Ecuaciones Diferenciales 6-7-2016
Desarrollo de funciones en SERIES DE FOURIER
Ing. Miguel Corral Profesor.
Hugo Saritama Alumno.
Grupo 2.
RESUMEN: A continuación se estudiara y se hará un análisis de las Series de Fourier; estas son series de términos seno y coseno y surgen de la importante tarea practi practica ca de repres represent entar ar funcio funciones nes periód periódica icass genera generales les.. Consti Constituy tuyen en una herra herrami mien enta ta de much mucha a utili utilida dad d en la solu soluci ción ón de prob proble lema mass en los los que que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. stas series son! en cierto sentido! más universales que las series de "aylor! ya que muchas muchas funcio funciones nes periód periódica icass disco disconti ntinua nuass de interé interéss prácti práctico co puede pueden n desarrol rollarse en series de Fourier! pero desde luego no tienen representaciones en series de "aylor. l ob#etivo de este traba#o es anali$ar el desarrollo en Series de Fourier y en Series Series de Fourier Fourier %enerali$a %enerali$adas das de funciones funciones.. & as' (btener (btener conocimie conocimientos ntos sob sobre las aplica licaccione ioness de las las serie eriess de Fouri ourier er y seri serie es de Fou Fourier rier generali$adas desarrollado en términos de polinomios de )egendre.
Tabla de contenido INTRODUCCIÓN......................................................................................................................4 OBJETIVOS...............................................................................................................................4 1) SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS...................................................................5 *.*+ F,-C(-S (/"(%(-A)S...................................................................................5 *.*.*+ 0roducto interno.....................................................................................................5 *.*.1+ (rtogonalidad de funciones..................................................................................5 *.*.2+ Con#unto de funciones ortogonales.....................................................................5 *.1+ -"/3A)( 4 C(-3/%-CA ( /A4( 4 C(-3/%-CA ...................6 *.2+ 0()-(5(S 4 )%-4/...................................................................................6 *.2.*+ #emplos de polinomios de )egendre. ................................................................7 *.2.1+ (rtogonalidad..........................................................................................................7 *.6+ S/ 4 F(,// %-/A)7A4A.....................................................................7 *.6.*+ Serie asociada de Fourier 8 )egendre ................................................................8 2) SERIES DE FOURRIER...................................................................................................9 1.*+ S/S 4 F(,// "/%(-(5"/CAS........................................................10 1.*.*+ 0rimera forma9 ......................................................................................................10 1.*.1+ Segunda forma de ver .........................................................................................10 1.*.2+ "ercera forma de definir la serie de Fourier es9 ................................................10 1.1+ A-:)SS 4 F(,// 4 ,-A F,-C- 0/4CA ...................................11 1.2+ F,-C(-S 0/4CAS.......................................................................................12 1.6+ 4SA//())( 4 ,-A F,-C- - S/ S-(S ( C(S-(S ...............12 3) EJERCICIOS....................................................................................................................13 2.*+ #emplo Series de Fourrier en su forma <ásica. .....................................................13 2.1+ #emplos Series Fourier 8 )egendre.........................................................................16 4) CONCLUSIONES............................................................................................................18 5) RECOMENDACIONES...................................................................................................19 6) BIBLIOGRAFÍA...............................................................................................................19 =.*+
INTRODUCCIÓN n el presente art'culo se hablara sobre las series de Fourier! estas se han convertido en un gran instrumento para estudiar fenómenos f'sicos o aquellos fenómenos periódicos que se presentan en la ngenier'a. ,na serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a tro$os >o por partes+. )as series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para anali$ar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples >como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras+ s una aplicación usada en muchas ramas de la ingenier'a! además de ser una herramienta sumamente ?til en la teor'a matemática abstracta. :reas de aplicación incluyen análisis vibratorio! ac?stica! óptica! procesamiento de imágenes y se@ales! y compresión de datos. n ingenier'a! para el caso de los sistemas de telecomunicaciones! y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una se@al dada! se puede optimi$ar el dise@o de un sistema para la se@al portadora del mismo. /efiérase al uso de un anali$ador de espectros.
OBJETIVOS
Anali$ar que ocurre en las series de Fourier en su forma básica y en las series de Fourier generali$adas. (btener conocimientos sobre las aplicaciones de las series de Fourier y series de Fourier generali$adas 0resentar la serie de Fourier trigonométrica que describe un se@al periódica como una suma de componentes armónicas.
