Sistemas con Lógica Difusa
Juan Carlos García Infante, José de Jesús Medel Juárez, Juan Carlos Sánchez García, Arturo Tequianez Primera edición: 2009 D.R. © 2009. Instituto Politécnico Nacional Luis Enrique Erro s/n Unidad Profesional "Adolfo López Mateos" Zacatenco, 07738, México, DF Dirección de Publicaciones Tresguerras 27, Centro Histórico 06040, México, DF ISBN 978-607-414-078-1 Impreso en México/Prínted in México http://www.publicaciones.ipn.mx
Juan Carlos García Infante José de Jesús Medel Juárez Juan Carlos Sánchez García Arturo Tequianez Tequianez
Instituto Politécnico Nacional — México —
1.1
Introducción
13
1.2
Orígenes de los sistemas difusos
14
1.3
Beneficios de los sistemas basados en Lógica Difusa
16
1.4
El sistema de referencia
17
1.5
Mecanismo de inferencia
17
1.6
Variable lingüística
17
1.7
Interpretación de niveles de operación
18
1.8
Funciones de membresía
20
2.1
Introducción a la teoría difusa
23
2.2
Conjuntos difusos
23
2.2.1 Definiciones básicas y terminología terminología
24
2.3
26
Caracterización por funciones de membresía
2.3.1 Tipos de funciones de membresía
26
2.4 2.4
Operaciones aritméticas con números
29
2.5
Descripción de las variables lingüísticas
30
2.6 2.6
Reglas difusas Si-Entonces (IF-THEN)
31
2.7 2.7
Proposiciones difusas
31
2.7. 2.7.1 1 Razonamiento Razona miento difuso
33
3.1 3.2 3.2 3.3 3.3 3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.5 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5. 3.5.33 3.6 3.6 3.6.1 3.6.1 3.6.2 3.6.2 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 3.9
Introducción a los sistemas de control Propiedades Propiedad es básicas de un sistema de control Sistemas de control en lazo abierto Sistemas de control en lazo cerrado (realimentados) Realimentación Realimentac ión y sus efectos Tipos de sistemas de control realimentado realimentad o Representación Represen tación matemática de los sistemas de control Respuesta al impulso Función de transferencia Función de transferencia propia e impropia Ecuación característica caracter ística Polos de una función Ceros de una función Control Contro l con lógica difusa Controladores difusos Diseño de un sistema Difuso (conocimiento (conocimien to experto) experto )
35 36 36 37 37 38 39 39 39 40 41 41 42 42 47 49
4.1 Introducción Introd ucción a la estabilidad estabil idad 4.2 4.2 Criterio de Nyquist 4.3 4.3 Criterio de Routh-Hurwitz 4.3.1 Desarrollo del Criterio de Routh-Hurwitz 4.3.2 Tabulación de Routh 4.4 Estabilidad de Liapunov 4.4.1 Método directo de Liapunov
51 54 56 58 58 60 61
5.1 5.2 5.2 5.2.1 5.2.2
63 63 64 64
Introducción Desarrollo del método de Kharitonov Descomposición del polinomio en par e impar Coeficientes Coeficiente s e intervalos
5.2.3 5.2.3 Construcción de los polinomios de Kharitonov 5.2.4 5.2.4 Aplicación Aplicación del Criterio de Routh-Hurwitz 5.3 5.3 Análisis de estabilidad para sistemas de control difuso
65 66 70
6.1 Introduc Intr oducción ción 6.2 6.2 ¿Qué es un filtro digital? 6.2.1 6.2.1 ¿Qué es un filtro digital adaptivo? 6.3 6.3 Filtro difuso 6.4 6.4 Descripción del filtrado difuso 6.5 6.5 Función de membresía 6.6 6.6 Arquitectura Arquitectur a del filtro digital difuso 6.7 6.7 Elementos de filtrado difuso 6.8 6.8 Reglas base e inferencia
75 76 77 77 78 80 82 83 84
7.1 7.2 7.2 7.3 7.3
Principios de tiempo real para el filtrado difuso Clasificación Clasificació n temporal Propiedades de un filtro digital difuso en tiempo real
87 88 89
8.1 8.2 8.2 8.3 8.3 8.4 8.4 8.5 8.5
Características de la simulación Descripción del sistema de referencia Estimación de parámetros Identificación de estados Funcional de error
95 95 97 97 98
La lógica difusa es una herramienta útil en las aplicaciones tecnológicas que se emplean en la actualidad y que está teniendo un gran auge en una amplia gama de sistemas, en donde se requieren mecanismos con inteligencia que tengan la capacidad de interpretar su medio cambiante por medio de sensores que permitan obtener la información necesaria de su entorno, tomando en cuenta ciertas variables y criterios para poder seleccionar una acción res pectiva de acuerdo a los niveles en que el sistema se encuentra e ncuentra trabajando. De esta manera el sistema con un mecanismo difuso integrado podrá ofrecer respuestas y acciones que estén de acuerdo a los cambios que pueda tener su entorno y a los que pueda tener cualquier otro sistema que este interactuando con él, actualizando en cada instante de tiempo sus respuestas como lo hace un sistema de inteligencia artificial. Los sistemas basados en lógica difusa tienen gran importancia a nivel internacional en todos los campos del conocimiento, ya que son sistemas flexibles que pueden implantarse relativamente con sencillez y efectividad en casi cualquier sistema actual. Los sistemas difusos están siendo desarrollados en áreas que están incursionando en los nuevos sistemas tecnológicos como la inteligencia artificial, redes neuronales artificiales y sistemas evolutivos, es por esto que es necesario conocer estos nuevos sistemas, que serán la base para las tecnologías del futuro, en donde se tendrá que tomar decisiones más precisas y rápidas de acuerdo a la inmensa cantidad de información que se tendrá que procesar, procesar, analizar, analizar, descartar descartar y optimiz optimizar ar en los nuevos sistemas sistemas que tendrán tendrán inteligencia propia para poder decidir de acuerdo a los cambios en su entorno.
El contenido de esta obra ha sido fruto de cuatro años de trabajo de investigación sobre los sistemas difusos en las áreas de control, inteligencia artificial, filtros digitales. Los autores forman parte de un grupo de investigación mexicano que cuenta con publicaciones a nivel internacional, en el desarrollo de proyectos proyectos dirigidos a inovar sistemas sistemas tecnológicos tecnológicos en múltiples múltiples aplicaciones aplicaciones de distintas disciplinas como: medicina, industria, sistemas de navegación, espaciales, comunicaciones, cómputo, etc., y en tecnologías que en un futuro próximo próxi mo tendrán tendr án gran impacto impact o como la computación compu tación cuántica. cuánti ca. El motivo motivo de difundir estos conocimientos y sus resultados a la comunidad ha sido el de poder transmitir transmitir nuevos conceptos y desarrollos a los estudiantes de ingeniería y a toda aquella persona que tenga la disposición disposición e inquietud de aprender y desarrollarse con las bases y propiedades de los sistemas de lógica difusa así como de su implantación en los sistemas de control y filtrado digital con características de tiempo real, que serán empleados en los más novedosos sistemas tecnológicos del futuro. Esperando que esta obra pueda servirle al lector de utilidad para com prender la nueva teoría de lógica difusa y algunas aplicaciones que puede tener en la vida cotidiana. A continuación se da una descripción breve de los capítulos: En el capítulo I, se hace una descripción general de los conceptos, componentes y definiciones utilizados en los sistemas basados en lógica difusa, así como de las características de funcionamiento, dando una breve presentación de los antecedentes y orígenes de estos sistemas. En el capítulo II, se realiza el desarrollo de los fundamentos de la teoría de la lógica difusa, describiendo los conjuntos difusos, definiciones y terminología que la describen, sus operaciones y fundamentos, así como las bases de los elementos que la componen. En el capítulo III, se da una introducción a los sistemas de control, haciendo un análisis descriptivo de sus propiedades y tipos de sistemas de control,
dando un breve repaso a estos sistemas para llegar a lo que son los sistemas de control difuso. En el capítulo IV, se describen los principios de estabilidad de la teoría de control, los cuales serán de utilidad para realizar un análisis de estabilidad en un sistema difuso y dar las bases para el diseño de este tipo de sistemas con propiedades de estabilidad. En el capítulo V, se desarrolla el planteamiento y procedimiento para describir la estabilidad de un sistema difuso empleando los conceptos teóricos descritos en el capítulo IV, proponiendo un esquema del análisis de la esta bilidad bilidad en en estos estos sistemas sistemas.. En el capítulo VI, se da una introducción a los sistemas de filtrado digital, descri biendo biendo las propie propiedad dades es de de un Fil Filtr troo Digit Digital al Difu Difuso, so, con consid sidera erando ndo los con concep ceptos tos de lógica difusa y filtrado adaptivo, se desarrollan las características principales de este tipo de filtros como la base de conocimiento expresada de manera lingüística y que forma la región de operación del filtro de acuerdo al sistema real con el que interactúe sin perder sus propiedades de estabilidad. estabilidad. En el capítulo VII, describe los conceptos básicos de un sistema en tiempo real, dando las propiedades de tiempo real que caracterizan a un filtro difuso, de esta forma se complementa el mecanismo de un filtro difuso descrito en el capítulo VI, teniendo una descripción detallada de sus principios de operación y ofrecer respuestas en niveles y con características características de tiempo real. En el capítulo VIII, se desarrolla la parte práctica del libro, en donde se hace la simulación de un filtro difuso con propiedades en tiempo real, em pleand pleandoo el softwa software re de simula simulació ciónn Matl Matlab ab y el filtro de Kalman como algoritmo de identificación implantando el mecanismo difuso y las propiedades de tiempo real en su arquitectura, se presentan las gráficas de sus respuestas y funcionamiento funcionamiento interno que ejemplifican ejemplifican a este filtro.
En el universo existe gran diversidad de especies o formas de vida de acuerdo a las ideas que han sido expuestas por científicos científicos como Stephen Hawking, las cuales presentan diversas características de comportamiento para favorecer sus condiciones de vida y puedan adaptarse a un medio ambiente de desarrollo a lo largo de su existencia temporal o generacional. De tal forma que la inteligencia caracteriza a las formas de vida existentes y es abundante en todos los ámbitos de la naturaleza y puede ser visualizada de forma natural en aspectos tales como: la apreciación de la realidad a través de nuestros sentidos, el reconocimiento de las cosas, el ordenamiento de pensamientos o ideas, la formación mental de imágenes entre otras de sus propiedades. Todas estas formas de inteligencia humana han servido al hombre en su deseo de lograr el desarrollo de herramientas que sean cada vez más amigables para facilitar sus tareas diarias, y es por esto que busca extraer los conceptos de inteligencia necesarios encontrados en la naturaleza, para que sus sistemas o desarrollos se encuentren en armonía en un medio ambiente propio de su entorno, de tal forma que q ue sus herramientas he rramientas se adapten ad apten de mama nera aproximada a las diversas situaciones, necesidades, costumbres e interacciones que se tienen en un medio natural específico. Es decir, el hombre busca que sus herramientas tengan una interacción de acuerdo a él é l mismo y su medio de desarrollo.
La adaptación a situaciones distintas es congruente con la evolución de la ciencia y la tecnología. La sociedad cuenta con cambios que son cada vez más acelerados, donde se hace uso de múltiples tecnologías como lo es la computación flexible (concepto utilizado para describir los sistemas computacionales que se adaptan a diversos ambientes); para ofrecer al usuario final una relación "natural" "natural" que esté de acuerdo con un ambiente específico. Para lograr que dos o más sistemas inteligentes puedan tener una participación activa y equilibrada, de acuerdo a sus diversas reacciones en relación a un objetivo, sus respuestas deben ser clasificadas y caracterizadas, requiriendo para ello de un mecanismo que deduzca sus cambios y permita responder de acuerdo a la dinámica establecida entre ellos, para lo cual puede ser utilizado un sistema basado en lógica difusa, ya que a través de este tipo de sistemas es posible interpretar los comportamientos de interacción a la entrada y tomar las decisiones correspondientes por cada uno de los cam bios que se presenten en el tiempo, para llevarlos a una región de equilibrio y dar una respuesta adecuada; es decir, que cuenten con una relación en la que ambos logren su objetivo específico de acuerdo a un criterio entre ellos definido ya sea de manera directa o indirecta. Los sistemas basados en lógica difusa son una herramienta relativamente novedosa que se utilizan en control y sistemas sistemas de filtrado digital para aplicarse en sistemas inteligentes y en diversas áreas del conocimiento: información, espacial, comunicaciones, redes neuronales, medicina, sistemas de control, entre otros. Las capacidades que presenta este tipo de sistemas son las de interpretar y caracterizar el funcionamiento de un sistema para emitir la respuesta más apropiada, en un lenguaje natural.
Las ideas básicas de la lógica difusa se encuentran vinculadas con las primeras aportaciones desarrolladas por el profesor Lotfi Zadeh en 1965, respecto a los conjuntos difusos; siendo uno de sus principales objetivos el de emplear un razonamiento aproximado o de tipo suave con diferentes niveles o grados de
operación, siguiendo patrones de razonamiento similares a los del pensamiento humano, siendo éste un razonamiento no determinista, a diferencia de la lógica clásica en donde se requieren ideas más precisas, y se utilizan conceptos absolutos como verdadero y falso para para ref refer erir irse se a la la real realid idad ad;; ento entonc nces es la la lógi lógica ca difusa logra establecer una relación más amigable por medio del lenguaje natural respecto al sistema de referencia con el que se encuentra interactuando. Es por esta razón, que la lógica difusa en los últimos diez años ha sido aplicada para el desarroll desarrolloo tecnológ tecnológico ico de sistemas sistemas en los que se consideran consideran distint distintos os niveles de operación, sin olvidar que será la base para las futuras tecnologías. Diversas compañías en el ámbito internacional se han interesado en em plear la lógica difusa difusa en el desarrollo desarrollo de sus productos y servicios servicios para tener condiciones de operación más amigables, adaptables y de menor costo para los consumidores; siendo éstas, ventajas competitivas, así como representativas para el mercado actual. Además, al utilizar la lógica difusa aplicándola a los sistemas de control se logra obtener un ahorro de energía considerable, con un manejo más adecuado de la información poco precisa o con cierto grado de incertidumbre, y la forma de interactuar con los sistemas es más robusta porque logra cubrir diversas condiciones en su operación , ya que las acciones de control requeridas son establecidas por intervalos (conjunto de variables delimitadas que tienen un valor de alcance máximo, por ejemplo la velocidad que se indica en un velocímetro de automóvil) a los que se les da el nombre de junciones de membresía.
