Dinámica
2016-1
Semana 09 y 10 Tema:
Trabajo y Energía Mecánica
TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS (2D) 1. Energ Energía ía Ciné Cinétic tica a de un Cuer Cuerpo po Rígi Rígido do (T): (T):
Para un instante la energía cinética de la partícula mi es:
Modelo General (Traslación + Rotación):
Y
m
y
mi
r i
vi
T= T=
1
2
i
v
T= T=
x
1 2
1 2
T=
X
m v 2 A
1 2
mi vi vi
1 2
mi vi vi
vi =v A +vi / A =v A + r i / A
Como:
A
i
2 1
2
mi v i 2 =
m v
2 1
T=
v A
r A
O
1
La energía cinética en todo el Cuerpo Rígido: r i/A
T=
T1 =
2 A
m
1
mi v A v i/A
1
i
m v
2 vA mv A
2
i
A
v i/A
2
mi . r i / A
1 2
i/A
i
2
2 .I A
2 i/A
m .r 12 m r 2
m i v A v i/A v A v i/A
mv 2 i
v A 2 v A v i/A v i/A v i/A
mi v A v i/A
mv 2 A
A
1
2 i i/A
Como: I A
mi r i 2/ A
TRABAJO Y ENERGIA DE CUERPOS RIGIDOS (2D) 1. Energ Energía ía Ciné Cinétic tica a de un Cuer Cuerpo po Rígi Rígido do (T): (T):
Para un instante la energía cinética de la partícula mi es:
Modelo General (Traslación + Rotación):
Y
m
y
mi
r i
vi
T= T=
1
2
i
v
T= T=
x
1 2
1 2
T=
X
m v 2 A
1 2
mi vi vi
1 2
mi vi vi
vi =v A +vi / A =v A + r i / A
Como:
A
i
2 1
2
mi v i 2 =
m v
2 1
T=
v A
r A
O
1
La energía cinética en todo el Cuerpo Rígido: r i/A
T=
T1 =
2 A
m
1
mi v A v i/A
1
i
m v
2 vA mv A
2
i
A
v i/A
2
mi . r i / A
1 2
i/A
i
2
2 .I A
2 i/A
m .r 12 m r 2
m i v A v i/A v A v i/A
mv 2 i
v A 2 v A v i/A v i/A v i/A
mi v A v i/A
mv 2 A
A
1
2 i i/A
Como: I A
mi r i 2/ A
T= T=
1 2 1 2
T=
2 mv A vA
1 m . r 2 I
2 vA mv A
m . .r
1 2
2
i/ A
i
i/ A
i
m r
2 mv A v A .
i i / A
A
ˆ
1
ˆ
2
1 2
I A 2
x
I A 2
r i / A
y
Si el punto A coincide con el centro de masa G: r G (0)
m .r m i
i /G
0
i
T=
1 2
2 mvG v G .
1
mi r i / G ˆ
2
I G 2
Entonces para el caso general de Traslación + Rotación, Rotació n, la Energía Energía Cinética de de un cuerpo rígido será:
T=
1 2
m.v
2 G
Energia cinetica en Traslación
1 2
vG rG
C.I.R.
vB r B r A v A
r B
Energia c inet ica en rotación
v = r
rA
r G
2
I G
vA
vG
v B
Casos Particulares: b) Traslación Pura Curvilínea:
a) Traslación Pura Rectilínea:
=0 T
1 2
mvG
2
=0 T
1 2
mvG 2
T
A
G
v A
vG
v G =v A T .r
c) Rotación Pura:
v G = .r G
Sabemos que : T=
1 2
mv G 2
1 2
I G 2
1 2
mr G 2 2
1 2
I G 2
1 2
2 I G mrG2 I O
T
Tenemos dos formas de plantear la ecuación:
T
1 2
1 2
I O
2
mvG
2
1 2
2
I G
CASO PARTICULAR
Para el caso de engranajes, tanto para el pinon como para el engrane, se cumple que la velocidad del centro de masa v G = 0 de cada uno de ellos es nula ; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a;
T A
T B
1 2
1 2
2
I A A
2
I B B
2. Trabajo de una Fuerza (Entre dos estados dinámicos): dr: siempre es tangente a la trayectoria y va en el sentido del movimiento
t 2
UF
F d r
Forma general
t 1
a) Trabajo de una Fuerza Variable:
UF
dr
F d r F .cos ds
ESTADO1
ESTADO2 t 2
t 1
1 3
F 3
3
2
Sistema
1
3
F 1
U
1 2
1
2
F 2
Se aplica entre 2 2 estados dinámicos
F1 dr1 F2 d r2 F3 d r 3
Donde F1, F2, F3 son fuerzas externas al sistema. Nota: En un sistema las fuerzas internas no realizan trabajo
Sistema: Es un conjunto de cuerpos interconectados o también puede estar formado por un solo cuerpo.
