Tehnički fakultet “Mihajlo Pupin” Univerzitet u Novom Sadu
Predmet: Diskretna matematika Tema: Matematička logika
Profesor: Prof. dr Momčilo Bjelica
Student: Nemanja Micić 4/ 4/10-02
Zrenjanin 2012
SADRŽAJ: 1 ISKAZNI RAČUN...................................................................................................... 3 2.ISKAZNA ALGEBRA.................................................................................................. 3 3. Iskazna formula i njena vrednost..................................................................... 4.Prekidačke mreže.............................................................................................. 5. Bool-ove funkcije.............................................................................................. 6. Izvođenje zaključaka.........................................................................................
3 6 7 8
7.PREDIKATSKI RAČUN (KVANTIFIKATORSKI RAČUN)....................................................... 9 8.PREDIKATSKE FORMULE........................................................................................... 9 9.Pojavljivanje promenljivih u predikatskoj formuli........................................ 10 10. Interpretacija predikatske formule............................................................... 10
Matematička logika − Formalizuje postupke dobijanja složenih rečenica od prostih, utvrđivanje istinitosne vrednosti ovih rečenica u skladu sa pravilima ispravnog logičkog zaključivanja. − Deli se na iskazni račun i predikatski račun.
1. Iskazni račun − formalizuje pravilno zapisivanje iskaza, građenje novih složenih iskaza, kao i utvrđivanje istinitosne vrednosti ovih iskaza u zavisnosti od istinitosti iskaza koji ih čine. Da bi se ova formalizacija uspešno izvela, uvodi se pojam iskazne algebre.
2. Iskazna algebra Def . Dat je skup { elmenat iz {
0, 1
0, 1
}
1 0
} i operacije
¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ definisane
sledećim tablicama
¬ 0 1
2 elemenat iz { 0, 1 } (1, 1) (1, 0) (0, 1) (0, 0)
Skup {
0, 1
∧
∨
⇒
⇔
1 0 0 0
1 1 1 0
1 0 1 1
1 0 0 1
} snabdeven operacijama
¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ je
iskazna algebra.
Operacije iskazne algebre mogu, u opštem slučaju, biti bilo koje operacije sa prethodnim tablicama. One ovde nose oznake logičkih operacija, jer logičke operacije imaju iste tablice nad skupom {istinito, neistinito}. Uobičajene oznake za operacije: 1 ∧1 = 1 , 1 ⇒ 0 = 0
3. Iskazna formula i njena vrednost Simboli iskazne algebre:
− promenljive iskazne algebre: p, q, r , p1 , q1 , r 1 , , p n , q n , r n , − simboli operacija: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ − pomoćni simboli: (, ).
Def . Iskazna formula je niz sastavljen od iskaznih slova, simbola operacija i zagrada koji je formiran prema sledećim konvencijama formalnog zapisivanja: 1. Iskazna slova su formule 2. Ako su A i B iskazne formule, tada su i ¬ A, ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A ⇒ B ), ( A ⇔ B ) iskazne formule. 3. Iskazne formule se jedino obrazuju konačnom primenom 1. i 2.
Primeri: p, ¬ p, ( p ∨ q ), (( ¬ p ⇒ q ) ∧¬( r ∨ q)) - pravilno p¬, ) p ∨ q, p ⇒∨q - nepravilno
− spoljašnje zagrade mogu se izostaviti − unutrašnje zagrade mogu se izostaviti u skladu sa sledećim prioritetima operacija: 1) ¬ , 2)
∨ , ∧ , 3) ⇒ , 4) ⇔ . Npr. ¬( p ∧ q) ∨ r ⇒ q . n
−
( A1 ∧ A2 ∧ ∧ An −1 ) ∧ An = A1 ∧ A2 ∧ ∧ An = ∧ Ai i =1 n
−
( A1 ∨ A2 ∨ ∨ An −1 ) ∨ An = A1 ∨ A2 ∨ ∨ An = ∨ Ai i =1
Iskazna formula za iskaznu algebru predstavlja ono što predstavlja algebarski izraz za algebru brojeva. Vrednost iskazne formule A, v ( A) , dobija se kada u A svaku promenljivu zamenimo sa nekom vrednošću iz { 0,1 } i izvršimo sve naznačene operacije. Kao rezultat se dobije 1 ili 0 koje predstavlja vrednost formule A za odgovarajuće vrednosti promenljivih.
