series chronologiques

Universite´ Hassan II - Casablanca Faculte´ des Sciences et Techniques ´ ´ Departement de Mathematiques

´ Series chronologiques AZIZA BELMAATI

` ´ Genie ´ ´ 2eme annee Mathematiques et Informatiques ´ Universitaire : 2015-2016. Annee

AZIZA BELMAATI (FSTM )

´ Series chronologiques

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Partie II




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Chapitre I

´ L’analyse d’une serie chronologique



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Introduction

Plan 1

Introduction

2

´ Les composantes d’une serie chronologique

3

Analyse de la tendance

4

Moyenne mobile

5

´ Prevision par lissage exponentiel

6

´ ´ Prevision par la methode de Holt-Winters



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Introduction

´ Definition ´ Definition ´ ´ Une serie temporelle, ou serie chronologique, est une succession ´ ` ´ par le temps. Par hypothese, ` d’observations d’un phenom ene, indicees le pas ´ e´ constant : l’heure, le mois, l’annee. ´ du temps des observations est consider ´ par les nombreux domaines L’importance de ce domaine est illustree d’application, notamment : 1 ´ ´ ´ Economie : Prevision d’indices economiques... 2 ´ Finance : Evolution des cours de la bourse... 3 4 5 6

´ ´ Demographie : Analyse de l’evolution d’une population... ´ eorologie ´ ´ climatiques... Met : Analyse de donnees ´ ´ ´ ´ Energie : Prevision de la consommation d’electricit e... ´ ´ Imagerie medicale : Analyse d’electrocardiogramme...



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Introduction





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Introduction





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Introduction





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Introduction





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Introduction





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Introduction





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Introduction

´ Exploration d’une serie chronologique : chronogramme ´ Le premier graphique a` utiliser pour l’examen d’une serie est son chronogramme, ´ Definition ´ On appelle chronogramme d’une serie, son graphique avec le temps en abscisse. ´ Sur des exemples de differents types de graphiques offerts par R, on va ´ ´ ´ representer le chronogramme de la serie, puis se poser une serie de questions : 1 ´ ´ par le temps ? Tendance : est-ce qu’on observe une serie bien expliquee 2 3

4

´ ` ou periodique ´ Presence d’une composante saisonniere ? ´ Juxtaposition de differents comportements au cours du temps ? ´ explication eventuelle ? ´ dans l’etude ´ ´ Objectifs recherches d’une telle serie : description ´ prevision ? AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Introduction


4



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Introduction


4



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Introduction


4



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Introduction


4



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Introduction

Exemples Les exemples qu’on va traiter sont disponible sous R via les packages ”caschrono” et ”timeseries”. Exemple 1 > data(popfr) > plot.ts(popfr,xlab=’ann´ ee’,ylab=’population’, main="Population franc ¸aise en millions d’habitants")



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Introduction

Exemples Les exemples qu’on va traiter sont disponible sous R via les packages ”caschrono” et ”timeseries”. Exemple 1 > data(popfr) > plot.ts(popfr,xlab=’ann´ ee’,ylab=’population’, main="Population franc ¸aise en millions d’habitants")

39 36

37

38

population

40

41

Population française en millions d'habitants

1860

1880

1900

1920

1940

année



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Introduction

Exemples Exemple 2 > plot.ts(uspop,xlab="ann´ ee",ylab="population", main="Population des ´ etats unis en millions d’habitants")



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Introduction

Exemples Exemple 2 > plot.ts(uspop,xlab="ann´ ee",ylab="population", main="Population des ´ etats unis en millions d’habitants")

100 0

50

population

150

200

Population des états unies en millions d'habitants

1800

1850

1900

1950

année



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Introduction

Exemples Exemple 3 > data("trafmensu") > plot.ts(trafmensu,xlab="ann´ ee",ylab="Nombre de passagers",main="Nombre de passagers a´ eriens")



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Introduction

Exemples Exemple 3 > data("trafmensu") > plot.ts(trafmensu,xlab="ann´ ee",ylab="Nombre de passagers",main="Nombre de passagers a´ eriens")

400 300

Nombre de passagers

500

Nombre de passagers aériens

1995

2000

2005

année



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Introduction

Exemples : Conclusion

´ ´ L’examen de la serie permet de degager un certain nombre de composantes ´ ´ ´ fondamentales de l’evolution de la grandeurs etudi ee. Il faut donc analyser ces composantes, en les dissociant les unes des autres, ` ´ ´ ´ c’est-a-dire en considerant une serie comme resultante de la combinaison de ´ ´ differentes composantes, tel que chacun d’elles ait une evolution simple.



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Introduction

Exemples : Conclusion

´ ´ L’examen de la serie permet de degager un certain nombre de composantes ´ ´ ´ fondamentales de l’evolution de la grandeurs etudi ee. Il faut donc analyser ces composantes, en les dissociant les unes des autres, ` ´ ´ ´ c’est-a-dire en considerant une serie comme resultante de la combinaison de ´ ´ differentes composantes, tel que chacun d’elles ait une evolution simple.



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Plan 1

Introduction

2


3


4

Moyenne mobile

5


6




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´ Les composantes d’une serie chronologique ´ ´ La tendance (zt ) ou trend : Represente l’evolution a` long terme de la grandeur ´ ´ et traduit l’aspect gen ´ eral ´ de la serie. ´ etudi ee, c’est une fonction monotone, souvent polynomiale. ` ´ ´ Les variations saisonnieres (st ) : Sont les fluctuations periodiques a` l’interieur ´ et qui se reproduisent plus au moins permanente d’une annee ´ d’une annee, ´ ´ ` sur l’autre. Mathematiquement, ce sont des fonctions periodiques, c’est-a-dire ´ qu’il existe un entier p appele´ periode, tel que st = st+p , ∀t ≥ 1 ` ´ ´ par ses p premieres ` Cette composantes est entierement determin ee valeurs s1 , s2 , . . . , sp . ´ ` ´ Les fluctuations irreguli eres/ residus/ bruit (et ) : Sont des variations de nature ´ ` aleatoire (ce qui signifie qu’elle ne sont pas completement explicables). En effet, elles ne sont pas clairement apercevables dans les graphiques, a` cause de leur faible intensite´ par rapport aux autres composantes. AZIZA BELMAATI (FSTM )


