. 6 1
r á u r b e f .
9 1 0 2
● A G S Z I V I G É S T T E R É A B Ó R P
MATEMATIKA
PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA KÖZÉPSZINT
JAVÍTÁSI – ÉRTÉKELÉSI – ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
2019.
február 16.
STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ
Fenti chatbotkód használati útmutató: messengerben koppints bal fent a fejed ikonjára, majd a messenger kódodra, ezután a kód beolvasása gombra! Beszélgess Bettivel, a chatbottal és találj hozzád illő jól fizető munkát! (m.me/diakmunka)
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
I. rész: Az alábbi 12 feladat megoldása kötelező volt! 1.
Tekintsük a következő két halmazt: A 2;4;5;11;13 felsorolásával adja meg A B és B \ A halmazokat!
és B
1;4;5;7;11;15 . Elemei
(2 pont)
Megoldás: A B = 4;5;11
(1 pont)
7;15 B \ A = 1; 7;
(1 pont)
Összesen: 2 pont 2.
Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 9 x
1
(2 pont)
3
Megoldás: −
1
=9 2 (1 pont) Az exponenciá lis függvény szigorúan monoton nő, tehát az azonos alapok elhagyhatók. x
9
x = −
1
(1 pont)
2
Összesen: 2 pont 3.
Egy forgáskúp alapjának átmérőj e 6 cm hosszú, magassága 4 cm. Számítsa ki a kúp (2 pont) térfogatát! Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg!
Megoldás:
= r = V =
d
2
, tehát r = = 3 cm.
r2 m
3
, behelyettesítve: behelyettesítve:
(1 pont)
32 4 3
=
37,70cm
3
(1 pont)
Összesen: 2 pont 4.
Egy öttagú társaságban mindenki öleléssel köszönt mindenkit. Hány ölelés maradt még (2 pont) hátra, ha eddig hat ot számoltunk össze?
Megoldás:
Összes ölelések száma ( n főre): Behelyettesítve:
54 2
n ( n − 1)
2
= 10
(1 pont)
Tehát 10 − 6 = 4 ölelés van még hátra.
(1 pont)
Összesen: 2 pont 5.
Egy háromszög két oldala 3 és 5 egység hosszúságú, az általuk közre zárt szög 60 . Mekkora a háromszög harmadik oldala? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (2 pont)
-2-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
Megoldás:
Írjuk fel a koszinusztételt: c2 = a2 + b2 − 2ab cos Behelyettesítve: c2 = 32 + 52 − 2 3 5 cos 60 c = 34 −15 = 19 19 4, 36 36 egység . Tehát c 6.
(1 pont) (1 pont)
Összesen: 2 pont Az ábrán egy 1; 4 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki, (2 pont) hogy az alábbiak közül melyik hozzárendelési szabály tartozik a függvényhez!
A: a( x )
x
2
1 B: b( x )
x
2
C: c( x )
1
x
2
1 D: d ( x )
x
2
1
Megoldás:
Helyes válasz: B: b x 7.
x
2
1
(2 pont)
Milyen számjegye(ke)t jelölhet az X , ha az alábbi négyjegyű szám osztható 15 -tel? 823 X
(3 pont)
Megoldás:
Egy szám akkor osztható 15 -tel, ha osztható 3-mal és 5-tel is. Akkor lesz osztható 3 -mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3 -mal. Akkor lesz 5-tel osztható, ha 0 -ra vagy 5-re végződik. 8 + 2 + 3 + 0 = 13 , ez nem osztható 3 -mal, tehát nem megoldás. 8 + 2 + 3 + 5 = 18 , ami osztható 3 -mal. Tehát az X helyére az 5-ös számjegy kerül.
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
Összesen: 3 pont 8.
Tagadja a következő ítéletet! Van olyan holló, ami nem fekete.
(2 pont)
Megoldás: Minden holló fekete.
(2 pont)
-3-
Matematika Próbaérettségi 9.
Adja meg az
A
Megoldókulcs és B
1; 6
1; 4
2019. február 16. 16.
koordinátájú pontok által meghatározott szakasz
felezőpontját!
