Introducci´ on al An´ on alisis de Series Temporales alisis C´ alcul o de Tendenc alculo endencias ias y Estaci Estacionali onalidad dad
Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Gr´afico afi coss tem t emp porale orales. s. Series estacionarias y no estacionarias. Descomposici´on o n de una una seri serie: e: tend tenden enci cia, a, esta estaci cion onal alid idad ad y co compo mpone nent ntee irregular. Predicci´on. on.
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Introducci´ on al An´ on alisis de Series Temporales alisis C´ alcul o de Tendenc alculo endencias ias y Estaci Estacionali onalidad dad
Lecturas Lecturas recomendadas: recomendadas: Pe˜ na, na, D. (2005) An´alisis alisi s de series serie s temporales temp orales , Alianza Editorial. Box, Box, G.E. G.E.P P., Jenki Jenkins, ns,G. G.M. M. y Reins Reinsel, el, G. (199 (1994) 4) Time Time Seri Series es Anal Analysi ysis: s: Forecasting and Control , Editorial Prentice-Hall. Brock Brockw well, ell, J.P J.P. y Davi Davis, s, R.A. R.A. (199 (1996) 6) Intr Introdu oducti ction on to Time Time Serie Seriess and and Forecasting , Editorial Springer–Verlag. Pe˜ na, D., Tiao, G.C. y Tsay, R.S. (2005) A Course in Time Series Analysis , na, Editorial John Wiley. Introducci´ on on al An´l An´li i d S i
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Introducci´ on al An´ on alisis de Series Temporales alisis C´ alcul o de Tendenc alculo endencias ias y Estaci Estacionali onalidad dad
Lecturas Lecturas recomendadas: recomendadas: Pe˜ na, na, D. (2005) An´alisis alisi s de series serie s temporales temp orales , Alianza Editorial. Box, Box, G.E. G.E.P P., Jenki Jenkins, ns,G. G.M. M. y Reins Reinsel, el, G. (199 (1994) 4) Time Time Seri Series es Anal Analysi ysis: s: Forecasting and Control , Editorial Prentice-Hall. Brock Brockw well, ell, J.P J.P. y Davi Davis, s, R.A. R.A. (199 (1996) 6) Intr Introdu oducti ction on to Time Time Serie Seriess and and Forecasting , Editorial Springer–Verlag. Pe˜ na, D., Tiao, G.C. y Tsay, R.S. (2005) A Course in Time Series Analysis , na, Editorial John Wiley. Introducci´ on on al An´l An´li i d S i
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Introducci´ on on Definici´ on on 1. Una serie temporal es una sucesi´ on de observaciones de una
variable tomadas en varios instantes de tiempo. Nos interesa estudiar los cambios en esa variable con respeto al tiempo. Predecir sus valores futuros. Ejemplos de series temporales podemos encontrarlos en muchos campos de conocimiento: Econom´ Econom´ıa: producto interior bruto anual, anual , tasa de inflaci´ on, on, tasa de desempleo, etc. Demograf´ Demograf´ıa: nacimientos anuales, tasa de dependencia, etc. Meteorolog´ Meteorolog´ıa: temperatur temp eraturas as m´aximas, axima s, medias media s o m´ınimas, ınima s, precipitacione precipit acioness diarias, etc. Medio ambiente: ambiente: concentraci´ concentraci´ on media mensual de nitratos en agua, alcalinon idad media anual del suelo, emisiones anuales de CO2, etc.
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Representaci´ on gr´ afica de una serie temporal A menudo, se representa la serie en un gr´afico temporal, con el valor de la serie en el eje de ordenadas y los tiempos en el eje de abscisas. Ejemplo 1. El siguiente gr´ afico temporal muestra la media de los
pluvi´ ometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el per´ıodo Octubre/1989 a Septiembre/2006. 150
) m m ( a i r t e m o i v u l P
120
90
60
30
0 10/89
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10/91
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10/95
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10/99
10/01
10/03
10/05
10/07
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Ejemplos de gr´ afico temporal Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
7.2
a u g a l e d H p
24
) s 20 u i s l e 16 C ( a r 12 u t a r 8 e p m e T 4
7
6.8
6.6
6.4
0 1972
1976
1980
1984
1988
1992
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2000
2004
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Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
1976
1980
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2000
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Rio Santa Cruz (Washigton, USA)
12.2
141
t l / g m 10.2 o t l e u 8.2 s i d o n e 6.2 g i x O
m c / s e m e i s o r c i m a i c n a t c u d n o C
4.2
121
101
81
61
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Gr´ aficos por per´ıodos de observaci´ on.
on mensual de la precipitaci´ on media en Espa˜ na Ejemplo 2. Distribuci´ Tomado de www.hispagua.cedex.es .