Primer: (( ¬ p ⇒ q ) ∧ ¬ ( r ∨ q )) za p = q = 1, r = 0 v (( ¬p ⇒ q ) ∧ ¬ ( r ∨ q )) = (( ¬1 ⇒ 1) ∧ ¬ ( 0 ∨ 1)) = (0 ⇒ 1) ∧ ¬1 = 1 ∧ 0 = 0
Ovakva formalizacija omogućava jednoznačno izračunavanje istinitosnih vrednosti složenih iskaza:
Ako sada u iskaznoj algebri promenljive
p, q, r smatramo iskazima, operacije
¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ označavaju odgovarajuće logičke operacije, a 0 znači “lažno“ i 1 znači “istinito“,
tada iskazne formule predstavljaju pravilno zapisane složene iskaze. Istinitosna vrednost ovakvog složenog iskaza se dobija kao vrednost njemu odgovarajuće iskazne formule na sledeći način: Svaki se iskaz u formuli zameni svojom istinitosnom vrednošću pa se izračuna vrednost formule kao u iskaznoj algebri. Vrednost formule predstavlja istinitosnu vrednost iskaza. Tako se izračunavanje istinitosnih vrednosti složenih iskaza svodi na izračunavanje u iskaznoj algebri.
Primer: Data su dva trougla ∆ABC i ∆A1B1C1. Ako je α = α 1 i AB = A1B1, tada su trouglovi ∆ABC i ∆A1B1C1 podudarni ako i samo ako je β = β1 .
Formalizacija: p: α = α 1 , q: AB = A1B1, r: ∆ABC ≅ ∆A1B1C1, s: β = β1
Odgovarajuća formula iskazne algebre:
( p ∧ q ) ⇒ (r ⇔ s )
za p = q = r = s = 1 , v (( p ∧ q ) ⇒ ( r ⇔ s)) = (1 ∧ 1) ⇒ (1 ⇔ 1) = 1 ⇒ 1 = 1 za p = q = 1, r = 1 , s = 0 , v (( p ∧ q ) ⇒ (r ⇔ s )) = (1 ∧1) ⇒ (1 ⇔ 0 ) = 1 ⇒ 0 = 0
Def. Tautologija je iskazna formula koja za sve moguće vrednosti svojih promenljivih ima vrednost 1. (Tautologija predstavlja zakone pravilnog formalnog zaključivanja.) Neke poznate tautologija 1. p ⇒ p
(refleksivnost)
2. p ∨ ¬p
(isključenje trećeg)
3. ¬( p ∧ ¬p )
(neprotivurečnost)
4.
¬ ¬ p ⇔
p
5. ( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r )
(dvojna negacija) (tranzitivnost za ⇒ )
6. ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬q ⇒ ¬p )
(kontrapozicija)
7. ( p ⇔ q) ∧ ( q ⇔ r ) ⇒ ( p ⇔ r )
(tranzitivnost za
8. p ∨ p ⇔ p , p ∧ p ⇔ p
(idempotencija za
9. p ∨ q ⇔ q ∨ p , p ∧ q ⇔ q ∧ p
(komutativnost za
( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r )
10. 11.
12.
( p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r )
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p , p ∧ (p ∨ q ) ⇔ p
∨) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )
⇔)
∨, ∧) ∨, ∧)
(asiocijativnost za (apsorpcija
∨
∨, ∧)
prema
(distributivnost)
∧,
tj.
∧
prema
13. 14. 15.
p ⇒ q ⇔ ¬p ∨ q ¬( p ∨ q ) ⇔¬p ∧ ¬q
(De Morganovi obrasci)
¬( p ∧ q ) ⇔¬p ∨¬q
( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p )
Def. Dve iskazne formule A i B su semantički ekvivalentne ako je A
⇔ B
tautologija tj. ako A i B
imaju uvek iste vrednosti za iste vrednosti promenljivih. Piše se A = B. Sada se u svim tautologijama iz 1. - 15. koje sadrže ⇔, znak ⇔ može zameniti sa =.