(2 pont)
Megoldás: A ( a1 ; a2 )
és B ( b1; b2 ) pontok által meghatározott meghatározott szakasz felezőpontja:
a1 + b1 a2 + b2 ; 2 2
F
Behelyettesítve: x =
1 + ( −1) 2
6 4 = 0 és y = + = 5 . 2
Tehát a keresett pont koordinátái: F 0;5
(1 pont) (1 pont)
Összesen: 2 pont 10. Egy kék és egy zöld dobókockával egyszerre dobunk. Me kkora a valószínűsége, hogy a
dobott számok összege nem nagyobb mint 4? Válaszát négy tizedesjegyre kerekítve adja meg!
(4 pont)
Megoldás:
6 db kedvező eset van: 1+1 1+ 2 2 +1
(2 pont)
2+2 1+ 3 3 +1
Összes eset száma: 62 A klasszikus valószínűségi modell alapján: P=
kedvező esetek összes eset
=
6
36
(1 pont)
= 0,1667
Tehát 0,1667 a keresett valószínűség.
(1 pont)
Összesen: 4 pont 11. Oldja meg az alábbi egyenlőséget a cos x
;
intervallumon!
1
(3 pont)
2
Megoldás:
2 megoldásunk van: I. x1 = + 2k , k II.
x2
=
3 5 3
(1 pont)
+ 2l, l
(1 pont)
Ezek közül az intervallumon értelmezett megoldások: x1
3
és x2
(1 pont)
3
Összesen: 3 pont
-4-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
12. Egy számtani sorozat első tagja 3, ötödik tagja 19. Számítsa ki a sorozat első tíz tagjának (4 pont) összegét! Megoldás:
A számtani sorozatok n-edik tagjának képlete: an = a1 + ( n − 1) d . Az ötödik tagra alkalmazva : a5 = 19 = a1 + 4d Az első tagot behelyettesítve az egyenletbe megkapjuk a differenciát. 19 = 3 + 4d
d = 4
(1 pont)
Az első n tag összege: Sn = n Tehát S 10 = 10
(1 pont)
3+ 3+ 94 2
=
a1 + an
2
= n
a1 + a1 + ( n − 1) d
2
210.
(2 pont)
Összesen: 4 pont Maximális elérhető pontszám: 30 pont pont
-5-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
II/A. rész: Az alábbi három példa megoldása kötelező volt! 13. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! x
2
x 1
a)
4
3
b)
4 cos x 8 sin x 1
(6 pont)
2
0
(6 pont)
Megoldás:
a)
A hatványozás azono sságai alapján elvégezzük az átalakításokat. átalakításokat. 2 x 4 x = ( 22 ) = ( 2 x ) 2 x +1 = 2 2 x
(1 pont)
Egy oldalra rendezzük az egyenletet. 2 x 2 ( ) + 2 2x − 3 = 0
(1 pont)
Új ismeretlent vez etünk be: 2 x = a a2 + 2a − 3 = 0 A másodfokú egyenletet megoldva a két gyök: a1 = 1 és a2 = −3 . Mivel 2 x 0 , így a = −3 nem vezet valós megoldáshoz . x
2
(1 pont) (1 pont)
= 1 2 = 2 x
0
Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az azonos alapok elhagyhatók. (1 pont) (1 pont) Tehát x 0 2 2 b) A trigonometrikus Pitagorasz-tételt ( cos x + sin x = 1) felhasználva átalakítjuk az egyenletet : .
4 − 4 sin 2 x + 8 sin x +1 = 0 .
