Tesisma133rola Series

Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Civil

Matemática II

Apuntes de Clase Parte II Autor: Rolando Gandhi Astete Astete Chuquich Chuquichaico aico

2012, UNI, Perú

Índice general Portada 1. Series

i

1

1.1. Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Bibliografía

Matemáticas 2 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

22

i

1 Series e

ım “ l´Ñ8 n

ˆ` ˙ 1 n

1

n

Definición 1. Una serie numérica en K es un par de sucesiones an n N ; S n n N a1 an . Una serie de este tipo se representa relacionadas por la fórmula S n

p q P p q P

“ ` ¨ ¨ ¨ `

abreviadamente mediante

8

ÿ

an

“

n 1

1. an se le llama término general de la serie. 2. S n se llama suma parcial n-ésima. 3. La serie numérica (o simplemente serie) se dice convergente si existe l´ım S n nÑ8 S K .

“:

P

4. S recibe el nombre de suma de la serie y se escribe

8

ř

S . “ “ 5. Cuando a P R y l´ım S “ ˘8 la serie se dice divergente a ˘8 Ñ8 an

n 1

n

n

n

Teorema 1.0.1. (Condición necesaria de convergencia)

Si la serie

8

ř

an converge entonces existe l´ım an y vale 0.

Ñ8

n

“

n 1         

ă expression ą

Teorema 1.0.2. (Condición de Cauchy para la convergencia de una serie)

La serie numérica

8

ÿ

an

“

n 1

es convergente si y solo si para cada 

ą 0 existe n P N tal que verifica |a ` a ` ` ¨ ¨ ¨ ` a | ă , siempre que los naturales p, q cumplan n ď p ď q . p

0

p 1

q

0


1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

SERIES

Ejemplo 1. Veamos algunos ejemplos

La serie

8

ÿ

rn

“

n 0

con r

| | ă 1 es una serie convergente con suma 1

1

Si r

| | ě 1 la serie es divergente.

La serie

´r

8

1 n2 n“1

ÿ

es convergente ya que la sucesión S n n es monótona creciente y acotada

p q

la serie

8

1 n n“1

ÿ

es divergente, ya que no satisface el criterio de Cauchy proposición 1.0.1. La convergencia de una serie no se altera modificando un número

finito de términos de la misma. proposición 1.0.2. Sean

8

8

ř ř P ÿp ` an y

“

bn dos series convergentes con sumas A y B

“

n 1

n 1

respectivamente. Entonces para cada λ, µ

8

K , la serie

λan

µbn

“

n 1

es convergente y tiene suma λA

q

` µB

R tal que su restricción a a, b es integrable Riemann Definición 2. Sea f : a, para cada a b (una tal función se llama localmente integrable).

ă ă8

r 8y Ñ

r s

1. Se dice que f es integrable en sentido impropio en a, x propia es convergente) si existe l´ım a f t dt R

Ñ8

x

ş

pq P

r 8y (o que la integral im-

2. Dicho límite recibe el nombre de integral impropia de f en a,

ş

r 8y y se denota con

8 f ptqdt.

a

Teorema 1.0.3. (Condición de Cauchy para la convergencia de una integral impropia)

La integral impropia

b

ż p q

f t dt,

a

R es localmente integrable y b donde f : a, b para cada  0 existe c a, b tal que si c y z

r y Ñ ą

Px y

z

ˇˇż ˇ y


ď `8, es convergente si y solo si ď ă ă b entonces f ptqdt ă .

ˇˇ ˇ

2


SERIES

Corolario 1.0.1. La integral impropia 8 impropia a f para algún a b R.

ş

ă P

ş

8 f converge si, y solo si, lo hace la integral

a

La integral impropia

Ejemplo 2.

8

ż 1

es convergente para cada α para cada x 1 se tiene

ą

x

1

Y por tanto, para α

ą 1 y divergente para los otros valores de α ya que

1 dt tα

ż

1 dt tα

x

ż “

“ 1 ´1 α px ´ ´ 1q

t´α dt

1

1

α

ą 1 se tiene 8

1 dt tα

ż 1

mientras que para α

ď 1 es

1 ım x ´ ´ 1q “ l´Ñ8 p 1´α 1

α

b

8

ż

1 dt tα

“ `8. proposición 1.0.3. Sean f, g : ra, by Ñ R con b ď 8, tales que las integrales impropias f y g son convergentes. Entonces para cada λ, µ P R, la integral impropia pλf ` µg q es convergente siendo 1

b a

b a

b a

ş ş

ş

b

b

ż p

` µgq “ λ

λf

a

b

ż ` ż f

µ

a

g.

a

Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia: 1. Primer criterio de comparación .- Si an y bn son dos sucesiones de numeros reales tales que m N , tal que 0 an bn para todo natural n m. Entonces:

p q p q ď ď

D P

ě

8 8 a ) si la serie i“1 bi es convergente, la serie ai es convergente. i“1 8 8 b) si la serie

ř ř

ai es divergente, la serie

“

ř

ř

bi es divergente.

