Siti Ambarwati (16205071).docx

Tugas 3 (Siti Ambarwati/ 16205071) " 9

TUGAS INDIVIDU

"FUNGSI PEMBANGKIT (GENERATING FUNCTION): FUNGSI PEMBANGKIT EKSPONEN DAN FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK PERMUTASI"

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Perkuliahan
MATEMATIKA DISKRIT

Dosen Pengampu Mata Kuliah: Dr. Armiati, M.Pd

Nama : Siti Ambarwati
NIM : 16205071
Semeser : 2
Kelas : C

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCA SARJANA
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2017

SOAL LATIHAN-2
Nama : Siti AmbarwatiNIM : 16205071Tugas 3Buku : Matematika Diskrit – Prof I Ketut Budayasa, Ph.DHalaman : 70 s/d 76
Nama : Siti Ambarwati
NIM : 16205071
Tugas 3
Buku : Matematika Diskrit – Prof I Ketut Budayasa, Ph.D
Halaman : 70 s/d 76

Tulis Fungsi Pembangkit Eksponensial dari barisan berikut!
(3, 3, 3, 3, ...)
(0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)
(3, 1, 3, 1, 3, 1, ...)
an=3n
Penyelesaian:
Diket : an=3, 3, 3, 3, …
Ditanya : Px= ..... ?
Dijawab : Px=n=0 anxnn!=3+3x+3x23!+3x33!+…
=31+x+x22!+x33!+…
=3ex

Diket : an=0, 1, 0, 1, 0, 1, …
Dijawab : Px=n=0 anxnn!=0+1 x+0 x22!+1 x33!+0 x44!+1 x55!+…
=x+x33!+x55!+
=1+x+x22!+x33!+x44!+x55!+…-1+x22!+x44!+… =ex-ex+e-x2
=2ex-ex+e-x2

Diket : an=3, 1, 3, 1, 3, 1, …
Dijawab : Px=n=0 anxnn!=3+1 x+3 x22!+1 x33!+…
=3+x+3 x22!+x33!+
=3+3x22!+3x44!+…+x+x33!+x55!+…
=31+x22!+x44!+…+x+x33!+x55!+…
=3ex+e-x2+ex-e-x2
=3ex+3e-x+ex-e-x2
=4ex+2e-x2
=2ex+e-x

Diket : an=3n
Dijawab : Px=n=0 anxnn!=n=0 3n xnn!
untuk n=0 a0=30=1
n=1 a1=3
n=2 a2=32
n=3 a3=33
sehingga diperoleh:
Px=n=0 anxnn!=1+3x+32x22!+33x22!+…
=n=0 3n xnn!
=e3x

Carilah nilai an, jika P(x) merupakan Fungsi Pembangkit Eksponensial barisan (an).
Px=5+5x+5x2+5x3+…
Px=ex+e4x
Px=11-4x
Px=1+x2k

Penyelesaian:
Diket : Px=5+5x+5x2+5x3+…
Ditanya : an= ..... ?
Dijawab :
Berdasarkan Definisi Fungsi Pembangkit Biasa
Px=n=0 axn=a0+a1x+a2x2+a3x3+… ; an=a0, a1, a2, a3
maka untuk Px=5+5x+5x2+5x3+…
Px=5+5x+5x2+5x3+…
=511-x
=5n=0 xn
=n=0 5n!xnn!
Sehingga
Px=n=0 anxnn!
Diperoleh
an=5n!
=5, 5, 10, 30, …

Diket : Px=ex+e4x
Dijawab :
Berdasarkan Defenisi Fungsi Pembangkit Biasa
maka untuk Px=ex+e4x
Px=ex+e4x
=1+x+x22!+x33!+…+1+4x+42x22!+43x33!+…
=n=0 1 xnn!+n=0 4n xnn!
=n=0 1+4n xnn!
Sehingga diperoleh
an=1+4n
an=2, 5, 17, 65, …

Diket : Px=11-4x
Dijawab :
maka untuk Px=11-4x
Px=11-4x
=n=0 4n xn
=n=0 4n n! xnn!
Sehingga diperoleh
an=4n n!
=1, 4, 32, 144, …