(1 pont)
Új ismeretlent ( a ) vezetünk be a sin x helyére és rendezzük az egyenletet. (1 pont) 4a 2 − 8a − 5 = 0 . A másodfokú egyenlet megoldóképletébe megoldóképletébe behelyettesítve megoldjuk az egyenletet, melynek két e: gyök e: 5 1 (1 pont) a1 = és a2 = − 2 2 5 Az (1 pont) nem megoldása az egyenletnek, mivel −1 sin x 1 . 2 1 Megoldjuk a sin x = − egyenletet. 2 x1
7 6
2k
és x2
11 6
(1 pont)
2 l , ahol k , l
Ellenőrzés…
(1 pont)
Összesen: 12 pont 14. Az ABC derékszögű háromszög hosszabbik befogója 32 dm, a rövidebb befogóhoz tartozó átfogóra eső merőleges vetület pedig 14,4 dm hosszú . a)
Mekkora a háromszög átfogójához tartozó magasság és az ismeretlen befogó hossza? (5 pont)
b)
Számítsa ki a háromszög köré írható körének a területét ! Válaszát cm2 -ben adja meg! (3 pont) 2
A DEF háromszög hasonló az eredeti háromszöghöz, a körülírt köre 25 dm területű. c)
Milyen hosszúságúak a DEF háromszög befogói? Válaszát cm-ben adja meg! (4 pont)
Megoldás:
a)
Az ismert befogóra felírjuk a befogótételt. -6-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
c ( c − 14, 4 )
= 32 c 2 − 14, 4c − 322 = 0 A másodfokú egyenletet megoldva a két gyök: c1 = 40 dm és c2 = −25, 6 dm Ebből csak a c = 40 dm jó megoldás, mivel az átfogó hossza nem lehet negatív. B 14,4 A Pitagorasz tételt felírva megkapjuk a másik befogót. P 2 2 2 a a + 32 = 40 m (1 pont) a = 24 A magasságtétel segítségével kiszámoljuk a C magasságot. 32 14,4 ( 40 − 14,4 ) = m
(1 pont) (1 pont)
A
(1 pont)
m = 19,2
Tehát az ismeretlen befogó a 24 dm, a magasság pedig m 19,2 dm.
(1 pont)
Alternatív megoldás megoldás: 2 (1 pont) Felírjuk a magasságtételt az ABC ABC -re: m = 14, 4 x m = 14, 4 x Illetve a Pitagorasz-tételt CPA -re: 322 = x 2 + m2 (1 pont) 2 Az első egyenletből kifejezett m -et a második egyenletbe behelyettesítve egy másodfokú 2 2 egyenletet kapunk: 0 = x + 14, 4 x − 32
Az egyenlet két gyöke az x1 = 25,6 és az x2 = −40 , amiből csak az első lesz jó megoldás. A kapott eredményt visszahelyettesítve visszahelyettesítve megkapjuk a magasságot. magasságot. m = 14,4 25 25,6
b)
= 19,2 Az ismeretlen befogót pedig a befogótétel segítségével számoljuk ki. 14, 4 + 25, 6 ) = 24 a = 14, 4 (14 Tehát az ismeretlen befogó a 24 dm, a magasság pedig m 19,2 dm. A Thálesz-tétel alapján a háromszög köré írható körének átmérője körének átmérője ( d ) az átfogó lesz. r =
d
2
Az
2
(1 pont) (1 pont) (1 pont)
= 20 dm.
,64 dm2 . A kör területe: T = r 2 = 202 = 1256,64 125663,7 7 cm2 . Átváltva: 1256,637 dm2 = 125663, c)
(1 pont)
r =
(1 pont) (1 pont)
25 egyenletet rendezve megkapjuk, hogy a
DEF DEF sugara 5 dm. (1 pont)
Ebből az arányossági arányossági tényező: = 5 = 0,25 .
(1 pont)
20
A hasonlóság szerint a befogók hossza: 24 00,, 25 25 6 dm és F befogói 60 és 80 cm hosszúak. Átváltva cm-re: a DE F
=
32 0, 25 25 = 8 dm .
(1 pont) (1 pont)
Összesen: 12 pont 15. Anna és Balázs fel szeretnék újítani a lakásukat, ezért úgy döntenek, hogy bankba teszik a
megtakarításukat. a)
Egy nagyon kedvező ajánlatot találnak, így végül kétszázezer forintot helyeznek el a bankban havi 7%-os kamatozással. Hány év elteltével kell kivenniük pénzüket, ha a felújításra legalább 1 000 000 forintot szánnak szánnak szánnak szánnak és a kamatot minden hónap (5 pont) végén írják jóvá ?
