SESIÓN N°02 (Compartida)

-

SESIÓN N°02

|

Presiones Estáticas del Agua según la PCA Presiones Dinámicas del Agua, Impulsiva y Convectiva Presión de Inercia en las Paredes del Tanque |

™

© 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® Cajamarca – Perú

© 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® ©20 14 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014 Alex Henrry Palomino Encinas® © 2014

Presiones Estáticas del Agua según la PCA En este apartado se desarrolla el método desarrollado por la Asociación del Cemento Portland, PCA, para el cálculo de desplazamiento, cortantes y momentos, datos necesarios para poder pode r realizar el diseño. Asimismo, también se desarrollan comprobaciones del espesor de las paredes del tanque como también estabilidad vertical del Tanque.

A. Tanques Rectangulares La PCA publicó un documento llamado Rectangular Concrete Tanks – Revised Revised Fifth Edition by Javeed A. Munshi donde se exponen los coeficientes para determinar desplazamientos, cortante y momentos flectores en tanques rectangulares para distintas condiciones de apoyos en la base y condiciones de carga.

Consta de 5 capítulos y un Apéndice, los cuales se describen a continuación:

2


Presiones Estáticas del Agua según la PCA En este apartado se desarrolla el método desarrollado por la Asociación del Cemento Portland, PCA, para el cálculo de desplazamiento, cortantes y momentos, datos necesarios para poder pode r realizar el diseño. Asimismo, también se desarrollan comprobaciones del espesor de las paredes del tanque como también estabilidad vertical del Tanque.

A. Tanques Rectangulares La PCA publicó un documento llamado Rectangular Concrete Tanks – Revised Revised Fifth Edition by Javeed A. Munshi donde se exponen los coeficientes para determinar desplazamientos, cortante y momentos flectores en tanques rectangulares para distintas condiciones de apoyos en la base y condiciones de carga.

Consta de 5 capítulos y un Apéndice, los cuales se describen a continuación:

2


Para usar de manera adecuada este manual y evitar confusiones, el documento nos proporciona definiciones y notaciones para un correcto manejo de los resultados. Todas las notaciones contenidas en el documento se detallan a continuación:

 = altura de la placa o muro  = peso unitario del suelo o agua a gua (por ejemplo, / ) , presión en la base de la placa/muro por distribución triangular (por ejemplo, / =  ) / = ) , para presión uniforme a lo largo de la altura de la placa/muro (por ejemplo, de presión activa o pasiva, según aplique. Para agua, el coeficiente coeficiente de presión = coeficiente activa  = 1.0 , mientras que para el suelo  = 1−sin∅/1+sin∅, donde ∅ es 



el angulo de fricción interna del suelo.

Corte computo del cortante:  = Coeficiente de corte dados las tablas del Capítulo 2 para el computo por unidad de ancho =    = Coeficiente de deflexión dado en la Tablas de Capítulo 2 y 3 para el computo de deflexiones. Deflexión =   /1000, donde  =   /121 −  . 33 ′ según el ACI 318 2011, donde  = módulo de elasticidad del concreto′ ( = .33  es el peso unitario del concreto y  es la resistencia a la compresión especifica del

concreto, PSI).

 = espesor de la placa o muro  = coeficiente de Poisson, tomado como 0.2 para el concreto. ( ,  , , , ) = coeficientes de momentos dados en las Tablas del    

Capítulo 2 y 3 para el computo de momentos  ,  ,  ,  y  respectivamente. respectivamente. Notar que los lo s coeficientes  y  están dados en valores v alores absolutos.