Diket : Px=1+x2k
Dijawab :
maka untuk Px=1+x2k
Px=1+x2k
=n=0 1n xn
=n=0 1n n! xnn!
Sehingga diperoleh
an=1n n!
=1, 2,3,4,5, …

Carilah an jika P(x) Fungsi Pembangkit Eksponensial barisan (an) dan k adalah bilangan bulat positif.
Px=e3x2-3x
Px=1+2x+x2e3x
Px=1+ex1+x-6x2k

Penyelesaian:
Px=e3x2-3x
=e3x 12-3x
=e3x 2-3x-1
=n=0 3n xnn! 2-3x-1
=1+3x+32x22!+33x33!+…2-3x-1
=2-3x+2-3x3x+2-3xx22!+…
=2-3x+6x-9x2+2x22!-3x33!+…
=2+3x-9+22!x2+…
Sehingga diperoleh
an=2, 3, 9+22!

Px=1+2x+x2e3x
=e-3x 1+2x+x2
=3-3x-32!x2-33!x2-…1+2x+x2+…
=4-x-32!+1x2-33!x3
Sehingga diperoleh
an=4, -1, 32!, -33!, …

Px=1+ex1+x-6x2k
=1+ex1+x-6x2k
=1+1+x+x22!+x33!+…1+x-6x2k
= 2+x+x22!+x33!+…1+x-6x2k

Ada berapa cara untuk menempatkan 50 koin yang sama ke dalam 5 kotak berbeda sedemikian hingga
Tidak ada kotak yang kosong
Setiap kotak mendapat paling sedikit 5 dan paling banyak 25 koin
Tiga kotak pertama masing-masing mendapat paling sedikit 10 koin
Penyelesaian:
Tidak ada kotak yang kosong
Karena tidak ada kotak yang kosong setidaknya 1 koin dalam satu kotak maka:
P(x)=x+ x2+ x3+ …5
= x5 11-x5
= x5 r=0 5+r-1rxr
= r=0 5+r-1rxr+5
Sehingga, banyaknya cara menempatkan 50 koin pada 5 kotak yang berbeda demikian hingga tiap kotak mendapat paling sedikit satu koin adalah koefisien:
x50 dalam Px, yaitu 45+445 =4945 = 211876

Setiap kotak mendapat paling sedikit 5 dan paling banyak 25 koin.
Karena dalam setiap kotak paling sedikit 5 koin dan paling banyak 25 koin maka:
P(x)=x5+ x6+ x7+ …+ x255
=x5 1+x+x2+ …+x205
= x25 1- x211-x5
= x25 1- x2151-x-5
= x251-5x21+ 10x42- 10x63+ 5x84-x105 r=0 5+r-1rxr = X25-5x46+ 10x67- 10x88+ 5x109-x130r=0 4+rrxr
= r=0 4+rrxr+25 - 5r=0 4+rrxr+46 + 10 r=0 4+rrxr+67
- 10r=0 4+rrxr+88 + 5r=0 4+rrxr+109 - r=0 4+rrxr+130
= r=25 r-21r-25xr – 5r=46 r-42r-46xr + 10 r=67 r-63r-67xr
- 10r=88 r-84r-88xr + 5r=109 r-105r-109xr - r=130 r-126r-130xr
Sehingga, jadi banyak cara untuk meletakkan 50 koin ke dalam 5 kotak dimana setiap kotak mendapat minimal 5 koin atau tidak lebih dari 25 koin, sehingga:
= r=25 r-21r-25xr- 5r=46 r-42r-46xr
= 2925 - 5 84
= 23751 – 350
= 23401

Tiga kotak pertama masing-masing mendapat paling sedikit 10 koin.
Karena tiga kotak pertama masing mendapat paling sedikit 10 koin, sehingga:
P(x)= x10+ x11+ x12+ …31+x+ x2+ x3+ x4+ …2
= x301+x+ x2+ x3+ x4+ …3 1+x+ x2+ x3+ x4+ …2 = x30 1-x-31-x-2
= x301-x-5
= x30 r=0 5+r-1rxr
= r=0 4+rrxr+30
Sehingga, koin sebanyak 50 maka untuk mendapatkan koefisien x50 maka dibutuhkan r = 20, sehingga:
= 4+2020
= 2420
= 10626

