Ser i es d e Fo u r i er
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Aplicaciones", Genaro González
1
La prim pr ime era seri serie e de Fouri ou rie er de d e l a hist hi stor oria ia Euler 1744 Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
f (t ) =
π − t
sen(t ) +
2
∞
sen(nt )
=∑ n =1
n
sen(2t ) sen(3t ) 2
+
3
= + ...
¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π /2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica.
2
La prim pr ime era seri serie e de Fouri ou rie er de d e l a hist hi stor oria ia Euler 1744 Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
f (t ) =
π − t
sen(t ) +
2
∞
sen(nt )
=∑ n =1
n
sen(2t ) sen(3t ) 2
+
3
= + ...
¿Es cierto? Observemos que en t = 0 hay problemas → π /2 = 0 ¡¡ La clave está en el concepto de función periódica.
2
Funci un cion one es Periód ri ódic ica as Una función funci ón periód periódica ica f(t) cumple que para todo valor de t : f(t) = f(t + f(t + T). T). Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + f(t + nT), nT), donde n = 0, ± 1, 1, ± 2, ± 3,... 3,... Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
3
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
f(t) = cos ( 3t ) + cos ( 4t )? Si f(t) es periódica se debe cumplir: f(t + T) = cos ( t +3T ) + cos ( t +4T ) = f(t) = cos ( 3t ) + cos ( 4t )
Como cos(t + 2k π ) = cos(t) para cualquier entero k , entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k 1π y T/4 = 2k 2 π . Es decir: T = 6k 1π = 8k 2 π con k 1 y k 2 enteros. El valor mínimo de T se obtiene con k 1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π .
4
f(t) = cos ( 3t ) + cos ( 4t )
Gráfica de la función 3 2
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
T
1 ) t ( f 0
-1 -2 -3
24π 0
50
100
150
200
t 5
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos( ω 1t) + cos( ω 2 t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: ω 1T = 2 π m y ω 2 T = 2 π n. Es decir, que cumplan: T = m/ (2 π ω 1 ) = n/ (2 π ω 2 )
ω 1 m = ω 2 n
6
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos(( π +3)t) tenemos que 3 ω 1
ω2
¿Es periódica?
=
3+ π
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
2
1 ) t ( f
0
-1
-2
0
5
10
15
t
20
25
30 7
Para que exista periodicidad
ω 1 / ω 2 debe ser
un número racional (n/m). Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: 1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero. 2) f(t) = sen2 (2 π t) 3) f(t) = sen(t) + sen(t + π/2 ) 4) f(t) = sen( ω 1t) + cos( ω2 t) 5) f(t) = sen( √ 2 t)
8
Si f 1(t) tiene periodo T1 y f 2(t) tiene periodo T2, ¿es posible que f 1(t) + f 2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)? T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
9
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos . Sea N un entero, y definamos:
⎧ sen(2 N π t ), 0 ≤ t ≤ 1 ⎪ N f 1 (t ) = ⎨ 1 ⎪ 0, < t < 1 N ⎩
⎧0, ⎪ f 2 (t ) = ⎨ ⎪ sen(2 N π t ), ⎩
0 ≤ t ≤ 1 N
1 N
< t < 1
extendida periódicamente con T = 1:
extendida periódicamente con T = 1:
f 1 (t ) = f 1 (t + 1),
f 2 (t ) = f 2 (t + 1),
− ∞ < t < +∞
− ∞ < t < +∞
, 0 ≤ t < 1 ⎧ sen(2 N π t ) f 1 (t ) + f 2 (t ) = ⎨ ⎩ f 1 (t + 1) + f 2 (t + 1), − ∞ < t < +∞ 2π 2π 1 T = = = ω 2 N π N
10
¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
⎧1 f 1 (t ) = ⎨ ⎩0
si t es un entero si t no es un entero
⎧1 f 1 (t ) = f 1 (t + T ) = ⎨ ⎩0 ⇒ T = 1
si t y t + T son enteros si t y t + T no son enteros
11
⎧1 f 2 (t ) = ⎨ ⎩0
si t es racional pero no un entero si t es irracional o es un entero
⎧1 f 2 (t ) = f 2 (t + T ) = ⎨ ⎩0 ⇒ T = 1
si t y t + T son racionales pero no enteros si t y t + T son irracionales o enteros
⎧ 1 si t es racional f 1 (t ) + f 2 (t ) = ⎨ ⎩ 0 si t es irracional T=?
12
π − t
Volvamos al resultado de Euler:
2
= sen t +
sen(2t ) sen(3t ) 2
+
3
+ ...
⎧⎪S (t ) = eit + ei 2t + ei 3t + ... ⎨ it ⎪⎩e S (t ) = ei 2t + ei 3t + ...
¿Cómo lo alcanzó? Utilizando la fórmula de Euler para cada término:
S (t ) =
e it 1− e
it
1
1 sen t
2
2 1 − cos t
= − +i
S (t ) = e it + e i 2t + e i 3t + ... = cos t + cos(2t ) + cos(3t ) + ... + i { sen t + sen( 2t ) + sen(3t ) + ...} 1
− Integrando 2 término a término: Particularizamos t para encontrar C :
sen t + t =
π 2
sen(2t ) sen(3t )
+
2 1
1
3 1
3
5
7
+ ... = −
1 2
t + C
π
π
4
2
→ 1 − + − + ... = − + C ; C =
π
13
π − t 2
π + t 2 t 2
+
= sen(− t ) +
π 2
= sen t +
sen(2t ) sen(3t )
+
2
3
sen(−2t ) sen(−3t )
= − sen(t ) −
+
2 3 sen(2t ) sen(3t ) 2
−
3
+ ...
+ ...
− ...
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
14
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2 π. (2) La serie es una función impar. No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros. (3) En el intervalo 0 < t < 2 π, la serie aproxima a ( π- t)/2 . Pero no fuera del intervalo... (4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"... Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier... 15
16
17
18
Joseph Fourier En diciembre de 1807 Joseph Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler.