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Gr´ aficos por per´ıodos de observaci´ on plurianuales.
ogica peninsular. Tomado de www.mma.es . Ejemplo 3. Reserva hidrol´
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Boxplot anual. Ejemplo 4. Alcalinidad total (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org .
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Otros tipos de gr´ aficos temporales Boxplot por per´ıodos de observaci´ on.
on de sulfatos (mg/lt). Tomado de www.gemstat.org . Ejemplo 5. Concentraci´
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Clasificaci´ on de series temporales on de observaciones de una Definici´ on 2. Una serie temporal es una sucesi´ variable tomadas en varios instantes de tiempo. Estas observaciones provienen de una distribuci´ on que puede ser diferente en cada instante del tiempo.
No somos capaces de tratar cualquier tipo de serie temporal, ya que en cada instante tenemos una variable con distinta distribuci´ o n de la que s´olo observamos un dato. Ignoramos mucho y tenemos poca informaci´ on.
Necesitamos imponer condiciones a la serie Introducci´ on al An´li i d S i
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Clasificaci´ on de series temporales Una serie es estacionaria si la media y la variabilidad se mantienen constantes a lo largo del tiempo.
Una serie es no estacionaria si la media y/o la variabilidad cambian a lo largo del tiempo.
Series no estacionarias pueden mostrar cambios de varianza.
Series no estacionarias pueden mostrar una tendencia, es decir que la media crece o baja a lo largo del tiempo.
Adem´as, pueden presentar efectos estacionales, es decir que el comportamiento de la serie es parecido en ciertos tiempos peri´ odicos en el tiempo.
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Clasificaci´ on de series temporales - Series estacionarias Definici´ on 3. Una serie temporal es estacionaria en sentido amplio si:
E [X t] = µ para todo t V ar (X t) = σ 2 para todo t. Cov (X t, X t+k ) = γ k para todo t y k .
El ejemplo m´as simple es el RUIDO BLANCO, cuando la media y la covarianza son siempre cero.
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Clasificaci´ on de series temporales - Series estacionarias
¿Por qu´ e es bueno que las series sean estacionarias?
Con series estacionarias podemos obtener predicciones f´ acilmente. Como la media es constante, podemos estimarla con todos los datos, y utilizar este valor para predecir una nueva observaci´ on. Tambi´en se pueden obtener intervalos de predicci´ on (confianza) para las predicciones asumiendo que X t sigue una distribuci´ on conocida, por ejemplo, normal.
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie estacionaria: Variaciones anuales de la media de los pluvi´ ometros
peninsulares para el per´ıodo Octubre/1990 a Septiembre/2006.
130
90
l a u n a n ó i c a i r a V
50
10
-30
-70
-110 10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Emisiones mundiales de CO2. Emisiones mundiales de CO2 7 6 5 4 3 2 1 0 1950
1960
1970
1980
1990
2000
Tendencia Introducci´ on al An´li i d S i
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos ´ Serie no estacionaria: Superficie de hielo en el Artico.
Cambios en la tendencia Introducci´ on al An´li i d S i
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Precipitaciones medias (mm). Coopermine (1933 - 1976) 120
) m m ( s a i d e m s e n o i c a t i p i c e r P
100
80
60
40
20
0
J A J J J J J J U O J U O U O J U O J U O A A A A A A A A A P P P P N P R L C R L C R L C R L C R L C T N T N T N T N 1 1 1 1 1 T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 4 5 6 7 9 3 4 5 6 6 3 3 4 4 5 5 6 6 7 6 5 4 3 2 1 9 7 9 8 7 0 6 5 5 4 3 2 1 3 7
Fuente de datos: P.C. Baracos, K.W. Hipel & A.I. McLeod (1981) Modeling hydrologic time series from the Arctic, Water Resources Bulletin, Vol. 17. Estacionalidad Introducci´ on al An´li i d S i
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos Serie no estacionaria: Agua embalsada y energ´ıa disponible (hm3). Años hidrológicos 2003/2004 a 2005/2006 44 40
l a t o t a v r e s e R
36 32 28 24 20 1
27
53
79
105
131
157
Fuente de datos: Bolet´ın hidrol´ ogico, Ministerio de Medio Ambiente. Tendencia + Estacionalidad Introducci´ on al An´li i d S i
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Clasificaci´ on de series temporales - Ejemplos u mero mensual de pasajeros de avi´ on, USA, Serie no estacionaria: N´ Enero:1949 a Diciembre:1960 750
s o r e j a s a p e d . o N
600 450 300
150 0 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
Tendencia, Heteroscedasticidad y Estacionalidad Fuente de datos: Box, G. & Jenkins, G. (1976) Time Series Analysis: Forecasting and Control . Introducci´ on al An´li i d S i
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Componentes de una serie temporal En muchos casos, se supone que la serie temporal es la suma de varias componentes: X t = T t + S t + I t
Valor observado = Tendencia + Estacionalidad + Irregular Tendencia: comportamiento o movimiento suave de la serie a largo plazo. Estacionalidad: movimientos de oscilaci´ on dentro del a˜ no. Irregular: variaciones aleatorias alrededor de los componentes anteriores.