“

i 1

i 1

2. Segundo criterio de comparación .- Si an y bn son dos sucesiones de nu0 y bn 0 para todo n meros reales tal que an N y supongamos que an l´ım L R. Entonces:

Ñ8 bn

n

ě

“ P

a ) si L b) si L c ) si L

‰ 0, las series “ 0, la serie

8

8

ř

ai es convergente si y solo si

“

i 1

ř ř

ą

p q p q

P

8

ř “

bi es convergente, entonces la serie

“ 8

i 1

bi es convergente.

i 1

8

ř ř “ 8

ai es convergente.

i 1

“ 8, la serie “ a es convergente, entonces la serie “ b es convergente. i

i 1


i

i 1

3


SERIES

R es una función decreciente y 3. Criterio de la integral.- Si f : 1, f n . Entonces, la serie positiva, y si para cada n N , se cumple que an

8

ř

r `8y Ñ

P

ai es convergente si y solo si la integral impropia

“

i 1

divergente si l´ım

Ñ8

n

b

ş

r1,`8y f pxqdx existe , y es

p q “8. cociente.- Si pa q es una sucesión de numeros reales, y L “

Ñ8

b

4. Criterio del l´ım

ş

“ pq

ˆ ˙

1

f x dx

n

an`1 . Entonces, an

si L si L

8

ř ř

ă 1 la serie

i 1

ą 1 la serie

i 1

“ 8

ai converge. ai diverge.

“

5. Criterio de Raabe.- Si an es una sucesión de numeros reales y sea L an`1 Entonces: an

l´ım n 1

Ñ8

n

p q

ˆ´ ˙

si L si L

8

ř ř

ą 1 la serie

i 1

ă 1 la serie

i 1

“ 8

“


“

6. Criterio de la raíz .- Si an es una sucesión de numeros reales no negativos y sea L l´ım an . Entonces:

“

p q

? n

Ñ8

n

si L si L

8

ř ř ˆ ˙ñ

ă 1 la serie

i 1

ą 1 la serie

i 1

“ 8


“

? ? a ´ l´ım a . Además, l´ım l´ım a . Este “ nota: Si D l´ım Ñ8 Ñ8 Ñ8 a Ñ8 ? a ´ criterio se puede utilizar para hallar l´ım a hallando el l´ım n

an`1 an

n

n

ˆ ˙ n 1

n

n

n

Ñ8

n

n

n

n

n

Ñ8

n

n

ˆ ˙ ř p´ q

7. Criterio de Lebniz para la serie alternante .- Dada la serie

n 1

an

8

1 n an , con

“

n 1

ě 0,

an

si an es decreciente an`1 si l´ım an 0

Ñ8

n

ă a

“

entonces la serie

8

n

1 1 an converge.

ř p´ q “

n 1


4


Definición 3. Una serie

an se dice que es convergente absolutamente si la serie

“

n 1

8

ř| “

8

ř

SERIES

n 1

an es convergente

|

Demostración. Para cada criterio 1. Si an

ďb

n

para todo n

ě m, entonces las sumas parciales enésimas verifican: n

ř

ď B para todo natural n. Luego, si la serie “ b es convergente lo es también la sucesión pB q, y estará acotada superiormente, luego también lo estará pA q, y teniendo en cuenta que pA q es monótona creciente y acotada, Sera: An

n

i

i 1

n

n

n

n

pA q una sucesión convergente Ñ la serie n

ÿ

bi es convergente

“

i 1

n

Y si la serie

ř

ai es divergente lo sera también la sucesión An , que por ser mo-

p q

“

i 1

nótona creciente, no esta acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estará acotada superiormente la sucesión Bn , y teniendo en cuenta que es monótona creciente y no acotada, sera:

p q

n

pB q una sucesión divergente Ñ la serie n

2. Si L

ÿ

bi es divergente

“

i 1

‰ 0, Dm P N tal que para todo n ě m se verifica: L a L 3 ď ď 2 2 b n

n

y por tanto

Lbn 2

ď a ď 3Lb2

n

n

además; si la sucesión de sumas parciales enésimas B n converge, se cumple

Lbn y 2

3Lbn también converge, lo que implica que la serie de sumas parciales enésimas 2 n

An también converge. Luego la serie

ř

ai es convergente.

“

i 1 n

Y si la la serie

ř ř

ai es divergente, como la sucesión An diverge, entonces, las

“

i 1

Lbn 3Lbn sucesiones y también divergen, lo que implica que B n también diverge. 2 2 n

Luego la serie.

bi es divergente

“

i 1

Luego resulta que las tres series,

8 Lb n

ÿ “

i 1

2


,

8 3Lb n

ÿ “

i 1

2

y

8

ÿ

ai

“

i 1

5


SERIES

tienen el mismo carácter de convergencia. Y por tanto las series

8

ai y

“

i 1

tiene también el mismo carácter.

8

ř ř

bi

“

i 1

“ 0, D, un m P N tal que para todo n ě m se verifica ab ă 1 y, por tanto, a ă b y el resultado se sigue también del primer criterio de comparación. 3. Por ser f decreciente, sera para cada k P N : n

Si L

n

n

n

“`

x k 1

ż p ` qď ż ď

f k

1

p q ď f pkq.

f x dx

“

x k

Es decir:

“`

x k 1

ak`1

Y sumando desde k

p q ďa

f x dx

“

x k

k

“ 1 hasta k “ n, obtenemos: “`

x k 1

A k `1

ż ď

á

1

p q ďA

f x dx

“

x k

n

Y tomando limites a ambos miembros de la desigualdad, se obtiene el resultado pedido.

ˆ ˙ ą

a ´ ım 1. Entonces, a partir de un cierto natural “ l´Ñ8 a n . Se cumplirá que ą 1. Es decir a ` ą a ‰ 0 para n ě n . Luego sera l´ım a ‰ 0. Y la serie no cumplirá el criterio necesario de convergencia, por lo Ñ8 n 1

4. Supongamos que L

n

n

a

1

n`

0

n 1

a

n

n

que

0

n

n

8

ř

ai sera divergente.

“

i 1

ˆ ˙ă ˆ ˙

a ´ ım “ l´Ñ8 a Entonces existe un m P N tal que:

Supongamos que L

n 1

n

1 y sea x un número real tal que 0

n

an`1 an

para n

ă x ă 1.

