Series de Fourier
Introducción El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la
solución de problemas de valores en la frontera en la conducción del calor. Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Circuitos Eléctricos entre muchas otras.
Toda señal periódica puede descomponerse como suma de señales senoidales: f (t ) K 0
a sen(n t ) n
n
Ejemplo: Señal Cuadrada Componentes:
TEOREMA DE FOURIER
Funciones Periódicas Una Fun ción Periódic a f(t) cumple la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T)
A la constante mínima para la cual se cumple lo anterior se le llama el p e r i o d o de la función Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0, 1, 2, 3,...
Funciones Periódicas Ejemplo: ¿Cuál es el período de la función f(t) cos( 3t ) cos( 4t )? Solución.- Si f(t) es periódica se debe cumplir:
f(t T) cos( t 3T ) cos( t 4T ) f(t) cos( 3t ) cos( 4t ) Pero como se sabe cos(x+2k )=cos(x) para cualquier entero k, entonces para que se cumpla la igualdad se requiere que T/3=2k 1, T/4=2k 2 Es decir, T = 6k 1 = 8k 2 Donde k 1 y k 2 son enteros, El valor mínimo de T se obtiene con k 1=4, k 2=3, es decir,T=24
Funciones Periódicas Gráfica de la función
f(t) cos( 3t ) cos( 4t )
3 2
T
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
1 ) t ( f 0
-1 -2 -3
24 0
50
100
150
t
200
Funciones Periódicas
Podríamos pensar que cualquier suma de funciones seno y coseno produce una función periódica. Esto no es así, por ejemplo, consideremos la función f(t) = cos(1t)+cos(2t). Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que 1T= 2m, 2T=2n 1 m De donde
2
n Es decir, la relación 1/
2 debe ser un número racional.
Funciones Periódicas Ejemplo: la función cos(3t)+cos( +3)t no es periódica, ya que 3 no es un número racional. 1 2 3 f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)
2
1 ) t ( f
0
-1
-2
0
5
10
15
t
20
25
30
Funciones Periódicas Tarea: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son periódicas: 1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero. 2) f(t)= sen2(2t) 3) f(t)= sen(t)+sen(t+/2) 4) f(t)= sen(1t)+cos(2t) 5) f(t)= sen(2 t)
Serie Trigonométrica de Fourier Algunas funciones periódicas periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+... + b1sen(0t)+b2sen(20t)+... Donde
0=2/T.
Es decir,
f (t ) 12 a0
[a
n
n 1
cos( n 0t ) bn sen(n 0t )]
Serie Trigonométrica de Fourier Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el término ancos(n0t)+bnsen(n0t) se puede escribir como a b n n an2 bn2 cos(n 0t ) sen(n 0t ) 2 2 2 2 an bn an bn Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:
Serie Trigonométrica de Fourier an 2 n
Cn a b
bn
2 n
a 2n
n an
b 2n
b n a 2n b 2n
cos n senn
Con lo cual la expresión queda
Cn cos n cos(n0 t ) sen senn sen sen (n0 t )
Cn cos(n0 t n )
Serie Trigonométrica de Fourier Si además definimos C 0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como
f (t ) C 0
C cos(n t ) n
n 1
Así, C n
2
an
b
2
n
y n
tan
a
1 bn
n
0
n
Serie Trigonométrica de Fourier Definir adecuadamente los coeficientes C 0, Cn y n, de manera que la serie de Fourier se pueda escribir como
f (t ) C 0
C sen(n t ) n
n 1
0
n
Componentes y armónicas Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de c o m p o n e n t es s i n u s o i d al es de diferentes frecuencias n=n0. A la componente sinusoidal de frecuencia n 0: s im a arm ón ic a Cncos(n0t+n) se le llama la en é de f(t). A la primera armónica (n=1) se le llama la c o m p o n e n t e f u n d am en t a l y su periodo es el mismo que el de f(t) A la frecuencia 0=2f 0=2/T se le llama frecuencia angular fund am ental .