En esos casos, es interesante obtener o “aislar” los distintos componentes.
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An´ alisis de la tendencia En algunos casos, se puede suponer una relaci´ on determinista entre T t y t, por ejemplo una tendencia lineal T t = a + bt que se estima mediante el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Ejemplo 6. Linear trend = 87.6528 + 2.65718 t 800
s o r e j a s a p e d . o N
Residual Plot for No. de pasajeros 200 150
600
100 l a u d 50 i s e R 0
400
200
-50 0
-100 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. En primer lugar, eliminamos la heteroscedasticidad mediante una
transformaci´ on logar´ıtmica. 6.6
) s o r e j a s a p e d . o N ( g o L
6.2
5.8
5.4
5
4.6 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. Sobre la serie transformada estimamos una tendencia lineal. Linear trend = 4.81367 + 0.0100484 t 6.6
) s o r e j a s a p e d . o N ( g o l
6.2
5.8
5.4
5
4.6 49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/ 59 1/60 1/61 1/
Se observa una clara tendencia creciente lineal, adem´as de efectos estacionales.
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 6. Obtenemos la serie de residuos, X t − T t: 0.49
0.29
l a u d i s e R
0.09
-0.11
-0.31 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
Se mantienen los efectos estacionales.
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 7 Ejemplo 7. Ox´ıgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA). Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
o t l e u s i d o n e g i x O
Linear trend = -24.9531 + 0.0168516 t
12.2
3.9
10.2
1.9
l a u d i s e R
8.2
6.2
-2.1
4.2
-4.1
1972
-0.1
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
Una tendencia determinista (lineal) no parece adecuada.
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Tendencia evolutiva A menudo, la tendencia de la serie no sigue una recta y evoluciona a lo largo del tiempo.
En ese caso, un m´ etodo general de estimar T t es suponer que evoluciona lentamente en el tiempo, y que se puede aproximar con una funci´ on sencilla para intervalos cortos del tiempo.
on v´ alida para tres periodos Ejemplo 8. Si una recta es una representaci´
consecutivos:
T t−1
=
T t
T t
=
T t
T t+1
=
T t + ∆T
−
∆T
Si hacemos la media de las tres observaciones consecutivas, mt = tendr´ıamos que: mt = T t +
xt−1 +xt+xt+1
3
I t−1 + I t + I t+1
3
es decir “descubrir´ıamos” la tendencia subyacente.
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,
Tendencia evolutiva Definici´ on 4. Para instante t, se define la media m´ o vil de orden 3 de la
serie como mt =
xt
1
−
+ xt + xt+1 . 3
Suponemos que la tendencia T t satisface T t = mt −
I t
1
−
+ I t + I t+1 . 3
Como la media del componente irregular es cero, podemos suponer que la media de los tres valores (I t 1, I t, I t+1) es peque˜ na, de esta manera mt recoge fundamentalmente la tendencia de la serie en el instante t.
−
Es posible calcular medias m´ oviles de ordenes m´ as altos. Cuando crece el orden, el valor de mt cambia m´as suavemente.
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 7 Ejemplo 9. Smoothed Time Series Plot for Oxigeno disuelto
Time Series Plot of Residuals for Oxigeno disuelto
12.2
2.6
o 10.2 t l e u s i d o 8.2 n e g i x O 6.2
1.6
0.6
-0.4
4.2
-1.4 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004
1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
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En los residuos no se observa una tendencia clara.
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An´ alisis de la tendencia - Ejemplo 6 Ejemplo 10. Tendencia evolutiva en el n´ umero de pasajeros.
Simple moving average of 3 terms
Simple moving average of 12 terms
6.6
) s o r e j a s a p e d . o N ( g o l
6.6
) s o r e j a s a p e d . o N ( g o l
6.2 5.8 5.4 5 4.6
5.8 5.4 5 4.6
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
6.2
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
Con medias m´ oviles de ordenes altos, suavizamos los efectos estacionales.
