MÉTODOS EST ESTADÍSTI ADÍSTICOS COS “PROBABILIDADES”
Docente: JAIME ARMANDO PORRAS BRAVO BRAVO
[email protected] SESION 9
PROBABILIDADES ¿Cuáles serían los posibles resultados de ?
Lanzamiento de un dado Lanzamiento de una una moneda
Duración de un equipo electrónico electrónico
PROBABILIDADES ¿Cuáles serían los posibles resultados de ?
Lanzamiento de un dado Lanzamiento de una una moneda
Duración de un equipo electrónico electrónico
Cuál es la probabilidad de sacar al azar un As de una baraja de cartas? Ya que hay 52 cartas en la baraja (resultados posibles), y 4 son Ases (resultados favorables o “éxitos”), la probabilidad es 4/52 = 0.0769.
El mismo principio puede aplicarse al problema de determinar la probabilidad de obtener diferentes totales de suma de un par de dados. Como se muestra, hay 36 resultados posibles cuando se lanza un par de dados.
EVENTO: Para calcular la probabilidad de que la suma de dos dados sea 5, se calcula el número de resultados que suman 5: 1,4;
2,3;
3,2;
4,1
Ya que son 4 “éxitos”, se procede a dividir entre el número total de resultados posibles (36). Entonces, la PROBABILIDAD de que dos dados sumen 5 al ser lanzados simultáneamente es: 4/36 = 1/9 = 0.1111
CONTENIDO: Probabilidad Básica. Espacio muestral. Probabilidad de un evento. Probabilidad condicional.
CAPACIDADES:
Determina el espacio muestral y eventos en experimentos aleatorios. Calcula probabilidades de eventos empleando propiedades y axiomas.
ACTIVIDADES
CONTENIDO PROBABILIDADES EXPERIMENTO ALEATORIO Es aquel cuyo resultado depende del azar y cumple ciertas características: Que sea repetible en igualdad de condiciones Que se puede describir el conjunto de todos los resultados posibles aunque no se pueda asegurar un resultado en particular. Si se repite un número grande de veces debe aparecer cierta regularidad estadística
EXPERIMENTO: es cualquier ensayo u observación de un fenómeno. EXPERIMENTO ALEATORIO( E): es un experimento en que los fenómenos pueden o no ocurrir. Ejemplo E: el lanzamiento de una moneda o dado y se observa lo que cae. CONDICIONES Y CARACTERISTICAS DE UN EXPERIMENTO (E): 1. Por mas que se repita un experimento un numero grande de veces las condiciones en que se realiza dicho experimento nunca cambian. 2. Aunque no se conoce el resultado exacto de un experimento si se puede conocer los resultados posibles.
3.
En los primeros resultados de un experimento estos se van a manifestar de una manera caprichosa, pero a medida que va repitiendo el experimento un gran numero de veces estos resultados se van a manifestar mediante un modelo teórico, mediante el cual se construye un modelo matemático , con el cual se describe o analiza todo el experimento.
PROBABILIDADES ESPACIO MUESTRAL: Conjunto de posibles resultados del experimento
FINITO:
INFINITO:
Jugar a la tinka hasta ganar
PROBABILIDADES • Repetible en igualdad EXPERIMENTO ALEATORIO (E)
de condiciones. • Se describe todos los resultados posibles. • Si se repite n veces debe aparecer regularidad.
ESPACIO MUESTRAL ( Ω)
• Conjunto de todos los
posibles resultados de un E.
• Subconjunto del Ω. SUCESO O EVENTO (S)
• Posibles • Seguros • Imposibles
ESPACIO MUESTRAL(S): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Para un experimento solo existe un espacio muestral. Ejemplo: E: lanzamiento de un dado y observar el numero que cae. S: 1,2,3,4,5,6 E: lanzamiento de tres monedas una sola vez S: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss E: lanzar una moneda tres veces. S: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss Nota. Si tienen espacios muestrales idénticos se dice que los experimentos son idénticos.
