SISTEMA DE MEDICIÓN ANOULAR Y LONOITUD DE ARCO
En Geometría plana, un ángulo se define generalmente como la figura geométrica determinada por dos rayos que parten de un punto, en Trigonometría es "común", considerar que un ángulo es generado por un rayo que gira alrededor de su eje que se considera fijo.
Definición La magnitud de un ángulo trigonométrico viene dada por la rotación de un rayo (Lado inicial) alrededor de su extremo hasta su posición terminal (Lado final). lado final
Se dice que un ángulo es positivo si la rotación es antihoraria y negativo si es horaria. Del gráfico podemos afirmar que : "a" es un ángulo positivo y"�" es un ángulo negativo.
lado inicial
Una flecha curva indicará el sentido de la rotación y además la magnitud de un ángulo trigonométrico.
6
TRIGONOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
De la definición podemos deducir que un ángulo trigonométrico no tiene límites con · ' respecto a su magnitud. , Puede ser representado por cualquier número Real.
SISTEMAS DE MEDIDA ANGULAR I.
SISTEMA SEXAGESIMAL · (Sistema Inglés) : En este sistema consideramos al ángulo de una vuelta dividido en 360 partes iguales y a cada parte se le denomina un GRADO SEXAGESIMAL, a cada grado se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina MINUTO SEXAGESIMAL, a su vez a cada minuto se le divide en 60 partes iguales y a cada parte se le denomina SEGUNDO SEXAGESIMAL.
NOTACION
EQUIVALENCIAS
1 Grado Sexagesimal 1 Minuto Sexagesimal
:
lº
lº
1'
l'
1 Segundo. Sexagesimal : l 'I
= =
lº =
60'
=
3 600"
60" ,n
4 vuelta 360
�lm
4 vuelta
==
360°
1
11. SISTEMA CENTESIMAL (Sistema Francés) : En este sistema consideramos al ángulo de. una vuelta dividido en 400 partes iguales y cada parte se le denomina un GRADO CENTESIMAL, a cada grado se le divide
en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina MINUTO CENTESIMAL, a su vez a cada minuto se le divide en 100 partes iguales y a cada parte se le denomina SEGUNDO CENTESIMAL.
7
UNI
ANGULOS Y ARCOS EQUIVALENCIAS
NOTACION
:lg
lg
=
100 ni
1 Minuto Centesimal : 1 m
1m
=
100
1 Segundo Centesimal : 1 8
¡g
=
1 Grado Centesimal
=
10 000 s
8
vuelta 400
,n L)
-+lm L'.)
vuelta
=
400 g
I
111. SISTEMA RADIAL (Sistema Circular) : En este sistema la unidad angular es el radián. Un radián se define como la medida del ángulo central que subtiende en cualquier circunferencia un arco de longitud . igual al radio. (En la figura adjunta el ángulo mide un radián).
e
En este sistema el ángulo de una vuelta mide 2 1t radianes.
I
m
L)
!vuelta• 2 nrad
o
I
Con frecuencia, un ángulo en radianes se expresa como fracción de 7t ; además si la unidad de medida de un ángulo no se estipula, se sobrentiende que es el radian así: 7t
7t
1t
1t
; 7t -
22 7
7t
7t
-<> - rad. · -rad < > - · +=rtui < > 13 '14 14 ' 13 4 4
Aproximaciones de
7t
7t
3,1416
7t ==
f3+...f2
RELACION DE CONCIERSION DE LOS TRES SISTEMAS Sean S , C y R los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Sabemos que : _ 360 ° = 400 g
=
2
7t
rad
TRIGONOMETRIA
8
EDITORIAL CUZCANO
-----------------------------.........
Entonces se cumple : Simplificando :
S
C
R
400
2n
= -- =
360
s
C
*
S
=
200 -
*
180 K
R
----K
180
1t . -
�---
-
$.
:iQIIII(
Fórmula o Relación de Conversión
C = 200 K
*
R
=
«K
Equivalentemente :
s 9
=
e 10
=
R -n/20
* s
= 9n.
* e=
= n.
*
R
=
lOn. 7t
20 n..
CONVERSION DE UNIDADES ANGULARES 1.- De un sistema a otro: Se utiliza las siguientes igualdades:
*
7t
rad
=
180°
*
1t
rad
=
200 I!
a la medida angular que se va a convertir se le multiplica por una fracción de la forma .
� Unidad que se quiere
[ :jJ
. Unidad quese tiene
Ejemplo:
Convertir a
21 g a grados sexagesimales : 18,!l"
2. En un Sistema : En un sistema de medición dado, para pasar de una 1111iil11cl 1rnp1•1·io,· 11 una inferior se MULTIPLICA por la equivalencia respectiva. Pnrn p11H111· d ,, 111111 1111icl11cl superior se DIVIDE entre la equivalencia respectiva.
UNI
ANGULOS Y ARCOS
9
ae:ragesimal centesimal �
Para una mejer comprensión seguir el siguiente esquema, en el cual el significado de las flechas es el siguiente :
60
X
grados
- - =::
100 X 60
X
minutos
X X
100
=::
minutos segundos
3600
)lo ________ ,... segund08
grados
X
10 000
Ejemplo:
Para convertir a
54 'a grados sexagesimales, se le debe dividir entre 60
==>
a = 54'
54 = gº 60 10
0,9°
Ejemplo:
Para convertir 9 10,000.
=
1,23 g
a segundos centesimales, se le debe multiplicar por
Equivalencias Usuales :
15° = 18º =
1t
12 1t
10
1t
1t
180° =
1t
rad
45° = -rad 4
75° =
rad
3 7t 54° = -rad 10
90° = -rad 2 .
225° = -- rad
60° = �rad 3
2 rt 120º = -rad ' 3
3 1t 270° = =z=rad. 2
1t
22º 30 '= - rad. 8
6rad
3 1t 67º 30 '= - rad 8
36° = �rad 5
2 1t 72° = -rad 5
30° =
5
rad
1t
12rad 1t
135° =
3
1t
4racl
5 1t 150° = -rad 6
h 1t
.
4
5 re ad 300° = 3,.' 360° = 2
1t
rad.
RELACION ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y CENTESIMAL Sabemos que :
s
e
180
200
Simplificando se obtiene
EDITORIAL CUZCANO
10
TRIGONOMETRIA
-----------------------------------------------------
[GKS
Número de Grados Sexagesimales
e
Número de Grados Centesimales Número de Minutos Sexagesimales
Número de Minutos Centesimales �])
Número de Segundos Sexagesimales
�� q
Número de Segundos Centesimales
Ejemplo:
La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es ( 20 + x )º y en el sistema centesimal ( 20 - x ) g. Calcular la medida de dicho ángulo en radianes. Solución:
*
s -e 10
9
Sabemos:
Luego :
x = -
En radianes
��
20 +
20
X
-X
�
--=10 9
�
200 + lOx
=
180 - 9x
, entonces el ángulo mide :
[
20
-1� J
2 1t =rad 19
IMPORTANTE
*
1 radián
*
1 radián > 1 º > 1 g
*
Para todo ángulo positivo : C > S > R
=
57° 17 '44,81 "
*
=
63 g 66 111 19,77 s
1' > 1 m
=
iJ
[ 316
.
UNI
----�·------------------------------11
ANGULOS Y ARCOS
ANGULOS COTERMINALES Se denomina de esta manera a todos aquellos ángulos que tienen los mismos elementos. (vértice, lado inicial y lado final). En las figuras adjuntas a y son ángulos coterminales, lo mismo que a y e. Una característica fundamental de los ángulo coterminales es que se diferencian en un número entero de vueltas. En otras palabras si a y e son ángulos coterminales.
Ct
Entonces: Si a y e están en grados sexagesimales. ( K e Z ) ó
I
a - ·e = K ( 2
7t
rad )
1
Si a
y e
están en radianes. ( K e Z )
IMPORTANTE En forma práctica para determinar si dos ángulos son coterminales : l.
Restamos dichos ángulos
2.
Dividimos la diferencia entre 360° o ( 2 7t rad )
3.
Si el resultado es un número entero entonces los ángulos son coterminales.
Ejemplos: a) -
150º
y
570° ... - 150º - 570°
- 720º
- 720º --- - -2 360°
Si son ángulos coterminales. b)750º
y
-510º ... 750°-(-510º)
No son ángulos coterminales
=
1260º 1260º ... 360º
=
3,5
12
TRIGONOMETRIA e) 80º
y
EDITORIAL CUZCANO
-360° 440° ... 80º - 440º = - 360º ... 1 360° = -
Si son ángulos coterminales.
LONGITUD DE ARCO
Una de las muchas aplicaciones del radián como unidad angular, es el cálculo de longitudes de arco.
*
L
Lontitud del arco AB
*
r
radio de la circunferencia
*
0
Número de radianes del ángulo· central que subtiende el arco AB.
Se cumple que :
AREA DEL SECTOR CIRCULAR
Se denomina sector circular a la porción de círculo limitada por dos radios. El área (A) de dicha región ·se determina de la siguiente manera:
� �
�
L:..:..!.:.J
IMPORTANTE Longitud de la Circunferencia Area del círculo
o
I
L
Q=
[A.
21t
,·
,t,.i
l I
13
UNI
ANGULOS Y ARCOS
TRAPECIO CIRCULAR
[a+b] d
*
Area =
*
Angulo Central:
�
a
a-b d
e
RUEDAS Y ENGRANAJES A)
Cuando una rueda (aro, disco, ... ) gira o va rodando sobre una superficie plana desde una posición A, hasta una posición B (como se muestra en la figura). Entonces podemos afirmar lo siguiente : ,.,•"
-,
,.'.
:
'
-,
L
A
n. 9
B
Número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B. : Número de radianes del ángulo que gira la rueda.
L : Longitud que recorre la rueda (o que se desplaza el centro de la rueda). B)
Cuando la rueda (aro, disco ... ) gira o va rodando sobre una superficie curva, se presentan dos casos : Caso II:
Caso I:
R
o
R
o n.
S(R+r) 2 1t r
n.
S(R-r)
2 1t r
TRIGONOMETRIA
14
EDITORIAL CUZCANO
-------------------------------------------------En ambos casos :
n : Número de vueltas que da la rueda al ir de A hasta B.
8
: Número de radianes del ángulo que describe el "centro" de la rueda con respecto al centro de la superficie al ir de A hasta B.
R : Radio de la superficie curva. r
: Radio de la rueda (aro, disco, ... ).
C) Cuando se tienen ruedas ( discos, engranajes, ... ) unidos mediante una faja tangencial o están en contacto.
O1
y
O2
:
centros fijos
ILp=LQI D) Cuando se tiene ruedas (discos, engranajes, ... ) unidos por sus centros
En este caso se verifica que :
E) El arco que se genera sobre la circunferencia de una rueda, es igual a la longitud recorrida, cuando se encuentra sobre una superficie plana.