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Diferenciaci´ on de la serie Es un m´etodo m´as general que consiste en no hacer ninguna hip´ otesis sobre la forma de la tendencia a corto plazo y suponer simplemente que evoluciona lentamente en el tiempo.
Asumimos que la tendencia en el instante t es muy pr´ oxima a la tendencia en el instante t 1, y construimos una nueva serie: −
yt = xt − xt
1
−
que denominamos serie diferenciada. Diferenciar la serie equivale a suponer que la tendencia en t es el valor de serie en t − 1: T t = xt 1.
−
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Diferenciaci´ on de la serie - Ejemplo 6 Ejemplo 11. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 6 . 0.27
0.17
0.07
-0.03
-0.13
-0.23 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
La serie diferenciada no muestra una tendencia clara y mantiene los efectos estacionales.
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Diferenciaci´ on de la serie - Ejemplo 7 Ejemplo 12. Obtener la serie diferenciada para los datos del Ejemplo 7 . Residual Plot for Oxigeno disuelto Random walk 3.8
1.8
-0.2
-2.2
-4.2 1972
1976
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
La serie diferenciada no muestra una tendencia clara.
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An´ alisis de la estacionalidad Un m´etodo de estimar el efecto estacional (v.g., de cada mes) es considerar c´omo var´ıa la media del per´ıodo (mes) respecto de la media global.
A˜ nos
Meses
enero febrero ... noviembre diciembre Medias
1
2
· · ·
n
Medias
S
x11
x12
· · ·
x1n
x ¯ 1•
S 1
x21
x22
· · ·
x2n
x ¯ 2•
S 2
...
...
· · ·
...
...
...
2
· · ·
x11
n
x ¯11•
S 11
x12 1
x12 2
· · ·
x12 n
x ¯12•
S 12
x ¯•1
x ¯•2
· · ·
x ¯•n
x ¯••
x11
1
x11
Los coeficientes estacionales son: S i = x ¯i − M para i = 1, . . . , 12. •
Suponemos que el efecto estacional S t satisface: S t = S t+12 = S t+24 = . . .
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Ejemplo 13. Volvemos al Ejemplo 6 . El gr´ afico muestra los coeficientes
estacionales. Seasonal Index Plot for log(No. de pasajeros) 0.28 0.18 x e d n i l a n o s a e s
0.08 -0.02 -0.12 -0.22 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
season
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Ejemplo 13. Obtenemos la serie desestacionalizada, X t − S t: Seasonally Adjusted Data Plot for log(No. de pasajeros) 6.7 6.3 5.9 5.5 5.1 4.7 1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
No muestra efectos estacionales.
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Ejemplo 14. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual de
pluvi´ ometros peninsulares (Fuente I.N.M.) para el per´ıodo Octubre/1989 a Septiembre/2006 (Ejemplo 1). Seasonal Indices for Pluviometria Seasonal decomposition method: Additive Season Index -----------------------1 29.0565 2 21.1044 3 18.8623 4 5.59299 5 -7.70493 6 -4.37706 7 4.22346 8 4.78362 9 -19.1383 10 -28.394 11 -23.1034 12 -0.905707
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Seasonal Index Plot for Pluviometria 31
21 x e d n i l a n o s a e s
11
1
-9
-19
-29 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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Ejemplo 14. Obtenemos la serie desestacionalizada, X t − S t: Seasonally Adjusted Data Plot for Pluviometria 140
110
80
50
20
-10 10/89 10/91 10/93 10/95 10/97 10/99 10/01 10/03 10/05 10/07
No muestra efectos estacionales.
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A d ´ M Al
Ejemplo 15. Obtener los coeficientes estacionales de la serie mensual de
Ox´ıgeno disuelto (ml/lt). Rio Santa Cruz (Washington, USA). (Elaboraci´ on propia a partir de http://waterdata.usgs.gov ). Seasonal Indices for Oxigeno Seasonal decomposition method: Additive Season Index -----------------------1 1.75095 2 1.82438 3 1.66915 4 1.45595 5 -0.989603 6 -1.57851 7 -2.56157 8 -2.76155 9 -1.56786 10 -0.657377 11 1.23205 12 2.184
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
Seasonal Index Plot for Oxigeno 2.2
1.2 x e d n i l a n o s a e s
0.2
-0.8
-1.8
-2.8 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13
A d ´ M Al
Ejemplo 15. Obtenemos la serie desestacionalizada, X t − S t: Seasonally Adjusted Data Plot for Oxigeno 15
d e t s u j d a y l l a n o s a e s
12
9
6
3
0 1/72
1/76
1/80
1/84
1/88
1/92
1/96
1/00
1/04
1/08
Todav´ıa muestra efectos estacionales.