E. Numero de tiradas de una moneda hasta que aparezca el primer sello. S:
1,2,3,4,5,6,7,……
S, es infinito
E. Lanzar dos monedas una vez S: cc, cs, sc, ss TIPOS DE ESPACIO MUESTRAL FINITO: E: pesos de cierto numero de personas. INFINITO: E: los números naturales
SUCESO O EVENTO: Es cualquier subconjunto del espacio muestral S. Ejemplo: sean los experimentos Experimento: lanzar una moneda 3 veces. Espacio muestral S: S: ccc,ccs,csc,scc,ssc,scs,css,sss Suceso o evento A: segunda tirada de la moneda cae cara A: ccc,ccs,scc, scs
Ejemplo: 1.Experimento: se hace rodar un dado y se observa el numero que aparece en la parte superior. Espacio muestral: S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 Evento A: A: obtener un numero par A= 2, 4, 6 2.Experimento: arrojar una moneda cuatro veces y contar el numero de total de sellos obtenidos Espacio muestral: S = 0, 1, 2, 3, 4 Suceso o evento B: B : obtener mas de dos sellos
ALGEBRA DE CONJUNTOS
1. CONJUNTO: Colección de objetos bien definidos 2. CONJUNTO NULO O VACÍO: Conjunto que no tiene elementos 3. CONJUNTO UNIVERSAL: Conjunto que contiene todos los elementos del mismo tipo 4. COMPLEMENTO DE A (con respecto a ): AC Conjunto de elementos que están en pero no en A. 5. UNIÓN DE A y B: A B Es el conjunto de los elementos que están en A o B o ambos 6. INTERSECCIÓN DE A y B: A B Es el conjunto de los elementos que están en A y B
Propiedades elementales de probabilidad 1.
Dado algún proceso con n resultados mutuamente excluyentes, E1, E2, ..., En la probabilidad de cualquier evento Ei, es un número entre 0 y 1. Es decir:
0 P (Ei) 1 Un valor de 0 significa que el evento es imposible, no puede ocurrir Un valor de 1 significa que el evento es seguro, definitivamente ocurrirá 2.
La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es igual a 1.
P (E1) + ... + P (En) = 1 Esta es la propiedad de exhaustividad .
PROBABILIDADES 1. la teoría clásica
Definición: La probabilidad de un evento es el número de resultados favorables (éxitos) dividido entre el número total de resultados posibles.
Esta definición de probabilidad está dada en términos de una Frecuencia Relativa (es decir, es una proporción). NUMERO DE CASOS FAVORABLES AL EVENTO
P (E) = --------------------------------------------------------NUMERO DE CASO POSIBLES
Ejemplo1: se tiene el siguiente experimento aleatorio E: lanzamiento de dos monedas al aire. a) Calcule el espacio muestral b) plantee el evento A si sale solo una cara c) cual es la probabilidad de que salga una cara Ejemplo2: halle la probabilidad de sacar un REY al extraer una carta de una baraja de 52 cartas. Ejemplo3: Si se lanza una moneda tres veces. Calcular la probabilidad que ocurran: a) solo dos caras b) dos caras consecutivas.
2. La teoría de la frecuencia relativa f i hi = --------n Como: 0<= f i<= n 0<=f i/n<=1 0<=hi<=1
Ejemplo1: Se tiene información acerca de los cargos y el sexo del personal de cierta empresa.
Cual es la probabilidad de que al seleccionar un trabajador, este sea: a) Contador y sea hombre b) Abogado y mujer c) Mujer d) Sabiendo que el trabajador es ingeniero, ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? e) Sabiendo que el trabajador sea mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea abogado?