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´ Les variations accidentelles/observations aberrantes : Sont des valeurs ´ ´ ees ´ ou faibles de courte duree. ´ Ces variations isolees, anormalement elev ´ ´ eralement ´ brusques de la serie sont gen explicables. La plupart du temps, ces ´ es ´ dans la serie ´ ´ ` accidents sont integr des bruits (les fluctuations irreguli eres). ´ ` Points de changement : Ce sont des points ou` la serie change completement d’allure, par exemple de tendance. Ils sont normalement explicables, et ´ ´ de la serie, ´ imposent une analyse separ ee par morceaux.



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´ Les variations accidentelles/observations aberrantes : Sont des valeurs ´ ´ ees ´ ou faibles de courte duree. ´ Ces variations isolees, anormalement elev ´ ´ eralement ´ brusques de la serie sont gen explicables. La plupart du temps, ces ´ es ´ dans la serie ´ ´ ` accidents sont integr des bruits (les fluctuations irreguli eres). ´ ` Points de changement : Ce sont des points ou` la serie change completement d’allure, par exemple de tendance. Ils sont normalement explicables, et ´ ´ de la serie, ´ imposent une analyse separ ee par morceaux.



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´ Quelques types de decomposition ` avoir detect ´ Apres e´ graphiquement quelles sont les composantes, il faut ` : proposer un modele 1 ` additif : Ce modele ` suppose l’independance ´ ´ Le modele des differentes ´ composantes, il s’ecrit sous la forme : yt = zt + st + et , 2

avec E(et ) = 0

` multiplicatif : Ce modele ` suppose l’interaction gen ´ erale ´ Le modele des ´ trois composantes, il s’ecrit sous la forme yt = zt (1 + st )(1 + et ),

3

avec E(et ) = 0

´ Il est actuellement le plus utilise´ en economie. Il est commode puisque le ´ logarithme de la chronique conduit au schema additif. ` multiplicatif mixte : Il s’agit la` des modeles ` Le modele ou` addition et ´ multiplication sont utilisees. On peut supposer, par exemple, que la ` agit de façon multiplicative, alors que les composante saisonniere ´ ` fluctuations irreguli eres sont additives : yt = tt (1 + st ) + et ,

avec E(et ) = 0

´ (Toutes les autres combinaisons sont egalement possibles....). AZIZA BELMAATI (FSTM )


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avec E(et ) = 0


3

avec E(et ) = 0


avec E(et ) = 0



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avec E(et ) = 0


3

avec E(et ) = 0


avec E(et ) = 0



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` Choix du modele

1

´ ´ Methode de la bande : On utilise le graphe de la serie et la droite passant par les minima et celle passant par les maxima. 1 2

2

´ ´ Methode du profil : On utilise le graphe des courbes superposees. 1 2

3

` paralleles ` ` est additif. Si ces 2 droites sont a` peu pres : le modele ` ` est multiplicatif. Si ces 2 droites ne sont pas paralleles : le modele ´ ` paralleles ` ` est additif. Si les differentes courbes sont a` peu pres : le modele ` est multiplicatif. Si les pics et les creux s’accentuent : le modele

´ Methode du tableau de Buys-Ballot : On calcule pour chacune des ´ ´ annees, la moyenne et l’ecart-type, puis on trace les points d’abscisse la ´ l’ecart-type ´ ˆ ´ ensuite, on trace moyenne et d’ordonnee de la meme annee, ´ de ces points. la droite des moindres carres 1 2

´ ´ ` est additif. Si l’ecart-type est independant de la moyenne : le modele ´ ` est multiplicatif. Si l’ecart-type est fonction de la moyenne : le modele



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` Choix du modele

1


2


3






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` Choix du modele

1


2


3






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` Choix du modele

1


2


3






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` Choix du modele

1


2


3






14 / 65


` Choix du modele

1


2


3






14 / 65


` Choix du modele

1


2


3






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` Choix du modele

1


2


3






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` Choix du modele

1


2


3






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` : Methode ´ Choix du modele du profil cp<-window(serie,start=c(1,1),end=c(1,12)) v=as.numeric(cp) plot(c(1:12),v,type="l",,xlim=c(0,13),ylim=c(0,800)) for(i in 2:15){ cp=window(serie,start=c(i,1),end=c(i,12)) v=as.numeric(cp) lines(v) }



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` : Methode ´ Choix du modele du profil

v

0

200

400

600

800

cp<-window(serie,start=c(1,1),end=c(1,12)) v=as.numeric(cp) plot(c(1:12),v,type="l",,xlim=c(0,13),ylim=c(0,800)) for(i in 2:15){ cp=window(serie,start=c(i,1),end=c(i,12)) v=as.numeric(cp) lines(v) }

0

2

4

6

8

10

12

c(1:12)



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Conclusion

´ ´ Pour decomposer une serie chronologique on doit commencer par : 1 2

Tracer son graphique ` de composition (additif ou multiplicatif) Choisir un modele

3

Estimer la tendance

4

` Estimer les variations saisonnieres.