Componentes y armónicas A la componente de frecuencia cero C 0, se le llama c o m p o n e n t e d e c o r r i en t e d i r ec t a (cd) o corriente continua (cc) y corresponde al valor promedio de f(t) en cada periodo. Los coeficientes C n y los ángulos n son respectiva-mente las amplitudes y los án g u lo s de las armónicas. de fase
Componentes y armónicas f(t) cos( 3t ) cos( 4t ) Como ya se mostró tiene un periodo T=24 , por lo tanto su frecuencia fundamental es 0=1/12 rad/seg. Ejemplo: La función
Componente fundamental es de la forma: 0*cos(t/12). Tercer armónico: cos(3t/12)=cos(t/4) Cuarto armónico: Cos(4t/12)=cos(t/3)
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2 1 ) t ( f0
-1 -2 -3 0
24 50
100
t
150
200
Componentes y armónicas Ejemplo: Como puede verse, la función anterior tiene tantas partes positivas como negativas, por lo tanto su componente de cd es cero, en cambio
f(t) 1 cos( 3t ) cos( 4t ) Tiene tantas partes arriba como abajo de 1 por lo tanto, su componente de cd es 1.
3 2 1 ) t ( f0
-1
f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) -2 -3 0
24 50
100
t
150
200
Componentes y armónicas ¿Cuál es la componente fundamental, las armónicas distintas de cero y la componente de directa de a)
f(t) = sen2t
b)
f(t) = cos2t ?
Justificar mostrando la gráfica de las funciones y marcando en ellas el periodo fundamental y la componente de cd.
Ortogonalidad de senos y cosenos Se dice que un conjunto de funciones f k(t) son o r t o g o n a l e s en el intervalo a
0 para m n f m (t)f n (t)dt a r n para m n
b
Ortogonalidad de senos y cosenos Ejemplo: las funciones t y t 2 son ortogonales en el intervalo –1< t <1, ya que 1
1
tt dt t dt
1
2
3
1
t
4 1
4
0
1
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo –/2< t </2, ya que
sen t
2
sentcostdt
2
0
Ortogonalidad de senos y cosenos Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo - T/2
cos(m t)dt 0
T / 2
sen(m 0 t) m 0
Ya que m es un entero.
T / 2
T / 2
2 sen(m 0T/2) m 0
2sen(m ) m 0
0
Ortogonalidad de senos y cosenos 2.- f(t)=1 Vs. sen(m0t):
cos(m0 t) sen(m0 t)dt m0 T / 2 T/2
T/2
T / 2
1 [cos(m0T/2) - cos(m0T/2)] 0 m0 3.- cos(m0t) Vs. cos(n0t):
para m n 0 cos(m0 t)cos(n0 t)dt T / 2 T / 2 para m n 0 T/2
Ortogonalidad de senos y cosenos 4.- sen(m0t) Vs. sen(n0t):
para m n 0 sen(m0 t)sen(n0 t)dt T / 2 T / 2 para m n 0 T/2
5.- sen(m0t) Vs. cos(n0t):
T/2
sen(m0 t)cos(n0 t)dt 0 para cualquier m, n
T / 2
Ortogonalidad de senos y cosenos Para calcular las integrales de los casos 3, 4 y 5, son útiles las siguientes identidades trigonométricas: cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
Además: sen2q = ½ (1-cos2q) cos2q = ½ (1+cos2q)
Cálculo de los coeficientes de la Serie Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
f (t ) 12 a0
[a
n
cos(n 0t ) bn sen(n 0t )]
n 1
Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a 0,a1,a2,...,b1,b2,... Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno comentada anteriormente.
Cálculo de los coeficientes de la Serie Multiplicando ambos miembros por cos(nw0t) e integrando de – T/2 a T/2, obtenemos: T / 2
an
2 T
f (t ) cos(n
0
t ) dt n 0;1;2;3;...
T / 2
Similarmente, multiplicando por sen(n 0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: T / 2
bn
2 T
f (t ) sen(n
0
t ) dt n 1,2,3,...
T / 2
Similarmente, integrando de – T/2 a T/2, T / 2 obtenemos: a0 T 2 f (t ) dt T / 2
Cálculo de los coeficientes de la Serie El intervalo de integración no necesita ser simétrico respecto al origen. Como la ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo: (de t0 a t0+T, con t0 arbitrario) las fórmulas anteriores pueden calcularse en cualquier intervalo que cumpla este requisito.
