Preguntas propuestas
3
Geometría
Geometría del espacio III NIVEL BÁSICO 1.
NIVEL INTERMEDIO
Dado un triedro O - ABC , se sabe que OA= BC , OB= AC y OC = AB. Si la m ABC =70º y m OAC =50º, calcule la m BOC . A) 50º D) 60º
B) 70º
6.
En un ángulo triedro O - ABC equilátero, las medidas de las caras es 60º. Si al trazar el rayo OP se cumple que m AOP=m BOP=m COP=q, calcule q.
C) 100º E) 110º
A) 30º 2.
En un ángulo triedro, la medida de dos de sus caras es 90º y 100º. Calcule la suma del valor mínimo y máximo de la suma de medidas de la tercera cara. A) 160º D) 250º
3.
B) 180º
C) 200º E) 210º
Dado su triedro birrectángulo O - ABC , tal que la cara AOB mide 45º, calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo BOC y la arista OA.
B)
arctan
6 2
C)
arctan
2 2
D)
arctan
3 2
E) 45º 7.
En un triedro O - ABC , la medida del diedro OA es 90º; OA 126; OB=14; OC =15 y m OAB=m OAC =90º. Calcule la medida de la cara que se opone a OA. =
A) 60º D) arctan ( 4.
2
)
C) 90º E) arcsen 2/3
A) 60º D) 37º
Un poliedro está limitado por n regiones triangulares y 3 n regiones pentagonales. Calcule el número de aristas si el número de vértices es 32. A) 40 D) 18
5.
B) 45º
B) 54
8.
C) 64 E) 68
Sean M y N puntos medios de las aristas CD y EH , respectivamente, de un cubo ABCD - EFGH . Si P ∈ BM , Q ∈ GN y AB=a, calcule el área de la región paralelográmica APQE . A) 3 a2 D) 2a2
B) a2 2
C) a2 E) a2
3
B) 90º
C) 45º E) 53º
Las aristas de un ángulo triedro, cuyas caras miden 60º, de vértice O, son intersecadas por un plano en A; B y C . Si AO=a; OB= b y OC =c, indique la relación para que m BAC =90º. A) 2 b2=ab+ac – bc B) 2 c2=2ab+ac – bc C) c2=ac+ bc – ab D) 2a2=ab+ac – bc E) 2a2= bc+ab – ac
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Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
9.
Dado un triedro equilátero O - ABC , cuya cara mide 60º, si 2(OC )=2(OB)= 5 ( BC ) , calcule la medida del ángulo diedro.
A)
arcsen
13.
Material Didáctico N.o 3
Según el gráfico, los poliedros mostrados son regulares. Si BH es la altura y la distancia de M a PQ es 14, calcule el volumen del cubo. Q
2 3 P
2 B) arccos 3
B
3 8
C) arccos
H
3 D) arcsen 10 E) 10.
arccos
M
4 7
Dado un triedro O - ABC , la medida del ángulo que forman OC y la bisectriz de la cara opuesta es igual a la mitad de la medida de dicha cara. Si las medidas de los diedros OA y OB suman 120, calcule la medida del diedro OC .
A) 12 B) 16 C) 24 D) 30 E) 40
A) 45º D) 135º 11.
B) 60º
14.
C) 90º E) 120º
En un tetraedro regular V - ABC , en que AB 6, se traza la altura VH , y tomando como diámetro a VH se traza la semicircunferencia que interseca a la arista VB en el punto P. Calcule la longitud de la proyección de VP sobre VH . =
12.
15.
3 7 7
En un tetraedro regular A - BCD, en BC y BD se ubican los puntos P y Q, respectivamente, tal que BQ=2(QD)=2( BP)=4. Calcule el área de la región triangular APQ.
En un cubo ABCD - EFGH , la distancia entre las rectas EG y DF es
6 3
. Calcule
el área de la
región triangular que tiene como vértices los
En un tetraedro regular ABCD, M es punto medio de CD y G es baricentro de la región triangular ABC . Si el área de la región triangular AMG es igual a 33, calcule el área de la superficie tetraédrica. A) 86 D) 94
7
A) 5 2 B) 5 3 C) 4 3 D) 6 3 E) 10 3
A) 2 B) 4/3 C) 0,5 D) 1 E) 2
3
B) 88
C) 72 E) 96
centros de las caras que concurren en un vértice del cubo.