F D1
F B1
1
F B 2
2
vG 2
m B B m A A
G A1
G B
G
v G1
Sistema
F A2
F A1
Estado 1
T1 =
T2 =
1 2 1 2
F D 2
Estado 2
mBvG1B 2
mBvG2B 2
1 2 1 2
I GB1 B
2
I GB2 B
1 2
2
1
mAvG1 A
1 2
2
2
mAvG 2 A 2
1 2
I GA 1 A
2
I GA 2 A
2
También:
U
12
U FA U FB U FD
T1
U
1 2
T 2
b) Trabajo de una Fuerza Constante:
U F F r
Si una fuerza es constante, su magnitud y su dirección son constantes, por lo que el trabajo se reduce a la fuerza por el vector desplazamiento.
Fa F cte
F
F cte u F cte
U F
FCos .S
(magnitud ) (dirección )
r c) Trabajo del Peso (considerando g=cte):
En este caso siempre se utiliza un sistema de referencia) Estado inicial 1
Estado final 2
Y
W
mg
U p eso
W
dr
G
U peso
ds dy dx
G
YG1
W d r mg j dxi dy j
ˆ
ˆ
ˆ
m. g Y G 2 Y G1
YG2
W mg j
X
YG1 y YG2 representan las coordenadas respecto a un nivel de referencia del centro de masa del cuerpo.
d) Trabajo de un Resorte que sigue la Ley de Hooke (F=-Kx=-K δ): 2
LO : Longitud sin deformación,
1 L1 L0 2 L2 L0 2
U F
F dr
2
U R
K d
1
1 1
U F
LO
K d
U R
1 2
K 2
2
12
e) Fuerzas que No Trabajan:
Hay algunas fuerzas externas que no trabajan cuando el cuerpo se desplaza: 1) Cuando las fuerzas son 2) Cuando las fuerzas actúan sobre perpendiculares al desplazamiento del puntos fijos. punto móvil.
T
B
f
RO
3) Cuando no hay deslizamiento de la superficie de un cuerpo con respecto al piso. W
O
v
G
G
C . I .R.
Cte
N
dr 0
f
1) U N 0 U f
2) U Ro 0
(haya deslizamiento o no)
0
(reacción en el punto O)
(cuando no hay deslizamiento)
U T
T .dr Cos90
U T
0
3) U T T drB
4) Si la trayectoria es horizontal, respecto al peso:
W dx U W WdxCos90
UW
B
U W
f) Trabajo
0
de un Par en el Plano:
F d r
d M 2r F
F
d r
dS
d
d
d
F
r d
U pa r 2 FdsCos0 2 Fds 2 Frd
1
U pa r 2 Frd
2
2 2
1
generalizando en el espacio
U pa r M 2 1 U
M
U pa r M d
1
Si M es constante
U pa r Md M d
1
Donde las unidades
θ2 y θ1 son en radianes
θ2 y θ1 se miden respecto al eje
positivo +X
3. Principio del Trabajo y la Energía Cinetica 1) Para un cuerpo rígido:
T 1
U
2) Para un sistema:
T U i
i f
T f
12
T
2
El disco de 30 kg esta soportado por un Pin en el apoyo O. Inicialmente se encuentra en reposo, cuando el resorte se encuentra sin deformación. En el momento en que alcanza una rapidez angular de 2 rad/s debido al Par, determine: a.- El ángulo que rota el disco.( ) b.- La magnitud de la fuerza de reacción del apoyo O en el eje X.(N) c.- La magnitud de la fuerza de reacción del apoyo O en el eje Y.(N)
CAMBIO DE ESTADO mg 294 N
ESTADO 1 1
0
T1
1
1
OY
mv I 2 G1
2
T 1
2
0
I G 2
=
O X
+
ESTADO 2
2 G 1
T2
F
= 24,75rad = 0,2423 rad
U1 2
F U1 Par 2 U 1 2 R
1
1
2
2
mvG2 2 IG 22 T2
1
I G 22 2
La barra tiene una masa de 10 kg y se somete a un par M = 50N.m y a una fuerza P =80N, la cual siempre se aplica perpendicular al extremo de la barra. Además, la longitud no alargada del resorte es de 0,5 m y permanece en la posición vertical debido a la guía del rodillo B. Si la barra parte del reposo en = 0°, para = 90°, determine: a.- El Trabajo del peso.(J) b.- El Trabajo de la fuerza del resorte.(J) c.- El Trabajo de la fuerza P.(J) d.- El Trabajo del Par.(J) e.- El Trabajo total realizado.(J) f.- La rapidez angular de la barra.(rad/s)
