučaj, kada je modul reakcije tla duž nosača promenljiv, glasi:

q q u w   k w

(6.8)

U gornjoj jednačini, sa k  je označena dijagonalna matrica modula reakcije tla duž nosača (vandijagonalni članovi su nula). Smenom jednačine (6.8) u (6.5), dobija se sistem linearnih algebarskih jednačina po nepoznatim čvornim pomeranjima: E b I c

4

 Dw   p Bq



E b I c4

 Dw   p Bk w  u w 


46


E b I c4

 Dw  Bk w   p Bu w  I   c

 K t  

E b I  Bc 4     k  , D  3 E b I  c 

 K t w   P 





 P   c p cBuw  I 

w   K t 1  P    F t  P 

(6.9)

Umesto vektora podeljenog čvornog opterećenja  p, uveden je vektor čvornih sila P=c p- cBuw I. Jednačina (6.9) pretstavlja matričnu formulaciju metode konačnih razlika (MKR) primenjenu na problem grede (temeljnog nosača) na Vinkler-ovoj podlozi. U gornjoj jednačini, K t pretstavlja matricu krutosti temeljnog nosača i podloge, koja u sebi objedinjuje: geometriju nosača (dužinu L, širinu B, i moment inercije I), modul elastičnosti nosača E b i modul reakcije podloge k . Članovi matrice krutosti imaju dimenziju kN/m. Čvorna pomeranja w  imaju dimenziju m, čvorna opterećenja  p imaju dimenziju kN/m, a čvorne sile P dimenziju kN. U matrici krutosti K t osim modula reakcije može biti promenljiva i širina B i moment inercije I nosača. U tom slučaju, treba odrediti elemente dijagonalne matrice širine B i momenta inercije I nosača, odnosno:

 K t  

E b c3

 I  D  c  B k 

Treba imati u vidu, da rešenje jednačine (6.9) ima fizičkog smisla samo ukoliko je podloga u svim tačkama pritisnuta qi 0, odnosno ako su pomeranja pozitivna Vi 0. Ako se rešenjem pojave negativne vrednosti kontaktnog napona, to znači da ne važi pretpostavka o kompatibilnosti pomeranja nosača i podloge na osnovu koje je izvedena jednačina (3.3) U slučaju da se u nekim tačkama kontakta dobije qi  0, jednačina (6.9) postaje materijalno nelinearna, pa je potrebno primeniti iterativan postupak kojim se negativni kontaktni naponi u temeljnoj spojnici postepeno svode na qi 0. Jednačina (6.9) se može primeniti i za nelinearno defomabilnu podlogu ali se mora prevesti u inkrementalni oblik, u kojem se vrši proračun inkrementa sleganja za svaki inkrement opterećenja i odgovarajuću krutost koja zavisi od ukupnog sleganja, prema izrazu:

 K t  w   i 1 wi  Pi

,

w   wi

,

P    P i

Gornje jednačine su date samo informativno i neće se detaljnije razmatrati, pošto prevazilaze okvire standardne nastave iz predmeta Fundiranje. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

47


6.3 BROJNI PRIMER – 4 Armirano betonski temeljni nosač (slika 6.3), fundiran je na dubini od D f =1.5m, u sloju poto-pljenog peska relativne zbijenosti Dr 75%. Odrediti sleganje w , nagib q , transverzalnu silu T , moment savijanja M, i totalni kontaktni napon q, u čvornim tačkama nosača na 1/10 dužine ( n=10). Pesak aproksimirati Vinkler-ovim modelom. Proračun izvršiti numerički, MKR. 0,4

P=1,3 MN p=50,0 kN/m A

B

0 , 2 , 1 1 = f D 4 , 0

x NPV

Vlažan pesak (Dr =75%) 3,0

2,0

B=1,5

4,0

1,0 E b=21,0 GPa I=0,159 m4

L=10,0 z

Slika 6.3

Temeljni nosač na sloju peska

Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti l :

 D f      1  2 1.2   2.6  2 x   1  2 B   1.5   Slika 5.7 Dr  75%     k 0



x  2

 41.4 MN m 2

2

2

 B  0.305   1.5  0.305  k  x k 0    2  41.4   30.0 MN m 2  2 B   2  1.5  l 

4

kB 4 Eb I



4

30,0  1,5 4  21000  0 ,159

 0,2409 m1 ,

l L  0, 2409  10,0

 2,41

Elementi matrice krutosti nosača i tla iznose: Eb I

 21.0  106  0.159  3.339  106 kNm2

,

c

L n



10

 1.0 m

Bc4   D k  ..... kN m   ii c3  Eb I   3.339  106  1.5  1.04  Kt ,ii  D 30.0  10 3   3.339  106  Dii  1.35 102   ii 3 6 1.0 3.339  10   6 Kt ,ij  3.339  10 Dij i j Kt ,ii



Eb I 

10.0


48


Greda je srednje dužine ( Vesić,1961 ). Na osnovu prethodnih izraza, ispis elemenata matrice krutosti, za podelu temeljnog nosača na n=10 jednakih delova, glasi:

 2.0135  2   1    6   K t   3.339  10         

4

  4 5.0135 1   1 4 6.0135 4  1 1 4 6.0135 4   4 6.0135 4 1 1  1 1  4 6.0135 4   4 6.0135 4 1 1  1 1 4 6.0135 4  4 6.0135 4 1 1  1 4 5.0135 2  4 2.0135  2 2

Vektori čvornog opterećenja  p odnosno P, određeni su na osnovu donje slike : P=1,3 MN p=50,0 kN/m

0

1

c=1,0

2

1,0

3

1,0

4

1,0

5

1,0

6

1,0

7

1,0

8

1,0

9

1,0

n=10

1,0

L=10c=10,0

 cp0  P1  cp1  0 P2  cp2  1.0  1300.0  1.0  1.0  1.02  0 P0

 cp3  1.0  1300.0  1.0 1.02  1300.0 kN P4  cp4  0 P5  cp5  1.0  50.0  1.0 1.0   0  1.0 2   1.02  25.0 kN P3

 cp6  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2 1.02  1.0 50.0 1.0  1.0  0 1.0 2  1.02  50.0 kN 2 2   P 7  cp7  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2  1.0  1.0  50.0 1.0  1.0   0 1.0 2  1.0  50.0 kN P6

 cp8  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2  1.02  1.0 50.0 1.0  1.0  0 1.0 2  1.02  50.0 kN P9  cp9  1.0  50.0  1.0 1.0   0  1.0 2   1.02  25.0 kN P10  cp10  0 P8


49


Rešenje jednačine (6.9) daje sleganje w  a jednačine (6.1 i 6.8) nagib q  i totalni kontaktni napon q.

 5.19   5.17     5.12    4.93  4.42   w   3.75mm,  3.01    2.24   1.46     0.69     0.09 

  0.02  0.03     0.12     0.35  0.59    q     0.7110 3 rad  0.76     0.77   0.78     0.78     0.78 

155.62 155.11   153.51   147 .79  132.64    kN q  112.58  2 ,  90.29  m    67 .17   43.87     20.56      2.74 

Kontrola tačnosti rezultata, može se izvršiti na osnovu jednačina ravnoteže  Z =0 i M=0, odnosno: L





L

0

P i  Bc 



0

0



 q0

n

 p x   Bq x dx 

2

n 1





P i c  i  Bc

0

n

i

1

n

 p x   B  q x dx 



 q  q2   0

2

 q0    8

n 1

 1

qi  i 

qn 8



4 n  1  0 

Grafički prikaz rezultata proračuna prema MKR, dat je na slici 6.4, i može se uporediti sa rezultatima analitičke metode (slika 5.4). Greška približne metode proračuna po MKR, za podelu nosača na n=10 jednakih delova je zanemarljiva. Presečne sile se mogu odrediti preko ugiba nosača (6.3) ili što je tačnije, direktno na osnovu zadatog opterećenja i reaktivnog opterećenja q. Može se zapaziti, da se značajno odstupanje se javlja u dijagramu transverzalnih sila (slika 6.4b), na mestu dejstva koncentrisane sile, gde je na osnovu ugiba dobijen zbir transverzalne sile levo i desno od napadne tačke sile. Ova greška se može izbeći proračunom presečnih sila direktno na osnovu zadatog i reaktivnog opterećenja. Dijagram transverzalnih sila nije definisan (nema vrednost) u tački u kojoj deluje koncentrisana sila, već samo u preseku beskonačno blisko levo i desno od napadne tačke sile. Sličan problem postoji i kod dijagrama momenta savijanja, u tački u kojoj deluje spreg sila. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

50


Na dijagramima na slici 6.4a-b, punom linijom su prikazani rezultati dobijeni MKR, a isprekidanom linijom su prikazane tačne vrednosti dobijene analitičkom metodom. -1.0

-0.09 0.0

0.69 1.0

1.46

) m m ( 2.0 w a č a s o 3.0 n b i g U

2.24 3.01 3.75

4.0

4.42 5.19 5.17

5.0

5.12

4.93 Winkler -MKR W-Analitički

6.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m) -0.9

-0.76

-0.8

-0.77

-0.78

-0.78 -0.78

-0.71 -0.7

-0.59

) -0.6 d a r 3 -

0 -0.5 1 ( a č -0.4 a s o n -0.3 b i g a N -0.2

-0.35

-0.12

-0.1

-0.02

Winkler -MKR

-0.03

W-Analitički

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m)

Slika 6.4a

Uporedni rezultati proračuna ugiba i nagiba elastične linije nosača (MKR i Analitički)

Može se zaključiti da je za podelu nsača na n=10 delova, greška numeričke metode zanemarljivo mala. Konkretno, greška je najmanja kod proračuna ugiba nosača i raste pri višim izvodima funkcije, što znači da su najveća odstupanja na dijagramu transverzalnih sila. Tačnost proračuna se može poboljšati usvajanjem finije podele nosača odnosno povećanjem broja čvornih tačaka. Numerička vrednost transverzalne sile ispod koncentrisane sile je jednaka srednjoj vrednosti između transverzalne sile blisko levo i desno od sile. Pošto je apsolutni zbir transverzalne sile levo i desno jednak intenzitetu sile, transverzalne sile levo i desno od napadne tačke sile P se može odrediti prema sledećem izrazu: T 3 l  T 3 d

 T 3  40.53 ,

T 3l  T 3 d  P  1300.0



T 3l  670.26 kN , T 3 d  629.74 kN


51


Na dijagramu transverzalnih sila na slici 6.4b, puna linija prikazuje rezultat linearne interpolacije između čvornih tačaka. Isprekidana linija prikazuje dijagram kakav on stvarno mora biti. Sa povećanjem broja podele nosača, odnosno broja čvornih tačaka, greška interpolacije se smanjuje. -400 -200 ) m N k (

0

M 200 a č a s 400 o n a j n 600 a j i v a s t 800 n e

0.00 91.68

116.72

21.32

1.72

-2.06

0.00

247.48 466.09

547.15

m o 1000 M

Winkler - MKR

1045.78

1200

W-Analitički

1400 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

Odstojanje x (m) 800 600

464.53

) N 400 k ( T a č 200 a s o n a l i 0 s a n l a z r -200 e v s n a r -400 T

233.05

40.53 0.00 -113.08

-44.98

-11.69

-0.86

0.00

-227.73 -399.15 Winkler - MKR

-600

W-Analitički -800 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0 Odstojanje x (m)

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

-50 0 50 ) 100 2 m / N 150 k ( q 200 e j n e ' e r e t p o o n v i t k a e R

155.62 155.11

153.54

147.79

132.64

112.58

90.29

67.18

43.88

20.56

-2.74

250 300 350 400 450

Winkler - MKR

500

W-Analitički

550 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

Odstojnje x (m)

Slika 6.4b

Uporedni rezultati proračuna presečnih sila i kontaktnog napona (MKR i Analitički)


10.0

52


6.4 PRIBLIŽAN PRORAČUN DEFORMACIJE GREDE NA ELASTIČNOJ PODLOZI Proračun temeljnog nosača na homogenom, linearno-elastičnom izotropnom kontinuumu (tzv. Hook-eov model, skraćeno: elastični-poluprostor), znatno je složeniji od Vinklerovog modela. Kao što je pomenuto, analitičko rešenje se svodi na integrodiferencijalne jednačine koje su rešive samo za najjednostavnije slučajeve. Zbog toga se za rešavanje praktičnih problema koriste numeričke metode. U MKR, osnovni problem je određivanje veze između kontaktnih napona i sleganja elemenata temeljnog nosača. Veza se može dobiti integracijom rešenja za vertikalnu silu na površini linearno elastičnog poluprostora ( Boussinesq, 1888). a) x ij =

|x i -x j| x

x

B 0

2

1

i

n

j r 

a=c/2

b)

c

c

c

(x )

c

a=c

i

j

dA=dx d

c/2

y

0

1

w00

2

w20

w 10

q’0

n

wij

wnj

w jj q’ j

z

Slika 6.5

a) Šema integracije površinskog opterećenja

b) Sleganje površine elastičnog pp

Sleganje V i j površine elastičnog poluprostora u tački i sa koordinatom ( x i ,0), usled efektivnog kontaktnog napona q j u kN/m2, po pravougaonoj površini A j =aB sa težištem u tački j ( x j, 0), prema slici 6.5a, može se prikazati sledećim integralom:  xij 

dwij



1   s2 q j d x d 

 E s

r



wij



1   s2

 E s

q j

c 2

B



2

  d x

 xij 

c

2

B




2

d  2

x

  2

53


Nakon izvršene integracije, sleganje V ij se može prikazati u zatvorenom/analitičkom obliku preko bezdimenzionalne uticajne funkcije sleganja f ij sledećim izrazom:  xij 

wij



1  s2 E s

Bf ij q j

,

f ij

B



2

2

 

1



c

d x

 B

 xij 

c

B



2

d 

x 2   2

(6.10)

2

Uticajna funkcija sleganja f ij se određuje za elementarne površine dobijene podelom nosača dužine L na n jednakih delova c=L/n. Dimenzija u pravcu nosača, za ivične tačke (i =0, i =n) je a=c/2, a za unutrašnje tačke (0 i n) a=c. Vandijagonalni članovi matrice uticajnih funkcija f ij se određuju prema izrazu:

i

 j





f ij

U ij 

 1  arshU ij  arshV ij     V ij      

 1  V ij   U ij     

arsh

arsh

Dijagonalni članovi matrice uticajnih funkcija f ij se određuju prema izrazu: V ii

i  0 , i  n



f ii



0in



f ii

2



 1  arshV ii    V  ii  

arsh 

V ii 

 1  arshV ii    2 V   ii 

arsh 

U prethodnim izrazima, sa U i V su označene pomoćne funkcije, prema izrazima: j

0

, jn

0 jn



Uij



 x j  xi 2 B  c 



U ij



 x j  xi  c  j c  i c  c 2  1   2  1    2 j  i  1  B B  c c  B  

Vij



c

   

 j c  i c  2  B c  c

c B

 2 j i 

c

 x j  xi  c  j c  ic  c 2  1   2  1    2 j  i  1  B B  c c  B   c

Ako se jednačina oblika (6.10) ispiše za sve opterećene površine ( j =0,...,n), sleganje Vi tačke i usled efektivnog kontaktnog napona duž nosača glasi: wi



1   s2 E s

n

B

 f q  ij

j 0

j

1  s2 E s

n

B

 f q ij

j

 uw 

j 0


(6.11)

54


Ako se za sve čvorne tačke ( i =0,...,n) duž nosača, napišu jednačine oblika (6.111) dobija se veza između vektora sleganja w  i efektivnog kontaktnog napona q . Pregledno se sve jednačine mogu napisati u sledećem matričnom obliku:

w 

1  s2 E s

B f q  u w 

q 



E s

1

1  B 2 s

 f  1 w u w 

(6.12)

Smenom jednačine (6.12) u (6.5), dobija se sistem od n+1 linearnih algebarskih jednačina po nepoznatim čvornim pomeranjima: E b I c

4

E b I c

4

 Dw   p Bq  Dw

 K t  

E s 1  

2 s



E b I c

4

E s



1

1  B

 f 1 w   p Bu w  I   c

 E b I  c 4 E s  D     f 1  , 3  2 E b I 1   s c  

 K t w   P 

 Dw   p  B

2 s

 f 1 w Bu w 



 P   c p  cBu w  I 

w   K t 1  P    F t  P 

(6.13)

Jednačina (6.13) za nosač na elastičnom poluprostoru, ima identičan oblik kao jednačina (6.9) za nosač na Vinklerovoj podlozi. U principu, konačna jednačina ima isti oblik nezavisno od vrste deformabilne podloge. Razlika je samo u delu matrice krutosti koja se odnosi na podlogu. Proračun elemenata matrice uticajnih funkcija sleganja  f  se vrši u programu EXCEL koji ima mogućnost jednostavnog računanja sa skalarima i matricama i mogućnost grafičkog prikaza rezultata proračuna. Numerička greška raste prema višim izvodima funkcije, a tačnost se može povećati usvajanjem finije podele nosača. To se posebno može uočiti na dijagramu presečnih sila i dijagramu reaktivnog opterećenja. Sa povećanjem broja podela, dobija se veća tačnost u dijagramu presečnih sila na mestima dejstva koncentrisane sile ili sprega sila. Na dijagramu reaktivnog opterećenja, kod finije podele je izraženija koncentracija napona na kraju nosača. Matematički, na ivicama nosača je kontaktni napon beskonačno velik, što je fizički nemoguće zbog postojanja konačne čvrstoće materijala.


55


6.5 ODREĐIVANJE MODULA ELASTIČNOSTI TLA Parametri E s i  s zavise od velikog broja različitih faktora, kao što su poremećenost uzorka, nivo srednjeg normalnog napona, nivo devijatorskog napona, naponska istorija (normalno konsolidovana ili prekonsolidovana tla, mlada ili vremešna tla), mogućnost dreniranja porne vode, brzina nanošenja opterećenja, granulometrijski sastav tla, vlažnost, poroznost, oblik zrna i dr. Modul elastičnosti E s se može odrediti laboratorijskim opitom na neporemećenim uzorcima (opitom jedno ili triaksijalne kompresije i približno preko modula stišljivosti iz edometarskog opita) ili terenskim opitom pomoću presiometra (PMT), dilatometra (DMT) ili proceniti na osnovu statičke (CPT) ili st andardne penetracije (SPT). Poissonov koeficijent se može odrediti ispitivanjem uzorka u opitu jednoaksijalne ili triaksijalne kompresije. U dreniranim uslovima, Poissonov koeficijent se kreće između 0.30–0.35, a za zasićene gline u nedreniranim uslovima (brzo nanošenje opterećenja na slabo propusnom tlu), Poissonov koeficijent je  u=0.50. Za preliminarne proračune, nedrenirani modul elastičnosti zasićenih glina E u kao parametar za analizu u uslovima brzog nanošenja opterećenja (inicijalno sleganje tla usled promene oblika bez promene zapremine), može se približno odrediti pomoću korelacije sa nedreniranom čvrstoćom cu prema sledećem :

 100

Jednoaksijana čvrstoća qu (kPa) E u / cu

250

150 500

300 1000

 400 1500

Prema Bowles-u (1977), orijentacione vrednosti dreniranog modula elastičnosti su: Vrsta tla Meka glina Srednje meka glina Prekonsolidovana glina Les Prašina

E s (MPa)

24762-

4 9 20 15 20

Vrsta tla Prašinast pesak Rastresit pesak Peskovita glina Zbijen pesak Rastresit pesak i šljunak Zbijen pesak i šljunak

E s (MPa)

510 30 50 50 80 -

20 25 40 100 140 200

Modul elastičnosti peska se može približno odrediti na osnovu korelacije sa brojem udaraca N iz standardnog penetracionog opita (SPT) ili pomoću otpornosti tla na prodor konusa qc iz statičkog penetracionog opita (CPT), prema sledećem: Vrsta tla Čisti Peskovi Glinoviti peskovi

E s (kPa)

500(N+15) 300(N+15)

(35)qc (28)qc


56


6.6 BROJNI PRIMER – 5 Armirano betonski temeljni nosač (slika 6.6), fundiran je na dubini od D f =1.5m, u 2 sloju prekonsolidovane gline sa modulom elastičnosti Es=20.0 MN/m i Poisson-ovim koeficijentom  s=0.30. Odrediti pomeranja i presečne sile nosača u 1/10 raspona. Odrediti ekvivalentni modul reakcije po Vesiću i uporediti rezultate sa rešenjem za nosač na Vinklerovoj i elastičnoj podlozi. Proračun izvršiti numerički, koristeći MKR. 0,4

P=1,3 MN p=50,0 kN/m A

B

0 , 2 , 1 1 = f D 4 , 0

x NPV

Prekonsolidovana glina (Es=20.0 MPa) 3,0

2,0

4,0

B=1,5 1,0 Eb=21,0 GPa I=0,159 m 4

L=10,0 z

Slika 6.6

Temeljni nosač na sloju prekonsolidovane gline

Rešenje: Elementi matrice uticajnih funkcija  f  za podelu temeljnog nosača na n=10 jednakih delova, (koristeći program napisan u EXCEL-u) glase: Eb I

[ f ] =

 21.0  106  0.159  3.339  106 MNm2 , c 

L n



10.0 10

 1.0 m,

c B



1.0 1.5

 0.667

0.45253

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.06363

0.05304

0.04546

0.03978

0.03536

0.01631

0.19135

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.06363

0.05304

0.04546

0.03978

0.01817

0.08890

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.06363

0.05304

0.04546

0.02051

0.05733

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.06363

0.05304

0.02354

0.04222

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.06363

0.02762

0.03340

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.07952

0.03340

0.02762

0.06363

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.10597

0.04222

0.02354

0.05304

0.06363

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.15865

0.05733

0.02051

0.04546

0.05304

0.06363

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.31335

0.08890

0.01817

0.03978

0.04546

0.05304

0.06363

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.90505

0.19135

0.01631

0.03536

0.03978

0.04546

0.05304

0.06363

0.07952

0.10597

0.15865

0.31335

0.45253

Matrica krutosti je:

 K t  

4 6 4 3  E b I  E s c 3.339  10  1.0 20.0  10 1        D f D        f 1  3  2 3 6 2   E b I 1   s c  1.0 3.339  10 1  0.3   

 K t   3.339  10 6  D  6 .583  10 3  f 1 

kN / m


57


Elementi matrice krutosti (koristeći program napisan u EXCEL-u) iznose:

[ K t ] =

6.735E+3

-1.337E+4

6.675E+3

-1.811E+0 -1.201E+0 -8.969E-1

-7.135E-1

-5.959E-1

-5.201E-1

-4.854E-1

-6.689E+3

1.673E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-6.428E-1

-4.078E-1

-2.978E-1

-2.339E-1

-1.950E-1

-1.754E-1

-5.324E-1 -1.874E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-6.808E-1

-4.368E-1

-3.224E-1

-2.573E-1

-2.240E-1

-2.340E-1

-8.652E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-6.725E-1

-4.320E-1

-3.218E-1

-2.661E-1

-2.688E-1

-5.573E-1

-7.040E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-6.728E-1

-4.363E-1

-3.362E-1

-3.243E-1

-4.114E-1

-4.550E-1

-6.802E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-6.802E-1

-4.550E-1

-4.114E-1

-3.243E-1

-3.362E-1

-4.363E-1

-6.728E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-7.040E-1

-5.573E-1

-2.688E-1

-2.661E-1

-3.218E-1

-4.320E-1

-6.725E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-8.652E-1

-2.340E-1

-2.240E-1

-2.573E-1

-3.224E-1

-4.368E-1

-6.808E-1

3.338E+3

-1.336E+4

2.006E+4

-1.336E+4

3.338E+3

-1.874E-1

-1.754E-1

-1.950E-1

-2.339E-1

-2.978E-1

-4.078E-1

-6.428E-1

3.338E+3

-1.336E+4

1.673E+4

-6.689E+3

-5.324E-1

-4.854E-1

-5.201E-1

-5.959E-1

-7.135E-1

-8.969E-1

-1.201E+0

-1.811E+0

6.675E+3

-1.337E+4

6.735E+3

Elementi vektora Pi i čvornog opterećenja pi određeni su na osnovu donje slike : P=1,3 MN p=50,0 kN/m

0

1 c=1,0

2 1,0

3 1,0

4 1,0

5 1,0

6 1,0

7 1,0

8 1,0

9 1,0

n=10 1,0

L=10c=10,0

 cp0  P1  cp1  0 P2  cp2  1.0  1300.0  1.0  1.0  1.02  0 P0

 cp3  1.0  1300.0  1.0 1.02  1300.0 kN P4  cp4  0 P5  cp5  1.0  50.0  1.0 1.0   0  1.0 2   1.02  25.0 kN P3

 cp6  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2 1.02  1.0 50.0 1.0  1.0  0 1.0 2  1.02  50.0 kN 2 2   P 7  cp7  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2  1.0  1.0  50.0 1.0  1.0   0 1.0 2  1.0  50.0 kN P6

 cp8  1.0  50.0  1.0  0  1.0 2  1.02  1.0 50.0 1.0  1.0  0 1.0 2  1.02  50.0 kN P9  cp9  1.0  50.0  1.0 1.0   0  1.0 2   1.02  25.0 kN P10  cp10  0 P8