En la actualidad los sistemas difusos se emplean como una herramienta para controlar el transporte subterráneo, sistemas industriales de mayor complejidad, equipos electrónicos, sistemas de diagnóstico de enfermedades, entre otros sistemas a los que se les conoce como sistemas expertos (son una clase de los sistemas computacionales del área de inteligencia artificial que clasifican o deciden, de manera independiente, las acciones correspondientes a tomar en relación con el sistema de referencia a observar o controlar) ya que tiene una relación "natural" con su entorno y de acuerdo a éste realiza acciones que afectan el desempeño del sistema que se desea controlar en un límite determinado.
Los sistemas con lógica difusa responden a diversas tendencias tecnológicas de la actualidad, este tipo de sistemas son de gran flexibilidad, porque pueden pued en ser implemen impl ementado tadoss en diferent dife rentes es proceso pro cesos, s, bajo diferen dife rentes tes con con-diciones de operación, se pueden configurar con relativa sencillez y es posible posi ble adecuar adec uar su estructu estr uctura ra a las con condicio diciones nes cambiant camb iantes es en que opera oper a un proceso. A continuación se describen los beneficios de la lógica difusa respecto a las tendencias tecnológicas actuales: Miniat atur uriz izac ació ión, n, con respecto a las tecnologías portátiles con diversas apli1 Mini caciones que deben funcionar en diversos ambientes de operación y con tecnologías cada vez más pequeñas y con múltiples funcionalidades, la lógica difusa es de gran utilidad para el funcionamiento óptimo de estos sistemas portables. 2 Sistemas heterogéneos, en donde se tiene una gran cantidad de tecnologías diversas (como: hardware, software, protocolos) interactuando y estableciendo una comunicación a diferentes niveles y grados de operación. 3 Redes Redes Móvil Móviles, es, con diversos tipos de comunicación inalámbrica, ambientes de trabajo, zonas de cobertura y acceso por grupos de usuarios. 4 Segundad y encriptación, con niveles de servicio, resguardo de información, llaves y diversos tipos de accesos por cada usuario del sistema empleado. 5 Sistemas inteligentes, que requieren cierta inteligencia para interpretar su entorno y tomar una decisión autónoma acertada con respecto a los cambios de su medio ambiente a distintos niveles de respuesta. 6 Ahorro en costos, se debe a que la implantación de sistemas con lógica difusa en los procesos y sistemas, es una opción viable, sencilla de implementar, de reconfigurar y de relativamente bajo costo, lo cual presenta prese nta un ahorro en tiempo, tiempo , de recursos recur sos tecnológicos tecnol ógicos y económicos econó micos para par a el e l usuar us uario. io.
El sistema de referencia es aquel que se relaciona de manera directa con cualquier sistema difuso, pudiendo ser una planta, un proceso, una señal externa al mismo. Los cuales se implantan de forma conjunta para poder clasificar e interpretar el funcionamiento y operación en sus respuestas, cada nivel de operación representa un grado de funcionamiento del sistema de referencia, teniendo de esta forma una descripción robusta que determina la respuesta más adecuada a diferentes intervalos.
La estructura básica de funcionamiento de un sistema difuso está constituida por el mecanismo mecanismo de inferencia, inferencia, el cual tiene la característica característica de realizar una acción experta de acuerdo a una serie de reglas base, que son un conjunto de condiciones preestablecidas en donde a una entrada específica le corresponde una respuesta determinada, para tener de esta forma la mejor condición de operación. El proceso de inferencia realiza una interpretación del sistema de referencia a la entrada del mecanismo difuso, al tener las condiciones de comportamiento como su nivel de operación, se determina cuál es la mejor respuesta que representa de forma óptima a ese nivel de operación y se selecciona la función de membresía correspondiente de una base de conocimiento que contiene todas las funciones de membresía a elegir, y posteriormente da la respuesta correcta.
Son caracteres legibles (como colores, letras, palabras, sonidos, símbolos) que pueden ser interpretados o diferenciados fácilmente por una persona que controla un sistema. Estas variables de forma específica representan una condición en que el sistema puede funcionar o está funcionando.
La variable lingüística puede ser seleccionada por el operador desde un controlador del sistema para establecer la condición deseada del sistema, y también puede ser la salida del propio sistema automatizado por sensores para señalar al supervisor sus condiciones de funcionamiento en un instante determinado.
La lógica difusa hace uso de diversas variables lingüísticas que son elegidas con relación al sistema con que interactúa, en su mayoría estas variables son palabras que representan valores cualitativos y que al ser utilizadas en un procesador por medio de un teclado o sensores, son interpretadas por la computadora o sistema para ofrecer un control lo más preciso preci so posible p osible y llevarlo ll evarlo a una u na región r egión de operación opera ción deseada desea da en e n un u n tiempo tie mpo específico. Un sistema difuso se considera estable (es decir que se mantiene operando sin modificaciones durante cierto tiempo específico), ya que todas las varia bles y respuestas respuestas se encuentran encuentran delimitadas delimitadas por las restricciones restricciones del proceso proceso con el que interactúa a través de la base del conocimiento. El sistema difuso contiene en una base de conocimiento todos los niveles de respuesta que puede dar el proceso con el cual está interactuando, por lo cual todas las posibles respuestas estarán acotadas por el proceso de referencia dentro de regiones predefinidas. La clasificación de los niveles de respuesta que tiene un sistema difuso se realiza por medio de funciones de membresía, que son un conjunto de valores de un mismo parámetro dentro del mecanismo del sistema difuso que está constituido por reglas usando conectores lógicos: uno que interpreta en qué nivel está operando el sistema de referencia, denominado 67, y otro que deduce y selecciona de la base de conocimiento la función de membresía correspondiente a ese nivel de operación, llamado ENTONCES, ENTONCES, para conformar la base de conocimiento.
Figura 1.1 Proceso de operación de un sistema difuso
En la Figura 1.1, se tiene la representación básica de un sistema difuso en donde a la entrada se tiene una respectiva señal (que proviene del sistema de referencia), el sistema difuso primero interpreta el nivel de operación por medio del conector conec tor lógico lógic o SI, luego el conector lógico ENTONCES deducirá la respuesta correspondiente, posteriormente el mecanismo difuso seleccionará de la base del conocimiento la respuesta correcta, este proces pro cesoo se repeti rep etirá rá en cada cad a cambio camb io que pue pueda da tener ten er el sistema sist ema de referef erencia. Para describir un sistema difuso se tiene una señal que proviene de un sistema de referencia denominada como señal deseada y(k), po rquee y(k ), porqu esta señal será el modelo del mecanismo difuso para dar una respuesta específica a la salida ŷ(x), por medio de la inferencia infer encia que realizará reali zará el mecanismo difuso. Posteriormente se realizará la selección de la función de membresía descrita como â(x) de la base del conocimiento, ésta ajustará el mecanismo del sistema para llegar a la respuesta adecuada. De esta forma el sistema difuso podrá ofrecer respuestas a diversos niveles de operación (como en un control de temperatura que puede ser, frío, tibio o caliente) para que sus condiciones sean lo más natural posible de acuerdo a un sistema real.
Figura 1.2 Proceso de operación de un sistema difuso
En la figura 1.2, se ilustra el proceso de un mecanismo difuso, en donde a la entrada se tiene una respectiva señal deseada del sistema de referencia, luego ésta es interpretada por el mecanismo difuso, el cual compara la respuesta actual del sistema difuso con respecto a la señal deseada y la diferencia es un valor de error y de acuerdo a este error se determina qué nivel es el adecuado para dar la respuesta más correcta. Se selecciona la función de membresía correspondiente de una base de conocimiento ajustando los valores del sistema para dar su respuesta.
Las funciones de membresía son un conjunto de valores o funciones que describen el funcionamiento de un sistema en diferentes grados de operación, donde cada función de membresía de forma específica representa un respectivo nivel de operación para el sistema. Para realizar la clasificación de las respuestas de un sistema propuesto, en lógica difusa puede ser caracterizado: a) por medio del conocimiento experto en el sistema a describir adquirido por su operador o controlador (humano o tecnológico) y b) de forma probabilística, al establecer los rangos o niveles de d e operación o peración dentro de d e las funciones de distribución que acotan sus respuestas. En cualquiera de los dos casos mencionados se generan las funciones de membresía (valores de a(k)
descritos en la figura 1.3) en una base de conocimiento, que estén de acuerdo con la función de operación del sistema, y que por medio de los límites de operación del sistema quedan acotadas en los diferentes grados o niveles en que opera el sistema en análisis, ver Figura 1.3.
El área interna de una función de distribución de un sistema de referencia, representa su región de operación total, dentro de la cual se deben generar las funciones de membresía para que los niveles de operación queden acotados dentro de su funcionamiento.
En este capítulo se introduce al lector a los fundamentos de la lógica difusa, los principales conceptos y nociones matemáticas de conjuntos difusos; primero se verán los conjuntos difusos como una generalización de los conjuntos clásicos, de acuerdo al rango de la función de membresía (o función característica) de {0,1} a un número real en el intervalo [0,1], para así describir algunos términos que se necesitan dentro del análisis de lógica difusa, después se describirán distintos tipos de funciones de membresía, de operaciones básicas con números difusos del tipo triangular, para de esta manera establecer la forma de implantar este tipo de razonamiento en el análisis y discusión y establecer un procedimiento para resolver el problema en cuestión[39]. cuestión[39].
es un conjunto con una delimitación rígida, en lo que se refiere a sus intervalos de operación, éste es caracterizado por y como la totalidad de sus números, objetos o elementos. Los miembros que conforman un conjunto clásico pueden ser representa dos por alguna enumeración o alguna propiedad característica, de esta forma uno puede representar un conjunto A con elementos a1 .......... ............ a10 , teniendo A = {a1 ....a10} ó A = { a 1 \ 1 ≤ n ≤ 1 0 } Un conjunto clásico
Sin embargo un conjunto difuso, es un conjunto sin una delimitación rígida en sus intervalos de operación, [19], [33] y [39] esto es, una transición gradual que va desde "pertenecer a un conjunto" a "no pertenecer a un conjunto", esta transición de tipo "suave" es caracterizada por las funciones de membresía, que representan en su conjunto grados de pertenencia y las cuales dan flexi bilidad bilidad a los conjuntos conjuntos difusos. difusos. La propiedad difusa no viene de la aleatoriedad de los miembros constituyentes de los conjuntos, sino de la naturaleza imprecisa e incierta de pensamientos y conceptos abstractos.
La lógica difusa va asociada con características que tienen cierto grado de incertidumbre en la estructura de un conjunto de datos [33]. Los elementos de un conjunto difuso son pares ordenados que indican el valor del elemento y su grado de pertenencia. Para un conjunto difuso A = {( χ χ , μ μ Α ( χ χ )) )) │ x ∈ X), se tiene que el elemento x pertenece al conjunto A con un grado de pertenencia μ Α( χ χ ),), el cual varía entre 0 y 1. Luego un conjunto difuso A es una simple extensión de un conjunto clásico en el cual a la función característica le es permitido tener tener valores valores entre entre [0 1], si este este valor lo restri restringi ngimos mos a únicamen únicamente te poder poder tener tener los valores valores de 0 ó de 1, entonces entonces A es reducido a un conjunto clásico. A continuación se enumeran algunas de las definiciones básicas de lógica difusa [23]. Definición 2.1 (Centro y Conjunto Difuso Normal). El ce cent ntro ro de un conj conjun unto to difuso A se define como el conjunto de todos los puntos x
∈ X
tales tales que:
x μ Α(x)=1} μ Α (x) = 1 .·. Centro (A) = { x μ
(2.1)
Un conjunto difuso A es normal si su centro es no vacío, en otras palabras siempre podemos encontrar un punto x
X X tal que μ Α (x) = 1
∈
Definición 2.2 (Punto de Cruce). Un punto de cruce de un conjunto difuso A es un punto x ∈ X X en el cual: μ Α(x) = 0.5 .·. Cruce (A) = { x μ Α (x) = 0.5 }
(2.2)
a . o conjunto conjun to de d e nivel n ivel - o. de d e un u n conjunto co njunto difuso Definición 2.3 (Corte - α). El corte - a. A es un no no conjun conjunto to dif difuso uso (clás (clásico ico)) defin definido ido por:
Α α = { x \ μ Α ( x ) ≤ α }
(2.3)
Definición 2.4 (Números Difusos). Un número difuso A es un conjunto difuso en R normal y convexo (circunferencia o superficie esférica). un ión de dos d os conjuntos conj untos difusos d ifusos A y Β se define como: Definición 2.5 (Unión). La unión (2.5) μ A B (x) = max max{ μ Λ (x), μ Β (x) } = μ Α (x) ∨ μ Β (x) ∪
do s conjuntos difusos d ifusos A y Β se define Definición 2.6 (Intersección). La intersección de dos de la siguiente manera:
μ A∩ B (x) = min { μ Λ (x), μ Β (x) } = μ Α (x) ∧ μ Β (x)
(2·6)
Definición 2.7 (Complemento). El complemento de un conjunto difuso B, se denota por A ( A, A, NOT A)y se define como: ¬
μ- Α(x) = 1- μ Α(x)
(2.7)
Definición 2.8 (Norma Τ (AND Difuso)). Un operador T-Norma satisface las siguientes propiedades [37] y [39]: (0,0) = 0, T(a, 1) = T(1,a) = a Τ (0,0)
(Acotado)
T(a,b) ≤ T(c,d) T(c,d) si a ≤ c c y b ≤ d
(Monotonicidad)
T(a,b) = T(b,a)
(Conmutatividad)
T(a, T(b, c)) = T(T(a, b)c)
(Asociatividad)
Definición 2.9 (Norma S (OR Difuso)). Un operador T-Conorma (o S-Norma) satisface las siguientes propiedades: S(1, 1) = 1, S(0, a) = S(a, 0) = a
(Acotado)
S(a,b) ≤ S(c,d) S(c,d) si a ≤ c y b ≤ d d
(Monotonicidad)
S(a,b) = S(b,a)
(Conmutatividad)
S(a, S(b, c)) = S(S(a, b)c)
(Asociatividad)
Un conjunto difuso es completamente caracterizado por su función de mem bresía bresía (FM (FM)) o grado grado de perten pertenenc encia ia según según [37] [37] y [39], [39], ya que que en la la mayorí mayoríaa de los conjuntos difusos el universo X es la línea de los reales R, sería impráctico listar todos los pares definiendo el grado de pertenencia. Una forma de definir la función de membresía más concreta y conveniente es expresarla como una fórmula matemática.