ě m.

es decir

ă a x

an`1 an

n

para n

ě m.

Y en particular

ă ax a ` ă a ` xăa x . ¨¨¨ ¨¨¨ ¨¨¨ a ` ă a ` ´ xă¨¨¨ă a am`1

Luego se verifica:

m

2

m 2

m 1

m k

m k 1

8

8

ÿ ă ÿ ai

ě

i m


ě

i m

ai x i

m

k mx .

“ a 1 ´x x ă 8. m

6


SERIES

Ahora bien teniendo en cuenta, que la suma de una serie finita de términos finitos es fin 8 8 8

` a 1 ´x x ă 8. ě ě ě 5. Supongamos que L ą 1 y sea x un numero real tal que L ą x ą 1. Entonces, Dm P N tal que para todo m P N y para todo n ě m se verifica:

ÿ `ÿ

i

ai

i m

ai x

i m

ÿ “

ai

m

i m

ˆ ´ ˙ą an`1 an

n 1

x

Es decir:

p ´ a ` q ą xa .

n an

n 1

n

Y por tanto:

p ´

m am am`1

q`pm`1qpa ` á ` q`¨¨¨`npa á ` q ą xpa à ` à ` `¨¨¨à q. m 1

m 2

n 1

n

m

m 1

m 2

n

Luego: mam

à

`

m 1

` ¨ ¨ ¨ ` a ´ na ` ą xpa ` a n 1

n

m

`

m 1

` ¨ ¨ ¨ ` a q. n

Y de aquí resulta:

` ¨ ¨ ¨ ` a ă pm ´ xqxa´ 1´ na ` ă pmx´´x1qa pm ´ xqa a ` ¨ ¨ ¨ ` a ă a ` ¨ ¨ ¨ ` a ` x´1

Con lo que:

n 1

m

am`1

m

n

m

1

Y la serie

8

ř

n

1

m

es convergente, por que la sucesión de sumas parciales está acotada.

“

i 1

Supongamos ahora que L n m se verifica:

ą

ă 1. Entonces, existe un m P N tal que para todo

ˆ´ ˙ an`1 an

n 1

Es decir

pn ´ 1qa ă na ` . n 1

n

Y por tanto:

ă pm ` 1qa ` ă ¨ ¨¨ ă pn ´ 1qa

mam`1

Luego:

m 2

` ą ma n´1

am

Y como la serie n que la serie

8

ř

n

m 1

´ 1 es divergente, por el primer criterio de comparación resulta

ai es divergente.

“

i 1


7


SERIES

6. Supongamos que L

ă 1 y sea x un numero real tal que L ă x ă 18. Entonces,Dm P N tal que a ă x para todo n ě m. Y la convergencia la serie a se sigue del “ 8 x converge. primer criterio de comparación, pues por ser 0 ă x ă 1, la serie “ Supongamos ahora que L ą 1. Entonces, a ą 1 para infinitos valores de n y n se cumple, la condición necesaria de que l´ım a “ 0, para que se cumpla la Ñ8 n

n

ř ř

i

i 1

i

i 1

n

0

convergencia de la serie

n

n

8

ř

ai

“

i 1

Observaciones y ejemplos:

En el caso del segundo criterio de comparación, si L no se puede afirmar nada sobre la serie

8

ř

“ 0 y la serie

ai .

“

8

ř

bi diverge,

“

i 1

i 1

Por ejemplo, si an

8

ř

“ 0 y b “ 1, sera L “ 0, y la serie “ a converge. Mientras, 8 1 que si a “ y b “ 1, sera L “ 0, y la serie a diverge n “ n

i

i 1

n

ř

n

i

i 1

8

1 es convergente si p 1, y divergente si p 1. Puesto que la integral p i“1 i 8 i indefinida 1 p es convergente si p 1, y divergente si p 1. x

La serie

ř ş

ą

ď

ą

ď

8

Del primer criterio de comparación, se sigue que la serie

“ 8

n 1

2

puesto que 0

ř ř

ď senn x ď n1 para todo n P N . Y la serie 2

3

Por el segundo criterio la serie

8

n

ř p ` qp ` qp ` q ř

sen2 x n3

es convergente,

1 es convergente. 3 i“1 i

. Es convergente, ya que

1 n 2 n 3 8 1 1. Y la serie es convergente. 2 i“1 i

“ n

n 1

n l´ımn n2 pn`1qpn` 2qpn`3q

“

En el criterio del cociente, no se puede afirmar nada si L para las series

8

1

8

1 es L 2 i“1 i

ř ř 1

“

i 1

i

y

que la segunda convergente.

“ 1, y la primera serie es divergente, mientras

En el criterio de la raíz, no se puede afirmar nada si L para las series

8

1 y 1 i“1 i

8

1 es L 2 i“1 i

ř ř

que la segunda convergente.


“ 1, ya que por ejemplo,

“ 1, ya que por ejemplo,

“ 1, y la primera serie es divergente, mientras

8


SERIES

8

1 , es convergente, ya que: ! i i“1

ř

La serie

1

pn`1q!

l´ım

1

Ñ8

n

1 ım “ l´Ñ8 “ 0 n`1 n

n!

Ejemplos 1. Use el criterio de la integral para determinar si la serie diverge.