Lp 1-----d------<
l '1RCJBLEMA 1 I U +N + I
Calcular:
22,22 º < > Uº N' I ' '
Si :. 17
B) 37
D) 57
E) 67
A)
C)
47
A)Q 6
B) j_
D)-Q 6
E)-1
0,22
0,2 '
*
X
=
(la parte entera) ... 22º 60 ''
=
Del gráfico :
=
�
11
< > Uº N 'I
I
=
Dado la figura:
�
e
81
260
(de seg. a seg.)
a -5 -b 100 a ---� ----
81
250
€=
12
Rpta.: C
----------.....
s
I '
U+N+l=47
l '1RCJBLEMA 2 I
Calcular:
�
0,2 X 60 '' = 12,0 '' ... 12 ,,
; N = 13
22
como:
... 13'
13,2'
22,22 o < > 22º 13 ' 12
U
6
4 a m = - b ' ' = a ( 100 ) '
22 , 22º ...
=
.!
SOLUCION
SOLUCION
0,22°
C)-
6
l '1RCJBLEMA :; I
b
2
V4x2x81
=
X
81
-65
Rpta.: D
Determinar la medida de un ángulo en radianes, sabiendo que al medirlo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial se relacionan del modo siguiente: La diferencia de los dos mayores números, es igual a la mitad del décuplo del cuadrado del número menor. A) 417t rad
B) 317t rad
C) lht rad
D) 217t rad
E) 1 rad
16
TRIGONOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
1 �ROELEMA S I
SOLUCION
=
C-S
Del enunciado
Del gráfico, hallar una relación entre a.
10R2 2
� Y 2
180 R 10 R ----1t 2
200 R 1t
e.
--------------..
R=! 1t
Apta.: A
1 �flOELEMA 4 1 Si: "S" , "C" y "R" son las medidas de un mismo ángulo en los tres sistemas.
B) a. - � - 0
C> a. - � - 0 = 90º
D)a.-�-0 = 230º
E) a. + � + 0
Simplificar: ( 1800 + 19
1t ) (
2
2
S +C +R
2
)
(
B) 0,02
D) 20
E)l
=
180º
90º
SOLUCION
E = �-------'--! . . . !.-------------'72400 + 1t 2 ) ( se + SR + CR ) A) 0,05
=
A) a. + � + 0 = 180 º
Del gráfico :
C)0,01
SOLUCION
Como.;
__§__=_Q_=R=K 180 ·
S
=
200
180 K ; C
=
( 1800 + l9 n)(l80
=> E;
.
( 72400 + n
2
1t
2
200 K ; R 2
K +200 2
2
2
= 2
K +n K 2
1t 2
( 90º - 0) +a.+ ( - �)
K 2
�)
(_l800--rl:97t) ( E = -'-----�"------'-
Rpta.: C
. 1 �flOELEMA e! 1
20� (�)
E
=
180°
a. - � - e = 90º
)
) ( 180 x 200 K + 200 n K + 180 n K )
•
=
Si :
0,05
Rpta.: A
m =
C-§_ 9
y
e
n = S+10
Donde:
S : número de grados sexagesimales y
17
UNI
e :
número de grados centesimales de un mismo ángulo.
m" = nm
Además se cumple que Hallar -9
-10
E=vm+rn A) 1,2
B) 1,4
D) 1,8
E)O
SOLUCION
§_ =
s. = K
9
10
=> .
C) 1,6
=
lOO(M+N) A) 33,1
B) 32,2
D) 66,2
E)l
cx = M' = N":
¡
M
N
27
50
=
-=-
S
=
C) 66,1
4-
Sea el
9K
=
..f.._ 81
e= lOK
P''
=
Q8
M
=
27 N 50
p
= -ª!Ji
--4
--9._ 250
--4
25 O
Reemplazando:
77 ( -ª!.ii + Q ) E = __2-5�0�-27 100 ( N +N)
Además: 11
E= 77 (P+ Q)
SOLUCION
9 m = 10 K - K = 9K 9 . lOK n = 9K+- = lOK 10
m
ANGULOS Y ARCOS
77
X
331 Q
100 x 77 x 5N
50
n
111
--4
10 9 K= -
s 10
(
9K) lOK = ( lOK)
=>
10 9
m=(-)
9
9K
Además:
N":
y
=>
=
Q8
E
100 N = Q
--4
=
331 x 100 N 100 x 5N
E
=
66,2
Rpta.: O
' "flOBLEMA 8 1 ' "flOBLEMA 7 1 Si: M, N, P , Q son números que expresan la medida de un mismo ángulo en minutos sexagesimales, minutos centesimales, segundos sexagesimales y segundos cent.esimales respectivament.e, calcular el valor de:
Un mismo ángulo es medido por 2 personas: Juan José
--4 --4
encontró ( x - 1 )º encontró
( x + 1 )g
Calcular el número de radianes de este ángulo.
A)n/2
B)n/5
C)n/10
EDITORIAL CUZCANO
18
TRIGONOMETRIA
= 27º
4'.
E) 1t/3
D) 1t/6
SOLUCION
*
Complement.o del :
Del enunciado :
*
En radianes
4 :::
s
e
9
10
4
' "JlOBLEMA Y
=
18°
�
X=
19
1t
-rad 10 Rpta.: C
I
"Jl013LEMA 10 1
Calcular: "fl + b" , si: Se == C s ; además ( 20R )/1t == a b /b" , donde S, C y R son el número de grados sexagesimales, centesimales y radianes de un mismo ángulo. A) 1
B) 10
D) 19
E)21
C) 14
SOLUCION
En un ciert.o ángulo se cumple: Como:
rB+...J30C = 33 Calcular el complemento del ángulo en r adianes.
s
e
R
180
200
1t
-:::-=-
En el enunciado:
7 1t
1t
B)- rad 20 2 7t D)-rad 5
A)- rad
20
4
rad
Rpta.: B
'
x-1 x+l ----9 10
=>
1t C)-
20
63º
(x-1)0 = (x+l)g
como:
3
7 1t
= -
4
rad
7t
=>
E)- rad
20 R ab ----
10
SOLUCION
=-'>O () 180 1t
s=e � s
Como : 9
10
e =
K
== 27 30
3
T
T
TK=.fK=l
=>
33
K=l
ab
= b(t
ab 10 9 ---bª 9 10
=>
a= 10
� 27 K + '1 30 x 30K == 33
rl[ + 30 .fK =
9
1t
En el enunciado:
3
10
(-)9
b
=>
=
9
a+ b = 19
Rpta.: O
UNI
19
I LlflOBLEMA
1
11
I LlfiOBLEMA
¿Cuántos segundos centesimales están contenidos en un ángulo que equivale a la milésima parte del ángulo de media vuelta? 1000
B)2000
D> 3000
E)5000
A)
ANGULOS Y ARCOS
Sabiendo que "a" es el número de radianes de 266 º 24 ' . Calcular
a+ 7t
CJ 4000
7a- 0,44 A)
0,10
SOLUCION
D)l
Del enunciado :
SOLUCION
1 a = -- ( 200 g)
B) 0,50
a
·s.
I
=
f
15984 ' (
= 266 ( 60 1t
rad
180
X
60'
)
a + 7t 1,48 ---= __e_ 7a -0,44 7t 10,36 1t
Apta.: 8
0,25
)
I
=
+ 24
f
1,48
1t
+ 7t
-
0,44 re
7t
rad = 0.25
Apta.: C
l '1FlOBLEMA 14 1
Calcular : 0,3927 rad
De la figura, calcular :
5000m
A)l D)
C)
E)O
a = 266 O 24
20 100 X 100 S a=----= 20008
LlflOBLEMA 12
1t
Del enunciado:
1000
I
1
13
B)
0,5
C)0,25
A) O
E)2
1,5
B)l
SOLUCION
C)
0,5
Del enunciado:
D)
0,2
0,3927 rad
=
0,3927-rad (
200
X
100
E)2
111
3.1416 rad
)
0,3927 rad = 2500 m 0,3927 rad 5000
m
m-n E=-p0
2500 m --= 5000 m
SOLUCION
Del enunciado :
0,5
Apta.: 8
m
1
n
m=(-+p)9
e
de donde
m=-ri
=pe
.',
E= 1
�ROBLEMA lS
�ROEllEMA U
I
Del gráfico, calcular : "x + y" A)
Rpta.: B
1
EDITORIAL CUZCANO
20
TRIGONOMETRIA
I
a
B)2a C)3a D)
4a
E) 5a
Del gráfico, hallar el valor del perímetro de la región sombreada.
SOLUCION
A) 10 a/3
*
Del enunciado :
B) 20 a/3 C)
1,5 a
2a
D) 35 a/3 E)
3,8 a
SOLUCION
Del gráfico :
Del enunciado:
e = -21 3a 2
a
y=: -
X= -
2
=>
2a
X
+y
=
2a
Rpta.: B
1 �ROBLEMA 17 1 De donde:
2a
.
=
x = =>
a 8 ( 2a + a + - )
e
e ( -a + 2a ) e
PERIMETRO
0
Del gráfico, hallar el perímetro de ta región sombreada.
� e= l 3
1 5a = - ( 3a + 2a ) = 3 3
=
5a a+ 4a + 3
A) 10 a B) 11 a
20 a
C) 12 a
3
D) 13 a
= --
Rpta.: B
E) 14 a SOLUCION
21
UNI
ANGULOS Y ARCOS
Del enunciado
=
r
==>
10°
l
8 = 1 :.
X
= 4a
PERIMETRO = 11 a
8
Rpta.: B
1 �fiOBLEMA 18 1 Se tiene .3 ángulos consecutivos cuya suma es la cuarta parte de un ángulo llano, sabiendo que se halla en progresión aritmética y el mayor es igual al cuadrado del primero. Hallar la razón expresado en radianes. A) 1t/l8
C) rt/20
B)1t/19
180 1t IB
r
X
De donde
10 = -X 1t
Apta.: A
I
'1fiUBLEMA lY
Un vehículo viaja a la velocidad de 60 km/h en una pista circular de 20 mi de radio, recorriendo una parte de ella en un tiempo de 3,1416 segundos. ¿Cuánto mide en grados sexagesimales el ángulo generado en ese tiempo? A)
180°
B)
150º
C) 200°
E)300º
DJ 250º SOLUCION
Datos :
V
=
60 km. � V h
SOLUCION
T
=
3,1416 seg =
*
e=
D)
Jt/25
E)
n/22
Del enunciado
p+p+r+p+2r =
*
p2
=
3 � + 3r
45°
p+r
15°
2
8
==>
-
�x-:}
seg
50 1t 3
= �
1t
!::
3 20
e=
150°
R
-
= � rad 6
Apta.·: B
O
1 �fiUBLEMA 20 1
p - 30 + 2 p = O �2+P-30
7t
50 ..!!]:__ 3 seg
--,n
50
p + 2r
p 2 :::: p - 2 ( 15 - � ) = �
45º
=
= o �=
5
-6
Se tiene un sector circular de radío R y perímetro 15R/7. ¿Cuánto hay que aumentar el ángulo central de dicho sector para que su perímetro no varíe, si su radio
EDITORIAL CUZCANO
22
TRIGONOMETRIA disminuye en la mitad del anterior? A) 1/7 rad
B) 1517 rad
C) 2/7 rad
D) 517 rad
E)
15 rad 7
Rpta.: B
1
3/7 rad
SOLUCION
�ROBLEMA 21
I
La unidad de medida de un nuevo sistema se representa mediante 111•
Gráfica del enunciado: A
A)
Calcular el número de minutos sexagesimales que contiene esta nueva unidad, si:
o B
A) 54,5454
B) 59,5959
C) 45,4545
D) 53,5353
E> 49,4949
Dato
PERÍMETRO
15 R 7
=
SOLUCION
x" = x g + x m + x 8
<)AOB
,......