 

dirección  = momento por unidad de ancho a través del eje X estirando las fibras en la Y cuando la placa o muro están en el plano X-Y (ver Figura 2-1). El momento

es usado para determinar el acero a cero en la dirección Y (vertical) del plano del muro (Figura 1-1) y está dado por

   = .× 1000

 = momento por unidad de ancho alrededor del eje Y estirando las fibras en la

dirección X cuando la placa o muro están en el plano X-Y o en la dirección Z cuando la placa esta en el plano Y-Z (ver Figura 1-1). El momento es usado para determinar el refuerzo en las direcciones horizontales horizontales X ó Z de la placa p laca o muro (Figura 2-1) y esta dado por

  = .× 1000 3


dirección  = momento por unidad de ancho alrededor del eje Z estirando las fibras en la Y cuando la placa o muro están en el plano Y-Z (ver Figura 2-1). El momento es usado para determinar el refuerzo en la dirección Y (vertical) de la placa o muro (Figura 1-1) y esta dado por

   = .× 1000

, = torsión o mementos de giro para la placa o muro en los planos X-Y & Y-Z, respectivamente, están dados por    = .× 1000    = .× 1000

Figura 2-1. Sistema de Coordenadas para placas.

  

El momento de giro tal como el puede ser usado para adicionar los efectos de los momentos ortogonales y para los propósitos de determinar el acero de refuerzo cuando la placa esta en el plano X-Y. El momento puede ser similarmente usado para la placa en los planos Y-Z. Estos momentos deben ser considerados para asegurar el diseño cada vez que estos efectos consideren adversariamente efectos de requerimiento del refuerzo. Los principios de mínima resistencia pueden ser usados para la determinación de los momentos ortogonales equivalentes en este caso.



4


 y  para la placa en el plano

Los momentos ortogonales equivalentes X-Y son computados tal como se muestra: 

Cuando los momentos positivos producen tensión:

 =  + ||  =  + || Sin embargo, si estos momentos  ó  son negativos, el valor negativo del momento es cambiado a cero (no requiere refuerzo) y el otro momento es obtenido como se muestra:

 < 0, luego  = 0 y  =  +   > 0     Si  < 0 , luego  = 0 y  =  +   > 0  Si



Cuando los momentos negativos producen tensión:

 =  − ||  =  − || Sin embargo, si estos momentos  ó  son positivos, el valor positivo del

momento es cambiado a cero y el otro momento es obtenido como se muestra:

   Si  > 0, luego  = 0 y  =  −    < 0     Si  > 0 , luego  = 0 y  =  −    < 0  A continuación se presenta un ejemplo del cálculo de las presiones estáticas y sus respectivos esfuerzos, para un tanque rectangular.

Ejemplo N°01: Determinar las presiones estáticas, Coeficientes de cortantes y momentos para el tanque mostrado en la Figura 2-2 y los datos mostrados:

o

Densidad del Agua:

o

Peso húmedo del suelo: Ángulo de fricción del suelo: Densidad del Concreto del Tanque:

o

Resistencia a la comp. del concreto:

o

o

o

o

Fluencia del Acero de Refuerzo: Altura del Suelo o de relleno:

5

 = 1000  = 1600  ∅ = 33°   = 2400 ′ = 280   = 4200   = 1.2 


Figura 2-2. Geometría del Tanque rectangular.

SOLUCIÓN Los coeficientes solicitados se determinarán considerando las siguientes condiciones de carga que se muestran en la Figura 2-3.

Figura 2-3. Condiciones de Carga para análisis según la PCA y el ACI 350.

A continuación se detallan los cálculos tanto para los muros como para la losa de fondo o cimentación del tanque, además del techo que será una losa horizontal llena simplemente apoyada.

i.

Coeficientes para los Muros o paredes del Tanque

Como el peralte de embebimiento del tanque sobre el suelo es mínimo, solo se calcularán coeficientes para la condición de carga N°01. Iniciamos con el cálculo del empuje del agua, que es igual a:

 =  ,  = 1.0,  = 1000   ,  = 3.00   = 1.010003.00  = 3000   6


o

Para el Muro Largo:

o

Para el Muro Corto:

a. Coeficientes de Corte,

 =  = .    =  = .

 (Página 2-17)

De acuerdo con las condiciones de construcción e integridad estructural, los muros se analizarán para las condiciones de frontera de restricciones fijas en sus 3 bordes y una libre en su parte superior.

Figura 2-4. Condición de restricción fija en 03 bordes y una libre en el tope del muro.

La Figura 2-4 muestra esta condición que se encuentra en la página 2-17 del documento mencionado al principio de este apartado. 

Para el Muro Largo: 

= .

Borde Inferior – Punto medio = 0.5 Borde Lateral – máximo = 0.37 Borde Lateral – Punto medio = 0.24



Para el Muro Corto: 

= .

Borde Inferior – Punto medio = 0.45 Borde Lateral – máximo = 0.27 Borde Lateral – Punto medio = 0.26

La fuerza cortante actuante máxima en el Muro Largo actuará en el borde central de este o punto más bajo, situación en la que el coeficiente de corte, con el que se haga la verificación del espesor del muro será igual a 0,5, luego:



 = 0.530003.00 ∴  =   7


De aquí es sencillo determinar el espesor del muro que pueda resistir este cortante, basado en la capacidad a cortante, , del concreto del muro, cuya fórmula (11-3) contenida en el ACI 350 – 06 se muestra a continuación:



 = 2 ′



De acuerdo con el ACI 350 – 01, el factor de durabilidad medioambiental, , para esfuerzos de corte tomados por el refuerzo es igual a 1.3, y modifica al factor de resistencia requerida para carga lateral del Fluido, , cuyo factor es igual 1.7, entonces, por el momento, el cortante de Diseño, , sería igual a:





 = 1.7  = 7650  Luego, debe cumplirse que, ∅ ≥  , entonces 2∅ ′ ≥ , ∅ = 0.75  ≥ ∅  ′ Finalmente, el espesor del muro será igual a:  =  + +  /2  ≥ 20.75 √ 280×0.7650 070306962630 = 38.315   = 38.315+5+ 1.9205 = 44.2675  ∴  =  Se procede similarmente con el cálculo del espesor, , del muro para el cortante máximo en el borde lateral con  = 0.37. En esta ocasión, el concreto estará sometido además del cortante a tensiones debido al cortante proveniente de los bordes laterales del muro corto. Entonces:

  ′  = 21+ 500   = 0.3730003.00,  =    = 1.7 = 1.73330, ∴  =   . Luego, ∅ ≥  , para  = 45 , se tiene que  = 45−5−  = 39.0475    ′ ≥ , ∅ = 0.75 2∅1 + 500  27×3000 ×3.00√280 ×0.07030696263039.0475 ∅ = 20.75 1+0.0703069626 × −1.7 ×0. 500 ×45×30 ∴ ∅ = .  También se verifica que: ∅ ≥  , quedando  = 45 como definitivo. 8


Un procedimiento similar se sigue para el muro corto, cuyo el cortante en el borde central es 0.45.

 de cálculo para

 = 1.70.4530003  = 6885   ≥ 20.75 √ 280×0.6885 070306962630 = 38.484   = 38.484 +5+ 1.9205 = 40.437  ∴  =   Para el borde lateral,  = 0.27, y  = 1.70.2730003  = 4131  37×3000 ×3.00√280 ×0.07030696263039.0475 ∅ = 20.75 1+0.0703069626 × −1.7 ×0. 500 ×45×30 ∴ ∅ = .  Luego, ∅ ≥  , concluyéndose que el espesor dimensionado es adecuado para resistir cortante.

b. Coeficientes de Momentos De acuerdo con las condiciones de b/a para las paredes del tanque, la página 3-29 del documento de referencia nos muestra los coeficientes de momentos , , , para el caso de carga 3 que se muestra en la Figura 2-5.

   

Figura 2-5. Caso de Carga para un tanque fijo en la base y libre en el tope.

Los momentos se determinarán mediante las siguientes formulas que se muestran:

   = .× 1000    = .× 1000 9


b.1.

Momentos Verticales,



En concordancia con las Tablas mostrada más abajo, los momentos actuantes en el muro largo se detallan en la Tabla 2-1 mostrada, para

 = 30003 = 27  1000 1000 Aplicando los mismos criterios del ACI 350.3R 01, cuyo factor de seguridad medioambiental para esfuerzos de flexión, , es igual a 1.3 y factor de resistencia requerida igual a 1.7, los momentos de diseño,  serían iguales a:    = 1.7 × × .× 1000 –

10


b.2.

Momentos Horizontales,



Los coeficientes para los momentos horizontales y momentos Muy de diseño calculados con las Tablas mostradas en la página anterior y bajo los mismos  criterios del ACI 350.3R – 01 bajo los mismo valores de se exponen en la Tabla 2-2 que se muestra.

 

ii.

Coeficientes para la Losa del Techo

Para las condiciones dadas al inicio de este ejemplo, la losa del techo del tanque se asume que está simplemente apoyada. Por lo tanto, los coeficientes que corresponden aplicar son los del Caso 10 de la página 2-62.

En referencia a la vista en planta del tanque en la Figura 2-2, el valor de 11


 = 9 = 1.50  6

Para el cálculo de los momentos mediante los coeficientes dados en las Tablas de la página anterior, es necesario incluir los momentos de torsión que se suman a los de flexión, entonces, basándonos en lo indicado en la página 5 de esta sesión, los coeficientes totales de momentos serán como se indican. 

Donde los momentos positivos producen tensión (Base de la losa)

. = . + .|| > 0 (Tabla 2-3) . = . + .|| > 0 (Tabla 2-4)

Para ambos casos,

 = 0 ∧  = 0 cuando  < 0 ∧  < 0. 12




Donde los momentos negativos producen tensión (cerca de las esquinas)

. = . − .|| < 0 (Tabla 2-5) . = . − .|| < 0 (Tabla 2-6)

iii.

Verificación de estabilidad por Empuje Vertical del Suelo.

Se verificará la estabilidad por fuerza vertical, comparando las fuerzas de gravedad actuantes con las de empuje vertical que ejerce el suelo sobre el tanque para la Condición de Carga N°03 que se muestra en la Figura 2-3. Los espesores de las losas tanto de fondo como del techo se dimensionarán con lo indicado en la Sesión N°01.

13


 = 0.15  . Para la losa del techo:  =  =  = 0.259, ∴  = 0.275 Para la losa de fondo:

A continuación se detallan los pasos para determinar la estabilidad por empuje vertical del suelo. El mismo procedimiento se sigue para los demás casos.

1°. Calculo del Peso del Tanque

 =  ×  ×  ×ℎ = 2400300.453.00 = 97200  Losa de Techo:  =  × × × = 24009.456.450.275 = 40228.65  Losa de Fondo:  =  ×  ×× = 240010.857.850.15 = 30662.10  Peso total:  =  +   +   = +. +.  = .  

Muros o paredes:

2°. Calculo del Peso del suelo en los voladizos de la losa de fondo

 =  × (   − )× = .. − ... = .  3°. Calculo de la Fuerza de Empuje La fuerza de empuje ejercida por el suelo será igual al volumen de suelo que ocupa el tanque, sin considerar los voladizos de la losa de fondo.

 = .. = .  Presión ejercida por el suelo:  = ( +  ) = 16001.2+0.15 = 2160  Fuerza de Empuje:  =   ×  = . = . 

Área del Tanque:

4°. Verificación de la Estabilidad Vertical,

 ≥ {. ;.}

Esta verificación se realiza mediante comparación entre fuerzas verticales a través de un cociente llamado Factor de Seguridad, , que es igual a:



75+46502.40 = 1.63  =  +  = 168090.131657. 40  > 1.10…  14


B. Tanques Circulares De manera similar que para Tanques Rectangulares, la PCA publicó un documento llamado “Circular Concrete Tanks – Without Prestressing” para

ayudar al diseñador a determinar esfuerzos debidos a la presión estática del agua cuyo título e índice se muestran a continuación.

15


A continuación se hace una comparación entre las normativas del ACI 350 del 2001 con la del 2006 y el ACI 318 2011 que actualmente usamos para el diseño. Estas se muestran en la Tabla 2-7.

Cuando se trabaje con el ACI 350 – 01, la cantidad limitante de refuerzo por flexión, , será calculada según la sección 10.6.4 cuya fórmula es:



10−5

 =    [  ]



En la que, , no debe exceder los valores indicados en la Tabla 2-7. La Figura R.10.6.4 del ACI 350 – 01 nos proporciona la manera de determinar cada parámetro de la fórmula presentada previamente.



A partir de la expresión mostrada para determinar, , es posible determinar el máximo espaciamiento, , que tendrá el refuerzo.

á

  á = 2   El valor de  = 27 000  , proviene de la sugerencia del ACI 350 considerado igual al 45% de  = 60 000  . 16

– 01 para ser


Durante el desarrollo del curso se trabajará con el ACI 350 – 06, que es la que está vigente actualmente. De acuerdo con el documento presentado por la PCA, a partir del Capítulo 7 se tienen coeficientes de momentos, cortantes y tensiones. Los casos que serán objeto de estudio en este apartado se muestran a continuación, para las condiciones de apoyos presentados en la Sesión N°01.

A. Base fija y Borde libre (Carga Triangular) – Capítulo 7

Figura 2-6. Muro con base fija y borde libre, carga triangular.

La tensión anular es calculada mediante la siguiente ecuación:

 = .× [ ] 17


El momento Flector será igual a:

 = .×  × [−]

Determinar la distribución en altura de las tensiones anulares Ejemplo N°02: y momentos flectores para un reservorio circular con los siguientes datos:   

Altura del Muro, H = 6.00 m Diámetro Interior, D = 16.20 m Espesor del Muro, t = 0.25 m

SOLUCIÓN Se determina el valor de

, que es igual a:   6

 = 16.200.25 = 8.9 ≈ 9.0

18


Este valor calculado se redondeó a 9.0 y a partir de aquí nos referimos a las Tablas 2-8 y 2-9 para determinar los coeficientes de Tensión Anular y Momentos Flectores, los cuales están ordenados en la Tabla 2-10, mismos que están presentados en la Figura 2-7.

Figura 2-7. Representación Gráfica de la Distribución de Tensiones y Momentos en Altura, para el caso de Base Fija y Borde Libre con carga Triangular.

B. Base Articulada y Borde Libre (Carga Triangular) – Capítulo 8

Figura 2-8. Muro con base Articulada y borde libre, carga triangular. 19



 = .× [ ]

El momento Flector será igual a:

 = .×  × [−] 20


Con los mismos datos del Ejemplo N°02, determinar la Ejemplo N°03: distribución en altura de las tensiones anulares y momentos flectores.

SOLUCIÓN

 

El valor para, , es el mismo. Las Tablas 2-11 y 2-12 nos proporcionan los coeficientes de tensión anular y momento flector, mismos que fueron ordenados en la Tabla 2-13 para luego determinar tales esfuerzos.

Figura 2-9. Representación Gráfica de la Distribución de Tensiones y Momentos en Altura, para el caso de Base Articulada y Borde Libre con carga Triangular.

21


C. Base Articulada y Borde Libre (Carga Trapezoidal) – Capítulo 9

Figura 2-10. Muro con base Articulada y borde libre, carga trapezoidal.


 = .× [ ] Esta tensión debe ser sumada con,  , para de esa manera obtener la tensión total, que sería igual a:  =  .× +.× [ ] El Momento Flector, , es igual al obtenido con los coeficientes de la Tabla 2-12, siendo en esta ocasión igual a:  = .×  +  [−] 22


Con los mismos datos del Ejemplo N°02, determinar la Ejemplo N°04: distribución en altura de las tensiones anulares y momentos flectores, cambiando el espesor del muro a t = 37.5 cm (15in).

SOLUCIÓN Primero evaluamos el valor de,

, que es igual a:  6

 =  16.200.375 = 5.9 ≈ 6.0

Figura 2-11. Representación Gráfica de la Distribución de Tensiones y Momentos en Altura, para el caso de Base Articulada y Borde Libre con carga Trapezoidal.

23


D. Cortante en el Tope aplicado en el tope del muro – Capítulo 10

Figura 2-12. Muro con cortante aplicado en el tope.