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Conclusion



3

Estimer la tendance

4




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Conclusion



3

Estimer la tendance

4




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Conclusion



3

Estimer la tendance

4




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Plan 1

Introduction

2


3


4

Moyenne mobile

5


6




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´ Estimation par regression sur le temps ´ Supposons que l’on observe n valeurs d’une serie dont la tendance semble ˆ ´ ´ etre lineaire comme dans l’exemple de la population française. cette methode ´ ´ ordinaire consiste a` estimer la tendance par la methode des moindre carres ´ par une fonction lineaire : ˆ ˆt + b zˆt = a regfr=lm(popfr˜time(popfr)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -66.324681 8.084040 -8.204 7.88e-08 *** time(popfr) 0.055236 0.004258 12.974 3.38e-11 *** --Residual standard error: 0.6335 on 20 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8938,Adjusted R-squared: 0.8885 F-statistic: 168.3 on 1 and 20 DF, p-value: 3.384e-11



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´ ´ Estimation par regression non lineaire ´ ´ ˆ Cependant la modelisation lineaire de la tendance peut etre trop ´ simplificatrice. par exemple le cas de la population des etats unis. On s’attend ˆ a` une tendance quadratique. Lorsque la tendance n’est pas lineaire, ´ plutot ´ ` une technique simple consiste a` se ramener a` un ajustement lineaire apres ´ un changement de variable approprie. ´ Exemple : Population des etats unis ˆ + cˆ ˆt 2 + bt zt = a > t2=time(uspop)ˆ2 > regus=lm(uspop˜t2+time(uspop)) Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 2.045e+04 8.431e+02 24.25 4.81e-14 *** t2 6.345e-03 2.387e-04 26.58 1.14e-14 *** time(uspop) -2.278e+01 8.974e-01 -25.38 2.36e-14 *** --Residual standard error: 2.78 on 16 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9983,Adjusted R-squared: 0.9981 AZIZA BELMAATI (FSTM )


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´ Estimation non parametrique

´ du polynome ˆ Dans certaines situations, il n’est pas facile de trouver le degres ´ pour zt ou de faire le changement adequat. Dans cette situation, on a recourt ´ ´ a` la theorie non parametrique de l’estimation de la tendance qui ne suppose rien sur celle-ci a priori et on approxime la tendance par ce qu’on appelle la moyenne mobile.



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Moyenne mobile

Plan 1

Introduction

2


3


4

Moyenne mobile

5


6




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Moyenne mobile

´ Moyenne mobile : Definition ´ Definition ´ On appelle moyenne mobile, une transformation de Xt qui s’ecrit comme ´ ´ combinaison lineaire des valeurs de la serie correspondant a` des dates ´ ´ s’ecrit ´ entourant t. La serie transformee Mm1 +m2 +1 Xt =

m2 X

θi Xt+i

i=−m1

´ ou` θ−m1 ,...,m2 sont des reels et m1 , m2 ∈ N. On appelle ordre de la moyenne mobile la valeur m1 + m2 + 1 Remarques 1 ´ ´ es ´ dans la L’ordre represente simplement le nombre de termes consider somme. 2 ´ Il est clair que la definition ci-dessus n’a de sens que pour des instants t tels que : m1 + 1 ≤ t ≤ T − m2 3

On note aussi Mm1 +m2 +1 Xt = Mm1 +m2 +1 (Xt ) = Xt∗ . La seconde notation ´ masque le(FSTM fait) que la moyenne est un operateur et non une ´ mobile AZIZA BELMAATI Series chronologiques 22 / 65

Moyenne mobile


m2 X

θi Xt+i

i=−m1



Moyenne mobile


m2 X

θi Xt+i

i=−m1



Moyenne mobile

´ Moyenne mobile : Operateur retard

´ ´ ´ On peut re´ ecrire la moyenne mobile en termes d’operateurs. On definit pour ´ ´ ´ cela l’operateur B, appele´ operateur retard, qui a` tout processus (Yt )t∈Z defini par ∀t ∈ Z, Yt = BXt = Xt−1 ˆ si on compose B avec lui meme on obtient B 2 = B ◦ B tel que ∀t ∈ Z, B 2 Xt = Xt−2 ´ ´ ´ On peut iterer cette application et definir par recurrence B k Xt = Xt−k ,

k ∈N

´ par convention, B 0 est l’operateur identite´ I.



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Moyenne mobile

´ Moyenne mobile : Operateur Avance ´ ´ ´ L’operateur B est lineaire est inversible. Son inverse B −1 = F est defini par ∀t ∈ Z, FXt = Xt+1 ´ ´ L’operateur F est appele´ operateur avance. ´ ´ On peut re´ ecrire la moyenne mobile en terme d’operateurs B et F : Mm1 +m2 +1 =

m2 X

θi B

−i

=

i=−m1

m2 X

θi F i

i=−m1

En factorisant par B m1 et en faisant j = i + m1 , on obtient la forme canonique suivante mX m2 1 +m2 X Mm1 +m2 +1 = B m1 θj−m1 F i = B m1 θi F m1 +i =: B m1 P(F ) t=−m1

j=0

ˆ ` expression est defini ´ Le polynome P intervenant dans la derniere par P(x) =

m2 X

θi x m1 +i

t=−m1

ˆ ´ et est appele´ polynome caracteristique de la moyenne mobile Mm1 +m2 +1 . On AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Moyenne mobile

´ Moyenne mobile : Differents types

1 2

3

´ lorsque m1 = m2 = m. On dit que la moyenne mobile est centree ´ est symetrique ´ Une moyenne mobile centree si et seulement si θ−i = θi , i = 1, . . . m. ´ ´ Une moyenne mobile arithmetique est une moyenne mobile centree, d’ordre (impair) 2m + 1 et telle que θi =

1 , ∀i = −m, . . . , m 2m + 1

´ ´ (par definition) ´ une moyenne mobile arithmetique est donc centr et Pm2 ee ´ symetrique. On a en particulier dans ce cas t=−m θ = 1 et M Xt 2m+1 i 1 apparaˆıt comme la moyenne des observations Xt−m , . . . , Xt+m .



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Moyenne mobile


1 2

3


1 , ∀i = −m, . . . , m 2m + 1




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Moyenne mobile


1 2

3


1 , ∀i = −m, . . . , m 2m + 1




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Moyenne mobile

Exercice

´ ´ Calculer les series des moyennes mobiles d’ordre 2, 3 et 4 de la serie initiale Xt suivante t Xt

1 30

2 15

3 5


4 30

5 36

6 18

7 9

8 36

9 45


10 15

11 10

12 60

13 48

14 16

15 8

16 72

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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une tendance ´ es ´ Propriet 1

2

´ L’application d’une moyenne mobile arithmetique (paire ou impaire) ne modifie pas une tendance constante. ´ L’application d’une moyenne mobile arithmetique (paire ou impaire) ´ conserve une tendance lineaire.