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Diferenciaci´ on estacional de la serie Es un m´etodo m´as general que consiste en no hacer ninguna hip´ otesis sobre la forma general de la estacionalidad a corto plazo y suponer simplemente que evoluciona lentamente en el tiempo.
Construimos una nueva serie: yt = xt − xt
s
−
que denominamos serie diferenciada estacionalmente. Diferenciar estacionalmente la serie equivale a suponer que la estacionalidad en t es el valor de serie en t − s:
S t = xt
s
−
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
.
A d ´ M Al
Diferenciaci´ on estacional de la serie - Ejemplos Ejemplo 16. Obtener la serie desestacionalizada mediante diferenciaci´ on
estacional para las series de los datos 15 y 6 . Time Series Plot for SDIFF(log(No. de pasajeros),12) Time Series Plot for SDIFF(Oxigeno, 12)
0.44 10
0.34 7
0.24
4
0.14 0.04
1
-0.06 -2
-0.16 -5
-0.26 1/721/741/761/781/801/821/841/861/881/901/921/941/961/981/001/021/041/061/08
1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
En ambas no se observan efectos estacionales.
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Descomposici´ on de la serie en componentes aficos: Ejemplo 17. Con los datos del Ejemplo 6 , obtenemos los siguientes gr´ Time Series Plot for l og(No. de pasajeros)
Time Series Plot for TREND
6.6
6.6
6.2
6.2
5.8
5.8
5.4
5.4
5
5
4.6
4.6
1/49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/59 1/60 1/61
49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/ 59 1/60 1/61 1/
Time Series Plot for INDICES 0.28
Time Series Plot for IRREGULAR 0.12
0.08
0.18
0.04 0.08 0 -0.02 -0.04 -0.12
-0.08
-0.22
-0.12 49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/ 55 1/56 1/57 1/58 1/ 59 1/60 1/61 1/
49 1/50 1/51 1/52 1/53 1/54 1/55 1/56 1/57 1/58 1/ 59 1/60 1/61 1/
La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia o estacionalidad.
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Descomposici´ on de la serie en componentes aficos: Ejemplo 18. Con los datos del Ejemplo 1, obtenemos los siguientes gr´ Time Series Plot for Pluviometria
Time Series Plot for TREND
150
150
120
120
90
90
60
60
30
30
0
0 10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
10/89
Time Series Plot for INDICES
10/93
10/97
10/01
10/05
Time Series Plot for IRREGULAR
31
80
21
50
11 20 1 -10 -9 -40
-19
-29
-70 10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
La componente irregular parece aproximadamente estacionaria y sin patrones de tendencia o estacionalidad.
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal
Una vez que hemos obtenido la descomposici´ on de la serie temporal: X t = T t + S t + I t
Podemos obtener predicciones de los valores futuros mediante los valores para t + 1, t + 2, . . . , t + h de las componentes T t y S t.
Ejemplo 19. Si T t = a + bt y S t se obtuvo mediante ´ındices estacionales trimestrales, i.e., tenemos S 1, S 2, S 2, y S 4, entonces:
S S = S S
1
T t+1 = a + bt
y
S t+1
2 3 4
si t + 1 si t + 1 si t + 1 si t + 1
= Q1 = Q2 . = Q3 = Q4
Las predicciones para t + 2, t + 3, . . . , t + h se obtienen de manera an´aloga. Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Ejemplo 20. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para el
a˜ no hidrol´ ogico 2006/2007 con los siguientes procedimientos: Tendencia lineal, T t = a + bt, e ´ındices estacionales. Medias m´ oviles de orden 3, mt =
Xt−3 +Xt−2 +Xt−1
3
, e ´ındices estacionales.
Indices estacionales. Diferencia estacional. X t = X t
1
−
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
− X t
12 .
−
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Time Sequence Plot for Pluviometria
Time Sequence Plot for Pluviometria
Linear trend = 51.6349 + -0.0091951 t
Simple moving average of 3 terms
150
160 actual
120
forecast
actual 120
forecast
95.0% limits
90
95.0% limits 80
60 40 30 0
0 -30
-40 10/89
10/93
10/97
10/01
Introducci´ on al An´li i d S i
10/05
T
10/09
l
10/89
10/93
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10/01
10/05
10/09
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Time Sequence Plot for Pluviometria
Time Sequence Plot for Pluviometria
Constant mean = 46.3064
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant
150
190 actual
120
forecast 95.0% limits
90
actual 150
70
30
30
0
-10
-30
-50 10/93
10/97
10/01
Introducci´ on al An´li i d S i
10/05
T
10/09
l
95.0% limits
110
60
10/89
forecast
10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
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A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Resultados Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Observado Octubre 74.42 77.46 75.36 93.11 85.3 89.9 Noviembre 66.46 69.51 67.41 73.01 45.2 Diciembre 64.21 67.26 65.17 46.21 33.9 Enero 50.93 53.99 51.90 47.21 58.5 Febrero 37.62 40.70 38.60 46.41 50.3 Marzo 40.94 44.02 41.93 61.31 64.9 Abril 49.53 52.62 50.53 37.81 61 Mayo 50.08 53.18 51.09 22.01 Junio 26.15 29.26 27.17 21.61 Julio 16.89 20.01 17.91 13.21 Agosto 22.17 25.30 23.20 19.21 Septiembre 44.36 47.50 45.40 60.11 Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Octubre 0.128 0.092 0.116 0.092 Noviembre 0.261 0.227 0.250 0.188 Diciembre 0.421 0.488 0.442 0.022 Enero 0.502 0.593 0.531 0.393 Febrero 0.357 0.304 0.340 0.207 Marzo 0.186 0.125 0.166 0.219 Abril 0.237 0.189 0.221 0.417 Mayo 0.179 0.128 0.162 0.639 Media S.D. ECM
0.284 0.131 0.098
0.268 0.183 0.105
0.279 0.147 0.099
0.272 0.200 0.114
A d ´ M Al
Otra alternativa para la predicci´ on de una serie temporal on Alisados Alisad os Exponenci Exponenciales ales
Se emplean fundamentalmente para predecir nuevos valores de la serie. Se basan en e n modelos mode los param´etricos etrico s determinis determ inistas tas que se s e ajustan ajusta n a la evoluci´ evolu ci´ on de la serie. Las observaciones m´ as as recientes tienen m´ as as peso en la predicci´ on que las m´as as alej al ejad adas as.. Se resuelven resue lven por m´etodos eto dos recursivos. recurs ivos. Pueden ser poco realistas para explicar la evoluci´ on on de la serie.
Introducci´ on on al An´l An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
emplea para ser series sin tenden dencia ni Alis Al isado ado ex expon ponen enci cial al si simp mple le, se emp estacionalidad:
ˆ T ˆ T X T = αX T T + (1 − α)X T ˆ T X T = α
T −1
t=0
1,
−
(1 − α)tX T T
s
−
,
ˆ T ˆ T , para todo k. X T +k = X T Alisado exponencial lineal de Holt: se emplea para series con tendencia
lineal y sin estacionalidad: ˆ T ˆ T X T = αX T T + (1 − α)(X T ˆbT = β (X ˆ T ˆ T T − X T
1
−
1
−
+ BT
1
−
) + (1 − β )BT
),
1,
−
ˆ T ˆ T + BT k, X T +k = X T ˆ 1 = X 1, X ˆ 2 = X 2, B1 = 0 y B2 = X 2 − X 1. con X Introducci´ on on al An´l An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Alisado exponencial estacional de Holt-Winters: se emplea para series
con tendencia y estacionalidad. ˆ T X T = α
X T T ˆ T + (1 − α)(X T S t s
1
−
+ BT
1
−
),
−
ˆbT = β (X ˆ T ˆ T T − X T
1
−
) + (1 − β )BT
X T T ˆT S = δ + (1 − δ )S T T T ˆ X T T
ˆ T ˆ T + BT k)S T X T +k = (X T T
s
−
,
s+k
−
1,
−
.
El factor estacional no es constante como en los ´ındices estacionales.
Introducci´ on on al An´l An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Alisado exponencial - Efecto y selecci´ on de los pesos Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.1
Time Sequence Plot for Oxigeno disuelto
Simple exponential smoothing with alpha = 0.9
12.2
Simple exponential smoothing with alpha = 0.7992
13.1
13.5 actual
10.2
11.1
11.5
.
.
9.1
9.5
7.1
7.5
5.1
5.5
3.1
3.5
forecast 95.0% limits
8.2
6.2
4.2 1970
1980
1990
2000
2010
1970
1980
1990
2000
2010
1970
1980
1990
2000
2010
Los pesos determinan el peso que damos a las componentes de la predicci´on, un peso cercano a la unidad le asigna m´as peso a las observaciones recientes.