Sleganje i kontaktni napon se mogu odrediti na osnovu jednačine (6.13 i 6.12):

w   K t 1  P 

,

q  

E s

1

1  B 2 s

 f 1 w


58


Rezultati proračuna nosača na elastičnoj sredini, prikazani su tabelarno i gr afički:

18.38 18.04    17 .61   16 .96  15.89   w  14.54mm,  13.01   11.38  9.68    7 .95    6 .20

 0.34   0.38     0.54     0.86    1.21   q    1.44 10 3 rad  1.58     1.67    1.72    1.74      1.75

 391.71 112.23    121.91   113.95 103.08   kN q   91.00 2 ,  78.36  m    65.47   52.55    36 .73    57 .78

0.0

6.20

5.0

7.95 9.68

) m m10.0 ( w a č a s o n 15.0 b i g U

11.38 13.01 14.54 15.89 18.38 18.04

17.61

16.96

20.0

Elastični PP n=10 Elastični PP n=20 25.0 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

Odstojanje x(m) -2.0 -1.8 -1.6

-1.67

-1.72

-1.74 -1.75

-1.58

-1.4

) d a r -1.2

-1.44

3 -

0 1 ( -1.0

-1.21

a č a s -0.8 o n b i -0.6 g a N

-0.86

-0.54

-0.4

-0.34 -0.38

-0.2

Elastični PP n=10 Elastični PP n=20

0.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Odstojanje x(m)

Slika 6.7a

Rezultati proračuna ugiba i nagiba nosača prema MKR Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

9

10

59


Presečne sile su određene preko ugiba nosača. Rezultati su prikazani grafički. Tačnije vrednosti transverzalne sile oko koncentrisane sile, mogu se dobiti usvajanjem finije podele (vidi sliku, n=20) ili proračunom na osnovu zadatog i reaktivnog opterećenja. T 3 l  T 3 d

 T 3  80.46 ,

T 3l  T 3 d  P  1300 .0



T 3l  690.23 kN , T 3 d

 609.77 kN

-400 -200 ) m N k (

0 200

43.34 0.00

0.00 116.77

M a č 400 a s o n a 600 j n a j i 800 v a s t n 1000 e m o 1200 M

219.02

293.79

369.44 587.40 755.93 916.85 Elastični PP n+10

1400

Elastični PP n=20

1400.93

1600 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

Odstojanje x (m)

800 553.57

600 377.96

) N 400 k ( T a č 200 a s o n a l 0 i s a n l a z r -200 e v s n a r -400 T

80.46 0.00

-126.34

-184.19

-87.84

-58.38

0.00

-273.71 -406.76 Elastični PP n=10

-600

Elastični PP n=20

-800 0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

Odstojanje x (m) 0 50

112.2 100 ) 2 m 150 / N k 200 ( q e j n e ' e r e t p o o n v i t k a e R

121.9

113.9

103.1

91.0

78.4

65.4

52.5

36.7

57.8

250 300 350

391.7 400 450

Elastični PP n=10

500

Elastični PP n=20

550 0.0

1.0

Slika 6.7b

2.0

3.0

4.0

5.0 Odstojnje x (m)

6.0

7.0

8.0

9.0

Rezultati proračuna presečnih sila i kontaktnog napona prema MKR Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

10.0

60


6.7 UTICAJ MODELA PODLOGE NA REZULTATE PRORAČUNA Za dat nosač i opterećenje, rezultati u velikoj meri zavise od usvojenog modela i parametara podloge. Polazeći od jednakosti ugiba ili momenta savijanja u sredini nosača (ili neke druge veličine u određenoj tački), može se uspostaviti veza između parametra Vinklerovog modela i modela elastičnog kontinuuma. Ako se pođe od jednakosti sleganja u sredini nosača ( Vesić ), za elastičnu sredinu iz brojnog primera 5, ekvivalentni modul reakcije tla je k =7.12 MN/m3. Rezultati proračuna su prikazani na slici 6.8. 0.0

1.23 3.92 6.61

5.0

9.29 6.20 7.95

) 10.0 m m (

13.01 14.54

w a 15.0 č a s o n b i g 20.0 U

18.38 18.04

17.61

15.89

16.96

9.68 11.38

11.95

14.56 17.07

19.38 21.36 Elastični PP

23.19

25.0

24.98

Winkler - MKR

30.0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m)

Slika 6.8a

Ugib nosača za model Elastičnog kontinuuma i Vinklerov model

Kontaktni napon q duž temeljnog nosača, koji leži na Vinklerovoj podlozi odnosno na elastičnoj sredini, prikazano je na slici 6.8b. 0 50

112.2

100 ) 2 m 150 / N k 200 ( q e j n e ' e r e t p o o n v i t k a e R

177.8 165.1

121.9

152.1

113.9

138.0

103.1 121.5

91.0

103.7

78.4 85.1

65.4 66.2

47.1

52.5

27.9 36.7

8.8 57.8

250 300 350

391.7

400 450

Elastični PP

500

Winkler - MKR

550 0.0

1.0

2.0

Slika 6.8b

3.0

4.0

5.0 Odstojnje x (m)

6.0

7.0

8.0

Kontaktni napon za model Elastičnog PP i Vinklerov model


9.0

10.0

61


Pošto je modul reakcije određen iz uslova da su sleganja ista u sredini nosača, što je prema slici 6.8a i dobijeno, sleganja su u svim drugim tačkama različita. Ako se pogleda dijagram momenata savijanja za oba modela, na slici 6.8c, vidi se da su oni u svim tačkama (osim naravno na krajevima nosača) različiti. -400 -200 ) m N k (

0.00 0

74.08

133.37

30.01

0.00

200 M a č 400 a s o n a 600 j n a j i v 800 a s t n1000 e m o M1200

338.35 293.79

6.57

167.39 43.34

116.77

0.00 0.00

219.02

514.40 369.44

639.83 587.40 755.93 1123.60

916.85 Elastični PP

1400

Winkler - MKR

1400.93

1600 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x (m)

Slika 6.8c

Momenti savijanja nosača za model Elastičnog kontinuuma i Vinklerov model

Da bi se uspostavila sličnost svih veličina u svim tačkama, za oba modela, trebalo bi odrediti promenljiv modul reakcije duž nosača, dobijenog kao količnik reaktivnog opterećenja i sleganja iz modela elastične sredine. Na slici 6.8d je prikazana takva funkcija modula reakcije tla k ( x ) duž nosača 0

) 3 m 5 / N M ( ) x ( k 10 e j i c k a e r l 15 u d o m i n t n 20 e l a v i v k E

6.22

7.12

7.12

6.92 7.12

6.72 7.12

6.49 7.12

6.26

7.12

6.02

7.12

5.75

7.12

5.43

7.12

4.62

7.12 7.12 9.32

Elastični PP

21.31

Vesić (1961)

25 0

1

Slika 6.8d

2

3

4

5 Odstojnje x (m)

6

7

8

9

10

Povratni modul reakcije k ( x ) na osnovu modela Elastičnog kontinuuma

Ako se funkcija k ( x ) unese kao parametar podloge u Vinklerov model, rezultati proračuna će po svim veličinama w , q , M, T , q biti identični rešenju za elastičan kontinuum. To je ustvari jedini način da se uspostavi potpuno veza dva modela ! Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

62


7. PRORAČUN INTERAKCIJE KONSTRUKCIJE TEMELJA I TLA Pojmovi kao što su: nepokretan oslonac ili uklještenje su idealizovani konstruktivni elementi koji imaju za cilj pojednostavljenje statičkog proračuna konstruktivnog sistema. Oslonci i uklještenja konstrukcije, fizički su temelji. Bez obzira da li se radi o plitkom ili dubokom temelju, masivnom ili rasčlanjenom, temelj se uvek oslanja na tlo kao deformabilnu sredinu, zbog čega su temelji ustvari pomerljivi oslonci. Podela konstrukcije na nadzemni (super-struktura) i podzemni deo (sub-strukturu) i njihova nezavisna analiza nije uvek opravdana. Kod statički određenih i statički neodređenih ali vrlo fleksibilnih konstrukcija, promena reakcije oslonca usled njihove pomerljivosti je mala. Međutim, kod statički neodređene, relativno krute konstrukcije, promena reakcije oslonca usled njihove pomerljivosti je značajna i ne sme se zanemarivati. Ako je super-struktura oslonjena na nezavisne temelje samce na odstojanjima koja eliminišu njihov međusobni uticaj, problem interakcije se može rešiti direktno uvođenjem elastičnih oslonaca i uklještenja. Krutost oslonaca se može odrediti korišćenjem veze između pomeranja (sleganje i obrtanje) temelja pod dejstvom jediničnih sila (sile i momenti). Kod super-struktura koje imaju zajedničke temelje za više stubova (temeljne grede), problem određivanja krutosti oslonaca je složeniji zadatak, pošto se mora odrediti i međusobni uticaj oslonačkih reakcija i pomeranja. Da bi se izvršio proračun interakcije, treba odrediti krutost super-strukture i substrukture, za pta je potreban program za statički proračun/analizu konstrukcije i odgovarajući program za proračun temeljnog nosača na elastičnoj podlozi. Programi mogu biti potpuno nezavisni ili mogu biti sintetizovani u jedan, što olakšava i ubrzava proračun interakcije. Po pravilu, svi programi za statičku analizu imaju mogućnost proračuna temeljnog nosača (linijskog i površinskog) na Vinklerovoj podlozi, koja je vrlo jednostavna ali ne daje realne rezultate, dok većina programa za statičku analizu konstrukcije, ne podržava uvođenje realnije podloge, npr. elastičnog polu-prostora. U principu postoje dva načina za rešavanje problema interakcije: direktna i iterativna metoda. Kod direktne metode, vrši se spajanje matrice krutosti super i sub-strukture iz uslova kompatibilnosti pomeranja. Iterativna metoda se sastoji od uzastopne korekcije oslonačkih reakcija i pomeranja dok se ne zadovolje uslovi kompatibilnosti pomeranja oslonaca. Obe metoda omogućavaju da se u proračun uzmu u obzir i razni sekundarni efekti, kao što su isključenje negativnih kontaktnih napona, nelinearna deformabilnost tla u području radnih napona, konsolidacija tla, viskozne osobine tla i tome slično.



63

U okviru ovog predmeta, akcenat je na direktnoj metodi interakcije i elastičnim modelima tla, tj. Vinklerovoj podlozi i elastičnom polu-prostoru, čije karakteristike ne zavise od nivoa napona (važi princip superpozicije) i vremena (nema primarne i sekundarne konsolidacije). Dopunsko pomeranje nosača usled konsolidacije tla, može se odrediti analizom tla u nedreniranim i dreniranim uslovima. U nedreniranim uslovima se dobijaju trenutna sleganja koristeći nedrenirani modul elastičnosti E u i Poissonov koeficijent  u=0.5, a u dreniranim uslovima što odgovara završetku primarne konsolidacije, treba koristiti drenirani modul elastičnosti E s i Poissonov koeficijent  s. 7.1 DIREKTNA METODA PRORAČUNA INTERAKCIJE Veza između generalisanih pomeranja U (sleganja i obrtanja) i generalisanih reakcija oslonaca R (sile i momenti) temeljnog nosača na deformabilnoj podlozi, može se prikazati sledećim izrazom (6.9, 6.13) :

 Kt U   R gde je:



1

U    Kt   R   F t R

(7.1)

K t = matrica krutosti temelja i t la u oslonačkim tačkama konstrukcije F t = matrica fleksibilnosti temelja i tla u oslonačkim tačkama konstrukcije U = generalisana pomeranja temelja oslonačkih tačaka konstrukcije R = generalisane reakcije pomerljivih oslonaca konstrukcije

U jednačini (7.1) simbol označava pomeranje tačke spoja konstrukcije i temeljnog nosača. U zajedničkim tačkama, gornja konstrukcija i temeljni nosač imaju iste sile i pomeranja. Broj nepoznatih u izrazu (7.1) je dva puta veći od broja jednačina. Pošto se u MKR određuju samo sleganja temeljnog nosača, a nagibi se računaju na osnovu diferencijalnih pomeranja, elementi matrice krutosti se mogu odrediti preko matrice fleksibilnosti. Elementi matrice krutosti temeljnog nosača i podloge K t su tada podskup () matrice krutosti K t , pa je u zavisnosti od vrste podloge: Vinklerov model:

 K t    Kt  

Model elastičnog pp:

  Bc4 D     k    3 c  Eb I 

Eb I

 Kt    Kt  

 c4  E s 1   D f    3  2   c  Eb I 1  s 

EbI

Ako je konstrukcija kruto vezana za temeljni nosač (uklještenje), elementi matrice fleksibilnosti se određuju pojedinačnim nanošenjem jediničnih generalisanih sila (sile i momenti) na nosač na deformabilnoj podlozi, na mestu oslonaca konstrukcije. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

64


Ako je konstrukcija zglobno vezana za temeljni nosač, elementi matrice fleksibilnosti se određuju pojedinačnim nanošenjem samo jediničnih sila. U oba slučaja, zbog velike aksijalne krutosti temeljnog nosača, uticaj horizontalnih sila na deformaciju je zanemarljiv, pa se smatra da su oslonci konstrukcije horizontalno nepomerljivi. Dobijena generalisana pomeranja oslonačkih tačaka predstavljaju elemente matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i podloge. Treba napomenuti, da se zbog nesavršene diskretizacije opterećenja u čvorne tačke nosača, javlja mala nesimetrija matrice fleksibilnosti, što ne utiče bitno na rezultat proračuna. Da bi greška bila manja, treba težiti da se čvorne tačke poklope sa oslonačkim tačkama. P otpuno poklapanje tačaka se može postići podelom nosača na velik broj čvornih tačaka (50 ,100 ili više). Za razliku od MKR, kod MKE (metoda konačnih elemenata) čvorne tačke ne moraju biti na istom rastojanju, mada se zbog tačnosti proračuna teži da razlika bude mala. Pošto se u MKE, u svakoj čvornoj zadovoljava kompatibilnost pomeranja do II-reda (jednakost ugiba i nagiba), tačnost proračuna je veća pri istom broju čvornih tačaka. Broj nepoznatih sila i pomeranja u tački s poja gornje konstrukcije i temeljnog nosača, zavisi od vrste veze. Pošto se horizontalna pomeranja između oslonačkih tačaka mogu zanemariti, u zglobnoj vezi postoje 2 nepoznate (pomeranje i vertikalna sila), a u uklještenoj 4 nepoznate (pomeranje i obrtanje, vertikalna sila i moment). Ako je broj zglobova Nz a broj uklještenja Nu, ukupan broj nepoznatih je N=2Nz+4Nu. Pošto je broj uslovnih jednačina (7.1) izvedenih za temeljnu gredu na deformabilnoj podlozi N/2, a broj nepoznatih 2 N, treba uvesti dopunskih N/2 uslovnih jednačina na osnovu gornje konstrukcije. U jednačini (7.1), pozitivne reakcije oslonaca na temeljnom nosaču, deluju u smeru ose +z i u smeru kretanja kazaljke na satu. Prema principu akcije i reakcije, pozitivne reakcije oslonaca za gornju konstrukciju, moraju delovati suprotno, odnosno u smeru ose -z i suprotno od smera kretanja kazaljke na satu. Nasuprot silama, pozitivna pomeranja imaju isti smer i za temeljni nosaču i za gornju konstrukciju. Pozitivna pomeranja su smeru ose + z, a pozitivna obrtanja su u smeru kretanja kazaljke na satu. Vodeći računa o pozitivnim smerovima sila i pomeranja, N/2 dopunskih uslovnih jednačina između oslonačkih sila i pomeranja oslonačkih tačaka gornje konstrukcije glasi:

 R   R0    K k U  gde je:

K k  = matrica krutosti konstrukcije u oslonačkim tačkama R0 = generalisane reakcije nepomerljivih oslonaca konstrukcije Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

(7.2)

65


Smenom (7.2) u (7.1), dobija se uslovna jednačina (7.3) po nepoznatim pomeranjima oslonačkih tačaka :

U    K t 1  R   K t 1  R 0    K k U   I    K t 1  K k U    K t 1  R 0   K t 

 t    K k   U    K 1 R 0   K t    K k U    R 0  ,  K   K

(7.3)

U gornjoj jednačini, sa K  je označena ukupna matrica krutosti temeljnog nosača i konstrukcije za oslonačke tačke konstrukcije. Eliminacijom nepoznatih pomeranja, uslovna jednačina se može izraziti i preko nepoznatih oslonačkih reakcija: 1

U    Kt  R 1

 R   R0    K k U    R0    K k  K t   R 1 R    I   K k  Ft   R0 

 I    K  F  R  R   k

t

0

(7.4)

7.2 ITERATIVNA METODA PRORAČUNA INTERAKCIJE Iterativna metoda proračuna interakcije vrši se metodom uzastupne zamene. Prvo se u 1-iteraciji odrede reakcije nepomerljivih oslonaca R0. Dobijene reakcije oslonaca R0=R1 iz 1-iteracije se zatim nanesu na temeljnu nosač i odrede se pomeranja oslonačkih tačaka U1 u 1-iteraciji . U 2-iteraciji , osim osim opterećenja, na konstrukciju se nanesu i sleganja oslonaca iz 1-iteracije i odrede se nove reakcije oslonaca R2. Dobijene reakcije se zatim nanesu na temeljni nosač i odrede se nova pomeranja oslonačkih tačaka U2 u 2-iteraciji . Simbolično, iterativni postupak se može prikazati sledečim j ednačinama:

U 1   K t 1  R0   U 2   K t 1  R2 

 R2   R0    K k U 1  R3   R0    K k U 2

 U m   K t 1  Rm   Rm1   R0    K k U m Iterativni postupak se ponavlja dok apsolutna razlika norme vektora reakcije oslonca u dve uzastopne iteracije ne bude veća od npr. 0.01, odnosno matematički:

 Rm 

Rm

 Rm 1 

 R i

2 i ,m



 R

2 i ,m 1

 0.01 , kN , kNm

i


(7.5)

66


7.3 BROJNI PRIMER – 6 Na slici 7.1 je prikazan statički sistem konstrukcije sa opterećenjem, koja je oslonjena na temeljni nosač na linearno elastičnoj podlozi. Matrica krutosti oslonačkih tačaka konstrukcije je prikazana matricom K k , a reakcije nepomerljivih oslonaca vektorom R0. Zbog velike aksijalne krutosti temeljnog nosača, zanemariti uticaj horizontalne komponente reakcije oslonca na deformaciju (promenu rastojanja oslonaca). Matrica krutosti konstrukcije je određena u odnosu n a pozitivna pomeranja nosača! 300 kN

600 k N

300 kN 50,0 kN/m

0,6/0,4

0,6/0,4

4 , 0 / 4 , 0

4 , 0 / 4 , 0

4 , 0 / 4 , 0

0 , 4

presek “a-a” 0,5

A

a

B

E s=20,0 MPa ,  s =0,40 3,0

1,0

NPV

5,0

C

7 , 8 , 0 0 = f D 3 , 0

x

a B=1,3

1,0

E b=21,0 GPa I=0,0633 m4

z

Slika 7.1

Ram kruto vezan za temeljni nosač koji leži n a elastičnoj podlozi

Matrica je dimenzija 6 6, i obuhvata vertikalne reakcije oslonca: R1 u tački A, R3 u tački B i R5 u tački C i reakcije uklještenja: R2 u tački A, R4 u tački B i R6 u tački C , usled jediničnih pomeranja oslonačkih veza ( U1, U2, U3, U4, U5, U6). Elementi matrice krutosti su dati u jedinicama kN, m i rad .

[ K k ] =

- 1.6 15E +4

2. 54 4E +3

2 .4 18E +4

- 1. 89 6E +3

2.544E +3

- 4.977E +4

- 7.311E +3

1 .569 E+4

- 8.0 26 E+ 3 - 8.9 83 E+ 3 4 .7 67E +3

1 .487E +4

2.418E+4 -7.311E+3

-3.794E+4

5.187E+1

1.367E+4

1.100E+4

1.8 44 E+ 3

3 54 .4 2 - 8.21

{R 0 } =

832.26

- 1.8 96E +3

1. 56 9E +4

5.1 87E +1

- 4. 55 8E +4

1 .4 98 E+ 4

- 11 .1 8

- 8.0 26E +3

4 .7 67 E+3

1 .3 67E +4

1 .84 4E +3

- 5.7 34 E+ 3 - 2.0 20 E+ 3

4 13 .3 2

- 8.9 83E +3

1. 10 0E +4

1.1 00E +4

1. 49 8E +4

- 2.0 20 E+ 3 - 4.6 70 E+ 4

1 6.0 3

Potrebno je direktnom metodom proračuna interakcije : a) Izračunati reakcije oslonaca i sleganja oslonačkih tačaka gornje konstrukcije usled interakcije gornje konstrukcije, temeljnog nosača i elastične podloge. b) Izračunati i nacrtati dijagram sleganja i presečnih sila duž temeljnog nosača, sa i bez interakcije gornje konstrukcije, temeljnog nosača i podloge. c) Ponoviti proračun pod tačkama a) i b), za uvećanu krutost temeljnog nosača 2 na savijanje koji iznosi EIb=1329.03 MNm . Dati komentar za rezultate. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA


67

Nakon proračuna oslonačkih sila direktnom metodom, odrediti oslonačke reakcije i iterativnom metodom i dati grafički prikaz reakcija oslonaca tokom iteracije. Rešenje: Temeljni nosač je podeljen na n=10 jednakih delova, i čvorne tačke temeljnog nosača se poklapaju sa oslonačkim tačkama konstrukcije. Elementi matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i tla, odrediće se na osnovu pomeranja koja su izazvana jediničnim generalisanim silama na mestu i u pravcu oslonaca. U pravcu tačkastog oslonca se postavlja jedinična sila, a u pravcu uklještenja jedinični spreg sila. Oslonačke reakcije i pomeranja su numerisana na sledeći način: u tački A reakcije su R1 i R2 a pomeranja U1 i U2 , u tački B reakcije su R3 i R4 a pomeranja U3 i U4 , a u tački C reakcije su R5 i R6 a pomeranja U5 i U6 . Neparni indeksi označavaju silu i pomeranje a parni indeksi moment savijanja i obrtanje. Tokom proračuna se koristi sledeća konvencija za pozitivan predznak pomeranja na temeljnom nosaču i na gornjoj konstrukciji: + smer vertikalnog pomeranja je u smeru +z ose, + smer obrtanja/nagiba je u smeru kretanja kazaljke na satu, Koristi se sledeća konvencija za pozitivan predznak sila na temeljnom nosaču: + smer vertikalne reakcije je u smeru +z ose, + smer momenta uklještenja je u smeru kretanja kazaljke na satu, Prema principu akcije i reakcije, pozitivan predznak sila na gornjoj konstrukciji je: + smer vertikalne reakcije je u smeru -z ose, + moment uklještenja e u smeru suprotno od kretanja kazaljke na satu, Da bi odredili elemente u prvoj koloni matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i tla (podloge), temeljni nosač treba opteretiti jediničnom vertikalnom silom R1=1 u tački A, u pravcu oslonca 1. Vertikalna pomeranja i obrtanja u oslonačkim tačkama A, B i C usled nanetog opterećenja, pretstavljaju elemente 1 - kolone matrice fleksibilnosti. Da bi odredili elemente u drugoj koloni matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i tla (podloge), temeljni nosač treba opteretiti jediničnim momentom R2=1 u tački A, u pravcu oslonca 2. Vertikalna pomeranja i obrtanja u oslonačkim tačkama A, B i C usled nanetog opterećenja, pretstavljaju elemente 2 - kolone matrice fleksibilnosti. Na sličan način se određuju elementi matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i tla (podloge) u 3, 4, 5 i 6 - koloni.