8

1 converge o ln6q p n“1

ř

n

Solución. Sea

p q “ pln16q “ pln6q´ ñ lny “ lnpln6q´ ñ lny “ ´xlnpln6q x

f x

x

x

derivando respecto de x 1 Dx y y

“ ´lnpln6q ô D y “ ýlnpln6q

∴

x

p q “ ´ p p q q ; f 1pxq ă 0@x ě 1; ‘por lo tanto, f es decreciente @x ě 1. Se ln ln6 ln6

f 1 x

x

cumplen pues las hipótesis del criterio de la integral. Veamos

8

ż 1

1 dx ln 6 x

p q

ż p q “ ˜´ p q ˇˇ ¸ p q ˆ´ p q ` p q ˙ b

ım “ l´Ñ8 b

ln6 ´xdx

1

ln 6 ´b ln ln 6

ım “ l´Ñ8 p q “ lnpln61q ˆ ln6 b

l´ım

Ñ8 ln 6 ´1 b

ln6 ´x ln ln6

b

1

p q

ln ln6

existe. De acuerdo con el criterio de la integral se ha demostrado que la serie

8

1 es convergente ln6q p n“1

ř

n

2. Considere la función

" p q“

f x

1 si x 0 si x

P Z R Z

8

ş ş p q p “q “ ř p q “

La función f es positiva pero no continua ni decreciente. La integral 1 f x dx b b converge porque 1 f x dx 0 para cualquier b 1, así que l´ım 1 f x dx 0.

ş

p q “ ą Ñ8 8 f pnq diverge porque sus sumas parciales son S f k n Pero la serie “ “ para cualquier n P N , así que l´ım S “ 8 Ñ8 Usando la misma función f anterior, ahora la función g pxq “ 1 ´ f pxq tiene una integral divergente porque g pxqdx “ b ´ 1 para cualquier b ą 1, pero su serie converge porque g pk q “ 0 para cualquier n.

ř

b

n

n

n 1

k 1

n

n

ř “

ş

n

b

1

k 1


9


SERIES

La razón por la que la convergencia de la serie no es equivalente a la convergencia de la integral para las dos funciones anteriores no es que ellas sean discontinuas, sino que no son monótonas. cosp2πxq 3. Un ejemplo con una función que no es toda positiva puede ser h x , x para x 1 (vea el gráfico abajo). Esta función cambia de signo y tiende a cero 1 de una manera tal que su integral impropia converge, pero h n para cada n

p q“ p q“

ě

n

8

ř

P N , de modo que la serie

h n diverge.

pq

“

n 1

8

ř

4. La siguiente serie es divergente

“

n 1

| | En efecto

ln n n

p q “ 1 ´xlnx ă 0

f 1 x

2

es decreciente, aplicando el criterio de la integral

8 ln|x|

ż

x

1

b

dx

ım “ l´Ñ8 b

1

ım “ l´Ñ8 “ 8´0 b

∴

ż | | “ ˜ p | |q ˇˇ ¸ ˆ p | |q ´ p q ˙

8

ln x dx x

ln b 2

ln x 2

l´ım

Ñ8

b

2

ln 1 2

b

2

1

2

| | diverge

ln n n

ř “

n 1

5. Usando el criterio de comparación la serie

3

3

2

8 2`cosn es convergente, en efecto: 2 `n n“1 3

ř

6. La serie

n

se conoce que

3

Sean an

“

3

`cosn 2 `n

2

ˆ˙

` cosn ď 3 “ 3 1 0ď 2 `n 2 2 y b “ 3 entonces 0 ď a ď b . 2

n

Como

8 p2n`3q es convergente. En efecto p n `1q n“1

ř

n

n

1 2

n

n

`˘ ÿ “ ÿ p q ă `8 n

8

bn

“

8

“

n 1

n 1

3

1 2

n

n

n

porque la serie de la derecha es una serie geométrica de razón

1 2

1. Es decir, la ă 8 8 b “ converge. Por el criterio de comparación, obtenemos a ă `8. serie “ “ 8 ` es decir ` ă `8 “

ř

ř

n

n 1

n

n 1

ř

2

n 1

7. De la serie

cosn3 n 2 n

8

ř “

n 1

definida por:

an

“ se sabe que la sucesión de las sumas parciales tS u viene3 n

“ 2nn``43 @n P N

S n Matemáticas 2 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

10


SERIES

Hallar a ) el término general de la serie. b) el carácter de la suma de la serie. Solución. (a) El primer término de la serie a1 coincide con S 1 , i.e. a1

“ S “ 1

el resto de los términos

1

“ S ´ S ´ “ 2nn``43 ´ 2nn``31 “ pn ` 3qp5 n ` 4q

an

n

n 1

en este caso el primer término no sigue la regla general así:

8

ÿ “

n 1

“ 1

an

8

5

ÿ `

“ pn ` 3qpn ` 4q

n 2

Solución. (b) La serie converge la suma es 2n ` 3 ım S “ l´ım “ l´Ñ8 “2 Ñ8 n ` 4

S

b

n

b

Ejercicio 1. Analizar la convergencia de las siguientes series

a)

8

ř ř ř ř

1

(Rpta. converge)

p `q n“1 8 1 ? b) n ln|n| n“1 8 c) n2 eń n“1 8 1 d) n `1 n“1 n 2n 5

(Rpta. diverge)

3

3

(Rpta. converge) (Rpta. converge)

2

Ejercicio 2. Pruebe la convergencia o la divergencia de cada serie

a)

4 7

4 8

4 9

b)

ř ř ř ř ř p´ q

4 10

4 11

´ ` ´ ` ´ ¨ ¨ ¨ 8 1q ´ p´ “ n 1 ln n n

n 1

8 p´3q c) n n“1 8 p´1q ? n d) n“1 8 p´1q n

1

n´

1

n´

(Rpta.

(Rpta.

n

(Rpta. converge)

4

“ 8

n 1

f )

(Rpta.

3

e)

“

n 1

n

1

´

n 1

n n2 1

`


(Rpta. 11


g)

8

ř “

SERIES

n2

n 1

3n

(Rpta.