Terdapat beberapa cara untuk membagi p buah apel (yang identik) kepada q anak, sedemikian hingga;
Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 apel
Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel
Penyelesaian:
Setiap anak memperoleh paling sedikit 5 apel
Px= x5+ x6+ x7+ … q
= x5 (1+x+ x2+ x3+ x4+ …)q
= x5q 11-xq
= x5q(1-x)-q
= x5qr=0 q+r-1rxr
= r=0 q+r-1rxr+5q

Setiap anak mendapat tidak lebih dari 100 dan tidak kurang dari 10 apel.
P(x)= x10+ x11+ x12+ …+ x100q
= x10 (1+x+ x2+ x3+ …+ x90)q
= x10q (1- x91)q 1-x-q = x10q (1- x91)q r=0 q+r-1rxr = (1- x91)q r=0 q+r-1rxr+10q

Tentukan banyaknya "solusibulat" dari setiap persamaan berikut:
x1+x2+x3+x4=60, 1 x 30, iϵ1,2,3,4
x1+x2+x3=50, x1 3, iϵ1,2,3
x1+x2+x3+… +x4=k, x1 0, 1 i n ;k bulat
Penyelesaian:
Px=x+x2+x3+…+x304
=x41+x+x2+x3+…+x294
=x41-x301-x4
=x41-x3041-x-4
=x4.s=04-1s4sx30s.r=0 r+4-1rxr
=x4.s=04-1s4sx30s.r=0 r+3rxr
Selanjutnya, ambil koefisien x60 dalam Px. Sehingga, nilai s dan r adalah sebagai berikut:
4+30s+r=60
Solusi untuk persamaan 4+30s+r=60, antara lain:
Jika s=0, maka r=56
Jika s=1, maka r=26
Kemudian, diperoleh:
Px=4056+356+-114126+326
=405956+-11412926
=132509-4(3654
=32509-14616
=17893
Jadi, banyaknya "solusibulat" dari persamaan x1+x2+x3+x4=60, 1 x 30, iϵ1,2,3,4 adalah 17893 cara.

Px =x3+x4+x5+…3
=x91+x+x2+x3+…3
=x911-x3
=x9r=0 r+3-1rxr
=x9r=0 r+2rxr
=r=0 r+2rxr+9
Selanjutnya, ambil koefisien x50 dalam Px. Sehingga, nilai r adalah sebagai berikut:
r+9=50
r=41
Kemudian, diperoleh:
Px=41+241
=4341
=43!41!43-41!
=43!41!.2!
=903
Jadi, banyaknya "solusibulat" dari persamaan x1+x2+x3=50, x1 3, iϵ1,2,3 adalah 903 cara.

Px=1+x+x2+x3+…n
=11-xn
=r=0 r+n-1rxr
Selanjutnya, ambil koefisien xk dalam Px. Sehingga, nilai k=r, maka diperoleh:
Px=r=0 k+n-1kxk
=k+n-1k
=k+n-1!k!k+n-1-k!
=k+n-1!k!n-1!
Jadi, banyaknya "solusibulat" dari persamaan x1+x2+x3+… +x4=k, x1 0, 1 i n ;k bulat adalah k+n-1!k!n-1! cara.

