SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Introducción: A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Card Cardan ano o y sus sus cont contem empo porá ráne neos os come comenz nzar aron on a expe experi rime ment ntar ar con con solu soluci cion ones es de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Él sugirió que el número 40 podía escribirse como 40= (5+ − 15 )(5- − 15 ) Se intentaron dar solución a ecuaciones tales como x 2 + 1 = 0 surge la necesidad de ampliar ampliar a un nuevo sistema sistema que resolviera resolviera estas situaciones. situaciones. Así Así surge el conjunto de números complejos. El matemático matemático suizo suizo Leonhard Leonhard Euler introdujo introdujo el moderno moderno símbolo símbolo “ i ” y formul formuló ó la пi expres expresión ión:: е = -1 que que relac relacio iona na cuat cuatro ro de los los núme número ross más más impor importa tant ntes es en matemáticas. El matemático alemán Carl F. Gauss (1799), demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que afirma que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con el estudio de las funciones complejas, el matemático francés Agustín L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja. En el diagrama se muestra la relación que existe entre los conjuntos numéricos:
C
R
DEFINICIONES PREVIAS Unidad Imaginaria: Es la cantidad
−
i
1 que se representa por la letra “ i ”, es decir: =
−
1
Número imaginario o complejo: Describe la suma de dos elementos como a + bi , donde a y b son números reales y la letra “ i ” es la unidad imaginaria. Número imaginario puro: Es un número de la forma bi , donde “ i ” es la unidad imaginaria. NOTACIÖN: Cada número complejo se puede representar por letras z , z 1 , z 2 ,... Si z = a + bi entonces:
a
“ a ” es la parte real de z y se representará por:
=
Re( z Re( z )
“ b ” es la parte imaginaria de z y se representará por:
b = Im( z )
SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Es el conjunto formado por todos los números complejos, junto con las operaciones básicas que cumplen ciertas propiedades. Simbólicamente se escribe: C= { a + bi / a, b ∈ R, i =
−
1}
Ejemplo: Son números complejos z = 2 + 5i. ;
z 1
7 + i ; z 2
= −
=
2
−
3
4 9
i
OBSERVACIONES 1.
Si la parte real de un número complejo es cero, entonces z = 0 + bi , es decir que z = bi
2. 3.
Si parte real e imaginaria son cero entonces: z = 0 + 0i es decir que z = 0 . La raíz cuadrada de un número negativo puede escribirse así: Esto se demuestra de la siguiente forma:
Ejemplos:
−
−
7
=
81 =
( −1)7
=
−
( −1)81 =
1 7
−
=
−
i
p
7
=
=
(−1) p
=
−
−
p
=
1 p
=
i
i p p
=
p i
7 i
1 81 = i (9) = 9i
CONJUGADO DE NÚMEROS COMPLEJOS Si
número complejo complejo,, se define como como z = a + bi es un número
complejo z de la forma:
z = a − bi
su conjuga conjugado, do, al número número
Ejemplos Si z = 6 + i entonces su conjugado es z = 6 − i
Si z = −2 + 7i entonces su conjugado es z = −2 − 7i Si z = 1 − 4i entonces su conjugado es z = 1 + 4i
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Dos números complejos z 1 = a + bi y z 2 = c + di son iguales si sus partes reales e imaginarias respectivas son iguales. Es decir: a + bi
c + di
=
a = c y b = d
⇔
Ejemplos: Determinar los valores de x e y sabiendo que son iguales los números complejos z 1
5 + 2 yi
= −
y
z 2
=
( x − 4) − 18i
Solución. Sabemos que los números son iguales, entonces: Igualamos la parte real de z 1 y z 2 y se resuelve como ecuaciones y se obtiene: −
5 = x − 4
⇒
x = −1
Igualamos la parte imaginaria de z 1 y z 2 y resolvemos la ecuación, obteniendo 2 y = −18
⇒
y
9
= −
En consecuencia, los valores de x e y son -1 y -9. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NÚMEROS COMPLEJOS
En 1806, el matemático francés Jean- Robert Argand representó geométricamente los números complejos como puntos en el plano. A este diagrama se le llama Diagrama de Argand. De esta forma forma se establece establece una correspondenc correspondencia ia uno a uno entre los númeors númeors complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo al siguienye esquema: Número complejo
Punto del plano
a + bi = (a, b)
P (a, b)
Así, a cada número complejo a + bi le corresponde un único punto del plano cartesiano. Para este fin, si z = a + bi se considera considera en el eje eje X la parte real real de z “ a “y en el eje Y la parte imaginaria de z, o sea “ b “. Se sigue el mismo procedimiento para ubicar puntos en el plano. El rayo que une el origen de coordenadas con cada punto se llama radio vector y representa la magnitud del número complejo.