A)
D)
2 3
B) 3
3
E)
2
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C)
4
6 2 3 4
Semestral Intensivo UNI
16.
Geometría
En el gráfico, M y N son puntos medios y PG = 2. Calcule el volumen del cubo mostrado.
Geometría
NIVEL AVANZADO
18.
B
C
N D
A
Dado un triedro isósceles O - ABC , en la arista común OB de las caras de igual medida se ubica el punto P, y en las otras dos los puntos E y F , además P’ es la proyección ortogonal de P sobre la cara AOC y OP’ ∩ EF ={Q}. Si EO= FO=10 3; OP=45; m AOC =60º y PQ es bisectriz del ángulo OPP’, calcule la medida del ángulo diedro determinado por la región PEF y la cara AOC .
M M
F
G P
E
A) 37º B) 53º C) 127º/2 D) 143º/2 E) 45º
H
A) 8 B) 10 C) 12 19.
D) 11
En un triedro trirrectángulo O - ABC , en OA y AB se ubican los puntos M y N , respectivamente.
E) 16
Si AM = MO; 17.
En el octaedro regular mostrado, I es el incentro del triángulo ABL. Si VN = 2, calcule el área de la superficie octaédrica.
9
y G es baricentro
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60
G
I
A
L
V '
24 6
4
NB =
del ángulo entre MN y CG.
N
A)
3
CO =
de la región triangular AOB, calcule la medida
V
B
AN
+ 16
6
B) 24 C) 12 D) 20
3
+ 16
6
6
+ 18
3
3
+ 12
2
E) 15
3
+ 16
6
20.
En un poliedro, sus caras solo determinan 12 triedros y 20 diedros, además, las caras de dicho poliedro son triangulares, cuadrangulares y pentagonales. Si el número de caras pentagonales es par y menor que el número de caras cuadrangulares, calcule el número de caras triangulares. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
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4
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
21.
Se tiene un octaedro regular M - ABCD - N , Q y P en BM y DN , respectivamente. Si QP contiene el centro O del octaedro; OP 5 y BQ=3 ( NP), calcule el área de la sección que determine el plano que contiene a los puntos A, Q y C en el octaedro.
C) D)
=
A) 2 D) 4 22.
B)
5 10
4 5
C) 8 E) 8
10
E) 24.
5
Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH , en la cara EFGH se ubica el punto M , luego se traza internamente al cubo el tetraedro regular PFGM . Si la prolongación GP interseca la cara ABCD en Q y AB= d , calcule PQ. A) B) C) D)
d
9
4
2 10
2
10
5
10 5
En un tetraedro regular A - BCD se ubica un punto P en la altura AH de la cara ADC , 3( AP)=2( PH ). Calcule la tangente de la medida del ángulo diedro formado por las regiones BPD y BCD. A)
2
B) 3 C)
4 2
−
Material Didáctico N.o 3
2 2
D) 2/3
d
3
2
3
−
E)
d
6
2 6
3
2
3 2
−
25.
d
3
−
2
Dado un hexaedro regular ABCD - EFGH , O es centro de la cara ABCD y P ∈ AE . Calcule la medida del ángulo entre HO y PC si la medida del ángulo diedro determinado por las regiones PFH y FCH es 90º.
E) 23.
d 2
(
6
− 2)
En un octaedro regular M - ABCD - N si AB=4 y G es baricentro de la cara CMD, calcule la distancia entre MG y BD. A) B)
4 5 2 5
A) 75º B) 30º C) 53º
5
D) arccos
5
6 9
E) 90º
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6
Semestral Intensivo UNI
Geometría
SEMANA
Geometría
12
Prisma y Cilindro A) 14 D) 10
NIVEL BÁSICO
1.
En un prisma triangular regular ABC - A ’B’C ’, el área de la región triangular AB ’C es 4 7 y AB= BB’. Calcule el volumen de dicho sólido.
2.
3
2 cm
2 cm 2 cm
3
7.
3
2 cm
3
2 cm
3
C) 7
6 3
27 3
E)
4
A)
3
8 π r
3
B)
4π
3
r
3
3
C)
3
D)
8 π r
E)
3
8.
3
25 3 3
2π
3
r
2π 2π
B) 45º – q
B) V / S
C) 2V / S E) 3V / 2 S
Dado el prisma regular ABCDEF - A ’B’C ’D ’E ’F ’, el menor recorrido para ir de B hacia E ’ por la superficie lateral es a y el menor recorrido para ir de E ’ hacia C por la superficie lateral es b, tal que a2 – b2=5 y EE ' = 2 3 . Calcule el volumen de dicho prisma. B) 12
9 3
D) 8 9.