Exemple1 ´ ´ ´ trimestriellement Nous etudions la serie chronologique suivante observee pendant 6 ans : > seri Ann´ ee1 Ann´ ee2 Ann´ ee3 Ann´ ee4 Ann´ ee5 Ann´ ee6

trimestre1 trimestre2 trimestre3 trimestre4 89.658 97.593 108.906 114.157 96.205 99.399 112.763 119.185 99.602 105.192 116.556 121.911 103.272 109.644 121.208 126.508 105.637 113.428 125.641 131.147 111.118 117.215 129.776 133.000



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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une tendance ´ es ´ Propriet 1

2

´ L’application d’une moyenne mobile arithmetique (paire ou impaire) ne modifie pas une tendance constante. ´ L’application d’une moyenne mobile arithmetique (paire ou impaire) ´ conserve une tendance lineaire.

Exemple1 ´ ´ ´ trimestriellement Nous etudions la serie chronologique suivante observee pendant 6 ans : > seri Ann´ ee1 Ann´ ee2 Ann´ ee3 Ann´ ee4 Ann´ ee5 Ann´ ee6




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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une tendance Exemple1

110 90

100

Observations

120

130

> plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",lwd=3) > lines(1:24,ser[1:24],type="h",col="red")

5

10

15

20

Mois

´ F IGURE: La serie brute AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Moyenne mobile


> mmseri=filter(ser,filter=c(1/8,1/4,1/4,1/4,1/8)) > plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) > lines(mmseri,col="green",lwd=3)



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Moyenne mobile


Observations

90

100

110

120

130

140

> mmseri=filter(ser,filter=c(1/8,1/4,1/4,1/4,1/8)) > plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) > lines(mmseri,col="green",lwd=3)

5

10

15

20

Mois

´ ´ par une moyenne mobile (verte) arithmetique ´ F IGURE: La serie (noire) filtree d’ordre 4 AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une composante ` saisonniere

´ e´ Propriet ´ ` les moyennes mobiles d’une serie soumise a` des variations saisonnieres de ´ ` periode p ne sont pas soumises a` ces variations saisonnieres si leur ordre l ´ ´ ´ eralement ´ est egale a` la periode p, et plus gen si leur ordre est un multiple de ´ la periode. Conclusion ´ ´ les moyennes mobiles d’une serie chronologique dont la tendance est lineaire ` ´ et les variations saisonnieres sont de periode p font apparaˆıtre la tendance et ` ´ ´ disparaˆıtre les variations saisonnieres si leur ordre l est egale a` la periode p.



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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une composante ` saisonniere

´ e´ Propriet ´ ` les moyennes mobiles d’une serie soumise a` des variations saisonnieres de ´ ` periode p ne sont pas soumises a` ces variations saisonnieres si leur ordre l ´ ´ ´ eralement ´ est egale a` la periode p, et plus gen si leur ordre est un multiple de ´ la periode. Conclusion ´ ´ les moyennes mobiles d’une serie chronologique dont la tendance est lineaire ` ´ et les variations saisonnieres sont de periode p font apparaˆıtre la tendance et ` ´ ´ disparaˆıtre les variations saisonnieres si leur ordre l est egale a` la periode p.



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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une composante ` saisonniere Exemple1 > > > > > >

par(mfrow=c(2,2)) mmseri=filter(ser,filter=c(1/8,1/4,1/4,1/4,1/8)) plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) lines(mmseri,col="green",lwd=3) plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) lines(mmseri3,col="green",lwd=3)

> mmseri5=filter(ser,filter=c(1/5,1/5,1/5,1/5,1/5)) > plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) > lines(mmseri5,col="green",lwd=3)

> mmseri12=filter(ser,filter=c(1/24,rep(1/12,11),1/24)) > plot.ts(ser,xlab="Mois",ylab="Observations",ylim=c(89,140) > lines(mmseri12,col="green",lwd=3) AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Moyenne mobile






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Moyenne mobile






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Moyenne mobile

Effet d’une moyenne mobile sur une composante ` saisonniere Exemple1

Observations

90 5

10

15

20

5

10

15

20

Observations

90

100 110 120 130 140

Mois

moyenne mobile d'ordre 12

100 110 120 130 140

Mois


90

Observations

100 110 120 130 140


90

Observations

100 110 120 130 140


5

10

15

20

5

Mois


10

15

20

Mois


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Moyenne mobile

´ ´ Modelisation et desaisonnalisation ` additif Cas du modele

´ ´ ´ ft , des La serie chronologique xt se decompose en une tendance notee ` ´ ´ variations saisonnieres st de periode p (egale a` s1 , . . . , sp ) et d’une ´ ` composante accidentelle (irreguli ere) et : pour tout t = 1, . . . , T

xt = ft + st + et

` ´ Remarque : La t ieme observation, xt , correspond a` la valeur de la serie ` ` i eme i eme ´ ´ Cette relation peut etre ˆ ´ periode du i annee. exprimee pendant la j par t = (i − 1)p + j ` additif s’exprime donc en gen ´ eral ´ de la façon suivante : Le modele pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p

xij = fij + sj + eij

´ ´ n represente le nombre d’annee. ´ coefficients saisonniers du modele ` additif. Les termes sj sont appeles AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Moyenne mobile



xt = ft + st + et

` ´ observation, xt , correspond a` la valeur de la serie Remarque : La t ieme ` ` i eme i eme ´ ´ Cette relation peut etre ˆ ´ pendant la j periode du i annee. exprimee par t = (i − 1)p + j ` additif s’exprime donc en gen ´ eral ´ de la façon suivante : Le modele pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p