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
19
20
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
∂ u 1 ∂u = 2 ∂ x k ∂t 2
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio. Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,... 21
Serie trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier f (t ) = 12 a0 + a1 cos(ω 0t ) + a2 cos(2ω 0t ) + a3 cos(3ω 0t ) + ... ... + b1 sen(ω 0t ) + b2 sen( 2ω 0t ) + b3 sen(3ω 0t ) + ...
Donde ω 0 = 2 π /T se denomina frecuencia fundamental.
f (t ) = 12 a0 +
∞
∑ [a n 1
n
cos( nω 0t ) + bn sen(nω 0t )] 22
π − t 2
= sen t +
f (t ) = a0 + 1 2
sen(2t ) sen(3t )
∞
∑ [a
n
2
+
3
+ ...
cos( nω 0t ) + bn sen(nω 0t )]
n =1
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ... b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,... 23
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
f(t) = 12 a0 +
∞
∑ [a
n
cos (nω0t) + bn sen(nω0t) ]
n =1
Necesitamos calcular los coeficientes a0 ,a1,a2 ,...,b1,b2 ,... Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno. 24
Ortogonalidad Se dice que las funciones del conjunto {f k (t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera f m(t), f n(t) de dicho conjunto cumplen:
⎧0 ∫a f m(t)f n(t)dt = ⎨⎩ r n b
≠n m=n
para m para
25
Ejemplo: las funciones t y t 2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que: 1
1
4
t
∫ t t dt = ∫ t dt = 4 2
−1
3
−1
1
=0 −1
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –π < t <π , ya que π
∫ sent cos tdt =
−
π
2
sen t 2
π
=0 −
π
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad? 26
Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T / 2 < t < T / 2 :
{1, cos( ω0 t), cos(2 ω 0 t), cos(3ω 0 t),..., sen( ω 0 t), sen2 ω0 t, sen3ω 0 t,...} con ω 0 = 2 π/Τ .
27
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
ω0= 2π/Τ
1.- f(t) = 1 vs. cos(mω 0 t): T/ 2
∫ 1cos (m
ω
0
t)dt =
sen(mω0t)
−T/ 2
=
2 sen(mω0T/ 2 ) mω0
=
mω0 2 sen(mπ ) mω0
T/ 2
= −T/ 2
=0
Ya que m es un entero. 28
2.- f(t) = 1 vs. sen(mω 0 t): T/ 2
∫1 sen(m
ω
0
t)dt =
− cos (m
ω
0
t)
mω0
−T/ 2
=
ω0= 2π/Τ
−1 mω0
T/ 2
= −T/ 2
[ cos (mω0T/ 2 )- cos (mω0T/ 2 )] = 0
3.- cos(mω 0 t) vs. cos(nω 0 t):
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] cos2θ = ½ (1+cos2θ)
⎧ 0 cos(mω 0 t)cos(nω 0 t)dt = ⎨ ∫ ⎩T / 2 −T / 2 T / 2
para m ≠ n para m = n ≠ 0 29
4.- sen(mω 0 t) vs. sen(nω 0 t): T/ 2
∫ sen(m
ω
0
⎧ 0 0t)dt = ⎨ ⎩T/ 2
t)sen(nω
−T/ 2
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2θ)
para m ≠ n para m = n ≠ 0
5.- sen(mω 0 t) vs. cos(nω 0 t): sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)] T/ 2
∫ sen(m
ω
0
t) cos (nω0t)dt = 0 para cualquier m,n
−T/ 2
30
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie? Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos( ω 0 t), cos(2 ω 0 t), cos(3ω 0 t),..., sen( ω 0 t), sen2 ω 0 t, sen3ω 0 t,...}
con ω 0 = 2 π/Τ , en el intervalo -T / 2 < t < T / 2 , para calcular los coeficientes a 0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:
f(t) = 12 a0 +
∞
∑ [a n =1
n
cos (nω0t) + bn sen(nω0t) ] 31
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(mω 0 t) e integrando de –T/2 a T/2 , obtenemos: T / 2
∫
0, si m
T / 2
f (t ) cos( mω 0t ) dt = 12 a0
−T / 2
∫ cos (m
ω
0
≠
0
t)dt +
−T / 2
∞
T / 2
∑ a ∫ cos (n n
n =1
−T / 2
∞
T / 2
∑ b ∫ sen(n n
n =1
ω
0
t) cos (mω0t)dt +
0, si m ≠ 0 T/2, si m = n
0 ω
0
t) cos (mω0t)dt
−T / 2
T / 2
am
=
2 T
∫ f (t ) cos( m ω t ) dt 0
− T / 2
m
= 1,
2 , 3,... 32
Observa que el caso anterior no incluye a a0 , m = 0 que debemos tratar a parte: T / 2
∫
f (t ) cos( mω 0t ) dt = 12 a0
−T / 2
ω
T / 2
∑ a ∫ cos (n n
n =1
−T / 2
∞
T / 2
∑ b ∫ sen(n n
n =1
2
∫ cos (m
0
t)dt +
−T / 2
∞
1
T, si m = 0
T / 2
ω
0
t) cos (mω0t)dt +
0, si m ≠ 0 T/2, si m = n
0 ω
0
t) cos (mω0t)dt =
−T / 2
a0T
a0
=
2
T / 2
∫ f (t ) dt
T −T / 2
33
Similarmente, multiplicando por sen(mω 0 t) e integrando de –T/2 a T/2 , obtenemos: T / 2
∫
f (t ) sen(mω0t) dt = 12 a0
−T / 2 ∞
0
T / 2
∑ a ∫ cos (n n
n =1
−T / 2
∞
T / 2
∑ b ∫ sen(n n
n =1
0
T / 2
ω
0
ω
0
∫ sen(m
ω
0
t)dt +
−T / 2
t)sen(mω0t)dt +
t)sen(mω0t)dt
0, si m ≠ 0 T/2, si m = n
−T / 2
T / 2
bm
=
2 T
∫ f (t ) sen ( mω t )dt 0
−T / 2
m
= 1,
2, 3,... 34
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T : f(t) 1
...