A continuación se enlistan las clases de funciones que describen los parámetros de un sistema difuso y que comúnmente son empleadas para describir la función de membresía en una y dos dimensiones [37]. FM Triangular.- Ésta es especificada por tres parámetros {a,b,c} de la forma siguiente:
Los parámetros {a, b, c} (con a < b < c) determinan determinan las coordenadas de las tres esquinas de la FM triangular, como se observa en la figura 2.1
Figura 2.1 Repr Repres esen enta taci ción ón Gráf Gráfica ica de una una Func Funció ión n de Memb Membre resí sía a Tria Triang ngul ular ar
FM Trapezoidal.- Ésta es especificada por cuatro parámetros {a,b,c,d} de la forma siguiente:
Trapezoidal
Los parámetros {a,b,c,d} (con a < b < c < d) determinan las coordenadas de los cuatro puntos de la FM trapezoidal, como se observa en la figura 2.2
Figura 2.2 Repres Represen enta tació ción n Gráfic Gráfica a de una una Func Funció ión n de de Mem Membre bresía sía Trap Trapezo ezoid idal al
FM Gaussiana.- Ésta es especificada por dos parámetros {c,a} de la siguiente forma: Una función de membresía Gaussiana está determinada completamente por c y σ; c representa el centro de la FM, mientras que σ representa el ancho de banda de la FM.
Figura 2.3 Repr Represe esenta ntació ción n Gráfic Gráfica a de una una Func Funció ión n de Memb Membres resía ía Gaus Gaussia siana na
FM de Campana.- Es especificada por tres parámetros {a,b,c}: Campana
Donde el parámetro b es usualmente positivo (si b es negativo la forma de la FM es una campana ca mpana inversa).
Figura 2.4 Repre Represen senta tació ción n Gráf Gráfica ica de una una Func Funció ión n de Membr Membresí esía a de Camp Campan ana a
FM Sigmoidal.- Se define por dos parámetros {x; a, c}:
Donde a controla la cuesta al punto de cruce donde se tiene a x = c. Dependiendo del signo del parámetro a, una sigmoidal FM es abierta por la derecha o abierta por la izquierda.
Figura 2.5 Repr Represe esenta ntació ción n Gráf Gráfica ica de una una Func Función ión de Membre Membresía sía Sigmo Sigmoid idal al
Un número triangular difuso puede ser parametrizado por una tripleta {a,b,c} donde la función de pertenencia de un número triangular difuso A está definida por [39]:
Las operaciones aritméticas entre números difusos triangulares X y Τ son definidas como sigue [18] y [39]: 1. Adición de números difusos triangulares
2. Sustracción de números difusos triangulares
3. Multiplicación de números difusos triangulares
4. División de números difusos triangulares
Cuando a una variable se le asigna un número como su propio valor se tiene un marco matemático de trabajo bien establecido para formularlo, pero cuando una variable toma un carácter como su valor no tenemos un marco de trabajo formal para formularlo en teoría de matemática clásica. Para proveer dicho marco de trabajo se introdujo el concepto de variable lingüística, que es la forma de interpretar un carácter y darle un valor numérico hablando normalmente [39].
Definición 2.10 (Variable lingüística). Una variable que toma caracteres en lenguajes naturales como sus valores, se le llama variable lingüística, donde las palabras son caracterizadas como conjuntos difusos definidos en el universo de discurso en el que la vañable es definida analíticamente por intervalos[39].
Una descripción formal de lo que es una variable lingüística es descrita por (Zadeh), donde la variable lingüística está caracterizada por la siguiente expresión: (x,Τ (x), (x), Χ , Μ )
(2.22)
Donde: x: es el nombre de la variable, variable, por ejemplo ejemplo temperatura temperatura de de un horno. horno. T(x): T(x) : es el conjunto de valores valores lingüísticos de χ que que puede tomar; por ejemplo: para la Temperatura del horno Τ — — {Baja, Media, Alta}. X:
es el dominio físico actual o universo de discusión, en la cual la variable lingüística χ toma valores numéricos, para el ejemplo de la temperatura del horno X =
[ 0 , T m a x ] .
M: es una regla semántica la cual asocia a cada valor lingüístico en T(x) con un con junto junt o difuso di fuso en X. X.
El concepto de variable lingüística es de gran importancia para los sistemas difusos, porque son los elementos fundamentales de la representación del conocimiento humano.
Cuando se utilizan sensores para medir una variable, éstos entregan un valor numérico como salida, cuando se le pregunta a un experto humano para que evalúe una variable, ellos entregan palabras como salidas, de aquí que a partir del concepto de variables lingüísticas se pueden formular descripciones vagas en lenguaje natural a términos matemáticos precisos [33].
Una regla difusa Si-Entonces (también conocida como regla difusa, implicación difusa o estatuto condicional difuso) asume la forma [19] y [37]: SI como un antecedente, ENTONCES como una consecuencia
Donde el antecedente y la consecuencia son valores lingüísticos definidos por conjuntos difusos. Ejemplos 2.1 Si-Entonces son empleados en nuestras expresiones lingüísticas diariamente, tales como las siguientes: • Si la neblina es densa Entonces la visión se dificulta. • Si la carretera está dañada Entonces manejar es peligroso. • Si la manzana está verde Entonces no está madura.
Existen dos tipos de proposiciones: las proposiciones difusas atómicas y las prop propos osic icio ione ness difus difusas as compuestas. Una proposición difusa atómica es una declaración simple como [39]:
Dondee es una Dond una vari variab able le lin lingüí güíst stic icaa y A es un un valor valor lingüís lingüístic ticoo de (esto (esto es, A es un conjunto difuso definido en el dominio físico de
Por ejempl ejemplo, o, si represe representa nta la veloci velocidad dad del auto auto del ejempl ejemploo anterior anterior,, se tienen las siguientes proposiciones difusas (las primeras tres son proposiciones atómicas difusas y las últimas tres son proposiciones compuestas difusas):
Donde L, Μ y R denotan los conjuntos difusos "lento", "medio" y "rápido", respectivamente. Se puede notar que en una proposición compuesta difusa, las proposiciones atómicas difusas son independientes, esto es, las x en la misma proposición de (2.27)-(2.29) pueden ser diferentes variables. En realidad, las variables lingüísticas lingüísticas en una u na proposición difusa son en general diferentes. Por ejemplo, sea x la velocidad de un auto en donde y = x la aceleración del auto, entonces si se define el conjunto alta (A) para la aceleración, se tiene la siguiente proposición difusa compuesta:
Las reglas difusas combinan uno o más conjuntos difusos de entrada, llamados antecedentes o premisas y les asocian un conjunto difuso de salida, llamado consecuente o consecuencia. Los conjuntos difusos de la premisa se asocian mediante conjuntivas lógicas como y, o, etc. Una regla típica, de tipo IF-THEN, para un sistema de control. c ontrol.
Las reglas difusas permiten expresar el conocimiento que se dispone sobre la relación entre antecedentes y consecuentes. Para expresar este conocimiento de forma completa normalmente se precisa de varias reglas, que se agrupan formando lo que se conoce como una base de reglas, es decir, el conjunto de reglas que expresan las relaciones conocidas entre antecedentes y consecuentes. La base de reglas se puede representar bien como una tabla de las reglas que la forman, o bien como una memoria asociativa difusa o FAM (Fuzzy Assoc Associat iative ive Memo Memory) ry).. Las FAM son matrices que representan la consecuencia de cada regla definida para cada combinación de dos entradas. Las FAM permiten permite n realizar realiz ar una representac repre sentación ión gráfica grá fica clara clar a de las relaciones rela ciones entre dos variables lingüísticas de entrada y la variable lingüística de salida, pero requiere que se indique explícitamente todas las reglas que se pueden formar con estas dos variables de entrada. Cuando el número de conjuntos de cada una de las particiones de entrada crece las FAM se hacen difícilmente manejables [37].
Como en cualquier otra lógica, las reglas de inferencia de lógica difusa go biernan la deducción de una proposición que a partir de un conjunto de premisas En lógica difusa, se permite que ambas; premisas y conclusiones sean proposiciones difusas. Además, ya que los resultados inferidos, usualmente deben ser traducidos en términos más significativos (conjuntos difusos) por el uso de aproximación aproximación lingüística, la conclusión final obtenida a partir de las premisas pi = [pi ,- pi+] es, en general, una aproximación en lugar de una consecuencia exacta de La regla básica de inferencia en la lógica tradicional es el modus ponens, de acuerdo al cual podemos inferir la verdad de una proposición Β a partir de la veracidad de A y la implicación. Por ejemplo si A es identificado como "La neblina está densa" y Β con "La visión se dificulta", entonces si es verdad que "La neblina está densa" esto implica que también es verdad que "La visión se dificulta". Este concepto es ilustrado de la manera siguiente [23]:
Premisa 1 (Regla) Premisa 2 (Hecho) Conclusión:
Si x es A entonces entonce s y es Β x es A y es Β
Sin embargo, en gran parte del razonamiento humano, el modus ponens es em pleado de una manera aproximada. aproximad a. Por Po r ejemplo si tenemos ten emos la misma regla de implicación y conocemos que "La neblina está más o menos densa" podemos inferir que "La visión es más o menos buena". Esto es escrito como: Premisa 1 (Regla) Premisa 2 (Hecho) Conclusión:
Si x es A entonces entonce s y es Β x es A' y es B'
Donde es A' cercano a A y B' es cercano a B. Cuando A,B, A,B, A' y B' son conjuntos difusos de universos apropiados, el procedimiento de inferencia anterior es llamado razonamiento aproximado o razonamiento difuso, también llamado, modus ponens generalizado, ya que, éste es un caso especial del modus ponens
[39].
Las matemáticas difusas proporcionan un punto de inicio y un lenguaje para los sistemas sistemas difusos difusos y el control difuso. difuso. Las matemática matemáticass difusas son un campo enorme donde sus principios se han desarrollado para reemplazar los conjuntos de la teoría matemática clásica por conjuntos difusos. De esta forma la teoría de la matemática clásica se puede transformar en matemática difusa, observando el nacimiento de palabras como topología difusa, álgebra difusa, análisis difuso, etc. Estos principios y conceptos son muy útiles dentro de los sistemas difusos y del control difuso [33].
Para establecer las características de control para un sistema de control difuso, es necesario realizar una breve introducción a lo que son los sistemas propiamente de control y describir algunas de sus propiedades y conceptos que serán de utilidad para tener un mejor entendimiento de los sistemas de control difuso. En la vida diaria existen actividades que necesitan cumplirse con ciertas condiciones. La búsqueda para alcanzar tales actividades con ciertas condiciones requiere de un sistema que implante ciertas estrategias para obtener los resultados requeridos con las condiciones establecidas. En años recientes, los sistemas de control tenían un papel de gran importancia en el desarrollo y avance científico-tecnológico. Todas las actividades de la vida cotidiana están relacionadas con un tipo de sistema de control. Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria, tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensam ble automático, au tomático, control con trol de máquinas-herramientas, control por computadora entre muchos otros. Aun el control de inventarios, sistemas económicos y sociales se pueden visualizar a través de la teoría de control automático. Por lo tanto podemos definir como un sistema de control a toda aquella estrategia o técnica aplicada a un sistema, capaz de manipular su estructura y com portamiento portamiento de acuerdo a nuestras n uestras necesidades o condiciones; manteniendo al sistema en una región determinada y en un tiempo acotado [7] y [46].
Las propiedades básicas de un sistema de control se pueden describir de la siguiente forma [7] y [20]: • Objetivos de control. • Componentes del sistema de control. • Resultados o salidas. La relación básica entre estas tres propiedades se ilustra en la figura 3.1, en términos más técnicos, los objetivos se pueden identificar como entradas, o señales actuantes u, y los resultados también se llaman salidas, o variables controladas. En general, el objetivo de un sistema de control es acotar las salidas de alguna forma presenta mediante las entradas a través de los elementos del sistema de referencia.
Figura 3.1 Componentes básicos de un sistema de control
Los elementos de un sistema de control en lazo abierto se pueden dividir en dos partes: a) el controlador, b) el sist sistem emaa o proceso, como se ilustra en la figura 3.2, una señal de entrada o comando se aplica al controlador, cuya salida actúa como señal actuante, la señal actuante controla el proceso de tal forma que la variable controlada se comporte de acuerdo a nuestras condiciones. En los casos simples, el controlador puede ser un amplificador, unión mecánica, u otro elemento de control. En los casos más complejos, el controlador puede ser un CPU. Debido a la simplicidad y economía de los sistemas de control en lazo abierto, se les encuentra en muchas aplicaciones no críticas [5] y [36].
Figura 3.2 Componentes de un sistema de control en lazo abierto
Lo que hace falta en los sistemas de control en lazo abierto para que sea más exacto, adaptable y estable es una conexión o realimentación de la variable controlada hacia un comparador o sumador que se encuentra en la entrada, ya que la señal resultante resultante de esa comparación es la señal actuante al sistema para corregir corregir un posible error. error. Un sistema sistema con una o más trayector trayectorias ias de realimentación se denomina sistema en lazo cerrado. Este tipo de control se puede observar en la figura 3.3 [5] y [20].
Componentes de un sistema de control en lazo cerrado Figura 3.3 Componentes
Uno de los motivos de utilizar realimentación es reducir el error entre la entrada de referencia y la salida del sistema. Sin embargo, el significado de los efectos de la realimentación en un sistema de control es más complejo. La reducción del error del sistema es sólo uno de los efectos más importantes que la realimentación realiza sobre el sistema. A continuación se describe cómo la realimentación también tiene efectos en las características del sistema tales como la estabilidad, ancho de banda, ganancia global, perturbaciones y sensibilidad [46].