Sebuah kata sandi yang panjangnya k dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf a, b, dan c sedemikian hingga memuat paling sedikit saru a, satu b, dan satu c. Ada berapa kata sandi yang dapat dibentuk?
Penyelesaian:
Dari pernyataan diatas dapat dibuat Fungsi Pembangkit sebagai berikut:
Misalkan banyaknya a=n1, b=n2, dan c=n3 dengan panjang k
Px=ax+a2x22!+a3x33!+…+an1xn1n1!bx+b2x22!+b3x33!+…+bn2xn2n2!
cx+c2x22!+c3x33!+…+cn3xn3n3!
=acx2+ac2x32!+…+acn3xn33!+ab2cx4+ab2c2x52!+…+ab2cn3xn3+3n3!
+…+abn2cxn2+1n2!+ abn2c2xn2+2n2!n2!+…+ abn2cn3xn2+n3n2!n3!+…+a2bcx42!
+ a2bc2x52!2!+…+ a2bcn3xn3+32!n3!+…+ a2b2cx52!2!+a2b2c2x62!2!2!+…
+ a2b2cn3xn3+32!2!n3!+…+an1bn2cxn1+n2+1n1!n2!+an1bn2c2xn1+n2+2n1!n2!2!+…
+ an1bn2cn3xn1+n2+n3n1!n2!n3!)
Karena yang dicari dengan panjang k dengan k=n1+n2+n3, maka koefisien xkk! dalam P(x) menyatakan banyaknya kata sandi dengan panjang k
Karena barisan yang memenuhi nilai k adalah an1bn2cn3xn1+n2+n3n1!n2!n3!
Sama halnya dengan = n1+n2+n3! an1bn2cn3n1!n2!n3!xn1+n2+n3n1+n2+n3!
Jadi, banyaknya cara membentuk kata sandi (permutasi) dengan panjang k adalah koefisien dari xkk! yaitu n1+n2+n3! an1bn2cn3n1!n2!n3!

Tentukan banyak barisan binair n-angka yang memuat:
Angka "1" paling sedikit dua
Angka "0" sebanyak bilangan genap dan angka "1" paling sedikit satu
Angka "1" sebanyak bilangan ganjil dan angka "0" sebanyak bilangan genap
Angka "1" sebanyak bilangan genap
Penyelesaian:
Angka "1" paling sedikit dua
P(x)= 1+x+x22!+ x33! …x22!+ x33!+x44!…
= exex- x-1
= e2x- xex-ex
= r=0 2xrr!- xr=0 xrr!-r=0 xrr!
Sehingga, banyaknya barisan = koefisien xrr! yaitu:
= 2r- x1r-(1)r r > 0
= 2r- x-1 r > 0

Angka "0" sebanyak bilangan genap dan angka "1" paling sedikit satu
P(x)= x+x22!+ x33! …1+x22!+ x44!+x66!…
= ex-1ex+ e-x2
= 12ex-1ex+ e-x
= 12 e2x+ 1-ex-e-x
= 12e2x+ 12-12ex-12e-x
= 12r=0 2xrr!-12r=0 xrr!-12r=0 -xrr!
= 2r2-1r2-(-1)r2, r > 0
= 2r2-12-(-1)r2, r > 0

Angka "1" sebanyak bilangan ganjil dan angka "0" sebanyak bilangan genap
P(x)= x+x33!+x55!+…1+x22!+x44!+…
= ex+e-x2ex-e-x2
= 14 e2x-e-2x
= 12e2x-e-2x2
= 12 (2x)+ (2x)33!+ (2x)55!+ …
= x+ 22x33!+ 24x55!+ …
0 , r=genap2r-1, r=ganjil

Angka "1" sebanyak bilangan genap
P(x)= 1+x22!+x33!+x44!+x55!… 1+x22!+x44!+…
= exex+e-x2
= e2x2+12
= r=0 (2x)rr!
= 2r , r > 0