C) 90º – q E) 2q
El volumen de un prisma triangular oblicuo es V y el área de su superficie lateral es S. Calcule el inradio de la sección recta de dicho prisma.
A)
En un cilindro oblicuo, la generatriz está inclinada, con respecto al plano de la bases, un ángulo que mide 60º; la altura del cilindro es el doble del radio r de la sección recta. Calcule el volumen del cilindro en función de r .
C) 18 E) 12
En un prisma triangular, la medida del ángulo diedro determinado por la sección transversal y la sección recta es q. Calcule la media del ángulo que determinan una arista lateral y una base de dicho prisma.
A) 3V / S D) 4V / S
B)
3
2π
A) 45º+q D) q
3
Las áreas de las superficies laterales de dos cilindros semejantes son 24 y 18. Si el volumen del cilindro mayor es 18, calcule el volumen del otro cilindro.
D)
5.
3
Se tiene un paralelepípedo rectangular. Si una de sus diagonales mide 12 cm y forma con el plano de la base un ángulo de 30º y con una cara lateral un ángulo de 45º, calcule el volumen del paralelepípedo.
A) 5
4.
C) 12 E) 16
6
3
A) 216 B) 225 C) 243 D) 245 E) 236 3.
B) 18
2
2π
NIVEL INTERMEDIO
6.
A) 15 D) 21
B) 16
2π
C) 9 E)
3
9 2
En un prisma recto ABC - DEF , ABED es un cuadrado y la m ABC =90º. Se inscribe un cilindro de revolución, de modo que sus bases estén contenidas en las bases del prisma tal que la razón de las áreas de la superficie lateral
3
3
p r
En un cilindro de revolución, M es el punto medio de una generatriz AB, B y C son diametralmente opuestos, y O es el centro de una de las bases. Si m OMC =90º y OM = 2 3,calcule el volumen de dicho cilindro.
del cilindro y de la región cuadrada es
2π . 3
Si el radio de la base del cilindro es r , calcule el área de la superficie lateral del prisma en función de r . A) 36 r 2 D) 40 r 2
B) 38 r 2
C) 39 r 2 E) 45 r 2
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6
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
10.
Se tiene una batea de 10 u de altura y sección trapecial isósceles de altura 2 u, base inferior 2 u y base superior 3 u. Si se vierte agua en la batea a una razón constante. Calcule la altura en la que se encuentra el agua sobre la base cuando el volumen de agua es 45u 3. A) 3 u D) 9 u
11.
C) 2,4 u E) 8 u
B) 48 p cm3
15.
B) 30 p cm3
C) 48 p cm3 E) 50 p cm3
B) 6 p
C) 9p E) 18p
En la figura se muestra un tronco de cilindro de revolución. Si MN =5 cm y BD – AC =6 cm, CM = MO y ON = ND, calcule el volumen del tronco. D
N C
C) 54 p cm3 E) 72p cm3
Se tiene un paralelepípedo recto de bases ABCD y A’ B’C ’ D’, en el que O y O’ son los puntos de intersección de las diagonales de las bases, respectivamente. Si B’C ’CD es una región cuadrada de lado 12 cm, calcule el volumen del cilindro oblicuo, cuyas bases son circulares, que se encuentra inscrito en las regiones A’O’ B’ y COD. A) 20 p cm3 D) 25p cm3
Se tiene un tronco de cilindro oblicuo cuyas bases son iguales y su ángulo diedro es de 60º. Halle su volumen si sus generatrices mayor y menor miden 9 cm y 5 cm, además, su sección recta es un círculo. A) 21p D) 12p
En un cilindro circular oblicuo se traza un plano secante que contiene a los centros de las bases cuya intersección es una región cuadrada de área 48 cm2, de tal manera que la proyección de uno de sus lados contenidos en una base sobre la otra base es un segmento tangente a la circunferencia que limita dicha base. Calcule el volumen del cilindro. A) 36 p cm3 D) 64p cm3
12.
B) 4,5 u
14.
Material Didáctico N.o 3
A
M
B O
A) 100 p cm3 D) 25p cm3 16.