Para entender los efectos de la realimentación sobre un sistema de control, es esencial examinar el fenómeno en el más amplio sentido. Cuando la realimentación es introducida en forma deliberada para propósitos de control, su existencia se identifica fácilmente. Sin embargo, existen numerosas situaciones en donde un sistema físico, que normalmente se reconocería como un sistema inherentemente no realimentado, se vuelve realimentado cuando se observa de cierta manera. En general, se puede establecer que cuando una secuencia cerrada de relaciones causa-efecto existe entre las variables de un sistema, se dice que existe realimentación. Este punto de vista admitirá, inevitablemente, realimentación en un gran número de sistemas que normalmente se identificarían como sistemas no realimentados. Sin embargo, con la disponibilidad de la realimentación y de la teoría de sistemas de control, esta definición general permite que numerosos sistemas, con o sin realimentación, realimentación, sean estudiados en una forma sistemática una vez que la existencia de la realimentación en el sentido mencionado previamente sea establecida [5], [7] y [36]. Los parámetros G y Η se pueden considerar como ganancias constantes. Mediante manipulación algebraica simple, es fácil mostrar que la relación entrada-salida del sistema es:
Empleando las ecuaciones básicas de la estructura de los sistemas realimentados, se pueden analizar algunos de los efectos significativos significativos de la realimentación. realimentación.
Los sistemas de control realimentados se pueden clasificar en diversas formas, dependiendo del propósito de la clasificación. Por ejemplo, de acuerdo con el método de análisis y diseño, los sistemas de control se clasifican en lineales y no lineales, variantes con el tiempo
o invariantes con el tiempo. De acuerdo
con el tipo de señales usadas en el sistema, se hace referencia a sistemas en tiempo continuo
y en tiempo discreto, o sistemas modulados y no modulados. A menudo,
los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su propósito principal. Por ejemplo, un sistema de control de posición y un sistema de control de velocidad controlan las variables de salida de acuerdo con la forma como su nombre lo indica. En general, existen muchas formas de identificar un sistema de control de acuerdo con alguna función especial del sistema. Es importante que algunas de estas formas comunes de clasificar a los sistemas de control sean conocidas previamente para obtener una perspectiva propia antes de realizar su análisis y diseño [7] y [20].
La forma más estándar de modelar un sistema lineal es utilizando la función de transfe para repres preseenta ntar las las relac elaciione ness en enttrad adaa-salida de las va varriab ablles del sistema. Para rencia pa determinar la función de transferencia necesitamos de un punto de inicio el cual usualmente consiste consiste en emplear la respuesta al impulso [7].
Pensemos en un sistema lineal e invariante en el tiempo que tiene una entrada u(t) y la salida y(t). El sistema se puede caracterizar por una respuesta al impulso g(t), que se define como la salida cuando la entrada es una función impulso unitario δ(t). Una vez que se conoce la respuesta al impulso de un sistema lineal, la salida del sistema, y(t), para cualquier entrada, u(t), se puede encontrar mediante la función de transferencia transferencia [7].
La función de transferencia G(s) de un sistema lineal invariante en el tiempo se define como la transformada de Laplace de la respuesta impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero [5], [20] y [36]. G(s)=L[g(t) ]
(3.2)
La función de transferencia G(s) se relaciona con la transformada de Laplace de la entrada y la salida a través de la siguiente relación:
Con todas las condiciones iniciales a cero, Y(s)y U(s) son las transformadas de Laplace de y(t) y u(t). Propiedades de la función de transferencia: • La función de transferencia está definida solamente para un sistema lineal invariante en el tiempo. No está definida para un sistema no lineal. • Todas las condiciones iniciales del sistema son igual a cero. • La función de transferencia es independiente de la entrada del sistema. • La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo se expresa sólo como una función de la variable compleja s. No es función real del tiempo.
Se dice que la función de transferencia de la ecuación (3.4) [20]:
De acuerdo con la ecuación (3.4) es: • Estri Estrict ctam amen ente te prop propia ia.. Si el grado del polinomio denominador es mayor que el del polinomio numerador, teniendo a n > m. • Propia. Si el grado del polinomio numerador y el del denominador son iguales, teniendo a n = m. Impropia ia.. Si el grado del polinomio numerador es mayor que el del polino• Improp mio denominador, teniendo a m > n.
La ecuación característica de un sistema (3.4) se define como la ecuación que se obtiene al igualar a cero el polinomio denominador de la función de transferencia; es decir: ansn + an-1sn-1 +... + a1 s + a0= 0. La importancia de la ecuación característica para sistemas de una entrada y una salida (SISO) es fundamental para entender la estabilidad del sistema a través de los valores propios propios para para el el conjun conjunto to de de {s;} [46].
La definición de un polo se puede enunciar como: Si una función G(s) es analítica, en la vecindad de si, se dice que tiene un polo de orden r en s = si, si el límite:
Se tiene un valor finito diferente de cero. En otras palabras, el denominador de G(s) debe incluir el factor (s = si) r , por lo que cuando s = s ,i la función se vuelve infinita. Si r = l, el polo en s = s ,i se llama un polo polo senci sencill llo. o. Como un ejemplo la función Ejemplo 3.1 dado el siguiente sistema:
Se tiene un polo de orden 2 en s = -3 y polos sencillos en s = 0 y s = -1. Tam bién se puede decir decir que la función función G(s) es analítica en el plano s, excepto en estos polos.
La definición de un cero de una función se puede enunciar como: Si la función G(s) es analítica en s = s ,i se dice que tiene un cero de orden r en s = s ,i si: si:
Se tiene un valor finito diferente de cero. O simplemente, G(s) tiene un cero de orden r en s = s ,i si 1/G(s) tiene un polo de orden r en s = si. Ejemplo 3.2, retomando la función descrita en el ejemplo 3.1, tiene un cero sencillo en s = -2.
Una de las principales aplicaciones de la lógica difusa es el diseño de sistemas de control que a partir de tener ciertas entradas en un sistema se deberán generar salidas, para poder actuar sobre determinados mecanismos. Un ejemplo podría ser el sistema de control para regular la velocidad de un ventilador, ventilador , en función de la temperatura de un horno. En este caso, la única entrada del sistema sería el valor de la temperatura, por ejemplo en grados centígrados y la única salida, el valor, en revoluciones por minuto (rpm), de la velocidad necesaria del ventilador para conseguir una temperatura ideal [37]. En años recientes el campo de los sistemas difusos y el control ha tenido un progreso acelerado. Motivados por el éxito del control difuso en productos de consumo y en el control de procesos industriales, ha habido un incremento en la cantidad de trabajos sobre los estudios de los sistemas difusos y el control difuso. Los sistemas difusos son sistemas basados en el conocimiento o en reglas. La característica principal de un sistema difuso es su base de reglas que consiste de un conjunto de proposiciones SI-ENTONCES (IF-THEN rules). Una regla SI-ENTONCES es una declaración en la cual algunas palabras son ca-
racterizadas por funciones de pertenencia (o funciones de membresía) continuas. Por ejemplo, la siguiente es una regla difusa SI-ENTONCES [33]. SI la velocidad de un carro es alta ENTONCES ENTONCES se aplica menor
fuerza al acelerador.
Figura 3.4 Función de pertenencia para la variable "alta"
Figura 3,5 Función de pertenencia para la variable "menor"
Donde las palabras "alta" y "menor" son caracterizadas por las funciones de pertenencia (o funciones de membresía) mostradas en la figura 3.4 y 3.5 respectivamente. Un sistema difuso se construye a partir de una colección de reglas difusas SI-ENTONCES. SI-ENTONCES. El punto de inicio para construir un sistema difuso es obtener una colección de reglas difusas basadas en el conocimiento humano de los expertos
o generar las reglas con base en la función de distribución del sistema de referencia. El siguiente paso es combinar estas reglas en un sistema simple. Los diferentes sistemas difusos emplean diferentes principios de esta combinación [37]. Existen tres tipos de sistemas difusos empleados comúnmente: • Sistemas difusos puros (figura 3.6). • Sistemas difusos con inferencia de entrada y una inferencia de salida (figura 3.7). 1. Takagi-Sugeno-Kang Takagi-Sugeno-Kang (TSK). 2. Mandami La configuración básica de un sistema difuso puro se muestra en la figura 3.6. La base de reglas difusas representa la colección de reglas SI-ENTONCES. Por ejemplo, para el controlador de un auto, la base de reglas difusas consiste de las siguientes tres reglas:
Figura 3.6 Configuración básica de los sistemas difusos puros
SI la velocidad es baja, ENTONC ENTONCES ES se aplica más fuerza al acelerador.
SI la velocidad es media, ac elerador. ENTONCES ENTONCES se aplica una fuerza normal al acelerador. SI la velocidad es alta, ENTONCES ENTONCES se aplica menor fuerza al acelerador.
(3.9) (3.10)
El dispositivo de inferencia difusa combina las reglas difusas SI-ENTONCES dentro de un mapeo de conjuntos difusos en el espacio de entrada a conjuntos difusos en el espacio de salida basado en principios de la lógica difusa. Si existiera una línea de retroalimentación en la figura 3.6, el sistema se transforma en un sistema dinámico difuso. El principal problema con el sistema difuso puro es que sus entradas y salidas son conjuntos difusos (palabras en lenguajes naturales), por el contrario en los sistemas de ingeniería las entradas y las salidas son variables valuadas en la realidad. Para resolver este problema, Takagi, Sugeno y Kang propusieron otro sistema difuso cuyas entradas y salidas son variables valuadas en la realidad [37]. Para considerar las reglas difusas SI-ENTONCES en la forma de (3.7), el sistema Takagi- Sugeno-Kang (TSK) utiliza reglas en la siguiente forma: ENTONCES ES 67 la velocidad de un carro es alta, ENTONC la fuerza del acelerador es
Donde la palabra "alta" tiene el mismo significado que en la expresión (3.7), y c es una constante. Comparando las expresiones (3.11) y (3.7) podemos ver que la parte ENTONCES de la regla cambia de una descripción utilizando palabras en lenguajes naturales a una fórmula matemática simple. Este cambio hace más fácil combinar las reglas. En realidad, el sistema difuso Takagi-Sugeno-Kang es una media ponderada tomada de los valores en las partes partes ENTON ENTONCES CES de las reglas reglas [33]. [33]. Los problemas principales con el sistema difuso Takagi-Sugeno-Kang son: • Su parte ENTONCES es una fórmula matemática y por tanto no puede proporcionar proporci onar un marco ma rco natural natur al que represente repre sente el conocimiento con ocimiento humano. h umano.
• No hay mucha libertad para aplicar diferentes principios en lógica difusa, debido a esto la versatilidad de los sistemas difusos no está muy bien representada en este marco. Para resolver estos problemas empleamos los sistemas difusos con su mecanismo de inferencia, su configuración se muestra en la figura 3.7.
Figura 3.7 Configuración básica de los sistemas difusos con un mecanismo de inferencia difusa
Figura 3.8 Sistema difuso como controlador en lazo abierto
Los sistemas difusos mostrados en la figura 3.8 pueden ser usados como controladores en lazo abierto o controladores en lazo cerrado (con retroalimentación) mostrados en las figuras 3.9 y 3.10.
Figura 3.9 Sistema difuso como controlador en lazo Cerrado
Los sistemas expertos de control difuso basados en reglas, conocido como controladores difusos o FLC (Fuzzy Logic Controllers), son sin duda la aplicación más extendida de la lógica difusa. De forma general, podemos observar un controlador en la figura 3.10 [37].
Figura 3.10 Control directo de un proceso o sistema siste ma
Para poder controlar un proceso o sistema se emplea un módulo controlador, que recibe como entradas una o varias variables de control llamadas generalm ralment entee refere referenci ncias as o señ señal al des desead eada, a, y una o var varias ias va vari riabl ables es de de salida salida del del propi propioo proce proceso so,, produ produci ciend endoo como como salida salidass una una o varia variass variables, que se conocen como actuadores Normalmen Normalmente te el objetivo objetivo del control control es mantener La estructura típica de un controlador basado en un sistema difuso puede verse en la figura 3.11.
Figura 3.11 Estru Estructu ctura ra de un contr controla olado dorr (el (el núcle núcleo o FLC FLC es el cont control rolad ador or difus difuso) o)
Es de destacar que el control difuso, que es la principal aplicación de los sistemas difusos, aparte de ser un tema de investigación, resulta muy impor-
tante desde el punto de vista industrial, en cuyo campo existen desde hace tiempo infinidad de aplicaciones para estos sistemas en funcionamiento. La arquitectura del controlador a utilizar depende de la aplicación concreta a llevar a cabo. No resulta fácil realizar una clasificación genérica de todas las arquitecturas posibles de controladores basados en lógica difusa, sin embargo, existen grandes grupos dentro de los cuales podemos mencionar los controladores difusos directos sin optimización y los controladores difusos directos con optimización, controladores difusos híbridos en los cuales se incluyen los formados por la combinación de lógica difusa con redes neuronales y sistemas expertos. Actualmente existe una gran cantidad de propuestas dentro de la combinación de la capacidad de aprendizaje de las redes neuronales y del procesamiento de información imprecisa de la lógica difusa [19], además, en el área del control inteligente [33] y [39], la lógica difusa se ha utilizado para resolver de forma exitosa una gran variedad de problemas de diversa complejidad. Las etapas de un sistema de control difuso son las siguientes: • La inferencia de entrada, es la que toma valores de la planta y los inter preta como como valores valores lingüíst lingüísticos. icos. • La inferencia de salida, consiste en la conversión de datos lingüísticos a datos numéricos, mediante una ponderación y normalización de las sentencias lógicas antecedentes. • La base de conocimiento, incluye los parámetros necesarios para la inferencia de entrada y salida, los cuales pueden ser de naturaleza heurística u optimizados mediante alguna técnica particular. Básicamente se puede ver al controlador difuso como un sistema experto que toma decisiones y que opera en un sistema de lazo cerrado, compara la y(t) salida ŷ(t) del sistema difuso con la entrada de referencia o señal deseada y(t) y entonces decide cuál es la entrada a la planta u(t) y asegura la realización de los objetivos [39].
Cuando se utilizan controladores difusos en lazo cerrado, éstos miden la salida de la planta y toman acciones de control sobre el proceso continuamente, para tratar que la salida de la planta y la entrada de referencia presenten presenten el mínimo mínimo error. error. El objetivo objetivo al utilizar utilizar sistema sistemass difusos difusos es poner el conocimiento humano dentro de los sistemas de ingeniería de manera sistemática, eficiente eficiente y de manera organizada [33]. Los sistemas difusos han sido empleados en una gran variedad de campos, tales como: control de sistemas, procesamiento de señales, reconocimiento de patrones, comunicaciones y sistemas de información, manufactura de circuitos integrados, sistemas expertos, medicina. Sin embargo las aplicaciones más significativas han sido concentradas en los problemas de control, con el diseño e implementación de controladores difusos [38] y [46].