Ejemplo2: Localice todos los valores de probabilidad asociados a la siguiente tabla que ofrece información sobre hipertensión y el habito de fumar. No fumador Fumadores moderados Hipertensos No hipertensos
10 30
20 15
Fumador empedernid o 15 10
Si se selecciona aleatoriamente uno de los pacientes, encuentre la probabilidad de que la persona sea: a) Fumadora moderada. b) no hipertensa. c) no hipertensa ni fumadora. d) hipertensa y fumadora empedernida. e)sabiendo que el paciente no fuma ¿Cuál es la probabilidad de que sea hipertensa. f) sabiendo que el paciente es hipertenso ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador empedernido
3. La teoría subjetiva Se refiere a la posibilidad de que un evento particular ocurra, que es asignada por un individuo basándose en la información que tenga disponible y en su propia experiencia o presentimientos. Como ejemplo son las apuestas en eventos atléticos o deportivos o la estimación del futuro de una acción.
AXIOMAS DE PROBABILIDAD 1. 0 <= P(Ai) <= 1 , AI : Eventos 2. P(S) = 1 3. Si A1 excluye a A2 entonces A1 A2 = Ф p( A1 A2) = P(A1) + P(A2) PROPIEDADES DE PROBABILIDADES 1. P(A Ф) = P(A) probabilidad de una suceso imposible es cero P(Ф) = 0. 2. P(AC ) = 1-P(A) 3. Si A y B son sucesos en S no necesariamente excluyentes entonces P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ejemplo: Si se toma una sola carta de una baraja encuentre la probabilidad de que sea roja o figura( jota, reina y rey).
PROBABILIDAD DE LA ADICION DE SUCESOS
Si A y B son dos sucesos que se definen en el mismo espacio muestral y AUB diferente de 0, entonces la probabilidad que A ó B o ambos ocurran, es la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su ocurrencia conjunta. P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB) Ejemplo: en una empresa comercial trabajan 8 hombres y 18 mujeres, de las cuales la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres han nacido en lima. Hallar la probabilidad de que un trabajador elegido al azar sea hombre o que haya nacido en lima.
PROBABILIDAD CONDICIONAL 5. propiedad: sean A y B dos sucesos en S. indicaremos con P(B/A) la probabilidad condicional del suceso B, dado que A ha ocurrido, así: P(A B) P(B/A) = ------------- , 0 < P(A)<= 1 P(A) Ejemplo1: En una poblacion de pacientes hospitalizados, la probabilidad de que uno de ellos, elegidos aleatoriamente, tenga problemas cardiacos es de 0.35. la probabilidad de que un paciente sea fumador dado que sufre problemas cardiacos es de 0.86. ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente elegido al azar de entre la poblacion sea fumador y
Ejemplo2: Durante un estudio de accidentes automovilísticos, la PNP encontró que el 60% de los accidentes sucede de noche, 52% están relacionados con conductores alcohólicos y 37% se presentan de noche y con conductores ebrios. ¿ cual es la probabilidad de que un accidente este relacionado con un conductor alcoholizado dado que sucedió de noche?. Ejemplo3: En un sistema de alarma, la probabilidad que se produzca un peligro es 0.10. si este se produce, la probabilidad que la alarma funcione es de 0.95, la probabilidad que funcione la alarma sin haber peligro es 0.03. determine la probabilidad que haya un peligro y la alarma no funcione.
Ejemplo4: En una universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%, si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: a) Sea un estudiante varón b) Sea un estudiante varón, si es de ciencias. c) Sea un estudiante de ciencias, si es varón. d) Sea un estudiante de ciencias y varón
PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES Dos eventos son independientes si el resultado de uno no afecta al otro. 1. Propiedad ley de la multiplicación. P(A B) = P(A) . P(B) si y solo si A y B son eventos independientes. Con P(A) y P(B) diferentes de cero 2. P(B/A) = P(B) 3. P(A/B) = P(A)
Ejemplo1: La probabilidad de que un comerciante venda dentro de un mes un lote de refrigeradoras es 1/4 y la probabilidad de vender un lote de cocinas dentro de un mes es de1/3. hallar la probabilidad de: a)Venda los dos lotes de artículos dentro de un mes b)Venda ninguno de los artículos dentro de un mes c)Solamente venda el lote de refrigeradoras dentro de un mes
La probabilidad de que un hombre viva dentro de 25 años es 3/5 y la probabilidad de que su esposa viva dentro de 25 años es 2/3. halle la probabilidad de que : a) Ambos vivan b) Viva solamente el hombre c) Viva solamente la mujer Ejemplo2: Sean A y B dos eventos independientes, tales que la probabilidad que ocurran simultáneamente es de 1/6 y la probabilidad que ninguno ocurra es de 1/3. encuentre P(A) y P(B).