a.- 147J b.- -75J c.- 376,992J d.- 78,54J e.- 527,532J f.- 5,9253 rad/s
La barra de 10 kg esta restringida de modo que sus extremos se mueven a lo largo de las ranuras sin fricción. La barra inicialmente esta en reposo cuando = 0 °. Si sobre el bloque corredizo B actúa una fuerza horizontal P = 50 N. Cuando =53°, determine: a.- La rapidez angular de la barra.(rad/s) b.- La magnitud de la velocidad del centro de masa.(m/s) c.- La rapidez de A.(m/s) d.- La rapidez de B.(m/s)
a.- 6,686m/s b.- 2,6744 m/s c.- 4,279 m/s d.- 3,2092 m/s
La barra delgada de 10 kg, se mueve por acción del Par constante C = 60 m.N, como se muestra en la figura. Cuando la barra gira 90 Determine: • 1.- La velocidad angular de la barra.(rad/s) • 2.- La velocidad del centro de masa.(m/s) • 3.- La componente vertical de la fuerza en el apoyo O.(N) • 4.- La componente horizontal de la fuerza en el apoyo O.(N) • 5.- La aceleración angular de la barra. (rad/s2) •
1.- 6,4096 rad/s 2.- 9,6144 m/s 3.- 714,24 N 4.- 30 N 5.- 2 rad/s2
La barra AD de masa 50 kg y con centro en B se suelta en la posición = 90 . La constante del resorte es K = 500 N/m. Considere todas las superficies lisas. Para = 37 determine: a.- El trabajo de la fuerza del resorte.(J) b.- La rapidez angular de la barra ABD.(rad/s) c.- La fuerza de reacción normal sobre A.(N) d.- La fuerza sobre el extremo B.(N)
Utilizando el Principio del trabajo y la Energía Cinética entre los estados 1 y 2:
T1
U
12
T 1 0
T 2 1 T2
2
mvG2 2
Estado 1
1
1 2
IG 22
1 2
(50)(22 )2
2,5m
0
I G
+
152, 083322
1 12
(50)(5)2
104,1666kg .m 2 Estado 2
= NB
yG1 2,5m
FR
C.I.R.
NA
2
G2
2m
mg=490 N
yG 2 N.R.
2
(104,1666)22
CAMBIO DE ESTADO
2,5m
G1
1
vG 2 1,5m
37
2m 1,5m
1 2 2 peso ( U12 U1 Resorte U K 2 1 2 2 1 ) mg ( yG 2 yG 1) 2 1 U12 (500)((0, 5) 2 0 2 ) 50(9,80)(1, 5 2, 5) 62, 5 490 427, 5 J 2 152, 083322 427,5 J 2 1, 6765 rad / s
Utilizando el concepto de fuerzas y aceleraciones en el estado 2:
104,1666kg.m 2
a)F X
0 : N B 250 0 N B 250N
b)F Y
m.a : N A 490 50.a N A 50a 490...........(1)
c) M P
causas
I G
M P efectos : EFECTOS
CAUSAS 2m
P
B
NB
1,5m
F R
m.a
37
37
A
NA
I G 2
1,5m
=
mg=490 N
250N
B
2m
A
250(1,5) 490(2) 104,1666 50a (2) 100a 104,1666 605.............(2)
Utilizando el concepto de cinemática de cuerpo rígido entre A y B:
aB RA/ B ( 2 )2 .RA /B aAi aj ( k ) ( 2i 1,5 j ) (1, 6765) 2.( 2i 1,5 j) X : a A 1,5 5, 6213 1,5 aA 5, 6213............(3) Y : 0 2 a 4, 2159 2 a 4,2159..................( 4) d )a A
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
TABLA DE RESULTADOS Incógnitas
Ctes
NA
a
aA
1
2
3
4
1
1
50
0
0
490
2
0
100
104,1666
0
605
3
0
0
1,5
-1
5,6213
4
0
-1
2
0
-4,2159
Resultados
218,9058
5,4218
0,6029
-4,7168
El péndulo de 30 kg tiene su centro de masa en G y su radio de giro kG es 300 mm. Se sabe que el resorte esta indeformado en = 0°, Si parte del reposo en esa posición, para = 90°, determine: a.- El Trabajo total realizado b.- La magnitud de su velocidad angular.