68


Na slici 7.2a su prikazana sleganja oslonaca usled jediničnih sila, a na 7.2b sleganja oslonaca usled jediničnih momenata u osloncima. Na dijagramima su date i veličine sleganja u jedinicama m/kN i m/kNm. Treba napomenuti, da usled greške pri diskretizaciji opterećenja, koja je neophodna, elementi matrice fleksibilnosti nisu potpuno simetrični. Npr. (Slika 7.2a), sleganje -6 oslonca 3 usled jedinične sile u osloncu 1, iznosi U31=8.82010 m, i trebalo bi prema Maxvell-ovom stavu biti jednako sleganju oslonca 1 usled jedinične sile na osloncu 3, -6 koje iznosi U13=8.67210 m. Međutim to nije slučaj, a relativna greška je oko 1.7%. -1E-5

EIb=398.09 MNm2 -5E-6 7.505E-07

7.505E-07

0E+0

4.221E-06

) m5E-6 ( s e j n a 1E-5 g e l S

4.121E-06

R3

8.672E-06

8.820E-06

R5

R1

2E-5 1.438E-05 2E-5 1.922E-05

U(R1)

U(R3)

U(R5)

1.922E-05

3E-5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m)

Slika 7.2a

Vertikalna pomeranja oslonaca usled jediničnih vertikalnih sila

-1E-5

R2 -5E-6

EIb=398.09 MNm2

-3.182E-06 -2.902E-06

R4

-2.282E-06

R6

8.167E-09

0E+0

8.066E-07

-8.066E-07

1.705E-06

2.510E-06

5E-6

) m ( s 1E-5 e j n a g e l S 2E-5

3.182E-06

2E-5 3E-5 U(R2)

U(R4)

U(R6)

3E-5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Odstojanje x(m)

Slika 7.2b

Vertikalna pomeranja oslonaca usled jediničnih momenata


9

10

69


Na slici 7.2c su prikazana obrtanja oslonaca usled jediničnih sila, a na 7.2d obrtanja oslonaca usled jediničnih momenata u osloncima. Na dijagramima su date i veličine obrtanja u jedinicama rad/kN i rad/kNm. -5E-6

EIb=398.09 MNm2

R1

-4E-6

-2.909E-06

-3E-6

-2.329E-06

-3.040E-06 -2E-6

R3

-1E-6

) d a r 0E+0 (

-8.356E-07 2.531E-08

8.356E-07 b i g a N

1E-6

1.737E-06

R5

2E-6 3E-6

2.596E-06

3.040E-06

4E-6

U(R1)

U(R3)

U(R5)

5E-6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m)

Slika 7.2c

Obrtanja oslonaca usled jediničnih vertikalnih sila

-5E-6

EIb=398.09 MNm2

-4E-6 -3E-6 -2E-6

-5.093E-07

-5.093E-07

) -1E-6 d a r (

-3.720E-07

0E+0

3.813E-07

b i g a N 1E-6

-3.860E-07

3.587E-07 1.584E-06

2E-6

R6

R4

3.655E-06 3E-6

R2

4E-6

U(R2)

U(R4)

U(R6)

3.655E-06

5E-6 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Odstojanje x(m)

Slika 7.2d

Obrtanja oslonaca usled jediničnih momenata

Kao i kod pomeranja, usled greške pri diskretizaciji opterećenja, elementi matrice fleksibilnosti nisu potpuno simetrični. Na osnovu pomeranja i obrtanja oslonaca usled jediničnih sila (slika 7.2a-d), formirana je matrica fleksibilnosti temeljnog nosača i podloge, koja glasi: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

70


[F t ] =

1.922E-5

-3.182E-6

8.672E-6

-2.902E-6

7.505E-7

-8.066E-7

-3.040E-6

3.655E-6

2.596E-6

3.587E-7

8.356E-7

-5.093E-7

8.820E-6

2.510E-6

1.438E-5

8.167E-9

4.221E-6

-2.282E-6

-2.909E-6

3.813E-7

2.531E-8

1.584E-6

1.737E-6

-3.720E-7

7 .5 0 5E-7

8 . 06 6 E-7

4 .1 2 1E-6

1 . 70 5 E-6

1 .9 2 2E-5

3 . 18 2 E-6

-8.356E-7

-5.093E-7

-2.329E-6

-3.860E-7

3.040E-6

3.655E-6

Inverzijom matrice fleksibilnosti temeljnog nosača i podloge-tla, dobija se matrica krutosti čiji članovi, u jedinicama kN, m, kNm i rad, glase:

[K t ] =

3.032E+5

3.864E+5 -2.355E+5

5.171E+5

-3.228E+4

5.449E+4

3.834E+5

8.104E+5 -3.600E+5

5.692E+5

-3.184E+4

5.845E+4

-3.081E+5

-2.342E+4

7.124E+4

1.736E+6

-1.881E+5

3.414E+5

-2.351E+5 5.164E+5

-3.602E+5

2.952E+5

5.692E+5 -3.081E+5

-3.232E+4

-3.205E+4

-2.344E+4

-1.885E+5

5.432E+4

5.848E+4

7.109E+4

3.412E+5

9.750E+4 -1.303E+5 -1.277E+5

4.840E+5

Matrica krutosti K  gornje konstrukcije, temeljnog nosača i podloge je zbir matrice krutosti K k gornje konstrukcije i matrice krutosti K t temeljnog nosača i podloge.

[K ] =

2.870E+5

3.890E+5 -2.113E+5

5.152E+5

-4.031E+4

4.551E+4

3.859E+5

7.606E+5 -3.673E+5

5.849E+5

-2.707E+4

7.332E+4

-2.109E+5 5.145E+5

-3.675E+5

2.573E+5

5.849E+5 -3.080E+5

-3.081E+5 -9.746E+3 1.690E+6

-4.035E+4 -2.728E+4 -9.771E+3 -1.866E+5 4.533E+4

6.948E+4

8.209E+4

3.562E+5

-1.863E+5

8.225E+4 3.563E+5

9.176E+4 -1.323E+5 -1.297E+5

4.373E+5

Temeljni nosač i podloga imaju znatno veću krutost od gornje konstrukcije. Kao mera krutosti, izračunaće se norma matrica, prema sledećem: K k





2

K k ,ij

 96344.5 ,

K t





2

K t ,ij

 2548593.7 ,

K t K k

 26 .5

Na osnovu normi matrica krutosti, može se zaključiti da je krutost gornje konstrukcije znatno manja, tačnije 26.5 puta manja od krutosti temeljnog nosača i podloge. Na osnovu krutosti konstrukcije, temeljnog nosača i podloge i reakcija nepomerljivih oslonaca konstrukcije, mogu se odrediti pomeranja i reakcije oslonaca:

U    K 1  R 0   R   I    K k  F t 1 R 0  Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

71


 11.31  5.47     22.82  3 U    10 m , rad   0.68  8.82    4.23

,

5.601   412.031    1390.343  R    kN , kNm 1.343   206 .905    383.293

Zbir vertikalnih reakcija oslonaca iznosi 1602.849, što je relativna greška od 0.18%. Ako se povećaju dimenzije temeljnog nosača, tako da mu krutost na savijanje bude 2 EIb=1329.3 MNm , promeniće se sleganja i reakcije oslonaca gornje konstrukcije pri interakciji. Matrica krutosti temeljnog nosača i podloge usled povećanja krutosti temeljnog nosača, daje se bez izvođenja:

[K t ] =

9.317E+5

1.305E+6

-7.894E+5

1.723E+6

-1.066E+5

1.866E+5

1.302E+6

2.535E+6

-1.199E+6

1.856E+6

-1.111E+5

1.994E+5

-7.890E+5 -1.199E+6

9.007E+5

-1.048E+6 -7.467E+4

2.451E+5

-1.048E+6

5.569E+6

-6.535E+5

1.169E+6

-1.066E+5 -1.113E+5 -7.469E+4

1.723E+6

-6.539E+5

2.236E+5

-4.366E+5

1.169E+6

-4.340E+5

1.442E+6

1.864E+5

1.856E+6

1.994E+5

2.450E+5

Norma matrice krutosti temeljnog nosača i podloge je K t=8251755.1, što je 85.6 puta veće od norme matrice krutosti gornje konstrukcije. Povećanje matrice krutosti temeljnog nosača i podloge, odgovara povećanju krutosti na savijanje, ili: K t

1

K t

2



 E b I 1   E b I 2

8 ,251 ,755.1 2 ,548 ,593.7

 3.24 

1329.30 398.09

 3.34

Sleganje i reakcije oslonaca za povećanu krutost temeljnog nosača na savijanje od 2 EIb=1329.3 MNm iznose:

 14.45  0.88     15.98  3 U    10 m , rad   0.15  11.79     1.08 

,

 283.924   77 .644     946 .178   R    kN , kNm   10.602  372.398     64.069 

Razlika u pomeranju i reakciji oslonaca usled promene krutosti temeljnog nosača je očigledna. Rezultati proračuna presečnih sila i sleganja duž nosača, dati su na Sl. 7.3. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

72

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE 0

5

10 ) m m ( s e j n a g e l S

15

20

BEZ INTERAKCIJE EI=1329.30 BEZ INTERAKCIJE EI=398.09

25

SA INTERAKCIJOM EI=1329.30 SA INTERAKCIJOM EI=398.09

30 0

1

2

3

4

5 Odstojanje x(m)

6

7

8

9

10

800 600 400 ) N 200 k ( T a 0 l i s a n l a -200 z r e v s n -400 a r T

BEZ INTERAKCIJE EI=1329.30 BEZ INTERAKCIJE EI=398.09 SA INTERAKCIJOM EI=1329.30 SA INTERAKCIJOM EI=398.09

-600 -800 0

1

2

3

4

5 Odstojanje x (m)

6

7

8

9

10

-400 -200 0

) m N k ( 200 M a 400 j n a j i v a 600 s t n e m 800 o M

1,000

BEZ INTERAKCIJE EI=1329.30 BEZ INTERAKCIJE EI=398.09 SA INTERAKCIJOM EI=1329.30 SA INTERAKCIJOM EI=398.09

1,200 1,400 0

1

2

Slika 7.3

3

4

5 Odstojanje x(m)

6

7

8

9

10

Sleganje i presečne sile duž temeljnog nosača

Na mestima dejstva transverzalne sile i momenta savijanja, u dijagramu je prekid funkcije. Prema MKR, za grubu diskretizaciju se ne mogu dobiti tačne vrednosti, pa je potrebno izvršiti korekciju prema sledećim izrazima: T l  T d

 T

M l  M d

 2 M MKR

M d  M l

 M MKR


T l  T d

 R

73


Nakon proračuna pomeranja i reakcija oslonaca direktnom metodom interakcije, izvršen je proračun i iterativnom metodom. Konvergencija je spora, a nakon 10, 20 i 30 iteracija, dobijene su sledeće veličine reakcija oslonaca i razlike normi vektora:

 23.153  391.563    1362.435  1.056     R10    217 .241    361.519 

,

6 .492    410.991    1389 .291   1.222   ,  R20   207 .430     382.187 

 R10  11.99

 5.646   411.978     1390.271   1.337    R30   206 .932     383.237 

 R20  0.62

 R30  0.03

1600 1400 ) N k (

1200

c a n o l s o e j i c k a e r a n l a k i t r e V

1000

R1 R3 R5

800 600 400 200 0 -200 0

5

10

15

20

25

30

Broj iteracija 500 ) m N k (

400

a c n o l s o a j n e t š e j l k u t n e m o M

200

300

R2 R4 R6

100 0 -100 -200 -300 -400 -500 0

5

10

15

20

Broj iteracija

Slika 7.4

Reakcije oslonaca u funkciji broja iteracija


25

30

74


8. PRORAČUN SAVITLJIVOG ZIDA U VINKLEROVOJ SREDINI Na osnovu numeričkog postupka (MKR) prikazanog za rešavanje problema temeljnog nosača na deformabilnoj podlozi, može se izvršiti proračun pomeranja zaštitnog zida – priboja u tlu kao deformabilnoj sredini. Najprostija aproksimacija deformabilne sredine za potrebe analize pomeranja i presečnih sila u zidu, jeste Vinklerov model ili sistem nezavisnih elastičnih opruga. Kao i kod temeljnih nosača na deformabilnoj podlozi, osnovni problem ovog modela je pouzdanost procene horizontalnog modula reakcije tla k h (MN/m3), koji uglavnom zavisi od vrste tla, vlažnosti, zbijenosti i dimenzija opterećene površine. Za razliku od temeljnih nosača na sloju peska ili meke gline, kod elastičnih zidova se zbog vrlo malog vertikalnog napona, tlo u području dna iskopa deformiše izrazito nelinearno uz značajnu plastifikaciju. Kod peska i mekih glina promena horizontalnog modula reakcije tla je približno linearna po dubini (zavisi od efektivnog vertikalnog napona). Kod prekonsolidovanih (tvrdih) glina, može se usvojiti da je horizontalni modul reakcije konstantan po dubini i da je jednak vertikalnom modulu reakcije tla. Za proračun savitljivog, ankerisanog/razuprtog zida, horizontalni modul reakcije se uglavnom prikazuje jednačinom ( Terzaghi , 1955): kh

gde je:

z  lh    D 

,

kh

0.305   k h1    D 

(8.1) 3

l h = konstanta horizontalnog modula reakcije peska ( MN/m ) 3 k h1 = hor. modul reakcije tvrde gline na 0.3m od dna iskopa ( MN/m ) z = dubina merena od dna iskopa ( m) D = dubina dna zaštitnog zida – priboja, merena od dna iskopa ( m)

Terzaghi je predložio konstantu horizontalnog modula reakcije peska, zavisno od zbijenosti i vlažnosti. Na osnovu studije horizontalnog pomeranja i modelskih ispitivanja (Reese, Cox, Koop, 1974) su utvrdili da su predložene vrednosti konzervativne, pa u praksi preporučuju ( R.F. Scott, 1981) usvajanje većih vrednosti, pomnoženih faktorom 2–3. U tabeli 8.1 su date vrednosti konstante l h za pesak, za zaštitni zid koji je slobodno oslonjen u nivou baze: Opis tla Pesak, suv ili vlažan Pesak, potopljen Tabela 8.1

Rastresit 0.8 (1.6) 0.5 (1.0)

Srednje zbijen 2.5 (5.0) 1.5 (3.0)

Zbijen 6.0 (12.0) 4.0 (8.0)

Konstanta hor. modula reakcije tla l h (MN/m3) prema Terzaghi-u (preporučene vrednosti) 3

Za meke gline, konstanta modula reakcije tla se kreće između l h =0.3–0.5 MN/m (Davisson and Prakash, 1963 ), dok se kod tvdih glina konzervativno može usvojiti da je horizontalni modul reakcije tla približno jednak vertikalnom. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

75


Osim Terzaghia, velik broj istraživača se bavio problemom određivanja horizontalnog modula reakcije tla, za potporne konstrukcije i horizontalno opterećene šipe, kao npr Menard et all. (1964), Balay (1984), Chadeisson and Monnet (1994), Schmitt (1995), Monaco and Marchetti (2004) i dr. Menard, predlaže modul k h duž konzolnog zida, na osnovu rezultata terenskih ispitivanja pomoću presiometra ( PMT ) : k h

gde je:



E M 

0.5  a  0.13  9 a

= dužina konzolnog zida na kojoj vlada pasivni pritisak  2/3 D = parametar tla (za pesak  1/3 , za prašine  1/2 , za gline  2/3) = presiometarski modul (  ·Ms), edometarski modul stišljivosti

a  E M , Ms

Chadeisson (1961), Monnet (1994) predlažu alternativni način za određivanje modula k h koji se zasniva na parametrima čvrstoće tla: 0.2

4   K pg 1  K0 K P    tanh  c 30 kh   20EI     Ap c  dr0 dr0    

gde je:

EI K p, K 0 g , dr o c , A p

2

= fleksiona krutost zida (krutost na savijanje) u kNm = koeficijenti pasivnog pritiska i pritiska tla u mirovanju = zapreminska težina tla u kN/m3, karakt. pomeranja (0.015m) = efektivna kohezija u kPa, koeficijent mobilizacije kohezije (1-15)

Na osnovu višegodišnjih iskustvenih rezultata, pretpostavljajuću krutost dijafragme 2 od EI=850 MNm , Chadeisson je predložio dijagram za određivanje modula reakcije tla k h u funkciji parametara čvrstoće tla c i . 90 80

140 120

100

70

50

40

30

20

70

15

60 13

50 40

11

30 9

20 3

7 MN/m

10 0

45

40

35

30

25

20

15

10

5

Ugao smičuće o tpornosti  ’ (step)

Slika 8.1

Dijagram za određivanje modula reakcije tla kh (Chadeisson, Monnet) Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

0

) a P k ( ’ c a j i z e h o K

76


Metoda horizontalnog modula reakcije tla (Vinkler-ova metoda) omogućuje da se odredi pomeranje zaštitnog zida, neophodnog u analizi graničnog stanja upotrebljivosti (SLS), kao dopune proračuna po graničnom stanju nosivosti ( ULS). Proračun prema graničnom stanju nosivosti tla, u rutinskoj praksi se vrši prema aktivnom i mobilisanom pasivnom pritisku tla i statičkom ili dinamičkom pritisku podzemne vode (vidi Osnove Fundiranja ). Mobilisani pritisak se dobija redukcijom pasivnog pritiska odgovarajućim faktorom ( F sp =1.2-1.5). Nakon što se prema metodi graničnog stanja nosivosti, odredi potrebna dubina zaštitnog zida, dimenzije razupirača / ankera i dimenzije peprečnog preseka zida, vrši se kontrolni proračun bočnih pomeranja, zamenjujući tlo u pasivnoj zoni Vinklerovim modelom. Pritisak na zid se određuje samo za aktivnu st ranu, prema teoriji zemljanih pritisaka (Rankin, Coulomb ), uz odgovarajuću preraspodelu dijagrama pritiska u zavisnosti od položaja i broja razupirača. Modelska ispitivanja i terenska merenja su pokazala, da se raspodela pritisaka na savitljiv zid (Slika 8.1) sa jednim ili više razupirača, bitno razlikuje od Rankine-ove i Coulomb-ove raspodele za krut zid koji se pomera obrtanjem oko donje ivice. Ispitivanja su pokazala da i u slučaju krutog zida, usled njegove translacije ili rotacije oko gornje ivice, dijagram pritisaka odstupa od Rankine-ove odnosno Coulomb-ove raspodele.

a)

b)

Slika 8.1

c)

a) Presek kroz iskop,

a)

b) Deformacija zida,

b)

c)

c) Raspodela pritiska tla

Prisustvo razupirača ili sidra u nivou glave potporne konstrukcije, ograničava pomeranja usled čega pritisak u zoni razupirača raste a između razupirača i dna iskopa opada u odnosu na trougaonu raspodelu (ako je sloj homogen). Kvalitativan oblik dijagrama pritiska prikazan je na slici 8.1c. Preraspodela u odnosu na trougaoni dijagram, dovodi do povećanja sile u razupiraču i smanjenju momenta savijanja u polju između razupirača i dna iskopa. U praksi se uticaj razupirača usvaja empirijski, izborom preraspodele dijagrama pritiska tla prema EAU-2004 (Committee for Waterfront Structures ) ili EAB-2006 Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

77


(Committee for Excavations ). Na taj način se dobijaju veće sile u razupiračima i manji momenti savijanja između razupirača, što je u skladu sa modelskim i eksperimentalnim rezultatima. Pritisak tla zavisi od veličine i smera deformacije. Ako su u tlu bočne deformacije jednake nuli, tlo vrši pritisak na potpornu konstrukciju intenzitetom koji odgovara pritisku u stanju mirovanja. Usled pomeranja koja vrše zbijanje tla, pritisak na zid raste do granične vrednosti koja se naziva pasivni pritisak. Nasuprot tome, ako pomeranja izazivaju širenje tla, pritisak na zid opada do granične vrednosti koja se naziva aktivni pritisak. Između pasivnog i aktivnog pritiska postoji beskonačno mnogo vrednosti pritiska koje zavise od deformacije (Slika 8.2).

ua up

H

Aktivno stanje (širenje)

a k s i t i r p g o n č o b . f e o K

Zbijen pesak

Rastresit pesak

Pasivno stanje (zbijanje)

Relativno pomeranje

Slika 8.2

u/H

Kvalitativan dijagram pritiska na zid u funkciji pomeranja

Proračun pomeranja zaštitnog zida u tlu, prema metodi Vinklera, može se izvršiti MKR ili MKE. Proračunski model zaštitnog zida se dobija tako što se tlo u pasivnoj zoni, u čvornim tačkama zameni sistemom elastičnih opruga odgovarajuće krutosti (Slika 8.3). U MKR, zidni nosač se po visini podeli na n jednakih delova, a opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim čvornim silama (prema ranije opisanom postupku kod temeljnih nosača). Osa +z je usmerena od dna iskopa na dole, a osa + x i pozitivna pomeranja u(z) su usmerena ka iskopu odnosno u smeru aktivnog pritiska. U čvornim tačkama iznad iskopa, krutost opruga je jednaka nuli. Na aktivnoj strani zida, po celoj dužini deluje pritisak tla (aktivni priotisak, pritisak u mirovanju ili preraspodeljeni pritisak prema EAB ili EAU), statički ili dinamički pritisak podzemne vode. Uticaj razupirača ili ankera (sidra) se zamenjuje oprugom odgovarajuće krutosti.


78


Rešenje se dobija na osnovu sledećih jednačina:

 K t u   P  ,

 K t  

 E b I  Bc 4    k h  , D  3  E b I  c 

 P   c p cBu w 

q  k h u

(8.2)

(8.3)

Pritisci u pasivnoj zoni, određeni na osnovu pomeranja i krutosti opruga, ne bi smeli prekoračiti mobilisani (dozvoljeni) pasivni otpor prema izrazu: q  z   u  z   k h  z   p pm  z   p p  z  F sp

(8.4)

Ako se utvrdi da je pritisak u nekoj čvornoj tački veći od dozvoljenog, proračun treba ponoviti sa smanjenim modul reakcije tla u toj tački ili zamenom opruge dozvoljenom silom. Proračun se vrši u nekoliko iteracija, dok se u svim tačkama ne zadovolji uslov (8.2). a)

b)

Kc

NPV

Eb I

pw

pa

c) x, u

p

p m

kh(z) q=u .kh

z

Slika 8.3

a) Presek kroz iskop,

b) Proračunski model,

c) Reaktivni ili pasivni pritisak

Prethodni postupak ne uzima u obzir pomenu aktivnog pritiska usled deformacije zida, pa se naziva metoda sa nezavisnim pritiskom. Uticaj deformacije zida odnosno prisustva razupirača ili ankera, može se uvesti korišćenjem poluempirijskih metoda prema preporukama EAU, EAB i sl.


79


Poboljšanje metode je predložio Haliburton (1968) uvodeći nelinearno deformabilne opruge sa obe strane zida, odnosno duž aktivne i pasivne strane (Slika 8.4). Opruge imaju krutost k h i i konačnu čvrstoću koja je određena aktivnim i pasivnim pritiskom tla. Granično pomeranje za aktivni pritisak je ua, za pasivni u p, dok pomeranju u=0 odgovara pritisak mirovanja p0.

x, u Kc a)

upl

kh

) z (

1

ppl

E bI

q (u) i

l p

p

pol

pal

) z ( l o

p

H

b)

) (z

c)

l a

p

q (u) i

ual i

ui

p

p

a d

p d

( z )

( z )

pad

ppd

D

ui

z

Slika 8.4

a) Funkcija q(u) za aktivnu stranu, b) Računski model, c) Funkcija q(u) za pasivnu stranu

Na slici 8.4 je data kvalitativna funkcija opterećenja u tački i sa leve (a) i desne (c) strane zida. Pri pomeranju tačke i zida na desno (+ u), pritisak sa leve strane opada do pal a sa desne strane raste do p pd . Ako se zid pomera na levo (- u), pritisak sa leve strane raste do p pl a sa desne opada do pad . Rezultujući pritisak u tački je razlika pritisaka sa leve i desne strane zida. Proračun se vrši po fazama izvođenja, iterativno, dok se ne zadovolje uslovi ravnoteže i kompatibilnosti prema različitim funkcijama q(u), sa obe strane zida u čvornim tačkama.