Ejemplo 3. Estudiar el carácter de la serie, para los distintos valores de a

8 a

ÿ p ` qp ` q¨¨¨p ` q 1 a

“

n 1

2 n!

a

n

Solución

Aplicando el criterio del cociente, se tiene an`1 nÑ8 an l´ım

n! pa ` 1qpa ` 2q¨¨¨pa ` n ` 1q . ım “ l´Ñ8 pn ` 1q! pa ` 1qpa ` 2q¨¨¨pa ` nq a`n`1 ım “ l´Ñ8 “1 n`1 n

n

de modo que el criterio del cociente no decide sobre la convergencia. Usamos el criterio de Raabe:

ˆ´

l´ım n 1

Ñ8

n

a

˙

ˆ ˆ ˙

˙ ˆ ˙

` n ` 1 “ l´ım n n ` 1 ´ 1 ´ 1 ´ 1 Ñ8 n`1 n`1 á “ l´ım n án “ á ım n “ l´Ñ8 Ñ8 n`1 n`1 n

n

n

De donde se tiene Para

á ą 1 ñ a ă ´1 la serie es convergente Para á ă 1 ñ a ą ´1 la serie es divergente Para á “ 1 ñ a “ ´1 el criterio no decide, pero, en este caso, al tener el valor de a, para estudiar la convergencia basta sustituir en la serie. Así Para a

“ 1 se tiene a “ 0 ñ n

ř

“ 0 ` 0 ` ¨ ¨ ¨ ` 0 ñ la serie es convergente.

an

En el estudio de las funciones elementales por ejemplo las funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, no se dieron métodos para calcular sus valores cuando estos no son exactas. Ejemplo sen 23 , e

“ expp1q, etc.

En este capítulo estudiaremos la forma de aproximar estas funciones como un polinomio para luego ser evaluados con cierto error de aproximación. Para esto sea f una función, entonces f se puede aproximar a un polinomio de


12


SERIES

grado “ n” con la propiedad que en x0 se cumpla: n

ÿ q“ p ´ q ÿ p´ q q“

P p x

P n x0

Ñ P 2 px q “

x0

“

i 0

n

P p1 x

i

Ñ

ai x

iai x

“

i 1

p q “ f px q

x0

i 1

´

P n1 x0

n

0

0

.. .

P npnq x0

p q “

0

p q “ f 1px q f 2 px q 0

f pnq x0

p q

Formula de Taylor Se dice que una función es una función polinomial de grado “n” si 2

n

p q “ a à xà x `¨¨¨à x donde cada a es un número real a ‰ 0, los exponentes son enteros positivos. f x

0

n

1.1.

1

2

n

n

Serie de Potencias

Definición 4. Se llama serie de potencias a la serie de funciones del tipo

8

ÿ

an xn

“

n 0

8

ÿ “

n 0

n

2

n

“ a à xà x `¨¨¨` a x `¨¨¨ 0

1

2

n

2

n

p ´ x q “ a ` a px ´ x q ` a px ´ x q ` ¨ ¨ ¨ ` a px ´ x q ` ¨ ¨ ¨

an x

0

0

1

0

2

0

n

0

donde los coeficientes a0 , a1 , a2, . . . , an, . . . son constantes.

8

Teorema 1.1.1. Si la serie de potencias

particular de x que x x0 .

| | ă | |

ř

an xn es convergente para algún valor

“

n 0

“ x ‰ 0, entonces es absolutamente convergente para todo valor x tal 0

Si la serie de potencias

8

ř

an xn es divergente para algún valor particular de x

“

n 0

“

‰ 0, entonces es divergente para todo valor x tal que |x| ą |x |.

x0

0

Demostración. Consideremos que:

8

ř

an xn0 conv

“

n 0 n

|a x n

n n 0

n n 0

ım a x “ 0 ñ |a x | ď 1 ñ l´Ñ8

xn n an n x0 x0

ˇ |“ˇ

n

ˇˇ “ |

an xn0

ˇ| ˇ

xn xn0


ˇˇ ď

1

ˇ¨ ˇ

xn xn0

ˇˇ “ ˇˇ

xn xn0

ˇˇ “

rn

13


8

an xn

ř| “

n 0

r

ă 1

8

ř

|ď

ˇ ˇ ôˇ

xn xn0

an xn0 div

8

SERIES

rn conv

ř

ñ abs conv

“

n 0

ˇˇ ă ˇ

1

ô |x| ă |x | 0

ñ para |x | ą |x | no puede ser “ lutamente convergente para |x| ą |x | n 0

1

0

1

8

ř

an xn1 converge, ya que sería abso-

“

n 0

Teorema 1.1.2 (convergencia de la serie de potencias). Par la convergencia de las

series de potencias

8

ř

an xn solamente caben las tres posibilidades siguientes:

“

n 0

1. la serie converge únicamente en el punto x

“0 2. la serie converge en toda la recta real p´8, `8q, 3. la serie converge en un intervalo centrado en el origen R, R y diverge fuera de él. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de dicho intervalo

p´ ` q

Definición 5. Al intervalo donde converge la serie se llama intervalo de convergencia y a R radio de convergencia.