Desarrollo en serie de Fourier
Definición Si f(t) periódica, es decir f 0(t)= f 0(t+n·T), siendo: T = período
T
2f
Teorema de Fourier: se puede descomponer: f (t )
2
Siendo:
a0 2
[an cos(n t ) bn sen(n t )] n 1
a0 2
f (t ) a0 an
2
T
T
bn
0
2
2
T
T
0
f (t )dt
f (t ) cos(n t )dt T
T
0
f (t ) sen(n t )dt
Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: f(t) 1
...
-T
/2
0
T
/2
T
...
t
-1
Solución: La expresión para f(t) en –T/2
1 para T2 t 0 f ( t ) T 1 para 0 t 2
Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes a n:
an
2 T
T/2
f ( t ) cos(n0 t )dt
T / 2
0 T/2 2 T cos(n0 t )dt cos(n0 t )dt T / 2 0 0 T/2 1 1 2 T sen(n0 t ) sen(n0 t ) n0 n0 T / 2 0
0 para n 0
Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a 0:
a0
2 T
T/2
f ( t )dt
T / 2
0 T/2 2 T dt dt T / 2 0 0 T/2 T2 t t T / 2 0
0
Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes b n:
b n
2 T
T/2
f ( t )sen(n0 t )dt
T / 2
0 T/2 2 T sen(n0 t )dt sen(n0 t )dt T / 2 0 0 T/2 1 1 T2 cos(n0 t ) cos(n0 t ) n0 n0 0 T / 2
1 n
(1 cos(n)) (cos(n) 1) 2 n
1 (1) ) n
para n 0
Cálculo de los coeficientes de la Serie Finalmente la Serie de Fourier queda como
f (t )
4
sen( t ) 0
1 3
sen(3 0t ) 15 sen(5 0t ) ...
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0=, es decir, T=2:
Cálculo de los coeficientes de la Serie 1.5
Componentes de la Serie de Fourier
1 s0.5 e t n e n o 0 p m o C
-0.5
Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico
-1 -1.5 -1
-0.5
0
t
0.5
1
Cálculo de los coeficientes de la Serie Encontrar la serie de Fourier para la siguiente señal senoidal rectificada de media onda de periodo 2. Senoidal rectificada de media onda 1 0.8 0.6 ) t ( f
0.4 0.2 0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
Funciones Pares e Impares Una función (periódica o no) se dice fun ción p ar (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si f(t) = f(-t) f(t)
t
Funciones Pares e Impares En forma similar, una función f(t) se dice función i m p a r o con simetría impar, si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t) f(t)
t
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t 2+1), Solución: Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), por lo tanto f(t) es función impar. Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t 2+1)=g(t), por lo tanto g(t) es función par.
Funciones Pares e Impares Ejemplo: ¿La función h(t)=f(1+t 2 ) es par o impar?, donde f es una función arbitraria. Solución: Sea g(t)= 1+t 2, Entonces h(t)=f(g(t)) Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)), Pero g(-t)=1+(-t)2 = 1+t 2=g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), por lo tanto h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
Funciones Pares e Impares Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las siguientes funciones son pares: h(t) = sen (1+t 2 ) h(t) = exp(1+t 2 )+5/ (1+t 2 ) h(t) = cos (2+t 2 )+1 h(t) = (10+t 2 )-(1+t 2 )1/2 etc... Ya que todas tienen la forma f(1+t 2 )
Funciones Pares e Impares Como la función sen(n 0t) es una función impar para todo n 0 y la función cos(n 0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto bn= 0 para todo n
Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n
Funciones Pares e Impares Por ejemplo, la señal cuadrada, ya analizada en un ejemplo previo: f(t)
1
...
-T
0
/2
T
/2
T
...
t
-1
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno: f (t )
4
sen( t ) 0
1 3
sen(3 0t ) 15 sen(5 0t ) ...