4. Prekidačke mreže Samo one iskazne formule koje sadrže ∨, ∧ i ¬ , gde se iskaznog slova, mogu se interpretirati kao tzv. prekidačke mreže:
¬
javlja neposredno ispred
Iskazna slova i njihove negacije se interpretiraju kao dvopolni prekidači koji mogu biti otvoreni (kada ne provode struju) i zatvoreni kada provode struju. Ako iskazno slovo ima vrednost 1, prekidač je zatvoren, a ako je 0, on je otvoren. Ako su A i B formule koje su već prikazane kao prekidačke mreže, tada je - Za A ∧ B, mreža - redna veza A B - Za A
∨ B, mreža
- paralelna veza
A B Prekidačka mreža sadrži redno ili paralelno vezane prekidače, pri čemu su svi prekidači označeni istim slovom istovremeno uključeni ili i sključeni. Prekidač sa oznakom p je uključen akko je prekidač sa ¬ p isključen i obrnuto. Prekidačka mreža provodi struju akko odgovarajuća formula ima za odgovarajuće vrednosti slova (tj. stanje prekidača) vrednost 1. Tautologijama odgovara prekidačka mreža koja provodi uvek struju bez obzira na stanje svojih prekidača. Ako je A = B, tada su odgovarajuće prekidačke mreže ekvivalentne tj. za iste položaje svojih jednako označenih prekidača obe provode ili ne provode struju.
Primeri. a) p ∧ (¬ p ∨ q) = p ∧ q
¬ p
p
p
q
q b) ((¬ p ∨ q ) ∧ (¬ p ∨ ¬q)) ∨ p = p ∨ ¬ p - tautologija p
p ¬ p
¬ p
q
¬q
¬ p
5. Bool-ove funkcije Def. Svako preslikavanje {
0,1
}
n
→ { 0,1 }
, n ∈ N , je Bool-ova funkcija.
Svaka iskazna formula je jedna Bool-ova funkcija čiji je broj promenljivih jednak broju različitih iskaznih slova koje formula sadrži, tj. svakoj iskaznoj formuli F odgovara Bool-ova funkcija f tako da je v( F ) = f ( p1 , p 2 , , p n ) za sve vrednosti iskaznih slova p1 , p 2 , , p n iz formule F . Bool-ove funkcije jedne promenljive p α1 α2 α3 α4 α3 odgovara negaciji 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 Bool-ove funkcije dve promenljive (ima ih 2 2 p 1 1 0 0
q 1 0 1 0
β1 1 1 1 1
β2 1 1 1 0
β5 1 0 1 1
β10 0 1 1 0
2
¬
= 16 )
β16 0 0 0 0
Za svaku Bool-ovu funkciju f postoji iskazna formula F tako da je v ( F ) = f ( p1 , p 2 , , p n ) . O tome govori sledeći stav:
Teorema. Neka je f ( p1 , p2 , , pn ) proizvoljna Bool-ova funkcija i B1 = { ( e1 , e2 ,, en ) ∈{ 0,1 B2 =
{
{
(e1 , e 2 , , e n ) ∈
0,1
Tada je 1. Za B1
≠ 0/ ,
f ( p1 , p2 ,
}
}
n n
f ( e1 , e2 , , en ) = 1
} i
f (e1 ,e 2 , ,e n ) = 0
} , i p
∨
, p n ) = v ( , , , )∈ e1 e2
en B1
- savršena disjunktivna normalna forma
e1 1
(p
0 i
= ¬pi , pi1 = pi .
∧ p ∧ ∧ p ) e1 2
en n
∧
≠0/, f ( p1 , p 2 , , p n ) =v ( e ,e ,,e )∈ B - savršena konjuktivna normalna forma.