1) SERIES DE FOURIER GENERALIZADAS *.*+ F,-C(-S (/"(%(-A)S. Se notara cómo los dos conceptos vectoriales de producto interno >punto+ y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las funciones. Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. l producto interno >u! v+ de los vectores! que también se escribe u . v! posee las propiedades siguientes9
*.*.*+ 0roducto interno Supongamos ahora que f* yf1 son funciones definidas en un intervalo a! bB. Como una integrar del producto f*>D+f1>D+ definida en el intervalo también posee las propiedades i+ a iv+! siempre y cuando eDistan las integrales! podemos enunciar la siguiente definición9 b
∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx
1.1 ¿ ⟨ f 1, f 2 ⟩ =
a
*.*.1+ (rtogonalidad de funciones. n análisis funcional! se dice que dos funciones f1 y f2 de un cierto espacio son ortogonales si su producto escalar >f*!f1+ es nulo. b
∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx =0
1.2 ¿ ⟨ f 1, f 2 ⟩ =
a
#emplo9 4ado f*>D+E D1 y f1>D+ED2 son ortogonales en >*!*+ porque9 1
⟨ f 1, f 2 ⟩=∫ f 1 ( x ) f 2 ( x ) dx =0 −1 1
⟨ f 1, f 2 ⟩=∫ x x 2
3
1
dx = x 6
−1
|= 1
6
0
−1
*.*.2+ Con#unto de funciones ortogonales Se dice que un con#unto de funciones
{ }= ∅
∞
n n 0
es ortogonal en el intervalo a! bB si
b
1.3 ¿
⟨
∅
n
∫
, ∅m⟩=
∅
m
( x ) n ( x ) dx =0 m ≠ n ∅
a
)a norma! o longitud ‖u‖ ! de un vector u se puede eDpresar en términos de producto interno concretamente! >u! u+ E ‖u‖ !! o bien ‖u‖=√ ( u , u ) . )a norma o longitud generali$ada! de una función
√
b
‖ ‖= ∫
1.4 ¿
∅
n
a
∅
2
n
( x ) dx
∅
n
! es
‖ n‖=√ ( ∅
∅
,
n ∅m
) ! es decir;
b
‖ ‖ =∫
1.5 ¿
∅
2
n
∅
2
n
( x ) d
a
Suponga que v*! v1 y v2 son tres vectores no cero! ortogonales entre s' en el espacio tridimensional. se con#unto ortogonal se puede usar como una base para el espacio en tres dimensiones; esto es! cualquier vector tridimensional se puede escribir en forma de una combinación lineal 1.6 ¿ u= c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3,
n donde las ci! i E *!1!2! son escalares y se llaman componentes del vector. Cada componente ci se puede eDpresar en términos de u y del vector vi correspondiente de la siguiente manera9 1.7
¿ c ¿ 1=
(u , v 1 )
; c 2=
‖v ‖
2
(u , v 2 )
; c 3=
2
‖v ‖ 2
1
(u , v3 ) 2
‖v ‖ 3
ntonces la ecuación *.G quedar'a9 1.8 ¿ u=
( u , v1 )
‖v ‖
2
v 1+
1
(u , v 2 )
‖v ‖
2
v 2+
2
(u , v 3 )
‖v ‖
2
3
v 3=
3
∑=
n 1
(u , v n )
‖v ‖
2
n
*.1+ -"/3A)( 4 C(-3/%-CA ( /A4( 4 C(-3/%-CA Se denomina intervalo de convergencia a los valores para los cuales una serie es convergente! por e#emplo dada la siguiente serie9 ∞
∑= a
m
( x − x 0) m=a 0+ a1 ( x − x 0) + a2 ( x − x 0 )2+ ...
m 0
sta serie converge siempre en DE x 0 porque entonces todos sus términos eDcepto el primero > a0 + son cero. Si se da en caso en donde la serie es convergente para más valores de D todos esos valores forman un intervalo! llamado intervalo de convergencia>/+.
| x − x |< R 0
0ara obtener el radio de convergencia se puede utili$ar con cualquiera de las siguientes formulas9
√ |am|o 1.10
m
1.9 ¿ R =1 / lim ¿ R=1 / lim m→∞
m→ ∞
| | a m+1 am
¿
Siempre y cuando los limites eDisten se dice se obtiene el radio de convergencia buscado.