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Moyenne mobile



xt = ft + st + et

` ´ observation, xt , correspond a` la valeur de la serie Remarque : La t ieme ` ` i eme i eme ´ ´ Cette relation peut etre ˆ ´ pendant la j periode du i annee. exprimee par t = (i − 1)p + j ` additif s’exprime donc en gen ´ eral ´ de la façon suivante : Le modele pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p




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Moyenne mobile


´ La difference entre l’observation et la tendance est : pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p

xij − fij = sj + eij

` peut etre ˆ Ce modele approxime´ par : pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p

xij − Mp fij ≈ sj

Exemple1 ´ ´ Difference entre les observations et la moyenne mobile d’ordre 4 de la serie > seri-t(matrix(mmseri,4,6)) trimestre1 trimestre2 trimestre3 trimestre4 Ann´ ee1 NA NA 5.509125 9.71600 Ann´ ee2 -8.943875 -6.860500 5.450375 10.72362 Ann´ ee3 -10.057625 -5.282500 5.282000 9.62175 Ann´ ee4 -10.155250 -4.939375 5.754375 10.28575 Ann´ ee5 -11.612375 -4.955375 5.992625 10.34012 Ann´ ee6 -10.679125 -5.330625 NA NA AZIZA BELMAATI (FSTM )


34 / 65

Moyenne mobile



pour tout j = 1, . . . , p



pour tout j = 1, . . . , p




34 / 65

Moyenne mobile



pour tout j = 1, . . . , p



pour tout j = 1, . . . , p




34 / 65

Moyenne mobile


´ Les difference xij − Mp fij sont donc des approximations des coefficients sj . ´ ` Leur moyenne (ou leur mediane), pour chaque colonne j, donne une premiere estimation n 1X sj0 = (xij − Mp fij ) n i=1

´ On obtient enfin les estimations definitives des sj en centrant ces termes sj0 : pour tout j = 1, . . . , p

sj = sj0 − ms0

avec

ms 0 =

1 0 (s + · · · + sp0 ) p 1

Exemple1 s10 = −10.28965; s20 = −5.473675; s30 = 5.5977; s40 = 10.13745 La moyenne des sj0 est : ms0 = −0.00704375 ´ Les estimations definitives des sj : s1 = −10.28261; s2 = −5.466631; s3 = 5.604744; s4 = 10.14449 AZIZA BELMAATI (FSTM )


35 / 65

Moyenne mobile


´ Les difference xij − Mp fij sont donc des approximations des coefficients sj . ´ ` Leur moyenne (ou leur mediane), pour chaque colonne j, donne une premiere estimation n 1X sj0 = (xij − Mp fij ) n i=1

´ On obtient enfin les estimations definitives des sj en centrant ces termes sj0 : pour tout j = 1, . . . , p

sj = sj0 − ms0

avec

ms 0 =

1 0 (s + · · · + sp0 ) p 1

Exemple1 s10 = −10.28965; s20 = −5.473675; s30 = 5.5977; s40 = 10.13745 La moyenne des sj0 est : ms0 = −0.00704375 ´ Les estimations definitives des sj : s1 = −10.28261; s2 = −5.466631; s3 = 5.604744; s4 = 10.14449 AZIZA BELMAATI (FSTM )


35 / 65

Moyenne mobile


´ ` estimation (lissage) par moyenne mobile est donnee ´ par La Serie apres xˆt = Mp fij + Mpsij Exemple1



36 / 65

Moyenne mobile


´ ` estimation (lissage) par moyenne mobile est donnee ´ par La Serie apres xˆt = Mp fij + Mpsij Exemple1

ser

90

100

110

120

130

La série estimée

5

10

15

20

Index



36 / 65

Moyenne mobile

´ ´ Modelisation et desaisonnalisation ` multiplicatif Cas du modele

` multiplicatif Pour t = (i − 1)p + j, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , p Le modele ´ eral ´ de la façon suivante : s’exprime donc en gen pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p

xij = fij (1 + sj ) + eij

´ ´ n represente le nombre d’annee. ´ coefficients saisonniers du modele ` multiplicatif. Les termes sj sont appeles ` ` les rapports xij /fij : Pour quantifier les variations saisonniere, on considere pour tout i = 1, . . . , n

pour tout j = 1, . . . , p

xij /fij = 1 + sj + eij /fij

Ce qui conduit a` une approximation de 1 + sj tel que : pour tout i = 1, . . . , n


pour tout j = 1, . . . , p


xij /Mp fij ≈ 1 + sj = Sj

37 / 65

Moyenne mobile



pour tout j = 1, . . . , p



pour tout j = 1, . . . , p




pour tout j = 1, . . . , p



37 / 65

Moyenne mobile



pour tout j = 1, . . . , p



pour tout j = 1, . . . , p




pour tout j = 1, . . . , p



37 / 65

Moyenne mobile


Exemple2 ` la serie ´ On considere chronologique ci-dessous : > serm Ann´ ee1 Ann´ ee2 Ann´ ee3 Ann´ ee4 Ann´ ee5 Ann´ ee6




38 / 65

Moyenne mobile


Exemple2 ` la serie ´ On considere chronologique ci-dessous : > serm Ann´ ee1 Ann´ ee2 Ann´ ee3 Ann´ ee4 Ann´ ee5 Ann´ ee6




38 / 65

Moyenne mobile


Exemple2

Observations

200

300

400

500

600

Moyenne mobile d'ordre 4 et la série brute

5

10

15

20

Mois



39 / 65

Moyenne mobile


Exemple2

> mmserm=filter(as.vector(t(serm)),filter=c(1/8,1/4,1/4,1/4, [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] NA NA 238.2099 250.3215 [2,] 262.1396 274.2845 287.6699 303.7729 [3,] 319.4938 334.7427 352.5091 370.1667 [4,] 385.7591 402.8951 422.9858 445.5251 [5,] 467.0904 489.4041 516.1668 545.2102 [6,] 572.7613 599.9553 NA NA > serm/t(matrix(as.vector(mmserm),4)) trimestre1 trimestre2 trimestre3 trimestre4 Ann´ ee1 NA NA 0.8448099 0.9944855 Ann´ ee2 1.046695 1.094353 0.8652411 0.9824397 Ann´ ee3 1.039037 1.109518 0.8607757 0.9884814 Ann´ ee4 1.054110 1.087123 0.8548215 0.9984728 Ann´ ee5 1.045657 1.096286 0.8438548 1.0076139 Ann´ ee6 1.044068 1.098898 NA NA AZIZA BELMAATI (FSTM )