En la gráfica se observa los números complejos z 1
=
1 + 4i; z 2
=
3 + 2i; z = 2 − 2i
MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Se define módulo de un número complejo z = a + bi y se representa por z a la raíz cuadrada no negativa de la suma de los cuadrados de la parte real con la imaginaria. En forma simbólica: a2
z =
+
b2
Ejemplo: Calcular el módulo del número complejo z = −2 − 2 3i Solución. z = (−2) 2
+
(−2 3)
2
=
4 + 12
=
16
=
4
entonces
z = 4
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
En forma análoga a lo realizado en el conjunto de números reales, se puede realizar operaciones como Adición, sustracción, multiplicación, potenciación, división y radicación en el sistema de números complejos.
ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Considerando dos números complejos:
z 1
=
a + bi y z 2
=
la adición de estos
c + di
números se efectúa sumando sus partes reales e imaginarias correspondientes. De esta forma:
(a + bi )
+
(c + di ) = ( a + c)
Ejemplo: La suma de los números (−8 + 5i ) + (12 − i )
=
z 1
+
(b + d )i
8 + 5i y z 2
= −
(−8 + 12) + (5 + −1)i
=
=
12 − i es
4 + 4i entonces z 1
+
z 2
=
4 + 4i
ELEMENTO NEUTRO ADITIVO Para todo elemento z = a + bi de tal manera que
Así:
entonces se define su neutro aditivo como 0 = 0 − 0i z + 0 = 0 + z = z
z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i ) = (a + 0) + (b + 0)i
=
a + bi
=
z
Observando los extremos podemos notar que z + 0 = z
Ejemplo. Si consideramos el número complejo
z = 9 + 2i
al sumar con el elemento neutro
aditivo 0 = 0 − 0i tenemos lo siguiente: z + 0 = (9 + 2i ) + (0 + 0i ) = (9 + 0) + (2 + 0)i
=
Finalmente se cumple que z + 0 = z .
ELEMENTO INVERSO ADITIVO
9 + 2i
=
z .
Si
z = a + bi
manera que
entonces se define su inverso aditivo como
−
z = −a − bi
de tal
z + ( − z ) = − z + z = 0
De esta forma:
z + (− z ) = (a + bi) + (− a + −bi ) = (a + −a ) + (b + −b)i
=
0 + 0i
=
0
Si observamos los extremos vemos que nsí se cumple z + (− z ) = 0 En forma análoga se puede demostrar que
Ejemplo: El inverso aditivo de
−
z + z = 0 .
z = −3 + 7i
efectuar la suma de z con su inverso aditivo siguiente:
es −
−
z = 3 − 7i
. En efecto efecto,, al
z y desarrollando la adición se tiene lo
z + (− z ) = (−3 + 7i) + (3 + −7i) = (−3 + 3) + (7 + −7)i
Observando los extremos, nos damos cuenta que se cumple:
=
0 + 0i
=
0
z + (− z ) = 0
OBSERVACIÓN: En el gráfico se muestra la relación entre el módulo, conjugado y opuesto o inverso aditivo de un número complejo.(Barbero,A)
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Se define la sustracción sustracción de dos números complejos como como la suma del primer término con el inverso aditivo del segundo término. Es decir: Considerando dos números complejos: estos z 1 − z 2
números =
z 1
+
−
z 2
=
se
(a + bi )
+
z 1
=
z 1
z 2
=
z 1
a + bi y z 2
=
c + di
efectúa
−
de
−
(−c − di ) = ( a + c )
+
+
la −
(b + d )i
(− z 2 )
la sustracción de siguiente
forma:
(a − c) + (b − d )i
=
En consecuencia: (a + bi )
−
(c + di ) = (a − c) + (b − d )i
Observamos finalmente que z 1 − z 2 se obtiene al restar las partes reales e imaginarias correspondientes de
z 1 y z 2 .