Simetría de Media Onda Una función periodica de periodo T se dice , si cumple la propiedad s im é tr ic a d e m ed ia o n d a
f (t 12 T ) f (t ) Es decir, si en su gráfica las partes negativas son un reflejo de las positivas pero desplazadas medio periodo: f(t)
t
Simetrías y Coeficientes de Fourier Simetría
Funciones en la serie
Coeficientes T/2
Ninguna
an
T 2
f (t) cos(n t)dt 0
T/ 2
bn
T 2
T / 2
f (t)sen(n t)dt 0
T / 2
únicamente cosenos
T/2
Par
an
T4
Senos y cosenos
f (t) cos(n t)dt
bn=0
0
0 T/2
Impar
an=0
bn
T 4
f (t)sen(n t)dt 0
únicamente senos
0
media onda
n par 0 0 n par Senos y T/2 T/2 cosenos an 4 bn 4 f (t) cos(n 0 t)dt n impar f (t )sen(n 0 t)dt n impar impares T T 0 0
Desarrollo en serie de Fourier Interpretación: ejemplo con una señal cuadrada Nivel de continua
1er Armónico 3er Armónico 5º Armónico
t 7º Armónico
T
t
1.5
Serie con 1 armónico
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 3 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 5 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 7 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 13 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 50 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Serie con 100 armónicos
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1
-0.5
0
0.5
1
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER : Un vector rotando uniformemente (A/2)e+j tiene una magnitud constante A/2 y un ángulo de fase el cual esta variando en el tiempo de acuerdo a: 2 ft donde es el ángulo de fase inicial cuando t=0. Un segundo vector ( A/2)e-j rotará en la dirección opuesta al anterior. Este aumento negativo de cambio en el ángulo de fase puede ser considerado como una frecuencia negativa. A 2
e
j
A 2
e j A cos
La suma de estos dos vectores estará siempre a lo largo del eje real, con la magnitud oscilando entre A y – A a:
FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER : Reescribiendo la serie de Fourier como:
Im
x(t ) a 0 A1 sen( t 1 ) A2 sen(2 t 2 ) .....
A/ 2
Máxima amplitud (A) Amplitud instantánea
Donde x(t) es periódica con período T y =2 /T=2 f , la componente nth de esta
serie, correspondiente a la armónica a una frecuencia de f n=nf , es dado por:
X ( f n ) Donde e
1
Re
-
T / 2
T
j 2 f nt
x(t )e
T / 2
j 2 f nt
dt
es el vector unitario y X(f n ) da la
amplitud y fase para el vector armónico.
-
Forma Compleja de la Serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2 / 0 . f (t ) 12 a0
[a
n
cos(n 0t ) bn sen(n 0t )]
n 1
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: cos(n 0t ) 12 (e
Donde
sen(n 0t ) j 1
1 2 j
jn 0t
(e
e jn t )
jn 0t
0
e jn t ) 0
Forma Compleja de la Serie de Fourier Sustituyendo f (t ) a0 1 2
[a n 1
1 n 2
(e
jn 0t
e
jn 0t
)b
1 n 2 j
(e
jn 0t
e
jn 0t
Y usando el hecho de que 1/j=-j f (t ) 12 a0
n 1
[ 12 (an jbn )e
jn 0t
12 (an jbn )e jn t ] 0
Y definiendo: 1 2
1 2
1 2
c0 a0 , cn (an jbn ), cn (an jbn ) Lo cual es congruente con la fórmula para bn , ya que b-n=-bn, ya que la función seno es impar.
)]
Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como
f (t ) c0
(cn e
jn 0t
cne jn t ) 0
n 1
O bien,
f (t ) c0
cn e
jn 0t
n 1
cn e jn t 0
n 1
Es decir,
f (t )
c e n
n
jn 0t
Forma Compleja de la Serie de Fourier A la expresión obtenida
c e
f (t )
jn 0t
n
n
Se le llama forma compleja de la serie de y sus coeficientes c n pueden obtenerse a Fourier partir de los coeficientes a n, bn como ya se dijo, o T bien: jn 0t 1 cn T f (t )e dt
0
Para n=0, 1, 2, 3 , ...
Forma Compleja de la Serie de Fourier Los coeficientes c n son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar: cn cn e
cn cn* cn e
Obviamente, Donde cn
j n
1 2
a b 2 n
2 n
,
j n
n arctan(
Para todo n0,
Para n=0, c0 es un número real:
bn an
c0 12 a0
)
Forma Compleja de la Serie de Fourier Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada: 1 ...
-T
/2
f(t)
0
T
/2
T
...
t
-1
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica ( an y bn): an=0 para todo n y b 2 [1 (1) n ] para todo n n
n
Forma Compleja de la Serie de Fourier Podemos calcular los coeficientes cn de:
cn [an jbn ] 1 2
cn j
1 n
j
1 2 2 n
[1 (1) ] n
[1 (1) ] n
Entonces la Serie Compleja de Fourier queda
f (t )
2
j (... e 1 5
e
j 5 0t
j 0t
e
e 1 3
1 3
j 3 0t
j 3 0t
e 1 5
e
j 0t
j 5 0t
...)