El intervalo de convergencia podrá ser:

x´R, Ry

r´R, Ry,

x´R, Rs,

r´R, Rs

Para hallar la convergencia en los extremos del intervalo habrá que estudiar la convergencia de las series numéricas:

8

ÿ

n

an R ,

“

8

ÿ “

n 0

n 0

an

n

p´Rq

Teorema 1.1.3 (radio de convergencia). El radio de convergencia de una serie de

potencias puede calcularse por cualquiera de las fórmulas siguientes: R

|a | ım “ l´Ñ8 |a ` | n

n

n 1

R

1 ım “ l´Ñ8 |a | n

a n

n

Nota 1. Cuando el exponente de x es distinto de n, estas fórmulas pueden no ser válidas. En efecto, cuando el exponente de x es n, al aplicar el criterio del cociente

resulta

ˇˇ ˇ

tn`1 l´ım nÑ8 tn

ˇˇ “ | | ă ˇ x L


1

ñ |x| ă L ñ R “ L “

ˇˇ ˇ

an l´ım nÑ8 an`1

ˇˇ ˇ

14


SERIES

Sin embargo, en los demás casos resulta

ˇˇ ˇ

tn`1 l´ım nÑ8 tn

xk L

ˇˇ “ | | ă ˇ

1

k

ñ |x| ă L ñ R ‰ L “

ˇˇ ˇ

an l´ım nÑ8 an`1

ˇˇ ˇ

Hemos llamado t n al término completo de la serie y a n a la parte numérica. Cuando el radio de convergencia es R 1, en la práctica, el error no se produce ya que x k 1

“

ô |x| ă 1.

| | ă

1. El intervalo de convergencia de la serie

Ejemplo 4.

8

ř “

n 0

R

x n!

n

es todo

R.

En efecto

|a | “ l´ım pn ` 1q! “ l´ım pn ` 1qn! “ l´ım pn ` 1q “ 8 ım “ l´Ñ8 Ñ8 n! Ñ8 |a ` | Ñ8 n! n

n

n

n 1

n

n

de manera que el intervalo de convergencia es verge en toda la recta real.

x´8, `8y, es decir la serie con-

8

ř

nn xn converge solo para x

l´ım

a | | “ a | | “

2. La serie

“

n 0

En efecto

n

Ñ8

n

3. La serie

8

ř “

n 0

an

2n xn n!

l´ım

n

Ñ8

n

nx n

“0

| Ñ8

l´ım nx n

" | “ ˘8

cuando x 0 cuando x

‰0 “0

es convergente y converge en toda la recta real.

En efecto Aplicando el criterio del cociente 2 ` x ` n!| | | |2x| “ 0 ă 1 a ` | l´ım l´ım l´ım “ “ Ñ8 |a | Ñ8 |pn ` 1q!2 x | Ñ8 |n ` 1| la serie converge @x P R así el intervalo de convergencia es x´8, `8y 8 4. El intervalo de convergencia La serie es r´4, 4y “ n 1 n 1

n 1

n

n n

n

n

ř

n 1

x n4

n

n

n

En efecto Aplicando el criterio del cociente

a ` | x ` n4 | | | |nx| “ 1 |x| ă 1 l´ım l´ım l´ ım “ “ Ñ8 |a | Ñ8 |pn ` 1qx 4 ` | Ñ8 4|n ` 1| 4 es cierto cuando |x| ă 4, veamos en los extremos: n 1

n 1

n

n

n n 1

n

n

x

8

4

“8

1

4

n

“ 8 p´4q p´1q n4 n n“1 n“1

n 1

x

8

4n n4n

“ ñ ř “ ř “´ ñ ř “ř

n

n 1

n

n

:diverge n

: converge

así el intervalo de convergencia es

r´4, 4y


15


SERIES

8

1

“

n 1

En efecto Aplicando el criterio del cociente

p ´? q es el intervalo x´2, 6s. n 4

n x 2

ř p´ q

5. El intervalo de convergencia de la serie

n

n

? ? a ` | x ´ 2q ` 4 n| x ´ 2q n| |x ´ 2| | |p |p l´ım ım ım “ l´Ñ8 Ñ8 |a | |4 ` ? n ` 1px ´ 2q | “ l´Ñ8 |4? n ` 1| “ 4 ă 1 es cierto cuando |x ´ 2| ă 4, veamos en los extremos: n 1 n

n 1

n

n 1

n

n

n

8

8 p´1q ? n :converge 1 4 n“1 n“1 8 8 1 n 4? ? n : diverge 1 4 n n“1 n“1 n

“ ñ ř p´ q “ ´ ñ ř p´ q

´2 x´2 x

4

4

n

4n

n

n

n

así el intervalo de convergencia es 6. La serie geométrica

8

ř

rn

“

n 1

ř “ ř

? n “

n

x´2, 6s 8 es converge si |r | ă 1 y la suma converge a r “ “

ř

n 1

1

n

´r

1

nn 8 Ejemplo 5. Hallar el intervalo de convergencia de la serie n“1 p1 ` x2qn (Rpta.

1. Analizar la convergencia de las series:

Ejercicio 3.

ř

8 p´1q x ´ 2qn p a) n4 n“1 8 p´1q x ` 1qn p b) n n“1 1

n´

ř ř

n

n

n

2. Desarrollar en series de potencias, indicando el intervalo de convergencia,de: a) f x

p q“ b) f pxq “

1

c) f x

p q“ d) f pxq “

´r 1 1`x 1

5

´x 5 3´x 3

Analizar la convergencia de: 1.

ř p ? ´ q ř “p q ´ ‰ řp q ř ? ¯ ř´ 8 “ 8

n

n

1

n

n 1

2.

“ 8

n 1

3.

“ 8

n 1

4. 5.