80


8.1 BROJNI PRIMER – 7 Armirano betonska dijafragma (Slika 8.5), debljine d =0.45m i dužine L=8.0 m, razuprta je na 0.8m ispod površine terena, na svakih 4.0m, čeličnim razupiračem dužine 5.0m. Spoljni prečnik razupirača je 100mm a debljina zida 5mm. Iskop se vrši do H=1.60 m, nakon čega se postavlja razupirač i nastavlja sa kopanjem 0 3 3 do H=5.60 m. Tlo je zbijen pesak (  =32 , g =20.0kN/m , l h=9.0MN/m ). Ugao trenja između zida i tla je d = /2. Podzemna voda je na dubini od 9.0m od površine terena. Potrebno je izračunati i nacrtati pomeranje, transverzalnu silu, moment savijanja i reaktivni pritisak duž dijafragme. Pesak aproksimirati Vinkler-ovim modelom. Proračun izvršiti MKR podelom nosača na n=10 jednakih delova. EcA=313.4 MPa

8 . 0

g=20 kN/m3

RAZUPIRAČI

a P M 5 . 9 5 1 = I

=320 d= /2

6 . 5 = H

b

E

3

4 . 2 = D

lh=9.0 MN/m

Fsp =1.5 NPV

4.0

Slika 8.5

4.0

Presek i podužni izgled zaštitnog zida od AB dijafragme

Rešenje: Aktivni pritisak tla na dijafragmu je određen prema Coulomb-u a pasivni pritisak prema Sokolovski -om. Pošto pritisci tla deluju na zid pod uglom trenja d , u proračunu se koristi horizontalna komponenta. Preraspodela (redistribucija) aktivnog pritiska nije izvršena. Na osnovu tabele (vidi Mehanika tla ), horizontalne komponente koeficijenta pritiska su: 

 32.0 0 , d  16.00

pa ,max

H



Kah

 0.307,

K ph ,m



K ph Fsp



5.148 1.5  3.432

 g  H  D  Kah  20.0  5.6  2.4 0.307  49.17 kPa

 1.6m ( 5.6 m )



p pm,max

 g DK ph,m  164.84 kPa ( 439.30 kPa )


81


Na osnovu proračuna prema metodi graničnog stanja tla ( ULS), za aktivni i pasivni pritisak po Rankine-u i za faktor sigurnosti pasivnog otpora od F sp=1.5, potrebna računska dubina dijafragme ispod dna iskopa iznosi D0 = 2.4m. Krutost razupirača K c se može odrediti na osnovu poprečnog preseka, modula elastičnosti i dužine razupirača. Razupirači su na rastojanju Bc =4.0m. Površinska krutost razupirača k c zavisi od rastojanja čvornih tačaka c i rastojanja razupirača Bc. Pošto se proračun dijafragme vrši na širinu B=1.0m, u proračunu površinske krutosti, krutost razupirača sa Bc =4.0m treba svesti na B=1.0m. K c



Ec A Lc



313.4 5.0

 62.68 MN m ,

kc



Kc cBc



62.68 0.8  4.0

 19.58 MN m3

Vektor aktivnog pritiska tla  pa i horizontalni moduli reakcije tla k h za dubinu iskopa od H=1.6m i H=5.6m, u funkciji dubine (mereno od površine terena), iznose:

 0.00   4.92     9.83    14.75   19.67     pa    24.58   29.50     34.42   39.33    44.25    49.168 

kPa,

kh ( 1.6 )

 0  0    0    1.13  2.25    3.38  kN 4.50     5.63  6.75   7.88    9.00 

m3 ,

k h ( 5.6 )

 0 19.58     0   0   0    0  kN  0   0   3.00    6.00     9.00 

m3

Elementi matrice krutosti zidnog nosača i tla i razupirača u ( MN/m) iznose: z  0



z  0



i j



K t ,ii



Eb I c3

Dii

 311.52  Dii

  k h,i  Bc 4   D kh,ii   311.52  Dii   ii 3 c  Eb I 389.40    K t ,ij  3.339  106 Dij K t ,ii



Eb I

Aktivni pritisak tla na konzolni deo zida (dubina H=1.6m) je uzet u obzir samo do dubine iskopa, i prikazan je radi praćenja uticaja u dijafragmu kroz fazu iskopa.


82


Na osnovu prethodnih izraza, pregledan ispis elemenata matrice krutosti, za podelu AB dijafragme na n=10 jednakih delova, za dubinu iskopa od H=1.60, glasi:

 2 4 2  2 5 4 1   1 4 6 4 1  1 4 6.0029 1 4   4 6.0058 4 1 1  1 4 6.0087 4  Kt   311.52   4 6.0116 1  1 4   1    

        1  MN m  4 1  6.0144 1 4   4 6.0173 4 1  1 4 5.0202 2   4 2.0231 2

Elementi matrice krutosti, za uticaj razupirača i dubinu iskopa od H=5.60m, glase:

 2  2   1      Kt   311.52         

4 2   5.0503 4 1   4 6 4 1  1  4 6 4 1   1  4 6 4 1  1  4 6 4 1  MN m  1 4 6 4 1  4 1 4 6 1   4 1 4 6.0077 1  1 4 5.0154 2   4 2.0231 2

Vektor čvornih reakcija R, opterećenja  p i sila P, za linearnu promenu opterećenja odnosno aktivnog pritiska  pa između čvornih tačaka, odrediće se preko sledećeg izraza: c

Ri 

p 6

pi 0

2

c

a ,i 1

R0 c

,

 4 pa ,i  pa,i 1  , Rn   pa,n 1  2 pa,n  6

pi , ( 0 i n )



Ri c

,

pi n

2

Rn c

,

Pi  cpi

U fazi-I, pritisak na konzolni zid se računa za aktivni pritisak koji deluje do dubine H=1.6m, nakon čega se pritisak usvaja da je jednak nuli.


83


Za fazu-II iskopa, pritisak na dijafragmu je računat po celoj visini (H+D=8.0m), prema sledećim podacima:

 0.656   3.933    7.867    11.800  15.734     R  19.667  kN ,  23.601   27.534  31.468     35.401    19.012

 1.639   4.917     9.834     14.75 19.667     p   24.584  29.501    34.418  39.334    44.251    47.529

kN m ,

 1.311  3.393    7.867    11.800  15.734     P  19.667  kN  23.601   27.534  31.468     35.401    38.023

Rešenjem jednačine (8.2) se dobijaju horizontalna pomeranja čvornih tačaka ui dok se na osnovu jednačine (8.3) dobijaju kontaktni napon qi u čvornim tačkama duž pasivne zone, kao i sila u razupiraču. U jednačini (8.2), pošto se radi o ravanskoj deformaciji, širina dijafragme (upravno na poprečni presek) iznosi B=1.0m. Rezultati proračuna za fazu-I i fazu-II su prikazani grafički. Na dijagramima su prikazani zbirni uticaji pomeranja, obrtanja preseka (nagib elastične linije) i reaktivnog opterećenja (Sl.a 8.6). Za dimenzionisanje preseka (Slika 8.7) su date anvelope momenta savijanja i transverzalne sile, koje pokrivaju merodavne uticaje tokom izvođenja. U fazi-I se vrši iskop do H=1.6m i zatim se na deformisanu dijafragmu postavlja razupirač. Pomeranje na mestu razupirača je urI. U fazi-II se nastavlja iskop pod zaštitom razuprte dijafragme do H=5.6m. Zbog linearnog modela proračuna, ukupna pomeranja su zbir iz obe faze. Sila u razupiraču zavisi od razlike pomeranja ur odnosno pomeranja iz faze-II. Pc

 K c u r  K cu rI  62.68  3.77  10 3  0.236 MN

Alternativno, sila u razupiraču se može dobiti integracijom reaktivnog opterećenja u tački razupiranja. Površina integracije je proizvod čvornog rastojanja i rastojanja razupirača. Pc



q1 2c 2

Bc

 73.84  103 0.8  4.0  0.236

MN


84

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE Horizontalno pomeranje (mm ) -5.0

0.0

5.0

1.34

6.53

10.0

Obrtanje preseka - nagib (10 -3 rad) 15.0

-2.0

20.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

3.72

7.88

5.57

9.29

4.0

-1.21

1.76

2.97

-1.21

1.76

2.97

1.0

1.0

4.60

6.10

-1.20

10.70

1.66

2.86

2.0

2.0

) m ( a n e r 3.0 e t e n i š r v o p

3.65

8.30

2.74

d 4.0 o e j n a j o t s O

) m (

11.95

10.18

1.92

12.93

11.63

1.18

13.55

12.58

-1.16

a n e r e 3.0 t e n i š r v o p d o 4.0 e j n a j o t s O

1.39

-1.08

1.00

-0.98

13.76

0.52

-0.87

5.0

0.01

2.55

2.08

1.50

0.88

5.0

0.53

13.03

13.56

-0.77

6.0

-0.46

0.31

6.0 -0.06

13.07

-0.81

13.01

7.0

-0.11

-0.71

7.0

Ugib (H=1.6m)

-0.61

12.26

12.86

-0.99

Nagib (H=1.6m)

-0.68 -0.31

Ugib (H=5.6m)

Nagib (H=5.6m)

Zbirni uticaji

-1.14

11.43

12.57

8.0

8.0

-40

-20

0

20

Zbirni uticaji

-0.36

-0.67

-1.03

Transverzalna sila (kN) -60

3.0

0.0

0.0

Moment savijanja (kNm) 40

60

80

-40

0.0

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

0.0 0.00

0.00 -1.97 -1.97

58.72

-0.52

1.0

1.0

-7.87

50.41

-3.15

2.0

43.48

2.0

) m (

-10.15

a n e r 3.0 e t e n i š r v o p d o 4.0 e j n a j o t s O

40.58

-6.03

-0.97

) m (

-12.59

a n e r 3.0 e t e n i š r v o p d o 4.0 e j n a j o t s O

26.81

9.11

-12.52 3.75

5.0

80.66

-19.39

108.40

-22.24

123.56

-20.94

122.98

5.0

-38.09

7.06

-16.25

6.0

103.52

6.0 -51.90

8.10

-9.64

7.0

62.04

7.0 -38.77

6.03

-3.29

T (H=1.60m)

20.48

T (H=5.60m) 0.00

8.0

Slika 8.6

0.00

M (H=1.60m) M (H=5.60m)

8.0

Rezultati proračuna: Pomeranje, obrtanje i anvelope presečnih sila


85

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE Pritisci na zid (kPa) -50

0

50

100

Pritisci na zid (kPa) 150

200

250

-100

0.0

-50

0

50

100

150

200

250

0.0 0.0

0.00

Pa (H=1.60m)

Pa (H=5.60m)

Ppm (H=1.60m) -4.92

Ppm (H=5.60m)

q (H=1.60m)

0.0

-4.92

1.0

72.85

q (H=5.60m)

1.0

-9.83

-9.83

2.0

0.00

2.0

) m ( a n e r 3.0 e t e n i š r v o p d o 4.0 e j n a j o t s O

54.91 4.1

6.2

109.82

6.5

164.74

5.3

219.65

) m ( a n e r 3.0 e t e n i š r v o p d o 4.0 e j n a j o t s O

5.0

-14.75

-19.67

-24.58

0.00

0.00

0.00

-29.50

0.00

5.0

3.0

-34.42

6.0

0.0

6.0 -0.4

-39.33

54.91 39.22

7.0

7.0 -4.8

-44.25

109.8 77.19

-10.3 8.0

-49.16

8.0

Slika 8.7

113.17

164.8

Pritisci na dijafragmu: prema Vinkleru, aktivni i pasivni pritisak

Na osnovu Slike 8.6, kontaktni napon pasivne zone za fazu-II je manje od mobilisanog pasivnog otpora p pm. Računski faktor sigurnosti za pasivni otpor je: H  D

 q7

 q z dz  c 2  q

8

 q9 

H

E ph



F sp

rac

1 2 K phg D 2



E

 H  D ph

 q z dz

1 2



q10 

113.17   0   0.8    39.22  77 .19    138.40 kN 2  2   2

5.148  20.0  2.4

296 .6 138.40

2

 296 .52 kN

 2.1  1.5

H

Kontrola proračuna preko jednačine ravnoteže horizontalnih sila: H  D

E ah



1 2 q z dz  K ah g  H  D  2 0



 q  c 0   2

9



 q  q2   196 .67  196 .67  0 10

i

2


86


9. PRORAČUN ŠIPOVA U VINKLEROVOJ SREDINI U okviru predmeta Mehanika tla, prikazane su različite metode za proračun graničnog i dozvoljenog opterećenja vertikalnog šipa opterećenog vertikalnom silom kao i graničnog i dozvoljenog opterećenja vertikalnog šipa koji je opterećen horizontalnom silom i momentom savijanja. Postoji vrlo velik broj različitih faktora koji utiču na nosivost tla oko šipa, kao što je način ugradnje (bušeni, utisnuti ili pobijeni šipovi), vrsta tla (sitnozrno tlo, krupnozrno tlo), relativna brzina opterećenja u odnosu na moguću disipaciju pornog nadpritiska (drenirani ili nedrenirani uslovi opterećenja) i slično. Zbog velikog broja različitih faktora, računska sila po različitim metodama se kreće u vrlo širokim granicama. Proračun šipova kao i svakog konstruktivnog elementa, obuhvata proračun prema graničnom stanju nosivosti ili skraćeno ULS (Ultimate Limit State) i proračun prema graničnom stanju upotrebljivosti ili skraćeno SLS ( Serviceability Limit State). Mada su pomeranja temelja na šipovima po pravilu za jedan red veličine manja nego kod plitkih temelja, tehnička regulativa zahteva i njihov proračun. Kada je u pitanju proračun deformacija šipova, uglavnom je ona manja od tačnosti proračuna nosivosti. Da bi se dobili pouzdaniji podaci o nosivosti i sleganju šipa, pravilo nalaže da se uvek vrši i probno opterećenje šipova na predmetnoj lokaciji. Broj probnih opterećenja zavisi od broja šipova i heterogenosti geomehaničkog profila, a zbog kontrole ne može biti manji od dva. Na osnovu podataka dobijenih probnim opterećenjem pojedinačnog šipa, može se odrediti veza između sile i pomeranja glave šipa odnosno sprega sila (momenta) i obrtnja glave šipa. Treba napomenuti da se jedan šip retko pojavljuje kao noseća konstrukcija. Uglavnom šip prenosi opterećenje u manjoj ili većoj grupi, koja je međusobno povezana tzv. naglavnicom koja obezbeđuje ravnomerno prenošenje opterećenja na šipove. Ako se radi o manjoj grupi, odnosno manjim dimenzijama temelja, n aglavnice se mogu tretirati kao idealno krute. Grupa šipova je složeniji problem od pojedinačnog šipa, pošto osim prethodno pomenutih faktora, na nosivost utiče međusobno rastojanje, broj i raspored šipova, redosled ugradnje u tlo i krutost naglavnice. Treba imati u vidu da i naglavnica prenosi određen deo od ukupnog opterećenja, srazmerno krutosti tla, šipova i naglavnice. Uvođenjem efekta interakcije šipova, tla i naglavnice, proračun nosivosti i pomeranja postaje vrlo složen. Zbog svega iznetog, može reći da je problem proračuna temelja na šipovima jedan od najsloženijih u geotehnici. U okviru ovog predmeta prikazaće se najjednostavniji model proračuna grupe šipova, koji je zasnovan na Vinkler-ovoj hipotezi.



87

Vinklerov model aproksimira tlo serijom nepovezanih linearno-elastičnih opruga, tako da deformacija postoji samo tamo gde deluje opterećenje. Pošto je realno tlo do određene mere kontinuum, postoji međusobni uticaj grupe šipova na nosivost i pomeranje, koje se ne može obuhvatiti Vinklerovim modelom. Interakcija grupe šipova, ostvaruje se preko naglavnice i kroz tlo kao kontinualnu sredinu. Proračun interakcije grupe šipova preko krute naglavnice je znatno lakši problem od proračuna interakcije šipova kroz tlo. U okviru ovog poglavlja, prikazaće se interakcija šipova preko krute naglavnice, dok će se u posebnom poglavlju obraditi interakcija grupe šipova kroz tlo. Prvo će se prikazati analitičko rešenje za homogeno tlo, za vertikalan šip koji je izložen aksijalnom pomeranju glave ( s) bez poprečnog pomeranja i obrtanja, za vertikalan šip izložen poprečnom pomeranju glave ( t ) bez aksijalnog pomeranja i obrtanja i za vertikalan šip izložen obrtanju glave ( q ) bez aksijalnog i poprečnog pomeranja. Na osnovu prethodnih proračuna, može se formirati matrica krutosti glave šipa. Razmatraće se samo dvodimenzionalni – ravanski problemi. U sledećem koraku će se prikazati postupak proračuna pomeranja grupe šipova povezanih idelano krutom (nedeformabilnom) naglavnicom. U praksi to odgovara fundiranju potpornog zida na šipovima, temelja samca na šipovima, temelja ispod zidnog platna i slično, odnosno kada se radi o manjoj grupi šipova (npr 5-10) ili vrlo krutoj naglavnici. Prikazana analitička rešenja se odnose na homogeno tlo, sa modulom reakcije koji je konstantan sa dubinom. Za linearan porast modula reakcije sa dubinom, ne postoji analitičko rešenje, ali se za krut i savitljiv šip mogu dobiti približna analitička i grafička rešenja (Barber 1953, Broms 1964). Ako je tlo uslojeno i modul reakcije tla promenljiv po dubini, rešenje se može dobiti samo u numeričkom obliku. Na kraju ovog poglavlja je prikazan numerički postupak za proračun šipa u nehomogenoj sredini, primenom metode konačnih razlika (MKR).


88


9.1 VERTIKALAN ŠIP OPTEREĆEN AKSIJALNOM SILOM (k = const) Imajući u vidu da šipovi mogu biti i zakošeni, jednačine pomeranja će se odrediti u lokalnom sistemu, sa koordinatnim početkom na glavi šipa i koordinatnom osom koja se poklapa sa osom šipa. Lokalni koordinatni je definisan u odnosu na globalni, koji se obično postavlja u težište naglavnice da se pojednostavio proračun. U ravni crteža, osa +z je usmerena na dole a osa +x na desno. Pozitivna obrtanja i momenti su suprotni smeru obrtanja kazaljke na satu. Na slici 9.1a je prikazan numerički model aksijalno opterećenog šipa u Vinkler-ovoj sredini, sa konstantnim smičućim modulom reakcije k t duž omotača. Modul reakcije tla ispod baze šipa iznosi k b. Zbog jednostavnosti, proračun je izvršen za vertikalan šip čije se ose poklapaju sa globalnim koordinatnim osama. Q a)

b) x

s

z A

t kt

Ep A

t

L

dz

S

zd z z,w

t= k t .w qb = kb . w

kb z,w

Slika 9.1

a) Računski model aksijalno opterećenog šipa, b) Naponi na elementu šipa

Zanemarujući uticaj sopstvene težine šipa, uslov ravnoteže diferencijalnog elementa šipa u pravcu ose +z prema slici 9.1b, glasi :

 Z   z A   z  d  z  A  t Sdz  0 dw dz

  z 

 z E p

,

d 2 w dz 2



d  z dz



1 d  z E p dz

 

A

d  z dz

d  z dz

t  k t w


 S t  0

 E p

d 2 w dz 2

89


Smenom u gornjim izrazima, dobija se diferencijalna jednačina aksijalno opterećenog šipa:

 E p A gde je:

d 2w dz

2

d 2w

 Skt w  0 

dz

2

 lt w  0 ,

l t 

Skt E p A

(9.1)

= parametar krutosti šipa i tla = obim i površina poprečnog preseka šipa = modul elastičnosti šipa = smičući modul reakcije tla uz omotač šipa

l t S, A E p k t

Opšte rešenje diferencijalne jednačine (9.1) drugog reda sa konstantnim koeficijentima glasi: w  z   C1e

 lt z

 C2e l z

(9.2)

t

Aksijalna sila u poprečnom preseku opada sa dubinom i može se prema prethodnim izrazima prikazati sledećom jednačinom: F  z   A z

  Ep A

dw dz



 l z Ep Al t C1 e t



 C2 el z 

(9.3)

t

Integracione konstante se mogu odrediti na osnovu graničnih uslova na glavi i u bazi šipa: F 0   Q



Q  E p Al t  C1  C 2 

F  L   Qb



Qb

 E p Al t  C1e  l L  C2e l L  t

t

Sila u bazi šipa se može izraziti preko modula reakcije k b i sleganja baze šipa w b : Qb

 Ab k b wb



Qb

 Ab k b C 1e  l L  C 2 e l L  t

t

Na osnovu gornjih graničnih uslova, integracione konstante C 1 i C 2 glase: 1

 1  l t E p A Ab k b 2l L  C 1  e 1   , l t E p A  1  l t E p A Ab k b  Q

 Q  1  l t E p A Ab k b 2 l L  C 2  e 1   l t E p A  1  l t E p A Ab k b 

t

1

t

Prema jednačini (9.2) i integracionim konstantama, sleganje glave šipa s = w (0) je : s 

Q K Qs

, K Qs



l t E p A f

,

f 

e

2 l t L

e

2 l t L

l E A A k  1  l E A A k  1 l E A A k  1  l E A A k  1 t

p

b

b

t

p

b

b

t

p

b

b

t

p

b

b


(9.4)

90


Veličina K Qs pretstavlja aksijalnu krutost šipa. Koeficijent f zavisi od dužine L, modula elastičnosti šipa E p, karakterističnog broja l tL i modula reakcije tla k b (Slika 9.2). 10.0

10.0

kb=1 MN/m3

kb=1 MN/m3 L= 5.0 m

L= 25.0 m

10

10

100

100

f

f

t1.0 n e j i c i f e o K

t1.0 n e j i c i f e o K

1000

1000 10000

10000

100000 100000 0.1

0.1 0.1

1.0

10.0

0.1

1.0

Parametar l t L

Slika 9.2

10.0

Parametar l t L

Koeficijent f za armirano betonski šip dužine L=5.0 i 25.0m

Za uobičajene dimenzije šipova (dugački šipovi) parametar l tL (karakterističan broj) je veći od 2.5, a koeficijent krutosti je f 1.0, odnosno nezavisan od parametra l tL (Slika 9.2). Ako je l tL 2.5, aksijalna krutost šipa K Qs je praktično nezavisna od modula reakcije tla k b u bazi šipa. Značajan podatak u predmetnoj analizi je učešće baze u prenošenju aksijalne sile koja deluje na glavi šipa (Slika 9.3).

100.0

100.0

100000

100000

10000

10000

a p i š 10.0 a z a b a m i r p u j o k e l i s 1.0

a p i š 10.0 a z a b a m i r p u j o k

1000

100

000 100 10

e l i s 1.0

10

%

%

kb=1 MN/m3

kb=1 MN/m3 L=5.0 m

L=25.0m

0.1

0.1 0.1

1.0

Parametar l t L

Slika 9.3

10.0

0.1

1.0

Parametar l t L

Udeo baze u prenošenju op terećenja za armirano betonski šip dužine L=5.0 i 25.0m Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

10.0

91


Ako karakterističan broj l tL raste (raste modul reakcije k t i/ili dužina šipa L) i/ili opada modul reakcije tla u bazi šipa k b (odnosno opada odnos sila Qb/Q). Ako je smičući modul reakcije tla k t oko omotača šipa mali, a modul reakcije tla k b ispod baze šipa velik, jednačina sleganja glave šipa (9.4) se svodi na prostu jednačinu skraćenja aksijalno opterećenog stuba: K Qs



l t E p A f

 1 k b  1

 l L  E A   t  p ,  f  L

k t

 l t L     1,  f 



s 

QL E p A

Koristeći prethodne izraze, mogu se odrediti i druge veličine, kao što je promena smičućeg napona duž omotača šipa, sleganje i sila u bazi šipa i dr. Upoređujući prethodno rešenje (R.F.Scott, 1981) sa rezultatima proračuna sleganja aksijalno opterećenog vertikalnog šipa u homogenoj elastičnoj sredini (Poulos and Mates, 1981), može se uspostaviti približna veza između parametara elastičnosti E s i  s i modula reakcije tla k t i k b. Za lebdeći šip prečnika d u homogenoj sredini, uz relativno malu grešku od 5-15%, može se usvojiti da je: kb

 kt 

G s 2d



Es

 l t L 

4d  1   s 

L

Es

d

 1   s  Ep

,

lt E p kb

4

1   s  E p Es

U dosadašnjoj analizi, nije vođeno računa o graničnoj čvrstoći tla oko stabla šipa i graničnoj čvrstoći tla ispod baze šipa.