Verifiquemos a través del siguiente ejemplo.
Ejemplo: La diferencia de los números z 1 − z 2
=
z 1
8 + 5i y z 2
= −
−
(−8 + 5i) − (12 − i) = (−8 − 12) + (5 − 1)i
=
12 − i es
20 + 6i
= −
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Considerando dos números complejos:
z 1
=
a + bi y z 2
=
c + di
la multiplicación de
números complejos se realiza multiplicando como binomios reales y luego reemplazando i 2 por su valor -1. En efecto: (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci + bdi
2
=
2
(ac + bdi ) + (adi + bci) = (ac + bd (− 1)) + (ad + bc)i = (ac − bd ) + (ad + bc)i
(a + bi).(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i
Observando los extremos tenemos:
Definición: Se define el producto de dos números complejos como sigue: (a + bi).(c + di) = ( ac − bd )
Ejemplo. El producto de los números z 1
+
z 2
=
z 1
(ad + bc)i
+
8 + 5i y z 2
= −
=
12 − i se obtiene de la forma:
(−8 + 5i )(12 − i) = [(−8)(12) − (5)(−1)] − [(−8)(−1) + (5)(12)] = [ −96 + 5] − [8 + 60] = −91 − 68i
Finalmente:
(−8 + 5i )(12 − i ) = −91 − 68i
ELEMENTO INVERSO MULTIPLICATIVO Definición: Si z 1 −
=
1 z
=
1 a + bi
entonc entonces es se define define su invers inverso o multip multiplic licati ativo vo como como
z = a + bi
de tal manera que
multiplican multiplicando do al numerador numerador y denominador denominador de la
fracción por su conjugado resulta: z 1 −
=
1 z
=
1 a + bi
=
Observando los extremos tenemos que:
1
.
a − bi
a + bi a − bi
z 1 −
=
=
a − bi a2
+
b2
a − bi a2
+
b2
OBSERVACIÓN: Al multiplicar cada número complejo con su inverso multiplicativo se cumple que el producto es la unidad:
z . z 1 −
=
z 1 . z = 1 −
Ejemplo: Cons Consid ider eran ando do el núme número ro comp complej lejo o z = −3 + 7i , hall hallam amos os su inve invers rso o multiplicativo utilizando:
z 1 −
z 1 −
=
a − bi a2 −
=
(−3)
+
b2
. Veamos:
3 − 7i
2
+
(−7)
− 2
=
3 − 7i
9 + 49
− =
3 − 7i 58
Luego el inverso multiplicativo de z es
1
−
z
− =
3 − 7i 58 −
Ahora verificamos verificamos que se cumple cumple z . z 1 = 1 considerando z = −3 + 7i y z 1 −
−
=
3 − 7i 58
.
En efecto: 1
−
z . z
=
(−3 + 7i )(
−
3 − 7i 58
)=
( −3 + 7i )(−3 − 7i )
=
9 + 21i − 21i − 49i 2
58
=
9 − 49( −1)
58
Con esto demostramos que se cumple que
z . z 1 −
=
=
9 + 49
58
=
58
58 58
=
1
1
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Recordemos que en una división
z 1
el número z 1 es el número complejo DIVIDENDO
z 2
y z 2 el el número complejo DIVISOR.
Definición: Se define la división entre dos números complejos z 1
=
a + bi y z 2
=
c + di
como el producto producto del número complejo complejo DIVIDEND DIVIDENDO O por el inverso inverso multiplicativ multiplicativo o del número complejo DIVISOR.: z 1
=
z 2
z 1 .
1 z 2
Reemplazando cada expresión de los números complejos: z 1
=
a + bi y z 2
=
c + di
tenemos : z 1 z 2
=
z 1 .