Los sistemas difusos utilizan el conocimiento humano para resolver problemas de ingeniería, este conocimiento puede ser clasificado en dos categorías: conocimiento consciente y conocimiento subconsciente. Por conocimiento consciente se entiende el que puede ser descrito, es decir, que puede ser expresado con palabras. palabras. Por conocimiento conocimiento subconsciente subconsciente entendemos entendemos las situaciones donde el experto humano sabe qué hacer, sin embargo no sabe cómo expresarlo con palabras [5] y [7]. Para el conocimiento consciente, podemos preguntar simplemente al experto humano que exprese en términos de reglas difusas de la forma SI-ENTONCES su conocimiento y experiencia sobre determinado problema y obtener reglas difusas y ponerlas con base en reglas del sistema difuso. Si se Empleara el método en la forma probabilística para clasificar al sistema de referencia, sería haciendo uso de la función de distribución (método empleado en el capítulo VI), que describe la región de operación del sistema en análisis donde se definen funciones o valores que están dentro de esta función para caracterizar sus niveles de operación. Esto puede ser mediante la varianza de la función de distribución distribución en donde se obtienen tres niveles: la
varianza por debajo del valor medio que representa el valor bajo, la media y la varianza superior que representa su valor alto. El método de diseño de un controlador difuso mediante el conocimiento del experresumirse en los siguientes pasos [7]: to (también llamado prueba y error), puede resumirse • Analizar el sistema real y elegir las variables de estado y las variables de control Las variables de estado representan las características del sistema, son las entradas al controlador difuso y las variables de control son la salida del controlador difuso. • Derivar reglas difusas de la forma SI-ENTONCES que relacionan las variables de estado con las variables de control La formulación de estas reglas está basada en el conocimiento y experiencia del experto humano acerca del funcionamiento del sistema y las transforma en un conjunto de reglas de la forma SI-ENTONCES. • Combinar estas reglas en un sistema difuso y probarlo con el sistema en lazo cerrado
En el lenguaje común, la palabra estable (del latín stabilis) significa constante, permanente. permane nte. Como concepto conce pto físico se introdujo intro dujo en la mecánica, mecánic a, dond dondee se utiliza aplicado sobre todo a una posición de equilibrio de una partícula, cuerpo o sistema mecánico. Tal posición de equilibrio se denomina estable si el cuerpo o sistema no retorna a esa posición original después de moverlo o perturbarlo para separarlo ligeramente de la misma, Como por ejemplo un cuerpo en forma de libro suficientemente suficientemente delgado, tiene una posición p osición "más estable" si se coloca sobre la cubierta que si se "para" sobre el canto. Esta conclusión se relaciona con el principio de Torricelli (aunque en realidad es anterior a él), que nos dice también en sentido de la física que En todo sistema de cuerpos sólidos en equilibrio (estable) el centro de Natur almente te el crite c riterio rio anterior anter ior gravedad ocupa la posición relativa más baja posible. Naturalmen
no se aplica si no existen puntos fijos; tal es el caso de una bola que se desplace sobre una superficie plana horizontal como se observa en la figura 4.1 p].
Figura 4.1 Principio de Torricelli
Sin embargo, para una bola que se desplace sobre una superficie abaleada. Con puntos de equilibrio, funciona una variante del principio de Torricelli,
que puede enunciarse así: si cualquier desplazamiento pequeño a partir de la posición de equilibrio hace que el centro de gravedad suba, el equilibrio es estable [46] como se
observa en la figura 4.2
Figura 4.2 Variante del principio de Torricelli
En estos ejemplos se puede observar que la noción de estabilidad lleva implícita de alguna manera la de desplazamiento o movimiento mecánico y, por lo tanto, es esencialmente dinámica.
Figura 4.3 Figura del Péndulo de muelle
Los conceptos y los criterios de estabilidad señalados, aunque fructíferos en muchas situaciones, resultaron inadecuados o insuficientes en otras. Es muy importante en el trabajo de Lyapunov la propia definición de estabilidad, que se introduce por primera vez con rigor matemático y que es mucho más amplia que el concepto que se utilizaba en mecánica; no se refiere ya al mo-
vimiento de un cuerpo, sino en general, a una ecuación diferencial. Además no se trata de la estabilidad de un equilibrio sino la de cualquier parte de la ecuación (Los puntos de equilibrio o estacionarios de la ecuación son soluciones particulares de la misma y representan los puntos de equilibrio físico del cuerpo cuyo movimiento movimiento se describe) describe) [33]. Otro trabajo importante sobre la estabilidad y de gran utilidad es el criterio que fue encontrado por el ingeniero inglés A. Hurwitz mientras buscaba bus caba con condici diciones ones para la estabilid esta bilidad ad de una máquina máqu ina de vapo vapor, r, cuya velocidad de rotación se regula mediante un péndulo centrífugo. (Este tipo de control del péndulo se emplea con frecuencia en la actualidad en muchas industrias) [5]. Este criterio es un método algebraico que proporciona información sobre la estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante con el tiempo que tiene una ecuación característica con coeficientes constantes. El criterio prueba si cualquiera de las raíces de la ecuación característica está semiplano derecho del plano s, También indica el número de raíces que esta sobre el eje jw y el semiplano derecho del plano s. También existen otros criterios y teoremas que nos ayudan al análisis de la estabilidad en un sistema de control, pero para escoger qué teorema es el más adecuado primero se debe analizar los tipos y grados de ésta. Que a continuación se clasifican [36] y [46]: Tipos: • Estable (entrada acotada/salida acotada y entrada cero estabilidad asintótica) • Marginalmente Marginalmente estable. • Inestable. Grados: • Estabilidad Estabilidad absoluta. • Estabilidad relativa.
Para el análisis de la estabilidad se tienen las siguientes herramientas, que entre otras nos dan una serie de opciones diferentes para el estudio de ésta como lo es el criterio de Nyquist, el criterio de Routh-Hurwitz, Diagramas de Bode, Diagrama de Nichols, etc., que en la estructura de este capítulo algunos de estos se mencionarán. Definición 4.1. (Sistema estable) Se dice que un sistema es estable entrada-acotada/ salida-acotada, si para condiciones iniciales nulas (respuesta a estado cero), su salida es acotada para una entrada acotada [7].
Definición 4.2. (Sistema asintóticamente estable) Si la respuesta a entrada nula, sujeta a condiciones iniciales finitas, alcanza el cero cuando t tiende a infinito, se dice que el sistema es estable a entrada cero (o asintóticamente estable) [7].
Afortunadamente, Afortunadamente, en sistemas sistemas lineales e invariantes en el tiempo, ambas definiciones necesitan del mismo requisito, éste es que todas las raíces del polinomio característico de la función de transferencia del sistema tengan parte real negativa. Por esta razón los sistemas que cumplen con esta condición son conocidos simplemente como estables. Definición 4.3. (Sistema marginalmente estable) Un sistema es marginalmente estable si no hay raíces del polinomio característico en el Semiplano Derecho y a lo más hay raíces simples sobre el eje imaginario [37].
Definición 4.4. (Sistema inestable) Un sistema es inestable si por lo menos hay una raíz simple de la ecuación característica del sistema en el Semiplano Derecho, o una raíz doble sobre el eje imaginario [37].
El criterio de Nyquist relaciona la estabilidad de un sistema a lazo-cerrado con la repuesta a la frecuencia a lazo-abierto y la localización de polos a
lazo-abierto. Es decir tener información sobre la respuesta a la frecuencia a lazo-abierto nos proporciona información acerca de la estabilidad del sistema a lazo-cerrado. Para entender correctamente el criterio de estabilidad de Nyquist Nyquist es muy muy impo importa rtante nte tener tener muy muy claros claros los siguie siguientes ntes puntos puntos [5] y [20]: [20]: • La relación que existe entre los polos de la ecuación característica 1 + G (s)H (s) y los polos de la ecuación para lazo-abierto G (s)H (s). • La relación que existe entre los ceros de la ecuación característica 1 + G (s)H (s) y los polos a lazo-cerrado de la función de transferencia
• El concepto de mapeo de puntos. • Concepto de mapeo de contornos. Mapear un contorno A, a través de una función F(s) en un contorno B. Para el mapeo de contornos es importante notar que si se asume el mapeo a favor de las manecillas de reloj para mapear los puntos de contorno A (plano-s), entonces el mapeo del contorno Β mapea también a favor de las manecillas del reloj si la función F(s) tiene solo ceros, y en contra de las manecillas del reloj si la función F(s) tiene solamente polos. También si el polo o cero de la función F(s) está envuelto por el contorno A, el mapeo circulará el origen [7] y [36]. Este criterio plantea que existe una relación única entre el número de polos de F(s) contenidos dentro del contorno A, el número de ceros de F(s) dentro de contorno A y el número de encierros del origen en contra de las manecillas del reloj durante el mapeo del contorno B. Esta relación se puede usar para determinar la estabilidad de un sistema a lazo cerrado. Si el contorno A, que encierra completamente el semiplano complejo es mapeado a través de G(s) H(s), entonces el número de polos de lazo cerrado (Z), en el semiplano complejo derecho, iguala al número de polos de lazo abierto (P), que está en el semiplano complejo derecho, menos el numero de encierros en contra de las manecillas del reloj (N), alrededor de –l en el mapeo; esto es El mapeo se conoce como diagrama de Nyquist de G(s) H(s).
El Criterio de Nyquist permite (entre otros) definir otro margen de estabilidad que complementa al margen de ganancia. Este criterio establece establece que: Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s) no encierra el punt puntoo (-1 (-1,0 ,0)) cuan cuando do el el núme número ro de de pol polos os de de l(s) l(s) en en el Semi Semipl plan anoo Dere Derech choo del del pla plano no "s" "s" es cero. Un sistema realimentado es estable si y sólo si el contorno en el plano l(s) encierra el punto (-1,0) en sentido anti-horario un número de veces igual al número de polos de l(s) con parte real positiva [33].
Resumiendo ambas definiciones se tiene que: Un sistema de lazo cerrado es estable si el de lazo abierto lo es y si el diagrama de respuestas de frecuencias queda a la derecha del
punto (-1,0). Observándose lo antes mencionado en la figura 4.4
Represent entac ación ión de la respue respuesta sta en frecue frecuenci nciaa en en el el sena senado do del criter criterio io de Nyquis Nyquist t Figura 4.4 Repres
El criterio de Routh-Hurwitz representa un método para determinar la localización de los ceros de un polinomio con coeficientes reales con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del plano s, sin obtener los ceros. Debido a que los programas para computadora para encontrar raíces pue-
den resolver los ceros de un polinomio con facilidad, el valor del criterio de Routh-Hurwitz está limitado a ecuaciones con por lo menos un parámetro desconocido [l]. Considere que la ecuación característica de un sistema lineal SISO e invariante con el tiempo es de la forma de:
En donde todos los coeficientes son reales. Para que la ecuación (4.1) no tenga raíces con partes reales positivas, es necesario y suficiente para que las condiciones se cumplan que [1]: • Todos los coeficientes de la ecuación tengan el mismo signo. • Ninguno de los coeficientes coeficientes sea igual igual a cero. Las condiciones antes mencionadas están basadas en las leyes del álgebra, que relacionan los coeficientes de la ecuación (4.1) como sigue:
Por lo que todas estas relaciones deben ser positivas y no cero a menos que una de las raíces tenga una parte real positiva. Las dos condiciones necesarias para que la ecuación (4.1) no tenga raíces en el semiplano derecho del plano s, se pueden verificar fácilmente mediante la inspección de la ecuación. Sin embargo, estas condiciones no son suficientes, ya que es posible que una ecuación con todos sus coeficientes distintos de cero y del mismo signo pueda no tener todas todas las raíces en el semiplano semiplano izquierdo del plano s.
El criterio de Routh-Hurwitz está basado en el criterio de Hurwitz, que se enuncia como sigue: la condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación (4.1) estén en el semiplano izquierdo del plano "s" es que los determinantes de Hurwitz Hurwit z de la l a ecuación ecuac ión .
sean todos positivos [20]. Los determinantes de
Hurwitz de la ecuación (4.1) están dados por:
En donde los coeficientes con índices mayores que
η
negativos deben re-
ο
emplazarse con ceros. A primera vista, la aplicación de los determinantes de Hurwitz puede parecer demasiado pesada para la ecuación de orden su perior, perior , debido a la cantidad cantid ad de trabajo trabaj o involucrado involu crado en la evaluación evalua ción de los determinantes de la ecuación (4.6). Afortunadamente, Routh simplifico el proceso introduciendo un método de tabulación en lugar de los determinantes de Hurwitz [20].
El primer paso en la simplificación del criterio de Hurwitz, ahora llamado el criterio de Routh Hurwitz, es arreglar los coeficientes de la ecuación en la ecuación (4.1) en dos renglones. El primer renglón consiste del primero, tercero, quinto,..., coeficientes, y el segundo consiste del segundo, cuarto,
sexto,..., coeficientes, todos contados desde el término de orden más alto, como se muestra en la siguiente tabulación [20]:
El siguiente paso es formar el siguiente arreglo de números mediante las operaciones indicadas, ilustradas aquí para una ecuación de sexto orden:
El arreglo anterior se conoce como tabulación de Routh o arreglo de Routh. La columna de las s en el lado izquierdo se utiliza para propósitos de identificación. La columna de referencia mantiene el rastro de los cálculos, y el último renglón de la tabulación de Routh debe ser siempre el renglón s0 [20]. Una vez que la tabulación de Routh se ha completado, el último paso en la aplicación del criterio es investigar los signos de los coeficientes de la prime primera ra columna de la tabulación, que contiene información sobre las raíces de la ecuación. Se hacen las siguientes conclusiones:
Las raíces de la ecuación están todas en el semiplano izquierdo del plano "s" si todos los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh son del mismo signo. El número de cambios de signo en los elementos de la primera columna es igual al número de raíces con partes reales positivas o en el semiplano derecho del plano "s" [20].