-T / 2
0
T / 2
T ...
t
-1
La expresión para f(t) en –T / 2 < t < T / 2 es:
⎧− 1 f (t ) = ⎨ ⎩1
para − T 2 < t < 0 para 0 < t <
T 2
ω 0 = 2 π/Τ 35
Coeficiente a0: T / 2
⎧− 1 f (t ) = ⎨ ⎩1
para − T 2 < t < 0 para 0 < t <
T 2
a0
= T 1
∫ f (t )dt
−T / 2
0 T / 2 0 T / 2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 2 2 + t ⎥ = 0 a0 = T ⎢ ∫ − dt + ∫ dt ⎥ = T ⎢− t ⎢⎣ −T / 2 0 ⎥ ⎦ 0 ⎣−T / 2 ⎦
36
Coeficientes an: ⎧− 1 f (t ) = ⎨ ⎩1
para − T 2 < t < 0 para 0 < t <
T 2
T / 2
an
= T 2
∫ f (t ) cos(nω t )dt 0
−T / 2
0 T / 2 ⎡ ⎤ 2 an = T ⎢ ∫ − 1 ⋅ cos(nω 0t )dt + ∫ 1 ⋅ cos(nω 0t ) dt ⎥ 0 ⎣−T / 2 ⎦ 0 T / 2 ⎤ ⎡ 1 1 = T 2 ⎢− + sen(nω 0t ) sen(nω 0t ) ⎥ = 0 nω 0 ⎢⎣ nω 0 −T / 2 0 ⎥ ⎦
para n ≠ 0
37
Coeficientes bn: ⎧− 1 f (t ) = ⎨ ⎩1
T / 2
para − T 2 < t < 0 para 0 < t <
T 2
bn
= T 2
∫ f (t ) sen(nω t )dt 0
−T / 2
0 T / 2 ⎡ ⎤ 2 bn = T ⎢ ∫ − sen( nω 0t ) dt + ∫ sen(nω 0t )dt ⎥ = 0 ⎣−T / 2 ⎦ 0 T / 2 ⎡ ⎤ 1 1 2 cos(nω 0t ) cos(nω 0t ) = T ⎢ − ⎥ nω 0 ⎢⎣ nω 0 −T / 2 0 ⎥ ⎦
=
1
[(1 − cos(nπ )) − (cos(nπ ) − 1)]
nπ 2 = [1 − (−1) n )] para n ≠ 0 nπ
38
Finalmente, la serie de Fourier queda como f (t ) = f (t ) =
4
π 4
[ sen(ω 0t ) + 13 sen(3ω 0t ) + 15 sen(5ω 0t ) + ...] ∞
1
sen((2n − 1)ω t ) ) ∑ π 2n − 1 0
n =1
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
ω0 = π (ω 0 = 2 π/Τ) , es decir, T = 2: 39
f (t ) = 1.5
4
π
[ sen(ω 0t ) + 13 sen(3ω 0t ) + 15 sen(5ω 0t ) + ...] Componentes de la Serie de Fourier
1 s0.5 e t n e n o 0 p m o C
-0.5
Suma fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico
-1 -1.5 -1
-0.5
0
t
0.5
1
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40
Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t), no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario, con el mismo resultado.
41
f(t)
Habíamos calculado los coeficientes para:
⎧− 1 f (t ) = ⎨ ⎩1
para − T / 2 < t < 0
1
...
-T / 2
0
para 0 < t < T / 2
T / 2
T ...
t
-1
Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos:
f(t) 1
⎧1 f (t ) = ⎨ ⎩− 1
para 0 ≤ t < T / 2 para T / 2 ≤ t < T
...
-T / 2
0
T / 2
T ...
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
42
t
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: T / 2
a0
= T 1
∫
f(t) 1 t
...
0
∫
t 0
f (t ) cos(nω 0t ) dt = ... =
2 T
∫ f (t ) cos(nω t )dt
2 T
f (t )dt =
2 T
T / 2
= T 2
∫
−T / 2
= T 2
∫
f (t ) sen(nω 0t )dt = ... =
−T / 2
2 T
∫ f (t )dt
T
0
T
T / 2
bn
...
f (t )dt =
f (t ) dt =
−T / 2
an
t0 +T
t 0 +T
T
∫
-1
t0
2 T
∫ f (t ) sen(nω t )dt 0
T
43
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
f (t ) =
π − t 2
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.
44
Calcula la serie de Fourier de la función periódica: f (t ) = 1 + cos(3t ) de periodo T =
2π 3
2π
a0
=
2
3
3
f (t )dt = ∫ (1 + cos(3t ))dt = 2 ∫ T π T
0
2π
⎧1, an = ∫ f (t ) cos(nω 0t )dt = ∫ (1 + cos(3t )) cos(nω 0t ) dt = ⎨ T T π 0 ⎩0, 2
3
3
si n = 1 si n ≠ 1
2π
bn
=
2
3
3
f (t ) sen(nω t )dt = ∫ (1 + cos(3t )) sen(nω t )dt = 0 para todo n ∫ T π 0
T
0
0
en definitiva f (t ) = 1 +
∞
∑a n =1
n
cos(nω 0t ) +
∞
∑ b sen(nω t ) = 1 + cos(3t ) n
n =1
0
La serie es la propia función... 45
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
Extensión par
t
Extensión impar
46
Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t) f(t)
t
47
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
48
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t , g(t) = 1/(t 2 +1). Solución: Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t) = 1/((-t)2 +1) = 1/(t 2 +1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par. 49
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t 2 ) es par o impar? (f es una función arbitraria). Solución: Sea g(t) = 1 + t 2. Entonces h(t) = f(g(t)). Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)). Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t), finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t). 50
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares: h(t) = sen (1+t 2 ) h(t) = exp(1+t 2 ) + 5/ (1+t 2 ) h(t) = cos (2+t 2 ) + 1 h(t) = (10+t 2 ) - (1+t 2 )1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t 2 ). 51
• Si f ( x) es par: a
∫ f ( x)dx
−a
a
= 2 ∫ f ( x)dx 0
a
a
∫
∫ f ( x)dx
f ( x) dx
0
−a
-a
a 52
• Si f ( x) es impar: a
∫ f ( x)dx = 0
−a
a
∫ f ( x)dx
−a
-a
a 53
Como la función sen(nω 0 t) es una función impar para todo n y la función cos(nω 0 t) es una función par para todo n, es de esperar que: • Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n. • Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n. 54
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado: f(t) 1
...