-7-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
Amíg sorban állnak a bankban, Anna egy fejtörőt ad fel Balázsnak: „Gondoltam 6 pozitív egész számra. Ezek átlaga 4, mediánjuk 5, a móduszuk pedig 6.” Számolja ki, (7 pont) mely számokra gondolt Anna!
b)
Megoldás:
a)
Jelöljük az eltelt hónapok számát n-nel! A kamatos kamat képletét felírva: 2000 200000 00 1, 07n 10000 000000 00 07 n 5 Rendezzük az egyenlőtlenséget: 1, 07 07 n lg 5 . Vegyük mindkét oldalnak 10 -es alapú logaritmusát: lg 1, 07 Logaritmus azonosságot alkalmazva, majd az egyenlőtlenséget rendezve: n
b)
(1 pont) (1 pont)
lg 5 lg1,07 .
(1 pont)
n 23,79 Mivel a kamatot a hónap végén írják jóvá, ezért felfelé kerekítve 24 hónap, azaz 2 év múlva (1 pont) vehetik ki a pénzt a bankból. (1 pont) Ellenőrzés… Jelöljük a számokat növekvő sorrendben x1; x2 ; ...; x6 -nak.
Anna páros számú számra gondolt, így a medián a középső két elem átlaga lesz. x3 + x 4 = 5. 2
(1 pont)
Ez nem lehet két darab 5-ös, mivel melléjük már csak két hato st lehetne tenni, de így nem a hatos lenne a módusz. Hatosnál nagyobb szám se szerepelhet szerepelhet (pl. 7 és 3), mivel ekkor szintén nem lehet 6 a módusz. (2 pont) Tehát a két középső elem egy 6 -os és egy 4 -es. Mindenképpen szerepelnie kell még legalább egy hatos nak , hogy az legyen a leggyakoribb szám . x5
=6.
(1 pont)
Az eddig ismert számokkal írjuk fel az átlagot: x1 + x2 + x6
= 8 és 0 x1,
x2
x1 + x2 + 4 + 6 + 6 + x6
6
4 , valamint x6 6 .
=4
(1 pont) (1 pont)
A feltételeknek egyetlen számhármas felel meg: 1 + 1 + 6 . Tehát a hat szám: 1, 1, 4, 6, 6, 6
(1 pont)
Összesen: 12 pont Maximális elérhető pontszám: 36 pont
II/B. rész: Az alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! 16. Az óvodai farsangi mulatságon felfordított négyzet alapú csonkagúla formájú tálkákban
tálalják fel a pudingot. A hosszabbik alapél 24 cm, a rövidebbik 12 cm hosszú, az oldalélek hossza pedig 10 cm. Egy adag puding a tálka 75 % -át tölti ki. a)
A pudingot 20 literes edényekben szállítják. Legalább hány darab ilyen edényt kell vásárolnia az óvodának, ha 12 csoport van összesen és minden csoportnak hat adag puding jut?
(9 pont)
A farsangi „Ki mit tud?” -on 6 fiú és 6 lány szerepel. b)
Hányféleképpen állítható össze a produkciók sorrendje, ha a fiúk és lányok felváltva (3 pont) követik egymást a színpadon?
Az egyik csoportban 17 lány és 13 fiú van. c)
Ha véletlenszerűen kiválasztunk 5 gyereket, mennyi a valószínűsége, hogy közülük (5 pont) legfeljebb 3 fiú van? Válaszát négy tizedesjegy pontossággal adja meg! -8-
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
Megoldás:
a)
I. megoldás: Az átlós keresztmetszettel egy trapézt kapunk, melynek a párhuzamos oldalai a csonkagúla alapjainak átlói, szárai pedig a csonkagúla csonkagúla oldalélei. Az a oldalhosszúságú oldalhosszúságú négyzet átlója
10
10
M
2a Tehát a két párhuzamos oldal hossza: 2 12 = 16,97 cm
2 24 24 = 33,94 ,94 cm
(2 pont)
A magasságot berajzolva az így keletkezett derékszögű háromszögre egy Pitagorasz -tétel írható fel.