R
lAD = -
A'
B)
1 g + 0,01 g + 0,0001
1 ll
7
o
1u
=
1,0101
g
1"
=
. 1,0101
g • --
=
0,90909 º
a minutos: 111
B'
=
60'
=
54,5454'
# de min. sexag.
=
54,5454
0,90909
Dato:
PERIMETRO
PERIMETRO
1 7
lOg
g
a grados sex.
""""7
9º
cancelando x
""""7
R' 2
1 �ROllLEMA 22
BR =7
8K
<-+e)<-)= 7
""""7
0 = 15
7
I.
X
Rpta. A
Calcular la medida de un ángulo en grados sexagesimales, si la diferencia del número de segundos centesimales y 100 veces el número de minutos sexagesimales, es igual a 138000.
23
UNI
B> 32º
A) 29º D) 27º
C) 22º
ANGULOS Y ARCOS
A)
E) 25º
1t
rad.
=
4
C) 3
Se desea hallar 8°
E) N.A.
Sea:
m: # de segundos centesimales
n : # de minutos sexagesimales
Dato:
=
,n -100 n.
138000
(I)
=
y
10000 C
n
=
60 S
e-
3
SOLUCION
e
Sea:
y a
s0
e ex =
+
100 e 60 s ) = 138000 138
...... ( II )
=
C
S = 9n
10 ( 10 n ) - 6 ( 9 n )
y como :
........ (I)
Re
=
, C ex
180 1t
n
=
=
138
=
27º
S = 27
Finalmente:
Sº
R ex 1t
3
7t
=-
..... (II)
4
Del segundo dato: Re-Rex
�
200
7t
9 R e + 10 R ex
3
S = 9n
=
Operando:
10 n
En (II) :
Operando
15
1t
e-6s =
Pero :
los ángulos
Re R ex 180 -+ 200 - = 15
En (I) :
Simplificando: 10
rad
D) - rad
Pero : S e
En (I): 10000
20
Del primer dato:
pero sabemos que:
m
1t
+r
4 1t
rad
SOLUCION
3 1t
B)
2
7t
=5
(III)
Resolviendo {II) y (III)
Rpta. D
(U)+ lO(III):
31t = -
19 Re
Se tiene dos ángulos tales que el número de grados sexagesimales de uno de ellos más el número de grados centecimales del otro ángulo es igual a 15. Calcular el mayor ángulo en radianes si además la diferencia entre sus números 'de radianes del primero 7t
menos el segundo es 2-. 5
4
En (III) :
� e �
21t
1t
5
4
+ 10 - � Re= -
1t
= +rad. 4
mayor ángulo
-3
7t
20 3 1t a= --rad
20
.'.!. rad 4
Rpta. A
.
24
TRIGONOMETRIA
l
'1ROBLEMA
241
EDITORIAL CUZCANO
Sabemos:
s
e
= 130 k
Calcular: /
E=
R �
Á
\J
+ _ r--�-¡2s +-�-,
c-s
"
c-s
A)
7
B)5
D)
2
E) 6
c+6s C-8
"
C)9
En
S
=
9 n. , e
=
=
10 n..
..J 19 + 6
E:;:: 5 Rpta. B
l '1ROBLEMA 2S I Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes, si la raiz cúbica del producto del número de grados sexagesimales , el número de grados centesimales y la media aritmética de dichos números entre 19, es igual al cuadrado del número de radianes de dicho ángulo multiplicado por
! �.
= ( re k)
B) 30 rad
A) 20 rad
28 rad
E)
C) 27 red
20 k � 45 R
=
1t
=
k2
1t
k
=
1t
� 45
k
2
�
l
'1ROBLEMA 2(Í
=
20 1t
R=n(-) 7t
Rpta. A
I
Calcular x -t si: 88=x(l-x)º
Cº
=
19
A) 20
B)
D) 23
E) 29
Diviendo los datos: x(l-x)°
Cº
x(l+x)g (l-x)2
*
x ( 1 +x )g
(l-x)2
(l+x)2
19 rad
...... (1)
k
45
Luego, la medida del ángulo es : 20 rad
Del enunciado se obtiene: 19
�
20
�
(l+x)2
2
.
R:;:: 20
SOLUCION
S+C 1 . S.C(--).-
ru
3
re
SOLUCION
1t
2
Simplificando:
En:
E :;:: --./ 19 + ..J 28 + 8
k
}/ 380 k 1 \/ ( 180 k) ( 200 k) ( -- ) . 2 19
� ( 8000 ) k 3 . 45
Reemplazando:
V
1t
(I):
SOLUCION
D)
=
= 200 k ,
Agrados sexagesimales:
C) 24
25
UNI
9º sc.i-:-:
2
lOg
�
( 1-x )º
Para que la suma sea 40, se observa que I
(1+x}2
Cº
(l+x)g
k 9º
(l-x)2 lOg
*
(�)
9
10(1-x)3
10 n
10
9(l+x)3
1-x
10
1 +x
(1-x)3
10 3
(
=
200
180 , C
y R
1t "'
8. J
1t
'16 ) 1t
E= 10.J3(1) E=10.J3
Apta. 8
5 C = 40.
.f3 10 .f3 22 .f3
=
.f3 + {2
X= -
B) 20
Rpta. C
l '11lOBLEMA 281
Se ha creado un nuevo sistema de medida angular U.NI. ( U) en donde un grado "U" equivale a la 1,000 ava parte del ángulo de una vuelta ¿A cuántos grados "U' equivale 0,00314 rad, ( 1t = 3,14 ) ? A)O,l 11
B) 0,5 u
0,811
E) 0,3 u
D)
.f3 D) 6 .f3
A) 9
SOLUCION
U.NI. (U)
Nuevo Sistema Dato:
SOLUCION
Reemplazando S
=
180 k
y C
=
un grado U.N.I.
200 k l tt
en el dato: ..J 900 k +
30
=
.f3 - ../2) . 1t
Finalmente:
E = ( {5s - ..J 3C ) R
E)
Luego: S
(.f32-f22)
Calcular:
C)
= 40).
E. == 10.J3 ( .J3 - {2 ) . ( {3- + {2 )
1 +X) 3
l '1flOBLEMA 27 I "'5§" +
fl + 10 IT
pero:
x-1 = 19
Si :
3
(pues: 30
E == 10.J3 (
1 . 19
=>
1
1
E == ( ..J 900 - ..J 600 ) 1t = ( 30 - 10
(1-x)3 10 S 9 ---= e 10 (1+x)3 9
93
=
Reemplazando en E
Efectuando y simplificando
9
EDITORIAL CUZCANO
. rt: 'I
3,
_
=
1 vuelta
k + 10
� rt: 'I
k = 40
l lt =
1 u.
( 1 vuelta = 2 1t rad. )
1000
..J 1000 k = 40
=
2
7t
rad
1000
1t
== -rad
500
TRIGONOMETRIA
26
I PfiOBLEMA 30 1
Transformando 0,00314 rad : Por factor de conversión (
0,00314 rad
l" 7t -rad 500
X
EDI I GRIAL CUZCANO
]
=
0,5
11
En un triángulo ABC : Calcular la mediana relativa al lado AC si:
AB+BC=8. Ademas:
Finalmente:
7t
7t X
0,00314 rad
l
Apta. A
I
'1flOBLEMA �y
A=(---)rad 60 12
0,511
B = 4xº + 10 s + 1 °
C
=
Expresar en grados centesimales x = 2 (a-b+c)
D) 7
a = 21 ° 27'14" e
= =
D) 29,6g
,....g
C) 20,6 g
25,6
E)
=
a-b
; b
= 11 ° + 42' + 37"
10º - 15' - 23"
y como_ r. = 23"
X
=
X
=
2(a-b+e)
=
20° - 30'
19,5°
X
[ 10
::::> 11
1
=
3° x -15°
xg
9º
180°
=
C = 20 - . ( - ) + -9 36 10 g
2° X + 5°
por ser los ángulos de un triángulo:
=
2 ( 10° - 15' )
20° - 0,5°
=
19,5°
a grados centesimales:
¡JI·
180° 12
B = 4xº + ( 9º ) + 1 º = 4° x + 10º
a= 21 º + 27' + 14"
�
X
A = 180° - - �-
60
SOLUCION
=
-12
-12
A grados sexagesimales :
23" Bl 23,6 R
� x
C) 9
B) 2
SOLUCION
11 º 42'37"
A> 21,6g
�
7t
-12 E) 6 -12
A) 4 ..f2
Si:
b
xg
20 - + -rad 9 36
X
195 = 21,6g g) = -9
=
e =
180°
�
9º x = 180° �
X=
20
Luego: g
--
9°
A+ B +
,.._
21,6g
Apta. A
A
=
3° ( 20 ) - 15°
=
45º
B
=
4º ( 20 ) + 10º
=
90º
e=
2° e 20 ) + 5º = 45º
27
UNI B
A
como AB+BC
8
-r-v-
*
En los sectores circulares sombreados, los ángulos centnales deben de ser iguales (o:) por tener radios paralelos:
*
Por dato:
AB
---t
....--......
arco menor AB
e
m
m
ANGULOS Y ARCOS
=>
=
4
=
-'�
arco mayor CD
o:.4 = (21t-o:).2
2o: = 21t-O:
---t
o:
iguales
mi2 =
4
,n
---t
mediana
= = 2
4 {2
= 2...f2
*
12 Rpta.B
I PflOBLEMA 311
7t
2 +rad
3
finalmente, el punto A debe llegar ---.. hasta B, generando el arco AB, y también originando en la rueda menor un arco L, que por propiedad, debe ser igual a AB. (El arco L no ha sido graficado, pero es generado por cualquier punto de la circunferencia de la rueda menor) ,--..,
=>
En el gráfico, el arco menor AB, es de igual longitud que el arco mayor CD. Si el punto "A" pasa a la posición del punto "B", ¿Cuántas vueltas da la otra rueda?.
=
arco mayor AB la rueda menor
=
un arco L en
2 �) . 2 = 9 (siendo 9, el número de 3 radianes del ángulo que gira la rueda menor) (2
1t -
e
Luego:
A)�
3 3 D.)2 SOLUCION
1
BJ-
2 E)±. 3
C) §.
3
=>
n
7t
83
e 2
7t
=>
n =
4
3
Rpta. E
I Pf10ElLEMA 321 El ángulo central que subtiende un arco de radio 18, mide C rad si se disminuye dicho ángulo hasta que mida S rad ¿Cuánto se debe aumentar al radio para que la longitud de dicho arco no varíe?