La razón para la conclusión anterior es simple, basada en los requerimientos de los determinantes de Hurwitz. Las relaciones entre los elementos en la primera columna de la tabulación de Routh y los determinantes de Hurwitz son:
Por tanto, si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, los elementos en la primera columna de la tabulación de Routh deberán ser del mismo signo.
Como se observó los criterios antes mencionados son para sistemas lineales e invariantes con el tiempo, pero no se podrían aplicar si ésto se quisiera en sistemas no lineales o lineales pero variantes con el tiempo [7]. El método directo de Liapunov es el método más general para la determinación de los sistemas no lineales y/o variantes con el tiempo.
El sistema que se considera se define mediante:
En donde x es el vector de estado de dimensión n y f(x,t) es un vector de dimensión n cuyos elementos elementos son funciones funciones de Suponemos que el sistema de la ecuación (4.11) tiene una solución única que empieza en la condición inicial dada representándose como en dond dondee en t = t 0 y t es el tiempo observado. Por tanto,
En el sistema sistema de la ecuación ecuación (4.11) (4.11),, un estad estadoo de equil equilibri ibrioo en el que:
Se denomina estado de equilibrio del sistema. Si el sistema es lineal e invariante con el tiempo, es decir, si f(x,t) =Ax, entonces solo existe un estado de equilibrio si A es no singular, y existe infinitamente muchos estados de equilibrio A es singular. Para los sistemas no lineales, pueden existir una o más estados de equilibrio. Estos estados corresponden a las soluciones constantes del sistema sistema La determinación de los estados de equilibrio equilibrio no involucra la solución de las ecuaciones diferenciales del sistema ecuación (4.11), si no la solución de la ecuación (4.13). Representando una región esférica con radio k a partir de un estado de equilibro xe como:
En donde
se denomina a norma euclidiana, y se define mediante:
Suponiendo que S(δ) está formada por todos los puntos tales que:
También suponiendo suponiendo que S(e) está formada por todos los puntos tales que:
Se dice que un estado de equilibrio xe del sistema de la ecuación (4.11) es estable en el sentido de Liapunov si, en correspondencia con cada S (ε), existe una S(δ) tal que las trayectorias que empiezan en S(δ) no se alejan de S(ε) conforme t se incrementa indefinidamente.
Dentro del área de la inteligencia artificial, se ha desarrollado la lógica difusa como una herramienta que permite dar una respuesta cuantitativa a sistemas reales. En ella se partía de la idea de que todas sus respuestas tenían que ser estables. Pero sin expresar en qué sentido, ni cómo lograr esa estabilidad. Trabajos recientes han desarrollado el análisis de estabilidad para estos sistemas de control, pero con el problema de que estos desarrollos lo describen de forma puntual y no en intervalos como lo hace la lógica difusa. Afortunadamente una década después de que Zadeh describiera a la lógica difusa, Kharitonov en el año de 1978 describió una técnica para observar de forma robusta a un sistema de control empleando cuatro polinomios. De acuerdo con dichos polinomios es posible tener el enfoque difuso (en niveles o rangos) al análisis de la estabilidad y ayudados por el criterio de Routh-Hurwitz [20] se establece dicha estabilidad para los sistemas de control difuso lineales.
Dado un sistema de control como el descrito en la ecuación 3.4 y tomando su ecuación característica, característica, tenemos el siguiente polinomio: polinomio:
Resulta evidente que el polinomio descrito en 5.1 se puede escribir en dos polinomios de tal forma que se obtiene la siguiente ecuación:
Separando los componentes en su forma par e impar se tiene las siguientes ecuaciones: Polinomio par
Ahora se tiene la ecuación (5.5) polinomio impar A partir de la ecuación 5.1 y 5.3 se obtienen los siguientes polinomios:
Ahora en cada coeficiente de la ecuación se toma de la forma en que lo hace la lógica difusa, donde se establece que tiene valores imprecisos, a menudo se deben de describir de forma que cada valor tiene un grado de incertidumbre y que se encuentran acotados dentro de intervalos, teniendo así polinomios con coeficientes que están dentro de intervalos [37]. Los coeficientes de la ecuación (5.1) se pueden describir como:
Donde
denotan los límites de los intervalos de cada función de mem-
bresía, todo esto con el enfoque difuso que describen al controlador, obserob servándose vánd ose esto estoss lími límites tes en en la Fi ura 5.1: 5.1:
Figura 5.1 Función de membresía que describe los máximos y mínimos de cada coeficiente
Mientras que es el valor nominal de cada intervalo siendo igual a la unidad (valor máximo de una función de membresía como puede verse en la Figura 5.1). Teniendo así una expresión de la ecuación característica (5.1) en forma difusa descrita en un sentido robusto por la siguiente expresión:
Una vez teniendo descrito todos los puntos anteriores, podemos desarrollar los siguientes cuatro polinomios polinomios a partir de las ecuaciones (5.5), (5.6) y (5.7),
teniendo los siguientes polinomios polinomios en el sentido de Kharitonov con el enfoque difuso necesario:
Una vez construidos estos cuatro polinomios (5.9 a 5.12), se construyen ahora los cuatro polinomios de Kharitonov (que describen la estabilidad del sistema difuso) dados por:
Estos cuatro polinomios, son de a cuerdo con Kharitonov, los polinomios que acotan al sistema o planta dentro del plano S, y si ellos son Hurwitz (ver Anexo A), entonces (5.8) es Hurwitz y por lo tanto el sistema es estable.
Teniendo las expresiones (5.13 a 5.16), considerándolas acotadas hasta un 5to grado, cuyos coeficientes son los límites de las funciones de membresía tal y como se describe en la Teoría de Lógica Difusa, como puede ilustrarse en la Figura 5.1; es necesario observar que cada uno de estos polinomios cumple el criterio de Rout-Hurwitz [20], ya que tienen la forma expresada en (4.8) y ayudados por la tabulación (4.9), se tiene:
Para la ecuación (5.13):
Ahora para el segundo polinomio (5.14):
Ahora para el tercer polinomio (5.15):
Ahora para el cuarto polinomio (5.16):
Este resultado propone una modificación en los coeficientes de la ecuación característica obtenida y no en la estructura matemática del sistema, ya que con el control difuso se obtiene una expresión matemática descrita por intervalos, por lo cual no será posible analizar de la forma clásica empleando este
criterio de manera dinámica al observar los cambios entre estados; porque se tendrían que analizar todas las combinaciones posibles que hay de coeficientes dentro de sus intervalos descritos. La teoría de Kharitonov ayuda a establecer este análisis tan solo para cuatro polinomios (en los que se considera los límites máximos y mínimos para cada intervalo), que son suficientes suficiente s para poder describir la estabilidad en todas las posibles combinaciones del polinomio que se puedan dar. De forma tal que del conjunto de coeficientes que están acotados en (5.8) y la descripción tanto para sus límites superiores como inferiores, se obtienen los cuatro polinomios que describen a un sistema difuso por sus fronteras y tomando en cuenta el criterio de Routh-Hurwitz en cada polinomio obtenido, es obtenida la estabilidad en un sentido robusto para el conjunto de incertidumbres descritas en (5.8). La región que describe este análisis está formada por los cuatro polinomios, los cuales describen los vértices de un rectángulo de acuerdo con Dasgupta [Anexo A]. Esta región describe la estabilidad en un sistema y se puede describir de dos formas: a) como una región en el semiplano izquierdo S para el criterio de Routh-Hurwitz Routh-Hurwitz en sistemas continuos; y b) para sistemas sistemas discretos, que es representada dentro de un círculo unitario en el plano £, esto se puede ver en la ilustración de la figura 5.2.
Figura 5.2 Gráficas que representan las regiones de estabilidad
Para observar el análisis descrito en este capítulo aplicado a un sistema difuso en el sentido de Kharitonov, se realizaran tres ejemplos de aplicación. Ejemplo 1. Se considera el sistema descrito, expresado con la siguiente función:
Donde J, b, K, R, y L. son parámetros internos del sistema. Este sistema se puede observar en la Figura (5.3).
Diagrama del sistem sistemaa en lazo-abi lazo-abierto erto Figura 5.3 Diagrama
El sistema que se describió anteriormente fue simulado utilizando el programa de simulación Matlab®, Matlab®, generando una entrada de un pulso unitario, cuya respuesta se observa en la Figura (5.4). El error que existe entre la señal deseada (cuyo valor es igual a 1) y la res puesta de la planta (con valor v alor de 0.1 unidades), un idades), es considerado con siderado alto, ya que q ue estos valores deben ser lo más cercanos posibles; para lo cual es necesario disminuir el error de diferencia entre ellos, considerando para ello el uso de un controlador PID (Proporcional Integral Derivativo). Derivativo).
Respuesta del sistema sistema en lazo-abier lazo-abierto to Figura 5.4 Respuesta
Ahora, si se aplica un control PID difuso al sistema en lazo-cerrado se verá simbólicamente como se muestra en la Figura (5.5):
Diagrama, ma, del sistem sistemaa en en lazo lazo-ce -cerra rrado do Figura 5.5 Diagra
Donde se observa el controlador difuso con la siguiente estructura (ver la Figura (5.6), que describe cada una de las ganancias en forma difusa, construyendo su base de reglas que junto con las funciones de pertenencia se construye la base de conocimiento, que construye a este tipo de control, y que es conocido como "control difuso por conocimiento del experto".
La función de transferencia (FT) que se obtiene de nuestro sistema de control difuso visto ilustrativamente en la figura (5.6) y ayudado por el software de Matlab®, Matlab®, se obtiene la ecuación (5.22), descrita de la siguiente manera:
Donde los coeficientes de (5.22) denotan los límites de los intervalos de cada función de membresía. Tomando la ecuación característica de la F.T. de (5.22) y aplicando el análisis descrito en este capítulo, se analizará si el sistema con el control implementado es estable en un sentido robusto. Tomando la ecuación característica de nuestra F.T. se tiene el siguiente polinomio: polinomio:
Para su forma par se hacen cero los coeficientes impares de la siguiente forma:
Quedándonos el polinomio par:
Ahora hacemos lo mismo para la parte impar haciendo cero a la parte par se tiene:
La parte impar queda de la forma:
Para nuestro caso las ecuaciones que nos interesan son la (5.25) y (5.27); a partir de éstas se forman cuatro polinomios polinomios con sus puntos máximos máximos y mínimos de sus intervalos en sus coeficientes, donde cada uno de éstos representa un vértice de la región estable:
Con base en los cuales se construyen los cuatro polinomios de Kharitonov ayudados de las ecuaciones (5.13) a (5.16):
Estos cuatro polinomios describen un polito politopo po (que es una región en forma de polígon polígonoo o poliedr poliedro) o) en el cual cual queda quedann envuelt envueltos os todos todos los los posib posibles les coefi coeficie cienntes que nos describen para el sistema (5.22). Ahora a cada polinomio descrito de (5.31) a (5.34) se le aplica el criterio de Routh-Hurwitz para encontrar su estabilidad y así la del sistema de control difuso descrito en (5.22): Del primer polinomio se aplica lo siguiente:
Para el polinomio en (5.35) no existe cambio de signo en la columna pivote de la matriz, por lo cual es Hurwitz, ahora para el siguiente polinomio tenemos:
Como se observa también este polinomio es Hurwitz, para el siguiente polinomio se tiene:
El tercer polinomio es Hurwitz. Ahora para el cuarto y último polinomio se tiene:
El cuarto polinomio también resulta ser Hurwitz; Dado esto y basándonos en lo estipulado por Kharitonov resulta evidente que el sistema de control difuso es estable, pero en un sentido robusto.
En los últimos 30 años se han aportado contribuciones significativas en el campo de procesamiento de señales. Los avances en el diseño de circuitos digitales han sido la clave tecnológica de desarrollo que ha traído gran interés en ésta área del d el conocimiento. En la actualidad existen diversos tipos de aplicaciones en donde se requieren tecnologías dinámicas que puedan responder de acuerdo a la evolución natural de su funcionamiento como son: las señales biológicas en medicina, los sistemas de información, las comunicaciones, inteligencia artificial, sistemas espaciales, control y automatización, entre otras [19]. Actualmente la tecnología de filtrado digital está encaminada al procesamiento de señales diversas en forma de tareas, cada vez requiriendo mayor eficiencia y capacidad de integrarse a diferentes sistemas, para ofrecer funciones y servicios de mayor alcance y flexibilidad, buscando que puedan ser im plemen plementad tados os en proceso procesoss más comple complejos jos y a diversas diversas escal escalas, as, donde donde se pueda pueda tener una interacción de tipo híbrida entre sistemas a través de un mecanismo de inferencia en el proceso de filtrado de tipo adaptivo, que tenga la capacidad de interpretar cada acción de un proceso de referencia y ofrecer una respuesta adecuada para retroalimentar al mismo, realizando los ajustes necesarios en sus parámetros para llevarlo a una región de operación indicada; donde es posible aportar mayor dinamismo en el funcionamiento funcionamiento
de los mismos al poderse adaptar en cada espacio de tiempo a los diversos medios físicos que varían de forma continua y a sus condiciones cambiantes (climáticas, geográficas, horas pico, contingencia) con las que interactúan, para poder así responder de acuerdo a ellos, en tiempo real y que estén de acuerdo con las características de operación adecuada a cada instante tem poral acotándolas en una región [8]. [8]. Los filtros digitales en general deben estar diseñados de acuerdo a un punto de equilibrio que corresponda corresp onda a una región de estabilidad, para que pueda dar una un a respuesta apropiada basada en la dinámica y entorno del de l sistema de referencia con el que se encuentra interactuando [13] y [15]. La señal que recibe un filtro digital desde un sistema de referencia debe ser emitida con base en la información que se percibe acerca de las condiciones del medio físico empleando sensores o actuadores y de acuerdo con ella simplemente debe adaptarse dinámicamente a los cambios del entorno. Los sensores operan por efectos de la luz, calor, presión, radar y otras formas de energía. Si los parámetros de un sistema cambian, el filtro estará estimando estos cambios y retroalimentándolos para que la respuesta esté actualizada, teniendo la certeza de que los parámetros estimados serán equivalentes con los actuales a lo largo del tiempo en un sentido de probabilidad, esto es realizado con el empleo de filtros adaptivos [i3j y [15]..
Un filtro digital es un dispositivo de software o hardware que puede ser empleado en un sistema para: eliminar los errores de respuesta, extraer información especifica, pred predec ecir ir su comp compor orta tami mien ento to futu futuro ro o reco recons nstr trui uirr algu alguno noss de sus sus esta estado doss ante anteri rior ores es [17] y [18].