1 z 2
=
( a + bi)
Ejemplo: Dividir z 1
1
=
c + di
=
( a + bi )
c − di c
3 − i entre z 2
2
+
=
2
=
( a + bi)(c − di)
d
c
2
+
2
=
( ac + bd ) + (bc − ad )i c2
d
1+ i
Solución. Primero hallamos el inverso del número número complejo divisor z 2 z 2 1 −
=
1 z 2
=
1 1+ i
=
1(1 − i ) (1 + i )(1 − i )
=
1− i 2
1
+
1
2
=
=
1+ i
1− i 2
:
+
d 2
Entonces
z 2 1 −
=
1− i 2
Ahora multiplicamos el número complejo divisor z 1 z 1
=
z 2
z 1 .
1 z 2
=
(3 − i)
1− i
=
(3 − i )(1 − i)
2
2
=
=
porl el inverso z 2 1 −
3−i
(3 − 1) + (−3 + −1)i
=
2 − 4i
2
=
2
2 2
−
4i 2
=
=
1− i 2
:
1 − 2i
PRÁCTICA DE NÚMEROS COMPLEJOS Mg. Aracelli Saldaña Arbaiza 1.
Escribir el número complejo indicado, en la forma a + bi : d) 2 36 − − 49 − 7 a) − 16 + 2 25 e) − 200 + 500 b) 17 − 5 − 2 f) 63 + − 63 c) −4 + −9
2. Calcular Calcular los valores valores reales reales de x e y, y, que satisfac satisfacen en las ecuacion ecuaciones: es:
e)
g) h) i) j) k)
(2 − 5i ) x + (1 + 3i ) y − 8 + 9i = 0 f) y + 3 x + (2 y − 3 x − 9)i = 0
(2 x + y ) + (3 x − 4 y )i = ( x − 2) + (2 y − 5)i l) (1 − i) x + (1 + i ) y = 1 − 3i
3 x − 2 yi = 9 + 8i b) 2 x + yi = 8 c) x − 5 yi = 20i d) ( x − 1) − 9 yi = 2 + 54i a)
(1 + 2i ) x + (3 − 5i ) = 1 − 3i x − y + ( x + yi) = 2 + 6i (1 + x) + (2 − y )i = 3 − 4i 2 x + 3 yi − 3 = 5 x − yi + 8i
3. Encontrar Encontrar el producto producto de cada cada número número complejo complejo que se presenta presenta con con su respectivo respectivo conjugado: a) z 1 = 6 − i b) z 2 = −4 + 12i
c) z 3 d) z 4
3 − 8i
= − =
7 + 10i
4. Efectuar Efectuar las operacio operaciones nes que que se indican indican dando dando como como resultado resultado el número número complejo correspondiente: a) (4 − 5i ) + (2 + 7i ) b) (7 − 14i) − (7 + 14i) c) ( − 4 + 21) − (17 + 2i)
d) (2 −
−
18 ) + (4 −
−
2)
e) (3 − − 45 ) + (1 + − 20 ) f) − 5 + 4 − 125 − 5 125
g) (
−
9 + 1) − (4 −
−
25 ) + (6 +
−
49)
h) i (3 + 5i ) i) (4 − 2i )(3 − 7i) m) − 8 ( − 9 − − 8 ) n) (12 − 3i )(4 + 6i)
j) (8 + i)(5 − i ) k) 2i( 2 − 6i) l) 7i( −2i )(1 − 6i)
Aplicaciones Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. Igualmente se utilizan en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre ℂ. Simplifica algunas fórmulas correspondiente a la métrica del espacio – tiempo en la teoría de la relatividad especial y general. Los fractales en su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.
BIBLIOGRAFÌA. 1.
Lehmann, Ch. ( ) Álgebra.
2. Figuer Figueroa. oa. Matemát Matemática ica Básica Básica.. 3. Wikipe Wikipedia. dia.Núm Número ero complej complejo. o. Recupe Recuperad rado o en: http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo 4.
Barbero, A. Los Números complejos. España: Universidad de Valladolid. Valladolid. http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm