Serie convergente • de los recíprocos de los sucesivos cuadrados sucesivos cuadrados perfec-
En matemáticas En matemáticas,, una serie una serie (suma (suma de los términos de una secuenc secuencia ia de números), números), resulta resulta convergente sila sucesión de sumas parciales tiene un límite un límite en en el espacio considerado. De otro modo, constituiría lo que se denomina serie divergente.. divergente
tos (ver tos (ver Problema Problema de Basilea): Basilea):
π2 1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = 1 4 9 16 25 36 6 2: • de los recíprocos de las potencias de 2:
1
Defini Definici ción ón formal ormal
1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = 2 1 2 4 8 16 32
Las series series consid considerad eradas as son numérica numéricass (con (con término términoss reales o complejos) o vectoriales (con valores en un espacio vectorial normado).
• de los recíprocos de las potencias de 2 con 2 con signos alternados:
1 1 1 1 1 1 2 − + − + − + · · · = 1 2 4 8 16 32 3
La serie converge cuando la serie de término término genera general l an converge sucesión (An )n∈N de sumas parciales converge, converge, donde para todo entero natural n,
• de los recíprocos de los números de Fibonacci (ver Fibonacci (ver Constantee de los inve Constant inversos rsos de Fibonac Fibonacci ci): ):
n
An =
�a
1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = ψ 1 1 2 3 5 8
k
k =0
En este caso la suma de la serie es el límite de la sucesión de sumas parciales parciales
• de los los de recípr recíproc ocos os de los los naturales con signos signos alternados (1 , − 12 , 13 , − 14 , 15 , − 16 , 17 , · · · ) : ∞
� a = k
k=0
lim An
k =1
n→+∞
k
= ln 2
Resultan Resultan divergente divergentess las series de las secuencias:
La naturaleza de convergen convergencia cia o no-converg no-convergencia encia de una serie no se altera si se modifica una cantidad finita de términos de la serie.
2
k+1
� (−1)
+∞
• de los de recíprocos (1, 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17 , · · · ) :
de
los naturales
1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · → ∞ 1 2 3 4 5 6
Ejemp jemplo loss
(es la conocida como serie como serie armónica);
Resultan Resultan converge convergentes ntes las series de las secuencias: secuencias:
• de los recíprocos de los enteros impares, con signos signos 1 1 1 1 1 1 alternados ( 1 , − 3 , 5 , − 7 , 9 , − 11 , · · · ) , conocida
• de los los recí recípr proc ocos os de los los números números prim primos os ( 1 1 1 1 1 1 · · · , , , , , , ): 2 3 5 7 11 13
como de como de Leibniz: Leibniz:
1 1 1 1 1 1 + + + + + + ·· · → ∞ 2 3 5 7 11 13
π 1 1 1 1 1 1 − + − + − + · · · = 1 3 5 7 9 11 4
• de los recíprocos de los números los números triangulare triangularess:
3
1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = 2 1 3 6 10 15 21
Conve Converg rgenc encia ia absolu absoluta ta
∑
an es Si es una una seri seriee a valo valore ress en un espaci espacio o vecto vectorial rial norconvermado completo, completo, se dice que es absolutamente convergente si la serie de término general ∥an ∥ es convergente.
• de los recíprocos de los sucesivos sucesivos factoriales (n!): factoriales (n!): 1 1 1 1 1 1 + + + + + + · · · = e 1 1 2 6 24 120
En este caso, la serie 1
∑ a converge. n
2
7
4
CRITERIOS DE CONVERGENCIA COMPARATIVOS
Series numéricas ∞
En el caso de series numéricas, o a valores en un espacio de Banach, es suficiente con probar la convergencia absoluta de la serie para probar que es convergente, lo cual permite restringir el estudio a las series de términos positivos; para ello existen numerosos métodos, basados en el principio de comparación .
5
�
converge.
6
Criterios de convergencia
5.1
f (x) dx
N
Otros métodos • Criterio de Cauchy: una serie a valores en un espacio vectorial normado completo es convergente si y solo si la sucesión de sumas parciales es de Cauchy:
Series de reales positivos
• Criterio de d'Alembert (Criterio del cociente o Crite-
∑
∞
rio de la razón): sea k=1 ak una serie de términos estrictamente positivos; si
∀ε > 0 , ∃N ∈ N, ∀n ≥ N , ∀ p ∈
N, ∥un+1 +
• Criterio de condensación de Cauchy: sea
· · · + un+ p ∥ < ε
∑ a una n
serie monótona de números positivos decrecientes. ∞ a Entonces n=1 n converge si y sólo si la serie ∞ n a 2 converge. 2 n=1
ak+1 = L ∈ [0 , +∞[ lim k→∞ ak
∑
∑
entonces el Criterio de D'Alembert establece que si
L < 1 , la serie converge, L > 1 , la serie no converge, L = 1 el criterio no establece nada respecto a su convergencia.
n
• Criterio de Leibniz: una serie de la forma ∞ n n=1 (−1) an (con an > 0 ) se llama serie
∑
alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:
• Criterio de la raíz: si los términos a n son estrictamente positivos y si existe una constante C < 1 tal 1 an es con- a) limn→∞(−1)n an = 0 para n par y n impar. que limn→∞(an ) ≤ C , entonces
∑
n
vergente.
a • Criterio de Raabe: sea una serie ∞ k=1 k , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Si existe el
∑
límite limk→∞
� � = L , siendo L k 1− ak+1 ak
∈
(−∞, +∞)
entonces, si L > 1 la serie es convergente y si L < 1 la serie es divergente. (Nota: el Criterio de Raabe es recomendado sólo en caso de fallar el Criterio de D'Alembert ).
• Criterio de la integral de Cauchy: si f ( x ) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f (n) = an para todo n, entonces ∞ verge si y sólo si 1 f (x) dx es finita.
∫
∑ a con-
b) La serie tiene que ser absolutamente decreciente, es decir que: |ak | ≥ |ak+1| . ∞
∑
Si esto se cumple, la serie n=1 an es condicionalmente convergente, de lo contrario la serie diverge.
Nota: Se debe descartar primero la convergencia absoluta ∞ a de n=1 | n | antes de aplicar este criterio, usando los criterios para series positivas.
∑
7
Criterios de convergencia comparativos
∑
(bn ) Son aplicables en caso de disponer de otra serie tal que se conozca su condición de convergencia o noconvergencia.
n
Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N,∞), la serie
7.1
Criterio de comparación directa
(de la mayorante o de Gauss ) Si 0 < an ≤ b n , ∀n ≥ n 0
∞
� f (n)
n=N
converge si y sólo si la integral
∑(b ) converge ⇒ ∑(a ) converge ∑ ∑ • Si (a ) diverge ⇒ (b ) diverge • Si
n
n
n
n
3
7.2
Criterio de comparación por paso al límite del cociente ∞
∑
Sean n=1 an y vos. Si existe
∞
∑
n=1 bn series de términos no negati-
� � = L ∈ [0, +∞) ∪ (−∞ 0] , entonces: lim ∑(b ) converge entonces L • Si = 0 y la serie ∑(a ) converge. ∑ ∑ • Si L = +∞ y (b ) diverge entonces (a ) diverge. ∑ a • Si∑ 0 < L < +∞ entonces las series b comparten la misma condición (ambas y an bn
n→∞
n
n
n
n
∞
n=1
∞
n
n=1 n
convergen, o bien ambas son divergentes).
8
Teorema de Abel
∑
xn une serie compleja donde ∀n ∈ Sea αn un tales que:
N, xn
=
• La sucesión ( αn )n∈N es real, decreciente y tiende a 0.
• ∃M ∈ R tal que ∀n ∈ Entonces
9
N, |
∑
n k=0
uk | ≤ M .
∑ x es convergente. n
Véase también • Serie matemática • Serie divergente • Límite de una sucesión
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Referencias
• Weisstein, Eric W. «ConvergentSeries» (en inglés). MathWorld . Wolfram Research.
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Enlaces externos
Wikilibros
• Wikilibros alberga contenido sobre Series.
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Serie convergente Fuente: htt p://es.wikipedia.org/wiki/Serie_convergente?oldid=74896722 Colaboradores: Riviera, BOT-Superzerocool, Marianov, PabloCastellano, Diego HC, Jkbw, Jerowiki, CentroBabbage, AvicBot, Darioslc, Addbot y Anónimos: 13
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