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Ejemplos Ejemplo 21. Con los datos del Ejemplo 1 obtenga las predicciones para el
a˜ no hidrol´ ogico 2006/2007 utilizando los m´ etodos de alisados simple, de Holt y de Holt–Winters. Simple exponential smoothing with alpha = 0.0089
Holt's linear exp. smoothing with alpha = 0.0491 and beta = 0.044
160
150
Winter's exp. smoothing with alpha = 0.0033, beta = 0.0001, gamma = 0.3079 180 actual
130
120
140
100
. 90
. 100
70
60
60
40
30
20
10
0
-20
-20
-30
-60
10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
Introducci´ on al An´li i d S i
10/09
T
10/89
l
10/93
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10/01
10/05
10/09
forecast 95.0% limits
10/89
10/93
10/97
10/01
10/05
10/09
A d ´ M Al
Predicci´ on de una serie temporal - Resultados Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3 Observado Octubre 74.42 46.01 39.98 97.54 85.3 89.9 Noviembre 66.46 46.01 39.82 71.98 45.2 Diciembre 64.21 46.01 39.66 58.19 33.9 Enero 50.93 46.01 39.50 43.86 58.5 Febrero 37.62 46.01 39.35 48.38 50.3 Marzo 40.94 46.01 39.19 56.09 64.9 Abril 49.53 46.01 39.03 47.15 61 Mayo 50.08 46.01 38.87 40.58 Junio 26.15 46.01 38.72 21.87 Julio 16.89 46.01 38.56 14.26 Agosto 22.17 46.01 38.40 21.94 Septiembre 44.36 46.01 38.24 50.16 Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
Modelo 1 Alisado 1 Alisado 2 Alisado 3 Octubre 0.128 0.461 0.531 0.144 Noviembre 0.261 0.488 0.557 0.199 Diciembre 0.421 0.018 0.123 0.287 Enero 0.502 0.357 0.165 0.294 Febrero 0.357 0.213 0.327 0.173 Marzo 0.186 0.085 0.221 0.115 Abril 0.237 0.291 0.399 0.273 Mayo 0.179 0.246 0.363 0.335 Media S.D. ECM
0.284 0.131 0.098
0.270 0.166 0.101
0.336 0.160 0.138
0.228 0.080 0.058
A d ´ M Al
Ejemplo con datos faltantes Ejemplo 22. Temperatura media en la superficie y en el fondo en Lago
Murray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006. Lago Murray, Carolina del Sur
35
Temperatura media Temperatura media en el fondo
30
25
20
15
10
5
0
12
24
Introducci´ on al An´li i d S i
36
T
48
l
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
A d ´ M Al
Ejemplo con datos faltantes ¿Podemos “predecir” la temperatura del fondo? Lago Murray, Carolina del Sur
24
22
o20 d n o f l e18 n e a i d e16 m a r u t a14 r e p m e T12
10
8
5
10
15
20
25
30
35
Temperatura media
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on de los datos faltantes La relaci´ on entre Temperatura y Temperatura en el fondo es no lineal Multiple Regress ion Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Temperatura Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 3.6386 1.22333 2.97435 0.0035 Temperatura 0.982518 0.144872 6.78196 0.0000 Mes -1.21715 0.155993 -7.80261 0.0000 Temperatura^2 -0.0363928 0.00396844 -9.17058 0.0000 Temperatura*Mes 0.10833 0.0092613 11.697 0.0000 ----------------------------------------------------------------------------Analysis of Variance ----------------------------------------------------------------------------Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value ---------------------------------------------------------------------------- Model 1446.01 4 361.502 208.78 0.0000 Residual 219.905 127 1.73154 ----------------------------------------------------------------------------Total (Corr.) 1665.91 131 R-squared = 86.7997 percent R-squared (adjusted for d.f.) = 86.384 percent
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on de los datos faltantes
Plot of Temperatura Fondo 23
20 d e v r e s b o
17
14
11
8 8
11
14
17
20
23
predicted
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on de los datos faltantes Lago Murray, Carolina del Sur
35
Temperatura media Temperatura media en el fondo
30
25
20
15
10
5
0
12
24
Introducci´ on al An´li i d S i
36
T
48
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60
72
84
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108
120
132
144
156
168
A d ´ M Al
Interpolaci´ on - Una alternativa basada en series temporales
Winter's exp. smoothing with alpha = 0.3343, beta = 0.0001, gamma = 0.1693 80 actual 60
forecast 95.0% limits
40 20 0 -20 -40 10/92
Introducci´ on al An´li i d S i
10/94
T
l
10/96
10/98
10/00
10/02
10/04
10/06
A d ´ M Al
Interpolaci´ on - Una alternativa basada en series temporales Lago Murray, Carolina del Sur 35 Temperatura media Temperatura media en el fondo Ajuste e interpolación 30
