UCV-PIURA
FISICA
SEMANA 01 VECTORES
5.-Prod 5.-Pr oducto ucto escalar es calar de vectores ectore s . Se define el producto escalar de dos vectores a y b así:
a.b
1 .- EXPRESIÓN XPRES IÓN GEN GEN ER AL DE UN VECTOR VECTOR . Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir
a a x i
en la forma
ay
a x2 a y2 az 2
a .b
según muestra la Fig. 1.1. Los cosenos obten er sin sin más más qu e obs ervar que:
Siendo:
a x a
, cos
a y a
, cos
az a
a.b .a
2
a . cos a
a.b .b
que res ulta ser otro vect or como como se desp rende de la la definici definición ón (5) y de la Fig 2.1 .
(2)
2
(3)
k Z
i
a
j
b
2
,
7.- Producto vectorial de vectores El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya DIRECCIÓN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, de SENTIDO el que proporciona prop orciona la regla del tornillo tornillo al girar el primer primer vector vect or s obre el segundo por el camino angular más corto y de MODULO el que resulta de la siguiente expresión: expresión:
a xb
az
a
ó
2
cos cos cos 1
a . b . se sen
(7)
y
a
b
ay
ax
Y
X
Fig. 1.1
Pr oya
3.- Vector Unitario. Vector unitario es aquel que puede tener cualquier dirección, pero su módu lo es unidad . Para obtener un vector unitario a partir de un vector vect or d ado a , bas ta d ividir ividir éste en tre su módulo. módulo. El vector resultante tiene la misma dirección y sentido que el vector dado. Si a es el módulo del vector y llamamos u al vector unitario unitario bu scado , tendremos tendremos :
b . cos a
directores se pueden
relación relación entre los ángulos directores:
u
Pr oyb
a el mód módulo ulo del d el vector. vect or. De De (1) y (2) s e obt iene la la
2
(6)
6.-Proyección de un vector sobre otro
Pr oya
Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos , y qu e forma forma con los los ejes coordenad os x, y , z ,
a x bx a y by az bz
(1)
2 .- ÁNGULOS ÁNGULOS DIREC DIREC TOR TO R ES DE UN VECTOR VECTOR
(5)
La proyección de un vector sobre otro viene viene dada por la siguiente expresión: b
cos
a . b . cos
En función de las componentes de ambos ambos vectores la expresión expresión (5) toma la forma:
j az k siendo a x , ay , az las
componen componen tes del vector a y los vectores i , j , k son vectores vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x, y, z . El módulo del vecto r viene viene dado por:
a
MSC. CARLOS MOYA E.
a
a
(4)
OPERACIONES CON VECTORES 4.- Suma y diferencia de vectores. El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicam algebraicamente ente su s co mponen tes, de acu erdo con la expresión: expresión:
R a b c ... a x bx .. i
a
y
j a
by ...
z
bz ...
k
a b
Fig. 2.1
Si expresamos los vectores en función de sus componentes, el vector resultante de la operación operación producto vectorial es:
a xb
i
j
k
a x
ay
az
b x
by
bz
(8)
Donde, ahora el vector se obtiene en función de sus componentes. “El módulo del producto vectorial dos vectores equivale al área del pa ralelogramo definido definido por ambos”
8.- Producto Producto mixto de tres vectores vectores . Sean los vectores
a , b , c . La expresión a . b x c
se
conoce como producto mixto de dichos vectores. A partir de las expresiones (6) y (8), el producto mixto expresado en función de las componentes de los vectores es:
UCV-PIURA
a. b xc
a x
ay
az
b x
by
bz
c x
cy
cz
FISICA
MSC. CARLOS MOYA E.
04. Hallar el vector de módulo 3 y que sea paralelos al vector suma de: A = i + 2j + k; B = 2i – j + k; y C = i – j + 2k. (9)
05. Dados los vectores: A = 3i + 4j + k y B = i – 2j + 5k.
“ El pro ducto mix to de tr es vector es representa el vol umen del par al elepí pedo determinad o por ell os ” De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores s on coplanarios .
Calcular: (a) sus módulos; (b) su suma; (c) su producto escalar; (d) el ángulo formado entre ambos; (e) la proyección del vecto r A so bre el vect or B; (f) su p roducto vectorial; (g) un vector perpendicular a A y a B.
06. ¿Cuáles de los siguientes vectores son mutuamente 9.-TEOREMA DE SENOS Y COSENOS: 9.1.- TEOREMA DE SENOS sen A sen B senC
a
b
perpen diculares? Cada conjunto de tres números da la componen te de un vecto r. A = (2, 1, 1); B = (0, 0, 2); C = (1, -2, 0); D = (1, 1, -3); E = (9, 5, 3)
c
07. Hallar el coseno del ángulo existente entre los vectores
9.2.- TEOREMA DE COSENOS
c
2
c2
2
2
2
2
A y B: A = 3i + j + 2k
a b 2a .b Desarrollando el product o es calar
y
B = -3i + j + 2k.
08. Dados los vectores a 3, 2,1 y b de módulo 3 y
a b 2ab cos(a ,b )
conten ido sob re la recta x – y = 0 , hallar: B
c
a) Módulo de a
B
a
c
b) Produ cto es calar de a y b c) An gulo que forman.
a
09. Un avión parte de un aeropuerto y toma la rute mostrada C
A
A
C
b
b
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 01. Dados los vectores
u 3i z
2 j 3k , v
8i
2i
6 j k y
j 3k ,
en la figura 3. Primero viaja desde el origen del sistema de coordenadas mostrado a la ciudad A, localizada a 175km en una dirección 30,0º al norte del este. Luego se dirige a la ciudad B a 153km en dirección 20,0º al oeste del norte. Por último vuela 195km directo al oes te hacia la ciudad C. a) Determine la posición de la ciudad C con respecto al pun to de p artida. b) Determine la magnitud y dirección del des plazamiento resultante.
Hallar: a) los módulos de cada uno de los vectores, b) su suma o resultante del conjunto de vectores, c) los ángulos y cosenos directores del vector suma d) Obtener un vector unitario en la dirección y sentido del vector s uma.
02. El módulo de un vect or es 18 y s us cosenos directores s on proporcionales a los n úmeros 2, -2 y 1 . Hallar:
S
a b si el vector b
3i 2 j k .
a)
la suma
b)
un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.
03. En la figura, se muestran los vectores A , B , C y D. Determine el vector resultant e R = A + B + C + D.
10. Calcular el momento del vector a (2, 4, 0) que pasa por el pun to P (-1,0,1) respecto al eje E que pasa por P 1 (2,3,1) y cuya dirección está determinada por el vector
S
2i
2 j k .