28
TRIGONOMETRIA
FDITORlAL CUZCANO
ce : cent . ' s : sexag. ) C)6
A)2
B)4
D)8
E) 10
2
SOLUCION
Inicialmente:
D
A B)8�
A)5� 6
L
D)
C)4�
7
1t
5
7t
2-
E)715
10
SOLUCION
L
=
De la figura del problema:
C .18
L
e rad.
CAD :
Sea el ángulo
Luego:
A �omb
=
A .•omb
= -e . ( A C ) 2 - -e . ( A F ) 2
A GAG -A FAD
2
2
(AC2-AF2) A sinnb -- � 2
....... (1)
pero, por Pitágoras:
AC 2 = AD 2 + CD 2
� igualando: �
L
=
S ( 18 +
X )
( 9 n ) ( 18 + X �
1
)
18 + X X
AC 2 = AF2 + 22
= 18 C
=
A somb
20
= 2
e = -(4) 2
�
A soml:
=
20
Pero por dato: Asomb
1 �JlOElLEMA 331
7t
=6
�
e= - � 7t
El área de la región sombreada es 1t/6. Hallar el arco del sector BAE, si ABCD es un rectángulo.
líl
........ en (1)
= 18 ( 10 n. )
Rpta. A
íl 1
S . ( 18 + x )
12
�
2
e=� 6
/\
7t
7t
BAE +-=12 2 /\
BAE
5
7t
12
�--�-----
29
UNI
..-..._
5 1t
1t
5-
BE=(-) .2
12
I
ANGULOS Y ARCOS
Luego, el ángulo central mide
Rpta. C
6
Rpta. A
1 �JlOBLEMA 341
3 rad
1
I
�JlOBLEMA 3S
En un trapecio circular, sus arcos miden
Se tiene un sector circular, en el cual su perímetro al cuadrado es a su longitud de arco, como 25 veces el radio es al ángulo central. Calcular la medida del ángulo central en grados sexagesimales. A) 8 rad
B) 6 rad
C) 3 rad
D) 19 rad
E) 15 rad
SOLUCION
Graficando:
f2x
{2 y
y
Si su área es
' (x >y).
x2-y2
, calcular la me2 dida del ángulo central del sector circular al cual pertenece. A) 1 rad
B)'Í2 rad
D) 3 rad
E) 2 rad
C) 4 rad
SOLUCION
A
o
perímetro
=
B
2r + L
Del enunciado : ( 2r +L) 2
L Pero:
L
*
25 r
=e
e .
...... (1)
r
... " (2)
X
Area del trapecio:
At
(2) en (1):
x2-y2
er er
( 2r +
r2(2+
e,.
)
2
e)2
= 25
2
!..
e
(X
=>
*
Simplificando:
e2+e)
2
=
25
-t
e=
3
=
{2' -(x+y)d 2
+ y ) ( X. - y ) = {2' ( X + y ) d
= 25 !.. .
e
= (f2x;Y2yJd
x-y=f2'd
Angulo central
e=
f2'x-'Í2y
d
=
{2 -ex-y) d
EDrJ URIAL CUZCANO
30
TRIGONOMETAIA
..J2
.rs:
4 1t r
8=-('12d)
·d
e
2
Apta. E
l
'1FIOllLEMA 'U
I
pero: Luego:
=
r
tan a = a
A) 104º
B) 106º
D) 102º
E) 100º
C)
108º
e =
e
l
'1FIOllLEMA 37
1 r - a 4
� �
tan. a -
1 4
(ver fascículo II)
a "" 14º ==>
Si la rueda dá 2 vueltas desde su posición inicial, hasta ubicarse en equilibrio en el punto B, calcular el valor aproximado de e.
a
n;
90º + 14º
= 104º
Rpta. A
I
Hallar el número de vueltas que dá la rueda de radio 2, hasta el instante de que llegue a tocar la pared vertical
11
1
-�--------
-,
SOLUCION
1
A) -
2
2
+ 7t
1 4 + 2 7t
C) -
1 2
1
¡¡;
l-
2
B) - - -
D)
2
¡¡;
1 1 E) - + 2 7t
Le n.--2 tc r 41tr
41tr
= =
--- 6 ----
==>
2
2 n; r
1t
¡¡;
2
2
-.r+n(a-r)+-.r 1tr+1t(a-r)
31
UNI
* *
ANGULOS Y ARCOS
Luego:
r = 2 1t
Lc=L1+L2=-.4+4 2 � Lc=21t+4
Luego:
n
Le = -= 2 1t r
n
=
2 1t
+4
7t+
2
21t(2)
1
2
7t
1
-+2 7t
=
=> L+x
=
(0+x) . (r+x)
er+x
=
er+ex+xr+x2
�
1=0+r+x 1-0-r
X=
Se tiene un sector circular en el cual· r , L., e representan al radio, arco y número de radianes del ángulo central, respectivamente. Se construye otro sector agregando "x" a cada una de estas cantidades obteniendose ahora r + x , L + x y e +x. Obtener x en función de r y
I PfiOBLEMA 3Y
B) 4 +
e-r E) 1- e - r
D)l+0-r
Rpta. E
J
En el gráfico, el área de la región sombreada es x m. 2. Calcular: p
=
e
A) 2 + e -r
. radio )
ángulo
x=ex+xr+x2
Rpta. E
I PfWBLEMA 381
C) 8 -
( arco
1 x-x
BD
2x m..
e-r x,n D
SOLUCION
Inicialmente :
A)-61t - 1
7t -
c,-_ s 7t -
L
::::> L == 8r
2 B) __
2
D)-_ 6 7t - 6
E) _5_ 7t -
1
6
SOLUCION
De la figura del problema:
TRIGONOMETRIA Si
BD
=
2x
32
----)
OD = x
*
En el .sector COD, el arco mide igual que el radio, entonces por definición, su ángulo central COD mide 1 rad
*
En el sector FÓE, como su ángulo central mide 1 rad., entonces: � OE =FE= 1
" * FOA
*
=
Asomb Asomb
1t -
= =
X=
2
11 FOE
1 x-X
=)
" FOA = ( 1t - 1 ) rad
Anoc -A FOA
B
Del enunciado: 3 -+L
e
=
2r
.............................. (1)
r-L=.!.
x2
12
2
2
.............................. (II)
e
Resolviendo:
(1t-l)
(l)+(Il):
2 2
(X
2
-1)
3 -+r
2r +
e
-1·
2 = -7t-
1 2 -=r 0 ----) e ----)
X
l
Rpta. B I
o
(1t-l).--(1t-l).-
X
1t - 1
EDITORIAL CUZCANO
LlAOBLEMA 40
1
pero:
L =
Luego:
L
e. r
=
2
En (II): 1
r-2
En un sector circular la suma de tres veces la inversa del número de radianes de su ángulo central. mas la longitud de arco es igual a dos veces su radio y además la diferencia entre el radio y la longitud del arco es· igual a la inversa del número de radianes del angulo central. Calcular el radio de dicho sector. r = 4
A) r
6
B)
C)r
8
D) r
E) r
12'
=
SOLUCION
Graficando un sector circular:
10
2=0.r
e
(2)-20=1
----)
0r-20
1
1
�
e-
=>
r=2+2
2
Nuevamente, en (II): r- 2
=
1 1/2
r
=
4
Rpta. B
I LlAOBLEMA 411 Hallar el área de la región sombreada, si los sectores AOB y COD, tienen igual área; además OA = 2.
33
UNI
ANGULOS Y ARCOS
l
A
'1Jl0BLEMA
Se construye un cono circular recto cortando un sector circular de un disco. Calcular la medida del ángulo central del sector cortado, para que su área lateral �ea el triple del área de su base.
E
A)�
A)x-y
B) 2 ( x -y)
C) 4 ( x - y)
D) 2 (y -X)
B)
6
D)
E)4(y-x)
7
7t
E)
6
2 7t C)-
8 7t
3
6 7t
SOLUCION
SOLUCION
Dato:
421
*
A1 = A2
Interpretando el enunciado:
AB=0R D�l dato: E
* Area sombreada: As = Aeos -A2
Area lateral del cono
Luego:
2
0 2 R =3( 2
1 2 As= -(4y-yr ) 2
1t
r2)
---t
e = 6 1t ( -r ) 2 R
.... ( 1)
� . pero el arco AB origina la circunferencia de la base del cono.
J.
---. =
4x As
3 área de la base
Area del sector
r2 22 As= y.--y.-
2
=
� AB
2(y-x)
Apta. O
Circunferencia de radio r (Base del cono)
�
EDITORIAL CUZCANO
34
TRIGONOMETRIA r e ---
�
0R=21tr
R
21t
A= 10
Reemplazando en (1): 0
=
= e=
pero: S
0
61t(-)2
2
7t
e -
A= 10
1
=
.....
3
I i;JfiOBLEMA 431 representa al número de minutos sexagesimales y "n" al núme-
A=6
ro de segundos centesimales de un mismo ángulo calcular:
A= 10 � 40 m B)
D)
C) 8
6
E) 4
10
SOLUCION ,n : # de minutos sexagesimales
n : # de segundos centecimales
=
60 S
,
n
=
-'vr-;;;-;;a Rpta. B
I i;JfiOBLEMA .t.t l A)2
B)3
0)4
E) 1,5
C)l
SOLUCION
Sabemos: m.
10
Calcular el número de vueltas alrededor de su centro, que dá una moneda, cuando recorre todo el perímetro de otra de igual valor. (ambas monedas están apoyadas sobre una mesa).
n
A) 2
24 9 k 100 ( 10 k)
3
A
"m"
10 k
Apta. C
Si:
100
9 k
Simplificando :
2 1t
1
24 ( S)
10,000 C
Reemplazando en
,,
A= 10
I
I 1
' A= 10
Simplificando:
40 (608) 10,000
e
\
''
'
'
\
\ 1 1
35
UNI
ANGULOS Y ARCOS
*
Recordar:
�
En el problema:
PQO
1:!,,
� = 60°
Pero:
* ,. = a * Le es la longitud de
a+ e + �
� e=
una circunferencia
equilátero de lado 2 a
1 :
=
7t
=-
90°
Le = 2 nR
Luego:
=
4 na 2 1t a
n=--
2
7t (
�
2a )
= n
4
=
1t
a
2
�RUlllEMA 45
1
1
2L,,'
Donde: r = a
Rpta. A
1
=
n
Ahora:
rad
2
1
=>
180°
Lc=L1+L2
pero:
�
Calcular el número de vueltas que necesita la rueda para pasar los obstáculos semicirculos de igual radio.