*.2+ 0()-(5(S 4 )%-4/ n matemáticas! eDactamente en ecuaciones diferenciales ordinarias! las funciones de )egendre son las soluciones de las ecuaciones diferenciales de )egendre9 1.11 ¿
[
]
d d (1 − x2 ) P n ( x ) + n ( n +1 ) Pn ( x )= 0 dx dx
)lamadas as' en honor del matemático francés Adrien5arie )egendre. stas ecuaciones se encuentran frecuentemente en F'sica. n particular! aparecen cuando se resuelve la ecuación de )aplace >un tipo de ecuación en derivadas parciales+ en coordenadas esféricas mediante el método de separación de variables. cuación diferencial de )egendre9 2
d y dy +2 x + n ( n + 1 ) y =0 1.12 ¿ ( 1− x ) 2 dx dx 2
)a ecuación diferencial de )egendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. n general la serie de potencias obtenida converge cuando HDH I * y en el caso particular de que n sea un entero no negativo >J! *! 1!...+ las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados 0olinomios de )egendre.
*.2.*+ #emplos de polinomios de )egendre. ,nos pocos primeros polinomios de )egendre9
*.2.1+ (rtogonalidad Se tiene9
[
]
[
]
d ( 1 − x 2) d P n ( x ) + n ( n + 1 ) Pn ( x )= 0 dx dx
& d ( 1 − x 2) d P m ( x ) + m ( m+ 1 ) Pm ( x )=0 dx dx 5ultiplicando la ecuación por Pm ( x ) ! en la segunda por Pn ( x ) y restando luego! queda Pm ( x )
[
]
[
]
d ( 1− x 2 ) d P n ( x ) − Pn ( x ) d ( 1− x 2 ) d P m ( x ) +( n −m ) ( n + m+ 1 ) Pn ( x ) Pm ( x )=0 dx dx dx dx
ntegrando entre * y *! se tiene que 1
1
1
d ( 1− x 2 ) Pn' ( x ) dx − Pn ( x ) d ( 1− x 2 ) Pm' ( x ) + ( n −m ) ( n +m+ 1 ) Pn ( x ) Pm ( x )=0 P m ( x ) dx dx −1 −1 −1
[
∫
[ P Si
]
]
∫
1
1
( x ) ( 1 − x ) Pn ( x ) ]−1−∫ ( 1− x ) P ( x ) P ( x ) dx −[ P n ( x ) ( 1− x ) P ( x ) ]−1+ ∫ ( 1− x 2 ) P' n ( x ) Pm' ( x ) dx + ( n− 1
'
2
m
[
∫ 2
' n
' m
' m
2
1
−1
−1
m≠ n 1
1.13 ¿
∫ P ( x ) P n
m
( x )=0
−1
)o cual indica que el con#unto 0n >D+ >n E J!*! 1! ...+ de polinomios de )egendre es ortogonal en el intervalo >*! *+.
*.6+ S/ 4 F(,// %-/A)7A4A Supongamos que { n ( x ) } es un con#unto infinito ortogonal de funciones en un intervalo a! ∅
bB. Ahora9 y Ef>D+ será una función definida en el intervalo a! bB! Kserá posible determinar un con#unto de coeficientes c!!! n E J! *!1! . . .! para el cual 1.14 ¿ f ( x )= c0 ∅ 0 ( x ) + c1 ∅ 1 ( x ) + … + c n ∅n ( x )
Anteriormente se determinó los componentes de un vector! ahora también se podrá determinar los coeficientes c n mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación por ∅ m ( x ) e integrar entre a! bB se obtiene9 b
∫ f ( x )
b
∅
m
( x ) dx = c0 ∫ 0 ( x ) ∅
a
b
∅
m
( x ) dx + c 1∫ 1 ( x ) ∅
a
a
b
∅
m
( x ) dx + … +c n∫ n ( x ) ∅
∅
m
( x ) dx
a
∅ ∅ ∅
(¿ ¿ n , ∅ m ) (¿ ¿ 1 , ∅ m)+ … + c n ¿ (¿ ¿ 0 , ∅ m)+ c 1 ¿ ¿ c0 ¿ Ahora por ortogonalidad! cada término del lado derecho es cero menos mEn! tendremos b
∫ f ( x )
1.15 ¿
b
∅
m
( x ) dx =c n∫
a
∅
2
n
dx
a
)os coeficientes son9 1.16 b
∫ f ( x ) ¿ c ¿ n= a
∅m
( x ) dx n= 0,1,2,3 ….