-T / 2
0
T / 2
T ...
t
-1
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: f (t ) =
4
π
[ sen(ω 0t ) + 13 sen(3ω 0t ) + 15 sen(5ω 0t ) + ...] 55
P2. Septiembre 2005 a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones
f ( x ) = sin x
y g ( x ) = cos x en
− π ≤ x ≤ π
Respuesta.
f ( x) =
a0 2
∞
+ ∑ [an cos(nx) + bn sin(nx)]
f(x) = |sen(x)|, x
n =1
є
[-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0 56
an
= 1
1
π ∫
π
−π
=
π ∫
=
1
f ( x ) cos(nx) dx =
2
π ∫
π
0
sin x cos(nx )dx =
π
[ sin(1 + n) x + sin(1 − n) x ]dx = 0 2
π n − 1 2
[cos(n − 1)π − 1]
−4 a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar 2 π π (n − 1) 4
57
sin x
=
f(x) = |cos(x)|, x
2
π є
∞
−∑ n =1
4 cos(2nx)
π 4n − 1 2
[-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
an
=
= 2
1
∫ π
π
g ( x) cos(nx)dx =
−π
∫ π
π / 2
0
4
∫ π
π / 2
0
cos x cos(nx)dx =
[cos(n + 1) x + cos(n − 1) x]dx 58
±4 a0 = ; a n = , n par; an = 0, n impar 2 π π (n − 1) 4
cos x
=
2
π
∞
−∑ n =1
4 ( −1) cos(2nx ) n
π
4n
2
−1
59
Onda triangular (Triangle Wave)
π 4 ⎛ cos x cos 3 x cos 5 x ⎞ − ⎜ 2 + 2 + 2 + ⎟ 2 π ⎝ 1 3 5 ⎠ 60
Right Triangular Wave
sin x sin 2 x sin 3 x ⎛ ⎞ 2⎜ − + − ⎟ 2 3 ⎝ 1 ⎠ 61
Saw Tooth Wave
sin x sin 2 x sin 3 x ⎛ ⎞ π − 2⎜ + + + ⎟ 2 3 ⎝ 1 ⎠ 62
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
f (t ) = cos(α t ),
− π < t < π
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental ω0 = 1) y α un número real no entero, es:
cos(α t ) =
sen(α π ) ⎡ 1
π
⎤ ⎢α + 2α ∑ α 2 − n 2 cos(n t ) ⎥ n =1 ⎣ ⎦ ∞
(−1)
n
63
n ∞ ⎡ ⎤ sen(α π ) 1 ( −1) + 2α ∑ 2 2 cos(n t ) ⎥ cos(α t ) = ⎢ π ⎣α n =1 α − n ⎦
− π < t < π
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
π 1 (−1) = + 2α ∑ 2 2 sen(α π ) α n =1 α − n ∞
n
y con α = 1/2. ∞
π = 2 + ∑ n =1
( −1) (1 / 2)
2
∞
n
−n
2
= 2 + 4∑ n =1
(−1)
n
1 − 4n
2 64
n ∞ ⎡ ⎤ sen(α π ) 1 (−1) + 2α ∑ 2 2 cos(n t ) ⎥ cos(α t ) = ⎢ π ⎣α n =1 α − n ⎦
− π < t < π
O que si tomamos t =
cos(α π ) =
π
entonces: cos(π t ) = ( −1)
sen(α π ) ⎡ 1
π
∞
1
⎢α + 2α ∑ α 2 − n 2 n =1 ⎣
n
⎤ ⎥ ⎦
∞
π 1 1 = + 2α ∑ 2 2 tan(α π ) α n =1 α − n ¿Es correcto el resultado?
65
Conve on verg rge encia nc ia unif un ifor orme me Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es conve con verge rgenci ncia a unifor uni forme me.. Sea la serie infinita:
S ( x) =
∞
∑ u ( x) n
n =1
y definamos sus sumas parciales como:
S k ( x) =
k
∑ u ( x) n
n =1
66
Diremos que S c onverg on verge e a f(x) f(x) en un intervalo si ∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
S k ( x ) − f ( x )
< ε
siempre que k > N
Observemos que en general N dependerá de ε y del punto x (convergencia puntual). Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos que la conve con verge rgenci ncia a es unifor uni forme me.. Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque: 67
(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces: (a) f(x) es también continua en (a, b). (b)
∞
∞
u ( x ) dx = u ( x ) dx ∑ ∑ ∫ ∫ b
a
n
n =1
n =1
b
a
n
(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:
d
∞
∞
d
u ( x ) = ∑ u ( x) ∑ dx dx n
1
n
1
68
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie? (1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk (x) y aplicar la definición o (2) utilizar la prueba M de Weierstrass: Si existe {M n }n = 1, 2,... tq. |un(x)| ∞
∑ M
n
n =1
converge ⇒
≤ M n y además
∞
∑ u ( x) converge uniformemente n
n =1
69
Ejemplo: S ( x) =
∞
sen( nx)
∑
n
n =1
M n ∞
= 1
∑n n =1
2
1 n
⇒
2
=
π
2
6
2
en ( −π , π )
sen( nx) n
⇒
2
≤
1 n
2
S converge uniformemente
70
Condiciones de Dirichlet Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias. (1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. (2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo. (3)
∫
f ( x) dx < ∞
T 71
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:
1 2
( f ( x ) + f ( x ) ) +
−
si x es un punto de discontinuidad.