24 102 = M 2 +
2
2 − 12 2 2 Az egyenletet rendezve: M =
(1 pont)
100 − 72
29 cm . = 28 = 2 7 = 5, 29 A csonkagúla alaplapjának és fedőlapjának területe: 122 = 144 cm2 és 242 = 576 cm2 . A csonkagúla térfogatának képletébe behelyettesítünk. M ( T + Tt + t ) 2 7 (144 + 144 576 + 576) V = V = = 3
= 672
7
(1 pont) (1 pont)
3
95 cm3 . = 1777, 95
(1 pont)
A térfogat 75% -a literbe átváltva: 1777,95 77,95 0,75 = 1333 333, 46 cm3 = 1,333 ,333 dm3 = 1,333 ,333 lite iter
(1 pont)
A tizenkét csoport mindegyike hat tálat kap . 1,333 612 = 95,976 95,976 liter 95,976 = 4,8 , tehát legalább 5 edényre van szükség. 20 II. megoldás:
(1 pont) (1 pont)
A magasságot a tengelymetszetből kapott trapézból számoljuk, ahol a trapéz párhuzamos oldalai egyenlőek a csonkagúla alap- és fedőlapjának oldalaival, az oldalélek pedig a csonkagúla oldallapjainak magassága. magassága. A csonkagúla oldallapja egy trapéz, ahol a 24 magasságot behúzva felírható a Pitagorasz -tétel. 2 24 − 12 12 2 2 10 = m + 2 m 10
m = 100 − 36 = 64 = 8
10
(2 pont)
A csonkagúla tengelymetszetére behúzva a magasságot egy újabb Pitagorasz -tétel írható fel: 2 24 − 12 12 2 2 8 = M + 2
M = 64 − 36 = 28 =
12 24
M
8
= 2 7 = 5, 29 29 cm (2 pont)
12 -9-
8
Matematika Próbaérettségi b)
c)
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
Innen ugyanúgy folytatjuk, mint az I. megoldásban. Először sorba állítjuk a fiúkat, ezt 6! féleképpen tehetjük meg. A lányok szintén 6! féleképpen állíthatók sorba.
(5 pont) (1 pont) (1 pont)
Ezután a lányokat berakjuk a fiúk közé, ezt kétféleképpen tehetjük meg, vagy lány az első szereplő vagy fiú. (1 pont) Tehát az összes eset száma: 2 6! 6! 1 036 800 I. megoldás:
30
A csoportban összesen 30 gyerek van, ebből 5 -öt féleképpen tudunk kiválasztani tudunk kiválasztani. 5 (1 pont)
Komplementer eseménnyel eseménnyel számolunk, azaz 4 vagy 5 fiút választunk ki.