2. Za
B2
1
2
n
( p1¬ 1 e
∨ p 2¬e ∨ ∨ p n¬e 1
n
)
2
Primer: p 1 1 0 0 B1
q 1 0 1 0
β5 1 0 1 1
={
(11 , ), ( 0,1), ( 0,0),
β5 je implikacija
}
β 5 = ( p1 ∧ q1 ) ∨ ( p 0 ∧ q1 ) ∨ ( p 0 ∧ q 0 ) β 5 = ( p ∧ q ) ∨ ( ¬p ∧ q ) ∨ ( ¬p ∧ ¬q )
B2 =
{
(1,0)
}
β 5 = p ¬ 1 ∨ q ¬ 0 = p 0 ∨ q 1 = ¬ p ∨ q
Na taj način se svaka Bool-ova funkcija može predstaviti pomoću formule sa i pomoću prekidačke mreže.
¬ , ∨, ∧, pa
6. Izvođenje zaključaka Def. Formula F je semantička posledica skupa formula F ako važi: Za sve vrednosti iskaznih slova za koje je v ( H ) = 1 za svako H ∈ F , važi da je i v ( F ) = 1 . Elementi skupa F su hipoteze formule F , u oznaci F |= F . Za konačan skup F = { F 1, F 2, ..., F n}, F 1, F 2, ..., F n |= F .
Teorema. F 1, F 2, ..., F n |= F ako i samo ako je ( F1 ∧ F2 ∧∧ Fn ) ⇒ F tautologija. Neka pravila zaključivanja: 1. p, p ⇒ q |= q - modus ponens (direktni dokaz) Primer: p: 1988 je deljivo sa 4 p ⇒ q : Ako je N deljivo sa 4, tada je godina N prestupna |= q : 1988 je prestupna godina. 2. p ⇒ q, q ⇒ r | = p ⇒ r
- hipotetički silogizam
Primer: p ⇒ q : Ako je a = 2 , tada je a 2 = 4 q ⇒ r : Ako je a 2 = 4 , tada je a 3 = 4a |= p ⇒ r : Ako je a = 2 , tada je a 3 = 4a
3. p, ¬q ⇒ ¬p |= q - modus tolens (indirektni dokaz) - svođenje na apsurd Primer: p: U sobi ima 13 ljudi ¬q ⇒ ¬ p : Ako sve osobe imaju rođendan različitih meseci, tada u sobi ima ne više od 12 osoba |= q : Dve ili više osobe imaju rođendan istog meseca 4. p ⇒q, q ⇒ p |= p ⇔ q - ekvivalencija Primer: Trougao je jednakostraničan akko su mu svi uglovi jednaki
7. Predikatski račun (kvantifikatorski račun) − formalizuje pravilni način zapisivanja predikata nekog matematičkog ili drugog jezika, određivanje istinitosne vrednosti predikata. Pri tome se ulazi u sadržaj rečenica koje ulaze u sastav predikata.
8.Predikatske formule Osnovni simboli kvantitativnog računa: 1. 2. 3. 4.
promenljive: x, y , z , x1 , y1 , z 1 , , x n , y n , z n , konstante: a, b, c, a1 , b1 , c1 , , a n , bn , c n , operacijski simboli: f , g , h, f 1 , g 1 , h1 , , f n , g n , hn , relacijski simboli: α , β , γ , α 1 , β 1 , γ 1 , i
5. simboli logičkih operacija i kvantifikatori:
¬ , ∧ ,∨ ,⇒ ,∀ , ∃ .
6. pomoćni simboli: male zagrade i zarezi.
∀: univerzalni kvantifikator, “bilo koji“, “svaki“, “ma koji“
∃: egzistencijalni kvantifikator, “postoji bar jedan“, “postoji neki“.
Formalizacija pravilnog zapisivanja predikata
Def. Izraz je niz promenljivih, konstanti, operacijskih simbola, zagrada i zareza koji se formira prema sledećim konvencijama: 1. Konstante i promenljive su izrazi (termi) 2. Ako su t1 , t 2 , , t n izrazi, a f operacijski simbol dužine n, tada je f ( t1 , t 2 , , t n ) izraz 3. Izrazi se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primena 1. i 2.