25
20
15
10
5
0
12
24
Introducci´ on al An´li i d S i
36
T
48
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60
72
84
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120
132
144
156
168
A d ´ M Al
Ejemplo con datos faltantes Ejemplo 23. Ox´ıgeno disuelto media en la superficie y en el fondo en Lago
Murray - Carolina del Sur, Octubre/1992 a Septiembre/2006. Lago Murray, Carolina del Sur 14 Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
12
24
Introducci´ on al An´li i d S i
36
T
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60
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84
96
108
120
132
144
156
168
A d ´ M Al
Ejemplo con datos faltantes ¿Podemos “predecir” los datos faltantes? Lago Murray, Carolina del Sur 14
12 ) t l / g10 m ( o d n o f l 8 e n e o t l e 6 u s i d o n e g 4 í x O
2
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Oxígeno disuelto (mg/lt)
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on de los datos faltantes ¿Podemos “predecir” los datos faltantes? Multiple Regress ion Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT 6.29991 10.4769 0.601317 0.5492 Oxigeno 0.830319 1.67511 0.495681 0.6214 Oxigeno^2 -0.106926 0.0698998 -1.52971 0.1297 Mes -0.483242 1.01006 -0.478427 0.6335 Oxigeno*Mes 0.0205182 0.110638 0.185454 0.8533 ----------------------------------------------------------------------------R-squared R-squared
= 8.5047 percent (adjusted for d.f.)
=
4.29802
percent
Multiple Regress ion Analysis ----------------------------------------------------------------------------Dependent variable: Oxigeno Fondo ----------------------------------------------------------------------------Standard T Parameter Estimate Error Statistic P-Value ----------------------------------------------------------------------------CONSTANT -9.22845 8.81297 -1.04714 0.2979 Oxigeno 0.882918 0.893172 0.98852 0.3256 Temperatura 0.509903 0.388381 1.31289 0.1926 Oxigeno*Temperat u -0.0330939 0.0419215 -0.789424 0.4320 ----------------------------------------------------------------------------R-squared R-squared
= 9.61981 (adjusted
Introducci´ on al An´li i d S i
percent for d.f.)
T
l
=
6.53866
percent
A d ´ M Al
Interpolaci´ on - Una respuesta basada en series temporales Random walk + Seasonal adjustment 12 actual
o d a l o p r e t n i 2 O
forecast
10
95.0% limits
8
6
4 10/92
10/94
10/96
10/98
-----------------------------------------------------------------------------Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------9/99 6.67861 5.13383 8.22338 10/99 6.0107 4.04454 7.97686 ------------------------------------------------------------------------------
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on - Una respuesta basada en series temporales Simple exponential smoothing with alpha = 0.9126 14 actual
o d a l o p r e t n i F 2 O
11
forecast 95.0% limits
8
5
2
-1 12/96
12/97
12/98
12/99
12/00
-----------------------------------------------------------------------------Lower 95.0% Upper 95.0% Period Forecast Limit Limit -----------------------------------------------------------------------------11/00 6.64211 4.35922 8.925 12/00 7.85614 4.76551 10.9468 ------------------------------------------------------------------------------
Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al
Interpolaci´ on de los datos faltantes Lago Murray, Carolina del Sur 14 Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
20
Introducci´ on al An´li i d S i
40
T
60
l
80
100
120
140
160
180
A d ´ M Al
Datos faltantes al inicio de la serie Predicci´ on inversa (backcasting )
ARIMA(0,0,0)x(0,1,0)12 with constant 15 Observado 12
o s r e v n i F 2 O
Ajuste Pronóstico
9
6
3
0 0
Introducci´ on al An´li i d S i
60
T
l
120
180
A d ´ M Al
Datos faltantes al inicio de la serie Predicci´ on inversa (backcasting ) Lago Murray, Carolina del Sur 14 Oxígeno disuelto Oxígeno disuelto en el fondo 12
10
8
6
4
2
0
0
20
Introducci´ on al An´li i d S i
40
T
60
l
80
100
120
140
160
180
A d ´ M Al
Recapitulaci´ on
Introducci´ on al An´ alisis de Series Temporales C´ alculo de Tendencias y Estacionalidad
Gr´aficos temporales. Series estacionarias y no estacionarias. Descomposici´o n de una serie: tendencia, estacionalidad y componente irregular. Predicci´ on. Interpolaci´on. Introducci´ on al An´li i d S i
T
l
A d ´ M Al