L
t
=
�
L2
Le
L e = 2 ( 0 . 2a )
=
=
2L
1
4Oa
1t
Le= 4(- )a= 21ta 2 2 1t a n --2 na
� Rpta. E
1 �RUlllEMA 4¿ 1 A) 2
B)3/4
D) 3
E)l
SOLUCION
C) 1,5
Una rueda de radio 2, se encuentra sobre una pista rectilínea, como se muestra en el gráfico. Hallar la distancia de P a su posición final, luego de girar la rueda 270º.
o p
* A)
"-Í 9 1t 2 + 12 1t + 6
B)
"-Í 9 1t 2 + 12 1t + 8
C) -) 9
1t
D) -) 9
1t
E) -) 9
1t
EOITOí�IAL CUZCANO
36
TRIGONOMETRIA
1 ¡;JfiOBLEMA 471
2
+ 10
1t
+8
2
+ 12
1t
+4
El número de vueltas que dá una rueda de radio tt, respecto de su centro, es:
2
+ 10
1t
+2
8(tt-2) Hallar la longitud de la trayectoria que genera su centro.
SOLUCION 1
=
n
Se sabe que,
1
29,
A) 32
B) 34
C) 30
D) 28
E) 36 SOLUCION
p
Q
Le= 21t.8('Í6-2).tt L e = 16 1t (
7t
9 = 270 º = 3 - rad. 2
donde:
L e = 16 1t ( 2
es el ángulo que ha girado la rueda.
n
-1
=
3
3
1t
2(21t)
1 Luego:
1 '1Jl0BLEMA
r
3 Le -=--
-1
2 1t r
Lc=31t
Finalmente: Distancia de P a su posición final = PP', y usando Pitágoras: ( P P' )
2
(PP')2 P P'
Le
=
32
Rpta A
--
4
f3" - 2 {2)
· L e = 32 ( f3" + {2 ) ( f3" - {2 )
4
pero también:
-1.
fü - 2 .../2)
= 2
=
2
+(Le+2)2
4+(31t+2)2
= -) 9 1t 2 + 12 1t + 8
Dos ruedas con centros fijos, se encuentran en contacto. Si la primera gira S rad teniendo radio 25. Hallar el diámetro de la segunda,siestagiraCrad. (S y Csonlos números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo). A) 45
B)48
CJ 46
D) 44
E)42
Rpta; B
481
SOLUCION
37
UNI
ANGULOS Y ARCOS
Sean las ruedas de menor a mayor: A, B,
Por propiedad:
C
D.
y
4
También:
nA =
entonces:
0A = 2 1t nA = 81t ( rad)
*
De las ruedas A y B:
LB= LA
S. 25
=
C.
9n. . 25
=
10 n • r 2
r2
r2
0 B • 2 = 4 1t . 1 � 0 B = 2 7t ( rad )
*
45
De las ruedas B y C:
= -
0c
2
Luego:
1 '9ROllLEMA 4Y
=
2r2
=
45
Rpta. A
I
*
0B
0 e = 2 1t
-t
Diámetro de ( 2 )
=
( rad )
De las ruedas C y D :
LD
= Le
0 D , 4 = 2 1t . 3 � 0 D
Luego :
0D
=
3 1t =( rad ) 2
270°
Apta. A
l '9ROllLEMA I SO
Si la rueda de radio 1, dá 4 vueltas ¿Qué ángulo gira la rueda de radio 4?. A)
210º
B)
300º
D)
280°
E)
240º
SOLUCION
C) 270º
En el gráfico se tienen 2 poleas de radios 9 Calcular la medida del ángulo que debe girar la polea menor, para que las bolitas A y B se encuentren a igual altura. y 5.
A) 3 1t/4
D)
1t
rad
B) 3 n/2 E) 2
1t
C) n/2
..
38
TRIGONOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
Sea "0" el ángulo que gira las poleas A y B. (deben girar igual ángulo) Para estar a igual altura, A debe descen-
r--
der y B debe subir. Luego:
A
44
!
B
b s+ti» = 44
pero:
SOLUCION
................. (*)
,......_
h « = PP' = 0. 9
,..--,
hn = QQ'
=
0. 5
. en(*) 90+50
P'
�
•
A
1-�
44
1
tº
1
�
:hA
=
44
e_44_22 14
aproximadamente:
e =
1
rad
7
7t
e
=
1t
rad
rad
Rpta. D
••••••••••••••• • • • • •
39
UNI
ANGULOS Y ARCOS
PROBLEMAS SELECTOS :;: PROBLEMA[:�iJ ·
PROBLEMA[g·EJ
·:·
Si O= la5° b3' c3", es el suplemento del :;: Se define: (N) = 3 + N complemento de 25,3925º; entonces el ..·:·. Halle la medida en el sistema internaciovalor de (a + b + c) , es: :;: nal de un ángulo que cumple: (S) =a+ 4 ; A) 3 B) 4 C) 5 :;: (C) = 2a + 1, siendo S y C lo convencional ,:, para dicho ángulo. D)6 E) 7 ·:· .:. :n: :n: :n: ·:· A) -rad B) -rad C) -rad RESOLUCIÓN 80 10 -. 40 •!• Tenemos:
¡
e= 180º - (90º - a) 4 e= 90º + a a = 25, 3925º = 25º + O, 3925º ------.,..-
:;: RESOLUCIÓN: •!•
'------v----'
23,55'
:;: ,:,
... (1)
( C) = 2a + 4 � 3 + C = 2a + 1
... (2)
•!•
·:· De (1): •!•
'--v---'
S=l ==a} 2+ C = 2a
O 55 x60" �
:;: Luego:
2S-2=2+C => 2S-C=4
·:·
·=·
·:·
a.= 25º23' 33"
•!•
·=·
•!• •!• •!•
e= 90º + 25º 23' 33" e= 115º 23' 33" == la5° b3' c3"
-l-TT__ J TT
:. !a=l!b=2!C=3! atb+c=6
S-1 2+C
1 2
--=-
:;: Sea el ángulo pedido e, donde:
Luego, obtenernosque:
�
(S)=a+.4 �3+S=a+4
:;: De (2):
a= 25º + 23'+ 0,55' 33"
Así:
(N) = 3 + N
:;: Se define: ·:·•!• Tenemos:
0,3925x60'
4
E) ---rad
·:·
Donde a/\ e están relacionados así:
Ahora:
:n: 30
::: :n: .:. D) --rad .;. 20
e= la5° b3' c3" a= 25,3925º
r
8 C9
I
y:
1
S=180; C=20ü;
1
Rrad
·:· Reemplazamos:
I
•!•
·!· ·!·
Clave/DI :;:
2(180;)-(200;)=4�160;=4 1t
R=40
Clave/A]
'40
TRIGONOMETRÍA
·:· :;: ·:· :;: :;: ·:· :;:
El cuadrado de la media geométrica de los números que representan la medida de un ángulo en sexagesimales y centesimales es igual 45 veces la diferencia de los mismos. Halle la medida de dicho ángulo en centesimales. :;: B) os; _5s A) os; 5s
E) Oº
D) os; ±Ss
EDI fORIAL CUZCANO Calcule la medida del ángulo en grados sexagesimales. B) 151º
A) 141 º D) 167º
E) 171 º
RESOLUCIÓN: Condición: C (C -1) + S (S -1) = 2SC
10s
y
C2
../2c2 = 45(C -S) :;: Se conoce:
Donde
IS
=
1�
eI
�(��)-c
2
·
==>
9C2
J-0
e= es= Sº
I e = lük I s = 9k I
:;: Donde: .;.
=45( C-��J
= 45 ·
·:·
C
J-0
:;:
2
(k) =19k � k=O v k=19
·=·
·:·... Así la medida del ángulo e será:
:.
==> C2=5C
0=(9x19)0=161°
(Considerando que el ángulo no es nulo)
==> C(C-5)=0
1
Luego: 1
C=O
... (1)
:;: Reemplazando en ( 1):
Reemplazamos:
1
C + 52 - S = 2SC
(C-S)2=C+S
Sea el ángulo pedido: e
( e �:
-
C2 - 2SC + S2 = C + S �
RESOLUCIÓN: Condición:
C) 161º
V
C=S
La medida del ángulo e será.
Clave/e]
:;: PROBLEMAi:@-}) :;: Para un cierto ángulo, se cumple: ·:·
2C - 4 2S - 26 b+1 --= =a
PROBLEMAl:@-fl , S.ieri d o s y e 1 os numeros
·:·
:;:
3
2
donde S y C son los números conocidos ·:· del ángulo. Halle b/a. Siendo {a; b }E z+. que represen t an -:· la medida de un ángulo en grados :;: A) 1 C) 3 B) 2 sexagesimales y centesimales, y cumplen la ·:· ·:· 1 5 igualdad. E) 4. :! : D) 4 C(C - 1) + S(S - 1) = 2SC
41
UNI
RESOLUCIÓN: Condición:
·:·... RESOLUCIÓN: ·:·
25-26
3
2
==a
b+l
2(9k) - 26
3
2
---==a
b+l
1
A= lOk
·:· ·:·
9A°+68' E=--689 + 9Am
·=·
68º 9A°+E== 60 9A9 689 + 100
... (1) ·:·
·=·
2 ( 20k - 4) == 3 (18k - 26) 40k-8=54k-78 � 70=14k k=5 Sustituimos en (1):
9
= 9k
B
J\
I
(
=
(
B 9A + lO
68
t
9A
rn\
1\
x-
+ 100)
9'\
·:·
E=�A+B
2(45)- 26 == ab+l � 32 = ab+J
2
9(68
�
B
·:·
·=·
•!· •!·
9 + 100 A
J
Ahora, reemplazamos: A � E = 900k + 9k 9(54k + 9kJ 10
Luego: �=2 a
Clave/B}
�Ql1\1
·=· ·=·
= Bº
849
1010
1010
D) 849
E) .549
=
A
B == 9k
909k
s- 549 10
549
Clave/E]
, entonces el :;: ·:· PROBLEMAf�@.fj
9(A)º + _§(B)' es: (68)9 + (9A)"' ' B) 1010
= lOk
E= 1010
·!· ·!· ·!·
Si se cumple que: A9
549
10
B
·:·•!• Se pide el valor de E.
2(10k)-4
A) 1010
A
-= --
Reemplazamos:
=
9°
.._____.,-,
=>
valor de E
109
·!·
Conocemos que:
PROBLEMAf
Bº A9 A9 ==Bº � -==-
·:· Condición:
2C-4
--==
ANGULOS Y ARCOS
9
C) 10
:;: Dos ángulos positivos cumplen que la dife:;: rencia del número de minutos centesimales ·=· de uno de ellos con el número de minutos :;: sexagesimales del otro es 400, además el ·:· número de grados centesimales del prime:;: ro y el número de grados sexagesimales del ::: segundo suman 1 O. Calcule la diferencia .;. de éstos en radianes.
42
TRIGONOMETRÍA TC
A) .2:...rad 96
C) .2:...rad
B) -rad
20
8
D) -2:._rad
·
12
·:·... Calcule el número de radianes del ángulo. ·:·
7t
•!• •!•
46
·=·
E) -rad
•!•
·:·
B)
20
40
TC
-
10
1t E) -
1t
48
36
:\: Condición: c2-s2-R2:10R(76_�) ... (1) :;: ·:· rt 100
= 60
.. · (2)
I: Sea el ángulo pedido:
25 16C1 =100 => C1 =4 Reemplazando en (2):
Sumamos:
Si los ángulos son: 81
C)
·:· RESOLUCIÓN:
C1 + S2 = 10 => 6C1 + 6Sz
25
B) -
·!·
10,0'C1 -6f{S2 = 40,0'
4+S2 =10
TC
7t
•!• •!•
lOC¡-652=40 ii.