b
∫ a
∅
n
2
dx
0or lo tanto tenemos9 ∞
c ∑ =
1.17 ¿ f ( x )=
n ∅n
( x )
n 0
&; b
∫ f ( x ) 1.18 ¿ c n=
∅
m
( x ) dx
a 2
‖ n‖ ∅
scribimos la ecuación como producto interno. ∞
( f , n)
n 0
‖ ‖
∅
∑ =
1.19 ¿ f ( x )=
∅n
2
∅
n
( x )
*.6.*+ Serie asociada de Fourier 8 )egendre Siendo f>D+ contin?a en *!*B! la serie asociado de Fourier 8 )egendre para dicha función se define como9 1.20 ¿ f ( x )=c 0 P 0 ( x ) + c 1 P 1 ( x )+ … + c n P n ( x ) ∞
∑= c P ( x ) ,−1 < x <1
1.21 ¿ f ( x ) =
n
n
n 0
5ultiplicando por Pm ( x ) ! Si se integra término a término entre * y * se tiene9 1
1.22 ¿
∫ f ( x ) P
m
−1
∞
1
n= 0
−1
( x ) dx =∑ c n∫ Pn ( x ) Pm ( x ) dx
Aplicando ortogonalidad en *.1J se tiene 1.21 1
∫ f ( x ) P ¿ c ¿ n=
m
( x ) dx
−1
1
∫ P
2
n
dx
−1
1.23 1
¿ c ¿ n=
2 n+ 1 f ( x ) P m ( x ) dx ( n= 0,1,2, … . ) 2 −1
∫
Te!e"#$ Si f y fL son seccionalmente continuas en el intervalo >*! *+! la serie de Fourier )egendre con coeficientes converge a f>D+ en cualquier punto D donde f es continua. Si D es un x +¿ punto de discontinuidad! la serie converge al valor
¿ f ¿
1 =¿ 2
4el comportamiento de 0n>D+ ! se deducen dos casos particulares de la serie de Fourier )egendre9
C 2 n + 1=0, queda
a+ Si f es una función par entonces ∞
1.24 ¿ f ( x )=
C ∑ =
P 2n ( x ) ,
2n
n 0
1.25 1
¿ c ¿ 2 n=( 4 n + 1 )∫ f ( x ) P2 n ( x ) dx ( n =0,1,2, … .) 0
C 2 n= 0 y se tiene9
b+ Cuando f es impar! ∞
1.26 ¿ f ( x )=
C ∑ =
P 2n +1 ( x ) ,
2 n+ 1
n 0
1.27 1
¿ c ¿ 2 n+ 1=( 4 n + 3 )∫ f ( x ) P2 n+ 1 ( x ) dx ( n=0,1,2, … . ) 0
2) SERIES DE FOURRIER l estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un n?mero finito n de términos sucesivos. +∞
u ∑ =
Considere que
denota una serie infinita dada para la cual M S n N es la sucesión de
n
n 1
lim Sn eDiste y es igual a S! entonces la serie es convergente y S es
sumas parciales. Si
n →+∞
lim Sn no eDiste! entonces la serie es divergente! y la serie no tiene
la suma de la serie. Si
n →+∞
suma. ,na serie de potencias es una serie que está dada en la forma9 +∞
2.1 ¿
∑= C x =C +C x +C x +…+C x + … n
n
n
2
0
1
n
2
n 0
0ara el análisis de las series de Fourier y de los polinomios de )egrende partimos del concepto de series de potencias. ,na serie de Fourier es una serie infinita que converge a una función periódica y contin?a a tro$os. )as series de Fourier de una función f definida en el intervalo >p!p+ tiene la forma9 2.2 ¿ f ( x )=
4onde
a0
y
2
∞
+ ∑ [ an cos nπ x +b n sen nπ x ] n= 1
donde; 2.3
¿ a ¿0 =
p
se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la
función 1
p
p
∫ f ( x )
p − p
2.4
¿ a ¿n =
p
nπ f ( x ) cos xdx ∫ p p 1
− p
2.5
¿ b ¿n =
p
nπ f ( x ) sen xdx ∫ p p 1
− p
1.*+ S/S 4 F(,// "/%(-(5"/CAS 1.*.*+ 0rimera forma9 Se llaman series trigonométricas o de Fourier! a las series que se obtienen de la eDpansión de una función periódica f>D+ con periodo " en términos de una suma infinita de senos y cosenos9 a0 f ( x )= + a1 cos ( x ) + b1 Sen ( x ) + a 2 cos ( 2 x ) + b2 Sen ( 2 x ) + …+ an cos ( nx ) + b n Sen ( nx ) … … ( 6 ) 2
∞
2.6 ¿ f ( x )=
(a cos nx + b ∑ = n
n
Sennx )
n 0
)os coeficientes an , bn son constantes >nEJ!*!1!O.+ cuando la serie >=+ es convergente representa una función de periodo 1P.