Qsf Q a

0

Q bf

Qf opte re ćenje š ip a

1

s(Qa )

K t 1 K

Qs

1 K b

plas tifikacija omotača

Qf = Qbf +Qs f Qa = Qf / Fs

s a p i š e v a l g e j n a g e l s

Slika 9.4

Q

a p i š č a t o m o

) s ( s Q

a p i š a z a b

) s ( s Q

o n r i b z p i š

) s ( Q

Razvoj komponenti nosivosti šipa za konstantne module reakcije tla Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

92


Ispitivanjima je dokazano da se nosivost tla oko omotača iscrpljuje pri relativno malom sleganju glave šipa, između 0.2-0.8% od prečnika stabla (Reese and O Neill, 1989). Nosivost baze se iscrpljuje pri sleganjima glave šipa reda veličine između 510% prečnika baze šipa, što znači da je pri radnom opterećenju kada je globalni faktor sigurnosti F s=2.5-3.0, nosivost omotača uglavnom iscrpljena (Slika 9.4). Krutost omotača K t (kN/m) i baze šipa K b (kN/m) se može odrediti na osnovu prethodnih izraza za sleganje glave šipa i sile u omotaču i bazi šipa. U prethodnoj analizi su prikazani rezultati proračuna aksijalne krutosti šip–tlo za konstantnu vrednost smičućeg modula reakcije tla k t duž omotača. Takav slučaj je u praksi vrlo redak i približno odgovara šipu u sloju tvrde (prekonsolidovane) gline. Ako je modul reakcije tla oko omotača šipa promenljiv, u proračunu treba koristiti osrednjenu vrednost. Ako se radi o homogenom sloju peska ili normalno konsolidovanoj glini, smičući modul reakcije tla duž omotača nije konstantan, već raste sa dubinom shodno porastu efektivnog normalnog napona. Za praktične proračune se može pretpostaviti da je promena smičućeg modula reakcije tla stepena funkcija dubine : n

kt  z   nt  z d 

Analitičko rešenje diferencijalne jednačine sleganja glave šipa za stepenu promenu smičućeg modula reakcije tla, svodi se na Bessel -ove funkcije i nema širu praktičnu primenu. Umesto analitičkog rešenja, efikasnije je približno numeričko rešenje metodom konačnih razlika (MKR) ili konačnih elemenata (MKE). Numerički postupak omogućuje primenu potpuno proizvoljne funkcije modula reakcije tla duž omotača šipa. Uz određene modifikacije, može se uvesti nelinearna zavisnost između smičućeg modula reakcije tla i sleganja omotača šipa, odnosno modula reakcije tla ispod baze šipa i pomeranja baze šipa. Treba na kraju napomenuti, da izbor modula reakcije tla ne zavisi samo od vrste tla i geometrije šipa, već u velikoj meri od načina ugradnje šipa (bušeni, pobijeni, utisnuti šipovi), međusobnog rastojanja i dužine šipova. Generalno, povećanjem rastojanja između šipova e i smanjenjem vitkosti L/d , međusobni uticaj šipova opada. Za malu grupu, pretežno lebdećih šipova, za međusobno rastojanje veće od 10 d , efekat grupe je zanemarljiv. Kod šipova koji pretežno nose bazom i leže na vrlo krutoj podlozi, međusobni uticaj je zanemarljiv i pri znatno manjem osovinskom rastojanju.


93


9.2.1 POPREČNO POMERANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (k h = const) Analitičko rešenje za poprečno pomeranja t glave vertikalnog šipa, bez obrtanja q , ako je modul reakcije k h duž šipa konstantan, može se indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećena vertikalnom i koncentrisanom silom (Slika 9.4a). t a)

b)

T

M

x

2T Ep I

kh

kh

EpI

L

L

L

z Slika 9.4

a) Greda na Vinkler-ovoj podlozi b) Poprečno pomeranje bez obrtanja glave šipa

Ako se temeljna greda dužine 2L, na Vinkler-ovoj podlozi, u sredini opterećena vertikalnom koncentrisanom silom 2T preseče na polovini, dobija se šip koji je u nivou glave izložen bočnom pomeranju t bez obrtanja (Slika 9.4b). U sredini grede odnosno na glavi šipa, deluje transverzalna sila T i moment savijanja M. Metodom početnih parametara, može se dobiti analitičko rešenje problema. Ne upuštajući se u izvođenje, daju se konačna rešenja: ,

K Tt



M

 K Mt  t ,

K Mt



l h

4

T

gde je:

 K Tt  t

kh d  sinh  2lh L   sin  2l h L  lh k hd 2 h

2l

 kh d A  l h L  (9.5a)     cosh  2lh L   cos  2lh L   2  lh  cosh  2lh L   cos  2l h L      cosh 2 l L  cos 2 l L  2     h h  

kh d

B  l h L  (9.5b) 2l 2 h

kh d 4E p I

l h I E p , d k t

= parametar krutosti šipa i tla = moment inercije šipa oko ose  na pravac pomeranja t = modul elastičnosti i dimenzija šipa  na pravac pomeranja t = horizontalni modul reakcije tla uz omotač šipa


94


Veličine K Tt u (kN/m) i K Mt u (kNm/m) zavise od geometrije i krutosti šipa i krutosti tla, dok su A i B koeficijenti krutosti koji zavise od karakterističnog broja l hL i prikazani su na slici 9.5. Za vrednosti l hL  2.5 (što približno odgovara dugačkom šipu), koeficijenti krutosti su 1, pa su elementi matrice krutosti šipa jednaki: l h L  2.5



A  B  1.0 , K Tt  K Tt 



k h d l h

, K Mt  K Mt 



3

4

k h d 2l 2h

1.0

0.8

A C , B 0.6 , A

B

i t n e j i c i f 0.4 e o K

C 0.2

0.0 0

1

2

Parametar l hL

Slika 9.5

Koeficijenti krutosti za proračun presečnih sila usled pomeranja/obrtanja glave šipa

Upoređujući rezultate za vertikalan šip u homogenoj elastičnoj sredini ( E s,  s) čija je glava izložena poprečnom pomeranju bez obrtanja (Poulos,1971), sa rezultatima dobijenim na osnovu Vinkler-ovog modela, za ekvivalentan modul reakcije tla k h se dobija sledeći izraz: k h



E s d

Veličine K Qs, K Tt , K Mt , K Tq i K Mq su izvedene za tlo koje ima konstantan modul reakcije po dubini (duž omotača). Za linearno promenljiv modul reakcije tla, postoje približna analitička rešenja dok se za proizvoljno promenljiv modul reakcije tla k h duž omotača koriste numerički postupci, kao što su metoda konačnih razlika ili metoda konačnih elemenata ( MKE ).


95


9.2.2 OBRTANJE GLAVE VERTIKALNOG ŠIPA (k h=const) Analitičko rešenje za obrtanje glave šipa q , bez poprečnog pomeranja t , ako je modul reakcije tla k h duž šipa konstantan, može se na isti način kao i u prethodnom slučaju, indirektno odrediti na osnovu rešenja grede konačne dužine koja je u sredini raspona opterećena spregom sila (Slika 9.6a). a)

b)

T

M

x q

2M kh

Ep I kh

L

EpI

L

L

z

Slika 9.6

a) Greda na Vinkler-ovoj podlozi b) Obrtanje bez poprečnog pomeranja glave šipa

Ako se temeljna greda dužine 2L, na Vinkler-ovoj podlozi, u sredini opterećena spregom sila 2M preseče na polovini, dobija se šip koji je u nivou glave izložen obrtanju q bez bočnog pomeranja (Slika 9.6b). U sredini grede odnosno na glavi šipa, deluje transverzalna sila T i moment savijanja M. Metodom početnih parametara, može se dobiti analitičko rešenje problema. Ne upuštajući se u izvođenje, daju se konačna rešenja: T  K T q  q , K T q

M



k h d  cosh2l h L   cos2l h L  2 h

2l

 K M q  q , K M q 

     cosh2l h L   cos2l h L  2 

k h d B l h L  (9.6a) 2l 2h

kh d  1 sinh  2lh L   sin  2l h L 

 kh d    3 C  l h L  (9.6b) 2 2 2l  2 cosh  lh L   cos  lh L   2lh 3 h

Veličine K Tq u (kN/rad) i K Mq u (kNm/rad) zavise od geometrije i krutosti šipa i krutosti tla, dok su B i C koeficijenti krutosti koji zavise od karakterističnog broja l hL i prikazani su na slici 9.5. Za vrednosti l hL  2.5 što približno odgovara dugačkom šipu, koeficijenti krutosti su 1, pa su elementi matrice krutosti šipa jednaki: l h L  2.5



B  C  1 , K T q  K T q 



k h d

l h

, K M q  K M q 




k h d 3

2l h

96


9.3 POPREČNO POMERANJE I OBRTANJE GLAVE ŠIPA (k h  const) Ako modul reakcije k h raste linearno sa dubinom, poprečno pomeranje t i obrtanje glave šipa q u nivou terena, usled poprečne sile T i momenta savijanja M=T  e, za krute i savitljive šipove, sa slobodnom i uklještenom glavom, može se odrediti prema jednačinama koje je izveo Barber (1953). - za krut šip sa slobodnom glavom (  L2 ): t 

18T  L  1.33e  3

L nh

, q 

  5

nh E p I

,

 nh

k h

z d

24T  L  1.5e  L4 n h

- za savitljiv šip sa slobodnom glavom (  L4 ): t 

2.4T

nh   E p I  0.6

0.4



1.6 T  e

nh   E p I  0.4

0.6

,

q 

1.6 T

nh   E p I  0.4

t 

- za krut šip sa uklještenom glavom (  L2 ):

0.6



1.74T  e

n h 0.2  E p I 0.8

2T L2 nh t 

- za savitljiv šip sa uklještenom glavom (  L4 ):

0.93T

nh   E p I 0.4 0 .6

Broms (1964) je za horizontalno pomeranje t glave slobodnog ili uklještenog šipa (u nivou terena), sa linearnim porastom modula reakcije tla, dao sledeći dijagram: 10

T

t L

8

D

T e L

4 . 0 ) h

t D

6

n ( L 6 . 0 T ) I p E ( t 4

Slobodna glava

e/L=2.0 1.5 1.0

2

0.8 0.6 0.4 0.2 0

Uklještena glava

0

2

4 6 8 Karakterističan broj L


10

97


9.4 MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU Pomeranje glave šipa u ravni ima tri stepena slobode, dve translacije i rotaciju. U lokalnom koordinatnom sistemu je pomeranje glave šipa određeno pomoću vektoras,t ,q . Na osnovu izvedenih veličina K Qs, K Tt , K Mt , K Tq i K Mq može se odrediti matrica krutosti šipa u lokalnom sistemu, koja povezuje pomeranja glave šipa sa silama na glavi šipa.

 Q   K Qs T   0    M   0   

0 KTt K Mt

 s    KT q   t   K M q    q  0

ili

RL   K L U L 

(9.7a)

RL = vektor opterećenja glave šipa u lokalnom sistemu K L = matrica krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu UL = vektor pomeranja glave šipa u lokalnom sistemu

gde je:

Matrica krutosti šipa i tla, zavisi od geometrije i krutosti šipa i krutosti tla. Ako su smičući i horizontalni modul reakcije tla oko omotača šipa vrlo male veličine ( k t  1, k h  1) a baza šipa leži na vrlo krutoj podlozi ( k b  1), matrica krutosti šipa i tla se svodi na matricu krutosti stuba – štapa. U zavisnosti od graničnih uslova na krajevima stuba (glava i baza šipa), mogu se pojaviti sledeći oblici matrice krutosti šipa – stuba: (U )

(U )

 E p A L  Ep A L  0 0 0 0 (9.7b)   3 2 3 2 12E p I L 6 E p I L  ,  0 3E p I L 3Ep I L   0  0  0 6 E p I L2 4E p I L  3E p I L2 3Ep I L  (U ) (Z )

 E p A  0   0

L

0

0

3E p I L3

0

0

0

(Z )

    ( U )

,

Ep A  0   0

L

0

0

0

0

0

0

(Z)

  (9.7c)   ( Z )

Šipovi se uvek moraju upustiti u naglavnicu, kako bi se osigurala dobra konstruktivna veza, zbog čega se može smatrati da je šip uklješten u naglavnicu ( U). Za punu mobilizaciju nosivosti, šip se mora upustiti za oko 2 d (d =manja dimenzija ili prečnik šipa) u nosivi sloj, što je nedovoljno za uklještenje, pa se može smatrati da je šip u bazi zglobno oslonjen ( Z ). Za linearni porast modula reakcije tla k h, matrica krutosti se može odrediti indirektno preko matrice fleksibilnosti K L=F L-1. Elemetni matrice fleksibilnosti F Tt , F T q , F Mt i F Mq se mogu odrediti analitički (Barden, 1953), grafički (Broms, 1964) ili numerički pomoću metode konačnih razlika ili metode konačnih elemenata.


98


9.5 MATRICA KRUTOSTI ŠIPA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU U uvodnom delu je rečeno da šipovi retko prenose opterećenje samostalno, već se uglavnom radi o grupi šipova povezanih krutom naglavnicom. Kada su u grupi, neki šipovi moraju biti zakošeni da bi bolje preneli horizontalne sile. Za proračun grupe šipova u deformabilnoj sredini, potrebno je sve pojedinačne matrice krutosti šipa i tla prevesti u globalni koordinatni sistem. Mada su rezultati proračuna nezavisni od položaja globalnog koordinatnog sistema, jedostavnost nalaže da se isti uglavnom postavlja u težište naglavnice. Analiza će biti ograničena samo na 2–dimenzionalni (ravanski) problem (kao npr. fundiranje potpornog zida, obalnog zida, trakastog temelja, temelja samca sa opterećenjem u jednoj ravni simetrije i sl.). Pomeranje naglavnice u ravni, određeno je sa dve translacije u pravcima globalnih koordinatnih osa x i z i rotacijom oko težišta naglavnice (koordinatnog početka). Pomeranja naglavnice će se označiti vektorom u ,w ,q . 

a)

u

 w

G

t  

x s

uq

b)

q  r

wq

G’

q

G

z Slika 9.7

sq  q tq

G’





x



q =r q  z

a) Translacija težišta naglavnice b) Obrtanje oko težišta naglavnice

Pošto je grupa šipova uklještena u naglavnicu, pomeranja glave svakog šipa je potpuno određeno pomeranjem naglavnice kao idealno krutog tela. Veza između pomeranja glave šipa u lokalnom i naglavnice u globalnom sistemu, izvršiće se prema oznakama na slici 9.7. Usled pomeranja težišta naglavnice (Slika 9.7a) za vektor   , kruto vezana glava šipa se pomera u pravcu ose za s  a u pravcu upravno na osu šipa za t  . Usled obrtanja oko težišta naglavnice (Slika 9.7b) za vektor q , kruto vezana glava šipa se pomera u pravcu ose za sq , u pravcu upravno na osu šipa za t q i dodatno se obrće za ugao q . Komponente pomeranja glave šipa usled translacije i rotacije oko Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

99


koordinatnog početka ili težišta naglavnice, odrediće se pojedinačno. Pošto su pomeranja mala, ukupno pomeranje se može odrediti superpozicijom tj. prostim sabiranjem pomeranja usled translacije i rot acije. Pomeranja glave šipa usled translacije naglavnice iznose:

  sin    sin  90        cos        cos cos   s   u cos   w sin  s 

sin sin  

(9.8a)

  cos    cos  90        sin        sin cos   cos sin   (9.8b) t   u sin   wcos  t 

Pomeranja glave šipa usled rotacije oko težišta naglavnice iznose:

  q sin    rq sin       rq  sin cos   cos  sin   sq  q x sin   q z cos 

(9.9a)

 q cos   rq cos      rq  cos  cos   sin  sin   tq  q x cos   q z sin 

(9.9b)

sq

tq

q

 q

(9.9c)

Ukupno pomeranje glave šipa usled pomeranja naglavnice kao krutog tela, može se dobiti superpozicijom pomeranja prema (9.8) i (9.9). U matričnom obliku ukupna pomeranja su:

 s  cos  sin   x sin   z cos    u       t   sin   cos  x cos   z sin    w q   0   0 1     q 

ili

U L   T U  (9.10)

Ako se jednačina (9.10) uvrsti u jednačinu (9.7a), dobiće se jednačina između sila na glavi šipa u lokalnom sistemu sa pomeranjima krute naglavnice u globalnom sistemu. 0   s  Q   KQs 0      T   0 KTt KTq   t   M   0 K q  K M q   Mt    

ili

RL    K L U L 

(9.11a)

Nakon množenja matrice krutosti šipa i tla u lokalnom sistemu K L sa vektorom pomeranja glave šipa u lokalnom sistemu UL, jednačina (9.11a) postaje:


100


 Q   KQs cos  KQs sin   T    K sin   K cos     Tt Tt  M   K sin   K cos  Mt    Mt

 z cos     u     (9.11b) KTt  x cos   z sin    K T q   w   K Mt  x cos   z sin    K M q   q  K Qs   x sin 

U matričnom obliku, jednačina (9.11b) glasi:

 R L    K L U L    KL T U 



 RL    KG U 

(9.11c)

U = vektor pomeranja naglavnice u globalnom sistemu  T  = matrica transformacije lokalnog u globalni koordinatni sistem  K G  = matrica krutosti šipa i tla u globalnom sistemu

gde je:

9.6 USLOVNE JEDNAČINE RAVNOTEŽE NAGLAVNICE Jednačina oblika (9.11b) se može napisati za svaki šip u grupi koja je povezana krutom naglavnicom. Na taj način su sile na glavi svakog šipa izražene sa tri nepoznate veličine koje pretstavljaju komponente pomeranja naglavnice u, w , q . Nepoznate komponente pomeranja se mogu odrediti iz uslovnih jednačina ravnoteže u ravni  X =0,  Z =0 i M=0. Kada se sve spoljnje (aktivne) sile i momenti redukuju u koordinatni početak (ili težište naglavnice) i zatim razlože u smeru koordinatnih osa, dobiće se sile P x , Pz i spreg sila M0 oko tačke 0 (Slika 9.8a). Sile koje deluju na šipove, po zakonu akcije i reakcije su istog intentiteta i suprotnog smera od sila koje deluju na naglavnicu (Slika 9.8a). Pz

M0 Px

x 0 Mi

x

u

Ti

0 w

Qi

q

Qi Mi Ti

1

2

3

i

n

z a)

Slika 9.8

z

b)

a) Sile na glavi šipa-i odnosno na naglavnici b) Komponente pomeranja naglavnice


101


Komponente pomeranja naglavnice u,w ,q  i položaj naglavnice nakon pomeranja i obrtanja, prikazan je na slici 9.8b. Na osnovu oznaka na slici 9.8a, uslovne jednačine ravnoteže glase: n

 X  0   Qi cos  i  Ti sin  i  P x

(9.12a)

i 1 n

 Z  0   Qi sin  i  Ti cos  i  P z

(9.12b)

i 1 n

 M  0    M i   Qi cos i  Ti sin i  zi   Qi i 1

sini

 Ti cos i  xi  

M 0

(9.12b)

Kada se u jednačine ravnoteže (9.12) uvrste jednačine (9.11b) i koeficijenti slože uz nepoznate komponente pomeranja, dobija se sistem uslovnih jednačina:

 k11 k12 k13   u   Px       k22 k23  w    Pz    q  M   k33     0 gde je:

U P  K 

ili

K U   P

(9.13)

= vektor pomeranja naglavnice u globalnom sistemu = vektor opterećenja naglavnice = matrica krutosti grupe šipova i tla u globalnom sistemu

Krutosti k ij u uslovnoj jednačini 9.13 u razvijenom obliku glase: n

k11

   KQs  K Tt  cos 2   KTt , K  K Qs  K Tt

k12

  K cos  sin 

k13

  K cos    x sin   z cos    K Tt z  K T q sin 

1

n

,

k 21

 k12

1

n

 k 13

,

k 31

,

k 32  k 23

1

n

k22

  K sin 2   K T t

k23

  K sin    x sin   z cos    K Tt x  K T q c os 

k33

  K  x sin   z cos    K Tt  x 2  z 2    K T q  K Mt   x cos   z sin    K M q

1

n 1

n

2

1


102


Proračun koeficijenati u gornjim izrazima se lako i pregledno može izvršiti u EXCEL-u. Nakon što se odredi pomeranje naglavnice U, pomoću jednačina (9.10) i (9.11b) će se odrediti pomeranja i sile u šipovima. Time je ravanski problem grupe šipova koji je uklješten u krutu naglavnicu, pod proizvoljnim opterećenjem, jednoznačno rešen. Treba napomenuti da predmetna analiza zanemaruje međusobni uticaj šipova, što je konzistentno sa osnovnom karakteristikom Vinklerove sredine – diskontinuitet. Navedeni nedostatak se može prevazići uvođenjem složenijeg modela tla kao npr. model elastične sredine, ili približno, određenom redukcijom modula reakcije tla za pojedinačan šip, što povećava pomeranja. Koeficijenti redukcije modula reakcije imaju sličan efekat kao i koeficijenti redukcije nosivosti grupe šipova. Koeficijenti redukcije zavise od rasporeda, međusobnog rastojanja i broja šipova. Treba istaći da ne postoji egzaktan način određivanja koeficijenta redukcije modula reakcije tla kada se radi o grupi šipova, tako da je svaki postupak samo konceptualan i vrlo približan. Približan proračun pomeranja grupe šipova, prikazaće se na kraju poglavlja. U literaturi iz fundiranja se mogu naći klasične metode za proračun sila u šipovima povezanih krutom naglavnicom, pod proizvoljnim opterećenjem. Pretpostavka je da su šipovi samo aksijalno opterećeni, odnosno da su zglobno vezani u glavi i u bazi šipa (šip je prost štap). Šipovi u grupi mogu imati različite pravce. Ako je broj različitih pravaca do 3 ,ili ako se može svesti na 3, sile u šipovima se mogu odrediti na osnovu uslova ravnoteže (grafički ili analitički). Treba imati u vidu da je ovakav proračun u određenim slučajevima može dati relativno pouzdane rezultate. Taj slučaj nastaje kod šipova koji su po statičkom sistemu stojeći, obostrano zglobno vezani i kada je broj šipova manji ili jednak 3. Međutim u opštem slučaju, kada postoji značajniji otpor tla duž omotača, i kada se ne zanemari uklještenje šipa u naglavnicu, primena uprošćenih metoda nije opravdana. Prikazana metoda za ravanski problem, može se proširiti i na prostorni. Kod prostorne grupe šipova, postoji 6 (šest) stepeni slobode (3 pomeranja i 3 obrtanja oko koordinatnih osa), koji se za idealno krutu naglavnicu određuju iz 6 ravnotežnih uslova. Za rešavanje prostornih problema, zbog jasnoće i preglednosti, koristi se vektorski postupak ( Santrač , 1991).