A)
·=·
RESOLUCIÓN: Condición: i.
EDITORIAL CUZCANO
15 => S2 =4 "
82 tendremos:
25g n rad 7t 81 =-x--=> 81 =-rad 9 4 200 32
8:
•!•
e·!·
Donde:
¡
8
Sº C9 Rrad
·!·
:;: Reemplazamos: ·:·
.
15° rt rad rt 82 = - x -- => 82 = - rad 4 180° 48 Luego: T(
7t
.32
48
81 - 82 = - rad - - rad
Rf( 7600 - l) = ]Jf,J 760 -rc TC ,r•l 10,Jfrc
2
1t
81-82 =-rad 96'
·!·
Clave /A) :;: PROBLEMAf
�AJ-a
:;:
Rr�1=r�1 10rc
rc2
·!·
Sabiendo que S, C y R son los números :;: convencionales para un mismo ángulo los·:· cuales cumplen. :;: -:· ) 10R(76 .;. � c2 _52 � R2 = TC 100
l
R
= .2:_ 10
------C2> Kaw:--------------------R = O también cumple con la condición.
Clave/el
43
UNI
ANGULOS Y ARCOS
PROBLEMA@"U
En un nuevo sistema de medida angular R, se establece que un grado R es equivalnte a un ángulo central que subtiende un arco de J�ngitud igual a la quinta parte de, la longitud del radio. Halle la_ medida del angulo recto en este nuevo sistema.
4n
A)
C)
2n
grados R
5
B)
3grados
R
D) -grados R
2grados R
·:· El número de grados sexagesimales de un ,:, 2 :;: cierto ángulo y los 3 del número de gra:;: dos centesimales de otro ángulo están en ·:· la relación de 9 a 10; además dichos ángu:;: los son suplementarios. Calcule la medida -:· del mayor ángulo. :¡: A) lOOº B) 102º C) 104º
-e
•,•
E) 111 º
5n
5n
·=·
4
·:·
·:· RESOLUCIÓN: ','
:;: Sean los ángulos en mención:
7n 2
E) -grados R
·:·
o. /\ 8
:;: Donde por condición:
RESOLUCIÓN:
·:· i.
Para un nuevo sistema de medida angular: :;: R. �
:;: ii. ·:· ·:·
Sa + S0 = 180
,:, Reemplazando (i) en (ii):
-� · 1' : grado en el sistema R.
R/5·
lrad
R
¡"'-
·:·
·:· Como ,:,
Por regla de tres simple:
1'
·:·
i' X ,R
1
·:· ·:·
= lrad X}(5 :;:
,:,
3
IC
-5 C0 + S9 = 180
0
= lOk
4 � lOk
5
= 9k
I
+ 9k = 180 k =12
Irad = 5' Luego, para un ángulo recto tenemos:
n
5' 5rc' 8=· ;¡rtlx--�8=2 l;¡rtl 2
:;: Así. luego: ·=·
8 = (9x12)0 = 108º
·:·
,:,
Clave/o]
·:·
O también:
m-4:8 =
/\ S0
5n - grados R 2
·:· ·:· PROBLEMACStiD ,:,
:�: De la figura. se muestra dos circunferen
2 1) Clave/el :;: cías de radios r1 y r2 (r > r y L1
,
L2 son
44
TRIGONOMETRÍA
la longitud de arco de los sectores circula- :;: res, AOB y COD respectivamente. Halle ·=· ·:· !-.1. :;: Lz . :;: e ·:· :;:
EDITORIAL CUZCANO
PROBLEMAC@'..j,) En la circunferencia de la figura mostrada, dos autos A y B parten del punto P en la misma dirección, con velocidades VA y V8 respectivamente; después de un tiempo t el ángulo central formado por sus posicio-
·:· nes finaJes mide 90º. Calcule e] valor de ·=·
a
:;: {en radianes), si se cumple que VA es a ·:· V8 como 2 es a 5. •!• •!•
·:·
D
. r A) .l. r2
B)
r2
C) r1 . rz
r1
•!• •!• •!• •!• ·!· •!• ·!· •!·
·:·
•!• ·!· •!• •!• •!• ·!· ·!·
RESOLUCIÓN: A
8
·:· ·:·
7t
A) 6
7t
D) 3
7t
7t
C) 4
B) 5 7t
E) 2
:;: RESOLUCIÓN: ·:·
2 eA -=eB
5
D
Dado que los sectores circulares poseen el ·:· •!• mismo ángulo "ce ntr a l, sus elementos ·:· homólogos serán proporcionales. :;: Del gráfico:
90º ex = -- � ex = 60º 3k
2k
·!·
·:· Expresado en radianes será: a=� rad y 3 ·:·
Clave /A] :;:
11
Clave,/D)
45
UNI
PROBLEMAf
s@in
ANGULOS Y ARCOS
:�: PROBLEMAf ·=·
:@:ttl
De la figura, obtenga el valor de f 2 en tér- ·:· De la figura mostrada si AOB, COD :;: y EOF son sectores circulares, además; minos de 8 , r y f . :;: OA=OB=Lm, CE=DF=LAB; AC=BD=Lfr· A) t + Sr
1
C)
2t + Sr
D)
1 2
:::
1 + 83
·:·
1-8
.;. Calcule: M = ---
B) €+28r
·:· ·:· ·:· ·:· ·:·
e+ 28r
·:·
RESOLUCIÓN:
1 4 1
·:·
B) -
•!• ·!· ·!· •!• •!•
C) 1 D) 2
·!·
E) 1'+38r
A)
o
2
f
:;: E) 4
:;: RESOLUCIÓN: ,:, ,:, ·!· ·!·
·:·
Del gráfico:
•
·!·
é
e= cxr �O'.=-r
·!·
,:, Del gráfico:
• Pero:
·!·
·=·
b ea =b�8=a
·:· ii.
8= ---
... (2)
·!·
c-a 8=-b
... (3)
·!·
,;. i.
8 = ( � ; o: ) � 28 = � - o:
Reemplazamos:
e 28 = - - - � r2 r
Íz
28r
= ( 2 - fl
=e+ 20r
·!· ·!·
·!·
... (1)
a-b
c
·!· ·!·
.;. Reemplazamos (1) en (2): ·!·
·=·
Clave/B] :;:
a-a8
8=--c
a
� 8=-·(1-8) c
EDITORIAL CUZCANO
46
TRIGONOMETRÍA
:!: Del gráfico:
Reemplazamos (1) en (3):
e=�=-ª � e2 = � -1 a8 a
•
LAB
•
L-
82 + 1 = � a Multiplicamos lo obtenido:
CD
0 ( 02 + 1) = � x � (1- 8) a
03
c
+e= 1-e
�
=u:;} = 20cm
=(�180
8n)x20cm
Clave/A)
M=2
Clave/fil
·:· ·=· PROBLEMAf ,;,
·:·
:ut}1
.;. R = 6../2.m ; EF//CD//AB. ·=·
·=·
•!•
261t B) 3
D) 22�
E) 7n
3
RESOLUCIÓN:
C)
21n 4
·=· A) ·!·
3n cm2
·:·•,• D) 'lt: cm2
B) 4n cm2
E)
:;: RESOLUCIÓN: ·!·
1
·=· 1
1
Sdt1'.1
::: Calcule el área de la región sombreada. Si
Del gráfico mostrado, halle LAB + Leo
28n A) 3
= 1631-I.cm
287t L+L=--cm AB CD 3
83 + 1 = 2 - 2e
83 + 1 --=2 1-9 ._--.,--,
PROBLEMAf
4ncm
·=·
9n cm2
C) Sn cm2
47
UNI
ANGULOS Y ARCOS
·:· ·:· A) ·:· ·=· ·:·
Notemos que:
·=·
·=· ·:·
D)
rt
B)
n- 2 2n n+2
2n
C)
n:-2
t:
n+ 2
n+2 E) -n-2
:;: RESOLUCIÓN: ·=·
o
_¿JQMF = _¿JQTD ::::} SpoPD
= S2
Luego:
·=·
D
·!·
:;: Dato: ·:· Tenemos: :;:
m2
·:·
S1 +S2 =-
•
S1 + S2
=
Ll} (
2
6
.J2f = 2n m2
Área total de la región sombreada: Stotal stotal
= 2 (S1 + S2)
r2 S2 =2
S1 n-2 -=-S2 2
·:·
S2=-1t-2
Clave,/Bl
•!· •!·
La figura adjunta es una se rm c ncu nferencia donde O es el punto medio de AD. Si el área de la región sombreada es n u2 y m
:;: PROBLEMAf:111:J ·:· :;: Del gráfico mostrado; halle �S1 - S2 en :;: términos de 0 y R ( S1 y S2: áreas). :;: ·!· ·!· ·!· •!•
,:,
,:,
A
o
D
=n 2n
·=·
Clave ,/Bl :�:
PROBLEMACQ'.iíl
... (2)
·:· :�: Dividimos (1) + (2)
:;: Como S1
= 4nm2
... (1)
4
,:, ,:,
o
48
TRIGONOMETRÍA
B) C)
�
D)
Rcos2 e
� Rsen26
·=·
·!· •!•
,:,
�
sen6cos6
EDITORIAL CUZCANO
•
·:· ·=· ·:·
ED =msene
,:,
_ ==> S 2-
·=-
� tan26
2
_¿;)QED:
•!•
,:.
E)
exDE2
Sz =
•!•
6x(msene)2
. .. (2)
2
,:,
:� Luego:
!
RESOLUCIÓN:
:�
A
S¡ -Sz =
6m2 tan2 6
2
•!•
--:·
·=·
•!• •!•
S1
- S2
=
6m2 ( 2 tan e - sen 2 e ) -2
S1
- S2
=
6m2 ( 2 tan e - tan 2 ecos 2 e ) -2
S1
- S2
=
6m2 · tan 2 e ( 1 - cos 2 e ) -2
S1
- S2
= -- · tan
•!• ·!·
..:, •!• •!•
B m
·�
·!·
,:, ·:·
R
� Holi-------A
o.c-....._
·:· e-
-� ,:. ·!· •!• •!• •!• •!•
em2
2
�S1
- S2
=
2
JI·
·:·
c..__�s
_¿;)QCB: m = Rcos6 ==> �S1 -S2
� :::
·
�S1
- S2
(R�) · ;:. · sene
�
,:,
Para el problema:
6-CB2 S1 =-2-_¿;)QCB: CB
m tan e· sene
,:, Pero:
---------------•
e· sen 2 e
=
J:;
Rsen26
Clave,/iíl
= rn tan e ·!·
6x(mtane)2 ==> Si= 2
·=·
Calcule el valor de 6 si la rueda parte del
... (l) ::: punto N y da 6,5 vueltas hasta llegar al
49
UNI
punto M, R= 19r; ePM tros.
= 0R;
R A Q cen- ·=··:· Resolviendo: 1t
iR� ¡
.