72
Desarrolla en serie de Fourier:
− π < x < 0 ⎧0, f ( x) = ⎨ 0 ≤ x < π ⎩π − x,
T = 2π a0
=
2
∫ 2π
π
−π
f ( x) dx
1
0 π ⎡ = ⎢ ∫−π 0dx + ∫0 (π − x) dx ⎤⎥ ⎦ π ⎣
π
⎡ π x ⎤ = ⎢π x − ⎥ = 2 ⎦0 2 π ⎣ 1
2
73
1
1
0 π ⎡ ⎤ an = ∫ f ( x ) cos nx dx = 0 dx + ( − x ) cos nx dx π ∫0 ⎥⎦ π −π π ⎢⎣∫−π π π ⎤ ⎡ 1 sin nx 1 π 1 cos nx = ⎢(π − x) + ∫0 sin nx dx ⎥ = − n n nπ n π ⎢⎣ ⎥⎦ 0 0
π
− cos nπ + 1 1 − (−1) n = = 2 n π n 2π bn
=
1
π
π ∫
0
(π − x) sin nxdx =
1 n
⎧1 − (−1) n ⎫ 1 f ( x) = + ∑ ⎨ cos nx + sin nx ⎬ 2 4 n=1 ⎩ n π n ⎭ π
∞
74
La función f es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así su serie de Fourier converge en x = 0 a:
f (0+) + f (0−) 2
π + 0 π = = 2
2
La serie es una extensión periódica de la función f . Las discontinuidades en x = 0,
±2π, ±4π, … convergen a:
f (0+) + f (0−)
2
=
π 2
Y las discontinuidades en
f π f + + − ( ) ( 0 ) x = ±π, ±3π, … convergen a: 2
=0 75
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
π
π 2 π 2 1 S 1 = , S 2 = + cos x + sin x, S 3 = + cos x + sin x + sin 2 x 4 4 π 4 π 2
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f (t ) = 1 − t , t ∈ [0,1] 2
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1]. Respuesta. Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2Lperiódica.
~
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a f (t ) de ~ modo que: 1. f (t ) sea continua en [-L,L].
~ 2. f ′(t ) sea continua a trozos en [-L,L]. 97
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Im (z)
-1
~ a0 f (t ) = 2 bn
1
Re (z)
⎛ π n ⎞ π n ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ + ∑ ⎜⎜ an cos⎜ t ⎟ + bn sin ⎜ t ⎟ ⎟⎟ ⎝ L ⎠ ⎝ L ⎠ ⎠ n =1 ⎝ ∞
= 0 por ser función par 98
an
1
= ∫−1 (1 − t ) cos(nπ t )dt =
1
∫
2 (1 − t ) cos(nπ t )dt =
~ f par
=− a0
2
2
0
4( −1) n (nπ ) 2 1
1
2
4
3
3
= ∫−1 (1 − t )dt = 2∫0 (1 − t )dt = 2 = 2
~ 2 4 f (t ) = − 2 3 π
2
∞
∑
(−1) n
n =1
~ f (t ) = f (t )
t ∈[0 ,1]
2
n
cos(nπ t )
= 99
P2. Septiembre 2006 a) (4 puntos) 1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2
-π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)
2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π] 3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la ∞
serie numérica
1
∑ k k =1
4
4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función g(x) = x(x2 – π2)
-π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π) 100
Respuesta. 1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica Función par
f ( x) = a0 an
2
→
desarrollo en cosenos, b n = 0:
∞
a0
+ ∑ an cos(nx)
2
n =1
π 2
2
=
x dx = π ∫ π 3
=
1
2
0
∫ π
π
x cos(nx ) dx =
−π
2
2
π 2
x ∫ π 0
cos(nx ) dx = 101
π π π ⎡ ⎤ 2 1 2 2 2 = ⎢ x sin(nx) + 2 x cos(nx) − 3 sin(nx) ⎥ = n n π ⎢⎣ n 0 0 0 ⎥ ⎦ 2 2π 4 n n (−1) = an = 2 (−1) 2 π n n
π
2
f ( x ) =
3
∞
+ 4∑ n =1
( −1) n
2
n
cos(nx)
102
2.
f continua en [- π , π ] ⎫
hay convergencia uniforme ⎬ f ′ continua en (- π , π )⎭ 3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
1
∫ π ∫
π
− π
π
[ f ( x ) ] − π
2
2
2
( x ) dx
=
dx 1 5
=
a
2 0
2
∞
+ ∑ (a + b 2 n
x
= − π
)
n =1
π 5
2 n
2 5
π
5
103
2 2 ⎞ ⎛ π = ⎜ π ⎟ 5 ⎝ 3 ⎠ 2
4
∞
1
∑n n =1
4.