103


9.7 ODREĐIVANJE HORIZONTALNOG MODULA REAKCIJE TLA Slično kao i kod elastičnih zidova, u zoni naglavnice se već pri malim opterećenjima javlja plastifikacija tla. Ovo je posebno izraženo kod peska i normalno konsolidovanih (NC) glina, gde je zbog vrlo malih efektivnih napona pri površini terena, čvrstoća i krutost tla mala. Kod ovih materijala je promena čvrstoće i deformabilnosti približno linearna, a kod prekonsolidovanih (OC) glina, približno konstantna po dubini. Horizontalni modul reakcije tla se uglavnom prikazuje u obliku ( Terzaghi , 1955): k h

 z   nh    d 

,

k h

 0.305   k h1    d 

(8.1)

3 gde je: nh = konstanta horizontalnog modula reakcije peska ( MN/m ) k h1 = konstanta horizontalnog modula reakcije prekonsolidovane gline na 3 dubini od 0.305m od površine terena ( MN/m ) z = dubina merena od dna iskopa d = dimenzija šipa u pravcu  na pravac sile

Za sitnozrna (kohezivna) tla, konstanta horizontalnog modula reakcije tla se može proceniti prema tabeli 9.1. Vrsta tla Meka NC glina

Preporučene vrednosti 0.16 – 0.35 0.27 – 0.54 0.18 – 0.27 0.18 – 0.81 0.05 0.03 – 0.11 7.8 – 10.8

NC organska glina Treset Les

Reference Reese  Matlock (1956) Davisson  Prakash (1963) Peck  Davisson (1962) Davisson (1970) Davisson (1970) Wilson  Hilts (1967) Bowles (1968)

Konstanta horizontalnog modula reakcije za koherentna tla nh (MN/m 3)

Tabela 9.1

Najčešće korišćeni približni izrazi za sitnozrna (koherentna) tla su: k h 

gde je:

5 E 50 3 d

k h

 80  320 

k h

 0.3  0.5 

cu

d M v

E 50 = cu = d = Mv =

d

,

(Broms,1964)

,

(Skempton, 1951)

,

(Gudehus, 1996)

sekantni modul na polovini granične nedrenirane čvrstoće nedrenirana čvrstoća dimenzija šipa  na pravac opterećenja edometarski modul stišljivosti Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

104


Terzaghi je za pesak predložio konstantu horizontalnog modula reakcije u funkciji zbijenosti i vlažnosti (tabela 9.2). Na osnovu studije horizontalnog pomeranja na izvedenim šipovima i na osnovu modelskih ispitivanja, utvrđeno je ( Reese, Cox, Koop, 1974) da su predložene vrednosti konzervativne, pa se u praksi preporučuje ( R.F. Scott, 1981) usvajanje većih vrednosti, koje su date u zagradama u tabeli 9.2. Vrsta tla Pesak, suv ili vlažan Pesak, potopljen Tabela 9.1

Rastresit 2.5 (5.0) 1.4 (3.0)

Srednje zbijen 7.5 (15.0) 5.0 (10.0)

Zbijen 20.0 (40.0) 12.0 (25.0)

Konstanta hor. modula reakcije tla nh (MN/m3) prema Terzaghi-u (preporučene vrednosti)

Za šipove u pesku, Reese (1975) je predložio dijagram za određivanje konstante nh u funkciji relativne zbijenosti Dr . Pošto se relativna zbijenost peska određuje in-situ na osnovu standardne (SPT) ili statičke penetracije (CPT), od pr aktične je koristi direktno povezati konstatnu nh sa brojem udaraca N ili otporom konusa qc (P. Santrač, 2012). Interpolaciona funkcija, određena na osnovu dijagrama (Reese, 1975) glasi: - pesak iznad nivoa podzemne vode:

nh

 0 .0147 D r 1.911

- pesak ispod nivoa podzemne vode:

nh

 0.0247 D r 1.661

Polazeći od jednačine za relativnu zbijenost (Gibbs i Holtz, 1979) u funkciji efektivnog vertikalnog napona p0 i broja udaraca N, može se dobiti sledeći izraz za konstantu nh za pesak, iznad i ispod podzemne vode:

  N  D r  100    0.23 p 0  16  nh

  N   99   0.23 p 0  16 

0.5

0 . 955

,

nh

  N   52   0.23 p0  16 

0 .830

Polazeći od jednačine za relativnu zbijenost (Bellotti i dr., 1989) u funkciji efektivnog vertikalnog napona p0 koeficijenta bočnog pritiska K 0 i otpora konusa penetrometra qc dobija se sledeći izraz za konstantu nh za pesak, iznad i ispod podzemne vode: D r

  qc   42  ln  0. 55   248  K 0 p 0  

nh

   qc   18.6 ln  0.55    248  K 0 p0  

1.911

,

nh

   qc   12.3ln  0.55    248  K 0 p0  


1.661

105


Na osnovu prethodnih jednačina su urađeni dijagrami u programu EXCEL, za procenu konstante peska nh u funkciji rezultata SPT ili CPT opita (Slike 9.9 i 9.10). Broj udaraca SPT N

0

5

10

15

20

25

30

Broj udaraca SPT N

35

40

45

50

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

PESAK IZNAD NPV

PESAK ISPOD NPV

50

50

) a P100 k ( ' 0 p n o p a n i 150 n v i t k e f e i n l a k i t r 200 e V

) a 100 P k ( ' 0 p n o p a n i 150 n v i t k e f e i n l a k i t 200 r e V

nh=70 MN/m3 60 50 40 30 20

nh=40 MN/m3 35 30 25 20 15

10

10 5

5

250

250

300

300

Slika 9.9

Određivanje konstante horizontalnog modula reakcije peska na osn ovu SPT-a Otpor vrha CPT qc (MPa)

00

05

10

15

20

Otpor vrha CPT qc (MPa)

25

0

30

00

05

10

15

PESAK IZNAD NPV K0=0.50

25

30

PESAK ISPOD NPV K0=0.50

50

50

) a100 P k ( ' 0 p

) a 100 P k ( ' 0 p n o p a n i 150 n v i t k e f e i n l a k i t 200 r e V

n o p a n i 150 n v i t k e f e i n l a k i t 200 r e V

60 40 30

50

nh=70 MN/m3

nh=40 MN/m3 35 20

20 250

20

0

10

25

30

15 10

250

5

300

Slika 9.10

300

Određivanje konstante horizontalnog modula reakcije peska na osnovu CPT-a Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

106


Za razliku od horizontalnog modula reakcije tla k h, za određivanje smićućeg modula reakcije tla k t i modula reakcije tla ispod baze šipa k b, raspoloživi podaci su oskudniji. Metoda horizontalnog modula reakcije tla (Vinkler-ova metoda) omogućuje da se odredi pomeranje šipova prema graničnom stanju upotrebljivosti ( SLS), kao dopune proračuna po graničnom stanju nosivosti ( ULS). Proračun graničnog horizontalnog opterećenja šipova, vrši se prema klasičnim metodama granične ravnoteže ili teorije plastičnosti (Broms,1964, Brinch Hansen,1961 i dr). Kod grupe šipova, nije opravdano zanemariti međusobni uticaj šipova na nosivost i na pomeranja. Pošto je Vinkler-ov model prekidan, uticaj sa jednog šipa se ne prenosi na susedne šipove, pa se stoga mora uvesti određeno proširenje modela. Uglavnom se radi o uvođenju uticajnih koeficijenata zasnovanih na metodi elastičnog kontinuuma ili empirijskim jednačinama. Bez obzira na poreklo, uticajni koeficijenti zavise od broja i međusobnog rastojanja šipova. Za osovinsko rastojanje šipova 8d , gde je d prečnik šipa, uticaj grupe se može smatrati zanemarljivim, uz uslov da je osovinsko rastojanje šipova upravno na pravac dejstva sile 3d . Na smanjenje horizontalnog modula reakcije tla, značajan uticaj ima naizmenično opterećenje i rasterećenje (uticaj vetra, talasa i sl.). Za 50 i više ciklusa, horizontalni modul reakcije se može smanjiti na svega 30% od početne vrednosti. Usled kombinovanog dejstva šipova u grupi i cikličnosti opterećenja, horizontalni modul reakcije tla se može smanjiti čak ispod 10% od inicijalne vrednosti za izolovan šip pod statičkom silom. Detaljan opis uticaja cikličnog opterećenja na smanjenje horizontalnog modula reakcije tla, dao je Reese (1975), uvodeći nelinearnu funkciju između pomeranja y i otpora tla p ( p-y  koncept). Efekti konsolidacije i puzanja tla oko horizontalno opterećenog šipa, tokom vremena dodatno povećavaju početna horizontalna pomeranja, što u suštini znači dalje smanjenje horizontalnog modula reakcije tla.


107


9.8 BROJNI PRIMER – 8 Na lokaciji objekta predviđenog za fundiranje na grupi vertikalnih šipova, izvedeno je probno opterećenje tzv. test šipova. Na jednom šipu je izvedeno opterećenje vertikalnom silom, na drugom horizontalnom silom a na trećem spregom sila (Slika 9.11). Na osnovu dijagrama pomeranja (obrtanja) u funkciji sile (sprega sila), određena su za područje radnog opterećenja (dozvoljenog opterećenja), pomeranja i obrtanja. Koristeći podatke sa slike 9.11, potrebno je: - Odrediti elemente matrice krutosti šip-tlo, - Izvršiti kontrolni proračun sila na glavi šipa usled istovremenog dejstva sva tri

uticaja - pomeranja tT=2.57 .10-3m

Q=800 kN

tM=-8.53 .10-3m

T=20 kN x

m

M=150 kNm x

x q T=-1.14 .10-3rad

3 -

q M=7.56 .10-3rad

0 1 . 8 2 . 4 = s

z

a) Slika 9.11

z

b)

c)

z

Probno opterećenje šipa: a) Aksijalnom silom, b) Horizontalnom silom c) Spregom sila

Rešenje: Na osnovu sila i pomeranje slobodne glave šipa, mogu se odrediti elementi matrice fleksibilnosti šipa i tla, prema sledećim izrazima:



s

FTt 

tT

F Mt 

t M

FQs

Q

T

M

4.28  10





3

0.800

2.57  10 3



0.02

 5.35  10  3

 1.29  10  1 m MN

 8.53  10  3 0.15

m MN

  5.70  10  2

m MNm


108


q T

FT q



F M q



T



q M M

 1.14  10  3 0.02



7.56  10 3 0.15

  5.70  10  2 rad MN  5.04  10  2 rad MNm

Matrica fleksibilnosti i matrica krutosti šipa i tla glasi:

 FQs  F L    0  0

 K L    FL 

0 FTt T Mt

1

 0 0  5.35  10 3   2  1 FT q   0 1.29  10 5.70  10     2 FM q   0 5.70  10 5.04  10 2  0

0 0  186.92    0 15.50 17.52   0 17.52 39.66 

Kontrola proračuna će se izvršiti množenjem matrice krutosti tla K L sa vektorom pomeranja UL. Za rezultat treba dobiti sile na glavi šipa date na slici 9.11. s  4.29  10  3 m t

 t T  t M  2.57  10  3  8.53  10  3   5.96  10 3 m

q

 q T  q M   1.14  10  3  7.56  10  3  6.42 10 3 rad

 R L    K L  U L  0 0   4.29  Q  186.92 0.80     3     15.50 17.52  5.96  10 T   0  0.02   M   0  6.42   0.15 17.52 39.66        

zadovoljava !

Na osnovu rezultata probnog opterećenja, koristeći prethodni postupak, određena je realna matrica krutosti šipa i tla u području radnih opterećenja. Ovakav postupak daje pouzdanije rezultate od indirektnog određivanja matrice krutosti na osnovu modula reakcije tla koji su približne/korelativne veličine. Probno opterećenje implicitno obuhvata specifičnosti lokacije (anizotropija, nelinearnost i nehomogenost tla, način ugradnje šipa, krutost šipa, raspored i dimenzije šipa i dr.) što se ne može obuhvatiti analitičkim putem. U nedostatak probnog opterećenja šipa, spada kompleksnost, visoka cena (model u razmeri 1:1), složena oprema za merenje i stručna radna snaga.



109

9.9 BROJNI PRIMER - 9 Na slici 9.12 je poprečni presek trakastog temelja obalnog zida. Temelj zida je kruta naglavnica na šipovima. Opterećenje potpornog zida je redukovano u težište naglavnice. Podužno rastojanje šipova (upravno na ravan crteža) iznosi By =2.0m. U poprečnom preseku, naglavnica je oslonjena na tri AB šipa dimenzija 0.4/0.4/15.2m. Međusobno rastojanje šipova je takvo da se može zanemariti njihovo međusobno dejstvo na nosivost i pomeranja. Šipovi su uklješteni u naglavnicu. Tlo oko naglavnice je homogeno po dubini. Prosečan horizontalni i smičući modul reakcije tla iznosi 3 k h=17.25 MN/m i k t=8.63 MN/m3, a modul reakcije tla u bazi šipa k b=460 MN/m3. Potrebno je izračunati: 1) Pomeranje krute naglavnice u,w ,q . 2) Sile i pomeranja glave šipa Q,T,M i s,t ,q . 3) Izračunati približne sile u šipovima zanemarujući uticaj tla uz omotač šipa i uklještenje šipa u naglavnicu. Komentarisati rezultate pod 2) i 3). _

Pz =1.1MN/m

_

_

Px =0.1MN/m

M0=0.68MNm/m x

0

1

2

3

kt=8.63MN/m3 kh=17.25MN/m3 Ep=21.0GN/m2 L=15.2m By=2.0m

0.4/0.4

0.4/0.4 3.1

0.6

2.4

5

3 1

1

k b=460.0MN/m3

Slika 9.12 šip 1 2 3

-3.10 0.60 3.00

z

Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice

koordinate glave šipa x (m)

0.4/0.4

z (m)

0.00 0.00 0.00

koordinate baze šipa x (m)

-7.91 0.60 5.98

z (m)

14.42 15.20 14.91

podaci o nagibu šipova cos sin -0.3164 0.9487 0.0000 1.0000 0.1961 0.9806


110


1) Rešenje: 1

Opterećenje naglavnice u koju je uključena i sopstvena težina, data je po m u pravcu ose y , odnosno upravno na ravan crteža. Šipovi su u pravcu ose y na međusobnom rastojanju od By =2.0m. Da bi se dobilo opterećenje grupe šipova u ravni crteža, 1 potrebno je opterećenje po m naglavnice pomnožiti sa rastojanjem šipova By . - Proračun karakterističnih parametara šipova E p I

 Ep

d4

 21000

12

E p A  21000  0.4 2

lt



lh



kt S E p A

4



kh d 4E p I

0.42 12

 3360.0 MN

8.6  1.6 3360.0



 44.8 MNm2

4

,

S

 0.0641 m  1

17.2  0.4



4  44.8

 4d  4  0.4  1.6 m l t L  0.0641 15.2  0.974

,

0.443 m1

l h L  0.443  15.2  6.733

,

- Proračun elemenata matrice krutosti šipa i tla u lokalnom koordinatnom sistemu: Qb Q  0.21 f  1.15 

K Qs



l t E p A

A  lh L   1.0



KTt

B  lh L   1.0



K Mt  K Mt 

C  lh L   1.0



f



l t L E p A f

L

 0.847  221.05  187 .25 MN / m

 KTt  kh d l h  17.2  0.4

0.443  15.58 MN m

 k hd 2l h2  17.2  0.4  2  0.443 2   17.58 MN m

KTq

 KT q   khd 2l h2  17.2  0.4  2  0.443 2   17.58 MNm r

K M q

 K M q   khd 2 l h3  17.2  0.4  2  0.4433   39.69 MNm r

0  187.25 0 0  K Qs 0    0 15.58 17.58   K L    0 KTt KT q      0 K Mt K M q   0 17.58 39.69

- Matrica K  krutosti sistema naglavnica–šipovi–tlo  K

 KQs  K Tt  187.25  15.58  171.68 MN

m



k 11

111

  K cos 2   KTt  171.68 0.3162 2  0.19612   3.0 15.58 70.502 MN m

k 12

  K cos  sin   171.68 0.162  0.9487  0.1961

k 13

0.9806   18.491 MN m

   K cos   z cos   x sin    KTt z  K T q sin 

 171.680  0.3162  3.10  0.9487  0.1961  3.0 0.9806    17.58  0.9487  1.0  0.9806   207.213 MN r k 22

   K sin 2   K Tt  171.68  0. 9487 2  1. 02  0. 9806 2   3 15. 8  537. 989 MN m

k23

k33

  K sin   zc os   x sin    KTt x  KT q cos   171.68  0.9489  3.10  0.9487 1.0 0.6  1.0 0.9806 3.0 0.9806  15.58 3.1  0.6  3.0   17.58  0.3162 0.1961   124.933 MN r

   K  x sin   z cos    KTt  x 2  z 2    KTq  K Mt   z sin   x cos    K M q 2

2 2 2  171.68  3.1 0.9487    0.6  1.0   3.0 0.9806  

 15.58 3.12  0.6 2  3.02    17.58  17.58 3.1 0.3162 3.0 0.1961  3 39.69  3502.014 MNm r  k11 k12 k13   70.502 18.491 207.213  K   k21 k22 k23    18.491 537.989  124.933  k31 k32 k33   207.213 124.925 3502.014 Pomeranje naglavnice će se odrediti za koordinatni početak 0, na osnovu matrice krutosti K  i opterećenja P na dužini koja odgovara rastojanju šipova upravno na ravan crteža, odnosno od dužini By =2.0m.

 u 17.545 0.853 1.071  0.20  3.94  103  m 1       U    w   K  P  10 3  0.853 1.919 0.119  2.20   4.23 103  m  q   1.071 0.119 0.354  1.36  5.25  106  r  


112


2) Rešenje: - Pomeranja glave šipa u lokalnom koordinatnom sistemu

 s   cos  sin   x sin   z cos    u        t    sin   cos x cos   z sin    w q   0   0 1     q 

 s  0.3162  t    0.9487    q   0  1   s  t    q   2

0.0000   1.0000  0

0.3162 0

1.0000 0.0000 0

U L   T U 

  2.75  10 3    3  3  0.9803   4.23  10    5.07  10   m,rad     5.25  10 6  5.25  10 6  1    

2.9409   3.94  10

0.9487

,

3

0.6000  3.94  10 3   4.23  10 3      0.0000  4.23  10 3    3.94  10 3   m,rad   5.25  10 6  5.25  10 6  1    

 s   0.1961 0.9806  2.9417   3.94  10 3   4.94  10 3       3  3   t  0.9806 0.1961 0.5883  4.23  10    3.03  10   m,rad  6  6  q    0 0 1   3  5.25  10   5.25  10  - Sile na glavi šipa u lokalnom koordinatnom sistemu 0   s  Q   KQs 0 T   0 K   KTq   t     Tt   M   0 K q  K M q   Mt    

 Q  187.25    0 T    M   0  1  Q    T   M   2

187.25   0 0 

 Q  187.25    0 T     M   0  3 

0 15.58 17.58

0 15.58 17.58

0 15. 58 17. 58

RL    K L U L 

,

0   2.75  10

3

 0.515    3    17.58  5.07  10   0.079    5.25  10 6  0.089  39.69      0   4.23  10

3

  0.791   3    17. 58  3. 94  10    0.061  5.25  10 6  0.069  39. 69      0   4.94  10

 MN , MNm

 MN , MNm 

3

  0.923   3    17.58  3.03  10   0.047   6    39.69   5. 25  10   0.053

 MN , MNm 


113


- Kontrola globalne ravnoteže prema jednačini (9 .12)

 X    Q cos  T sin    P  0 x

i

0.515   0. 3162  0. 079 0. 949  0. 061 0. 923 0. 1961 0. 047 0. 981 0. 2 0. 0

 Z   Q cos  T sin    P  0 i

z

0.515  0 .9487  0.079  0 .3162  0.791 0. 923 0. 9806  0. 047   0. 981  2. 2  0. 0

 M    M

i

  Q cos  T sin  i zi  Q cos   T sin  i xi   M 0  0

0.089  0. 069  0. 053   0. 515  0. 9487 0. 079 0. 3162 3. 1   0. 791 0. 6 

  0.923  0.9806  0. 047   0. 981  3. 1  1. 36  0. 0 3) Rešenje: U približnoj analizi se zanemaruje tlo duž omotača šipa i uklještenje šipova u naglavnicu. Pretpostavlja se da su šipovi zglobno vezani za naglavnicu i zglobno oslonjeni u bazi. Na taj način se šipovi svode na proste štapove koji prenose samo aksijalne sile. Kontrola statičke određenosti sistema za n=6 stepeni slobode ( n=broj tačaka), za broj štapova Z S =5, broj krutih uglova Z k =1, broj oslonaca Z o =6 i broj uklještenja Z u=0, glasi:

 Z k  Z o  Z u  2n

Z s



5  1  6  0  2n

12  2 6

Pošto je sistem statički određen, sile u šipovima se mogu odrediti iz uslova ravnoteže:

 Q cos   P

x



Q 1  0.3162  Q2  0  Q3 0.1961  0.20

 Q sin  P

z



Q1 0.9487  Q2 1  Q3 0.9806  2.20



Q1 0.9487   3.1  Q2 0.6  Q3 0.9806  3.0  

i

i

i

i

 Q sin x  M i

i i

0

 0.3162 0 0.1961  Q1   0.20       0.9489 1 0.9806   Q2    2.20      2.9416 0.6 2.9418  Q3   1.36 

 1.36 

 Q1    8.49  0.515  Q   22.61  0.791 MN   2       Q    12.64  0.923  3    


114


Ako se sile dobijene prema uprošćenom postupku, uporede sa silama dobijenim na osnovu Vinkler-ove metode, mogu se konstatovati neprihvatljivo velike razlike, koje u konkretnom slučaju ne opravdavaju primenu uprošćene metode. Na slici 9.13a je prikazana dispozicija šipova za uprošćen postupak proračuna. Zadato opterećenje vertikalnom i horizontalnom silo i spregom sila, može se svesti na ekscentričnu i kosu silu P (prikazano isprekidanom linijom). a)

b) Pz

P

M0 Px

x 0

ex =0.62

1

Q2 2

Q3

3 K

3.1

0.6

2.4 N M 5

5

3

P

4

1

1

3 2

z

Q1

1 0

Slika 9.13

a) Dispozicija šipova za uprošćenu metodu proračuna b) Poligon sila (Cullman)

Na slici 9.13b je prikazan poligon sila sa rezultatom grafičkog postupka prema Cullman-u. Zbog ograničene veličine crteža, postupak nije prikazan na planu položaja sila (Slika 9.13a). U udžbenicima iz fundiranja, može se naći velik broj praktičnih primera fundiranja na manjoj grupi šipova povezanih krutom naglavnicom (vidi Osnovi Fundiranja), gde se sile određuju na osnovu uprošćene metode. Kada omotač šipa prolazi kroz slabo nosive slojeve, odnosno kada je nosivosti omotača šipa zanemarljiva, šipovi su u statičkom smislu stojeći jer prenose opterećenje isključivo bazom. U tom slučaju, sile u šipovima se mogu relativno tačno odrediti na osnovu uprošćene metode.


115


10. PRIBLIŽNO REŠENJE ŠIPA U VINKLEROVOJ SREDINI U opštem slučaju, kada je horizontalni modul reakcije tla proizvoljno promenljiva veličina po dubini, može se primeniti neka od približnih numeričkih metoda, kao npr. metoda konačnih razlika (MKR) ili metoda konačnih elemenata (MKE). Osim promenljivog modula reakcije tla po dubini, numeričke metode omogućavaju uvođenje nelinearne zavisnost između kontaktnog napona i pomeranja. Kod vertikalno opterećenog šipa, nelinearna zavisnost se uvodi preko tzv. t-z funkcije a kod horizontalno opterećenog šipa preko p-y funkcije. Nelinearnost ima prvenstveno velik uticaj na ponašanje horizontalno opterećenih šipova, jer se na maloj dubini, već pri vrlo niskim opterećenjima pojavljaju plastične deformacije tla usled iscrpljenja njegove nosivosti. Pomoću p-y funkcije, koje se određuju teorijski i eksperimentalno, mogu se aproksimirati deformacijske karakteristike tla kako pri statičkom tako i dinamičkom ili cikličkom opterećenju. To je vrlo korisno kod projektovanja šipova za objekte izložene povremenom ili cikličnom opterećenju, kao npr. dejstvu talasa, vetra, udarnom dejstvu leda i sl. (offshore platforme, pristaništa, vetrogeneratori). Pošto je jednostavnija za primenu, prikazaće se samo MKR. Na slici 10.1 je prikazana diskretizacija šipa za vertikalno i bočno opterećenje (horizontalnom silom i momentom), sa oznakama čvorova za primenu MKR.

a) -1 0

b)

Q c x

1

E pA

2

-2 -1 H 0

c)

c

M0 c

x

-2

c

-1 H 0

1

1

2

2

EpI

EpI

c

kt c n = L

Qs

n-1 n n+1

Qb c

L

n-1

n

c

n+1

c

n+2 z

Slika 10.1

c

kh n =

L

n-1

kb

z

c

kh n =

n

c

n+1

c

n+2 z

a) Vertikalno opterećen šip b) Bočno opterećen šip – slobodna glava, c) Bočno opterećen šip – Uklještena glava


x

116


10.1

VERTIKALNO OPTEREĆEN VERTIKALAN ŠIP

Ako se diferencijalna jednačina aksijalno opterećnog šipa (9.1) napiše u diferencnom obliku za proizvoljnu tačku i , dobija se sledeći izraz:

E p A

d 2 w dz 2

gde je:

 Sk t w  0

 Sc 2 k t      E p A wi  1 2 wi wi 1 wi  0 (10.1)   E A p  



S, E p A = obim i aksijalna krutost šipa 3 k t = smičući modul reakcije tla oko omotača šipa u MN/m

Granični uslovi za glavu i bazu šipa su određeni na osnovu ukupne sile Q koja deluje na glavi šipa (Slika 10.1a) i komponente ukupne sile Qb= Abk bw n koja deluje u bazi šipa ( Ab je površina baze šipa, a k b je modul reakcije tla ispod baze šipa). F  z    E p A

dw



dz

F i   E p A

 w1  w1

F 0

 Q   E p A



F n

 Qb  Ab k b wn   E p A

2c

w1

 wi1  wi1 2c

 w1 

2Qc E p A

wn1  wn1

(10.2)

(10.2a)

 wn1  wn1 

2c

2ck b Ab E p A

wn

(10.2b)

Diferencna jednačina za tačku i =0, nakon uvođenja graničnog uslova 10.2a, glasi:

  

E p A  2 w0

 2w1 

Sc 2 k t E p A

  

w0   2Q

Diferencna jednačina za tačku i =n, nakon uvođenja graničnog uslova 10.2b, glasi:

  

E p A 2 wn 1  2 wn

2



Sc k t E p A

 2 Ab  1   Sc

 wn   0 k t   k b 

Ako se diferencna jednačina (10.1) napiše za sve čvorne tačke i =0,1..n, grupisanjem koeficijenata uz nepoznata pomeranja, dobija se sledeća matrična jednačina:

  

E p A  D 

Sc 2 E p A



x k t w  P  

2    K p   E p A  D  Sc x k t , E p A  

,

 K w   P  p

1  A x   1 2 b  Sc

 0,...n  1   in  i

k b k t


(10.3)

117


U jednačini 10.7, dijagonalna matrica k h može imati proizvoljne vrednosti u zavisnosti od deformacijskih karakteristika tla koje se menjaju duž omotača šipa. Matrica diferencnog operatora i vektor opterećenja za vertikalno opterećen šip su:

 2 2   1 2  1     1 2 1   1 2 1     1 2 1    D    1 2 1 ,   1 2 1     1 2 1   1 2 1    1 2 1   2  2  

10.2

 2Q  0     0     0   0   P    0   0     0   0     0     0 

VERTIKALAN ŠIP OPTEREĆEN HORIZONTALNOM SILOM I M OMENTOM

Kod bočno opterećenih šipova, po pravilu se mogu javiti dva karakteristična slučaja, u zavisnosti od graničnih uslova (Slika 10.1b i 10 .1c). Ako je glava šipa slobodna, tada su granični uslovi po silama, odnosno transverzalna sila i moment savijanja na glavi šipa moraju biti jednaki horizontalnoj sili i momentu koji deluje na glavi šipa. Ako je obrtanje glave šipa sprečeno (uklještenje), tada su granični uslovi mešoviti, po silama i pomeranjima, odnosno transverzalna sila je jednaka horizontalnoj sili koja deluje na glavi šipa a obrtanje glave šipa je nula. Što se tiče baze šipa, na njoj su granični uslovi identični kao kod grede sa slobodnim krajevima, odnosno homogeni po silama. Diferencijalna jednačina šipa u Vinklerovoj sredini, koji je na glavi opterećen horizontalnom silom i momentom, glasi: E p I

gde je:

d 4 u dz 4

q E pI d k h u

 q( z ) ,

q( z )  d  k h ( z )  u

= kontaktni napon duž šipa u kN/m = krutost šipa na savijanje  na pravac pomeranja u = dimenzija šipa u pravcu  na pravac pomeranja u = horizontalni modul reakcije tla duž omotača šipa = horizontalno pomeranje šipa Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

(10.4)

118


Jednačina (10.4) je slična jednačini (3.1) grede na Vinklerovoj podlozi, s tom razlikom što je aktivno opterećenje p(z) duž ose šipa jednako nuli. U diferencnom obliku, za proizvoljnu tačku i jednačina glasi: u E p I i  2

 4ui 1  6 ui  4ui  1  ui  2 c4

 d  k h  ui  0

(10.5)

Diferencna jednačina se može napisati za sve tačke šipa i =0,..n stim što se fiktivna pomeranja u tačkama i = -2 i i = -1 moraju odrediti na osnovu graničnih uslova na glavi šipa. Glava šipa može biti slobodna – slobodno pomerljiva ili uklještena. Bez obzira na granične uslove na glavi šipa, granični uslovi u bazi su identični kao kod temeljnog nosača sa slobodnim krajevima, odnosno: M n T n

  E p I

  E p I

un1

 2un  un1

 0  un1  2u n  un1

c2

u n2  2u n1  2u n1  u n2 2c 3

 0  u n2  un2  2u n1  2u n1 u n 2

10.3

(10.6)

(10.7)

 4u n  4u n1  u n2

VERTIKALAN ŠIP – SLOBODNA GLAVA

Na slici 10.1b je prikazana diskretizacija šipa i opterećenje na glavi šipa koja je slobodno pomerljiva. Prema usvojenoj konvenciji, pozitivna horizontalna sila deluje u pravcu pozitivne ose x (na desnu stranu), dok pozitivan moment (spreg sila) deluje suprotno od smera obrtanja kazaljke na satu. Pozitivno pomeranje je u smeru + x a pozitivan nagib q elastične linije je u pravcu I-III kvadrant (mereno od ose z suprotno od smera kretanja kazaljke na satu). Moment savijanja i granični uslov na glavi šipa glasi: M ( z )   E p I

 E p I

u 1

2

d u dz 2

,

 2u 0  u 1 c

2

M (0)  M 0

 M 0 

u 1

 2u 0  u 1 

c 3 M 0 E p I c

Transverzalna sila i granični uslov na glavi šipa gl asi: T ( z )   E p I

d 3u dz 3

,

T (0)  H


(10.8)

119


 E p I

u 2

u 2

 u  2  2u  1  2u 1  u 2 2c

3

  H 

u 2

 2u 1  2u 1  u 2 

2c 3

H E p I

 c 3 M 0  2c 3   2 2u 0  u1   2u 1  u 2  H E p I c  E p I   4 u 0  4u 1  u 2 

 M 0   H  c  E p I   2c 3

(10.9)

Diferencna jednačine savijanja šipa (10.5) za čvorne tačke i =0 i i =1, nakon smene fiktivnih pomeranja u-1 i u-2 (prema izrazima 10.8 i 10.9)i sređivanja, glasi: i 0

i 1

E p I   2u0 3 c 

 4u1  2u 2 

dc 4 E p I

  

 

k h u0   2 H 

M 0  c

 

(10.10)

E p I  c3

4    2u 0  5u 1  4u 2  u 3  dc k h u 1   M 0   E p I   c

(10.11)

Diferencna jednačine savijanja šipa (10.5) za čvorne tačke i =n-1 i i =n, nakon smene fiktivnih pomeranja un+1 i un+2 (prema izrazima 10.6 i 10.7) i sređivanja, glasi: i  n1

E p I   un 3  4un 2 c 3 

in

E p I   2un2 c 3 

 5un1  2un 

 4un1  2un 

dc 4 E p I

dc 4 E p I

  

k h un1   0 (10.12)

  

k h un   0

(10.13)

Konstantni koeficijenti uz nepoznata horizontalna (bočna) pomeranja šipa, formiraju elemente matrice diferencnog operatora D, koja je identična matrici diferencnog operatora za temeljnu gredu na deformabilnoj podlozi. U matričnom obliku, jednačina savijanja šipa glasi: 4  E p I    D   dc k h u   P  3 E p I  c 

,

 

K p u   P 

 E p I  dc4   K p  3  D  k h  E p I  c 

 


(10.14)

120


Množitelj vektora pomeranja na levoj strani jednačine 10.14 je matrica krutosti šipa i tla K p a desna strana jednačine je vektor opterećenja P. U jednačini 10.14, dijagonalna matrica k h može imati proizvoljne vrednosti u zavisnosti od deformacijskih karakteristika tla koje se menjaju duž omotača šipa. Matrica diferencnog operatora i vektor opterećenja za poprečno opterećen šip sa slobodnom glavom, glase: 2  2 4  2 H  M 0 c   2 5  4   M c  1 0      1  4 6  4    1 0     1 4 6  4 1 0         1 4 6  4 1 0     1 4 6  4 1 0  ,  P         1 4 6  4 1 0      1 4 6  4 1   0      1 4 6  4 1 0       1 4 5  2 0       2 4 2 0 

10.4

VERTIKALAN ŠIP – UKLJEŠTENA GLAVA (SPREČENO OBRTANJE)

Na slici 10.1c je prikazana diskretizacija šipa i opterećenje na glavi šipa čije je obrtanje sprečeno (uklještenje). Prema usvojenoj konvenciji, pozitivna horizontalna sila deluje u pravcu pozitivne ose x (na desnu stranu), dok spoljni-aktivni moment M0 jednak nuli. Pozitivno pomeranje je u smeru + x a pozitivan nagib q elastične linije je u pravcu I-III kvadrant (mereno od ose z suprotno od smera kretanja kazaljke na satu). Nagib elastične linije i granični uslov na glavi šipa glasi: q ( z ) 

du dz

u1  u1 2c

,

q (0)  0

0



u1

 u1

Transverzalna sila i granični uslov na glavi šipa gl asi: T ( z )   E p I

3

d u dz 3

,

T (0)  H


(10.15)

121


 E p I u 2

 u 2  2u 1  2u1  u2



2c

3

  H  u 2  

2c 3

H  2u 1  2u1  u 2 E p I

2c 3

H  u 2 E p I

(10.16)

Diferencna jednačine savijanja šipa (10.5) za čvorne tačke i =0 i i =1, nakon smene fiktivnih pomeranja u-1 i u-2 (prema izrazima 10.15 i 10.16) i sređivanja, glasi: E p I   6 u0 c 3 

i0

 8u1  2u2 

dc 4 E p I

  

k hu0   2 H

E p I 

i1

c3

4    4u0  7 u1  4u 2  u3  dc k hu1   0   E p I  

(10.17)

(10.18)

Konstantni koeficijenti uz nepoznata horizontalna (bočna) pomeranja šipa, formiraju elemente matrice diferencnog operatora D.U matričnom obliku, jednačina savijanja šipa glasi:



 K p   E p3 I   D  dc c



4

E p I



k h 

(10.19)



Jednačina šipa sa uklještenom glavom je slična jednači 10.14 za šip sa slobodnom glavom. Razlika je u matrici diferencnog operatora D i vektoru opterećenja P. Matrica diferencnog operatora i vektor opterećenja za poprečno opterečen šip sa uklještenom glavom, glase:

 6  8 2  2 H   4 7  4  0  1      1  4 6  4  0  1     1 4 6  4 1   0    0  1 4 6  4 1      D    1 4 6  4 1 ,  P    0    0  1 4 6  4 1      1 4 6  4 1  0    0  1 4 6  4 1     0  1 4 5  2      0  2 4 2 


122


10.5


Čelični šip 610mm, dužine L=16.0m, pobijen je u rečno dno. Poprečni presek šipa je 2 4 3 A=188cm , moment inercije I=84680cm , otporni moment W =2778cm a dozvoljeni napon savijanja  s,dop=16kN/cm2. Rečno dno je srednje zbijen pesak ( nh=9.0 MN/m3). Dužina šipa u rečnom dnu je 10.0m. Horizontalna sila na glavi šipa iznosi T =100 kN. Koristeći MKR, za podelu šipa na n=10 delova, za varijantu da je glava šipa slobodna ili uklještena, odrediti: a) pomeranja po MKR i po Barber -u i presečne sile duž šipa po MKR, b) Maksimalni računski napon savijanja u šipu, c) Matricu krutosti šipa. Rešenje: a) Duž gornjeg dela šipa od 0.0-6.0m koji prolazi kroz vodu, elementi matrice krutosti k h su jednaki nuli. Na donjem delu šipa od D=6.0-16.0m, elementi matrice krutosti k h su određeni prema izrazu k h=nh(z/d ). Elementi transponovane matrice k hT u MN/m i opterećenja P u kN glase: 3

T [k h] =

0

0

0

0

5.9 1

29.53

53.15

PT =

200.00

0

0

0

0

0

0

76.77 100.39 124.02 147.64 0

0

0

0

Na osnovu jednačine (10.14), matrica krutosti za slobodnu glavu šipa K p glasi: 86.83 -173.66 86.83 -86.83 217.08 -173.66 43.42 43.42 -173.66 260.49 -173.66 43.42 43.42 -173.66 260.49 -173.66 43.42 43.42 -173.66 266.25 -173.66

[K p]=

43.42

43.42 -173.66 289.29 -173.66

43.42

43.42 -173.66 312.33 -173.66 43.42 43.42 -173.66 335.37 -173.66 43.42 43.42 -173.66 358.41 -173.66 43.42 43.42 -173.66 338.04 -86.83 86.83 -173.66 230.83

Na osnovu jednačine (10.19), matrica krutosti za uklještenu glavu šipa K p glasi: 260.49 -347.32 86.83 -173.66 303.91 -173.66 43.42 43.42 -173.66 260.49 -173.66 43.42 43.42 -173.66 260.49 -173.66 43.42 43.42 -173.66 266.25 -173.66

[K p]=

43.42

43.42 -173.66 289.29 -173.66 43.42 43.42 -173.66 312.33 -173.66 43.42 43.42 -173.66 335.37 -173.66 43.42 43.42 -173.66 315.00 -86.83 43.42 43.42 -173.66 338.04 -86.83 86.83 -173.66 230.83


123

PREDAVANJA I VEŽBE IZ PREDMETA FUNDIRANJE Pomeranje (10-3m) -50

0

50

Nagib (10-3 rad)

100

150

200

0.0

-25

-20

147.57

36.45

2.0

-5

0

5

-23.53

109.92

28.85

0.00

-22.81

2.0 74.58

-3.40

-20.65

4.0

-5.37

4.0 19.26

43.84

-17.05

6.0 9.99

8.0

3.32

-5.90

6.0

20.02

-12.01

5.40

0.25

10.0

8.0

-4.98

-6.36

-3.04

-0.35

-2.06

10.0 -0.45

-1.18

12.0

-1.18

-0.08

-0.18

0.33

0.11

0.23

0.11

12.0 -0.32

-0.60

-0.09

-0.13

0.05

0.13

14.0

16.0

14.0 MKR-SG

MKR-SG

MKR-UG

MKR-UG

0.09

0.16

16.0

Moment savijanja (kNm) -800 0.0

-600

-400

-200

0

200

Transverzalna sila (kN) 400

0.00

600 458.41

-160.00

2.0

-150 0.0

- 100

0

50

100

150

200

-100.00

2.0 -320.00

-50 -100.00

298.41

138.41

4.0

-100.00 4.0

-480.00

-21.59

6.0

-615.52

-71.24

-249.56

-341.99

-100.00 6.0

-181.59

-640.00

10.0

-10

0.0 39.75

8.0

-15

8.0

-42.35

5.37

93.13

-164.40

59.78

10.0 -97.30

-58.28

12.0

161.94

49.45

108.87

12.0 6.41

-6.16

15.34

5.75

0.00

0.00

14.0 MKR-SG MKR-UG 16.0

20.01 14.0

16.0

Slika 10.1

a) Pomeranja duž šipa {u} i {q }

35.20

1.93

-2.00

0.00

0.00

MKR-SG MKR-UG

b) Presečne sile duž šipa { M} i {T }


124


b) Maksimalni računski napon u šipu na savijanje Maksimalni moment savijanja u šipu sa slobodnom glavom iznosi oko M max=650kNm a sa uklještenom glavom oko M max=250kNm. Maksimalni napon na savijanje za šip sa slobodnom i uklještenom glavom iznosi: M max

 s ,max



 s ,max



W



M max

650  100 2778



W

 23.4 kN cm 2   s ,dop  16 .0 kN cm 2

250  100

 9.0 kN cm 2 

2778

 16 .0 kN cm 2

 s ,dop

Pomeranje i obrtanje šipa u nivou terena (rečnog dna) prema Barber -u: E p I  210.0  10 3  8.468  10 4

 L

t 0

nh

5



E p I

 L  5

2.4T nh

0.6



 E I 

0.4

p

9.0 177 .828

 10.0  5.506  4

1.6 T  e nh

t 0

 25.9  10 3 m

q 0



q 0

 13.6  10 3 rad

1.6 T

nh   E p I  0.4

 177 .828 MNm 2

0.6

0.4



 E I 

0.6



p

2.4  0.10 9

0.6

1.74T  e

nh   E p I  0. 2

0.8

177 .83



0.4



1.6  0.10  6 9 0.4 177 .83 0.6

1.6  0.10 0 .4

9 177 .83

0.6



1.74  0.10  6 9 0.6 177 .830.4

Na pomeranje i obrtanje šipa u nivou terena, treba dodati uticaje konzolnog dela šipa iznad rečnog dna, visine h=6.0m, usled sile T =0.1 MN, prema sledećem izrazu: t  t 0

q  q 0



 q 0 h  Th 2 2 E p I

Th 3 3 E p I

 25.9  10 3  13.6  10 3  6 

 13.6  10 3 

0.10  6 2 2  177 .828

0.10  6 3 3  177 .83

 23.7  10 3

 148.0  10  3

rad

Dobijene vrednosti su prosečno veće za oko 0.5% u odnosu na vrednosti po MKR.


m


125

c) Matrica krutosti šipa: Za proračun grupe šipova povezanih krutom naglavnicom, neophodno je odrediti matricu krutosti šipa K L u lokalnom koordinatnom sistemu. Za šip u h omogenom tlu sa konstatnim modulom reakcije k t i k h duž šipa, matrica krutosti se može odrediti direktno, prema izrazima 9.4, 9.5 i 9.6, dok se za šip sa proizvoljnom promenom modula reakcije duž šipa, matrica krutosti može odrediti preko matrice fleksibilnosti. Usled jedinične horizontalne sile T =1MN u nivou glave šipa, koja deluje u pozitivnom smeru ose x , horizontalno pomeranje i obrtanje glave šipa iznosi sT =1.4757 m/MN i q T = -0.2353 rad/MN. Usled jediničnog momenta M=1MNm u nivou glave šipa, koji deluje suprotno od smera obrtanja kazaljke na satu, horizontalno pomeranje i obrtanje glave šipa iznosi sM =-0.2353 m/MNm i q M = 0.0513 rad/MNm. Dobijena pomeranja i obrtanja, mogu se prikazati matricom fleksibilnosti F L

  F L     

F Qs

0

0

1.4757

0

 0.2353

0

  0.2353 0.0513

Matrica krutosti šipa pretstavlja inverznu matricu fleksibilnosti, i iznosi:

  K L    F L      1

1 F Qs

0

0

0

2.5170

11.5362 

0



11.5362 72.3529 

Pošto su vandijagonalni elementi u 1 redu i koloni matrice fleksibilnosti jednaki nuli, elementi matrice krutosti se mogu odrediti inverzijom submatrice, čiji se elementi nalaze u presecima 2 i 3 reda sa 2 i 3 kolonom, dok se element matrice krutosti K Qs može dobiti direktno kao recipročna vrednost elementa matrice F Qs.


126


11. PRIBLIŽNA ANALIZA INTERAKCIJE GRUPE ŠIPOVA Šipovi retko prenose opterećenje pojedinačno, već u grupi, u kojoj pojedini šipovi ili grupe mogu imati različite pravce, kako bi se bolje prilagodili rezultanti opterećenja. Da bi se obezbedio zajednički rad, glave šipova su međusobno povezane krutom armirano betonskom konstrukcijom koja se naziva naglavnica. Broj šipova u grupi može biti različit, od svega nekoliko šipova pa do više desetina. Kada je broj šipova u grupi mali, kao npr. ispod stuba, naglavnica se može smatrati apsolutno krutom. U slučaju većeg broja šipova ispod ploče velikog gabarita, debljina naglavnice je znatno manja od njene dužine ili širine, zbog čega se naglavnica mora računati kao s avitljiva. Ranije je pomenuto, da se metode proračuna grupe šipova mogu podeliti na metode koje analiziraju samo interakciju šipova kroz naglavnicu, i metode koje analiziraju interakciju šipova i kroz naglavnicu i kroz tlo. U ovom poglavlju će se za jednostavniji slučaj opterećenja, prikazati jedna približna metoda koja analizira interakciju šipova kroz naglavnicu i kroz tlo. Analiziraće se samo krute naglavnice koje povezuju manju grupu šipova, na relativno malom međusobnom rastojanju, opterećenih samo vertikalnim opterećenjem i opterećenih samo horizontalnim opterećenjem. Zbog malog rastojanja, postoji međusoban uticaj šipova na pomeranje cele grupe, koji se naziva efekat grupe. Zbog efekta grupe, sleganje grupe šipova je veće od sleganja pojedinačnog šipa pod prosečnim opterećenjem grupe. Efekat grupe se smanjuje sa povećanjem međusobnog rastojanja šipova. Međusobni uticaj grupe šipova na pomeranje, odnosno sleganje grupe šipova, ne može se sračunati na osnovu Vinkler ovog modela, jer se radi o sistemu nepovezanih elastičnih opruga, odnosno o sredini koja nema svojstvo kontinualnosti. Kroz takvu sredinu se ne može prenositi uticaj opterećenja koje deluje u jednoj tački na okolne tačke. Najednostavniji model koji ima kontinualnost je linearno elastična sredina (poluprostor, polubeskonačna masa), ali je relativno složena i obimna u primeni na grupu šipova. Šipove u linearno elastičnoj sredini, d etaljno je obradio Poulos (1980). Znatno jednostavnije, približno rešenje problema interakcije, može se dobiti preko uticajnih funkcija sleganja između šipova, zasnovanih na modelu deformacije sloja tankih cilindričnih diskova oko šipa (Randolph, 1978). Posebno se moraju odrediti uticajne funkcije za grupu šipova pod vertikalnim opterećenjem a posebno za grupu šipova pod horizontalnim opterećenjem. U narednom poglavlju će se analizirati samo jednostavni problemi, u kojem su šipovi vertikalni, zglobno vezani sa naglavnicom, a opterećenje naglavnice je vertikalno i centrično ili vertikalno i ekscentrično.


127


11.1

INTERAKCIJA IZMEĐU VERTIKALNO OPTEREĆENIH ŠIPOVA

Uproščeno rešenje interakcije sleganja za vertikalno opterećene šipove, prikazali su Randolph  Wroth (1978), polazeći od idealizovane promene smičućeg napona u radijalnom pravcu, u tankom kružnom disku oko šipa. Prikazaće se rešenje koje se odnosi na sleganje pojedinačnog šipa i r ešenje za uticajnu funkciju sleganja susednog (pasivnog) šipa usled opterećenja aktivnog šipa. Q šip

ws

w

w(r)

w  = ws

t(r)

d

g(r)

r

Slika 11.1

dr

akt iv ni šip

pas iv ni š ip

s r m

a) Smičuća deformacija tankog kružnog diska oko omotača šipa

b) Interakcija sleganja između dva vertikalno opterećena šipa

Poznato je, da se naponi u elastičnoj sredini smanjuju obrnuto srazmerno nekom stepenu rastojanja. Autori su pretpostavili da se smičući napon t oko šipa, smanjuje obrnuto srazmerno rastojanju r od šipa (slika 11.1a). Na određenom rastojanju r m od šipa (radijus dejstva), smičući naponi postaju zanemarljivo mali. Sleganje w r i smičući napon t r na odstojanju r od šipa, prema slici 11.1 , iznose: dwr dr

 g 

t r G s

,

d 2

t r  t

r

wr 

,



r m

dw 

r



r m

t d dr 2G s r

r



t d 2G s

 r m   (11.1)  r 

ln

Kod lebdećih šipova, sleganje w aktivnog, sleganje w s pasivnog šipa na osovinskom rastojanju s, i logaritamsko prigušenje  glasi: w

t d 2G s

 r m  ,  d 2 

ln

w s



t d 2G s

 r m  ,  s 

ln

 

w s w



lnr m s  ln2r m d 

(11.2)

Imajući u vidu gornje jednačine, smičući modul reakcije k t po Vinkleru, koji povezuje lokalni smičući napon duž šipa koji se prenosi na tlo i lokalno sleganje, glasi: k t



t w



2 G s  d 

 d

G s d 

,



 2r   ln m ,  d 

G s



E s 21   s 


(11.3)

128


Veličina d je tipično 1.5 za lebdeći šip, međutim raste za udelom nosivosti baze, u funkciji vitkosti L/d i relativne krutosti šipa E p/E s (Mylonakis, 2001), prema izrazu: d  k t

d  G s

 E   1.3 s   E p 

0.025

  L  0.6   1  7        d  

Rezultujuća krutost glave šipa K Qs koja je identična jednačini (9.4), može se prikazati u nešto drugačijem obliku, koristeći transf er funkciju W (Mylonakis  Gazetas, 1998): K Qs



l t E p A f

,

f 

1  W tanh l t L 

W  tanh l t L 

W

,

k b Ab

(11.4)

l t E p A

Za grupu šipova, krutost svakog šipa se redukuje zbog efekta interakcije, definisanog faktorom interakcije  (Poulos-u, 1968), koji obuhvata logaritamsko prigušenje sleganja i efekat ojačanja tla susednim šipovima. Za šipove istog prečnika i dužine, na rastojanju s, faktor interakcije  je proizvod logaritamskog prigušenja  i faktora difrakcije x (Mylonakis  Gazetas, 1998), prema sledećem:     x  x 

lnr m s  ln2r m d 

x ,

2l t L  sinh 2 l t L   W 2 sinh 2l t L   2l t L   2Wcosh 2l t L   1



2 sinh 2 l t L  1  W 2

  4W cosh 2l L  t

1.0

W=0 0.9

0.05

0.8

0.1

0.7

0.6

e j i c k a r f i d r o t k a F

0.5

0.2

0.4

Stojeći šip, kb>>1

0.3

0.2

1

0.1

100

0.0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Parametar l t L

Slika 11.1

Faktor difrakcije šipa x


2.5

(11.5)

129


Za dugačke (vitke ili kompresibilne) šipove, faktor x konvergira ka 0.5, za stojeće šipove je ispod 0.5, dok je za većinu lebdećih šipova između 0.5 i 1. Sličan izraz se može napisati i za šipove iste dužine ali različitog prečnika. Za opšti slučaj, kada se krutost tla proizvoljno menja po dubini, faktor interakcije  se može odrediti samo numerički. Radijus dejstva r m u jednačini za uticajni koeficijent  , zavisi od ( Randolph i Wroth, 1978) prečnika šipa, Poissonovog koeficijenta tla i faktora nehomogenosti  , prema sledećem izrazu: r m

 2.5  L1   s ,

  G s  L 2  G s  L 

U gornjoj jednačini, Gs(L/2) i Gs(L) je modul klizanja tla oko omotača šipa, na polovini dužine i u nivou baze šipa, uz pretpostavku linearne promene modula po dubini. Za šipove uobičajenih dimenzija, u relativno homognom tlu, može se usvojiti da je radijus dejstva ( R.F. Scott , 1981) približno r m25d , pri čemu je faktor interakcije:  ii

1,

i  j

  ij 

ln r m s ij ln2 r m d 



x   1 







ln 2 sij d  x ln50  

(11.6)

Osim gornjeg izraza, u praksi se često koristi faktor interakcije prema jednačini koju su predložili Mandolini i Viggiani (1977), u jednom od sledeća dva oblika:  ii