B) 75p cm3
C) 80 p cm3 E) 30 p cm3
En el gráfico, la medida del ángulo diedro entre las bases del tronco de cilindro de re volución es 37º. Calcule el volumen del tronco de prisma triangular rectangular isósceles de aristas no nulas inscrito si una de sus aristas coinciden con la generatriz MN . (Considere a la base triangular rectangular isósceles, que contenida este en la base circular). M
13.
En un tronco de cilindro circular recto se inscribe un hexaedro O1 - ABC - O2, cuyas caras son regulares. Calcule la razón entre los volúmenes del tronco de cilindro y dicho hexaedro, además, O1 y O2 son centros de las bases del cilindro. 4
A) D) 2
3π 3 3π
B)
2 3π 3
N
C) 3π E)
8 3π 3
A) 63 D) 66
B) 64
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8
C) 69 E) 65
Semestral Intensivo UNI
17.
Geometría
Geometría
Un tetraedro regular de arista a está inscrito en un cilindro de revolución, de modo que una de sus aristas coincide con una de las generatrices. Calcule el área de la superficie lateral de dicho cilindro. A)
π 2 2 a 4
D)
3π 2 2 a 4
B)
21.
5π 2 2 C) 3π 2 a2 a 2 4 E)
π 2 2 a 2
En un prisma triangular regular ABC - DEF , todas sus aristas son de igual longitud. Luego se traza un plano H que contiene a DF e interseca a BE en su punto medio, por E se traza el plano L perpendicular al plano H y paralelo a CA. Si el volumen del prisma es 54 3 u3 , calcule el área de la sección plana determinada por el plano L en dicho sólido. A) 4 u 2 D) 4
6 u
B) 4
2u
2
C)
4 3u
2
E) 8 u2
2
NIVEL AVANZADO 22. 18.
Se tiene un prisma triangular oblicuo de bases ABC y A ’B’C ’, tal que BB’=8 cm y el plano que contiene a AA’ y GG’ es perpendicular a las bases (G y G’ son baricentros de las regiones ABC y A ’B’C ’, respectivamente). Si la proyección de G’ sobre el plano ABC es un punto de BC y la medida del ángulo determinado por la arista lateral con una de las bases es 60º, calcule el área de la sección determinada por el plano en el prisma. A) 19 3 cm3 B) D) 198 3 cm3
19.
3
C) 54 E) 196
3 cm
A)
3
3 cm
D)
un prisma hexagonal regular ABCDEF - A ’B’C ’D ’E ’F ’, si AF = AA’=2, calcule el perímetro de la sección plana determinada en el prisma por un plano secante que contenga a B, C y F ’.
) 5 + 1)
5
+1
B) 3 (
5
)
+1
C) 4 ( E) 6 (
) 5 + 1) 5
+1
Se tiene un tronco de prisma triangular de bases ABC y A ’B’C ’, en el que AA’, BB’ y CC ’ son perpendiculares al plano ABC y m ABC =90º. En AC se ubica el punto medio D. Si BC =6 cm, CC ’=1 cm, la distancia del baricentro de la región triangular A ’B’C ’ al plano ABC es 3 cm y el área de la región triangular A ’B ’D es 15 cm 2, calcule el volumen del sólido ABD - A ’B ’D. A) 24 cm3 D) 32 cm3
B) 12 cm 3
C) 16 cm3 E) 48 cm3
3 3
B)
2
4 3 3
C)
9 3 2
3
10 3
E)
9
En
A) 2 ( D) 5 ( 20.
8 3 cm
En un cilindro circular recto, cuyas bases tienen por radio 2 cm y de centros O y O1, se trazan dos planos que contienen al diámetro AB de centro O1, además dichos planos contienen a los extremos del diámetro CD de la otra base, y la medida del diedro AB es 60º. Calcule el volumen del sólido ACB - ADB si el área de la región triangular BCD es 8 cm2.
23.
16 3 3
Se tiene el paralelepípedo recto ABCD - A ’B’C ’D’. Se traza los planos que contienen a AA’ y BB’, los cuales contienen al segmento MN ( M ∈ C ’D’ y N ∈ CD), respectivamente. Luego se traza un plano paralelo a CD intersecando a AA’ en P, a BB’ en Q y a MN en R, tal que el área de la región determinada en el paralelepípedo es 40 cm2 y la medida del diedro que determina con la base ABCD es 37º. Si GG’=5 cm (G y G’ baricentros de las regiones triangulares ABN y PQR), calcule el volumen del sólido ABN - PQR. A) 40 cm 2 B) 50 cm2 C) 60 cm2 D) 80 cm2 E) 100 cm2
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8
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
24.