g ( x) = x x g ′( x) = 3 x
2
2
− π
2
4
1 2
=
∞
+ 16 ∑
π
n
n =1
4
2
90
, x ∈ [− π , π ], 2π periódica ∞
2
1
− π = 3 f ( x) − π = 12∑ 2
(−1) n
n =1
Por convergenc ia uniforme : g ( x ) = 12
∞
∑ n =1
n
2
cos(nx)
( −1) n
3
n
sin( nx ) 104
Fenómeno de Gibbs Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t). Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
f (t ) =
4
π
[ sen(ω 0t ) + 13 sen(3ω 0t ) + 15 sen(5ω 0t ) + ...] 105
f (t ) = 1.5
4
π
[ sen(ω 0t )]
Serie con 1 arm ónico
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 106
f (t ) = 1.5
4
π
[ sen(ω 0t ) + 13 sen(3ω 0t ) + 15 sen(5ω 0t )] Serie con 3 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 107
1.5
Serie con 5 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 108
1.5
Serie con 7 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 109
1.5
Serie con 1 3 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 110
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 5 0 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 111
Fenómeno de Gibbs 1.5
Serie con 1 00 arm ónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1 112
113
Forma compleja de la serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2 π / ω 0 . f (t ) = 12 a0 +
∞
∑ [a
n
cos(nω 0t ) + bn sen( nω 0t )]
n =1
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: cos(nω 0t ) = (e
inω 0t
− inω 0t
0
0
) +e inω t sen(nω 0t ) = 21i (e − e −inω t ) 1 2
114
Sustituyendo: f (t ) = 12 a0 +
∞
∑ n =1
[an 12 (e
inω 0 t
+ e −inω t ) + bn 21i (einω t − e −inω t )] 0
0
0
Y usando el hecho de que 1/i = -i :
f (t ) = 12 a0 +
∞
∑ n =1
[ 12 (an
− ibn )e inω t + 12 (an + ibn )e −inω t ] 0
0
Y definiendo: c0 ≡ 12 a0, cn ≡ 12 (an −ibn), c−n ≡ 12 (an +ibn)
f (t ) =
∞
∑c e n
n = −∞
inω 0 t
ω 0 =
2π T 115
A la expresión obtenida
f (t ) =
∞
∑c e
inω 0 t
n
n = −∞
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes c n pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: T
cn
=
1 T
∫
f (t )e
−inω 0t
dt
0
{
¿Forma e
∞ n = −∞
}
inω 0t
un conjunto ortogonal?
Para n = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Demostrarlo. 116
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: 1 ...
-T / 2
f(t)
0
T / 2
T ...
t
-1
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (a n y bn), que eran an= 0 para todo n y bn
=
2 nπ
[1 − (−1) n ] para todo n 117
Podemos calcular los coeficientes c n:
cn cn
=
1 2
= −i
[ an 1 nπ
− ibn ] = −i
1 2 2 nπ
[1 − (−1) ] n
[1 − ( −1) ] n
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
f (t ) = π i (... + e 2
1 5
−e
− i 5ω 0t
iω 0t
−
1 3
+ e
1 3
e
− i 3ω 0t
i 3ω 0t
−
1 5
+e
e
− iω 0t
i 5ω 0t
− ...) 118
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes c n mediante la integral: T
cn
=
1 T
∫ f (t )e
−inω 0t
dt
0
T / 2 T ⎛ 1 −inω t −inω t ⎞ dt + ∫ − e dt ⎟⎟ = ⎜⎜ ∫ e T ⎝ 0 T / 2 ⎠ 0
1 ⎛ = ⎜⎜ −in1ω T ⎝
o
=
1
− inω oT
e
−inω 0t
[(e −
0
T / 2
−
1 −inω o
e
−inω 0t
0
inω 0T / 2
⎞ ⎟ ⎟ T / 2 ⎠ T
− 1) − (e −inω T − e −inω T / 2 )] 0
0
119
Como
ω0T = 2π y además: e cn
=
1 −inω oT
[(−1)
n
± iθ
− 1) − (1 − (−1)
= −i nω T [1 − (−1) 2
= cos θ ± isenθ
n
o
= −i
1 nπ
n
)]
]
[1 − (−1) ] n
que coincide con el resultado ya obtenido. 120
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
⎧0 , − 1 ≤ x < 0 H ( x) = ⎨ ⎩ 1 , 0 ≤ x < 1 cn
=
1
1
e ∫ 2
−inπ x
H ( x) dx =
−1
cn
=
1 i 2 nπ
H ( x ) =
[e
− 1] =
∑
cn einπ x
n = −∞
1
1
e ∫ 2 0
−inπ
∞
i
−inπ x
dx =
1⎡
1
e ⎢ 2 ⎣ − inπ
1
−inπ x
⎤ ⎥⎦ 0
[cos(nπ ) − isen(nπ ) − 1] =
2nπ 0 ; si n es par ⎧ i ⎪ −i [cos(nπ ) − 1] = ⎨ ; si n es impar 2nπ ⎪⎩ nπ
n ≠ 0 121
H ( x ) =
∞
∑c
n
e
inπ x
1
= + 2
n = −∞
∞
∑
0 ≠ n = −∞
n impar
− i inπ x 1 − i inπ x ⎤ ⎡ e = + ∑ 2 Re ⎢ e ⎥ nπ 2 n>0 ⎣ nπ ⎦ n impar
1 0 ; si n es par ⎧ 1 -i−π 0lx x 1 iπ 1 1⎪ al0 = ∫ e c0 H i = cn== ⎨ ∫−dx = ( x ;)dx 2 −1 2⎪ 0 ; si n2es impar 2 ⎩ nπ 1
− i(cos(nπ x) + isen(nπ x) )⎤ ⎡ H ( x) = + ∑ Re ⎢ ⎥⎦ 2 π n >0 ⎣ n 1
2
n impar
H ( x ) =
1 2
+
sen(nπ x)
2
∑ π n >0
n
122
123
124
125
La función impulso o delta de Dirac
δ (t )
⎧∞ if t = 0 δ (t ) ≡ ⎨ ⎩ 0 if t ≠ 0
t
Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
f m(t)
δ (t )
=
m
π
e
− (mt ) 2
f 3(t ) f 2(t ) f 1(t ) t
126
δ (t )
Propiedades de la función t
∞
∫ δ (t ) dt = 1
−∞ ∞
∞
∫ δ (t − a ) f (t ) dt = ∫ δ (t − a ) f (a ) dt = f (a )
−∞ ∞
−∞
∫ exp( ±iωt ) d t = 2π δ (ω )
−∞ ∞
∫ exp[ ±i(ω − ω ')t ]
dt = 2π
δ (ω − ω ') 127
Calcular la serie de Fourier de δ(x):
δ ( x ) =
∞
∑ c e
iπ nx
n
n = −∞
δ ( x ) =
1
∞
→ cn =
inπ x
2
n >0
1
= +
n = −∞
= +∑
e ∫ 2
−inπ x
δ ( x)dx =
−1
e ∑ 2
1
1
1
2
1
(e ∑ 2
−inπ x
+e
inπ x
1 2
)
n >0
cos(nπ x) 1
δ ( x ) = + ∑ cos(nπ x) 2
n >0
128
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
129
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
130
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
131
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
132
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
133
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
134
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
135
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
136
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
137
12
10
8
6
4 2
0
-2
-4 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
138
Los coeficientes c n son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
=
cn Observemos que,
c− n Donde cn =
1 2
a
para todo n ≠ 0 .