40 / 65

Moyenne mobile


` On obtient des premieres estimations Sj0 des coefficients saisonniers en ´ calculant la moyenne (ou la mediane) des rapports figurant dans chaque ` additif, colonne. Par analogie avec les coefficients saisonniers sj du modele ´ ´ dont la moyenne est egale a` 0, on cherche des estimations definitives Sj de moyenne 1 : Pn 1 On calcule Sj0 = n1 i=1 (xij /Mp fij ) On obtient 2

On calcule la moyenne ms0 = p1 (S10 + · · · + Sp0 )

3

on pose Sj = Sj0 /ms0

Exemple2 S10 = 1.046695 ;S20 = 1.097236 ;S30 = 0.8539006 ;S40 = 0.9942987 avec ms0 = 0.9980326 ´ Les valeurs definitives sont obtenues de façon que les Sj0 soient de moyenne 1: S1 = 1.0487583 ;S2 = 1.0993990 ;S3 = 0.8555839 ;S4 = 0.9962587 AZIZA BELMAATI (FSTM )


41 / 65

Moyenne mobile




3




41 / 65

Moyenne mobile




3




41 / 65

Moyenne mobile


Exemple2

Observations

200

300

400

500

600

Modèle multiplicatif

5

10

15

20

Mois



42 / 65

Moyenne mobile

´ Prevision Estimation de la tendance

´ on retranche l’estimation de la Une fois les coefficients saisonniers estimes, ´ serie xt . ´ Definition ´ des variations saisonnieres ` ´ on appelle observation corrigee la valeur, notee ´ xcvs,ij , obtenue en eliminant l’effet saisonnier sur la valeur xij . On a pour le ` additif modele xcvs,ij = xij − sj ` multiplicatif alors que pour le modele xcvs,ij = xij /Sj ` ´ On procede ensuite a` l’estimation du terme representant la tendance par la ´ ´ methode de regression.



43 / 65

Moyenne mobile





43 / 65

Moyenne mobile





43 / 65

Moyenne mobile

´ Prevision

Exemple2 > ss [1] 1.0487583 1.0993990 0.8555839 0.9962587 > reg=as.vector(t(serm))/rep(ss,6) > lm(reg˜seq(1:24)) Call: lm(formula = reg ˜ seq(1:24)) Coefficients: (Intercept) 160.97


seq(1:24) 19.01


44 / 65

Moyenne mobile

´ Prevision ´ ´ Afin de prevoir les valeurs futures de la serie, on utilise l’estimation de la ` ´ ement, ´ tendance et celle de la composante saisonniere. Plus precis si on ´ ´ ` ` souhaite prevoir une valeur de la serie a l’instant T + h, ou` h ≥ 1, c’est-a-dire a` l’horizon h, on utilise on pose ˆT (h) = ˆfT +h + Sj , T + h ≡ j[p] X Exemple3 ´ ´ On etudie les ventes d’un produit sur 3 annees. 2005

Trim 1 2 3 4


Ventes 860 794 1338 1148

2006

Trim 1 2 3 4

Ventes 1096 1021 1705 1505


2007

Trim 1 2 3 4

Ventes 1436 1363 2319 2047

45 / 65

Moyenne mobile

´ Analyse des residus ` estime, ´ on peut controler ˆ ` par une Une fois le modele la pertinence du modele ´ analyse des residus qui son d”finis par ˆ t − ˆft εˆt = Xt − S ` est bon, il ne doit rester dans les residus ´ Si le modele aucune trace du saisonnier. ´ ´ ´ ` le graphe d’un Pour le verifier, on trace le correlogramme des residus, cad ´ estimateur de la fonction d’autocorrelation. ´ Definition ´ On appelle fonction d’autocovariance de X , la fonction γ definie par ∀h ∈ Z :

γ(h) = cov (Xt , Xt−h )

Remarque γ(0) = var (Xt ) γ(h) = γ(−h) AZIZA BELMAATI (FSTM )


46 / 65

Moyenne mobile





46 / 65

Moyenne mobile





46 / 65

Moyenne mobile





46 / 65

Moyenne mobile





46 / 65

Moyenne mobile

´ Analyse des residus ´ Definition ´ ´ On appelle fonction d’autocorrelation de X , la fonction ρ definie par ∀h ∈ Z :

ρ(h) = p

cov (Xt , Xt−h ) var (Xt )var (Xt−h )

=

γ(h) γ(0)

Remarque 1 ´ ρ(h) est une mesure de la dependance de la valeur X en une date par ´ ee ´ de h intervalles de temps. rapport a` sa valeur en une date decal 2 ρ(0) = 1 3 −1 ≤ ρ(h) ≤ 1 ´ Definition ´ ´ ´ La fonction d’autocorrelation empirique de la serie Xt est definie par PT ρˆ(h) = AZIZA BELMAATI (FSTM )

¯

t=h+1 (Xt − X )(Xt−h PT ¯ 2 t=1 (Xt − X ) ´ Series chronologiques

¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile


ρ(h) = p


=

γ(h) γ(0)


¯


¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile


ρ(h) = p


=

γ(h) γ(0)


¯


¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile


ρ(h) = p


=

γ(h) γ(0)


¯


¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile


ρ(h) = p


=

γ(h) γ(0)


¯


¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile


ρ(h) = p


=

γ(h) γ(0)