4. Energia Mecánica de un Cuerpo Rigido La energía mecánica de un cuerpo rígido viene a ser la suma de su energía cinética T mas su energía potencial V: Nota Importante: En Energía Mecánica las
E M
T V
T
1 2
mv
2 G
V V g
{
1 2
IG 2
V e
V G mgY G
Donde:
Ve
1
K 2 2
únicas energías potenciales son las del peso y de la fuerza elástica del resorte que sigue la Ley de Hooke
Principio del Trabajo y la Energia (Ecuacion en base solo a las fuerzas No Conservativas)
Energía potencial V: Esta referida a fuerzas conservativas
V V g
V e
Vg: Energía potencial gravitatoria Ve: Energía potencial elástica
a) Energía potencial gravitatoria (Vg)
b) Energía potencial elástica (Ve) l
G
Y G 0
Y G
Nivel de referencia
0
K G
G
Y G 0
l o
YG = Coordenada
G
V e
V G mgY G Y G
0
V g
Y G
0
V g 0
Y G
0
Ve
0
l l 0
1
K 2 2
V g
Unidades: Joules (Unidades de energía)
De la ecuación General: del Trabajo y la Energía
T 1
U
12
T 2
U
12
T 2 T 1
Fuerzas conservativas y no conservativas
U F.C.1 2
U F.N.C.1 2
T 2 T 1
1
mg Y g 2 Yg 1 K 2 2 12 U T2 T1 2
U T2 T1 mg Y g 2 Yg 1
1 2
K 2 2 12
Trabajo de las fuerzas NO conservativas
U T 2 T 1 V g 2 V g 1 V e 2 V e1 Ecuación modificada del trabajo y la energía
U T 2 T 1 V 2 V 1 Si sobre un cuerpo o sistema solo actúan fuerzas conservativas y fuerzas que no realizan trabajo; la energía mecánica se conserva, por lo tanto se cumple: a) Para un cuerpo rígido
E Mi E Mf
b) Para un sistema
E
Mi
E Mf
E M
T V cte
E M
T V V cte
CONCLUSIONES : CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA: Entre dos estados dinamicos Para un cuerpo rigido:
E M 1
1 2
E M 2
T 1
V 1 T 2 V 2
T 1
V g 1 V e1 T 2 V g 2 V e 2
m.vG2 1
1 2
I G 12 mgY G1
1 2
K 12
1 2
m.vG2 2
1 2
I G 22 mgY G 2
1 2
K 22
Para un sistema de cuerpos interconectados
T V T 1
1
2
V 2
EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA SE UTILIZA UNICAMENTE CUANDO SOBRE EL CUERPO(O SISTEMA) ACTÚAN SOLO FUERZAS CONSERVATIVAS Y FUERZAS QUE NO TRABAJAN
RESOLVER La barra delgada AB de 30 kg y de 5 m de largo se encuentra en reposo en la posición horizontal cuando el resorte (que no esta unido a la barra) esta comprimido una distancia de 1 m. Si K = 1800 N/m Determine: 1.- La velocidad angular de la barra cuando esta se encuentra en posición vertical.(rad/s) 2.- La aceleración angular de la barra.(rad/s2) 3.- La fuerza de reacción horizontal en O.(N) 4.- La fuerza de reacción vertical en O.(N)
1.- 2,65 rad/s 2.- α = 0
El carrete de 50 kg tiene un radio de giro centroidal de 300 mm. Si se suelta del reposo, cuando su centro O ha descendido 6m por el plano inclinado liso, determine: a.- Su rapidez angular.(rad/s) b.- La fuerza de reacción normal.(N) c.- La fuerza de fricción(N) d.- La fuerza de tensión del cable.(N) e.- La aceleración agular del carrete.(rad/s2)
La rueda pesa 30 Lb y su radio de giro es kG = 0,6 pies. Esta conectada a un resorte de rigidez k = 2 Lb/pie y longitud no alargada de 1 pie. Si el disco se suelta desde el reposo en la posición que se muestra y rueda sin deslizarse, determine su velocidad angular en el instante en que G se mueve 3 pies hacia la izquierda
RESUMEN
T=
1 1 m.v G2 I G 2 2 2 Traslación
rotación
U R
1 2
K 2
UF
F
U par M 2 1
d r
T 1
t 1
U F F r
U peso 1 2
1 2
I G 1 mgY G1 2
U
12
T
2
U T 2 T 1 V 2 V 1
m. g Y G 2 Y G1
m.vG1 2
12
t 2
2
E M 1 1 2
K 1 2
1 2
m.vG 2 2
E M 2 1 2
I G 2 mgY G 2 2
1 2
2
K 2
T=
1 1 m.v G2 I G 2 2 2 Traslación
rotación
U F F r
U peso m. g Y G 2 Y G1 g 32,2 pies / s 2 U R
1 2
K 2
2
12
U par M 2 1
T 1
U
12
T
2
El resorte elástico esta unido al extremo de la varilla delgada de 15 kg y esta sin estirar cuando = 0. Si la barra se suelta desde el reposo en esta posición, siendo el movimiento en el plano vertical, determine cuando = 30: 1.- La velocidad angular de la barra.(rad/s) 2.- La aceleración angular de la barra.(rad/ s2 ) 3,- La magnitud de la fuerza de reacción normal en A.(N) 4.- La magnitud de la fuerza de reacción normal en B.(N) 5.- La magnitud de la aceleración lineal del rodillo B.(m/ s2 )