`

n 1 n n

n2 2

1

n`

2n n 1

`

ń

n

3n

pn´1q! ? ? p1`1qp1` 2q¨¨¨p1` nq n“1 8 “

n 1

n

¨ ¨ ¨....¨p3n´2q 3¨6¨9¨...¨3n

147

2


16


SERIES

Convergencia uniforme

Una serie se dice que converge de manera uniforme en un conjunto D, cuando, dado el error, podemos sumar el mismo número de términos en todos los puntos sin salirnos del error. Es decir,

@ε ą 0, DN P N, @x P D, @n ą N, | R pxq |ă ε n

En la práctica la convergencia uniforme se determina de la siguiente forma: Dado ε 0, la inecuación Rn x ε se puede resolver en n f ε , independientemente del valor de x. Para ello, se ha de cumplir que Rn x 0, independientemente del valor de x

ą

| p q| ă

| p q| Ñ

ą pq

Teorema 1.1.4 (Criterio de Weierstrass.) . Si una serie de funciones está mayora-

da (acotada superiormente), en valor absoluto, por una serie numérica convergente, entonces la serie de funciones es absolutamente convergente de manera uniforme

@x P Ω, |f pxq| ď a n

ř

n

an convergente

Demostración.

*ñř

absolutamente convergente de manera uniforme en Ω

an

|R pxq| “ |S pxq ´ S pxq| “ | f ` pxq ` f ` pxq ` ¨ ¨ ¨ | ď | f ` pxq | ` | f ` pxq | ` ¨ ¨ ¨ ď a ` à ` `¨¨¨ “ R @x P Ω n

n

n 1

n 2

n 1

n 1

n 2

n 2

n

Luego, dado ε cuencia, Rn x

| p q|

ą 0, como

ř

an es convergente, se tiene que Rn

La serie geométrica

8

ÿ “

n 0

rn

ă ε, y, en conse-

“ 1 ´1 r

r es la razón

1.2.

Serie de Taylor

Ciertas funciones f x no pueden ser determinadas o calculadas exactamente en algunos puntos x0 de su dominio, solo pueden ser determinadas de manera aproximada. Supongamos que la función y f x tiene derivadas hasta de orden n 1 inclusive, en cierto intervalo que contiene al punto x 0 así para determinar de este valor aproximado de la función en dicho punto aproximamos f x a un polinomio P n x de grado n donde n dependerá del grado de aproximación que se desea determinar.

pq

“ p q

`

pq


pq

17


n k 0 ak

p q“ř

Si P n x

“

SERIES

k

px ´ x q 0

donde los coeficientes ak

“

f pkq x0 k!

p q

Una expresión para calcular el error que se comete cuando se aproxima f x por el polinomio P n x esta dado por:

pq

pq

Teorema 1.2.1 (Teorema de Taylor). Sea f una función que tiene derivadas continuas hasta de orden n 1 inclusive en cierto intervalo I que contiene al punto x0 , entonces para todo x I : n f pkq x0 f x x x0 k Rn x; x0 k! k “0

`

P

p qp ´ q ` p

ÿ p q“

donde:

p

Rn x; x0

q“

se llama residuo Si hacemos: E n x

1 n!

q

x

ż

f pn`1q t x

n

p qp ´ tq dt

x0

p q “| R pxq | n

E n x , se le llama error de truncamiento

pq

Teorema 1.2.2 (Teorema del valor medio para integrales). Si f es continua en el intervalo a, b , existe un número c en dicho intervalo tal que

r s

b

ż p qp ´ q “ p q

f c b

a

f x dx

a

Este teorema asegura que una función continua en el intervalo cerrado I alcanza su valor promedio por lo menos en un punto de I Usando el teorema del valor medio para integrales, se obtiene la expresión para el residuo

p

Rn x; x0

f pn`1q c x n 1!

q “ p ` pq q p ´ tq `

n 1

donde x0 c x ó x c x0 , a esta forma del residuo se le conoce como la Formula de Lagrange para el residuo.

ă ă

ă ă

Así para aquellos valores de x en el que el residuo Rn x es pequeño, el polinomio P n x da un valor aproximado de la función f x .

pq

pq

pq

Teorema 1.2.3 (Convergencia de la serie de Taylor). Para que sea posible desarrollar la función f x en serie de Taylor en un intervalo I es necesario y suficiente que el término complementario Rn x tienda a cero cuando n tiende a , para todo x I

pq

pq

p q“

l´ım Rn x

Ñ8

n

f pn`1q c l´ım x nÑ8 n 1 !

8

P

p q p ´ x q ` “ 0 para todo los x P I p ` q 0

n 1

Teorema 1.2.4 (Condición suficiente de convergencia). Para que sea posible desarrollar la función f x en el intervalo I x0 R, x0 R en una serie de Taylor es suficiente que f x tenga en este intervalo derivadas de todos los órdenes y que exista una constante K 0 tal que

pq “ p ´ ` q pq ą | f p qpxq | para n “ 0, 1, 2, ¨¨¨ y para todo los x P I n


18


SERIES

Ejemplo 6. Determinar el polinomio de Taylor de grado n de la función f x x 9 al rededor de x0 0 y dar una expresión para el resto. x2 2x 3

`

pq“

“

´ ´

Solución f pnq x

p q “ p ´1q n! 3px ´ 3q´p ` q ´ 2px ` 1q´p ` q f p ` q pxq “ p ´1qp ` q pn ` 1q! 3px ´ 3q´p ` q ´ 2px ` 1q´p ` q n 1

“ ” ´ ı

n 1

luego

f pnq 0

n

p q “ p ´1q n!