Tentukan banyaknya barisan ternair n-angka yang memuat
Angka "0" sebanyak ganjil dan "2 sebanyak genap
Angka "0" dan "1" masing-masing sebanyak genap dan "2" sebanyak ganjil
Angka "0", "1", dan "2" masing-masing sebanyak genap
Angka "0", "1", dan "2" masing-masing sebanyak ganjil
Penyelesaian:
Angka "0" sebanyak ganjil dan "2 sebanyak genap
Px=x+x33!+x55!+…1+x22!+x44!+…1+x22!+x33!+x44!+x55!…
=ex+e-x2ex-e-x2ex
=ex+e-x2e2x-12
=ex+e-xe2x-14
=e3x+e-x-ex-e-x4
=e3x-e-x4
=14e3x-e-x
=14n=03xnn!-14n=0-xnn!
Jadi, banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien dari xnn! dalam P(x) yaitu =143n-14-1n
Angka "0" dan "1" masing-masing sebanyak genap dan "2" sebanyak ganjil
Px=1+x22!+x44!+…2x+x33!+x55!+…
=ex+e-x22ex-e-x2
=e2x+e-2x+24ex-e-x2
=e3x-ex+e-x-e-3x+2ex-2e-x8
=14e3x-e-3x-ex-e-x+2ex-2e-x2
=14e3x-e-3x2-14 ex-e-x2+12ex-e-x2
=143x+33x33!+35x55!+…-14x+x33!+x55!+…+12x+x33!+x55!+…
=3x4+334x33!+354x55!+…-x4+14x33!+14x55!+…+x2+12x33!+12x55!+…
=2x4+264x33!+2424x55!+…+x2+12x33!+12x55!+…
=x2+132x33!+1212x55!+…+x2+12x33!+12x55!+…
=2x2+142x33!+1222x55!+…
=x+7x33!+61x55!+…
Jadi, banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam P(x) yaitu: 0 , n=ge nap3n+14 , n=ganjil

Angka "0", "1", dan "2" masing-masing sebanyak genap
P(x) = 1+x22!+x44!+…3
= e2x+e-2x+24ex+e-x2
= e3x+ex+e-x+e-3x+2ex+2e-x8
= 14e3x+e-3x+ex+e-x+2ex+2e-x2
= 14e3x+e-3x2+14 ex+e-x2+12ex+e-x2
= 141+32x22!+34x44!+…+141+x22!+x44!+…+121+x22!+x44!+…
= 14+324x22!+344x44!+…+14+14x22!+14x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 24+104x22!+824x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 12+52x22!+412x44!+…+12+12x22!+12x44!+…
= 1+62x22!+422x44!+…
= 1+3x22!+21x44!+…
Jadi, banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam Px yaitu: 0 , n=ganjil 3n+34 , n=genap
Angka "0", "1", dan "2" masing-masing sebanyak ganjil
P(x) = x+x33!+x55!+…3
= e2x+e-2x-24ex-e-x2
= e3x-ex+e-x-e-3x-2ex+2e-x8
= 14e3x-e-3x-ex-e-x-2ex-2e-x2
= 14e3x-e-3x2-14 ex-e-x2-12ex-e-x2
= 143x+33x33!+35x55!+…-14x+x33!+x55!+…-12x+x33!+x55!+…
= 3x4+334x33!+354x55!+…-x4+14x33!+14x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= 2x4+84x33!+2424x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= x2+42x22!+1212x55!+…-x2+12x33!+12x55!+…
= 0+32x33!+1202x55!+…
= 32x33!+60x55!+…
Jadi, banyaknya barisan yang dimaksud = koefisien xnn! dalam Px yaitu: 0 , n=genap, n=1 3n-34 , n=ganjil, n>1
Tentukan banyak barisan quartenair n-angka yang memuat:
Angka "0" dan "1" masing-masing genap dan angka "2" dan "3" masing-masing ganjil
Angka "1" paling sedikit satu, dan angka-angka yang lain masing-masing sebanyak bilangan ganjil
Penyelesaian:
Angka "0" dan "1" masing-masing genap dan angka "2" dan "3" masing-masing ganjil
P(x)= (1+ x2!2+x4!4+ x6!6+ …)2 (x+ x3!3+x5!5+ x7!7+ …)2
= (ex+ e-x2)2 (ex- e-x2)2
= 14 e2x+ 2+ e-2x 14 e2x- 2+ e-2x
= 116 e4x+ 1+1+e-4x- 4
= 116 e4x+ e-4x- 2
= 18 e4x+ e-4x- 22
= 18 e4x+ e-4x2 – 1
= 18 1+(4x)22!+(4x)44!+(4x)66!… - 1
= -78+2.x22!+25x44!+29(4x)66!+…
Sehingga, banyaknya barisan = koefisien dari xrr! dalam P(x) adalah
0 , r=ganjil22r-3 , r=genap 1 , r=0

