Sistema de Coordenadas Polares O sistema de coordenadas é muito útil no estudo das diversas curvas e alguns problemas relacionados a lugares geométricos. No sistema de coordenadas polares, um ponto é localizado especificando-se sua posição em relação a uma reta fica e um ponto nessa reta, as coordenadas de P consistem em uma distância orientada e na medida de um ângulo em relação um ponto fixo e a um semi-eixo fixo.
(r,
)
r
O pon ponto P é deter etermi min nado ado a part partir ir do par orde ordena nado do (r , denominado raio vetor, e o ângulo vetorial de P.
), onde onde r é
r = distância entre P e a origem = medida em radianos, do ângulo orientado AÔP.
O ponto P é determinado também pelos diversos pares de coordenadas repres represent entada adass por (r, (r, +2k ), onde onde K é um inteir inteiro o ou ainda ainda P pod pode e ser repre represe senta ntado do por por (-r, (-r, +2k +2k ), send sendo o K qual qualqu quer er inte inteiro iro ímpa ímpar. r.
1
Transformações de Coordenadas
Para certos casos é conveniente a transformação de coordenadas polares em coordenadas cartesianas e vice-versa. Para facilitar a comparação entre os dois sistemas, consideremos o ponto O(origem) coincidindo com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar coincidindo com o eixo positivo das abscissas. Para ara isso isso tome tomemo moss o ponto onto P de coor coorde den nadas das carte artessian ianas (x,y (x,y)) e coorde coordenad nadas as polare polaress (r, ), temos: temos:
i)
Observamos que: cos =
e
sen =
ii) 2
cos =
=
e
sen =
=
Portanto, x = r cos y = r sen
Usando x = r cos e y = r sen , vem que: x² = r²cos² y² = r²sen² x² + y² = r² Portanto, r=
.
Podemos também transformar equações polares em cartesianas e vice-versa.
Gráficos com coordenadas polares 3
Como já foi dito, o uso de coordenadas polares simplifica em alguns casos a representação de equação de curvas. O gráfico de F(r, ) = 0 é formado por todos os pontos cuja as coordenadas polares satisfazem a equação. A equação é apresentada da seguinte forma: r=f( ) Para traçarmos o gráfico usaremos os seguintes procedimentos: 1) Calcular os pontos máximos e / ou mínimos; 2)
Encontrar os valores de
3)
Verificar a simetria:
para os quais a curva passa pelo pólo;
- Se a equação não se altera ao substituirmos r por –r, ou seja, simetria em relação à origem. - Se a equação não se altera ao substituirmos o eixo polar.
por – , ou seja, simetria em relação
- Se a equação não se altera ao substituirmos
por
relação o eixo
, ou seja, existe simetria em
.
O uso de algumas relações trigonométricas será útil nesse procedimento:
- cos = cos(- ),
cos = - cos(
) e
cos = cos(
)
- sen = - sen( ),
sen = sen(
) e
sen = sen(
)
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Equações de algumas curvas em coordenadas polares - Equações de reta Se uma reta passa pelo pólo, sua equação polar é da forma: =k Onde k é uma constante, que representa o ângulo vetorial de qualquer ponto sobre a reta. *Paralelos ao eixo polar:
A
a A 0
r sen = a, a>0
0 a
r sen = a, a<0
5
Paralelos ao eixo
0
b
A
0
r cos = b, b<0
b
A
r cos = b, b>0
- Circunferências i) r = c: circunferência com centro no pólo e raio |c|; ii) r = a cos : circunferência com centro na reta = 0, passando pelo pólo e raio iii) r = a sen : circunferência com centro na reta
=
;
, passando pelo pólo e raio
.
6
r=2
r=3
cos
r = -2
sen
-Limaçons
r = a + b sen ou r = a + b cos , n inteiro positivo, a 0 e b 0 Se |a|<|b| apresentam laço. Se a = b recebem o nome de cardióide pelo formato de coração da curva.
r = 1+2 sen
r = -3-2.2 cos
r = -2-2 sen
7
- Rosáceas
r = asen ou r = acos de 2n laços.
, n iteiro positivo, a 0. Se n é par, o gráfico consiste
Se n é ímpar, o gráfico consiste de n laços. Observe que se n = 0 ou n = 1, obtém-se equações de circunferências ou o pólo (caso r = asen(nt)).
r = 2sen(3t)
r = 2sen(4t)
- Lemniscatas
r² =
acos(2 )
r² = -4cos
ou
r² =
asen(2 )
r² = 4sen
r² = 4cos
r² = -4sen
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- Espirais i) r = a (espiral de Arquimedes); ii) r = iii) r = iv) r = a
(espiral hiperbólica);
, a>0 (espiral logarítmica) (espiral parabólica)
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Exemplos de construção de Gráficos
Exemplo 1 : Esboce o gráfico de r = 1+6 /
.
para 0
Solução A tabela seguinte mostra alguns valores escolhidos para de r correspondentes:
entre 0 e
e os valores
0 r
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Localizando os pontos polares (r, ) mostrados na tabela e conectando-os por meio de uma curva contínua, obtém-se o gráfico desejado.
10
Exemplo 2 : Esboce o gráfico de r = 3+3 cos
para 0
.
r 0
6
3 3
-
11
Área em coordenadas polares
Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada pela curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um setor circular de raio r e ângulo-ao-centro , ou seja:
Área do setor circular =
Seja r = f( ) uma função contínua e não-negativa de , em que 0<
. Começamos por fazer uma partição regular de [
intervalos todos iguais, de comprimento ponto qualquer
=
e
] em n sub-
. Em seguida, escolhemos um
, em que i = 1,...,n:
12
Notemos que quanto maior for n e menor for esta partição se assemelharão a setores circulares.
Portanto, se
, mais as regiões obtidas com
podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é
semelhante a área de um setor circular de raio f
e ângulo-ao-centro
, ou seja:
No limite, quando n e 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor exato da área delimitada pela curva polar de equação r = f( ) no intervalo , valor esse que pode ser calculado por meio da seguinte integral:
Exemplo 3 : Ache a área da região limitada pelo gráfico de r = 3+2cos
Solução A curva do exemplo 3 é chamada limaçon é uma curva fechada traçada completamente quando percorre o intervalo [0, [ :
0 r
5
3
1
3
5
13
14
Exercícios Propostos (Cálculo A – Seção 8.11)
Calcule a área limitada pela curva dada.
Solução
15
Solução
16
17
Solução
18
Solução
19
20
21