Los principales expositores de esta área del conocimiento son Haykin y Gustafsson, los cuales consideran que un filtro digital puede ser programado en algún software de computadora o en un chip electrónico (DSP o FPGA), pero que son algoritmos o un grupo de reglas que están encaminadas a extraer alguna propiedad del sistema en análisis [17] y [18].
De acuerdo con Haykin, es un filtro realimentado, que ajusta su nivel de ganancia expresada como a(k) de acuerdo a una función objetivo en relación con la dinámica del sistema en análisis y llevándolo a una región de operación deseada expresada como J(k). J(k). Esto significa que el filtro digital se va adaptando dinámicamente a las propiedades que tiene el sistema con el que interactúa en un entorno dinámico [2] y [5]. Respecto de los filtros digitales tradicionales esta clase de filtros permiten obtener un ahorro significativo en su operación, ya que a través de sus algoritmos que se ajustan de forma automática se logra casi su completa autonomía de operación, permitiendo al usuario final tener información verídica y a tiempo respecto del sistema en análisis. Con relación a la naturaleza, sus acciones han sido limitadas, ya que no cuentan con un lenguaje natural de descripción que les permita dar una res puesta "aceptable" por el usuario final. Para ello se desarrollaron los filtros difusos, los cuales consideran estas limitaciones de los filtros adaptivos, para ser su principal propiedad [17] y [18].
Es un filtro digital de tipo adaptivo que utiliza la lógica difusa en el error de convergencia, respecto de la diferencia salida del modelo de filtrado y una señal de referencia en la entrada, al ser retroalimentado por medio de la convolución [17] y [18]. Una de las principales características de un filtro digital difuso, a diferencia de un filtro convencional, es que éste puede clasificar la dinámica de un sistema de referencia, para que el filtro pueda ofrecer una serie de respuestas a diferentes niveles y de esta forma tener una interacción que esté de acuerdo a las condiciones cambiantes del medio ambiente que lo rodea a través del tiempo [11], [13], [41] y [45]. Un filtro difuso presenta las siguientes características de funcionamiento: funcionamiento:
a) Interacción dinámica con un modelo de referencia por medio de la realimentación, b) Propiedades estadísticas para caracterizar su funcionamiento, c) Mecanismo de inferencia para interpretar sus niveles de operación, seleccionar las ganancias del filtro y determinar su respuesta, d) Base de conocimiento para elegir la mejor ganancia y emitir una res pues pu esta ta de dese sead adaa (for (f orma mada da po porr el co conj njun unto to de func fu ncio ione ness de memb me mbre resí síaa que quedan acotadas por la estabilidad del modelo considerado), c onsiderado), e) Filtrado para describir las dinámicas internas y externas del modelo de referencia, f) Salida del filtro que converge a una señal de referencia y que es adaptable a las condiciona cambiantes de su entorno. En todo el proceso de filtrado se contemplan las condiciones de tiempo antes de que cambie a otro estado y dar una respuesta respecto del modelo de referencia dentro del tiempo especificado, incluyendo en ello su retroalimentación [7], [16] y [53].
Un sistema de filtrado difuso funciona en lazo cerrado, de esta forma el filtro va adaptando el conjunto de parámetros de manera dinámica [2], [18], [22] y [45]. Comúnmente, el criterio de adaptación está basado en el error de la señal , ,
optimizando la velocidad en que es obtenida la
esti estima maci ción ón de la seña señall dese desead ada. a. El erro errorr
está está defi defini nido do como como la diferencia
que existe entre las respuestas deseadas del proceso (que pueden ser descritas como: y la señal identificada que es generada por medio de un esquema de identificación 1*.
1*
La diferencia que hay entre el estimador y el identificador identificado r es que el primero describe la evolución de los parámetros y el segundo describe el estado de la velocidad [37].
El criterio de adaptación (utilizando el concepto de lazo cerrado [45]) previamente previamen te seleccionado sel eccionado,, es el primer prime r elemento e lemento requerido para establecer establece r la función de membresía, en donde se busca la señal identificada y(k) que más se aproxima a la señal deseada y(k), ajustando los parámetros del filtro dinámicamente con relación a la base del conocimiento, tal que el valor del error e(k) tiene una convergencia cercana a un círculo con radio γ>0 , previamente previament e definido d efinido [37], que q ue es una u na vecindad v ecindad acotada respecto del valor real.
De forma conceptual, cada función de membresía se encuentra dentro de la función de distribución que describe al error e(k). Es decir, la mejor aproximación que existe entre la función de membresía respecto de la función de distribución en el sentido de Borel, es la forma triangular [4], [32], [48] y [60].
En general, el filtro difuso de acuerdo a los conceptos estudiados en [1], [2], [17], [18], [22], [24], [28], [34], [35], [37], [41] y [44] contienen los siguientes elementos: Infere Inferenci nciaa de entrad entrada: a: la respuesta natural o lingüística del proceso de referencia es la entrada del filtro [31], la cual es transformada en un sentido métrico [4] y [48].
Reglas Reglas base base:: Son métricas con rangos dinámicos respecto de las funciones de membresía acotadas por la función de distribución del error e(k), em pleando pleando el con conect ector or de lógic lógicoo SI (IF). Meca Mecani nism smoo de de inf infer eren enci cia: a: La acción experta con respecto a las reglas base es conocida como consecuencia, y emplea el conector lógico ENTONCES (THEN) para seleccionar selecc ionar al mejor parámetro pará metro o parámetros para par a ajustar al filtro y llevarlo a una respuesta deseada. Infe Infere renc ncia ia de sali salida da:: Se transforma la salida del filtro en una respuesta natural o lingüística de acuerdo al proceso en que se encuentra contenido y así en relación con la base del conocimiento definida previamente.
Figura 6.1 Proceso de filtrado: Descripción
Un filtro difuso emplea una función de distribución respecto de la señal de error e(k) [17], [18] y [37], de tal manera que se pueda generar una función de membresía [1], [3], [11], [14], [15], [41] y [44] de acuerdo al rango de intervalos que es requerido para el algoritmo de adaptación [2], [34], [35], [50] y [51] y a la func funció iónn objetivo, previamente pr eviamente establecida. establecida . Cada función de membresía es ajustada de forma adaptable, teniendo en cuenta a la función objetivo, a la función de distribución del error y a los intervalos distribuidos uniformemente en donde se tiene la descripción por en cada tiempo con respecto respe cto a la densidad densid ad de la informació infor maciónn n-ciles, en la inferencia difusa de entrada [48]. El criterio más utilizado en la literatura como función objetivo es el de la minimización del segundo momento de probabilidad del error [11], [14], [17], [18] y [37], el cual es expresado de forma recursiva de la siguiente manera:
De acuerdo a los conceptos de filtrado difuso [17] y [18], cada regla define una función de membresía que se encuentra limitada por una secuencia
específica respecto de los rangos de operación en los cuales se considera correcta. El objetivo que tiene el filtrado difuso como caja negra es dar una respuesta natural o lingüística descrita como con respecto de la señal deseada y(k) emitida por el sistema de referencia; limitada por la función función de distribución del funcional funciona l de error que de acuerdo con los operadores lógicos se determina la acción del filtro difuso utilizando la base del conocimiento y que a través de la inferencia de salida se tiene una respuesta natural o lingüística, entre las cuales podemos encontrar las palabras: bajo, medio, o alto. La base de conocimiento en un sentido métrico [4] contiene al conjunto de parejas formadas por el producto entre conjuntos métricamente exprey definido simbólicamente como for for sados por y el conjunto de identificación madopor el conjunto deseado
Cada función de membresía establece el valor de correspondencia máximo y la señal deseada y(k), donde el valor óptimo se que hay entre la salida fija en el costo ínfimo para cada secuencia. De manera ilustrativa en la Figura 6.2, 6.2, se ob obse serv rvaa que que de dent ntro ro de dell áre áreaa de co cont ntro roll (de (desc scri rita ta co como mo se tiene un subconjunto de convergencia por pares ordenados.
control Figura 6.2 Área de control
form formad adaa por por el prod produc ucto to entr entree las las secu secuen enci cias as
Matemáticamente, Matemáticamente, la correspondencia de los pares está descrita por:
La adaptación como una ley de realimentación modifica la señal de entrada al filtro (ver la Figura 6.3) de acuerdo al objetivo en donde la señal de salida de éste y (k) se busca que tienda a la señal deseada y(k), realizando así los cambios en los parámetros del filtro. El filtro difuso clasifica sus diferentes niveles de operación con respecto al conjunto de funciones de membresía, para dar el valor de la respuesta específica en un lenguaje natural de acuerdo con que está limitado por el radio de un círculo γ en un sentido métrico [4] y [48].
Adaptación ción del proceso proceso de filtr filtrado ado Figura 6.3 Adapta
La clasificación de la respuesta del sistema de referencia conocida como señal deseada y(k), que es la entrada en el filtro difuso está determinada por el valor de las ganancias de los parámetros del filtro de acuerdo a la función de distribución distribución de realizando una selección del criterio óptimo dentro de un conjunto de funciones de membresía disjuntas por pares [38]. Estas regiones permiten seleccionar los mejores valores para ajustar la entrada del filtro, considerando los mecanismos de inferencia.
Dentro de la etapa de inferencia, la clasificación de las funciones de mem bresía bresía (de acue acuerdo rdo con [4], [4], [48], [48], [54] [54] y [60]) [60]) se esta estable blece ce el el funcio funcional nal de erro errorr en el sentido de Borel. Cada función de membresía se encuentra establecida dentro de la función de distribución del error, en un intervalo descrito como criterio (ver: (6.1)) basado en el sentido de Lebesgue [50], permitiendo que cada una de ellas sea expresada de forma recursiva de acuerdo con [17], [18], [32], [37] y [50].
En el filtrado difuso, la base de conocimiento (BC) contiene toda la información que el filtro requiere para ajustar sus ganancias a(k) de una manera óptima2 y dar una respuesta correcta, cumpliendo con el rango de converg e n c i a , de de ntr ntr o de de un un int intee r va vall o de de ti ti empo empo ( i nd ndee xa xadd o con con de a c ue uerr d o con Nyquist [51], sin perder las propiedades de estabilidad [17] y [18], que son dadas por la respuesta observable obtenida a la salida del filtro. De acuerdo con la Figura 6.3, se tiene lo siguiente: y(k), es la señal deseada del sistema de referencia, que es un valor medible que está clasificado en rangos de forma lingüística por su función de distribución (descritos en un espacio de estados variable delimitado simbólicamente de forma na natu tura rall con con ex expr pres esio ione ness lin lingü güís ísti tica cass com comoo alt alto, o, medi medio, o, ba bajo jo), ), es el área área de control descrita en pares formados por ŷ(k) que es la respuesta de salida del filtro y la señal deseada y(k) , que están limitados en un intervalo de tiempo (tiene una velocidad de cambio delimitada en el sentido expuesto en [37]), e(k), es el valor definido por la diferencia entre este valor está delimitado por el conjunto se busca que converja a y(k) de forma métrica, y que en un sentido lingüístico, ambos representan el mismo valor natural. 2
En un lenguaje natural, la convergencia está alrededor de un punto, que es conocido como óptimo, pero con una descripción métrica (dentro del filtro), la convergencia es robusta porque está definida por intervalos.
El siguiente diagrama de bloques descrito en la Figura 6.4, muestra la parte del filtro digital difuso en donde el universo de discurso afecta el rango de la respuesta de salida de
Figura 6.4 Elementos del filtrado difuso
Donde u(k), es la señal de entrada del proceso de referencia, y(k) es la salida del proceso de referencia y la señal deseada a la entrada del filtro, ésta se clasifica por su función de distribución y se le asignan rangos de operación, el mecanismo de inferencia interpreta y le asigna una función de membresía de la base de conocimiento, y ajusta al sistema de filtrado para llegar a la respuesta adecuada.
El filtro difuso tiene propiedades estocásticas [34] y [35] que limitan las res pues puesta tass del del proc proces esoo en en un un sen senti tido do de dist distri ribu buci ción ón [17] [17],, [18 [18]] y [28 [28], ], tal tal que que ésta ésta se encuentra en un espacio de probabilidad, simbólicamente expresado como y delimitando en consecuencia a la base de cono conocim cimien iento to [31]. [31].
Considerando las propiedades estocásticas tanto del sistema como del filtro y a la la fun funci ción ón de dist distri ribu buci ción ón de dell err error or así así com comoo a las las fun funci cion ones es de memmem bres bresía ía des descr crit itas as en en el sent sentid idoo de Bore Borell [4] [4] se bus busca ca dis dismi minui nuirr el err error or de de filt filtra rado do hacia una condición que se considera óptima (previamente descrita como γ,). El conjunto de condiciones establecidas como reglas difusas (Si-Entonces) constituye la base de reglas y de inferencia [1], [3], [17], [18], [28], [34], [35], [41], [58] y [44], que describen los objetivos de la base de conocimiento que a continua-
ción se listan: Clasificación automática de las condiciones del filtro, teniendo conocimiento de sus niveles de operación. El co cono noci cimi mien ento to es ge gene nera rado do co conf nfor orm me el el área área de co cont ntro roll se incremente. Las reglas de adaptación modifican de forma dinámica la base de conocimiento, renovando y actualizando los valores del parámetro a(k) para cada iteración respecto al modelo de referencia y(k), a la función de error e(k) y a las funciones de membresía descritas cada una de ellas por el espectro del n-cil (formado a partir de la función de distribución del error para cada intervalo de tiempo). En el filtro difuso, la base de conocimiento tiene toda la información que emplea y genera, considerando por ejemplo: la respuesta de salida del sistema.y(k) (conocida como la señal deseada), el error medible e(k), el proceso de la señal de entrada u(k), el proceso de inferencia c(k), y también la información generada a partir del filtrado Que de acuerdo con esto, la base de conocimiento (o área de control) es descrita como:
El conjunto de reglas constituye la operación del sistema de filtrado de acuerdo a la lógica difusa y al filtrado digital, empleando como indicador de la acci acción ón a tom tomar ar a quee es la regi qu región ón de dent ntro ro de la cu cual al op oper eraa el el meca mecani nism smoo de filtrado. De forma ilustrativa, el esquema del filtro difuso es:
Figura 6.5 Subprocesos de operación
La Figura 6.5, en la sección a), describe de forma ilustrativa la secuencia del proceso a través tra vés de un diagrama de bloques y en la sección s ección b), se describe d escribe la secuencia de la sección a) como subprocesos acotados por los tiempos de filtrado.