2 n
+b
2 n
cn e
iφ n
=c = * n
cn e
− iφ n
⎛ bn ⎞ , φ n = arctan⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ an ⎠
Y para n = 0 , c 0 es un número real: c0
=
1 2
a0 139
Espectros de frecuencia discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes c n. Por ello, los coeficientes c n especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo. 140
Espectros de frecuencia discreta Ejemplo. Para la función ya analizada: 1 ...
-T / 2
f(t)
0
T / 2
T ...
t
-1
Encontramos que: Por lo tanto:
cn
cn
=
= −i
1 n π
1 nπ
[1 − (−1) ] n
[1 − ( −1) ] n
141
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes c n contra la frecuencia angular ω de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase φn de los coeficientes c n contra ω, se le llama el espectro de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular ω = nω 0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas. 142
El espectro de amplitud se muestra a continuación Espectro de Amplitud de f(t)
0.7 0.6
⏐ 0.5 n C0.4
⏐
0.3 0.2 0.1 0 -30
-20
-10
0
Frecuencia negativa (?)
n
10
20
30
Frecuencia
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de ω0). 143
El espectro de magnitud de una f (t ) real, es una función PAR por lo que la gráfica para n
≥0
contiene toda la información acerca de f (t ) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f (t ) real, es una función IMPAR por lo que la gráfica para n
≥0
contiene toda la información acerca de f (t ) y se le conoce como espectro unilateral de fase.
144
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos: ancos(nω0t) + bnsen(nω0t) se pueden expresar como:
⎛ an2 + bn2 ⎜ ⎜ ⎝
an a
2 n
⎞ cos( nω 0t ) + sen ( nω 0t ) ⎟ 2 2 ⎟ an + bn ⎠ bn
+b
2 n
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por: 2 2 an
+ bn
145
⎛ an 2 2⎜ an + bn ⎜ a 2 + b2 ⎝ n n
bn
C n = a
2 n
θn an
+b
2 n
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
⎞ sen ( nω 0t ) ⎟ cos( nω 0t ) + ⎟ an2 + bn2 ⎠ bn
an an2
+ bn2
bn an2
+ bn2
= cos θ n = senθ n
⎛ bn ⎞ θ n = arctan ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ an ⎠
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno: C n [cos θ n cos( nω 0t ) + senθ n sen ( nω 0t ) ]
= C n cos( nω 0t − θ n )
146
Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
f (t ) = C 0
∞
+ ∑ C n cos( nω 0t − θ n ) n =1
Con:
C n = a
2 n
+b
2 n
⎛ bn ⎞ θ n = arctan ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ an ⎠
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C 0 , C n y θ n, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como: f (t ) = C 0
∞
+ ∑ C n sen(nω 0t +147θ n )
Componentes y armónicos Hemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: ω n = nω 0 . A la componente sinusoidal de frecuencia nω 0 : c n cos(nω 0 t + θ n ) se le llama el enésimo armónico de f(t). Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t). A la frecuencia ω 0 = 2 π f 0 = 2 π / T se le llama frecuencia angular fundamental
148
Ejemplo: La función f(t) = cos ( 3t ) + cos ( 4t ) Como vimos, tiene un periodo T = 24 π, por lo tanto su frecuencia fundamental es ω0 = 2π/Τ = 1/12 rad/s. O como ω0= 2πf 0, f 0 = 1/Τ = 1/ 24π Hz. Su componente fundamental (n = 1) será: c0 cos(ω0t + θ0) = 0 cos(t/12). 3
Tercer armónico:
2
cos(3t/12) = cos(t/4)
1
Cuarto armónico: cos(4t/12) = cos(t/3)
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
) t ( f0
-1 -2 -3 0
24π 50
100
150
149 200
Sea f (t ) una señal periódica con periodo T expresada en términos de la serie compleja de Fourier siguiente : f (t ) =
∞
∑
cn e
inω 0t
n = −∞
Derivando f (t ) respecto a t : f ' (t ) =
∞
d
∑
f (t ) = inω 0 cn e dt n = −∞
f ' (t ) =
∞
∑
d n e
inω 0t
inω 0t
n = −∞
donde los coeficientes d n vienen dados por d n
= inω 0cn
en consecuencia, f ' (t ) también es periódica y está representada por una serie de Fourier que es función del desarrollo en serie de f (t ). 150
Ejercicio: f(t) = ) t f ( -10
2 0 4 t
20
T0 = 10
5
-5
f '(t)
10
t
T0 = 10 4
-10
-5
5
-4
f ''(t)
10
t
T0 = 10 8
-10
10 -5
5 -8
t 151
Potencia y Teorema de Parseval El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) T
∫
Area = f ( t )dt
f(t)
0
1
Area = T h
h = Altura promedio
t T 152
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por: T / 2 1 T
∫
2
[ f (t )] dt
−T / 2
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)] 2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo. 153
El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)] 2 mediante los coeficientes complejos c n de Fourier de la función periódica f(t): ∞
T / 2 1 T
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
2
2
n
n = −∞
−T / 2
O bien, en términos de los coeficientes an, bn: T / 2 ∞ 1 T
∫ [ f (t )] dt = 2
−T / 2
1 4
a
2 0
+
1 2
∑ (a
2 n
+b
2 n
)
n =1
154
Teorema o identidad de Parseval 1
T / 2
∫
[ f (t )] dt = 2
T −T / 2
f (t ) = 12 a0 +
∞
∑ [a
n
1 4
a
2 0
+
∞
1
(a ∑ 2
2 n
+b
2 n
)
n =1
cos(nω 0t ) + bn sen(nω 0t )]
n =1
∞ ⎫ ⎧ 1 1 1 f (t ) f (t )dt = T ∫ f (t )⎨ 2 a0 + ∑ [an cos(nω 0t ) + bn sen(nω 0t )]⎬dt = T ∫ n =1 ⎩ ⎭ −T / 2 −T / 2 T / 2
a0
T / 2
T / 2
∫
T −T / 2
f (t )dt +
∞
an
∞
T / 2
bn
T / 2
∑ T ∫ f (t ) cos(nω t )dt + ∑ T ∫ f (t ) sen(nω t )dt = 0
n =1
0
n =1
−T / 2
a02 4
+
1 2
−T / 2
∞
∑ (a + b ) 2 n
2 n
155
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t): f(t) 1
...