En el gráfico se muestra un tronco de cilindro circular recto. Si AP+ BP=28 cm, el inradio de la región triangular ABP es 4 cm y la medida del ángulo determinado por O’ P con la base circular es 45º (O’ es punto medio de CD), calcule el volumen del sólido APB - CPD.
25.
En el gráfico, O1O2 es el eje del tronco de cilindro. Si el área de la superficie lateral del cilindro de revolución mostrado es igual a 2, calcule el área de la superficie lateral del tronco de cilindro si su sección recta es circular. O1
D O' C
O
A
B O2
P
A) 400 cm3 B) 450 cm3 C) 500 cm3 D) 600 cm3 E) 640 cm3
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 4
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Material Didáctico N.o 3
10
Semestral Intensivo UNI
Geometría
SEMANA
Geometría
13
Pirámide y Cono NIVEL BÁSICO
D)
448 3 cm
3
3 1.
En un cono de revolución, el ángulo entre dos generatrices diametralmente opuestas mide 90º. Si se inscribe en el cono un cilindro equilátero cuyo eje es perpendicular a la base del cono, calcule la razón de volúmenes para dichos sólidos. A) 3/5 D) 2/9
B) 5/6
E) 4.
D) 2.
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo de radio R. Calcule el volumen del cono en función de R. A) 4 p R3 D)
3.
B) 8 p R3
3π 3 R
C) 12π
3
E)
4
π
3R
3 R
5.
3
a
B)
6
3
a
a
6
2
6
C) E)
a
6
4
a
6
8
Las aristas laterales de un tronco de pirámide regular triangular están inclinadas con respecto a la base mayor a. Las aristas básicas mayor y menor miden a y b. Calcule el volumen del tronco de pirámide.
3
A) (a3+ b3)tana
24
B) (a3 – b3)tana
Según la figura, calcule el volumen del sólido que genera la región sombreada al girar una vuelta alrededor de L si BC =4 cm, AD=8 cm y m ADC =60º.
C) D)
L B
3
En el interior de un tetraedro regular, cuya arista es a, se ubica un punto. Calcule la suma de las distancias de dicho punto a las caras del tetraedro. A)
C) 7/12 E) 5/9
334 3 cm
C
E)
( a3 − b3 ) tanα 3
( a3 − b3 ) tanα 12
( ab)3 3
tanα
NIVEL INTERMEDIO A
D 360º
A)
224 3 cm
B) 448
C)
3 cm
6.
3
Se tiene una pirámide regular cuadrangular O - ABCD. Si las regiones AOC y ABCD son equivalentes y la distancia de C a AO es 4 2, calcule el volumen de dicha pirámide.
3
224 3 cm
A) 3
D)
3
20 5
B)
3 50 5
40 10 3
C) E)
3
40 5 3 3 10 5
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10
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
7.
En una pirámide A - BCD, las caras ABC , ADC y ABD determinan ángulos diedros de igual medida con la base e iguales a 60º. Calcule el área de la superficie lateral de la pirámide si el área de la base es 40.
12.
Calcule el volumen del una pirámide hexagonal regular, cuya arista lateral mide a y el diámetro de la circunferencia inscrita en su base es d . 2
A) 50 D) 90 8.
B) 60
B) 1673
A) D)
B)
128
a3 128
64
C) E)
tan α
B) cos – 1a
B) 18 u3
−
3
B)
d
2
3a
−
6
2
d
2
C)
d
a
3 2
D) E) 13.
d
a
3 d
2
3a
2
−
2
d
Calcule el área de la superficie lateral del cono de revolución si MN es la base media del triángulo ABC y MNQP es una región cuadrada cuya área es 36 u 2. B
a
32
a3 3
tan α
M
C) 12 u3 E) 21 u3
N
A
C P
A) 36 π D) 18π
C) tana E) 1
Se tiene una pirámide regular P - ABCD, en la cual por el vértice A se traza un plano perpendicular a PC . Calcule el volumen del prisma truncado, cuyas bases son la sección plana determinada y su proyección sobre la base de la pirámide, si PD = AC = 4 3 u. A) 20 u 3 D) 24 u3
a
3
En una pirámide regular n - angular, la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y el plano de la base es a. Calcule la razón de áreas de la superficie lateral y de la base de la pirámide. A) sen – 1a D) cota
11.
a
d
2
3
3
a
2
d
2
C) 1872 E) 1728
En una pirámide triangular regular de arista básica a, la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y el plano de la base es aº. Calcule el volumen de la pirámide determinado por un plano perpendicular a la base en el punto medio de dos aristas básicas. 3
10.