Primeri: x , a , f ( x ), g ( x , y ), g ( g ( x , a )),
f ( g ( x ), g ( h ( x , y )))
Ako je f operacijski simbol dužine 1, tada se, umesto f ( x ) , može pisati f x, a ako je f operacijski simbol dužine 2, tada se, umesto f ( x , y ) , može pisati x f y.
Def. Ako su t1 , t 2 , , t n izrazi i α relacijski simbol dužine n, tada je α( t1 , t 2 , , t n ) elementarna formula. Ako je α relacijski simbol dužine 2, tada se, umesto
Primeri:
α( x , y ), α(
α( x ,
y ) , može pisati x α y.
f ( x , y )), α( f ( x , y ), a ), α( x , y, f ( x ), z )
Def. Predikatska formula se definiše prema sledećim konvencijama : 1. Elementarna formula je predikatska formula 2. Ako su A i B predikatske formule i x promenljiva, tada su ( ¬ A), ( A ∨ B ), ( A ∧ B ) ,
( A ⇒ B),( A ⇔ B),( ∀ x) A,( ∃ x) A predikatske formule 3. Predikatske formule se dobijaju samo pomoću konačno mnogo primena 1. i 2. U predikatskoj formuli mogu se izostaviti spoljašnje zagrade, a i neke unutrašnje prema prioritetu logičkih operacija.
Primeri: (a) (∀ x )( ∀y )( α( x , y ) ⇒ α( f ( x ), f ( y )) (b)
( ∀ x )α( x , y ) ⇒ ( ∃y )α( x , y )
(c) α( x , y ) ⇒ (∃z )β( y , f ( x , z ))
9. Pojavljivanje promenljivih u predikatskoj formuli Def. Pojavljivanje promenljive x u formuli F je vezano, ako je oblika se x pojavljuje u nekoj formuli A, pri čemu je
( ∀ x )
ili ( ∃ x ) ili ako
( ∀ x ) A ili ( ∃ x ) A podformula formule F.
Ako pojavljivanje x nije vezano ono je slobodno.
Def. Slobodna promenljiva formule F je promenljiva koja ima bar jedno slobodno pojavljivanje u toj formuli. Vezana promenljiva formule F je promenljiva čija su sva pojavljivanja u toj formuli vezana.
Primeri: − Sve promenljive u formuli (a) su vezane. − x, y, iz formule (b) su slobodne promenljive. − x, y su slobodne, a z vezana u formuli (c). Ako su sve promenljive u jednoj formuli vezane, tada se ova formula zove zatvorena formula. Takve formule predstavljaju rečenice kojima se može direktno odrediti istinitosna vrednost, pa one, u stvari, predstavljaju iskaze. Ako su x1 , x 2 , , x n slobodne promenljive formule F , tada se piše F ( x1 , x 2 , , x n ) .
10. Interpretacija predikatske formule Def. Uređen par ( D, ϕ) je interpretacija formule F, ako je − D neprazan skup koji predstavlja oblast definisanosti svih promenljivih i konstanti iz formule F, a ϕ preslikavanje koje: − svakoj konstanti iz formule F dodeljuje određen element iz D, − svakom operacijskom simbolu dužine n dodeljuje konkretnu n-arnu operaciju nad D, − svakom relacijskom simbolu dužine n dodeljuje konkretnu n-arnu relaciju u D. D se naziva domen interpretacije formule F .
Primeri: ( ∀ x )( ∀y )α( f ( x , y ), f ( y , x ))
1. D = R, ϕ : f → +, α → = (∀ x )( ∀y ) x + y = y + x
2. D = PA, ϕ : f → ∪, α → = ( ∀ x )( ∀y ) x ∪ y
3.
D
=
{
0,1
=
y∪x
} , ϕ : f → ∧, α →=
(∀ x )( ∀ y ) x
∧ y = y ∧ x
Predikat predstavlja predikatsku formulu koja je in terpretirana.
Def. Broj slobodnih promenljivih u jednom predikatu predstavlja dužinu tog predikata. Predikat dužine 0 predstavlja iskaz.