13 17
4 fiú, 1 lány: = 12155 4 1
13 17 0 = 1287 5
5 fiú, 0 lány:
A komplementer valószínűség: valószínűség: P =
(2 pont) 12155 2155 + 1287 1287 142 142 506 506
= 0,09433
(1 pont)
P = 1 − P = 0,9057
(1 pont)
II. megoldás: Nem komplementerrel komplementerrel számolunk. Az egyes események egymást páronként kizárják, így összeadás van közöttük. 17 13 17 17 13 17 17 13 17 17 13 17 + + + 0 5 1 4 2 3 3 2 129 129 064 064 P = = = 0,9057 . 142 142 506 506 30 5
(5 pont)
Összesen:17 pont 17. Egy 24 fős baráti társaság nyári utazást szervez és szavazással szeretnék eldönteni, hogy
hova menjenek (egy ember több helyszínre is szavazhat). Az olasz tengerparti kirándulásra összesen 16-an tették fel a kezüket, a holland városnézésre 10-en jelentkeztek, a svájci hegyi túrára pedig 7 ember szavazott (ebbe beleszámolták azokat is, akik esetleg két vagy három lehetőségre is szavaztak). Három embernek mindegy volt, hogy Olaszországba vagy Hollandiába mennek, tehát csak erre a kettőre szavaztak, ugyanígy gondolkodva hárman adtak le szavazatot a tengerparti útra és a hegyi túrára is, egy fő pedig az olasz tengeren kívül mindkét útra leadta a voksát. 2 -en teljesen döntésképtelenek voltak, így mindhárom utazásra feltették a kezüket. a) Hányan tartózkodtak a szavazástól? (5 pont) b) Balázs nagyon szerencsés, ezért 100 -ból 78-szor eltalálja, hogy ki mire szavazott. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a társaság pontosan kétharmadának találja ki (6 pont) a szavazatát? A szavazás eredményeképpen az olasz tengerpartra utazik a társaság nyáron. Az alábbi kördiagramon ábrázolták, hogy ki milyen járművel szeretne eljutni oda. (Mindenki csak egy járművet választhatott.) A diagram elkészítése után azonban 2 ember megváltoztatta a szavazatát, autó helyett inkább ők is repülővel utaznának. ut aznának. c)
Készítse el az új kördiagramot!
(6 pont)
- 10 -
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
Busz
Repülőgép Autó Vonat
Megoldás:
a)
Az adatokat felírva: A
feladat
O
szövege
= 16 ,
H
= 10 , S
=7.
(1 pont)
O
H
( O H ) \ S = 3 ,
alapján :
( O S ) \ H = 3 , ( H S ) \ O = 1 ,
OH
3
8
S = 2
2
(1 pont)
Ezután kiszámoljuk a metszetek számosságát számosságát . O H
3 1
H S = 1 + 2 = 3
(1 pont)
(A Venn-diagram helyes felrajzolásáért is jár a 3 pont.) Szita-formulába behelyettesítve: 16 +10 10 + 7 − 5 − 5 − 3 + 2 = 22 . A 24- ből csak 22 ember vett részt a szavazáson szavazáson 24 − 22 = 2 .
Tehát 2 ember tartózkodott. találja ) = 0,78 , ekkor 1 − P = P ( nem találja el ) = 0, 22 22 . b) P ( eltal 2 3
S
(1 pont) (1 pont) (2 pont)
= 16 ember szavazatát kell eltalálnia.
(1 pont)
24 0, 0758 0, 7816 0, 228 = 0, 16
c)
1
= 3+ 2 = 5
O S = 3 + 2 = 5
24
4
Binomiális eloszlással számolva: P ( X = 16 ) =
(2 pont)
Tehát 0,0758 a keresett valószínűség.
(1 pont)
Egy főhöz tartozó szög nagysága:
360 24
A repülőgépre a kördiagramban 360
165 15
= 15
− ( 90 + 60 + 45 ) = 165
= 11 11 fő szavazott eredetileg a repülős utazásra .
- 11 -
(1 pont) marad.
(1 pont) (1 pont)
Matematika Próbaérettségi
60 15
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
= 4 4 fő pedig az autos útra.
(1 pont)
A váltás után 13 fő szavazott a repülőre, 2 fő az autóra. 13 15 = 195 és 2 15 = 30 . Helyes diagram felrajzolása, feliratozása .
(1 pont)
Busz
Repülőgép Autó Vonat
(1 pont)
Összesen:17 pont 18. Adott egy szakasz, amelynek végpontjai az A a)
2;0
és a B
6;8 pont.
Számítsa ki, hogy az y tengely mely pontjaiból látszik derékszögben a z AB szakasz! (8 pont)
A C 3;12,5 koordinátájú pont az A és B ponttal egy háromszöget alkot. b)
Adja meg a B csúcsnál levő szög nagyságát!
(5 pont)
c)
Igazolja, hogy a S 100;61 pont illeszkedik a BC egyenesre!