A)
En una pirámide regular V - ABCD, M y N son puntos medios de VA y VC , respectivamente, el plano que contiene a D, M y N interseca a VB en E , y determina una sección de área 120; MN ∩ ED={ L} y EL=5. Calcule el volumen de la pirámide. A) 1748 D) 1736
9.
C) 70 E) 80
Material Didáctico N.o 3
14.
3u 3u
2
Q
B) 18π
2
2
C) 67π E) 36 π
2u 2u
2 2
Si el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es una región cuadrantal del área S, calcule el área de la superficie total. A) D)
3 2 2 3
(S)
B)
( S)
3 (S) 3
C) E)
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11
2u
12
5 4 7 5
(S)
( S)
Semestral Intensivo UNI
15.
Se tiene un tronco de cono recto cuyas bases miden 1 m2 y 9 m2. Si un plano paralelo a las bases pasa por el punto medio de su generatriz, halle la razón de los volúmenes de los sólidos determinados.
A)
D)
16.
3
B)
7
7
C)
9
9
E)
17
D)
21π 3
B)
7π 3
Geometría
NIVEL AVANZADO
18.
7 19
A) 2 D) 6
17
19.
C) 7p
3
14 π 3
E)
3
Un cono de revolución que tiene como radio de la base 4 m y cono altura 3 m es cortado por un plano paralelo a la base, tal que el área del círculo de la sección sea igual al área lateral del cono truncado. ¿Cuál es la distancia del vértice a la sección?
7
El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono es un trapecio circular cuyo ángulo central es 60º y su área 6 p u2. Halle el volumen del tronco de cono si la suma de las áreas de las bases es 5 p u2.
A)
17.
Geometría
3
Del gráfico se muestran un tronco de cono de revolución y una pirámide regular, además R=2 r . Calcule la razón de volúmenes de dichos sólidos.
20.
C) 5 E) 2 3
Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto, el cual contiene cierto líquido cuya altura es la mitad de la altura del recipiente. Luego se interviene el recipiente. Calcule la altura que alcanza el líquido si la altura del recipiente es 4. (Posición inicial del recipiente es con su base situada sobre un plano horizontal). A) D)
7π
B) 3
B)
2 7 3
14
14
C) E)
3
2 7 3
28
Del gráfico se muestra la base y el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución. Calcule m AT ( A, B y T son puntos de tangencia).
A) 60º B) 74º C) 37º D) 53º E) 45º
r
T
A 21.
R
A)
D)
2 3π 9
B)
4 3π
C)
9
7 3π
E)
9
5 3π 9
Calcule el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular si las áreas de las bases están en la relación de 1 a 4, el área de una cara lateral es A y la distancia del centro de la base mayor a dicha cara lateral es d . A) 3 A d
3π 9
B
D)
B) 4 A d
13 A d
C) E)
3
13 A d 2
13 A d 9
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12
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
22.
En una pirámide cuadrangular regular, la arista básica mide a y las caras laterales con el plano de la base forman un ángulo diedro que mide a. Por dos aristas básicas opuestas se trazan dos planos perpendiculares entre sí. Determine la longitud del segmento determinado por los planos perpendiculares si esta a su vez interseca a la altura de la pirámide. A) a(1+tana)
H
B)
E) a(tana – 2)
2 3
3
2a cos 3
2
B)
2a cos
C)
2a senα
D) E)
2
α
3
3
2
L
2
H
2 ( L2 − H 2 )
+
H
−
2 ( L2 − H 2 ) 2 ( L2 − H 2 )
H
+
H
+
L
H
−
L
D) H 2 ( L2 − H 2 ) E) 25.
αsenα
2 2a cosαsen
C)
2
H
A)
En una pirámide regular, la suma de las medidas de los ángulos internos del polígono de su base es 1080º y la arista lateral mide a. Calcule el volumen de la pirámide, además, la arista lateral y el plano de la base forman un ángulo que mide a. A)
Calcule la arista de un cubo, inscrito en una pirámide cuadrangular regular, de manera que cuatro de sus vértices estén en las arista s laterales y los cuatro restantes estén en la base, si la arista lateral de la pirámide mide L y su altura mide H .