Forma Compleja de la Serie de Fourier Solución 2. También podemos coeficientes cn mediante la integral
calcular
T
cn T 1 f (t )e
jn 0t
dt
0 T / 2
( e 1 T
T
dt
0
( 1 T
1 jn o
e
e
jn 0t
jn 0t
jn 0t
dt )
T / 2
T / 2
1 jn o
e
jn 0t
0
1 jn oT
[(e
jn 0T / 2
1) (e
T
) T / 2
jn 0T
e
jn 0T / 2
)]
los
Forma Compleja de la Serie de Fourier Como
0T=2 y además e j cos jsen cn
1 jn oT
[(1) n 1) (1 (1) n )]
j
2 n oT
j
1 n
[1 (1) ] n
[1 (1) ] n
Lo cual coincide con el resultado ya obtenido.
Forma Compleja de la Serie de Fourier Calcular los coeficientes c n para la siguiente función de periodo 2 . a) A partir de los coeficientes a n,bn b) Directamente de la integral Senoidal rectificada de media onda 1 0.8 0.6 ) t ( f 0.4 0.2 0
-0.2
-6
-4
-2
0
t
2
4
6
Espectros de Frecuencia Discreta A la gráfica de la magnitud de los coeficientes c n contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el e s p e c t r o d e amplitud de f(t). A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el e s p e c t r o de fase de f(t). Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular =n0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
Espectros de Frecuencia Discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes c n. Por ello, los coeficientes c n especifican a f(t) en el d o m i n i o d e la fr ec u en c i a de la misma manera que f(t) especifica la función en el d o m i n io d el . tiempo
Espectros de Frecuencia Discreta Ejemplo. Para la función ya analizada: 1 ...
-T
Se encontró que Por lo tanto,
/2
f(t)
0
T
/2
T
t
...
-1
cn j
1 n
cn
[1 (1) ]
1 n
[1 (1) ] n
n
Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación Espectro de Amplitud Amplitud de f(t) 0.7 0.6
0.5 n C0.4
0.3 0.2 0.1 0 -30
-20
-10
0
Frecuencia negativa (?)
n
10
20
30
Frecuencia
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de
0).
Espectro de amplitud f (t )
a0 2
cn senn t n n 1
Amplitud
c6 c2 c0
c3
c1
c7
c4 c5
0
2
3
4
5
6
7
Espectro de amplitud
8
9
10
c.
Frec.
Espectro de fase f (t ) Fase
a0 2
cn senn t n n 1
5 1
/2
4 2 7 0
2
3
4
5
6
6 7
8
9
/2 3 8
Espectro de fase
10
Frec.
Frec.
Representación de los coeficientes de la serie de Fourier
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER: En el caso donde la función en el dominio del tiempo es una función muestreada la expresión toma la forma: X ( f k )
1
N 1
N n 0
x(t n )e j 2 kn / N
Se asume que la función es periódica con un total de N muestras por período. Esta forma discreta de la Transformada de Fourier es la apropiada para evaluación numérica por cálculo digital. La ecuación anterior puede también escribirse como: X ( f k ) donde W=e-j2 /N
1
N 1
N n 0
x(t n )W kn
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER: Sobre todas las componentes de frecuencia la ecuación anterior adquiere la siguiente forma matricial: 1 X ( f 0 ) 1 X ( f ) 1 W 1 . 1 . . k X ( f ) N 1 W k . . . N 1 ( ) X f N 1 1 W
.
1
.
.
W k
.
.
.
.
.
W k
.
.
.
.
2
. W ( N 1) k
.
x(t 0 ) x(t ) W N 1 1 . . . k ( N 1) x ( t ) W n . . W ( N 1) x(t N 1 ) 1
2
X ( f ) 1 W . x(t ) kn
k
N
n
En esta ecuación, [ X(f k )] es un vector representando los N componentes de la función en el dominio de la frecuencia, mientras que [ x(t)] es un vector representando las N muestras de la función en el dominio del tiempo. El cálculo de las N componentes de frecuencia a partir de las N muestras requiere un total de N 2 multiplicaciones complejas para implementar la forma anterior.