Introducción NORMAL DISTRIBUCION Una de las herramientas de mayor uso en las empresas es la utilización de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización. En este sesión se describe la relación de la Distribución normal con la Distribución normal estándar. Se utilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre la determinación de probabilidades y sus aplicaciones. La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss".
.
Distribución Normal
CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL
La curva de la distribución normal tiene forma de campana. El área bajo la curva es igual a 1 Es simétrica con respecto a la media de la distribución. Es mesocrática Decrece uniformemente en ambas direcciones
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA INTRODUCCION: La distribución de una variable continua esta relacionado con el histograma y polígono de frecuencias, es decir esta relacionado con su forma. En este capitulo veremos la distribución de probabilidades, es decir el espacio de probabilidades de una variable.
DISTRIBUCION NORMAL DE PROBABILIDAD El modelo de probabilidad mas frecuentemente usado en el analisis económico y comercial, es la distribución normal que puede expresarse en forma general y estandarizada. se dice que una variable x tiene una distribución normal general si es continua, si existen las constantes (oo<<+oo) y σ (σ>0) y si su función de densidad es dada por la siguiente expresión.
X
2
N (, ) y σ es la media y la desviación estándar de la variable normal, e = 2.718 π= 3.142. Características: 1. Es simétrica con respecto a la media de la distribución. Si se corta la curva normal verticalmente en este valor central, ambas mitades serán como imágenes en el espejo. 2. El área total bajo la curva normal es igual a uno 3. La media, mediana y la moda son iguales y están localizados al centro de la curva.
La curva se extiende indefinidamente en ambas direcciones, nunca llega a tocar el eje x. 5. Cada distribución es especificada por su media y su desviación estándar 4.
x
N(,
)
AREAS BAJO LA CURVA
1.
2. 3.
Aproximadamente el 68% del área bajo la curva normal esta entre la media mas una desviación estándar y menos una desviación estándar(+- σ) Aproximadamente el 95% el área bajo la curva esta entre (+- 2σ). Aproximadamente el 99% del área bajo la curva esta entre (+- 3σ). 1z 1
2
2
2
Ejemplo1: En una poblacion la estatura media es 70pulg y la desviación estándar es 3 pulg con distribución normal. Calcular: a. Que porcentaje miden mas de 70pulg. b. Cual es la probabilidad que la estatura sea mayor que 70 pulg c. Que probabilidad es que sea menor a 70 pulg. d. Que probabilidad es de que la estatura este entre 70 y 76 pulg
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR Es un caso particular de la distribución normal y que se obtiene mediante el cambio de variable.
x- Z= --------
,
z
N (0 , 1)
σ
Y su función de densidad reducida es: f(z) =
1 2
1z
2
2
, -oo< Z<+oo
Ejemplos1: Calcular a) P( z < 1.25) b) P(z < 0) c) P( z > 2.43 ) d) P( 0 < z < 2.5) e) P( z > -1.25) f) P(-2.45 < z < -0.25) Solución:
Ejemplo2: Cual es la probabilidad de que la estatura este entre 70 y 76 pulgadas (caso d) del ejemplo anterior). Ejemplo3: Sea x una v.a. con distribución N( 5 , 4). Cuál es la probabilidad a) de que x tome valores entre 4 y 7 b) De que x tome valores mayores que 10. Ejemplo4: Sea x una v.a. N( , 25). Calcular P(Іx- І> 3) Ejemplo5: Si x es una v.a. N(650,625) hallar la constante c>0 tal que P(Іx- 650І<= c) = 0.9544
INFERENCIA ESTADISTICA Es el proceso por medio del cual se obtienen conclusiones probabilísticas en relación a una poblacion al valerse de la información proporcionada por una muestra de esa poblacion.