-T / 2
Solución. Del teorema de Parseval y del ejemplo anterior sustituyendo
∑c
n = −∞
2 n
T / 2
t
T ...
-1 ∞
T / 2
∫ [ f (t )] dt = ∑ C 2
1 T
2
n
n = −∞
−T / 2
cn ∞
0
=
1 n π
[1 − (−1) n ]
1 1 1 ⎡ ⎤ = 2 ⎢1 + + + + ...⎥ π ⎣ 9 25 49 ⎦ 8
156
La serie numérica obtenida converge a 1+
1 9
+
1 25
+
1 49
+ ... = 1.2337
Por lo tanto, ∞
T / 2 1 T
∫ [ f (t )] dt = ∑ c
2
2
−T / 2
n = −∞
n
=
8
π
2
(1.2337 ) = 1
Como era de esperar. 157
a) Sean c1 , c2 ∈ ℜ , con c1
≠ c2 y la función:
⎧c1 , f ( x ) = ⎨ ⎩c2 ,
x ∈ [− π ,0)
x ∈ [0, π ] 1. Calcúlese la serie de Fourier de f. 2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de ∞ 1 ella calcule el valor de la serie:
∑ (2n − 1)
2
n =1
3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?
c2 c1
-π
π 158
1.
(c1 + c2 )π ⎞ a0 = ⎜ ∫ c1dx + ∫ c2 dx ⎟ = = c1 + c2 π − 0 ⎠ π ⎝ π c1 ⎛ 0 c2 ⎛ π c1 + c2 π ⎞ ⎞ cos nxdx = an = ⎜ ∫ cos nxdx ⎟ + ⎜ ∫ cos nxdx ⎟ = ∫ − 0 0 π ⎠ π ⎝ ⎠ π ⎝ π c1 + c2 ( senπ n − sen0) = 0 = nπ c1 ⎛ 0 c2 ⎛ π c1 − c2 π ⎞ ⎞ bn = ⎜ ∫ sen(nx )dx ⎟ + ⎜ ∫ sen( nx)dx ⎟ = − sen( nx) dx = ∫ − 0 0 π ⎠ π ⎝ ⎠ π ⎝ π c1 − c2 c1 − c2 ((− 1)n − 1) ⇒ (cos π n − cos 0) = = nπ nπ ⎧n = 2k → b2 k = 0 ⎪ ⇒⎨ 2(c2 − c1 ) ⎪n = 2k − 1 → b2 k −1 = (2k − 1)π ⎩ c1 + c2 2 ∞ (c2 − c1 ) sen(2k − 1) x + ∑ f ( x) = 159 2 π k 1 (2k − 1)π 1 ⎛
0
π
2.
c1 + c2
1 sen(2k − 1) x ⎛ 1 ⎞ 2(c2 − c1 ) ∞ f ( x ) = 2π ⎜ ⎟+ ∑ 2 π k =1 (2k − 1)π π ⎝ 2π ⎠ ⎧ 1 cos nx sen(nx) ⎫ Como ⎨ , , ⎬ es ortonormal en [− π , π ] ⇒ π π ⎭ ⎩ 2π 2 2 ∞ π ( ) + − c c 4 c c 1 ⎛ 2 2 2 2 1 ⎞ 1 2 ⇒ π (c2 + c1 ) = ∫−π f ( x ) dx =⎜ ⇒ ⎟ 2π + ∑ 2 π ⎝ 2 ⎠ k =1 (2k − 1) 2 ∞ ∞ (c1 − c2 )2 4 1 1 π ⇒ = 2 (c1 − c2 )2 ∑ ⇒∑ = 2 2 2 8 π k =1 (2k − 1) k =1 (2 k − 1) 3.
No. Puesto que f (0) = c2 y y en general c2
≠
c1 + c2 2
c1 + c2 2
(c2 − c1 ) c1 + c2 + ∑ sen(2k − 1)0 = 2 π k =1 (2k − 1)π 2
∞
f es continua a trozos y tiene derivadas laterales 160
a) A partir de la serie de Fourier de la función f ( x) = x ∞ π definida en el intervalo [− π , π ] : f ( x) = + ∑ − 4 2 cos((2n − 1) x ) determinar los valores de las series: 2 n=1 π (2n − 1) ∞
1.
∞
1
∑ (2n − 1)
1.
n =1
2.
2
1
∑ (2n − 1) n =1
4
Particular izando para x = 0, f(0) = 0 :
−4 0= +∑ cos((2n − 1)0 ) ⇒ 2 2 n =1 π (2n − 1) π 4 ∞ 1 ⇒0= − ∑ ⇒ 2 2 π n =1 (2n − 1) π 2 ∞ − 1 π 2= ⇒∑ = 2 ( ) n − 2 1 − 4 π 8 n =1 π
∞
161