Para poder establecer, diseñar y aplicar el filtrado con propiedades en tiempo real a los procesos industriales, sistemas digitales y de esta forma desarrollar nuevas tecnologías en el campo de los sistemas de monitoreo, control e información, etc., y todos aquellos sistemas en donde son consideradas algunas características específicas con una duración de tiempo específico; logrando que sus respuestas sean realizadas de forma adecuada conforme al funcionamiento y dinámica del sistema en cuestión y así responder de forma satisfactoria con base en un criterio temporal de optimización establecido para actualizar al sistema y obtener una respuesta a tiempo y de buena calidad [7], [16] y [21]. En la vida diaria se pueden encontrar diversos sistemas, los cuales, son capaces de poder cumplir con condiciones de tiempo específico, los primeros sistemas en tiempo real fueron empleados en la telefonía digital, estos sistemas ahora, se pueden encontrar en gran cantidad de aplicaciones como en la medicina, control de tráfico, procesos industriales, etcétera. Un sistema en tiempo real de acuerdo con [16], es un sistema que tiene una interacción dinámica con un proceso físico, en relación con sus entradas, salidas y sus restricciones temporales y que a partir de las cuales debe ofrecer respuestas correctas. En la figura 7.1, se describe la región en la que una respuesta es correcta en el sentido de tiempo real [16], [21] y [51],
Figura 7.1 Sistema de tiempo real
Los sistemas en tiempo real están clasificados de acuerdo a la duración en que son emitidas sus respuestas y a su nivel de puntualidad, tomando como base el e l intervalo temporal especificado para dar da r una respuesta en un procep roceso determinado, de esta forma pueden estar clasificados en determinísticos, probabilísticos e inflexibles [7], [16], [21], [23] y [26]: En los sistemas en tiempo real determinísticos sus respuestas deben darse de forma obligatoria dentro de los periodos de tiempo especificados para el proceso, proceso, por ejemplo, en la medicina los marcapasos marcapasos artificiales artificiales,, sistemas de navegación y los controladores de procesos industriales, tienen que cumplir con sus restricciones restricciones de operación temporales. Los sistemas en tiempo real probabilísticos (es la categoría del filtrado difuso en tiempo real) presentan condiciones temporales acotadas en un sentido de distribución, sin embargo, si en alguna ocasión no se cumplieran en promedio los plazos de tiempo establecidos para responder, el sistema continuará funcionando de forma correcta siempre y cuando en el sistema esté contem plada una variación de alcance máximo para p ara sus tiempos de d e respuesta promedios; estos sistemas son conocidos también como estadísticos y se pueden aplicar en las comunicaciones cuando existen múltiples accesos compartidos
y es necesario actualizar dinámicamente un número de sistemas conectados con situaciones cambiantes [16] y [23]. Los sistemas en tiempo real inflexibles son sistemas de tipo determinísticos o probabilísticos, pero que no cumplen con las restricciones de tiempo de acuerdo al caso, de forma tal que el sistema dejará de funcionar y no entregará ninguna clase de resultados congruentes, como ejemplo pueden encontrarse situaciones en donde un servidor de computadoras se satura, deja de dar respuestas [23] y [26].
Definición 7.1 (filtro digital difuso en tiempo real FDDTR) Un filtro digital difuso en tiempo real es un filtro adaptivo de acuerdo con [4], [17], [18], [28], [37], [38] y [48]:
• Extracción y emisión de información difusa a través de intervalos limitados con respecto a la respuesta del proceso de referencia, considerando en ellos los criterios de estabilidad descritos en [17], [18] y [28]. • Extracción y emisión de información a través de intervalos de tiempo semiabiertos [4] y [48], sincronizados con el tiempo de evolución del proceso con el que interactúa [17] y [18], considerando el criterio expresado en [37] y [38]. • El grupo de funciones de membresía forman la base de conocimiento del filtrado [31], [54] y [60], de acuerdo con las propiedades consideradas en los puntos a) y b), b), respectivam respectivamente. ente. • El conjunto de reglas difusas describen los parámetros del filtro dependiendo de la señal deseada difusa y(k) se le asigna una función de mem bresía que representan represe ntan los valores de todas ellas expresadas expresada s en un sentido métrico [4] y [48]. • El algoritmo de adaptación actualiza los coeficientes del filtro si de acuerdo a la función de membresía correspondiente, si el criterio de error esta blecido blecido como nivel nivel de convergencia, convergencia, no no se ha cumplido. cumplido.
Teorema 7.1: El conjunto de entradas y salidas del FDDTR obedecen al criterio de estabilidad de acuerdo con [17] y [18] y [28], cuya entropía esta descrita por una una región región previamen previamente te defin definida ida [51]. [51]. Prueba: Por contradicción, si la energía básica del filtro no se encuentra limitada, entonces de igual forma la respuesta de salida no se encontrará limitada, y el sistema dará una respuesta inestable en el sentido proba bilístico de la entropía, entrop ía, consider co nsiderando ando que la l a entropía ent ropía respecto respe cto de [51], es: Teorema 7.2: la velocidad de cambio de las señales de entrada y salida limitadas está descrita en intervalos semiabiertos con respecto a la frecuencia del tiempo evolución del sistema de referencia. Prueba: Cada intervalo de tiempo semiabierto del FDDTR está limitado tem poralm poralment entee en sus entr entrada adass y salidas salidas en el sent sentido ido de de [17] y [18], [18], en otro otro caso, caso, la entropía se incrementaría [51], porque la información crecería y el sistema tendría un colapso, ya que existirían traslapes entre las señales. Teorema 7.3 En un sentido temporal, el área de control T N limita limita las respuestas del filtro difuso ya que de lo contrarío aparecería fuera de tiempo. Prueba: El sistema de acuerdo a los criterios de Nyquist y Shannon pi], limita en intervalos de tiempo las propiedades del área control T N , ya que en otro caso el tiempo de respuesta del filtro estaría fuera de contexto; esto quiere decir que la respuesta ocurriría después del tiempo en que fuera requerida. Nota Nota 7.1: 7.1: El fil filtr troo digit digital al difu difuso so es un un filtr filtroo digi digita tall adapt adaptiv ivoo [11], [14], [15], [17], [18] y [45] y éste requiere de una señal deseada y(k) y(k) con respecto al universo de respuestas del sistema de referencia para actualizar y ajustar las respuestas del sistema de filtrado de acuerdo con la base de conocimiento T N
Definición 7.2 (análisis local y global). Un FDDTR en un sentido temporal de manera local y global, tiene una calidad de respuesta de acuerdo a los criterios de estabilidad [8] y de entrega a tiempo [51]. Características globales. Los intervalos de convergencia definidos por con una medida superior a cero a través del funcional de error y considerando a [17],[18] y (6.1), se parametrizan temporalmente a la función de membresía con respecto a los valores de las variables lingüísticas de la señal de referencia [1], [41] y [58] , sin perder de vista que Con base en los conceptos difusos, las características globales son es peci pe cific ficad adas as en un sent se ntid idoo prob pr obab abilí ilísti stica ca de acue ac uerd rdoo co conn [44] [4 4],, en el qu quee sin perder su evolución natural.
Características locales. Implica la estabilidad del proceso de filtrado a través de sus parámetros {a(k)i} actualizados en cada iteración o en cada variable dif difusa, si sin ppeerder de de vi vista los los tiempos de de fi finali alizado del FDDTR dentro de sus límites correspondientes en el sentido de Nyquist y Shannon de acuerdo con [37] y [38] en el límite menor, de acuerdo a los intervalos de tiempo del sistema de referencia, considerando en el filtro que
Nota 3.2. Cada FDDTR como estimador de parámetros tiene una función de error limitada, donde γ es el límite del error definido por la varianza de las perturbaciones perturbac iones del sistema. En el caso difuso estas variaciones variacione s paramétricas se encuentran dentro del error que está limitado por γ representando las funciones de membresía correspondientes con el criterio elegido por el modelo de referencia [45].
Nota 3.3 El FDDTR ofrece una respuesta local estable si la estimación del conjunto de parámetros del sistema, se encuentra dentro del círculo unitario para cada intervalo k:
La Figura 7.3, muestra cómo se realiza la ejecución de la tarea del filtro difuso en forma global a través de intervalos de tiempo de acuerdo con la Figura 7.3:
Figura 7.2 Proceso de filtrado descrito enferma equivalente por una tarea
El proceso de filtrado está delimitado de forma temporal en el tiempo de arribo (li), tiempo de inicio (si), tiempo de ejecución ( ci), tiempo de finalizado conside dera rarr a τ min (f i) y plazo máximo de tiempo (d i), por (5) al consi min.
En la figura 7.3 (a), se muestra de forma ilustrativa el funcional del error, que representa la convergencia del proceso del filtrado desde un estado inicial a un estado deseado, de acuerdo con el sistema de referencia. En la figura 7.3, se observa la cantidad de información emitida por el filtrado en forma de paquetes de información información por intervalos de duración.
Para realizar la simulación del filtrado difuso en este caso se ha elegido el Filtro de Kalman [17] y [18], por ser una herramienta matemática que está teniendo un importante auge en los sistemas y aplicaciones, siendo una herramienta empleada a nivel científico. De forma esencial el Filtro de kalman es un conjunto de ecuaciones matemáticas donde se tiene un estimador predic predictor tor-co -corre rrect ctor or óptimo que minimiza el error en sus respuestas. El sistema de filtrado cuenta con una matriz de transición descrita por la base del conocimiento de acuerdo al criterio del funcional de error que están descritos en [4], [17], [18] y [48]. El sistema empleado para el desarrollo de esta simulación es un sistema ARMA de tipo probabilístico (soft) usando un procesador AMD Sempron 3100, donde se contemplan sus tiempos de evolución media con intervalos k, de 0.004 s ± 0.0002.
El sistema está descrito en forma básica en un espacio de estados discreto:
La salida del filtro es descrita:
Donde Donde:: {x( {x(k) k)}} es es el el con conju junt ntoo de de estad estados os inter interno nos, s, {a(k) {a(k) } es la secuencia de parámetros, {w(k)} es el conjunto de ruidos que perturban al sistema, {y(k)} es el conjunto de salidas del sistema, v(k) es el ruido de salida
Los diferentes niveles de operación están construidos en un sentido de pro babilidad, que está de acuerdo con la función de distribución del funcional del error descrito en el capítulo seis (6.1) con respecto a la respuesta de salida del sistema y(k) y la respuesta del filtro de Kalman para este caso de forma respectiva; ambas respuestas están limitadas por el segundo momento de probabilidad, estableciendo para cada nivel de los n-ciles una variable lingüística de forma natural, descrita como bajo, medio, alto. En la Figura 8.1, se muestran los niveles de respuesta con respecto al filtro de Kalman [17 y 18] en un proceso de asignación de matriz de transición respecto a la base de conocimiento y al grupo de inferencias matemáticas:
Niveles de de respues respuesta ta y (k) (k) Figura 8.1 Niveles
El tiempo de evolución es menor al del proceso de referencia propuesto de 0.09 seg, cumpliendo con la condición descrita en (6.4).
De acuerdo al error en los niveles de respuesta respecto a la señal deseada expuesta en la figura 8.1, se obtiene el parámetro de transición (que son las ganancias del filtro), para la estimación se ha empleado el modelo del filtro de Kalman. Estos parámetros en el filtro de kalman son considerados constantes; con el empleo del sistema difuso los valores de este parámetro se encuentran variando de forma dinámica a través del tiempo de acuerdo al sistema de referencia. Los resultados se muestran en las Figuras 8.2 y 8.3.
Figura 8.2 Estimación de parámetros a(kj, con índice de evolución k acolado en [1,1000]
Acercamie mient ntoo de de la la Figu Figura ra 8.2, 8.2, para para observ observar ar estima estimació ciónn de de pará parámet metros ros Figura 8.3 Acerca
Considerando los resultados expuestos en la Figura 8.2 y se obtiene la identificación interna de x(k), que es determinada de acuerdo la varianza y los
cambios de los parámetros estimados. Los estados identificados tienen un alto nivel de convergencia por que la magnitud del funcional del error al llegar a un estado estacionario es menor a los resultados reportados en otros trabajos de filtrado [17] y [18] cuyos valores de convergencia son del doble res pecto al obtenido en esta tesis mostrados en la Figura 8.4 y 8.5. 8 .5.
Identificació aciónn interna interna del estado estado x(k) a través través del del FDDTR FDDTR Figura 8.4 Identific
Acercami amien ento to de la Figura Figura 8.4, 8.4, para para observ observar ar al estado estado identi identific ficado ado Figura 8.5 Acerc
En la Figura 8.6, se puede observar la gráfica del funcional de error descrito en (6.3) con respecto al filtro:
99
Figura 8.6 Curva de convergencia al parámetro
vista ilustrativamente por el funcional
De esta forma, se observa que el tiempo global de convergencia es de 0.08 seg, el cual es menor a la condición de evolución del sistema, teniendo en cuenta que LDmax está oscilando alrededor de 0.09 seg, de acuerdo con sus propiedades descritas previamente previamente en las definiciones. La Figura 8.8, muestra los niveles en un sentido de distribución, dentro de los primeros dos momentos de probabilidad y la Figura 8.7, muestra las funciones de membresía, clasificadas un sentido de probabilidad con respecto a
Figura 8.7 Funciones de membresía de acuerdo a
para para las las varia variabl bles es ling lingüís üísti tica cass
Funcio ionnes dist distrribuc bución ión de Figura 8.8 Func
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Sistemas con Lógica Difusa Juan Carlos García Infante, José de Jesús Medel Juárez, Juan Carlos Sánchez García, Arturo Tequianez Impreso en Master Copy, SA de CV Av. Coyoacán 1450, Col. Del Valle, C.P. 03100, México, DF Agosto 2009 Cuidado editorial: Juan Carlos Esaú López Fraga Diseño, formación y portada: Miriam González Jiménez Acabados editoriales: Roberto López Moreno Producción editorial: Vania B. Castellanos Contreras Producción: Sergio Mújica Ramos Procesos editoriales: Manuel Toral Azuela División editorial: Héctor Bello Ríos Director: Arturo Salcido Beltrán