Así

n 1

“

n

3

p´3q

n 1

n 2

‰

n 2

2

1

n`

n

„  ÿ p q “ p´ q p´ q ´ „  p q“p´ q ´ P n x

1

“ pn`1q

3 3 n`1

k

k 0

1

Rn x

‰

3 3

2 1

`

n 2

pc ´ q

2 xn

pc ` q

`

n 2

xn`1

Ejercicio 4. 1. Determine la serie de taylor al rededor de x0 sin x, cos x, ln 1 x , arcsin x, exp x,

p ´ q

2. Desarrollar la serie de potencias centrada en x0 convergencia

“ 0 de las funciones

“ 1, indicando el intervalo de

px´3q 3. Determinar el intervalo de convergencia y sumar la serie 8 n“1 n`2

ř

Ejemplo 7. Calcular, con precisión de hasta 0, 001

{

1 2

ż

1

n

´ cosx dx x2

0

Desarrollamos el integrando en serie de potencias cosx

8

1 n x2n 2n !

ÿ “ p´ q “

n 0

así ´xcosx 1

2

“

p q

2

4

´1` ´ `¨¨¨ x

1

2!

x

4!

x2

x2

x4

2!

4!

“ ´ ` ¨ ¨ ¨

sustituyendo en la integral

{

1 2

ż 0

1

2

{

1 2

x2 4!

ż ˆ ´ ` „ “ ´ `

´ cosx dx “ x

0

1 2!

x4 6!

˙ ´ ¨ ¨ ¨  ´ ¨ ¨ ¨

dx

{

1 2

x x3 x5 2! 3 4! 5 6! 0 1 1 1 2 2! 23 3 4! 25 5 6!

¨

¨ “ ¨ ´ ¨ ¨ ` ¨ ¨ ´ ¨ ¨ ¨ Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz, el error de la aproximación vendrá determinado por el valor absoluto del primer término que no sumemos. Observamos que: Matemáticas 2 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

19


SERIES

1 1 | t |“ 2 ¨ 13 ¨ 4! “ 576 ą 100 2

1 1 | t |“ 2 ¨ 15 ¨ 6! “ 115200 ă 1000

y

3

3

5

luego para calcular la suma con la precisión requerida, basta sumar los dos primeros términos de la serie es decir,

{

1 2

ż

1

0

´ cosx dx “ x2

1 2 2!

1 ´ ¨ 2 ¨ 3 ¨ 4! “ 0,25 ´ 0,0017 “ 0,24831 3

Ejercicio 5. Calcular, con precisión de hasta 0, 001 :

1. 2.

ş ş

0,1 ln 1

p `xq dx x

0 1

0

2

e´x dx

Calcular ln 1, 3 usando ln 1

p ` xq con 3 decimales exactas

Determinar el menor grado del polinomio de aproximación para evaluar la función 1 f x x cos x, con error de truncado menor de 10´4 , sabiendo que 0 x 4

p q“ `

ă ă

x Calcular ln1, 3 usando ln 11` ´x con 3 decimales exactas Calcular ´x x

l´ım

é

e

Ñ0 senx

x

Aplicando el desarrollo de Taylor en un punto adecuado calcular

p ` q

x ln 1 x xÑ0 sen2 x l´ım

Aplicando el desarrollo de Taylor en un punto adecuado calcular ex l´ım xÑ0 x l´ım

senx

é ´ senx

Ñ0 x´1 p

tanx 1 cosx

´ q ln p1 ` xq ´ sen x l´ım Ñ 1é x

2

x

0

2

x2

Calcular el valor de la integral con una aproximación menor que 10´5 Ejercicios x ln 11` 1. ¿Cuántos términos del desarrollo de Taylor de la función f x ´x en un punto conveniente son suficientes para obtener ln 2, 2 con un error menor que 10´4 ?

p q“

2. ¿Para que valores de x la fórmula aproximada cos x mayor de 0, 001? Matemáticas 2 Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico

« 1´

x2 2

da un error no

20


SERIES

3. Calcular el número π6 con exactitud hasta 0, 001, valiéndose del desarrollo en series de la función arcsin xDeterminar la series de Maclaurin de las siguientes funciones e indicar los intervalos de convergencia de ellas:

p q “ p3xx´´22q cos x f pxq “ 9`x f pxq “ xe´ e é ´ f pxq “ ? 4´x f pxq “ ln 1 ` x ´ 2x

a f x

2

2

b c

2

2x

x 1

x

d e

2

2

4. Desarrollar en series de potencias de x las funciones que se dan, e indicar su intervalo de convergencia 2

a f x b c d

2

p q “ sen x cos x f pxq “ p1 ` xqe´ f pxq “ p1 ` e q ? f pxq “ 8 ` x x ´ 3x ` 1 f pxq “ x ´ 5x ` 6 f pxq “ ? ´ 1 f pxq “ 4´x f pxq “ ln 2 ` 3x ` x x

x 3

3

2

e f g h

2

ş

x

0

dx 1 x4

4

2

5. Determinar el valor aproximado a 4 cifras decimales de las integrales definida 1 2

? xdx`1

p q“ş p q “ ş ? ´ p q“ş

a f x

0

b f x

0

c f x

1

1 2

0

2

1

x2 dx

? 1dx´x

4

6. Usando la serie binomial halle la serie de Maclaurin así como el intervalo de convergencia de las serie resultante x2

p q “ ? 1 ` x x f pxq “ ? 1`x

a f x b

3

p q “ ? 4 1` x f pxq “ ln 2 ` 3x ` x

c f x d

2

4

2


21

Bibliografía [1] Hasser y Lasalle Análisis Matemático Vol-I, Vol-2. Editorial Trillas 1o edición México 1979 [2] Luis Leithold. El Cálculo. Oxford University Press Máxico S.A. de C.V. [3] Marsden J. y A. Tromba. Cálculo Vectorial Editorial Pearson Educación [4] Claudio Pita Ruiz. Cálculo Vectorial, Edición Prentice (1995). [5] Sherman K. Stein. Cálculo con Geometría Analítica, Edición Prentice (1992).


22

Tesisma133rola Series

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