Angka "1" paling sedikit satu, dan angka-angka yang lain masing-masing sebanyak bilangan ganjil
P(x)= x+ x22!+x33!+ … x+ x33!+ x55!3
= ex- 1ex- e-x23
= ex- 118 e3x- 3ex+ 3e-x- e-3x
= 18 e4x- e3x- 3e2x+ 3ex+ 3- 3e-x-e-2x+ e-3x = 18e4x- 18e3x- 38e2x+ 38ex+ 38- 38e-x-18e-2x+ 18e-3x = r=0 184xr!r- r=0 183xr!r- r=0 382xr!r+ r=0 38xrr!-
r=0 38(-x)rr!-r=0 18(-2x)rr!+ r=0 18 (-3x)rr!
Sehingga, banyaknya barisan = koefisien dari xrr! dalam P(x) adalah
ar = 18.4r- 18.3r-38.2r+38.1r-38-1r-18.(-2)r+18.-3r ; r > 0

Tentukan banyak cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar berbeda sedemikian hingga
Tidak ada kamar kosong
Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang
Penyelesaian:
Tidak ada kamar kosong
Px=x+x22!+x33!+…100
=1+x+x22!+x33!+…-1100
=ex-1100
=1000e100x-n1e99x+-1k100kex100-k+…+-1100100100
Untuk 0 k n koefisien xnn! dalam exn-kadalah n-kn
Maka koefisien xnn! dalam Pxadalah =k=0100-1k100k100-kn
Jadi, banyaknya cara yang dimaksud adalah =k=0100-1k100k100-kn

Tiap kamar berisi paling sedikit satu dan paling banyak dua orang
Px=x+x22!100
Akan dicari koefisien dari xnn! dari dalam Pxuntuk mendapatkan banyaknya cara penempatan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda, sehingga :
Px=x+x22!100
=x1+x2!100
=x1001+x2!100
=x100k=0 100kx2!k
=x100k=0 100kxk2k
=k=0 100k12kxk+100
=k=0 100k12k 1 xk+100
=k=0 100k12k k+100!k+100! xk+100
=k=0 100k12k k+100!xk+100k+100!
=k=0 100k12k k+100!2kxk+100k+100!
Karena banyaknya cara penempatan objek yang berbeda = koefisien xnn! dalam P(x), maka dari persamaan P(x) yang terakhir diperoleh untuk nilai n dari xk+100k+100! yaitu : n=k+100 atau k=n-100
Sehingga diperoleh:
P(x)=n-100=0 100n-100n!2n-100xnn!
=n=100 100n-100n!2n-100xnn!
Jadi, banyaknya cara menempatkan n orang yang berbeda di dalam 100 kamar yang berbeda adalah: n=100 100n-100n!2n-100

Misalkan S adalah himpunan semua bilangan bulat 10-angka yang dibentuk dari angka-angka: '1', '2', '3', '4', da '5'. Jika sebuah bilangan dipilih secara acak dari S, berapakah peluang bilangan tersebut memuat angka '1' sebanyak genap dan angka '2' sebanyak ganjil?
Penyelesaian:
P(x)= 1+ x2!2+x4!4+ …x+x33!+x55!+…1+x+x22!+x33!+…3
= (ex+ e-x2) (ex- e-x2) e3x
= 14e2x-e-2x. e3x
= 14 e5x- e5x
= 12 e5x- e5x2
= 12 (5x)+ (5x)33!+ (5x)55!+ …
= 5x2+ 523x33!+ 552x55!+ …
Sehingga, banyak barisan = koefisien dari xrr!, yaitu:
12 , r=0 5r2 , r=ganjil, r>1