M
.: ···
¡ h
re A) -red
3
re
D) -rad 12
B) �rad
::
·=· PROBLEMAf ·:·
,r
�:·
@ C) � rad
4
6
3
Clave/A]
N
p
0=-
·:·
¡
R... /
::
ANGULOS Y ARCOS
5re
E) -rnd 12
·:· :;: ·:· ·:· ·:· ·:· ·:· ·:·•!·
�M
En la figura mostrada r1 = 2 , r2 = 4u , r3 = 3u , r4 = Su ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al mismo. nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medída 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h), después de este giro (en u), es:
RESOLUCIÓN: Trayectoria descrita por "O" ·!·
·----·------···········--·--·-······----------Jh :;: A) 1
B) 2
:;: D) 3
E) 3,5
C) 2,5
:;: RESOLUCIÓN: gira: erad
Dato: # vueltas=fi.Svueltas.
Conocemos que:
L #vueltas= -2rcr Donde: L: longitud de la trayectoria descrita por ·:· el centro de la rueda. :;: ·!·
h
Del gráfico:
h = 2+38
...
(1)
Pero:
·=·
·:· ·:· ·:· ·:· ·!· •!· •!• ·!· ·!·
·!· ·!·
Luego:
·!· •!·
7 2
L # vueltas = - -
... (1)
2nr
Donde:
n 2n n L = -(R+r)+-(R-r) � L = -(3R -r)
3
3
3
::: Ahora, reemplazamos en (1): Clave ,/E)
f�@i¿j
Conocemos que:
·:·
h=-
PROBLEMA
EDITORIAL CUZCANO
50
TRIGONOMETRÍA
7t
·=· ·=·
#vueltas
-(3R - r)
= L_ 2nr
3R -r 6r
·:·
De la figura mostrada, determine el núme- -:· ro de vueltas que da la rueda de radio r :;: ·:··!· para recorrer el circuito MNP
Clave,/El
,. PROBLEMAC@iUI
·:· Determine el área de la región sombreada :;: en términos de r y 8 sabiendo que, O: cen:;: tro, M, N y T puntos de tangencia.
A)
D)
(R+3r) 6r (3R-r)
2r
(R-3r) -6r
B) .E)
RESOLUCIÓN
(R-3r) ·:· C)--- -:· 2r ·=· ·=·
(3R-r)
6r
•!•
:;: A) r2sen8 cos 8 ·:· ·!·
·:· ·!·
•:4 ·!·
B) r2 tan 8 sene (1- sen8)
C) r2sen2 8cos8
·:· ·=·
:;: D) ·=· ·=· ·=·
E)
r2
2 r4
2
(1 + sen8)
(1-sen8)
2
51
UNI
:;: -----�-iwa-----
RESOLUCIÓN: s,omb
ANGULOS Y ARCOS
coso 1 + sene
=?
1-sen8 cose
:;: ---------·--- -------1 ·=· ·:·
1- sene) sen 2 e ssom b = r 2 . ( ·----COSÜ
-:· ssomb
= r2. tanñ- sene. (1-sene) Clave,/B]
·:·
S somb _(2ncos8)(nsene+n) 2 ssomb
=
r=
... (1) :;: ,:,
oo» o·r
·=·
00' = n ese O
LlOMO':
r
� r = n csc G + n � -·------ - n csc8+1
=(----r )
,:,
•!• •!· ·!·
•!•
2
cscB + 1
·:·
·!· ·!·
Reemplazamos en .(1): ssomb
·
cos8(1 + sene)
= .(1 +�ene)2 · cose- (1 + sene)
sene _ somb -
r2 -cos O sen2e 1 + sene
B) 38r
38r 2
E) ----
D) - -
:;: RESOLUCIÓN: ·=·
·!· ·!·
-:·
S
A) 2er
·=·
r2 . s,omb
k=l
·!·
n2 cos e (1 + sene)
Pero:
·:· Del gráfico, calcule A = I Lk . ·:·
·!·
·:· ·=·
4er 3
C) 4er
52
TRIGONOMETRÍA Del gráfico:
EDITORIAL CUZCANO
-:· Donde:
L1 = 8r 8r Lz =2
er
L3
=-¡
L4
=
L=(6-a)+(8-a) L=14-2a
Por suma límite:
·!·
.;. Calculo de "a":
+
8r
'0·3� .: /3º'!.J3
8
60º ,.:
Clave ,/Al :;:
De la figura mostrada si r =-J3 u; AM = 6u, MB = 8 . Calcule el número entero de vueltas que da le rueda al ir desde :\ hasta B sin deslizamiento. t'\)
a
:;: Tenernos que:
PROBLEMAWilZi
o
:
·············· . '-v--'
a= 1
:;: Ahora: L=12 :;: :;: Finalmente: -:· 12 ·!· n=-·!· 2rc-J3 ·=·
2-J?,
n=-rc
·:·
í3) l
·:·
n=2,2
·:·
Cl 2
·!·
.B
D) 3 M
E)4
·:·
·=·
•!• •!· ·!·
RESOLUCIÓN:
·!·
·!· •!· ·!· ·!·
·:· :�: ·:· •!• -::;: ·:· ·=·
n: # de vueltas ---+
�
PROBLEMAt SfZ.J Dos ruedas de radios r y R (r < R) , recorren la misma distancia horizontal. Si la suma del número de vueltas de ambas ruedas es igual a 10 veces su diferencia. Entonces, el cociente entre los ángulos barridos, de la rueda menor a la rueda mayor es:
9
B) 10
11 ·:· D) -·:·
E) 10
·!·
·!·
=2
Clave/el
9 11
•!·
Sea:
:. (n)entero
•!• ·!·
A)
9
11
10
C) -
9
53
UNI
RESOLUCIÓN:
ANGULOS Y ARCOS
·=· ..:. Por condición:
Caso: 1
(�2nR +!iJ=lO(� _ 2nÜRJ 2n 2n L
Caso: 11
·:·
L n,= 2,rr
=
0, 21t
e,+ e.. B. = 10 81
-
()R
1
·!·
L •!·
* * * * * * * *
* * *
Clave/o]
1. Si "S" , "C y "R" son los números de grados sexagesimales centesimales y radianes contenidos en un ángulo y están relacionados de la siguiente manera: C2
-82
-R2
=
4. Calcular la medida circular de un ángulo si se cumple: 12
S
2
7t
d)100
2.
b) 1t/10 e)
7t
a)
1 rad
5 d )7
7t
5
7t a)-
b)
10
7t
c)-
20
15
e)27
22
6.
7t
7t
1C
el)Si:
3661º 80
11 7
b) 13 7
15
biendo que la suma de los números de minutos centesimales y segundos sexagesimale s es 33400.
Hallar un ángulo en radianes que verifica la relación:
'ÍlOC-...fs
7t
c)-
5. Calcular un ángulo en radianes sa-
215
=R
S - 52 R
e)-
15
N.A.
'ÍlOC+...fs
7t
C - 197 R
1t
2 7t b)7
d)--
c)-
1t
1
15 R
7
100
Hallar el ángulo en radianes a) rc/2
1t
3C
7t a)-
10R[76 -�] 1t
1
40
1
e-> +e-> +e-->
c)-
=
Aº cJ' C"
Se cumple que:
e)N.A.
a)A >
3. Siendo
"x" e "_y" los números de minutos sexagesimales y centesimales contenidos en un ángulo, calcule el valor de:
c)
B > C
b)B > A > C
C >A> B
d)A
=
B = C
e)B < C < A
7. Si convertimos al sistema centesimal el ángulo de ( 27 /8 )º se obtiene como
E
resultado de:
54(x+y)+2
77
X
a)3
b) 2
d) 0,5
e)N.A.
e)
1
xg
H
y; "'.
Calcule el valor
x+y+z x-y+z
...
TRIGONOMETRIA 55 EDITORIAL ............................................................................ ....,.� CUZCANO a)
13
b) 15
eJN.A.
d) 11
8.
c)14
Si "C" y "S" nos representan los números de grados centesimales y sexagesimales contenidos en un ángulo y se encuentran relacionados de la siguiente manera: C
S
C-S
X-C
X-S
X+C-S
--=--+
a) 1
b) 1/3
d) 3
e) 5
c)l/5
12. Calcular el área del cuadrado si: ,..---..,._
=
MN
.
41t
Calcular el valor de "S" para que la raíz de la ecuación sea 6. a)6
b) 3
d) 12
e) 24
c)
18
9. Se tiene un sistema "A" en donde 3 "grados A" equivalen a 5°. Determinar 27 grados A a cuántos grados centeaimales equivalen:
a)36
b) 16
d) 81
e)64
13. Diga si es verdadero o falsó: l.
1t
=
11. 9g
180° = 10°
a) 50g
b) 21 e
d) lOg
e)N.A.
aJVVV
b) FVF
10. La fórmula general de conversión de
d) FFF
e)VVF
b)50g
d) 20g
e)N.A.
11. Del gráfico hallar "L"
22
111. 1t es exactamente igual a
sistemas de medidas de ángulos consta de tres razones, la suma de ellas es igual a 3/ 4000 veces el cuadrado del número que expresa la medida del ángulo en grados centesimales. Hallar el ángulo. a)lOg
e) 144
e) 30g
7 c) FFV
14. Calcular el valor de: F=
0,5236 Racl + 60º 11
7t
--Racl+608 30 a)l
b)2
d)3/4
e)
e) t/2
1/3
15. Diga si es verdadro (V) o falso (F): l.
9 g 8 m 7 8 == 9,87 g
11.
38 3m 38 = 3,0303g
111.
1 g 2 m 3 8 = 102,03 m
aJVVV d)VFF
b) FFF e) FVF
c)FVV
56
UNI 16. Dado un ángulo para el cuál su nú-
ANGULOS Y ARCOS el arco mayor MN
mero de minutos sexagesimales y su número de segundos centesimales suman 4570. Calcule su número de radianes multiplicado por catorce. a) 0,1
b) 0,2
d) 0,4
e)
C = x+3
S = x-2 --J C
a)
+ S+ O
a) 5
b) 6
d) 10
e)
e)
c)7
15
18. Hallar el número de radianes de un ángulo para el cual se cumple: C
R
b)
2 c+a+b 2
d)
7t
b+a-c 2
b-a+c 2
7t
e) N.A
22. En la figura la curva BFE mide 2 1t.
90
0,05
b) 0,01
d) 0,50
e) 0,20
a)
b+a+c
Calcular el área sombreada, si AB CD es un cuadrado.