1.*.1+ Segunda forma de ver )as series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para anali$ar funciones periódicas )as series de Fourier tienen la forma9 ∞
a0 2
4onde
+ ∑ [ an cos 2 nπ t + bn sin 2 nπ t ] T
n= 1
an y
T
bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
f ( x ) .
Si
f ( x ) es una función >o se@al+ periódica y su per'odo es "! la serie de Fourier asociada a
f ( x ) . 2 nπ
T 2 (¿ t )+ b n sin ( nπ t )
T
an cos ¿
¿
f ( t ) 4onde
!
a0 2
y
∞
+∑ ¿ n=1
son los coeficientes de Fourier que toman los valores9 2.7 2.8
¿ a ¿0 =
2
T
T
2
2
2
∫ f ( t ) dt , a = T ∫ f (t ) cos ( T n
− T
− T
2
2
0or la identidad de uler
T
2 nπ
T
t ) dt , ¿ b ¿n=
2
2 nπ f ( t ) sin ( t dt . ∫ T T )
2
− T 2
∞
∑
2.9 ¿ f ( t )
n=−∞
cn e
n T
2 πi t
.
)os coeficientes ahora ser'an9 T
2.10 ¿ c n=
1
2
n T
−2 πi t
∫ f ( t ) e
dt .
T −T 2
1.*.2+ "ercera forma de definir la serie de Fourier es9 ωn
(¿ t )+ bn sin ( ωn t ) a n cos ¿ ¿ 2.11 ¿ f ( t )=
4onde
ω n=nω
y
∞
a0 2
+ ∑ ¿ n= 1
ω =2 πf =
2 π
T
Siendo9 2.12 T
¿ a ¿0 =
2
T
2
2
2
∫ f ( t ) dt , a = T ∫ f (t ) cos ( ω t ) dt , n
T − T
n
− T
2
2
2.13 T
¿ b ¿n =
2
2
∫ f (t )sin ( ω t ) dt . n
T − T 2
A esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonométrica de Fourier. 0or definición de ortogonalidad podemos definir que una serie de Fourier es ortogonal en −π y π
1.1+ A-:)SS 4 F(,// 4 ,-A F,-C- 0/4CA "oda función f (t) periódica de periodo P ! se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas! es decir! a0
f ( t )= + 2
∞
[a cos 2 nπ t + b sin 2 nπ t ] ∑ T T = n
n
n 1
4onde el periodo P=2 PQR! y a0 , a1,...ai ... y b1, b2 ,.... bi .... son los denominados coeficientes de Fourier. "oda función periódica de periodo P ! se puede transformar en una función periódica de periodo 1P! mediante un simple cambio de escala en el e#e t . scribiendo x=πt, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 1P de x ! y la función f(t) convertida en
2.14 ¿ ( x ) =f (
Px ) 2 π
4efinida en el intervalo que va de P a P. )a serie se eDpresa en la forma más simple 2.15 ¿
a0 2
∞
+ ∑ [ an cos x n+ bn sin x n] n= 1
4onde 2.16 ¿ an =
1
+π
∫ ( x ) cos x dx n= 0,1,2, … .