¯


¯) −X

47 / 65

Moyenne mobile

´ Effet d’une moyenne mobile sur les residus

´ e´ Propriet ´ Les moyennes mobile arithmetiques d’ordre minimise la variance d’un bruit blanc, et on a pour une moyenne mobile d’ordre 2m + 1 : 2m+1−h pour h ≤ 2m 2m+1 ρ(h) = 0 pour h > 2m



48 / 65


Plan 1

Introduction

2


3


4

Moyenne mobile

5


6




49 / 65


Lissage exponentiel simple

´ Definition ˆT (h), fornie par la methode ´ ´ ´ La prevision de la serie a` l’horizon h, X de lissage ´ par exponentiel simple est donnee ˆT (h) = (1 − β) X

T −1 X

β j XT −j

j=0

ou` β ∈ [0, 1] est la constante de lissage. ´ ´ Ce lissage permet d’effectuer des previsions pour des series dont la tendance ´ est constante et sans saisonnalite.



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´ Definition ˆT (h), fornie par la methode ´ ´ ´ La prevision de la serie a` l’horizon h, X de lissage ´ par exponentiel simple est donnee ˆT (h) = (1 − β) X

T −1 X

β j XT −j

j=0

ou` β ∈ [0, 1] est la constante de lissage. ´ ´ Ce lissage permet d’effectuer des previsions pour des series dont la tendance ´ est constante et sans saisonnalite.



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Remarques 1

2

3

4 5

´ ` fortement influencee ´ Si β est est proche de 0, la prevision est souple, cad ´ par les observations les plus recentes. ˆ ´ ´ ` Dans le cas extreme ou` β = 0, la prevision est alors egale a` la derniere ´ valeur observee. ´ ` fortement influencee ´ Si β est est proche de 1, la prevision est rigide, cad ´ par les observations passees. ˆ ´ dans le cas extreme β = 1, les previsions sont identiques. ˆ Afin d’exclure les deux cas extreme, pratiquement, on prend β ∈]0, 1[



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Remarques 1

2

3

4 5




51 / 65



Remarques 1

2

3

4 5




51 / 65



Remarques 1

2

3

4 5




51 / 65



Remarques 1

2

3

4 5




51 / 65


Lissage exponentiel simple ´ ´ La prevision a` l’horizon h, se fait a` l’aide de la formule dite formule recursive ´ par de mise a` jour, donnee ˆT (h) = β X ˆT −1 (h) + (1 − β)XT X

Algorithme de L.E.S 1 2 3

On choisi une valeur initiale Xt (0) = X1 ou Xt (0) = (X1 + · · · + Xl )/l ˆt = β X ˆt−1 (h) + (1 − β)Xt pour 0 ≤ t ≤ T X ˆt−1 = X ˆt pour t ≥ T + 1 X

Remarques ´ En pratique, si on souhaite faire une prevision rigide on choisi β ∈ [0.7, 0.99] ´ et si on souhaite une prevision souple on choisi β ∈ [0.01, 0.3].



52 / 65








52 / 65








52 / 65








52 / 65


Lissage exponentiel simple ´ L’intervalle de confiance de la prevision est de la forme ˆT (h) ± 1.96σCh X 1−β 2 2 2 ou` Ch2 = 1 + 1+β 2 [(1 + 4β + 5β ) + 2h(1 − β)(1 + 3β) + 2h (1 − β )] Exemple ´ ´ Considerons une serie de vente d’une entreprise, sur 16 mois

> vente=c(1293,1209,1205,1273,1220,1290,1243,1203,1390, 1360,1353,1343,1364,1330,1377,1332) > vente=ts(vente,start=c(1998,1),frequency=12) > vente Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct 1998 1293 1209 1205 1273 1220 1290 1243 1203 1390 1360 1999 1364 1330 1377 1332 Nov Dec 1998 1353 1343 1999 AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Lissage exponentiel simple ´ L’intervalle de confiance de la prevision est de la forme ˆT (h) ± 1.96σCh X 1−β 2 2 2 ou` Ch2 = 1 + 1+β 2 [(1 + 4β + 5β ) + 2h(1 − β)(1 + 3β) + 2h (1 − β )] Exemple ´ ´ Considerons une serie de vente d’une entreprise, sur 16 mois

> vente=c(1293,1209,1205,1273,1220,1290,1243,1203,1390, 1360,1353,1343,1364,1330,1377,1332) > vente=ts(vente,start=c(1998,1),frequency=12) > vente Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct 1998 1293 1209 1205 1273 1220 1290 1243 1203 1390 1360 1999 1364 1330 1377 1332 Nov Dec 1998 1353 1343 1999 AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Lissage exponentiel simple Exemple

1300 1200

1250

vente

1350

> plot.ts(vente,lwd=3)

1998.0

1998.2

1998.4

1998.6

1998.8

1999.0

1999.2

Time



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Exemple ´ ´ On note yˆ1 , . . . , yˆ2 la serie lissee. Mise a` jour de l’algorithme : 1 ` valeur (T = 0), on considere ` comme valeur initiale une Pour la premiere ` valeurs observees ´ ou egale ´ moyenne des premiere a` y1 . 2 ´ ´ a` β fixe, ´ on utilise la relation de mise a` jour Pour construire la serie lissee, yˆj = (1 − β)yj + β yˆj−1 > ventep=c(vente[1],rep(0,15)) > for(j in 2:16) + {ventep[j]=0.7*vente[j]+0.3*ventep[j-1]}



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Lissage exponentiel simple Exemple

1300 1200

1250

vente

1350

> ventp=ts(ventep,start=c(1998,1),frequency=12) > plot.ts(vente,lwd=3) > lines(ventp,col="red",lwd=3)

1998.0

1998.2

1998.4

1998.6

1998.8

1999.0

1999.2

Time



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Lissage exponentiel double ´ Definition ˆT (h), fournie par la methode ´ ´ ´ La prevision de la serie a` l’horizon h, X de lissage ´ par exponentiel double est donnee ˆT (h) = b ˆT h + a ˆT X ˆT ) est donnee ˆT , b ´ par ou` le couple (a