INFERENCIA ESTADISTICA Puntual Estimación
Inferencia Estadística
Por Intervalos Prueba de Hipótesis
ESTIMACION DE PARAMETROS Aquí estudiaremos la manera de estimar parámetros de la distribución de una variable aleatoria a partir de una muestra aleatoria de esta. Veremos dos formas de estimar parámetros: I. puntualmente II. por intervalos
ESTIMACIÓN Técnicas de muestreo POBLACIÓ N
MUESTR A
Estadísticos
Parámetros
Inferencia Estimación
2
p
p
2
X
s
X f x , , s 2
2
p
p
ˆ
ˆ
e
x
2
ESTIMACION ESTIMACION PUNTUAL
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
INSESGADO
EFICIENTE
CONSISTENTE
SUFICIENTE
Existen muchas situaciones por las cuales es preferible determinar un intervalo dentro del cual se esperaría encontrar el parámetro poblacional. Tal intervalo se conoce como una estimación por intervalo.
I. ESTIMACION PUNTUAL Es un solo valor numérico que proporciona sus respectivos estimadores de punto que se calcula considerando los datos muestrales, es decir, se usan las medidas de la muestra para calcular un único valor numérico que es la estimación del parámetro poblacional. Parametro Estimador puntual x media aritmética x n
i
_
i 1
n
_
n
p
( x i
2 s
2
p
x )
i 1
a n
2
varianza
n 1
proporción
Sin embargo es necesario que cada estimador puntual cumpla con algunos requisitos deseables como ser: INSESGADO.- Es decir, la media aritmética de todas las posibles estimaciones puntuales del estimador del parámetro que pueden obtenerse debe ser igual al parámetro de la poblacion. CONSISTENTE.- nos indica que conforme se incrementa el tamaño de muestra la estimación puntual del estimador se acerca cada vez mas al parámetro de la poblacion. EFICIENTE.- el estimador debe tener varianza mínima. SUFICIENTE.- El estimador debe contener toda la información de la muestra.
Ejemplo1: Se tiene el interés de estimar el gasto promedio mensual en movilidad del personal auxiliar de enfermería del hospital Cayetano Heredia. Para tal efecto se recurre a una muestra aleatoria de 15 auxiliares de enfermería y se obtiene los siguientes resultados: 100, 150, 200, 160, 180, 200, 120, 160, 180, 200, 180, 120, 170, 190, 180.
Solución: u : gasto promedio mensual en movilidad de todas las auxiliares de enfermería(parametro poblacional). X : estimador puntual del parámetro Calculando: _
n
_
x
x i 1
n
i
= 166; entonces podemos decir que el
gasto promedio mensual en movilidad de todas las auxiliares de enfermería es de 166.
Nota: Sin embargo, este valor no se considera estable porque si sacamos otras muestras del mismo tamaño se van a obtener resultados diferentes. Por consiguiente, la alternativa es construir un intervalo de tal manera que el parámetro se encuentre dentro de dicho intervalo con un grado de seguridad (nivel de confianza). Ejemplo2: Se desea estimar la proporción de desnutridos menores de 5 años de una determinada comunidad. Para tal efecto se selecciona una muestra de 100 niños menores de 5 años y se determina que 45 están desnutridos. Solución: En este caso estamos interesados en estimar una
P
A
N
A: numero de niños desnutridos <5 años en la poblacion. N: numero de niños < 5 años en la poblacion.