π −π
n
2.17
¿ b ¿n =
1
+ π
∫ ( x ) sin x
π − π
n
dx n= 0,1,2, … .
Si la función g (x) tiene simetr'a! algunos de los coeficientes resultan nulos.
Si g(x) es una función par! g(x)=g(-x) ! los términos bn son nulos
Si g(x) es impar g(x)=-g(-x) ! los coeficientes an son nulos
Si g(x) es alternada! g(x+)=-g (-x)! la serie solamente consta de términos armónicos impares.
0ropiedades Funciones 0ares e mpares9
*+ l producto de dos funciones pares es par.
1+ l producto de dos funciones impares es par.
2+ l producto de una función impar y una función par es impar
6+ )a suma o diferencia de dos funciones pares es par.
T+ )a suma o diferencia de dos funciones impares es impar.
=+ Si f es par 2.18 ¿
a
a
−a
−a
∫ f ( x ) dx =2 ∫ f ( x ) dx
G+ Si f es impar a
2.19 ¿
∫ f ( x ) dx=0 −a
1.2+ F,-C(-S 0/4CAS ,na función periódica se puede definir como una función para la cual 2.20 ¿ f (t )= f ( t + T )
0ara todos los valores de t. )a constante m'nima " que satisface la relación! se llama el per'odo de la función. 5ediante repetición de f >t+Ef >t"+! se obtiene9 f ( t )= f ( t + nT ) , n=0, ! 1, ! 2, …
Figura *.
1.6+ 4SA//())( 4 ,-A F,-C- - S/ S-(S ( C(S-(S Se trata de obtener una serie de Fourier de cosenos en el intervalo total! para ello vamos a considerar una función par. Sea la función auDiliar f>D+ tal que sea igual a la función g>D+ entre >J! P+ e igual a g >D+ entre >P! J+. s decir9
F>D+ E
{
( x ) 0 " x " π ( − x )− π " x " 0
4esarrollemos f>D+ en serie de Fourier! por ser una función par! bn =0 2.21
¿ a ¿n = 2.22 ¿ a0=
1
π
2
∫ f ( x )cos nxdx = π ∫ f ( x ) cos nx dx
π − π
1
π
0
π
2
π
∫ f ( x ) dx= π ∫ f ( x ) dx
π −π
0
)uego para valores de D 2.23 ¿ f ( x )=
∈
a0 2
(−π , π ) se obtiene la serie
+ a1 cos x + a2 cos2 x + …
0ero como f>D+ es igual a g>D+ entre J y P 2.24 ¿ ( x )=
a0 2
+ a1 cos x + a2 cos2 x + …
l resultado obtenido solo es válido en el intervalo >J! P+ 4e la misma forma se podrá obtener una serie solo de senos! si la función es impar se tiene
{
( x ) 0 " x" π − (− x ) −π " x " 0
F>D+ E
n este caso por ser la función impar se verifica9 an =0, a0= 0 2.25 π
1
¿ b ¿n =
2
π
∫ f ( x )sin n x d x= π ∫ f ( x ) sennxdx
π − π
0
3) EJERCICIOS 2.*+ #emplo Series de Fourrier en su forma <ásica. *+ 4esarrolle
{
f ( x )=
−π < x <0 0≤ x < π π − x , 0,
n una serie de Fourier.
S%&'(* representada en la Fig 1 es impar en >U ! + con p = . a0 = 1
π
1
π
∫
f ( x ) dx = − π
[ ] x2
¿ πx − π
an =
1
2
π
1
∫−
¿
1
0
−π
[
π
π
∫
0
sin nx
n2 π π
∫ π
f ( x )=
0
π 4
∫ ( π − x ) dx ] π 0
2
0 dx +
( π − x )
1
[∫
0 dx + − π
f ( x ) cos nx dx
−cos nπ + 1
bn =
π
0
π
n 1 cos nx π ¿− |0 nπ n
¿
π
=
0
π
[∫ π
¿
π
1
Figura 2.
( π − x ) cos nx dx |0π +
1
n
π
∫
0
]
sin nx dx
]
n
=
1−(−1 )
n2 π
( π − x ) sin nxdx = 1 n
∞
+∑
n =1
{
1
−(−1 )n n2 π
cos nx
+
1
n
sin
nx
}
AproDimación con nE*!1!2!6!T respectivamente
Figura 3.