B) a(1 – tana) C) a(1 – cota)
tan α D) a 1 − 2 23.
24.
Material Didáctico N.o 3
H
+
2 ( L2 − H 2 )
Se tiene una pirámide cuadrangular V - ABCD, tal que VB es la altura de dicha pirámide. Calcule el volumen de dicha pirámide si se sabe que el área de la región triangular VCD es 4 15 y que la mediana CQ de la cara VCD forma con el plano de la base un ángulo que mide 30º. ( ABCD: cuadrado).
α
A) 16 D) 36
3
2 2a sen 2α
B) 24
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14
C) 32 E) 48
Semestral Intensivo UNI
Geometría
SEMANA
Geometría
14
Esfera 5.
NIVEL BÁSICO
1.
Halle el volumen de la esfera inscrita en un cono de revolución cuya generatriz mide 4 + 2 2, tal que el diámetro de su base es el doble de su altura. A) 2 p D)
2.
C)
5
32π
E)
3
6 π
D)
B)
6
C)
7π
6
E)
6π
4π
C
3 64 π
A
3
B) 5 S
P
2π
7π
eje
C) 240 p E) 360 p
NIVEL INTERMEDIO
6.
C) 6S E) 9S
C) 48 p E) 50 p
Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. La intersección de un plano y una superficie esférica siempre es un conjunto convexo. II. Un tetraedro siempre es inscriptible a una superficie esférica. III. La intersección de una recta secante y la superficie esférica es un segmento de recta. A) VFV B) FVV C) FVF D) FFV E) VFF
7.
B) 32p
B) 120 p
R
2
Según el gráfico, el área de la superficie lateral del cono es 20 p y el área de la superficie esférica es 100 p. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro recto.
A) 24 p D) 64p
Q
A) 60 p D) 300 p
6
En una esfera, el área del círculo máximo es S. Halle el área total de dos semiesferas que resultan al part ir a la esfera. A) 4 S D) 8S
4.
32π
B
En una semiesfera se inscribe un hexaedro regular. Calcule la razón de volúmenes para dichos sólidos. A)
3.
B)
En el gráfico adjunto, el área de la región triangular ABC es 30 m 2, AP=4 m, BQ=8 m y CR=6 m. Halle el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar alrededor del eje.
En un cono circular recto se ha inscrito una esfera; el área de la superficie esférica es al área de la base del cono como 4 es a 3. Calcule la medida del ángulo determinado por dos generatrices diametralmente opuestas. A) 15º D) 60º
B) 38º
C) 45º E) 75º
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14
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
8.
Halle el volumen que genera la superficie sombreada al girar sobre el eje mostrado. (T es punto de tangencia)
11.
360º
2
A)
7π R
9.
B)
4 2
D)
2
7π R
12.
7 π R
2
3
C)
4
7π R
E)
4
B) 2 2
3
7π R
13.
3
C) 3 E) 6
8
Según el gráfico, calcule el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360º alrededor de CD. (T es punto de tangencia).
Del gráfico, M , N y T son puntos de tangencia y R=3 r . Calcule la razón de áreas de las superficies generadas por EM y NH al girar 360º con respecto a EH .
C) 30 cm2 E) 22,5 cm2
Se tiene una esfera de 2 m de radio. En ella se inscribe un cono de revolución, tal que su área lateral es igual a la mitad del área de la zona esférica que lo rodea. ¿Cuál es la longitud de la altura del cono? A) 2 D) 2
3
B) 135 cm 2
2 2
3
Halle el área de la superficie de una esfera inscrita en un octaedro regular, que a su vez está inscrito en una superficie esférica de 45 cm2 de área. A) 60 cm 2 D) 15 cm2
T
R
Material Didáctico N.o 3
B
T
C
M
R N
R
A
E
T
r
H
A) A) 3 D) 18 10.
B) 6
C) 9 E) 27
D)
Calcule el volumen generado al girar la región triangular equilátera en torno al eje L , cuyo lado mide 4 m y q=15º.
14.
5 3
O
R
2
B)
3 10 3 π
R
D
5 3π 5
R
3
C)
3
E)
3
5 3π 6 3π
R
R
3
3
6
Según el gráfico, G es el centroide de la región sombreada. Calcule GH .