ˆT = 1−β (S1 (T ) − S2 (T )) b β ˆT = 2S1 (T ) − S2 (T ) a

avec β ∈ [0, 1] est la constante de lissage. Remarques ˆT dependent ˆT et b ´ Les expressions a de S1 et S2 qui sont respectivement le ´ lissage exponentiel simple de la serie initiale et le lissage exponentiel simple ´ ´ de la serie lissee. AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Lissage exponentiel double ´ eralise ´ ´ du lissage exponentiel simple au cas ou la serie ´ Ce lissage gen l’idee a ´ ´ La prevision ´ une la tendance lineaire et sans saisonnalite. a` l’horizon h, se fait ´ ´ par a` l’aide de la formule dite formule recursive de mise a` jour, donnee ˆT −1 (1)) + a ˆT ˆT + b ˆT = (1 − β 2 )(XT − X a 2 ˆ ˆ ˆ bT = bT −1 + (1 − β )(XT − XT −1 (1)) Algorithme de L.E.D 1 2

ˆt (0) = (Xt − Xl )/t0 ˆt (0) = X1 et b On choisi une valeur initiale a 0 ˆt−1 ] avec λ = 1 − β 2 ˆt = λXt + (1 − λ)[a ˆt−1 + b a

3

ˆt = µ[a ˆt−1 avec µ = ˆt − a ˆt−1 ] + (1 − µ)b b

4

ˆt = aˆt + b ˆt X



1−β 1+β

58 / 65




3


4




1−β 1+β

58 / 65




3


4




1−β 1+β

58 / 65




3


4




1−β 1+β

58 / 65




3


4




1−β 1+β

58 / 65




3


4




1−β 1+β

58 / 65


Lissage exponentiel double ´ L’intervalle de confiance de prevision est donne´ par q 2 ˆ XT (h) ± 1.96σ β+1 Exemple ` la serie ´ On considere suivante, correspondante a` un indice d’activite´

> indice=c(9050,9380,9378,9680,10100,10160,10469,10738,10910 11058,11016,10869,11034,11135,10845,11108,11115,11424,10895, 11437,11352,11381,11401,11507,11453,11561) > indice=ts(indice,start=c(1982,2),frequency=4) > indice Qtr1 Qtr2 Qtr3 Qtr4 1982 9050 9380 9378 1983 9680 10100 10160 10469 1984 10738 10910 11058 11016 1985 10869 11034 11135 10845 1986 11108 11115 11424 10895 1987 11437 11352 11381 11401 1988 11507 11453 11561 AZIZA BELMAATI (FSTM )


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Lissage exponentiel double

9000

9500

10000

indice

10500

11000

11500

Exemple

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

Time



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Lissage exponentiel double : Exemple

9500

10000

indice

10500

11000

11500

> iindice=c(indice[1],rep(0,25)) > pindice=c((indice[10]-indice[1])/10,rep(0,25)) > for(j in 2:26){ iindice[j]=(1-0.7ˆ2)*indice[j] +(0.7ˆ2*(iindice[j-1]+pindice[j-1])) pindice[j]=(0.3/1.3)*(iindice[j]-iindice[j-1]) +(1-(0.3/1.3))*pindice[j-1]} > indicp=iindice+pindice

0



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Lissage exponentiel double : Exemple

9500

10000

indice

10500

11000

11500

> iindice=c(indice[1],rep(0,25)) > pindice=c((indice[10]-indice[1])/10,rep(0,25)) > for(j in 2:26){ iindice[j]=(1-0.7ˆ2)*indice[j] +(0.7ˆ2*(iindice[j-1]+pindice[j-1])) pindice[j]=(0.3/1.3)*(iindice[j]-iindice[j-1]) +(1-(0.3/1.3))*pindice[j-1]} > indicp=iindice+pindice

0



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Plan 1

Introduction

2


3


4

Moyenne mobile

5


6




62 / 65


´ La methode de Holt-Winters

´ ´ ´ Cette methode permet d’effectuer des previsions sur des series assez ´ ` ` irreguli eres et soumises ou non a` des variations saisonnieres selon un ` additif ou multiplicatif modele



63 / 65


´ La methode de Holt-Winters ´ ` La methode non saisonniere

Holt et Winters ont propose´ une version des formules de mise a` jour pour le ´ ´ lissage exponentiel double pour lequel les ponderations dependent de deux ` parametres : ˆT (1) − X ˆT −1 (1)) + γ a ˆT = (1 − γ)(X ˆT −1 a ˆ ˆ ˆ bT = (1 − α)XT + α(XT −1 (1) − XT −1 (2)) ou` |α| < 1 et |γ| < 1 ´ ´ ´ par La prevision par cette methode est donnee ˆT (h) = aˆT h + b ˆT X Remarque ` que la On peut choisir les coefficients arbitrairement faibles si l’on considere ´ ´ valeur a` l’instant t depend d’un grand nombre d’observations anterieures, ´ es ´ dans le cas contraire. elev



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´ La methode de Holt-Winters ´ ` La methode non saisonniere

Holt et Winters ont propose´ une version des formules de mise a` jour pour le ´ ´ lissage exponentiel double pour lequel les ponderations dependent de deux ` parametres : ˆT (1) − X ˆT −1 (1)) + γ a ˆT = (1 − γ)(X ˆT −1 a ˆ ˆ ˆ bT = (1 − α)XT + α(XT −1 (1) − XT −1 (2)) ou` |α| < 1 et |γ| < 1 ´ ´ ´ par La prevision par cette methode est donnee ˆT (h) = aˆT h + b ˆT X Remarque ` que la On peut choisir les coefficients arbitrairement faibles si l’on considere ´ ´ valeur a` l’instant t depend d’un grand nombre d’observations anterieures, ´ es ´ dans le cas contraire. elev



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series chronologiques

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