Figura 6. 1+ 4esarrolle f > x + E x ! U1 I x I 1 en una serie de Fourier.
S%&'(* studio de la Fig. T! muestra que es una función par en >U1! 1+ y p E 1. n+ 1
4 (− 1 ) nπ sin x dx = x 0 2 nπ 2
∫
bn =
As' f ( x )=
4
∞
∑ π
n=1
(−1 )n+1 n
sin
nπ x 2
Figura 5.
AproDimación con nE*!1!2!6!T respectivamente
Figura =.
Figura G. 2+ )a función f ( x )=
{
−1, − π < x < 0 1, 0 ≤ x < π
es impar en >U! + con p = .
y por tanto AproDimación con nE*!2!T!G!V respectivamente
Figura W.
Figura V. 2.1+ #emplos Series Fourier 8 )egendre *+ ncuentre el desarrollo de la serie de )egendre de9
ya que f es una función impar en *!*B! lo mismo es f>D+01n>D+ para toda n! y se tiene a 1nEJ ! n EJ!*!1!O. Además
0ara evaluar esta integral! se escribe la ecuación diferencial para 0 nen la forma >*D1+0nXBXn>n*+0nEJ ! y s e integra de J a * para obtener
4e acuerdo con el teorema 1 se tiene que 0n X>J+En0n*>J+! nYJ! y por lo tanto
)uego
Ahora se tiene9
& por lo tanto
Con nEG
Figura *J. 1+ scribir los tres primeros términos no nulos del desarrollo de Fourrier )egendre
0or lo tanto
Zuedando la función de la siguiente manera9
Figura **.
2+ scriba los cuatro primeros términos no nulos del desarrollo de Fourier )egendre de
Figura *1.
4) CONCLUSIONES 0udimos ver que las series de Fourier son de gran importancia ya que las podemos ocupar en muchas aplicaciones dentro de los campos de la f'sica y de la matemática entre otros. )a idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo " puede ser eDpresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo ". )a integral impropia que aparece en estos coeficientes >conocida como la transformada de Fourier+! resulta ser de gran importancia en el análisis de Fourier y en las m?ltiples aplicaciones
de esta rama de la ciencia. Solo por mencionar algunas! digamos que la transformada de Fourier se aplica en el estudio de se@ales y sistemas! as' como en óptica; aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que se usan para tomar una tomograf'a! también surge en las técnicas anal'ticas como la resonancia magnética nuclear! y en general! en todo tipo de instrumentación cient'fica que se use para el análisis y la presentación de datos. Se hi$o un estudio de las series de Fourier en su forma básica y otro con las Series de Fourier desarrolladas en términos de los 0olinomios de )egendre! donde se pudo observar en las gráficas que eDiste una periocidad en las series de Fourier en la forma <ásica pero en las Series de Fourier en términos de polinomios de )egendre se observó que las gráficas son de otro tipo al parecer no periódicas estas series también se utili$an en otras aplicaciones de la ingenier'a.
5) RECOMENDACIONES
Se recomienda investigar de diferentes fuentes para as' poder llegar a un mayor entendimiento del tema en el presente traba#o se ha hecho una recopilación de diferentes fuentes aquellas están citadas en la
6) BIBLIOGRAFÍA =.*+
7ill 4ennis %. Q cuaciones 4iferenciales Con Aplicaciones de 5odeladoQ (ctava diciónQ 5éDicoQ C-%A% )earning Q1JJT. [reys$ig r\in. Series de Fourier. n 5atematicas Avan$adas 0ara ngenieria>3olumen 1 +.pag 12.
=.1+
htps://es.wikipedia.org/wiki/SeriedeFourier htps://es.wikipedia.org/wiki/!o"i#o$iosde%ege#dre htps://es.wikipedia.org/wiki/Fu#&io#esor'ogo#a"es htp://www.uru.edu/(o#doedi'oria"/ar)&u"os/%*+*,+*.pd( htp://$a'erias..ua.ar/6118/a'eria"/%eg00.pd( htp://$a'hwor"d.wo"(ra$.&o$/Fourier-%ege#dreSeries.h'$" htp://a$a'e$a.wes.u"".es/a#a$a'p0304/a'e$a)&as/Fu#&io#es 20*spe&ia"es/F*S!5.!F