(4 pont)
Megoldás:
a)
szakaszra, mint átmérőre egy kört írunk, akkor a Th alész-tétel miatt a kör minden pontjából (a szakasz végpontjait kivéve) derékszög alatt al att látszik a szakasz. Tehát a megoldás a szakasz Thalész-körének és körének és az y tengely közös pontjai. (1 pont) (Akkor is jár a pont, ha a gondolatmenet gondolatmenet csak a megoldásból derül ki.) AB szakasz felezőpontja lesz a kör középpontja. −2 + ( −6 ) 0 + 8 (2 pont) ; F F ( −4; 4 ) 2 2 A és F pontok pontok távolsága távolsága a sugár. Ha az AB
AF
=
2
2
( −4 − ( − 2 ) ) + ( 4 − 0 ) = 2
(1 pont)
20 2
Ezekből a kör egyenlete: ( x + 4 ) + ( y − 4) = 20 A kör és az y tengely közös pontjai t egyenletrendszer egyenletrendszer segítségével segítségével számoljuk ki. - 12 -
(1 pont)
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
x = 0
2 2 ( x + 4 ) + ( y − 4 ) = 20
Behelyettesítjük
az
x-et,
0-ra
majd
rendezzük
a
másodfokú
egyenletet.
+ y − 8 y + 16 = 20 y − 8 y + 12 = 0 Az egyenlet két gyöke: y1 = 6 és y2 = 2 .
(2 pont)
Tehát a két pont: P 0;6 és Q 0;2 .
(1 pont)
2
2
4
2
y
x
és BA ( 4; −8) . Kiszámoljuk a két vektor hosszát: 25 = 10 10, 06 06 BC = 92 + 4, 52 = 101, 25
b) BC és BA vektor: BC ( 9;4,5)
BA
A
=
4 2 + ( −8 )
skaláris
2
=
(1 pont)
80 = 8, 94
szorzat
(2 pont)
képletébe
behelyettesítve:
9 4 + 4, 5 ( −8 ) = 10, 06 06 8, 94 94 cos
0 = 89,936 ,9364 co cos
(1 pont)
Tehát 0 = cos = + k , k . 2
Mivel egy háromszög belső szöge, így az egyetlen megoldás a Alternatív megoldás megoldás:
90 .
(1 pont)
Mindhárom vek tor tor hosszát kiszámoljuk, ezzel megkapjuk a háromszög oldalait. 25 = 10 10, 06 06 a = BC = 92 + 4, 52 = 101, 25 c = BA
2
= 42 + ( −8 ) = 80 = 8, 94
b = AC
25 = 13 1 3, 46 46 = 52 + 12, 52 = 181, 25 A háromszög három oldalára felírjuk a koszinusztételt :
(
181, 25 25
2
) =(
101, 25 25
2
) +(
80
2
)
− 2 10 101, 25 25 80 cos - 13 -
(3 pont)
Matematika Próbaérettségi
Megoldókulcs
2019. február 16. 16.
0 = −180 cos cos = 0 Mivel
(1 pont)
egy háromszög belső szöge, így az egyetlen megoldás a
90 .
(1 pont)
y
x
c)
Egy pont akkor illeszkedik egy egyenesre, ha az egyenes egyenletébe behelyettesítve behelyettesítve fennáll
az
egyenlőség. BC egyenes irányvektora: v ( 3 − ( −6 ) ;12, 5 − 8 ) = v (9; 4, 5 ) = v ( 2;1) . Ezt 90 -kal elforgatva megkapjuk a
normálvektort: n (1; −2 )
(2 pont)
Ebből felírható az egyenes egyenlete: x − 2 y = −22
(1 pont)
Behelyettesítjük S koordinátáit az egyenletbe:
100 − 2 61 = 100 − 122 = − 22 . A két oldal egyenlő, tehát a pont rajta van az egyenesen.
(1 pont)
Összesen: 17 pont A szerezhető szerezhető maximális pontszám: pontszám: 34 pont A próbaérettségi próbaérettségi során szerezhető szerezhető maximális maximális pontszám: 100 pont
- 14 -