Misalkan Sn adalah himpunan semua kata sandi dengan panjang n yang dibentuk dari huruf-huruf dalam kata "RAHASIA".
Ada berapakah kata sandi dalam Sn?
Ada berapakah kata sandi yang memuat huruf A dalam Sn?
Ada berapakah kata sandi yang memuat setiap konsunan dalam Sn?
Penyelesaian:
Kata sandi dalam sn
P(x)= (1 + x + x22! + x33! + x44! + x55! + ... )5
= e5x
= n=0 5nxnn!
Jadi, banyaknya kata sandi dalam Sn= koefisien x1010! dalam P(x), yaitu: 5n
Kata sandi yang memuat huruf A dalam sn
P(x)= (x + x22! + x33! + x55! + ... ) . (1+ x + x22! + x33! + x44! + ... )4
= (ex – 1) (e4x)
= e5x – e4x
= k=0 5kxkk!- k=0 4kxkk!
Jadi, kata sandi yang memuat huruf A dalam Sn= koefisien xnn! dalam P(x), yaitu:
= 5n – 4n

Kata sandi yang memuat setiap konsonan dalam sn
P(x)= (1+ x + x22! + x33! + x44! + ... )2 . (x + x22! + x33! + x55! + ... )3
= e2x (ex – 1 – x)3
= e3x – 3e2x – 3xe2x + 6xex + 3x2ex + 3ex – x3 – 3x2 – 3x – 1
= k=0 3kxkk! – 3 k=0 2kxkk! – 3 x k=0 2kxkk! + 6 x k=0 1kxkk! +
3x2k=0 1kxkk! + 3 k=0 1kxkk! – x3 – 3x2 – 3x – 1
= k=0 3kxkk! – 3 k=0 2kxkk! – 3 k=0 (k+1)2kxk+1(k+1)! +
6 k=0 (k+1)1kxk+1(k+1)! + 3k=0 (k+2)(k+1)1kxk+2(k+2)! + 3 k=0 1kxkk! – x3 – 3x2- 3x – 1
Misalkan:
r = k + 1 k = m – 1
s = k + 2 k = s – 2
Jika
k = n, r = n dan s = n
Maka, koefisien xnn! dalam P(x), yaitu:
= 3n – 3.2n – 3.r.2n + 6.r.1n + 3.s.r.1n
= 3n – 3.2n – 3.r.2n + 6.r + 3.s.r
Atau
3n-3.2n-3.r.2n+6.r+3.s.r-1 , untuk n=0 dan n=33n-3.2n-3.r.2n+6.r+3.s.r-3 , untuk n=1 dan n=23n-3.2n-3.r.2n+6.r+3.s.r , untuk n>3
Sebanyak n bola ditempatkan dalam k kotak. Berapakah peluang kotak pertama dan kotak terakhir tak kosong, jika
Bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda?
Bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda?
Bola-bola berbeda dan kotak-kotak identik?
Penyelesaian:
Bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda
P(x)= 1 +x+x2+x3+... k-2untuk kotak lainnyamisal k-2=m . (x+x2+x3+... )2untuk kotak pertamadan terakhir
=11-xm11-x-12
= 11-xm1(1-x)2-21-x+1
= 11-xm+2-21-xm+1+1(1-x)m
=m=0 m+2+n-1nxn – 2 m=0 m+1+n-1nxn +
m=0 m+n-1nxn
Jadi, banyaknya bola-bola identik dan kotak-kotak berbeda = koefisien xn dalam P(x), yaitu:
m+n+1n – 2 m+nn + m+n-1n

Bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda
P(x) = (1+ x + x22! + x33! + x44! + ... )k-2. (x + x22! + x33! + x44! + ... )2
= exk-2 ex – 12
Misal:
k – 2 = m
Maka:
P(x)= (emx) (e2x – 2ex + 1)
= e(m+2)x – 2 e(m+1)x + emx
=n=0~(m+2)nxnn! – 2 n=0~(m+1)nxnn! + n=0~mnxnn!
Jadi, banyaknya bola-bola berbeda dan kotak-kotak berbeda = koefisien xnn! dalam P(x), yaitu: (m + 2)n – 2 (m + 1)n + mn
Bola-bola berbeda dan kotak-kotak identik

Siti Ambarwati (16205071).docx

Recommend Documents