Potencia y Teorema de Parseval El p r o m e d i o o v a l o r m e d i o de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado (T) se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) T
Area f (t )dt
f(t)
0
1 Area=Th
h=Altura promedio
t T
Potencia y Teorema de Parseval De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por T / 2 1 T
[ f (t )] dt 2
T / 2
Si f(t) es periódica, también lo será [ f (t )]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.
Potencia y Teorema de Parseval El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [ f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
T / 2 1 T
[ f (t )] dt c 2
2
n
T / 2
n
O bien, en términos de los coeficientes a n, bn: T / 2 1 T
[ f (t )]2 dt 14 a02 12
T / 2
n 1
(an2 bn2 )
Potencia y Teorema de Parseval Una consecuencia importante del teorema de Parseval es el siguiente resultado: El valor cuadrático medio de una función periódica f(t) es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos, es decir,
T / 2 1 T
[ f (t )] dt C 2
T / 2
2 0
n 1
C n
2
2
Donde C n es la amplitud del armónico n-ésimo y C 0 es la componente de directa.
Potencia y Teorema de Parseval Para aclarar el resultado anterior es conveniente encontrar la relación entre los coeficientes complejos cn de la serie
c e
f (t )
jn 0t
n
n
Y los coeficientes reales C n de la serie
f (t ) C 0
C cos(n t ) n
n 1
0
n
Donde C n es la amplitud del armónico n-ésimo y C 0 es la componente de directa.
Potencia y Teorema de Parseval C n an2 bn2 ,
Por un lado Mientras que Entonces,
cn
1 2
cn C n 1 2
a b 2 n
2 n
Por lo tanto,
cn
2
14 C n2
f n (t ) C n cos(n 0t n ) Además, para el armónico C n / 2 Su valor rms es C n2 ,/ 2 por cuadrático medio es
lo
tanto
su
Para la componente de directa C 0, su valor rms es lo tanto su valor cuadrático medio será C 02.
valor
C 0, por
Potencia y Teorema de Parseval Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
f(t)
1 ...
-T
0
/2
T
T
/2
-1
Solución. Del teorema de Parseval
1 T
sustituyendo
c
n
n
2
t
T / 2
[ f (t )] dt c 2
n
T / 2
y del ejemplo anterior
...
cn
1 n
n
[1 (1) n ]
8 1 1 1 2 1 ... 9 25 49
2
Potencia y Teorema de Parseval La serie numérica obtenida converge a 1
Por lo tanto,
9
1 25
1 49
T / 2 1 T
1
[ f (t )] dt c 2
n
T / 2
n
Como era de esperarse.
2
... 1.2337
8 2
(1.2337) 1
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
VALOR RMS Señal continua: 2 rms
V
1 T
T
0
v 2 (t )dt
Señal discreta: V rms
1
N
N
V k 2 t
k 1
O, en término de los valores rms de los armónicos: V rms
2 V hrms
DEFINICIONES BÁSICAS DE CANTIDADES ARMÓNICAS
DISTORSIÓN ARMÓNICA TOTAL (THD) TDT V THDV
TDT I THD I
1 V 1rms
1 I 1rms
k
2 V hrms
h2
k
2
I hrms
h2
A partir de lo cual:
V rms V 1rms 1 THDV / 100
I rms I 1rms 1 THD I / 100
2
2
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE POTENCIA ACTIVA: 1
T
P
T
P
V . I .Cos
0
h
v(t ).i (t ).dt
h
h
h
P V . I .Cos En el caso senoidal:
Q V . I .Sen
S 2 P 2
S V . I Q 2 P 2
Considerando la presencia de armónicos tanto en la tensión como en la corriente de carga: Consideran do que :
va (t ) 2 .V 1. sin( t )
2 .V m . sin( m t )
m 2
ia (t ) 2. I 1. sin( t 1 )
2 . I n . sin( n t n )
n2
La Potencia instantánea será :
