DIFERECIALES Y DIFERENCIAL TOTAL La diferencial de y = f (x) se se definió como: dy f ( x)dx Para funciones z = f (x, y) de de dos variables se va a utilizar una terminología similar. similar. Esto es, x y y son los incrementos de x e e y , y el incremento de z viene viene dado por: z f ( x x, y y) f ( x, y) DEFINICION DE DIFERENCIAL TOTAL Si z=f(x,y) es una función de dos variables y x y y son los incrementos de x e y, las diferenciales de las variables independiente x e y son dx x y dy y y la diferencial total de la variable dependiente z es. z
dz
x
dx
z y
dy fx( x, y)dx fy( x, y)dy
Esta definición se extiende de manera obvia a funciones de tres o más variables. Así, si w=f(x,y,z,u), entonces dx Δx , dy Δy , dz z , du z y la diferencial total de w es: dw
w x
dx
w y
dy
w z
dz
w u
du
Esta definición es sencilla de aplicar. Ejemplo 1: Hallar la diferencial total de z dz para z 4 x 2 y 2 . Solución: dz
z x
dx
z y
dy fx( x, y )dx fy( x, y )dy
Derivando parcialmente para aplicar la definición se tiene: x
dz
4 x
2
y
2
dx
y
4 x
2
y
2
dy
Ejemplo 2: Utilizar la diferencial para estimar el cambio de z 4 x 2 y 2 Cuando (x, y) se se desplaza desde el punto (1, 1) hasta el punto (1.01, 0.97). 0. 97). Comparar esta aproximación con el cambio exacto de z. Solución: Haciendo ( x, y) (1,1) y ( x x, y y) (1.01,0.97) Tenemos que: dx x 0.01 y dy y 0.03 Así pues, el cambio de z puede estimarse como z
dz
dz z x
x
z y
y
x
z
4 x
2
y
y
x
2
4 x
2
y
2
y
Cuando x =1 e y = 1, se tiene: z
1
2
(0.01)
1 2
(0.03)
0.02 2
0.0141
Esto es Aproximando z por dz
Por otro lado, vemos que el cambio exacto corresponde a la diferencia altura entre dos puntos de la superficie diferencia que viene dada por: z f ( x x, y y) f ( x, y) z f (1.01,0.97)
z z
f (1,1)
4 (1.01) 2 (0.97) 2
4 12 12
0.0137 Este es el valor exacto.
Al comparar los valores de 0.0141 y 0.0137 se puede notar que estos valores son bastantes cercanos y lo serán más, en la medida que x y 0 . Ejemplo 3: El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es de 0.1 mm y las dimensiones de la caja son son x= 50cm, y=20cm, z= 15cm. Usar el diferencial diferencial de volumen dv para estimar estimar el error propagado, el error relativo relativo y el error porcentual en el volumen calculado de la caja. Solución:
V xyz xyz Volumen de la caja v v v dv dx dy dz yzd yzdx xzdy xydz x y z Como 0.1mm 0.01cm y además dx dy dz
0.01cm
Entonces el error propagado de la caja viene dado por:
dv yzd yzdx xzdy xydz dv
20.50cm
3
.
20(15)( 0.01)cm
3
50(15)( 0.01)cm
3
50(20)( 0.01)cm
3
Pero el volumen medido es: V=50(20)(15)cm3=15000cm3. Por lo tanto:
E dv 20.5cm 3 dv 20.5 0.00136666 0.0014 b)El error relativo Er v 15000 dv 20.5 c) El percentaje de error Ep ( )100 ( )100 0.014% v 15000 a)El error