 = .×  [ ] Mientras que el momento flector, es calculado como se muestra

 = .×  [−] 24


Ejemplo N°05: Determinar la fuerza cortante que debe aplicarse en el tope del reservorio circular del Ejemplo N°04 para evitar la expansión y/o desplazamiento de la pared del tanque debido a la tensión anular. Además determinar la distribución en altura de las tensiones anulares y momentos flectores debido al cortante aplicado. SOLUCIÓN Mediante la fórmula mostrada en la página anterior, determinamos el valor del cortante, , que debe aplicarse para anular la tensión anular , por lo tanto:

 = 15487.2 



 = .×  , .= −9.020  ×× [ ]  = .    = −9.1020 × −15487.2 × 6.8.0100  = . 

Cortante que debe ser aplicado en el tope para equilibrar la tensión anular; luego, la distribución en altura de la tensión anular y momento flector se muestra en la Tabla 2-17.

25


Figura 2-13. Representación Gráfica de la Distribución de Tensiones y Momentos en Altura, para el caso de Base Fija y Borde Libre con fuerza cortante aplicada en el tope.

26


Presiones Dinámicas del Agua y del Reservorio La presión Dinámica o Presión Hidrodinámica del agua es el producto de la exitación sísmica que el suelo le impone al reservorio. La forma y modelo matemático de la distribución de presiones dinámico en un reservorio, tanto en planta como en altura se muestra en las Figuras 2-14 y 2-15.

Figura 2-14. Distribución en Altura de las Presiones Dinámicas del Agua.

La excitación sísmica inducida por el terreno hacia el reservorio provoca la presencia de 2 tipos de cargas producidas por el agua. Una parte del volumen contenido en el reservorio se considera que se mueve junto con él y, el volumen restante se mueve de manera libre en la superficie del agua contenida. Estas cargas con comportamientos mencionados son las conocidas Fuerzas Impulsiva y Convectiva.

Figura 2-15. Distribución en Planta de las Presiones Dinámicas del Agua. 27


Esta misma interpretación se encuentra en la sección 5.3 del ACI 350.3R – 06 cuyas expresiones dadas son producto del Trabajo que realizó George W. Housner, tanto para tanques rectangulares como para circulares. Las expresiones matemáticas de la distribución de estas presiones dinámicas deducidas por Housner, Impulsiva y convectiva se detallan a continuación:

A. Presión Hidrodinámica Impulsiva (a).

Tanques Rectangulares

La presión hidrodinámica horizontal impulsiva sobre el muro rectangular, esta dada por

,

 =      Donde, igual a:

 , es el coeficiente de presión hidrodinámica impulsiva horizontal,  3  √   1−   = 2   tanh√ 23  

De acuerdo con la Figura 2-14, la distribución vertical sobre la losa de fondo del reservorio sería igual a:

 = 0

Donde,

 =    

, es el coeficiente de presión hidrodinámica vertical, igual a: sinh√ 23     = √ 3  cosh 2  

Figura 2-16. Parámetros de cálculo para Tanques Rectangulares. 28


(b).

Tanques Circulares

La presión hidrodinámica horizontal impulsiva sobre el muro circular, dado por

, esta

 =     cos Donde, igual a:

 , es el coeficiente de presión hidrodinámica impulsiva horizontal,  3  √     = 2 1−  tanh√ 23  

De acuerdo con la Figura 2-14, la distribución vertical sobre la losa de fondo del reservorio sobre una franja de longitud está dado por:

 = 0

Donde,

′  =    

, es el coeficiente de presión hidrodinámica vertical, igual a: 3  √ sinh  2  3  √   = 2 √ 3 ′ cosh 2  

Figura 2-17. Parámetros de cálculo para Tanques Circulares.

29


Figura 2-18. Variación de las presiones Impulsiva y Convectiva en las paredes de un Tanque Rectangular, L/H L = 0.476.

Figura 2-19. Variación de las presiones Impulsiva y Convectiva en la losa de fondo de un Tanque Rectangular, L/H L = 0.476. 30

SESIÓN N°02 (Compartida)

Recommend Documents