p( t ) V 1 . I 1 .cos( 1 ). 1 cos( 2 t ) V 1 . I 1 . sin( 1 ). sin( 2 t )
V 1 I n cos( n 1 ) t n cos( n 1 ) t n n 2
V m I 1 cos( m 1 ) t 1 cos( m 1 ) t 1 m 2
V m I n cos( m n ) t n cos( m n ) t n n 2 m 2
Definiciones Definiciones de Budeanu para potencia (1927) Dominio de la frecuencia
P
V I cos( ) k k
k
k 1
Q
V I sin( ) k k
k
k 1
S P 2 Q 2 D 2 V * I En estas condiciones se define la Distorsión de Potencia D 2 S 2 ( P 2 Q 2 )
v(t )
sen(m t ) V sen m
m
m
i(t )
sen(n t ) I sen n
n
n
S P 2 Q 2 D 2 (
V I cos ) 2 (
V I sen ) 2
= 1 a
(orden de armónica)
V 2 I 2 V I V I cos
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE Alguna características de la definición de Potencia Reactiva en condiciones senoidales: 1.- La potencia reactiva es proporcional a la diferencia entre la energía eléctrica almacenada en los inductores y la energía almacenada en los condensadores 2.- Si la potencia reactiva es reducida a cero, el factor de potencia se hace uno 3.- La potencia reactiva completa el triángulo de potencia:
S 2
P 2
Q2
4.- La suma de todas las potencias reactivas en un nodo de un sistema de potencia es cero. 5.- La potencia reactiva puede ser expresada por los términos V , I y sen . 6.- La potencia reactiva puede ser positiva o negativa (el signo especifica si la carga es inductiva o capacitiva) 7.- La potencia reactiva puede ser reducida a cero insertando componentes inductivos o capacitivos
8.- La caída de tensión de una línea de un sistema de aproximadamente proporcional a la potencia reactiva.
potencia es
El IEEE Standard Dictionary of Electrical and Electronics Terms, define un gran número de expresiones para la potencia, tanto en régimen sinusoidal como no sinusoidal, para redes monofásicas y trifásicas. Numerosos autores han solicitado la actualización de estas definiciones, algunas contradictorias entre sí, y que originan discusiones al obtenerse valores dispares de las potencias reactiva y aparente o del factor de potencia, para una misma red.
En los últimos años se han propuesto definiciones globales de la potencia en redes trifásicas. Los dos Grupos de mayor impacto, son: el IEEE Working Group, encabezado por A. Emanuel, y la Escuela Alemana, dirigida por M. Depenbrock.
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE Dos corrientes son ortogonales si:
1
i .i dt 0 T a
b
T
El cuadrado del valor rms de la suma de ambas:
I 2 1
T T
1
T T
(ia ib ) 2 dt
ia2 dt
1
T T
2.i a .ib dt
1
T T
ib2 dt I a2 I b2
Una corriente dividida en componentes ortogonales, multiplicada por el rms de tensión:
S 2 V 2 ( I a2 I b2 ) S a2 S b2
DESCOMPOSICIÓN O FACTORIZACIÓN DE LOS COMPONENTES DE LA POTENCIA APARENTE FUNDAMENTAL
I1P
I1 I1Q
Potencia Activa
Potencia Reactiva
INVERSA
I
I1i IA I10h
Potencia de Desbalance
ARMÓNICAS HOMOPOLAR
ID
n
i
I 2
i
Potencia de Distorsión
I m 2 2 2 i (t ) 1 sen t cos 2 t cos 4 t cos 6 t ...... 2 3 15 35
I ef
1
T / 2
i T
2
1
I sen tdt T
(t )dt
0
P S
2 m
2
0
1
FP
T / 2
T
v(t )i (t )dt T
0
1
T
T 0
v 2 (t )dt
P V ef I ef I R 2 ef
I m2 4
1
T
T 0
R
i 2 (t )dt
V m I m 4
V m I m P
2 4 0,707 FP 2 S V m I m 2 2
I m 2
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996): Orientación clara a la medición. Se separan las cantidades de la fundamental de la de las armónicas:
V 2 V 12 V H 2 V 12
V h2
h 1
2 I 2 I 12 I H I 12
Con lo cual la potencia aparente es:
I h2
h 1
S 2 (VI ) 2 (V 1 I 1 ) 2 (V 1 I H ) 2 (V H I 1 ) 2 (V H I H ) 2 Donde:
(V 1 I 1 ) 2 S 12 P 12 Q12 (V 1 I 1 cos 1 ) 2 (V 1 I 1sen 1 ) 2 Se define una potencia no activa N :
N
S 2 P 2
El resto se denomina potencia aparente no fundamental y es:
S N 2 (V 1 I H ) 2 (V H I 1 ) 2 (V H I H ) 2 S 2 S 12 V 1 I H : Potencia de distorsión de corriente V H I 1 : Potencia de distorsión de tensión
POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE GRUPO DE TRABAJO IEEE (1996): Al tercer término se lo denomina potencia aparente armónica y se puede expresar como: 2 (V H I H ) 2 P H 2 N H 2 S H
Donde:
P H
V I
H H
cos H
h 1
Puede de aquí sacarse un elemento que indica la operación de la red: 2
2
2
2
S N I H V H V H I H ITHD2 VTHD2 ITHD.VTHD2 S 1 I 1 V 1 V 1 I 1 S H S 1 PF
P S
V H I H V 1 I 1
( P 1 P H ) S
Factor de Potencia Total
THD I .THDV dPF
P 1 S 1
cos 1
Desplazamiento de Factor de Potencia
Circulación de la tercera armónica por el neutro de transformadores
Corrientes del Sistema
P c S b Q b
S c
Q c
P b
S a
Q a
P a
Factor de Potencia Aritmética
Factor de Potencia Vectorial
S VE C
FP AVA
FP VEC
S AVA
P a P b P c S a S b S c
P a P b P c ( P a P b P c ) j (Qa Qb Qc )
Potencia Aparente Vector
c
S VEC
S AVA
c
c
P k
k a
Potencia Aparente Aritmética
2
k a
2
Qk
c
2
Dk
k a
P k 2 Qk 2 Dk 2
k a
Potencia Aparente Eficaz
S RMS
c
V I
k k
k a
(Grupo de IEEE)
FP Se
P S e
S e 3V e I e V
FP RMS
2 e
P S RMS
V a2 V b2 V c2 3
FP AVA
I e2 I 2 *
P S AVA
I a2 I b2 I c2 3
I a2 I b2 I c2 I n2
FP VEC
3
P S VEC
Función escalón, rampa, exponencial
Escalón
El escalón u(t ) es una función continua cuya definición se ajusta a la percepción intuitiva de ésta. Hay también tres formas de definirla; éstas son,
El escalón u(t ) se puede definir mediante una integral como
Escalón
El escalón u(t ) se puede definir mediante una función auxiliar como
El escalón u(t ) se puede definir por partes como
Escalón
Señales básicas Escalón unitario discreto:
Señal escalón u(t ) 1.5
Escalón unidad
1
1 para t 0 u(t ) 0 para t 0
0.5 2
1
0
v(t )
.
v(t ) A u(t t 0 )
1
2
.
A
t 0
t
t
f(t) = u1(t)
+ 1
-
0
+ E
i(t)
e(t)
I
-
t
0 para t<0 u1 (t) =
1 para t>0
Eu1(t-a)
E
0
a
t
Señal pulso v(t ) A u(t t 1 ) A u(t t 2 )
A .
t 2
t 1
Señal rampa r(t )
Rampa de pendiente unidad
r(t ) t u(t )
v(t )
0.8
B
0.6
.
v(t ) B r(t t 0 )
B (t t 0 ) u(t t 0 )
1
0.4
.
1
0.2 1
0.5
0
0.5
1
t
t t 0
Rampa
La rampa r (t ) es una función continua que se obtiene integrando el escalón. Sin embargo, otras definiciones también son válidas. Estas son,
La rampa r (t ) se puede definir mediante una integral como,
Rampa
La rampa r (t ) se puede definir por partes como
La rampa r (t ) se puede definir alternativamente como
Rampa
Relaciones
Exponencial
La función exponencial se expresa como,
Dependiendo del valor que posea el parámetro b es posible tener, Con b = 0
Con b
≠
0
Exponencial Real
Señal exponencial v(t ) A e
t
u(t )
= constante de tiempo t
v(t )
2 1
A
2
1
.
t
v(t ) /A
0
1
1
0,37
2
0,13
3
0,05
4
0,02
5
0,007
Exponencial Compleja
Au-2(t+b)
Ab
-b
0
t