1,

i

 j   ij  A sij d  B ,  ij  C  D ln  sij d 

Za tipične uslove, koeficijenti u prvoj jednačini su između A=0.57 i 0.98, B=-0.6 i -1.2, dok su koeficijenti u drugoj jednačini C =1.0 i D=-026. Pretpostavlja se takođe, da je za rastojanja veća od r m , faktor interakcije nula. Za konkretnu lokaciju, koeficijenti A, B, C i D, mogu se pouzdano odrediti terenskim ispitivanjima i probnim opterećenjem. Faktori interakcije za grupu šipova, mogu se pregledno prikazati u matričnom obliku preko matrice faktora interakcije , nakon čega se ceo postupak proračuna sila i pomeranja šipova može izvršiti matrično. Ulazni podaci za matricu faktora interakcije su međusobna rastojanja šipova sij koja se mogu odrediti na osnovu koordinata šipova x, y. Koordinatni sistem se po pravilu postavlja u težište naglavnice, kako bi se mogla iskoristiti simetrija naglavnice i pojednostaviti proračun. sii

 d 2 ,

i

 j 

sij



 x

i

 x j 2   y i  y j 2


(11.7)

130


Sleganje šipa i u grupi od n šipova iste krutosti K Qs koji su opterećeni vertikalnim silama Q1 ,..., Qn, može se napisati u sledećem obliku: n

wi

  w jj  ij  j 1

1

n

 Q 

K Qs j 1

j

ij

(11.8)

Sleganje grupe aksijalno opterećenih šipova u matričnom obliku glasi:

w 

1 K Qs

   Q  F Qs    Q

(11.9)

Jednačina (11.9) povezuje sleganje glave šipa i aksijalnu silu na glavi šipa, pri čemu je broj nepoznatih dvostruko veći od broja jednačina. Problem je statički n eodređen. Za Proračun su osim jednačina ravnoteže, potrebni i uslovi kompatibilnosti pomeranja glave šipa i idealno krute naglavnice. U narednom poglavlju će se prikazati primeri rešavanja jednostavnijih slučajeve opterećenja. 11.2

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA VERTIKALNOM SILOM

U n uslovnih jednačina (11.9), nepoznato je n sleganja i n sila na glavi aksijalno opterećenih šipova. Za rešenje problema, pored jednačina ravnoteže, potrebno je uvesti i dopunske uslovne jednačine. Kada se radi o grupi šipova zglobno povezanih krutom naglavnicom, dopunske jednačine se određuju na osnovu kompatibilnosti pomeranja naglavnice i glave šipa, odnosno iz geometrijskog položaja šipova. Sile i pomeranja šipova se mogu jednostavno odrediti za dva uprošćena slučaja: 1) Poznata je sila u svakom šipu, pri čemu se pomeranje svakog šipa može odrediti direktno na osnovu jednačine (11.9). U ovom slučaju se pojavljuje diferencijalno sleganje između šipova. 2) Naglavnica koja povezuje šipove je apsolutno kruta i nema rotaciju. U ovom slučaju je sleganje svih šipova jednako, a različite sile u šipovima se mogu odrediti direktno na osnovu jednačine (11.9), za dato pomeranje naglavnice. Za slučaj 2), usvajajući da su šipovi istog prečnika, dužine i relativne krutosti, sleganje grupe šipova i sile u šipovima se može odrediti na dva načina. Prvi, opštiji postupak, vrši se preko matričnog računa. U tom smislu, prvo se mora odrediti sleganje šipa w(Q sr ) usled prosečnog opterećenja šipova u grupi Q sr a zatim faktor sleganja grupe šipova R s prema sledećem: wQ sr  

Q sr K Qs



1

Q  1

n K Qs

V

n K Qs


(11.10)

131


gde je:

Q sr = prosečno opterećenje grupe šipova w(Q sr ) = sleganje šipa usled prosečnog opterećenja grupe š ipova V = ukupno vertikalno opterećenje grupe šipova n = ukupan broj šipova u grupi

Pošto su šipovi iste krutosti, a sleganje šipova je jednako sleganju naglavnice w g , na osnovu jednačine (11.9) se može izvesti sledeće: w g  I     F Qs  I Q  F Qs  Q

Q  w g K Qs  1  I 



 I T Q  w g K Qs  I T  1  I  ,      1 

 Q  w K   g

Qs

ij

i

w g 

Q K Qs

1

 



ij

i

Q sr K Qs

j

n



 

w g  wQ sr 

ij

i

j

n

(11.11)

 

ij

j

i

j

Faktor sleganja grupe šipova Rs je definisan kao odnos sleganje w g grupe šipova prema sleganju šipa usled prosečnog opterećenja grupe w(Q sr ), ili matematički: R s



w g wQ sr 



1 wQ sr 

wQ sr 

n

 



R s



ij

i

n

 

(11.12)

ij

j

i

j

Nakon što se odredi faktor sleganja grupe, sleganje naglavnice i sile u šipovima se mogu odrediti na sledeći način: w g  R s

Q sr K Qs

 R s

V n K Qs

,

Q  w g K Qs  1  I  

R sV n

 1  I 

(11.13)

Krutost šipa K Qs,i usled uticaja–interakcije svih susednih šipova u grupi j=1,..,n, može se odrediti na sledeći način:

 K Qs   w1

g

Q  K Qs  1  I 



n

K Qs,i

 K Qs   ij

(11.14)

j 1

Drugi način je pogodan za ručni proračun, za malu grupu simetrično raspoređenih šipova koji su opterećeni vertikalnom i centričnom silom, zbog čega je broj jednačina mali, uglavnom 2 do 3. Koristeći uslove simetrije, prvo se rednim brojevima označe podgrupe simetričnih šipova u kojima su iste sile. Zatim se ispišu jednačine sleganja (11.8) za svaku podgrupu. Pošto je sleganje svih šipova isto, zajedno sa jednačinom ravnoteže sila u vertikalnom pravcu, mogu se izvesti jednačine po nepoznatim silama za svaku podgrupu. Nakon što se odrede sile u šipovima, može se odrediti i sleganje grupe šipova odnosno naglavnice. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

132

11.3



Data je armirano betonska, kruta naglavnica, prema slici, koja prenosi vertikalno i centrično opterećenje na grupu od 6 šipova. Potrebno je odrediti faktor sleganja grupe šipova R s, sleganje pojedinačnog šipa usled prosečne sile u šipovima w (Qsr ), sleganje naglavnice w g , i sile u šipovima Q. Proračun izvršiti a) matrično pomoću programa EXCEL i b) uprošćeno koristeći 2-osnu simetriju osnove šipova. Izračunati i prikazati grafički faktor grupe šipova Rs u funkciji relativnog rastojanja s/d =0.5, 1, 2, 3, 5 i 10, faktora difrakcije šipa x=0.65 i 0.30, i dati komentar. Potrebni podaci za proračun, dati su na priloženom crtežu.

I

II

4

5 7 . 0

I

3

2 X

I

II

5

V=5.4 MN L/d=20

0 5 . 1

d=0.50m

I

6

KQs=150 MN/m

1 5 7 . 0

x=0.65

Y

0.75

1.50

Slika 11.2

1.50

0.75

Grupa šipova zglobno povezana krutom naglavnicom

Rešenje: a) Za matrični proračun grupe od n šipova, prvo treba odrediti matricu rastojanja s pomoću kordinata šipova  x ,y , a zatim matricu faktora interakcije  . Prema slici 11.2, koordinate glava šipova  x  i y  i matrica rastojanja šipova s su :

 1.5  1.5    0   x   ,  1.5  1.5    0

 0.75  0.75    0.75   y   ,  0.75  0.75    0.75

0.250     s      

1.500

2.121 3.354

3.000

1.500

0.250

1.500

3.000

3.354

2.121

0.250

1.500

2.121

0.250

1.500 0.250

   1.500  2.121 1.500  0.250 

Matrica rastojanja šipova s i matrica faktora interakcije   su simetrične matrice. Za faktor difrakcije šipa x =0.65 i r m=25d , elementi matrice   glase: Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

133


1.000           

0.295

1.000

0..352 0.237 0.219 1.000

0.219

0.237 0.352 

0.352

0.625

0.295

1.000

0.352 1.000

  0.352   0.295  0.352   1.000  0.295

Inverzna matrica faktora interakcije  -1 je simetrična, sa sledećim članovima:

1.268  0.289  0.133  0.052  1.268  0.269  0.085   1.268  0.269      1   1.268    

 0.085  0.052  0.133  0.289 1.268

 0.269   0.133  0.222   0.133  0.269   1.268 

Faktor sleganja grupe šipova Rs i sleganje šipa usled prosečne sile u šipovima iznose: R s



n



 ij

i



6 2.394

 2.506

wQ sr  

V n K Qs



5.4 6 150.0

 6 .0  10 3 m

j

Sleganje grupe šipova w g i sile u šipovima Q u MN iznose: w g  R s wQ sr   2.506  6 .0  10 3

Q  R sV n  1  I 

 15.04  10 3 m,

1.268  0.289  0.133  0.052  1.268  0.269  0.085  1.268  0.269 2.506  5.4  Q   1.268 6    

 0.085  0.052  0.133  0.289 1.268

 0.269  1 0.989   0.133 1 0.989   0.222 1  0.721       0.133 1 0.989   0.269  1 0.989      1.268   1  0.721

Kontrola uslova ravnoteže sila u vertikalnom pravcu:

 Q  4  0.989  2  0.721  5.400 MN  V i

i

b) Za ručni proračun, mogu se izdvojiti dve podgrupe šipova u kojima su iste sila (na crtežu su podgrupe označene sa I i II). Sleganje obe podgrupe je isto. Iz podgrupe I, bira se, npr. šip 1, čije je sleganje w 1 a u podgrupi II, šip 3, čije je sleganje w 3. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

134


w1

 w3

Q I  11   12

w1

 Q I K Qs  11   12   14   15   Q II K Qs  13   16 

w3

 Q I K Qs  31   32   34   35   Q II

K Qs  33

  36 

  14   15   31   32   34   35   Q II  13   16   33   36   0

Nakon smene faktora interakcije , dobija se uslovna jednačina : 0.514Q I  0.705Q II  0

Na osnovu uslova ravnoteže sila u vertikalnom pravcu, dobija se: 4Q I  2Q II

 V 

4Q I  2Q II

 5.40

Q I  0.989 MN , Q II

Rešenje jednačine:

 0.721 MN

Rezultati proračuna faktora sleganja grupe šipova Rs u funkciji relativnog rastojanja šipova s/d i faktora difrakcije x , prikazani su na donjoj slici. 4

3.98 s R a v o p i š e 3 p u r g a j n a g e l s r o t 2 k a F

Faktor difrakcije = 0.65 Faktor difrakcije = 0.30

3.41 Rs = -0.826 ln(s/d) + 3.413 R² = 1

2.84 2.51

2.39

2.08

2.12 1.85 1.70

1.51

1.50

1.24

Rs = -0.383 ln(s/d) + 2.120 R² = 1 1 0

2

4

6

8

10

Relativno rastojanje šipova (s/d)

Slika 11.3

Faktor sleganja grupe u funkciji relativnog rastojanja i faktora difrakcije šipova

Sa povećanjem rastojanja, opada međusobni uticaj šipova i faktor sleganja grupe. Za s/d 25, faktor sleganja grupe je Rs=1 a sile u šipovima su iste i iznose 5.4/6=0.9MN. Manji faktor difrakcije šipa x , znači veći udeo nosivosti baze a manji omotača. Faktor difrakcije x =0.65, odgovara šipu koji pretežno nosi omotačem, a x =0.30 šipu koji pretežno nosi bazom. Faktor sleganja grupe šipova, veći je kod lebdećih nego stojećih šipova (slika 11.1). Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA


11.4

135

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA VERTIKALNOM SILOM I MOMENTOM

Kod grupe vertikalnih šipova, koja je zglobno povezana krutom naglavnicom, koja je opterećena vertikalnom silom i momentom postoji samo vertikalno pomeranje glave šipova. Za malu grupu šipova, naglavnica se može smatrati idealno krutom, i može se postaviti kinematička veza između pomeranja naglavnice i sleganja glave šipova. Problem je definisan sa n jednačina (11.9), n veza između pomeranja naglavnice i pomeranja šipova, i 3 uslova ravnoteže, ili ukupno 2 n+3 jednačina. Kao nepoznate, pojavljuju se 3 komponete pomeranja naglavnice i 2n sleganja i sila na glavi šipova. Za šipove iste aksijalne krutosti K Qs, jednačina (11.9) glasi:

w  1 K s  Q

Q  K Qs  1 w



(11.15)

Veza između sleganja w glave vertikalnih šipova sa koordinatama  x i  y, usled sleganja w g i obrtanja q x i q y krute naglavnice, glasi:

w  w g  I   q x  y  q y  x 

(11.16)

Smenom jednačine (11.15) u jednačinu (11.16), dobija se:

Q  K Qs  1 w g  I   q x  y  q y  x

(11.17)

ili kondenzovano, u matričnom obliku:

Q  K Qs  1  I ,  y ,  xU  Vektor pomeranja težišta naglavnice U  i matrica subvektora  I , y,- x glase:

1 1  I  ,  y  ,  x    .  1

w g  U   q x  q   y 

y1 y 2 . y n

 x1   x 2  .    x n 

Nepoznata pomeranja naglavnice se mogu odrediti iz jednačina ravnoteže:

 Z  0

 I T Q  V  0

(11.18)

 M x  0 

 y T Q  M x  0

(11.19)

 M

 xT Q  M y  0

(11.20)

y



0 


136


Smenom jednačine (11.17) u jednačine ravnoteže, dobijaju se tri uslovne jednačine po nepoznatim pomeranjima naglavnice. Uslov ravnoteže sila u vertikalnom pravcu: T

1

w g  I   q x  y q y  x  V  0

1

 I w g  K Qs  I T  1  yq x  K Qs  I T  1  xq y  V

K Qs  I    K Qs  I    T

     K Qs   ij  w g   K Qs    ij y j q x     i j i j    

(11.21)

    K Qs   ij x j q y  V   i j  

ili u matričnom obliku: 1

T

K Qs  I   

 I ,  y ,  xU   V

Uslov ravnoteže momenata sila oko x-ose: T

1

w g  I   q x  y q y  x  M x  0

T

1

 I w g  K Qs  yT  1  yq x  K Qs  yT  1  xq y  M x

K Qs  y   K Qs  y  

     K Qs  y i   ij  w g   K Qs  y i   ij y j q x     i j i j    

(11.22)

    K Qs  y i   ij x j q y  M x i j  


K Qs  y   T

 I ,  y ,  xU   M x

Uslov ravnoteže momenata sila oko y-ose: T

1

w g  I   q x  y q y  x  M y  0

1

 I w g  K Qs  xT  1  yq x  K Qs  xT  1  xq y  M y (11.23)

K Qs  x   K Qs  x   T

      K Qs  xi   ij  w g   K Qs  xi   ij y j q x i j i j    

    K Qs  xi   ij x j q y  M y i j  


137



T

K Qs  x  

 I ,  y ,  xU   M y

Jednačine ravnoteže (11.21–11.23), mogu se pregledno prikazati pomoću sledećeg izraza:

   ij  y j  ij    ij x j   i j i j i j        w g   V  y y y y x        q x    M x  (11.24)       i ij i ij j i ij j K Qs j i j i j  i        q y   M y   x   x  y  i  ij j  xi   ij x j    i  ij j i j i j  i  ili u matričnom obliku: T

1

K Qs  I ,  y ,  x  

 I ,  y ,  xU    P 

(11.25)

Vektor opterećenja naglavnice  P  i matrica subvektora  I , y,- xT glase:

 V   P    M x   M   y 

1  1   I  ,  y ,  x    y1 y 2  x1  x 2 T

,

  y n   x n 

.

1

. .

Ako su aksijalne krutosti šipova međusobno različiti, jednačina (11.25) glasi:

 I ,  y,  xT  K Qs  1  I ,  y ,  xU    P 

(11.26)

gde je  K Qs dijagonalna matrica aksijalne krutosti šipa. Elementi matrice uslovnih jednačina i rešenje jednačina, može se vrlo jednostavno odrediti pomoću programa Excell. Ako su šipovi simetrični u odnosu na osu x i y, koje prolaze kroz težište naglavnice i napadne tačke vertikalne sile, vandijagonalni članovi matrice u jednačini (11.24) i (11.25) su jednaki nuli, pa se pomeranje naglavnice može odrediti direktno : w g



V 1

K Qs  I    T

 I 

,

q x



M x 1

K Qs  y   T

,

 y

q y




M y 1

K Qs  x   T

 x

138

11.5



Data je armirano betonska, kruta naglavnica, prema slici, koja prenosi vertikalno i ekscentrično opterećenje na grupu od 6 šipova. Faktor difrakcije šipa iznosi x=0.65, a efektivni radijus dejstva r m =25d . Potrebno je odrediti faktor sleganja grupe šipova Rs, pomeranje krute naglavnice w g , q y i q x , sleganje glava šipova w i sile na glavama šipova Q. Proračun izvršiti a) matrično pomoću programa EXCEL, sa i bez uticaja interakcije šipova. Potrebni podaci za proračun su dati na priloženom crtežu.

I

II

4

5 7 . 0

I

3

X I

II

5

V= 5.4 MN Mx= 1.0 MNm My= 3.0 MNm

2 0 5 . 1

L/d=20

I

6

d=0.50m

1 5 7 . 0

KQs=150 MN/m x=0.65

Y 0.75

1.50

Slika 11.4

1.50

0.75

Grupa šipova zglobno povezana k rutom naglavnicom

Rešenje: Za matrični proračun grupe od n šipova, prvo treba odrediti matricu rastojanja s pomoću kordinata šipova  x ,y , a zatim matricu fa ktora interakcije  . Prema slici 11.4, koordinate glava šipova  x  i y  i matrica rastojanja šipova s su :

 1.5  1.5    0   x    ,  1.5  1.5    0 

 0.75  0.75    0.75  y    ,  0.75  0.75    0.75

0.250     s      

1.500

2.121 3.354

3.000

1.500 

0.250

1.500

3.000

3.354

2.121

0.250

1.500

2.121

0.250

1.500 0.250

  1.500    2.121 1.500    0.250 

Pošto su koordinate glava šipova, faktor difrakcije i efektivni radijus identični kao u brojnom primeru-1, elemente inverzne matrice  -1 ne treba ponovo računati. Prof dr Petar SANTRAČ, G rađevinski Fakultet SUBOTICA

139


Međurezultati proračuna:

1 0.75  1.50 1  0.75  1.50   1  0.75 0  I  , y , x    1. 5  1 0.75 1 0.75 1. 5    0  1 0.75 156 .245  250.952  65.804  65.804  156 .245  250.952     47 . 956 145 . 907 0   1  I  , y  ,  x    K Qs   250.952  65.804  156 .245  65.804 156 .245 250.952   0  47 .956 145.907

359.126  K Qs  I  , y  ,  x    I  ,  y  ,  x   0   0 T

1

0 687 .597 0

0

  1505.712  0

Uslovne jednačine po nepoznatim komponentama pomeranja naglavnice i rešenje:

359.126  0   0

0   w g 

5.4       0  q x   1.0      1505.712    q y  3.0 

0 687 .597 0

w g  15.04  m     q x    1.4510 3 rad  q   1.99  y    

Sleganje glave šipova, aksijalne sile na glavi šipova i povratno određena ekvivalentna aksijalna krutost šipova iznosi:

13.14  10.96    13.95 3  w     10 m , 16 .93 19.12   16 .13

0.717  0.262   0.509   Q    MN , 1.262 1.717    0.933

0.36  0.16    0.24    K Qs   150.0 0.50  MN m   0.60    0.39 

Zbog dvoosne simetrije šipova, pomeranje naglavnice se može odrediti direktno: w g



V K Qs

 i

 ij



5 .4 150 .0  2 .394

 15 .04  10 3 m

j


140


q x



q y



M x 1

K Qs  y   T

 y

M y 1

K Qs  x   T

 x

1. 0



150 .0  4 .584



3 .0 150 .010 .038

 1.45  10  3 rad

 1.99  10  3

rad

Faktor sleganja grupe šipova, izraženo kao sleganje naglavnice sa i bez interakcije šipova, identično je kao kod grupe šipova opterećenih samo vertikalnom silom, odnosno: R s



w g wQ sr 



15.04 6 .0

 2.506 ,

wQ sr  

V n K Qs



5.4 6 150.0

 6 .0  10 3 m

Ako se zanemari međusobni uticaj - interakcija između šipova ( x =0), matrica faktora interakcije se svodi na jediničnu matricu, odnosno  =I. Uslovna jednačina i rešenje za taj slučaj glasi:

900.00  0   0

0  w g 

w g  6 .00  5.4  m          0  q x   1.0    q x   1.98 10 3  rad  3.0   q  2.22 1350.00   q y y        

0 506 .25 0

Faktor sleganja grupe šipova, izraženo kao sleganje naglavnice sa i bez interakcije šipova, mora biti Rs =1, odnosno: R s



w g wQ sr 



6 .0 6 .0

 1.0 ,

wQ sr  

V n K Qs



5.4 6 150.0

 6 .0  10 3 m

Sleganje glave šipova w, aksijalne sile na glavi šipova Q i aksijalna krutost šipova  K Qs, bez uticaja interakcije iznosi:

 4.15  1.18     4.52 3  w     10 m ,  7 .82 10.81    7 .48 

0.622  0.178    0.678   Q   MN , 1.178  1.622    1.122 

1.00  1.00    1.00    K Qs   150 .01.00  MN m   1.00    1.00 

Obrtanja naglavnice q x i q y, uzimajući u obzir interakciju šipova, neznatno je manje od obrtanja naglavnice bez interakcije šipova. Odnos je 0.73 za osu- x i 0.87 za osu- y.



11.6

141

GRUPA ŠIPOVA OPTEREĆENA HORIZONTALNOM SILOM

Pretpostavlja se mala grupa šipova koja je zglobno povezana sa idealno krutom naglavnicom. u, U jednačini (11.9), kao nepoznate se pojavljuje n sleganja glave šipa i n sila na glavi šipa, što znači da u n uslovnih jednačina postoji 2 n nepoznatih. Za rešenje problema, pored jednačina ravnoteže, potrebno je uvesti i dopunske uslovne jednačine. Kada se radi o maloj grupi šipova zglobno vezanih krutom naglavnicom, dopunske jednačine se mogu postaviti na osnovu kinematičkih uslova koje diktira pomeranje naglavnice ( w , u, q ) i raspored šipova. Sile i pomeranja šipova se mogu jednostavno odrediti za dva uprošćena slučaja: Davisson (1970) smatra da osovinsko rastojanje šipova u pravcu dejstva horizontalne sile ima najvažniji uticaj na rezultujuće horizontalno pomeranje grupe. Za osovinsko rastojanje šipova 8d (d =prečnik šipa), uticaj grupe je zanemarljiv uz uslov da je osovinsko rastojanje šipova upravno na pravac dejstva sile 3d . Kada je osovinsko rastojanje manje od 8 d , efektivna vrednost modula reakcije k eff je manja od modula reakcije k h izolovanog šipa. Na osnovu modelskih ispitivanja na grupi šipova na osovinskom rastojanju od 3 d , Prakash (1962) je utvrdio smanjenje horizontalnog modula reakcije do k eff 0.25k h. Grubo se može usvojiti, da je za malu grupu šipova na normalnom rastojanju od 3 d , smanjenje horizontalnog modula reakcije k eff /k h  ½ za dva šipa, 1 / 3 za 3-4 šipa i ¼ za 5 i više šipova. Naizmenično opterećenje i rasterećenje (uticaj vetra, talasa i sl.) može značajno smanjiti vrednost horizontalnog modula reakcije. Za 50 i više ciklusa, horizontalni modul reakcije je približno 30% od početne vrednosti za inicijalno opterećenje. Usled kombinovanog dejstva grupe šipova i ponovljenog opterećenja, vrednost horizontalnog modula reakcije tla može biti ispod 10% od inicijalne vrednosti za izolovan šip. Detaljan opis uticaja cikličnog opterećenja na horizontalni modul reakcije tla dao je Reese (1975) uvodeći nelinearnu funkciju između pomeranja y i otpora tla p ( p-y  koncept). Efekti konsolidacije i puzanja tla oko horizontalno opterećenog šipa, rezultuju povećanjem početnih horizontalnih pomeranja u vremenu, što znači smanjenje horizontalnog modula reakcije tla. U nedostatku drugih podataka, orijentaciono se može usvojiti da je efektivni modul reakcije tla k eff /k h  ½ do ¼ za srednje do jako prekonsolidovane (tvrde do čvrste) gline, oko 1 / 3 do 1 / 6 za meke do vrlo meke gline, dok se za peskove može zadržati odnos 1.


Skripta ELAST PODLOGA

Recommend Documents