1 1 1 19 1t -+-+- = --+20 S
e
c) 0,3
0,7
17. Si se sabe que: Calcular:
mide "e".
c)
0,10
19. Hallar el número de radianes de un ángulo para el cual se cumple: ( S 2 + 2C + R ) = ( 32800 + 1t a)
b) 2
7t
d) ic/s
1t
E
)
c) 1t/3
e)n/6
b)21t
a)1t d) 4 1t
fi
e)
2
7t
c)47t
fi
23. Calcular el área sombreada aproxi-
20. Si:
mada ) �_ ( 9�y_)_ e . H = _l_O_x_ ( � ·º_+ ( 9x ) g + ( 10 y )º
Calcular:
119 y+ 62 x
6
para:
H = 2 a) O
b) 1
d)- 2
e)-1
c) 2
21. Hallar el radio de la circunferencia si
a) 3,14
b) 6,28
d) 2,14
e) 4,28
c) 2,28
57
TRIGONOMETRIA
24. Calcular: K
EDITORIAL CUZCANO
= e-1 - e
L2
L2
b) --"--2 (1t-2)
a)-1t -
a)'Í5
b) 1
d) 1/2
E)- 1
c)tt/2
=
L
2
(tt-2)2
25. Calcular: K
c)
2
e)
..JS2-S1 +{s"""i+..JS2+S1 {Ti'
L 212
28. En un trapecio circular sus arcos son , 1 o central x 2 + x y x 2 - x ; si. e 1 angu es erad y su área es A. Hallar x. a)
rr
� b)
e
c)�
el)�
2e
2 e) a) 1t
e) 1t
+2
e) 1t
+4
b)
1t
+1
d)
1t
+3
�A
0A 2
e
29. Calcular e, si el área del trapecio circular es b 2
26. A un sector circular de área 100, se le aumenta su radio en 20 % y se le disminuye su longitud de arco en 40 %. Obtener el área de este nuevo sector. a)36
b) 54
d) 72
e) 81
c)
53
27. En el gráfico siguiente el arco AC y el diámetro tienen igual medida. Si ---------. BC = L. Hallar el área de la región sombreada.
a)
1 rad
1 d) -rad 4
1 b) -rad 2 e)
4 rad
e) 2
rad
ANGULOS Y ARCOS
58
UNI
30. En una circunferencia de radio ( "3 - ../2) cm se tiene un arco de longi-
a) 5
e) 20/3
b) 10/3
m.
e) 40/3
d) 25
tud 0,0002 cm y ángulo central x m. Calcular "x". a)
e) 30
b) 2
1
e) 60
d) 4
31. Calcular el radio de un sector circular de longitud de a�co 770 m, sabiendo que el número de grados sexagesimales del ángulo central es numericamente igual al radio. a) 100 m
b) 200 m.
d) 240 m
e)
e)
2100 m
420 m
32. Se tiene un sector circular de radio R y un ángulo central de 72 aº ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varie y su radio disminuya en 1/5 del ante. ? nor .. a)
20,5 aº
d) 40,5 aº
b) 40 aº e) 80,5
c) 40,2 aº
35. Un avión vuela a una altura "H" constante y dirección fija, durante cierto tiempo recorre "a". Si el radio de la tierra es R. ¿Qué ángulo en radianes barrió el avión respecto al centro de la tierra? a)a +R+H
a R+H
c)--
arco de radio R mide C rad., si se disminuye dicho ángulo hasta que mida "S" rad. ¿Cuánto se debe aumentar al radio para que la longitud no varíe? (.S , C son números de grados de un ángulo).
R R c) 4 6 R d) R e) 10 2 34. De la figura, calcular "0" en radianes,
a+H b >--
R
d) aH
R2
a
e)---
2R+H
aº
33. El ángulo central que subtiende un
R·
B
36. Del gráfico calcular el área de la región sombreada en función de "8", b".
"a"
y
11
b
b)
a) -
9
si:
a a) ( b -2a )20 c) (
b b- 2a )20
e) (
b b -a) 8
AB-CD = 20m, además:
K
=
2m
b) ( b
a
+ 2a)20
d) ( b + 2a ) J?_ 28
59
TRIGONOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
37. Del gráfico calcular "0" además
--.!C+S+--./C-S ������ =R C _ + S �-_ +l
AO = BO = BC = DE
e
C-S
o
A 6 7
F
a)-
b)�
d) �
e)N.A.
9
6
A
y
p
8
5
3
y
p
3
5
A
y
·p
3
5
8
A
y
p
3
6
y
p
6
5
A
6
c)
=-=-
- - - - -
d) -
5
A
e) -
8
c) 1t
2
rad
d) 2 n: 2 rad
e) 20
1t -i
= -==-=-
3xº + 10 xg
3
0,5 b)20
d) 8
e) 4
c) 10
41. Simplificar: 5R
S+C+-
....7t:-_
p ==
3(C-S)+17R 7t
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
42. Calcular el número de radianes de un ángulo, tal que:
rc :
s»
'1
(C-8)2
b)�
10
20
n:
43. Si:
e ---
+9C-S
7t
a)-
200
Calcular la medida en radianes si;
2 1t
= - rad
X
a)2
d)-
39.
1t-
rad
Calcular:
a) - = - = -
b) -
b) 2
11
5 38. Los ángulos recto, llano y de una vuelta miden en tres nuevos sistemas A , Y, P respectivamente: 120 A , 150 Y, 180 P. Obtener la fórmula que relacio-na estos nuevos sistemas.
rad
rad
40. Si:
c)-
1
a) 1t
C-S
1t c)-
100
e) n:
4 ( 3' + 5000 8
)
=
xº
60
UNI
46. Si dos ruedas de radios R 1 = 1 cm, R 2 = 4 cm estan unidas por contacto
El valor de x es:
a)2
b) 4
6
d) 8
e)
y la segunda a una tercera de
R 3 = 2/n cm mediante un eje.
e) 10
44. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles en el cual tomando como centro los vértices de los ángulos agudos y radio sus lados iguales, se dibujan arcos originando un triángulo mixtilíneo isósceles de área igual a "S". Calcular el lado igual del triángulo.
a)
.rt: -\J � -7t- 2
c)'1 e)
2
28 7t- 2
'1
ANGULOS Y ARCOS
b)� 7t
+2
-:». 7t -
2
Calcular que longitud recorre la ter· cera si la primera dió 16 vueltas? a) 16 cm
b) 4 cm
e) 2 cm
d) 8 cm
e) 12 cm
47. Dos ruedas de radios a y b ( a >'b) recorren un espacio igual. ¿Cuál debe ser el radio de una tercera rueda para que recorriendo el mismo espacio que las anteriores, dé la diferencia de vueltas que existe entre las 2 primeras.
a+b a-b
2ab a-b
a)--
b)--
a c)-
d) !!_ a
b
e)...!!:!!_
8. 7t + 2
a-b
45. En el siguiente sistema ¿Qué ángulo gira la polea de radio 1 cm si la polea de radio 2 rm gira n/3 rad?
48. Se tiene dos monedas D
1
y
con diámetros:
D 2 ( D 1 > d 2 ).
Hallar el número de vueltas que da la moneda de menor diámetro al recorrer el perímetro de la otra que se mantiene fija, si sus diámetros están en la relación 1:4 (ambas, en un mismo plano). a) 3
b) 4
d) 6
e)
7
r = 2 cm, gira sobre la rueda R = 4 cm entonces el ángulo central e para que el punto A que pertenece a la primera rueda vuelva a tener contacto con la segunda es:
49. Si la rueda de radio a) n/3 rad
b) n/4 rad
e) n/6 rad
d) n/8 rad
e) n/2 rad
c)5
EDITORIAL CUZCANO
61
TRIGONOMETRIA
¿Cuánto deberá girar la polea 1 para que M ascienda 1,8 1t m?
b) 60º
a>120º c)
135º
e)
180°
d) 175°
50. Cuanto avanzará la rueda de la figura mostrada si el punto A vuelve a tener contacto con el piso otras 7 veces y al detenerse, "B" esta en contacto con el piso, r = 12 cm.
108º
b) 144º
d) 216°
e) 288°
a)
c)
180°
52. Los radios de las ruedas de una bicicleta son entre si como 4 es a 10. Calcular el número de vueltas que da la rueda mayor cuando la menor barre un ángulo de 1840 1t radianes. a)184
b) 368
d) 160
e) 200
c) 360
53. Del gráfico, hallar el número de vueltas que da la rueda, de A hasta B si el radio de la rueda es 1 m.
182 1t cm
a) 180
1t
cm
b)
e)
184
1t
cm
d) 186 1t cm
e)
N.A.
51. En la figura las poleas 1 y 2 están en contacto y la polea 3 es concéntrica y solidaria con la polea 2 siendo:
r 1 = 2m. , r 2 = 3,n , r 3 = 2m.
1t + 6 aJ-4 1t
b) 3 1t/4
. 3+61t cJ--4 1t
d) 5 1t + 6
e)
5
1t
+6
ANGULOS Y ARCOS
62
UNI
54. En el sistema. Hallar la longitud descrita por el punto P, si el engranaje de radio R 1 gira un ángulo de 60º
Datos:
R
t
=
R2
6m
= 2 m
,
R4 = 8m
R3=4¡n R 5 = 10 rn.
1t
1t
1t
B)-
A)8
C)2-
9
9
1t
1t
E)-
D)3-
8
4
56. Calcular la longitud del arco de un sector circular, cuya área es 9 u 2 y en el cual el número de radianes de su ángulo central está dado por
e =
S B !Cº, siendo S y C los números de grados sexagesimales y centesimales respectivamente. A) 1,8 {2 u
B) 2,7 {2 u
C) 5u
D) 1,8 u
E) N.A
57. Si: a) 1t/2 m
b) 1t m
d) 1t/5 m
e) 5 1t m
e) 6 1t m
55. Enel siguiente gráfico, se tiene un cono en el cual se cumple que, el área de la región sombreada en la base, es el doble del área de la superficie sombreada sobre el cono. Calcular 0 si además el perímetro de la base es a la altura como 1t es a ..ffo y
x=
2C
donde S representan los y C de sexagesimales grados y números centesimales respectivamente, de un ángulo positivo. Calcular:
Q
= �+...rx::"s
AB = 2BD.
A
c2+s2
-./x+S"-�
A) 0,9
B> 10/9
D) 0,1
E) 9
C) 119
58. Si x, y, z son tres números consecutivos, calcular el número de grados sexagesimales de 0, si:
A) 2,997
B) 2,72727
C) 2,9727
D) 2,72
E) 2,7272
TRIGONOMETRIA 59.
EDITORIAL CUZCANO
63
Del siguiente gráfico, obtener el área de la región sombreada, si la longitud del arco MN es igual al perímetro de la circunferencia.
l
A) n b ( a - 2b)
�) n b (a+ 2b)
CJ na ( a - Zb ¡
D) n a ( a + 2b )
E) n b ( b - 2a)
60. Calcular: X :::
12,311 ° - 3,6"
a)
12º 18' 24"
b) 12º 16' 36"
e)
12° 16' 18"
d) 12º 18' 36"
e)
12º 16' 24"
••••••••••••••• • • • • •
:�w�:
l. B
16. A
31.
e
46. A
2. B
17. D
32. D
47. E
3. B
18. A
33. A
48.
4. D
19. A
34. B
49. E
35.
50.
5.
e
6. D
7. B 8. D 9. A 10. D
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11. D
26. D
41. E
56. B
12.
21.
e
42. D
57. B
28. B
43. A
58. B
44.
e
59. A
45. E
60. D
ta.
e
D
e
14. D
29.
15.
30. D
e