L G
H R
θ
A) A) 8 π D) 16 π
2m
3
2m
3
B)
9π 2 m
3
C) 12π E) 18π
2m
3
2m
3
D)
R
( π − 1)
B)
2 R
π−
2
C)
E)
3 ( π − 2)
Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 15
R
16
3 R 2 ( π − 2) R 3 ( π − 2)
Semestral Intensivo UNI
15.
Geometría
Según el gráfico, OM = MA=4 u. Calcule el volumen del sólido generado al girar la región sombreada 360º alrededor de OB.
Geometría
NIVEL AVANZADO
18.
A
A) 9 D) 18
M 19.
O
B
A) 125p u3 D) 126 p u3 16.
B) 129 p u3
C) 127p u3 E) 124p u3
20.
B
O C r
O1 A
) π B) (3 − 2) π
2
2
C) 2 (3 − E) 6 (3 −
)π
)π 2) π 2
Según el gráfico, PB=6 y AC =8. Calcule el área de la superficie lateral del cono inscrito en la semiesfera.
3
2m
B) 12
2m
3
3
C) 16 E) 36
2m
3
2m
3
En una esfera, un huso esférico es equivalente a un casquete esférico cuya altura es la tercera parte del radio de la esfera. Calcule el volumen de la respectiva cuña esférica si el radio de la esfera inscrita en dicha cuña mide 1 cm.
En una esfera se trazan dos cuerdas AB y CD perpendiculares en P, tal que ( AP)2+( PB)2+( PC )2+( PD)2=36, el área de la superficie esférica concéntrica a dicha esfera y tangente al plano determinado por dichas cuerdas es 64 p. Calcule el área de la superficie esférica correspondiente a la esfera mencionada. A) 125p D) 180 p
21. 17.
2m
A) 2 p cm3 B) 3 p cm3 C) 4 p cm3 D) 6p cm3 E) 9p cm3
Del gráfico, calcule el área del menor casquete esférico si O es el circuncentro del triángulo equilátero ABC , r = 7 y la distancia de O1 hacia AC es 1/2.
A) (3 − 2 D) 3 (3 −
Calcule el volumen de un tetraedro regular si el radio de la esfera exinscrita es igual a 6 m.
B) 100 p
C) 68 p E) 128p
Se tiene una semiesfera inscrita a un cono de revolución, cuyo círculo máximo está contenido en la base del cono, la sección plana que es paralela a la base del cono y tangente a la se-
P
miesfera se toma como base de un cono que B
tiene como vértice el centro de la semiesfera, que además es semejante al cono original. Calcule el radio de la semiesfera si el volumen
C
A) p D) 4p
A
B) 2 p
del cono original mide C) 3p E) 6p
A) 2 D) 6
B) 3
64 3π 3
. C) 2 2 E) 2 3
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16
Geometría
Academia CÉSAR VALLEJO
22.
Se tiene un tetraedro regular de ar ista a y una esfera tangente a todas las aristas del tetraedro. Calcule el radio de la esfera.
A) B)
A) D) 23.
a 2 4
B)
2
a
C)
2
a 2
E)
5
3
C)
a 2
D)
6
Si G es el centro de gravedad de un sector circular cuyo centro de su círculo es O, y su radio mide 6 m y el ángulo del sector mide 60º, halle OG. A)
3
B)
π
D)
6
C)
9 π
π
12
E)
15
E) 25.
140 37π 180 37π
160 53π 240 37 π
240 53 π
Se tiene un bloque cúbico de mármol de arista a. Si dicho bloque se pule hasta obtener una máxima esfera y luego dicha esfera se pule hasta obtener un máximo bloque cúbico, calcule el volumen de material desperdiciado para obtener este último bloque cúbico.
π
π
24.
a 2
3
Según el gráfico, ABCD es un romboide, BC =10, CR=4 y G es el centroide de la región sombreada. Calcule GP.
A)
a
3
B)
R
C
C)
a
G
a
A
O
P
D
)
(9 −
3
)
(9 −
3
)
24 a
(9 −
3)
54 3
E)
3
27
3
D)
(9 − 9
3
B
a
(9 −
3
)
3
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Material Didáctico N.o 3
18
Semestral Intensivo GEOMETRÍA DEL ESPACIO III
PRISMA Y CILINDRO
PIRÁMIDE Y CONO
ESFERA