El estimador que proporciona buenas estimaciones de este a parámetro esta dada por
p
n
a : numero de niños desnutridos < 5 años en la muestra n: tamaño de la muestra Calculando: p = 45/100 = 0.45
Este valor nos indica que la proporción estimada de
II. ESTIMACION INTERVALICA Consiste en encontrar dos valores(con datos muestrales) L1 y L2 que definen un intervalo y se espera con un cierto grado de seguridad que dicho intervalo contenga al parámetro poblacional. L1 < u < L2 A. ESTIMACION INTERVALICA PARA LA MEDIA POBLACIONAL (u) _
X k
_
X
L1:
_
X k _
confiabilidad X k
L2 : Entonces:
_
X _
X
;
k:
coeficiente
de
a) CUANDO EL MUESTREO SE REALIZA A PARTIR DE UNA DISTRIBUCION NORMAL CON VARIANZA CONOCIDA. _
X Z
1
; se sabe que
_
_
X
X
2
n
Entonces: _
X Z
1
2
n
_
L1:
X Z
1
2
n
_
L2 :
X Z
1
2
n
Por tanto el parámetro u estará entre: L2
L1 < u <
Notaciones: α : probabilidad 0< α < 1 ( 1- α) : coeficiente de confianza Equivalencias: ( 1- α)
α
Z
1
0.90
0.10
1.65
0.95
0.05
1.96
0.99
0.01
2.58
2
ejemplo1: Un fisioterapeuta desea estimar con 99% de confianza, la media de fuerza máxima de un musculo particular en cierto grupo de individuos. Se inclina a suponer que los valores de dicha fuerza muestran una distribución aprox. normal con una varianza de 144. Una muestra de 15 individuos que participaron en el experimento presentó una media de 84.3 Solución: Interpretación de resultados: Practica: con el 99% de confiabilidad estará la media poblacional entre L1 y L2. Probabilística: de 100% de los intervalos que se han estimado el 99% de los intervalos contiene la media poblacional.
PRECISION - MARGEN DE ERROR - ERROR DE ESTIMACION. La precisión o el error de estimación se calcula mediante este algoritmo. Z
1
2
n
Ejemplo 2: Un equipo de investigadores esta interesado en la puntualidad de los pacientes en las citas concertadas. En un estudio de flujo de pacientes en consultorios de médicos generales se encontró que una muestra de 35 pacientes llegaba 17.2 minutos tarde a las citas en promedio. Una investigación previa había demostrado que la desviación estandar era de 8 minutos aproximadamente. Se tuvo una sensación de la distribución de la poblacion no era normal. ¿cual es el intervalo con 90% de confianza para el promedio real de impuntualidad en las citas?
B.- CON VARIANZA DESCONOCIDA (σ NO SE CONOCE Y n >= 30) _
X Z
s 1
s : estimador de la varianza σ Entonces: L1: X Z _
L2:
2
n
s 1
2
_
X Z
1
n s
n
ejemplo 3: Se pretende estimar la concentración media de bilirrubina indirecta en el suero en niños de cuatro días de nacidos. La media para una muestra de 49 niños es de 5.98 mg/100cc y una desviación estándar de 3.5mg/100cc. Construya los intervalos de confianza para 90%, 95% y 99%. Solución: 2
C.- CON
VARIANZA DESCONOCIDA y n < 30 _
X t n 1
s n
Entonces: _ s L1 : X t n 1
n
_
L2 : X t n 1
s n
;
donde t n 1 sigue la distribución t-student con n-1 grados de libertad. Ejemplo 4: El diámetro final de un cable eléctrico blindado es distribuido normalmente. Una muestra de tamaño 20 produce una media 0.790 y una desviación típica muestral 0.010 . Encontrar el intervalo de confianza del 95% para μ. Solución:
B. ESTIMACION INTERVALICA PARA UNA PROPORCION POBLACIONAL L1 < P < L2 p Z
1
p(1 p)
L1: p Z
1
L2:
2
p(1 p) n
2
p(1 p)
p Z
1
n
2
n
Ejemplo 5: Se desea estimar la proporción de niños desnutridos menores de 5 años de una determinada comunidad, para tal efecto se selecciona una muestra de 100 niños menores de 5 años y se determina que 45 están desnutridos. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la proporción proporcional? Solución:
